Краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих матричную производную Римана-Лиувилля

Еремин, Александр Сергеевич

Краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих матричную производную Римана-Лиувилля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Еремин, Александр Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих матричную производную Римана-Лиувилля»

Автореферат диссертации на тему "Краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих матричную производную Римана-Лиувилля"

На правах рукописи

Еремин Александр Сергеевич

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МАТРИЧНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

01.01.02 — «Дифференциальные уравнения»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2005

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Андреев Александр Анатольевич

Официальные доктор физико-математических наук, оппоненты: профессор Килбас Анатолий Александрович

оппоненты:

кандидат физико-математических наук, доцент Мокейчев Валерий Степанович

Ведущая организация:

Саратовский государственный университет

Защита состоится 24 января 2006 г. в 11.30 на заседании диссертационного совета К 212.081.06 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 9 декабря 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

Е.К. Липачев

¿ША

Общая характеристика работы

Актуальность темы Настоящая диссертация посвящена исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений с матричной дробной производной Римана-Лиувилля. Дифференциальные уравнения дробного порядка являются основой для построения математических моделей, описывающих различные процессы, в том числе в средах с фрактальной структурой.

Высокий интерес к исследованию дифференциальных уравнений дробного порядка обусловлен их широким применением в задачах физики, механики, химии, биологии, теории управления и других прикладных наук. Дифференциальные уравнения дробного порядка позволяют дать эффективные модели различных аномальных явлений, возникающих в естествознании.

Построение теории однозначной разрешимости в различных функциональных пространствах и исследование вопросов корректности постановок задач для дифференциальных уравнений дробного порядка требуется как для внутренней завершенности теории дробного интегро-дифференцирования. так и для многочисленных приложений.

ОсыовноБ целью работы является исследование краевых задач для систем дифференциальных уравнений, содержащих оператор матричного дробного дифференцирования по одной или по двум переменным, обобщающих известные задачи для классических уравнений математической физики. Выполнение цели работы потребовало исследования свойств некоторых функциональных классов, свойств операторов матричпого и смешанного матричного дробного иптегро-дифференцирования, решения различных обобщений уравнения Абеля, решения скалярных дифференциальных уравнений в частных дробных производных.

Методы исследования. В работе используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, дробного инте-гро-дифференцирования, теории рядов Фурье, аппарат функций от матриц.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Получены необходимые и достаточные условия существовании и единственности решения двумерного уравнения Абеля, матричного уравнения Абеля, двумерного матричного уравнения

Абеля;

1. Доказаны теоремы о существования и единственности решения краевых задач для дифференциального уравнения в частных производных с матричным дифференциальным оператором, для дифференциального уравнения с двумерным матричным интегро-дифференциальным оператором;

3. Доказана равносильность аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной и интегрального уравнения Вольтерра второго рода;

4. Доказана теорема о существовании и единственности решения аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в весовом пространстве непрерывных функций;

5. Получено решение задачи типа Гурса для неоднородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в терминах функции типа Райта;

Положения, выносимые на защиту:

1. Теоремы о необходимом и достаточном условях существования и единственности решения двумерного уравнения Абеля, матричного уравнения Абеля, двумерного матричного уравнения Абеля;

2. Теоремы о существовании и единственности решения краевых задач для дифференциального уравнения в частных производных с матричным дифференциальным оператором, для дифференциального уравнения с двумерным матричным интегро-дифференциальным оператором;

3. Теоремы о равносильности аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной и интегрального уравнения Вольтерра второго рода;

4. Теорема о существовании и единственности решения аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в весовом пространстве непрерывных функций;

5. Решение задачи типа Гурса для неоднородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной;

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер и являются важным вкладом во внутреннюю завершенность соответствующего раздела дифференциальных уравнений с частными производными: они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для (

дифференциальных уравнений в дробных производных, а также для решения прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на:

- межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 2002, 2003 гг.)

- всероссийских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 2004, 2005 гг.)

- международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки» (Самара, 2004 г.)

- всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их проложения» (Самара. 2005 г.)

- международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2003 г.)

- международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2004 г.)

- всероссийских симпозиумах по прикладкой и промышленной математике (Сочи, 2003, 2004 г.г.)

- международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», носвященной столетию академика С. М. Никольского (Москва, 2005 г.)

- научном семинаре «Дифференциальные уравнения» кафедры математической физики Самарского государственного университета (руководитель д.ф.-м.н., проф. Филатов, 2004 г.)

- научном семинаре «Прикладная математика и механика» Самарского государственного технического университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Радченко В. П., 2003-2005 г.г.)

- научном семинаре кафедры «Дифференциальные уравнения» Казанского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Жегалов В. И., 2005 г.)

- научном семинаре кафедры «Дифференциальные уравнения» Саратовского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Хромов А. Г1., 2005 г.)

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 14 научных работах. Среди них 3 статьи в научных журналах,

7 статей в сборниках научных трудов и 4 тезиса докладов на международных конференциях. 8 работ опубликованы без соавторов. Из 6 научных работ, опубликованных в соавторстве, в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично автору.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В каждой главе своя нумерация параграфов, определений, лемм, теорем и формул. Общий объем диссертации 137 страниц, из которых 12 страниц занимает список литературы, состоящий из 132 наименований.

Содержание работы

Первая глава посвящена исследованию краевой задачи для уравнения с матричным интегро-дифференциальным оператором. П. 1.1 носит вспомогательный характер и содержит определения и некоторые свойства оператора матричного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля

^аг ж

т<7 с — п-бс _ V (С-А^Г)" <Г

1ах{ = Вах (С) --УГ"

<1\п

к=1 п=О

Фк (А)]

А=А*

где

^(А) = П "А»)"

к-1

минимальный многочлен матрицы О; У = 1. ть к = 1,«, £)агл — оператор дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля, а Хк е А(С).

В частности, в пп. 1.1.2 найдено решение матричного интегрального уравнения Абеля

= <■(*), (1)

где А £ Мт, ее спектр Л(Л) С С+, х > а > —оо, <р(х) и --т-мерные вектор-функции, а в пп. 1.1.3 доказана теорема о необходимом и достаточном условии разрешимости матричного уравнения Абеля в классе интегрируемых функций:

Теорема 1.1. Для того, чтобы матричное уравнение Абеля (1) было разрешимо в Ь(а,Ъ), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

£ ЛСп™*[а, !>], (2)

£_ГаГгЕ-АПа) = 0 = 0; Птах _ (3)

где Птах — наибольшее из всех п, = —[— Яеа,], а, — собственные числа матрицы А, г = 1, т. При выполнении этих условий уравнение имеет единственное решение, и оно задается формулой

¥>(*) =

В пп. 1.1.3 также показано, что условия (2). (3) равносильны условиям

1Т+Е~МА)&к£АСпЧа,Ь] (к = 07з).

где пк = —[— Ней^], J¡Í{A) — Жордановы клетки матрицы А (к = 1, й), . }т — в = Т~]{, Т — матрица, приводящая матрицу А к Жордановой форме.

В п. 1.2 в области П = {{х. : 0 < х < Ь, 0 < I < Т] рассматривается уравнение

= Аихх (4)

относительно неизвестной вектор-функции и(х,1) при условии коммутативности матриц С, А € Мп и предположении, что все собственные значения матрицы О удовлетворяю! условию

О < А; ^ 2, I = 177,

а все собственные значения а,- матрицы А действительны.

Задача 1.1. В области (2 найти решение и(х, {) уравнения (4). удовлетворяющее граничным условиям

и(0Л) = «(1,1!) = О,

а также Ш{ условиям для каждого г = 1, г:

Л^^оГ1(г^и) = та(1)1 если 0 < А, < 1, о, >0, (5)

ИтЯ^-1 (!*,«) = п1к(х),

„А -2/, , / , ссли 1 < А, ^ 2, о, > 0, (6) 11 тД- 2(1к,и) = V,,* х ,

«-►о

Нт 1{1к, и) = г,•,*(*), если 0 < А, ^ 1, а, < 0, (7)

пА,-2/. ч , * если 1 < А, < 2, «, < 0. (8

В условиях (5)-(8) Ь = 1,т,. г,- = {г,д, г,,2,..., г,1ть}; г/, = {I/, ^1,2) •• •»заданные вектор-функции, а скалярное произведение вектора I& - транспонированной к-й строки матрицы, У"1, приводящей О к Жордановой форме, и вектор-функции м.

В п. 1.3 доказаны теоремы об эквивалентности краевой задачи 1.1 нескольким более простым краевым задачам меньшей размерности (в частном случае — размерности 1, то есть скалярным краевым задачам).

Существованию, единственности решения этих скалярных задач посвящены п. 1.4 и п. 1.5 соответственно. В п. 1.4 изучаются также вопросы корректности поставленных задач (по Адамару).

А именно, в области О = {(хЛ) : 0 < ж < тг, О <<<Т} рассматривается уравнение

Щ+и = аихх, (9)

где и = и(х, <), 0 < а ^ 2, а — ±1. Решением уравнения (9) в области П назовем такую функцию и{х, <), которая:

1. такова, что произведение <"~аи(:г,£) непрерывно в П,

2. в области О. дважды непрерывно дифференцируема полип раз непрерывно дифференцируема по у,

3. обращает уравнение (9) в равенство.

Задача 1.2. В области П найти решение уравнения (9), удовлетворяющее условиям

и( 0,г) = и(тг,() = О, Кт с~'и = т,(х), в = Т~п.

Теорема 1.4. Пусть в задаче 1.2 функции ^(ж) таковы, что ряды Фурье по синусам, порожденные этими функциями, сходятся к ним в каждой точке [0,/]. Тогда при а — +1, 0 < а <; 2 существует решение задачи 1.2. Это решение непрерывно зависит от начальных условий задачи.

Доказано, что при о = — 1 задача 1.2 некорректна, а корректной является следующая задача:

Задача 1.3. В области П найти решение уравнения (9), удовлетворяющее условиям

и( 0,<) = и(тг,/) = О,

= т'(*)- 5 = 1, п.

Теорема 1.5. Пусть в задаче 1.3 функция т^ж) такова, что ряд Фурье по синусам, порожденный этой функцией, сходится к ней в каждой точке [0,/]. Тогда при а = — 1, 0 < о ^ 1 существует решение задачи 1.3. Это решение непрерывно зависит от начальных условий задачи.

Показано, что в случае 1 < а ^ 2 задача 1.3 некорректна, а корректной является задача

Задача 1.4. В области И найти решение уравнения (9), удовлетворяющее условиям

и(0,1) = и(тг,<) = О,

ЯоГЧ^ = ДоТ2Ч=т = М*)-

Теорема 1.6. Пусть в задаче 1.2 функции ^(г), т2(х) таковы, что ряды Фурье по синусам, порожденные этими функциями, сходятся к ним е каждой точке [0,/]. Тогда при а = —1, 1 < а $ 2 задача 1.4 имеет решение. Это решение непрерывно зависит от начальных условий задачи.

Теорема 1.7. Пусть для задач 1.2 — 1-4 выполняются условия теорем 1.4—1-6 соответственно. Тогда решения задач 1.2 — 1.4 ■ имеющие для каждого t > 0 конечное число интервалов монотонности, существуют и единственны.

В п. 1.6 на основании результатов п. 1.2 — 1.5 доказаны теоремы о существовании и единственности решения задачи 1.1:

Теорема 1.11. Пусть матрицы О, А £ Мт коммутативны и все собственные значения А, (г ~ матрицы С удовлетворяют условию 0 < Лг 2 (I = 1. п), а все собственные значения матрицы А действительны. Если функции ^^^¡(х) таковы, что ряды Фурье по синусам, порожденные этими функциями, сходятся к ним в каждой точке [О, Г], то решение задачи 1.1, имеющее для каждого I > О конечное число интервалов монотонности, если оно существует, единственно.

Теорема 1.12. Пусть матрицы в, А О. Мт коммутативны и все собственные значения А, (г = 1, п) матрицы (7 различны и удовлетворяют, условию 0 < А, ^ 2 (г = 1 ,п), а все собственные зна-

чения матрицы А действительны. Если функции г,(г1), 1>г(х) таковы, что ряды Фурье по синусам, порожденные этими функциями, сходятся к ним в каждой точке [0,/], то решение задачи 1.1 существует и непрерывно зависит от функций т,(х), и,(х).

Вторая глава посвящена исследованию свойств смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной и постановок краг евых задач для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной.

В п. 2.1 исследуются некоторые свойства смешанного дробного интеграла Римана-Лиувилля порядка (а, в)

(£&+/) (*,У) - Г(о)ГШ / lx _ т-«

)dtds

Г(а)Г(0) J (x-ty-°(y-sy~P

где fíe о > 0, fíe/З > 0, х > а. у > с, a также смешанной дробной производной

-X

Г(п - а)Г(т - 0) дхпдут

(х - -sY~

Г _/(*, s)dtds

Х J (х- - '

(<•>*) х (с,у)

п = [fíeа] + 1, т = [fíe/?] + 1, Rea > 0, Re 3 > 0. В частности, доказана лемма об ограниченном действии смешанного дробного интеграла в пространстве весовых функций.

В п. 2.2 исследуется двумерное уравнение Абеля

ТЩЩ Л (х- ty-C-sy-t = f{x> йва>0,ЯеД>0.

а с

(10)

Доказана следующая теорема:

Теорема 2.5. Для того, чтобы уравнение Абеля (10) было разрешимым в Li(íí), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

fn-a,m-e е ACn-m(ñ), = ^ i =

/п-Л,т-/>(°>с) = 0> «■ = 0,11-1. * = 0,П»-1.

В пп. 2.2.3 доказана теорема о композиции сметанного дробного интеграла и смешанной дробной производной при равенстве порядка производной и интеграла:

Теорема 2.11. Пусть Не а > 0. Равенство

оаа£с+га£с+г = !(х,у)

выполняется почти всюду для любой суммируемой функции, а равенство

— для функции !{х,у) € ^а+^с+^О- Для любой функции }{х,у) 6 АСа'Р{0.) выполняется равенство

нивил=д*, у) - £ ^'^т1у)~

,=о 4« - **

¿¿к по-тр-ь) ^

еде =

В п. 2.3 в области В = {(г, у) : х, у > 0} рассматривается задачи для дифференциального уравнения

Оаа'1с+и = }{х,у). (11)

В пп. 2.3.1 доказаны теоремы существования и единственности решения следующей задачи типа Гурса в весовом пространстве непрерывных функций и в пространстве суммируемых функций:

Задача 2.1 Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую уравнению (11) и следующим граничным условиям:

0,т->0)

ио,т-0(*> у) = **(*)> к = 0,171-1

Иш у) = 1>,(у), I = 0, п - 1,

где л,(г), г/,(у) — заданные функции, удовлетворяющие условиям согласования

= «' = 0, п - 1, * = 0, га - 1,

В п. 2.3.2 рассматриваются задачи для дифференциального уравнения «второго» порядка со сметанной дробной производной

- „<*>

(12)

где О <С е С 1. Уравнение (12) представляет собой частный случай уравнения (11) при а + = 2. Рассмотрены следующие задачи:

Задача 2.2 В области I) найти функцию и(х,у), удовлетворя-юшую уравнению (12) и следующим граничным условиям:

J^+V

|(У),

где п(у), т2{х), т3(х) виям согласования

lim С+,с+и ~ Ы*),

у—tU

y-iO т

• заданные функции, удовлетворяющие уело-

ШЦ^пЦу) = Пт(Га+т2)(х) Шп(/£'п)(,) = 1пп(/^г3)(х)

Задача 2.3 В области О найти функцию и(х, у), удовлетворяющую уравнению (12) и следующим граничным условиям:

ФГеЫ =

U* ду) а+'с+

_ AV

V9x а+'с+"

= V»2(®),

»=*

где <pi{y), ip2{1'), ^зМ " заданных функции.

Задача 2.4 В области D найти функцию и(х,у), удовлетворя-

югцую уравнению (12) и следующим граничным условиям:

где л (у), гг(х), гз(х) — заданные функции.

Задача 2.5 В области D найти функцию и(х,у), удовлетворяющую уравнению (12) и следующим граничнъш условиям:

uU = riM>

(¿-¿)uU=r2W'

I у=г

где Ti(y), тг(ж), Гз(х) — заданные функции.

Для задач 2.2 — 2.5 найден явный вид решения и рассмотрен предельный переход е —► 0, и получены условия, позволяющие этот переход осуществить. Вопрос об однозначной разрешимости задач сводится к вопросу об однозначной разрешимости задачи 2.1.

Третья глава посвящена исследованию в весовом пространстве непрерывных функций задачи типа Гурса для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной.

В п. 3.1 доказана теорема об однозначной разрешимости задачи типа Гурса для нелинейного дифференциального уравнения в дробных производных со смешанной дробной производной

{DaafiC+u){x,y) = f{x,y,u). (13)

где Re а > 0, Heß > 0. Пусть, как обычно, п = -[— Rea], т — -[-Reß].

Задача 3.1. Найти функцию и(х,у) 6 C"f(Q), удовлетворяющую уравнению (13) и следующим граничным условиям:

lim у) = rk(x), к = 0, т - 1

1>т ип-1,о(ж' у) = (у). г = О, п - 1,

г—

где (а?), г/,(?/) — заданные функции, удовлетворяющие условиям согласования

г^п-М = 1 = 0-^1, к = В^ГГТ,

Для решения задачи сначала в. п. 3.1.2 доказывается эквивалентность задачи интегральному уравнению Вольтерра второго рода:

Теорема 3.1. Пусть Лео > 0, Не/} > 0, 0 < Яе7 < 1, 0 ^ Де<5 < 1. Пусть функция /(х,у.и) : (а, Ь] х (с, <£] х Я И такова, что

{х - а)1 (у - с)й/(г, у, и) € С {{а, Ь] х [с, с/] х Я),

тах _ !(х - а)~"(у - с)д/(х, у,и)\= < +оо. (х,у.«)£[а,6]х[с,((]хД

Для того, чтобы функция и(х,у) £ (Г2) являлась решением задачи 3.1, необходимо и достаточно, чтобы она была решением интегрального уравнения Вольтерра второго рода

, „ ^(х-о)"-'-1 /ч VI (У-г)?-*-1 = Ъ Г(а-,-) ГО?-*)

¿^ Г(а — ¿)Г(,3 - к) Тт-к-1,п-аКаП

1 /• } №,8,и(1,ь))<Ис[8 + Г(а)Г(/3)/ У

а с

А затем в п 3.1.3 доказывается теорема об однозначной разрешимости задачи 3.1:

Теорема 3.2. Пусть Яеа > 0, Ле/2 > 0, 0 ^ Яе 7 < 1, 0 Яеб < 1. Пусть функция /(х,у,и) : (а, 6] х (с, х Д —> Я удовлетворяет условиям теоремы 3.1 и липшицева по переменной и:

у, их) — /(х, у, «2)| ^ Ь|и1 — И2| Уж 6 (а, 6], 1/1,5/2 6 Я-

причем постоянная Ь не зависит от х. Тогда решение и(х.у) задачи 3.1 существует и единственно в пространстве (О).

В п. 3.2 — 3.3 для линейного дифференциального уравнения дробного порядка

(££&+«)(*,») =A«(z, у)+ /(*,*), (14)

где Reo > 0. Ее 3 > 0, рассмотрена задача:

Задача 3.3. Найти функцию и(х,у) £ C^f(Q), удовлетворяющую уравнению (14) и следующим граничным условиям:

lim у) = тк(х), k - 0, m — 1

lim u^fl 0(ж, у) = Vi (у). г = 0,n- 1,

где тк(х). vt(y) — заданные функции, удовлетворяющие условиям согласования

rl';La(") = C-iW' i = ö^1-k = МГГГ, rl%_a(X) = »w_ß(y) = ¿/^V

Доказана теорема:

Теорема 3.3. Пусть Rea > 0, Heß > 0, 0 ^ Я<7 < 1, 0^Де<5< 1, Л€С. Пусть функция f(x.y,u) : (а, 6] х (с, d] х Д —» .R такова, что

(г - аИг, - с)'/(*,У,и) е С([в,6] х [c,d] х я), тах _ 1(ж ~ У — c)Sf(x* У-и) I = -Я^т <s <

(г.у,и)е[<1,ь]х[с,й]хл

Тогда решение и(х, у) задачи 3.3 существует и единственно в пространстве C^'f(Q).

Решение задачи найдено в терминах функции типа Райта. В п. 3.4 рассматривается краевая задача для уравнения со смешанной матричной производной. Найдены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости двумерного матричного уравнения Абеля, формулы композиции операторов матричного интегрирования и дифференцирования. Для уравнения

Di&+u = f(*,y). (15)

рассматривается задача:

Задача 3.4. Пусть пк = -[-Дса(Лл)], = -[- Шр(Хк)}. {«1,..., «г }т = V — Г-1 о, где Т — некоторая невырожденная матрица из Мт. Найти вектор-функцию и(х, у), удовлетворяющую уравнению (15) и следующим граничным условиям:

с) = (* = М, г = 0^1),

(¿С^'Ч) («' у) = («) (* = М, 7 = МГ^Т),

где 7к,(®) € (а,Ь), Т'кг(у) € Ьх(с,<{) - заданные вектор-функции, удовлетворяющие условиям согласования

(к - 175, г = 0,дк- 1, з = 0, пк - 1).

Доказывается существование и единственность решения задачи 3.4.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю — кандидату физико-математических наук, доценту Андрееву Александру Анатольевичу, а также заведующему кафедрой прикладной математики и информатики СамГТУ, профессору, доктору физико-математических наук Радченко Владимиру Павловичу за постоянное внимание к работе.

Публикации по теме диссертации

1. Еремин А. С'. Аналог задачи с обратным временем для дробного уравнения теплопроводности // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Ред. ж-ла «ОПиПМ» — 2004.— Т. И. - С. 546-547.

2. Еремин А. С. Задачи с прямым и обратным временем для уравнения фрактальной диффузии // Труды 5-й Международной конференции молодых ученых Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки. Части 1,2: Математика. Математическое моделирование. Самара: СамГТУ. — 2004. -С. 34-38.

3. Еремин А. С. Краевые задачи для уравнения в частных производных, содержащих дробную производную // Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. Нальчик: КБНЦ РАН - 2004. - С. 67-68.

4. Еремин А. С. Три задачи для одного уравнения в частных дробных произодных // Труды Всероссийской научной конференции Математическое моделирование и краевые задачи. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи.

Самара: СамГТУ. - 2004. • С. 94-99.

5. Еремин А. С. Задача для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной // Труды второй Всероссийской научной конференции Математическое моделирование и краевые задачи. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Самара: СамГТУ. — 200-5. — С. 92-95.

6. Еремин А. С. Композиция смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной римапа-лиувилля одного порядка // Вестник СамГТУ. Сер.: физ.-мат. науки. Вып. 34-Самара: СамГТУ. - 2005. - С. 16-24.

7. Еремин А. С. Обобщения операторов дробного интегро-диф-ференцирования римана-лиувилля и их приложения // Труды 1-го Международного форума (6-й Международной конференции молодых ученых) Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки. Части 1,2: Математика. Математическое моделирование. Самара: СамГТУ. — 2005. — С. 31-33.

8. Еремин А. С. Основные свойства смешанного матричного интеграла и смешанной матричной производной римана-лиувилля // Вестник СамГТУ. Сер.: физ.-мат. науки. Вып. 38. Самара: СамГТУ. - 2005. - С. 9-14.

9. Еремин А. С., Андреев А. А. Краевая задача для уравнения диффузии с дробной производной по времени // Труды, двенадцатой межвузовской конференции Математическое моделирование и краевые задачи. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Самара: СамГТУ. — 2002. — Т. 3. -С. 3-9.

10. Еремин А. С., Андреев А. А. Краевая задача для уравнения с матричной дробной производной // Материалы Международного Российско- Узбекского симпозиума Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. Нальчик: КБНЦ РАН- 2003.-С. 20-21.

И. Еремин А. С., Андреев А. А. Краевые задачи для дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: Ред. ж-ла «ОПиПМ»- 2003.- Т. 10.- С. 377-378.

12. Еремин А. С., Андреев А. А. Краевые задачи для системы дифференциальных уравнений с оператором дифференцирования матричного порядка // Труды тринадцатой межвузовской конференции Математическое моделирование и краевые задачи. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Самара: СамГТУ. - 2003. - Т. 3. - С. 179-184.

13. Еремин А. С., Андреев А. А. Краевая задача для уравнения с матричным интегродиффоренциальным оператором // Вестник СамГТУ. Сер.: физ.-мат, науки. Вып. 26.

Самара: СамГТУ. - 2004. - С. 5-11.

14. Еремин А. С., Андреев А. А. Композиция операторов смешанного дробного интегрирования и смешанного дробного дифференцирования одного порядка // Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященная столетию академика С. М. Никольского (Москва, 23-29 Мая 2005 г.): Тезисы докладов. — 2005. - С. 31.

Автореферат опубликован с разрешения диссертационного совета К 212.081.06 (протокол №3 от 29 ноября 2005 года)

Подписано в печать 6 декабря 2005 г. Заказ №572. Тираж 100 экз. Отпечатано на ризографе. Самарский государственный технический университет. Отдел типографии и оперативной полиграфии. 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

¿ooeA M

О 6 - 98 i

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Еремин, Александр Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Краевая задача для уравнения с матричным интегро-дифференциальным оператором

1.1. Определение и некоторые свойства оператора матричного интегро-дифференцирования.

1.1.1. Вспомогательные сведения.

1.1.2. Матричное уравнение Абеля первого рода. ф 1.1.3. Условия разрешимости матричного уравнения Абеля.

1.2. Краевая задача для уравнения с матричным интегро-дифференциальным оператором.

1.3. Эквивалентность краевой задачи нескольким краевым задачам меньшей размерности.

1.3.1. Краевые задачи для скалярного уравнения: существование решения и его непрерывная зависимость от начальных условий

1.3.2. Краевые задачи для скалярного уравнения: единственность решения.

1.4. Существование и единственность решения краевой задачи для уравнения с матричным дифференциальным оператором.

Выводы.

ГЛАВА 2. Свойства смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной

2.1. Основные функциональные классы и свойства оператора смешанного дробного интегро-дифференцирования в этих классах

2.1.1. Пространство функций ACn'm(Q) и его свойства.

2.1.2. Пространство функций и его свойства.

2.1.3. Смешанный дробный интеграл и смешанная дробная производная Римана-Лиувилля.

2.1.4. Классы функций /aa^c+(Li), 1^с+(Съ5),

2.2. Двумерное интегральное уравнение Абеля.

2.2.1. Единственность решения интегрального уравнение Абеля

2.2.2. Необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости уравнения Абеля.

2.2.3. Смешанный дробный интеграл и смешанная дробная производная как взаимно обратные операции.

2.3. Краевые задачи для линейного уравнения со смешанной дробной производной

2.3.1. Задач типа Гурса для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной.

2.3.2. Задачи для дифференциального уравнения «второго порядка» со смешанной дробной производной.

Выводы.

ГЛАВА 3. Задача типа Гурса для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной

3.1. Теоремы об однозначной разрешимости задачи типа Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной

3.1.1. Задача типа Гурса для дифференциального уравнения со смешанной дробной производной.

3.1.2. Равносильность задачи типа Гурса и интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

3.1.3. Существование и единственность решения задачи типа Гурса

3.2. Аналог задачи типа Гурса для однородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной.

3.3. Аналог задачи типа Гурса для неоднородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной.

3.4. Матричный оператор смешанного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля.

Выводы.

Введение диссертация по математике, на тему "Краевые задачи для дифференциальных уравнений, содержащих матричную производную Римана-Лиувилля"

Диссертационная работа посвящена исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений с. матричной дробной производной Римана-Лиувилля.

Область математического анализа, называемая дробным исчислением и посвященная исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, тесно связана с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др. Дробное исчисление функций одной и многих переменных в настоящее время интенсивно развивается, свидетельством чему является большой поток специально посвященных ему публикаций.

В различных отраслях науки и ее инженерных приложениях все более часто возникают дифференциальные уравнения дробного порядка. В этой связи можно отметить монографии I. Podlubny [122], К. В. Oldham, J. Spanier [118], К. S. Miller, В. Ross [115], A. M. Нахушева [59,62], В. А. Нахушевой [57], работы I. M. Sokolov [128], А. А. Килбаса [107].

Исторически первыми приложения уравнениям с дробными интегралами и производными привели Абель [85,86] (задача о таутохроне) и Лиувилль [110], который дал приложения к задачам геометрии, физики и механики. Среди них задача Лапласа о влиянии бесконечного прямолинейного проводника на магнит; задача Ампера о взаимодействии двух таких проводников; задачи, связанные с притяжением тел; задача о распределении тепла в шаре; задача Гаусса о приближенных квадратурах и др.

Собственно история дифференциальных уравнений дробного порядка берет свое начало с работ М. Fujiwara [97], O'Shaughnessy [120], Е. L. Post [123], Е. Hille [100]. В работе Е. Pitcher [121] были доказаны теоремы о существовании и единственности решения задачи типа Коши для уравнения Щ+У = f(x,y), что заложило серьезную основу для теории дифференциальных уравнений дробного порядка. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах [87-90] и монографии С. Г. Самко, А. А. Килбаса, О. И. Мариче-ва [73].

В настоящее время активно исследуются задачи для дробных дифференциальных уравнений. Известен ряд методов их решения (хороший обзор содержится, например, в работах А. А. Килбаса [108,109)). Так, для решения задачи типа Коши для неоднородного уравнения

W+y) (*) = Аy(x) + f(x), где Re а > 0, может быть применен метод последовательных приближений [73]. В монографии I. Podlubny [122] методом интегральных преобразований решен ряд задач для дробных дифференциальных уравнений. В серии работ А. А. Килбаса, С. А. Марзана [41-43,52,53] исследуется задача типа Коши для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка и систем таких уравнений в весовых пространствах непрерывных функций.

Однако для прикладных задач обыкновенных дифференциальных уравнений недостаточно. Уже в простейших физических задачах возникают производные по двум независимым переменным - по координате и времени. Поэтому актуальным направлением дробного исчисления являются задачи для дифференциальных уравнений в частных дробных производных. Они рассматриваются в работах А. А. Килбаса [106], Р. Р. Нигматулина [116], W. Wyss [131], А. Н. Кочубея [48, 49], А. В. Псху [68], С. X. Геккиевой [18], Т. С. Алероева [1-4], работах [19,22,80,101] и др.

В подавляющем большинстве работ, в которых изучаются задачи для дифференциальных уравнений в частных дробных производных, уравнения представляют собой классические уравнения математической физики, в которых одна из частных производных заменена на частную дробную производную. Рассмотрим некоторые из них.

В работах [48,49] в полуплоскости рассматривалась краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных, содержащая регуля-ризованную дробную производную.

В работах [65,66] доказана однозначная разрешимость в классе Са>р(0) краевой задачи для уравнения i^V) (х, у) + А (D™c+u) (х, у) = f(x, у), где 0 < си ^ 1, 0 < р ^ 1, с краевыми условиями lim I^l'iu = tp(y), lim J^ti = причем рассмотрен как случай Л > 0, так и случай Л < 0. Решения получены в терминах функции типа Райта.

В работах [67,68] рассмотрены первая, вторая и смешанная краевые задачи в прямоугольной области Q для уравнения где 0 < а ^ 1 (так называемого уравнения диффузии дробного порядка). Решения получены в терминах функции типа Райта.

В монографии А. М. Нахушева [62] в прямоугольной области для уравнения диффузии дробного порядка (1)с0<а^2 решена первая краевая задача с однородными граничными условиями. Решение получено в терминах функции типа Миттаг-Лефлера.

Задача типа Коши для уравнения (1) (/(ж, у) = 0) в полуплоскости х > 0 была рассмотрена в работе [18], решение получено в терминах функции типа Райта.

Из работ, в которых исследуются уравнения с оператором смешанного дробного интегро-дифференцирования, можно отметить работу S. Vasilache [130], в которой получено решение двумерного интегрального уравнения Абеля где 0<ск^1,0</3^1. Однако используемый в [130] метод преобразования Лапласа не позволил получить необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости.

Дальнейшее развитие теории дробного исчисления привело к исследованию систем дифференциальных уравнений в дробных производных. Исследованию систем линейных дифференциальных уравнений дробного порядка посвящены работы В. К. Вебера [15,16], М. И. Иманалиева [37]. В работе

1) laat+U) (*,!/)=/(*, У),

V. Daftardar-Gejji [95] доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для системы дифференциальных уравнений D£+(y-y(a)) = Ay, где матрица А обладает произвольным комплексным спектром.

Развитие идей и методов в теории дробного исчисления привело к появлению различных обобщений операторов дробного интегро-диффереицироБа-ния (операторы типа Эрдейи-Кобера, Джбрашяна, дробные интегралы и производные Вейля и Чженя, операторы со степенно-логарифмическим ядром, операторы М. Сайго и др.) [73]. Операторы обобщенного дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса рассматривались, например, в работах Е. R. Love [111], М. Saigo [124,125], А. А. Килба-са [7,8,45], О. А. Репина [70]. В работах А. А. Андреева [6,9,35] операторы дробного интегро-дифференцирования обобщаются на случай матричного ин-тегро-дифференцирования с помощью аппарата функции матриц [17].

В серии работ А. А. Андреева [6,9,10] с помощью введенного оператора матричного интегро-дифференцирования решены задачи для определенного класса систем интегро-дифференциальных уравнений. Результаты работ пересекаются с работами М. Lowengrub, J. Walton [112], И. JI. Васильева [14]. Матричное интегро-дифференцирование позволяет исследовать задачи для более широких классов систем интегро-дифференциальных уравнений. Однако применимость матричного интеграла и матричной производной при решении систем дифференциальных уравнений в дробных производных изучена очень мало.

Актуальность темы Дифференциальные уравнения дробного порядка являются основой для построения математических моделей, описывающих различные процессы, в том числе в средах с фрактальной структурой. Дифференциальные уравнения дробного порядка исследовали многие авторы, в том числе Е. Питчер (Е. Pitcher), В. Сьюелл (W. Sewell) [121], Дж. Бар-ретт (J. Н. Barrett) [90], М. Аль-Бассам (М. A. Al-Bassam) [89], А. А. Кил-бас [38-40,44,45,73,92,106-109], X. Трухилло (J.J. Trujillo), Б. Бонилла (В. Bonilla) и др. В последние годы дифференциальным уравнениям дробного порядка посвящены работы А. Н. Кочубея [48,49], I. Podlubny [122], А. А. Килбаса [39,40,44,45], А. М. Нахушева [58-62], А. В. Псху [65-68].

Построение теории однозначной разрешимости в различных функциональных пространствах и исследование вопросов корректности постановок задач для дифференциальных уравнений дробного порядка требуется как для внутренней завершенности теории дробного интегро-дифференцирова-ния, так и для многочисленных приложений.

Основной целью работы является исследование краевых задач для систем дифференциальных уравнений, содержащих оператор матричного дробного дифференцирования по одной или по двум переменным, обобщающих известные задачи для классических уравнений математической физики. Выполнение цели работы потребовало исследования свойств некоторых функциональных классов, свойств операторов матричного и смешанного матричного дробного интегро-дифференцирования, решения различных обобщений уравнения Абеля, решения скалярных дифференциальных уравнений в частных дробных производных.

Методы исследования В работе используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, дробного интегро-дифференцирования, теории рядов Фурье, аппарат функций от матриц.

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в следующем:

2. Доказаны теоремы о существования и единственности решения краевых задач для дифференциального уравнения в частных производных с матричным дифференциальным оператором, для дифференциального уравнения с двумерным матричным интегро-дифференциальным оператором;

Положения, выносимые на защиту:

Практическая и теоретическая ценность Результаты работы носят теоретический характер и являются важным вкладом во внутреннюю завершенность соответствующего раздела дифференциальных уравнений с частными производными; они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для дифференциальных уравнений в дробных производных, а также для решения прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.

Апробация работы Результаты исследований докладывались и обсуждались на: межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 2002, 2003 гг.) всероссийских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 2004, 2005 гг.) международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки» (Самара, 2004 г.) всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их проло-жения» (Самара, 2005 г.) международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2003 г.) международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик, 2004 г.) всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003, 2004 г.г.) международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященной столетию академика С. М. Никольского (Москва, 2005 г.) научном семинаре «Дифференциальные уравнения» кафедры математической физики Самарского государственного университета (руководитель д.ф.-м.н., проф. Филатов, 2004 г.) научном семинаре «Прикладная математика и механика» Самарского государственного технического университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Радчен-ко В. П., 2003-2005 г.г.) научном семинаре кафедры «Дифференциальные уравнения» Казанского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Жегалов В. И., 2005 г.)

- научном семинаре кафедры «Дифференциальные уравнения» Саратовского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Хромов А. П., 2005 г.)

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 14 научных работах. Среди них 2 статьи в научных журналах, 7 статей в сборниках научных трудов и 4 тезиса докладов на международных конференциях. Общий объем опубликованных материалов составляет 51 страниц. 8 работ опубликованы без соавторов.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Выводы

В данной главе доказаны теоремы существования и единственности решения задачи типа Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в весовом пространстве непрерывных функций. В терминах функции типа Райта получено решение задачи типа Гурса для однородного и неоднородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной. Вводится оператор матричного смешанного интегро-дифференцирования. Теоремы существования и единственности обобщаются на случай дифференциального уравнения со смешанной дробной производной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследованы краевые задачи для дифференциальных уравнений со смешанной дробной, матричной и со смешанной матричиой производной Римана-Лиувилля. Основные результаты:

2. Исследованы краевые задачи для дифференциального уравнения в частных производных с матричным дифференциальным оператором, для дифференциального уравнения с двумерным матричным интегро-дифферен-циальным оператором. Получены условия корректности задач. Доказано существование единственных решений. Получены решения в терминах функции типа Миттаг-Лефлера.

3. Получены условия равносильности аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной и интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

4. Доказано существование и единственность решения аналога задачи Гурса для нелинейного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в весовом пространстве непрерывных функций.

5. Получено решение задачи типа Гурса для неоднородного дифференциального уравнения со смешанной дробной производной в терминах функции типа Райта.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Еремин, Александр Сергеевич, Казань

1. Алероев Т. С. Об одной краевой задаче для дифференциального оператора дробного порядка // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т. 34, № 1. С. 123.

2. Алероев Т. С. К проблеме о нулях функции миттаг-лефлера и спектре одного дифференциального оператора дробного порядка // Дифференциальные уравнения. — 2000. — Т. 36, № 9. — С. 1278-1279.

3. Алероев Т. С. О полноте системы собственных функций одного дифференциального оператора дробного порядка // Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36, 6. - С. 829-830.

4. Алероев Т. С. О собственных значениях одной краевой задачи для дифференциального оператора дробного порядка // Дифференциальные уравнения. — 2000. Т. 36, № 10. - С. 1422-1423.

5. Андреев А. А. Нелокальные краевые задачи для одной модельной вырождающейся системы гиперболического типа // Краевые задачи для уравнений математической физики. — 1990. — С. 3-7.

6. Андреев А. А. Об одном обобщении операторов дробного интегродиф-ференцирования и его приложениях // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Матер. Всесоюзной конф. — Владивосток: 1990. — С. 91.

7. Андреев А. А., Килбас А. А. О решениях неоднородного гипергеометрического уравнения и вычислении интегралов // Докл. АН БССР. — 1983. Т. 27, № 6. - С. 493-496.

8. Андреев А. А., Килбас А. А. О некоторых ассоциированных гипергеометрических функциях // Изв. высш. учеб. заведений. Мат. — 1984. — Т. 12. С. 3-12.

9. Андреев А. А., Огородников Е. Н. Матричные интегродифференциаль-ные операторы и их применение // Вестник СамГТУ. Вып. 7. — 1999. — С. 27-37.

10. Андреев А. А., Огородников Е. Н. Применение матричных интегродиф-ференциальных операторов в постановке и решении нелокальных краевых задач для систем уравнений гиперболического типа // Вестник СамГТУ. Вып. 9. 2001. - С. 45-53.

11. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендендные функции. — М.: Наука, 1973. Т. 3. - 296 с.

12. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендендные функции. — М.: Наука, 1973. Т. 1. - 296 с.

13. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976. — 296 с.

14. Васильев И. JI. О единственности решения системы уравнений абеля с постоянными коэффициентами // Доклады АН БССР. — 1981. — Т. 25, № 2. С. 105-107.

15. Вебер В. К. Структура общего решения системы у^ — ау, 0 < а ^ 1 // Тр. Кирг. ун-та. Сер. мат. наук. Вып. 11. — 1976. — С. 26-32.

16. Вебер В. К. К общей теории линейных систем с дробными производными // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим. Вып. 18. — 1985. — С. 301-305.

17. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967.

18. Геккиева С. X. Задача коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. — 2000. — Т. 5, № 1. — С. 16-19.

19. Глушак А. В. О задаче типа коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной // Вестник ВГУ, Сер. физика, математика. — 2001. — Т. 2. — С. 74-77.

20. Годунов С. К. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1979.

21. Гук И. П. Формализм лагранжа для частиц, движущихся в пространстве фрактальной размерности // Журнал технической физики. — 1998.-Т. 68, №4.-С. 7-11.

22. Джарбашян М. М., Нерсесян А. Б. Дробные производные и задача коши для дифференциальных уравнений дробного порядка // Изв. АН Армян. ССР, Сер. Мат. — 1968. — Т. 3. — С. 3-29.

23. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования функций в комплексной области. — М.: Наука, 1966.

24. Еремин А. С. Аналог задачи с обратным временем для дробного уравнения теплопроводности // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. — Т. И. - С. 546-547.

25. Еремин А. С. Краевые задачи для уравнения в частных производных, содержащих дробную производную // Материалы Международного Российско-Казахского симпозиума Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. — 2004. — С. 67-68.

26. Еремин А. С. Три задачи для одного уравнения в частных дробных произодных // Труды Всероссийской научной конференции Математическое моделирование и краевые задачи. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. — 2004. — С. 94-99.

27. Еремин А. С. Композиция смешанного дробного интеграла и смешанной дробной производной римана-лиувилля одного порядка // Вестник СамГТУ. Сер.: физ.-мат. науки. Вып. 34- — 2005. — С. 16-24.

28. Ерем,пи. А. С., Андреев А. А. Краевая задача для уравнения с матричной дробной производной // Материалы Меоюдународного Российско-Узбекского симпозиума Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. — 2003. — С. 20-21.

29. Еремин А. С., Андреев А. А. Краевые задачи для дифференциального уравнения в частных производных дробного порядка // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2003. — Т. 10. — С. 377-378.

30. Еремин А. С., Андреев А. А. Краевая задача для уравнения с матричным интегродифференциальным оператором // Вестник СамГТУ. Сер.: физ.-мат. науки. Вып. 26. — 2004. — С. 5-11.

31. Иманалиев М. И., Вебер В. К. Об одном обобщении функции типа мит-таг-лефлера и его применении // Исследования по интегро-дифферен-циальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим. Вып. 13. — 1980. — С. 49-59.

32. Килбас А. А. Степенно-логарифмические интегралы в пространствах гельдеровских функций // Изв. АН БССР. Сер.: физ.-мат. науки.— 1975.-Т. 1.-С. 37-43.

33. Килбас А. А., Бонилла В., Трухилло X. Дробные интегралы и производные, дифференциальные уравнения дробного порядка в весовых пространствах непрерывных функций // Доклады нац. акад. наук Беларуси. 2000. - Т. 44, № 6. - С. 18-22.

34. Килбас А. А., Бонилла Б., Трухилло X. Нелинейные дифференциальные уравнения дробного порядка в пространстве интегрируемых функций // Доклады Российской академии наук. — 2000.— Т. 374, 4.— С. 445-449.

35. Килбас А. А., Марзан С. А. Нелинейные дифференциальные уравнения дробного порядка в весовых пространствах нерперывных функций j j Доклады Национальной академии наук Беларуси. — 2003. — Т. 47, Я81. — С. 29-35.

36. Килбас А. А., Марзан С. А. Задача типа коши для дифференциального уравнения дробного порядка в весовом пространстве непрерывных функций // Доклады Национальной академии наук Беларуси. — 2004. — Т. 48, № 5. С. 20-24.

37. Килбас А. А., Марзан С. А. Нелинейное дифференциальное уравнение с дробной производной капуто в пространстве непрерывно дифференцируемых функций // Дифференциальные уравнения. — 2005. — Т. 41, № 1.-С. 82-86.

38. Килбас А. А., Репин О. А. Аналог задачи бицадзе-самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной // Дифференциальные уравнения. 2003. - Т. 39, № 5. - С. 638-644.

39. Килбас А. А., Репин О. А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с частной производной римана-лиувилля и операторами обобщенного дробного интегрирования в краевом условии // Труды Института Математики БАН. — 2004. — Т. 12, № 2. — С. 75-81.

40. Кобелев Я. JI. Феноменологические модели описания больших систем с фрактальными структурами: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук / УГУ. — Екатеринбург, 2001. — 22 с.

41. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968. — 469 с.

42. Кочубей А. Н. Задача коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференциальные уравнения.— 1989.— Т. 25, № 8.— С. 1359-1369.

43. Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференциальные уравнения. — 1990. Т. 26, № 4. - С. 660-770.

44. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1978. — 280 с.

45. Лаппо-Данилевский И. А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: ГТТИ, 1957. 456 с.

46. Марзан С. А. Системы нелинейных дифференциальных уравнений дробного порядка в весовых пространствах непрерывных функций // Вестник БГУ. Сер. 1. Физика, математика, информатика. — 2004. — № 1.-С. 63-68.

47. Марзан С. А. Дифференциальные уравнения с дробными производными Римана-Лиувилля и Капуто: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук / Белорусский государственный университет. — 2005.

48. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: Наука, 1976. — 392 с.

49. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. — М.: ГТТИ, 1934. — Т. 1. — 330 с.

50. Нахушева В. А. Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения, смешанная задача для обобщенного волнового уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. 1996. - Т. 2. - С. 26-28.

51. Нахушева В. А. Некоторые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов. — Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2002.

52. Нахушев А. М. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. — Нальчик-Майкоп: Логос, 1995. — 59 с.

53. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. — М.: Высш. шк., 1995.

54. Нахушев А. М. Видоизмененная задача коши для оператора дробного дифференцирования с фиксированнными началом и концом // Дифференциальные уравнения. — 2000. — Т. 36, № 7. — С. 903-908.

55. Нахушев А. М. Структурные и качественные свойства оператора, обратного оператору дробного интегро-дифференцирования с фиксированным началом и концом // Дифференциальные уравнения. — 2000. — Т. 36, № 8. С. 1093-1100.

56. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение.— Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2000. 299 с.

57. Нигматуллин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // ТМФ. 1992. - Т. 90, № 3. - С. 354-368.

58. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1961. — 272 с.

59. Псху А. В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) международной академии наук. — 2000. — Т. 5, № 1. — С. 45-53.

60. Псху А. В. Решение краевой задачи для уравнения с частными производными дробного порядка // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т. 39, № 8. С. 1092-1099.

61. Псху А. В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции грина // Дифференциальные уравнения. — 2003. Т. 39, № 10. - С. 1430-1433.

62. Псху А. В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т. 39, № 9.-С. 1286-1289.

63. Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел.— М.: Наука, 1997. 383 с.

64. Репин О. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. — Самара: Изд-во Саратовского ун-та (Самарский филиал), 1992. — 162 с.

65. Ресхиашвили С. Ш. Формализм лагранжа с дробной производной в задачах механики // Письма в ЖТФ. — 2004. — Т. 30, № 2. — С. 33-37.

66. Рутман Р. С. О физических интерпретациях фрактального интегрирования и дифференцирования // ТМФ.— 1995.— Vol. 105, по. 3.— Pp. 393-406.

67. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.

68. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: ОГИЗ, 1947. — Т. 5.— 584 с.

69. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: ОГИЗ, 1974. — Т. 2.— 656 с.

70. Трикоми Ф. О. Интегральные уравнения. — М.: ИИЛ, 1960. — Т. 1. — 300 с.

71. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных.— М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1957. — 444 с.

72. Учайкин В. В. К теории аномальной диффузии частиц с конечной скоростью свободного движения // ТМФ.— 1998.— Т. 115, № 1.— С. 154-161.

73. Фихтенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Физматгиз, 1962. — Т. 2.

74. Хромов А. П. Об одном применении оператора дробного дифференцирования // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. — С. 55-61. — Вып. 7, часть 1.

75. Чернятин В. А. Математические вопросы обоснования метода Фурье.— М.: МГУ, 1986.

76. Чернятин В. А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. — М.: МГУ, 1991.— 111 с.

77. Чернятин В. А. Методы решения краевых задач математической физики. М.: МГУ, 1996.

78. Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. - Т. 108, № 5(11). - С. 1875-1883.

79. Abel N. Н. Auflosung einer mechanischen aufgabe // J. fur reine und angew. Math. 1826. - Vol. 1. - Pp. 153-157.

80. Abel N. H. Solution de quelques problemes a l'aide d'integrales defines // Gesammelte mathematische werke. Leipzig: Teubner. — 1881. — Vol. 11. — Pp. 11-27.

81. Al-Abedeen A. Z. Existence theorem on differential equations of generalized order // Rafidain J. Sci. Mosul. Univ. Iraq.— 1979.— Vol. 12, no. 1.— Pp. 95-104.

82. Al-Abedeen A. Z., Arora H. L. A global existence and uniqueness theorem for ordinary differential equations of generalized order // Canad. Math. Bull. 1978. - Vol. 21, no. 3. - Pp. 267-271.

83. Al-Bassam M. A. Some existence theorems on differential equations of generalized order // Ibid. 1965. - Vol. 218. - Pp. 70-78.

84. Barret. J. H. Differential equations of non-integer order // Canad. J. Math. 1954. - Vol. 6. - Pp. 529-541.

85. Bochaud J., Georges A. Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanisms, models and physical applications // Phys. Rep. — 1990. — Vol. 195, no. 4-5. Pp. 127-293.

86. Bonilla B. P., Kilbas A. A., Trujillo J. J. Calculo Fraccionario у Ecuaciones Diferenciales Fraccionarias. — Madrid: Uned, 2003.

87. Compte A., Metzler R. The generalized cattaneo equation for the description of anomalous transport processes //J. Phys. A: Math. Gen.— 1997.- Vol. 30.- Pp. 7277-7289.

88. Constantine A. G., Muirhead R. J. Partial differential equations for hypergeometric functions of two argument matrix // J. Multivariate Anal. 1972. - Vol. 3. - Pp. 332-338.

89. Daftardar-Gejji V., Babakhani A. Analysis of a system of fractional differential equations // J. Math. Anal. Appl— 293.— Vol. 2004.— Pp. 511-522.

90. El-Shahed M., Salem A. On the generalised navier-stokes equations // Applied Mathematics and Computation. — 2004. — Vol. 156. — Pp. 278-293.

91. Fujiwara M. On the integration and differentiation of an arbitrary order // Tohoku Math. J. 1933. - Vol. 37. - Pp. 110-121.

92. Gorenflo R., Vessela S. Abel integral equations: analysis and applications. — Berlin: Springer-Verlag, 1991.

93. Gupta A. K., Kabe D. G. A note on the characteristic functions of spherical matrix distributions // Appl. Math. Lett.— 1998.— Vol. 11, no. 3.— Pp. 17-19.

94. Hille E., Tamarkin J. D. On the theory of linear equation // Ann. Math.— 1930. Vol. 31. - Pp. 479-528.

95. Hsien Т., Lin S., Shrivastava H. M. Some relationships between certain families of ordinary and fractional differential equations // Computers and Mathematics with Applications. — 2003. — Vol. 46. — Pp. 1483-1492.

96. Jamez A. Т. Special functions of matrix and single argument in statistics // Theory and Applications of Special Functions / Ed. by R. A. Askey.— Academic Press, 1975. Pp. 497-520.

97. Jodar L., Company R. Hermitte matrix polynomials and second order matrix differential equations //J. Approx. Theory Appl. — 1996. — Vol. 12, no. 2. Pp. 20-30.

98. Jodar L., Company R., Ponsoda. Orthogonal matrix polynomials and systems of second order differential equations // Diff. Equations Dynamic Syst. 1995. - Vol. 3, no. 3. - Pp. 269-288.

99. Jodar L., Cortes J. C. Some properties of gamma and beta matrix function // Appl Math. Lett. — 1998. Vol. 11, no. 1. - Pp. 89-93.

100. Kilbas A. A. Some aspects of differential equations of fractional order // Rev. R. Acad. Cienc. Exact. Fis. Nat. 2004. — Vol. 98, no. 1. - Pp. 27-38.

101. Kilbas A. A., Trujillo J. J. Differential equations of fractional order: methods, results and problems i // Appl. Anal.— 2001.— Vol. 78.— Pp. 153-192.

102. Kilbas A. A., Trujillo J. J. Differential equations of fractional order: methods, results and problems ii // Appl. Anal.— 2002.— Vol. 81.— Pp. 435-494.

103. Liouville J. Memorie sur quelques questions de geometrie et de mecanique, et sur un nouveau genre de calcul pour resoudre ces questions // J. I'Ecole Roy. Polytechn. — 1832. Vol. 13. — Pp. 1-69.

104. Love E. R. Some integral equations involving hypergeometric functions // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1967. - Vol. 15, no. 3. - Pp. 169-198.

105. Lowengrub M., Walton J. Systems of generalized abel equations // SAIAM J. Math. Anal. — 1979. — Vol. 10, no. 4.- Pp. 749-807.

106. Metzler R., Klafter J. The randomwalk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Reports. — 2000. — Vol. 339. — Pp. 1-77.

107. Metzler R., Nonncnmacher T. F. Fractional diffusion: exact representations of spectral functions //J. Phys. A: Math. Gen.— 1997.— Vol. 30.— Pp. 1089-1093.

108. Miller K. S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations.— New York: John Wiley & Sons. Inc., 1993.

109. Nigmatullin R. R. To the theoretical explanation of the "universal"response // Phys. Stat. Sol. (b).— 1984.- Vol. 123.— Pp. 739-745.

110. Nigmatullin R. R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with the fractal geometry // Phys. Stat. Sol. (b).— 1986.— Vol. 133. Pp. 425-430.

111. Oldham К. В., Spanier J. The Fractional Calculus. — New York-London: Academic Press, 1974.

112. Oldham K., Spanier J. The replacenent of fick's law by a formulation involving semidifferentiation //J. Electroanal. Chem. — 1970. — Vol. 26. — Pp. 331-341.

113. O'Shaughnessy L. Problem no. 433 // Amer. Math. Month.— 1918. — Vol. 25. Pp. 172-173.

114. Pitcher E., Sewell W. E. Existence theorems for solutions of differential equations of non-integer order // Ibid.— 1938.— Vol. 44, no. 2.— Pp. 100-107.

115. Podlubny I. Fractional differential equations // Mathematics in Sciences and Engineering. — 1999. — Vol. 198.

116. Post E. L. Discussion of the solution of (d/dx)l!2y = у fx (problem no. 433) 11 Amer. Math. Month. — 1919. Vol. 26. — Pp. 37-39.

117. Saigo M. A remark on integral operators involving the gauss hypergeometric function // Math. Rep. Kyushu Univ.— 1978.— Vol. 11, no. 2.— Pp. 135-143.

118. Saigo M. A certain boundary value problem for the euler-darboux equation // Math. Japon. — 1979. Vol. 24, no. 4. — Pp. 377-385.

119. Schneider W. R., Wyss W. Fractional diffusion and wave equation // J. Math. Phys. 1989. - Vol. 30, no. 1. - Pp. 134-144.

120. Shrivastava H. M., Saxena R. K. Operators of fractional integration and their application I j Applied Mathematics and Computation. — 2001. — Vol. 118. Pp. 1-52.

121. Sokolov I. M., Klafter J., Blumen A. Fractional kinetics // Physics Today. — 2002. November. - Pp. 48-54.

122. Uchaikin V. V. Montroll-weiss problem, fractional equations, and stable distributions // International Journal of THeoretical Physics.— 2000.— Vol. 39, no. 8. Pp. 2087-2105.

123. Vasilache S. Asupra unei ecuatii integrale de tip abel cu doua variabile // Comun. Acad. R.P. Romane. — 1953. — Vol. 3, no. 3-4. — Pp. 109-113.

124. Wyss W. The fractional diffusion equation // J. Math. Phys.— 1986.— Vol. 27, no. 11. Pp. 2782-2785.

125. Zaslavsky G. M. Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport j j Physics Reports. 2002. - Vol. 371. - Pp. 461-580.