Вопросы разрешимости абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана-Лиувилля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Авад Хамед Камаль Мостафа

ВОПРОСЫ РАЗРЕШИМОСТИ АБСТРАКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Белгород - 2010

I Ч 1Л- ;]

4856095

Работа выполнена в Белгородском государственном упиверситете

Научный руководитель:

доктор физико-математических паук, профессор Глушак Александр Васильевич

Официальные оппоненты:

Защита состоится 22 февраля 2011 г. в 16 час. 30 мин. на заседании диссертационого совета Д 212.015.08 в Белгородском государственном университете по адресу: 308007, г. Белгород, ул. Студенческая, 14, корп. 1 БелГУ, ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Белгородского государственного университета.

доктор физико-математических паук, ведущий научный сотрудник Пискарев Сергей Игоревич,

кандидат физико-математических наук, доцент Ситник Сергей Михайлович

Ведущая организация:

научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН

Автореферат разослан января 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 212.015.08

В.Л. Прядиев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Развитие области математического анализа, называемой дробным исчислением п посвященной исследованию п применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, обусловлено проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и диф-ференцпалып>1х уравнении и др.

История развития дробного шггегродпфференцпровщшя знает немало работ, в которых в разное время переоткрывались уже известные результаты, иногда теми же самыми средствами, что и у предшественников, иногда па основе других методов. Это обстоятельство усугублялось тем, что существует большое число различных подходов к дробному интегродиф-ферепцировашно и, следовательно, различных направлений в дробном исчислении. Сопоставление этих подходов и направлений проводилось редко. Важным шагом в развитии стала книга, написанная Самко С.Г., Килба-сом A.A. и Маричевым О.И. "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения", которая объединила разные исследования в направлении по изучению дробпых производных и интегралов.

В последние годы возрос интерес к исследованию так называемых дифференциальных уравнений дробного порядка, в которых неизвестная функция содержится под зпаком производной дробного порядка. Это обусловлено как развитием самой теории дробного интегрирования и дифференцирования, так и приложениями таких конструкций в различных областях науки. В связи с этим мы приведем список авторов монографий и обзорных статей по этой тематике: Oldham К.В., Spanier J.; Miller K.S., Ross В.; Carpintery A., Mainardi F.; Gorenflo R., Mainardi F.; Podlubny I.; Hilfer R.; Metzler R., Klafter J.; Нахушев A.M.; Псху A.B.; Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. и др.

В вышеуказанных монографиях и статьях можно найти различные приложения дифференциальных уравнений дробного порядка в физике, механике, химии, инженерии и других областях пауки и естествознания. Дифференциальные операторы дробного порядка могут иметь различные формы. Обзор методов и результатов в теории дифференциальных уравнений дробного порядка был дан в двух обзорных статьях Кплбаса A.A. и его расширенный вариант представлен в монографии Kilbas A.A., Srivastava Н.М., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differential equations. Math. Studies. V. 204. Elsevier. 2006.

Среди одномерных линейных днфференцнальных уравнений наиболее изучены уравнения, содержащие дробные производные Римана-Лиувилля. В восьмидесятых годах двадцатого века началось исследование одномерных дифференциальных уравнешй с модифицированными дробными производными Римана-Лиувилля. Эта конструкция была введена итальянским механиком Капуто М. в 1967 году, и названа дробной производной Капуто.

В восьмидесятых годах двадцатого века началось изучение дифференциальных уравнений с частными дробными производными. Большинство исследований в области обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка были посвящены теоремам существования и единственности решений дифференциальных уравнений с дробными производными Римана-Лиувилля. Работы многих ученых были посвящены изучению задачи типа Коши. Они базировалисть па сведении этой задачи к интегральному уравнению Вольтерра второго рода с последующим применением известных методов для исследования этого уравнения: принцип неподвижной точки, метод последовательных приближений и др. Для решепия обыкновенных дифференциальных уравнений и краевых задач применяется также метод интегральных преобразований.

Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых являются функциями со значениями в произвольном банаховом пространстве. Изучение дифференциальных уравнений первого п второго порядков в банаховом пространстве (подход, связанный с теорией полугрупп и теорией косинус-функций) начато в работах Хилле Э. и Иосн-ды К. в 1948 г. В настоящее время имеются монографии Данфорда Н. и Шварца Дж., Иосиды К., Крейна С.Г., Като Т., Голдстейпа Дж., Хилле Э. и Филлипса Р., Фатторшш Г. и некоторые другие, излагающие теорию и применение линейных полугрупп и косинус-функций, а также обширные обзоры Крейна С.Г. и Хазана М.И., Васильева В.В., Крейна С.Г. и Пис-карева С.И. научных публикаций, начиная с 1968 г. Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию, — это корректность задачи Коши (существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость по отношению к возмущениям операторов, поведение при t -> оо и т.д.

В последние годы рядом авторов было начато исследование абстрактных дифференциальных уравнений дробного порядка. Среди них Кочубей А.Н., Костин В.А., Бажлекова Е., Глушак A.B., Clement Ph., Gripenberg G-, Londen S.-O. и др.

Дробное исчисление функций одной и многих переменных, и в том числе исследование абстрактных дифференциальных уравнений дробного порядка, продолжает интенсивно развиваться и в настоящее время, свидетельством чему служит как большой шток публикаций, так и международные конференции, специально посвященные вопросам дробного исчисления.

Целью работы является исследование вопросов возмущения абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные Римапа-Лиувилля, как постоянным, так и переменным операторами, а также установление однозначной разрешимости начальных задач для дифференциальных уравнений дробного порядка с переменным оператором.

Методика исследований. При псследовашга вопросов возмущения абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные Римапа-Лиувилля, используется метод сведения к интегральным уравнениям. Установление однозначной разрешимости начальных задач для дифференциальных уравнений дробного порядка с переменным оператором проводилось методом Соболевского-Танабе, который был видоизменён применительно к уравнениям дробного порядка.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Среди наиболее важных отметим следующие:

1) указаны достаточные условия, при выполнении которых корректность задачи типа Коши для уравнения дробного порядка сохранится и после возмущения входящего в уравнение оператора неограниченным переменным оператором;

2) найдены достаточные условия, которые относятся к теории возмущений постоянным неограниченным оператором и которые примыкают к теории возмущений по Миядере геператоров полугрупп;

3) изложен метод квазнобращения для дифференциального уравнения дробного порядка., не требующий наличия резольвенты у входящего в уравнение оператора, который в некотором смысле подчинен генератору Со-полугруппы;

4) методом Соболевского-Танабе, который был видоизменён применительно к уравнениям дробного порядка, установлена однозначная разрешимость начальных задач для дифференциальных уравнений дробного порядка с переменным оператором.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при установлении корректной разрешимости конкретных уравнений математической физики. В диссертации приводятся соответствующие примеры.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих международных и российских конференциях:

1. XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва. РУДН. 21 - 25 апреля 2008.

2. Международный Российско-Азербайджанский симпозиум. Эльбрус. 12 - 17 мая 2008.

3. The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow. 17 - 24 августа 2008.

4. Девятая Крымская Международная Математическая школа MFL -

2008. Симферополь. 15 - 20 сентября 2008.

5. Dynamical system modeling and stability investigation. Kyiv. 27 - 29 may

2009.

G. Дифференциальные уравнения и их приложения. СамДиф - 2009. Самара. 29 июня.

Кроме того, результаты диссертации обсуждены на семинаре проф. Морозова В.А. в МГУ и на семинаре под руководством проф. Солдатова А.П. и Мейрманова A.M. в НИУ БелГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [14]. Работы [11] - [14] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

В совместных работах с научным руководителем Глушаком A.B. руководителю принадлежит постановка задач и руководство работой. Автору диссертацш1 принадлежит выбор методик исследования и их реализация.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из четырех глав, разбитых на двадцать пунктов, и списка литературы, включающего 74 источника. Общий объём диссертации 103 страницы.

П.п. 1-4 главы 1 носят вспомогательный характер, в них приводятся исторические и библиографические сведения о предмете исследования. П. 5 главы 1 содержит обзор полученных в диссертации результатов. В п. 6 главы 2 в банаховом пространстве Е рассматривается следующая задача типа Коши:

Краткое содержание работы

Dau{t) = Au(t) + B(t)u(t), t > 0, limDö_1w(i) = щ,

О) (2)

1 1

где О < а < 1, Da~lu(t) = Il-"u{t) = ^тгз-т / (t ~ s)~au{s) ds - лево-

■l (1 °7 о

сторонний дробный интеграл Рнмаиа-Лиувнлля порядка 1—а (/1_а — тождественный оператор при а = 1), Dau(t) = —Il~au(t) — левосторонняя дробная производная Римана-Лиувилля порядка а, Г(-) — гамма-функция, А — линейный, замкнутый, плотно определешшШ оператор, наконец, B(t) — также линейный, замкнутый, плотно определенный, но уже переменный и, вообще говоря, неограниченный оператор, рассматриваемый как возмущение оператора А.

Полученные результаты примыкают к теории возмущений генераторов полугрупп. Рассматривается вопрос о том, как отражается на разрешимости задачи (1), (2) добавление слагаемого, содержащего оператор B{t), который в некотором смысле подчинен оператору А. Указаны условия, при выполнении которых корректность задачи сохранится и после возмущения оператора А неограниченным оператором B(t).

Наряд}' с исследуемой задачей (1), (2) для а < ,в < I рассмотрим невозмущенную задачу

D/Jií(f) = Дг<(£), t > 0, (3)

limPfl-4t(t) = Mo. (4)

Сформулируем далее условия, при которых будет установлена однозначная разрешимость задачи (1), (2).

Условие 1. Оператор А таков, что при некотором /3, удовлетворяющем неравенству а < /3 < 1, равномерно корректна задача (3), (4) и щ е D(A).

При выполнении условия 1, разрешающий оператор задачи (3), (4) обозначим через Tfj(t), таким образом, решение задачи (3), (4) имеет вид «(t)=T/J(t)«o.

Условие 2. (i) Оператор B(t) имеет не зависящую от t область определения D и при этом D(A) с D.

(ii) Для любого х £ D либо а) функция w(t) = B(t)x принадлежит С((0, оо), Е), абсолютно интегрируема в окрестности точки t — 0, принимает значения в D(A), AB(t)x £ 6'((0, оо), Е) и также абсолютно интегрируема в окрестности точки t — О, либо Ь) функция J1_etu(f) = I1~aB(t)x является непрерывной при t > 0, непрерывно дифференцируемой при t > 0 функцией и такой, что Daw(t) абсолютно интегрируема в oizpecmuocmu точки t = 0.

(iii) Для любого х £ Е сугцествуют постоянные > 0, 7 € [0,1),шбЛ

такие, что Тр(т)х € D (эффект сглаживания) и

||B(t)2>(r)x¡| < М2т~ЧШТ\|аг||, t, т е (0, оо).

В п. 6 главы 2 доказаны следующие теоремы о разрешимости и непрерывной зависимости решепия задачи от начальных условий.

Теорема 1. Пусть а < ¡3 < \ и выполнены условия 1 и 2. Тогда задача (1), (2) умеет единственное решение, и существуют такие постоянные М >0, ojj > ш1/" (v = а/0), что справедлива оценка

Нг)1! < м ¿"-V4MI.

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1, 2 и а = Р < 1. Тогда задача (1), (2) имеет единственное решение, для которого справедлива оценка

||u(i)|| < М «"-^'Htioll.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 и пусть un(t) — последовательность решений задачи

Daun(t) = Aun(t) + B(t)un(t), t > 0, (5)

liт^-Ч.(е)=5пеО(Л). (б)

Если gn —> щ £ D(A), Ag„ —> Ащ, и B(t)g„ сходится к B(t)uQ равномерно по t € [fej, 6] для любых 0 < Ц < Ь, то последовательность un(t) решений задачи (5), (6) сходится к решению u(t) задачи (1), (2) равномерно по t G [f0,6] для любых 0 < í<> < Ь.

Утверждение аналогичное теореме 3 о непрерывной зависимости решения задачи (1), (2) от начальных условий справедливо также и при а = Р< 1.

Далее в п. 7 главы 2 излагаются результаты, которые также как и в предыдущем пункте 6, относятся к теории возмущений и примыкают к теории возмущений по Миядере генераторов полугрупп.

В бапаховом пространстве Е рассмотрим следующую задачу типа Коши

Dau(t) = Au(t) + Bu{t), t > 0, (7)

lim £>a~4í(í) = од, (8)

где 0 < a < 1, A — линейный, замкнутый, плотно определенный оператор, В — также линейный, замкнутый, плотно определенный, и, вообще говоря, неограниченный оператор, рассматриваемый как возмущение оператора А.

Наряду с задачей (7), (8) рассмотрим невозмущенную задачу

£>"w(f) = Au(t), t > 0, (9)

lim D"-1u{t)=u0. (10)

Сформулируем далее условия, при которых будет установлена разрешимость задачи (7), (8).

Условие 3. Оператор А таков, что задача (9), (10) равномерно корректна и щ € D(A).

Условие 4. D(A) С D(B) и дм любых х 6 D(A), t > 0 существуют постоянные Мъ > 0, ц > 0, w G R такие, что

I" (е-"'цш;(ф|!) < м21^-1 ||®ц. (и)

Пусть операторы An В удовлетворяют условиям 3 и 4. На элементах х б D(A) определим операторы

t

Un{t)x = / t/n_i(t - s)BTa(s)x ds, U0{t) = Tn(t), 0

для которых в диссертации доказаны оценки

Ш0*Н < е-||х||. (12)

Неравенства (12) позволяют ввести в рассмотрение рад

оо

Ga{t) = Е Unit),

п=а

который сходится при t > 0, р > 0 в пространстве L(E) лилейных огради-ченных операторов.

Теорема 4. Пусть выполнены условия 3 и 4- Тогда функция u(t) — Ga(t)uo является решением задачи (7), (8).

В п. 8 главы 2 изложен метод квазиобращения для дифференциального уравнения дробного порядка. Мы не предполагаем наличие резольвенты у оператора В, а накладываем некоторое условие, которое будет означать, что оператор В в некотором смысле подчинен генератору Со-полугруппы. В банаховом пространстве Е рассмотрим следующую задачу типа Коши

Dau{t) = Bu(t), t > 0, (13)

limDa-1«(t)=«o. (14)

где О < a. < 1, В — линейный, замкнутый, плотно определенный неограниченный оператор.

Естественно, с таким оператором задача (13), (14) не будет, вообще говоря, корректной. Для ряда некорректных задач математической физики разработан метод квазиобращения. Основная его идея заключается в добавлении к дифференциальному уравнению слагаемого, содержащий малый параметр е, так что для измененного уравнения начальная задача становится корректной. В дальнейшем показывается, что решение некорректной задачи может быть аппроксимировано решениями корректно поставленных задач.

Условие 5. Линейный оператор В замкнут и имеет плотную в Е область определения D(B).

Условие 6. (i) Существует оператор А с D(A) С D(B), являющийся генератором Co-полугруппы T(t), удовлетворяющей оценке

||T(t)|| < М1 еШЛ\ Mi > 0, сjA£R (15)

и такой, что

В(Х1 -А)"1а; = (Л/ - А)~1Вх, х е D{B), ReA > u¡a-

(ii) Для любого х £ Е существуют постоянные Мг > 0, 7 6 [0,1) такие, что T(t)x 6 D(B) (эффект сглаживания) и

||BT(t)x|¡ < М2 Г~< е"*'- ||a;|¡, t е (0, оо). (16)

В процессе доказательства основного утверждения этого пункта строится функция w = tu(e,7jí), которая является решением следующей задачи

dw(e,r]t)

dt

= TjBw(e,t¡t), t > О,

limt(;(e,??í) = Т(е)щ, щ e D(A), и при t — s/rj, s > 0 удовлетворяет оценке

¡He, s)|| < М0М1 exp (w0 (e/i?2)7/(7_1) s + шл) |W!, M0 >0, w0 > 0.

В дальнейшем нами будет использована неотрицательная функция (функция типа Райта)

^ IT+ÍOO

— / exp (tz-rzv) dz, t> 0, ¿m J

fr¿t) =

2m . <т—too

0, t<0,

где с > 0, т > О, 0 < I/ < 1 и ветвь функции г" выбрана так, что Re z" > 0 при Re z > 0. Эта ветвь является однозначной функцией па комплексной z-плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси. Сходимость интеграла обеспечивается множителем ехр(~rz").

Теорема 5. Пусть 0 < а < 1, е > 0, Т] > 0, щ € D(A) и выполнены условия 5 и 6. Тогда функция

ос

~ / ™{е,ггг) йт

о

является решением задачи

D"u(t) = rjBu(t), t > 0, limi»"-^^) = Т(е)щ.

В главе 3 исследуются дифференциальные уравнения дробного порядка с переменным оператором A(t). Схема исследования, которой мы следуем, для уравнений первого порядка носит название метод Соболевского-Тапабе. Мы видоизменяем эту схему применительно к уравнениям дробного порядка.

В банаховом пространстве Е рассмотрим задачу типа Копта

D''tu{t) = A{t)u(t), t 6 (г, b], т > 0, (17)

IimZ?«t-Vi) = Mo, (18)

1 '

где D''~tlu(t) = —-г- I (t — s)~"u(s) ds — левосторошшй дробный ин-

1(1 — а) {

теграл Римана-Лиувилля порядка 1 — a, 0<a<l,0<r<i, D"tu(t) = ~l'jau(t) — левосторонняя дробная производная Римана-Лиувилля порядка а-, A(t) — линейный, замкнутый оператор.

Условие 7. Линейный оператор A(t) при каждом t б [0, Ь] имеет плотную в Е и независящую от t область определения D; при любом X с Re Л > 0 оператор XI — A(t) имеет ограниченный обратный, причем

||(A/-4(t))-i<^p Mi > 0. (19)

Кроме того, для любых t,r,s € [0, bj справедливо неравенство

||(Л(г) - л^М"1^)! < м211 - т\\ м2 > о, 7 € (о, 1].

Из условия (19) вытекает, что оператор A(t) при т > 0 является генератором сильно непрерывной полугруппы етЛ® и

< м3 е~1т, М3 > О, S > 0.

Помимо задачи (17), (18), в этой главе также рассмотрена задача типа Коши и для линейного неоднородного уравнения.

Разрешающий оператор Ua(t,r) задачи (17), (18) строится как решение интегральпого уравнения Вольтерра

ад т) - Ta(t - т; А(г)) = / ад s) (А(а) - A(r))Ta(s - г; А(т)) da,

Г

где

со

TJt - г; А(т)) = / fUt - г) eW % о

— разрешающий оператор задачи (17), (18) с постоянным оператором Л(т). Доказано, что это интегральное уравнение Вольтерра разрешимо при сделанных предположениях на оператор A(t).

Теорема 6. Пусть выполнено условие 7 и щ £ D. Тогда задача (17), (18) имеет единственное решение, которое имеет вид

u(t) = Ua(t, т)щ.

Теорема 7. Пусть выполнено условие 7, «о & D, а функция h(t) е С ((т, оо), Е) абсолютно интегрируема в окрестности точки t — r, принимает значения в D, A(t)h(t) е С ((г, оо) ,Е) и также абсолютно интегрируема в окрестности точки t = т. Тогда задача

D^tv(t)^A(t)v(t) + h(t), t е (т,Ь],

имеет единственное решение, которое определяется равенством v(t) = Ua(t,r)v0 + } Ua{t,0h(0 dÇ.

т

В последней главе 4 рассматривается возмущение абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные Римана-Лиувилля, нелинейным оператором. Полученные результаты применяются к исследованию разрешимости обратной задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка.

В банаховом пространстве Е рассмотрим следующую задачу типа Коши

Dau(t) = Au{t) + F(t, B(t)u(t)), t > 0, (20)

Нт£>"-Уг) = щ, (21)

где 0 < a < 1, A — линейный, замкнутый, плотно определенный оператор, B(t) — также линейный, замкнутый, плотно определенный, но уже переменный и, вообще говоря, неограниченный оператор, наконец, при каждом t > 0 F(t, w) ~ нелинейный оператор, действующий в Е и рассматриваемый кгис возмущение оператора А.

Излагаемые в этой главе результаты продолжают исследования, начатые в главе 2. Рассматривается вопрос о том, как отражается на разрешимости задачи (20), (21) добавление слагаемого, содержащего нелинейный оператор, который в некотором смысле подчинен оператору А. Будут указаны достаточные условия на нелинейное возмущение, при выполнении которых, корректность задачи сохранится и после возмущения оператора А. Отметим, что на операторы А и B{t) будут паложены такие же условия как и в главе 2.

Условие 8. (i) F : (0, оо )хЕ —> Е и для любой функции w(t) = B(t)x, х е D удовлетворяющей условию 2(ii), функция Wi(t) — F(t,u>(t)) также удовлетворяет условию 2(й).

(ii) Для w = 0 справедливо неравенство ¡|F(i,0)|| < Со (l + , ц > 0, С0 > 0.

(iii) Оператор F(t, w) удовлетворяет ¡¡авномерному not > 0 условию Лип-шгща

Н/Ч*,«*)-^,«*)!! <L llius-iwill, Vwuw2eE.

Теорема 8. Пусть а < ¡3 < 1, выполнены условия 1,2 и 8. Тогда задача (20), (21) имеет единственное решение, для которого справедлива оценка

1М*)|| < М f'1^* (Htioll + Со), М > 0, wi > 0. (22)

Теорема 8 позволяет установить разрешимость задачи (20), (21) при любом а таком, что 0 < а < ¡3 < 1. Аналогичный результат справедлив и в случае 0 < а = /3 < 1.

Теорема 9. Пусть выполнены условия 1, 2, 8 и а = /3 < 1. Тогда задача (20), (21) имеет единственное решение, для которого справедлива оценка(22).

Справедлива и теорема о непрерывной зависимости решения задачи (20), (21) от начальных условий.

Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 8 и пусть un{t) — последовательность решений задачи

Daun(t) = Aun(t)+F(t,B(t)un(t))t t> О, (23)

lim D«-1un(t)=gneD(A). (24)

Если & D(A), Адп —» Ащ, и B(t)gn сходится к B{t)uо равномерно

по t 6 (0,6] для любого Ь > 0, то последовательность un(t) решений задачи (23), (24) сходится к решению u(t) задачи (20), (21) равномерно not S [to, 6] для любых 0 <ta < Ь.

Утверждение аналогичное теореме 10 о непрерывной зависимости решения задачи (20), (21) от начальных условий справедливо также и при а = /3 < 1.

Установленные теоремы 8 и 9 позволяют исследовать обратные коэффициентные задачи для уравнения дробного порядка.

Рассмотрим задачу определения пары (w(t),<p(t)) из условий

Dpw(t) = Aw(t) + <p{t)p, t > 0, (25)

Hm.D^-1ií;(t) = щ, (26)

/(«(»))=№), (27)

где 0 < Р < 1, р, щ — фиксированные элементы из D{A), f — линейный непрерывный функционал на Е (/ 6 Е* — сопряжешшое пространство), ip(t) — заданная скалярная функция.

Конкретной реализацией рассматриваемой обратной задачи является задача восстановления зависимости возмущения от времени по дополнительному наблюдению в некоторой точке пространства.

Определение. Решением задачи (25) - (27) называется пара {w(t),tp(t)), где w{t) — абстрактная функция, <p(t) — абсолютно интегрируемая скалярная функция, для которой w(t) является решением уравнения (25), удовлетворяющим начальному условию (26) и дополнительному условию (27).

Условие 9. (i) 0 < р < 1, р е D(A).

(ii) f £ Е* и f(p) ф 0 (условие невырожденности).

(iii) Скалярная функция I^^rj^i) является непрерывной при t > 0, непрерывно дифференцируемой при t > 0, дробная производная D^i¡j(t) абсолютно интегрируема в нуле, и выполнено условие согласования

f(u0) = hmD^(t).

Условие f(p) ф 0 (условие невырожденности) в конкретной реализации означает, что в точке наблюдения действует восстанавливаемый источник.

Теорема 11. Пусть выполнены условия 1 и 9. Тогда обратная задача (25) - (27) имеет единственное решение.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору A.B. Глушаку за постановку задачи, внимание, поддержку и полезные советы на протяжении всей работы.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Авад Х.К., Глушак A.B. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана-Лиувилля, нелинейным оператором// Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2008. - № 13(53), вып. 15. - С. 5 - 15.

|2] Авад Х.К., Глушак A.B. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными// XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. -Москва. - РУДН. - 2008. - С. С.

[3] Авад Х.К., Глушак A.B. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными// Международный Российско-Азербайджанский симпозиум. - Эльбрус. - 2008. - С. 55 - 56.

[4] Глушак A.B., Авад Х.К. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии паук. - 2008. - Т. 10, № 1. - С. 25 -31.

[5] Glushak A.V., Awad H.K. On a perturbation of an abstract differential equation with fractional derivatives. The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations// Moscow. - 2008. - P. 24 -25.

[6] Глушак A.B., Авад X.K. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные, нелинейным оператором// Девятая Крымская Международная Математическая школа MFL - 2008. - Симферополь. - 2008. - С. 50.

[7] Авад Х.К., Глушак A.B. О методе квазпобращения для эволюционного уравнения дробного порядка// Дифференциальные уравнения и их приложения. - СамДиф - 2009. - С. 7 - 8.

[8] Глушак A.B., Авад Х.К. Метод квазиобращения для эволюционного уравнения дробного порядка// Dynamical system modeling and stability investigation. - Kyiv. - 2009. - P. 57.

[9] Глушак A.B., Авад Х.К. О разрешимости уравнения дробного порядка с переменным оператором. Международный Российско-Болгарский симпозиум// Нальчик. - 2010. - С. 68 - 70.

[10] Авад Х.К., Глушак A.B. К вопросу о возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана-Лиувилля// Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2010. - № 5 (76), выпуск 18. - С. 21 - 26.

[И] Авад Х.К., Глушак A.B. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана-Лиувилля// Диф. уравнения. - 2010. - Т. 46. - № 6. - С. 859 - 873.

[12] Авад Х.К., Глушак A.B. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробпые производные, нелинейным оператором// Современная математика. Фундаментальные направления.

- 2010. - Т. 35. - № 6. - С. 5 - 21.

[13] Авад Х.К., Глушак A.B. Метод квазиобращения для эволюционного уравнения дробного порядка// Современая математика и ее приложения.

- 2010. - Т. 67. - С. 49 - 57.

[14] Авад Х.К. О разрешимости одного интегрального уравнения в банаховом пространстве// Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика.

- 2010. - № 23(94), вып. 21. - С. 5 - 9.

Подписано в печать 17.01.2011г. бумага офсетная. Усл.печ. листов 1,25 Тираж 80 экз. Заказ 0514

Отпечатано в типографии ООО «ГиК», г.Белгород, ул. Калинина, 38-А,

тел. (4722) 58-71-25 Св-во 001071155 от 13.04.2005г.

Глава 1. Вспомогательные сведения и обзор результатов.

1. Исторический обзор.

2. Специальные функции.

3. Дробные интегралы и производные.

4. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.

5. Формулировка основных результатов диссертации.

Глава 2. Возмущение абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные Римана-Лиувилля.

6. Возмущение абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана-Лиувилля, переменным оператором.

7. Возмущение типа Миядеры.

8. Метод квазиобращения для дифференциального уравнения дробного порядка

Глава 3. Дифференциальные уравнения дробного порядка^ с переменным оператором.

9. Постановка задачи.:.

10. Эвристические рассуждения.

11. Решение интегрального уравнения (10:6).

12. Исследование интегрального уравнения (11.9).

13. Исследование формулы (11.10), определяющей решение интегрального уравнения (10.6).

14. Теорема единственности.

15. Формулировка основных результатов.

16. Пример.

Глава 4. Возмущение абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные Римана-Лиувилля, нелинейным оператором.

17. Постановка задачи.

18. Задача типа Коши для возмущенного нелинейным оператором уравнения дробного порядка.

19. Нагруженное дифференциальное уравнение дробного порядка.

20. Обратная задача для дифференциального уравнения дробного порядка.

1. Авад X.K. О разрешимости одного интегрального уравнения в банаховом пространстве// Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2010.- № 23(94), вып. 21. С. 5 - 9.

2. Авад X.К., Глушак A.B. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римапа-Лиувилля, нелинейным оператором// Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. 2008. - № 13(53), вып. 15. - С. 5 - 15.

3. Авад X.К., Глушак A.B. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными// XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва. РУДН. 2008. - С. 6.

4. Авад X.К., Глушак A.B. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными// Международный Российско-Азербайджанский симпозиум. Эльбрус. 2008. С. 55 - 56.

5. Авад Х.К., Глушак A.B. О методе квазиобращения для. эволюционного уравнения дробного порядка// Дифференциальные уравнения и их приложения. СамДиф 2009. С. 7 - 8.

6. Авад Х.К., Глушак A.B. К вопросу о возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана-Лиувилля// Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. -2010. № 5 (76), вып. 18. - С. 21 - 26.

7. Авад X.К., Глушак A.B. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римапа-Лиувилля// Дифференц. уравнения. 2010. - Т. 46. - № 6. - С. 859 - 873.

8. Авад X.К., Глушак A.B. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные, нелинейным оператором// СМФН. 2010. - Т. 35. - № 6. - С. 5 - 21.

9. Авад Х.К., Глушак A.B. Метод квазиобращения для эволюционного уравнения дробного порядка// Современая математика и ее приложения.- 2010. Т. 67. - С. 49 - 57.

10. Васильев В.В., Крейн С.Г., Пискарев С.И. Полугруппы операторов, косинус-оператор функции и линейные дифференциальные уравнения/,/ Итоги пауки и техники. Серия Математический анализ. ВИНИТИ. 1990.- Т. 28. С. 87 - 202.

11. Глушак A.B. О задаче типа Копта для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной// Вестник ВГУ. Серия физика, математика. Воронеж. 2001. - № 2. - С. 74 - 77.

12. Глушак A.B. О задаче типа Коши для неоднородного абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной// Вестник ВГУ.Серия физика, математика. Воронеж. 2002. - № 1. - С. 121 - 123.

13. Глушак A.B. О связи решений абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные// Вестник ВГУ. Сериягфизика, математика. Воронеж. 2002. - № 2. - С. 61 - 63.

14. Глушак A.B. Задача типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными// Математ. заметки. 2005. - Т. 77, вып. 1. - С. 28 - 41.

15. Глушак A.B. О свойствах задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной// Математ. заметки. 2007. - Т. 82, вып. 5. - С. 665 - 677.

16. Глушак A.B. О корректности задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными// Известия вузов. Математика. 2009. - № 9. - С. 13 24.

17. Глушак A.B. Об одной обратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения дробного порядка// Математ. заметки. -2010. Т. 87, вып. 5. - С. 684 - 693.

18. Глушак A.B., АвадХ.К. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии паук. 2008. - Т. 10. - №1. - С. 25-31.

19. Глушак A.B., Авад Х.К. О возмущении абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные пропзводиые, нелинейным оператором// Девятая Крымская Международная Математическая школа MFL 2008. Симферополь. - 2008. - С. 50.

20. Глушак A.B., Авад Х.К. Метод квазиобращения для эволюционного уравнения дробного порядка// Dynamical system modeling and stability investigation. Kyiv. 2009. - P. 57.

21. Глушак A.B., Авад Х.К. О разрешимости уравнения дробного порядка с переменным оператором// Между народный Российско-Болгарский симпозизш. Нальчик. 2010. - С. 68 - 70.

22. Глушак А.В., Поваляева Ю.В. О свойствах решений задачи типа Коши для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной// Spectral and Evolution Problème. Simferopol. 2004. - V. 14. - P. 163 - 172.

23. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. Киев. Вьица школа. 1989.

24. Данфорд И., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. Иностранная литература. 1962.

25. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука. 1966.

26. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967.

27. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972.

28. Костин В.А. К задаче Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными// ДАН СССР. 1992. - Т. 326. -№ 4. - С. 597 - 600.

29. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка// Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - № 8. - С. 1359 - 1368.

30. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустылъник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука. 1966.

31. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука. 1967.

32. Крейн С.Г., Хазан М.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве// Итоги пауки и техники СССР. Серия Математический анализ. Москва. 1983. - Т.21. - С. 130 - 266.

33. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М., 1967.

34. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 1995.

35. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их приложения. Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН. 2000.

36. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. Москва. Физматлит. 2003.

37. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука. 1981.

38. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды: Специальные функции. Москва. Наука. 1983.

39. Псху А.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного pi континуального порядка. Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН. 2005.

40. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука. 2005.

41. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: УРСС. 2007.

42. Самко С.Г., Килбас А.А. Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. Наука и техника. 1987 688 с.

43. Соболевский П.Е. Об уравнениях параболического типа^в банаховых пространствах// Тр. Моск. матем. 061ц. 1961. Т. 10. - С. 297 - 350.

44. Хгите Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Иностранная литература. 1962.

45. Эйдельман Ю.С. Прямая и обратная задачи для дифференциального уравнения в пространстве с конусом// ДАН. 1999. - Т. 364. - №1. - С. 24 - 26.

46. Arendt W. Vector valued Laplace transforms and Cauchy problems// Israel. Matem. 1987. - V.59. - P. 327 - 352.

47. Arendt W., Batty C. Hieber M., Neubrander F. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems. Basel. Boston. Berlin: Birkhauser Verlag. 2001.

48. Bajlekova E. Fractional evolution equations in banach spaces. Ph. D. Thesis. Eindhoven University of Technology, Eindhoven. 2001.

49. Banasiak J., Arlotti L. Perturbations of positive semigroups with applications. Springer-Verlag London Limited. 2006.

50. Caputo M. Lineal model of dissipation whose Q is almost frequancy independent II// Geophys. J. Astronom. Soc. - 1967. - V. 13. - P. 529 - 539.

51. Caputo M. Elasticita e dissipazione. Bologna: Zanichelli. 1969.

52. Carpintery A., Mainardi F. (Eds.) Fractals and fractional calculus in continuum mechanics. CIAM Cources and Lectures. V. 376. Wien: Springer. 1997.

53. El-Borai M.M. Some probablitiy densities and fundamental solutions of fractional evolution equations// Chaos. Solitons and Fractals. 2002. - V. 14. - P. 433 - 440.

54. El-Borai M.M. Evolution equations without semigroups// Applied Mathematics and Computation. 149(2004). - P. 815 - 821.

55. El-Borai M.M. The fundamental solutions for fractional evolution equations of parabolic type// J. Appl. Math, and Stoch. Anal. 2004:3 (2004). - P. 197 - 211.

56. El-Borai M.M. On some fractional differential equations in the Hilbert space// Discrete and continuous dynamical systems. Supplement volume. 2005. - P. 233 - 240.

57. Glvshak A. V., Awad H.K. On a perturbation of an abstract differential equation with fractional derivatives// The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow. 2008. - P. 24 - 25.

58. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional calculus: integral and differential equations of fractional order, Fractal and Fractional Calculus in Continuum Mechanics (Udine, 1996). CISM Courses and Lectures. 1997. V. 378. - P. 223-276.

59. Fattorini H.O. A note on fractional derivatives of semigroups and cosine functions// Pacific J. Math. 1983. - V.109. - № 2. - P.335-347.

60. Hilfer R. (Ed.) Applications of fractional calculus in physics. Singapore: WSPC. 2000.

61. Kato T. Integration of the equation of evolution in a Banach space// J. Math. Soc. of Japan. 5 (1953). P. 208 - 234.

62. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differential equations. Math. Studies. V. 204. Elsevier. 2006.

63. Kilbas A.A., Trujillo J.J. Differential equations of fractional order: methods, results and problems. I// Appl. Anal. 2001. - V. 78. - P. 153 - 192.

64. Kilbas A.A., Trujillo J.J. Differential equations of fractional order: methods, results and problems. II// Appl. Anal. 2002. - V. 81. - P.435 - 494.

65. Le Mehaute A., Tenreiro Machado J.A., Trige-assou J.C., Sabatier J. (Eds.) Fractional differentiation and its applications. Bordeaux: Bordeaux Univ. 2005.

66. Metzler R., Klafter J. The random walkrs guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach// Phys. Reports. 2000. - V. 339. - P. 1-77.

67. Miller K.S., Ross B. An introduction to the fraction al calculus and fractional differential equations. New York: John Wiley and Sons. 1993.

68. Miyadera I. On perturbation theory for semi-groups of operators// Tohoku Math. J. 18 (1966). - P. 299 - 310.

69. Oldham K.B., Spanier. J. The fractional calculus. New York-London: Academic Press. 1974.

70. Podlubny I. Fractional differential equations. San-Diego: Academic Press. 1999.

71. Prüepko A.I., Orlousky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York. Basel: Marcel Dekker. 2000.

72. Tanabe H. Equations of evolution. London: Pitman Publishing Ltd. 1979.

73. Voigt J. On the perturbation theory for strongly continuous semigroups// Math. Ann. 229 (1977). - P. 163 - 171.