Разрешимость начальных и обратных задач для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Манасикова Татьяна Алексеевна

РАЗРЕШИМОСТЬ НАЧАЛЬНЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ АБСТРАКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы н оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

14 НОЯ 2013

Белгород 2013

005537716

005537716

Работа выполнена в Белгородском государственном национальном исследовательском университете

Научный руководитель:

Г.тушак Александр Васильевич, доктор фпзнко-матсматнческпх наук, профессор. Белгородский государственный национальный исследовательский университет, профессор кафедры математического анализа

Официальные оппоненты:

Асхабов Султан Нажмудпновпч. доктор фнзнко-.математических наук, профессор. Чеченский государственный университет, декан факультета математики н компьютерных технологий

Ситник Сергей Михайлович, кандидат физико-математических наук, доцент. Воронежский институт МВД, доцент кафедры высшей математики

Ведущая организация:

Южный федеральный университет

Защита состоится 10 декабря 2013 г. в 10.00 на заседании дпссертацпоного совета Д 212.015.08 в Белгородском государственном национальном исследовательском университете но адресу: 308007. г. Белгород, ул. Студенческая. 14. Бел ГУ. корп. 1. ауд. 407.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белгородского государственного национального исследовательского университета.

Автореферат разослан ^ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.015.08

Гриценко С.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Развитие области математического анализа, называемой дробным исчислением и посвященной исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, обусловлено проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных н дифференциальных уравнений и др.

История развития дробного пнтегродпфференцнрования знает немало работ, в которых в разное время переоткрывались уже известные результаты. иногда темп же самыми средствами, что и у предшественников, иногда на основе других методов. Важным шагом в развитии дробного пнтегродпфференцнрования стала книга, написанная Самко С.Г.. Кнлбасом A.A. и Марпчевым О.И. "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения", которая объединила разные исследования в направлении по изучению дробных производных н интегралов.

В последние годы возрос интерес к исследованию так называемых дифференциальных уравнений дробного порядка, в которых неизвестная функция содержится под знаком производной дробного порядка. Это обусловлено как развитием самой теории дробного интегрирования и дифференцирования. так и приложениями таких конструкций в различных областях науки: в физике, механике, химии, инженерии и других областях науки и естествознания. В связи с этим мы приведем список авторов монографий и обзорных статей по этой тематике: Oldham К.В., Spanier J.; Miller K.S.. Ross В.; Carpintery A.. Mainardi F.: Gorenilo R.. Mainardi F.; Podlubny I.; Hilfer R.: Metzler R.. Klafter J.; Нахушев A.M.: Псху A.B.: Kilbas A.A.. Srivastava H.M.. Trnjillo J.J. и др.

Дифференциальные операторы дробного порядка могут иметь различные формы. Обзор методов и результатов в теории дифференциальных уравнений дробного порядка был дан в двух обзорных статьях Килба-са A.A. и его расширенный вариант представлен в монографии Kilbas A.A.. Srivastava Н.М., Trnjillo J.J. Theory and application of fractional differential equations. Math. Studies. V. 204. Elsevier. 200G.

Среди одномерных линейных дифференциальных уравнений наиболее изучены уравнения, содержащие дробные производные Римана-Лиувплля. В восьмидесятых годах двадцатого века началось исследование одномерных дифференциальных уравнений с модифицированными дробными производными Рнмана-Лнувнлля. Такая конструкция была введена итальянским механиком Капуто М. в 19С7 году, и названа дробной производной Каиуто. Но правильнее было бы называть ее дробной производной Гераспмова-Капуто. так как в 1948 году советский механик Герасимов А.И.

в одной и:з своих работ ввел частную производную аналогичного вида.

Одновременно началось изучение дифференциальных уравнений с частными дробными производными. Большинство исследований в области обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка было посвящено теоремам существования и единственности решений дифференциальных уравнений с дробными производными Римана-Лпувплля. В работах многих ученых изучалась задача тнна Кошн. Эти работы базировались на сведении рассматриваемой задачи к интегральному уравнению Воль-терра второго рода с последующим применением известных методов для исследования этого уравнения: приицнн неподвижной точки, метод последовательных приближений н др. Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и начально-краевых задач применяется также метод интегральных преобразовании.

Одним из современных направлений развития теории дифференциальных уравнений является изучение дифференциальных уравнений, решения которых являются функциями со значениями в произвольном банаховом пространстве. Изучение дифференциальных уравнений первого и второго порядков в банаховом пространстве (подход, связанный с теорией полугрупп н теорией косинус-функций) начато в работах Хнллс Э. н Иосн-ды К. в 1948 г. В настоящее время имеются монографии Данфорда Н. и Шварца Дж.. Иоспды К.. Крейна С.Г.. Като Т.. Голдстсйна Дж.. Хнллс Э. н Филлипса Р.. Фатторннн Г. и некоторые другие, излагающие теорию и применение линейных полугрупп и косинус-функций. а также обширные обзоры Крейна С.Г. и Хазана М.И.. Васильева В.В.. Крейна С.Г. и Ппс-карева С.И. научных публикаций, начиная е 1968 г. Основные вопросы, подвергавшиеся исследованию. это корректность задачи Кошн (существование решения, его единственность и непрерывная зависимость от начальных условий), устойчивость по отношению к возмущениям операторов, поведение при t —> ос и т.д.

В последние годы рядом авторов было начато исследование абстрактных дифференциальных уравнений дробного порядка. Среди них Кочубей А.Н.. Костнн В.А.. Бажлекова Е.. Г.тушак A.B.. Clement Pli.. Gripenbcrg G.. London S.-O. ii др.

Дробное исчисление функций одной и многих переменных, и в том числе исследование абстрактных дифференциальных уравнений дробного порядка. продолжает интенсивно развиваться и в настоящее время, свидетельством чему служит как большой поток публикаций, так н международные конференции, специально посвященные вопросам дробного исчисления.

Цель работы. Исследование разрешимости задачи типа Кошн для дифференциального уравнения с дробной производной Рп.мана-Лпувнлля: нахождение операторной функции Кошн. позволяющей решать задачу тн-

на Кошп для неоднородного уравнения; установление однозначной разрешимости начальных задач для дифференциальных уравнений с дробными производными Адамара; исследование разрешимости ряда обратных задач.

Методы исследования. Используются методы функционального анализа и теории операторов в банаховом пространстве, метод сведения к интегральным уравнениям, а также метод последовательного приближения.

Научная новизна. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Среди наиболее важных отметим следующие:

1) установление критерия равномерной корректности задачи тина Кошп для дифференциального уравнения, содержащего дробную производную Рпмана-Лиувилля;

2) получение достаточных условий существования аналитического разрешающего оператора этой задачи;

3) нахождение операторной функции Кошп. позволяющей определить решение неоднородной задачи;

4) установление критерия равномерной корректности задачи тина Кошп для дифференциального уравнения, содержащего дробимо производные Адамара;

5) нахождение достаточных условий разрешимости обратной коэффициентной задачи для дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Адамара;

6) доказательство равномерной корректности задачи типа Кошп с двумя дробными производными Адамара.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер, в иен приводятся условия разрешимости некоторых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка. Полученные результаты могут быть использованы при установлении корректной разрешимости конкретных уравнений математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих международных н российских конференциях:

1. XVI .Международная конференция "Математика. Экономика. Образование". V Международный симпозиум "Ряды Фурье н их приложения". Ростов-на-Дону. 27 мая - 3 нюня 2008.

2. Международный Российско-Абхазский симпозиум "Уравнения смешанного тина и родственные проблемы анализа и информатики". VII Школа молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик. Эльбрус. 17 22 мая 2009.

3. I Всероссийская конференция молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа н информатики". Кабардино-Балкарская республика нос. Терскол. б 9 декабря 2010.

4. Международная конференция "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел". Белгород. 17 21 октября 2011.

5. Международная молодежная конференция "Прикладная математика, управление и информатика". Белгород. 3 5 октября 2012.

6. Международная конференция "Дифференциальные уравнения н нх приложения". Белгород. 26 31 мая 2013.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] [13]. Работы [8]. [11| и [12] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

В совместных работах с научным руководителем Глушаком A.B. руководителю принадлежит постановка задач п руководство работой. Автор}' диссертации принадлежит выбор методик исследования н нх реализация.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на одинадцать пунктов, и списка литературы, включающего CG источников. Общий объём диссертации 99 страниц.

Краткое содержание работы

П.и. 1-5 главы 1 носят вспомогательный характер, в них приводятся исторические п библиографические сведения о предмете исследования.

П. G главы 1 содержит обзор полученных в диссертации результатов.

В пункте 7 главы 2 в банаховом пространстве X при а > 0 и п = [а] + 1 рассматривается задача типа Кошн

D¡¡+u(t) = Au(t), t> 0. (1)

lim D¡}-"u(t) = «о- lim D^uít) =0. к = 1.....n - 1. (2)

d"

где D¡¡+u(t) = -jj^ (lfi+au) (í) -- левосторонняя дробная производная

t

Рнмана-Лпувилля порядка а > 0. /n+u(í) = ^^у j {t - s)3~l u(s) ds

o

левосторонний дробный интеграл Рпмана-Лиувнлля порядка ß > 0. Г(-) -гамма-функция, г/ц е D(A). А -- линейный, замкнутый, плотно определенный оператор.

Определение 1. Решением задачи (1). (2) называется функция u(t) такая, что имеют место включения u(t) £ С(К+.Л(Л)), I^au(t) G Са(К+.А:) для к = 0.1.....гг - 1: /(?-nu(í) € С"(Ж+.А:). и удовлетворяющая (1). (2).

Определение 2. Задача (1). (2) называется равномерно корректной, еали при любом щ 6 D{A). существует единственное решение u(t\ vn)

задачи (1). (2) и если и0.т S D{A), uo.m 0 влечет u(£;u(1.m) -)■ О равномерно по t па любом компактном интервале из (О, ос).

Цслыо этого раздела является установление критерия равномерной корректности данной задачи типа Кошн.

Пусть В(Х) пространство линейных ограниченных операторов, действующих из X в X.

Определение 3. Операторная функция Tn(t) € В(Х) называется разрешающим оператором для задачи (1), (2). если выполнены следующие условия:

(i) Ta(t) сильно непрерывна при t > 0 и Ц"+"Тп(0) = I.

(ii) Ta(t) коммутирует с А. то есть, Ta(t)D(A) С D(A) и ATa(t)uu = Ta(t)Auu для любого и0 € D(A) и t > 0.

(iii) Tn(t)uu является решением задачи (1). (2) для любого uq 6 D{A). Определение 4. Будем говорить, что оператор А принадлежит

классу Ça(AI,ui), если задача (1). (2) имеет разрешающий оператор Tn(t), удовлетворяющий неравенству

\\Ta{t)\\<M(t)e?1, t> 0,

где и Е R и функция M(t) е С(0, ос) и абсолютно интегрируема в окрестности точки t = 0.

Теорема 1. Пусть а > 0, п = [а] + 1- тогда А € Яа{М,ш) и оператор Dy~"Ta(t) непрерывен при t > 0 в равномерной операторной топологии только тогда, когда А £ В{Х).

Теорема 2. Пусть A G Qa(M,ui) для некоторого а > 2 и

тс

'M{t)dt < v > 0, п= [a] + 1, Cl > 0.

Тогда А 6 В{Х).

При 0 < о < 1 критерии разрешимости задачи (1). (2) формулируется следующим образом.

Теорема 3. Пусть 0 < а < 1. В этом случае А € 0а{М,и) только тогда, когда (а/1, ос) С р(А) и

2—, „i

d"R(\a,A)

d\"

< С2, Х> ш, О, > 0. (3)

Теорема 4. Пусть 0 < а < 1. Для того, чтобы оператор А е 0а(М,со), необходимо и достаточно, чтобы (а/\ ос) С р(А) и существовала сильно непрерывная операторная функция Т(£), удовлетворяющая

неравенству ||Г(£)|| < М ({)(?', í > 0, М(г) е С(О.ос) и абсолютно интегрируема в окрестности точки £ = О такая, что

тс

Я(Хп.А)щ = ! е-^Т^щМ,. и„еХ. (4)

о

и в этом случае Та (£) = Т{Ь).

Кроме того, указано выражение оператора А через соответствующий ему разрешающий оператор. При этом оператор А называется генератором.

Теорема 5. Пусть 0 < а < 1. Если Гп(£) разрешающий оператор задачи (1). (2). то

Аио = Г(а + 1) Цщ7'^*)»»-"''

для тех и о £ А", для которых этот предел существует.

Вводится понятно аналитического разрешающего оператора задачи (1). (2) и устанавливаются достаточные условия его существования. Приводятся примеры таких операторов.

Пусть Е(в.ш) открытый сектор с вершиной шеМи углом 2в в комплексной области, симметричный относительно действительной положительной оси. то есть

Е{в,ш) = {А е С : |агё(А — < <?} ,

и пусть Ео = Е(9.0).

Определение 5. Разрешающий оператор Тп(£) задачи (1). (2) называется аналитическим, ест Тп (£) допускает аналитическое продолжение в сектор Ео„ при некотором 6ц £ ^0. ^.

Теорема 6. Пусть а е (0.1) и X" е р(А) для каждого А € Е(6>() + ■к/2, (х-'п). Если для любых и > щ. в < 0() существует, постоянная С = С (в, ш) такая, что

||Л(А".Л)||<в^. АеЕ(0 + тг/2.^).

|Л -

то линейный замкнутый плотно определенный операт,ор А является генератором аналитического разрешающего оператора Та (£). удовлетворяющего неравенству

||ГП(0|| < M(\t\)é"+№'; te Е

Оа

с некоторой (¡пункцией M(s) = M<¡.x{s) G С(0. ос) и абсолютно интегрируемой в окрестности точки s = 0.

Пусть А линейный замкнутый плотно определенный оператор н банаховом пространстве X с областью определения В(А) и непустым резольвентным множеством. В п. 8 главы 2 при п > 0 и п = [а] + 1 рассматривается задача о нахождении операторной функции Кошн нз условий

D?)+u(t) = Au(t), t > 0, (5)

lim Dn7ku(t) = 0. k = 2, ...,n. lim D^yu{t) = ип_ь (6)

(->()+ ' ' /->04-

Для задачи (5). (G) мы приведем условия се корректной разрешимости, а разрешающий оператор этой задачи мы назовем операторной функцией Кошн. С ее помощью будет построено решение задачи типа Коши для неоднородного уравнения.

Определение 6. Будем говорить, что оператор А принадлежит классу %n(M.iü), если задача (5). (С) имеет разрешающий оператор K„(t). удовлетворяющий неравенству

||/Г„(*)|| < M{t)e-1. t > 0,

где и G К и функция M{t) G С(0, ос) и абсолютно интегрируема в окрестности точки t = 0.

Теорема 7. Пусть а > 0. тогда А G Цп(М,и>) и оператор D^lKa{t) непрерывен в равномерной операторной топологии только тогда, когда А G В(Х).

Теорема 8. Пусть А Е Ha(A/,cj) для некоторого а > 2 и

тс

/

0

e.-"lM(t)dt < и > 0. С;( > 0.

Тогда А G В(Х).

Теорема 9. Пусть 0 < а < 2. В этом случае А € 7~1а(М,и}) только тогда, когда (о/1, ос) С р(А) и

È—

d"R(Xn,A)

d\"

<С4, А > ш, С\ > 0. (7)

Теорема 10. Пусть 0 < а < 2. Тогда A G TLa{M,u¡) только тогда, когда (и!п,ос) С р{А) и существует сильно непрерывная операторная функция K(t), удовлетворяйся неравенству ||/íT(í)|| < il/(í)e^'', í > 0, M(t) G C(0, ос) и абсолютно интегрируема в окрестности точки t = 0 такая, что

"X

Д(Аа, Л)и„_1 = J c~xtK(t)un-x dt, i G X, (8)

и в этом случае. Ka{t) = K{t).

Разрешимость неоднородной задачи при а > 0 и нулевых начальных условиях

D^u(t) = Av(t) + h(t). t> 0, (9)

Hm £>,','+fru(í) = 0. А- = 1. 2.....п. (10)

установлена в следующей теореме.

Теорема 11. Пусть А е Hn(M.oj). функция M{t) 6 С(0. ос) абсолютно интегрируема в окрестности точки t = 0. а функция h(t) 6 С ((0. оо) ,Х) абсолютно интегрируема в окрестности точки t = 0. принимает значения a D{A). Af(t) € С ((0. ос). X) ti также абсолютно интегрируема в окрестности точки, t = 0. Тогда функция

i

u(t) = J Kn{t - s)h(s) ds. (11)

i)

является решением задачи, (9). (10).

Заметим, что при 0 < а < 1 Ka(t) = Ta(t). где Ta(t) разрешающий оператор рассмотренной в пункте 7 задачи

D¡¡+u(t) = Au(t). t> 0,

lim Dn+'wm = Щ). *-►()+

При а = 1 разрешающий оператор K\(t) это Co-полугруппа и А ее генератор. Если а = 2. то синус оператор-функция и А сс гене-

ратор. Если оператор А ограничен и а > 2. то Kn(t) = ta~1Ea,n(tnA).

Завершающая третья глава диссертации посвящена задаче типа Коти для дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Адамара. а также исследованию одной обратной задачи. В п. 9 главы 3 рассматривается задача типа Копш

uD<¡+u{t) = Au(t). t > 1. (12)

lim "l\lau{t) = va. (13)

f-»i+

с левосторонней дробной производной Адамара порядка a G (0. 1)

t

"/?„>(') = tjt"lll^{t). a "/„'Г«(t) = щ^у J (b J) ~ П u(s) ^

и

левосторонний дробный интеграл Адамара порядка 1 — а. а > 0. Определение 7. Задача (12). (13) называется равномерно корректной. если существует заданная на X. коммутирующая с А операторная

функция "T„(t) и числа Ми >0. w € R такие, что для любого ?/„ 6 D(A) функция 1!Ta{t)ii() является се. единственным решением, и при этом

1ГГ„(*)|| < Ми (hi t)n~lf. t> 1.

Наряду с уравнением (12) мы также будем рассматривать и неоднородное уравнение

"D\\u(i) = Au(t)+h{t), t> 1. (14)

Теорема 12. Пусть А е В{Х). и{) € X. (функция h(t) е С(1.ос) абсолютно интегрируема в окрестности точки t = 1. Тогда задача (12). (13) равномерно корректна и

"Tn(t)uu = (\nt)a-1 En.tí((\ut)n A)ulh (15)

а неоднородная задача (14). (13) имеет единственное решение, определяемое равенством

i

u(t) = (luir1 EnM((\nt.)nA)uu + J (hi^y En.n ((ь^л) h(s)

(1С)

Условие 1. Начальный элемент и» принадлежит D(A) и оператор А является производящим оператором экспоненциально ограниченной полугруппы T(f) класса Са. причем ||Г(г)|| < М„с^.

Теорема 13. Пусть выполнено условие 1. Тогда однородная задача (12). (13) равномерно корректна и при этом

-XL

"Ta{t)ua = I /т.„ (luí) Т(т)и{) dr. (17)

п

II "ВД || < Ma{\nt)a-lt^. ШХ > функция /гп (t) функция тина Райта, которая, при а >

шах{0;Ь}. /i.z € С определяется равенством

frAt) = Г-с- (-гГ"). = ± r(flfc + /r(¿_№).

Условие 2. Выполнено одно из следующих требовании: a) h(t) 6 С(1.эо) абсолютно интегрируема в окрестности точки t = 1 и принимает значения в D(A). функция Ah(t) £ С(1.эс) также абсолютно интегрируема в окрестности точки t = 1: Ь) функция I¡I¡+'4i(t) непрерывна при t > 1. непрерывно дифференцируема при t > 1 и "D'¿+h(t) абсолютно интегрируема в окрестности точки t = 1.

Теорема 14. Пусть задача (12). (13) равномерно корректна, щ G D(A) и выполнено условие 2. Тогда задача (14). (13) имеет единственное решение, определяемое равенством

t

u(t) = "Ta(t)U{] + J"Ta(^jh(s) i

Кроме того, в п. 9 главы 3 вводится ионятие регулярпзованной дробной производной Адамара п рассматривается задача

ndt+u{t) = Au{t) + h{t). t > 1, (18)

u(l) = щ, (19)

где "cÇ+u(i) = "D«+ (u(t) - u(a)) = nD«n+u(t) - (lu ^ " f^^ pc-

гу.тяризованная производная Адамара.

Обозначим разрешающий оператор задачи (18). (19) через 11 Sa(t)uu. Теорема 15. Пусть выполнено условие 1. Тогда однородная задача (18). (19) равномерно корректна и при этом

:х

"Sa(t)u(l = JуТ.п (luí) Г(т)и„ <1т, (20)

и

||7í5n(í)|| < М0 t. t > L ui> uj1/n, (21)

где gTM(t) = Ге}^ (-тГп).

"Условие 3. Выполнено одно нз следующих требований: a) h(t) € С[1.эс). принимает значения в D(A). Ah(t) GC[l.oc): Ь) h{t) непрерывно дифференцируема при t > 1.

Теорема 16. Пусть иа £ D(A) и выполнены условия 1 и 3. Тогда задача (18). (19) имеет единственное решение, определяемое равенством

t

u(t) = "Sa(t)u, + j HTa Q h(s) (22)

i

где 11 Sa(t),HTa(t) определяются равенствами (20) и (17). соответственно.

Теорема 17. Пусть А £ В(Х). ип £ X, функция h(t) £ С[1,эс). Тогда однородная задача (18). (19) равномерно корректна и

нЗп(1)Щ< = ЕпЛ((\п^А)щ,

а неоднородная задача (18). (19) имеет единственное решение, определяемое равенством

u{t) = ЕпЛ {(lnt)aA) г/0+ I 1 Еа п ^ln^y h(s)

'i

В и. 10 главы 3 приводятся достаточные условия разрешимости обратной коэффициентной задачи в двух случаях: с ограниченным оператором и с генератором непрерывной Сц-нолугуппы.

Рассматриваем задачу определения фупкцин u(t), принадлежащей D(A) при t G (l.e] и элемента р € X из условий

"D«+u(t) = Au(t) + (Intf-'p. (23)

lim" I¡-nu{t) = и(1, (24)

\im" Ii+u{t) = щ, (25)

где 0 < a < 1. A- > 0. P> 0.

Определение 8. Решением задачи (23) (25) называется пара (u(t).p). где u(t) G £>(-4) непрерывная при t 6 (l.e] функция такая, что "l¡I"n (t) представляет собой непрерывно дифнреренцг/руемую при t е (1-е] функцию, р 6 X. u(t) и р удовлетворяют соотношениям (23) (25).

Задачу (23) (25) называют обратной задачей в противоположность прямой задаче тина Кошп (23). (24) с известным элементом р £ X. Рассматриваемую задачу можно интерпретировать как восстановление в уравнении (23) нестационарного слагаемого (liií)í'~1p с помощью дополнительного граничного условия (25).

Теорема 18. Пусть А е В(Х). ?/„.;/1 е X. Для того, чтобы задача (23) (25) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы на спектре а{А) ограниченного оператора А выполнялось условие

Ea.,+n+3(z) ^ 0. z€ а(А). ' (26)

Из теоремы 18 следует, что расположение нулей функции Eaj,.+a+j(z) определяет однозначную разрешимость задачи (23) (25) с ограниченным оператором А. Для уравнения первого порядка с неограниченным оператором А условие вида (26) уже пс будет достаточным условием однозначной разрешимости, хотя расположение путей также играет важную роль.

Установлено необходимое условие единственности решения обратной задачи (23) (25) с неограниченным оператором А.

Теорема 19. Пусть А линейный замкнутый оператор в X. Предположим, что обратная задача (23) (25) имеет решение (u(t).p). Для того, чтобы это решение было единственным, необходимо, чтобы пи один нуль р„ целой функции Еа,ь+п+з(г) не являлся собственным значением оператора А.

В следующей теореме установлено представление для оператора G =

Uni"IÏ+311 Ta(t) , G : I -> X, !,Tn(t) определяется формулой (17). Это

t—ht!

представление используется при доказательстве теорем 21 и 22 о разрешимости обратной задачи (23) (25).

Теорема 20. Пусть выполнено условие 1. Тогда для любого р G D(A) справедливо представление

Gp = 1tï /

а > и.

Далее переходим к достаточным условиям однозначной разрешимости задачи (23) (25). Как следует из теоремы 19. нам придется потребовать, чтобы пи один нуль fin функции Еа,к+а+з(~) "с являлся собственным значением оператора А. Более того, для установления разрешимости потребуем, чтобы все пули принадлежали резольвентному множеству р(А). Учитывая их асимптотику

p)ja = 2imi+(k+/3-l) ^1п2тг|п| + у sign rij +hi ^^ ^ + о(1), п ±ос

отметим, что при к + /3 > 1 условие будет налагаться лишь на конечное число нулей цп. п = 1,2,..., гг0 с Re //J/n < а. поскольку остальные автоматически принадлежат р{А). В случае к + /3 < 1 пулей с Re /j,1/" < а будет счетное множество.

Теорема 21. Пусть оператор А удовлетворяет условию 1. к + ¡3 > 1. а > и! и i/o, и\ G D (Л'!). Если каждый нуль рп. п = 1.2, ...,Ио функции Еа.к+а+з(г) с Re /а/" < о принадлежит р{А). то задача (23) - (25) имеет единственное решение.

Условие 4. Каждый нуль р„. п G Z \ {0} функции Eaj-+a+j(z) с Re plJa < а принадлежит р(А) и существуют s G [0,1) и d > 0 такие. %) <d И,

Теорема 22. Пусть выполнены условия 1 и 4, к + (3 < 1 и иа, иi G £>(А!). Тогда задача (23) (25) имеет единственное решение.

В пункте 11 главы 3 в банаховом пространство X рассматривается за-

sup

дача типа Коши с линейным замкнутым оператором А

Дт = «„. Дт"О*;1 ((ь £ "£>„*+«(*)) = 0. (28)

где

Специфика постановки начальных условий (28) состоит в том. что суммарный порядок производных, по сравнению с уравнением (27). уменьшается сначала на 1 в одном условии, а йотом еще на а в другом.

Кроме того, особенностью рассматриваемой задачи является наличие двух условии вида (28) даже в том случае, когда 0 < а + /3 < 1.

Доказывается равномерная корректность задачи (27). (28) с ограниченным оператором.

Теорема 23. Пусть А е В(Х) и параметры задачи (27). (28) удовлетворяют, неравенствам, ¡3 + 7 > 0. а + в + 7 - > 0. 7 < д. Тогда задача (27). (28) равномерно корректна и при этом

I 1 у/п Г(1+ 7+;/,) \ / I у'"^"1

к Щ +I'++"+м) V « / Ио'

где /( = а + ¡3 + 7 — д > 0. Для задачи

Ц'М*) = (2°)

Дт "Ц^иф = 0. Дт "( (ь = щ, (30)

получены аналогичные результаты.

Теорема 24. Пусть А е В(X) и параметры, задачи, (29). (30) удовлетворяют неравенствам, а — д > 0. а + 0 + 7 — д > 0. 7 < д. Тогда задач,а (29). (30) равномерно корректна, и при, этом

" --Г(а)Г(/( — 7)-(г,1 +

^ I А А Г (а + л1)Г(/1 - 7 + зц) )\ а )

где ß = а + ß + 7 — q > 0.

В пункте 11 мы рассматриваем случай неограниченного оператора А при 7 = 0, q = 0. когда оператор LJ'J примет вид

г n.J _//па 0 — 1Ja+lJa+-

а задача (29). (30). в свою очередь, преобразуется в задачу

¿o'J"(í) = Au(t), t > а, (31)

lim "D3a-\{t) = 0, lim ("D¡+u{t)) = щ, (32)

t—>(i+ t—v /

где А линейный замкнутый оператор, н а £ (0,1). ß € (0,1).

Определение 9. Задача (31). (32) называется равномерно корректной, если существует заданная на X, коммутирующая с А операторная функция, ÍVn.j(í) и M(t) £ С(0, ос) и абсолютно интегрируема в окрестности точки t = 0. и > 0 такие, 'что для любого и i £ D(A) функция является ее единственным решением, и при этом

pvn.j(t)ll < м (bi^)í".

Определение 10. Операторная функция irfl.j(í) £ В(Х) называется разрешающим оператором для задачи (31), (32), если выполнены следующие условия:

(i) ll'n.j(t) сильно непрерывна при t > 0 и ß("~1(D(f+)U/o.,3(0) = I, (ü) коммутирует с А. то есть, \Vcuj(t)D(A) С D(A) и

AWn„j(t)ul = Wa.3(t)Aui для любого и! £ D(A) и t > 0.

(iii) \Vn j(t)ui является решением задачи (31). (32) для любого и\ £ D(A) и t> 0.

Определение 11. Будем говорить, что оператор А принадлежит классу J~a'3(M, lü), если задача (31). (32) имеет разрешающий оператор Wn.j(í), удовлетворяющий неравенству

НИКСОН < л/ (in¿ ) í>o,

где ш £ R и функция M{t) £ С(0,оо) и абсолютно интегрируема в окрестности точки t = 0.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 25. Пусть а > 0, ß > 0. тогда А £ Ра 3(М,и)) и оператор 0,"~1(D(f+)ll/n.j(í) непрерывен в равномерной операторной топологии только тогда, когда А £ В(Х).

Теорема 26. Пусть А е ш) для некоторого а > 2 и

[ с-"'МН)(И < —. гу > 0. С-, > 0. ./о гуП

Тогда А € В(Х).

Теорема 27. Пусть 0 < а, ¡5 < 1. В этом случае А 6 только тогда, когда (о/1, сю) С р{А) и

~ (А-ы)

Теорема 28. Пусть 0 < а < 2. Тогда А £ Тп-3{М,ш) только тогда. когда (ш".оо) С р(А) и существует сильно непрерывная операторная функция V(t). удовлетворящая неравенству ||V(f)|| < M(t)t°.t > 0, M{t) € С(0. оо) •« абсолютно интегрируема в окрестности точки t = 0 такая, что

П{Хп.А)и„-1= [ erx'V(t)un_i dt, w„_ Ja

и в этом случае V(t) = \Vn,j(t).

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору A.B. Глушаку за постановку задачи, внимание, поддержку п полезные советы на протяжении всей работы.

Статьи в научных журналах и сборниках:

1. Маиаспкова. Т.А. Об одной абстрактном задаче тина Копш с дробной производной Адамара Т.А. Манаенкова Востник СНО. Бел ГУ. 2007. - 4.1. - С. 192.

2. Манаенкова. Т.А. Задача типа Копш для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной Адамара A.B. Г.тушак. Т.А. Манаенкова Научные ведомости БслГУ. Физико-математические науки. - 2008. - № 13(53) вып. 15. -С. 37 - 4G.

3. Манаенкова. Т.А. Об одном задаче типа Копш для абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными Адамара A.B. Г.тушак. Т.А. Манаенкова

XVI Международная конференция "Математика. Экономика. Образование": Тезисы докладов (Ростов-па-Дону. 27 мая - 3 июня 2008). - Ростов п Д: Изд-во "ЦВВР". -С. 70.

4. Манаенкова. Т.А. Абстрактные дифференциальные уравнения, содержащие дробные производные Адамара A.B. Г.тушак. Т.А. Манаенкова Доклады Адыгской (Черкесской) Международном Академии Наук. Нальчик. - 2009. - Т.П. - .VI. -С. 17 - 20.

5. Манаенкова. Т.А. Прямая и обратная задачи для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Адамара A.B. Г.тушак. Т.А. Манаенкова Международным Россппско-Абхазскнп симпозиум "Уравнения смешанного

d"R(Xn+\ А) dX"

< C(i. X > и. Cr, > 0.

типа и родственные проблемы анализа н ннформатнкп". VII Школа молодых ученых "Нелокальные красные задачи п проблемы современного анализа п информатики": Тезисы докладов (Нальчик. Эльбрус. 17 - 22 мая 2009). - С. G9 - 71.

G. Манаенкова. Т.А. Прямая н обратная задачи для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробную производную Адамара и неограниченный оператор Т.А. Манаенкова Научные ведомости БслГУ. Математика. Физика. - 2010. -№ 17(88) вып. 20. - С. 79 - 90.

7. Манаенкова. Т.А. Задача Кошм для уравнения с регулярпзоваппой дробной производной Адамара Т.А. Манаенкова Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики: материалы I Всероссийской конференции молодых ученых, (п. Терскол. G - 9 декабря 2010). - Терскол. - 2010, -С. 115.

8. Манаенкова, Т.А. Прямая и обратная задачи для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Адамара A.B. Глушак, Т.А. Манаенкова Дифференциальные уравнения. - 2011. - Т. 47. - №9. - С. 1291 - 1304.

9. Манаенкова. Т.А. О разрешимости абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Рнмапа-Лнувнлля Т.А. Манаенкова Комплексный анализ п его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел: материалы Международной конференции (г. Белгород. 17 - 21 октября 2011). - Белгород: ППК НИУ "БслГУ". - 2011. - С. 77.

10. Манаенкова. Т.А. Обратная коэффициентная задача для абстрактного дифференциального уравнения с дробной производной Адамара Т.А. Манаенкова Прикладная математика, управление и информатика: Сборник трудов Международной молодежной конференции (г. Белгород, 3-5 октября 2012). - Белгород: ПД "Белгород". -2012. - Т. 1. - С. 180- 189.

11. Манаенкова, Т.А. О разрешимости задач типа Кошн для абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Рпмана-Лнувплля A.B. Глушак. Т.А. Манаенкова Научные ведомости БслГУ. Математика. Физика. - 2012. - Л'- 17(136), вып. 28 - С. 28 - 45.

12. Манаенкова, Т.А. Функция Кошн для абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Рпмапа-Лиувплля Т.А. Манаенкова Научные ведомости БслГУ. Математика. Физика. - 2012. - JV« 17(130), вып. 28. - С. 71 - 7G.

13. Манаенкова, Т.А. Задача типа Кошн для абстрактного дифференциального уравнения с дробными производными Адамара Т.А. Манаенкова Дифференциальные уравнения и их приложения: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 2G - 31 мая). - Белгород: ИПК НИУ "БслГУ". - 2013. - С.43 - 44.

Подписано н печать 29.1U.2U13. TimesNewRonian. Формат GOxSl IG. Усл. п. л. 1.0. Тираж 1ÜU ж. Закач Ш. Орш ппал-макет тиражирован и ПД "Белгород" НИУ "БслГУ 308013. г. Белгород, ул. Победы. 85

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Белгородский государственный национальный исследовательский

университет

РАЗРЕШИМОСТЬ НАЧАЛЬНЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ АБСТРАКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы

и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Глушак Александр Васильевич

Белгород - 2013

На правах рукописи

04201451506

Манаенкова Татьяна Алексеевна

СОДЕРЖАНИЕ

Глава 1. Вспомогательные сведения и обзор результатов................3

1. Исторический обзор.........................................................3

2. Специальные функции......................................................5

3. Дробные интегралы и производные.........................................8

4. Полугруппы и производящий оператор.....................................13

5. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.....................................................................................................................17

6. Формулировка основных результатов диссертации..........................22

Глава 2. Абстрактные дифференциальные уравнения, содержащие дробные производные Римана-Лиувилля..........................34

7. О разрешимости задачи типа Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля....................34

8. Операторная функция Коши для абстрактных дифференциальных уравнений с дробной производной Римана-Лиувилля.................................58

Глава 3. Прямая и обратная задачи для абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Ада-мара.........................................................................65

9. Задача типа Коши с дробной производной Адамара........................65

10. Обратная задача.........................................................70

11. Задача типа Коши для дифференциального уравнения, содержащего

две различные дробные производные Адамара................................80

Список литературы........................................................94

Х-

Глава 1

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Исторический обзор

Математический анализ с использованием интегрально-дифференциальных операторов нецелых порядков зародился уже более 300 лет назад. Еще в 1695 году Лопиталь и Лейбниц в своей переписке обсуждали значение производной порядка 1/2. Запись Лейбница стала основанием появления теории производных и интегралов произвольного порядка, которые к концу 19 века приняли более или менее окончательную форму благодаря, в основном, Лиувиллю Ж., Грюнвальду Г., Летникову A.B. и Рима-ну Б. Обзор по истокам теории дробного исчисления может быть найден в [58], [60], [37].

В последние четыре десятилетия дробное исчисление окончательно сформировалось в специальный раздел математики, что связано в основном с увеличением его прикладного значения. Особый интерес к дробному исчислению был вызван развитием теории моделирования, которая требовала более совершенного аппарата, описывающего изучаемые объекты. Стало ясно, что классический аппарат математического анализа (интегро-дифференциальные уравнения в обыкновенных и частных производных) не способен учесть различные погрешности, которые чаще выражаются степенями нецелых порядков. Это и привело к необходимости применения производных и интегралов, порядки которых могут быть дробными, иррациональными и комплексными.

Кроме того, дробные производные предоставляют превосходный инструмент для описания запоминающих устройств и наследственных свойств различных материалов и процессов. Это главное преимущество дробных производных в сравнениии с целочисленными классическими моделями, в которых этот эффект игнорируется.

Дробные производные и интегралы также применяются в теории управления динамическими системами, когда система управления описывается дробным дифференциальным уравнением.

Развитию теории интегро-дифференциальных уравнений и специальных функций математической физики способствовали такие области современных приложений дробного исчисления, как диффузионные перемещения близкие диффузии, электросети, вероятность и статистика, вязкоупру-гость, электрохимия коррозии, оптика, задачи о потоках жидкостии т.п.

Одна из первых работ, посвещенная исключительно систематическому представлению идей, методов и приложений дробного исчисления, — это книга "The fractional calculus" Oldham K.B. и Spanier J. [60], опубликованная в 1974 г. Позже появились некоторые фундаментальные работы о различных аспектах дробного исчисления, включая монографию энциклопедического типа, написанную Самко С.Г., Килбасом A.A. и Мариче-вым О.И. "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения" [37], которая объединила разные исследования в направлении по изучению дробных производных и интегралов. Сюда можно отнести работы Горенфло Р. и Весселя С. [49], МакБрайда A.C. [56], Миллера К.С. и Росса Б. [58] и обзор Россихина Ю.А. и Шитиковой М.В. [65], Нахушева A.M. [31], Псху A.B. [35].

В вышеуказанных монографиях и статьях можно найти различные приложения дифференциальных уравнений дробного порядка в физике, механике, химии, инженерии и других областях науки и естествознания с библиографией работ в этих отраслях.

Книга Капуто М. [45], опубликованная в 1969 году, в которой системно применяется его оригинальное определение дробного дифференцирования для формулировки и решения задач вязкоупругости и его лекции по сейсмологии, также должны быть включены в этот список.

Отметим и книгу Подлубного И. [62], опубликованную в 1999 г., которая посвящена главным образом дробным дифференциальным уравнениям. И, конечно, книгу [54] авторов Kilbas A.A., Srivastava Н.М., Trujillo J.J., в которой представлена теория и приложения дробных уравнений.

Кроме того, сейчас издается ряд международных журнала, целиком посвещенных только предмету дробного исчисления, например, "Journal of Fractional Calculus "Fractional Calculus and Applied Analysis'^ др.

Приводимый далее обзор использованных в диссертации результатов заимствован из [37], [54], [20], [35], [25].

2. Специальные функции

В этом разделе будут даны основные сведения о специальных функциях, которые применяются далее в работе. Эти функции играют важную роль в теории производных произвольного порядка и теории дробных дифференциальных уравнений.

1. Гамма-функция. Несомненно, одна из основных функций дробного исчисления — это гамма-функция Г (z), которая обобщает понятие факториала п! и позволяет рассматривать нецелые и даже комплексные порядки.

Гамма-функцией Г (z) называется интеграл Эйлера второго рода

+оо О

который сходится при всех г G С, для которых Re 2 > 0. Здесь жг_1 = ехр ((г — 1) 1п.х).

2. Бета-функция. Бета-функцией называется интеграл Эйлера первого рода

i

B(z,u) = J х'~1 (1-х)"-1 dx, Re 2 > 0, Re . > 0.

о

Он выражается через гамма-функцию по формуле

r(z)TM

T{z + u)-

3. Функция Миттаг-Леффлера. Функцией Миттаг-Леффлера называется целая функция, определяемая рядом

00 к

£«M = Er(¿TT)< а>0'

К—U

Также функцией типа Миттаг-Леффлера называют сумму более общего ряда

оо д.

= а>0,/3>0.

Таким образом, Ea(z) = Еа±{г).

Показательная функция, а также тригонометрические и гиперболические косинус и синус выражаются через нее:

ег = £1,1(2), ch(г) = £2,1(2), eos(z) = E2,i(iz),

вЬ(г) - гЕ2,2(22), вт(г) = -гЕ2,2(гг2). Свойства функции Миттаг-Леффлера Еаф(г) можно найти в справочнике [4] и монографии [19]. Известно соотношение

оо

/■' ""...... 1

exp(-t)tr-LEatp (taz) dt = —-, |г| < 1, приводящее к формуле для преобразования Лапласа функции (z°)

[ ехр(-ре)^"1^ (Г) = , Re р > 1. (2.1)

р1-о

Асимптотическое равенство для функции Миттаг-Леффлера при 0 < а < 2 и |,z| —> оо выглядит следующим образом

= (,'/•) _ ± + 0 (_!_) , (2.2) |argz| ^ 1/тг, v е ,

= + (2-3)

Кроме того, в теореме 1 [19] установлено, что при a € (0,1), к + а + /3 > 0 и подходящей нумерации, все достаточно большие по модулю нули п £ Z \ {0} функции просты и при п —У ±оо справедлива

асимптотика

( 7\% \ СУ

/j}n/a = 2ттт+(к+(3-1) ^1п2тг|п| + — sign nj + In + + о(1), п -> ±оо.

(2.4)

4. Функция типа Райта. В дальнейшем нами будет использована неотрицательная функция (см. [20], с. 357)

U(t) =

(T+lOO

1

2-7гг 7 ' ' (2.5)

a—too 0, £<0,

где сг>0, т>0, 0 < и < 1 и ветвь функции zv выбрана так, что

Re zv >0 при Re г >0. Эта ветвь является однозначной функцией на

комплексной z-плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной

оси. Сходимость интеграла (2.5) обеспечивается множителем exp (—tzu).

6

Заметим также, что функция при £ > 0 может быть выражена через

функцию Райта (см. [54], с. 54)

ОО £

/т,„(*) = ¿-V ы 0; -тГ") , ф(а, Ь;г) = £ ^ + или через более общую функцию типа Райта (см. [35], гл. 1)

ОО £

= г'«15 (~тГ") . ей« = £ (2.6)

а > тах{0; /3}, г 6 С.

Для функции Райта справедливо неравенство (см. [35], лемма 1.2.7)

ф(-и, 0; -г) ^ М4 (1 + гп) ехр (-рг1^-")) , (2.7)

п € М, п ^ р = (1 - и)^1'^,

а для функции типа Райта г) - оценка при 6^0, г > 0

е^С-гХСпехр^1/^) , (2.8)

где

= г/А Лп-чТ. ^МиО,

¿^Г(6 + к(1-и)) 1-й

3. Дробные интегралы и производные

Дифференциальные операторы дробного порядка могут иметь различные формы. Наиболее изученными среди них являются производные и интегралы Римана-Лиувилля. Такие дробные производные положительного порядка а > 0 определяются следующим образом.

Определение 3.1. Пусть /(£) е Ь\{а,Ъ). Интегралы

£

(/"/)(£) = [ ^ ¿з, £ > а, (3.1)

а

ь

(/« /)(£) = -1- / Ж?. £ < 6, (3.2)

\b-JJ\J Г(а)У (з-*)1"" ' ^ У

£ 4

где а > 0, называются дробными интегралами Римана-Лиувилля порядка а. Первый из них называют левосторонним, а второй — правосторонним. Операторы , называют операторами дробного интегрирования Римана-Лиувилля.

Отметим, что подход Римана-Лиувилля (3.1) к определению дробного интегрирования есть обобщение интегрирования с переменным верхним £

пределом / , взятого п раз

а

t s Sn-2

J ds J dsi... j /(sn_i)dsn_i = J(t~ sYl 1f{s)ds.

a a a a

Действительно, если мы используем формулу (п — 1)! = Г(п) и заменим натуральное п на а > 0, то получим (3.1).

Дробное интегрирование обладает полугрупповым свойством

= iVlf = ^>0, ft > о. (3.3)

Тождество (3.3) выполняются в каждой точке, если / Е С ([а, 6]), и почти всюду, если / Е (а, Ъ).

Определение 3.2. Для функции /(£), заданной на отрезке [а,Ь], каждое из выражений

= (3-4)

DU(t) = (t) (3.5)

называется дробной производной Римана-Лиувилля порядка а > О, п = [а] + 1, соответственно левосторонней и правосторонней. В частности, при О < а < 1 они принимают вид

г

(3.6)

'П

( &

а при а — п Е N = ( ) — есть обычная производная

порядка п.

С 80-х годов ХХ-го века началось исследование одномерных дифференциальных уравнений с модифицированными дробными производными Римана-Лиувилля (3.4). Такие прозводныс определяются следующими соотношениями.

Определение 3.3. Для функции /(£), заданной на отрезке [а,Ь], каждое из выражений

^+f(t) = ( D«a+ ( f(s) - ]Г ^^(s ~ а)™ ) ) (t), (3.8)

CDU(t) = (DL (fi*) ~ E ~ s)m)) (*)■ (3-9)

называется дробной производной Капуто порядка а, соответственно левосторонней и правосторонней, где п = [а] + 1 при а N и п = а при а € N.

Если а No, то для дифференцируемых функций / справедлива формула

CD« т _ 1 Г /'•»(«) ds

а

В частности, при 0 < а < 1 получаем

cD"a+f(t) = (D«a+(f(s) - /(a))) (t). (3.11)

сЩ_т = (£>?_(/(*) - /(6))) (t). (3.12)

Кроме того, ее можно представить в виде ( при а = 0)

= (ЗЛЗ) о

Эта конструкция была введена итальянским механиком Капуто М. в 1967 году в работе [44] и представлена в его монографии [45]. Поэтому за границей (3.8) - (3.10) называют дробной производной Капуто.

Но правильнее их было бы называть дробными производными Герасимова-Капуто, так как в 1948 году советский механик Герасимов А.Н. в своей работе [6] ввел частную производную вида (3.13) относительно £ на всей оси

г

№/) = ГЩ / (« > о, ® € К, 0 < а < 1).

—оо

Для а < 0 будем пользоваться также обозначением

Приведем необходимые формулы для вычисления дробного интеграла и дробной производной от некоторых функций:

£>а+(£ - а)0-1 = 0, 0 < а < 1, (3.14)

- «Г1 = " аГ+/?~1' ^ > (3-15)

- аГ-1 = - а)/,_в"1' ? > (3-16)

Чр ~

/¿V (¿»"^(-а^)) = Ер_р+а(—а^). (3.17)

Для функции £/(£) справедливо обобщенное правило Лейбница

(*/(*)) = "£+/(«) + а > 0. (3.18)

Справедливы некоторые важные свойства дробных интегралов и производных.

Если а > 0, то равенство

= Д£) (3-19)

выполняется для любой суммируемой функции /(£).

ю

Предположим, что функция /(£) € Li(a,b) имеет суммируемую производную D®+f(t). Тогда выполняется следующее равенство

n—1 An—к—1)/ \

i:+Daa+f(t) = /(t) - ]Г ^ (£ - a)Q~ ^, (3.20)

к= о 1 ^ ^

где n = [Re а] + 1 и fn-a(t) = Ia+af{t). В частности при 0 < а < 1

Ia+DZ+m = /(*) - (t - «Г1 • (3-21)

Справедлива следующая формула композиции для дробных производных. Равенство

4Vf+/ = JatPf (3.22)

выполняется в каждом из следующих случаев

1)0>О, а + Р > 0, f(t) G Li (а, 6);

2)/3<0, а>0, /(*) € (Li);

3) а < 0, а + /?<0, /(0 €/"^(Li) допустимы также случаи а; = 0, /3 = 0, а; + /3 = 0.

Здесь через J"+(Li), Re а > 0, обозначен класс функций /(t) пред-ставимых левосторонним дробным интегралом порядка а от суммируемой функции: / = I«+(p, if е Li (а, Ь).

Преобразование Лапласа дробных производных и дробных интегралов Римана-Лиувилля обладает следующими свойствами

п

= aqI/[/](A) (з.2з)

к=1

L [/&./(*)] (А) = A-°L [/(*)] (А), 0 < а < 1, (3.24)

Кроме рассмотренных существуют другие формы записи производных нецелых порядков. Например, Адамар Ж. передложил конструкцию

дробного интегродифференцирования, являющуюся дробной степенью ти-

(d\a

t— ) . Эта конструкция приспособлена к полуоси и инвариантна от-dtj

носительно растяжения.

Определение 3.4 Пусть f(t) Е Ь\{а.Ь). Интегралы

t х

Г(а)

а

Ъ

(Н 1

1 Г / <?\ 1 ч

IU){t) = r(a)Jf{s)(lnd 7; t<6' (3'26)

где а > 0, называются интегралами Адамара дробного порядка а . Первый из них иногда называют левосторонним, а второй — правосторонним. Здесь также имеет место полугрупповое свойство

= HIb-Hllf = ^ а > 0, р > 0. (3.27)

Тождество (3.27) выполняется в каждой точке, если / Е С ([а,Ь]), и почти всюду, если / Е L\ (а, Ь) (если а + /3 ^ 1, то и для / Е Li (а, 6) они справедливы в каждой точке).

Определение 3.5. Для функции f(t), заданной на отрезке [а.Ъ], каждое из выражений

t

Я^'М = г(гЪ)4/Н)"/(в)т- ie(a'TO) (3-28)

а

Ь

t

называются дробной производной Адамара порядка а, 0 < а < соответственно правосторонней и левосторонней. Если 0 < а < 1, то

HDZ+№ = t±Hi1a?№.

Для а < 0 , будем пользоваться также обозначением н D%+f = HI~+f. Справедливы следующие свойства дробных интегралов и производных Адамара.

a) Пусть а > 0. Тогда равенство

HDaa+Hi:+f(t) = f(t) (3.30)

выполняется для любой суммируемой функции f(t).

b) Предположим, что функция f(t) Е L\(a.b) имеет суммируемую производную н D"+f, то выполняется следующе равенство

HIaa+HDaa+f{t) = f(t) - Y(a) (ln I) , 0 < a < 1. (3.31)

c) Спаведлива следующая формула композиции для дробных производных. Пусть 0 < а < 1 и f(t) Е L\(a, b) имеет суммируемую производную HD°+f(t), тогда выполняется равенство:

= "DT/m - "^¡J^f (ln|)'. (3.32)

4. Полугруппа и производящий оператор

Определение 4.1. Оператор А, определенный на линейном многообразии банахова пространства X, действующий в другое банахово пространство Е, называется линейным, если он аддитивен и однороден. Линейное многообразие, на котором определен оператор, называется его областью определения В (А), а совокупность элементов вида Ах (х Е О (А)) — его областью значений.

Определение 4.2. Если О(А) = X и при всех х е X выполнено неравенство

\\Ах\\р^С\\х\\х,

то оператор называется ограниченным, а наименьшее значение константы С — нормой оператора А.

Ограниченный оператор — непрерывен. Обратно, определенный на всем пространстве X непрерывный линейный оператор — ограничен.

Определение 4.3. Функцию А(Ь) (0 < £ ^ Т) со значениями в пространстве ограниченнных линейных операторов В (X, будем называть оператором, зависящим от параметра.

Определение 4.4. Ограниченный линейный оператор называется сильно непрерывным (в точке, на отрезке), если при каждом х 6 X функция А^)х со значениями в £ непрерывна (в точке, на отрезке).

Одной из важнейших функций от оператора является его резольвента.

Определение 4.5. Если при заданном комплексном X существует ограниченный обратный оператор (XI — А)-1 (I — тождественный оператор), то число X называется регулярной точкой оператора А, а оператор Я (А, А) = (XI — А)~1 — резольвентой оператора.

Для резольвенты справедливы тождества

Я (А, А) - Я (р, А) = (Х - р) Я (А, А) Я (р, А), Я (А, А) - Я (р., В) = Я (А, А) (В-А) Я (р, В).

Из первого тождества следует, что резольвента в области регулярных точек является аналитической функцией от А со значениями в пространстве линейных ограниченных операторов В (X, X).

Определение 4.6. Рассмотрим линейные операторы А, определенные на некотором линейном многообразии О (А) пространства X, действующие в пространстве X. Оператор А называется замкнутым, если

13

из того, что хп —» х (хп € D (Л)) и Ахп —>• у следует, что х £ D (А) и у = Ах.

Ограниченный оператор, очевидно, замкнут. Существенным является тот факт, что замкнутый оператор, определенный во всем пространстве, — ограничен. Вместе с оператором А замкнут или незамкнут оператор XI — А (с областью определения D(A)), поэтому, если существует ограниченный обратный оператор (XI — А)-1, то оператор А замкнут. Другими словами, если оператор имеет хотя бы одну регулярную точку, то он замкнут.

Совокупность регулярных точек (открытое множество) оператора А обозначим р(Х). Его дополнение сг(А) называется спектром и является замкнутым множеством.

Если Ао — регулярная точка оператора А и R(X, А) — его резольвента, то оператор AR (А, А) ограничен. Справедливо следующее тождество

AR(X,A) = I + XR(X,A). (4.1)

Для производных резольвенты справедлива формула

dnRj^ А) = n\Rn+l (А, А). (4.2)

dXn v 1 v у

Определение 4.7. Семейство о