Дробное интегродифференцирование и корректная разрешимость эволюционных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Пространства с весом типа потенциала

§1.1 Некоторые необходимые определения и обозначения

§1.2 Пространства Ьрл и их свойства.

Глава II. Дробное интегродифферецирование

§2.1 Интегралы Римана-Лиувилля.

§2.2 Дробные производные Римана-Лиувилля

§2.3 О дробном дифференцировании функциии Ван дер

Вадена

§2.4 Дробные производные Маршо и Грюнвальда-Летникова

§2.5 Видоизмененная производная Грюнвальда-Летникова

Глава III. Приложения к эволюционным уравнениям

§3.1 Задача Коши.

§3.2 Оценка резольвенты оператора дробного дифференцированния.

§3.3 Эволюционные уравнения.

§3.4 Примеры.

Исследования, проводимые в диссертации посвящены применению методов дробного интегро-дифференцирования к изучению корректной разрешимости задачи Коши для абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве и, связанным с этим, изучением свойств непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций (ННД-функций).

Следует отметить, что в последнее время к таким функциям значительно вырос интерес благодаря их тесной связи с фракталами, играющими важную роль в современных исследованиях в теории динамических систем (см. [1], [2],[3]). Как отмечено в [1] стр.79, одной из заслуг Б. Мандельброта в его работах 1975-1977гг по фракталам является то, что он "указал на досадный пробел в " Началах" Евклида (неявное предположение о гладкости объектов) по которым, не замечая явного упущения, человечество на протяжении почти двух тысячелетий постигало геометрию окружающего мира и училась математической строгости изложения".

В то же время, внимание математиков к ННД-функциям было обращено задолго до Мандельброта. Как известно ([4], стр. 408, [6] стр. 106) первый пример такой функции был найден Б. Больцано в 1830 году в работе "Учение о функции", опубликованной лишь 100 лет спустя.

К. Вейерштрасс в 1871 году также привел пример такой функции

00 f(x) = £ ancos(bn7rx), п=1 где 0 < а < 1, 6-нечетное число, такое что ab > 1 + Щ- (см. [4], стр.

Примерно в то же время Дарбу построил свой пример ННД-функции ~ sin((n + l)!^

71=1 ^

Последующее затем стремление построить по возможности более широкие классы таких функций привело к вопросу о "массивности" (термин из [4], стр.111) множества таких функций в пространстве непрерывных функций, поставленном Штейнгаузом в 1929 году. На этот вопрос независимо ответили С. Банах [7] и С. Мазуркевич [8], доказав, что почти все в смысле категории Бэра непрерывные функции нигде не дифференцируемы. Множество таких функций имеет вторую категорию Бэра в пространстве Срд] всех непрерывных на [0,1] функций с равномерной метрикой (доказательство приведено в [4], п.4.3).

В 1922 году Безиковичем [9] был дан ответ на еще один, более тонкий вопрос. Он построил непрерывную функцию не имеющую ни в одной точке ни конечной, ни бесконечной односторонней производной.

Таким образом к моменту зарождения теории Мандельброта о фракталах аппарат ННД-функций был довольно основательно подготовлен.

Другая основополагающая связь объединяет фракталы с классическим фундаментальным направлением - дробным интегро-дифj ференцированием (ДИД). Этому посвящены многочисленные работы математиков и физиков([10],[11]).

Как известно диффузионные процессы на фрактальных средах А описываются уравнениями с дробными производными. Например, уравнение диффузии на фрактале имеет вид (см. [1], стр. 107). d0u(t,x) dtP где Alu(t, х) (t> 0,х€ Rn), (0.0.1) difi T{l-p)dthK } U^X)as левосторонняя дробная производная по t порядка (3 6 (0,1), xu(t,x) = Е—-лапласиан функции u(t,x).

Учитывая указанные связи: ННД-функции-^фракталы <->ДИД, возникает естественный вопрос об изучении свойств ННД-функций с точки зрения их дробного дифференцирования. Например, этот вопрос исследовался Я.Б.Зельдовичем и Д.Д.Соколовым в [10]. Где в частности приводится формула dim^f = 2 — а, связывающая порядок а дробной производной некоторой функции и фрактальную размерность по Ф.Хаусдорфу ее графика 7.

В диссертации с этой точки зрения исследуется функция Ван дер Вадена, записанная в форме приведенной в [12] оо

10пх}

М = £ "Ч^г1' (*е[о,1]) п-О iU где {ее}- расстояние от точки х до ближайшего целого числа и показывается, что эта функция имеет все производные Римана-Лиувилля дробного порядка a Е (0,1), левосторонние и правосторонние. Это, в частности, позволяет строить примеры фракталов любой наперед заданной размерности.

В связи с этим и дальнейшим использованием аппарата ДИД, приведем некоторые важные этапы его развития.

Дробные производные и интегралы были предметом внимания еще Лейбница и Эйлера. Многие известные математики мирового уровня прошлого и настоящего времени, включая Лиувиля, Абеля, Римана, Летникова, Вейля, Адамара оказали основополагающее влияние на развитие дробного интегро-дифференцирования, ставшего самостоятельным направлением в математическом анализе.

В 1987 году вышел фундаментальный труд С.Г. Самко, А.А. Килбаса, О.И. Маричева [26], посвященный этому направлению с детальным изложением истории каждого рассматриваемого вопроса и подробной библиографией, охватывающей практически все публикации по дробному исчислению и рассмотренным приложениям до 1987г.

Здесь особо подчеркивается прикладное значение ДИД. Этот аппарат используется в самых различных областях - в физике, механике, химии, биологии и др.

Первой известной задачей, при решении которой естественным образом появляются дробные производные была задача Н.Абеля о таутохроне([13]). Задача о нахождении кривой в вертикальной плоскости, по которой точка начав движение без начальной скорости в точке с ординатой х достигает горизонтальной плоскости за заданное время t = f(x). Оказывается, что эта кривая записывается в виде дробной производной от f(x).

Следующие приложения были даны Лиувиллем([14]) к задачам геометрии, физики и механики. Среди них задача Лапласа о влиянии бесконечного прямолинейного проводника на магнит, задача Ампера о взаимодействии двух таких проводников, задачи, связанные с притяжением тел, задача о распределении тепла в шаре, задача Гаусса о приближенных квадратурах и т.д.(см. обзор задач, рассмотренных Лиувиллем, также в работах А.В.Летникова [15], стр. 21-44, 1874г).

В работе А.В.Летникова [16] дано применение ДИД к решению дифференциальных уравнений вида п w Mh n

23 (am + bmx)~—- = 0, m=0 ax на основе конструкции

Daf(x) = lirn^M J v ' h-*о ha где - конечная разность дробного порядка 0 < а < 1.

Кроме того П.А.Некрасов [17]-[19] 1888-1891гг. дал приложения дробных производных в форме f(p)(2) = г^ + р) f f№

J 1 J 9.ТГi JL (t - 7.W+

2тгг JL (t - z)P+l к интегрированию дифференциальных уравнений вида (втп + bmx)xmDmf(x) = 0. тп=О

В 1915г. Г.Харди и М.Рисс [20] применили дробное интегрирование при суммировании расходяцихся рядов. "Нормальные средние Рисса" являются дробным интегралом частичной суммы ряда.

Многочисленные примеры применения ДИД при решении нестандартных задач для уравнений в частных производных указаны в [19].

Например, ([5] стр.521) поток тепла при х = 0 представляется в виде дроОнои производной где u(t, х) является решением следующей задачи и(0,ж) = О, и(*,0) = /(*), u(t,oo) = 0.

Отметим также, что применению аппарата ДИД в математических моделях биологии посвященя монография А.М.Нахушева [21].

Обзор исследований по применению фракталов и связанного с ними аппарата дробного интегродифференцирования в физике за последнее время содержится в [10], [11].

Наконец, операторы дробного интегродифференцирования естественным образом возникают при изучении корректной разрешимости задачи Коши для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. где опреатор А является генератором сильно непрерывной при t > 0 полугруппы U{t) имеющей суммируемую особенность в нуле и удовлетворяет оценке Au(t) + f(t), t> 0

0.0.2) u(0) = 0,

0.0.3)

МешЬ

0,1)).

В этом случае решение задачи (0.0.2)-(0.0.3) пред'ставимо в виде u(t)= J*U(t-s)f(s)ds, при 0 < t < Т удовлетворяет оценке l|u(t)l1 - гЩ - = м/°(11/11). где 1а - интеграл Римана-Лиувилля дробного порядка 0 < а < 1.

Диссертация посвящена исследованию корректной разрешимости таких задач. При этом вводятся и изучаются новые классы банаховых пространств, которые являются оптимальными в нижеприведенном смысле.

Пусть F и U метрические пространства с соответствующими метриками рр и ри. Согласно Адамару задача определения решения и 6 U уравнения

Аи = /, (0.0.4) где / 6 F задано, называется корректно поставленной на пространствах (F, U), если выполняются условия: а) для всякого / Е F существует и G U - решение уравнения (0.0.4), б) решение определяется однозначно, в) задача устойчива на пространствах (F,U), то есть для любого е > 0 можно указать такое 6 > 0, что из неравенства pp(f i, /2) < 6 следует ри{и\-,щ) <

Исследованию этих задач посвящено большое число работ и монографий. В этот раздел математики, большой вклад внесли как зарубежные математики, такие как Ж.Адамар, Э. Хилле, Р. Филлипе, К. Иосида, П. Лаке, Ж. Лионе, так и отечественные математики С.Г. Крейн, М.Г. Крейн, М.З. Соломяк, Ю.Л. Далецкий, Ю.И. Любич, П.Е. Соболевский, В.П.Глушко, а также их воронежские ученики В.П.Орлов, Ю.Т.Сильченко А.В.Глушак и др.

Важно отметить, что устойчивость задачи (0.0.4) зависит от выбранных топологий в U и F и, вообще говоря, подходящим выбором топологий можно формально добиться непрерывности оператора А-1, существование которого обеспечивают условия а) и б). Так в случае линейного взаимно-однозначного соответсвия оператора А и нормированных пространств U и F, устойчивость будет иметь место, если пространство F наделить нормой

II/II.F = |И1/||!7 = IMIu и тогда

11,-1,1 U-'fWu ,

II" SUP —пТн-= 1 WjWF

Однако, обычно топологии "навязываются" постановкой задачи и не могут выбираться произвольно. Так, наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии, это топологии нормированных пространств функций /(ж); х £ С Rn,

Lp(Q) = {f(x) : ||/||р = \f(x)\?dx}^,p > 1}.

С (CI) - пространство непрерывных и ограниченных в П функций с нормой c = sup|/(a?)|. xefi

- пространство непрерывных, вместе со своими производными до порядка функций

C<'>(f2) = {f{x) : fM(x). e C(f2), Ц/11, = E ||/W||<7,1 = 1, 2.} k=0

Wl - пространства С.А.Соболева.

И? = {/(*) : /Ww 6 II/H,, = Е ||/<«||Р,г = 1,2.} k=Q

В зависимости от задачи, наряду с этими пространствами, используются также и весовые пространства.

Ьр,р(П) = {/(я) : p(x)f(x) € Lp(£l), Ц/IUp =

Cp(tl) = {f(x) : pW/W G ||/||, = sup \p(x)f(x)\.}

Например, рассмотрим задачу Коши для простейшего дифференциального уравнения и\х) = f(x) X G [О, Т), /(а?) € С([ О, Г)) (0.0.5) w(0) = 0. (0.0.6)

Требуется найти u(rc) € C^QO, Т))-удовлетворяющую (0.0.5)-(0.0.6).

Таким образом в этом случае F = С([0,Т)),£/ = С(1)([0, Г)). Очевидно, что решение этой задачи единственное и имеет вид и(а;)= £f(s)ds. (0.0.7)

Если 0 < Г < оо, то из (0.0.5) и (0.0.7) следует

IMItf = Мс + IMIc < (1 + T)\\f\\c = (1 + T)\\f\\F.

Это дает устойчивость по начальным данным и таким образом задача (0.0.5)-(0.0.6) корректна по Адамару в пространствах (С, С^), если Т < оо. Однако при Т = оо это не так. Поэтому возникает вопрос о пространствах, в которых задача (О.О.б)-(О.О.б) корректна на полуоси (0, оо).

В связи с этим рассмотрим, например, весовые пространства CP(Q) с весом р(х) = е~ах, (а > 0). В этом случае, из (0.0.7) имеем,

Ж1 < Г eias]e(-as)\f{s)\ds < sup Г eQX

J0 5£[0,co) J0 ax ^ g(ax) f\\c,p <—\\f\\c,pa a то дает оценку u\\c,P < M^. (0.0.8) a

Теперь, учитывая неравенство Ци'Цс.р < ||/||с>> следующее из (0.0.5), получим и\\с,р + \\и'\\с,р<

С,р а

И следовательно для пространств

U = (и(ж) : и'(х) € Ср([0, оо)), и G Ср([0, оо))}, F = {f(x):f(x)eCp([0,oo))} задача (0.0.5)-(0.0.6) корректна при Т = оо.

Аналогично этому простейшему случаю, в общей ситуации, при исследовании корректной разрешимости задач для абстрактных интегро-дифференциальных уравнений приходится изучать возникающие интегральные операторы и вводить соответствующие пространства, в которых эти операторы ограниченно действуют.

Приведем еще некоторые примеры банаховых пространств, наиболее часто используемых с этой целью.

1. Пространства Гельдера, нормы в которых вводятся по формуле ял = тах|/(*)|+ sup №i)-/Mi AG (0,1) sen xux2en \XI-X2\A

2. L^p-пространства с мультипликативным весом, норма в которых имеет вид п /п[П \x-xkr\f(x)\4x}^ к=О

3. Важный класс банаховых пространств Wpn при исследовании теорем вложений с нормой

11/11 = sup \х - s\1~1\f(x)\pdx]1/p, зе(од) J0 рассмотренные С.Г.Крейном и В.П.Глушко в [22], [23].

В связи с этим, с целью изучения корректной разрешимости начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, где ядра соответствующих интегральных операторов имеют особенность, в диссертации вводятся и изучаются классы пространств векторнозначных фнкций f{x)(x G [0,1] С R\) со значениями в банаховом пространстве Е, "навязанные" операциями дробного интегродифференцирования и обобщающие известные пространства Lp с нормой ll/lk = [С\f(x)\pdx]1/p, (р > 1). (0.0.9)

Пусть Е - банахово пространство и А - множество [0,1]. Через ЬрЛ и L~ будем обозначать пространства векторнозначных функций f(x) со значениями в банаховом пространстве Е, при каждом t G [0,1], локально интегрируемых по Риману, для которых конечны нормы

Очевидно, что если Е = R1 и 7 = 1, то нормы (0.0.10) и (0.0.11) совпадают с нормами Lp-пространств (0.0.9).

В диссертации устанавливаются следующие свойства пространств

Lp,I

1) При 7 > 1 нормы (0.0.10) и (0.0.11) эквивалентны нормам в Lv с обычными весами:

2) Если 0 < 7 < 1, то нормы и L~ не эквивалентны.

3) Если 7i > 72, то справедливо вложение ЬРП2(0,1) С LP)7l(0,1).

4) Эти пространства банаховы.

5) Гладкие функции в них плотны.

6) Справедливо

0.0.10)

0.0.11)

Lp,7 П Lpn - W?hk.

7) Справедливо мультипликативное неравенство

II / IU<II / н;, r,7;, r>p>q.

1-е

При условии

7r 7V 7q r p q

Лемма 1.2Л.Если'yi > 72, то справедливо вложение Lpn2(од) С (0,1)

Основные результаты диссертации относятся к изучению в этих пространствах :

1) операторов дробного дифференцирования Грюнвальда-Летникова \ а к; и(х - k6n), (0.0.14) где бп = х — а п х — к8п € D(u), Vfc = 0, l.n. и дробного интегродифференцирования Римана-Лиувилля г(д-а) гх Г(—а) Ja

DaaJ{x) = sign(x-a) гх f(t)dt а < Q

М а = 0

0.0.15)

- а)|ёйг^-Н-1/(а;) а > 0

Здесь важен вопрос о том, являются ли эти операторы генераторами сильно непрерывных полугрупп в соответствующих пространствах. С этой целью, в соответствии с теорией Хилла-Филлипса-Иосиды, исследуются резольвенты соответсвующих операторов дробного дифференцирования, в частности операторы D1+a порядка 1 + а {а е (0,1)).

Однако в этом случае формула (0.0.14) имеет вид гл1+а , ч Г ^гп+аи(х) v VVy(x) D + и(х) = lim " v у = lim — " v y ' TJ.—il 4-rv n—wvi V1 -4-rv n—*OQ Al+O!

UTl un

IK и для наших исследований не является удобной, так как приводит к рядам со знакопеременными коэффициентами, оценка которых вызывает непреодолимые технические трудности.

В связи с этим вводится определение дробной производной, которая представляет собой некоторое видоизменение производной Грюнвальда-Летникова.

AV" lim -г-~и(х) = Da+Lu(x). п-н-оо АаН-1 v ' 4 ' ип

Важным отличием нового определения является то, что его использование приводит к рядам со знакопостоянными коэффициентами, что в приложениях в абстрактном случае позволяет получить более простые и точные оценки.

В диссертации устанавливается эквивалентность этих производных и производных Римана-Лиувилля и доказывается, что эти операторы являются производящими операторами сильно непрерывной полугруппы в пространствах С^^^у А именно доказывается

Теорема 3.2.2. Норма резольвенты оператора Da+1 ограничена в С(-.00,00) и справедлива следующая оценка

1+Q-А/)"1!! < 1

Re(Xa+1)'

Отсюда, в силу теоремы Хилле-Филлипса-Иосиды, следует равномерно корректная разрешимость задачи du = Au(t), t>0,u(Q) = u0, (0.0.16)

UjL где оператор А задается дифференциальным выражением D1+a и областью определения D(A) = {и 6 Cf-oo.oo)»Dl+au е С(оо,оо)}

Это, в частности дает равномерно корректную разрешимость задачи (0.0.1) при х G R1, А и = и"(х), а = 2/3-1, | < 7 < 1. 2) Для интегральных операторов Римана-Лиувилля

Iim) = ^-Jt^-t)a-1f(x)dx, х>а,

1 [a) Ja

I-f№ = щ Jt\t - xT~lf{x)dx, X < 6, где а > 0, в частности, устанавливается важное свойство, состоящее в том, что они образуют сильно-непрерывную полугруппу в пространствах суммируемых функций Ьрл(0,1). А именно, справедлива

Теорема 0.0.1 Операторы дробного интегрирования образуют в LPil(0,1) полугруппу сильно-непрерывную для всех а > 0, то есть для любой функции f(t) Е Lpn,t G [0,1] выполняются соотношения

Ia+Pf(t) = IaI^f(t). \\Iaf\\<C\\f\la>0. \\Iaf — /|| —» 0, a —» 0.

Наряду с этим в диссертации обобщаются известные теоремы Харди-Литтлвуда о действии операторов дробного интегрирования Римана-Лиувилля в пространствах Lp(0,1) на случай действия этих операторов в пространствах Lpj.

Теорема 0.0.2 Если 0 < а < 1 а тах{ 1, < р < то оператор дробного интегрирования ограниченно действует из LP:lp в ЬТЛт где 1 < г < и 27f — ^ + a > 0. И справедлива оценка

P?/lk7, <c||/llw

17 где константа С не зависит от /.

Теорема 0.0.3 В случае когда а > 0,р > ограниченно дей

7 1 ствует из Lva в На~р, кроме того I+f(t) = o(ta~p) при t —> О, где sup H^ + ^-^WII. k=О *€[0,l],|fc|<l Щ

И справедлива оценка

Н/г/Нд-л < с||/1к„

Полученные результаты применяются к исследованию оценки решения следующей задачи.

Пусть Е банахово пространство и f(t) £ векторнозначная функция со значениями в Е. Оператор А - генератор сильно непрерывной полугруппы. Рассмотрим в Е задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка. u'(t) = Au(t) + f(t) (0 < t < 1), u(0) = 0 (0.0.17)

Для оценки ослабленного решения задачи (0.0.17) справедливы

Теорема 0.0.4 Если А-генератор полугруппы сильно-непрерывной в Е при t > 0, удовлетворяющий оценке

МешЬ

11)7(4)11 < -1Г> (0.0.18) и f(t) удовлетворяет условию Гёлъдера f(t)-f(r)\\<C\t-T\\ тогда, если ^ — + 1 — (3 > 0 (т > р), то ослабленное решение u(t) задачи (0.0.17) существует и справедлива оценка

1М*)1к17г < с||/1к7р, где костанта С не зависит от /.

Теорема 0.0.5 Если А-генератор полугруппы сильно-непрерывной в Е при t > О, удовлетворяющий оценке

Mewt

1№)Н < (0-0-19) и f{t) удовлетворяет условию Гёлъдера f(t)-f(r)\\<C\t-r\\ тогда, если ^ + (3 — 1 > 0, то ослабленное решение u(t) задачи (0.0.17) существует и справедлива оценка

1М*)||я1„2 < C\\f\\Lpn, где константа С не зависит от /.

Определив функциональную банахову структуру, согласно [24], как вещественное линейное пространство, которое является структурой по отношению частичного упорядочения х < у, удовлетворяющему условиям если х < у, то х + z < у + z] если х < у, то ах < ау или ах > ау при всех а > 0 (соответственно а < 0), отметим, что в классе функциональной банаховой структуры эти оценки являются неулучитаемыми.

В диссертации приведены примеры таких операторов А. Пример 1. Пусть Е = {и е L±vu' е L±vu(0) = u(l) = 0}, оператор А задан дифференциальным выражением Аи — и"(х), х G [0,1] и область

D(A) = {ие L%y е L%,u(0) = «(1) - 0}, тогда D(A) ф D(A) и для полугруппы U(t), генератором которой является оператор А выполняется оценка (0.0.18) с (3 = 1/2(1 + Пример 2. Пусть Е — {и G L*vu(0) = 0, /д1 u(x)dx = 0},

D(A) = {ие g 0) = J\(x)dx}.

Тогда оператор А является генератором полугруппы U(t), для которой оценка (0.0.18) выполняется при (3 = 1/2(1 +

Заметим, что частным случаем приведенных операторов являются операторы рассмотренные Ю.Т.Сильченко в [25] при 7 = 1.

1. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. - М.: Постмаркет, 2001.

2. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. -М.: Постмаркет, 2000.

3. Каток А.Б., Хасселблант Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.

4. Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, функции распределения. Киев: Наукова думка, 1992.

5. Курант Р. Уравнения в частных производных.т.2. М.: Мир, 1964, 830с.

6. Darboux G. Memoire sur les fonctions discountinues. Ann. Sci. Ecole Norm Super, 1875.

7. Banach C. Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionnen-mengen. Stud. Math., 1931.8} Mazurkiewicz S. Sur les fonctions non derivables. Stud. Math., 1931.

8. Безикович А.С. // Исследование непрерывных функций в связи с вопросом об их дифференцируемости. Мат.сб. N4, 1924 -с.529-556.

9. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д.// Фрактали, подобие, прмежу-точная ассимптотика. Успехи физ. наук. 1985. - т.146, вып.З.- с.493-505.

10. Соколов И.М. // Размерности и другие геометрические показатели в теории протекания. Успехи физ. наук. 1986. - т.150, вып.2. - с.221-254.

11. Рис Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 587 с.

12. Abel N.H.// Solution de quelques problemes 'a l'aide d'integrales de'finess. Leipzig: Teubner,1884 - T.l - p.11-27

13. Liouville J. // Memoire sur quelques questions de geometrie et de mecanique, et sur un nauvean genre de caluel pour resoudre ces questions. J.l/Ecoll Roy, Politechn. - 1832, T.13, seet.21. - p.1-69.

14. Летников А.В. // Теория дифференцирования с произвольным указателем. Мат. сб. 1868 - т.З. - с.15-68.

15. Летников А.В. // Об историческом развитии теории дифференцирования с произвольным указателем. Мат. сб. 1868 - т.З- с. 85-112.

16. Некрасов П.А. // Общее дифференцирование. Мат. сб. 1888- т.14, вып.1 с.45-168.

17. Некрасов П.А. // Приложение общего дифференцирования к интегрированию уравнений вида £"=0(as + bsx)xsDsy — 0. Мат. сб. 1888 - т.14, вып.1 - с.344-393.

18. Некрасов П.А. // Приложение общего дифференцирования к задаче о приведении многократных интегралов (в связи с интегрированием уравнения Лапласа). Мат. сб. 1888 - т.14, вып.1- с.410-426.

19. Hardy G.H., Riesz М. // The general theory of Dirichlet's series.- 1915 N18 - p.78.

20. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. M.: Высшая школа, 1995.

21. Глушко В.П., Крейн С.Г.// Неравенства для норм производных в пространствах Lp с весом. Сибирский мат. журнал. 1960- т.1, N3 с.343-382.

22. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.-624с.

23. Сильченко Ю.Т. Линейные дифференциальные уравнения с неплотно заданными операторными коэффициентами и связанне с ними краевые задачи. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Минск. 1999.

24. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.М. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск.: Наука и техника. 1987, 698с.

25. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы.- М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 829с.

26. Функциональный анализ (под редакцией С.Г.Крейна). М.: Наука, 1972. - 544с.

27. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464с.

28. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. т.2. М.: Фазис, 1998, 490с.

29. Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М.// Шкалы банаховых структур измеримых функций. Труды Московского математического общества. 1967 - т.17 - с.294-322.

30. Климентова В.Б. Оценка резольвенты оператора дробного дифференцирования.// Сборник трудов молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж.2001 - с.80-86.

31. Климентова В.Б. К теореме Харди-Литтлвуда для дробных интегралов.// Труды XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. М.: 2001 - с.154-162.

32. Климентова В.Б., Костин В.А. Об операторвх дробного интегрирования.// Тезисы докладов ВЗМШ-2001. Воронеж.:2001 -с.150-151.

33. Климентова В.Б. Пространства Ьр,7(о, 1) и операторы дробного интегрирования.// Труды математического факультета. -вып.(новая серия), 2001 Воронеж - с.74-88.

34. Климентова В.Б. О дробных интегралах Римана-Лиувилля.// Тезисы докладов ВЗМШ-2002. Воронеж.:2002 - с.37-39.

35. Климентова В.Б. К теореме Харди-Литтлвуда-Полиа для дробных интегралов.// Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов". М.: 2001 - с.247.

36. Климентова В.Б. Пространства с разностным весом и эволюционные уравнения.// Материалы ВЗМШ-2003. Воронеж.: 2003 - с.123-124.

37. Климентова В.Б., Костин А.В., Костин В.А. О дробном дифференцировании функции Ван дер Вадена.// Материалы ВЭМШ-2003 Воронеж.:2003 - с.124-125.