Исследования по теории нестандартных форм одномерного и многомерного дробного интегродифференцирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

1 и у %

РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный совет К 063.52.13 по физико-математическим наукам

На правах рукописи

ЯХШБОЕВ МАШАДИЁР УМИРОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ НЕСТАНДАРТНЫХ ФОРМ ОДНОМЕРНОГО И МНОГОМЕРНОГО ДРОБНОГО ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

; 01.01.01 - математический анализ

... АВТОРЕФЕРАТ .....

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1992

Работа выполнена в Ростовском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор С.Г.Самко

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.И.Буренков

кандидат физико-математических наук, доцент В.А.Рабинович

Ведущая организация - Институт математики и механики

Республики Азербайджан

Защита состоится " Ю " ' 1992 г. в часов

на заседании специализированного совета К 063.52.13 по флзико-математическим наукам в РГУ по адресу: 344104, г.Ростов-на-Дону, ул.Зорге, 5, мехмат, ауд. 239. '

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ (ул.Пушкинская, 148).

Автореферат разослан " " _ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, профессор

С.Б.Климентов

'' АЯСТвЕННЛЯ ¡^пиотекА

ОБЩАЯ ХАРЖГЗШСШКА РАБОТЫ

Дель работы и ее актуальность - исследование операторов дробного штегродифференцирования,. не инвариантных относительно

сдвига (инвариантных относительно растяжений, локального типа и др.) в случае одного и многих вещественных переменных. Основными объектами исследования в диссертации .являются:

I.-Дробное интегрирование по Адамару, инвариантное относительно. растяжения. ........

.. 2. Дробное интегрирование локального типа (конструкция Чже-ня). . .....

3. Односторонние шаровые потенциалы (о.ш.п.). . . . Дробные производные и интегралы Адамара использовались в работах. Р.Г.Мамедова, Г.Н.Оруджева, а Г.П.Емгушевой и В.А.Ноги -ным вводились.адамаровские аналоги риссовых потенциалов в многомерном .случае.

. Одна из поставленных задач состояла в исследовании.вопроса о совпадении областей определения различных форм адамаровских операторов дробного дифференцирования.в рамках пространств Ьр со степенным весом. Ранее в лиувиллевском. случае в,, работах С.Г.Самко было доказано, что область определения дробной произ -родной Грюнвальда-Летникова совпадает .е..областью определения . . дробной производной.Маршо при рассмотрении предела по норме пространства .Хр( Я"). . ... ...... ... .............. - ■

.. . Другая модификация лиувиллевского дробного интегродифферен-цирования, связанная с уходом от бесконечности.в.интегральной конструкции и носящая.поэтому локальный характер, появилась в работе У. №- С11еп .. который, исходил из конструкции Римана-Лиу -вилля. А.В.Скориков дал аналог модификации Чженя для конструкции

Шршо и использовал.ее для описания пространства Lp(cx,-&) бесселевых потенциалов. ...

В работах Б.С.Рубина были.рассмотрены о.ш.п. многомерные аналоги операторов дробного интегрирования Еимана-Лиувилля. Мы устанавливаем связи между ниш с помощью некоторого радиально-

сингулярного интегрального оператора.............................

.В работах многих .авторов рассматривались асимптотические разложения интегральных операторов на.бесконечности (Э.Я.Еиекс -тынына, А.А.Килбаса, R.A. Handekman , J.S.Lew , R.Wong ,. J. P. McCtui . и др.). Мы-используем один из известных методов, (метод последовательных разложений).для.получения асимптотического разложения на бесконечности односторонних шаровых потенциалов и. для потенциалов Еисса.. Последнее обобщает результат А.А.Килбаса,

полученный-только.дня.радиальных плотностей. ........... ............

Методика исследования. В работе используются методы теории функций: интегральные представления, теория мультипликаторов,

усреднения, сингулярные интегралы.. . -.............

Научная новизна и практическая значимость. Все .основные.ре -зультаты диссертации являются новыми. Получено обращение и описание смешанных дробных интегралов Адамара. от функций из ..

Lp$(R+, eta) Решен вопрос о совпадении областей определения различных форм адамаровских операторов дробного дифференцирова -ния. Даны различные, способы урезания конструкций..Маршо-Чженя для дробного дифференцирования

(Dft ... -Устанавливается связь, между... о.ш.п. разных „типов. Эти-.связи. применяются .к решения} .одного-нового типа-многомерного, интегрального уравнения 1-го рода.. Построены асимптотические разложения как для риссова, так и для о.ш.п. при |х|-».оо. .................. ....................................

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты мо -

- 5 -

'рут бьта нсшшэовшщ в теории интегральных.уравнений в пршетд-зых задачах,, -приводящих к мног.омернш штеграивным уравнениям: ■ первого.родао а при решении.задач математической физики, при разработке .новых.спецкурсов.

Апробация работы..Результаты диссертации докладывались на Северо-Кавказской региональной конференции "Линейные операторн в функциональных пространствах" (г.Грозный, 1989 г.), на Междуна родной научной конференции "Дифференциальные, и интегральные, уравнения. .Математическая физика и специальные функции" (г.Самара, 1992 г.) и неоднократно.на семинаре профессора Самко С.Г. "Линейные операторы в функциональных пространствах" (РТУ, г.Ростов-на-Дону),....

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 статьях, список которых.приводится в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, включающих в себя 16 параграфов.и приложение. Объем работы - 192. страницы машинописного текста, в списке лите ратуры 56 названий.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДЦССЕРТАЩИ

. Во введении сделан краткий, обзор литературы по теме диссертации, приведены сведения об апробации, объеме и структуре работы и кратко изложено ее содержание.

. В первой главе исследуется дробное интегродифференцирование по.Дцамару, инвариантное.относительно растяжения, в терминах дробных разностей. Именно, Адамар ввел дробные интегралы вида

(£ ^г тк Ь ^ ^

- 6 -

Дробнад производная по Адамару имеет при о< ос < 1 вид

§ I вносит предварительные сведения и вспомогательные леммы, связанные с пространствами

О 1 ,

1<р СОО , у, V £ Й1 и

. § 2 посвящен свойствам дробного интегродифференцирования по Адамару. в свете.современной теории функции. Устанавливается связь с подходом А.Грюнвальда и А.В.Летникова, который состоит в определении дробной производной равенством

5 М = -тл-' С1)

♦1 +0

ОС с*3 .

Где (Дд £)(«) (?) £ (о: &) - разность дробного

порядка ос функции $(эс),- ссбК1 .. Адамаровские аналоги конструкций (I), вводимые в § 2, имеют вид

где (ДЦ*Я(*)= Х^Н)1^)^*"^)" Разность дробного

- 7 -

порядка ct -функции í(*) , ccg Kj. P с "мультипликативным" шагом íi «

В § 3 исследуется вопрос о совпадении областей определения в L р; у и различных форм дробного дифференцирования

Адамара-Маршо (по направлению,, смешанного) с той или иной раз -ностной формой типа (2). Приведем соответствующий результат для случая смешанного дробного дифференцирования.

Теорема 3.4. Пусть € h i , f £ t; <oo , Л{ ? 0 ,

i = i,ii . Дробная смешанная производная типа Гргонвальда-Летни -нова-Адамара

fi-91-0 (I-fin

а?,r>

где ñ = fin) и смешанная дробная производная Маршо-Адамара

ш _

существуют в )yjs,у , 4ipi£c*> , у1,- г о , г = 1,н , одновременной совпадают при всех ¿¡ > «<¿ , íriTñ (при С с - О интегрирование.в (3) отсутствует по тем переменным , для которых - 0)..

. Конструкции Дцамара-Маршо используются, в частности, в § 4 при доказательстве следущей теоремы обращения дробных интегра -лов Адамара от функций из l*p,f CRJ ,¿tx) .

Теорема 4.4. Пусть f r f , f ¿ hfiy (R.1 ,

где У; >0 , di ? о , 1 é P¿ ¿ OO или ¿f¿ - o , o < <x¡ < 1 ,

1 ¿ Pe * > ¿ = Vi . Тогда

fi-^i-o

где предел можно рассматривать как в , так и почти всюду.

Во второй главе рассматривается модификация лиувиллевского 'дробного интегродифференцирования на прямой I?1 , "привязанная" к некоторой фиксированной точке сеЦл , |с| <оо (конструкция Чженя):

№

с с

5 ({-х)*"1 усссс,

о

х<И,,«£>о , где = Э±(сс-с) , б* (х) =

= — (1 * . Построены различными способами урезания

конструкций Маршо-Чженя для дробного дифференцирования (5). Эти различные варианты урезания применяются доя описания и обращения дробных интегралов (4) от функций из |«р (Я1) . Получаемые ре -зультаты можно рассматривать как иллюстрацию преимущества дроб -ного интегродифференцирования 1с , $)с перед обычным интегро-

дифференцированием Лиувилля 1+ = , «О* - • Это

преимущество - в возможности рассматривать на прямой I?1 функ -

ции из Ьр (К1) с любым поведением ва бесконечности.

Во второй главе дается распространение теории такого дроб -ного интегродифференцирования на случай функций.двух переменных в рамках пространств .

. (или

. ) со смешанной

нормой. В § 5 даны сведения о дробном интегродифференцирования локального типа (конструкции Чженя). В § 6 получено интегральное представление для усеченных дробных производных ("квазисверточ -

- 9 -

ное усечение";"усечение", зависящее от точки ос ) и некоторые другие утверждения. § 7 содержит теорему обращения и описания дробных интегралов в терминах "квазисверточных" усеченных дроб -ных производных (случай функции одной и двух переменных). Спра -ведлива следущая теорема обращения для случая пространств со смешанной Ьр .-нормой.

Теорема.7.3. Пусть 1 = , где (или

(ос

^бЦ'М1) ), со , «х^о , 1 = 1,2 . СбЦг . Тогда

где предел - как двойной, так и оба повторных ^'т =

- - существуют в пространстве 1*р(аг) (в

соответственно). Кроме того, оба повторных предела существуют также и почти для всех хй Я2 .

В § 8 в связи с интегральными представлениями рассматривается один класс несверточных усреднений:

о о

и

ов оа - со -во

исследуется их сходимость к как по норме (или

(ос

1р (Я1) ), так и почти всщцу. В случае, когда ядро %не зависит от "X , известны некоторые теоремы о сходимости почти всюду подобных.усреднений с произвольной зависимостью от £ (см., например, работы II. Уе^ и Т.Ктокам ). В § 8 получен •результат, являщийся существенно более общим (в том числе и дяя сверточных операторов) и охватывающий широкий класс ядер.

В § 9 дается теорема обращения и описания дробных интегра -

- 10 -

лов в терминах усеченных дробных производных с "переменным" урезанием (в случае.функций одного и двух переменных)..

■ Теорема 9.4. Для того, чтобы f(oc) была представима в виде fícOsdcYH*) . где <pél¿p(R2) , 1 <?i«x> , *i>о , i=i.z ,

(c-t.C^éR* , необходимо и достаточно, 'чтобы |ос, - с4 |"0Í1 * X |0СА- ctl~** f(x) £ Lp,C(Hz) И чтобы в JvfjíR*) существовал предел (fin0 «frí*) ~ |>>и (lD?,ff )(х) , где £ = ( |cc,-cf|, íx Iосд,—cxI ) (любой из повторных или двойной предел.в необходи -мой части и какой-нибудь из них в достаточной части).

В § 10 получено.распространение на случай функций двух переменных того свойства, что факт представимости функции дробным интегралом не'зависит от выбора точки ce fta , т.е.

ytbf c=p U Id Y, Y'bp при крс<± , ¡ri,í .

Ранее такое утверждение для функций одного переменного было получено в работах V.W.Chen и А.В.Скорикова.

В третьей главе диссертации рассматриваются односторонние шаровые потенциалы (о.ш.п.):

'О^М-теЫ "Г-У (6)

IJI < lai 0

Iplxl û

Известно, что риссов потенциал

допускает следущую "факторизацию":

Третья глава посвящена изучению связи между о.ш.п. разных типов, осуществляемая с помощью многомерных сингулярных операторов. В одномерном случае такая задача была решена в работах С.Г.Самко.

§ II имеет вспомогательный характер.. Основным результатом § 12 главы.Ш.является доказательство следувдего утверждения . (связь о.ш.п. друг с другом с помощью сингулярного оператора).

Теорема 12.1. Пусть о<«*< 1 и . Справедли-

вы равенства

((Й^Г'В^Ы f(x) + sinew (S (9)

- cosdST </>(*) - SinaSr ( S УН*; , (ю)

(Ь- + slndfr(Sv)Cx), (II)

(biibiyfHQsmedrwx) _ s'm^(iic<2^f)ixi (I2)

где г** = |эе|я<А,

1 № jr Jn ,31я_|а(а Ш)

Rn

В § 13 доказана теорема об ограниченности в kp(Rn),-i<p<eo/ сингулярного оператора S , S с помощью теоремы о Фурье-мульти-шшкаторах.

В § 14 дается обоснование связей (9)-(12) для £ l*p[Rn). . Теорема I4.I. Пусть е hp(Rn), к р< ^ , о<<*<!. Тогда

Ь? у + Г/ЛвСЯ-в? |ос|-*« у,

К у = сл%«хВ*у - апссзг &"§ у, = с4>ь*зг 6+ у + ей** Я В+ *р,

1Й<р = СОЬе0ГВ-'Р - И'П*1Г 1Х1гы §0X1-*« ¡£ у,

где $ , 5 - сингулярные операторы (13), (14).

Эти связи применяются в § 15 к решению многомерного интегрального уравнения 1-го рода

иЙ"Р + =5 (15)

с постоянными коэффициентами М,о?"; о < «* <1 (многомерное обой -щенное уравнение Абеля). Указанные связи приводят уравнение (15) к радиально-сингулярным интегральным уравнениям. Пользуясь из -вестной для них информацией, мы получаем выводы о разрешимости уравнения (15).

В § 16 строятся асимптотические разложения как для.потенциала Рисса (8), так и для о.ш.п. (6)-(7) при 1*1 00 ..Такие, разложения были получены ранее для риссова потенциала (8) только, в случае радиальной плотности у = в работах А.А.Килбаса.

Получаемый наш результат обобщает эти исследования и дает асимптотическое разложение потенциала Рисса (и о.ш.п.) с произвольной плотностью с получением оценок для остаточных членов. Предполагается, что плотность у(эс) имеет следующее асимптотическое разложение при |ос| о° :

¿1 «•=-#г >

т=о 1X1

где коэффициенты (ос') достаточно гладки на единичной сфере

ОП-1

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю

профессору С.Г.Самко за постановку задач, постоянное внимание и

помощь в работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следуицих

работах: ... . . . 1

1. Самко С.Г., Яхшибоев М.У. Дробное интегродифференцирование, .. инвариантное относительно растяжения. Ростов н/Д, 1990. 24 с.

. Деп. в ВИНИТИ 26.03.90, Я 1604-В90. . .

2. Самко. С.Г., Яхшибоев М.У. Дробное дифференцирование Чжеш-Мар-шо фушсций на (?1. с произвольным ростом.на.бесконечности..

. Ростов н/Д, 1990. 40 с. Деп. в ВИНИТИ 24.10.90.й 5491-В90.

3. Самко С.Г., Яхшибоев М.У. Кратное дробное интегродифференциро-вание локального типа в пространствах Ьр(Я2) со смешанной нормой. Ростов н/Д, 1991, 85 с. Деп. в ВИНИТИ 12.03.91,

. А 1074-В91. ,

4. Самко С.Г., Яхшибоев М.У. Об одной модификации дробного интег-родифференцировашя Римана-Лиувилля, применимой к функциям на

И1 с любым поведением на бесконечности // Изв. вузов. Матем.

. 1992, И.4..С. . .

5. Самко С.Г., Яхшибоев М.У. Многомерное дробное дифференцирование, инвариантное относительно растяжения, в терминах дробных разностей..Ростов н/Д, 1991. 55 с. Деп. в ВИНИТИ 29.12.91,

. № 4901-В91. . .

6. Самко С.Г., Яхшибоев М.У. Связи между односторонними шаровыми потенциалами через радиально-сингулярные операторы. Ростов н/Д,

. 1992. 74 с. Деп. в ВИНИТИ 16.01.92, Л 172-В92.

7. Самко С.Г., Яхшибоев М.У. Односторонние шаровые потенциалы и радиально-сингулярные интегральные уравнения // Тезисы докла-

дов.Международной научной конференции "Диф. и интегр. уравнения. Математическая физика и специальные функции". Самара„ . 1992, С.222........

8. Яхшибоев М.У. Дробное интегродифференцирование на полуоси, инвариантное относительно.растяжения, в терминах дробных разностей // Тезисы докладов. Там же, 1992 г. С. 284-285.

9. Яхшибоев М.У. Асимптотические представления потенциала Еисса. Ростов ц/Д, 1992 . 40 с. Деп. в ВИНИТИ. 2<% От с}1,