Дробное интегродифференцирование переменного порядка в пространствах обобщенной и переменной гельдеровости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Кочуров Евгений Сергеевич

ДРОБНОЕ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА В ПРОСТРАНСТВАХ ОБОБЩЁННОЙ И ПЕРЕМЕННОЙ ГЁЛЬДЕРОВОСТИ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2011

2 4 [.¡АР ¿011

4841170

Работа выполнена в Южном федеральном университете на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Вакулов Борис Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Балашова Галина Сергеевна

доктор физико-математических наук, профессор Кондаков Владимир Петрович

Ведущая организация: Белгородский государственный университет

Защита состоится 5 апреля 2011 года в 15— часов на заседании совета Д212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильча-кова, 8-а.

С диссертацией можно ознакомиться по' адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан „ \ " марта 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д212.208.29

Кряквин В. Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. В диссертации рассматривается действие операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования переменного порядка в обобщённых пространствах Гельдера с характеристикой, зависящей от параметра, и в пространствах переменной гёльдеровости со степенными весами.

В настоящее время проведено большое число исследований по описанию образов и обращению операторов дробного интегрирования и дифференцирования в пространствах Гельдера. Ещё Г. Харди и Д. Литтлвуд показали, что оператор дробного интегрирования постоянного порядка действует из пространства Гёльдера Нд в пространство А + а < 1, с „лучшим" показателем гёльдеровости, а оператор дробного дифференцирования — из пространства Яр, А > а, в пространство Яр~а с „худшим" показателем гёльдеровости. Позднее Б.С. Рубиным были получены аналогичные теоремы о действии оператора в пространствах Гёльдера постоянного порядка со степенными весами. В работах Н.К. Карапетянца и А.И. Гинзбург рассматривались дробные интегралы и дробные производные постоянного порядка в пространствах переменной гельдеровости и был получен изоморфизм этих пространств, осуществляемый дробным интегралом. Действие операторов дробного интегрирования переменного порядка в пространствах переменной гельдеровости в безвесовом случае изучено в работах Б. Росса и С.Г. Самко. Здесь было показано, что дробное интегрирование переменного порядка „улучшает" гёльдеровость функций из указанных пространств.

Действие дробного интегрирования и дробного дифференцирования постоянного (вещественного) порядка в пространствах обобщённой гёльдеровости в безвесовом и весовом случаях рассматривалось в работах Х.М. Мурдае-ва и С.Г. Самко. Здесь же был получен изоморфизм указанных пространств, осуществляемый дробными интегралами. В случае постоянного комплексного

порядка интегрирования изоморфизм обобщённых пространств Гёльдера со степенными весами, также осуществляемый оператором дробного интегрирования, был доказан Н.К. Карапетяндем и Л.Д. Шанкишвили.

В диссертационной работе основное внимание уделяется исследованию зависимости отображений, осуществляемых операторами дробного интегрирования и дробного дифференцирования переменного порядка а(х) в обобщённых пространствах Гёльдера переменного порядка Яы' '([а, Ь]) и в весовых пространствах переменной гёльдеровости Нх^> (р), от локальных значений а(х), \{х) и х). Так, для обобщённых модулей непрерывности указанных операторов были получены оценки типа Зигмунда. С их помощью доказаны теоремы о действии дробных интегралов и дробных производных переменного порядка в пространствах обобщённой переменной гёльдеровости. Эти теоремы о действии позволили получить метод регуляризации интегральных уравнений Абеля переменного порядка в пространстве //"''([а, 6]). Также было изучено действие операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования переменного порядка в весовых пространствах переменной гёльдеровости.

Подобные исследования в случае, когда и характеристика пространства Гёльдера, и порядок дробного интегрирования или дифференцирования зависят от параметра (от конкретной точки и переменного предела интегрирования), ранее не проводились и представляются актуальной задачей.

Цели работы.

- Получить оценки типа Зигмунда для обобщённых модулей непрерывности дробных интегралов и дробных производных переменного порядка от функций из пространств обобщенной переменной гёльдеровости;

- Доказать теоремы о действии операторов дробного интегродифференци-рования переменного порядка в указанных пространствах;

- Отыскать общий вид произведения оператора дробного интегрирования переменного порядка слева на оператор дробного дифференцирования переменного порядка, сохраняющего пространства обобщённой переменной гёльдеровости, и, как следствие, метод регуляризации интегральных уравнений первого рода в этих пространствах;

- Исследовать действие операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования переменного порядка в пространствах переменной гёльдеровости со степенными весами.

Научная новизна. Все полученные в данной диссертационной работе результаты являются новыми.

Методы исследования. В работе применяются методы теории функций вещественной переменной и функционального анализа. В частности, для получения теорем о действии операторов дробного интегрирования и дифференцирования в пространствах обобщённой переменной гёльдеровости использован метод оценок типа Зигмунда. Также при доказательстве основных результатов широко применяются известные числовые неравенства.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы, например, при исследовании дифференциальных свойств функций и при решении некоторых интегральных уравнений первого рода.

Апробация работы. Наиболее значимые результаты диссертации докладывались на XVI международной конференции „Математика. Экономика. Образование" (Новороссийск, 2008), на XVIII международной конференции „Математика. Экономика. Образование" (Новороссийск, 2010), на Воронежской зимней математической школе „Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2011), неоднократно докладывались на

семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Южного федерального университета „Линейные операторы и функциональные пространства". Также результаты диссертации были представлены на международной конференции молодых учёных „Математический анализ и математическое моделирование"(Владикавказ, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ. Их список приведён в конце автореферата. Публикация [1] выполнена в издании из перечня ведущих периодических изданий, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов. В совместных с Б. Г. Вакуловым статьях [1],[7]—[9] Б. Г. Вакулову принадлежат постановка задач, выбор методик исследования и общее руководство работой, а соискателю — реализации указанных методик.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из трёх глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объём работы составляет 102 страницы, библиография — 56 наименований.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Вакулову Б.Г. за постановку задач, поддержку и внимание к работе.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор используемой литературы, изложены актуальность темы, цель работы, методы исследования, научная новизна, публикации и личный вклад автора в совместные работы, апробация работы, значимость, структура и содержание работы.

В главе I получены оценки типа Зигмунда для обобщённых модулей непрерывности левосторонних и правосторонних операторов дробного инте-

dt.

грирования

Г*> f №dt

a

b

T«() f(T\ drf 1 [ f^dt

ы n ' T{a(x)\J (t-xy-Ф)

X

и операторов дробного дифференцирования

Нт\ = f{x) + а(х) f /W-Zft) a+ J K ' Г[1 - a(i)](i - Г[1 - q(i)] J {x - t)i+«W

a

f ы = f(x) + a(a:) ( MlMdt

ы M ' r[l-a(i)](b-i)«W Г[1-а(1)]У (i - i)i+«W

X

переменного порядка а(ж), 0 < а(ж) < 1. В нашем случае эти оценки носят локальный характер и зависят от точек ж 6 [а, Ь].

§1 носит вспомогательный характер. В нём содержатся определения, обозначения, вспомогательные сведения и утверждения. Приведём некоторые определения, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Пусть функция f(x) определена и ограничена на отрезке [а, 6] вещественной оси. Под локальным модулем непрерывности функции f(x) понимается выражение

u(f,t,x) = sup \ f(x + h) — f{x)\, |A|<Í

определённое для всех t £ [0, ¿ — a] иг Е [a, 6]. Определение 1. Через = #<"()([

а, 6]) обозначим пространство функций f е С([а, 6]) таких, что u(f,t,x) < cui(t,x) для всех х € [а, Ь\, где с> 0 не зависит от х и t. Это пространство банахово относительно нормы

||/Ин"<) = II/||с([а,Ь]) + SUP

ОО

При рассмотрении левосторонних (правосторонних) дробных интегралов и дробных производных переменного порядка символом Н^'\[а,Ь]) будем обозначать подпространство функций из 6]), обращающихся в ноль в точке а (обращающихся в ноль в точке Ь).

Функцию ш(£, х) называют характеристикой или характеристической функцией пространства Я"*). В частности, при = мы получаем

пространство Гёльдера переменного порядка. Далее будет дано развёрнутое определение указанного пространства.

Определение 2. Говорят, что функция /(ж) принадлежит классу ЯА^ ([а,6]), где Л(ж) — положительная (не обязательно непрерывная) функция, 0 < А(х) < 1, если неравенство

|/(* + Л)-/(*)Кс|Л|АМ

выполняется для всех х, х + И € [а, Ь].

ЯА(Х) ([а, 6]) является банаховым пространством относительно нормы

хе[а,Ь] \ЩЧХ1

1+Ле[а,!)]

В случае, когда Х(х) = 1 на [а,Ь\, получаем пространство Липшица, которое будем обозначать Ыр([а, &]).

Определение 3. Пусть р(х) — неотрицательная функция. Через (р) = яАМ ([а, Ь],р) будем обозначать класс функций /(х), таких, что р(х)/(х) 6 ЯА^' ([а, 6]). Пространство (р) полно относительно нормы

11/11я^)(р) = Цр/Цяад-

Пусть р(х) — вес вида (х — а)ц или (6 — х)", где р. и и — некоторые действительные числа. Через Н^ (р) = Яд'1' ([а, Ь], р) будем обозначать подпро-

8

странство всех тех функций / е (р^ дЛ}1 которых произведение р(х)/(х) обращается в ноль в точках, к которым „привязан" вес р(х).

Везде при рассмотрении (левостороннего) дробного интегрирования и

что р(а)/(а) = 0 независимо от того, „привязан" или нет вес р{х) к точке х = а.

Также в §1 была доказана следующая

Лемма 1. Пусть со(Ь,х) - функция типа модуля непрерывности по переменной Ь для каждого х 6 [о, 6] и шо == 1пГ ш(Ь — а, х) > 0. Тогда

оператор умножения на функцию g 6 Lip([a,b\) ограничен в 6]) и

В §2 получены оценки тина Зигмунда для разностей функций, являющихся дробными интегралами или дробными производными переменного порядка. Из леммы 1 следует, что при рассмотрении операторов дробного интегрирования и оценки типа Зигмунда достаточно получить для интегралов

дробного дифференцирования в пространстве Н^ (р) договоримся о том,

х€[а,Ь]

вН^\[а,Ь}).

х

х—а

И

а

Ь

0

Ь—х

х

0

соответственно, а для операторов дробного дифференцирования Б"! и — для множителей

'ь-

и

во внеинтегральном выражении из и D™b" и для интегралов def f f(x) - № м _ Tf(x) - f(x - t)M и

в(х)** [ fix)-mdt= f

a 0

Sm drf } [fix) ~ f{t)}dt _ b7[f(x) -j(x + t)]dt

£l+a(x)

0

Везде в наших рассуждениях считаем, что u>{t, х) является функцией типа модуля непрерывности по переменной t для каждого х 6 [а, 6], и что uj{t, х) равномерно по х не зануляется вне начала координат:

inf ui(t, х) > 0 при S > 0.

ie[o,ii] t€(5,b-a)

При указанных предположениях в §2 были доказаны следующие утверждения: Теорема 1. Пусть выполняются условия

а £ Lip ([а, Ь}) и 0 < inf а(х) ^ sup а(х) < 1. (1)

хе[а,Ь] яфд

Если / £ Яо(')([о,Ь]), то для функции ip справедлива следующая оценка типа Зигмунда

Ь-а

\ф + h) - ф)\ < c\\f\\n"h J h > 0. (2)

h

Теорема 2. Пусть выполняются условия (1). Если / G #о^([а, wo для функции ф справедлива следующая оценка типа Зигмунда

Ь—а

\ф{х + h)- <р(х)\ < cll/Ця-Л J h > 0. (3)

h

Теорема 3. Пусть выполняются условия (1). Если / 6 6]), то

для функций д(х) и в(х) справедливы следующие оценки

л

' х)

(4)

п

\е(х + н)-в(х)\^су\\н» I

ш(Ь,х) +

■ +

+ -

¿1+а(х) ¿1+а(х+Л) ¿1+о(х+Л)

м.

(5)

Теорема 4. Пусть выполняются условия (1). Если / е #о"([а, Ь]), то для функций д{х) и в(х) справедливы следующие оценки

\д(х + к)~~д(х)\^сУ\\н. У

х) х + К)

Л,

(6)

\9{х + Л) — 0(х)1 ^ с||/||я'

п /

х + Н) ш(1,х + К)

11+а(х)

+

£1+а{х)

+ ■

¿1 +а(х+Л)

<И. (7)

В формулировках теорем 1-4 постоянная с > 0 не зависит от х, И, и /.

В главе II рассматривается действие дробого интегродифференцирова-ния переменного порядка в пространствах обобщённой переменной Гёльдеро-вости 6]), а также применение полученных результатов к решению

некоторых интегральных уравнений первого рода.

В §3 были получены теоремы о действии операторов дробного интегрирования ' и дробного дифференцирования ' в обобщенных пространствах Гёльдера Ны^([а,Ь]) с переменной характеристикой. Для их формулировки нам понадобится следующее

Определение 4. Говорят, что функция х) принадлежит по переменной 4 обобщенному классу Зигмунда-Бари-Стечкина где 0 ^ 6(х) < Р{х),х € [а, 6], если выполняются условия:

1. по £ непрерывна и почти возрастает на [О, Ь — а] равномерно по

х 6 [а, 6], и = 0 для каждого х € [а,6],

2 /(^'^^«.(/цх),

о л

где 0 < /г < 6 — а, постоянная с не зависит от к и ж 6 [а, 6].

Через Ф1^'' мы также обозначаем соответствующий класс, для которого выполняется только условия 1 и 2, а через — класс с условиями 1 и 3, так что Ф^ = Ф^ ' П $/?(•)■

Обозначим

ч>а{1, х) = Ьа(-х)и>Ц, х), ш_а(г, х) = Га<хЦг, х).

Центральными результатами данного параграфа являются следующие утверждения:

Теорема 5. Пусть выполнены условия (1), функция являет-

ся функцией типа модуля непрерывности по 4 для каждого х € [а, 6] и ш(£,х) € Ф1_а(х).Тогда оператор ограниченно действует из пространства 6]) в пространство 6]).

Теорема 6. Пусть выполнены условия (1), функции и){Ь, х) и "„¿^ являются функциями типа модуля непрерывности по 4 для каждого х е [а, 6], € Фа<х> и

схш(к,х) ^ а>(/г, х + К) < с2ш(к,х), И > 0, (8)

где С1,С2 > 0 и не зависят от х и к. Тогда оператор ограниченно действует из пространства #о^([а,6]) в пространство 6]).

Теорема 7. Пусть выполнены условия (1), функция ж) является ф\)нкцией типа модуля непрерывности по £ для каждого х € [а, 6], а>(£,а:) € Ф1-а(х) « выполняется условие (8). Тогда оператор ' ограниченно действует из пространства Н^ \[а,Ь]) в пространство 6]).

Теорема 8. Пусть выполнены условия (1), функции ш(£,а;) и являются функциями типа модуля непрерывности по £ для каждого х £ [а, 6], е <$<*(*> и выполняется условие (8). Тогда оператор ' ограниченно действует из пространства ([а, Ь]) в пространство Яо"а' '([а, Ь]).

Для доказательства теорем 5-8 были использованы оценки типа Зигмунда (2) - (7).

Полученные теоремы о действии можно переформулировать в терминах известных в теории пространств Орлича индексов Матушевской-Орлича для функций ш(£, х), зависящих от параметра х € [а, Ъ\.

In

т{и>, х) = sup —

Ol

In t (-0 In t

ЬГШЙ«! In [IS

М(ш,х) = inf h0^-1 = lim

V ' t> 1 In t t^oo In t

Теорема 10. Пусть выполнены условия (1), функция и(t,x) является функцией типа модуля непрерывности по t для каждого х е [а, 6] и локальный индекс М(и, х) функции u>(t, х) удовлетворяет неравенству

esssup[M(a>, х) + а(х)] < 1.

х€ [а, Ь]

Тогда оператор ограниченно действует из пространства 7/g^([a,ö]) в пространство 6]).

Теорема 11. Пусть выполнены условия (1), функции о>(£, ж) и ^^ являются функциями типа модуля непрерывности по £ для каждого х € [а, 6] и выполнено условие (8). Если локальный индекс т{и>, х) функции х) удовлетворяет неравенству

евзш{[т(а;,а;) — а(х)] > О,

х€[а,6]

то оператор ограниченно действует из пространства Яц "([а, Ь}) в пространство Ь]).

Теорема 12. Пусть выполнены условия (1), функция ш(1,х) является функцией типа модуля непрерывности по £ для каждого х 6 [а, 6], выполняется условие (8) и локальный индекс М(ш, х) функции х) удовлетворяет неравенству

е88Бир[М(и;,а;) + а{х)\ < 1.

х€[а,Ь]

Тогда оператор ограниченно действует из пространства Н^ \[а,Ь]) в пространство Яд"^'([а, Ь]).

Теорема 13. Пусть выполнены условия (1), функции а>(£,а;) и ^^ являются функциями типа модуля непрерывности по ( для каждого х 6 [а, 6], выполняется условие (8) и локальный индекс т(и>,х) функции удовлетворяет неравенству

еввт^т^х) — а(ж)] > 0.

Тогда оператор ' ограниченно действует из пространства Я^([а, Ь]) в пространство Яо~°^'([а,&]).

Обозначим Пдг = (—оо, Лг), N <С оо. В §4 была получена следующая теорема об общем виде произведения 1"+', сохраняющего пространства Яр "([а, 6]):

Теорема 14. Пусть выполнены условия

1. О < inf а(ж) < sup а(х) < 1,

хё[а,Ь] х€[агЬ]

2. а е С^М]),

3. ui[t,x) и являются функциями типа модуля непрерывности по переменной t для каждого х € [а, 6],

4.

5. и>0 =f inf w(b — а, х) > О,

хе[а,Ь]

6. c\uj(h,x) ^ Lj(h,x + h) ^ C2iu(h,x), h > О, где ci,c2 > О не зависят от х и h.

И пусть для некоторого N £ (Ь, оо) функция ä(x) есть гладкое финитное продолжение а(х) на f2jv, удовлетворяющее условиям

1. О < т ^ ä(x) ^ М < 1, для всех х G

2. а е С1 (Плг),

Тогда для всех f € Н^'\[а, ¿]) справедливо представление

X

(d^ ч) W = К1 + (*) = Ф) +1 Ф, * - tMt)dt.

а

При этом оператор L вполне непрерывен в //q ^([а, Здесь функция к(х, £) имеет вид

КМ =---J -j^FSw-аУ-

о

Указанный результат позволяет провести регуляризацию интегрального уравнения Абеля переменного порядка в пространствах обобщённой переменной гёльдеровости.

Глава III посвящена изучению действия левосторонних операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования в пространствах переменной гёльдеровости со степенными весами (х — аY и (Ь — х)".

В §5 исследовано действие дробного интеграла 1"+' и дробной производной в весовом пространстве Гёльдера ([а,Ь],р) с весом р(х) = (х — аУ,ц < А_ + 1, „привязанным"к концевой точке дробного интеграла или дробной производной. А именно, были доказаны следующие утверждения:

Теорема 15. Пусть выполняются условия

1. О < а- а(х) < а+ < А_ ^ А(ж) ^ А+ < 1, для всех х € [а, 6]

2. а 6 Ыр ([о, 6])

3. |A(ar -f h) — А(х)| < 11^ ь,0, A=const>0, для всех х,х + h € [а, 6]

4. А+ + а+ < 1

5. А (а) = А+

Тогда оператор ограниченно действует из пространства Hg^ (р) в пространство (р), где р(х) = (х — a)>',ß < А_ + 1.

Теорема 16. Пусть выполняются условия

1. О < Q_ < а(х) < а+ < А_ < Х(х) ^ А+ < 1, для всех х £ [а, 6]

2. aeLip([a,b])

3. |А(х + h) — А(х)| ^ 1+1д ь», A=const>0, для всех х, х + h е [а, Ь]

4. А+ + а+ < 1

5. А(а) = А+

Тогда оператор ограниченно действует из пространства Н^ (р) в пространство (р), где р(х) = (х — а)1*,р. < Л_ + 1.

В §6 изучено действие операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования в весовом пространстве Гёльдера ([а, Ь],р) в случае веса р(х) = (Ь — хУ, и > А+ + а+, „привязанного"к точке, отличной от концевой точки х = а. Основным результатами здесь являются утверждения:

Теорема 17. При выполнении условий

1. О < q_ ^ а(х) < а+ < А_ ^ Х(х) ^ А+ < 1, для всех х 6 [а,Ь]

2. a G Lip ([а, 6])

3. |А(х + h) — A(rc)I ^ А_„, A=const>0, для всех х,х + h е [а,Ь]

l+ln h

4. Х+ + а+ < 1

5. А(6) = А+

оператор ограниченно действует из пространства Н^ (р) в пространство Я0Л(1)+а(1) (р), где р(х) = (Ъ- х)\ v > А+ + а+.

Теорема 18. При выполнении условий

1. О < Q_ ^ а(х) ^ а+ < А_ ^ А(:г) ^ А+ < 1, для всех х £ [а, Ь]

2. а в Lip ([а, Ь})

3. |А(х + h) — А(ж)| < Л-», A=const>0, для всех х, х + h е [а, Ь]

l+ln h

4. \+ + а+ < 1

5. А(Ь) = Х+

оператор ограниченно действует из пространства Hq^ (р) в пространство где р(х) = (Ь — х)", v > А+ + а+.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Вакулов Б.Г., Кочуров Е.С., Операторы дробного интегрирования и дифференцирования переменного порядка в пространствах Гёльдера

// Владикавказский математический журнал, 2010, Т. 12, №4, С. 3-11.

[2] Кочуров Е.С. Действие оператора дробного интегрирования переменного порядка в пространствах Гёльдера переменного порядка со степенными весами. Деп. в ВИНИТИ, Ростов-на-Дону, 2010. №604-В. 21 с.

[3] Кочуров Е.С., Действие операторов дробного интегрирования и дифференцирования в пространствах переменной гёльдеровости со степенными весами // Фундаментальная математика и её приложения в естествознании: тезисы докладов междунар. школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых учёных. - Уфа: РИЦ Баш ГУ, 2010, С. 7.

[4] Кочуров Е.С., Дробное интегрирование переменного порядка в пространствах обобщённой переменной гёльдеровости со степенным весом // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж, ВГУ, МГУ, Математический институт им. В.А. Стсклова РАН, 2011, С. 187-188.

[5] Кочуров Е.С., Изоморфизм пространств Гёльдера, осуществляемый дробным интегралом переменного порядка // Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета, 2010, Т. XV, С. 38-43.

[6] Кочуров Е.С., Об обратимости оператора дробного интегрирования переменного порядка в пространствах переменной гёльдеровости // Математический анализ и математическое моделирование: Труды междуна-

родной конференции молодых ученых. - Владикавказ, ЮМИ ВНЦ РАН, 2010. С. 98-99.

[7] Кочуров Е.С., Вакулов В.Г., Изоморфизм обобщённых пространств Гёль-дера, осуществляемый дробным интегралом переменного порядка // Тезисы докладов XVIII международной конференции „Математика. Экономика. Образование",' VI международного симпозиума „Ряды Фурье и их приложения" и междисциплинарного семинара „Информационно-коммуникационные технологии", 2010, С. 64-65.

[8] Кочуров Е.С., Вакулов Б.Г., Оператор дробного дифференцирования переменного порядка в пространствах Гёльдера ЯАМ // Тезисы докладов XVI международной конференции „Математика. Экономика. Образование" и V международного симпозиума „Ряды Фурье и их приложения", 2008, С. 16.

[9] Кочуров Е.С., Вакулов Б.Г., Оператор дробного дифференцирования переменного порядка в пространствах Гёльдера // Труды XVI международной конференции „Математика. Экономика. Образование" и V международного симпозиума,.Ряды Фурье и их приложения", 2008, С. 50-52.

Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Формат 60x84/16. Объем 1,0 уч.-изд.-л. Заказ № 2098 Тираж 100 экз. Отпечатано в КМЦ «КОПИЦЕНТР» 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Суворова, 19, тел. 247-34-88

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Оценки типа Зигмунда для обобщённых модулей непрерывности дробных интегралов и дробных производных переменного порядка.

§ 1. Вспомогательные сведения. п. 1.1. Функции типа модуля непрерывности и некоторые их свойства п. 1.2. Обобщённые пространства Гёльдера с характеристикой, зависящей от параметра. п. 1.3. Понятие весовых пространств Гёльдера переменного порядка 23 п. 1.4. Дробные интегралы и дробные производные переменного порядка. п. 1.5. Обобщённые классы Зигмунда-Бари-Стечкина Ф^.). п. 1.6. Индексные числа Матушевской-Орлича и их связь с классами Ф^. п. 1.7. Некоторые вспомогательные утверждения и соотношения

§ 2. Оценки типа Зигмунда для обобщённых модулей непрерывности операторов 1ь( ), и

ГЛАВА 2. Теоремы о действии операторов дробного интегрирования и дифференцирования в пространствах обобщённой переменной гёль-деровости.

§ 3. Действие операторов и в пространствах Нш('\[а, 6])

§ 4. Регуляризация интегрального уравнения Абеля переменного порядка

ГЛАВА 3. Действие операторов дробного интегродифференцирования в пространствах переменной гёльдеровости со степенными весами

§ 5. Действие операторов и в пространствах Нх^ ([а, Ь], р) в случае веса [х — а.

§ 6. Действие операторов и в пространствах Нх^ ([а, 6], р) в случае веса (6 — х)и.

В данной диссертации рассматриваются левосторонние и правосторонние операторы дробного интегрирования

1а(0 fix) - 1 [ f(t)dt (о I) a b

I«() f(x) <M 1 f (o 2) ib- f[X) T[a(x)}J (t-xy-»(*) X и операторы дробного дифференцирования X

D<*> f(x) -M+ "W f /W ~ /(*) dt f0 z) r[l - a(®)](® - a)°(*) Г[1 - a(x)] J {x - t)i+«(*)ar' 1 j a b

D*<-> f(x) =M+ a(a?) Í /М ~ / W dt f0 4) b" JK ' Г[1 - a(x)](b - x)°W T[1 - a(x)] J (t - ®)i+«(*) { } X переменного порядка a{x), 0 < а{х) < 1, в обобщённых пространствах Гёльдера Нш^'\[а,Ь]) с характеристикой, зависящей от параметра, и в пространствах переменной гёльдеровости Нх^ ([о, 6], р) со степенными весами. В нашем случае характеристика w(t, х),0 < t < Ъ — а, принадлежит классу типа Зигмунда-Бари-Стечкина по переменной t равномерно по ж, а вес р{х) имеет вид (х — aY или (Ъ — х)и, где fi и v — некоторые действительные числа.

В последнее время сильно возрос интерес к изучению пространств переменного порядка, когда параметры, определяющие пространство, обычно постоянные, могут изменяться от точки к точке. Типичным примером такого пространства является обобщенное пространство Лебега с переменным показателем, определяемое модуляром§ \/(х)\р^с1х. Другим примером п является пространство Гельдера переменного порядка, определяемое условием а>(/, ^ сЬх^х\х Е где локальный модуль непрерывности а;(/, функции / равен эир |/(ж + К) — /(ж)|. Известны и более общие пространства, а именно, обобщенные пространства Гельдера с переменной характеристикой ж), зависящей от х: о;(/, х) ^ сигде мажоранта х) - функция типа модуля непрерывности по переменной £ (для каждого х 6 [а, Ь]).

Целью работы является исследование зависимости отображений, осуществляемых дробными интегралами и дробными производными переменного порядка, от локальных значений а(х), Х(х) и при заданных ограничениях на величины /1 и р. Необходимость такого исследования возникает, например, при исследовании дифференциальных свойств функций или при решении некоторых интегральных уравнений первого рода (см., напр., [24]).

В настоящее время проведено большое число исследований по описанию образов и обращению операторов дробного интегрирования и дифференцирования в пространствах Гёльдера. Так, первый результат в данной области принадлежит Г. Вейлю (см. [47]). Он показал, что периодические функции, удовлетворяющие условию Гёльдера порядка Л, имеют непрерывные дробные производные порядка а < А. Для непериодических функций подобный результат был получен П. Моптелем в работе [32]. Более точно действие операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования в пространствах Нх было изучено Г. Харди и Д. Литтлвудом в работе [25]. В ней была доказана теорема о действии оператора дробного интегрирования постоянного порядка из пространства Гёльдера Hq в пространство Hq+0l , А + а < 1, с „лучшим"показателем гёльдеровости, а также теорема о действии оператора дробного дифференцирования из пространства Hq , А > а, в пространство Hq~а с „худшим" показателем гёльдеровости. Позднее B.C. Рубиным (см. [23]) были получены аналогичные теоремы о действии оператора в пространствах Гёльдера постоянного порядка со степенными весами. Дробные интегралы и дробные производные постоянного порядка в пространствах переменной гельдеровости рассматривались в работах Н. К. Карапетяпца и А. И. Гинзбург [12], [26]. Там же был получен изоморфизм этих пространств, осуществляемый дробным интегралом. Дробные интегралы переменного порядка в пространствах переменной гельдеровости рассматривались в работах Б. Росса и С. Г. Самко [33], С. Г. Самко [42]. Дробное интегродифференцирование на отрезке вещественной оси в пространствах обобщённой гёльдеровости в безвесовом и весовом случаях рассматривались в работах X. М. Мурдаева [17],[18], X. М. Мурда-ева и С. Г. Самко [19] - [21]. Действие операторов дробного интегрирования чисто мнимого порядка в пространствах Гёльдера постоянного порядка на отрезке вещественной оси со степенными весами было изучено в работе Н.К. Карапетянца и Л.Д. Шанкишвили [14]. Дробное интегродифференцирование комплексного порядка в пространствах обобщённой гёльдеровости со степенными весами рассматривалось в работе Н.К. Карапетянца и

Л.Д. Шанкишвили [29]. Здесь же был получен изоморфизм указанных пространств, осуществляемый дробным интегралом. Многомерные потенциалы и гиперсингулярные интегралы в пространствах переменной, обобщённой и обобщенной переменной гельдеровости рассматривались в работах Б. Г. Ва-кулова [2] - [4], [5] - [8], [45], Б. Г. Вакулова, Н. К. Карапетянца и Л. Д. Шанкишвили [9],[10],[46] и Н. Г. Самко и Б. Г. Вакулова [11]. Наиболее общие результаты о действии операторов типа потенциала и сответствующих гиперсингулярных операторов в рамках обобщенных пространств с переменными характеристиками были получены в работе Н. Г. Самко, С. Г. Самко и Б. Г. Вакулова [11], где рассматривались пространства гёльдеровых функций, определенных на однородных пространствах (квазиметрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения).

Ещё одним важным вопросом является регуляризация интегральных уравнений первого рода. В работе С. Г. Самко [43] рассматривается вопрос о регуляризации уравнения Абеля переменного порядка в пространствах Ьр. Там же изучен вопрос об обращении оператора дробного интегрирования переменного порядка в указанных пространствах. К уравнению типа Абеля приводит целый ряд естественно-научных задач (см., например, [15] с. 230). К таким относится задача отыскания закона распределения размеров шаровых частиц, погруженных в непрозрачную среду, по измерениям сегментов, которые получаются при пересечении частиц случайными плоскостями или задача из теории „глобулярного скопления" в астрономии (глобулярное скопление представляет собой собрание звезд, расположенных вокруг общего центра сферическими слоями постоянной плотности). В настоящей работе регуляризация интегрального уравнения Абеля переменного порядка проводится в пространствах обобщённой переменной гёльдеровости.

Диссертация состоит из трёх глав, разбитых на 6 параграфов. Теоремы (леммы, формулы, замечания). нумеруются двумя цифрами, первая из которых указывает на номер параграфа, а вторая — на номер теоремы (леммы, формулы, замечния) внутри параграфа.

В главе I получены оценки типа Зигмунда для обобщённых модулей непрерывности операторов дробного интегрирования (0.1),(0.2) и операторов дробного дифференцирования (0.3),(0.4). В нашем случае эти оценки носят локальный характер и зависят от точек х 6 [а, 6].

§1 носит вспомогательный характер. В нём приведены определения, обозначения, вспомогательные сведения и утверждения. В частности, здесь была доказана следующая

Лемма 1.1 Пусть - функция типа модуля непрерывности по переменной Ь для каждого х Е [а,Ь] и сио ^ т£ со{р — а, х) > 0. Тогда оператор умножения на функцию д Е Ыр([а,Ь]) ограничен в 6]) и в Я0"Н([а,6]).

В §2 получены оценки типа Зигмунда для разностей функций, являющихся дробными интегралами или дробными производными переменного порядка. Из леммы 1.1 следует, что при рассмотрении левостороннего и правостороннего операторов дробного интегрирования (0.1) и (0.2) оценки типа

Зигмунда достаточно получить для интегралов х хd f(t)dt f f (х- t)dt и S def f f(t)dt f J (X - ,).-(.) = J

1 -a(x) a 0 def f f(t)dt b?Xf(t + x)dt def f f(t)dt f

-1-а{х) 0 соответственно. А для левостороннего и правостороннего операторов дробного дифференцирования (0.3) и (0.4) — для множителей х - а)а(ж) (Ъ- х)а№ во внеинтегральном выражении из (0.3) и (0.4) и для интегралов

4 ' ] (х-г)1+а(х) ] а 0 ] У (г- ху+°(*) У *!+«(«) х 0

Везде в наших рассуждениях считаем, чтоа;(£,:г) является функцией типа модуля непрерывности по переменной I для каждого х е [а, Ь], и что а>(£,ж) равномерно по х не зануляется вне начала координат: т£ > 0 при 8 > 0. же [а,6] ье(6,ь-а)

Основными результатами §2 являются следующие утверждения: Теорема 2.1 Пусть выполняются условия а € Lip([a,b}) и 0 < inf а(ж) ^ sup о;(а;) < 1. (1) хе[а,Ц же [а,6]

Если / е Яо(-)([ а, 6]), то для функции <р справедлива следующая оценка типа Зигмунда

Ь—а м* + Л) - ¥>(*)! < с||/||я«Л |Л > 0. (2) Н

Теорема 2.2 Пусть выполняются условия (1). Если / £ Н^\[а,Ь]), то для функции ср справедлива следующая оценка типа Зигмунда

Ь—а ф{х + Л) - ф{х)\ < с||/||я"Л | Л > 0. (3) г

Теорема 2.3 Пусть выполняются условия (1). Если / £ //^^([а, &]), то для функций д(х) и справедливы следующие оценки h

4) П в(х + h) - 9(x)\ ^c\\f\\H. J uj(t,x) ж + /г) fl+a(x) fl+a{x+h) f-l+a{x+h) dt. (5)

Теорема 2.4 Пусть выполняются условия (1). Если f € #о°(М]); то для функций д(х) и 9{х) справедливы следующие оценки п я(х + h) - g(x)\ ^cll/llflw J иj(t,x) и}(t,x-\-h) j-l+a(x) -f-l+a(x+h) dt,

6) в(х + h) - §{x)\ uj(t, x) u(t, x + h) uj(t, x + h) fl+a(x) fl+a(x)

1+a{x+h) dt. (7)

В формулировках теорем 2.1—2.4 постоянная с > 0 не зависит от x,h и /.)

Теоремы 2.1—2.4 доказываются с использованием свойств функций типа модуля непрерывности, а также следующих неравенств: xß ~ Л < М\х - у\ [mm{x: у}]^1, я > 0, у > 0, р < 1, (8) - у| [max{®, t/}]""1, ж > 0, у > 0, р ^ 0. (9)

В главе II рассматривается действие дробого интегродифференциро-вания переменного порядка в пространствах обобщённой переменной Гёльдеровости 6]), а также применение полученных результатов к решению некоторых интегральных уравнений первого рода.

В §3 были получены теоремы о действии операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования в обобщенных пространствах Гёльдера b]) с переменной характеристикой. Для их формулировки нам понадобится следующее

Определение 1.9. Говорят, что функция иj(t,x) принадлежит по переменной t обобщенному классу Зигмунда-Бари-Стечкина Ф^'.), где 0 ^ 5(х) < ß(x),x G [a,b], если выполняются условия

1. х) по t непрерывна и почти возрастает на [0, b — а] равномерно по х G [а, 6], и lim cü(t, х) = 0 для каждого х G [а, 6], t—f+о о

3. Y^Y^^fldt^ccü^x), h где 0 < h < b — а, постоянная с не зависит от h и х Е [а,Ь].

Через Ф5^ мы также обозначаем соответствующий класс, для которого выполняется только условия 1 и 2, а через Ф/3(.) — класс с условиями 1 и 3, так что Ф^ = Ф5^ ПФЖ-)

Обозначим ua(t, х) = ta^uj(t, х), wa(i, х) = х).

Центральными результатами данного параграфа являются следующие утверждения:

Теорема 3.1 Пусть выполнены условия (1), функция u(t,x) является функцией типа модуля непрерывности по t для каждого х Е [а, 6] и Lo(t,x) Е Ф\-а{х).Тогда оператор ограниченно действует из пространства &]) в пространство

Теорема 3.2 Пусть выполнены условия (1); функции uj(t,x) и являются функциями типа модуля непрерывности по t для каждого х Е [а,Ъ], иj(t,x) Е Фа{х) и c\uj{h, х) ^ uj(h, х + К) ^ C2Uj(h, х), h > О, (10) где Ci,C2 > 0 и не зависят от х и h. Тогда оператор ограниченно действует из пространства Н^'\[а,Ь}) в пространство Hq 6]).

Теорема 3.3 Пусть выполнены условия (1); функция w(t, х) является функцией типа модуля непрерывности not для каждого х Е [а, 6], co(t, х) Е

Ф1-а(а:) и выполняется условие (10). Тогда оператор ограниченно действует из пространства Н^'\[а, 6]) в пространство Н^^([а, &]).

Теорема 3-4 Пусть выполнены условия (1), функции ц>{Ь,х) и являются функциями типа модуля непрерывности по £ для каждого х Е [а, Ь], ш{1,,х) Е и выполняется условие (10). Тогда оператор ограниченно действует из пространства Н^ ([а, Ь}) в пространство Н^а{'\[а:Ь]).

Для доказательства теорем 3.1 - 3.4 были использованы оценки типа Зигмунда (2) - (7).

Полученные теоремы о действии можно переформулировать в терминах известных в теории пространств Орлича индексов Матушевской-Орлича для функции ш(Ь, ж), зависящих от параметра х Е [а, Ь]:

1п т(ш, х) — эир *>1

- ш{Ъ,,х)

1.Л->0

1п

1п

М(ш.х) = т£ 4 ' ¿>1 Ит

1п

1п* Ит

-»сю

1п£ ыг

Сделать это позволяет следующая теорема (см. [11], Следствие 2.11): Теорема 1.1 Пусть выполнены условия

А ¿ЕС(М) и

ЩЩ [Р(х) - 5(ж)] > 0. х&[а, Ь]

Тогда ш{Ь,х) Е Ф^ <!=>- езБЫ[т(и;,х) - ¿(ж)] > 0, хе[а,ь] ш{Ь,х) Е Ф/}(.) ез8 8ир[М(а;, х) - /3(х)] < 0. хб [а, 6] и) (12)

С учётом (11) и (12), теоремы 3.1 - 3.4 принимают вид:

Теорема 3.5 Пусть выполнены условия (1); функция си(t, х) является функцией типа модуля непрерывности по t для каждого х 6 [а, 6] и локальный индекс М{си,х) функции си(i, х) удовлетворяет неравенству ess sup[М(со, х) + о;(ж)] < 1. хЕ[а,Ь]

Тогда оператор ограниченно действует из пространства Н^ \[а,Ъ]) в пространство Ь]).

Теорема 3.6 Пусть выполнены условия (1); функции cu(t,x) и ^iffi являются функциями типа модуля непрерывности по t для каждого х £ [о, 6] и выполнено условие (10). Если локальный индекс т(со:х) функции uj(t, х) удовлетворяет неравенству ess inf[т(ш, х) — а?(я)] > 0, же [а,¿>] то оператор ограниченно действует из пространства Н^\[а,Ь]) в пространство 6]).

Теорема 3.7 Пусть выполнены условия (1), функция и(t,x) является функцией типа модуля непрерывности not для каждого х £ [а, Ь\, выполняется условие (10) и локальный индекс М(ш, ж) функции а;(£, х) удовлетворяет неравенству ess sup[M(u;, х) + а;(ж)] < 1.

Тогда операторограниченно действует из пространства [а, 6]) в пространство Н^'\[а,Ь]).

Теорема 3.8 Пусть выполнены условия (1), функции uj{t,x) и являются функциями типа модуля непрерывности по t для каждого х £ [а:Ь], выполняется условие (10) и локальный индекс т(и, х) функции io(t, ж) удовлетворяет неравенству ess inf[ra(u;, х) — «(я)] > 0-хе[а,Ь]

Тогда оператор D^P ограниченно действует из пространства Н^'\[а,Ь]) в пространство ^([а, 6]).

Обозначим = (—сх>, N), N ^ оо. В §4 была получена следующая теорема об общем виде произведения сохраняющего пространство 6]):

Теорема 4-1 Пусть выполнены условия:

1. 0 < inf а(х) ^ sup а(х) < 1, а,Ь] х£[а,Ь]

2. аеСг([а,Ь]),

3. u{t, х) и ^а(х) являются функциями типа модуля непрерывности по переменной t для каждого х G [а, Ь],

4. u>(t,z) €

5. wo == inf ш(Ъ — а,х) > 0; х£ [а,Ь]

6. C\u)(h, х) ^ а;(/г, х + К) ^ C2u(h: ж), h > 0, где с\, c<i > 0 не зависят от х и h.

И пусть для некоторого N £ (6, оо) функция ¿(ж) есть гладкое финитное продолжение а(х) на Q>n, удовлетворяющее условиям:

1. О < т ^ ä(x) ^ М < 1, для всех х G

2. äec1{ttN).

Тогда для всех (р Е Н^ ^([а, 6]) справедливо представление X d:|-} <р) (х) = [(/ + L)ip] (х) Й ф) + I ф, X - t)<p(t)dt. а

Здесь функция £) имеет вид ^ «(Я)вифга(*)] / K-rt^-^K-^bi

1 - - J y^) ÖУ • о

Равенство — I + L доказывается при помощи известного ранее см. [43], с. 220) аналогичного результата для операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования переменного порядка на всей вещественной оси.