Краевые задачи для системы уравнений с частотными производными дробного порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Мамчуев, Мурат Османович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Нальчик
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Мамчуев Мурат Османович
Краевые задачи для системы уравнений с частными производными дробного порядка
01.01.02 - дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Казань - 2005
Работа выполнена в Научно-исследовательском институте прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук (НИИ ПМА КБНЦ РАН)
Научный руководитель:
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
Нахушев Адам Маремович
доктор физико-математических наук, профессор
Плещинский Николай Борисович,
доктор физико-математических наук, профессор
Репин Олег Александрович
Ведущая организация:
Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН
Защита состоится 21 сентября 2005 года в 1600 часов на заседании диссертационного совета К 212.081.06 при Казанском государственном университете им. В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, д. 17, НИИММ, ауд. 324.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина.
Автореферат разослан 21 июля 2005 года.
Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент
Е.К. Липачев
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Оператор дробного интегродифференциро-вания по Риману и Лиувиллю и различные его обобщения играют существенную роль в теории краевых задач со смещением для уравнений в частных производных, меняющих свой тип в замыкании области их определения Основополагающие результаты в этом направлении получены в известных работах А.В.Бицадзе, Т.Д. Джураева, В.И. Жега-лова, Е.И. Моисеева, A.M. Нахушева, О А. Репина, М.С. Салахитдино-ва, М. Сайго.
Матричные и скалярные дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, являясь принципиально новым обобщением уравнений с частными производными целого порядка, кроме большого теоретического интереса, имеют и важное практическое значение. Такие уравнения выступают в качестве математических моделей различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой. Применению дробного исчисления в математическом моделировании посвящены работы В Л. Кобелева, Л.М Нахушева, В А. Нахуше-вой, P.P. Нигматуллина, В.В Учайкина. К.В. Чукбара и других авторов.
Как отмечено в монографии A.M. Нахушева «Дробное исчисление и его применение» (2003 г.), "дробно«1 (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред".
Таким образом, проведение фундаментальных исследований по теме диссертационной работы является актуальным.
Тема диссертации входит в план научно-исследовательских работ НИИ ПМА КВНЦ РАН по научному направлению «Развитие дробного исчисления и анализа на фракталах для разработки математических моделей физико-биологических процессов и сред с фрактальной структурой», №01.20.00 12845 гос. регистрации.
Дифференциальные уравнений с дробной производной исследовались в работах Т.С. Алероева, В.К. Вебера, С.Х. Геккиевой, А.Н. Кочубея, A.M. Нахушева, В.А. Нахушевой, A.B. Псху, O.A. Репина.
Цель работы. Основной целью работы является исследование основных краевых задач для линейных систем уравнений с частными производными дробного порядка с двумя независимыми переменными.
Методы исследования. Результант работы получены с использованием метода функции Грина, интегрального преобразования Лапласа, теории интегральных уравнений.
Научная новизна. В диссертации in i ifT^'li п i и in iи юные краевые задачи для линейных матричных и связанного с
уравнений в частных производных, содержащих производные дробного порядка по одной из двух независимых переменных. Для исследуемых уравнений и систем:
получены общие представления решения в прямоугольной области;
- доказаны теоремы существования и единственности решений основных краевых задач, задачи Коши в нелокальной постановке и краевой задачи в полубесконечной полосе;
- построены функции Грина краевых задач и фундаментальные решения;
- изучено асимптотическое поведение фундаментальных решений на бесконечности.
Практическая и теоретическая ценность. Работа является теоретической. Ее результаты имеют важное значение для построения теории краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка.
Значение работы определяется также прикладной значимостью рассматриваемых краевых задач.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по современному анализу и информатике НИИ ПМА КБНЦ РАН (руководитель - Нахушев А М.). на семинаре по математической физике и вычислительной математике Кабардино-Балкарского государственного университета (руководитель - Шхануков-Лафишев М.Х.), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета (руководитель - Жегалов В.И.), на Второй Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик, 2001 г.), на Международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информааики» (Нальчик-Эльбрус, 2003 г.). на Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, 2004 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих 12 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 78 наименований, и изложена на 101 странице.
Содержание работы
Во введении дается обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание основных результатов диссертации.
■ Первая глава посвящена краевым задачам для системы уравнений с
частными производными дробного порядка в прямоугольных областях. В §1 первой главы для системы дифференциальных уравнений
bw{x,y) = D^w{x,y)-\'B{x,y)wJ{x,y) 4 С{х, y)w(x, у) = /(х, у), (1)
где w(x,y) = \\u(x,y),v(x,y)\\ искомая, a f(x,y) - ||/i(x, у), /2(х, у)\\ - заданная вектор-функции, а £ (0,1), В(х,у) и С(х, у) - матрицы-функции размера 2x2, получено общее представление решения в прямоугольной области П = {(х, у) : 0 < х < I, 0 < у < Т}, Т < оо. Доказана
Теорема 1.1. Пусть = {{t,s) : 0 < t < I, 0 < s < у}, B(x, у) £ С(О), Вх(х, у) £ L(Q) ,,и матрица z(x, у, t, s) удовлетворяет следующим условиям:
1} в области Пд при фиксированных (х,у) £ П матрица z является решением уравнения
L *z{x,y,t,s) = D^z{x,y,t,s)-[z(x,y,t,s)B(t,s)},+z(x,y,t,s)C(t,s) = 0;
2) для любого вектора g(x) = \\gi(x), д2(х)Ц € C{xt, х2], O<X1<X2</, выполняется соотношение
3) элементы матрицы г являются непрерывными в Г2хЦ;ч{(/ = б} функциями, и для любых точек (х,у) £ О и (¿. 5) £ Г2,у выполняется неравенство
\г(х,у,1,з)\<К(у~8)"-1,
где К постоянная матрица с положительными элементами.
Пусть и){х,у) - решение системы (1) такое, что у1 ~"и:(х,у) £ £ С(П) П С1(П), и ПшВГ1»^,!/) = 1р(х), тогда
:(х.у) = J z(x,y,t,0)ip(t)dt + J z(x, у, 0, s)B(0, s)w(0, s)ds
0
0
0
о 0
В §2 методом интегрального преобразования Лапласа построена матрица Грина первой краевой задачи для системы
DSyW(x, у) + Aw, (х, у) - Aw(x, у) = f{x, у), (2)
\ (
где А ■
Л О
О -А
, Л = const > 0, Л=||ау||, a,j — const (i,j = 1,2).
Первая краевая задача формулируется следующим образом: Задача 1.1. В области fi = {{х, у) : 0 < х < I, 0 < у < Т}, Т < оо, найти решение w(x,y) = ||ы(х, у), v(x. у)| системы (2), удовлетворяющее следующим условиям:
lim Dq~1w = <р(:г), 0 < х < I,
и(0, у) = ц{у), v(l, у) = %), 0 <у<Т,
где tp(x) = \\ipi(x), 1ръ{х)\\, ц{у), v(y) - заданные функции.
Матрицей Грина первой краевой задачи называется матрица z(x,y,t,s), удовлетворяющая вместе с условиями 1) - 3) теоремы 1.1, условиям
lim 2ц(ж, у, i, s) = limиц(х, у, t, s) О,
lim zu(x, у, i, s) = lim ^(x, j/, t, s) = 0.
Матрица Грина имеет вид
G{x, у, t, s) = S(x, у, i, s) + Г(х, у, t, s), где S(x, 2/, i, s) = Ц/У^х, y, t, s)|j - матрица с элемениами ' Su(x, у, i, в) = / г) 5 Ф»(х, t, r)dr,
О 11=0
S12(x, г/, f, в) -ffce"»* Jg(Y, t) £ Ф*2(х, i, r)dr, 0 11=0
S2i(x,y,t,s) = föfr»xfg(y,T) £ Ф210М,т)с!т, 0 /t—0
DC
У, M) = f 9(Y. r) £ Ф«(х, t, r)dr;
n=0
Г(х, у, t, s) = Г(х - t,y - s) — T(X, Y) - матрица с элементами
Ги(Х, Y) = Jg(Y, r)dr + \e«»*g{Y, X)r¡{X),
Г12(Х, Y) = fg(Y, т)Ы,(Х. r)dr,
o
Г21(Х, Y) - §j¡¡eanX fg(Y, r)ht)(X, T)dr, _o
Г22(Х, Y) = f g (Y, ^^jh^X. т^т+^дМ-Х) т,(-Х);
Фу = Ф%(х,г,т), X = x-t, Y == у — s,
Ф?/ ~ —^1.2ii+2№.„, 1~)-hi:2,l(X2 v, T) + ki 2n+2№.,i+b ,, + 1, 1"),
Ф?,2 = — /ii.2„+i(Xi.„, r)-/ii 2,»+i(-^2 ,,, i, г)4-/г1.2,г+з(Х4 ,,+j, r);
T") =
(-l)M(r - - X), a12a21 < 0,
(r ~ ХГ^^'Ф ~ XI <г12а21 > 0,
h (X T\ = i ЫУМЫУ^^^Мт - W), al2a21 < 0, ПЛЛ'Т) X I,(aV^rX^)v(r-\X\)1al2a2l> 0,
9(У-г) - = ¿ Г(,,+,»оГ(Д- i„) "Функция ти-
па Райта, JJz) = £ ~,Г<„П„^-i) и '».(г) - Е „т(т(,,н) ~ ФУНК"
»—О ,1=0
ции Бесселя, 7?(т) - функция Хсвисайда, aU] — а = ^"'д'-',
Xi „ = A"i,„(x,í) - х + t + 2ni, Х2м = X2„(x,í) = -x - t + 2(n + 1)/, X3M = X3n{x,t) = -x + í 1 2ní, Л"4„ ее Xi.„(x,t) ==■ x - í + 2ni, [3] -целая часть числа /?.
В §3 доказана теорема существования и единственности решения первой краевой задачи для системы (2).
Теорема 1.2. Пусть у1~°Ч{х,у) е С(П) П C"(íí), <¿(x) 6 С[0: /]П ПСч1(0; I), у1~"ц{у), yl~"v{y) G CfO; Т) П С'(0; Г). и выполняются условия согласования
limi AVV(í) ^ *i(0), =
у—-о " »->•) "
Тогда существует единственное решение задачи 1.1 такое, что
у1 "w(x,y) € C(Q) П Решение имеет вид
и
w(x, у) ~ X J[G(x, у, I, s) + G{x, у, О, s)
v{6)
ds+
+
l и l
j G(x,y,t,0)4>(t)dt + J J
G(x,y, t, s)f(t, s)dtds.
о о
В §4 рассмотрена смешанная задача для системы (1) с постоянными матричными коэффициентами В и С.
Задача 1.2. Найти решение w(x,y) = j|u(z,j/),f(a;,j/)|| системы (1), удовлетворяющее следующим условиям:
lim РпГ1™ = v?(a:), 0 < х < I, у—*о "
7и«(0, у) + 7i2w(0, у) = ц{у), 0 < у < Т,
ЪМ^У) + 722v{l,y) = f(y), 0 < у < Т,
где ip(x) = \\tpi(x),(p2(x)\\, ц{у), v{y) - заданные функции. Доказана
Теорема 1.3. Пусть В = ¿ Д , у1~'Ч{х,у) € С(П) ПСЧ«),
¥>(*) е С[0;/] П С\0-1), У1-"Ц{У),УХ~'ЧУ) 6 С[0;Г] П C^T), 7п722 / 0, и выполняются условия согласования
jimD^ViO = 7nVi(0) + 712^(0),
(3)
lim DZ~lv{t) = T2iVi(0 + 722^2(0-
»-о
(4)
Тогда существует единственное решение задачи 1.2 такое, что у1~»к(х,у)е С(П) П С1^).
В §5 теорема существования и единственности решения смешанной задачи доказана для системы с матричными коэффициентами более общего вида.
Ъ\1 &12
Теорема 1.4. Пусть В
hi
X, = (-i)'+V-detß,
detß < 0, (bu - А,)7й ф Öi27,i (i = 1,2). ф) е С[0; 1} П С^О; I),
y1-°fi(y),y1-My) е С'[0; Т] П С1 (О; Т), yl~"f{x,y) € С(П) П СЩ, и выполняются условия согласования (3), (4). Тогда существует единственное решение задачи 1.2 такое, что y1~'"w(x,y) € С(П) ПГ^П).
Во второй главе рассматриваются краевые задачи для системы (2) в неограниченных областях.
В §1 исследована задача Коши в нелокальной постановке. Задача 2.1. В области Ü — {(ж, у) : —оо < х < +оо, 0 '< у <Т}, Т < ос . найти решение w(x,y) системы (2), удовлетворяющее следующему условию:
lim Dqv1w — ^р{х), —оо < х < 4-оо,
где ip(x) — \\^pi(x), ip2(x)\\ - заданная вектор-функция. Доказана
Теорема 2.1. Пусть функции f(x,y) и <f(x) таковы, что yl~"f(x,y) = 0(ехр(хг)), <р(х) =- 0(ехр(х")), е < ^ при \х\ —► оо и yl~af(x,y) е С(П) Г) Сп(П), <р(х) е С1(—оо, +оо), тогда существует единственное решение задачи 2.1 такое, что yl~"w{x,y) е С(П) П С1^) и yl~nw(x,y) = 0(ехр(х£)) при |ж| -> оо. Решение задается формулой
+ DC |/ iX
w(x,y) = J Г(х. у, t, 0)^(t)dt 4 J J r(x,y, t,s)f{t,s)dtds,
—ос 0 - эс
где у, t, s) — Г(а; — t,y — s) = Г(Х, У) матрица с элементами
Тп(Х, Y) ^ fg(Y, rJ-^M*, r)dr + ^g(Y, X)V(X),
о
Г12(Х, Y) - fg(Y, r)hü{X, r)dr,
о
Г21(Х,Г) = fg(Y,T)ho(X,r)dT,
_о
Г22(Х V) - yfajß^x ] giY^-ß^h.iX^dr^f-giY, -X)V{-X),
о
h (X r) i (-1)^,(1^3^)77^ - |X|), a12a21 < 0, Л ' > ~ { I,{aVW=X*)ri(T - |Л'|),а12а21 > 0,
g(y,r) - aui = a - г?(т) - функция
Хевисайда.
В §2 для матрицы Г (.т. у, t, s) получены оценка
и асимптотическая формула
Г(х, у, t, в) ~ К0 ехр (-k:\Xf"), \Х\ - оо,
X
где = ^ ! /,„,"+,,) ~ функция типа Миттаг-Леффлера, £(1 = ^ ,
" п=0
К и Ко - некоторые постоянные матрицы, а к и А^ - положительные числа, зависящие от а.
В §3 для системы (2) рассматривается следующая Задача 2.2. В области = {{х,у) : 0 < х < +оо, 0 < у < Т}, Т < оо, найти решение го(х,у) системы (2), удовлетворяющее начальному
условиям, где <р(х) = \\<р\{х),<р2{х)\\ и ¡л{у) - заданные функции. Доказана
Теорема 2.2. Пусть функции f(x,y) и 'р(х) таковы, что yl~"f(x,y) = 0(ехр(аг))_, <р(х) = 0(ехр(хе)), г < ^, при х-> foo, у1-а/(х,у)£С(П+)ПС1(№), ф) £ С[0,+оо)ПС1(0, +оо), yl~aß{y) е С[0, Т] П Cl{Q,T), и выполняется условие согласования lim DßTln(y) — ¡pi(0). Тогда существует единственное ре-
у-> о "
шение задачи 2.2 такое, что y1~"w(x,y) € С(П+) П СХ(П+) и yl~"w(x,y) = 0(ехр(дт)) при х —> +оо. Решение имеет вид
lim D^w = <р(х), 0 < х < +00
и краевому
«(О, ¡/)- Mi/). 0<2/<Т,
и
w
(х,у)= J G+(x,y,t,0)<f(t)dt + jG'(x,y,0,s)
о
о
U
+ J J G+(x, у, í, s)f(t, s)dtds,
o »
где G+(x,y,t, s) — у. i, s)|| - матрица с элементами
G+n{x, у, t, a) = X)r?(X)+
GUx, y, t, a) = r) r) - -)] dr,
о
G+y, t, s) = / р(У,т) [Ло(|А-|, т) - MM, г)] dr,
6'2+2(х, у, t, з) = -Х)г7(-Х) +
/9(У, г) г) - r)]dr,
здесь X = х — t, Xi = х + t.
В третьей главе результаты первых двух глав применяются к решению краевых задач для уравнения с оператором дробной диффузии в главной части.
В §1 исследуется задача Коши в нелокальной постановке. Задача 3.1. Найти решение и(х,у) уравнения
DoyU(x, у)
у) + bD'lyUix, у) 4- си(х, у) = fix, у) (5)
в области О, = {(я, у) : — оо < х < +оо, 0 < у < Т}, Т < оо, такое, что у1~"и(х,у) € C(Q), ихх, иу € С(П), и удовлетворяющее начальному условию
limi>oV"lu = Т(х)> < х < +00!
где а — 20 £ (0,1), 6, с - заданные действительные числа, f(x,y), т(х) - заданные функции.
Методом редукции уравнения (5) к системе уравнений с частными производными дробного порядка доказана
Теорема 3.1. Пусть yl~"f(x,y) =_0(ехр(аг)), т(х) = 0(ехр(хг)), г < ^ при \х\ -» оо и yl-"f(x, у) £ С(П)ОСх(П), т(х) £ оо, +оо), тогда существует единственное решение задачи 3.1 такое, что yl~"u(x,y) £ C(Q), Ujj , ии £ С{П), и у1~"и{х,у) = 0(ехр(аг)) при |х| —» оо. Решение задается формулой
+х у +х
и{х,у)-= J r(x,y,t,0)T(t)dt + J J r(x,y,t,s)f(t,s)dtds,
где
k-'i
t 1ц(ау/т2-{x-t)2),
ti2 < 4c, b2 > 4c,
Jo(z) и Io(z) - функции Бесселя, a\ = —а = ^2~4' .
R §2 получено общее представление решения уравнения (5) в прямоугольной области.
Теорема 3.2. Пусть функция v = г>(х, у, t, s) удовлетворяет следующим условиям:
1) в области Qu = {(i, s) : 0 < t < l, 0 < 5 < у} при фиксированных (х, у) € Q функция v является решением уравнения
L*v = D^v(x, у, t, s) - vtt(x, у, t, s) + bD^v(x, y, t, s) + cv{x, y, t, s) = 0;
2) для любой функции g(x) € C\x ь^гЬ 0 < Xi < x% < l, выполняется соотношение
Hm jg(t)D'y~lv(x,y,t,s)dt = g(x), X\ < x < xi;
s 1
функция v непрерывна в Q x Qy \ {у = s}, и для любых точек (х. у) Е Г2 и (t. s) € Qy выполняется неравенство |г'(а;, у, t, s)| < k(y — s)"1+,:l, где k - положительная константа.
Функция и(х,у) такова, что у1~"и(х,у) € C(fi), uTJ, ии производная us непрерывна вплоть до участков границы х = 0 и х — I, и и(х,у) является решением уравнения (5). удовлетворяющим краевому условию
lim D$~lu(x, s) = т(х), 0 < х < I.
Тогда для функции и(х, у) выполняется соотношение и
и{х, у)-= JИ-Е, У, I, s)ut(l, 5) - v(x, у, 0, s)w/(0, s)-
-i'i{x, у. I, s)u{l, s) f v,(x. y, 0. ,s)«(0. s)]ds+ i i и
+ j T(t)v(x,y,t,0)dt + j J v(x, y t,s)f(t,s)dtda. о о о
В §3 исследуется краевая задача для уравнения (5) в полубесконечной полосе. С помощью метода функции Грина выписано решение и доказана его единственность.
Задача 3.2. В области Q = {(.г, у) : 0 < х < +оо, 0 < у < Т}, Т <оо, найти решение и{х,у) уравнения (5), удовлетворяющее условиям
lim D{l~lu(x, у) — т(х), 0 < х < +оо,
J/-.0 "
и(0,у)^ <р(у), 0 < у <Т,
где т(х) и <р(у) - заданные функции.
Теорема 3.3. Пусть yx~"f{x,y) = 0(ехр(х-)), т(х) = 0(ехр(ж')). г < ^ . при х +оо, у1"7(х, у) £ C{Q) П СЧП). т(х) G С\0. +оо)П ПС'(0, +оо), yl~níp{y) € С\0,Т] ГiC^O,Т), и выполняется условие согласования lim D'¿~1 ip(y) -= г(0). Тогда существует единственное ре-о
шение задачи 3 2 такое, что у1~пи(х,у) е С(П), их, . ич е C(Q). ur € L(Q) и у1~"и(х.у) = 0(ехр(зт)) при х —> +оо. Решение имеет вид:
+х у
и(х, у) — J G(x, у, t, 0)r(t)dt + J Gt(x,y,Q,s)tp(s)ds+ и o
I) I X
+11 ^'У'^)/^'5)0^-
о о
где G(x, у, в) = Г(х, у, t, Г(х, у, — £, &), Г(.г, у. t, в) - фундаментальное решение уравнения (5).
В 84 рассматриваются первая, вторая и смешанные краевые задачи для уравнения (5) Найдены функции Грина этих краевых задач.
Заключение
Выполненные исследования, посвященные основным краевым задачам для широких классов систем линейных нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными и уравнения с опера гором дробной диффузии в главной части, позволяют сформулировать следующие основные научные результаты диссертационной работы. Для систем нелокальных дифференциальных уравнений:
- доказана теорема 1.1 об общем представлении решения системы в прямоугольной области и построена матрица Грина первой краевой задачи;
- доказаны теоремы 1.2, 1.3, 1.4 существования и единственности решений первой краевой 1 1 и смешанной 1.2 задач:
- доказаны теоремы 2.1 и 2 2 существования и единственности решений задачи Коши 2.1 в нелокальной постановке и краевой задачи 2.2 в полубесконечной полосе;
- построены фундаментальная матрица решений системы и матрица Грина краевой задачи в полубесконечной полосе:
- для фундаментальной матрицы решений системы получена оценка неравенственного типа и изучено асимптотическое поведение на бесконечности.
Используя полученные результаты, для линейного нелокального дифференциального уравнения с оператором дробной диффузии в главной части:
- доказана теорема 3.1 существования и единственности решения задачи Коши 3.1 в нелокальной постановке и построено фундаментальное решение,
- доказана теорема 3.2 об общем представлении решения уравнения в прямоугольной области;
- доказана теорема 3 3 существования и единственности решения краевой задачи 3.2 в полубесконечной полосе и построена ее функция Грина;
- построены решения и функции Грина первой, второй и смешанных краевых задач
Публикации автора по теме диссертации
1. Мамчуев М. О. Задача с условием Самарског о для сис I емы нелокальных дифференциальных уравнений / М. О. Мамчуев // 1У-Й Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Тезисы докладов. - Кисловодск, 2000.
2. Мамчуев М.О. Решение краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка ¡М.О. Мамчуев // Вторая Международная конференция «Нелокальные
краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». Тезисы докладов. - Нальчик, 2001. С. 160-161.
3. Мамчуев М.О. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка ¡М.О. Мамчуев // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. №1 (8). С. 37-42.
4. Мамчуев М.О. Метод матрицы Грина для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка /М.О. Мамчуев //Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 2002. Т.6. №1. С. 18-21.
о. Мамчуев М.О. Задача Коши в нелокальной постановке для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка ¡М.О. Мамчуев // Материалы Международного Российско-Узбекского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», - Нальчик-Эльбрус, 2003. С. 64-65.
6. Мамчуев М. О. Краевые задачи для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка в неограниченных областях /М.О. Мамчуев //Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 2003. Т.7. №1. С. 60-63.
7. Мамчуев М.О. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка в прямоугольной области /М.О. Мамчуев // Сборник трудов Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи (ММ-2004)», посвященной 90-летию СамГТУ, - Самара, 2004. Ч. 3. С. 150-152.
8. Мамчуев М.О. Смешанная задача для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка /М.О. Мамчуев //Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 2004. Т.7. №1. С. 56-59.
9. Мамчуев М. О. Метод факторизации в решении задачи Коши для г, уравнения диффузии дробного порядка /М.О. Мамчуев //Материалы
Международного Российско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», -Нальчик-Эльбрус, 2004. С. 129-132.
10. Мамчуев М.О. Общее представление решения уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами в прямоугольной области /М.О. Мамчуев // Изв. Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2004. №2 (12). С. 116-118.
11 Мамчуев М. О. Краевые задачи для уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами /М.О. Мамчуев //Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 2005. Т.7. №2. С. 38-45.
»13138
РНБ Русский фонд
2006-4 10069
ЛР № 040940 от 04.02.1999
Формат 84x1081/32. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Усл. печ. л. 1.0. Тираж 120 экз. Заказ № 20
360000, г. Нальчик, ул. И. Арманд, 37"а". Издательство КБНЦ РАН Тел. (8662) 42-65-42
О Президиум КБНЦ РАН, 2005
Введение
1 Краевые задачи в прямоугольной области
§ 1. Общее представление решения
§ 2. Построение матрицы Грина первой краевой задачи
§ 3. Теорема существования и единственности решения первой краевой задачи.
§ 4. Смешанная задача.
§ 5. Смешанная задача для системы общего вида.
2 Краевые задачи в неограниченных областях
§ 1. Задача Коши в нелокальной постановке
§ 2. Асимптотическое поведение фундаментальной матрицы решений
§ 3. Краевая задача на полуоси
3 Применение к краевым задачам для уравнения с оператором дробной диффузии в главной части
§ 1. Задача Коши в нелокальной постановке
§ 2. Общее представление решения
§ 3. Краевая задача в полуполосе.
§ 4. Функции Грина основных краевых задач.
Оператор дробного интегродифференцирования по Риману и Лиу-виллю и различные его обобщения играют существенную роль в теории краевых задач со смещением для уравнений в частных производных, меняющих свой тип в замыкании области их определения. Основополагающие результаты в этом направлении получены в известных работах А.В. Бицадзе [4], Т.Д. Джураева [5], В.И. Жегалова [6] - [8], Е.И. Моисеева [42], A.M. Нахушева [43], [44], О.А. Репина [68] - [71], М.С. Сала-хитдинова [72], М. Сайго [77], [78].
Краевые задачи со смещением для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа сделали вполне очевидным, что без развития дробного исчисления невозможно реализовать ал-гебраизацию теории уравнений смешанного типа.
Матричные и скалярные дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, являясь принципиально новым обобщением уравнений с частными производными целого порядка, кроме большого теоретического интереса, имеют и важное практическое значение. Такие уравнения выступают в качестве математических моделей различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой [45], [47], [48].
В настоящее время, "дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред" [47, с.8]. В частности, этим обусловлен рост внимания исследователей к дробному исчислению, и актуальность развития методов решения краевых задач для уравнений и систем с частными производными дробного порядка.
Многие вопросы переноса и диффузии физических и биологических субстанций в средах с фрактальной геометрией и классической теории тепла сводятся к решению начальных, краевых и смешанных задач для систем двух дифференциальных уравнений в частных производных вида
D?Lu + \ux = aiiu + ai2V1
0.1)
Dgyv — \vx = d2\u + a2 2Vf где и = u(x,y) и v = v(x,y) - действительные функции действительных переменных х и у, a G (0,1), Л > 0, а^' (hj = 1,2) - заданные величины, DqV - оператор дробного (в смысле Римана-Лиувилля) инте-гродифференцирования порядка \v\ с началом в точке а и с концом в точке у, определяющийся следующим образом [47, с. 9]:
Dvayu(x, t) = I у sign(у-а) Ъ u(x,t)dt л r(-v) J \v-t\"+l' v ^ U' a U x,y), I/ = 0, k SignM+I(y - и > 0, V
Г(г) - гамма-функция Эйлера, [и] - целая часть числа и.
В частности, к системе (0.1) с а = йц = а\2 = а>22 — 0 редуцируется задача определения потока тепла на торце полубесконечного однородного стержня, который в начальный момент времени имеет нулевую температуру [47, с. 160].
Уравнениям переноса в средах с фрактальной геометрией посвящены работы [25] - [27], [74], [75].
Краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений с дробными производными и со спектральным параметром посвящены работы Т.С. Алероева [1] - [3].
Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка исследовались в работах В.К. Вебера и М.И. Иманалиева [9] - [12], [24] .
Интенсивному развитию дифференциальных уравнений дробного порядка значительно способствовала книга С.Г. Самко, А.А. Килбаса и О.А. Маричева [73].
Краевые задачи для нелокальных уравнений в частных производных, содержащих дробные производные исследовались в ряде работ, цитируемых в монографии [47]. Так, в работах [28] и [29] было найдено решение задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка с ре-гуляризованной дробной производной. Уравнение диффузии дробного порядка и обобщенное волновое уравнение исследовались в работах [13] -[22], [49], [59] - [63], [66].
В работах А.В. Псху рассмотрены краевые задачи для модельных дифференциальных уравнений дробного порядка. Получены решения краевых задач для уравнений с частными производными ниже первого порядка [52], [54] - [58]. Для диффузионного и волнового уравнений дробного порядка найдены функции Грина основных краевых задач [59] - [63], [66]. Получены условия типа Тихонова для диффузионно-волнового уравнения дробного порядка и для уравнения с частными производными ниже первого порядка [64], [65]. В работе [51] исследована краевая задача и получен аналог формулы Шварца для системы Коши-Римана дробного порядка.
В работах С.Х. Геккиевой [13] - [22] исследованы краевые задачи для уравнения дробной диффузии. Получено фундаментальное решение [14], доказаны теоремы существования и единственности решений первой краевой задачи [13], задачи Коши в видоизмененной постановке [14] и краевой задачи в полубесконечной полосе [19], [20]. Для уравнений смешанного типа с оператором дробной диффузии в одной из частей смешанной области доказаны теоремы существования и единственности решений аналогов задачи Трикоми в канонических областях [15] - [18], [21].
В настоящей диссертации исследуются основные краевые задачи для линейных матричных и связанного с ними класса скалярных уравнений в частных производных, содержащих производные дробного порядка по одной из двух независимых переменных.
Для исследуемых уравнений и систем:
1. Получены общие представления решения в прямоугольной области.
2. Доказаны теоремы существования и единственности решений основных краевых задач, задачи Коши в нелокальной постановке и краевой задачи в полубесконечной полосе.
3. Построены функции Грина краевых задач и фундаментальные решения.
4. Изучены асимптотические поведения фундаментальных решений на бесконечности.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Первая глава посвящена краевым задачам для систем дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка в прямоугольной области.
В §1 первой главы для системы дифференциальных уравнений
L w(x,y) = D$yw(x,y) + B(x,y)wx(x,y) + C{x,y)w(x,y) = f(x,y), (0.2) где w(x,y) = \\u{x,y),v(x,y)\\ - искомая, a f(x,y) = \\fi{x,y), f2{x,y)\\ - заданная вектор-функции, a £ (0,1), B(x,y) и C(x,y) - матрицы-функции размера 2x2, получено общее представление решения в прямоугольной области = {(гг, у) : 0<х<1, 0<у< Т}, Т < оо.
Доказана
Теорема 1.1. Пусть Qy = {(£, s) : 0<t< I, 0<s< у},
B(x,y) g Вх(х,у) 6 l(q) г/ матрица z(x,y,t,s) удовлетворяет следующим условиям:
1) в области Qy при фиксированных (х,у) Е П матрица z является решением уравнения
L*z(x, у, t, s) = DySz(x, у, i, s) - у, t, s)B(t, s)]t + г:(ж, г/, t, s)C(t, s) = 0;
2) для любого вектора g{x) = \\gi(x),g2(x)\\€:c{xi,x2}i O<X1<X2<I, выполняется соотношение lim J [D*~lz(x, у, t, s)] = g(x), xi < x < x2;
Xl
3) элементы матрицы z являются непрерывными в QxQy\{y = s} функциями, и для любых точек (х, у) € Q и (t, s) € выполняется неравенство z(x,y,tlS)\<K(y-S)a-\ где К - постоянная матрица с положительными элементами.
Пусть w(x,y) - решение системы (0.2) такое, что yl~aw(x,y) € € С(П) П и \imDQ~1w(x,y) = ф(х), тогда у-* 0 у w
I У х,у) = J z(x,y,t,0)ip(t)dt + J z(x,y,0,s)B(0,s)w(0, s)ds— у i J z(x, у, I, s)B(l,s)w(l,s)ds + J j z(x,y,t, s)f(tJs)dtds. 0 00
В §2 методом интегрального преобразования Лапласа построена матрица Грина первой краевой задачи для системы
Doyw(x, У) + &wx(x, у) - Aw{x, у) = f(x, у),
0.3)
Л о Л > 0, А = aij = const (i,j = 1, 2). где Л =
0 -Л
Задача 1.1. В области О. = {(#,?/) : 0 < х < I, 0 < у < Т} , Т < оо, найти решение w(x,y) = \\и(х, у), v(x, ?/)j| системы (0.3), удовлетворяющее следующим условиям: lim Dq~xw = <р(х), 0 < х < I, где (f(x) = v(y) - заданные функции.
Матрицей Грина первой краевой задачи называется матрица z(x,y,t, s), удовлетворяющая вместе с условиями 1) - 3) теоремы 1.1, условиям limzn(x,y,t,s) = limz2i{x, у, t,s) = 0, £->/ t-*l imzi2(x,y,t,s) = lim 2:22(2, y, t, s) = 0.
0 t^Q
Будем обозначать w(0, у) = fi(y), v{l, y) = v(y), 0 < у < T, oo
71=0
- функцию типа Райта.
Матрица Грина имеет вид
G(x,y,t,s) = S(x,y,t, s) + T(x,y,t,s), где S(x, у, t, s) = ||Sij(a;, ?/, t, s)|| - матрица с элементами j Г oo OO
0 n=0
OO OO sl2(x, у, t, s) = J g(Y, т) E r)dr, о n=0
OO oo
S2i(x,y,t,s) = l$ea°x fg(Y,r) E r)dr,
0 n=0
OO oo п г oo oo
S22(z, 2/, t, 8) = J g(Y, r) E *l2(x, t, r)dr; о n=0
Г(ж, s) = — t,y — s) = Г(Х, Y) - матрица с элементами Гц(Х, Y) = / 9(У, + {e^g(Y, Х)П(Х), О oo
Г12(Х, У) = / g(Yt r)h0(X, r)dr, о oo
Г21(Х, У) = / т)Ло(Х, r)dr, о
Г22(Х, Y) = Jg{Yt r)dr-\-jea°xg(Y, -X)V(-X);
ФЦ = Фi>(x,ttr), X = x-t, Y = y-s,
Ф*1 = -hit2n+2(X1 Ф«2 = -Л1,2П+1№ ,v 1 ■ (-l)^(r - - X), a12a21 < 0,
1,m( ' T) " < (Г - - X), a12a21 > 0, hi(X,r) = (-lyjidaWr2 - X2)r/(r - \X\), al2a21 < 0, Ь(ау/тГ=Х*)ф - |X|),a12a2i > 0, ' = S п!Г(тп+п+1) И — S г»!Г(ш+п+1) n=0 n=0
- функции Бесселя, т]{т) - функция Хевисайда, a0,i = flll2^1'2) a = , ® + t + 2nZ, X2,n = = -ж - t + 2(n + 1)Z,
Х^п = X^n(x,t) = -x + t + 2nl, = X^n(x,t) = x-t + 2nl, [/3] - целая часть числа /3.
В §3 доказана теорема существования и единственности решения первой краевой задачи для системы (0.3).
Теорема 1.2. Пусть yl~af{x,y) € С(П) П С1^), <р(х) в С[0;/]П ПС^О;/), y^MiV1'01^) G С[0; TjflC^O; Т), и выполняются условия согласования limP^VW = ¥>i(0), ИmD£lv(t) = ^(1).
Тогда существует единственное решение задачи 1.1, такое, что yl~aw(x,y)e ОДПС1^). Решение имеет вид у w х, у) = Л J[G(x, у, I, s) + G(x, у, 0, 5)] fi(s) u(s) ds+ l у l J G(x,y,t,Q))ip(t)dt + J J G(x, y, t, s)/(£, s)dtds. 0 0 0
В §4 рассмотрена смешанная задача для системы (0.2).
Задача 1.2. Найти решение w(x,y) = \\u(x}y),v(x,y)\\ системы
0.2), удовлетворяющее следующим условиям: lim= у?(ж), 0 <х<1,
7пи(0, у) + 7i2v(0, у) = fj,(y)t 0 < у < Т,
721 и(1, у) + 722v(l, у) = и(у), 0 < у < Т, где <р(х) = \\<pi(x), ^(аОЦ, v{y) ~ заданные функции.
Доказана
Теорема 1.3. Пусть В =
А О О -Л yl-af{x,y) е Одпс1^), ф)еС[0;1]ПС1(0;1), у^Ху), yl~av{y) G С[0; Т] ПС^О; Г), 711722 ф О, и выполняются условия согласования limDJJ-VW = 711V1 (0) + 7i2<P2(0), 2/—>0
М*) = 721^1 (0 + 722^2(О
2/—>0
0.4)
0.5)
Тогда существует единственное решение задачи 1.2, такое, что yl~aw(x,y) 6 ОДПС1^).
В §5 теорема существования и единственности решения смешанной задачи доказана для системы более общего вида.
Ьц Ьи
Теорема 1.4. Пусть В — А,- = (-1 )г+1ч/=ЖВ,
621 —6ц detB < 0, (6ц-Л07г2 ф 6127а (< = 1,2), " ф) € С[0; I] П С1 (0-1), yl-ali(y),yl-av(y)eC{Q-,T)r\Cl{^T), у1-а/(х,у)еС(П)ПС1(П), ивы-полняются условия согласования (0-4), (0.5). Тогда существует единственное решение задачи 1.2, такое, что y1~aw(x, у) G C(Q) П С1^).
Во второй главе рассматриваются краевые задачи для системы (0.3) в неограниченных областях.
В §1 исследована задача Коши в нелокальной постановке. Задача 2.1. В области О = {(а:, у) : —оо < х < +оо, 0 < у < Т}, Т < оо, найти решение w(x,y) системы (0.3) удовлетворяющее следующему условию: lim Dqv lw = <р(х), — оо < х < -Ьоо, у-> о где ф(х) = ^>20*011 ~ заданная вектор-функция.
Доказана
Теорема 2.1. Пусть уг~а/(х,у) = 0(exp(x£)), ip(x) — Ofexpfa^)), £ < rb пРи Н 00 и yl~af(x,y) 6 C^nC^Q), (f(x) G С^—oo, +оо), тогда существует единственное решение задачи 2.1, такое, что yl~Qw(x,y) € C(Q) П CX(Q) и yi~aw{x,y) = 0(ехр(же)) при \х\ оо. Решение задается формулой оо у +оо w{x,y)= J r(x,y,t,0)<p(t)dt + J J Y(x,y,t,s)f(t,s)dtds, oo 0 —oo где Г(ж, ?/, t, s) = — t,y — s) = Г(Х, У) - матрица с элементами
Г„(Х, У) = fg(Y, ^^ph^X, T)dr + ip(y, X)n(X), 0 oo
Г12РС V) = Bf 9(Y, T)ho(X, r)di 0
00
Г21(Х, Y) = gr / 9(Y, r)ho(X, r)dr, 0 0 h (X T) = / MW^l < 0, Ii(a\Zr2 - X^r - |X|), a12a21 > 0, a = ф) - функция Xeeuсайда.
В §2 для матрицы Г(:г, у, t, s) получена оценка и асимптотическая формула
Г(я, у, t, s) - ехр (-*d|Af°), |Х| -юо, оо где £о = Ei(z,fi) — Y1 T(ari+fi) ~ функция типа Миттаг-Леффлера а п=0
23, с.117], К и Ко - некоторые постоянные матрицы, а к и ко - положительные числа, зависящие от а.
В §3 для системы (0.3) рассматривается следующая Задача 2.2. В области = {(х,у) : 0 < х < +оо, 0 < у < Т}, Т < оо, найти решение w(x,y) системы (0.3), удовлетворяющее начальному
HitiDq"1?/; = ip(x), 0 < х < +оо,
2/-> о и краевому u(0,y) = }i(y), 0 < у < Т, условиям, где <р(х) = ||</?i(a:),Lp2{x)\\ и fi(y) - заданные функции. Доказана
Теорема 2.2. Пусть y1~af(x,y) — 0(ехр(х£)), <р(х) — 0(ехр(х£)), £< Тh>nPu > 2/1а/(ж' У) е П C^Q+J, <р(х) G С[ 0, +оо)П
ПС1(0,+оо), у1~ар,(у) G С[0,Т] П С1(0,Т), и выполняется условие согласования limDg"1//^) = ^(О). Тогда существует единственное решение задачи 2.2, такое, что y1~aw(x,y) £ С(0+) П C1(fi+) и y1~ocw(x, у) = 0(ехр(ж£)) при х —> +оо . Решение имеет вид w оо у х,у)= J G+(x, у, t, 0)cp(t)dt + J G+(x,y,0,s) i(s) 0 ds+ y +00 о 0 где G+(x, y, t, s) = \\G^(x, y, t, s)|| - матрица с элементами g(Y,X)r)(X), oo
G12(x, y,t,8) = ffif g(Y, т) [Ло(|Х|, r) - r)] dr, 0 oo
G&or, y,t,s) = §$f g(Y, t) [h0(\X\, t) - r)] dr, 0 здесь X = x — t, X\ = x + t.
В третьей главе результаты первых двух глав применяются к решению краевых задач для уравнения с оператором дробной диффузии в главной части.
В §1 исследуется задача Коши в нелокальной постановке. Задача 3.1. Найти решение и(х,у) уравнения
DoУи(х,у) - ихх(х,у) + bD$yu(x,y) + си(х,у) = f(x,y), (0.6) в области Г2 = {(ж,?/) : —со < х < +оо, 0 < у < Т}, Т < оо, такое, что у1~аи(х, у) Е C(f2), ихх, иу Е C(Q), и удовлетворяющее начальному условию lim DZ~lu = r(x), —oo<x< +oo, y—tO uy где a = 2/3 E (0,1), 6, с - заданные действительные числа, f(x,y), т(х) - заданные функции.
Методом редукции уравнения (0.6) к системе уравнений с частными производными дробного порядка доказана
Теорема 3.1. Пусть y1~af(x,y) = 0(ехр(#е)), т{х) = 0(ехр(же)), е < пРи W °° и yl af{xi У) € C^JnC1^), т(х) Е С^—оо, +оо), тогда существует единственное решение задачи 3.1, такое, что yl~au(x,y) G C(Q), ихх, иу е C(Q), и у1~аи(х,у) = 0(ехр(х£)) при —> оо . Решение задается формулой оо у +оо и(х,у) = J T(x,y,t,0)t(t)dt + J J T(x,y,t,s)f(t,s)dtds, где
-оо 0 —оо оо
Г(аг, у, t, s) = | J ^—-еh0(x - t, r)dr,
Ло(ж - t,r) = Jodal^-(x-t)2), b2 < 4c, о(<ч/т2-(*-*)2), 62 > 4c, u h{z) ~ функции Бесселя, a\ = — a = ^b2~4c .
В доказательстве теоремы 3.1 использован метод редукции уравнения (0.6) к системе уравнений с частными производными дробного порядка.
В §2 получено общее представление решения уравнения (0.6) в прямоугольной области.
Теорема 3.4. Пусть функция v = v(x,y,t,s) удовлетворяет следующим условиям:
1) в области Ц, = {(£, s) : 0 < t < 0 < s < у} при фиксированных (х, у) £ Г2 функция v является решением уравнения
L*v = D%sv(x, у, t, s) - vtt(x, у, t, 5) + bD^sv(x, у, t, s) + cv(x, y, t, s) = 0;
2) для любой функции g(x) 6 C[x 1,^2], 0 < x\ < X2 < l, выполняется соотношение lim / g(t)D^~xv(x, у, t, s)dt = д(хг), xi < х < s->y у у
Xi
3) функция v непрерывна в Q X Qy \ {у = s}, и для любых точек (х,у) g $1 и (£, s) £ Г2у выполняется неравенство v(x,y,t,s)\<k(y-s)-1+P, где к - положительная константа.
Функция и(х,у) такова, что ?/1аи(ж,?/) £ C(£l), ихх, иу £ С(Г2), производная их непрерывна вплоть до участков границы х = 0 и х = I, и и(х,у) является решением уравнения (0.6) удовлетворяющим краевому условию limZ^'V^s) = т(х), О <х<1.
Тогда для функции и{х, у) выполняется соотношение у и{х, У) = JКж, У, I, s)ut(l, s) - v(ar, г/, О, s)ut(О, s)-о vt(x, у, s) + т/, О, s)w(0, s)]ds+
I I у
4- J r(t)v(x, у, t, 0)dt + J J v(x,y,t,s)f(t,s)dtds. о oo
В §3 исследуется краевая задача для уравнения (0.6) в полубесконечной полосе. С помощью метода функции Грина выписано решение и доказана его единственность.
Задача 3.2. В области Q = {(х,у) : 0 < х < +оо, 0 < у < Т},
Т < сю, найти решение и(х,у) уравнения (0.6), удовлетворяющее условиям lim Dq ~lu(x, у) = т(х), 0 < х < +оо, у—» О у
0,у) = у(у), 0<у <Т, где г (a:) « - заданные функции.
Доказана
Теорема 3.5. Пусть уг~а/(х,у) = 0(ехр(х£)), г(х) = 0(ехр(х£)), £ < Jпри х +оо, yl~af{x,y) £ С(й)ОС1(П), т(х) Е С[0,+оо)П ПС^О, +оо), у1~аф{у) Е C^TjnC^O, Т), и выполняется условие согласования limDQ~1ip(y) = г(0). Тогда существует единственное решение у-+ о у задачи 3.2, такое, что уг~аи(х,у) Е C(Q), ихх, иу Е С(Г2), их Е L(Q) и у1~аи(х, у) = 0(ехр(я£)) при х —^ +оо . Решение имеет вид 00 у и(х,у)= J G(x1y,t10)t(t)dt + j Gt{x,y,0,s)ip(s)ds+ o о у +оо J J G(x,y,t,s)f(t,s)dtds, о 0 где G(x,y,tjs) = T(x,y,t,s)— T(x,y,—t,s), T(x,y,t,s) - фундаментальное решение уравнения (0.6).
В §4 рассматриваются первая, вторая и смешанные краевые задачи для уравнения (0.6). Найдены функции Грина этих краевых задач.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [31]-[41].
Заключение
Выполненные исследования, посвященные основным краевым задачам для широких классов систем нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными и уравнения с оператором дробной диффузии в главной части, позволяют сформулировать следующие основные научные результаты диссертационной работы:
1. Для систем нелокальных дифференциальных уравнений с частными производными:
1.1. Доказана теорема 1.1 об общем представлении решения системы в прямоугольной области. Построена матрица Грина (1.13) первой краевой задачи.
1.2. Доказаны теоремы 1.2, 1.3, 1.4 существования и единственности решений первой краевой 1.1 и смешанной 1.2 задач для системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
1.3. Доказаны теоремы 2.1 и 2.2 существования и единственности решений задачи Коши 2.1 в нелокальной постановке и краевой задачи 2.2 в полубесконечной полосе.
1.4. Построена фундаментальная матрица (см. стр. 55) решений системы и матрица Грина краевой задачи в полубесконечной полосе (см. стр. 68).
1.5. Для фундаментальной матрицы решений системы получена оценка (2.19) и асимптотическая формула (2.20).
-892. Для линейного нелокального дифференциального уравнения с оператором дробной диффузии в главной части:
2.1. Доказана теорема 3.1, существования и единственности решения задачи Коши 3.1 в нелокальной постановке. Построено фундаментальное решение (3.4).
2.2. Доказана теорема 3.4 об общем представлении решения уравнения в прямоугольной области.
2.3. Доказана теорема 3.5, существования и единственности решения краевой задачи 3.2 в полубесконечной полосе и построена ее функция Грина (3.19).
2.4. Построены решения и функции Грина (3.34), (3.35), (3.39), (3.40) первой, второй и смешанных краевых задач.
1. Алероев Т. С. О полноте системы собственных функций одного дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №6. С. 829-831.
2. Алероев Т.С. К проблеме о нулях функции типа Миттаг-Леффлера и спектре одного дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №9. С. 1278-1279.
3. Алероев Т.С. О собственных значениях одной краевой задачи для дифференциального оператора дробного порядка // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №10. С. 1422-1423.
4. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. - 448 с.
5. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979. - 240 с.
6. Жегалов В.И. Некоторые задачи для уравнения смешано-составного типа в бесконечной области // Труды семинара по краевым задачам. Вып. 9. Казань. 1972.
7. Жегалов В. И. Задача Гурса со смещением. // Труды семинара по краевым задачам. Вып. 22. Казань. 1985. С. 79-87.
8. Жегалов В.И. Исследование краевых задач со смещениями для уравнений смешаного типа / Докт. дис. Казань. 1987. 297 с.
9. Вебер В.К. Структура общего решения системы у^ = Ау, О < а < 1 // Тр. Кирг. ун-та. Сер. мат. наук. 1976. Вып. 11. С. 26-32.
10. Вебер В. К. Асимптотическое поведение решений линейной системы дифференциальных уравнений дробного порядка // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983. Вып. 16. С. 119-125.
11. Вебер В.К. К общей теории линейных систем с дробными производными // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985. Вып. 18. С. 301-305.
12. Вебер В.К. Линейные уравнения с дробными производными и постоянными коэффициентами в пространствах обобщенных функций // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985. Вып. 18. С. 306-312.
13. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной по времени // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1994. Т. 1, №1. С. 17-18.
14. Геккиева С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. Т. 5, №1. С. 16-19.
15. Геккиева С.Х. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Изв. Кабардино-Балкарского Научного Центра РАН. 2001, №2 (7). С. 78-80.
16. Геккиева С.Х. О некоторых аналогах задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Современные методы в теории краевых задач «Понтрягинские чтения». Тезисы докладов. -Воронеж: ВГУ, 2001. С. 50.
17. Геккиева С.Х. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2001. Т. 5, №2. С. 18-22.
18. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2002. №1 (8). С. 6-8.
19. Геккиева С.Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области. «Понтрягинские чтения-XIII». Сб. материалов. Воронеж: ВГУ, 2002. С. 37.
20. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. - 672 с.
21. Иманалиев М.И., Вебер В.К. Об одном обобщении функции типа Миттаг-Леффлера и его применении // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1980. Вып. 13. С. 49-59.
22. Кобеле в B.JI. и др. О диффузии через фрактальную поверхность // ДАН. 1997. Т. 355, №3. С. 326-327.
23. Кобелев B.JI. и др. Недебаевская релаксация и диффузия в фрактальном пространстве // ДАН. 1998. Т. 361, №6. С. 755-758.
24. Кобелев Я. Л. и др. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии // ДАН. 1999. Т. 369, №3. С. 332-333.
25. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционного уравнения дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, №8. С. 1359-1368.
26. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, №4. С. 660-670.4
27. Мамчуев М.О. Краевая задача для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка // Изв. Кабардино-Балкарского Научного Центра РАН. 2002. №1 (8). С. 3742.
28. Мамчуев М. О. Метод матрицы Грина для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка //Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2002. Т.6.1. С. 18-21.
29. Мамчуев М.О. Краевые задачи для системы дифференциальныхуравнений с частными производными дробного порядка в неограниченных областях //Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2003. Т.7. №1. С. 60-63.
30. Мамчуев М.О. Смешанная задача для системы дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка //Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2004. Т.7. №1. С. 56-59.
31. Мамчуев М.О. Общее представление решения уравнения диффузии дробного порядка с постоянными коэффициентами в прямоугольной области // Изв. Кабардино-Балкарского Научного Центра РАН. 2004. №2 (12). С. 116-118.
32. Мамчуев М.О. Краевые задачи для уравнения диффузии дробногопорядка с постоянными коэффициентами //Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук 2005. Т.7. №2. С. 38-45.
33. Моисеев Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, №1. С. 110-121.
34. Нахушев A.M. Новая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН СССР. 1969. Т. 187, №4. С. 736-739.
35. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №1. С. 44-59.
36. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния одномерных непрерывных систем и их приложениях. Нальчик: Логос, 1995. - 59 с.
37. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. - 301 с.
38. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физма-тлит, 2003. -272 с.
39. Нахушева В.А. Краевые задачи для обобщенных дифференциальных уравнений переноса. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Нальчик,
40. НИИ Прикладной математики и автоматицации КБНЦ РАН, 1998. -9 с.
41. Никифоров А. Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций.- М.: Наука, 1974. 303 с.
42. Псху А.В. Аналог формулы Шварца для системы Коши-Римана дробного порядка // "Понтрягинские чтения-XIII". Сб. материалов.- Воронеж. 2002. С. 127.
43. Псху А.В. Интегральное преобразование с функцией Райта в ядре // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2002. Т. 6, №1. С. 35-47.
44. Псху А.В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2000. Т. 5, №1. С. 45-53.
45. Псху А. В. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Известия КБНЦ РАН. 2002. №1(8). С.76-78.
46. Псху А.В. Решение краевой задачи для уравнения с частными производными дробного порядка // Дифференц. уравнения, 2003. Т. 39, № 8. С. 1092-1099.
47. Псху А.В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина // Дифференц. уравнения, 2003. Т. 39, №10.
48. Псху А.В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Дифференц. уравнения, 2003. Т. 39, № 9.
49. Псху А. В. Метод функции Грина для уравнения диффузии дробного порядка // Труды института математики НАН Беларуси. Минск. 2001. С. 101-111.
50. Псху А.В. Решение краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик: Сообщения Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН. 2001. 43 с.
51. Псху А.В. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка // Тезисы докладов Весенней математической школы "Понтрягинские чтения -XII", г. Воронеж, 2001. С.124-125.
52. Псху А.В. Условие типа Тихонова для диффузионно-волнового уравнения // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2003. Т.6. №1. С. 35-47.
53. Псху А.В. Функции Грина краевых задач для уравнения дробного порядка // Сб. трудов Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", г. Самара. 2002. С. 269-273.
54. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука. 1983. - 751 с.
55. Репин О.А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов и дробное и дробное интегродифференцирование / Докт. дис. Минск: БГУ, 1998.
56. Репин О.А. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 10. С. 1412-1417.
57. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: ФАН, 1974. - 156 с.
58. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.
59. Учайкин В.В. Аномальный перенос частиц с конечной скоростью и асимптотическая фрактальность // Журнал технической физики. 1998. Т. 68, №1. С. 138-139.
60. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. Т. 108, вып. 5(11). С. 1875-1884.
61. Wright Е.М. The generalized Bessel function order greater than one // Quart. J. Math., Oxford Ser., 1940, 11, 36-48.
62. Saigo M. Certain Boundary Value Problem for the Euler-Darboux Equation, II // Math. Japon. 1979. V. 24., №1. P. 377-385.
63. Saigo M. Certain Boundary Value Problem for the Euler-Darboux Equation, III // Math. Japon. 1981. V. 26., №1. P. 103-119.
