Краевые задачи с обобщенными операторами дробного интегродифференцирования для уравнений гиперболического и смешанного типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ГАИСИНА ЛИЛИЯ РАМИЛЬЕВНА

Краевые задачи с обобщенными операторами дробного интегродифференцирования для уравнений гиперболического и смешанного типов

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара - 2004

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» Самарского государственного технического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Репин Олег Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кожанов Александр Иванович,

кандидат физико-математических наук, доцент Биккулова Гюзель Галимзяновна

Ведущая организация: НИИ прикладной математики и

автоматизации КБНЦ РАН

Защита состоится «17» декабря 2004г. в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К 212.315.01 при Стерлитамакском государственном педагогическом институте по адресу: 453121, г.Стерлитамак, пр.Ленина, 37.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакского государственного педагогического института.

Автореферат разослан ноября 2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд.физ.-мат.наук, доцент

Кризский В.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. В последние годы большое внимание уделяется задачам, в которых краевые условия представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисленными в различных точках, лежащих на границе или внутри рассматриваемой области. Нелокальные задачи такого типа для различных классов дифференциальных уравнений изучали А.В.Бицадзе, А.А. Самарский, В.А.Ильин, Е.И.Моисеев, А.М.Нахушев, В.И.Жегалов, М.М.Салахитдинов, Т.Д.Джураев, М.М.Смирнов, В.Ф.Волкодавов, В.А.Елеев, А.А.Килбас, С.К.Кумыкова, О.А.Репин, А.А.Андреев, их ученики и последователи.

Благодаря исследованиям А.М.Нахушева, в теорию краевых задач прочно вошли интегралы и производные дробного порядка. Первые работы по исследованию задач со смещением в краевых условиях содержали классические операторы Римана-Лиувилля. Естественным обобщением этих операторов стали операторы, введенные Э.Лавом (Е.КХоуе,Австралия), А.Мак-Брайдом (А.С.МсВпёе, Англия), М.Сайго (M.Saigo, Япония).

Интерес к исследованиям в этом направлении поддерживается как потребностью в теоретическом обобщении классических задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением. Уравнения гиперболического и смешанного типов тесно связаны с задачами газовой динамики трансзвуковых течений, с математической биологией, с теорией лазерного излучения, с теорией упругости, с теорией оболочек, с теорией плазмы и другими разделами науки и техники.

Основной целью работы является исследование новых нелокальных краевых задач для гиперболических уравнений и уравнения смешанного типа, характерной особенностью которых является наличие в условиях производных и интегралов дробного порядка. Выполнение основной цели работы потребовало получение новых композиционных свойств для обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.

Методы исследования. В работе используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений,

Р&С. НАЦИОНАЛЬНА» БИБЛИОТЕКА

I______' МИГ

дифференциальных уравнений с частными производными, операторов дробного интегродифференцирования, известные принципы экстремума для гиперболических и смешанных уравнений.

Научная новизна. Результаты работы примыкают с одной стороны к направлениям, связанным с краевыми задачами для уравнений гиперболического и смешанного типов, с другой - к направлению, связанному с теорией дробного интегродифференцирования.

1. Получены новые формулы для композиций обобщенных операторов дробного интегродифференцирования, которые широко применяются при решении задач со смещением.

2. Исследованы новые нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Новые композиционные свойства для интегралов и производных дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре, полученные на основании аппарата специальных функций и преобразования Меллина.

2. Постановка и исследование новых нелокальных задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, краевые условия которых содержат обобщенные операторы дробного интегродифференцирования.

3. Доказательство существования и единственности решений задач со смещением на основании метода редукции этих задач к сингулярным интегральным уравнениям или интегральным уравнениям Вольтерра и Фредгольма.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер и являются важным вкладом во внутреннюю завершенность соответствующего раздела дифференциальных уравнений с частными производными; они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, а также для решения прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на X Научной межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2000г.), на Международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2000г.), на XXVII Самарской областной студенческой научной конференции (2001г.), на Международной конференции «Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой»

(Самара, 2001г.), на V Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2002г.), на Всероссийской Научной конференции «Математической моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004г.), на семинарах кафедры «Прикладная математика и информатика» Самарского государственного технического университета (руководитель -профессор, доктор физико-математических наук В.П.Радченко, 20032004гг.), на научных семинарах кафедр МА, ПМиИ и ТФ физико-математического факультета Стерлитамакского государственного педагогического института (руководитель - профессор, доктор физико-математических наук К.Б.Сабитов, 2004г.), на научном семинаре Института механики УНЦ РАН (руководители - профессор, доктор физико-математических наук С.В.Хабиров, профессор, доктор физико-математических наук Т.А.Акрамов, г.Уфа, 2004г.).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 11 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 111 страниц, включая список литературы, состоящий из 104 наименований.

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание работы и сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

Глава 1 посвящена изучению свойств обобщенных операторов дробного интегродифференцирования и получению новых формул композиций для них. В §1.1 приведены обобщенные дробные интегралы и производные с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре

Основное содержание работы.

¡[•/•'/м-

Р(а + р-т];а\[ —)/(*)Л,а > О,

(1)

¿п .а +п,р~п,г]-п

/(4ай0,/1 = [!-4

т-

Г(а) ^ \-х

, ,ч/г ,а+п,в-п,п-п ,, ч п г. 1 (-1) -1 " /(х),а 5 0,п = 11 -а\,

с1хп

(2)

1 от, /7,

$(? - х)а -1 / а " РР(а + - -)/(№,а > О,

Г(а) £ г

/ 1Ч/г ,а + п,р-п,п-пг, \ п П 1 (-1) ' /(х),а£0,п=[\-а\ .

(3)

(¡X

и основные известные соотношения для них.

В §1.2 предложен новый способ получения формул композиций для операторов (1)-(3), который основывается на свойствах преобразования Меллина. Доказаны следующие утверждения.

Лемма 1.1. Пусть некоторая функция (я:) имеет

преобразование Меллина = —"уц!/—+ тогда ее

можно выразить через обобщенный оператор дробного интегро-дифференцирования

Лемма 1.2. Пусть некоторая функция gг(x) имеет преобразование Меллина тогда ее

можно выразить через обобщенный оператор дробного интегро-дифференцирования

§1.3

показано,

композиция

операторов

имеет преобразование Меллина

следующего вида:

В

Используя лемму 1.1 и перебирая все возможные варианты, получены тридцать шесть формул для композиций операторов

0 +

операторов

Аналогично показано, что композиция имеет преобразование

Х<я у Х°° }

Меллина следующего вида:

Используя лемму 1.2, получены тридцать шесть формул-

композиций для операторов /,\х). Эти

композиционные свойства представляют самостоятельный интерес, так как могут использоваться при решении задач с обобщенными операторами дробного интегродифференцирования в краевых условиях.

Глава 2 посвящена краевым задачам для уравнений гиперболического типа. В § 2.1 рассматривается уравнение

где - действительное число, причем в треугольнике с

вершинами в точках А(0,0),В(1,0),С(0.5,-0.5). Поставлены и изучены следующие задачи.

Задача Дарбу I. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

Щл:,у)еС(0)ЛС2(0), (5)

Ш(х,у)^ о, (6)

1

и (х,-х) = у/(х), 0£Х: и(х,0) = т(х), 0 £ х £ 1,

(7)

(8)

где - заданные достаточно гладкие функции.

Задача Дарбу II. Найти функцию Щх,у), удовлетворяющую условиям (5), (6), (7), и, кроме того,

Шп[ 1 ' "'I \-2р

(~уУ"и^х,у) = у(х), 0 < л: < 1,

(9)

где y/(x),v(x) - заданные достаточно гладкие функции.

Задача III. Найти функцию U(x,y), удовлетворяющую условиям (5), (6), (8) и, кроме того,

где v(x) = lim|-j——j {-yfU, (х,у), при Oerel; 90(х) - аффикс,

то есть точка пересечения характеристики, выходящей из точки (х,0) с характеристикой АС; Ai,A,,ai,ßx - постоянные коэффициенты; - заданные достаточно гладкие функции. Задачи IV. Найти функцию U(x,y), удовлетворяющую условиям (5), (6), (9), и, кроме того

где г(х)" 1/(х,0), при 0 < х ä 1; A^,At,a,,ß, - постоянные коэффициенты; <p(x),v(x) - заданные достаточно гладкие функции.

Определение 2.1. Регулярным в £2 решением уравнения (4) назовем функцию U(x,y), удовлетворяющую следующим условиям:

JJ(x,y) £=С(£2)ПС2(£2), LU(x,y) - 0, (x,y)(EQ.

Лемма 2.1. Если г(л)еС[0Д]ПС2(0,1), v(*)eC2(0,l) и в

точках х = 0, х = 1 имеет особенность порядка меньше, чем 1- р, то решение задачи Коши для уравнения (4) является регулярным в Q

Определение 2.2. Функцию назовем обобщенным

решением в Q уравнения (4), если существует последовательность 7)} регулярных в Q решений с начальными данными

которая равномерно в сходится к функции где

г,(£) на [0,1] и на (0,1) сходятся равномерно соответственно

к г(£) и

Лемма 2.2. Если г(^)£С[0,1], v(£)eC(0,l) и в точках х = 0. х = 1 имеет особенность порядка меньше, чем 1-р, то обобщенное решение дифференциального уравнения (4) существует.

Решения поставленных задач ищутся в классе обобщенных решений. Задачи Дарбу I и II сводятся «в смысле однозначной

8

разрешимости» к уравнениям Вольтерра второго рода. Получены формулы связи между решениями задач Коши и Дарбу для уравнения (4) в явном виде, и доказаны следующие утверждения.

Теорема 2.1. Если г(*)ЕС[0Д], y(jt)EC[0,l], то задача Дарбу I для уравнения (4) имеет единственное обобщенное решение.

Теорема 2.2. Если v(*)EC(0,l), у/(х)(ЕС(04) , то задача Дарбу II для уравнения (4) имеет единственное обобщенное решение.

Отметим, что К. Б. Сабитовым были установлены формулы связи между решениями первой и второй задачами Дарбу и между решениями задач Коши и Дарбу для телеграфного уравнения. Вероятно, такие связи имеют место и для других уравнений, хотя, как было отмечено А.М.Нахушевым такие формулы связи не всегда существуют: «Из корректности задачи Коши не следует, вообще говоря, корректность соответствующих задач Дарбу, если порядок вырождения уравнения больше или равен двум».

Задачи III и IV примечательны тем, что в их краевых условиях задана линейная композиция обобщенных операторов дробного интегродифференцирования. Данные задачи сводятся «в смысле однозначной разрешимости», к решению интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 2.3. Если г(*)Е# д'[0Д1, Я-[0Д],

то задача III для уравнения (4) имеет единственное обобщенное решение.

Теорема 2.4. Если v(.*)etfx<(0,l), ^(л:)ЕЯА4(0Д),

, то задача IV для уравнения (4) имеет единственное обобщенное решение.

В § 2.2. рассматривается уравнение

где 1/2 < а <1, 1</?<3/2, в области D, ограниченной

характеристиками АС: и

отрезком [ОД]. Характерной особенностью задачи является наличие в краевом условии обобщенного оператора дробного интегродифференцирования, с помощью которого связывается след искомого решения на характеристике и нормальная производная на линии вырождения уравнения. Поставлены и исследованы следующие задачи.

Задача I. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям

и{х,у)(=С(5)ПС\и), (11)

Ш(х,у)*0, (х,у)ео, (12)

Л(*)( 2 ,С<7[(?0(01)(х) = В(х)иу(х,0) + <р(х), *£(0Д),

где т(х),<р(х),А(х),В(х) - заданные ф у н к щии^" некоторые постоянные.

Задача II. Найти функцию Щх,у), удовлетворяющую условиям (11), (12) и, кроме того,

где у(х),(р{х),А(х),В(х) - заданные ф у н к сцси,и, 'Р - некоторые постоянные.

Аналогично определениям 2.1 и 2.2 введены понятия регулярного и обобщенного решений уравнения (10). Решения поставленных задач ищутся в классе обобщенных решений. С помощью законов композиции для операторов дробного интегродифференцирования и интегрального преобразования Меллина проблема разрешимости рассматриваемых задач эквивалентно сводится к вопросу однозначной разрешимости интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Подробно исследованы правые части этих уравнений и показана их непрерывность. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 2.5. Если А{х) = х'1А^х), т(х)£С[0Д], <р{х),А^{х),

для

для уравнения (10) имеет единственное обобщенное решение.

Теорема 2.6. Если к(д:)£С(0Д), <р(х),А(х), В(х)(Е С[0Д]ПС2(0Д), В{х) * 0 для *е[0Д], о>2^-|, с>~,

то задача II для уравнения (10) имеет единственное

обобщенное решение.

В главе 3 рассматривается уравнение

в области D, ограниченной полупрямыми х = 0, х=1 с концами в точках А(0,0) и В(1,0), расположенными в полуплоскости у>0, и характеристиками АС: х + у = 0; ВС: х-у = 1 уравнения (13), выходящими из точек А, В и пересекающимися в точке С(1/2,-1/2).

Уравнение (13) интересно тем, что известные уравнения Трикоми, Геллерстедта и Кароля путем специальных замен можно свести к нему. В исследуемых задачах в краевых условиях предлагается линейная комбинация обобщенных операторов дробного интегродифференцирования, связывающая след нормальной производной искомой функции на линии перехода типа уравнения и ее же след на одной из характеристик уравнения. Поставлены следующие задачи для уравнения (13).

Задача Т1 (0 < 2р < 1). Найти функцию Щх,у), удовлетворяющую следующим условиям:

и(х,у) ЕС(0)ПС'(о\/]пС2(0\/); (14)

Ит 11(х,у) = 0 равномерно по хЕ.3 ; (16)

где

заданные функции; а,Ь,А1,А2,А3 - некоторые постоянные.

Задача Г, (-1 < 2р < 0). Найти функцию у), удовлетворяющую условиям (14)-(17), и, кроме того,

где (х) = lim(-у):"£/, (х,у), v(x) = U(х,0); q,{у),q,(y),а(х),сф) -

заданные функции; a,b,A1,A2,A3 - некоторые постоянные.

Аналогично определениям 2.1 и 2.2 введены понятия регулярного и обобщенного решений уравнения (13).

Лемма 3.1. Если ф)еЯя'[од], \>\-р, v(x)£HÄ- (ОД), то обобщенное решение уравнения (13) обладает следующими свойствами:

U(x,y) <EC(D)r)C\D2 UJ),

lim y2pU (x, у)" v(x) для всех x £ (0,1). >—»0-0

Такое обобщенное решение принадлежит классу R1, введенному К.И.Бабенко.

Лемма 3.2. Если функция v(;t)£C(0,l), а т(х) - интеграл дробного порядка (1-2р), от некоторой функции Т(х), причем то обобщенное решение уравнения (13) обладает следующими свойствами

U{x,y) GC(D)n c\dz и J),

lim ylpU Jx, у) = v{x) для всех xG(0,l).

у—0-0

Такое обобщенное решение принадлежит классу R2, введенному К.И.Бабенко [6]. Решение задачи Tl ищем в классе обобщенных решений R1, а решение задачи ^ в классе R2. Получены функциональные соотношения между г(я:) и V (х) из области гиперболичности и исследованы эллиптические задачи для уравнения (13). Доказательство единственности решений поставленных задач основывается на принципе максимума. Решение задач Tl и ^ сведено к вопросу разрешимости соответствующих сингулярных интегральных уравнений. Доказаны следующие утверждения.

Теорема 3.1. Пусть Ду1 Г(р) + А„ >0,

с, "(*) + £/," * 0(л:Е/). Тогда обобщенное решение и(х,у)Е.Е1 задачи Т для уравнения (13) существует и оно единственно.

Теорема 3.2. Пусть А2 >-2со&згр, ДА:*Г(1- р)-А,а(х) > 0,

урдХу),у"яг(у)еь[0,со), а(х)<=с(1)псу), «(х)ея-[од1

Тогда обобщенное

решение и{х,у)(ЕИ, задачи Т2 для уравнения (13) существует и оно единственно.

Выводы

Выполненные в настоящей диссертационной работе исследования позволяют сформулировать следующие основные результаты:

1. С помощью аппарата специальных функций получены важные формулы композиций для интегралов и производных дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре. Даны приложения композиционных свойств этих операторов при решении краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов.

2. Для гиперболических уравнений поставлены и исследованы новые краевые задачи, характерной особенностью которых является наличие в условиях обобщенных операторов дробного интегродифференцирования.

3. Изучены задачи для уравнения смешанного типа, в которых с помощью обобщенных операторов дробного интегродифференцирования задается линейная комбинация, связывающая след искомой функции на линии перехода и ее же след на характеристике уравнения. Доказаны существование и единственность решений этих задач с помощью метода редукции этих задач к сингулярным интегральным уравнениям.

Методы и результаты работы могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах, как дробное исчисление, дифференциальные и интегральные уравнения, при решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными, а также при исследовании конкретных задач математической физики.

Автор диссертации выражает глубокую благодарность научному руководителю - профессору, доктору физико-математических наук Олегу Александровичу Репину за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также профессору, доктору физико-математических наук Камилю Басировичу Сабитову за ценные замечания.

Публикации по теме диссертации

1. Гайсина Л.Р. Некоторые свойства для операторов с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре / Л. Р. Гайсина // Актуальные проблемы современной науки. Тезисы докладов Международной конференции молодых ученых. Часть 1. Математика. Механика. - Самара: СамГТУ, 2000. - С. 17.

2. Гайсина Л. Р. О композиционных свойствах для операторов дробного интегродифференцирования / О.А.Репин, Л.Р.Гайсина // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 10-й научной межвузовской конференции. Часть 3. - Самара: СамГТУ, 2000.-С. 135-146.

3. Гайсина Л Р. Аналог задачи Бицадзе - Самарского для гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения / Л.Р.Гайсина // Тезисы докладов XXVII Самарской областной студенческой научной конференции. Часть 1. Общественные и технические науки. - Самара: СамГТУ, 2001. - С.81.

4. Гайсина Л.Р. О краевой задаче с оператором М.Сайго для вырождающегося уравнения гиперболического типа / Л.Р.Гайсина // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.8. Выпуск 2. - М.: ТВП, 2001. - С.562-563.

5. Гайсина Л.Р. Аналог задачи Бицадзе - Самарского для гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения / Л.Р.Гайсина // Вестник Самарского Государственного Технического Университета. Серия: Физико-математические науки. Вып 12. - Самара: СамГТУ, 2001. - С.24-29.

6. Гайсина Л.Р Нелокальная краевая задача для гиперболического уравнения с двумя перпендикулярными линиями вырождения /

Л.Р.Гайсина // Доклады Адыгейской (Черкесской) Международной Академии Наук. - 2001. - Т.5. - №2. - С.11-17.

7. Гайсина Л.Р. Построение в явном виде решений задач Дарбу для обобщенного волнового уравнения / ОАРепин, Л.Р.Гайсина // Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой. Труды международной конференции. - Самара: СГЭА, 2001. -С.229-234.

8. Гайсина Л.Р. Краевые задачи со смещением для вырождающегося уравнения гиперболического типа / Л.Р.Гайсина // Вестник Самарской Государственной Экономической Академии. - Самара: СГЭА, 2004. - С.221 -230.

9. Гайсина Л.Р. Решение задач Дарбу для обобщенного волнового уравнения / Л.Р.Гайсина // Материалы международной научной конференции, посвященной юбилею академика М.Кравчука. — Киев, 2004. - С.69-70.

10. Гайсина Л.Р. Об одной задаче со смещением для уравнения смешанного типа с бесконечной подобластью эллиптичности / Л.Р.Гайсина // Материалы международного российско-казахского симпозиума. - Нальчик-Эльбрус, 2004. - С.45-46.

11. Гайсина Л.Р. Нелокальная задача с интегральным условием / Л.Р.Гайсина// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всероссийской научной конференции. - Самара: СамГТУ, 2004. - С.54-56.

Заказ 100'Ш. Отпечатано на ризографе.

Самарский Государственный Технический Университет. Огдел типографии и оперативног о полиграфирования. 443100. г.Самара, ул Молодогвардейская, 244

124 2 3)

319

Введение.

Глава 1. Композиционные свойства обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией в ядре.

§ 1.1. Обобщенные операторы дробного интегродифференцирования.

§ 1.2. Преобразование Меллина.

§ 1.3. Вывод композиционных свойств. ol в у

1.3.1. Формулы-композиции для оператора Iq ^ /(х). ее В у

1.3.2. Формулы-композиции для оператора I f(x).

Глава 2. Локальные и нелокальные задачи для гиперболических уравнений.

§ 2.1. Задачи Дарбу и краевые задачи для уравнения гиперболического типа с сингулярным коэффициентом.

2.1.1. ПостановкаЪадач.

2.1.2. Решение задач Д&рбу.

2.1.3. Разрешимость задач с обобщенным оператором дробного интегродифференцирования в краевом условии.

§ 2.2. Нелокальные задачи с интегральным условием.

2.2.1. Постановка задач и решение задачи Коши.

2.2.2. Сведение задачи I к интегральному уравнению.

2.2.3. Разрешимость задачи II.

Глава 3. Нелокальные задачи для уравнения смешанного типа в неограниченной области.

§ 3.1. Постановка задач Г, и Т2.

§ 3.2. Эллиптические задачи.

3.2.1. Решение задачи Г, в области эллиптичности.

3.2.2. Решение задачи Тг в области эллиптичности

§ 3.3. Единственность решений задач Г, и Т

§ 3.4. Существование решения задачи Тх.

§ 3.5. Существование решения задачи Т2.

Теория краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Практический интерес к данной области связан с применением уравнений гиперболического и смешанного типов в газовой динамике трансзвуковых течений, в математической биологии, в теории лазерного излучения, в теории упругости, в теории оболочек, в теории плазмы и других разделах науки и техники.

Впервые на важность уравнений смешанного типа обратил внимание С.А.Чаплыгин в 1902 году в работе «О газовых струях». Он показал, что движение газа в условиях перехода от дозвуковой к сверхзвуковой скорости описывается уравнением смешанного типа, которое в настоящее время называется уравнением Чаплыгина.

Первыми систематическими исследованиями в области уравнений смешанного типа являются работы Ф. Трикоми. В работе [78] он рассмотрел теперь хорошо известную задачу Трикоми - задачу отыскания решения уравнения смешанного типа с двумя переменными yU +U = 0,

XX уу принимающего заданные значения на эллиптической части сг границы 3D области D задания уравнения и на одной из двух характеристик АС или ВС образующих гиперболическую часть Г = AC U ВС границы 3D = a U Г.

Результаты Ф. Трикоми в тридцатые годы обобщил С. Геллерстедт [83]. Для уравнения ymU +U = 0,

XX уу где т - натуральное нечетное число, С. Геллерстедт исследовал задачи, краевые условия которых задаются на двух кусках характеристик различных семейств, выходящих из внутренней точки линии вырождения уравнения или на кусках этих характеристик. Используя идею Ф. Трикоми, С. Геллерстедт свел решение этих задач к вопросу разрешимости сингулярных интегральных уравнений.

Следующим этапом в развитии исследований в теории уравнений смешанного типа явились работы Ф.И. Франкля [79,80], в которых он разработал важные практические применения задач для уравнений смешанного типа в газовой динамике. Так, если рассмотреть задачу перехода через звуковой барьер установившихся двухмерных безвихревых течений идеального газа в соплах, когда сверхзвуковые зоны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, то она сводится для линейных уравнений смешанного типа с частными производными второго порядка, в упрощенной постановке, к задаче Трикоми.

В 60-х годах прошлого столетия А.В. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя независимыми переменными, когда все точки гиперболической части границы равноправны как носители граничных условий.

Важную роль при решении данной проблемы сыграли исследования A.M. Нахушева. В 1969 году A.M. Нахушев предложил ряд нелокальных задач нового типа [52,54], которые явились непосредственным обобщением задачи Трикоми и вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. В отличие от задачи Трикоми здесь задается условие, связывающее значение искомого решения или его производной, вообще говоря, дробной, в трех точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья - на линии вырождения уравнения.

Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло и массообмена в капилляро-пористых средах, математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, излучения лазера, при изучении процессов размножения клеток, в теории распространения электромагнитного поля в неоднородной среде [58].

В направлении развития теории краевых задач со смещением появилась серия работ A.M. Нахушева [52-54,57,58], В.И.Жегалова [25], В.Ф. Волкодавова [16-17], М.М.Смирнова [75,76], М.С. Салахитдинова и Б. Исломова [73], Т.Д.Джураева [23], Е.И.Моисеева [48], С.К.Кумыковой [36], О.А.Репина [6369], А.А.Андреева [5], их учеников и последователей.

Первые работы по исследованию задач со смещением в краевых условиях содержали классические операторы Римана-Лиувилля. Естественным обобщением этих операторов являются операторы, введенные Э.Лавом (E.R.Love,Австралия) [85,86], А.Мак-Брайдом (A.C.McBride, Англия) [87], М.Сайго (M.Saigo, Япония) [90].

Д.Аманов [4], Б.Исломов [28], А.Хасанов [81], С.И.Макаров [41,42] изучали задачи с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы, введенные Э.Лавом, для уравнения с двумя линиями вырождения в случае, когда порядок вырождения различен.

Краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы Сайго, рассматривали М.Сайго [88-93], О.А.Репин [63-69]. В работе А.А.Андреева и Е.Н.Огородникова [5] получены законы композиций для операторов М.Сайго на матричный случай и исследованы нелокальные краевые задачи для вырождающихся систем гиперболического типа, где широко используются операторы Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М.Сайго в матричном представлении.

В совместных работах М.Сайго, А.А.Килбаса и О.А.Репина [84,88] рассмотрены краевые задачи, содержащие операторы в смысле М.Сайго для уравнения Бицадзе-Лыкова и параболо-гиперболических уравнений.

И все-таки, в настоящее время, нелокальным задачам, содержащим обобщенные операторы дробного интегродифференцирования посвящено меньше работ, чем задачам с граничными условиями, содержащими классические операторы. В связи с этим исследование таких задач является важным и актуальным.

Настоящая диссертация посвящена изучению новых нелокальных и локальных краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов с вырождением первого и второго рода. Поставленные и исследованные в работе задачи характерны тем, что содержат в краевых условиях производные и интегралы дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.

Методы исследования. В работе используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, операторов дробного интегродифференцирования, известные принципы экстремума для гиперболических и смешанных уравнений.

Научная новизна. Результаты работы примыкают с одной стороны к направлениям, связанным с краевыми задачами для уравнений гиперболического и смешанного типов, с другой - к направлению, связанному с теорией дробного интегродифференцирования.

1. Получены новые формулы для композиций обобщенных операторов дробного интегродифференцирования, которые широко применяются при решении задач со смещением.

2. Исследованы новые нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Новые композиционные свойства для интегралов и производных дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре, полученные на основании аппарата специальных функций и преобразования Меллина.

2. Постановка и исследование новых нелокальных задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, краевые условия которых содержат обобщенные операторы дробного интегродифференцирования.

3. Доказательство существования и единственности решений задач со смещением на основании метода редукции этих задач к сингулярным интегральным уравнениям или интегральным уравнениям Вольтерра и Фредгольма.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер и являются важным вкладом во внутреннюю завершенность соответствующего раздела дифференциальных уравнений с частными производными; они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, а также для решения прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано одиннадцать печатных работ. Результаты исследований докладывались и обсуждались на X Научной межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2000г.), на Международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2000г.), на XXVII Самарской областной студенческой научной конференции (2001г.), на Международной конференции «Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой» (Самара, 2001г.), на V Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2002г.), на Всероссийской Научной конференции «Математической моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004г.), на семинарах кафедры «Прикладная математика и информатика» Самарского государственного технического университета (руководитель - профессор, доктор физико-математических наук В.П.Радченко, 2003-2004гг.), на научных семинарах кафедр МА, ПМиИ и ТФ физико-математического факультета Стерлитамакского государственного педагогического института (руководитель - профессор, доктор физико-математических наук К.Б.Сабитов, 2004г.), на научном семинаре Института механики УНЦ РАН (руководители - профессор, доктор физико-математических наук С.В.Хабиров, профессор, доктор физико-математических наук Т.А.Акрамов, г.Уфа, 2004г.).

Диссертация состоит из введения, трех глав и девяти параграфов. В каждой главе своя нумерация параграфов, а в каждом параграфе своя нумерация формул и теорем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполненные в настоящей диссертационной работе исследования позволяют сформулировать следующие основные результаты:

1. С помощью аппарата специальных функций получены формулы композиций для интегралов и производных дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.

1. Азовский В.В. О решении задачи Т^ для одного уравнения смешанноготипа с двумя линиями вырождения // Дифференц. уравнения. Рязань. Радиотехнический институт. 1971.- С.158-163.

2. Азовский В.В. Решение задачи Т для одного уравнения смешанного типас двумя линиями вырождения // Материалы итоговой научной конференции Куйбышевского пединститута. Куйбышев. 1970. С.3-7.

3. Азовский В. В. Решение обобщенной задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа в полуплоскости // Волжский математически сборник. Куйбышев. 1971. Выпуск 9.- С.3-7.

4. Аманов Д. Краевая задача для уравнения sgn y\y\mU + xnU =0 вхх уунеограниченной области // Известия АН Уз.ССР. Серия физ.-мат. наук. 1984. №2. С.8-10.

5. Андреев А.А., Огородников Е.Н. Матричные интегродифференциальные операторы и их применения // Вестник СГТУ. Самара. Выпуск 7. Серия "Физико-математические науки". 1999. С.27-37.

6. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа // Успехи математических наук. 1953.Т.8. №2. С. 160.

7. Бабенко К.И. О принципе максимума для уравнения Эйлера-Трикоми // Доклады АН СССР.1985.Т.285. №4 С.777-782.

8. Бакиевич Н.И. Сингулярные задачи Трикоми для уравненияг/ 2 2п U>- +U ц п U =0 // Волжский математический сборник 1963.пл1. Вып.1. С.42-52.

9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра // М.:Наука. 1973.-296с.

10. Бицадзе А.В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанноготипа // Доклады АН СССР. 1953. Т.122.№2. С. 167-170. ХЪ.Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных // М.:Наука. 1981. -448с.

11. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Доклады АН СССР. 1969. Т. 185. №4. С.739-740.

12. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции // М.: ГИФМЛ.1959. -628с.

13. Волкодавов В.Ф., Репин О.А. Об одной краевой задаче для уравнения Эйлера-Дарбу с положительными параметрами // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. №7. С. 1275-1277.

14. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродиф-ференциальных уравнений // М.: Наука. 1982. -304с.

15. Гахов Ф. Д. Краевые задачи // М.: Наука.1977. 640 с.

16. Жегалов В.И. Задача с несколькими смещениями для уравнения смешанно-составного типа // Изв. вузов. Математика. 1982. №10. С. 1518.

17. Капилевич М.Б. Об одном классе гипергеометрических функций Горна // Дифференц. уравнения. Т. 4. №8. 1968. С. 1405-1483.

18. Килбас А.А. Асимптотические разложения дробных интегралов и решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Дифференц. уравнения. 1986. Т.24. №10.-С. 1764-1777.

19. Лернер М.Е. О функциях, определяемых формулами решений задач Коши и Коши-Гурса для уравнения Эйлера- Дарбу в случае 0 < р < 1 // Волжский математический сборник. Куйбышев. 1965.Вып.3. С.241-254.

20. Лернер М.Е., Репин О.А. Краевая задача с оператором М. Сайго для уравнения смешанного типа, эллиптического в вертикальной полуполосе

21. Макаров С.И. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения // Вестник ЛГУ. Серия 1. Выпуск 1. 1987.- С.117-118.

22. Маричев О.И. Весовые задачи Неймана и Дирихле в полуплоскости для обобщенного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Известия АН БССР. Серия физ.-мат.наук. 1976. №4. -С.128-131.

23. А А.Маричев О.И. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Известия АН БССР. Серия физ.-мат. наук. 1970. №5. С.21-29.

24. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций (теория и таблицы формул) // Минск: Наука и техника. 1978.-310с.

25. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения // 3-е изд., исправленное и дополненное. М.: Наука. 1968. 512с.

26. Нахушев A.M. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. 1980. Т.16. №9. С.1643-1649.

27. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение // Нальчик: Издательство КБНЦ РАН. 2000. 299с.

28. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН СССР. 1969. Т. 187. №4. С.736-739.

29. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для гиперболических уравнений // ДАН СССР. 1970. Т. 195.№4. С.776-779.

30. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1969. Т.5. №1. С.44-59.

31. Нахушев A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка // Нальчик. 1992.-155с.

32. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии // М.: Высшая школа. 1995.-301с.

33. Нахушева З.А. Нелокальная задача с оператором Эрдейи-Кобера для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Доклады Адыгейской (Черкесской) Международной Академии Наук.2001. Т.5. №2. Нальчик. С.44.

34. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции //М.: Наука. 1983. 752 с.6\.Прудников А.П. Брычков Ю.А. Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы // М.:Наука. 1986.- 801с.

35. Прудников А.П. Брычков Ю.А. Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции // М.:Наука. 1981.-800с.

36. Репин О.А. О задаче типа Бицадце-Самарского для вырождающегося гиперболического уравнения // Математическая физика. 1987. Межвузовский сборник. Ленинград. С.71-74.

37. Сабитов КБ. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. II // Дифференц. уравнения. 1992. Т.28. №7. С.1138-1145.

38. Неклассические уравнения математической физики и задачи теории ветвления. Ташкент. ФАН. 1988. С. 24-34.

39. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения // Минск: Наука и техника. 1987. 688с.

40. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа // М.: Наука. 1970. 295с.

41. Хе Кан Чер О задаче Трикоми для одного уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1974. Вып.16. С.112-119.

42. Gellerstedt S. Sur une equation lineaire aux derivees partielles de type mixte // Arciv Mat.,Astr.och.fisik.l937.25A. 29. P.l-23.

43. Kilbas A.A.,Repin O.A.,Saigo M. Solution in Closed Form of Boundary Value Problem for Degenerate Equation of Hyperbolic Type // Kyungpook. Mathematical Journal. 1996. Vol.36. №2. P.-261-273.

44. Love E.R. Two more hypergeometric integral equations // Proc.combridge Phil. Soc. 1967. Vol 63. №4. P.241-259.86Love E.R. Some integral equations involving hypergeometric functions // Proc. Edinburgh Math. Soc. 1967.Vol.15. №3. P.169-198.

45. McBride A.C. Solution of hypergeometric integral equations involving generalised functions // Proc. Edinbourgh Math. Soc. 1975. Vol.19. №3. -P.265-285.

46. Saigo M, Repin OA., Kilbas A.A. On a non local boundary value problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type // Internatioal Jounal of Mathemat. and Statistical. 1996. Vol.5. № 1. P.104-117.

47. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler Poisson - Darboux equation // Math. Japan. 1979. Vol. 24. №4. - P.377-385.

48. Гайсина JI.P. Некоторые свойства для операторов с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре // Актуальные проблемы современной науки. Тезисы докладов Международной конференции молодых ученых. Часть 1. Математика. Механика. Самара: СамГТУ. 2000. С.17.

49. Репин О.А., Гайсина JI.P. О композиционных свойствах для операторов дробного интегродифференцирования // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 10-й научной межвузовской конференции. Часть 3. Самара: СамГТУ. 2000. С.135-146.

50. Гайсина JI.P. Аналог задачи Бицадзе Самарского для гиперболического уравнения с двумя линиями вырождения // Тезисы докладов XXVII Самарской областной студенческой научной конференции. Часть 1. Общественные и технические науки. 2001. - С.81.

51. Гайсина Л.Р. О краевой задаче с оператором М.Сайго для вырождающегося уравнения гиперболического типа // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.8. Выпуск 2. М.: ТВП. 2001. -С.562-563.

52. Адыгейской (Черкесской) Международной Академии Наук. 2001. Т.5. №2. Нальчик. С. 11-17.

53. Гайсина Л.Р. Краевые задачи со смещением для вырождающегося уравнения гиперболического типа // Вестник Самарской Государственной Экономической Академии. Самара: СГЭА. 2004. С.221-230.

54. Гайсина Л.Р. Решение задач Дарбу для обобщенного волнового уравнения // Материалы международной научной конференции, посвященной юбилею академика М.Кравчука. Киев. 2004. С.69-70.

55. Гайсина Л.Р. Об одной задаче со смещением для уравнения смешанного типа с бесконечной подобластью эллиптичности // Материалы международного российско-казахского симпозиума. Нальчик-Эльбрус. 2004. С.45-46.

56. Гайсина Л.Р. Нелокальная задача с интегральным условием // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всероссийской научной конференции. Самара: СамГТУ. 2004. С.54-56.