Оптимальное управление в задачах с неизвестными границами и подвижными источниками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Шумкова Дарья Борисовна

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ЗАДАЧАХ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ГРАНИЦАМИ И ПОДВИЖНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 2006 г.

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении "Пермский государственный технический университет".

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Первадчук Владимир Павлович.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Шардаков Игорь Николаевич, кандидат физ.-мат. наук, доцент Шкляева Евгения Викторовна.

Ведущая организация:

Государственное образовательное учреждение "Ижевский государственный технический университет".

Защита состоится ^осл^Л- 2006 года в часов на

заседании диссертационного совета К 212.188.02 в Пермском государственном техническом университете по адресу: 614000, г.Пермь, ул. проф. Поздеева, д. 11, ауд. 309.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного технического университета.

Автореферат разослан мг&НЛ- 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м.н., доцент

В.А. Соколов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В последнее время проблемы оптимизации систем, состояния которых описываются дифференциальными уравнениями, приобрели большое значение с теоретической и практической точек зрения. Теория оптимизации в случае, когда математическая модель системы описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, с достаточной полнотой изложена в работах В.М. Алексеева, А.Д. Иоффе, В.М. Тихомирова, C.B. Фомина, Ф. Хартмана и др.

В настоящей работе рассматриваются системы, описываемые уравнениями в частных производных (системы с распределенными параметрами). Классические результаты теории оптимального управления (ОУ) распределенными системами содержатся в монографиях В. Барбу, А. Бенсуссана, А.Г.Бутковского, А.И. Егорова, Дж. Забкзика, В.И. Иваненко, В.С.Мельника, Ж.-JI. Лионса, А.В.Фурсикова, О.Ю.Эмануилова и др. Созданная теория оптимизации систем с распределенными параметрами находит свое применение к решению неклассических задач, описываемых уравнениями в частных производных. К неклассическим можно отнести задачи, для которых не доказано существование решения (сингулярные задачи), задачи, имеющие неединственное решение, задачи с неполными данными и др. Общий подход к доказательству разрешимости задач ОУ в случае, когда управляемая система описывается некорректной краевой задачей впервые предложен А.В.Фурсиковым. Широкий класс задач ОУ сингулярными распределенными системами изучен Ж.-Л. Лионсом. Теоремы существования решения задач ОУ системой уравнений Навье-Стокса с распределенным (а также начальным и граничным) управлением также получены А.В.Фурсиковым и В.Барбу. В случае неограниченной области теоремы существования для системы Навье-Стокса с распределенным управлением получены С.Сризараном. Однако неизученными остаются, например, постановки неклассических задач ОУ в областях, часть границы которых неизвестна и сами могут быть найдены в ходе решения задачи ОУ. При этом задача ОУ ставится как задача с граничным (стартовым, финальным, распределенным) управлением и граничным

наблюдением. К таким вариационным постановкам приводит ряд задач гидродинамики, таких, как задачи о течении жидкости со свободными границами.

Цель работы. Получение новых условий разрешимости и системы оптимальности для распределенных систем с компромиссным управлением, построение обобщенного решения и получение условий разрешимости в задачах с жестким управлением. Применение предложенных методов к исследованию задач гидродинамики со свободными границами на основе реализации специального метода фиктивных областей, а также задач теплопроводности с подвижными источниками. Построение алгоритмов отыскания управлений, доставляющих минимум функционалам, численная реализация ряда исследуемых задач.

Методы исследования. Используются методы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории выпуклого и вариационного анализа, теории функционального анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, численных методов. Для получения условий разрешимости в случае жесткого управления разработан и применен специальный метод фиктивных областей.

Научная новизна. Выведены новые условия разрешимости в вариационных задачах определения формы области, получены соответствующие необходимые условия. Разработана и реализована новая методика определения неизвестной границы для краевых задач, описываемых уравнениями Навье-Стокса, в вариационных постановках. Доказана разрешимость и получена оптимизационная система для задачи оптимального управления, описываемой уравнением параболического типа с подвижным тепловым источником, приведено соответствующее решение.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит как теоретический, так и практический характер. Разработанная методика может быть применена для изучения вопросов разрешимости и решения некоторых классов краевых вариационных задач. При этом значимым моментом является постановка задачи моделирования некоторого физического процесса как задачи оптимального управления системой с распределенными параметрами, теоретическое обоснование

разрешимости и получение практических результатов. Предложенные в работе подходы могут применяться при решении конкретных задач, возникающих в математических моделях реальных процессов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре кафедры математического анализа Пермского государственного университета и научно-технических конференциях ПГТУ (1999-2002 гг.), на XII Зимней школе по механике сплошных сред (г. Пермь, 1999 г.), на Международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2002" (Казань, 2002 г.), на Областной научной конференции молодых ученых и аспирантов "Молодежная наука Прикамья - 2002" (г. Пермь, 2002 г.), на Областной научной конференции молодых ученых и аспирантов "Молодежная наука Прикамья - 2004" (г.Пермь, 2004 г.), на Международной научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики"(г. Хабаровск, 2003 г.), на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Нижний Новгород, 2006 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 111 страницах. Библиографический список содержит 75 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается описание методики исследования и краткое содержание диссертационной работы.

Первая глава посвящена общим вопросам и принципам теории ОУ распределенными системами. В первом параграфе рассмотрены основные определения и утверждения, связанные с функциональными пространствами, дифференцируемостью и минимизацией функционалов, даны определения обобщенных решений распределенных систем, показана связь с классическими решениями, приведены соответствующие теоремы.

В параграфе 1.2 приведены сведения, связанные с разрешимостью абстрактной задачи ОУ

¿ОмО + ^Ы-о,

1(у,и)-^т{, (1)

где 1(у,и):Ух£/^ —> Я - выпуклый, полунепрерывный и ограниченный снизу функционал, ¿(у, и): У1 х и —> V - линейный непрерывный оператор, задаваемый с помощью некоторой краевой задачи для уравнения с частными производными, Г: —> V -линейный непрерывный оператор, У, V - линейные нормированные пространства, У\,и - рефлексивные банаховы пространства, У\ непрерывно вложено в У, IIвыпуклое замкнутое подмножество и . Теорема 1. Пусть для любого Я > О множество

{(>>,м) е У\ :1(у,и) ^ Л} ограничено в У\ х£/</ (функционал 1{у, и) - коэрцитивный) и множество У\ х Ц^ непусто. Тогда экстремальная задача (1) имеет решение (у,й) е ^ х Vд , причем если функционал / строго выпуклый, то решение единственно. Теорема 2. (Критерий существования оптимального решения).

Пусть функционал I(и) выпуклый, полунепрерывный снизу и дифференцируемый по Гато с непрерывной производной /'(") • Тогда и е и({ является оптимальным элементом тогда и только тогда, когда Уи><=ин (/'("),п-и)> 0 .

Задача ОУ (1) называется задачей с компромиссным управлением, если соответствующий целевой функционал явно зависит от функции управления и с жестким управлением в противном случае. Следующая теорема позволяет ввести в рассмотрение важный класс компромиссных функционалов специального вида. Теорема 3. Пусть а(и,у) - непрерывная симметричная билинейная

форма на и, /е{/*. Если) а(и>л> обладает свойством

коэрцитивности ( V/? > О, VI/ е и а(и,и) ^ ), то существует единственный элемент на котором функционал

J(u) = а(и, и) + (I, и) достигает своего инфимума.

Теоремы 1-3 применяются для исследования разрешимости краевых задач ОУ (1) с компромиссными функционалами. Рассмотрен ряд соответствующих постановок. Одна из них - задача ОУ с распределенным управлением и распределенным наблюдением, связанная с эволюционным уравнением параболического типа, описывающая, например, распределение температуры в области (0; Г) х О с тепловыми источниками х) :

ду ^ д дt ,=1 дх1

С л ^

а ц-

у дх, ] У

у(0,х) = у0(х),хеП;

ОУ

+ а0у = иЦ,х); (2)

= У\(.и*)> (3)

/(*«) = \ 5Ы*,х)-уы«,х))2 +а\\и\\г -+т£. (4)

оп

Здесь О - ограниченная область в /?3 с границей ВО, класса С°°,д:еП,г >0, I е (0;г) ,ЕГ = (0;г)хЭП , у е Ь2(0,т;Н] (П>), "О, *). уа (/, х) е ¿2 ((0; г) * П), Уо (х) е Ь2 (О), ух (/, х) е ¿2 (2 г), коэффициенты а,-,- (г, а0 ('»*) € £<» ((0; г) х П), для любых

__3 2 | 12

€ /? , I = 1,3 , таких, что 2 = Я ' выполнено условие

/=1

3 3 2

эллиптичности Xя//» « > 0 . |=1у'=1

Показано, что функционал (4) удовлетворяет условиям теоремы 1, следовательно, существует решение задачи (2)-(4).

В случае жесткого управления (а — 0 в (4)) решалась задача об аппроксимативной управляемости системы, т.е доказывался тот факт, что (уе > 0) (Вие е такое, что 1(иЕ)<е. Для этого

вводился в рассмотрение возмущенный функционал Ф(и,р), такой,

что Ф(н,0) = 1(и) и отыскание тГ /(«) сводилось к решению

иШ(1

двойственной задачи, т.е. нахождению вир I- Ф*(0, р* )).

* * '

Р &

Теорема 4. Пусть Ф(и,р)- выпуклый функционал, inf /(и) <00 и

ueUd

существует такое что функционал Ф(и0,р)<ю и

непрерывен при /7 = 0. Тогда inf I(u)= sup 1-Ф*(0,р*)) и

* v*

р eY

соответствующая двойственная задача имеет, по крайней мере, одно решение.

В третьем параграфе приводится описание основных методов решения поставленных задач ОУ. Показано, что при выполнении условий теоремы 2 решение задачи ОУ с компромиссной целевой функцией может быть сведено к решению оптимизационной системы, не зависящей явно от функции управления. Система оптимальности представляет собой набор уравнений и вариационных неравенств (равенств). В работе предлагается метод построения систем оптимальности. Для построения сопряженной краевой задачи используются формулы Грина.

Во второй главе получены центральные теоретические результаты работы: выведены условия разрешимости задач ОУ с неизвестными границами, связанных с уравнениями Навье-Стокса, получены соответствующие необходимые условия; построена система оптимальности для задачи ОУ распределенной системой с подвижными тепловыми источниками, описываемой уравнением параболического типа.

В §2.1 рассматривается краевая задача, описываемая системой уравнений Навье-Стокса, в которой часть границы заранее неизвестна, но на ней заданы некоторые условия (аналог данной задачи в гидродинамике - течение жидкости со свободной поверхностью):

+ (v(t jс), V)v(/,х) = - I'V p(t, х) + yAv(t, x), (5)

dt p w

(6)

div v(t, x) = 0,

v(0, x) = vq (x) , v(t,x)|fj =v!(/,x), T-n\v =tr(t,x),

где (t,x) e ET = (0;г) x E , dET =(0,r)x5£ = rj иГ. Предлагается осуществлять решение задачи отыскания неизвестной границы в некоторой канонической области, включающей в себя область Ет.

Пусть ЙсЛ3 - ограниченная область с границей дС1 класса С°°, Г] иГ2 = (0;г)х8С1 - боковая поверхность цилиндра

2 = ((0;г)хП)э£г , u{t^x) - функция управления. Задача определения части границы Г формулируется как задача ОУ с граничным управлением и граничным наблюдением с жестким целевым функционалом, состоящая из уравнений (5),(6), начальных и граничных условий (7) и функционала (8):

v(0, х) = v0 (х) , v(i, х] Г1 = vt (t, х) , v(t, х)| Г2 = u(t, х), (7)

г

J J ((Г ■ n)(t, х) - /г (f, х))2 dsdt inf. (8)

ОГ

Область Et ={x-x(t,^), £eE0}, где - решение задачи

dx , — = v(/,x),

Коши dt Отметим, что в уравнениями Навье-Стокса

описываются физические процессы течения вязких жидкостей, а вариационная задача (5)-(8) описывает течение жидкости со свободной поверхностью. Известно, что условием, определяющим свободную поверхность, является ir (/, х) -0.

Далее вводится определение обобщенного решения дифференциальной задачи (5)-(7).

Определение. Функция ve ¿«ДО,г; J(Q))fï ¿гС0'7^1^)) >

характеристическая функция ^ е L^ (0, г; Bv(Q.) П ¿оо и

положительная мера //, на Çlx S, зависящая от / и обладающая ограниченной полной вариацией для почти всех t е [0, г], образуют обобщенное решение задачи (5)-(7), если для любых функций ç, ц/,

( о Л

принадлежащих С1

О, г, С1 (Q)

таких, что div (р - 0, <р{т, х) = 0 ,

1//(ТуХ) = 0, и для любого борелевского множества AczQ

выполняются интегральные соотношения

jv(ç>, + (v • V)cp)dxdt + \(p0v0dx = rt. \Dik ^Ldxdt > (9) Q Q i,k~\ Q ôxk

J X{Vt + vV vYxdt + J XWodx = 0, no) Q О

JVx(dx)= ¡Sdf.it мя п.в. re[0;r]. A AxS

Здесь 9>0 = ^0(0,x), y/Q = í¡/q (O, x), Xo - характеристическая функция

множества £Q. В работе показана связь классического решения с

обобщенным. J(Q) и УЧ^) - замыкания пространства финитных

бесконечно дифференцируемых соленоидальных функций в нормах

пространств L2(Q) и Н1(С1) соответственно.

Сформулирована и доказана следующая теорема.

Теорема 5. Пусть v0 е J(Q), дЕ0 е С1, тогда существует обобщенное

решение задачи (5)-(7).

Доказательство теоремы проводилось по методу Галеркина. Для этого рассматривалось разложение ф-ии vm(t,x) по базису {и-у} пространства У(П) собственных функций спектральной задачи, соответствующей (5)-(7). Показывалась возможность осуществления предельного перехода в интегральных тождествах, для чего были использованы априорные оценки и показана компактность последовательностей в соответствующих функциональных пространствах.

Определение. Множеством допустимых четверок Ud называется множество

//, е 5v(Q); * е (О, г; Bv(Q) П А» ("))} решений задачи ОУ (5)-(8).

В силу теоремы 5 множество допустимых четверок U¿ решений задачи (5)-(8) не пусто. Функционал (8) на множестве допустимых четверок (в предположении /г (t, х) - О) имеет вид

з (г Л

I(u,vt,v,x) = y2 í I ЪЩк \Sj#kdtitdt-+тТ> (13)

Q*Sj¿=l\i=l J

где 9¡ - компоненты единичной сферы S в /?3. Условия разрешимости задачи ОУ (5)-(8) сформулированы в теореме 6. Теорема 6. Пусть определено множество U¿ допустимых четверок решений задачи (5)-(8), на котором задан функционал вида (13). Пусть

выполнены условия теоремы 5. Тогда существует четверка

Ud, такая, что /(и 0, ^ 0, v 0, ^ 0 ) = inf /(и, /у,, v, х).

Ud

Для доказательства теоремы показываются коэрцитивность и слабая полунепрерывность снизу функционала (13). Следствием доказанной теоремы является разрешимость задачи Стокса в вариационной постановке:

fM^yr m

\ dt ' хеП, t g [0, г],

[div v(t,x) = 0, V '

v(0, x) = vq (x) , v(t, x)| Г] = V! (f, x) , v(f, x)| Г2 = u(t, x), (7')

j | ((Г • n)(t,x))2 dsdt -» inf . (8')

0Г

В §2.2 получены необходимые условия существования решения задачи (5')-(8') и соответствующай система оптимальности, записанная в форме краевой задачи для сопряженной функции q(t,x) .

Теорема 7. Пусть задача ОУ (5')-(8') имеет решение. Тогда существуют

f Л ^

функции q{t, x), co(t,x) еС

О, г, С (Q)

такие, что справедливы

г зз Qq.

соотношения J J £ X—~ ' n, ôu jdtds = 0 ; q, - у • Aq = 0 , div q = 0, ОГ2 i=\j~\^xj

q(r,x) = 0, at + V(v<y) = 0 , û)(t,x) = 0,

on 1 K

В §2.3 получены условия разрешимости и построена система оптимальности для задачи оптимального управления с подвижным тепловым источником. Рассматривается краевая задача ОУ, описываемая уравнением параболического типа (уравнение теплопроводности)

de(t,z) ,d2Q(t,z) . / ч --K-^ + a®(t,z) = F{u,t,z), (14)

& 8z

начальным и граничными условиями

11

е(о,г) = ©о(*), 0(^,0) = ©!(/), = о (15)

и целевым функционалом

тЬ _

1{и) = | / [©(г, г) - (/, йгЛ н*, (16)

00

где Р(м,г,г) - оператор, нелинейный относительно функции управления и - скорости подвижного теплового источника,

г .

/

я

F(u,í, г) = дтах -е ^ 0 ' (в термодинамике - гауссовское

распределение потока тепла). В силу указанной нелинейности затруднительным оказывается применение общей теории для исследования разрешимости задачи ОУ в постановке (14)-(16). Предложен подход, заключающийся в разбиении решения задачи ОУ на два последовательных этапа. На первом этапе под управлением понимается количество тепла, получаемое системой от теплового источника:

от)

дt

Уравнение (17) записывается с начальным и граничным условиями (15) и целевым функционалом

(«1 )= /1 + -> тГ • (18)

00

где 26Й = (0,1), I е (0; г). В качестве пространства решений

рассматривается пространство © = £,2(0,г;//1 (п)], в качестве пространства управлений = Ь2 ((0; г)хП), ©^(/,г) е Ь2((0;т) х £2) , ©0 (г) е ¿2 (О), ©| (0, ©2 (0 е Ь2 (0; ■г), а, Л, ст > 0. Задача (17), (15), (18) является задачей ОУ с распределенным управлением и распределенным наблюдением. В работе показано, что существует единственный элемент й\, минимизирующий

^и: 1\{й\)= и^ /1(1/). Получена система оптимальности в иеил

сильной форме, позволяющая найти оптимальный элемент ¿¡(^г). Результаты сформулированы в следующей теореме. Теорема 8. Пара (©(Г.г),«^/^)) образует решение задачи ОУ (17), (15), (18) тогда и только тогда, когда существует функция

p(t,z) e ¿2

0 ,r;Hl{Q)

, такая, что функции Q(t,z), p(t, z) являются

(19)

решением системы дифференциальных уравнений

ot dz <? 8z

Ot dz UZ

где ©(/, z) = ©(/, z) - ©(/, z) , 0rf (f, z) = ©rf (i, z) - &(t, z) ,

dQft.z) , d20(f,z) ,

---Я---+ «©(/,z) = 0, „ , v

~ - - <r

©(0.z) = ©0(z), ©(/,0) = ©,(/), ©(/,¿) = ©2(0.

Отметим, что оптимизационная система (19) не зависит от функции управления.

На втором этапе предполагается минимизация функционала

TL

h (") = J J(«i (Л - F(u, t, z)f dzdt -> inf (20)

00

Здесь z e Q = [0,, /е[0;г], £e[0;L], U = L2(&) .

В §2.4 предлагается реализация метода градиентного спуска к решению задачи минимизации функционала вида (22).

В третьей главе предложена реализация (в том числе численная) краевых вариационных задач, разрешимость которых исследована во второй главе.

В §3.1 решены некоторые задачи определения свободных границ в своих вариационных постановках. Исследована краевая стационарная задача ОУ, соответствующая (5)-(8), в предположении, что rot (v(x)) = 0. Аналог в гидродинамике - течение идеальной жидкости со свободной поверхностью. Рассмотрены различные формы области решения и граничных условий, получены формы неизвестных границ (рис.1). Численная реализация проведена с использованием конечно-разностных методов. Приведено сравнение результатов (форм свободных поверхностей), полученных с использованием вариационных методов с известными (В.В. Пухначев, АЛО. Чеботарев, Д.В. Маклаков).

В §3.2 решена стационарная краевая задача ОУ, соответствующая (5')-(8'). Решение прямой краевой задачи проводилось методом итераций, используя алгоритм Удзавы. Показана

13

сходимость алгоритма в соответствующих функциональных пространствах. Для минимизации функционала (8*) использован метод градиентного спуска, полученная в результате неизвестная граница аппроксимирована сплайнами.

В §3.3 решена система оптимальности (19) (SAC Maple 10.00),

получены соответствующие поверхности и м^/,2),

рассмотрены различные виды граничных условий (15) и функций (рис.2, 3).

В §3.4 реализован метод градиентного спуска для функционала (20). Функция управления и найдена в классе кусочно-постоянных

-К

f л л2

Ln-Ui+l

функций. Тогда 12(M) = JS J

о '=1 //

. „ I

"1 <7 maxп J

dtdz, где

м,- е Л, I = 1, я — 1. Управление определялось итерационно согласно методу градиентного спуска ип+] = ип -а-У12(ип), ае(0;1),

Получена функция оптимального управления (рис.4).

В заключении сформулированы следующие основные результаты работы:

1) получены условия разрешимости краевых вариационных задач со свободными границами с жестким управлением и соответствующие необходимые условия;

2) доказана разрешимость и получена система оптимальности в сильной форме для задачи ОУ с подвижным тепловым источником;

3) получены решения в задачах ОУ с неизвестными границами, описываемых уравнениями Навье-Стокса, проведено сравнение полученных результатов с известными;

4) получено решение оптимизационной системы задачи с подвижным тепловым источником, реализован метод градиентного спуска минимизации функционала, численная реализация проведена с использованием конечно-разностных методов и САВ.

¡Too loo аоо эоо * oo tog too roo too soo woo 1100 1200

Рис. 1. Оптимальные линии тока в задаче о фонтане идеальной жидкости

Рис. 2. Функция ú¡(í,z)

Рис. 4. Функция u(t,z)

Рис. 3 Функция ©(г, г) СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Тюрина (Шумкова) Д.Б. Об одном подходе к решению задачи со свободной границей // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь: ПГТУ. - 1999. - С. 170-176.

2. Олеиник A.A., Самыгина Т.А., Тюрина (Шумкова) Д.Б., Шкляева Е.В. Вариационный подход к решению задач со свободной границей и задач удержания системы в окрестности заданного

15

состояния //Тез. докл. XII Зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 1999, с. 27.

3. Тюрина (Шумкова) Д.Б. Задача Стокса со свободной границей // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь: ПГТУ. -2000. - С. 58-66.

4. Олейник A.A., Шумкова Д.Б. Об одном вариационном методе отыскания свободной границы // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь: ПГТУ. - 2002. - С. 39-42.

5. Шумкова Д.Б. Вариационный подход к решению задач о течении жидкости со свободной поверхностью // Молодежная наука Прикамья - 2002, сборник научных трудов. Вып 2. Пермь: ПГТУ. -2002.-С. 108-112.

6. Шумкова Д.Б. Об одном вариационном методе отыскания свободной границы // Труды математического центра им. Лобачевского, материалы Международной молодежной научной школы-конференции Лобачевские чтения - 2002. Т.18, Казань, Казанское мат. общество, 2002. - С. 103.

7. Олейник A.A., Шумкова Д.Б. Об одном вариационном подходе к решению задач течения жидкостей со свободной границей // Вестник Пермского университета. Математика. Информатика. Механика. Вып.5. Изд. ПГУ. - 2003. - С. 57-59.

8. Шумкова Д.Б. Вариационный подход к решению задач о течении жидкости со свободной поверхностью // Фундаментальные и прикладные вопросы механики; сб. докладов международной научной конференции. Т.Н. Хабаровск. Изд. ХГТУ. - 2003. - С. 3-8.

9. Шумкова Д.Б. Об одной задаче определения формы свободной границы идеальной жидкости в режиме водослива // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь: ПГТУ. -2004.-С. 105-110.

10. Шумкова Д.Б. Разрешимость задачи оптимального управления течением жидкости со свободной границей // Молодежная наука Прикамья - 2004, сборник научных трудов. Вып. 4. Пермь: ПГТУ. -2004.-С. 146-149.

11. Первадчук В.П., Шумкова Д.Б., Сыроватская В.В. Математическое моделирование оптимального управления процессом легирования оптических волокон // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь: ПГТУ. - 2005. - С. 3-9

12. Первадчук В.П., Шумкова Д.Б. Оптимальное управление процессом газофазного осаждения в производстве кварцевых оптических волокон // Тез. IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике, Н.Новгород, 2006. - С. 94-95.

Подписано в печать 10.11.2006. Бумага ВХИ. Формат 60X90/16. Набор компьютерный. Тираж 100 экз. Усл. печ. л. 1,0. Заказ № 570/2006.

Отпечатано в типографии издательства Пермского государственного технического университета Адрес: 614000, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, 113 тел. (342)219-80-33

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами (состояние и анализ проблемы).

1.1 Основные сведения теории минимизации функционалов и исследования систем с распределенными параметрами.

1.2 Вопросы разрешимости задач оптимального управления распределенными системами

1.3 Системы оптимальности для задач оптимального управления распределенными системами.

Краткие выводы и задачи исследования.

Глава 2. Оптимальное управление в задачах, описываемых уравнениями Навье-Стокса, с неизвестными границами и вариационные задачи с подвижными источниками.

2.1 Постановка и разрешимость вариационных задач, описываемых уравнениями Навье

Стокса, с неизвестными границами.

2.2 Необходимые условия разрешимости задачи оптимального управления Стокса с неизвестной 1раницей.

2.3 Разрешимость и система оптимальности в вариационных задачах с подвижными тепловыми источниками.

2.4 Задача об оптимальном управлении скоростью подвижного теплового источника.

Краткие выводы.

Глава 3. Численное исследование задач оптимального управления с неизвестными границами и подвижными источниками.

3.1 Методы отыскания неизвестных границ в задачах, описывающих течение идеальных жидкостей.

3.2 Численное исследование течений вязких жидкостей со свободной поверхностью, описываемых уравнениями Стокса.

3.3 Решение задачи оптимального управления потоком тепла от подвижного источника

3.4 Решение задачи оптимального управления скоростью подвижного теплового источника

Краткие выводы.

Общая теория оптимального управления распределенными системами, т.е. системами, которые описываются с помощью краевых задач для уравнений с частными производными, изучается на протяжении многих лет, однако эта теория имеет достаточно абстрактный характер и ее применение к конкретным задачам далеко не всегда тривиально. Кроме этого, оно требует достаточной степени изученности управляемой системы, что сильно усложняет поставленную задачу оптимального управления. Эта тематика не теряет своей актуальности из-за разнообразия распределенных систем, описывающих процессы самых различных областей физики, механики, экономики. Теория оптимального управления гидродинамическими системами, в том числе и системами, описывающими течение вязких жидкостей, а также процессы тепломассопереноса, представляет интерес, связанный со спецификой краевых задач, описывающих эти физические явления. В этом смысле на первый план выступают вопросы разрешимости задач оптимального управления, а также получение систем оптимальности. Оптимальное управление в задачах с подвижными тепловыми источниками, а также в задачах, связанных с определением форм неизвестных границ, представляет не только теоретический, но и практический интерес, поскольку преобладающее большинство подобных задач непосредственно связано с процессами производства.

Теория оптимального управления распределенными системами интенсивно изучается на протяжении нескольких десятков лет. Термин "управление" был введен Л.С.Понтрягиным и его учениками [2] для задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такие задачи долгое время составляли большую часть исследований в теории оптимального управления. Периоду строгих математических исследований в теории оптимального управления распределенными системами предшествовало изучение прикладных задач оптимального управления [14,26]. Одной из первых книг по математической теории оптимального управления распределенными системами была книга Ж.-Л. Лионса [33].

В настоящее время все больше исследуются задачи оптимального управления, использующие функциональные уравнения [3-8,15,22-24,57,5960,62-67,74-75], в том числе дифференциальные уравнения с частными производными. Кроме того, теория оптимального управления системами, которые описываются функциональными уравнениями, сопровождается более систематическим использованием понятий и методов функционального анализа. В настоящее время при решении задач оптимального управления в основном пользуются общими методами абстрактного функционального анализа, теории выпуклого и вариационного анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, численных методов.

Приведем краткое содержание диссертационной работы. В первой главе рассмотрены основные вопросы, касающиеся постановок и разрешимости задач оптимального управления распределенными системами в общем виде, приведена классификация, связанная с различными видами целевых функций и типов управлений, приведены соответствующие определения, утверждения и теоремы, касающиеся разрешимости и единственности. Во второй главе получены условия разрешимости и системы оптимальности для распределенных систем с компромиссным управлением, построено обобщенное решение и получены условия разрешимости в задачах с жестким управлением. Так, исследованы некоторые задачи гидродинамики со свободными границами, сводящиеся к задачам оптимального управления. Для нахождения неизвестной области и состояния системы в этой области поставленная задача сводится к задаче оптимального управления областью, которая, в свою очередь, сводится к задаче граничного или распределенного управления (управление является жестким) в уже известной области, но на абстрактном и малоизученном классе функций. Трудность поставленной задачи состоит и в том, что целевая функция полученной задачи граничного управления зависит от границы неизвестной области. В работе доказано существование оптимального управления в достаточно широком классе областей с ограниченным периметром, при котором на свободной поверхности выполняются некоторые условия. Получены необходимые условия задачи минимизации целевого функционала. Кроме того, доказана разрешимость и получена оптимизационная система для задачи оптимального управления, описываемой уравнением параболического типа с подвижным тепловым источником. Задача сведена к линейной относительно функции управления задаче с распределенным управлением и распределенным наблюдением с компромиссной целевой функцией.

В третьей главе построены алгоритмы отыскания управлений, доставляющих минимум функционалам, численная реализация задач, исследуемых во второй главе.

В заключении сформулированы следующие основные результаты диссертационной работы.

На защиту выносятся:

1) Новые условия разрешимости краевых вариационных задач со свободными границами с жестким управлением и соответствующие необходимые условия;

2) условия разрешимости и система оптимальности в сильной форме для задачи ОУ с подвижным тепловым источником;

3) решение задач оптимального управления с неизвестными границами, описываемых уравнениями Навье-Стокса, сравнение полученных результатов с известными;

4) решение оптимизационной системы задачи с подвижным тепловым источником, реализация метода градиентного спуска минимизации функционала.

Заключение

В последнее время проблемы оптимизации систем, состояния которых описываются дифференциальными уравнениями, приобрели большое значение с теоретической и практической точек зрения. В настоящей работе рассматриваются системы, описываемые уравнениями в частных производных (системы с распределенными параметрами). Изучены постановки задач оптимального управления в областях, часть границ которых неизвестна. Предложен метод, согласно которому они могут быть найдены в ходе решения задачи оптимального управления. При этом вариационная задача ставится как задача с граничным (стартовым, финальным, распределенным) управлением и граничным наблюдением. К таким вариационным постановкам приводит ряд задач гидродинамики, таких, как задачи о течении жидкости со свободными границами.

Основной целью исследования явились получение новых условий разрешимости и системы оптимальности для распределенных систем с компромиссным управлением, построение обобщенного решения и получение условий разрешимости в задачах с жестким управлением, а также применение предложенных методов к исследованию задач гидродинамики со свободными границами на основе реализации специального метода фиктивных областей, а также задач теплопроводности с подвижными источниками. Построение алгоритмов отыскания управлений, доставляющих минимум функционалам, численная реализация ряда исследуемых задач.

В работе получены новые условия разрешимости в вариационных задачах определения формы области, получены соответствующие необходимые условия. Разработана и реализована новая методика определения неизвестной границы для краевых задач, описываемых уравнениями Навье-Стокса, в вариационных постановках. Доказана разрешимость и получена оптимизационная система для задачи оптимального управления, описываемой уравнением параболического типа с подвижным тепловым источником, приведено соответствующее решение.

Работа носит как теоретический, так и практический характер. Разработанная методика может быть применена для изучения вопросов разрешимости и решения некоторых классов краевых вариационных задач. При этом значимым моментом является постановка задачи моделирования некоторого физического процесса как задачи оптимального управления системой с распределенными параметрами, теоретическое обоснование разрешимости и получение практических результатов. Предложенные в работе подходы могут применяться при решении конкретных задач, возникающих в математических моделях реальных процессов.

1. Акер A. (Acker A.) A free boundary optimization problem // SIAM Journ. of Math. Anal. 1978. #9. P. 1179-1191.

2. Алексеев B.M., Тихомиров B.M., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Физматлит, 2002.-320 с.

3. Алексеев Г.В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений теории тепломассопереноса//Журн. вычислительной математики и мат. физики. 2002. Т. 42, №3, С. 380-394.

4. Алексеев Г.В. Разрешимость задач управления для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой жидкости // Сиб. мат. журнал. 2004. Т.45. № 2. С. 243-262.

5. Алексеев Г.В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции // Сиб. мат. журнал. 1998. Т.39. №5. С. 982-998.

6. Алексеев Г.В., Смышляев А.Б., Терешко Д.А. Разрешимость краевой задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса при смешанных краевых условиях // Журн. вычислительной математики и мат. физики. 2003. Т. 43, №1, С. 84-98.

7. Аллард В. (Allard W.) On the first variation of a varifold // Ann. Math, 1972.V.95. P.417-491

8. Андрамонов М.Ю. Методы глобальной минимизации для некоторых классов обобщенно-выпуклых функций. М.: Наука, 2001. - 270 с.

9. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. - 324 с.

10. Барбу В. (Barbu V.) The time optimal control of Navier-Stokes equation // Sistem Control Lett., 30,1997, P. 93-100

11. Бенуссан A. (Bensoussan A.) Perturbation methods in optimal control, Gauthier-Villars, Paris,1988.-335 p.

12. Болдырев В.И. Метод кусочно-линейной аппроксимации для решения задач оптимального управления // Дифференциальные уравнения и процессы управления (электронный журнал http://www.neva.ru/journal) №1,2004, С. 28-123.

13. Бутковский А.Г., Бабачев А.В., Похьолайнен С. К единой геометрической теории управления. М.: Наука, 2001. - 352 с.

14. Бутковский А.Г.Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. - 474 с.

15. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. - 622 с.

16. Гузевский Л.Г. Задача о плоском фонтане тяжелой жидкости // Известия сибирского отделения АН СССР. №3, вып.1,1976.

17. Дакоронья Б. Слабая непрерывность и слабая полунепрерывиость снизу нелинейных функционалов // Успехи мат. наук, 1989, Т.44, вып.4, С. 35-97.

18. Джусти Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации. М.: Мир,1989.-239 с.

19. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978.-463 с.

20. Забкзик Дж. (Zabczyk J.) Mathematical control theory: an introduction. Boston: Birkhauser, 1992.-376 p.

21. Иваненко В.И., Мельник B.C. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами. Киев: Наукова Думка, 1988. - 284 с.

22. Илларионов А.А. Асимптотика решений задачи оптимального управления для уравнений Навье-Стокса // Журн. выч. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 6. С. 1061-1071.

23. Илларионов А.А. Оптимальное граничное управление стационарным течением вязкой неоднородной несжимаемой жидкости // Матем. заметки. 2001. Т. 69. Вып. 5. С. 666-678.

24. Илларионов А.А., Чеботарев АЛО О разрешимости смешанной краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса // Диф. уравнения. 2001. Т. 37, № 5. С. 689-695

25. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 479 с.

26. Калерман Т. (Calerman Т.) Ube rein Minimal-problem der mathematischen physic // Math. Zeitschrift.1918. S. 208-212.

27. Калугин B.T. Энтропийный метод расчета параметров отрывных течений // Механика жидкости и газа, 1997, №1, с. 122-131.

28. Корон Ж.-М. (Coron J.-M.) On the controllability of the 2-D incompressible Navier-Stokes equation with the Navier slip boundary conditions // ESIAM Control Optim. Calc/ Var., 1, 1996, P.35-75.

29. Крейн С.Г., Лаптев Г.И. К задаче о движении вязкой жидкости в открытом сосуде // Функциональный анализ и его приложения, 1968, т.2., вып.1, с. 40-50.

30. Лаврентьев Г.В. Численные расчеты задач гидродинамики со свободными границами на основе аналитического представления решений // Динамика сплошной среды, вып. VI, Новосибирск, 1970, С. 208-212.

31. Ладыженская О.А. Математическая теория вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука,1970.-235 с.

32. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. - 132 с.

33. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. - 387 с.

34. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М: Наука, 1987. -368 с.

35. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир,1971.-395 с.

36. Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. М.: Янус-К, 1997. - 280 с.

37. Митсоулис Е. (Mitsoulis Е.) Extrudate swell in double-layer flows // Journal of reology, 1986, #30, P. 23-44.

38. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. - 486 с.

39. Монахов В.А. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. - 420 с.

40. Муравей Л.А. Задача управления границей для эллиптических уравнений // Вестник МГУ, сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика, 1998, №3, с. 7-13.

41. Муравей Л.А. О существовании решений вариационных задач в областях со свободными границами //ДАН СССР, 1984. 278, №3, с. 541-544

42. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.-345 с.

43. Осипов Ю.А., Суэтов А.П. Существование оптимальных форм эллиптических систем // Препринт Уральского отд. АН СССР. Свердловск, 1990, с. 1-9.

44. Плотников П.И. Об одном классе кривых, возникающем в задаче со свободной границей для течений Стокса // Сиб. мат. журнал, 1995, 36, №3, с. 619-627

45. Плотников П.И. Обобщенные решения задачи о движении неныотоновской жидкости со свободной границей // Сиб. мат. журнал, 1993, 34, №4, с.127-141.

46. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики М.: Физматлит, 2005. - 386 с.

47. Пухначев В.В. Взаимодействие распределенного источника с плоской свободной поверхностью вязкой жидкости //Механика жидкости и газа, 1996, №2, с. 53-65.

48. Радкевич Е.В. О разрешимости общих краевых задач со свободной границей // Успехи математических наук, 1986, т. 41, вып.5б с. 13-31.

49. Рокафеллар Р., Выпуклый анализ. М., Мир, 1973. - 326 с.

50. Романов А. С. Теоремы вложения для одного класса функций соболевского типа на метрических пространствах // Сиб. мат. журнал Т. 45, № 2, 2004. С. 452-465.

51. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы.

52. Примеры. 2-е изд., испр. - М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

53. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. -М: Наука, 1988. 388 с.

54. Солонников В.А. Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости, ограниченной свободной поверхностью // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1977, Т.41. №6, с. 1388-1424.

55. Сризаран С. (Sritharan S.) An optimal control problem in exterior hydrodynamics // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 121,1992, #1-2, P. 5-32 .

56. Старовойтов B.H. Разрешимость задачи о движении жидкости с межфазной границей // Математические проблемы динамики неоднородных жидкостей со свободными границами. Дин. сплошн. ср., вып. 95. Сиб. отд. АН СССР, Новосибирск, 1990, с. 114-130.

57. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

58. Тихомиров В.М. (Tikhomirov V. М.) Fundamental principles of the theory of external problems. Wiley: Chichester, 1986. - 458 p.

59. Тихонов A.H., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999.-432 с.

60. Фарбэ К., Пуэль Ж.-П., Зуазуа Э. (С. Farbe, J.-P. Puel, and Е. Zuazua) Approximate controllability of the semilinear heat equation // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 125,1995, #1, P. 31-61.

61. Фатторини Г.О. (H.O. Fattorini) Boundary control systems // SIAM J. Control #6,1968. P. 349-385.

62. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987. - 324 с.

63. Фурсиков А.В. (Fursikov A.V.) Real Process Corresponding to the 3D Navier-Stokes System, and its Feedback Stabilization from the boundary, Americn Math. Soc. Transl., 2, v. 206,2002, P. 95-123.

64. Фурсиков А.В. Некоторые вопросы теории управления нелинейными системами с распределенными параметрами //Труды сем. им. Петровского, №9,1983, с.167-189.

65. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. - 350 с.

66. Фурсиков А.В., (Fursikov A.V.) Certain problems of optimal control of the Navier-Stokes system with distributed control // Optimal control of viscous flow. VI, SIAM, Philadelphia, 1998, P. 109-150.

67. Фурсиков А.В., Эмануилов O.IO. (Fursikov A.V. and Emanuilov O.Yu.) On approximate controllability of the Stokes system // Ann. Fac. Sci. Toulouse, 2,1993, #2, P. 205-232.

68. Фурсиков А.В., Эмануилов O.IO. Точная управляемость уравнений Навье-Стокса и Буссинеска // УМН, т. 54, № 3, 1999, С. 93-146.

69. Че Д., Эммануилов О.Ю., Ким С.М. (Chae D., Emanuilov O.Yu. and Kim S.M.) Exact controllability for semilinear parabolic equation with Newmann boundary conditions // J. Dynam. Control Syst., 2, #4,1996. P.449-483.

70. Чеботарев АЛО. Граничные экстремальные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости // Сиб. мат. журнал, 1993,34, №5 с. 202-213.

71. Чеботарев А.Ю. Нормальные решения краевых задач для стационарных уравнений Навье-Стокса// Сиб. мат. журнал, 1995, 36, №4, с.934-942.

72. Ченцов А.Г. Приложения теории меры и задач управления, Свердловск, Средне-Уральское кн. изд., 1985. 336 с.

73. Шенне Д. (Chenaise D.) On the existence of a solution in a domain identification problem // Journ. of Math. Anal, and Appl. 1975. 52. P. 189-219.

74. Экланд И., Темам P. Выпуклый анализ и вариационные проблемы, М., Мир, 1979. 224 с.

75. Эмануилов 0.10. Граничная управляемость параболических уравнений // Мат. сб., 186, 1995, №6,109-132.

76. Эмануилов 0.10. О некоторых задачах оптимального управления, связанных с системой Навье-Стокса//Труды сем. им. Петровского, 15,1991, 108-127.