Численно-аналитическое исследование эллиптических задач с неизвестной границей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНА ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи УДК 519.63

МАМЕДОВ Я КУБ ЯКУ В оглы

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С НЕИЗВЕСТНОЙ ГРАНИЦЕЙ

01.01.07 — Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата ф:п;:ко-иатематичсских наук

БАКУ -

1992

Работа выполнена в БГУ им. М. А. Расулзаде. Научные руководитель:

— доктор физико-математических наук, профессор Гаса-ноз А. И.

Официальные оппоненты:

— д.ф.-м.н., с.н.с. Айдазаде К. Р. (НПО «Нефтегазавтомат»),

— д.ф.-м.н., доцент Ягубов М. А. (БГУ им. М. А. Расулзаде).

Ведущая организация — Азербайджанский ТехническиЛ Университет.

Защита диссертации состоится мая 1992 г. б АН-_

час. на заседании специализированного совета К.004.21.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Институте кибернетики АН Азербайджана по адресу: 370141, г. Баку, ул. Ф. Агаева, квартал 553, дом 9.

Отзывы на автореферат просим высылать в двух экземплярах с заверенными подписями.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института кибернетики АН Азербайджана.

Автореферат разослан « ЗЪйЛЛШ19Э2 г.

Ученый секретарь Специализированного с к.ф.-м.н.

- 3 -

| ОШЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию эллиптических задач о неизвестной границей. В работе проведен анализ задачи е неизвестной границей, сравнение ее с аналогичной задачей о известной границей, доказаны теоремы о поведении решения вблизи возмущенной: границы, ез основе этих результатов построен итерационный метод решения задач с неизвестной границей на иодеияенх сетках и решены конкретные задачи.

Актуальность теми. Многие задачи физики и механист приводятся к краевым задачам математической физики, где часть граничных условий задается в виде неравенств. Это связано с тем, что часть границы области, где решается задача, .является неизвестной. Даже'для лане£ша операторов, подобные задачи являются нелинейными. В литература, эта задачи называются односторонними или задачей с неизвестной границей. 3 обобщенной постановке задача о неизвестной границей, выражается тал называемым вариационным неравенством. В современной теория дайеренцваяьнкх уравнений задача с неизвестной границей стали предметом изучения сравнительно недавно. В вычислительной .7-0 математике численные методы решения задач с неизвестной границей практически отсутствуют. Более' того, если учесть что построение какого-нибудь итерационного метода решения задачи с неизвестной границей связано с качественными свойствами решения дг^ферекциальной задача, то кошиек-снсе исследование задачи с неизвестной границей с дальнейшей разработкой конструктивного итерационного метода числен-

• А, 4 —

него решения является актуальный вопросом как в вычислитель ной, так а в прикладной математике. Разработка. подобных методов дкя эллиптических задач с неизвестной границей» еозво лило du реализовать на ЗВУ многих стацаонаршх задач физики и механики, в которше связи на границе являются о дно сторонними.

Поль работе - создание катематичесхого аппарата исследования эллиптическая задач с неизвестной границей, лострс ение численного шгода решения задача, с учетом es особенностей,

Методика исследования - основала на еспользоезнив сов-ремзнкой теории даффбренцаальных уравнений, метода конечна элемэктов к линейкой 'алгебра.

Научная новизна диссертации состоят в том,- что ъ ней изучены качественнее ■ свойства задачи с неизвестной границе! ' на ДЕф^орошзЕгльноы'уровне.• Более того, полученные розулы ты внясшшг картону гозвадейиЕ при возмущении неизвестной границы как для обобщенного, -так и для классического реиен На основе этих результатов в диссертации предложен орагина шЯ численный метод решешщ задачи'о неизвестной границей

На ПОДВИЖНОЙ C9W.Q. ' • '

Теоретическая и практическая данность. В работо построен алпарат исследования решения вариационных неравенств, получены георот о поведении решения вблизи возмущенной rj тпда. Предложенный численный метод реиония эдгаптичееккх аазач с неизвестной границей одинаковым успехом можзт пра пяться на все« прикладным задачам (контактные задачи теорз

_ 5 -

упругости,-задачи опяклазацаи упругих форм и т.д.), гдо шлется часть границы области. •

Апробация работа. Результата исследований, изложенные в диссертации докладывалась на X республиканской,юбилейной конференции аспирантов (Баку, 1987г.), на семинаре кафедры вктаслителшнх методов МГУ Ш.М.В.Ломоносова (Москва, 1991г.), на семинарах кафедрн вычислительной математика ЕГУ им.М.А. Расулзаде (1990,'1992 гг.), на семинаре яафздря математики и вшислительной техники НГ7 ид.Ю.Г.ЫамедалаеЕа (Нахичевань, 1991 г.). .

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I] - [з]

Структура и об"ем ддссет1та1ши. Диссертация состоит из введения, двух глав,- заключения и списка'литературы', вклота-вдего 43 наименований. Об"ем работы составляет 78 страниц иашаношсного текста, в том числе 7 рисунков.

' СОДЕЕНАШЕ РАБОШ .

Во введении дается краткий обзор работ, связанных: с темой диссертации, обосновывается актуальность-тема и излагается краткое содержание работа.

•Первая глава посвяиена методам ашхроксинадаи вариационных неравенств *ингегральныиа тождествами в бесконечномерном цространстве.

В первом парагрэфо главы дается постановка задачи. Пусть О. С К* , ЭЙ = Г С Е""1 , Г - н/о очно-гладкая граница ограниченной области О . Предположим, что

- 6 -

СЦ(х) , а.Сх") , = ГГк. - ограниченные нзмериже функции, удовлетворяющие следувдим условиям:

сц (х) = % (х) ', а. (х) ^ о . Дга V илге.НЧФ) р £ опредвлш бадинейную

а(«^)=![а;1(х)||. + а.и^сЬ (2)

е линейную

е(и)=$Рис(х , иеН1(«) (3)

я

аормк.

Рассмотрим следующую задачу:

(4)

ЗиеУ а(и,и-и)^ Е(У-и) , Уи-еУ,

• Вариационному неравенству (4) соответствует краеввя задача с неизвестной границей-

и(5)>0 , >.0 , = о > ьеГ.

Эш ЭПа

(5)

Введем множество

£ = {35еГ|ы(в)=о1 .

Показано, что ест ■ £ определено, то задача (5) становится обычной смешанной задачей

Au = F , xeQ ;

uiflsO , seil ; (6)

= o , se Г\ГЬ

-

а дополнительнее условия слукат для определения неизвестной граница П :

"u (s) > О , Г\гь ; »0 , seH .

olU

Во втором параграфе доказываться каадстзеявда свойства решения задачи (5) дра всз'4уоон?я' грахшцк Q . Огссздалсяне I. Краовув задачу

flu = F , xeQ ;

ü(s) = 0" r seft ; > (8> ■

Ж=0 , ser\ft ^ 4

будем навивать r-ознуценной задачей. Здесь Q, удовлотво-шс: условиям:

п. с Г Ut(f; ПП.) ф 0 ■ (S)

Если неизвестная'граница задана априори, то естественно о.тпдг.'ГБ „ 1ТО какие-то из условий (?) нарушатся. Следу:>-цио две теорег.м об"ясняот характер этого нару1ве:пгя.

г

Георгия I. Пусть U - обобщенное решение краевой задачи (G), а U - то .те реяенкв возмущенной задачи (8),

Тогда, если

fl с Гс , тев-(гь\п ) > о , <10>

то имеет место следующее утверждение

3 5.еГс\й u(s.)<o. Oi)

Теорема 2. Пусть U , U - обобщенные решения краевых задач (6), (8) соответственно. Тогда, если

ГЬСГ„ , \ПЛЛ ( ГсАГе.) > О , <12>

то имеет место следующее утверждение

Э^^г.чг. . <о . ом

Приведенные результаты усиливаются, если существует сильное решение задачи с неизвестной границей. Предположи.!, что коэффициенты й^'(зс) , О/, (х) удовлетворяют следующим, ' условиям гладкости:' , ' .

о^хКСЧ«') ,'адхис'^). <14>

Рассмотрим более общую задачу при неоднородном краевом условии:

Au = F » xeQ ;

u(bMis), >,o > Б£ГС ; . <I5>

ЭПа l j an*

о , se Г, ,

гдо F z f - нопрергганле цункотв, Г, Ufu=P i П, АГц = 0 V.y, ,vui? U3!H4 вгое усдовгях, падач?. (15) г..моет точение

UcClQb

. Как и прелзде определим решение П £ С'(Ф) возмущенной задачи:

/

(16)

flu = F , oceQ ; u(s) = ?(s) , seil ;

= 0 , 5€'ГЛГс ;

где Q удовлетворяет условиям (9). Для. неоднородной .задачи неизвестная граница определяется следующим образом:

* ,

£-[3series) = y>(s)] . *

Так же как-и в предыдущем случае, если П. известно, то задача (15) становится эквивалентной следующей-задаче:

/Au «F , -xeQ ; ' •

, sefc •;

8u, Эп*

о

(IV)

= 0 , seCXTc ;

, seru .

Теорема 3. Пусть u€C(Q) , UeC(£) ственно решенияЧзадач (16) и (17). Тогда I) если выполняются условия

Гс С п. , т^(ГлП) >0 ,

то

соответ-

3 ь.е ГЛГ«.; и($.) У> (5.) , .. (10)

УвбГсЧГ«-' и(5)*У(ь). 2) если выполняются условия

то

(19)

Таким образом, при наличии сильного решения задачи' с . неизвестной границей доказано, что в случае П с П. нарушение неоднородного краевого условия в виде неравенств происходит не в одной точке, а во всех точках 5€ ПА . Это обстоятельство облегчает процедуру отыскания приближенного решения., .

Б третьем параграфе излагается итерационный метод решения, задачи с неизвестной границей. С этой целью выбирается последовательность { , Г« С Эй • удовлетворяющая следующим условиям: * ..

г]/ш гесг«сг ;;

Чггь - Г^, С Г* (20)

Уг>0 Зн. »

и для кавдого Г^ .рассматривается задача

■ Аи = ^ , хеО ; _ . ..

, Ы(5)= О , 56 С. ; (21)

= 0 веГЧГ«'.' . .

^Ъп А

Определение- 2. Обобщенное решение краевой задача (21) называется прийшиешшм реизгаом вариационного неравенства (4). ...

Сходимость приближенного решения к решению вариационного неравенства в норме И'(^) • доказана в работах А.11. Гасалова.

Схема итерационного метода состоит в следующем: алрио-•ри задается Г, С Г и находится решение и"'= и [Г,] задачи (21).- Далее проверяются условия (II), (13). Если выполняется условие (II), то' это означает, что Г, сГс . Если ге выполняется условие (13), то это означает, что. П.С Г, . Следовательно, в первом случае итерация П .выбирается аз соображения "увеличить" -Г,, а во втором:"уменьшить" Г) .

Итерационный процесс продолжается до тех.пор, пока-

<5 , " ; ■ - ■

ч

' >. О - заранее заданная точность.

В конце параграфа доказывается, что соответствующая последовательность минимальных значений функционала энергии сходится монотонно...

В четвертом параграфе предлогенный а диссертации метол сравнивается с методом штрафа. Показано, что задача (5) пос-

ЪЫ

ди г.

- 12 -

ле введения штрафа приводится к задаче

flu£ = F , xeQ ;

- 4 ul =.0 , S€ Г ,

, ..- - ..п ■ - (22)

которая, в свою очередь, удовлетворяет интегрально?,«у тодксс-тву

a(ut,u) + i-(f(u£),ir) = g(v) , *eH4(Q) (23)

Кроме того, решения Us задачи (22) (или (23)) слабо в H'(Q) при E—i О сходится к обойденному решении задачи (5), т.е. к решению задачи (4).

Вторая глава диссертации посвящена численному решению эллиптических задач с неизвестной границей. Первый параграф содержит основные этапы применения метода конечных элементов (МКЭ). В качестве исходного об"екга дискретизации рассматривается двумерная краевая задачи с неизвестной границей. Вариационная формулировка задачи (21) имеет Еид:

'Bu'feKm J(U)=ÚV|J(V) , .

J(u)=,-|-a{u,ü)-£(u) , • .

Kttl = {u€H1(fí)|u(5) = o , ЗСГ»} ,

a(u,v) = й [ач(**} $£•|| 4g +

+ + а.(л,«4-)и violad* ,

ЕМ = Я .

Я

С использованием барицентрических координат, соответствующих кусочно-линейным непрерывным базисным фуНКЦММ, выводится дискретный аналог интегрального тождества, т.е.

Як

Ни = (25)

1 Йи

которая соответствует системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) МКЭ.

Вопросы формирования, хранения элементов матрацы жесткости, а таюсе решения СЛАУ особенно важны при численной реализации, так как стандартные программы работают на пределе ресурсов ЭВМ,

Во втором параграфе,используя однородные конечные элементы, излагается алгоритм формирования глобальноЗ матрацы жесткости. Этот алгоритм, в частности, позволяет максимально учесть лэнточяость и разреженность матрацы СЛАУ. Главным яе достоинством алгоритма является то, что не требуется хранение даже ленты матрзцн, а требуется знание некоторого фронта матрица,

Б третьем параграфе излагаются алгоритмы учета наиболее типичных краевых условия, гак как при использования однород-

та конечных глемонтов , матрица СЛАУ формируется без учета краевых условий.

, В §4 второй глава описывается алгоритм численного решо~ пая задаче с неизвестной границей. Он состоим1 ьз двух этапов. На первом эжпе граница неизвестной часта граница Гс, ,

аг6

(а в двумерно;-: случае ьто две точки) локализуется между двуш соседними узла%31 сагкй, используя результаты георам §2 первой главг. Ео второе этапе расчетная сетка перестраивается и уточняогся неизвестная гравкца. В отличие от алгоритмов нелинейного программирования, данккй алгоритм позволяет ояроделхть Гс с повышенной точдостьэ.

Б последней параграфе диссертации, в §5, приводятся примера численного решения' конкретных задач с шиьв&стеоЙ грангцоЁ, В праведэкнш: расчетах выявлена иааболэе характе ше особенности, задача с неизвестной гршащой, особенно пс ведение резения ^лиза.возмущённой' границы» Приводятся таи ке анализ 'подучеаяш;'.дасдайннх результатов, а такка'сравн! нас предложенного итерационного метода с известна® ранее и.тсрационнвгд ш»тодамг,

Основныз результаты диссертации

1. Доказаны теоремы о поведении (обобщенного и гдасецчас-кого) р&зеная при вогцущензш неизвестной часта границ области.

2. Предложен новый итерационный метод решения задачи с 1: известкой границей, с учетом особенностей задачи.

3. Проведено сравнение с известим катодом штрафа.

- 15 -

Предложена конечно элементная аппроксимация. задачи и численный метод ее решения. ' -

С помощью разработанного комплекса прикладных программ решены конкретные задачи.

В заключение автор выражает г лубокуп благодарность про-сору А.П.Гайанову за научное руководство и постановку зав.

По теме дассертацпа оцуйшюванн следувдпе работы: 'Ламедов Я.Я. Об одном итерационном методе реиения большие зистем алгебраических уравнений для сильзо-зллиптаческих задач. X Респуб.Юбил.науч,ко®$. аспирантов вузов АзербаЗ-Екана. Баку - 1987, АТУ ш/.С.М.Кирова, стр.55. !&медов Я.Я. Об одном итерационной методе решения больших даетем алгебраических уравнений для сильно-эллиптических >адач I . - В темат. сб. яаучн. трудов. "Численные метода анализа", г.Баку 1988, изд. АТУ им.С.М.Кйрова, стр. >2-65. _ • 1 ; -

[амедов Я.Я. Теоремы сравнения для эллиптической задачи с визвестной границей, - Докл. АН Азерб.ССР, 1989, T.XLV.

: 6, СТр.З-б.

jà