Численные алгоритмы без насыщения в осесимметричных задачах гидродинамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

§ I. Дифференцирование потенциалов.

1. Общий случай.

2. Случай осевой симметрии.

§ 2. Вычисление полных эллиптических интегралов.

1. Аналитическое продолжение.

2. Алгоритмы вычисления.

§ 3. Вычисление интегралов типа Коши.

1. Вспомогательные результаты.

2. Вычисление интегралов.

§ 4. Вопросы аппроксимации функций и квадратурные формулы.

1. Аппроксимация непериодических функций.

2. Квадратурные формулы.

3. Аппроксимация периодических функций.

ГЛАВА П. ТЕХНОЛОГИЯ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ

ЗАДАЧ.

§ 5. Структура интегральных операторов.

1. Замена переменной интегрирования.

2. Алгоритмы вычисления.

§ 6. Тестовые расчеты.

1. Схема построения тестов.

2. Тесты для потенциалов.

3. Тесты для краевых задач. •

4. Тесты для задачи обтекания, • ••••••••

5. Комментарии к таблицам.

6. Таблицы расчетов.

Проблемы исследования потенциальных движений идеальной несжимаемой жидкости связаны с отысканием решений вспомогательных эллиптических задач, возникающих здесь в качестве важного промежуточного этапа. Так, например, задачи о плоских движениях идеальной жидкости сводятся к краевым задачам для аналитических функций [34] ; задачи обтекания тел - к внешним задачам Неймана для уравнения Лапласа [19, 35, Зб] ; задачи со свободными границами - к нелокальным задачам Коши для псевдодифференциальных операторов [13, 39-41} . Прогресс в решении указанных гидродинамических задач идет, как правило, по пути совершенствования, или даже создания, новых вычислительных средств в эллиптических задачах [47].

Тематика диссертации возникла из попытки дать адекватное численное описание осесимметричных задач со свободными границами [17] , гладкое решение которых "отслеживает" форму свободных границ с течением времени вплоть до их "разрушения", В реальной ситуации получить точные решения этих задач практически невозможно [4о] . Поэтому приходится обращаться к численным методам. Здесь наиболее трудной является проблема обнаружения особенности на свободных границах [34] . Изучением этих задач с помощью ЭВМ занимались многие авторы [в-Ю, 23, 24, 4з} . Вместе с тем, ни одну из них в полном объеме не удалось реализовать. Причина такого положения - в отсутствии адекватного этим задачам вычислительного аппарата. В связи с этим необычайно остро стоит вопрос доверия полученным и периодически получаемым численным результатам [23, 24, 43] .

Посмотрим какие требования предъявляют задачи со свободными границами к возникающим здесь вспомогательным эллиптическим задачам.

Прежде всего заметим, что термином "задачи со свободными границами" обозначен класс задач гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости, в котором поверхность (или ее часть), ограничивающая объем, занятый жидкостью, не фиксирована заранее, а состоит из жидких частиц [40] . Ясно, что решения этих задач представляют собой временную эволюцию жидких частиц под действием сил инерции, внешнего давления, поверхностного натяжения и потенциальных массовых сил. Поскольку в процессе построения решения исходная задача расщепляется на линейную эллиптическую задачу в области, занятой жидкостью, и нелокальную нелинейную задачу Коши на свободной поверхности [17] , то свободная (неизвестная) поверхность определится в результате решения задачи Коши для уравнений, связывающих форму поверхности и скорости жидких частиц на ней [40] . В связи с этим геометрическая конфигурация области, в которой нужно решать эллиптическую задачу может быть достаточно произвольной.

В случае потенциальных движений жидкости эллиптическая часть задачи состоит в отыскании по данным Дирихле гармонической в области функции с последующим вычислением ее граничного градиента.

Примерами задач со свободными границами могут служить классические задачи о развитии неустойчивости Рэлея-Тейлора [ю] и Гельмгольца-Кельвина [21] , а также задачи о всплыва

НИИ пузырей [13, 32, 41, 4з] .

Специфическая особенность указанных задач состоит в том, что классы их корректности весьма узки, решения, хотя и бесконечно дифференцируемы, но существуют недолго и неустойчивы,

13, 39-42] . Указанные причины предъявили очень жесткие требования к алгоритмам, способным численно воспроизвести решения задач со свободными границами.

Первым этапом на пути создания адекватного численного описания этих задач является разработка численных алгоритмов для решения вспомогательных эллиптических задач с учетом свойств гладкости их решений.

Цель диссертационной работы состоит в построении такой методики решения краевых задач, связанных с уравнением Лапласа в случае гладких осесимметричных областей.

Следует согласиться с тем [7] , что при конструировании численных алгоритмов целесообразно руководствоваться такими способами приближения решений, ошибка аппроксимации которых определялась бы не "малостью разбиения" области на части, а наличием и степенью роста производных высокого порядка. В алгоритмах такого рода скорость сходимости приближенного решения задачи к точному определяется количеством непрерывных производных у отыскиваемого решения. Математические идеи, лежащие в основе указанных алгоритмов, принадлежат К.И.Бабенко [4, б]. Алгоритмы, учитывающие потенциальную гладкость отыскиваемого решения, названы К.И.Бабенко алгоритмами без насыщения [7] . Для задач с большим запасом непрерывных производных у решения (например, эллиптических) такие алгоритмы имеют преимущество [47] .

Заметим, что в плоском случае конструкция алгоритмов без насыщения впервые была описана в статье [ б] . Указанный в ней способ аппроксимации решения эллиптической задачи был использован затем в задаче о развитии неустойчивости Рэлея-Тейлора, что позволило в одном частном случае "протянуть" по времени численное решение этой задачи вплоть до его разрушения [в] . Это пока единственный убедительный численный результат в задачах со свободными границами. Он, кстати, подтвердил мысль о том, что адекватное численное описание задач со свободными границами невозможно без тщательно построенного численного решения соответствующих им эллиптических задач.

Конструирование алгоритмов для решения эллиптических задач всегда предполагает следующую последовательность: сначала эллиптическая задача сводится к ее конечномерному аналогу, а затем указывается способ решения полученной алгебраической системы уравнений. Точность построенного таким образом численного решения зависит от того, в какой степени конечномерная аппроксимация сохраняет свойства решений рассматриваемой эллиптической задачи.

Способы конечномерной аппроксимации, основанные на разностных методах и методах конечных элементов, насыщены Г?! • В связи с этим решения эллиптических задач следует находить из эквивалентных им интегральных уравнений.

Большинство распространенных методов решения интегральных уравнений используют стандартные (имеющие главный член погрешности [12] ) квадратурные формулы и фиксированный способ аппроксимации решения, что заранее достаточно жестко предопределяет качество получаемых приближений, поскольку все эти методы насыщеш С7, 47] • Поэтому при проектировании вычислительного процесса для решения интегральных уравнений, важно позаботиться о том, чтобы интегральные операторы краевой задачи были реализованы численно как можно тщательнее, желательно с помощью квадратурных формул, не обладающих насыщением [7] .

В осесимметричных задачах возникают трудности принципиального характера: вблизи оси симметрии в ядрах интегральных операторов задачи был обнаружен сильный рост функций [к]. Этот эффект (назовем его "пограничным слоем") явился своеобразной платой за понижение размерности трехмерной задачи на единицу. Эффект оказался чисто вычислительным, поскольку осевая симметрия никак не нарушает свойств гладкости интегральных операторов задачи. Было установлено [1б] , что пограничный слой нельзя интерпретировать в рамках существующих способов вычисления интегралов. В известных работах Г31, 33, 49, 50] о значительном понижении точности расчета вблизи оси симметрии мало говорится, поскольку авторы их молчаливо соглашаются с этим обстоятельством. Исключение составляет статья [22] , в которой указан способ преодоления этого затруднения на основе квадратурных формул с автоматическим выбором шага интегрирования. Методики расчетов, приведенные в цитируемых работах, оказались малоэффективными вблизи оси симметрии, поскольку используют локальные способы выделения особенности у подинтегральных функций без учета пограничного слоя. При численной реализации задачи это обстоятельство воспроизведет не столько свойства самих интегральных операторов осесимметричных задач, сколько их взаимодействие с указанным способом выделения особенности.

В постановке любой краевой задачи всегда присутствуют, два типа входной информации. Это, с одной стороны, информация об

- 9 интегральных операторах задачи, носящая аналитический характер, а, с другой - информация геометрического характера о форме области.

Всякий адекватный численный метод решения краевых задач должен предусматривать совместную переработку указанных выводов информации, поэтому геометрическая информация должна быть приведена к аналитическому виду. Например, в плоских задачах теории потенциала учет геометрии области производится с помощью функций, осуществляющих конформное отображение области на круг [д].

В осесимметричных задачах геометрия области учитывается в терминах пограничного слоя [163 .

В диссертации с помощью специальной замены переменной интегрирования пограничный слой выделен в явном виде. В связи с этим трудности численной аппроксимации интегральных операторов осесимметричных задач были редуцированы к проблеме построения специальных квадратурных формул, способных нейтрализовать большой рост подынтегральных выражений. Такие квадратурные формулы были построены.

Основными результатами диссертации, которые выносятся на защиту, являются:

1. Новые численные алгоритмы без насыщения в краевых задачах для уравнения Лапласа в случае гладких осесимметричных областей.

2. Новые алгоритмы вычисления полных эллиптических интегралов первого и второго рода.

3. Новые квадратурные формулы без насыщения.

4. Расчеты внешнего обтекания тел большого удлинения потен

- 10 циальным потоком идеальной несжимаемой жидкости.

Диссертация состоит из двух глав, включающих в себя шесть параграфов и 14 таблиц числового материала.

Первая глава выполняет основную техническую нагрузку диссертации и состоит из четырех параграфов. В первом параграфе получены формулы дифференцирования потенциалов простого и двойного слоев на границе области, записанные в удобном для численной реализации виде (теорема I.I). Во втором параграфе построен эффективный алгоритм вычисления полных эллиптических интегралов первого и второго рода, основанный на быстросходящихся степенных рядах (разложение (2.17), теорема 2.2). В третьем параграфе вычислены в явном виде несколько интегралов типа Коши, предназначенные для построения специальных квадратурных формул (теоремы 3.2, 3.3). Завершает главу четвертый параграф, который посвящен конструированию интерполяционных и квадратурных процессов без насыщения (теоремы 4.1, 4.3). На формирование излагаемой здесь точки зрения существенное влияние оказали работы К.И.Бабенко, из которых, в первую очередь, следует отметить

3, 4, б] . Специфика, построенных в этом параграфе квадратурных формул (4.9), состоит в том, что они способны нейтрализовать большие градиенты подинтегральных функций -'пограничные слоилемма 4.2). Здесь же указан не обладающий насыщением способ вычисления производных от интерполяционных тригонометрических многочленов.

Вторая глава диссертации дает сбалансированную практическую основу для построения численного решения осесимметричных краевых задач для уравнения Лапласа. Эта глава состоит из двух параграфов: пятого и шестого. В пятом параграфе исследуется,

- II обнаруженный в осесимметричных задачах, пограничный слой. Указана замена переменной интегрирования (5.2), позволившая выделить этот пограничный слой в явном виде (соотношение (5.5)) и тем самым свести вопрос его нейтрализации в численных расчетах к соответствующему свойству квадратурных формул (4.9). В заключительном, шестом,параграфе, построены тестовые примеры для осесимметричных краевых задач и даны комментарии к числовым расчетам, проведенным по предлагаемой методике. Численные примеры подобраны так, чтобы продемонстрировать возможности предложенного метода. В связи с этим выбраны задачи, которые традиционными методами трудно (или невозможно) рассчитать. Представляют интерес расчеты, проведенные для сильно вытянутого вдоль оси симметрии эллипсоида вращения с отношением полуосей а/* = 0.001 (таблицы 13, 14). Возможности метода продемонстрированы 14 таблицами.

Результаты диссертации опубликованы в работах [14-16] и докладывались на Всесоюзной школе по качественной теории дифференциальных уравнений (1977, 1979, Новосибирск), 3 Всесоюзной школе "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (1979, Москва), Всесоюзном коллоквиуме по задачам со свободными границами (1980, Донецк) и на семинарах: в Институте прикладной математики АН СССР (руководитель семинара член-корр.АН СССР К.И.Бабен-ко), в Московском государственном университете (руководитель семинара член-корр.АН СССР Н.С.Бахвалов), в Институте математики СО АН СССР (руководитель семинара член-корр.АН СССР С.К.Годунов), в Институте гидродинамики им.М.А.Лаврентьева СО АН СССР (руководитель семинара член-корр.АН СССР Л.В. Овеян

- 12 ников), в Вычислительном центре СО АН СССР (руководитель семинара профессор Ильин В.П.), в Институте теоретической и прикладной механики СО АН СССР (руководитель семинара к.ф.-м.н. Кузнецов Б.Г.).

Автор выражает благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту АН СССР Льву Васильевичу Овсянникову за постановку задачи и внимание к работе.

1. Алгазин С.Д., Бабенко К.И. Об одном численном алгоритме решения задачи на собственные значения для линейных дифференциальных операторов,- Москва, 1978,- 80с,- (Препринт/АБ. ССС^ Ин-т прикл.матем; $ 46),

2. Алгазин С.Д., Бабенко К.И. Об одном численном алгоритме решения задачи на собственные значения для линейных дифференциальных операторов.- Докл. АН СССР, 1979, т.244, № 5, с.1049--1053.

3. Бабенко К.И. Некоторые вопросы приближенного задания и вычисления функций.- Москва, 1970.- 153 е.- (Препринт/ АН СССР, Ин-т прикл.матем; В 1-4).

4. Бабенко К.И. Об одном подходе к оценке качества вычислительных алгоритмов.- Москва, 1974.- 68с. (Препринт/ АН СССР, Ин-т прикл.матем; № 7).

5. Бабенко К.И. Несколько замечаний о дискретизации эллиптических задач. Докл. АН СССР, 1975, т.221, № I, с.П-14.

6. Бабенко К.И. 0 некоторых общих свойствах вычислительных алгоритмов.- Москва, 1977.- 71 е.- (Препринт/ АН СССР, Ин-тприкл.матем; $ 29).

7. Бабенко К.И. 0 явлении насыщения в численном анализе.-Докл. АН СССР, 1978, т.241, № 3, с.505-508.

8. Бабенко К.И. Об использовании ЭВМ при исследовании гидродинамической устойчивости.- В кн.: Исследование гидродинамической устойчивости с помощью ЭВМ. Москва, 1981, с.5-79.

9. Бабенко К.И., Петрович В.Ю. О неустойчивости Рэлея-Тейлора.- Москва, 1978.- 48с. (Препринт/ АН СССР, Ин-т прикл.матем.68..

10. Бабенко К.И., Петрович В.Ю. О неустойчивости Рэлея-Тейлора. Докл. АН СССР, 1979, т.245, £ 3, с.551-554.

11. Бабенко К.И., Стебунов В.А. О спектральной задаче Орра-Зом-мерфельда.- Москва, 1975.- 34с. (Препринт/ АН СССР, йн-т прикл. матем. $ 93).

12. Бахвалов Н.С. Численные методы.- М., Наука, 1973.- 631 с.

13. Белых В.Н. Теорема существования и единственности решения задачи о сферическом пузыре.- В сб.: Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1972, вып.12, с.63-76.

14. Белых В.Н. О вычислении полных эллиптических интегралов.-В сб.: Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1978, вып. 33, с. 3-17.

15. Белых В.Н. Вычисление некоторых интегралов типа Коши с логарифмической особенностью.- В сб.: Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1979, вып. 40, с. 14-19.

16. Белых В.Н. Вычисление на ЭВМ интеграла Гаусса теории потенциала. В сб.: Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1979, вып.43, с. 20-44.

17. Белых В.Н. К вопросу конструирования численных алгоритмов нестационарных задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами,- В кн.: Уравнения в частных производных и задачи со свободными границами,- Киев, Наукова думка, 1983, с. 24-28.

18. Беляков В.М., Кравцова Р.И., Раппопорт М.Г. Таблицы Эллиптических интегралов, т.1.- М., ВЦ АН СССР, 1962. 347с.

19. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.- М., Мир, 1973.- 757 с.

20. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М., Наука, 1971.- 512 с.

21. Волевич Л.Р. Исследование неустойчивости Гельмгольца-Кельвина.- Москва, 1979.- 41 е.- (Препринт/ АН СССР, Ин-т прикл. матем; Л 38).

22. Воинов В.В., Воинов О.В., Петров А.Г. Метод расчета потенциального обтекания тела вращения потоком несжимаемой жидкости. ЖВМ и МФ, 1974, т.14, № 3, с.797-802.

23. Воинов О.В., Воинов В.В. Численный метод расчета нестационарных движений идеальной несжимаемой жидкости со свободными поверхностями.- Докл.АН СССР, 1975, т.221, №3, с.559-562.

24. Гарипов P.M. Кавитационное обтекание эллипсоида,- В сб.: Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1969, вып. I, с.154-179.

25. Гаркави А.Л. О совместном приближении периодической функции и ее производных тригонометрическими полиномами,- Изв. АН СССР. Сер. матем., I960, т.24, tè I, с.103-128. .

26. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.- М., ГИФМЛ, 1963, 639 с.

27. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 5-е изд.- М., Наука, 1971,- 1108 с.

28. Овсянников Л.В. О всплывании пузыря.- В кн.: Некоторые проблемы математики и механики.- Л., Наука, 1970,- 287 с.

29. Плотников П.й. Некорректность нелинейной задачи о развитии неустойчивости Рэлея-Тейлора.- Зап.научн.сем. ЛОМИ АН СССР, 1980, т.96, с.240-246.

30. Пухначев Ю.В. Введение в динамику пузыря находящегося внутри жидкости.- В сб.: Математические методы в динамике космических аппаратов, Москва, 1968, вып.6, с.22-37.

31. Пыхтеев Г.Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши по разомкнутому контуру.- ГПО/Ь.} 1965, т.10, № 4,с. 351-372.

32. Самарский A.A. Теория разностных схем.- М., Наука, 1977.653 с.

33. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.З, ч.2.- М., Наука, 1974.- 672 с.

34. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики /Н.Н.Анучина, К.И.Бабенко, С.К.Годунов и др.- М., Наука, 1977.- 295 с.

35. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, т.2.- М., Физматгиз, 1963.- 515 с.

36. Цецохо В.А. Внешняя задача Неймана для тела вращения.В сб.: Вычислительные системы, Новосибирск, 1964, вып.12, с.26-51.

37. Шепеленко В.Н. Расчет потенциально установившегося течения около тела вращения.- В сб.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1971, т.2, Л 3, с.46-55.