Численно-аналитические методы решения осесимметричных задач Хеле-Шоу тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗИННАТУЛЛИНА Ольга Рифовна

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ ХЕЛЕ-ШОУ

01.02.05-Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2006

Работа выполнена на кафедре компьютерной математики Уфимского государственного авиационного технического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Житников Владимир Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Спивак Семен Израильевич

Защита состоится « 4 » октября 2006 г. в 16 час, на заседании диссертационного совета Д212.013.09 в Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, ауд. 216 физико-математического корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета

кандидат физико-математических наук, доцент Миназетдинов Наиль Миргазиянович

Ведущая организация:

Казанский государственный университет, г. Казань

Автореферат разослан «_»

2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Последние годы интерес к задачам Хеле-Шоу (Не1е-8Ьа\у) растет по всему миру. Такие задачи активно решаются в гидромеханике, физике и инженерных науках. Решения этих задач могут интерпретироваться как потоки в пористых средах (полагая, что они описываются законом Дарси), движение границы фазового перехода (с приложением в металлургии), процессы напыления металлов, анодного растворения в электрохимической обработке (ЭХО) и многое другое.

Существует целый ряд хорошо развитых численных методов, применимых для решения задач Хеле-Шоу. Часто применяются методы конечных разностей и конечных элементов. Однако недостатком этих методов является проблема удовлетворения условий, заданных на бесконечности. Этого недостатка (например, в задачах потенциального обтекания тел безграничным потоком) лишены интегральные методы, такие как метод граничных интегральных уравнений. Значительные результаты получены с помощью численно-аналитических методов, сводящихся к определению интенсивности источников и диполей, распределенных на границе, или вихревого слоя. В последнее время широко используются методы граничного элемента, основанные на применении интеграла Грина.

В диссертационной работе подходы, развитые для исследования плоских течений, применяются для решения осесимметричных задач Хеле-Шоу. Они могут интерпретироваться как движение вязкой жидкости в фунте и как процессы растворения металлов при электрохимической обработке. Это приложение позволяет рассмотреть новые задачи, например, задачи с движущимся источником, и этим дополнить теорию задач Хеле-Шоу.

Осесимметричные задачи Хеле-Шоу изучены намного меньше, чем плоские. Как правило, используемые для их решения методы имеют первый порядок точности. Эти методы удобны для решения многих задач, однако, используя их трудно рассчитать длительные переходные процессы, приводящие к стационарному или автомодельному режимам. Особенностью таких задач является их «жесткость», т.е. наличие двух или более характерных значений временных параметров, различающихся на порядки. Для повышения порядка точности разрабатываются численно-аналитические методы. При решении плоских задач для разработки таких методов широко применяются методы теории функций комплексного переменного (ТФКП). Основой для применения методов ТФКП к решению осесимметричных задач служат интегральные преобразования Г.Н. Положего аналитической функции комплексного переменного в потенциал и функцию тока некоторого осесимметричного течения. Такие методы применялись для исследования обтекания пузырей и других осесимметричных препятствий. Ниже предлагаются модифицированные варианты численно-аналитических методов решения осесимметричных задач Хеле-Шоу высокого порядка точности.

Целью исследований является:

Исследование закономерностей формообразования свободных границ в нестационарных осесимметричных задачах Хеле-Шоу, длительных переходных процессов, приводящих к формированию различных предельных конфигураций.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Разработать численно-аналитические методы высокого (>2) порядка точности и алгоритмы для решения осесимметричных задач Хеле-Шоу; методы оценки погрешности и уточнения численных результатов;

• Провести численное исследование решений стационарных, автомодельных и нестационарных задач Хеле-Шоу при помощи разработанных численно-аналитических методов, включая экстремальные конфигурации.

На защиту выносятся:

• Численно-аналитические методы решения нестационарных осесимметричных задач Хеле-Шоу, основанные на интегральном преобразовании аналитической функции. Численные алгоритмы, реализующие предложенный метод, использующие видоизмененные квадратуры высокого порядка точности, методы оценки погрешности и уточнения численных результатов,

• Результаты численного исследования решений ряда осесимметричных задач при помощи разработанных методов. Полученные численные значения ряда геометрических и физических параметров с оценкой погрешности.

• Выводы, полученные на основе численного решения, позволяющие качественно и количественно описать процесс формообразования в различных характерных зонах границы.

Научная новизна

Впервые нестационарная осесимметричная задача Хеле-Шоу сведена к решению трех краевых задач для аналитических функций комплексного переменного на каждом временном шаге. Разработанные численно-аналитические методы решения задач, в отличие от имевшихся ранее, имеют третий порядок точности, что позволяет провести исследование длительных переходных процессов, оценить погрешность решения экстраполяционными методами.

Новыми являются результаты численного исследования решений задач с движущимся точечным источником, найденные экстремальные значения параметров форм свободной границы (с оценкой погрешности).

Новыми также являются полученные в результате исследования осесимметричных решений выводы об условиях и скорости формирования на границе стационарного, автомодельного и финального режимов.

Практическая ценность

Автором разработаны алгоритмы и программы решения осесимметричных задач ЭХО, получены численные результаты, которые могут быть практически использованы в инженерных расчетах.

Работа проводилась по тематике госбюджетных научно-исследовательских работ Уфимского государственного авиационного технического университета: «Создание математических моделей естествознания», «Исследование взаимосвязи вычислительных алгоритмов и архитектур высокопроизводительных вычислительных систем».

Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ в рамках курсов «Вычислительная математика» и «Прикладное математическое моделирование».

Апробация работы

Основные результаты докладывались на международной научной конференции «Современные проблемы атомной науки и техники» (Снежинск, 2003); на международных семинарах «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT (Уфа, 2003, 2005, Будапешт, 2004, Карлсруэ, 2006); на всероссийской молодежной научно - технической конференции «Интеллектуальные системы управления и обработки информации» (Уфа, 2003), на 14-м международном симпозиуме по электронной обработке материалов ISEM XIV, (Эдинбург, 2004); на второй международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2004), на молодежной научно — практической конференции «Студенчество. Интеллект. Будущее» (Набережные Челны, 2005), на всероссийской научно-практической конференции «Вузовская наука — России» (Набережные Челны, 2005), на всероссийской научной конференции «Мавлютовские чтения» (Уфа, 2006), на региональной зимней научной школе — семинаре аспирантов и молодых ученых «Интеллектуальные системы обработки информации и управления» (Уфа, 2006), на Международной научной конференции по надежности вычислений SCAN (Дюсбург, 2006), на Международной научной летней школе "Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование" (Кемерово- 2006), на 9-м всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Н. Новгород, 2006).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 19 работ.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 142 названий, приложений.. Общий объем диссертации составляет 149 страниц, на которых размещено 46 рисунков, 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснованы цель и актуальность работы, дан краткий обзор литературы по теме диссертации, кратко изложено содержание работы и сформулированы результаты, выносящиеся на защиту.

В первой главе диссертации в р. 1.1 дается постановка нестационарной осесимметричной задачи Хеле-Шоу применительно к ЭХО. При этом задача на каждом временном шаге сводится к решению трех краевых задач поиска аналитических функций комплексного переменного; определяются краевые условия для этих задач.

Рассмотрим в качестве примера задачу ЭХО, схема которой в меридиональном сечении изображена на рис. 1,а. Точечный электрод-инструмент (ЭИ) С движется со скоростью V,; поверхность детали ЛИВ изменяется во времени за счет электрохимического растворения. Поверхность обрабатываемой детали считается эквипотенциальной.

У А © ^ и в ш © С

\ С У / АО в

В' с ° ' л

Ф 0 а

а) Физическая плоскость

б) Плоскость комплексного потенциала

в) Плоскость параметрического переменного

Рис. 1. Формы межэлектродного пространства на различных плоскостях

Идеальная модель процесса предполагает постоянство электропроводности электролита во времени и в пространстве. В этом случае векторное поле электрической напряженности является потенциальным и соленоидальным. Поле описывается функциями Ф(Д/) — потенциалом и ^(^.(у- функцией тока, где время; 2=Х+1У— комплексная переменная, X а У- декартовы координаты точек меридионального сечения. Величина У является расстоянием от точки до оси симметрии. Эти функции должны удовлетворять условиям

бФ ^З^Р дФ _ 1 о'Р дХ^ У ЗУ' дУ~ V дУ Потенциал Ф и функция тока осесимметричного поля выражается через аналитическую функцию комплексного переменного (удовлетворяющую условиям Коши-Римана) с помощью формул (преобразований Г.Н. Положего):

(1)

(3)

где г0=Х0 + 1Т0, г® = Х0 - гТ0.

Таким образом, решение задачи сводится к поиску функции Щ^, аналитической на области 2, форма границ которой совпадает с формой границ межэлектродного пространства (МЭП) в меридиональном сечении осесиммет-ричного поля. Функция представляет собой комплексный потенциал

некоторого вспомогательного плоского поля, удовлетворяющий условиям постоянства потенциала анода и катода для осесимметричной задачи.

Потенциал и функция тока осесимметричного течения получаются путем интегральных преобразований (2),(3), примененных к функции Тем

самым, определение Д2!) сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода (2).

Отобразим конформно области, соответствующие МЭП на плоскостях 2 и И'(рис. 1,6) на полосу (рис. 1,в). При этом задачу определения функции

Щ.2), аналитической на области МЭП можно решать в параметрическом виде: Щ%), 2(%). Границы области МЭП определяются через частную производную а£/Э/(х,/) численным методом путем дискретизации времени. При этом на каждом временном шаге решаются три краевые задачи: найти три аналитические внутри полосы х функции Щх>0> Дх>0 и 3.2Г/3* (х,0> удовлетворяющие следующим краевым условиям:

1. Краевым условием для определения функции Щх>0 является условие эквипотенциальности (Ф=сопз1) анода и катода (если он не точечный).

2. Краевым условием для определения функции 2(х,{) является равенство мнимой (или действительной) части на границе полосы х=сг (—со<ст<со) известной при каждом фиксированном f функции. Эта краевая задача решается с помощью формулы Шварца.

3. Краевое условие для функции 07,/д I (х, ¿) на границах МЭП определяется законом Фарадея

где ДА - толщина слоя металла, растворенного за малое время Л/; М, п — молярная масса и валентность материала детали; ЫА — число Авогадро; е — заряд электрона; р — плотность обрабатываемого металла; Е„ — нормальная к поверхности анода составляющая вектора напряженности электрического поля; т] — выход по току.

Пусть касательная к обрабатываемой поверхности составляет угол 0 с осью х. Тогда проекции векторов смещения точки сЕ и напряженности Е на

ЛА = Ат1£„Д<, к =

Мк

(4)

пИА ре'

нормаль к поверхности можно вычислить по формулам Лй = 1т(е'

д2

Е„ = 1т(<г Поскольку на границах —— = ±

да

дг

да

ГЙ

е , из (4) следует равенство

1т

сИ да

= 1т

д1 да

^ 1 ** «ч

(5)

Задача определения пары функций Ф{2,(), хУ(2,г), удовлетворяющих уравнениям (1) внутри области, условиям (5) и Ф=const на границе, называется задачей Хеле-Шоу.

В расчетах более удобно использовать безразмерные величины. Введем безразмерные координаты и время следующим образом

г х г кц1 «ч

«-у. * = у. у = у. х--;*. (6)

где I — характерный размер (не зависящий от времени); I —ток; к - электропроводность электролита; г\ считается постоянной. Выразим потенциал и функцию тока в виде Ф=ф//(к/), Ч*=\|л//(к/2). В безразмерных переменных (5) примет вид

дх ду ду йх _ 1 ^

дг да дх да у да

Равенство (7) служит краевым условием для определения производной &/Эт (х, т) на части границы, соответствующей поверхности анода.

В р. 1.2 приводится постановка осесимметричных задач определения форм поверхности, не зависящих от времени: стационарной, предельной, автомодельной (сохраняющей геометрическое подобие межэлектродного пространства).

Во второй главе для использования при тестировании разрабатываемых алгоритмов и программ приведены решения плоских задач ЭХО, аналогичных рассмотренным далее осесимметричным задачам, полученные усовершенствованным численно-аналитическим методом. В р. 2.1 приведена постановка плоских задач стационарного формообразования, в р. 2.2, 2.3 решены задачи стационарного формообразования при обработке точечным и цилиндрическим электродом инструментом, в р. 2.4,2.5 произведен расчет напряженности электрического поля при электроде — инструменте, сдвинутом относительно стационарной поверхности.

В третьей главе диссертации предлагаются методы расчета осесимме-фичных процессов, не зависящих от времени. Решение осесимметричной задачи состоит из двух этапов: нахождения конформного отображения области параметрического переменного на физическую плоскость и определения составляющих напряженности с помощью интегральных преобразований аналитической функции.

В р. 3.1 решается задача нахождения конформного отображения.

Рассмогрим задачу обработки точечным электродом-инструментом

некоторой поверхности. Сечение межэлектродного пространства показано на рис. 1. Здесь ADB — граница растворяемого материала, точка С—точечный ЭИ с интенсивностью I.

Форма сечения поверхности детали определяется уравнением J(xj>)=0.

В качестве области изменения параметрического переменного %=ст+ги выберем полосу ширины 1/2 с соответствием точек, указанным на рис. 1,в.

Функция, отображающая плоскость х па физическую ищется в виде

г(х)=г0(х)+гд(х), z0(x)=igshirx- (8)

Функция z0(x) при g>0 конформно отображает полосу плоскости х на левую полуплоскость с разрезом. При этом граница отображается на поверхность ADB, граница %=a+i/2 — на разрез А'СВ'. Положение точечного источника z0 (i/2) = — g. При х' —> 00 величина Re z& (х) —> 0.

Функция гд(х) получается следующим образом. Будем искать решение на границе yj=a в узловых точках ст„ (т=0,...,п). Искомыми будут значения RezÄ(crm) = xm. При о=ст„ примем RezA(a„)= 0, поскольку zÄ(a) экспоненциально убывает при а—»со. Значения RezÄ(a) в промежуточных между узловыми точках найдем с помощью кубического сплайна Р(а), имеющего две непрерывные производные. Для восстановления функции zA(x) используем формулу Шварца с учетом того, что zA (х) аналитическая функция, имеющая, как и zo(x), чисто действительные значения на прямой Imx=l/2. Аналитически продолжая функцию гд(х) на полосу единичной ширины и учитывая четность функции RezA(а), получим

zA(x)=-/2Sh*x>(a) -. (9)

о ch ло-ch 7tx

^(x) = -/2ch,xg(a) 2 &h7W 2 (10)

d% б^а ch яст-ch тех

Параметр g найдем из условия z\ — \--g + 2 j/'(p) - хс .

V2 J ^ ch7ta

Решение уравненияßxy}=0 проводится методом коллокаций.

В р. 3.2 приводится расчет составляющих напряженности.

Осесимметричная задача решается путем сведения ее к вспомогательной плоской задаче. Для ее решения область, соответствующая МЭП на плоскости комплексного потенциала (рис. 1,6), конформно отображаются на плоскость параметрического переменного х (рис. 1,в).

Закон изменения потенциала на границах вспомогательной плоской задачи определяется краевым условием (2), где f{z)=dw/dz{x,x), то есть условием эквипотенциальное™ границы в осесимметричной задаче.

Потенциал <р(х,у) осесимметричной задачи можно искать в виде суммы: ф(х, у) = ф0 (х, у)+ ф, (jt, у) =

1 1 1Т ч ¿сг_

=---_—__---1т —(ст) , , _ .. (11)

где сроСлу) — потенциал точечного источника, расположенного на расстоянии I слева от начала координат. Используется изменение контура интегрирования в (2) (так как подынтегральная функция является аналитической по г) и замена переменной интегрирования на а. Тогда составляющие напряженности вычисляются дифференцированием (11)

Э , ч 1 * + / 1т д2ы, \ ¿а

& 4к1х + 1)2 +у2\ 71 0&5ст лКг-гоХ2"2»)

д ( , 1 у2 1. °}д2м>( , (г-^0Уст —= — т--^ + —1т \ ^г-(сг) ^ - г (13)

& [(* + ') +у2\ о &Эа лД^-^оХг-^о)

92И'

Будем искать решение в виде функции /1 (х)- —— (у).

Эта функция должна обладать следующими свойствами: при х=а>+Ю ее действительная часть должна быть нечетной функцией а, при %=ст+г/2 (ст + ¿/2) должна быть чисто действительной. Тогда ее можно аналитически продолжить на полосу единичной ширины. При этом Яе/] (ст+ О^Ле/] (ст+Ю). Искомыми параметрами будут значения действительной части функции Яе/1(<тт)=/т в узловых точках а„, (т = 1,...,я). При ст=а0=0 Яе^(ст0)=0. При а=ст„ примем Яе/|(а„) = 0, поскольку /¡(а) как экспонента убывает при а—>оо. Значения Яе/](а) в промежуточных между узловыми точках найдем с помощью кубического сплайна £(а). Для восстановления функции /, (х) используем формулу Шварца. Так как /Да) нечетная по ст функция, то

/,(Х)=-/2сЬяХ>(а) • (Н)

О СП То - СП 71%

Условие эквипотенциальности обрабатываемой поверхности %=сг при решении методом коллокаций приводит к системе уравнений

^дх ду )да

Подставив в (12), (13) выражение /Дст) через сплайн и формулу Щварца, а получен!Ше выражения в (15), получим систему линейных (относительно переменных /„) алгебраических уравнений. После решения системы полученные значения/„ подставляются в (12)-(13) для вычисления д<р/дх, Зф¡ду.

В р. 3.3 приводится видоизмененный метод численного интегрирования, предложенный для решения осесимметричной задачи.

Существенной особенностью применения квадратурных формул в общем методе решения рассматриваемых краевых задач является необходимость

= 0, /я = 1,...,и-1. (15)

расчета интегралов (12), (13), когда параметр ага принимает все значения при т~0,...,п (при этом количество операций пропорционально и2). Кроме того, при вычислении коэффициентов матрицы системы уравнений это приходится повторять п раз (причем на каждом временном шаге, так как изменяется зависимость z(a)). Таким образом, получаем п операций, и это может стать самой затратной частью метода. Имеет смысл минимизировать затраты на вычисление интегралов. Для этого фиксируется относительное положение узловых точек квадратурных формул, являющихся внутренними узлами, расположенными между основными узловыми точками а„. При этом расчет можно разбить на три этапа: 1) вычисление значений функции /¡(ст) во всех внутренних узловых точках, являющихся общими для всех интегралов по данному отрезку (если речь идет о вычислении коэффициентов матрицы, то функция /i(ct) представляет собой интеграл Шварца от единичных сплайнов, вычисляемый один раз); 2) вычисление матрицы значений весовой функции с учетом коэффициентов квадратурной формулы (это наиболее сложный этап, но он требует всего п2 операций); 3) непосредственное вычисление интегралов, которое теперь сводится к произведению двух матриц.

Таким образом, самая затратная часть, требующая порядка и3 операций, предельно упрощается. Остается только выбрать узлы и коэффициенты квадратурных формул. При этом расположение узлов, как было оговорено, остается одинаковым для всех интегралов, а коэффициенты зависят от относительного расположения особых точек.

Рассмотрим квадратурную формулу с весовой функцией, имеющей особенности вне интервала интегрирования, аналогичные интегралу Положего

Коэффициенты Aj должны удовлетворять следующей системе линейных алгебраических уравнений

\ f 2_\0 J

(17)

-,\(Ь-х){х + а)

Значения узлов квадратурной формулы берутся из формулы Гаусса при

_ 2Г + 1

п~5: x-i =-, х. =

1 2 1 2

Результаты исследования этого метода показывают, что он обладает 3.5-м порядком точности.

В р. 3.4 — приводится метод экстраполяции для оценки погрешности. При экстраполяции требуется априорное знание характера зависимости результата расчетов от числа узлов (или математической модели погрешности), например

2п =г + схп~кх +с1п~к'1 +... + с£и_*1 +8 («), (18)

где г— точное значение; г„— приближенный результат, полученный при числе узловых точек, равном и; Су — коэффициенты, которые, как предполагается, не

зависят от и; б(и)- величина, полагаемая малой по сравнению с с^п ^ при тех

значениях и, которые использовались в конкретных расчетах, кь -

произвольные действительные числа (предполагается, что к\<кг<..

Рассмотрим два значения , г„г, вычисленные при числе узлов, равном

и П2 = 0>Ц соответственно. Составим линейную комбинацию

= , =(ау+ру-)?+... + (а + Зу«^ ^ +.. .

и потребуем, чтобы, суммарный коэффициент при г был равен 1, а при сj (для определенного /) равен 0. Отсюда получим формулу фильтрации, которая совпадает с Ричардсоновской экстраполяционной формулой

♦ , 2 "2 ~2"1 = + —--

"2 "2 к.

Проводя экстраполяцию по всем парам соседних значений г„к , получим

отфильтрованную последовательность г*к , не содержащую члена с п .

Операции фильтрации можно повторять последовательно для

если исходная последовательность содержит достаточное количество членов.

Применение повторной экстраполяции известно под названием метода Ромберга. Но при его применении возникает ряд ограничений. В связи с этим необходимы критерии, которые позволяют ограничить число экстраполяции, если они не приводят к уточнению результата.

Оценка погрешности по правилу Рунге сводится к сравнению значения г„ с экстраполированным значением г*. Поскольку эта оценка справедлива при допущении, что величина 2* точнее, чем г„, то необходима проверка справедливости этого допущения. Для этого повторим процесс экстраполяции и получим значение г**. Разность А„ = г„ — х*„ представляет собой оценку погрешности приближенного значения 2„. Разность Ад„ = г*п — г" является оценкой погрешности экстраполированного значения г*п или размытостью оценки погрешности. Отношение 5„=|Дд,/Дл| имеет смысл относительной размытости оценки. Если 5„ «1 , относительная размытость оценки Д„ мала, и такой оценке можно доверять. В диссертации показано, что при некоторых

допущениях пороговое значение следует выбирать равным 1/3 , т.е. при 5 < 1/3 оценка принимается, а при 5 > 1/3 отвергается.

На рис. 2 в качестве примера приведены результаты экстраполяционного исследования значений кривизны границы в точке £), полученных при разных и при решении автомодельной и стационарной задач. Результаты экстраполяции и оценки погрешности представлены на графике в виде зависимости -^Д (десятичного логарифма относительной погрешности) от и (и представляется в логагифмической шкале). На рис. 2 кривые 0 соответствует погрешности расчетных данных, кривые 1-4 — результатам повторной экстраполяции.

45678 1234

а) б)

Рис. 2. Оценка относительной погрешности вычисления кривизны границы в точке £>: а) — для автомодельной задачи; б) — для стационарной задачи (числа 1-8 по оси абсцисс соответствуют и=64, 96, 144, 216, 324,...)

В четвертой главе диссертации производится расчет форм осесиммет-ричных поверхностей, не зависящих от времени. В р. 4.1 решаются тестовые примеры задач начального формообразования. Рассмотрение тестовых примеров позволило оценить возможности численных алгоритмов, усовершенствовать их и отработать методику экстраполяции и оценки погрешности.

В р. 4.2 решается автомодельная осесимметричная задача обработки точечным ЭИ. Форма обрабатываемой поверхности заранее неизвестна, а определяется краевым условием автомодельности

Гш

'да

9а

гд

&л да

1

с1а

(19)

Это уравнение получается подстановкой условия 5Г(х,/)= в (5) и

представляет собой нелинейное граничное условие при решении краевой задачи для определения неизвестной функции гд (о).

Задача решается методом коллокаций. Для этого используется представление этой функции в виде (8),(9). Искомыми являются значения действительной части Кегл(стот)=дгт в узловых точках а„ (ш=1,...,я-1) и параметр X. (Как было указано выше, хп-0). Для определения этих параметров составим систему нелинейных уравнений, потребовав выполнение условия (19)

при ст=а„ (/и=0,...,л-1), а также определим масштаб, задав х0=1- Подставляя

2д(ат) и в и определив —,— по формулам раздела 3.2,

да дх ду

получим систему нелинейных уравнений, которая решается методом Ньютона

с регулированием шага.

В табл. I даны значения параметров решения (1/Х; К0, Ев — кривизна и

безразмерная напряженность в точке £); А"т;п — минимальное значение кривизны

поверхности; о„, хц, ,уп — координаты точки перегиба обрабатываемой

поверхности) с оценками погрешности и относительной размытости.

Соответствующие иллюстрации оценок и экстраполяции приведены на рис. 2а.

Таблица 1.

Результаты решения автомодельной осесимметричной задачи

Параметр Значение Оценка погрешности Относительная размытость

1/А. 10.884951335035 ±1-10"" 0.1

Ев 0.09186995598055 ±1-10'13 0.1

Кв 0.948474795 ±1-10"8 0.1

К-тп -2.0426225 ±2-10"6 0.1

0.289716912 ±3-10"9 0.2

0.4031529 ±4-10"7 0.1

Уп 0.9990055 ±1-107 0.1

На рис. 3 представлена форма автомодельной поверхности, на рис. 4,а — зависимость кривизны поверхности от ординаты, на рис. 4,6 — зависимость модуля напряженности на поверхности от ординаты. Видно, что форма осесимметричной автомодельной поверхности близка к соответствующей плоской. При этом абсолютные значения максимальной и минимальной кривизны осесимметричной автомодельной формы несколько выше.

Рис. 4. Зависимость кривизны (а) и напряженности (б) автомодельных поверхностей от ординаты: 1 - осесимметричной, 2 — плоской

В р. 4.3 решается осесимметричпая задача стационарной обработки точечным электродом-инструментом. Сечение межэлектродного пространства (МЭП) показано на рис.5. Функция

2060 = ~~Ь+ ~аг^ вЬлх»

51 2 71

приведенная в гл.2, является решением плоской стационарной задачи.

Функция, отображающая область плоскости х на физическую плоскость ищется в виде суммы

При х~'► со величина 1тгЛ(х)->0.

В связи с существенным отличием формы МЭП в данной задаче от задач, рассмотренных выше в гл. 3,4, требуется видоизменение метода решения. В отличие от предыдущих разделов искомыми будут значения 1т г д{<зт) = ут в узловых точках ат (лл=0,...,и). При ст=ст, примем 1тгд(а„) = 0, поскольку гА(ст) экспоненциально убывает при о->оо. Значения 1тгд(ст) в промежуточных между узловыми точках найдем, с помощью кубического сплайна Р(а) для нечетной функции. Для восстановления функции гд(х) используем формулу Шварца.

В связи с тем, что форма МЭП в стационарной задаче описывается кривой, имеющей асимптоты, параллельные, а не перпендикулярные оси симметрии, для ее решения используется видоизмененный способ. Этот способ заключается в представлении комплексного потенциала и'(х) вспомогательной плоской задачи и его производных в виде суммы

|г(х) = /о(х)+/1(х).

дХ

где /0(х)= ¿/сЬях определяется из решения плоской задачи.

Функция /[(а) определяется по формуле (14).

Форма стационарной поверхности, как и автомодельной, заранее неизвестна, а определяется краевым условием стационарности, которое получается при подстановке

2{<у,г)=/г(а)+К,/ в (5)

-[1тгд(а)+1ш2о(с)]2 =у(а)-У)/(0). (20)

я

Задача решается аналогично предыдущей методом коллокаций. В табл. 2 даны значения параметров решения К0, Ев —абсцисса безразмерная напряженность и кривизна в точке £>) с оценками погрешности и относительной размытости, иллюстрация экстраполяции — на рис. 26

Таблица 2.

Результаты решения стационарной осесимметричной задачи

Параметр Значение Оценка погрешности Относительная размытость

0.282186858398 ±1-ю-'2 0.1

Еа А/п ±1-109 0.1

Ко 2.716660 +М0"6 0.1

Па рис. 5, 6 представлены формы обрабатываемой поверхности, зависимости кривизны и напряженности от ординаты обрабатываемой поверхности в сравнении с плоским случаем.

Рис.5. Стационарные формы для осесимметричной (./) и для плоской (2) задач

._

\

Л

" 0.) 0.2 03 0.4 у

а)

Рис. 6. Зависимости кривизны (а) и безразмерной напряженности (б) от ординаты для: 1 - осесимметричной, 2 — плоской задач

В пятой главе диссертации приводится решение нестационарных осесимметричных задач. В р. 5.1 приводится описание метода расчета задачи нестационарного формообразования.

Рассмотрим задачу обработки точечным электродом-инструментом. Сечение межэлектродного пространства (МЭП) показано на рис.1,а, где АОВ —

граница растворяемого материала, точка С —точечный ЭИ, движущийся со скоростью V, к обрабатываемой поверхности.

Нестационарная задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений и решается путем дискретизации времени с шагом Лт. При этом на каждом временном шаге т,- решаются задачи конформного отображения полосы параметрической плоскости х на физическую плоскость г и определения составляющих напряженности д<р/дх, скр/ду, рассмотренные в р. 3.1, 3.2. Задача конформного отображения в полном объеме решается только при т=0, так как после каждого шага по времени значения переменных являются известными, и остается только

подставить их в сплайн. После определения Эср/сЬс, Зср/ду остается решить третью краевую задачу, постановка которой дана в главе 1: найти частную

производную как аналитическую функцию

комплексного переменного удовлетворяющую краевому условию (7). Эта задача имеет единственное решение, как задача Римана-Гильберта.

Для вычисления производной применяется способ,

аналогичный применяемому для определения конформного отображения z&.{зt'zj)^ Искомыми параметрами на каждом временном шаге будут

значения K&—^'ixsm,\¡\=qm. Значения в промежуточных между

дх ■' дх ■'

узловыми точках находятся с помощью кубического сплайна Л(о,т). Для

восстановления (%>*/) используется формула Шварца. Из этой формулы от

при У=И2 получается уравнение для определения dg¡¿h

ах дх \2 ) "т о сЬяст ах ах

Значения определяются методом коллокаций по краевому условию (7)

да дх да дх у да

После решения системы линейных алгебраических уравнений и

дхА

определения частных производных —— = дт производится шаг по времени по

дх

методу предиктор - корректор второго порядка точности.

„ &д Зср Эф

Далее снова повторяется процесс вычисления —— , —-, —■■, ц„ и т.д.

да дх ду

В р. 5.2 приводятся полученные численные результаты. На рис.7 показаны формы поверхности при обработке неподвижным электродом — инструментом, расположенным на расстоянии I от изначально плоской обрабатываемой

поверхности. Величина I является в данном случае масштабной единицей.

Можно видеть, что форма выемки приближается к автомодельной. Для наглядности рисунок можно смасштабировать так, чтобы глубина выемки всегда равнялась единице (рис.7,б). Из этого можно сделать вывод, что при обработке неподвижным ЭИ, как и в плоском случае, поверхность любой формы с течением времени приобретает автомодельную форму. Тем самым, автомодельное решение является аттрактором.

а) б)

Рис.7. Формы, полученные при обработке неподвижным ЭИ: а)—в обычном масштабе; б)- в качестве масштабной единицы выбрана глубина выемки

На рис.8 показаны формы поверхности при обработке движущимся ЭИ.

Рис. 8. Формы, полученные при обработке подвижным ЭИ

На рис.8 в зоне вблизи ЭИ можно наблюдать формирование стационарного процесса. Для наглядности на рис. 9 начало координат совмещено с ЭИ. Тем самым при подвижном ЭИ аттрактором является стационарное решение (в окрестности ЭИ). В то же время на участке обрабатываемой поверхности, находящейся вблизи начала паза, образуется некоторая форма, которая будет называться финальной. Это связано с удалением ЭИ от этого участка и прекращением растворения.

Рис. 9. Формы, полученные при обработке подвижным ЭИ. Начало координат

совмещено с ЭИ

Результаты расчета процесса при движении ЭИ из бесконечности приведены на рис. 10. Видно, что по сравнению с рис. 8 входная часть отверстия имеет более плавную форму.

Рис. 10. Формы, полученные при обработке ЭИ, движущимся из бесконечности

Разработанный метод позволяет начать процесс с критической конфигурации, когда ЭИ касается поверхности детали (хс (о) = 0 при т=0).

Предполагается, что вначале имеет место автомодельный процесс. Это предположение базируется на двух позициях: в начальной время скорость растворения намного больше скорости движения ЭИ; автомодельная форма является аттрактором (согласно результатам, приведенным на рис. 7,6). Результаты расчета данного процесса приведены на рис. 11. Видно, что по сравнению с рис. 8 входная часть отверстия имеет более резкую форму.

Рис. 11. Формы, полученные при обработке ЭИ, движущимся от положения

касания

В р. 5.3 приводятся результаты исследования временных характеристик переходных процессов. Исследованию в данном разделе подлежит закон установления стационарной, финальной и автомодельной форм при увеличении безразмерного времени.

На рис. 12,а показана зависимость максимальной кривизны обрабатываемой поверхности от безразмерного времени т. На рис. 12,6 дана зависимость

, ^тах(т)- К*

десятичного логарифма разности - ^

где К - кривизна; К" -

К*

наиболее точная величина, полученная экстраполяцией. Видно, что эта зависимость близка к линейной, т.е. закон установления близок к экспоненциальному. Точность приближения к предельному значению (финальная форма) ограничена 5-ю знаками, которые получаются при экстраполяции данных нестационарной задачи, и объясняется ограниченностью вычислительных ресурсов при ее решении.

Для оценки параметров линейной зависимости применялся метод наименьших квадратов. В результате получено следующее значение углового коэффициента логарифмической зависимости: к-^2Л. То же значение имеет постоянная, характеризующая установление стационарного процесса.

Рис. 12. Установление максимального значения кривизны при начальном зазоре, равном стационарному: а) — зависимость кривизны от времени; б) — зависимость от времени десятичного логарифма отклонения от предела

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложены эффективные численно-аналитические методы для исследования длительных переходных процессов в осесимметричных задачах Хеле-Шоу с высокой точностью. Для оценки погрешности был использован способ многокомпонентного анализа зависимости погрешности численных методов от величины шага сетки с помощью численной фильтрации. Было показано, что дополнительные затраты ресурсов компенсируются повышением точности и достоверности оценок. Во многих случаях точность вычисления координат поверхности удалось повысить до 11-12 десятичных знаков при относительной размытости оценок не более 0.1.

2. Получены численные значения (с оценкой погрешности) ряда геометрических и физических параметров и временные характеристики переходных процессов. Например, значения кривизны границы, вычислены с точностью 6-8 знаков для стационарного и автомодельного решения, и 3-5 знаков для нестационарного решения.

3. С помощью численного решения задач были исследованы длительные переходные процессы установления различных предельных режимов: стационарного, автомодельного и финального. В разных условиях эти режимы формируются локально на различных участках границы, могут существовать временно или являться аттракторами. Когда твердая граница или ее часть не движется в направлении свободной границы, автомодельное решение является аттрактором. При равномерно движущейся твердой границе аттрактором является стационарное решение.

4. Результаты численных исследований позволяют сформулировать гипотезу, которая заключается в том, что для достаточно больших времен любой нестационарный процесс, описываемый задачей Хеле-Шоу, приводит к образованию на свободной границе комбинации стационарных, автомодельных и финальных подобластей и переходных участков между ними.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ

РАБОТЫ

1. Зиннатуллина O.P. Повышение точности и достоверности численных результатов с помощью повторных вычислений и экстраполяции // Интеллектуальные системы управления и обработки информации: Материалы Всеросс. Молодежи, научн.- техн. конф. - Уфа, 3-4 декабря 2003г. - С. 61.

2. Федорова Г.И., Зиннатуллина O.P. Конформные отображения в решении задач об автомодельном электрохимическом формообразовании // Снежинск и наука - 2003: Сб. науч. Трудов: межд. науч. конф. - Снежинск: СГФТА, апрель 2003.-С. 80.

3. Житников В.П., Зиннатуллина O.P. Численное решение задачи электрохимической обработки плоской поверхности осесимметричным электродом-инструментом. II Компьютерные науки и информационные технологии CSIT'2003: Матер. 5-ой междунар. науч. практ. конф., часть 1. -Уфа, Россия, 2003. - С. 39-42 (статья на англ. яз.).

4. Житников В.П., Федорова Г.И., Зиннатуллина O.P. Почти аналитический метод решения задач нестационарного электрохимического формообразования // Гидродинамика больших скоростей: Материалы второй международной летней научной школы.— Чебоксары. 2004. — С. 158-160.

5. Житников В.П., Зиннатуллина O.P., Розенман A.A. Программный комплекс для решения задач математического моделирования. // Компьютерные науки и информационные технологии CSIT'2004: Матер. 6-ой междунар. науч. практ. конф., часть 1. — Будапешт, 2004. - С. 228-230 (статья на англ. яз.).

6. Житников В.П., Федорова Г.И., Зиннатуллина O.P. Численно-аналитический метод решения нестационарных задач электрохимического формообразования // Гидродинамика больших скоростей: Материалы 2-ой межд. научной школы (HSH —ГЪС 2004). — Чебоксары. 27 июня - 3 июля, 2004. — С. 365-368 (статья на англ. яз.).

7. Житников В.П., Зиннатуллина O.P., Федорова Г.И. Математическое моделирование нестационарных процессов электрохимической обработки. // Технология обработки материалов (Journal of Materials Processing Technology, Elsevier). T. 149, 2004. - C. 398-403. (статья на англ. яз.).

8. Зиннатуллина O.P. Решение осесимметричных задач нестационарного электрохимического формообразования // Студенчество. Интеллект. Будущее: Матер, межвуз. молодеж. науч. практ. конф., часть 1. — Набережные Челны, 1415 марта 2005. - С. 289-292.

9. Зиннатуллина O.P. Методы решения осесимметричных стационарных задач электрохимического формообразования // Вузовская наука России: Матер, науч. практ. конф., часть 1. - Набережные Челны, 30 марта - 1 апреля 2005.-С. 108-111.

10. Житников В.П., Зиннатуллина O.P., Федорова Г.И. Методы решения автомодельных задач электрохимического формообразования // Вузовская

наука - России: Матер, науч. практ. конф., часть 1. - Набережные Челны, 30 марта - 1 апреля 2005. - С. 23-25.

11. Зиннатуллина O.P. Численно-аналитическое решение оссесимметричной электрохимической задачи при сдвинутом относительно стационарной поверхности электроде-инструменте. // Компьютерные науки и информационные технологии CSIT'2005: Матер. 7-ой междунар. науч. практ. конф., часть 3. — Уфа, 2005. - С. 176-182 (статья на англ. яз.).

12. Житников В.П., Зиннатуллина O.P., Федорова Г.И. Численно-аналитическое решение нестационарных оссесимметричных электрохимических задач. // Компьютерные науки и информационные технологии CSIT'2005: Матер. 7-ой междунар. науч. конф., часть 1. — Уфа, 2005. - С. 135-140. (статья на англ. яз.).

13. Житников В.П., Зиннатуллина O.P. Численно-аналитический метод решения электрохимических автомодельных осесимметричных задач // Мавлютов-ские чтения: Материалы Росс, научн. конф. — Уфа, 20-22 марта 2006г. — С. 5054.

14. Зиннатуллина O.P. Численное решение нестационарной задачи электрохимической обработки осесимметричным электродом-инструментом. Н Интеллектуальные системы обработки информации и управления: Сборник статей региональной школы-семинара аспирантов и молодых ученых. — Уфа, 16-19 февраля 2006 г. - С. 79-85.

15. Житников В.П., Зиннатуллина O.P., Шерыхалина Н.М., Уточнение результатов и оценка погрешности вычислений методом численной фильтрации // Компьютерные науки и информационные технологии CSIT'2006: Матер. 8-ой междунар. науч. конф., часть 1. - Калсруе, Германия, 2006. - С. 134-137 (статья на англ. яз.).

16. Федорова Г.И., Ошмарина Е.М., Зиннатуллина O.P., Мустафин А.Г. Решение задачи Хеле-Шоу при наличии зазора между непроницаемыми поверхностями // Компьютерные науки и информационные технологии CSIT'2006: Матер. 8-ой междунар. науч. конф., часть 1. — Калсруе, Германия, 2006. - С. 138-142 (статья на англ. яз.).

17. Житников В.П., Зиннатуллина O.P., Шерыхалина Н.М., Ошмарин А. А. Применение численной фильтрации как средства уточнения результатов вычисления и оценки погрешности // Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование: Матер. 3-ей летн. науч. школы. — Кемерово, 2006. — С. 73-77.

18. Зиннатуллина O.P. Численное решение нестационарных осесимметричных задач Хеле-Шоу применительно к электрохимическому формообразованию // Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование: Матер. 3-ей летн. науч. школы. — Кемерово, 2006. — С. 375-381.

19. Житников В.П., Зиннатуллина O.P., Федорова Г.И. Применение экстраполяции для оценки погрешности и уточнения численного решения нестационарных задач электрохимического формообразования. // Вычислительные технологии. Т. 11, 2006. — С. 82-93.

ЗИННАТУЛЛИНА Ольга Рифовна

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ ХЕЛЕ-ШОУ

01.02.05-Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 30.08.2006 г. Формат 60x84 /16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Times New Roman Cyr. Усл. печ. л. 1,0. Усл. кр-отт. 0,9. Уч.-изд. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ № 398. Бесплатно.

ГОУ ВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа- центр, ул. К.Маркса, 12.

Введение

Глава 1. Постановка осесимметричных задач Хеле-Шоу 19 ф 1.1. Постановка осесимметричных задач Хеле-Шоу применительно к нестационарному электрохимическому формообразованию

1.1.1. Математическая модель

1.1.2. Постановка задач на временном шаге

1.2. Постановка задач определения форм поверхности, не зависящих от времени

1.2.1. Задачи начального формообразования

1.2.2. Стационарные осесимметричные задачи •

1.2.3. Автомодельные осесимметричные задачи

Глава 2. Решение плоских задач ЭХО

2.1. Постановка плоских задач стационарного формообразования

2.2. Задача стационарного формообразования при обработке проволочным электродом инструментом

2.3. Задача стационарной обработки цилиндрическим ЭИ.

2.4. Вычисление напряженности электрического поля при обработке ЭИ, сдвинутым относительно стационарной

Ф поверхности

2.5. Предельное распределение напряженности

Глава 3. Методы расчета параметров осесимметричных процессов, не зависящих от времени

3.1. Задача нахождения конформного отображения.

3.2. Определение составляющих напряженности

3.3. Модификация численных методов для решения осесимметричных задач

3.3.1. Оценка погрешности вычисления интегралов Положего при прямом применении квадратурных формул Гаусса

3.3.2. Численные методы вычисления интегралов Положего

3.3.3. Численный метод вычисления интеграла Шварца

3.4. Применение экстраполяции для оценки погрешности

3.4.1. Численная фильтрация

3.4.2. Ограничения при повторных экстраполяциях

3.4.3. Критерий размытости оценки

3.4.4. Визуализация результатов экстраполяции

Глава 4. Расчет форм осесимметричных поверхностей, не зависящих от времени

4.1. Задачи начального формообразования. 4.1.1. Тестовый пример

4.1.1. Тестовый пример

4.2. Автомодельная осесимметричная задача

4.3. Задача стационарного формообразования

Глава 5. Численное решение нестационарных задач Хеле-Шоу

5.1. Метод решения нестационарной задачи

5.2. Численные результаты

5.2.1. Обработка неподвижным ЭИ

5.2.2. Обработка подвижным ЭИ, находившимся в начальный момент времени на некотором расстоянии от плоской обрабатываемой поверхности

5.2.3. Обработка ЭИ, движущимся из бесконечности

5.2.4. Обработка ЭИ, находившимся вначале на обрабатываемой поверхности

5.3. Определение параметров переходных процессов

Большой вклад в развитие гидродинамики в конце 19 века внесла работа [103] написанная Henry Selby Hele-Shaw (Хеле-Шоу), который описал устройство, позднее названное ячейкой Хеле-Шоу, где хорошо воспроизводится плоское безвихревое движение, посредством пропускания вязкой жидкости между двумя параллельными пластинами. В дальнейшем она нашла широкое применение. В русской литературе прибор называется щелевым лотком, применялся Н.Е. Жуковским для демонстрации обтекания крыла ламинарным потоком, в настоящее время распространен в лабораториях. Он дает наглядную картину движения, позволяет воспроизводить неустановившееся движение рис. В1). injection /suction of fluid

Параллельные стеклянные пластины

Параболический профиль

Рис. В1. Щелевой лоток (ячейка Хеле-Шоу)

В данной модели вязкая жидкость движется в замкнутой с двух сторон области со свободными в двух измерениях границами. Жидкость впрыскивается (или удаляется) через трубку, расположенную на пластине. В результате впрыскивания свободные границы смещаются.

В результате того, что ширина зазора между пластинами мала и образуется плоский поток жидкости с преобладанием сил вязкого трения о пластины над инерционными (число Рейнольдса мало), уравнение Навье - Стокса при усреднении по ширине зазора между пластинами сводится к закону Дарси [103].

12ц где V- средняя по зазору скорость жидкости; h - расстояние между пластинами; ц - коэффициент динамической вязкости; р - давление в жидкости).

Тем самым, поток жидкости является потенциальным и соленоидальным (divF=0 в силу отсутствия распределенных источников и стоков). Тогда давление является потенциалом и удовлетворяет уравнению Лапласа (Д/?=0).

Дальнейшие шаги в исследовании были сделаны П.Я. Полубариновой -Кочиной [68,118] и Л.А. Галиным [8]. В 1945 они независимо друг от друга использовали методы теории комплексного переменного для решения задач неинерционных потоков Хеле-Шоу [118].

Основная идея была в применении конформных отображений z-ß^Q области течения на область L, простой геометрической формы (в большинстве случаев на круг единичного радиуса) вспомогательной плоскости, чтобы представить свободные границы в параметрическом виде.

Рассмотрим поток создаваемый источником или стоком напряженности Q, расположенным в точке z=0 (рис. В2).

ДР =

Рис. В2. Задача Хеле-Шоу со свободной границей

При отсутствии силы тяжести или ее проекции на плоскость течения давление р на свободной границе постоянно. Примем р=0. Скорость движения границы совпадает с нормальной составляющей скорости жидкости, т.е. дп

Методами теории функций комплексного переменного было получено граничное условие [106]

Полученное выражение называется уравнением Полубариновой - Галина [118]. Уравнение позволяет получать точные решения и применять конформные отображения и гипергеометрические функции для исследования потоков Хеле-Шоу.

Частную производную по времени можно выразить через интеграл Шварца [59] в виде уравнения типа Лёвнера-Куфарева [155]

В дальнейшем в развитие решения задач Хеле - Шоу свой вклад внесли S. Richardson [120,121], GI. Taylor [122,123], P.G Saffman [122,123], J. R. Ockendon [101,106], S.D. Howison [105-108], C.M. Elliott[101], J.R. King[105,108,110], L.J.

Сшшшг^в [100]). С помощью ТФКП они решают задачу Хеле - Шоу современными методами прикладной математики.

Последние годы интерес к задачам Не1е-811а\у растет. Задачи решаются по всему миру. Подобные задачи решаются в металлургии при описании движения границ фазы, при напылении или растворении [106], при анодном растворении [99,113] (в электрохимической обработке) и т.д. Используя данную ячейку, можно рассмотреть поверхностное натяжение [103], воздействие внешних сил, пронаблюдать устойчивые потоки в пористых средах [106], полагая, что они описываются законом Дарси. Сейчас ячейка Хеле - Шоу, удобный инструмент исследования в гидромеханике, физике, инженерных науках.

В диссертационной работе подходы, развитые для исследования плоских течений, применяются для решения осесимметричных задач Хеле-Шоу. Под этими задачами будем понимать осесимметричные краевые - задачи для уравнения Лапласа ДФ = 0 (Ф - потенциал) внутри некоторой области, на границах которой выполняется условие Ф=сопз1, причем свободные границы подвижны (скорость движения пропорциональна градиенту Ф). В частном случае границы могут сохранять геометрическое подобие (автомодельные решения), либо в подвижной системе координат могут быть стационарными. Решения этих задач могут интерпретироваться как процессы движения жидкости и как процессы растворения металлов при электрохимической обработке (ЭХО). Это приложение позволяет рассмотреть новые задачи, например, задачи с движущимся источником, и этим дополнить теорию задач Хеле-Шоу.

Обычно при исследовании ЭХО задача формообразования рассматривается как стационарная, то есть предполагается, что при движении электрода-инструмента (ЭИ) поверхность обрабатываемого материала сохраняет некоторую стационарную форму в системе координат, связанной с ЭИ. Как показывает опыт, такой подход действительно оправдывает себя при прямом копировании и прошивке отверстий в зоне, где происходит активное формообразование. Однако этот подход не позволяет рассчитать переходный процесс, который необходим для установления стационарной формы, и требуется снятие определенного припуска для получения заданной точности копирования.

Как частный случай в диссертационной работе рассматривается процесс автомодельной ЭХО, т.е. такой случай нестационарной обработки, в котором форма обрабатываемой поверхности остается геометрически подобной начальной. Обработка приводит только к изменению масштаба межэлектродного пространства, при этом форма эпюры распределения плотностей тока на поверхности материала остается постоянной. Решение задачи автомодельной ЭХО позволяет рассмотреть некоторые предельные случаи нестационарного формообразования, получить оценки изменения радиуса кривизны при скруглении острых кромок.

Следует отметить, что осесимметричные задачи Хеле-Шоу изучены намного меньше, чем плоские. Поэтому вначале рассмотрим осесимметричные задачи гидродинамики, постановка которых частично совпадает с задачами Хеле-Шоу. Далее обзор задач проводится по известным плоским решениям задач Хеле-Шоу на примере ЭХО и некоторых других приложений.

Существует целый ряд хорошо развитых численных методов, применимых для решения задач Хеле-Шоу. Для решения осесимметричных задач часто применяются методы конечных разностей [11,95] и конечных элементов [35,51]. Примеры применения этих методов к решению потенциальных задач можно найти в работах [39,72]. Однако недостатком названных методов является проблема удовлетворения граничных условий, заданных на бесконечности. Этого недостатка (например, в задачах потенциального обтекания тел безграничным потоком) лишены интегральные методы, такие как метод граничных интегральных уравнений [60,40].

Значительные результаты получены с помощью численно-аналитических методов, сводящихся к определению интенсивности источников и диполей, распределенных на границе [14], или вихревого слоя [14]. В последнее время широко используются методы граничного элемента, основанные на применении интеграла Грина [3,4,122].

Основой для применения методов ТФКП к решению осесимметричных задач служат интегральные преобразования Г.Н. Положего [67] аналитической функции комплексного переменного в потенциал и функцию тока некоторого осесимметричного поля. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах [12-13] для решения задач с линейными краевыми условиями. В [18-20] на основе интегральных преобразований разработан численно-аналитический метод, являющийся обобщением метода Леви-Чивиты для решения нелинейных осесимметричных задач. В [24, 73, 125] этот метод применен для исследования обтекания пузырей и других осесимметричных препятствий.

Ниже предлагаются модифицированные варианты численно-аналитического метода с использованием преобразования Г.Н. Положего для решения осесимметричных задач Хеле-Шоу. г.

По плоским задачам Хеле-Шоу и, в частности, задачам ЭХО список публикаций весьма обширен.

Значительный вклад в разработку теории расчета размерной ЭХО внесли Ф.В. Седыкин, И.И. Мороз, Ю.Н. Петров, В.Д. Кащеев, Г.И. Корчагин, А.Х. Каримов, Ю.С. Волков, А.И. Дикуссар, В.В. Клоков, JI.M. Котляр, Е.И. Филатов, Д.В. Маклаков, Н.М. Миназетдинов, Г.А. Алексеев, JI.M. Щербаков, В.П. Смоленцев, A.JI. Крылов, B.C. Крылов, Г.Р. Энгельгарт, Н.Г. Зайдман, А.Н. Зайцев, В.П. Житников, J.A. McGeogh, J. Kozak и др.

Ряд задач начального формообразования решен в [20, 42, 104 111, 112], предельного - в [45,62, 65].

Задача определения стационарной формы границы анода по заданной форме катода-инструмента эквивалентна задаче построения комплексного и потенциала течения в бесконечном криволинейном канале, с заданным расходом, одна стенка которого известна, а вторая должна быть определена в ходе решения задачи. Ряд подобных задач решен в [9,10,93,92,110].

В работе [47] установлена гидродинамическая аналогия задачи стационарного электрического формообразования, согласно которой плоское потенциальное электрическое поле моделируется фиктивным течением идеальной несжимаемой жидкости. В работе [44] задача стационарного ЭХО сведена к задаче отыскания неизвестной границы течения жидкости по заданному на ней годографу скорости.

В [45] рассчитаны формы стационарной поверхности анода, получающиеся при обработке электродом-инструментом в виде изолированной плоской пластинки с точечной в сечении рабочей частью.

В работах [41,45] на основе идеальной модели решены плоские задачи расчета формы стационарной поверхности двугранным ЭИ без изоляции. Важным вопросом является учет побочных физических процессов в ходе анодного растворения. В статьях [7,50,66,90] решена аналогичная задача с учетом неравномерности поляризации анода, в [5,6,9,10,42,90,91] - с учетом зависимости выхода по току. В работе [88] был произведен расчет ширины зазора при стационарной ЭХО с учетом нагрева электролита. В [76] была поставлена и решена задача о влиянии тепловых полей на двумерное стационарное ЭХО путем сведения к решению краевой задачи Гильберта.

В [76] был решен ряд задач двумерного стационарного ЭХО методом конформных отображений годографа скорости с использованием непосредственного интегрирования в комплексных переменных, также решены задачи для ЭХО деталей со щелями.

Одной из актуальных задач теории ЭХО является изучение гидродинамики потока электролита. В определенных условиях имеется значительное влияние скорости течения электролита на скорость растворения металла. Результаты исследований гидродинамики потока электролита и ее влиянии на процесс ЭХО освещены в работах [34,41,43,48,49,52,56,64,89,93]. Особое место занимают здесь кавитационные явления, так как каверны, возникающие в МЭП, вызывают местное экранирование поверхностей электродов и нарушают режим анодного растворения. Вопросы влияния кавитации на процесс ЭХО и специального профилирования ЭИ для обеспечения безотрывного потока электролита рассмотрены в [6,53,54,55,63].

Автомодельные задачи ЭХО (в которых с течением времени сохраняется геометрическое подобие межэлектродного пространства) рассматривались в [25,26,28,77-79,83,98]. Были решены частные случаи задачи обработки клиновидным ЭИ, которые имеют аналитические решения [29,77,98]. Также решены численно задачи обработки точечным и бесконечно удаленным ЭИ [25,26,77,83]. R.V. Crasrer [99], S.D. Howison [105] решали задачу о покрытии клина пленкой вязкой жидкости, краевые условия которой аналогичны условиям автомодельности ЭХО, и получили частные решения задачи, которые затем были обобщены в [84-87].

Наиболее простым способом решения, учитывающим изменение формы обрабатываемого материала при нестационарной ЭХО, представляется способ последовательного решения задач начального формообразования.

При решении задач численными методами возможно сближение узловых точек на отдельных участках, приводящее к ухудшению сходимости [33].

Определение частной производной по времени позволяет при решении нестационарной задачи производить временной сдвиг поверхности вдоль dz , dz . вектора —: dz = —ах. дт дт

Это дает возможность закрепить узловые точки на границе плоскости параметрического переменного или проводить их управляемое изменение, что значительно упрощает решение нестационарной задачи [1,2,69,70].

Наибольшее количество работ в области решения задач нестационарной ЭХО численными методами посвящено решению задач в малоискривленных межэлектродных каналах (так называемые одномерные задачи электрохимического формообразования). Обширный обзор этих работ можно найти в [15,41,71]. Трехмерное электрохимическое формообразование для построчной обработки при «идеальной» модели процесса рассмотрено в работе [17]. С помощью метода малого параметра при учете гидродинамики электролита для областей с большим радиусом кривизны поверхности анода и катода решается задача нестационарной ЭХО в работе [90].

Двумерной нестационарной ЭХО для различных схем обработки посвящены работы по численному моделированию процесса методом конечных разностей [16,115], методом конечных элементов [117], методом граничных элементов [96,98,128].

Нестационарные двумерные задачи ЭХО общего вида решались в [76]. Использован метод граничных элементов, основанный на суперпозиции простых точных решений уравнения Лапласа, удовлетворяющих граничным условиям. Таким способом были решены задачи проектирования паза шестерни внутреннего зацепления, задачи по расчету ЭИ методом обратного копирования и расчету формообразования кромки лопатки газотурбинного двигателя. Метод граничных элементов первого порядка точности использовался также в [72,97,119,127] для решения ряда модельных задач. Отметим, что используя данные методы трудно рассчитать процесс вплоть до выхода на стационарный или автомодельный режим.

Численно-аналитический метод решения задач нестационарной ЭХО, в котором форма обрабатываемой поверхности задается с помощью сплайна, а значение производных координат по времени определяется путем решения системы уравнений, предложен в [27]. С помощью этого метода решен ряд задач обработки точечным и пластинчатым ЭИ [27,80-82,98,126,57].

В работе [127] плоская задача нестационарной ЭХО сведена к решению задачи Римана Гильберта на каждом временном шаге, что позволяет избежать решения системы уравнений. Этот метод возможно адаптировать и для решения осесимметричных задач.

Особенностью задач, решаемых в диссертации является их «жесткость», т.е. наличие двух (или более) характерных значений временных параметров, различающихся на порядки.

Целью исследований является:

Исследование закономерностей формообразования свободных границ в нестационарных осесимметричных задачах Хеле-Шоу, длительных переходных процессов, приводящих к формированию различных предельных конфигураций.

Для достижения поставленной цели необходимо решить ¿следующие задачи:

• разработать численно-аналитические методы высокого (>2) порядка точности и алгоритмы для решения осесимметричных задач Хеле-Шоу; методы оценки погрешности и уточнения численных результатов путем экстраполяции данных, полученных при разном числе узловых точек;

• проведение численного исследования решений стационарных, автомодельных и нестационарных решений задач Хеле-Шоу при помощи разработанных численно-аналитических методов.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений.

Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ в рамках курсов «Вычислительная математика» и «Прикладное математическое моделирование».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации были рассмотрены задачи потенциального течения жидкости с постоянными значениями потенциала на границах. Свободная граница подвижна, и скорость ее движения пропорциональна градиенту потенциала. Такими задачами моделируются течения жидкостей в пористых средах (при справедливости закона Дарси), динамика многофазных потоков, процессы электрохимического формообразования и т.д.

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. Часть 1. М.: Наука, 1973,631 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987, 598 с.

3. Бенерджи П.К., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984.494 с.

4. Бреббия К., Теллес Ж, Вроубел Л. Метод граничных элементов. М. Мир. 1987.

5. Воронкова А.И. Влияние кавитации и переменности выхода по току на стационарное электрохимическое формообразование: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань. - 1997. - 18 с.

6. Газизов Е.Р. Потенциальные течения жидкости в открытых каналах: задачи гидромеханики и электрохимии. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань: КГУ.-2000.-107 с.

7. Галин Л.А. Нестационарная фильтрация со свободными границами // ДАН СССР. Т. 47,1945. -С. 246-249.

8. Газизов Е.Р., Маклаков Д.В. Метод расчета анодного формообразования катодом-инструментом с криволинейной границей для произвольной зависимости выхода по току. // Проблемы гидродинамики больших скоростей.- Чебоксары: Чув. Ун-т, 1993, с.70-74.

9. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М. Наука, 1977.440с.

10. Гоман О.Г. К вопросу о связи плоских и пространственных течений // Динамика сплошной среды с нестационарными границами. -Чебоксары: Чуваш, ун-т. 1984. - С. 43-53.

11. Гоман О.Г. О получении осесимметричных течений из плоскопараллельных // Изв. АН СССР. МЖГ. -1982. ~5. - С.113-121.

12. Гузевский Л.Г. Осесимметричные кавитационные обтекание тел вращения струей жидкости. Новосибирск: СО АН СССР. ИТФ 1981, с.37-46

13. Давыдов А.Д., Козак Е. Высокоскоростное электрохимическое формообразование. М.: Наука. -1990. - 272 с.

14. Евдокимов В.В., Евдокимова Е.Ю., Клоков В.В., Филатов Е.И. Численный расчет эволюции анодной поверхности и гидродинамического поля при ЭХО // Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов в авиастроении. Казань, 1994. С.44-48.

15. Егоров М.А. Численный расчет построчной электрохимической обработки // Труды семинара по краевым задачам. Выпуск 28. Казань: Изд-во Казан. Ун-та, 1993. С. 14-20.

16. Житников В.П. Видоизменение метода Леви-Чивиты для численного исследования осесимметричных потенциальных течений // Взаимодействие тел в жидкости со свободными границами. -Чебоксары: Чуваш, ун-т. -1987. С. 48-56.

17. Житников В.П. Обобщение метода Леви-Чивиты для исследования плоских и осесимметричных течений с нелинейными условиями на неизвестных границах. Дисс. докт. физ.-мат. наук. -Казань. -2000. 327. с.

18. Житников В.П. Решение осесимметричной задачи об обтекании тела в трубе с помощью методов теории функций комплексного переменного // Проблемы гидродинамики больших скоростей. Чебоксары: изд.ЧГУ. 1993. С. 107-117.

19. Житников В.П. Решение плоских и осесимметричных задач с помощью методов теории функции комплексного переменного: Учебное пособие. -УГАТУ. -Уфа, 1994. -106 с.

20. Житников В.П., Зайцев А.Н. Исследование формообразования при электрохимической обработке с помощью стержневого катода-инструмента// Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов в авиастроении. Казань: КАИ. -1990. - С. 31-36.

21. Житников В.П., Зайцев А.Н. Математическое моделирование электрохимической размерной обработки. -Уфа: изд. УГАТУ. 1996. -221с.

22. Житников В.П., Терентьев А.Г. Осесимметричное обтекание газового пузыря идеальной жидкостью // Изв. РАН. МЖГ. -1993. -№5 С. 15-20.

23. Житников В.П., Ураков А.Р. Автомодельное решение задачи электрохимической обработки материала электродом инструментом, удаленным на бесконечность // Уфимск. гос. авиацион. техн. ун-т - Уфа, 1995. - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ. № 2969 - В95. 09.11.95.

24. Житников В.П., Ураков А.Р. Автомодельные решения нестационарных задач электрохимической обработки // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1998. Т.1. № 4-6. С. 108-115.

25. Житников В.П., Ураков А.Р., Гуцунаев A.B. Численно-аналитический метод решения нестационарных задач электрохимической размерной обработки // Электронная обработка материалов. 1999. №2 (196) С. 4-9.

26. Житников В.П., Шерыхалина Н.М. Методы верификации математических моделей в условиях неопределенности // Вестник УГАТУ. 2000. №2. С. 53-60.

27. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Ураков А.Р. Интерполяция и экстраполяция. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Вычислительная математика». -Уфа: УГАТУ, 2003. -46 с.

28. Житников В.П., Зиннатуллина O.P., Федорова Г.И. Методы решения автомодельных задач электрохимического формообразования // Вузовская наука России: Матер, науч. практ. конф., часть 1. Набережные Челны, 30 марта - 1 апреля 2005. -С. 23-25.

29. Житников. В.П., Шерыхалина Н.М. Методы экстраполяции результатов численного эксперимента / Уч. пособие. Уфа: УГАТУ. 2002. 28с.

30. Зайдман Г.Н., Петров Ю.Н. Формообразование при электрохимической размерной обработке металлов. Кишинев: Штиинца. -1990.-205 с.

31. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.318с.

32. Зиннатуллина O.P. Методы решения осесимметричных стационарных задач электрохимического формообразования // Вузовская наука -России: Матер, науч. практ. конф., часть 1. Набережные Челны, 30 марта 1 апреля 2005.-С. 108-111.

33. Зиннатуллина O.P. Решение осесимметричных задач нестационарного электрохимического формообразования // Вузовская наука России: Матер, науч. практ. конф., часть 1. Набережные Челны, 30 марта - 1 апреля 2005.-С. 158-160.

34. Ильин В.П. Численные решения задач электрооптики. Новосибирск. Наука 1967,195 с.

35. Кантарович JI.B., Крылов В.|И. Приближенные методы высшего анализа. М.: ФизМатгиз,1962.695 с.

36. Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования (монография). Казань: КГУ. -1990. -387 с.

37. Клоков В.В. Влияние переменного выхода по току на стационарное анодное формообразование // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т. -1979. - Вып. 16. - С. 94-102.

38. Клоков В.В. Метод гидродинамического расчета течения в зазоре при электрохимической обработке // Тр. семин. по краевым задачам. -Казань: Казанск. ун-т. -1987. Вып.23. - С. 130-137.

39. Клоков В.В. Об одном методе расчета стационарного электрохимического формообразования // Тр. семин. по краевым задачам. -Казань: Казанск. ун-т. -1975. Вып. 12. - С. 93-101.

40. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование двугранным катод-инструментом. Казань: Казанск. ун-т. - 1989. - 28 с. Деп. в ВНИИТЭМР 03.07.89.-№188.

41. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование. Казань: Казанск. ун-т. -1984. - 80 с.

42. Клоков В.В., Костерин A.B., Нужин М.Т. О применении обратных краевых задач в теории электрохимической размерной обработки: Труды семинара по краевым задачам. Казань: КГУ, 1972, с. 132-140.

43. Клоков В.В., Рябчиков М.Е., Шкарбан А.Ю. Модели гидродинамического поля в межэлектродном зазоре. // Сборник трудов Всерос. н.-т. конф. Современная электротехнология в машиностроении. Тула, 1997, с.52-53.

44. Клоков В.В., Салихов А.Н. Стационарное электрохимическое формообразование и гидродинамика в окрестности датчика зазора,

45. Казань: Казанск. ун-т. 1989. - 30 с. - Деп. в ВНИИТЭМР 24.07.89. -№209.

46. Клоков В.В., Шишкин С.Е. Стационарное анодное формообразование двугранным катодом при неравномерной поляризации анода // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т. - 1985. -Вып.22. - С. 117-124.

47. Коннор Дж., Бребия К. Метод конечных элементов в механике жидкости. М.: Мир, 1981.

48. Коппенфельс В. Штальман Ф. Практика конформных отображений М.: Изд. иностр. лит. - 1963. - 406 с.

49. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. -1973. - 832 с.

50. Котляр Л.М. Миназетдинов Н.М. Об одном методе расчета газожидкостного слоя при стационарной электрохимической обработке// Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во КГУ, 1993, Вып. 28.с. 51-58.

51. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М. Эволюция формы анодной границы при электрохимической размерной обработке металлов // Прикладная механика и техническая физика. Новосибирск. - 2004, Т. 45, №4, - С. 712

52. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов."Наука". М.-1967.

53. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. -1973. - 736 с.

54. Мазья В. Г. Граничные интегральные уравнения. Итоги науки и техники ВИНИТИ.Совр. пробл. Мат.: Фундам. Направление. 1988. Т. 27.С. 131228.

55. Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. М.: Янус-К. 1997. -280 с.

56. Маклаков Д.В., Шишкин С.Е. Предельное электрохимическое формообразование тонким криволинейным симметричным катодом// Взаимодействие тел в жидкости со свободными границами. Чебоксары: Чуваш, ун-т. -1987. - С. 73-77.

57. Миназетдинов Н.М. Учет кавитации при стационарном электрохимическом формообразовании.: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань. - 1994. - 15 с.

58. Насибулин В.Г. Краевые задачи гидромеханики, имеющие приложение в теории ЭХРО: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. -Казань. 1989. -14 с.

59. Насибулин В.Г. Расчет катод-инструмента для ЭХО // Комбинированные электроэрозионно-электрохимические методы размерной обработки металлов: Тез. докл. Всесоюзн. конф. Уфа: УАИ. -1983.-С.34-36.

60. Положий Г.Н. Обобщение теории аналитических функций комплексного переменного. Киев: Киев. Ун-т -1965. 442 с.

61. Полубаринова-Кочина П.Я. Нестационарное движение в теории фильтрации. ПММ. Т. 9. -1945. С. 79-90.

62. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука. -1981. - 800 с.

63. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987,286 с.

64. Суворова Г.С., Энгельгарт Г.Р., Зайдман Н.Г. Одномерное приближение в задачах электрохимического формообразования деталей машин // Электронная обработка материалов. №6,1982. С. 17-23.

65. Татаринов В.Н. Электрохимическое формообразование регулярных рельефов на деталях инструментальной оснастки: Автореф. дисс. канд. технич. наук. Тула. - 2004. - 19 с.

66. Терентьев А.Г. К линейной теории кавитационного обтекания препятствий // Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 1. -Чебоксары: ЧТУ. -1971. - С. 3-35.

67. Терентьев А.Г. Приложение обобщенных аналитических функций в гидродинамике // Проблемы гидродинамики больших скоростей. Чебоксары : изд.ЧГУ. 1993. С. 10-25.

68. Терентьев А.Г., Афанасьев К.Е. Численные методы в гидродинамике. Чебоксары, 1987. 90 с.

69. Тихонов A.C. Развитие гидродинамических методов расчета размерного электрохимического формообразования: Дисс. канд. физ.-мат. наук. -Казань. 1998. - 150 с.

70. Ураков А.Р. Автомодельное решение нестационарной задачи электрохимической обработки двугранным электродом инструментом // Математическое моделирование в решении научных и технических задач. Уфа: УГАТУ. 1994. С. 29-32.

71. Ураков А.Р. Автомодельное решение нестационарных задач электрохимической обработки: Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. -Уфа.- 1996.- 17 с.

72. Ураков А.Р. Применение гидродинамической аналогии для аналитического решения задач автомодельной электрохимическойобработки // Труды VI Всероссийской научной школы "Гидродинамика больших скоростей". Чебоксары : изд. Чуваш, ун-та. 1996. С. 185-189.

73. Ураков А.Р., Гуцунаев A.B. Метод численно-аналитического решения задач нестационарной размерной ЭХО // Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности 2000: Труды Междунар. науч. конф. Уфа: УГАТУ. 2000. С. 251-254.

74. Ураков А.Р., Гуцунаев A.B. Расчет формы поверхности при нестационарной электрохимической обработке проволочным электродом // Обозрение прикладной и промышленной математики. Том 8. Вып. 2. 2001. С. 700-701.

75. Ураков А.Р., Надольский И.М. Автомодельное решение задачи электрохимической обработки точечным ЭИ// Принятие решений в условиях неопределенности. Уфа.: УГАТУ. 1996. С. 78-81.

76. Федорова Г.И. Гипергеометрическая функция в решении задач об автомодельном электрохимическом формообразовании // Интеллектуальные системы управления и обработки информации: Материалы Всерос. Молодежи, научно техн. конф. Уфа, 2003г. - С. 75.

77. Федорова Г.И. Решение задачи об автомодельной обработке клиновидным электродом-инструментом с помощью методов теории функций комплексного переменного // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвузовский науч. сб. Уфа: УГАТУ. 2003. -С. 8794.

78. Федорова Г.И., Зиннатуллина O.P. Конформные отображения в решении задач об автомодельном электрохимическом формообразовании //

79. Снежинск и наука 2003: Сб. науч. трудов межд. науч. конф. -Снежинск: СГФТА, апрель 2003. -С. 80.

80. Федорова Г.И., Камашев А.В. Численно-аналитический метод решения задач об автомодельном электрохимическом формообразовании // Энергетические установки и термодинамика. Нижний Новгород: НГТУ. 2002. С. 104-115.

81. Филатов Е.И. Расчет ширины зазора при стационарной ЭХО с учетомнагрева электролита // Электрохим. и электрофиз. методы обработки материалов в авиастроении. Казань: Казанск. авиац. ин-т. - 1990. - С. 64-68.

82. Филатов Е.И. Упрощенная модель течения электролита в трехмерном зазоре при ЭХО // Труды семинара по краевым задачам Казань: Казанск. ун-т. -1993. - Вып.28. - С. 87-94.

83. Филатов Е.И. Учет влияния неравномерности поляризации электродов на формообразование при ЭХО // Тр. семин. по краевым задачам. -Казань: Казанск. ун-т. -1987. Вып.23. - С. 221-225.

84. Шишкин С.Е. Анодное формообразование двугранным катодом в пассивирующем электролите// Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Казанск. ун-т. -1984. - Вып. 21. - С. 240-245.

85. Шишкин С.Е. Гидромеханические методы решения плоских задач стационарного и предельного электрохимического формообразования с нелинейными граничными условиями Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Казань. - 1988. - 15 с.

86. Шкарбан А.Ю. Гидродинамика в ячейке при электрохимической размерной обработке // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского, Казань, Унипресс, 1999, с. 190-191.

87. Шкарбан А.Ю. Разработка методов расчета электрохимического формообразования и гидродинамики течения электролита в зазоре: Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань. - 2000. - 24 с.

88. Яненко Н.Н. Методы дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск. Наука, 1967,195 с.

89. Ястребов В.Н., Каримов А.Х. Математическое моделирование нестационарного процесса электрохимического скругления кромок деталей ГТД // Электрохимические и электрофизические методы обработки материалов. Вып. 1: Труды Казань, 1989. С.23-34.

90. Bortels L., Purcar М., Bart Van den Bossche, Deconinck J. A user-friendly simulation software tool for 3D ECM. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK. V. 3,2004. pp 486-492.

91. Christiansen S., Rasmussen H. Numerical solutions for two-dimensional annular electrochemical machining problems // J. Inst. Maths. Applies. 1976 №18, P. 295-307.

92. Craster R.V. Two related free boundary problems. Cambridge CB3 9EW, UK.

93. Cummings L. J., S. D. Howison, J. R. King, Two-dimensional Stokes and Hele Shaw flows with free surfaces, European J. Appl. Math. 10 (1999), 635-680.

94. Elliott С. M., Ockendon J. R. Weak and variational methods for moving boundary problem, Pitman, London, 1992.

95. Fedorova G.I., Zhitnikov V.P., Zinnatullina O.R. Simulation of Non-Stationary Processes of Electrochemical Machining //Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK. V. 149,2004. pp 398-403.

96. Gustafsson В., Vasil'ev A. Conformal and Potential Analysis in Hele-Shaw cells. Stockholm-Valparaiso. 2004. -189 pp. www.math.kth.se/~gbjorn/

97. Gutsunaev A.V., Urakov A.R. Hydrodynamic models in investigation on nonstationary electrochemical forming // High speed hydrodynamics (HSH -ГБС 2002): Proceedings. June 16-23,2002. Cheboksary, Russia, pp. 439-442.

98. Howison S.D. and J.R. King, Explicit solutions to six free boundary problems in fluid flow and diffusion. IMA J. Appl. Math. 42 (1989) 155-175.

99. Howison S.D., Ockendon J.R. and Lacey A.A. Singularity development in moving boundary problems. Q. J. Mech. Appl. Math. 38 (1985) 343-360.

100. Howison S.D., Complex variable methods in Hele-Shaw moving boundary problems. Eur. J. Appl. Math. 3 (1992) 209-224.

101. Howison S.D., King J.R. 1989 Explicit solutions to six free-boundary problems in fluid flow and diffusion. IMA J. Appl. Math 42,155-75.

102. King J. R., Development of singularities in some moving boundary problems, Euro. J. Appl. Math. 6 (1995), No. 5,491 507.

103. Konig W., Humbus H.-J. Mathematical Model for the Calculation of the Contour of the Anode in electrochemical Machining // Cirp. Annals. 1977. -V. 25. - No 1. - P. 83-87.

104. Kozak J., Bodzinski A., Engelgart G.R., Davidov A.D. Mathematical Moddeling of Electrochemical Machining // Proceedings of International Symposium for Electromachining (ISEM-9).- Nagoya. -1989. P. 135-138.

105. McGeogh J.A and H. Rasmussen, J. Inst.Maths Applies 13 (1974) 455-469.

106. McGeough J.A., Principles of Electrochemical Machining. London: Chapman and Hall. 1974. -290 p.

107. Pandey J. Finite Element Approach to the two-dimensional Analysis of ECM // Precis. Eng. -1980. V. 2. - No 1. - P. 23-28.

108. Polubarinova-Kochina P.Ya. Theory of Groundwater Movement. Princeton: Princeton Univ. Press. -1962. 350 pp.

109. Purcar M., Bortels L., Bart Van den Bossche, Deconinck J. 3D electrochemical machining computer simulations. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier. V. 3, 2004. pp. 472-478.

110. Richardson S. Hele-Shaw flows with a free boundary produced by the injection of fluid into a narrow channel, J. Fluid Mech., 56 (1972), no. 4, 609618.

111. Richardson S. On the classification of solutions to the zero surface tension model for Hele-Shaw free boundary flows. Quart. Appl. Math., 55 (1997), no. 2,313-319.

112. Saffman P. G. Taylor G. I. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid, Proc. Royal Soc. London, Ser. A, 245 (1958), no. 281,312- 329.

113. Saffman P. G., Taylor G. I. A note on the motion of bubbles in a Hele-Shaw cell and porous medium, Quart. J. Mech. Appl. Math. 17 (1959), no. 3, 265 -279.

114. Sherykhalina N.M., Zhitnikov V.P. Application of extrapolation methods of numerical results for improvement of hydrodynamics problem solution // Computational Euid Dynamics Journ. 2002, V. 11, N 2, pp. 155-160.

115. Terentiev A.G., Zhitnikov V.P., Dimitrieva N.A. An Application of Analytic Functions to Axisymmetric Flow Problems // Applied Mathematical Modelling, 1997,21(2), P. 91-96.

116. Urakov A.R., Gutsunaev A.V. Numerical method of on nonstationary electrochemical machining problems solution // Proceedings of the 5-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT'2003, Vol. 2, Ufa, Russia, 2003. p. 43.

117. Volgin V. M., Davydov A. D. Modeling of multistage electrochemical shaping. // Journal of Materials Processing Technology. Elsevier, UK. V. 3, 2004.-pp 466-471.

118. West A., Madore C., Moltosz M., Landolt D. Shape changes during through-mask electrochemical micromachining of thin metal films. // J. Electrochem. Soc., 1992. №2,139. P. 499-506

119. Zhitnikov V.P., Rosenman A.A., Zinnatullina O.R. Software for Calculation of Simulation Problems // Proceedings of the 6-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT'2004, Vol. 1, Budapest, Hungary, 2004. pp. 228-230.

120. Zhitnikov V.P., Fedorova G.I., Zinnatullina O.R. Simulation of non-stationary processes of electrochemical machining // Journal of Materials Processing Tech., 2004, Vol. 149/1-3. Elsevier, pp. 398-403.

121. Житников В.П., Зиннатуллина O.P., Федорова Г.И. Применение экстраполяции для оценки погрешности и уточнения численного решения нестационарных задач электрохимического формообразования. Вычислительные технологии. Т. 11,2006. с. 82-93.