Влияние переменных силовых полей на нелинейные конвективные режимы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

и1^

На правах рукописи

Демин Виталий Анатольевич

ВЛИЯНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ КОНВЕКТИВНЫЕ РЕЖИМЫ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Пермь-2009

- 3 ДЕК 2009

003486985

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Пермского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор, Д.В. Любимов

Официальные оппоненты:

1. доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Бердников Владимир Степанович

2. доктор физико-математических наук, профессор Иванова Алевтина Алексеевна

3. доктор физико-математических наук, доцент Смородин Борис Леонидович

Ведущая организация: Томский политехнический университет (г. Томск)

Защита состоится 22 декабря 2009 г. в 15й в зале ученого совета на заседании диссертационного совета Д 212.189.06 в Пермском государственном университете. 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета

Автореферат разослан . М. .^г^^Ь... 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.Г. Гилев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы определяется необходимостью изучения влияния переменных силовых попей различной природы на характеристики тепло- и массопереноса в однородных и многокомпонентных сплошных средах. В этом случае в качестве причин, вызывающих конвекцию, с одной стороны, могут выступать объемные силы, имеющие термогравитационную, термоконцентрационную или термокапиллярную природу, а с другой стороны, имеет место дополнительная сила, оказывающая чаще всего ненулевое в среднем действие, которая возникает вследствие наложения на систему внешнего переменного силового поля. Детальное изучение процессов, являющихся результатом взаимодействия различных механизмов возбуждения конвекции, может содействовать развитию методов управления комбинированными конвективными течениями и теплопереносом в земных условиях и невесомости, что является важной задачей как для фундаментальной науки, так и ее различных приложений. Результаты научных исследований, полученные в данной области, мо1ут способствовать объяснению природы различных гидродинамических явлений, оптимизации сложных технологических процессов, созданию и совершенствованию новых технических устройств. Цель работы:

• описание влияния переменных инерционных воздействий на конвективные течения однородных и многокомпонентных жидкостей при наличии различных механизмов неустойчивости;

• поиск новых сценариев усложнения режимов тепловой конвекции при переходе от ламинарных течений к хаотическим в простых гидродинамических системах;

• разработка методики и расчет спектров резонансных частот гидродинамических систем со свободными поверхностями;

• выяснение закономерностей конвективных течений в полупроводниковых расплавах и разработка методов управления процессами перераспределения примесей в них с помощью переменных силовых полей;

• теоретическое обоснование возможности создания конвективного датчика на основе ячейки Хеле — Шоу, предназначенного для регистрации внешних периодических и ударных воздействий;

• объяснение закономерностей термодиффузионного перераспределения примесей при движении бинарных жидкостей по узким каналам (конвективная петля и ячейка Хеле - Шоу) и описание воздействия на эти процессы высокочастотных вибраций.

Научная новизна диссертации заключается в том, что в ней предпринята попытка рассмотрения с единых позиций осредненных процессов, происходящих в гидродинамических системах в результате воздействия на них высо-

кочастотных переменных силовых полей различной природы. В качестве новых выделим следующие результаты:

- впервые проанализировано влияние высокочастотных вибраций на устойчивость неоднородно нагретого наклонного слоя жидкости относительно нормальных трехмерных возмущений. Результаты расчетов позволили представить картину осредненного течения в наклонном слое вблизи порога механического квазиравновесия при малых значениях надкритично-сти;

- с помощью различных методик проведено исследование конечно-амплитудных вибрационно-конвективных течений в ячейке Хеле - Шоу. Определены характеристики и получены карты устойчивости различных стационарных и нестационарных конвективных течений;

- выполнен анализ сценариев перехода к хаотическим режимам. Показано, что неконтролируемый переход к турбулентности может сильно изменить энергозатраты при реализации необходимых выходных параметров того или иного технологического процесса;

- впервые продемонстрировано, что при наличии большого гидродинамического сопротивления, установление конвекции в тонких слоях и каналах происходит очень длительное время, часто через нежелательные переходные режимы, учет которых в различных производственных процессах может оказаться чрезвычайно важным.

Часть вопросов рассмотренных в диссертации относятся к области производства материалов с заданными свойствами, в связи с чем, были проанализированы свободные колебания капиллярного моста, равновесная форма которого определяется силами поверхностного натяжения и статическим полем тяжести.

- В соответствии с условиями эксперимента в невязком приближении найдены значения собственных частот капиллярного моста, принадлежащие высокочастотной области спектра для различных значений управляющих параметров;

- предложены рекомендации использования результатов расчетов для дальнейшего полномасштабного экспериментального и теоретического исследования, связанного с попыткой управления с помощью высокочастотных вибраций процессом выращивания кристаллов по методу жидкой зоны.

Для управления конвективными течениями в полупроводниковых расплавах при выращивании кристаллов часто используют электрические и магнитные поля.

Показано, что вращающееся магнитное поле - это еще одни пример переменного силового поля, с помощью которого можно эффективно управлять конвекцией, воздействуя на теплоперенос и распределение примеси в расплаве, и, как следствие, в кристалле, что является важной задачей материаловедения.

- Для расплавленной цилиндрической жидкой зоны, находящейся в условиях, когда поток тепла на свободной поверхности задается кольцевым нагревателем, выявлен эффект возникновения термокапиллярной конвекции в форме двух тороидальных вихрей, симметрия которых слегка нарушена вследствие движения фронта кристаллизации;

- показано, что постоянное по величине магнитное поле, вращающееся в плоскости перпендикулярной оси симметрии жидкой зоны, приводит к уменьшению интенсивности движения в меридиональной плоскости, при этом появляется осесимметричное течение в азимутальном сечении в направлении вращения магнитного поля;

- предложено использовать вращающееся магнитное поле в различных технологических процессах для бесконтактного перемешивания расплавов, и применять его для сглаживания азимутальных неоднородностей концентрации примеси в полупроводниковых материалах.

Впервые изучено влияние коротких переменных инерционных сигналов на конвективные течения в ячейке Хеле — Шоу, подогреваемой снизу точечным переменным источником тепла.

- По результатам расчетов формы течений и температурных полей в случае произвольного направления оси вибраций даны рекомендации по проектированию прибора, способного регистрировать и анализировать сильные воздействия сейсмического происхождения.

- Разработана теоретическая методика, позволяющая измерять частоту, амплитуду и наклон оси вибрационного сигнала.

- На основе численного моделирования выполнен подбор рабочей жидкости, определены оптимальные значения геометрических параметров полости и смоделированы наиболее приемлемые условия нагрева конвективной камеры датчика.

Вклад в развитие другого направления механики жидкости и газа - гидродинамики многофазных сред, заключается в объяснении закономерностей движения бинарных смесей в тонких каналах с границами высокой теплопроводности. Такими полостями являются связанные каналы и ячейка Хеле Шоу.

- Теоретически показано, что в отличие от однородных жидкостей, при движении смесей с положительной термодиффузией в связанных каналах конечной высоты наблюдается жесткое возбуждение конвекции и имеют место специфические колебательные течения "перебросового" типа.

- Предложен механизм, объясняющий наблюдаемые явления, подтвержденный численным и аналитическим решениями задачи.

- Получены амплитудные кривые, а также поля скорости, температуры и концентрации примеси в каналах, иллюстрирующие конкуренцию термодиффузионного и термогравитационного механизмов конвекции.

- Проведено сравнение с опытными данными, выявлено хорошее качественное и количественное согласие теории и эксперимента.

- Выяснены особенности влияния вибраций на стационарные и колебательные конвективные течения.

- Рассмотрена свободная и термовибрационная конвекция бинарной смеси в ячейке Хеле - Шоу. Проведена аналогия между явлениями, наблюдавшимися в связанных каналах и ячейке Хеле - Шоу.

Автором выносятся на защиту:

• результаты численного исследования устойчивости механического квазиравновесия наклонного слоя жидкости относительно пространственных возмущений в случае действия статического гравитационного и высокочастотного вибрационного полей;

• методика расчета и данные в виде таблиц со значениями резонансных частот капиллярного моста в "высокочастотной" области спектра;

• результаты численного моделирования влияния вращающегося магнитного поля на термокапиллярную конвекцию и распределение примеси в жидкой зоне с учетом движения фронта кристаллизации;

• физические модели и результаты расчета, полученные на их основе, описывающие влияние высокочастотных вибраций на тепловую конвекцию в ячейке Хеле - Шоу;

• методика измерений внешних инерционных ускорений с помощью конвективного датчика, созданного на основе ячейки Хеле — Шоу,

• теоретическое описание стационарных течений и нелинейных колебательных режимов тепловой конвекции бинарной смеси в узких вертикальных каналах с границами высокой теплопроводности (конвективная петля и ячейка Хеле - Шоу);

• результаты аналитического и численного исследования влияния высокочастотных вибраций на процессы перераспределения примеси в конвективной петле и ячейке Хеле - Шоу.

Практическая значимость. Результаты, полученные в данной диссертации, могут способствовать развитию методов управления вибрационно-конвеьстивными и другими комбинированными течениями однородных и многокомпонентных жидкостей, контролировать процессы тепло- и массо-переноса в различных технологических процессах как в земных условиях, так и в невесомости. В связи с этим часть исследований по тематике диссертации выполнялась как хоздоговорная работа под названием "Теоретическое изучение условий для квазиравновесных состояний в плоском наклонном слое в присутствии статического гравитационного поля и высокочастотных вибраций" в рамках программы "Наука НАСА" ТМ 18. Некоторые материалы по наклонному слою жидкости, представленные в диссертации, опубликованы в монографии Г.З. Гершуни и Д.В. Любимова1 и были получены при

1 Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal vibrational convection. Wiley, 1998. - 358 p.

частичной финансовой поддержке со стороны РКА-НАСА (контракт 920/185208/96).

Изучение влияния вращающегося магнитного поля на термокапшшяр-ную конвекцию и распределение примеси в жидкой зоне, а также исследования, касающиеся свободных трехмерных колебаний капиллярного моста в поле тяжести, проводились в соответствии с Международными проектами: 1) DMCO-COPERMCUS (код проекта 977120 - HPC-MFM-AC) "High performance Computing in multiphase fluid mechanics; Active control of systems with liquid/liquid or liquid/gas interfaces", 2) INTAS-2000-0617 "New ways of active control of flows in liquid systems with interfaces — applications to crystal growth, for zéro gravity or for terrestrial conditions".

Диссертация носит теоретический характер, однако, существенная ее часть выполнялась с целью описания конкретных экспериментов. Эти исследования были поддержаны грантом РФФИ "Экспериментальное и теоретическое исследование термовибрационных конвективных течений в ячейке Хеле - Шоу" (код проекта - Урал-2004,04-02-96026). Результаты расчетов, связанные с разработкой конвективного датчика на основе ячейки Хеле -Шоу, который предназначен для регистрации и анализа внешних инерционных воздействий, имеют в большей степени прикладной характер. Проведение этих исследований было поддержано грантом РФФИ (код проекта р_офи, 07-08-97620).

С практической точки зрения не менее значимыми являются 6-8 главы, посвященные процессам тепло- и массопереноса в многокомпонентных жидкостях при их движении в узких каналах с границами высокой теплопроводности. Среди прочих выводов можно отметить возможность использования связанных каналов в качестве установки для разделения смесей на компоненты. Эта часть исследований проводилась в рамках гранта РФФИ "Тепловая конвекция бинарных смесей при нормальной термодиффузии" (код проекта - Урал-2007, № 07-08-96035).

Материалы диссертационной работы также использовались при чтении спецкурса "Ударные волны и акустические явления" для магистров направления "Физика акустических и волновых гидродинамических процессов" физического факультета Пермского госуниверситета.

Достоверность материалов, представленных в диссертации, подтверждается их соответствием уже известным результатам в общих областях значений параметров, качественным и количественным совпадением результатов, полученных различными численными и аналитическими приближенными методами, хорошим согласием приближенных и точных решений (если они могли быть получены). Помимо этого, подавляющая часть материалов диссертации (3-6 главы), в той или иной степени сопоставлялась с экспериментами. Сравнение показывает, что результаты теоретических расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

■ Международные и всероссийские семинары по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей; Новосибирск (1996, 1997, 1998, 1999,2000,2001)

■ Совместный X Европейский и V Всероссийский симпозиум по физическим наукам в области микрогравитации; Санкт-Петербург (1997)

■ Международные и всероссийские зимние школы по механике сплошных сред; Пермь (1997,2003,2005,2007,2009)

■ Всероссийские конференции по космическому материаловедению; Калуга (1999, 2007)

■ Всероссийские съезды по теоретической и прикладной механике; Пермь (2001), Нижний Новгород (2006)

• Всероссийская конференция "Теория и приложения задач со свободными границами"; Бийск (2002)

■ Российские национальные конференции по теплообмену; Москва (2002, 2006)

■ Международная конференция "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность"; Москва (2002)

■ International Summer School "Advanced Problems in Mechanics"; St. Petersburg, Repino (2002,2003,2004,2008)

■ International Conference "Advanced Problems in Thermal Convection"; Perm, Russia (2003)

■ Международная научно-техническая конференция "Прикладная синерге-тика-И"; Уфа (2004)

■ Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике"; Новосибирск (2005)

■ International Congress "Experiments in Space and Beyond"; Brüssels, Belgium (2007)

■ Международный форум по тепло- и массообмену; Минск, Беларусь (2008)

■ International Meeting on Thermodiffusion; Bonn, Germany (2008)

■ International Conference on Computational Structures Technology; Athens, Greece (2008)

■ The Sixteenth International Congress on Sound and Vibration; Krakow, Poland (2009).

Кроме того, результаты работы неоднократно докладывались на Пермском городском гидродинамическом семинаре под руководством проф. Г,3. Гер-шуни (1994, 1995, 1996, 1997), и Д.В. Любимова (2002, 2004, 2005, 2006, 2008, 2009), а также в Институте механики сплошных сред УрО РАН на семинаре под руководством проф. А.Ф. Пшеничникова (2005). Публикации и личный вклад автора. Результаты, представленные в диссертации, изложены в 93 различных печатных работах, в том числе, в 16 статьях, опубликованных в реферируемых журналах, учитываемых ВАК при за-

щитах докторских диссертаций. Подавляющая часть исследований [13-16] и [20-37] представляет собой описание реально наблюдаемых в экспериментах явлений. Сами эксперименты выполнялись соавторами, И.А. Бабушкиным или А.Ф. Глуховым. Идея проведения некоторых экспериментов принадлежит Г.Ф. Путину. Вся теоретическая часть в этих работах принадлежит автору диссертации. Работы [4], [5], [8], [10] были сделаны без соавторов, [17-19] подготовлены совместно со студентами, выполнявшими дипломные и курсовые работы. В теоретических работах [1-3], [6] и [11, 12] автор участвовал в постановке задач, выполнял расчеты и проводил обобщение результатов. Структура и объем. Диссертация состоит из введения, восьми глав (включая обзор литературы) и заключения. Общий объем диссертации - 291 страница; работа имеет 96 рисунков. Список литературы насчитывает 202 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава состоит из введения, в котором описывается тематика диссертации, а также даются краткие комментарии к ее содержанию, и литературного обзора, который по своей структуре состоит из двух частей. В первой части обсуждаются работы, посвященные влиянию переменных силовых полей на различные гидродинамические системы, в том числе, связанные с модуляцией параметра. Вторая часть обзора посвящается выводу осреднен-ных уравнений термовибрационной конвекции2'3, обсуждению возможности существования специфического состояния, называемого механическим квазиравновесием и постановке линейной задачи его устойчивости относительно малых нормальных возмущений. Уравнения выводятся в приближении малых амплитуд и высоких частот, так что период колебаний г удовлетворяет следующим условиям: г «I?/г/,х (£ - характерный размер полости; V, х ~ коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности). Дополнительно предполагается, что характерные времена колебаний много больше £/с (с — скорость звука в среде). Это позволяет считать жидкость несжимаемой. В безразмерном виде система осредненных уравнений, описывающая термовибрационную конвекцию однородной несжимаемой жидкости, и граничные условия имеют вид:

—+—= -Ур + ДЗ + 11аТ/ + Рац(шУ)(Тп-й); (1) дЬ Рг

+ = ДТ, <Иу« = 0, (й]г = 0); (2)

&уй> = 0, юИи = УТхп, (ги„|г = 0). (3)

2 Зеньковская С.М., Симоаенко И.Б. // Изв. АН СССР, МЖГ, 1966. №5, с. 51-55.

3 Свмовснко И.Б. // Мат. сборник, 1972. Т. 87. Вып. 2, с. 236-253.

Здесь v, Т, р - соответственно, осредненные поля скорости, температуры и давления. В уравнения входит дополнительная "медленная" переменная w, являющаяся, по существу, амплитудой пульсационной компоненты скорости. В уравнениях у - единичный вектор, ориентированный вертикально вверх; п - единичный вектор, характеризующий направление оси вибраций. Система уравнений содержит три безразмерных параметра: Ra, Рг - числа Рэлея и Прандтля, Rav - вибрационный аналог числа Рэлея4:

Ra = gßAdA!irx, Rav =(ßf2bAd2)2/lisx, Pr = u/X- (4)

Здесь ß — коэффициент теплового расширения; b — амплитуда вибраций; d и А - характерные размер полости и температурный градиент; g - величина ускорения свободного падения. На границах полости осредненная скорость V удовлетворяет условию прилипания. Векторное поле w с учетом "невязкого" характера пульсаций удовлетворяет условию непротекания, Уравнения и граничные условия (1) - (3) описывают "медленные" по сравнению с осцшг-ляциями конвективные движения в подвергающейся высокочастотным вибрациям замкнутой полости. При определенных условиях возможна ситуация, когда осредненная скорость равна нулю, однако, пульсации, в общем случае, имеются. Это состояние называется квазиравновесием.

Во второй главе с помощью уравнений термовибрационной конвекции (1) - (3) анализируются условия существования механического квазиравновесия наклонного слоя жидкости при подогреве снизу и действии высокочастотных вибраций [1]; см. рис. 1, здесь a — угол наклона слоя. Далее в случае вертикальных и поперечных слою вибраций численно решаются задачи устойчивости этого состояния относительно нормальных пространственных возмущений вида ехр{- Ai + куу + k2z}, где А — декремент, ky,kz - волновые

числа по осям у я z.

Спектральные амплитудные задачи для двух фиксированных направлений оси вибраций решались стандартными методами и позволили определить критические характеристики: числа Рэлея и волновые числа, соответствующие наиболее опасным модам. В длинноволновом пределе в случае плоских и спиральпых возмущений задача решалась аналитически [2] с помощью метода малого параметра (разложения производились в ряды по волновому числу, которое в длинноволновом пределе

4 Mialdun A., Ryzhkov LI., Melnikov D.E., Shevtsova V. // Phys. Rev. Letters, 101, 084501,2008.

lYУ Ягй

ЙТЩ

Рис. X. Развитие плоских возмущений в наклонном слое жидкости

играло роль малого параметра). В области произвольных по величине волновых чисел дифференциальные уравнения интегрировались численно методом Рунге-Кутга-Фельдберга с автоматическим выбором шага.

вибрациях Rav =1000 речных вибрациях Rav = 300

Оказалось, что при подогреве снизу при поперечных слою высокочастотных вибрациях наиболее опасными всегда являются спиральные возмущения [35]. В случае малых углов наклона порог конвекции определяют длинноволновые, а при достаточно больших углах наклона ячеистые спиральные возмущения. Критические параметры неустойчивости представлены на рис. 2 для разных значений параметра 6-~к2/к, где к2 = ку + к%. Параметр 6 характеризует ориентацию волнового вектора в плоскости (y,z) и меняется в пределах от 0 до 1 (соответственно спиральные и плоские возмущения). Номера кривых 1 - 6 на рис. 2 соответствуют <5 = 1, 0.95, 0.9, 0.85, 0.8, 0. В случае вертикальных вибраций граница устойчивости определяется пространственными возмущениями, форма которых более сложным образом зависит от угла наклона слоя и вибрационного числа Рэлея [6-8]. На рис. 3 изображены графики зависимости критического числа Рэлея Ram от вибрационного числа Рэлея Kav минимизированные по S. Видно, что критические числа Рэлея растут с увеличением вибрационного числа Рэлея, т.е. вибрации стабилизируют квазиравновесие. В случае малых углов наклона слоя (рис. За) порог устойчивости определяется пространственными длинноволновыми возмущениями, при этом минимум границ устойчивости находится в области 6 ~ 0.9. Наиболее опасными являются возмущения, волновой вектор которых близок по направлению к оси z. Этот тип возмущений, напоминающий по форме плоские возмущения, был назван "косыми валами".

250

о

О 1000 2000 о 1000 2000

Рис. За. Зависимости Иаш от для Рис. 36. Зависимости Наш от Яау для

малых углов наклона слоя; кривые 1-3 больших углов наклона слоя; кривые 1-5

соответствуют а = 15°, 35°, 55° соответствуют а = 75°, 78°, 80°, 82°, 85°

В случае больших углов наклона (рис. 36) картина устойчивости становится более сложной. Для а - 15°, 78° и 80° критические числа Рэлея при малых Пау соответствуют спиральным ячеистым возмущениям. С ростом вибрационного числа Рэлея неустойчивость приобретает длинноволновый характер. При а = 82°, 85° порог устойчивости определяется только спиральными ячеистыми возмущениями.

Третья глава. Помимо необходимости изучения особенностей тепломас-сопереноса в разных гидродинамических системах, подвергающихся прямому вибрационному воздействию, а также потребности в расчетах формы течений и исследования их устойчивости, огромный интерес с точки зрения развития различных технологий представляют задачи, постановка которых непосредственно не подразумевает наличия вынужденных вибраций. Здесь имеются в виду задачи, связанные с описанием степени восприимчивости различных гидродинамических систем по отношению к тому или иному вибрационному воздействию. В частности, практическую значимость имеет проблема нахождения спектра резонансных частот разных гидродинамических систем, характеризующихся наличием свободной поверхности.

Далее приводятся результаты расчета нижних уровней спектра собственных частот капиллярного моста (рис. 4), находящегося в статическом поле тяжести. Равновесная форма капиллярного моста вычислялась с помощью программного модуля, включающего применение метода численного интегрирования Рунге-Кутта-Фельдберга 4-5 порядка точности совместно с процедурой двумерной пристрелки. Для расчета резонансных частот применялся метод разложения собственных функций в ряды Фурье с последующим применением обобщенной процедуры Галеркина.

Рис. 4. Капиллярный мост в поле тяжести

/ »1 • 2 ■ 3 N

Рис. 5. Зависимость частоты в> от номера уровня для разных типов возмущений: 1 - к = О, 2 - к = I, 3 - к = 2 (к - азимутальное волновое число)

В результате были вычислены 25 нижних уровней резонансных частот, соответствующих осесимметричным и трехмерным возмущениям в случае произвольных значений числа Бонда [9,10]. Расчеты выполнялись для набора параметров, характерного для расплавов полупроводников: L = 0.8 см, R = 0.4 см, а = 720 г/с2 (сг - коэффициент поверхностного натяжения), р -- 2.53 г/см3 (р - плотность). На рис. 5 приведены одиннадцать нижних уровней безразмерных значений собственных частот. С ростом номера уровня кривизна поверхности капиллярного моста становится несущественной, и значения собственных частот для разных типов возмущений сливаются.

Знание резонансных частот позволяет избежать нежелательных последствий, являющихся результатом внешнего вибрационного воздействия или, наоборот, дает возможность воздействовать на гидродинамическую систему с помощью внешнего высокочастотного силового поля. Результаты данных расчетов, были использованы в ходе полномасштабного экспериментального и теоретического исследования5, связанного с попыткой управления с помощью высокочастотных вибраций процессом выращивания кристаллов по методу жидкой зоны.

Четвертая глава содержит описание влияния вращающегося магнитного поля на термокапиллярную конвекцию в цилиндрической жидкой зоне (рис. 6), представляющей собой полупроводниковый расплав с некоторым содержанием примеси. Магнитное поле вращается в плоскости, которая перпендикулярна оси симметрии жидкой зоны и кристалла. Как будет показано

5 Dold Р., Benz K.W., Croll A., Roux В., Lyubimov D.V., Lyubimora Т.Р., Scuridin R. //

Acta Astronáutica, 2001. V. 48, No 5-12, pp. 639-646.

кристалл

I

01— "расплав"""

кристалл

Я

-н

-н

ниже, с помощью такого переменного силового поля можно эффективно управлять как конвективными движениями, так и распределением примеси в расплаве [11, 12]. Свободная поверхность жидкой зоны неоднородно нагревается так, что поле температуры на свободной поверхности можно моделировать гауссовым распределением

Г,=Г0ехр{-*7«*1},

где (I - характерная длина, определяющаяся шириной нагревателя. Такое распределение температуры на Рис. 6. Жидкая зона во вращающемся свободной поверхности вызывает магаитном яоле термокапиллярное течение в меридио-

нальном сечении (рис. 7а). Фронты плавления и кристаллизации синхронно движутся в направлении оси г, что нарушает симметрию конвективного течения относительно отражения в плоскости г = 0. Стандартно обезразмерен-ные уравнения тепловой конвекции и граничные условия, дают набор управляющих параметров, в который, помимо числа Прандтля, входят числа Ма-рангони, Био, Шмидта и магнитное число Тэйлора:

Ма = 7<ад/т)х, В, = Ь.Щк, Эс = Тагп = аОВ20В*/1ру2.

Здесь О - характерная разность температур; В, г/, к — коэффициенты диффузии, динамической вязкости и теплопроводности. Постоянная 7 характеризует зависимость коэффициента поверхностного натяжения а от температуры: 7 = -йа / с1Т.

0.5 0.4' 0.3 0.2 0.1 0.0■ •0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.6.

О) /0

ущ

щ

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.0 0.9 1.0

.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Рис. 7. Изолинии функции тока (а) и углового момента (б)

Расчеты выполнялись методом конечных разностей по неявной схеме на равномерной вдоль координат гиг сетке 30x30. Безразмерные параметры соответствуют реальным значениям материальных хонстант полупроводниковых расплавов: В{= 3, Рг = 0.02, 8с = 10, Ма = 30 + 120, Тат = 0 + 1000. Диапазон значений для магнитного числа Тэйлора определяется требованиями эксперимента, согласно которым круговая частота меняется в пределах П - 0 + 300 1/с.

Рис 8. Поле концентрации (а) и трафики зависимости концентрации примеси в первом узле вблизи фронта кристаллизации (б)

Другие параметры (амплитуда индукции магнитного поля, радиус жидкой зоны, электропроводность расплава) равны:

£о=10-2 Т, Д = 2 ■ 10-2 м, а = 1.5 • 106 (Ом-м)Л

С ростом магнитного числа Тэйлора угловой момент жидкости монотонно увеличивается: магнитное поле увлекает за собой проводящую жидкость в азимутальном направлении (рис. 16). Таким образом, вращающееся магнитное поле может использоваться в различных технологических процессах для бесконтактного перемешивания расплавов. В зависимости от величины равновесного коэффициента распределения к примесь в процессе кристаллизации либо оттесняется в расплав (к < 1), либо захватывается твердым массивом (&>1). Поле концентрации примеси в меридиональном сечении жидкой зоны для скорости протяжки V — 0.6 и коэффициента сегрегации к = 0.\ изображено на рис. 8а. В распределении примеси рядом с фронтом кристаллизации имеются радиальные неоднородности, начичие которых неизбежно приводит к образованию радиальной макросегрегации компонентов в получаемом полупроводниковом материале. Вращающееся магнитное поле ослабляет течение в меридиональной плоскости, поэтому концентрация примеси вблизи фронта кристаллизации на расстояниях вплоть до половины

радиуса жидкой зоны незначительно уменьшается (на 5 + 10 %) с ростом магнитного числа Тэйлора (рис. 86). Видно, что для сглаживания радиальных неоднородностей необходимы достаточно большие значения магнитного числа Тэйлора (номера кривых 1-4 на рис. 8 б соответствуют Таю= 0, 103, 2-Ю3, З-Ю3).

Пятая глава. В типичных для лабораторных экспериментов конвективных системах, таких как горизонтальный слой, кубическая или шаровая полость устанавливающееся течение имеет характерную форму и определенное поведение во времени. Эти широко известные течения тщательно изучены, и им посвящено большое количество работ, результаты которых обобщены во многих отечественных и зарубежных монографиях6. В реже используемых для научных исследований конвективных полостях, например, таких как ячейка Хеле — Шоу (рис. 9), характеристики типичных течений изучены не так детально. Эта полость имеет форму прямоугольного параллелепипеда, одна из горизонтальных сторон которого много меньше двух других. В подогреваемой снизу вертикальной ячейке Хеле - Шоу возникают течения в плоскости широких граней, что позволяет в расчетах использовать приближение плоских траекторий. Несмотря на то, что при подогреве снизу граница устойчивости механического равновесия определяется монотонными возмущениями, область колебательных режимов лежит вблизи порога. В результате практически сразу при переходе в надкритическую область возникают колебательные течения, которые в дальнейшем задают тон в широком диапазоне управляющих параметров [13, 14].

На рис. 10. представлены характерные стационарные и колебательные течения в ячейке Хеле - Шоу с широкими гранями низкой теплопроводности: 2 и ЗЪ - одно- и двухвихревое стационарные течения, 4 — пульсацион-ный режим, 5 - автоколебательное четырехвихревое течение с перезамыканием диагональных вихрей, За — переходная стадия от одно- к двухвихрево-му течению, 5а - неустойчивый колебательный четырехвихревой режим с пульсациями нижних вихрей [15]. Этот переходный режим через 5-10 колебаний всегда перестраивается в устойчивое четырехвихревое течение с перезамыканием диагональных вихрей.

Пульсационный режим 4 (рис. 10) до настоящего времени специально в деталях не изучался, несмотря на то, что с его различными модификациями

4 Гершуни Г.З., Жуховицкпй Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости.

М.: Наука, 1972.-392 с.

+1

I УГ

л\

к

Рис. 9. Ячейка Хеле - Шоу

приходилось сталкиваться при исследовании тепловой конвекции в ячейке Хеле - Шоу7. На начальной стадии в нижнем правом углу полости на фоне одновихревого течения рождается небольшой вихрь противоположной закрутки.

Рис. 10. Последовательность режимов в ячейке Хеле - Шоу с размерами 2:20:40; расчет методом конечных разностей и эксперимент на трансформаторном масле

Этот вихрь со временем растет и, взаимодействуя с основным течением, в некоторый момент времени поглощается им. Через некоторый промежуток времени этот процесс повторяется, иными словами имеют место пульсации нижнего вихря на фоне основног о одновихревого течения. Расчеты показывают, что подобные пульсации угловых вихрей могут наблюдаться в длинной полости (рис. 11) на фоне практически монотонного двухвихревого течения в центре. В силу необычайной устойчивости пространственная картина и временное поведение этого режима практически не меняются, даже когда он становится стохастическим.

В экспериментах с трансформаторным маслом колебательный четы-рехвихревой режим с перезамыканием вихрей (рис. 10, 5Ь) имел необычную структуру, а именно, отчетливо наблюдалась несимметричность верхних и

Рис. 11. Пульсационный режим в полости с соотношением сторон 2:40:20

7 Путин Г.Ф., Ткачева Е.А. // Изв. АН СССР, МЖГ, № 1,1979. с. 3-

нижних вихрей. Для объяснения нарушения симметрии между верхними и нижними вихрями были сделаны оценки, которые показали, что неоднородности нагрева при реализации этого режима уже настолько велики, что пренебрегать зависимостью вязкости от температуры в случае трансформаторного масла уже нельзя. Так, для гептана этот эффект слабее приблизительно в 50 раз.

Рис. 12. Нарушение симметрии "верх - низ" [37]

Рис. 13. Течение с нарушением "лево-правой" симметрии; а - эксперимент, б - теория

Численное моделирование, выполненное методом конечных разностей, показало, что при учете зависимости вязкости жидкости от температуры у рассматриваемого течения, действительно, нарушается симметрия "верх -низ". В ходе расчетов предполагалось, что зависимость вязкости от температуры определяется формулой — (Г); где £ - температурный коэффициент вязкости (ему соответствует безразмерный параметр к = (0). Результаты расчета четырехвихревого течения с перезамыканием вихрей при нарушении симметрии "верх - низ", представленные на рис. 12, были получены для следующего набора безразмерных параметров: Рг = 30, В,а = 1.8, к, = 0.02. Видно, что имеется хорошее согласие с экспериментом.

Кроме того, при определенных условиях также может наблюдаться че-тырехвихревое течение с перезамыканием вихрей, характеризующееся спонтанным нарушением "лево - правой" симметрии (рис. 13). Эффект нарушения "лево - правой" симметрии у данного течения был открыт теоретически (рис. 136) в случае воздействия на полость высокочастотных горизонтальных вибраций [16]. Рассматривались вибрации, продольные широким граням. Было обнаружено, что с ростом вибрационного числа Рэлея при 11а ~ 0.36 и Ла-у ~ 1.1 вертикальная ось симметрии сдвигается по х, так что картина расположения вихрей перестает подчиняться инверсионному преобразованию симметрии. Диагонально противоположные вихри имеют разную интенсивность и размеры. Для того чтобы достигнуть в эксперименте таких больших

значений вибрационного числа Рэлея пришлось выполнить эксперименты на гептане. У гептана конвективный параметр значительно больше, чем у трансформаторного масла, В результате возможность существования режима, предсказанного теоретически, удалось подтвердить экспериментально (рис. 13а). Направление сдвига вертикальной оси зависит от начальных условий. Очевидно, что равноправие левого и правого в расчетах позволяет реализовать обе возможности.

При рассмотрении различных модификаций колебательного четырех-вихревого режима с перезамыканием вихрей вследствие воздействия горизонтальных вибраций были изучены и другие, как стационарные, так и нестационарные вибрационно-конвективные течения в полостях с различными тепловыми условиями на широких гранях. Для теоретического описания осредненных конвективных движений использовались уравнения термовибрационной конвекции (1) - (3). Наличие специфической геометрии позволило с помощью метода Галеркина свести трехмерную задачу к плоской. Анализ термовибрационной конвекции в ячейке Хеле - Шоу производился на основе уравнений, записанных в терминах функций тока и температуры.

Рис. 14. Карта вибрационно- Поля функции тока и температуры

конвективных режимов разлагались по пространственным

базисным функциям с амплитудами, зависящими от времени (в качестве базисных использовались тригонометрические функции). После интегрирования с весом уравнений двумерной конвекции была получена система обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд, описывающая эволюцию осредненного течения.

Анализ системы дифференциальных уравнений для амплитуд выполнялся численно. В зависимости от тепловых условий на широких гранях система уравнений интегрировалась методами Рунге-Кутта-Фельдберга или Адамса-Моултона. Вычислительные модули были реализованы на языке программирования Fortran-90, либо в системе MatLab. Методом установления отслеживался выход различных характеристик течения на стационарные значения, колебательные и нерегулярные режимы конвекции. По результатам расчетов были получены карты вибрационно-конвективных режимов на плоскости параметров (Ra-Rav). В качестве примера приведем карту вибрационно-конвективных режимов для полости с соотношением сторон 2x10x20 и идеально теплопроводных широких граней (рис. 14). Точ-

Rav \ 1 — квазкравновссие 2 -двухвихрееое течение 3 — одновихревое течение 4 - ро^дярный колебательный четырехвихревой режим с перезамыканием вихрей 5 - нерегулярный колебательный четырехвихревой режим с лере-замыхянисм вихрей

\ К

\

\ к

ками нанесены границы устойчивости одновихревого течения по отношению к наиболее опасным возмущениям: в - колебательные возмущения че-тырехвихревой структуры, А - монотонные возмущения двухвихревой структуры. На карте режимов существуют области соответствующие состоянию квазиравновесия, стационарным одно- и двухвихревому течениям, регулярному и хаотическому колебательному четырехвихревому режиму с перезамыканием диагональных вихрей. Видно, что горизонтальные вибрации понижают порог устойчивости механического квазиравновесия. Расчеты в надкритической области показывают, что увеличение вибрационного воздействия на систему при фиксированном тепловом числе Рэлея приводит

к усилению конвективных движений [17]. Подобное действие горизонтальных вибраций имеет место для полостей разных размеров вне зависимости от тепловых условий на широких гранях [18]. В противоположность этому вертикальные вибрации повышают порог

устойчивости квазиравновесия и стабилизируют конвективные течения [19]. Смены стационарных одно-, двух- и трех-вихревого течений, а также переходы между различными регулярными и нерегулярными

колебательными режимами, происходят в другой последовательности нежели при горизонтальных вибрациях.

Расчеты методом Галеркина-Канторовича выполнялись для тонких полостей, когда их широкие грани настолько велики, что можно пренебречь влиянием боковых границ. В действительности уравнения вибрационной конвекции не допускают решения в виде квазиравновесия для ячейки Хеле -Шоу с твердыми боковыми границами. Условие непротекания на пульсаци-онную компоненту скорости на узких гранях приводит к тому, что в жидкости в качестве основного состояния должно выступать некоторое осреднен-ное течение. Численное решение уравнений термовибрационной конвекции [20] с корректными граничными условиями для ги, показывают, что при малых значениях вибрационного числа Рэлея в жидкости устанавливается основное течение с очень малой амплитудой. В случае горизонтальных вибра-

Иа 0.9

Рис. 15. Последовательность режимов при расчетах с более корректными граничными условиями на узких вертикальных гранях для полости 2x20x40

ций это стационарное течение представляет собой четыре симметричных вихря, максимумы интенсивности которых локализованы в углах полости, а в середине образуется застойная зона (рис. 15). С ростом числа Рэлея этот режим теряет устойчивость, и в жидкости "мягко" возникает интенсивное одновихревое течение, которое занимает всю полость. Амплитудная кривая для В.ау =0.1 и модельного числа Прандтля Рг = 1 на рис. 15 иллюстрирует переход к одновихревому течению. Ниже Еа, в жидкости реализуется состояние близкое к квазиравновесию: амплитуда основного течения несопоставимо мала по сравнению амплитудой одновихревого режима. Эксперименты [21] подтверждают возможность существования квазиравновесия для малых значений вибрационного числа Рэлея. Визуальные наблюдения в интервале Ка„ = О Н- 0.1 показали отсутствие осредненных течений в жидкости ниже порога устойчивости одновихревого течения.

Представленные результаты теоретических и экспериментальных исследований термовибрационной конвекции позволили спроектировать на основе ячейки Хеле — Шоу датчик инерционных воздействий. Внешний инерционный сигнал моделировался гармонической функцией с ненулевой амплитудой на некотором интервале времени. В неинерциальной системе отсчета, связанной с полостью, имеем § § + пди>2 этсЛ, где и> - циклическая частота сигнала, 6 - амплитуда колебаний; п - вектор, вдоль которого совершаются колебания полости. Форма такого сигнала соответствует реальному инерционному воздействию, когда имеется несколько сильных толчков с достаточно большой амплитудой, а затем некоторое время идут малые колебания, сравнимые по амплитуде с шумом. Наличие инерционного воздействия приводит к появлению в правой части уравнения Навье — Стокса дополнительного слагаемого, величина которого определяется безразмерным параметром

Численное моделирование методом конечных разностей показало, что на инерционные воздействия, ориентированные вдоль горизонтальной оси, гидродинамическая система реагирует не так, как на вертикальные вибрации, поэтому при соответствующем снятии температурных показаний может быть разработана методика, которая позволит устанавливать направление действия внешнего инерционного сигнала и даст возможность получать его амплитудно-частотную характеристику. Результаты численного моделирования позволили подобрать рабочую жидкость для достижения максимальной чувствительности при проведении термопарных измерений и предсказать наиболее оптимальные значения геометрических параметров конвективной камеры сейсмодатчика [22-24].

(5)

В шестой главе рассматривается тепловая конвекция жидких бинарных смесей в связанных каналах конечной высоты при подогреве снизу (рис. 16). Ранее в опытах металлические границы связанных каналов имели высокую теплопроводность, однако, в расчетах тепловым взаимодействием левого и правого каналов пренебрегалось. Условия подогрева конвективной петли таковы, что на вертикальных границах каналов поддерживается линейное распределение температуры. При таком распределении температуры в жидкости возможно состояние механического равновесия. Для теоретического описания конвективных течений использовались уравнения тепловой конвекции в приближении Буссине-ска, приспособленные к описанию движения бинарных жидкостей8. При этом в уравнении Навье — Стокса появляется дополнительное слагаемое в подъемной силе, связанное с наличием примеси в жидкости

= + (у1г=0). (6)

Уравнения несжимаемости жидкости <1Ь/г/ = 0 и переноса тепла

2£ + (0У)Т = -±-ЛТ, (7)

01 гг

дополняются уравнением переноса примеси

^ + (5У)С = ^(ДС + £ДГ), (8)

где С — поле концентрации тяжелой примеси; Н - безразмерная высота каналов. В рамках рассматриваемого приближения предполагается, что потоки вещества и тепла связаны с градиентами концентрации и температуры формулами 1 = -рО{ЧС+аЧТ), д = -кУТ, где аир - это, соответственно, коэффициент термодиффузии и средняя плотность жидкости. Помимо чисел

8 Шапошников И.Г. // ПММ, т. 17, № 5, 1953. с. 604-606.

ход.

Рис. 16. Разделение смесей на компоненты; а) схема каналов и профили концентрации примеси в поперечном сечении; б) вертикальное распределение концентрации примеси вдоль осей правого и левого каналов (стрелки указывают направление течения), сплошная и штриховая линии - соответственно, концентрация на оси канала и на расстоянии четверти ширины канала у стенки

Прандтля (Рг), Шмидта (Эс) и Рэлея (Яа) в систему уравнений входит дополнительный безразмерный параметр е = а/Эс/, описывающий действие термодиффузии в смеси, где а = кг/Т, кт - термодиффузионное отношение. Концентрационный коэффициент плотности Д. характеризует зависимость

плотности от концентрации. Стенки каналов обладают высокой теплопроводностью, поэтому возмущения температуры на вертикальных границах расчетной области полагаются равными нулю. Помимо этого на твердых непроницаемых для вещества стенках каналов отсутствует нормальная компонента плотности диффузионного потока ^п|р = 0. Дополнительно накладывается условие нулевого расхода через сечение обоих каналов. В вертикальном направлении поля аппроксимировались тригонометрическим базисом и применялась галеркинская процедура осреднения. В поперечном сечении каналов краевая задача решалась методом конечных разностей. Компьютерный модуль был написан на языке программирования Ройгап-90. В результате удалось получить, удовлетворяющее граничным условиям, поле концентрации в поперечном сечении канала, которое, как и ожидалось, по сравнению с полями температуры и скорости оказалось в расчетах самым сложным по структуре [25-27]. Распределение примеси в разных сечениях на рис. 17 иллюстрирует действие термодиффузии в смеси. Данные результаты соответствуют е — 0.1 (нормальная термодиффузия), Рг = 10, Эс = 60, Н = 30.5. На входе в канал преобладает конвективный механизм переноса примеси, постепенно при движении вдоль канала нормальная термодиффузия "распрямляет" сложный концентрационный профиль. В экспериментах9 отмечалось, что тепловая конвекция бинарной смеси в связанных каналах возникает "жестко" не зависимо от знака термодиффузии. Пороговое значение числа Рэлея, ниже которого жидкость возвращалась в

9 Глухов А.Ф. Экспериментальное исследование тепловой конвекции в условиях гравитационного расслоения // Канд. диссерт., Пермь, 1995. - 140 с.

Рис. 17. Поле концентрации примеси в поперечном сечении канала на разной высоте

состояние механического равновесия, было приблизительно равно критическому числу Рэлея для однородной жидкости. Далее при сопоставлении результатов расчетов с экспериментами (рис. 18) будем использовать параметр надкритичности = 11а/11ас.

Рис. 18. Амплитудные кривые для различных режимов. Сплошные линии - теоретические кривые для Sc = 700, Рг = 7; 1, 3-с=0.02, - 0.015; 2-предельный случай е=0; 4, 5-соответственно, амплитуда гармонических и перебросовых колебаний, б - амплитуда стационарного течения, вычисленная методом конечных разностей. Экспериментальные точки: 7 - вода; 8 - раствор С2Н5ОН в воде (5%); 9 - раствор Na2S04 в воде (15%); 10 - раствор ССЦ в декане (разные концентрации). Фрагменты: а) - установление стационарного течения через пихообразные выбросы; б), в) - перебросовые колебания бинарной смеси в каналах, соответственно, эксперимент и теория.

В случае е > 0 при превышении критического числа Рэлея Rac сначала имеют место колебательные течения, амплитуда которых меняется по гармоническому закону (кривая 4). С ростом надкритичности гармонические колебания сменяются сложными нелинейными колебаниями типа "перебросов" (кривая 5). Временная эволюция "перебросового" течения такова (фрагменты б и в): после переходного процесса в каналах устанавливается циркуляция определенного направления, на фоне которой вблизи некоторых средних величин наблюдаются колебания с более высокой частотой. За время, равное периоду "перебросов" скорость в каналах начинает резко уменьшаться, и направление закрутки меняется на противоположное.

Причина смены закрутки связана с тем, что в канале, в котором наблюдалось подъемное течение, постепенно накапливается тяжелая примесь, а в канале с опускным течением возникает недостаток тяжелой примеси, в результате чего течение затормаживается, и направление закрутки меняется на противоположное. Может показаться, что при положительной термодиффузии колебательные движения невозможны. Ожидается, что в канале с подъемным течением должна накапливаться легкая компонента вследствие термодиффузионного переноса через верхнюю и нижнюю перемычки. Каналы имеют в среднем разную температуру, т.к. в левый канал снизу входит нагретая, а в правый (сверху) - охлажденная жидкость. В действительности в канале с подъемным течением может накапливаться тяжелая примесь. При протекании жидкости по длинным узким каналам с высоко теплопроводными гранями неизбежно возникают градиенты температуры в горизонтальной плоскости, в канале с подъемным течением вектор градиента направлен из струи к боковым стенкам, в канале с опускным течением - наоборот, от стенок к середине канала. Когда жидкость течет достаточно медленно, в канале с опускным течением из-за термодиффузии в середине потока накапливается тяжелая примесь и затем "конвективно" переносится в канал с подъемным течением. Пока элемент жидкости движется вверх, тяжелая примесь перемещается из-за положительной термодиффузии к стенкам канала, т.е. выносится из потока. В результате примесь не возвращается обратно в канал с опускным течением, а накапливается в канале с подъемным течением, вследствие чего происходит торможение и возникает течение с противоположной закруткой, т.е. рождаются колебания. Дальнейшее увеличение надкритично-сти приводило к тому, что при 1-1г -1.5 период перебросов неограниченно возрастает, и система переходит в одно из двух устойчивых стационарных состояний с определенным направлением движения. В "подкритической области" (ниже экспериментального порога) при положительной термодиффузии теория предсказывает существование медленных стационарных течений (рис. 18, кривая 1). Расчеты показывают, что выход на этот медленный режим должен происходить через пикосбразные выбросы (рис. 18, фрагмент а) в течение очень длительного времени, величина которого на несколько порядков превышает время проведения среднестатистического эксперимента. В результате в обычном по времени эксперименте конвективный порог оказывается сильно завышенным и отвечает "жесткому" возбуждению колебательной конвекции. Для смесей с отрицательным коэффициентом термодиффузии (водно-спиртовые растворы) в надкритической области (1 < щ < 2) устанавливалась стационарная конвекция. Регулярных колебаний вблизи порога не наблюдалось. Это также согласуется с результатами расчетов. Кривые 1, 3 на рис. 18 были получены аналитически с помощью другой методики [28]. Аналитический подход в пределе у—*0 дает формулу для критических чисел Рэлея при произвольных значениях чисел Прандтля, Шмидта и термодиффузионного параметра:

где zíuz2 вычисляются по формулам z¡ = тгЯ/2л/2, z2 = Зл/107г#/20 .

Полученная аналитически зависимость концентрации примеси в каналах от вертикальной координаты приведена на рис. 176 для набора параметров е = 0.02, Эс —1000, Рг = 7. Видно, что там, где возникает подъемное течение, в среднем имеет место недостаток тяжелой примеси, а в канале с опускным течением - избыток. Таким образом, конвективная петля может использоваться как установка для разделения смесей на компоненты. С одной стороны, процесс разделения смесей происходит в динамике, на фоне конвективного переноса (быстрее, чем в статике), с другой стороны, в связанных каналах в отличие от термодиффузионной колонны отсутствуют встречные гидродинамические потоки, т.е. в области высоких надкритичностей течение дольше должно оставаться ламинарным [29,30].

В седьмой главе излагаются результаты исследования влияния вертикальных высокочастотных вибраций на конвективные течения бинарных смесей в связанных каналах [31, 32]. Расчет осредненных конвективных течений производился с помощью уравнений термовибрационной конвекции, модифицированных с учетом наличия дополнительного осложняющего фактора - бинарности жидкости10. При этом осредненное поле концентрации формально описывается уравнением (8). В силе остается уравнение переноса тепла (7), а уравнение Навье - Стокса в безразмерной форме имеет вид:

Теперь векторное поле й, дополнительная "медленная" перемепная, пропорциональная амплитуде пульсационной компоненты скорости, - соленои-дальная часть векторного поля (Т - С) п:

Вибрационное число Рэлея в (9) определяется формулой (4). На осредненное поле скорости ставится условие прилипания, а на амплитуду пульсационной компоненты скорости накладывается условие непротекания. Сначала аналитически было найдено стационарное решение [33, 34]: зависимость амплитуды течения от числа Рэлея для разных значений параметров задачи, а также вертикальные распределения температуры и концентрации примеси. Семейства амплитудных кривых для разных значений вибрационного числа Рэлея представлены на рис. 19 (Se = 1000, Рг = 7 ). Видно, что характер возбуждения конвекции меняется в зависимости от знака термодиффузии. Кривые,

10 Gershuni G.Z., Kolesnikov А.К., Legros J.-C., Myznikova B.I. // J. Fluid Mech., vol. 330, 1997, pp. 251-269.

— + (W)v = -Vp + Av +

Raff Pr

2

(T-c)r+^^-(m)[(T-c)n-w], (9)

rotü = (Vr-VC)xñ, div w = 0.

построенные для е>0, показывают, что при любых Яау решения, отвечающие стационарным течениям, ответвляются мягко. При аномальном эффекте Соре (е<0) имеет место "жесткое" возбуждение конвекции. Вибрации оказывают заметное влияние на порог возникновения и интенсивность конвекции. Вертикальные вибрации ослабляют стационарную конвекцию бинарных смесей в связанных каналах и усиливают разделение смесей на компоненты.

Восьмая глава посвящена теоретическому исследованию свободной тепловой и комбинированной термовибрационной конвекции бинарной смеси в ячейке Хеле - Шоу. В зависимости от знака термодиффузии изучен характер возбуждения конвекции. В надкритической области исследованы различные стационарные и колебательные конвективные режимы. Оказалось, что по форме колебания в ячейке Хеле - Шоу несколько отличаются от тех, что наблюдались в связанных каналах. Однако наличие колебаний при положительной термодиффузии вблизи порога, несомненно, указывают на подобие конвективных систем. Как и в случае связанных каналов при положительной термодиффузии е > 0 имеет место мягкое возбуждение конвекции, при е < О конвекция должна возникать "жестко" [36]. Однако в экспериментах система "стартовала" из состояния с однородным распределением примеси. Чтобы вследствие положительной термодиффузии в полости установилось потенциально неустойчивое вертикальное распределение концентрации примеси, необходимо достаточно большое время. При постепенном увеличении разности температур на теплообменниках бинарная система, находясь практически в равновесном состоянии, сначала достигает порога конвекции для однородной жидкости, а затем вне зависимости от знака термодиффузии "жестко" рождается конвективное течение. В случае положительной термодиффузии в системе возникает колебательный режим, а при отрицательной - монотонное течение [35,36].

В заключении перечислены основные результаты работы и проводится их обобщение.

1—V.

2—ч

3—х

4—ч

///гк\ — 5

п! /// Укх—6

//// 7

У 8

Рис. 19. Амплитудные кривые для разных значений термодиффузионного параметра и вибрационного числа Рэлея [33, 34]; номера 1, 2, 3, 4 (с= 0.02) и 5, 6, 7, 8 (с = - 0.015) соответствуют На„ = 0, 1.8, 3.4, 5; штриховая линия - предельный случай е- 0, Лау = 0.

выводы

1. Проведено исследование устойчивости механического квазиравновесия подогреваемого снизу наклонного слоя жидкости, находящегося в статическом поле тяжести и подвергающегося действию высокочастотных вибраций относительно произвольных пространственных возмущений. Показано, что помимо плоских и спиральных возмущений более сложные пространственные моды могут отвечать за порог устойчивости квазиравновесия в достаточно широком диапазоне углов наклона слоя.

2. Изучены свободные колебания капиллярного моста, равновесная форма которого определяется силами поверхностного натяжения и статическим полем тяжести. В соответствии с условиями эксперимента в невязком приближении найдены значения 25 "нижних" уровней спектра собственных частот колебаний капиллярного моста для различных значений управляющих параметров.

3. Выполнен расчет магнитного поля и силы Лоренца в полупроводниковой расплавленной жидкой зоне для различных частот вращения однородного внешнего поля. Решение получено для жидкой зоны, находящейся в невесомости и ограниченной твердыми цилиндрическими массивами. Произведен расчет термокапиллярной конвекции и индуцируемого вращающимся магнитным полем течения в азимутальном направлении. Изучены процессы перераспределения примеси в расплаве при наличии движения фронта кристаллизации.

4. Теоретически исследованы надкритические режимы свободной тепловой конвекции в ячейке Хеле - Шоу при подогреве снизу. Построены карты устойчивости конвективных режимов в случае идеально теплопроводных и теплоизолированных широких граней. Обнаружены новые устойчивые и переходные конвективные течения пульсационного типа. Для полости с теплоизолированными вертикальными гранями получено хорошее согласие результатов численного моделирования с экспериментальными данными.

5. Рассмотрено влияние, оказываемое высокочастотными горизонтальными вибрациями на конвекцию в ячейке Хеле — Шоу, находящейся в однородном гравитационном поле. Изучены нелинейные режимы вибрационной конвекции в надкритической области. Показано, что горизонтальные вибрации продольные широким граням полости понижают порог устойчивости квазиравновесия. Для ячейки 2x20x40 найдены области существования одно- и двухвихревых стационарных течений, изучены нестационарные регулярные и хаотические режимы термовибрационной конвекции. Обнаружены новые хаотические режимы в ячейке Хеле - Шоу, которые были названы пульсаци-онными течениями. Расчеты показывают, что пульсационные течения являются результатом нелинейного взаимодействия "нижних" мод, которые отвечают за реализацию регулярных надкритических конвективных режимов. Проведено сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными. Выполнен расчет термовибрационной конвекции в ячейке Хеле — Шоу

при воздействии вертикальных вибраций. Показано, что вертикальные вибрации повышают порог устойчивости механического равновесия, стабилизируют все наблюдавшиеся в ходе расчетов течения и отодвигают переход к нерегулярным течениям в область больших надкритичностей.

6. С помощью прямого численного моделирования проанализировано влияние коротких инерционных внешних сигналов на конвективные течения в ячейке Хеле — Шоу, подогреваемой снизу точечным источником тепла. Произведен расчет температурных полей и формы течений в случае произвольно ориентированных относительно вертикали коротких периодических сигналов. Результаты расчетов предложено использовать при проектировании прибора, способного регистрировать сильные инерционные воздействия. На основе результатов моделирования выполнен подбор рабочей жидкости и найдены оптимальные значения геометрических параметров полости конвективного датчика.

7. Теоретически изучены надкритические конвективные движения бинарной смеси в связанных каналах конечной высоты. Подтверждено, что в отличие от однородных жидкостей, в смесях наблюдается жесткое возбуждение конвекции, имеют место специфические переходные течения и колебательные режимы конвекции. Предложен механизм, объясняющий наблюдаемые явления, подтвержденный теоретическим решением задачи. Получены амплитудные кривые, а также поля скорости, температуры и концентрации примеси в каналах, иллюстрирующие конкуренцию термодиффузионного и термогравитационного механизмов конвекции. Проведено сравнение с экспериментальными данными.

8. Численно и аналитически исследовано влияние вертикальных высокочастотных вибраций на тепловую конвекцию бинарных смесей в связанных каналах при подогреве снизу. Показано, что вертикальные вибрации стабилизируют конвективные течения и повышают порог устойчивости механического равновесия. Рассмотрена свободная и термовибрационная конвекция бинарной смеси в ячейке Хеле - Шоу. Проведена аналогия между явлениями, наблюдавшимися в связанных каналах и ячейке Хеле - Шоу.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ

1. Demin V.A., Gershuni G.Z., Verkholarttsev I.V. Mechanical quasi-equilibrium and thermovibrational convective instability in an inclined fluid layer // Int. J. Heat Mass Transfer, 1996, v. 39, №9, pp. 1979-1991.

2. Гершуни Г.З., Дёмин U.A. К вопросу о термовибрационной конвективной неустойчивости равновесия наклонного слоя жидкости относительно длинноволновых возмущений // Вестник Пермского университета, Вып. 2,1997, с. 7-14.

3. Гершуни Г.З., Дёмин В.А. И Термовибрационная конвективная неустойчивость механического квази-равновесия наклонного слоя жидкости. Изв. РАН, МЖГ, 1998, № 1, с. 8-15.

4. Демин Б.А. Вибрационная конвекция в наклонном слое жидкости при подогреве снизу //Изв. РАН, МЖГ, № 6,2005, с. 38-48.

5. Демин В.А. Термовибрационная конвективная неустойчивость наклонного слоя жидкости относительно пространственных возмущений // Вестник Пермского Университета, Сер. Физика, Вып. 1,2002, с. 98-104.

6. ГершуниГ.З., Демин В. А. Конечно-амплитудные движения в плоском наклонном слое жидкости при наличии вибраций высокой частоты // Вестник Пермского университета, Сер. Физика, Вып. 4, 1998, с. 135-146.

7. Демин В.А., Шкляев C.B. Об устойчивости виброконвеетивного течения в наклонном слое при подогреве сбоку // Сб. Вибрационные эффекты в гидродинамике, Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2001, с. 53-69.

8. Демин В.А. Конвективная устойчивость и теплоперенос в жидкости при воздействии высокочастотных вибраций // III Российская национальная конференция по теплообмену, Труды конф., Москва, т. 3,2002, с. 64-67.

9. Демин В.А., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Свободные колебания капиллярного моста // Сб. Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2001, с. 31-52.

10Демин В.А. К вопросу о свободных колебаниях капиллярного моста // Изв. РАН, МЖГ, 2008, № 4, с. 28-37.

Н,Dentin V.A., Lyubimov V.D., Lyubimova Т.Р. Rotating magnetic field influence on flow and dopant distribution during crystal growth by floating zone method // Proc. of Int. Conf. "Advanced Problems in Thermal Convection", Perm, 2004, p. 331-336.

\2.Демин B.A., Любимов Д.В., Любимова Т.П., Py Б. Влияние вращающегося магнитного поля на термокалиллярную конвекцию в жидкой зоне // Сб. Гидродинамика, Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, Вып. 1,2002, с. 76-88.

13.Anferov D.V., Babushkin I.A., Demin V.A. Experimental and theoretical investigation of transitional convective flows in Hele-Shaw cell // Proc. of Int. Conf. "Advanced Problems in Thermal Convection", Perm, Russia, 2004, p. 173-178.

14.Бабушкин И.А., Демин B.A. Экспериментальное и теоретическое исследование переходных конвективных режимов в ячейке Хеле-Шоу // Изв. РАН, МЖГ, № 3, 2006, с. 3-9.

15.Бабушкин ПЛ., Демин В.А. Захват конвективных вихрей нестационарным течением в ячейке Хеле-Шоу // ИФЖ, т. 80, № 1,2007, с. 100-106.

16.Бабушкин И.А., Демин В.А., Платонова А.Н. Тепловая и термовибрационная конвекция в вертикальном слое при подогреве снизу // Вестник Пермского Университета, Сер. Физика, Вып. 1(6), 2007, с. 11-15.

17.,Демин В.А., Файзрахманова КС. Устойчивость вибрационно-конвективных движений в ячейке Хеле-Шоу // Вестник Пермского Университета, Сер. Физика, Вып. 1,2003, с. 108-113.

Ii.Демин В.А., Платонова А.Н. Влияние теплопроводности границ на вибрационную конвекцию в ячейке Хеле-Шоу // Вестник Пермского Университета, Сер. Физика, Вып. 1,2006, с. 9-14.

\9.Демин В.А., Макаров ДВ. Устойчивость конвективных течений в ячейке Хеле-Шоу при воздействии вертикальных вибраций // Вестник Пермского Университета, Сер. Физика, Вып. 1,2005, с. 101-110.

20.Бабушкин И.А., Демин В.А. К вопросу о вибрационно-конвективных течениях в ячейке Хеле-Шоу // ИФЖ, т. 81, № 4,2008, с. 712-720.

21.Бабушкин И.А., Демин В. А. Вибрационная конвекция в ячейке Хеле-Шоу. Теория и эксперимент И Изд-во СО РАН, ПМТФ, 2006, № 2, с. 40-48.

22.Бабушкин И.А., Дёмин В.А. Сейсмодатчик на основе ячейки Хеле-Шоу // Вестник Пермского университета, Сер. Физика, Вып. 1(17), 2008, с. 3-8.

2Ъ.Бабушкин И.А., Глухое А.Ф., Демин В.А., Дягилев P.A., Маловичко ДА. Сейсмо-приемних на основе ячейки Хеле-Шоу // Прикладная физика, № 3, 2008, с. 134140.

24.Бабуш/син И.А., Глухое А.Ф., Демин В.А., Зильберман ЕЛ., Путин Г.Ф. Измерение инерционных микроусхорений с помощью конвективных датчиков // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2009, №2, с. 72-77.

25.Глухое А.Ф., Демин S.A. Экспериментальное и теоретическое исследование конвекции бинарной смеси в связанных каналах // Вестник Пермского университета, Сер. Физика, Вып. 1,2006, с. 15-23.

26.Глухое А.Ф., Демин В.А. Тепловая конвекция бинарной смеси в связанных каналах // Четвертая Российская национальная конференция по теплообмену, МЭИ, Труды конф., т. 3, Москва, 2006, с. 85-88.

21.Глухое А.Ф., Демин В.А., Путин Г.Ф. Конвекция бинарной смеси в связанных каналах при подогреве снизу // Изв. РАН, МЖГ, № 2,2007, с. 13-23.

2%.Глухое А.Ф., Демин В.А. Стационарные резкими тепловой конвекции бинарной смеси в связанных каналах // Вестник Пермского университета, Сер. Физика, Вып. 1(17), 2008, с. 9-14.

29.Глухое А.Ф., Демин В.А., Путин Г.Ф. Разделение смесей и тепломассоперенос в связанных каналах // Письма в ЖТФ, т. 34. Вып. 17,2008, с. 45-51.

30.Глухое А.Ф., Демин В.А., Путин Г.Ф. О разделении смесей в связанных каналах // ПМТФ, 2009, т. 50, № 1, с. 68-77.

31 .Бабушкин И.А., Глухое А. Ф., Демин В.А. Вибрационная конвекция бинарной смеси в связанных каналах // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2009, № 2, с. 78-83.

32.Glukhov A.F., Babushkin I.A., Demin V.A. Convective flows of binary mixes in thin channels. Theory and experiment // VI- Minsk International Heat & Mass Transfer Forum. CD Proceedings, Minsk, Byelorussia, 2008, Paper 1/19.

33. Glukhov A.F., Dentin VA. Thermal vibrational convection of a binary mixture in connected channels //ICSV16 CD Proceedings "Recent Development in Acoustics, Noise and Vibration", Paper 328. Krakow, Poland, 2009, pp. 1-7.

34.Глухое А.Ф., Демин В.А. Стационарная конвекция бинарных смесей в связанных каналах при наличии высокочастотных вибраций // Изв. РАН, МЖГ, № 6, 2009, с. 160-164.

35.Глухое А.Ф., Демин В.А., Тепловая конвекция бинарных смесей в вертикальных слоях и каналах при подогреве снизу // Вестник Пермского университета, Сер. Физика, Вып. 1(27), 2009, с. 16-25.

36.Demin V.A., Glukhov A.F. Thermal convection of binary mixes in thin channels // VIII Int. Meeting on Thennodiffiision (Lecture Notes). Jülich, Germany, 2008, pp.187-195.

37.Бабушкин И.А., Глазкт И.В., Демин В.А., Платонова А.Н., Путин Г.Ф. Об изменчивости одного типичного течения в ячейке Хеле-Шоу // Изв. РАН, МЖГ, № 5, 2009, с. 3-14.

Подписано в печать 10 сентября 2009 г. Формат 60x84 V«. Усл. печ. л. 1,86. Тираж 100 экз. Заказ 287.

614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15. Типография Пермского университета.

Введение.

Глава I. Обзор литературы. Уравнения термовибрационной конвекции.

1.1. Современное состояние исследований по влиянию модуляции параметра на конвективные системы.

1.2. Осредненные эффекты в высокочастотном пределе.

1.3. Уравнения термовибрационной конвекции для однокомпонентной жидкости.

Глава П. Устойчивость наклонного слоя жидкости относительно пространственных возмущений.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Состояние механического квазиравновесия.

2.3. Линейная задачи устойчивости.

2.4. Обсуждение результатов расчетов. а) Поперечные слою вибрации. б) Вертикальные вибрации.

2.5. Численное моделирование валиковой конвекции в наклонном слое. а) Малые углы наклона.-. б) Область больших углов наклона.

2.6. Устойчивость вибрационно-конвективного течения в наклонном слое при подогреве сбоку.

Глава Ш. Свободные колебания капиллярного моста.

3.1. Исходные уравнения.

3.2 Равновесное состояние капиллярного моста.

3.3. Задача устойчивости.

3.4. Методика и результаты расчета равновесной формы.

3.5. Методика расчета собственных частот осесимметричных возмущений.

3.6. Неосесимметричные возмущения.

3.7. Результаты расчетов

3.7.1. Осесимметричные возмущения.

3.7.2. Собственные частоты для трехмерных возмущений

Глава IV. Влияние вращающегося магнитного поля на термокапиллярную конвекцию в цилиндрической жидкой зоне.

4.1. Вращающееся магнитное поле в жидкой зоне.

4.2 Сила Лоренца в расплаве.

4.3. Визуализация и обсуждение результатов.

4.4. Влияние различных магнитных полей на конвекцию в жидкой зоне.

4.5. Вращающееся магнитное поле и условия нагрева жидкой зоны.

4.6. Термокапиллярная конвекция в жидкой зоне.

4.7. Результаты расчетов и обсуждение.

4.8. Зависимость течения в расплавленной зоне от электропроводности твердых торцов.

4.9. Влияние вращающегося магнитного поля на распределение примеси в расплаве.

Глава V. Нелинейные режимы вибрационной конвекции в ячейке Хеле - Шоу.

5.1. Свободная тепловая конвекция в ячейке Хеле — Шоу. а) Экспериментальные данные. б) Результаты численного моделирования.

5.2. Переходные режимы в ячейке Хеле — Шоу.

5.3. Модификации пульсационного течения.

5.4. Влияние неоднородности вязкости жидкости на конвекцию в ячейке Хеле - Шоу.

5.5. Воздействие высокочастотных вибраций. Состояние механического квазиравновесия и задача устойчивости.

5.6. Надкритические движения. Горизонтальные вибрации. а) Идеально теплопроводные границы. б) Полость с другим соотношением сторон. в) О вариативности четырехвихревого течения с перезамыканием вихрей в ячейке Хеле - Шоу. г) Идеально теплопроводные широкие грани.

5.7. Метод конечных разностей. Малые значения вибрационного числа Рэлея.

5.8. Вертикальные вибрации.

5.9. Прикладные аспекты. Сейсмический датчик на основе ячейки Хеле - Шоу.

Глава VI. Свободная конвекция бинарных смесей в связанных каналах.

6.1. Конвекция бинарных смесей с учетом явления термодиффузии.

6.2. Постановка задачи. Механическое равновесие.

6.3. Стационарная конвекция бинарной смеси с разными знаками термодиффузии.

6.4. Нестационарные движения в связанных каналах.

Глава VII. Вибрационная конвекция бинарной смеси в связанных каналах.

7.1. Уравнения вибрационной конвекции для бинарных смесей.

7.2 Механическое квазиравновесие в связанных каналах.

7.3. Влияние вертикальных вибраций на стационарную тепловую конвекцию бинарной смеси в связанных каналах.

7.4. Численное моделирование методом конечных разностей.

Глава VIII. Влияние высокочастотных вибраций на конвекцию бинарной смеси в ячейке Хеле — Шоу.

8.1. Свободная тепловая конвекция бинарной смеси в ячейке Хеле - Шоу.

8.2. Вибрационная конвекция бинарной смеси в ячейке

Хеле - Шоу. Вертикальные вибрации.

В настоящее время понятие устойчивости в физике представляется одним из центральных и ключевых при описании картины мира в целом и частных явлений [1]. Наблюдаемые пространственные структуры, воспроизводимое временное поведение физических систем, так или иначе, характеризуются свойством устойчивости. Наверное, остановиться на каком-то узком определении устойчивости при таком разнообразии сторон физического мира просто невозможно. При изучении различных явлений, процессов, устойчивых структур приходится сталкиваться с переходными стадиями, а также с физическими системами, находящимися в метаста-бильных состояниях, но их описание по-прежнему является неотъемлемой частью науки об общем свойстве системг характеризоваться, некоторой степенью устойчивости. Тем не менее, в первую очередь описанию подлежат воспроизводимые, т.е. в определенном смысле устойчивые состояния и структуры, т.к. именно они отражают картину мира на каждом промежутке времени. В книге [2] устойчивость определяется как "свойство системы быть невосприимчивой к малым возмущениям". Это значит, что основополагающее значение имеет вопрос об эволюции возмущений: система устойчива, если возмущения затухают со временем [3,4]. В некотором смысле данная диссертация тоже посвящена обсуждению вопросов устойчивости различных физических процессов и явлений, а. именно, динамике однородных жидкостей и смесей, пространственным структурам, тепло- и массопереносу в конвективных системах- при наличии дополнительного воздействия, со стороны переменных силовых полей различной природы. К их числу можно отнести различные вибрационные воздействия, переменные или вращающиеся электрические и магнитные поля, переменный нагрев границ полости и т.д. Несмотря на разнообразие ситуаций, наложение переменного силового поля на конвективную систему, чаще всего приводит в высокочастотном пределе к некоторому отличному от нуля осредненному действию [5]. В частности высокочастотные колебания полости, заполненной жидкостью, при наличии пространственной неоднородности температуры могут вызывать регулярные осредненные движения даже в невесомости. В настоящее время этот результат действия вибраций принято называть явлением термовибрационной конвекции [6, 7]. Возникающее при этом конвективное течение состоит из двух компонент - колебаний с частотой вибраций и осредненного течения. Если период колебаний много меньше всех гидродинамических и тепловых времен, а амплитуда смещения в некотором смысле мала, то может быть применен метод осреднения [8], который позволяет получить замкнутую систему дифференциальных уравнений для осредненных полей скорости, температуры и давления. В теории? тепловой? конвекции этот метод был впервые развит в работе С.М ЗеньковскошшИЖ; Симоненко [9] для; изучения влияния высокочастотных вибраций на конвективную устойчивость равновесия горизонтального подогреваемого снизу слоя жидкости. При определенных условиях, когда "медленная" составляющая скорости равна нулю возможно состояние механического квазиравновесия. Находясь в состоянии квазиравновесия, жидкость в среднем неподвижна, однако, вследствие вибрационного воздействия имеют место пульсации скорости, температуры и давления. Если неоднородность температуры достаточно велика, то квазиравновесие становится, неустойчивым и в жидкости пороговым образом может возникать некоторое осредненное конвективное течение.

Вне зависимости от природы высокочастотного переменного силового поля его осредненное действие, как правило, нельзя игнорировать в ходе реализации различных технологических процессов [10], а также, при проектировании технических устройств [11], в которых присутствует конвективный тепломассоперенос.

Таким образом, в данной диссертации предпринята попытка рассмотрения с единых позиций влияния различных высокочастотных переменных силовых полей на конвективные процессы в широко используемых гидродинамических системах. Диссертация состоит из восьми глав, включая литературный обзор, 96 иллюстраций и списка литературы из 202 наименований, который, конечно, не исчерпывает всего разнообразия различных ответвлений рассматриваемой тематики.

В первой главе производится обзор теоретических и экспериментальных работ по влиянию переменных силовых полей на различные гидродинамические системы, в том числе, рассматриваются работы по вибрационной конвекции. Во второй части I главы методом осреднения выводятся уравнения термовибрационной конвекции для однородных жидкостей.

Результаты исследования, устойчивости наклонного слоя жидкости относительно произвольных пространственных возмущений, полученные с помощью уравнений термовибрационной конвекции, представлены в главе II. Рассматриваются два варианта высокочастотного вибрационного воздействия: вертикальные и поперечные слою вибрации. Производится расчет валиковой конвекции для разных углов наклона слоя и анализируется смена конвективных режимов при увеличении надкритичности. Обсуждаются результаты численного исследования устойчивости плоскопараллельного течения в наклонном слое при подогреве сбоку относительно плоских и спиральных возмущений.

В главе III разработана численная методика и в невязком приближении выполнен расчет спектра собственных частот капиллярного моста. Найденные значения резонансных частот использовались позднее при попытке разработки методики управления процессом выращивания кристаллов по методу расплавленной зоны при помощи высокочастотных вибраций.

В главе IV изучается влияние вращающегося магнитного поля на конвективные течения в цилиндрической жидкой зоне. В первом параграфе получены аналитические выражения для компонент вектора магнитной индукции и силы Лоренца для произвольных частот вращения магнитного поля. Найдены ограничительные рамки диапазона параметров, когда магнитное поле в жидкой зоне можно считать однородным в каждый момент времени. В пределе относительно высоких частот получены выражения для осредненной силы Лоренца. Для расчета конвективных течений внутри расплава выведена формула, значительно упрощающая вычисление силы Лоренца в приближении однородного поля.

Во втором параграфе четвертой главы излагаются результаты расчета термокапиллярного конвективного течения в цилиндрической жидкой зоне, находящейся во вращающемся магнитном поле в условиях невесомости. Расчеты, выполненные численно методом сеток, показали, что вращающееся магнитное поле приводит к появлению азимутального движения в расплаве, при этом интенсивность конвективного движения в меридиональной плоскости уменьшается. Выяснены особенности влияния вращающегося магнитного поля на распределение примеси в жидкой зоне, в том числе, вблизи движущегося фронта кристаллизации.

В пятой главе представлены результаты исследования свободной и термовибрационной конвекции в ячейке Хеле - Шоу при подогреве снизу. Изучены устойчивые и переходные режимы тепловой конвекции в полости с разным соотношением сторон. В широком диапазоне значений управляющих параметров задачи построены карты устойчивости конвективных режимов. Теоретически подтверждено существование новых типов устойчивых конвективных режимов, которые были названы пульса-ционными течениями. Изучены различные причины нарушения симметрии типичного четырехвихревого режима с перезамыканием вихрей.

Большое внимание уделено переходным течениям. Рассмотрены прикладные аспекты теории вибрационной конвекции.

В главе VI теоретически исследовано влияние на тепловую конвекцию в связанных каналах, оказываемое наличием примеси в жидкости. В широком диапазоне управляющих параметров численно методом конечных разностей изучены переходные режимы и установившиеся конвективные течения. Показано, что в зависимости от величины надкритично-сти в бинарной смеси возможны как стационарные, так и колебательные установившиеся режимы тепловой конвекции. В рамках предложенной модели удалось теоретически описать "перебросовые" колебания, наличие которых демонстрирует достаточно "сложное" поведение гидродинамической системы при малых надкритичностях. Особое внимание было уделено расчету распределения концентрации- примеси» поперек каналов. В-ходе расчетов было показано, что именно явление термодиффузии ответственно за колебательный характер конвекции вблизи-порога.

Исследование влияния высокочастотных вибраций на порог конвекции и форму надкритических движений бинарной смеси в связанных каналах при подогреве снизу проводится в VII главе. В первую очередь рассматривается влияние вертикальных вибраций на колебательные течения вблизи порога. В VIII главе численно и аналитически рассмотрено влияние вертикальных высокочастотных вибраций на тепловую конвекцию бинарных смесей в ячейке Хеле - Шоу, имеющей широкие грани высокой теплопроводности. Проведена аналогия между явлениями, наблюдавшимися в связанных каналах и ячейке Хеле — Шоу. В заключении перечислены наиболее ценные с точки зрения автора научные результаты, полученные в ходе работы над диссертацией.

Основные результаты исследований изложены в 93 различных печатных работах, в том числе, в 16 статьях, опубликованных в реферируемых журналах, учитываемых ВАК при защитах докторских диссертаций.

В подавляющем числе публикаций [141-143], [153], [155], [157], [167], [168], [175], [176], [183-187], [189], [190], [195-200], [202] представлены результаты совместных экспериментальных и теоретических исследований. Все эксперименты выполнялись соавторами: И.А. Бабушкиным или А.Ф. Глуховым. В постановке некоторых экспериментов принимал участие Г.Ф. Путин. Вся теоретическая часть в этих работах принадлежит автору диссертации. Работы [90-92], [113], [154] были сделаны без соавторов; [120], [151], [152], [156], [166], [170] подготовлены совместно со студентами, выполнявшими дипломные и курсовые работы. В теоретических работах [86], [89], [104], [112], [122], [132] автор участвовал в постановке задач, выполнял расчеты и проводил обобщение результатов. Материалы диссертации докладывались на многочисленных научных конференциях, конгрессах и симпозиумах. Кроме того, автор неоднократно выступал с докладами, на Пермском городском, гидродинамическом семинаре под руководством проф. Г.З: Гершуни (1994, 1995, 1996, 1997), и Д.В. Любимова (2002, 2004, 2005, 2006, 2008, 2009), а также в Институте механики сплошных сред УрО РАН на семинаре под руководством проф. А.Ф. Пшеничникова (2005).

Автор глубоко благодарен своему учителю — Г.З. Гершуни за вовлечение в науку и незабываемые минуты общения. Также особую признательность хотелось бы выразить заведующему кафедрой теоретической физики Д.В. Любимову, благодаря чуткому руководству которого у автора сложились условия, способствовавшие работе над диссертацией. Автор выражает признательность И.А. Бабушкину, А.Ф. Глухову и Г.Ф. Путину за плодотворное сотрудничество в плане предоставления возможности теоретику соприкоснуться с условиями реального эксперимента и огромное спасибо всем членам Пермской гидродинамической школы за неоценимую моральную поддержку, благодаря которой смогла состояться данная диссертация.

Заключение

В диссертации предпринята попытка рассмотрения с единых позиций влияния различных переменных силовых полей на конвективные процессы в широко используемых гидродинамических системах. Автор стремился показать, что, несмотря на разнообразие конвективных систем (наклонный слой жидкости, ячейка Хеле - Шоу, жидкая зона, конвективная петля), в высокочастотном пределе воздействие переменных силовых полей различной природы приводит чаще всего к некоторому существенному осредненному действию. Вне зависимости от природы переменного силового поля это осредненное воздействие нельзя игнорировать при проектировании различных технических устройств [202] и оптимизации технологических процессов. Перечислим теперь основные результаты диссертационной работы.

1. Проведено исследование устойчивости механического квазиравновесия наклонного слоя жидкости, находящегося в статическом поле тяжести и подвергающегося действию высокочастотных вибраций относительно нормальных пространственных возмущений. Показано, что при подогреве снизу в случае поперечных слою вибраций наиболее опасными всегда являются спиральные возмущения, в то время как для вертикальных вибраций помимо плоских и спиральных возмущений более сложные пространственные моды могут отвечать за порог устойчивости квазиравновесия в достаточно широком диапазоне углов наклона слоя. В нелинейной постановке исследованы конвективные режимы в плоском наклонном слое конечной длины при подогреве снизу и поперечных вибрациях. Усиление, нагрева при определенном вибрационном воздействии всегда приводит к перестроению ячеистых режимов в течение с большей длиной волны, так что, в конечном счете, в слое устанавливается одновихревое течение.

2. Изучены свободные колебания капиллярного моста, равновесная форма которого определяется силами поверхностного натяжения и статическим полем тяжести. В соответствии с условиями эксперимента в невязком приближении найдены значения 25 "нижних" уровней спектра собственных частот колебаний капиллярного моста для различных значений управляющих параметров. Результаты данных расчетов, были использованы впоследствии в ходе масштабного экспериментального и теоретического исследования, связанного с попыткой управления с помощью высокочастотных вибраций процессом выращивания кристаллов по методу жидкой зоны.

3. Выполнен расчет магнитного поля и силы Лоренца в расплавленной полупроводниковой жидкой зоне при воздействии внешнего вращающегося магнитного поля. Решение получено для ограниченной твердыми цилиндрическими массивами жидкой* зоны, находящейся в условиях невесомости. Для разных частот вращения произведен расчет термокапиллярной конвекции и индуцируемого вращающимся, магнитным полем течения в азимутальном направлении. Рассмотрены процессы перераспределения примеси в расплаве при наличии движения фронта кристаллизации. В ходе численного моделирования выяснилось, что вращающееся магнитное поле не сильно, но, тем не менее, сглаживает радиальные неоднородности примеси в жидкой зоне и является мощным средством; для бесконтактного аксиального перемешивания расплавов.

4. Теоретически исследованы надкритические режимы свободной тепловой конвекции в ячейке Хеле — Шоу при подогреве снизу. Построены карты устойчивости конвективных режимов в случае идеально теплопроводных и теплоизолированных широких граней. Для полостей с разным соотношением сторон теоретически обнаружены новые устойчивые и переходные конвективные течения пульсационного типа. Проведено сравнение результатов численного моделирования и экспериментальных данных для полости с теплоизолированными вертикальными гранями. Выявлено хорошее согласие теории и эксперимента.

5. Отдельно исследованы характеристики типичного для ячейки Хеле - Шоу автоколебательного течения в виде четырех перезамыкающихся с течением времени диагональных вихрей. Отметим, что до настоящего времени этот режим специально в деталях не изучался, несмотря на то, что с ним часто приходилось сталкиваться при исследовании тепловой конвекции в ячейке Хеле - Шоу. Показано, что четырехвихревое течение с перезамыканием диагональных вихрей является регулярным в широком диапазоне значений надкритичности. В силу необычайной устойчивости пространственная картина и временное поведение этого режима практически не меняются, даже когда он становится стохастическим. Вследствие необычайной вариативности оно наблюдается в ячейке Хеле — Шоу в самых разных условиях: в полостях с разным соотношением сторон широких граней, в однородных жидкостях и смесях, в случае как высоко теплопроводных, так и теплоизолированных широких граней. Оно может возникать в результате воздействия, как высокочастотных вибраций, так и вибраций конечной частоты, и продолжает существовать при "включении" других осложняющих факторов. В случае сильно неоднородного нагрева в связи с зависимостью вязкости от температуры у данного колебательного четырехвихревого течения нарушается симметрия между верхними и нижними вихрями. Также, при определенных условиях у этого течения может наблюдаться спонтанное нарушение "лево — правой" симметрии.

6. Рассмотрено влияние, оказываемое высокочастотными горизонтальными вибрациями на конвекцию в ячейке Хеле - Шоу, находящейся в однородном гравитационном поле. Численно и аналитически изучены нелинейные режимы вибрационной конвекции в надкритической области. Показано, что горизонтальные вибрации, ориентированные продольно широким граням полости, понижают порог устойчивости квазиравновесия. Для ячейки 2x20x40 найдены области существования одно- и двухвихре-вых стационарных течений, изучены нестационарные регулярные и хаотические режимы термовибрационной конвекции. Обнаружены новые регулярные и хаотические режимы в ячейке Хеле - Шоу, которые были названы пульсационными течениями. Расчеты показывают, что пульсацион-ные течения являются результатом нелинейного взаимодействия "нижних" мод, которые отвечают за реализацию регулярных надкритических конвективных режимов. Проведено сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными. Выполнен расчет термовибрационной конвекции в ячейке Хеле - Шоу при воздействии вертикальных вибраций. Показано, что вертикальные вибрации повышают порог устойчивости механического равновесия, стабилизируют все наблюдавшиеся в ходе расчетов течения и отодвигают переход к нерегулярным, течениям* в область больших надкритичностей.

7. С помощью прямого численного моделирования проанализировано влияние коротких инерционных внешних сигналов на конвективные течения в ячейке Хеле - Шоу, подогреваемой снизу пульсирующим точечным источником тепла. Произведен расчет температурных полей и формы течений в случае произвольно ориентированных относительно вертикали коротких периодических сигналов. Разработана методика, позволяющая определять частоту, амплитуду и направление внешнего инерционного сигнала. Результаты расчетов предложено использовать при проектировании прибора, способного регистрировать сильные инерционные воздействия. На основе результатов моделирования выполнен подбор рабочей жидкости и найдены оптимальные значения геометрических параметров полости конвективного датчика.

8. Теоретически изучены надкритические конвективные движения бинарной смеси в связанных каналах конечной высоты. Подтверждено, что в отличие от однородных жидкостей, в смеси наблюдается жесткое возбуждение конвекции вне зависимости от знака термодиффузии, имеют место специфические переходные течения и колебательные режимы конвекции. Предложен механизм, объясняющий наблюдаемые явления, подтвержденный теоретическим решением задачи. Разными методами получены амплитудные кривые, а также поля скорости, температуры и концентрации примеси в поперечном сечении каналов, иллюстрирующие конкуренцию термодиффузионного и термогравитационного механизмов конвекции. Проведено сравнение с экспериментальными данными. В частности, из расчетов стационарных режимов следует, что там, где возникает подъемное течение, в среднем имеет место избыток тяжелой примеси, а в канале с опускным течением - недостаток. Таким образом, конвективная петля может использоваться как установка для разделения смесей на компоненты. С одной-стороны, процесс разделения* смесей происходит в динамике, на фоне конвективного переноса, т.е. быстрее, чем в статике, с другой стороны, в отличие от термодиффузионной колонны в связанных каналах отсутствуют встречные гидродинамические потоки, т.е. в области высоких надкритичностей течение дольше остается ламинарным. 9. Численно и аналитически исследовано влияние вертикальных высокочастотных вибраций на тепловую конвекцию бинарных смесей в связанных каналах конечной высоты при подогреве снизу. Показано, что вертикальные вибрации стабилизируют конвективные течения и повышают порог устойчивости механического равновесия. Рассмотрена свободная и термовибрационная- конвекция бинарной смеси в ячейке Хеле — Шоу. Проведена аналогия между явлениями, наблюдавшимися в связанных каналах и ячейке Хеле - Шоу.

1. Николис Г., Пригожим К Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. М.: Мир, 1979. 512 с.

2. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971.-350 с.

3. Голъдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. 368 с.

4. Гершуни Г.З., Жухоеицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

5. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal vibrational convection. Wiley&Sons, 1998.-358 p.

6. Гершуни Г.З., Жухоеицкий Е.М. О свободной тепловой конвекции в вибрационном поле в условиях невесомости // Докл. АН СССР, 1979, т. 249, № 3, с. 580-584.

7. Гершуни Г.З., Жухоеицкий Е.М. О конвективной неустойчивости жидкости в вибрационном поле в невесомости // Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, №4, с. 12-19.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики, т. 1. Механика. М.: Наука, 1988. 216 с.

9. Зенъкоеская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции // Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, № 5, с. 51-55.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Курс теоретической физики, т. 6. Гидродинамика. М.: Физматлит, 2001. 736 с.

11. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О параметрическом возбуждении конвективной неустойчивости //ПММ, 1963, т. 27, № 5, с. 773-783.

12. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.

13. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Юрков Ю.С. О конвективной устойчивости при наличии периодически меняющегося параметра // ПММ, 1970, т. 34, № 3, с. 470-483.

14. Gresho P.M., Sani R.L. The effect of gravity modulation on the stability of a heated fluid layer // J. Fluid Mech., 1970, v. 40, No 4, pp. 783-806.

15. Маркман Г.С., Юдович В.И. Численное исследование возникновения конвекции в слое жидкости под действием периодических по времени внешних сил // Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, № 3, с. 81-86.

16. Маркман Г. С., Юдович В.И. Возникновение конвекционных режимов двойного периода в периодическом поле внешних сил // ПМТФ, 1972, № 6, с. 65-70.

17. Юдович В.И. Об устойчивости вынужденных колебаний жидкости // Докл. АН СССР, 1970, т. 195, № 2.

18. Гершуни Г.З., Жуховщкий Е.М. О конвективной неустойчивости теплового скин-слоя // ПМТФ, 1965, № 6, с. 55.

19. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз. 1962.-479 с.

20. Маркман Г.С., Уринцев A.JI. О возникновении конечно-амплитудной конвекции в вибрирующем слое жидкости, подогреваемом сверху // Изв. АН СССР, МЖГ, 1978, № 1, с. 27-35.

21. Брискман В.А., Черепанов A.A. Параметрическая стабилизация неустойчивого равновесия жидкости в сообщающихся сосудах // Уч. зап. Пермск. ун-та, Гидродинамика, 1974, № 316, Вып. 5, 159-174.

22. Капица, П.Л. Динамическая устойчивость маятника- при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ, 1951, т. 21, Вып. 5; с: 588-564.

23. Бурдэ ГЖ, Третьяков М:Д., Третьякова Л.М. О конвективной устойчивости равновесия проводящей жидкости при независимой модуляции двух параметров // Сб. науч. трудов Пермск. пед. ин-та, Конвективные течения. 1979, Вып.1, с. 38-44.

24. Юрков Ю.С. Численное исследование конвекции в полости с модулированными внутренними, источниками тепла // Уч. зап: Пермск. ун-та, 1974, № 316, Гидродинамика, Вып. 5, с. 25-31.

25. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массопереноса. М: Наука, 1984. — 288 с.

26. Белов И.А., Кудрявцев H.A. Теплопередача и сопротивление пакетов, труб. JL: Энергоатомиздат, 1987. 223 с.

27. Белов И.А., Исаев С.А., Коробков В.А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. JL: Судостроение, 1989. -253 с.

28. Бурдэ Г.И. Численное исследование конвекции, возникающей в модулированном поле внешних сил // Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 2, с. 196-201.

29. Бурдэ Г.И. Численное исследование конвекции, возникающей при колебаниях температуры на горизонтальных границах // Изв. АН СССР, МЖГ, 1971, № 1, с. 144-150.

30. Бурдэ Г.И О конечно-амплитудной конвекции, возникающей в модулированном поле тяжести // Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, № 6, с. 124-134.

31. Смородин Б.Л., Тараут A.B. Влияние модуляции электрического поля на распространение заряда в полярной слабопроводящей жидкости // ПМТФ, 2008, т.49, № 1, с. 3-12.

32. Беляев A.B., Смородин Б.Л. Конвекция магнитной жидкости под действием переменного магнитного поля // ПМТФ, 2009, т. 50, № 4, с. 558-565.

33. Lyubimova Т.P., Dold P., Croell A., Khlybov O.A., Fayzrakhmanova I.S. Time-Dependent Magnetic Field Influence on GaAs Ciystal Growth by Vertical Bridgman Method // J. Ciystal Growth, v. 266, 2004, pp.404-410.

34. Гидромеханика и тепло- массообмен в невесомости // Под ред. B.C. Авдуевского и В.И. Полежаева. М.: Наука, 1982. — 263 с.

35. Технологические эксперименты в невесомости // Под ред. B.C. Авдуевского, В.А. Брискмана и В.И. Полежаева. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983.- 180 с.

36. Берднжов B.C., Винокуров В.В., Панченко В.И., Соловьев С.В. Теплообмен в классическом методе Чохральского // ИФЖ, т. 74, № 4, 2001, с. 122-127.

37. Зеньковская С.М. Исследование конвекции в слое жидкости при наличии вибрационных сил // Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, № 1, с. 55-58.

38. Симоненко КБ. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстроосциллирующих сил и для других параболических уравнений. Мат. сборник, 1972, т. 87, Вып. 2, с. 236-253.

39. Браверман JI.M. К вопросу о вибрационно-конвективной неустойчивости плоского слоя жидкости в невесомости // Изв. АН СССР, МЖГ, 1984, №6, с. 178-180.

40. Браверман JI.M. О некоторых типах вибрационно-конвективной неустойчивости плоского слоя жидкости в невесомости // Изв. АН СССР, МЖГ, 1987, №5, с. 4-7.

41. Заварьгкин М.П., Зорин,С.В., Путин Г.Ф. Экспериментальное исследование вибрационной-конвекции // Докл. АН СССР, 1985, т. 281, № 4, с. 815-816.

42. Al.Mialdun A., Ryzhkov /./., Melnikov D.E., and Shevtsova V. Experimental Evidence of Thermal Vibrational Convection in a Nonuniformly Heated

43. Fluid in a Reduced Gravity Environment // Physical Review Letters, 101, 084501 (2008), pp. 1-4.

44. Браверман JI.M. Некоторые задачи вибрационно-конвективной устойчивости однородной жидкости и смеси // Кандидат, диссерт., Пермск. ун-т, 1987.-215 с.

45. Гневаное Н.В., Смородин Б.Л. Конвективная неустойчивость течения бинарной смеси в условиях вибрации и термодиффузии // ПМТФ, 2006, т. 47, № 2, с. 77-84.

46. Smorodin B.L., Myznikova B.I. Convective instability of the thermovibra-tional flow of binary mixture in the presence of Soret effect // Philos. Mag., 2003, v. 83, No 17/18, pp. 2155-2170.

47. Gershuni G.Z., Zhukhovitsky E.M., Kolesnikov A.K., Yurkov Yu.S. Vibrational Convection in a Horizontal «Fluid Layer with Internal Heat Sources // Int. J. Heat and'Mass Transfer, 1989, v. 32, 42, pp. 2319-2328.

48. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Колесников А.К. Вибрационно-конвективная неустойчивость горизонтального слоя жидкости с внутренними источниками тепла // Изв. АН СССР, МЖГ, 1985, № 5, с. 3-7.

49. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Колесников А.К. Конвективная устойчивость горизонтального слоя реагирующей среды в высокочастотном вибрационном поле // Физика горения и взрыва. 1990, № 5, с. 91-96.

50. Шарифуллин А.Н. Устойчивость конвективного движения в вертикальном слое при наличии продольных вибраций // Изв. АН СССР, МЖГ, 1983, № 2, с. 186-188.

51. Герцгнштейн С.Я., Рахманов А.И. Конвекция в плоском слое жидкости, вращающемся вокруг горизонтальной оси // Докл. АН СССР, 1983, т. 269, № 3, с. 561-564.

52. Бердников B.C., Захаров В.П., Марков В.А. Тепловая гравитационно-центробежная конвекция в подогреваемом снизу слое жидкости // ИФЖ, 2001, т. 74, №4, с. 111-115.

53. Иванова A.A. Козлов В.Г. Экспериментальное изучение влияния вертикальных вибраций на конвекцию в горизонтальном цилиндрическом слое. Изв. АН СССР, МЖГ, 1985, № 6, с. 180-183.

54. Иванова A.A. Козлов В.Г. Вибрационно-гравитационная конвекция в горизонтальном цилиндрическом слое // Сб. Конвективные течения, Пермь: Изд-во Пермск. пед. ин-та, 1985, с. 45-57.

55. Шарифулин А.Н. Конечноамплитудная вибрационная тепловая конвекция в цилиндрическом слое в условиях невесомости // Сб. Конвективные течения, Пермь: Изд-во Пермск. пед. ин-та, 1983, с. 102108.

56. Чернатынский В.И. Численное исследование вибрационной конвекции в цилиндрическом слое // Сб. Конвективные течения, Пермь: Изд-во Пермск. пед. ин-та, 1989, с. 32-37.

57. Иванова A.A. Экспериментальное изучение влияния вибраций на нестационарный конвективный теплоперенос в цилиндрической полости // Сб. Конвективные течения. Пермь: Изд-во 111'ПИ, 1985, с. 57-60.