Геометрические и функциональные свойства решений задачи Хеле-Шоу тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

1 Основные свойства уравнения Хеле-Шоу и оператора Шварца

1.1 Модель Хеле-Шоу для односвязной области с источниками

1.2 Свойства ^-операторз,^ оператора Шварца.

1.3 Теорема Ричардсона о площади- '.

1.4 Функция Шварца.

1.5 Неравенство на мнимую часть оператора Шварца

2 Инвариантные семейства

2.1 Вспомогательные дифференциальные неравенства

2.2 Внутренние и внешние радиусы решения

2.3 Априорные оценки нормы первой производной

2.4 Инвариантные семейства.

2.5 Моменты и инвариантные многочлены.63

2.6 Асимптотические свойства решений уравнения Хеле-Шоу.

3 Задача о сдавливании

3.1 Постановка задачи

3.2 Вспомогательные утверждения.

3.3 Вспомогательная интегральная формула.

3.4 Доказательство теоремы 3.

Исторические замечания. Настоящая работа посвящена исследованию методами комплексного анализа эволюционных семейств нестационарных однофазных задач математической физики со свободными границами, описывающими динамику ячейки вязкой жидкости Хеле-Шоу и некоторые другие физические процессы.

В 40-х годах П.Я. Полубаринова-Кочина [36] и П.П. Куфарев [33] исследовали задачу об эволюции нефтяной залежи определенной геометрической формы, окруженной водой, в результате откачки нефти из скважины, расположенной внутри залежи. Полученное.эволюционное уравнение впоследствии изучалось П.П. Куфаревым и Ю.П Виноградовым [9] путем сведения к подходящему интегральному уравнению. В зависимости от параметров эволюционного уравнения, задача Хеле-Шоу имеет различные физические интерпретации, самые распространенные из которых: забор нефти из пористых сред, закачивание вязкой жидкости в плоскопараллельный слой, заполненный другой вязкой жидкостью, отыскание оптимального расположения источника закачки в данной полимерообразующей форме и другие задачи гидродинамики. Родственная задача возникает в случае сдавливания капли вязкой жидкости заданной начальной конфигурации двумя параллельными плоскостями (так называемая squeezing problem), а так же в случае прессовки мягких материалов, в электрохимическом машиностроении, в процессе роста кристаллов и в других эволюционных моделях.

В своей простейшей форме, когда вязкость внешней среды (воздуха) и поверхностное натяжение на границе раздела сред пренебрежимо малы, уравнение Хеле-Шоу приводит к изучению решений уравнений, близких по качественной структуре к уравнению Левнера-Куфарева [14] вариационной теории однолистных конформных отображений. По этой причине уравнение Хеле-Шоу тесно связано с теорией однолистных функций в единичном круге, в особенности с той ее частью, которая касается структурных свойств различных подклассов однолистных функций, а также вариационных задач для соответствующих функционалов. Нелинейный характер данных проблем приводит к необходимости использования самых разных методов современного анализа, от с классических методов длины и площади, конформных инвариантов (модули семейств кривых, емкости и т.д.), симметризации, и заканчивая методами теории оптимального управления, функционального анализа на гильбертовых пространствах (теория де Бранжа) и др. Особенно следует отметить, что самые глубокие и мощные методы возникали в связи с различными геометрическими интерпретациями задач теории функций и были развиты и систематизированы в известной монографии Г.М. Голузина [14] и в ряде работ других авторов. Важные результаты в геометрической теории конечнолистных функций в разное время были получены И.А. Александровым, JI. Би-бербахом, де Бранжем, В.Я. Гутлянским, Дж. Дженкинсом, В.В. Дубининым, Г.В. Кузьминой, П.П. Куфаревым, H.A. Лебедевым, К. Ле-внером, Д.В. Прохоровым, П.М. Тамразовым, У. Хейманом и другими российскими и зарубежными математиками.

Другая важная черта уравнения Хеле-Шоу заключается в существовании бесконечного семейства первых интегралов движения (законов сохранения), приводящего к возможности отыскания точных решений. Впервые это обстоятельство было подмечено и использовано П.Я. Полубариновой-Кочиной в работе [36], а затем более общее утверждение было получено С. Ричардсоном в [37]. Именно, для эволюционного семейства Cl(t) в задаче Хеле-Шоу с одним источником, находящимся в точке zq комплексной плоскости, величины комплексных моментов

Мп№)) = \ il(i) z — zo)n dzdz не зависят от параметра t при любом натуральном п > 1, в то время как величина нулевого момента М"о(£}(£)) линейно зависит от времени:

Последовательность комплексных моментов возникает также при асимптотическом разложении в окрестности бесконечно удаленной точки градиента логарифмического- потенциала области

Несмотря на сходство способов определения комплексных и вещественных моментов, имеются довольно сильные расхождения в этих теориях. В частности, в силу ряда причин (в частности, в силу некорректности) является нерешенной в настоящее время обратная задача — восстановление области по последовательности моментов. В то же время хорошо известно из результатов М. Сакаи [45], что одной и той же последовательности моментов могут соответствовать две и более различных односвязных областей в комплексной плоскости. С другой стороны, если ограничиться специальными подклассами, единствен-, ность обратной задачи уже имеет место. Так, рассматривая обратную задачу теории потенциала, П.С. Новиков в 1938 г. [35] установил единственность решения в классе,звездных областей. Различные результаты, касающиеся обратной задачи теории потенциала и комплексных моментов недавно были получены М.А. Бродским, Б. Густаф-ссоном, В.М. Исаковым, Л. Зальцманом, Н.С. Надирашвили, М. Сакаи,

B.Н. Страховым, В.Г. Чередниченко и др.

В последнее десятилетие в целом ряде работ Ричардсона [40]-[42],

C.Д. Ховисона [55]-[58], Ю.Е.Хохлова [58]-[59] и других авторов рассматривались вопросы построения и детального исследования точных решений задачи Хеле-Шоу с конечным числом источников (стоков). Используя прием Ричардсона, основанный на связи последовательности комплексных моментов с функцией Шварца данной области, часто

Mo(ft(i))' = 2тг t + M0(Q( 0)). удается построить явный вид эволюционной области не только для односвязной, но и для многосвязной начальной области О(О).

Тем не менее, несмотря на указанный способ построения точных решений, в силу нелинейного характера и плохой обусловленности задачи Хеле-Шоу, выяснение качественных, геометрических и структурных свойств семейства эволюционных областей представляется в настоящее время трудной и нерешенной еще до конца задачей. Особенно данное обстоятельство относится к задаче со стоком (которая является некорректной), в которой нет единого понятия слабого или обобщенного решения. Глубокие результаты в этом направлении были получены в недавних работах Э. Бенедетто, М. Сакаи, Б. Густафссона и А. Фридмана. Однако в задаче с источником для области структурно устроенной хуже, чем звездная, не известна даже оценка времени существования однолистного решения. Как показано в работе С.Д. Хо-висона [55], существуют различные сценарии развития сингулярных точек на границах эволюционных областей.

С другой стороны, имеются обширные классы начальных областей, для которых эволюционное семейство имеет бесконечное время жизни. Нахождению достаточных условий для выполнимости последнего свойства посвящены работы А.Ю. Васильева, Д.В. Прохорова и Ю.Е. Хохлова [60], Б. Густафссона и М. Сакаи [18].

Цель работы. Основными направлениями исследования в данной диссертационной работе являются: получение оценок скорости роста внутренних характеристик эволюционных областей (внутренний и внешний радиусы, величина первой производной отображающей функции, коэффициенты отображающей функции, изопериметрический дефект и т.д.); исследование проблемы инвариантных классов однолистных отображений в задаче Хеле-Шоу; исследование асимптотических свойств решений задачи Хеле-Шоу с одним источником; описание остова для произвольного эллипсоида в общем п-мерном случае.

Методы исследования. Доказательство основных результатов диссертации основано на использовании различных методов геометрической теории функций и теории потенциала: принципа максимума для субгармонических функций, вариационных методов, априорных оценок для решений уравнения Хеле-Шоу и др. В работе вводится и используется понятие инвариантных классов для задачи Хеле-Шоу и доказывается инвариантность некоторых известных подклассов однолистных в единичном круге голоморфных функций.

Научная новизна и практическая значимость. Все результаты, представляемые в диссертационной работе, кроме вводного параграфа 1.1 и некоторых подготовительных результатов параграфов 1.2, 1.3, являются новыми. Работа носит теретический характер.

Основными результатами, выносимыми автором на защиту, являются следующие.

1. Получен ряд новых оценок скорости роста различных характеристик эволюционных областей. В частности, установлены точные оценки на внешний радиус области и на норму первой производной отображающей функции.

2. Доказана инвариантность относительно задачи Хеле-Шоу классов ¿-спиралеобразных и а-звездообразных функций. Установлен монотонный характер определяющих параметров этих классов и, как следствие, получена асимптотика параметров 6 и а в зависимости от времени 1

3. Найдены точные оценки для коэффициентов отображающей функции и на их основе получено свойство инвариантности некоторого класса Нп однолистных многочленов. При этом доказано, что многочлены указанного класса всегда являются звездообразными функциями.

4. Получена точная оценка изопериметрического дефекта для области из эволюционного семейства в терминах некоторых метрических характеристик начальной области. Как следствие, доказано свойство сходимости в метрике Хаусдорфа масштабированных эволюционных областей к единичному кругу.

5. На основе предложенного автором нового подхода к задаче о сдавливании, дано полное описание остова n-мерного эллипсоида в общем случае.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всероссийских школах-конференциях "Алгебра и анализ" (г. Казань, 1997 г.), "Современные проблемы теории функций и их приложения" (г. Саратов, 1998, 2000 г.г.), на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (1997, 1998, 1999 г.г.), на Международной конференции по анализу и геометрии (г. Новосибирск, 1999 г.), на научных семинарах "Геометрические вопросы теории конформных отображений" СГУ (руководитель - проф. Прохоров Д.В.), "Нелинейный анализ" ВолГУ (руководитель - проф. Миклюков В.М.), на научном коллоквиуме Института Математики Кельнского университета, (руководитель - проф. Т. Кюппер), г. Кельн, Германия, 1998 г., на научном семинаре по теории потенциала и анализу Королевского Технологического Института (руководители - проф. Х.С. Шапиро, проф. Б. Густафссон), г. Стокгольм, Швеция, 1999 г.

Основные результаты автора опубликованны в работах [27]—[32]. Все результаты из совместных статей, используемые автором в диссертации, получены им самостоятельно.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (разбитых на параграфы с подчиненной нумерацией), библиографии и изложена на 103 страницах. Нумерация формул и утверждений подчинена соответствующей главе и не зависит от параграфов. Библиография диссертации содержит 61 наименование. При построении графиков использовалась система компьютерной алгебры Maple V Release 5.

1. Александров И.А:, Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.:Наука, 1976, 344 С.

2. Armitage D.H., Gardiner S.J., Best one-side .¿^-approximation by harmonic and subharmonic functions // Adv.,in Mult. Approx., Math. Research 1999. P. 13.

3. Базилевич И.Е., Обобщение одной интегральной формулы для подкласса однолистных функций // Матем. сборник. 1964.- Т. 64, N 4.- С. 628-630.

4. Benedetto Е., Friedman A., The ill-posed Hele-Shaw model and the Stefan problem for. supercooled water // Trans. AMS.- 1984.-V. 282., N 1.- P. 183-204.

5. Бицадзе А.В., Уравнения математической физики. M.: 1982, 336 С.

6. Bonnesen Т., Les problemes des isoperimetres et des isepiphanes. Paris, 1929.

7. Бураго Д.М., Залгаллер В.А., Геометрические неравенства. М.: Наука, 1980, 288 С.

8. Варченко А.Н., Этингоф П.И., Почему граница круглой капли превращается в инверсный образ эллипса, М.: Наука Физматлит, 1995, 80 С.

9. Виноградов Ю.П., Куфарев П.П., Об одной задаче фильтрации // Прикл. матем. и мех. 1948. - Т. 12. - С. 181-198.

10. Галин JI.А., Неустановившаяся фильтрация со свободной поверхностью // Докл. Акад. Наук СССР. 1945. - Т. XLVII, N 4. - С. 250253.

11. Гамелин Т., Равномерные алгебры. М.: Мир, 1973, 334 С.

12. Гарнет Дж., Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984, 469 С.

13. Гилбарг Д., Трудингер М., Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989, 464 С.

14. Голузин Г.М., Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966, 628 С.

15. Gustafsson В., On Mother Bodies of Convex Polyhedra // SI AM J. Math. Anal. 1998. - V. 29, N 5. - P. 1106-1117.

16. Gustafsson В., On a differential equation arising in a Hele-Shaw flow 'moving boundary problem // Ark. for Mat. 1984. - V: 22, N 2.P. 251-268.

17. Gustafsson В., Direct and inverse balayage — some new developments in classical potencial theory // Nonlinear analysis, Theory, Methods & Applications. 1997 - V. 30, N 5. - P. 2557-2565.

18. Gustafsson В., Sakai M. // Nonlinear Anal. 1994. - V. 22. - P. 12211245.

19. Gustafsson В., Sakai M., Shapiro H.S., On domains in which harmonic functions satisfy generalized mean value properties // Potential Analysis. 1997. - V. 7. P. 467-484.

20. Davis P.J., The Schwarz function and its applications. The Carus Math. Monographs 17, The Math. Association in America, 1974.

21. Евграфов M.A., Аналитические функции, M.: Наука, 1968, 448 С.

22. Elliott C.M., Janovsky V., A variational inequality approach to the Hele-Shaw flow with a moving boundary // Proc. Royal. Soc. Edinburgh. 1981. - V. 88A. - P. 93-107.

23. Entov V.M., Etingof P.I., Bubble Contraction in Hele-Shaw Cells. // Q.J. Mech. Appl. Math. 1991. - V. 44, Pt.4. - P. 507-535.

24. Zidarov D.P., Inverse gravimetric problem in geoprospecting and geodesy. Elsevier, Amsterdam, 1990.

25. Зморович B.A., О некоторых специальных классах однолистных в круге аналитических функций // Успехи мат. наук. 1954. - Т. IX, N 4(62). - С. 175-182.

26. Kosmodem'yanskii A.A., Jr., On the location of the fail points in torsion problem // Applicable analysis. 1999. - V. 71(1-4). - P. 271278.

27. Кузнецова O.G., О некоторых геометрических свойствах решений уравнения Хеле-Шоу. // Тез. конф. "Алгебра и Анализ". Казань: Изд-во КазГУ. - 1997. - С. 131-132. '

28. Кузнецова О.С., Оценки изопериметрического дефекта для решений эволюционного уравнения Хеле-Шоу. // Вестник ВолГУ. Математика. 1998.- Сер. 1, Вып. 3.- С. 12-17.

29. Кузнецова О.С., О связи комплексных моментов семейства областей Хеле-Шоу с его геометрическими свойствами. // Тез. конф. по анализу и геометрии. Новосибирск: Изд-во Института Математики. - 1999. - С. 48-50.

30. Кузнецова О.С., Многомерная модель Хеле-Шоу для случая с равномерно распределенными источниками. // Тез. зимней школы-конференции по теории функций и приближений. Саратов: Изд-во СГУ. - 2000. - С. 72-73. ' . .

31. Кузнецова О.С., Прохоров Д.В., О геометрических свойствах решений уравнения Хеле-Шоу. // Вестник ВолГУ. Математика. -1999. Сер. 1, Вып. 4. - С. 21-27.

32. Кузнецова О.С., Ткачев В.Г., Асимптотические свойства решений уравнения Хеле-Шоу. // Доклады РАН. 1999. - Т. 367, N. 2. -С. 164-165.

33. Куфарев П.П., Решение задачи о контуре нефтеносности для круга // Докл. Акад. Наук СССР. 1948. - Т. LX, N 8. - С. 1333-1334.

34. Margulis A.S., The moving boundary problem of potential theory // Technical Report. Technion, Haifa. 1993. - 31 C.

35. Новиков П.С., О единственности решения обратной задачи теории потенциала // Докл. Акад. Наук СССР. 1938. - N 18. - С. 165-168.

36. Полубаринова-Кочина П.Я., К вопросу о перемещении контура нефтеносности // Докл. Акад. Наук СССР. 1945. - Т. XLVII, N 4. - С. 254-257.

37. Richardson S., Hele-Shaw flows with a free boundary produced by the injection of fluid into a narrow channel //J. Fluid Mech. 1972. -V. 56, N 4. -P. 609-618.

38. Richardson S., Hele-Shaw flows with time-dependent free boundaries // J. Fluid Mech. 1981. - V. 102. - P. 263-278.

39. Richardson S., The Characterization of Curves by Global Properties of Their Schwarz Functions // Complex Variables. 1990. - V. 15. -P. 11-17.

40. Richardson S., Hele-Shaw flows with time-dependent free boundaries involving injection through slits // Studies in Applied Math. 1992. -V. 87. - P. 175-194.

41. Richardson S., Hele-Shaw flows with time-dependent free boundaries in which the fluid: occupies a multiply-connected region // Euro. Jnl of Appl. Math. 1994. - V. 5. - P. 97-122.

42. Richardson S., On the Classification of Solutions to the Zero-surface-tension Model for Hele-Shaw free boundary flows // Q.J. of Appl. Math. 1994. - V. LV, N 2. - P. 313-319.

43. Richardson S., Hele-Shaw flows with time-dependent free boundaries involving a concentric annulus // Phil. Trans. R. Soc. bond. A 1996.- V. 354. P. 2513-2553.

44. Richardson S., Two-dimensional Siokes flows with time-dependent free boundaries driven by surface tension // Euro. Jnl of Appl. Math.- 1997.- V. 8. P. 311-329.

45. Sakai M., A Moment Problem on Jordan Domains // Proceedings of AMS. 1978 - V. 70, N 1 - P. 35-38.

46. Sakai M., Quadrature Domains, Lecture Notes in Math., SpringerVerlag N.Y., 1982, 198 P.

47. Savina Т., Sternin В., Shatalov V., Notes on "mother body" problem in geographies // Preprint. MPI/95-90. Max-Planck Institut Press. 23 P.

48. Тиман А.Ф., Трофимов В.H., Введение в теорию гармонических функций, М., Наука, 1968, 208 С.

49. Ullemar С., Uniqueness theorem for domains satisfying quadrature identity for analytic functions // TRITA-MAT 1980-37. -Mathematics. Royal Inst, of Technology, S-100-44. - Stockholm.

50. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука, 1987, 760 С.

51. Fuglede В., Bonnesen's inequality for the isoperimetric deficiency of closed curves in the plane // Geometriae Dedicata. 1991. - V. 38. -C. 283-300.

52. Khavinson D., Holomorphic partial differential equations and classical potencial theory. Universidad de La Laguna Press. 223 С.

53. Г. Хадвигер, Лекции об объеме, площади поверхности и изопери-метрии. М.: Наука, 1966, 416 С.

54. Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Пойа Г., Неравенства. М.: ИЛ, 1948, 456 С.

55. Howison S.D., Cusp development in Hele-Shaw flows with free surface. // SI AM J. Appl Math. 1986. - V. 46, N 1. - P. 20-26.

56. Howison S.D., Ockendon J.R., Lacey A.A., Singularity Development in Moving-boundary Problems. // Q.J. Mech.- Appl. Math. 1985. -V. 38, Pt.3. - P. 344-360.

57. Howison S.D., Richardson S., Cusp development in free boundaries, and two-dimensional slow viscous flows // Euro. Jul. of Appl. Math. 1995. - V. 6. - P. 441-454.

58. Ховисон С.Д., Хохлов Ю.Е., 0 классификации решений в задаче о течениях Хеле-Шоу с неизвестной границей // Докл. Акад. Наук СССР. 1992. - N 325. - С. 1161-1166.

59. Хохлов Ю.Е., Точные решения в задаче о течениях Хеле-Шоу // Докл. Акад. Наук СССР. 1990. - N 190. - С. 80-83.

60. Hohlov Yu., Prokhorov D., Vasil'ev A., On geometrical properties of free boundaries in the Hele-Shaw flows moving boundary problem //1.bachevskii Journal of Mathematics. 1998. - V.l. - P. 3-13.i

61. Shapiro H.S., The Schwarz function and its Generalization to Higher Dimensions, Wiley, New York, 1992, 108 P.