Морфологическая устойчивость фазовой границы при радиальном вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Бирзина Анна Ильинична

МОРФОЛОГИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ФАЗОВОЙ ГРАНИЦЫ ПРИ РАДИАЛЬНОМ ВЫТЕСНЕНИИ ЖИДКОСТИ В ЯЧЕЙКЕ ХЕЛЕ-ШОУ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 3 ДЕК 2009

Пермь-2009

003486050

Работа выполнена на кафедре молекулярной физики Уральского государственного технического университета - УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Селезнев Владимир Дмитриевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Братухин Юрий Клавдиевич

доктор физико-математических наук, профессор Иванов Алексей Олегович

Ведущая организация:

Институт механики сплошных сред УрО РАН, г, Пермь

Защита состоится " 22 " декабря 2009 г. в 15 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д 212.189.06 при Пермском государственном университете по адресу: 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15, зал заседаний Ученого совета ПГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки Пермского государственного университета.

Автореферат разослан « № » ЮочГрУ 2009 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.189.06,

кандидат физико-математических наук, доцент

В.Г. Гилев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Неравновесные (кинетические) фазовые переходы давно и интенсивно исследуются. Это связано со многими причинами. Среди них: потребности современных технологий, интересные и нетривиальные теоретические модели и подходы, существенно обогащающие наши представления об окружающем мире, эстетические аспекты и так далее. К неравновесным переходам относят также и так называемые морфологические переходы, типичным примером которых является образование удивительных по красоте фрактальных и дендритных кристаллических структур в результате потери морфологической устойчивости поверхности.

При исследовании переходов в неравновесных процессах было замечено, что они имеют много общих черт с равновесными фазовыми переходами. В частности, они могут иметь метастабильную зону в пространстве параметров, ограниченную спинодалью (границей со стороны области абсолютной неустойчивости по отношению к любым, в том числе бесконечно малым возмущениям) и бинодалью (границы со стороны области абсолютной устойчивости). В отличие от равновесных фазовых переходов кинетические фазовые переходы существенно менее изучены, так как неравновесность процесса накладывает дополнительные сложности, как на экспериментальные методы, так и на теоретические подходы.

В настоящей работе исследуется потеря устойчивости границы раздела двух жидкостей при вытеснении в радиальной ячейке Хеле-Шоу. Это является классическим морфологическим фазовым переходом. В этом процессе менее вязкая жидкость вытесняет более вязкую при горизонтальном движении в ячейке Хеле-Шоу (две плоскопараллельные пластины, расположенные на малом расстоянии друг относительно друга), и с течением времени граница раздела жидкостей, изначально являющаяся практически круглой, начинает приобретать причудливую, "пальцеобразную" форму.

Выбор подобной системы представляется очень важным в связи со следующим. Данный переход (во всяком случае, его начальная стадия) может быть достаточно просто и точно математически смоделирован и проанализирован. В большинстве случаев оказывается достаточным проведение линейного анализа на устойчивость границы раздела, при этом поле давления хорошо описывается двумерным уравнением Лапласа, а свойства среды являются изотропными (в отличие от морфологических переходов при кристаллизации). Вместе с тем, и экспериментальная реализация и исследование данного явления не сопряжены с особыми сложностями. Опыт с успехом может проводиться в обычных комнатных условиях без использования специальной аппаратуры, явление хорошо воспроизводимо и наблюдаемо для многих жидкостей. Последнее позволяет осуществлять исследование в широком диапазоне параметров. Важным моментом является возможность простого экспериментального введения возмущений границы раздела двух жидкостей (для многих других систем, например кристаллических, это не столь просто). Благодаря таким особенностям данная система оказывается очень

ценной с точки зрения возможности не только качественной, но и количественной проверки различных теоретических подходов и гипотез описания морфологических фазовых переходов.

Процесс вытеснения в ячейке Хеле-Шоу характеризуется следующими параметрами: радиусом отверстия, через которое поступает вытесняющая жидкость, внешним радиусом ячейки, вязкостями вытесняемой и вытесняющей жидкостей, а также коэффициентами влияния скорости движения жидкостей на поперечный профиль фазовой границы. Однако в литературе нет работ, в которых были бы учтены зависимости от всех этих факторов, и рассматриваются упрощающие приближения, в которых частью этих параметров пренебрегают. Также следует отметить, что существенным недостатком имеющихся теоретических работ на устойчивость фронта является то, что они не позволяют ответить на следующий вопрос, который сразу возникает на практике при анализе экспериментальных результатов: каким будет критический размер устойчивости, если возмущение будет произвольным (не бесконечно малым)? Как следствие, чтобы преодолеть этот недостаток, необходимо вводить дополнительные гипотезы и методы расчета. К одному из таких методов, появившихся в последнее время, можно отнести использование анализа изменения производства энтропии при морфологическом фазовом переходе, однако для определения области метастабильности в ячейке Хеле-Шоу этот метод не использовался.

Несмотря на достаточно большое число экспериментальных исследований возникновения и роста вязких пальцев в радиальной ячейке Хеле-Шоу, основное внимание в них уделяется развитому режиму неустойчивости с регистрацией числа возникающих «пальцев», их формы и скорости роста. Ни в одной из работ не исследуется первоначальный этап возникновения неустойчивости на фазовой границе, не измеряется критический размер срыва устойчивости. Хотя именно этот размер является основным результатом линейной теории устойчивости, знание которого позволит судить о том, на каком этапе вытеснения начнется рост пальцев, и будет ли вообще он происходить в ячейке данного размера.

Цель работы: комплексное теоретическое и экспериментальное изучение начальной стадии потери морфологической устойчивости поверхности раздела при радиальном вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу.

В рамках этой цели решались следующие задачи:

1. Решение линейной задачи устойчивости фронта вытеснения с учетом всех характеризующих процесс вытеснения факторов и определение критического радиуса срыва устойчивого вытеснения;

2. Разработка методики и проведение анализа изменения производства энтропии при морфологическом фазовом переходе, и определение критического радиуса, при котором происходит инверсия знака этого изменения;

3. Экспериментальное измерение критического радиуса потери устойчивости фронта вытеснения;

4. Сравнение опытных и теоретических значений критических радиусов срыва устойчивости;

5. Исследование влияния внешнего возмущения по первой гармонике на значение критического радиуса устойчивости.

Научная новизна

1. Впервые проведено решение линейной задачи устойчивости поверхности раздела жидкостей при вытеснении в радиальной ячейке Хеле-Шоу с учетом всех определяющих процесс вытеснения факторов - радиуса отверстия, через которое поступает вытесняющая жидкость, внешнего радиуса ячейки, вязкостен вытесняемой и вытесняющей жидкостей, а также влияния скорости движения жидкостей на поперечный профиль фазовой границы;

2. Впервые получено аналитическое выражение для критического радиуса потери устойчивости фронта вытеснения по трансляционной моде;

3. Впервые рассчитаны критические радиусы потери устойчивости для второй, третьей и четвертой гармоник при комплексном учете всех определяющих параметров вытеснения;

4. Обнаружено, что изменение отношения вязкостей вытесняющей и вытесняемой жидкости нелинейно влияет на критический радиус потери устойчивости;

5. С использованием принципа максимума производства энтропии и линейного анализа на устойчивость впервые построена морфологическая диаграмма (с устойчивой, неустойчивой и метастабильной областями) для различных параметров вытеснения и указана последовательность морфологических переходов в метастабильной области в зависимости от отношения вязкостей вытесняющей и вытесняемой жидкостей;

6. Впервые экспериментально измерен критический радиус потери устойчивости поверхности раздела воздух - силиконовое масло для различных значений расхода вытесняющей жидкости и толщины ячейки Хеле-Шоу.

Защищаемые положения:

1. Проведенный в работе учет конечности размеров ячейки Хеле-Шоу приводит к ненулевому конечному значению критического радиуса потери устойчивости фронта вытеснения по первой гармонике (трансляционный сдвиг), тогда как пренебрежение этим вкладом соответствует устойчивому решению;

2. В соответствии с теоретическими предсказаниями при вытеснении воздухом силиконового масла экспериментально подтверждено существование трансляционной неустойчивости;

3. Подбором соотношения вязкостей можно добиться того, что потеря устойчивости будет происходить по определенной, заранее заданной гармонике;

4. Критический радиус Кь, определяемый из условия равенства нулю разности производства энтропии при устойчивом и неустойчивом режимах вытеснения, всегда меньше критического радиуса Я,, который находится из условия равенства нулю скорости изменения амплитуды возмущения (линейный анализ устойчивости);

5. Экспериментальное подтверждение того, что потеря устойчивости радиального фронта вытеснения воздухом силиконового масла при сдвиговом воздействии, моделирующем трансляционное возмущение, происходит при размерах, меньших критического радиуса спинодали Rs.

Достоверность подтверждается: обоснованностью физических представлений и моделей сплошных сред, используемых для исследования процессов течения жидкостей в ячейке Хеле-Шоу, соответствием полученных автором теоретических выводов и экспериментальных данных, математической строгостью методов решения и согласованностью полученных результатов между собой и с результатами известных решений.

Практическая ценность

Предложенные математические модели и полученные результаты могут быть использованы при совершенствовании технологий нефтедобычи, связанных с извлечением остаточной нефти из скважины с помощью воды, поступающей под давлением. К перспективным направлениям применения результатов, представленных в работе, можно отнести решение как ряда экологических проблем связанных с распространением жидких отходов в пористых средах, так и некоторых гидрологических вопросов, связанных с распространением подземных вод.

Апробация работы. Результаты исследования были представлены и обсуждены на тринадцатой всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых «ВНКСФ-13» (Ростов-на-Дону, Таганрог, 2007), XII отчетной конференции молодых ученых УГТУ-УПИ (Екатеринбург, 2007), Четвертом Российском совещании "Метастабильные состояния и флуктуационные явления" (Екатеринбург, 2007), Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах НПСС-2007» (Пермь, 2007), Workshop on Maximum entropy production in Earth System (Jena, Germany, 2008), на семинарах кафедры молекулярной физики физиков технического факультета УГТУ-УПИ.

Публикации. Результаты исследования изложены в 3 статьях в рецензируемых журналах (входящих в список ВАК), 2 статьях в сборниках трудов конференций, 2 тезисах докладов конференций.

Личный вклад автора в получении научных результатов. Постановка задачи исследования была проведена совместно с научным руководителем. Решение задачи об устойчивости с помощью линейного анализа, расчет производства энтропии и анализ его изменения, а также обработка экспериментальных данных выполнены автором. Анализ результатов теоретических расчетов, эксперимент и анализ полученных после обработки данных проводился совместно с научным руководителем.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем работы - 118 страниц, в том числе 36 рисунков, 3 таблицы, библиографический список содержит 94 источника.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы актуальность темы, цель диссертационной работы, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматриваются литературные данные, посвященные исследованию устойчивости при вытеснении жидкостей в ячейке Хеле-Шоу. Описан механизм потери устойчивости межфазной границы, в основе которого лежит конкуренция двух сил: силы поверхностного натяжения и градиента давления. Далее рассмотрены существующие теоретические подходы описания потери устойчивости, в основе которых лежит линейный анализ, а также экспериментальные методы исследования явления образования вязких пальцев. Несмотря на то, что линейный анализ устойчивости вытеснения в ячейке Хеле-Шоу описывает только бесконечно малые возмущения поверхности раздела фаз, традиционно его применяют для описания развитого режима роста вязких пальцев, а сам момент потери устойчивости теоретически изучен недостаточно. Экспериментальных исследований, посвященных изучению начальной стадии потери устойчивости при радиальном вытеснении также практически нет.

С точки зрения исследования потери устойчивости при не бесконечно малых возмущениях перспективным представляется использование производства энтропии для отбора режимов вытеснения. Из описанных экспериментов по вытеснению в ячейке Хеле-Шоу видно, что морфология при потере устойчивости поверхности раздела двух жидкостей очень похожа на морфологию при кристаллизации. Приведен обзор работ, посвященных использованию метода, связанного с анализом производства энтропии, для исследования потери устойчивости в кристаллизационных задачах. Также отмечается, что этот подхода для анализа устойчивости межфазной границы жидкостей практически не применялся.

На основе проведенного обзора литературы в конце главы формулируются основные задачи диссертации, приведенные в общей характеристике работы.

Вторая глава посвящена построению аналитической модели вытеснения в ячейке Хеле-Шоу, пригодной для количественного сравнения с экспериментом. Проводится линейный анализ потери устойчивости, в котором учитываются размеры ячейки Хеле-Шоу, вязкость вытесняемой жидкости, а также влияние скорости движения на форму поверхности раздела.

Рассматривается медленное квазистационарное вытеснение одной жидкости другой в ячейке Хеле-Шоу. Обе жидкости считаются несмешивающимися и несжимаемыми. Движение рассматривается квазидвумерным, все характеристики потока усреднены по толщине ячейки.

Произвольно малое искажение границы представляется в виде Лгр =Я + Зсоа(пр), где Е- радиус невозмущенной поверхности, 8 -

амплитуда возмущения, п - номер гармоники возмущения. Математическая постановка задачи (см. также рис.1), следующая:

Да = 0, (1)

Ар2 =0, (2)

Mrq = ß/(2ir*o) или Л|До =Ро,

(За); (ЗЬ) (4)

Рис. 1. Схема радиальной ячейки Хеле-Шоу.

Ap = 2s/b+aVX +ßK, (5)

А (6)

где р,- давление в жидкости (i=l, 2 для вытесняющей либо для вытесняемой

жидкости, соответственно), Vr скорость движения жидкости, Я -нормаль к поверхности, R0 - радиус отверстия, через которое поступает вытесняющая жидкость либо с постоянным расходом (Q, mm2/s), либо при постоянном давлении (р0, Па), Rx - размер ячейки Хеле-Шоу, занятой вытесняемой жидкостью, К -кривизна поверхности раздела, в -поверхностное натяжение, а, ß и / некоторые параметры (согласно Park C.-W. and Homsy G. M.// J. Fluid Mech. 1984 139 pp. 291-308] а = 3.8-2Е/б(ц2/в)т, ß = re/4, у = 2/3).

Уравнения (1-2) являются следствием закона Дарси =-M^Jpi

о

(Mj = Ъ /\2fij, Ъ- расстояние между поверхностями ячейки, /л^ вязкость жидкости) и условия непрерывности потока. Граничные условия (За) или (ЗЬ) определяют два основных способа организации вытеснения: либо при постоянном расходе поступающей жидкости, либо при постоянном давлении, соответственно. Граничное условие (4) представляет собой условие непрерывности скорости движения жидкостей на границе раздела. Формула (5) - аналог условия Лапласа, задающего скачок давления на искривленной границе двух жидких фаз, полученный в результате асимптотического анализа трехмерной задачи о медленном движении фронта одной жидкости внутри другой со скоростью Vn [Park C.-W. and Homsy G. M.// J. Fluid Mech. 1984 139 pp. 291-308]. Давление вытесняемой жидкости на внешней границе ячейки считается постоянным (6) и для удобства расчета выбрано нулевым.

В случае вытеснения с постоянным расходом вытесняющей жидкости, получаем, что в линейном приближении скорость роста возмущения определяется соотношением:

SIS R/R

= -l + n 1

Щ " М,

С"2 -D-

-ау\

jlY

2zR)

2я MjM

Q Mi -Мг

\)Мг l + (R0/R)2" | 1-(Л/Д„)2" / Q У2яМ2

м, 1-(Я0/Д)2л 1 + (R/RS" l2jrÄJ ß

(7)

Критический размер устойчивости границы , после которого скорость роста

возмущения 8 меняет свой знак с отрицательного (затухание возмущения) на положительный (развитие возмущения) можно определить из уравнения ¿/3 = 0, решив его относительно Я.

Для вытеснения с постоянным расходом вытесняющей жидкости после введения безразмерных параметров Я=Я{<212кМгР), Л0= Яй(^2/2яМ2Р), Як =Яю(2/27гМ2уЗ) и (I = М2/М1 = ¡11 / ¡12 уравнение для нахождения критического радиуса потери устойчивости записывается в виде:

-1 + п

1-(Я0/Я)2п 1 + (Д/Л„)

= 0,

(8)

где А = а у{Я 12к)гг~х М'** р~г.

20) 1816-1 14 1210

81 &

4-

2к±

■

Л 33;

*=1'* 0.2& Я •

0.25 ■ « •

0.21 ■ Ф * «V л'с ГС

п= з.

Д»

л =2

/«=1

10 20 30 40 50 60 70 80

Рис. 2. Зависимость критического радиуса от размера ячейки при Д0 = 2, Д = 10"2, на вставке показано относительное отклонение критического радиуса от критического радиуса , найденного в работе Ра1егзоп Ь. //1. БШМесЬ-.У. ИЗ, 1981.Р.513).

Был проведен численный анализ зависимости критического размера от размеров ячейки, от соотношения вязкостей вытесняющей и вытесняемой жидкостей, от расхода вытесняемой жидкости (см. например рис. 2). На вставке рис. 2 видно, что пренебрежение размерами источника и ячейки, а также скоростью движения поверхности раздела жидкостей может привести к сильно завышенным результатам. Более подробно с анализом зависимости критического радиуса границы раздела от параметров задачи можно ознакомиться в диссертации.

Особый интерес представляет случай, когда номер гармоники возмущения п равен единице (возмущение типа трансляции). В этом случае уравнение (8) значительно упрощается, и критический радиус удается выразить явно:

Я5=Я0.

I 1 -и

(9)

Наиболее важным параметром, влияющим на критический радиус трансляционной устойчивости, является отношение вязкостей Д. В случае вытеснения с постоянным расходом при р-0 граница становится

неустойчивой сразу при выходе из отверстия, а с увеличением р. область линейной устойчивости границы быстро расширяется (рис. 3).

Нетрудно видеть, что кривые

я

160 140120 100 80 60 4020

• я=3

• и =4

2 Я<;(\±) для различных гармоник

п=1 возмущения могут пересекаться

+ друг с другом. По мере роста

отношения вязкостей р. наиболее неустойчивыми становятся

последовательно гармоники с номерами п=1,2,3,4. Практически это означает, что подбором отношения вязкостей можно добиться того, что потеря '6 ( 2 % устойчивости вытеснения будет

*-12

. 10 : е б 4 2

О Г....., . , . , V , ^ , * , ¿Г'™ -----------

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 р происходить по заранее заданной

частоте.

Рис. 3. Зависимость от /7 при й0 = 2 и Как показывают результаты

^ =2оо. анализа, большинство эффектов,

отмеченных для случая постоянного расхода вытесняющей жидкости, наблюдаются и при вытеснении при постоянном давлении. Решение для вытеснения при постоянном давлении можно найти в диссертации.

В третьей главе рассчитывается производство энтропии при радиальном вытеснении в ячейке Хеле-Шоу в случае вытеснения с постоянным расходом вытесняющей жидкости и его изменение при потере устойчивости поверхности раздела фаз. Показано, что для вязкой изотропной несжимаемой жидкости в случае изотермического безвихревого движения плотность производства энтропии для рассматриваемой задачи может быть записана с точностью до постоянного множителя, зависящего от вязкости и толщины ячейки, в виде

¥г2, где Уг = !^12ж - М г8 а1псо5,{п(р)(г"А + Д*лг~(я+1)) - радиальная компонента скорости вытеснения, коэффициент аг = /(¡и,, 2, а, /?, у, Яй ,Я„Л) (его явный вид можно найти в диссертации).

Далее потеря морфологической устойчивости рассматривается с точки зрения неравновесной термодинамики. Имеется два режима вытеснения: вначале с круглой границей раздела вытесняющей и вытесняемой жидкостей, а затем, при достижении определенного критического размера, с косинусоподобной. Переход от одного режима развития к другому можно рассматривать как неравновесный фазовый переход. Согласно принципу максимума производства энтропии наиболее вероятной неравновесной фазой будет та, у которой производство энтропии максимально. Соответственно точка, в которой производства энтропии для обеих фаз будут равны, является особой точкой. Критический размер Я},, при котором производства энтропии

при обоих режимах вытеснения равны, определяется из уравнения (в безразмерных параметрах):

1-2 п

= 0.

(10)

\-iRJRf \HRIRJ

Численное исследование (10) показывает, что вначале производство энтропии для круглой границы раздела оказывается больше, а затем, начиная с размера Яь, меньше, чем производство энтропии для возмущенной границы раздела жидкостей (рис. 5).

Д>),п-5 Кь.П'З

г, "

Рис. 5. Зависимость производства энтропии Е вблизи поверхности раздела двух жидкостей от расстояния до центра ячейки Хеле-Шоу г. Сплошной линией показано поведение производства энтропии при движении в отсутствие каких-либо возмущений. При достижении точки абсолютной неустойчивости круглой границы, определяемой линейным анализом на устойчивость, произойдет потеря устойчивости даже при бесконечно малых возмущениях. Пунктирной линией показано поведение производства энтропии для возмущенной поверхности.

Следуя принципу максимума производства энтропии, найденный размер Яь будем считать бинодалью неравновесного перехода от одного типа вытеснения к другому, т.е. размером, начиная с которого переход от круглой к косинусоподобной границе становится теоретически возможным при наличии достаточных возмущений. Так как при критическом размере У?5., найденном во второй главе, рассматриваемый переход становится возможным при бесконечно малом возмущении, то этот размер можно назвать спинодалью неравновесного перехода. А область можно назвать метастабильной

областью. Зависимости бинодали и спинодали от параметров задачи подобны. Для одной и той же гармоники бинодаль всегда меньше спинодали. Однако спинодали и бинодали, относящиеся к различным возмущающим гармоникам, могут пересекаться. Причем, чем больше вязкость вытесняющей жидкости, тем больше возможно таких пересечений (рис. 6). Так при малых значениях /л последовательность неравновесных фаз наиболее проста: изначально круглая граница, начиная с некоторого размера Ri становится трансляционно-неустойчивой (и=1), а затем и абсолютно неустойчивой к этому типу

возмущения, когда размер достигает Ду. При отношении вязкостей /3= 0.05 ширина метастабильной области становится больше, и число возможных

160 14012010080 60 40 20

♦ и=1 °л=2 0/1=3 .„=4

*

Я^ I 8 ¡¡8 8 8 8 5*

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Рис. 6. Зависимость и Иь от р (я0 = 2 > Ко = 200, А = 1). Спинодальный и бинодальный радиус обозначены крупным заштрихованными и маленьким символами

Р

неравновесных фаз, которые могут в ней сосуществовать, увеличивается до трех (и=0, 1, 2). Для случая с //= 0.4 развитие еще более многообразно (четыре морфологические фазы могут сосуществовать в метастабильной области).

Таким образом, опираясь на принцип максимума производства энтропии, предсказаны возможные последовательности морфо-

логических переходов при вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу. Представленные

результаты указывают на существенное многообразие

возможных морфологических фазовых диаграмм. Можно предположить, что при наличии не бесконечно малых возмущений потеря устойчивости будет происходить в метастабильной области.

В четвертой главе приведены описание методики эксперимента и

результаты количественного исследования начальной стадии потери устойчивости при радиальном вытеснении силиконового масла ПМС-5 воздухом в ячейке Хеле-Шоу.

Экспериментальная установка, на которой осуществлялось вытеснение, схематично представлена на рис. 7.

Центральным элементом экспериментальной установки является ячейка Хеле-Шоу, которая представляет собой две плоскопараллельные пластины из прозрачного стекла, нижнее стекло размером 600 мм х 600 мм х Ю мм, верхнее - круг диаметром 500 мм, толщиной 10 мм. Стекла располагаются горизонтально на некотором расстоянии друг от

Рис. 7. Экспериментальная установка (ячейка Хеле-Шоу). 1 - светорассеивающий экран; 2 - цифровая

видеокамера; 3 - персональный компьютер; 4 -стекла; 5 - проставки; 6 -вытесняемая жидкость; 7 -

трубка подачи вытесняющей жидкости; 8 -компрессор низкого расхода, 9 - источник света, 10 -регулировочные винты.

друга посредством металлических проставок, толщина которых может варьироваться. В нижней пластине ячейки имеется отверстие для подсоединения трубки подачи вытесняющей жидкости в ячейку. Для обработки результатов экспериментов был использован программный модуль в среде MATLAB с использованием Image Processing Toolbox. С его помощью определялся начальный момент перехода фронта жидкости от круглой геометрии к "пальцеобразной". Для этого выделялась граница раздела фаз, затем она раскладывалась в ряд Фурье. Подробно описание программного модуля приведено в диссертации. Изменение со временем Фурье коэффициентов позволяет следить за эволюцией границы и, в частности, находить критический размер устойчивости (точнее говоря, оценить его сверху, поскольку он определяется с учетом погрешностей, возникающих в процессе обработки). Было проведено несколько серий экспериментов. В каждом опыте находились предельные значения размера потери устойчивости для каждой из трех первых гармоник. Затем найденные размеры в рамках одной серии усреднялись, и находился их доверительный интервал. Результаты измерений, проделанных в настоящей работе, приведены в таблице 1. Также в этой таблице приведены значения критических размеров устойчивости, рассчитанные для случая, когда пренебрегается размерами источника и ячейки, скоростью

движения поверхности раздела жидкостей (Rf^ ), и с помощью формулы (7).

Основные выводы, которые можно сделать по представленным данным, следующие. Экспериментально наблюдается трансляционная неустойчивость (и=1) при вытеснении. Экспериментально обнаруженные критические размеры устойчивости для п=2 и и=3 находятся значительно левее предсказанных. Относительно критического размера для случая с и=1 такого однозначного заключения сделать нельзя. Вместе с тем, если вспомнить, что

Таблица 1. Сводная таблица результатов измерений

Q, mils Ь, мм число опытов п Rex, ММ RmJs мм Rs, мм

1 18.2 ±1.2 - 17.2

123.0 ±0.4 0.60 ± 0.03 7 2 16.8 ±1.1 38.6 30.3

3 38.5 ± 1.6 76.9 60.4

1 20.4 ±0.9 - 17.2

226.6 ±1.2 0.60 ± 0.03 4 2 15.2 ±0.9 21.0 16.5

3 34.9 ±1.3 41.7 32.8

1 17.6 ±1.3 - 17.2

230.6 ± 0.3 0.60 ±0.03 10 2 13.2 ±0.7 20.6 16.2

3 23.8 ±1.1 41.0 32.2

1 9.8 ±0.7 - 17.2

83.9 ±0.6 0.80 ±0.03 7 2 8.8 ±1.3 100.6 77.5 '

3 11.3 ±0.7 200.3 150.4

1 11.3 ±0.7 - 17.2

162.2 ±1.0 0.80 ±0.03 7 2 9.6 ± 0.7 52.0 40.8

3 13.0 ±0.9 103.6 81.3

экспериментально обнаруживаемые значения являются несколько завышенными, то можно заключить, что и в случае трансляционной неустойчивости эксперимент дает значения левее, чем предсказывается теорией. Детальный сравнительный анализ полученных результатов представлен в диссертации.

Следуя предположению о существовании метастабильных областей (глава 3), можно сказать, что при не бесконечно малых возмущениях, потеря устойчивости будет происходить раньше размера, определяемого линейной теорией, и тем раньше, чем больше будет амплитуда возмущения. Далее исследовался этот вопрос относительно трансляционной неустойчивости, вследствие вносимого сдвигового возмущения.

Как показали опытные данные, возмущение, соответствующее п= 1, скачкообразно увеличившись благодаря сдвигу, продолжает свой рост. Экспериментальные значения критического размера относительно сдвига соответствуют примерно размерам границы раздела воздух - силиконовое масло в момент снятия внешнего воздействия. Амплитуды второй и третьей гармоник, напротив, после сдвига, повлекшего за собой их скачкообразное увеличение, начинают уменьшаться более или менее быстро. Следовательно, потеря устойчивости происходит по первой гармонике. Найденные критические размеры для трансляционной неустойчивости приведены в таблице 2.

Таблица 2. Таблица результатов измерений в опыте с возмущением сдвигом для п= 1.

Число Q, м.м2/з Ъ, мм Время сдвига, Лех, мм Ль, мм мм

опытов с

9 159 ± 1 0.80 ±0.03 0.32 9.8 ±0.7

6 83 ±1 0.80 ± 0.03 0.28 9.0± 1.1 5.5 17.2

8 236 ±2 0.60 ± 0.03 0.43 11.8 ±0.7

Если сравнить соответствующие значения приведенные в таблицах 1 и 2, то можно заключить, что развитие по первой гармонике при наличии сдвига происходит на более ранних стадиях. Таким образом, наличие возмущения сдвигает критический радиус относительно п~ 1 в область малых значений. По-видимому, если увеличивать скорость сдвига, то можно добиться того, что критический размер относительно сдвига (и=1) будет близок к размеру отверстия, из которого поступает воздух. В нашем случае его радиус равен 5.5 мм. Интересно отметить, что согласно (9) и (10), метастабильная область для первой моды возмущения всегда находится в интервале от 5.5 мм до 17.2 мм для экспериментальных условий, соответствующих табл. 2. Этот факт является аргументом в подтверждение гипотезы о наличии и способе расчета метастабильных областей при вытеснении в ячейке Хеле-Шоу.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1. В настоящей работе проведен расчет устойчивости фронта радиального вытеснения в ячейке Хеле-Шоу при постоянном расходе и постоянном давлении. При этом в отличие от предшествующих работ произведен комплексный учет конечных размеров ячейки и вязкости вытесняющей жидкости. Помимо существенного количественного уточнения результатов (уменьшение критических размеров потери устойчивости ), это позволило определить критический размер для потери устойчивости по трансляционному механизму, которая является определяющей для дальнейшего развития формы поверхности раздела фаз. Также это позволило предсказать, по меньшей мере, два интересных эффекта:

- Найдено, что чувствительность системы к возмущению типа трансляции зависит от отношения вязкостей вытесняемой и вытесняющей жидкостей и размеров ячейки, и не зависит от расхода вытесняющей жидкости и поверхностного натяжения на границе фаз;

- Показано, что подбором отношения вязкостей жидкостей либо рядом других параметров можно добиться того, что потеря устойчивости системы будет начинаться по заранее заданной возмущающей гармонике.

2. Рассчитано производство энтропии и его изменение при потере устойчивости поверхности раздела фаз, что позволило определить размер Яь, при котором производство энтропии при вытеснении жидкости с возмущенной и с невозмущенной границей становятся равными. Предсказаны возможные последовательности морфологических переходов при вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу.

3. В работе с помощью созданного экспериментального комплекса впервые проведено количественное исследование начальной стадии потери устойчивости при радиальном вытеснении силиконового масла воздухом в ячейке Хеле-Шоу. Можно выделить два основных результата:

- Для изученной системы для потока вытесняющей жидкости от 80 до 23О мм2/с и толщине ячейки 0.6-0.8 мм зафиксировано наличие трансляционного механизма потери морфологической устойчивости. Этот факт, а также количественное сравнение полученных экспериментальных значений и теоретически предсказанных, позволяет заключить, что теория, учитывающая конечность размеров ячейки Хеле-Шоу, является наиболее пригодной для описания реальных экспериментов;

- Обнаружено, что критические размеры устойчивости в подавляющем большинстве случаев оказываются меньше значений, предсказываемых линейной теорией устойчивости. Другими словами неравновесный переход от круглой формы границы к искривленной происходит раньше, чем это следует из теории, основанной на предположении, что амплитуда возмущения границы бесконечно малая. Этот результат приводит к заключению, что величина возмущения оказывает влияние на положение точки перехода. Введение трансляционных возмущений, проведенное в работе опытным путем, подтверждает этот факт - потеря устойчивости по вводимому возмущению

наблюдается при меньших критических размерах, чем при отсутствии внешнего возмущения.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Мартюшев JI.M., Бирзина А.И. Морфологическая устойчивость межфазной границы при вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу // Письма в ЖТФ, 2008. том 34 вып. 5, стр. 71-78.

2. Martyushev L.M. and Birzina A.I Spécifié features of the loss of stability during radial displacement of fluid in the Hele-Shaw cell // 2008 J. Phys.: Condens. Matter 20 045201 (8pp).

3. Martyushev L M and Birzina AI Entropy production and stability during radial displacement of fluid in Hele-Shaw cell 2008 // 2008 J. Phys.: Condens Matter 20 465102 (8pp).

4. Бирзина А.И. Образование вязких пальцев в ячейке Хеле-Шоу. Учет границы. // Сборник тезисов, материалы Тринадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-13, Ростов-на-Дону, Таганрог) 2007, стр. 587.

5. Бирзина А.И., Мартюшев JI.M. Образование вязких пальцев в ячейке Хеле-Шоу конечных размеров // Научные труды XII отчетной конференции молодых ученых УГТУ-УПИ. 4.2. Екатеринбург. УГТУ-УПИ. 2007. стр. 34-37.

6. Бирзина А.И., Мартюшев Л.М. Устойчивость межфазной границы воздушного пузырька, вытесняющего жидкость в конечной ячейке Хеле-Шоу// Четвертое Российское совещание "Метастабильные состояния и флуктуационные явления" 16-18 октября 2007, г. Екатеринбург, Россия. Сборник тезисов, стр. 40.

7. Бирзина А.И., Мартюшев Л.М. Трансляционная неустойчивость межфазной поверхности при вытеснении одной жидкости другой. //Неравновесные процессы в сплошных средах (НПСС-2007). Всероссийская конференция молодых ученых. Пермь, 5-7 декабря 2007 г. Материалы конференции. Стр. 78-81.

Подписано в печать

Формат 60x84 1/16

Бумага писчая. Печать плоская

Тираж 100 экз. Заказ 487

Ризография НИЧ УГТУ-УПИ 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ, СИМВОЛОВ, ЕДИНИЦ И ТЕРМИНОВ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ И ОБРАЗОВАНИЯ

ВЯЗКИХ ПАЛЬЦЕВ В ЯЧЕЙКЕ ХЕЛЕ-ШОУ.

1.1 Механизм потери устойчивости. Существующие теоретические подходы.

1.2. Экспериментальные исследования образования вязких пальцев. Возмущение движения в ячейке Хеле-Шоу.

1.3. Принцип максимума производства энтропии.

1.4. Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ЖИДКОСТЕЙ В РАДИАЛЬНОЙ ЯЧЕЙКЕ ХЕЛЕ-ШОУ.

2.1. Учет конечных размеров ячейки Хеле-Шоу при решении задачи устойчивости поверхности раздела при вытеснении двух жидкостей.

2.2. Учет скорости движения жидкостей.

2.2.1 Случай постоянного расхода поступающей жидкости.

2.2.2. Случай поступления жидкости при постоянном давлении.

2.2.3. Зависимость критического радиуса от параметров вытеснения.

2.3. Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. ПРОИЗВОДСТВО ЭНТРОПИИ ПРИ РАДИАЛЬНОМ ВЫТЕСНЕНИИ В ЯЧЕЙКЕ ХЕЛЕ-ШОУ.

3.1. Расчет производства энтропии жидкости при движении в ячейке Хеле-Шоу.

3.2. Изменение производства энтропии при переходе от устойчивого к неустойчивому вытеснению.

3.3. Зависимость метастабильной области от параметров вытеснения.

3.4. Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАЧАЛЬНОЙ СТАДИИ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ РАДИАЛЬНОМ ВЫТЕСНЕНИИ В ЯЧЕЙКЕ ХЕЛЕ-ШОУ

4.1. Методика эксперимента.

4.1.1. Экспериментальная установка.

4.1.2. Программный модуль для анализа изображений.

4.1.3. Метод определения критического радиуса.

4.2. Результаты измерения критического радиуса потери устойчивости фронта вытеснения, сравнение полученных значений с теорией.

4.3. Выводы по главе 4.

Неравновесные (кинетические) фазовые переходы давно и интенсивно исследуются. Это связано со многими причинами. Среди них: потребности современных технологий, интересные и нетривиальные теоретические модели и подходы, существенно обогащающие наши представления об окружающем мире, эстетические аспекты и так далее. К неравновесным переходам относят также и так называемые морфологические переходы, типичным примером которых является образование удивительных по красоте фрактальных и дендритных кристаллических структур в результате потери морфологической устойчивости поверхности.

При исследовании переходов в неравновесных процессах было замечено, что они имеют много общих черт с равновесными фазовыми переходами. В частности, они могут иметь метастабильную зону в пространстве параметров, ограниченную спинодалью (границей со стороны области абсолютной неустойчивости по отношению к любым, в том числе бесконечно малым возмущениям) и бинодалью (границы со стороны области абсолютной устойчивости). В отличие от равновесных фазовых переходов кинетические фазовые переходы существенно менее изучены, так как неравновесность процесса накладывает дополнительные сложности как на экспериментальные методы, так и на теоретические подходы.

В настоящей работе исследуется потеря устойчивости границы раздела двух жидкостей при вытеснении в радиальной ячейке Хеле-Шоу. Это является классическим морфологическим фазовым переходом. В этом процессе менее вязкая жидкость вытесняет более вязкую при горизонтальном движении в ячейке Хеле-Шоу (две плоскопараллельные пластины, расположенные на малом расстоянии друг относительно друга), и с течением времени граница раздела жидкостей, изначально являющаяся практически круглой, начинает приобретать причудливую, "пальцеобразную" форму (рис. 1).

Рис. 1. Примеры образования вязких пальцев в ячейке Хеле-Шоу: (а) течение смешивающихся жидкостей; (Ь) течение несмешивающихся жидкостей под действием гравитации; (с) течение смешивающихся неньютоновских жидкостей в радиальной ячейке. [4]

Выбор подобной системы представляется очень важным в связи со следующим. Данный переход (во всяком случае, его начальная стадия) может быть достаточно просто и точно математически смоделирован и проанализирован. В большинстве случаев оказывается достаточным проведение линейного анализа на устойчивость границы раздела, при этом поле давления хорошо описывается двумерным уравнением Лапласа, а свойства среды являются изотропными (в отличие от морфологических переходов при кристаллизации). Вместе с тем, и экспериментальная реализация и исследование данного явления не сопряжены с особыми сложностями. Опыт с успехом может проводиться в обычных комнатных условиях без использования специальной аппаратуры, явление хорошо воспроизводимо и наблюдаемо для многих жидкостей. Последнее позволяет осуществлять исследование в широком диапазоне параметров. Важным моментом является возможность простого экспериментального введения возмущений границы раздела двух жидкостей (для многих других систем, например кристаллических, это не столь просто). Благодаря таким особенностям данная система оказывается очень ценной с точки зрения возможности не только качественной, но и количественной проверки различных теоретических подходов и гипотез описания морфологических фазовых переходов.

Процесс вытеснения в ячейке Хеле-Шоу характеризуется следующими параметрами: радиусом отверстия, через которое поступает вытесняющая жидкость, внешним радиусом ячейки, вязкостями вытесняемой и вытесняющей жидкостей, а также коэффициентами влияния скорости движения жидкостей на поперечный профиль фазовой границы. Однако в литературе нет работ, в которых были бы учтены зависимости от всех этих факторов, и рассматриваются упрощающие приближения, в которых частью этих параметров пренебрегают. Также следует отметить, что существенным недостатком имеющихся теоретических работ на устойчивость фронта является то, что они не позволяют ответить на следующий вопрос, который сразу возникает на практике, при анализе экспериментальных результатов: каким будет критический размер устойчивости, если возмущение будет произвольным (не бесконечно малым)? Как следствие, чтобы преодолеть этот недостаток, необходимо вводить дополнительные гипотезы и методы расчета. К одному из таких методов, появившихся в последнее время, можно отнести использование анализа изменения производства энтропии при морфологическом фазовом переходе, однако для определения области метастабильности в ячейке Хеле-Шоу этот метод не использовался.

Несмотря на достаточно большое число экспериментальных исследований возникновения и роста вязких пальцев в радиальной ячейке Хеле-Шоу, основное внимание в них уделяется развитому режиму неустойчивости с регистрацией числа возникающих «пальцев», их формы и скорости роста. Ни в одной из работ не исследуется первоначальный этап возникновения неустойчивости на фазовой границе, не измеряется критический размер срыва устойчивости. Хотя именно этот размер является основным результатом линейной теории устойчивости, знание которого позволит судить о том, на каком этапе вытеснения начнется рост пальцев, и будет ли вообще он происходить в ячейке данного размера.

Исходя из отмеченных выше проблем, целью диссертационной работы являлось комплексное теоретическое и экспериментальное изучение начальной стадии потери морфологической устойчивости поверхности раздела при радиальном вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу.

В рамках этой цели решались следующие задачи:

1. Решение линейной задачи устойчивости фронта вытеснения с учетом всех характеризующих процесс вытеснения факторов и определение критического радиуса срыва устойчивого вытеснения;

2. Разработка методики и проведение анализа изменения производства энтропии при морфологическом фазовом переходе, и определение на этой основе критического радиуса, после которого происходит инверсии знака этого изменения;

3. Экспериментальное измерение критического радиуса потери устойчивости фронта вытеснения;

4. Сравнение опытных и теоретических значений критических радиусов срыва устойчивости;

5. Исследование влияния внешнего возмущения по первой гармонике на значение критического радиуса устойчивости.

Защищаемые положения:

1. Проведенный в работе учет конечности размеров ячейки Хеле-Шоу приводит к ненулевому конечному значению критического радиуса потери устойчивости фронта вытеснения по первой гармонике (трансляционный сдвиг), тогда как пренебрежение этим вкладом соответствует устойчивому решению;

2. В соответствии с теоретическими предсказаниями при вытеснении воздухом силиконового масла экспериментально подтверждено существование трансляционной неустойчивости;

3. Подбором соотношения вязкостей можно добиться того, что потеря устойчивости будет происходить по определенной, заранее заданной гармонике;

4. Критический радиус Яъ, определяемый из условия равенства нулю разности производства энтропии при устойчивом и неустойчивом режимах вытеснения, всегда меньше критического радиуса Rs, который находится из условия равенства нулю скорости изменения амплитуды возмущения (линейный анализ устойчивости);

5. Экспериментальное подтверждение того, что потеря устойчивости радиального фронта вытеснения воздухом силиконового масла при сдвиговом воздействии, моделирующем трансляционное возмущение, происходит при размерах, меньших критического радиуса спинодали Rs.

Научная новизна

1. Впервые проведено решение линейной задачи устойчивости поверхности раздела жидкостей при вытеснении в радиальной ячейке Хеле-Шоу с учетом всех определяющих процесс вытеснения факторов -радиуса отверстия, через которое поступает вытесняющая жидкость, внешнего радиуса ячейки, вязкостей вытесняемой и вытесняющей жидкостей, а также влияния скорости движения жидкостей на поперечный профиль фазовой границы;

2. Впервые получено аналитическое выражение для критического радиуса потери устойчивости фронта вытеснения по трансляционной моде;

3. Впервые рассчитаны критические радиусы потери устойчивости для второй, третьей и четвертой гармоник при комплексном учете всех определяющих параметров вытеснения;

4. Обнаружено, что изменение отношения вязкостей вытесняющей и вытесняемой жидкости нелинейно влияет на критический радиус потери устойчивости;

5. С использованием принципа максимума производства энтропии и линейного анализа на устойчивость впервые построена морфологическая диаграмма (с устойчивой, неустойчивой и метастабильной областями) для различных параметров вытеснения и указана последовательность морфологических переходов в зависимости от отношения вязкостей вытесняющей и вытесняемой жидкостей в метастабильной области;

6. Впервые экспериментально измерен критический радиус потери устойчивости поверхности раздела воздух - силиконовое масло для I различных значений расхода вытесняющей жидкости и толщины ячейки Хеле-Шоу.

Практическая ценность

Предложенные математические модели и полученные результаты могут быть использованы при совершенствовании технологий нефтедобычи, связанных с извлечением остаточной нефти из скважины с помощью воды, поступающей под давлением. К перспективным направлениям применения результатов, представленных в работе, можно отнести решение как ряда экологических проблем связанных с распространением жидких отходов в пористых средах, так и некоторых гидрологических вопросов, связанных с распространением подземных вод.

Апробация работы

Результаты исследования были представлены для обсуждения на тринадцатой всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых «ВНКСФ-13» (Ростов-на-Дону, Таганрог, 2007), XII отчетной конференции молодых ученых УГТУ-УПИ (Екатеринбург, 2007), Четвертом Российском совещании "Метастабильные состояния и флуктуационные явления" (Екатеринбург, 2007), Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах НПСС-2007» (Пермь, 2007), Workshop on Maximum entropy production in Earth System (Jena, Germany, 2008), на семинарах кафедры молекулярной физики физико-технического факультета УГТУ-УПИ.

4.3. Выводы по главе 4.

1. Впервые проведено экспериментальное исследование начальной стадии потери устойчивости при радиальном вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу с измерением критического радиуса.

2. Установлено существование трансляционной неустойчивости (неустойчивости по первой гармонике). Показано, что критический радиус при п= 1 не зависит от расхода воздуха Q, что соответствует теоретическим предсказаниям главы 2. Численные значения критического радиуса расходятся с теоретическими не более, чем на 16%.

3. Показано, что отношения критических радиусов для второй и третьей гармоник хорошо соответствуют теоретическим значениям этого параметра.

4. Проведено экспериментальное исследование срыва трансляционной устойчивости круглой границы вытеснения жидкости в ячейке Хеле-Шоу при сдвиге пластин ячейки. Зафиксировано снижение критического радиуса первой гармоники из-за сдвига.

109

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В настоящей работе проведен расчет устойчивости фронта радиального вытеснения в ячейке Хеле-Шоу при постоянном расходе и постоянном давлении. При этом в отличие от предшествующих работ произведен комплексный учет конечных размеров ячейки и вязкости вытесняющей жидкости. Помимо существенного количественного уточнения результатов (уменьшение критических размеров потери устойчивости Rs), это позволило определить критический размер для потери устойчивости по трансляционному механизму, которая является определяющей для дальнейшего развития формы поверхности раздела фаз. Также это позволило предсказать, по меньшей мере, два интересных эффекта:

- Найдено, что чувствительность системы к возмущению типа трансляции зависит от отношения вязкостей вытесняемой и вытесняющей жидкостей и размеров ячейки, и не зависит от расхода вытесняющей жидкости и поверхностного натяжения на границе фаз;

- Показано, что подбором отношения вязкостей жидкостей либо рядом других параметров можно добиться того, что потеря устойчивости системы будет начинаться по заранее заданной возмущающей гармонике.

2. Рассчитано производство энтропии и его изменение при потере устойчивости поверхности раздела фаз, что позволило определить размер Rb, при котором производство энтропии при вытеснении жидкости с возмущенной и с невозмущенной границей становятся равными. Предсказаны возможные последовательности морфологических переходов при вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу.

3. В работе с помощью созданного экспериментального комплекса впервые проведено количественное исследование начальной стадии потери устойчивости при радиальном вытеснении силиконового масла воздухом в ячейке Хеле-Шоу. Можно выделить два основных результата:

- Для изученной системы для потока вытесняющей жидкости от 80 до 230 мм /с и толщине ячейки 0.6-0.8 мм зафиксировано наличие трансляционного механизма потери морфологической устойчивости. Этот факт, а также количественное сравнение полученных экспериментальных значений и теоретически предсказанных, позволяет заключить, что теория, учитывающая конечность размеров ячейки Хеле-Шоу, является наиболее пригодной для описания реальных экспериментов;

- Обнаружено, что критические размеры устойчивости в подавляющем большинстве случаев оказываются меньше значений, предсказываемых линейной теорией устойчивости. Другими словами неравновесный переход от круглой формы границы к искривленной происходит раньше, чем это следует из теории, основанной на предположении, что амплитуда возмущения границы бесконечно малая. Этот результат приводит к заключению, что величина возмущения оказывает влияние на положение точки перехода. Введение трансляционных возмущений, проведенное в работе опытным путем, подтверждает этот факт - потеря устойчивости по вводимому возмущению наблюдается при меньших критических размерах, чем при отсутствии внешнего возмущения.

По результатам исследования опубликовано 8 работ [14,15,86,89-93].

1. Saffman P.G., Taylor G. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid // Proc. R. Soc. London A,. V. 245, 1958. P.312-329.

2. Wilson S.D.R. A Note on the Measurement of Dynamic Contact Angles // J. Colloid Interface Sci., V. 51, № 3, 1975. P. 532-534.

3. Paterson L. Radial fingering in a Hele Shaw cell // J. Fluid Mech., V. 113, 1981. P. 513-529.

4. Homsy G.M. Viscous fingering in porous media // Ann. Rev. Fluid Mech., V. 19, 1987. P. 271-311.

5. McCloud K.V., Maher J.V. Experimental perturbations to Saffman-Tayior flow // Physics Reports., V. 260, № 3, 1995. P. 139-185.

6. Thome H., Rabaud M., Hakim V., Couder Y. The Saffman-Taylor instability: From the linear to the circular geometry // Phys. Fluids A., V. 1, 1989. P.224-240.

7. Bensimon D., Kadanoff L. P., Liang S., et al. Viscous flows in two dimensions // Rev. Mod. Phys., V. 58, № 4, 1986. P.977-999.

8. Alvarez-Lacalle E., Ortin J., Casademunt Relevance of dynamic wetting in viscous fingering patterns // Phys. Rev. E., V.74, 2006. P. 025302.

9. Kessler D.A., Koplik J., Levin H. Pattern selection in fingered growth phenomena // Adv. Physics., V. 37, № 3, 1988. P. 255-339.

10. Langer J.S. Dendrites, Viscous Fingers, and the Theory of Pattern Formation // Science, V. 243, № 4895, 1989. P. 1150 1156.

11. Ben-Jacob E., Garik P. Ordered shapes in nonequilibrium growth // PhysicaD, V. 38, 1989. P. 16-28.

12. Ben-Jacob E, Deutscher G, Garik P et al. Formation of a Dense Branching Morphology in Interfacial Growth // Phys. Rev. Lett., V. 57(15), 1986. P. 1903-1906.

13. Buka A. and Palffy-Muhoray P., Stability of viscous fingering patterns in liquid crystals // Phys. Rev. A, V. 36(3), 1987 P. 1527-1529.

14. Martyushev L.M. and Birzina A.I. Morphological stability of the interphase boundary of a fluid displaced in a finite Hele-Shaw cell // Tech. Phys. Letter, V. 34(3), 2008. P. 213-216.

15. Martyushev L.M. and Birzina A.I. Specific features of the loss of stability during radial displacement of fluid in the Hele-Shaw cell // J. Phys.: Condens. Matter, V.20, 2008. P. 045201.

16. Miranda J.A. and Widom M. Radial fingering in Hele-Shaw cell: a weakly nonlinear analysis // Physica D, V. 120, 1998. P.315-328.

17. Hele-Shaw H.J.S. The flow of water //Nature, V. 58, 1898. P. 34-36.

18. Шейдеггер А. Физика течения жидкостей через пористые среды. -М.: Гостоптехиздат, 1960.

19. Silvana S. S. Cardoso and Andrew W. Woods The formation of drops through viscous instability // J. Fluid Mech., V.289, 1995. P. 351-378.

20. Park C.-W. and Homsy G. M. Two-phase displacement in Hele Shaw cells: theory // J. Fluid Mech., V. 139, 1984. P. 291-308.

21. Buka A., Palffy-Muhoray P. and Racz Z. Viscous fingering in liquid crystals // Phys. Rev. A, V. 36(8), 1987. P. 3984-3989.

22. Elliot G.E.P. and Riddiford A.C. Dynamic contact angles : I. The effect of impressed motion // J. Colloid Interface Sci., V. 23, 1967. P. 389-398.

23. Reinelt D.A. Interface conditions for two-phase displacement in Hele-Shaw cells // J. Fluid Mech., V. 183, 1987. P. 219-234.

24. Reinelt D.A. The effect of thin film variations and transverse curvature on the shape of fingers in a Hele-Shaw cell // Phys. Fluids, V. 30 (9), 1987. P. 2617-2623.

25. Schwartz L. Stability of Hele-Shaw flows: The wetting-layer effect // Phys. Fluids, V. 29 (9), 1986. P. 3086-3088.

26. E. Ben-Jacob, P. Garik and D. Grier I. Interfacial Pattern Formation Far From Equilibrium // Superlattices and Microstructures, V. 3, N. 6, 1987. P. 599-615.

27. Gingras M.J.P. and Racz Z. Stability analysis of diffiision-controlle growth: onset of instabilities and breakdown of linear regime // Proceedings of the Second Woodward Conference, San Jose State University, 1989.

28. Gingras M.J.P. and Racz Z. Noise and the linear stability analysis of viscous fingering// Phys. Rev. A, V. 40, 1989. P. 5960-5965.

29. Kessler D.A., Levin H. Coalescence of Saffman-Taylor fingers: A new global instability//Phys. Rev. A, V. 33, 1986. P. 3625-3627.

30. Shraiman B.I. and Bensimon D. Singularities in Nonlocal Interface Dynamics // Phys. Rev. A, V. 30, 1984. P. 2840-2842.

31. Bensimon D. Stability of viscous fingering // Phys. Rev. A, V. 33, 1986. P. 1302-1308.

32. Menikoff R. and Zemach C. Rayleigh-Taylor Instability and Use of Conformal Maps for Ideal Fluid Flow //J. Comput. Phys., V. 51, 1983. P.28-64.

33. Murali Sastry, Anand Gole, A. G. Banpurkar, A. V. Limaye and S. B. Ogale Variation in viscous fingering pattern morphology due to surfactant-mediated interfacial recognition events // Current Science, V. 81, N. 2, 2001. P. 191-193.

34. Rauseo S.N., Barnes P.D., Jr. and Maher J.V. Development of radial fingering patterns// Phys. Rev. A 1987. V. 35 P. 1245-1251

35. Thome H., Rabauh M., Hakim V., and Couder Y. The Saffman-Taylor instability: From the linear to the circular geometry // Phys.Fluids, V. 1, N. 2, 1989. P. 224-240.

36. Zocci G., Shaw В., Libchaber A. and Kadanoff L. Finger narrowing under local perturbations in the Saffman-Taylor problem // Phys. Rev. A, V. 36, 1987. P. 1894-1900.

37. Rabaud M., Couder Y. and Gerard N. Dynamics and stability of anomalous Saffman-Taylor fingers // Phys. Rev. A, V. 37, 1988. P. 935-947.

38. Brener E., Levine H. and Tu. Y. Nonsymmetric Saffman-Taylor fingers// Phys. Fluids A, V. 3, 1991. P. 529-534.

39. Couder Y, Cardoso O, Dupuy D, Tavernier P. and Thorn W. Dendritic growth in the Saffman-Taylor experiment // Europhys. Lett., V.2, 1986. P. 437-443.

40. Couder Y, Gerard N. and Rabaud M. Narrow fingers in the Saffman-Taylor instability//Phys. Rev. A, V. 34, 1986. P. 5175-5178.

41. Combescot R. and Dombre T. Selection in the anomalous Saffman-Taylor fingers induced by a bubble // Phys. Rev. A, V. 39, 1989. P. 35253535.

42. Thome H., Combescot R. and Couder Y. Controlling singularities in the complex plane: Experiments in real space // Phys. Rev. A, V. 41, 1990. P. 5739-5742.

43. Ben-Jacob E., Godbey R., Goldenfield N., Koplik J., Levine H., Mueller T. and Sander L.M. Experimental Demonstration of the Role of Anisotropy in Interfacial Pattern Formation // Phys. Rev. Lett., V. 55, 1985. P. 13151318.

44. Chen J.-D. and Wilkinson D. Pore-Scale Viscous Fingering in Porous Media//Phys. Rev. Lett, V.55, 1985. P. 1892-1895.

45. Chen J.-D. Radial viscous fingering patterns in Hele-Shaw cells // Experiments in Fluids, V. 5, 1987. P. 363-371.

46. Horvath V, Viscek T, Kertesz J. Viscous fingering with imposed uniaxial anisotropy // Phys. Rev. A, V. 35, 1987. P. 2353-2356.

47. Matsushita M. and Yamada H. Dendritic growth of single viscous finger under the influence of linear anisotropy // J. Crystal Growth, V. 99, 1990. P. 161-164.

48. Toth-Katona T, Buka A. Nematic-liquid-crystal-air interface in a radial Hele-Shaw cell: Electric field effects // Physical Review E, V.67, 2003. P. 041717.

49. Folch R, Toth-Katona T, Buka A, Casademunt J, Hernandez-Machado A. Periodic forcing in viscous fingering of a nematic liquid crystal // Physical Review E, V. 64, 2001. P. 056225.

50. Burns S.B.K. and Advani S.G. An experimental investigation of initial oscillations in a radial Hele-Shaw cell // Experiments in Fluids, V. 21, 1996. P. 187-200.

51. Kirkaldy J.S. Spontaneous evolution of spatiotemporal patterns in materials //Rep. Prog. Phys., V. 55, 1992. P. 723-795.

52. Kirkaldy J.S. Entropy criteria applied to pattern selection in systems with free boundaries //Metall. Trans. A, V. 16, 1985. P. 1781-1797.

53. Мартюшев JT.M., Селезнев В.Д., Кузнецова И.Е. Применение принципа максимальности производства энтропии к анализу морфологической устойчивости растущего кристалла // ЖЭТФ, Т. 118, вып. 1 (7), 2000. С. 149-162.

54. Zener С. Kinetics of the decomposition of austenite// Trans. AIME, V. 167, 1946. P. 550.

55. Venugopalan D., Kirkaldy J.S. Theory of cellular solidification of binary alloys with applications to succinonitrile-salol // Acta Metall., V. 32, 1984. P. 893-906.

56. Kirkaldy J.S. Predicting the patterns in lamellar growth // Phys. Rev. B. V. 30(12), 1984. P. 6889-6895.

57. Пригожин И. Современная термодинамика / И. Пригожин, Д. Кондепуди. М.: Мир, 2002. 462 с.

58. Пригожин И. Введение в термодинамику неравновесных процессов /И. Пригожин. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 127 с.

59. Темкин Д.Е. О скорости роста кристаллической иглы в переохлажденном расплаве // ДАН СССР, Т. 132, №6, 1960. С. 13071310.

60. Boiling G.F., Tiller W.A. Growth from the Melt. III. Dendritic Growth // J. Appl. Phys., V. 32(12), 1961. P. 2587-2605.

61. Huang S.-C., Glicksman M.E. Overview 12: Fundamentals of dendritic solidification—I. Steady-state tip growth // Acta Metall., V. 29, 1981. P. 701.

62. Langer J.S., Mtiller-Kmmbhaar H. Theory of dendritic growth—I. Elements of a stability analysis // Acta Metall., V. 26, 1978. P. 1681.

63. Langer J.S. Instabilities and pattern formation in crystal growth // Rev. Mod. Phys., V. 52, 1980. P. 1-28.

64. Тиллер У.A. // Физическое металловедение / под ред. Р. Канна. М.: Мир, 1968. Т. 2. С. 155.

65. Билони X. // Физическое металловедение / под ред. Р. Канна, П. Хаазена. М.: Металлургия, 1987. Т. 2. С. 178.

66. Brener Е.А., Melnikov V.I. Pattern selection in two-dimensional dendritic growth // Adv. Phys., V. 40,1991. P. 53.

67. Ben-Jacob E., Garik P., Mueller Т., et al. Characterization of morphology transitions in diffusion-controlled systems // Phys. Rev. A, V. 38, 1989. P. 1370-1380.

68. Ben-Jacob E., Garik P. The formation of patterns in non-equilibrium growth//Nature, V. 343, 1990. P. 523-530.

69. Ben-Jacob E. E. From snowflake formation to growth of bacterial colonies Part I. Diffusive patterning in azoic systems // Contemp. Phys., V. 34, 1993. P. 247-273.

70. Аметов И.М. Энтропийный анализ фильтрационных течений// Инженерно-физический журнал, Т. 72, № 1, 1999. С. 26-31.

71. Wang Mu, Ming Nai-ben Alternating morphology transitions in electrochemical deposition // Phys.Rev. Lett., V. 71, 1993. P. 113-116.

72. Hutter J.L., Bechhoefer J. Many modes of rapid solidification in a liquid crystal // Physica A, V. 239, 1997. P. 103-110.

73. Hill A. Entropy production as the selection rule between different growth morphologies // Nature, V. 348, 1990. P. 426-428.

74. Hill A. Morphologies of growth // Nature, V. 351, 1991. P. 529-530.

75. Мартюшев JI.M., Кузнецова И.Е., Селезнев В.Д. Расчет полной морфологической фазовой диаграммы неравновесно растущегосферического кристалла при произвольном режиме роста// ЖЭТФ, Т. 121, вып. 2, 2002. С. 363-371.

76. Martyushev L.M., Sal'nikova Е.М. Morphological transitions in the development of a cylindrical crystal // J. Phys.: Cond. Matter., V. 15, N. 7, 2003. P.1137-1146.

77. Trivedy R., Shen Y., Liu S. Cellular-to-dendritic transition during the directional solidification of binary alloys // Metall. Mater.Trans. A, V. 34, 2003. P. 395-401.

78. Martyushev L.M. and Seleznev V.D. Maximum entropy production principle in physics, chemistry and biology // Physics Reports, V.426, N. 1, 2006. P.1-45.

79. Paterson L. Fingering with miscible fluids in a Hele Shaw cell// Phys. Fluids, V. 28, N.l, 1985. P. 26-30.

80. De Groot S. R. and Mazur P. Non-Equilibrium Thermodynamics (North-Holland, Amsterdam) 1962

81. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.6 Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

82. Черняк В. Г., Суетин П.Е. Механика сплошных сред. М.: Физматлит, 2006.

83. Bedeaux D., Albano А. М. and Mazur P. Boundary conditions and non-equilibrium thermodynamics //Physica A, V. 82, 1976. P. 438-462.

84. Caroly B, Caroly С and Roulet В Non-equilibrium thermodynamics of the solidification problem // J. Cryst. Growth, V. 66, 1984. P. 575-585.

85. Martyushev L. M. Some interesting consequences of the maximum entropy production principle // JETP, V. 104(4), 2007. P. 651-654.

86. Martyushev L. M., Sal'nikova E. M. and Chervontseva E. A. Weakly nonlinear analysis of the morphological stability of a two-dimensional cylindrical ciystal // JETP, V. 98, 2004. P. 986-996.

87. Martyushev L M and Birzina A I Entropy production and stability during radial displacement of fluid in Hele-Shaw cell // J. Phys.: Condens. Matter, V. 20, 2008. P. 465102.

88. Neuman S.P. Theoretical derivation of Darcy's law // Acta Mechanica, V. 25, 1977. P.153-170.

89. Алексеев П.Г., Скороходов И.И., Поварнин П.И. // Свойства кремнийорганических жидкостей / Справочник. М.: Энергоатомиздат, 1997.

90. Бирзина А.И. образование вязких пальцев в ячейке Хеле-Шоу. Учет границы // Сборник тезисов, материалы Тринадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-13, Ростов-на-Дону, Таганрог), 2007. С. 587.

91. Бирзина А.И., Мартюшев JI.M. Образование вязких пальцев в ячейке Хеле-Шоу конечных размеров // Научные труды XII отчетной конференции молодых ученых УГТУ-УПИ. 4.2. Екатеринбург. УГТУ-УПИ. 2007. С. 34-37.

92. Birzina Anna, Martyushev Leonid. Maximum entropy production and instability of displaced fluid// Workshop on Maximum entropy production in Earth System, Max-Planck Institute for Biogeochemistry, Jena, Germany, 0709 May 2008