Структура фронта неустойчивого вытеснения вязкой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ _им. М.В, ЛОМОНОСОВА_

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Шахмардан Мохаммад Мохсен

Структура фронта неустойчивого вытеснения вязкой жидкости

Специальное» 01.02.03 - мехаипса жждкоепц гам и плазмы

Автореферат диссертации нж сонааяие ученой степени ДНЛИЛ111 фюивнашимиш неук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре газовой и волновой динамики механико-математического факультета Московского государственного университета имени M B. Ломоносова.

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор Н.Н. Смирнов

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор С.Я. Герценштейн Кандидат физико-математических наук, доцент АД. Аксенов

Ведущая организация:

Институт проблем механики РАН г.Москва

Защита состоится "18" февраля 2005 г. в 1620 часов на заседании Диссертационного совета Д 501.001.89 по механике при Московском государственном университете им. M.B. Ломоносова по адресу: 119899 Москва, Воробьевы Горы, ГЗ МГУ, механико-математический факультет, ауд. 12-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан января 2005

г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

А.Н. Осипцов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В работе рассматривается численное моделирование вытеснения жидкости из ячейки Хеле-Шоу, которая служит физической моделью пористой среды. Она представляет собой узлий канал, образованный двумя параллельными пластинами, расположенными на расстоянии 5 друг от друга, которое значительно меньше длины канала L и его ширины l. Фронт вытеснения вязкой жидкости другой, менее вязкой, неустойчив. При вытеснении вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу, межфазная поверхность теряет устойчивость. Вытесняющая жидкость прорывается через слой вытесняемой, образуя в нем отдельные каналы, называемые «вязкими пальцами». Такая ситуация характерна, например, при вытеснении вязкой нефти водой. В результате образуется область, фронт вытеснения, лежащая между основаниями и вершинами пальцев, в которой находится как вытесняемая, так и вытесняющая жидкости. Структура этой области является предметом исследований.

По-видимому, к первым исследованиям структуры фронта неустойчивого вытеснения относятся работы Журавлёва (1956) и Saffman & Taylor (1958). Журавлёву, Сафману и Тейлору удалось рассчитать форму вязкого пальца аналитически в предположении равенства давлений на межфазной поверхности жидкостей и в пренебрежении силами инерции. Однако, их решение не позволяет определить размер вязкого пальца и рассчитать темп его роста.

Park & Homsy (1985) показали, что размер вязкого пальца определяется малыми силами поверхностного натяжения. Ими был эксприментально выработан критерий подобия течений несмешивающихся жидкостей в ячейках Хеле-Шоу -- модифицированное капиллярное число.

Однако, при вытеснении смешивающихся жидкостей силы поверхностного натяжения отсутствуют, но эксперименты показывают, что разброс размеров элементов фронта вытеснения относительно средней величины невелик. В пористой среде капиллярные силы не зависят от формы фронта неустойчивого вытеснения и также не могут влиять на его структуру.

Таким образом, в настоящее время остается актуальной проблема расчёта элементов фронта неустойчивого вытеснения в случае отсутствия сил поверхностного натяжения.

Целью работы является изучение структуры фронта неустойчивого вытеснения в случае, когда силы поверхностного натяжения либо равны нулю, либо постоянны. В частности, требуется рассчитать: ширину вязких пальцев, расстояние между ними, темп их роста в зависимости от определяющих параметров: расхода, вязкости жидкостей и проницаемости ячейки Хеле-Шоу.

Методы исследования. Основой работы послужил экспериментальный материал по вытеснению глицерина водой из ячейки Хеле-Шоу. В диссертации проведена обработка экспериментов. Построены аппроксимационные зависимости для ширины вязких пальцев и темпа их роста.

Проведены численные расчёты структуры фронта неустойчивого вытеснения. Результаты расчетов сопоставлены с данными экспериментов.

Научная новизна состоит в следующем:

• Из анализа имеющегося теоретического и экспериментального материала была выдвинута гипотеза о том, что структура фронта неустойчивого вытеснения определяется малыми параметрами.

• На основе теории подобия и размерности механики разработана методика поиска малых параметров, влияющих на структуру фронта. Показано, что одним из факторов, определяющих структуру фронта, может быть инерция жидкости.

• Разработан численный метод, позволяющий отслеживать форму фронта вытеснения.

• Методом численных расчетов показано, что вязкие пальцы неустойчивы. Со временем они, в свою очередь теряют устойчивость и распадаются на вязкие пузырьки.

• Получено аналитическое решение о вязком пузырьке «всплывающем» в вытесняющей жидкости.

Практическая и теоретическая значимость работы состоит в следующем:

• Получен критерий подобия для процессов вытеснения из ячейки Хеле-Шоу для случая, когда доминирующую роль в формировании структуры фронта играют силы инерции.

• Прослежено изменение структуры фронта неустойчивого вытеснения в течение длительного времени. Показано, что вязкие пальцы являются неустойчивым образованием.

• Показана возможность существования «вязких пузырьков».

Достоверность и обоснованность полученных результатов

обеспечивается проверкой соответствия высказанных гипотез данным эксперимента и результатам численных расчетов. Точность численной схемы показана путем проведения специальных тестовых расчетов.

Апробация работы. Имеется три публикации по теме диссертации (список приведен в конце автореферата). Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры газовой и волновой динамики механико-математического факультета Московского государственного университета (рук. акад. РАН Е.И.Шемякин), на семинаре по горению и детонации (рук. проф. Смирнов Н.Н.) и на семинаре по аэродинамике Института механики МГУ (рук. проф Герценштейн С.Я.) и получили положительную оценку.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 93 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении (глава 1) указаны цель и новизна исследований, приведен обзор теоретических и экспериментальных работ по теме диссертации, дана общая характеристика работы, кратко изложено ее содержание.

Проведенный анализ показал, что без учета сил поверхностного натяжения, инерции жидкостей (классическая постановка) размер вязких пальцев определить невозможно.

Выход в учете малых параметров. В случае вытеснения несмешивающихся жидкостей из ячейки Хеле-Шоу таким малым параметром являются силы поверхностного натяжения, действующие в плоскости течения.

В главе 2 на основе теории подобия и размерности в механике (Седов, 1977) дан метод, позволяющий определить, какие малые параметры влияют на структуру фронта вытеснения, а какие нет. Предположив существование какой-то «регулярной» структуры фронта вытеснения, например, периодической, квазистационарной структуры, когда все вершины и впадины движутся с постоянными, но различными скоростями (рис.1), определим размер вязких пальцев

Рис.1. «Квазистационарная» структура фронта вытеснения.

Задачу решим методом теории подобия и размерности. Из I- теоремы следует, что размер вязких пальцев определяется соотношением:

^ДЧЧ (1)

где F = F(^Vl,iV2,.....,N1......) - безразмерная функция от безразмерных чисел

, которые являются комбинацией определяющих параметров системы,

- определяющие параметры, - действительное числа.

Попытаемся решить задачу в классической постановке (без учета сил поверхностного натяжения и инерции жидкостей). В этом случае поведение системы может быть определено тремя параметрами: Их

размерности:

'¿1

.я. кг Л.

[и_] = -

(2)

Из параметров с такими размерностями, ни при каких не может

быть составлена комбинация, которая даст размерность длины.

Таким образом, теория подобия и размерности подтверждает вывод, следующий из решения Журавлева-Саффмана-Тейлора, о невозможности определения ширины вязкого пальца.

Учтем в постановке задаче влияние инерции. Тогда определяющие параметры задачи будут - плотности

вытесняющей и вытесняемой жидкостей соответственно. Их размерности: \р]=кг/м\

В этом случае можно подобрать такие значения чтобы в

формуле (1) получилась размерность длины. Действительно, если а=1 А=1, у=1, то мы получаем [Л]=м. Таким образом, ширина вязких пальцев при учете инерции определяется по бопмтае:

и А) Ь

(3)

Рассмотрим случай, когда две квазистационарные картины (рис.1) подобны между собой, то есть имеют одинаковое количество пальцев. Это возможно , когда отношение ширины ячейки к ширине пальца остается постоянным:

1 , г Р 1

Л = — = СОП$1 = Р--5-.

Л итр <Г

(4)

Отсюда получаем модифицированное число Рейнольдса как критерий подобия двух квазистационарных картин:

1/Не'-_. (6)

и„р 8

Таким образом, теория подобия и размерности показывает, что инерция может определять размер вязких пальцев.

В главе 3 дана математическая постановка задачи о вытеснении вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу с учётом инерции, представлено аналитическое

исследование устойчивости плоской границы жидкостей к малым возмущениям.

Если вытесняемую и вытесняющую жидкости считать несжимаемыми: Д = const, рг = const, предположить, что фронт вытеснения перпендикулярен пластинам, образующим ячейку, то движения вытесняемой и вытесняющей жидкостей может быть описано уравнениями:

(6)

(7)

(8)

где и , V- средние по высоте компоненты вектора скорости, Р - среднее по высоте значение давления, коэффициенты динамической вязкости. При 1 =1 мы получаем систему уравнений движения вытесняющей жидкости, при 1 =2 -вытесняемой.

Если пренебречь силами поверхностного натяжения, то на межфазной поверхности * = у) ставятся условия равенства нормальных к поверхности компонент вектора скоростей и условие равенства давлений.

На входе в ячейку Хеле-Шоу задаётся скорость, на выходе давление:

При исследовании устойчивости плоского фронта вытеснения к малым возмущениям принимаются дополнительные допущения. Ячейку Хеле-Шоу будем считать бесконечно широкой и длинной (рис.2). Возмущения плоской границы считаем периодическими и предполагаем, что на бесконечном удалении от фронта амплитуда возмущений равна нулю.

Граничные условия на фронте вытеснения для задачи анализа устойчивости к малым возмущениям имеют вид:

* = Р = Р,=Р2, (12)

На бесконечном удалении от фронта вытеснения ставится условия затухания возмущений:

Из уравнений (6), (7) может быть получен интеграл Коши-Лагранжа:

где V = grad<p¡.

Уравнение неразрывности (8) запишется в виде:

Д<3=0 (15)

Давление на границе между жидкостями (рис.2) может быть

представлено в виде:

^+р

(16)

х-0

Полученные уравнения и граничные условия образуют линейную систему:

Р Ф

х-4М *

Рис.2. Схема линеаризации граничных условий на межфазной поверхности

дф. . 12 я . р. _ Эг А

де>;=о,

(

1э* ) Д5-0 1 ^ )

где I = 1,2.

Решение системы (17) - (21) ищется в виде:

(17)

(18)

(19)

(20) (21)

Так как это решение должно удовлетворять уравнению Лапласа (18), получаем соотношение между коэффициентами: = — Исг, где кг=к -вещественное число, и окончательно решение для второй жидкости выглядит так: ^

Параметр к должен быть положительным, чтобы данный вид решения удовлетворял граничному условию затухания возмущений на бесконечности справа (21).

Слева же от границы жидкостей мы тоже должны удовлетворить граничному условию затухания возмущений, при этом при х=0 решения должны быть согласованы, поэтому

<р1=Ф1еь,Мш->у). (24)

После подстановки решения в виде (23), (24) в систему уравнений (17) -(22) получаем дисперсионное соотношение:

(25)

Для случая, когда плотности вытесняемой и вытесняющей жидкостей равны рх=рг- р, тогда Б = I, Мы получаем связь между постоянными параметрами решения (25) в виде:

где

Х = 1/к.

(26)

Устойчивость фронта вытеснения возможна только в том случае, когда оба При исследовании этого решения получаем, что всегда положительна, а 1т(й>г)<0 при М>1 И 1т(йТ2)>0 при МП. Таким образом, вытеснение вязкой жидкости менее вязкой всегда неустойчиво. С другой стороны, граница между жидкостями всегда устойчива к малым возмущениям в случае, когда более вязкая жидкость вытесняет менее вязкую.

На рис.3 показана зависимость отрицательной мнимой части (декремента затухания) от длины. Часть кривой, лежащая левее линии ^ = 1 не имеет физического смысла. На этом участке не выполняется допущение модели

о малости ширины ячейки в сравнении с линейными размерами течения. Из рисунка видно, что наибольшая интенсивность роста наблюдается у возмущений наименьшей длины. Т.е. если плоский фронт возмущен случайным образом, то с наибольшей интенсивностью будут расти самые короткие возмущения.

Таким образом, анализ устойчивости плоского фронта к малым возмущениям не позволяем определить размер вязкого пальца. Очевидно, существенную роль играют нелинейные члены уравнений. Для обоснования влияния инерции на размер вязких пальцев были проведены численные расчеты процесса вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу.

В главе 4 описан метод численного интегрирования и приведены результаты расчетов структуры фронта неустойчивого вытеснения.

Считается, что до нулевого момента времени ячейка Хеле-Шоу заполнена вязкой вытесняемой жидкостью. В момент времени 1 = 0 на вход ячейки подаётся менее вязкая вытесняющая жидкость. Скорость подачи жидкости однородна по входному сечению, и равна и... Форму фронта вытеснения в моменты времени t > 0 требуется рассчитать.

1.6 1.2 0.8 0.4

0 20 40 60 80 X

Рис.3. Зависимость декремента затухания, взятого со знаком минус, от длины волны (11е=0.14, М=84,0=1).

При численном моделировании течения с помощью уравнений (6) - (8) получается непрерывное поле скоростей с размытыми скачками тангенциальной составляющей скорости на межфазной поверхности. Непрерывность поля скоростей во всей ячейке Хеле-Шоу и тот факт, что параметры, определяемые физическими свойствами жидкостей входят в систему уравнений лишь в

виде коэффициентов, дают возможность рассчитывать поля скоростей и давлений методом сквозного счёта. Коэффициенты системы уравнений р,/х определяются в зависимости от того, какая жидкость находится в данный момент времени в соответствующем узле разностной сетки. Смещения фронта вытеснения определяется по известному полю скоростей.

Исходная система уравнений (6) - (8) переписывается в безразмерной форме, определяется набор безразмерных параметров, влияющих на форму фронта вытеснения:

В проведенных расчетах плотности жидкостей полагались равными Б = 1, влияние чисел М и исследовалось. Расчеты были проведены при четырёх

значениях чисел: ^ (без учета и н е р п £-йг*С(.01,. 1 , 1.0 и трёх

значениях чисел М = 3, 9, 84. Предварительно были проведены тестовые расчёты, которые показали, что при отсутствии начального возмущения межфазная поверхность остается плоской на протяжении всего процесса истечения. При задании небольшого начального возмущения межфазная поверхность теряет устойчивость.

На рис.4, 5 показаны два варианта расчетов процесса неустойчивого вытеснения. Расчеты показывают, что первоначально плоский фронт разрушается коротковолновыми возмущениями минимально возможной длины - в 1-2 численные ячейки. Затем возмущения нарастают, превращаясь в вязкие пальцы. Со временем количество пальцев уменьшается. Оставшиеся пальцы разрушаются и в потоке вытеснеямой жидкости появляются вязкие пузырьки.

Вязкие пузырьки заметны так же в экспериментах (Смирнов и др., 2003). Неустойчивость вязких пальцев может быть объяснена развитием на их плоской поверхности неустойчивости Кельвина - Гельмгольца за счёт разности скоростей вытесняющей жидкости пальца и вытесняемой жидкости в пространстве между ними. Наблюдаемая в численных расчетах картина может быть названа «вязким барботажем». Действительно, в потоке заметен медленно движущийся «кипящей слой», от которого постоянно отрываются достаточно крупные «вязкие пузырьки» вытесняющей жидкости. Причем, заметно, что «пузырьки» сохраняют свою устойчивость в течение длительного времени, не разрушаясь высокочастотными возмущениями.

о-ь

Р\'

Мг I

№

I

Рис. 4. Результаты расчетов вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле - Шоу при М =9,<?11е = 0.1. Отношение длины ячейки к ее ширине равно 5. На рис. а- и показана форма фронта вытеснения в различные моменты времени: t=0.5,1.0,1.5,2,2.5,3.0,3.5,4.0,4.5

о^-

(I 05 1 15 2 25 3 35 4 4.5 5

I

Рис.5. Результаты расчетов процесса вытеснения при М = 84, <5 Ке = 1

Отношение длины ячейки Хеле-Шоу к ее ширине равно 5 На рис а- з показана форма фронта вытеснения в различные моменты времени: г=0 5, 1 0,1 5,2, 2.5,3.0,3.5,4.0.

Причины ускоренного движения «вязкого пузырька» понятны на каждую частицу в потоке вязкой жидкости действует сила, определяемая градиентом давлений Её действие компенсируется силами вязкого сопротивления со

стороны стенок ячейки. Если часть вязкой жидкости заменить каплей другой, менее вязкой, то силы сопротивления уменьшатся и образованный таким образом «пузырёк» начнёт двигаться быстрее окружающей его жидкости.

В главе 5 поставлена задача о «вязком пузырьке» всплывающем в потоке вытесняющей жидкости и получено ее аналитическое решение без учета инерционных членов.

Пусть скорость вытеснения поддерживается постоянной и_ = const. В вязкой вытесняемой жидкости «2» движется капля менее вязкой жидкости «1» - «вязкий пузырёк». Требуется рассчитать форму «вязкого пузырька» и скорость его движения. Течение в системе координат связанной с пузырьком

предполагается стационарным, поэтому задачу удобнее решать в подвижной системе координат (рис.6).

Рис.6. Схема течения вокруг вязкого пузырька в подвижной системе координат.

Требуется найти решение уравнения Лапласа

Д? = 0, (27)

в области вокруг вязкого пузырька, удовлетворяющее условию на бесконечности:

и на поверхности «вязкого пузырька»:

Если пренебречь инерций то граничное условие на поверхности вязкого пузырька упрощается:

Уравнению Лапласа (27), граничным условиям (28) и (30) удовлетворяет решение в виде суммы потенциалов прямолинейного потока и диполя с центром в точке

[ г + а

(3Э

Уравнение линии тока, огибающей поверхность вязкого пузыря, представляет собой окружность с центром в центре диполя:

(х + аУ+у1 =аг . (32)

Скорость вязкого пузырька определится соотношением:

(33)

Асимптотики уравнения (33):

«1 = 2«. (34)

и,=и. (35)

Таким образом, пузырьки, образованные невязкой жидкостью могут двигаться вдвое быстрее фронта вытеснения.

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации:

1. Предположение о том, что силы инерции контролируют структуру фронта неустойчивого вытеснения подтверждено обработкой экспериментов по скоростному вытеснению вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу.

2. На основании обработки экспериментальных данных построены зависимости связывающие характеристики фронта вытеснения: ширину вязких пальцев и темп их роста со средними параметрами процесса.

3. Построена математическая модель, описывающая эволюцию фронта вытеснения с учетом инерции.

4. Разработан численный метод, позволяющий отслеживать изменения формы фронта вытеснения.

5. Численно исследована зависимость структуры фронта вытеснения от безразмерных параметров: модифицированного числа Рейнольдса и отношения вязкостен вытесняемой и вытесняющей жидкости М.

6. Расчёты продемонстрировали такой же характер зависимости размеров элементов фронта вытеснения от определяющих параметров процесса как и в эксперименте.

7. Показано что вязкий палец является неустойчивой структурой. Со временем он распадается на вязкие пузырьки.

8. Найдено аналитическое решение задачи о пузырьке движущемся в потоке вязкой жидкости.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕДИССЕРТАЦИИ

1. Ивашнев О.Е., Шахмардан М.М. Численное моделирование вытеснения жидкости из ячейки Хеле - Шоу, Ломоносовские чтения, секция механики. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова. Апрель 2003, с.59.

2. Ивашнев О.Е., Шахмардан М.М. Теоретический расчет структуры фронта вытеснения вязкой жидкости, Ломоносовские чтения, секция механики. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова. Апрель 2004, с.84.

3. Ивашнев О.Е., Шахмардан М.М. Перемешивание при вытеснении вязких жидкости из ячейки Хеле - Шоу, Газовая и волнавая динамика, Москва 2004, с.334-343.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать /4.01.05 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 1,2$

Тираж 100 экз. Заказ

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

01.01-Ol OÍ

/Tri \ 2 2 ФБ9 ÎHQSI " \ J

1. Введение

2. Влияние малых параметров на размер вязких пальцев

2.1. Решение известных задач методом теории подобия и размерности в механике.

2.2. Решение задачи с инерцией методами теории размерности.

2.3. Описание эксперимента.

3. Постановка задачи о вытеснении вязкой жидкости с учётом инерции

3.1. Математическая модель вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу с учётом инерционных свойств жидкости.

3.2. Задача об устойчивости плоского фронта вытеснения к малым возмущениям.

4. Численное моделирование структуры фронта неустойчивого вытеснения

4.1. Постановка задачи для численного моделирования.

4.2. Безразмерная постановка задачи.

4.3. Разностная схема.

4.4. Результат численных расчетов

5. Задачи о пузырьке в потоке вязкой жидкости

5.1. Постановка задачи.

5.2. Решение задачи без учета инерции.

По-видимому, впервые объяснение явления неустойчивости, развивающейся при вытеснении одной вязкой жидкости другой менее вязкой из пористой среды дано в работах Hill (1952) [1], Chuoke & van Meurs & van der Poel (1959) [2] и Saffman & Taylor (1958) [3] и другие авторы [4-8]. Показано (рис. 1.1), что фронт вытеснения неустойчив, построен механизм развития неустойчивости.

Рис. 1.1. Механизм развития неустойчивости развивающейся при вытеснения вязкой жидкости: а - эволюция малого возмущения плоского фронта , б - профили давлений в различных сечениях. х

Пусть, где то на фронте вытеснения возникло малое возмущение (рис. 1.1,а). В месте возникновения возмущения в точке А, градиент давлений возрастает, скорость движения жидкости возле этой точки увеличивается и амплитуда возмущения нарастает. В результате менее вязкая, вытесняющая жидкость прорывается через слой вытесняемой образуя в ней каналы называемые вязкими пальцами. (Рис.1.2) вязкие пальцы образуют область, зону смешения, лежащую между основаниями и вершинами пальцев, в которой находится как вытесняемая, так и вытесняющая жидкости (рис. 1.2,6).

Рис.1.2. Неустойчивое вытеснения вязкой жидкости из пористой среды

Проблема расчёта динамики изменение зоны смешения возникает при макромасштабном, моделировании процесса вытеснения вязкой жидкости из пористой среды (рис. 1.2.а). В этом случае необходимо знать динамику Л изменения ширины области, занятой двумя жидкостями, т.е. иметь формулы, позволяющие рассчитывать поток смешения, который до настоящего времени определялся на основании обработки экспериментальных данных. Наличие теории существенно повысит эффективность таких исследований.

Решение проблемы расчёта структуры фронта неустойчивого вытеснения имеет полувековую историю. Подавляющее большинство теоретических и экспериментальных работ посвящено исследованию вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу [9^48]. Ячейка Хеле-IJIoy служит физической моделью пористой среды. Она представляет собой узкий канал, образованный двумя параллельными пластинами, расположенными на расстоянии <5 значительно меньшем длины L и ширины канала /(рис. 1.3).

Рис.1.3. Схема ячейки Хеле-Шоу. 8«1

Первую попытку рассчитать параметры вязкого пальца предпринял Журавлёв (1956) [49]. Однако, более известно работа Saffman & Taylor (1958) [3], считающаяся классической. Saffman и Taylor теоретически и экспериментально исследовали вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу. В теоретическом анализе вытесняемая и вытесняющая жидкости считались несжимаемыми. Силами трения, действующими в плоскости течения пренебрегалось в сравнении с силами треиия о стенки. Инерция жидкостей не ф учитывалась. Параметры течения были осреднены по высоте ячейки Хеле-Шоу. В результате для описания течения в ячейке Хеле-Шоу была получена система уравнений Эйлера: + ^ = 0 (1.1) дх ду дР пол и -------(1.2)

12//, дх v = (1.3)

12//,. ду где u , v - средние по высоте сечения компоненты вектора скорости, Р давление, коэффициенты динамической вязкости, вытесняющей (1=1) и вытесняемой (i=2) жидкостей. Силами поверхностного натяжения на границе раздела жидкостей пренебрегалось. На межфазной поверхности ставилось условие равенства давлений и нормальны к поверхности компонент скоростей: x = £(t,y): P = P,=P2> w\n = w2n (1.4)

В результате решения задачи была получена формула позволяющая рассчитать форму вязкого пальца : = 2—In п cos а

1.5)

Ширина вязкого пальца X входит в эту формулу как параметр, т.е. в соответствии с теорией Журавлёва - Сафмана - Тейлора ширина вязкого пальца может быть любой. Saffman & Taylor (1958) [3], ссылаясь на свои эксперименты (рис. 1.4) предположили, что она равна половине ширины ячейки Хеле-Шоу /. Однако дальнейшие эксперименты и численные расчеты опровергли эту гипотезу: (Pitts, 1980 [50] ; Mclean & Saffinan, 1981 [51]; Park & Homsy, 1984 [52]; Park & Homsy, 1985 [53] и другие авторы [54-62]).

Рис.1.4. Результаты экспериментов Saffman & Taylor (1958).

На (рис.].5) представлены результаты экспериментов Park & Homsy (1985) [53] по вытеснению глицерина водой из ячейки Хеле-Шоу. Видно, что в ячейке при некоторых параметрах могут образовываться несколько вязких пальцев, что противоречит гипотезе Сафмана -Тейлора.

Первая успешная попытка расчета ширины вязкого пальца принадлежит Homsy(1987) [63], Он предположил, что при вытеснении вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу другой, несмешивающейся с вытесняемой, размер вязкого пальца определяется малым параметром: силами поверхностного натяжения, действующими в плоскости течения. Хотя эти силы на порядки меньше сил поверхностного натяжения, действующих поперёк потока, но их включение в анализ позволило определить ширину вязкого пальца теоретически Schwartz & Degregoria (1987) [64]. а) б) в)

Рис.1.5. Результаты экспериментов по вытеснению вязкой жидкости газом из ячейки Хеле Шоу, а: Са = 94.3 . б: Са' = 143, («„ = Змм/с): (а) 90 с, (Ь) 94 с, (с) 110 с, (d) 130 с, (е) 140 c,(f) 157 с, (g) 162 с, (h) 171 с, (i) 181 с, (j) 199 с, (к) 210 с . в: Са' = 143; (а) 73 с, (Ь) 82 с .

Гипотеза Хомси также была подтверждена экспериментально Park & Homsy (1985) [53]. Эксперименты показали, что критерием подобия процессов вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу является модифицированное капиллярное число, называемое теперь числом Homsy:

L, (1.6)

С7 О где / ширина ячейки Хеле-Шоу, 8 - её высота (расстояние между пластинами), //j - динамическая вытесняемой жидкости, их- среднемассовая скорость. Коэффициент поверхностного натяжения а входит в это число как параметр.

Однако, силы поверхностного натяжения в пористой среде не зависят от формы фронта вытеснения. Поэтому теория Homsy не может быть использована для расчета структуры фронта вытеснения в этом интересном с практической точке зрения случае.

Существуют эксперименты которые показывают, что и без сил поверхностного натяжения фронт вытеснения имеет строго определенную структуру, иными словами, размеры вязких пальцев близки к среднему значению. Причём, это среднее значение меняется при изменении параметров системы: проницаемости среды S2, вязкости жидкостей //,, и скорости подачи жидкости их.

В экспериментах Smirnov и др. (2002) [65-67] водо-глицериновая смесь вытеснялась водой (рис. 1.6).

Вода и глицерин-смешивающиеся жидкости, поэтому сил поверхностного натяжения на их границе нет. Следовательно, найденный Homsy механизм стабилизации вязких пальцев не работает. Ввиду большой скорости вытеснения 1-5 см 1с диффузии глицерина в воду не происходит. Видно, что граница между глицерином и водой остаётся чёткой. Следовательно, не работает и второй механизм стабилизации вязких пальцев: за счёт диффузии жидкостей.

Рис.1.6. Фотографии фронта вытеснения вода - глицериновой смеси из ячейки Хеле Шоу водой. Параметры экспериментов 1-10 даны в таблице 1

Таблица.1. Начальные условия эксперименты, Смирнова и др. (2003) представленных на рис.1.6.

М щ.см/с 5, ММ tl, с t2, С

I 84 5 1.2 0.4 1.6

2 84 2.75 1.2 0.8 3.2

3 84 1 1.2 2 8

4 9 5 1.2 0.4 1.6

5 3 5 1.2 0.4 1.6

6 84 2.75 3.7 0.8 3.2

7 84 1 3.7 2 8

8 9 I 3.7 2 8

9 9 I 1.2 2 8

10 3 2.75 \2 0.8 3.2

Тем не менее, видно, что размер элементов фронта вытеснения достаточно близок к среднему значению Я.

Чтобы объяснить наблюдаемые зависимости размеров вязких пальцев от параметров экспериментов 2 необходимо предположить существование других, неизвестных до сих пор, механизмов, определяющих размер элементов фронта вытеснения - вязких пальцев.

Обобщая гипотезу Homsy предположим, что размер пальцев определяется малыми параметрами. Однако малых параметров, не учтённых в классической постановке задачи о вязком пальце Журавлёва - Сафмана - Тейлора, много. Это инерция жидкостей, их сжимаемость, силы вязкости, действующие в плоскости течения, и бесконечное множество других факторов .

В главе 2 на основании теории подобия и размерности в механике (Седов 1977, [68]) разработан метод, позволяющий определить, какие малые параметры влияют на структуру фронта вытеснения, а какие-нет. На основании обработки экспериментов показано, что инерция жидкостей может быть фактором, определяющим размер вязких пальцев.

В главе 3 предложена постановка задачи о структуре фронта вытеснения, учитывающая инерцию жидкостей. Исследована устойчивость плоского фронта вытеснения на малые возмущения. Линейный анализ показал, что быстрее всех нарастают возмущения наименьшей длины. Таким образом, размер вязких пальцев в задаче с инерцией не может быть найден на основе анализа устойчивости плоского фронта на малые возмущения.

В главе 4 разработан метод численного решения задачи о структуре фронта неустойчивого вытеснения. Показано, что сначала плоский фронт разрушается возмущениями минимально возможной ширины, примерно 1-2 ячейки. Затем ширина пальцев увеличивается достигая десятков ячеек. Проведено исследование влияния параметров системы на структуру фронта неустойчивого вытеснения. Методом численных расчётов подтверждена гипотеза о том, что силы инерции могут определять структуру фронта неустойчивого вытеснения. Показано, что вязкие пальцы, в свого очередь неустойчивы со временем они разрушаются на вязкие пузырьки.

В главе 5 Приведено аналитическое решение задачи о вязком пузырьке в потоке вязкой жидкости.

Анализ результатов дан в заключении.

Заключение

Полученные в работе результаты могут быть сформулированы следующим образом:

1. Показано, что ширина вязких пальцев образующихся при вытеснении вязкой жидкости из пористой среды и темп их роста определяются силами инерции.

2. Предложен безразмерный критерий подобия процессов вытеснения.

3. На основании обработки экспериментальных данных построены зависимости связывающие характеристики фронта вытеснения: ширину вязких пальцев и темп их роста со средними параметрами процесса вытеснения.

4. Построена математическая модель описывающая структуру фронта неустойчивого вытеснения.

5. разработан численный метод позволяющий отслеживать изменения формы фронта вытеснения.

6. Численно исследована зависимость фронта вытеснения от безразмерных параметров: модифицированного числа Рейнольдса 8 Re и отношения вязкостей вытесняемой и вытесняющей жидкости М.

7. Показано, что вязкие пузырьки пальцы по мере их роста теряют устойчивость и распадаются на вязкие пузырьки.

8. Поставлена и в классической постановке Решена аналитически задача о пузырьке в потоке вязкой жидкости. Найдена форма вязкого пузырька и скорость его движения.

Для более убедительного доказательства роли инерции как фактора определяющего структуру фронта неустойчивого вытеснения должно быть найдено аналитические Решения задач о вязком пальце и вязком пузырьке с учетом инерции.

1. Hill S. Channeling in packed columns. Chem. Eng. Sci. 1, 247, 1952.

2. Chuoke R.L., Meurs P. Van & Poel C. Van Der. The instability of slow immiscible viscous liquid-liquid displacements in permeable media. Trans. AIME216, 188, 1959.

3. Saffiman P.G., Taylor G.I. The penetration of a fluid into a porous medium of Hele-Shaw cell containing a more viscous fluid. Proc. R. Soc. Lond. A 245, 312, 1958.

4. A. Habermann A., Trans. Aime 219, 264, 1960.

5. Blackwell R. J., Rayne J.R., and Terry W.M. Trans. Soc. Aime 216, 1, 1959.

6. Perkins R.L., Johnston O.C., and Saffman P.G. Soc. Pet. Eng. J. 5, 301, 1965.

7. Slobod R.L. and Thomas A. Soc. Pet. Eng. J. 3, 9, 1963.

8. Slobod R.L., Burcik E.J., and Cashdollar B.H. Prod. Month. 20, 11, 1959.

9. Hele-Shaw H.J.S. The flow of water. Nature 58, 34, 1898.

10. Галин Jl.А. Нестационарная фильтрация со свободной поверхностью. Докл. АН. СССР, Т. 47. с 246-253, 1945.

11. Полуборинова-Кочина П.Я. О движении контура нефти. Докл. АН. СССР, Т. 47. с 254, 1945.

12. Taylor G.I. & Saffman P.G. A note on the motion of bubbles in a Hele-Shaw cell and porous medium. Q. J. Mech. Appl. Maths 12, 265, 1959.

13. Saffiman P.G. Exact solutions for the growth of fingers from a flat interface between two fluids in a porous medium or Hele-Shaw cell. Q. J. Mech. Appl. Maths 12, 146, 1959.

14. Pitts E. Penetration of fluid into a Hele-Shaw cell: the Saffman-Taylor experiment. J. Fluid Mech. 97, 53, 1980.

15. Paterson L. Radial fingering in a Hele-Shaw cell. J. Fluid Mech. 113, 513, 1981.

16. Saffman P.G. Fingering in a porous medium (ed. Burridge et al. ) lecture notes in physics. Springer, 1982.

17. Kessler D. & Levine H. The theory of Saffman-Taylor fingers. Phys. Rev. A 32, 1930, 1985.

18. Combescot R., Dombre Т., Hakim V., Pomeau Y. & Pumir A. Shape selection for Saffman-Taylor fingers. Phys. Rev. Lett. 56, 2036, 1986.

19. Tanveer S. The effect of surface tension on the shape of a Hele-Shaw cell bubble. Phys. Fluids 29, 3537, 1986.

20. Couder Y., Gerard N. & Rabaud M. Narrow fingers in the Saffman-Taylor instability. Phys. Rev. A 34, 5175, 1986.

21. Howison S.D. Fingering in Hele-Shaw cells. J. Fluid Mech.167, 439, 1986.

22. Dorsey A.T. & Martin O. Saffman-Taylor fingers with anisotropic surface tension. Phys. Rev. A 35 3989, 1987.

23. Tanveer S. New solutions for steady bubbles in a Hele-Shaw cell. Phys. Fluids 30, 651, 1987a.

24. Combescot R., Dombre Т., Hakim V., Pomeau Y. & A. Pumir A. Analytic theory of the Safinan-Taylor fingers. Phys. Rev. A 37, 1270, 1987.

25. Reinelt D.A. Interface conditions for two-phase displacement in Hele-Shaw cells. J. Fluid Mech. 183, 219, 1987a.

26. Reinelt D.A. The effect of thin film variations and transverse curvature on the shape of fingers in a Hele- Shaw cell. Phys. fluids 30, 2617, 1987b.

27. Tanveer S. Analytic theory for the linear stability of Saffman-Taylor finger. Phys. Fluids 30,2318, 1987c.

28. Kessler D. & Levine H. Discrete set selection of Saffman-Taylor fingers, phys. fluids 30, 1246, 1987.

29. Kessler D., Koplik J. & Levine H. Patterned selection in fingered growth phenomena. Adv. Phys. 37, 255, 1988.

30. Pelce P. Dynamics of curved fronts. Academic, 1988.

31. Hong D.C. & Family F. Bubbles in the Hele-Shaw cell: Pattern selection & tip perturbations. Phys. Rev. A 37, 2724, 1988.

32. Combescot R. & Dombre T. Selection in the Saffman-Taylor bubble and asymmetrical finger problem. Phys. Rev. A 38, 2573, 1988.

33. Shaw B.E. Universality in selection with local perturbations in the Saffman-Taylor problem. Phys. Rev A 40, 5875, 1989.

34. Thome H., Rabaud M., Hakim V., Couder Y. The Saffman-Taylor instability: from the linear to the circular geometry. Phys. Fluids A 1, 224, 1989.

35. Weinstein S.J., Dussan V.E.B. & Ungar L.H. A theoretical study of two phase flow through a narrow gap with a moving contact line: viscous fingering in a Hele-Shaw cell. J. Fluid Mech. 221,53, 1990.

36. Tanveer S. Analytic theory for the selection of Saffman-Taylor finger in the presence of thin-film effects. Proc. R. Soc. bond. A. 428, 511, 1990.

37. Burgess D. & Foster M.R. Analysis of the boundary conditions for Hele-Shaw bubbles. Phys. Fluids A 2,1105, 1990.

38. Combescot R. & Ben Amar M. Selection of Saffman-Taylor fingers in the sector geometry. Phys. Rev. Lett. 67, 453, 1991.

39. Constantin P. & Pugh M. Global solutions for small data to the Hele-Shaw problem. Nonlinearity 6, 393, 1993.

40. Siegel M., Tanveer S. & Dai W.S. Singular effects of surface tension in a smoothly evolving Hele-Shaw flow. J. Fluid Mech. 323, 201, 1996.

41. Tanveer S. Asymptotic calculation of three-dimensional thin-film effects on unsteady Hele-Shaw fingering. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 354,1065, 1996.

42. De Wit A., Homsy G.M. Viscous fingering in periodically heterogeneous porous media. Part II. Numerical simulations. J. Chem. Phys.Vol.107 (22), 9619, 1997.

43. Kelly E.D. & Hinch E.J. Numerical solutions of sink flow in the Hele-Shaw cell with small surface tension. Eur. J. Appl. Maths 8, 533, 1997.

44. Fokas A.S. & Tanveer S. A Hele-Shaw problem and the second painleve transcendent. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 124, 169, 1998.

45. Mineev-Weinstein M. Selection of the Saffman-Taylor finger width in the absence of surface tension: an exact result. Phys. Rev. lett. 80, 2113, 1998.

46. Aldusin A.P., Matkowsky B.J. Instabilities, fingering and Saffman-Taylor problem in filtration combustion. Combust. Sci. Technol. 133, 293, 1998.

47. Ceniceros H. & Hou T.Y. The singular perturbation of surface tension in Hele-Shaw flows. J. Fluid Mech. 409, 251-272, 2000.

48. Howison S.D. A note on the two-phase Hele-Shaw problem. J. Fluid Mech. 409, 243-249, 2000.

49. Zhuravlev P. Zap Leningrad Com. Inst. 133, 54 in Russian, 1956.

50. Pitts E. Penetration of fluid into a Hele-Shaw cell: the Saffan-Taylor experiment. J. Fluid Mech. 97, 53, 1980.

51. Mclean J.W., Saffman P.G. The effect of surface tension on the shape of fingers in a Hele-Shaw cell. J. Fluid Mech. 102, 455,1981.

52. Park C.W., Homsy G.M. Two-phase displacement in Hele-Shaw cell: theory. J. Fluid Mech. 139, 291, 1984.

53. Park C.W., Homsy G.M. The instability of long fingers in Hele-Shaw flows. Phys. Fluids, V.28, N. 6, pp. 1583-1585, 1985.

54. Tabeling P. & Libchaber A. Film draining and the Saffman-Taylor problem. Phys. Rev. A 33, 794, 1986.

55. Tabeling P., Zocchi G. & Libchaber A. An experimental study of the Saffman-Taylor instability. J. Fluid Mech. 177, 67, 1987.

56. Maxworthy Т. The nonlinear growth of a gravitationally unstable interface in a Hele-Shaw cell. J. Fluid Mech. 177, 207, 1987.

57. Maxworthy T. Experimental study of interface instability in a Hele-Shaw cell. Phys. Rev. A 39, 5863, 1989.

58. Arneodo A., Couder Y., Grasseau G., Hakim V. & Rabaud M. Uncovering the analytical Saffman-Taylor finger in unstable viscous fingering and diffusion limted aggregation. Phys. Rev. lett. 63, 984, 1989.

59. Kessler D. & Levine H. Stability of finger patterns in Hele-Show cells. Phys. Rev. A 33, 2632, 1986a.

60. Degregoria A J., Schwartz L.W. Finger break-up in Hele-Show cells. Phys. Fluids 28, 2313, 1985.

61. Degregoria A J., Schwartz L.W. Fluid Mech. 164, 383, 1986.

62. Meiburg E. & Homsy G.M. Nonlinear unstable viscous fingers in Hele-Show flows. II. Numerical simulation. Phys. Fluids 31, (3), 1988.

63. Homsy G.M. Viscous fingering in porous media. Ann. Rev. Fluid Mech. 19, 271, 1987.

64. Schwartz L.W., Degregoria A J. Simulation of Hele-Shaw cell fingering with finite capillary number effects included phys. Rev. A. 35, 276, 1987.

65. Smirnov N.N., Nikitin V.F., Ivashnyov O.E., Legros J.C., Vedernikov A., Scheid В., Istasse E. Instability in viscous fluids displacement from cracks and porous samples. Proc. 53-d Internat. Astronautical Congress, Houston, IAC-02-J. 2. 02, 2002.

66. Седов Jl.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 438 с, 1977.

67. Роуч П. Вычислительная гидродинамика М.: Мир, 1980.

68. Patankar S.V. Numerical heat transfer and fluid flow, 1972.

69. Versteeg H.K., & Malalasekera W. An introduction to computational fluid dynamics the finite volume method, 1996.

70. Harlow F.H. and Welch J.E. Numerical calculation of Time-Derendent viscous incompressible flow of fluid with Free Surface, Phys. Fluids, vol. 8, P. 2182, 1965.

71. Caretto L.S., Gosman A.D., Patankar S.V., and Spalding D.B. Two calculatian procedures for steady, Three-Dimensional Flows with recirculation, proc .3d int. conf. Num. Methods Fluid Dyn, Paris, vol. 11, p. 60, 1972.

72. Patankar S.V. and Spalding D.B. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in Three-Dimensional parabolic flows, Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 15, p. 1787,1972a.

73. Patankar S.V. and Spalding D.B. Heat and mass transfer in boundary layers, 2d ed, intertext, London, 1970.

74. Caretto L.S., Curr R.M. and Spalding D.B. Two numerical methods for Three-Dimensional boundary layers, сотр. methods appl. Mech. Eng. vol. I. P, 1972

75. Patankar S.V. Numerical prediction of Three-Dimensional flows, in В. E. launder (ed), studies in convection: Theory, measurement and applications, vol. 1, Academic, New York, 1975.