Математическое моделирование совместного течения флюидов с сильно различающимися подвижностями в трехмерной капиллярной сетке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Крылова Марина Валерьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОВМЕСТНОГО ТЕЧЕНИЯ ФЛЮИДОВ С СИЛЬНО РАЗЛИЧАЮЩИМИСЯ ПОДВИЖНОСТЯМИ В ТРЕХМЕРНОЙ КАПИЛЛЯРНОЙ СЕТКЕ.

Специальность 01.02.05—механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва -2004

Работа выполнена в Институте проблем нефти и газа Российской Академии наук и Министерства образования России

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Земских В.И.

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук Четверушкин Б.Н.; кандидат технических наук, доцент Чен Син Э.П.

Ведущее предприятие:

Институт прикладной математики РАН им. М.В. Келдыша

Зашита состоится «б»ИЮИЯ2004 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д.212.200.03 на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук при Российском Государственном Университете нефти и газа имени И.М. Губкина по адресу:\A999i, ГСП-1, Москва, Ленинский проспект, д.65, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского государственного университета нефти и газа им. И.М. Губкина. Автореферат разослан

Ученый Секретарь к.ф.-м.н., доцент

М.Н. Кравченко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В процессе разработки и эксплуатации нефтегазовых месторождений возникает многофазное движение углеводородных и неуглеводородных компонентов. Важным элементом в понимании динамики многофазных течений в пористых средах является соединение физики в микроскопическом масштабе с макроскопическими явлениями, которые наблюдаются в лаборатории или на месторождении. Внутри отдельных пор движение флюидов и мениска можно изучать на основании микрогеометрии и физических характеристик жидкости, газов и твердых тел. В макроскопическом масштабе обычно применяется теория многофазной фильтрации, использующая обобщенный закон Дарси и несколько эмпирических параметров (относительную фазовую проницаемость, среднее капиллярное давление и т.д.). Структура и свойства порового пространства становятся важными, когда влияние капиллярных сил на поверхности раздела фаз становится существенным по отношению к другим силам, и тогда поведение двухфазного течения рассматривается на микромоделях.

Если один из флюидов является газом, а остальные жидкостями, то их подвижности могут отличаться в сотни и тысячи раз. Это обстоятельство приводит к ряду отрицательных последствий при вытеснении нефти газом: газ легко туннелируется от нагнетательной к добывающей скважине по высокопроницаемым участкам пористой среды; образует при наличии газовой шапки газовые конуса у добывающих скважин. Фронт вытеснения газом воды или нефти оказывается неустойчивым. Перечисленные свойства таких систем приводят к уменьшению добычи нефти.

Малые добавки поверхностно-активных веществ могут оказывать огромное влияние на подвижность газа в пористой среде, снижая ее в сотни и тысячи раз (Фрид, 1961 и др.). Эксперименты на прозрачных микромоделях показывают,

РОС НАЦИОНАЛЬНА» БИБЛИОТЕКА

что в этом случае газ диспергируется в жидкости, находясь в пористой среде в виде газовых пузырьков, разделенных тонкими перегородками жидкости (ламеллами). При использовании пены как блокиратора газовых каналов наблюдается понижение проницаемости по газу на несколько порядков (Евгеньев А.Е. и др., 1972-1981; Максимов В.М., Филинов М.В., 1976-1982; Хансен, 1992; Радке и Эттингер, 1991). Известно (Паятакис,1982; Ленорман, 1983-1985), что образование в каналах пористой среды жидкостных пробок (линз) ведет не только к снижению проницаемости по газу данного канала, но иногда и к полной их закупорке. Пленки вдоль стенок каналов, образующиеся при совместном несмешивающемся двухфазном течении в каналах и стабилизирующиеся при наличии ПАВ, также ведут к уменьшению проницаемости порового канала по газу (Каримов М.Ф., 1981; Россен, 1988 и ДР.).

При вытеснении газа жидкостью в пористой среде в отдельных капиллярах встречаются режимы, в которых газ в жидкости находится в виде пузырьков. И в этом случае можно предположить, что проницаемость капилляров по жидкости, в которых имеет место такое «совместное течение жидкости и газа», снижается.

Существуют множество моделей для описания вытеснения одного флюида другим, как на макро-, так и на микроуровне. Однако недостаточно моделей двухфазной фильтрации, в которых учитывалось бы пленочное течение, течение со множеством пузырьков и ламелл. Учет этих режимов в отдельных капиллярах ведет к уменьшению проницаемости вытесняющего флюида. Такие режимы течения в капилляре в дальнейшем будем называть «совместным течением жидкости и газа по капиллярам со сниженной проницаемостью».

В этой связи, построение математической модели вытеснения жидкости газом в гидрофильной среде и газа жидкостью в гидрофобной среде, учитывающей вышеприведенные факты, является актуальной задачей современной науки о фильтрации газожидкостных смесей, так как более полно

учитывает реальную структуру течения.

3

Цель работы.

Исследование совместного течения флюидов с сильно различающимися подвижностями в трехмерной капиллярной сетке на основе обобщенной математической модели и ее численной реализации. Определение на этой базе основных макрохарактеристик взаимного вытеснения флюидов: зависимостей от насыщенностей относительных фазовых проницаемостей, капиллярного давления и функции Бакли-Леверетта.

Основные задачи исследования.

1. Построение трехмерных решетчатых моделей с различными координационными числами, имитирующих структуру поровых сред со сложной геометрией.

Z Построение математической модели, в которой учтено возможное снижение проницаемости в отдельных капиллярах, обусловленное образованием ламелл, пленок или пузырьков газа, при вытеснении жидкости газом и газа жидкостью, соответственно, в гидрофильной и гидрофобной трехмерной капиллярной сетке.

3. Разработка и численная реализация эффективных разностных схем и алгоритмов математической модели взаимного вытеснения флюидов.

4. Определение макромасштаба и расчет интегральных макрохарактеристик вытеснения: зависимостей относительных фазовых проницаемостей и капиллярного давления от насыщенностей, функции Бакли-Леверетта, пороговых давлений для образования кластеров различных типов.

Обоснованность методов исследования.

Указанные задачи решались с помощью современных методов подземной гидромеханики, которые многократно апробированы численно-аналитически и экспериментально путем моделирования процессов двухфазной фильтрации в трехмерной капиллярной сетке, а также использования численного метода

4

установления и хорошим совпадением с результатами экспериментов, проведенных в ИПНГ РАН. Было установлено число трубок, начиная с которого решения задачи практически перестают зависеть от числа трубок. Построенные функции относительных фазовых проницаемостей для газа и жидкости имеют качественное совпадение с ранее полученными результатами (Ентов В.М., Чсн Син Э.П. и др.).

Научная новизна.

Разработана новая математической модель, учитывающая возможное снижение проницаемости вытесняющего флюида в отдельных капиллярах сетки, обусловленное образованием пленок, ламелл или пузырьков газа, при вытеснении жидкости газом в гидрофильной среде и газа жидкостью в гидрофобной среде.

Разработан и реализован алгоритм численного расчета для предложенной математической модели.

Произведен расчет параметров взаимного вытеснения газа жидкостью и жидкости газом в трехмерной капиллярной сетке, моделирующей поровое пространство, при различных законах распределения пор по размерам.

На основе выполненных численных экспериментов качественно подтверждены результаты предыдущих исследований в этом направлении и получены новые закономерности по возникновению «совместного течения жидкости и газа по капиллярам со сниженной проницаемостью»:

• выявлено, что максимальное влияние эффекта снижения проницаемости газа в части капилляров, обусловленного образованием ламелл, пленок или пузырьков газа, на процесс фильтрации газа имеет место при малых перепадах давления или больших насыщенностях вытесняемого флюида;

• показано, что существуют два пороговых давления, определяющих отсутствие или образование в капиллярной сетке бесконечного кластера при вытеснении жидкости газом в трехмерной капиллярной сетке;

• продемонстрировано, что снижение проницаемости вытесняющего флюида слабо влияет на относительные фазовые проницаемости (ОФП) для вытесняемого флюида, тогда как для вытесняющего флюида это влияние становится значительным;

• установлено, что снижение проницаемости в отдельных капиллярах оказывает наибольшее влияние на относительные фазовые проницаемости вытесняющего флюида в области, где насыщенность этого флюида составляет меньше 50%

Определены макроскопические характеристики взаимного вытеснения газа жидкостью:

• новые зависимости капиллярного давления от насыщенности;

• зависимости ОФП для флюидов в широком диапазоне параметров задачи;

• функция Бакли-Леверетта, которая (в рамках проведенных исследований) была применена к решению задач о движении фронта при двухфазной фильтрации.

Практическая значимость. Полученные в диссертационной работе результаты математического моделирования гидродинамических процессов при совместном течении жидкости и газа могут быть теоретической основой для развития новых методических рекомендаций и обоснованием новых технологий воздействия на залежи углеводородного сырья с целью увеличения нефтегазоконденсатоотдачи. Полученные результаты имеют также важное значение для определения эффективных технологических режимов циклической эксплуатации подземного хранилища газа в водоносных пластах как в естественном режиме, так и при использовании пенообразующего водного раствора.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались:

- на 9-ом международной Европейском Симпозиуме по повышению нефтеотдачи (9th European Symposium on Improved Oil Recovery) (Гаага, Нидерланды, 20-22 октября 1997 г.);

- на конференции молодых ученых, посвященной 10-тилетию Института проблем нефти и газа РАН (Москва, ноябрь 1997 г.);

- на III Форуме SPE в Европе «Использование газа в повышении нефтеотдачи: от проекта до внедрения» (Авиамор, Великобритания, 20-25 сентября 1998 г.);

- на 4-ой Всероссийской конференции молодых ученых, специалистов и студентов по проблемам газовой промышленности России «Новые технологии в газовой промышленности» (Москва, 25-27 сентября 2001 г.);

- на конференции, посвященной 15-летию Института проблем нефти и газа РАН (Москва, май 2002 г.);

- на семинарах секции «Разработки нефтяных и газовых месторождений» и «Механики гетерогенных сред» ИПНГ РАН (1998-2004 гг.) и на семинарах в ИПМ РАН (2003-2004 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы. Список литературы насчитывает 127 наименований. Общий объем работы (включая 4 таблицы и 78 рисунков) составляет 119 страниц.

Автор диссертации выражает искреннюю признательность научному руководителю к.ф.-м.н. В.И. Земских и заместителю директора ИПНГ РАН проф. В.М. Максимову за постоянную помощь, внимание, консультации и поддержку при выполнении работы. Автор благодарен научному руководителю лаборатории «Прикладной механики сплошных сред» ИПМ РАН, профессору В.М. Ентову, заведующему лабораторией «Термогидромеханики гетерогенных систем» ИПНГ РАН О.Ю. Баталину за полезные советы и замечания.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении к диссертационной работе обосновывается актуальность темы, формулируются цели и задачи исследования, обсуждаются научная новизна и практическая значимость полученных результатов, излагаются краткое содержание работы и положения, выносимые на защиту.

В первой главе дается обзор теоретических и экспериментальных исследований двухфазного течения в пористых средах. Анализируются математические модели многофазного вытеснения в капиллярных сетках. Дается описание экспериментальных исследований и математических моделей течения пен и пленок. Приводятся основные положения этих работ, на которых в последующем строится модель совместного течения жидкости и газа в трехмерной капиллярной сетке при вытеснении жидкости газом и газа жидкостью.

В ИПНГ РАН на прозрачных микромоделях были выполнены эксперименты по моделированию совместного несмешивающегося течения в капиллярах (Сомов Ю.П.,1995). Через стеклянную модель проходил Капилляр, по которому фильтровался газ. К нему перпендикулярно подходил еще один капилляр, в котором была вода (рис. 1). Во входное отверстие (а) подается газ, снизу — вода (с). Выходное отверстие — (Ь) и область пересечения капилляров —

Рис. 1. Возможные режимы течения газа и жидкости в капилляре.

На рис. 2 представлены зависимости расхода газа от перепада давления на входном и выходном концах капилляра при различных режимах течения флюидов в капилляре.

Случаю, когда жидкость отсутствовала в капилляре по пути от точки (а) к точке (Ь), соответствует рисунок 1.1 и кривая 1 (рис. 2) зависимости расхода газа через капилляр (Ь (рис. 1). Если жидкость с раствором ПАВ (С171,5%) инжектировалась в капилляр (Ь, то наблюдалось два режима течения. Первый -. образование жидкой пленки на стенках капилляра (рис. 1.2), и в этом случае расход газа представлен кривой, 2 (рис. 2). Расход газа в капилляре (Ь снижается по сравнению с предыдущим случаем в несколько раз. Другой режим при течении, газа и жидкости, образующийся в результате неустойчивости положения мениска в точке ((), — это течение с образованием ламелл (рис. 1.3). В этом случае расход через капилляр (Ь по газу может снижаться в 10 и более раз (кривая 3, рис. 2).

Случаи режимов течения, представленных на рисунках 1.2 и 1.3 в дальнейшем будем называть «совместным течением жидкости и газа по капиллярам со сниженной проницаемостью». Снижение проницаемости по газу таких капилляров как из-за образования достаточно толстой пленки смачивающей жидкости на стенках капилляра, так и за счет образования ламелл учитывалось введением коэффициента снижения проницаемости капилляра по газу (КСП).

Описанное экспериментальное исследование было положено в основу моделирования процесса вытеснения жидкости газом в трехмерной

капиллярной сетке, в которой возможно существование капилляров со сниженной проницаемостью. А анализ и систематизация известных экспериментальных и теоретических работ по двухфазной фильтрации Ентова_В.М., Чен Син Э.П., Панфилова М.Б., Кадета В.В., Селякова В.И. и др., представленных в первой главе, послужили исходной базой для математического моделирования совместного течения флюидов с сильно различающимися подвижностями в трехмерной капиллярной сетке.

Во второй главе на основе положений, описанных выше, строится модель совместного течения жидкости и газа в трехмерной капиллярной сетке при вытеснении жидкости газом в гидрофильной сетке и газа жидкостью в гидрофобной сетке.

Для постановки задачи о двухфазном вытеснении задается геометрическая модель пористой среды, которая представлена капиллярной решеткой с описанными ниже физическими параметрами и вычисляется распределение поля давления по узлам решетки; ставятся начальные и граничные условия. Далее рассматривается движение мениска по капиллярам решетки и характеристики его движения в единичном капилляре с учетом капиллярных сил. При прохождении мениска через узлы решетки определяются правила перераспределения положения менисков. И при новом распределении менисков пересчитывается поле давления по узлам решетки по численной схеме, описанной в конце этой главы.

Среда при этом вытеснении была представлена трехмерной капиллярной сеткой, имитирующей образец пористой среды. В капиллярной сетке с гидрофильными свойствами рассматривается тип вытеснения — жидкости газом, а с гидрофобными свойствами — вытеснение газа жидкостью.

Поровое пространство моделировалось капиллярной сеткой, узлы которой располагались в узлах кубической решетки. Каждый узел решетки соединен с соседним узлом цилиндрической трубкой. Количество трубок (число x ),

соединяющих каждый внутренний узел с близлежащими узлами, может быть

10

равно 6, 8, 10, 12, 14. Трубки, соединяющие узлы, имеют размеры: радиусы, которые распределяются по трубкам по вероятностным законам (равномерный и нормальный), и длины. Узлы не имеют объема.

Параметры задачи: коэффициент поверхностного натяжения между вытесняемой и вытесняющей фазами; контактный угол; отношение вязкостей; КСП по газу капилляра при вытеснении жидкости газом и КСП по жидкости при вытеснении газа жидкостью; распределение радиусов капилляров по размеру.

Сделаны следующие предположения и допущения:

1) фазы (жидкость и газ) несжимаемые и несмешивающиеся;

2) мениск может двигаться только в активной' трубке. Согласно определению (Ентов В.М., Чен-Син Э.П., Фридман АЛ., 1975), активные трубки содержат только один мениск, а неактивные трубки или не содержат менисков совсем или содержат два мениска;

3) поле давления остается неизменным при движении менисков по трубкам сетки, пока один из менисков не достигнет соседнего узла;

4) перераспределение менисков при переходе через узел происходит мгновенно.

Для моделирования процесса вытеснения задаются давления в узлах входной и выходной граней (Р2). На всех остальных гранях ставились условия непроницаемости.

До процесса вытеснения все трубки сетки заполнены только вытесняемым флюидом.

На основе предположений, описанных выше, задача состоит из следующих этапов:

I. Задание геометрии капиллярной сетки и физических параметров флюидов;

II. Задание граничных и начальных условий задачи; Ш. Расчет движения менисков в трубках;

IV. Перераспределение менисков по трубкам;

11

V. Расчет поля давлений в узлах сетки при измененном распределении менисков (в новом состоянии).

Последовательно, после каждого полного заполнения определенной трубки (Ш-ий этап) идет перераспределение фронтов менисков (ГУ-ый этап) и расчет поля давлений (У-ый этап) до тех пор, пока расход вытесняющего флюида через сетку не станет постоянен и мениски станут неподвижными.

Рис. 3. Пример выходящих ')"'-тых трубок из центрального "С'-того узла в сопутствующей этому узлу системе координат.

Для вычисления положения мениска в каждой j "-той активной трубке на каждом временном шаге использовалось уравнение, описывающее движение мениска в единичном капилляре (индекс относится к узлу и

к трубкам) (Крылова М.В., Земских В.И., 1998):

где безразмерные переменные: £ =

процесса - и характерная длина формулами:

О)

а характерное время

/

- х» определяются соответственно

Начальное условие для фронта мениска "j''-той трубки: (0) = ¿¡(¡¡, •

Уравнение (1) при каждом значении параметра b имеет единственное решение. Его исследование показало, что при любом наборе параметров задачи осуществляется только один из трех режимов вытеснения: с ускорением движения мениска, с замедлением, движение с постоянной скоростью.

Для всех активных трубок определялось время , за которое мениск достигает узла в направлении его движения (полное заполнение капилляра одной из фаз).

Минимальное из этих времен выбиралось как следующий шаг по времени в расчете -

Далее производится перерасчет положений менисков в каждой активной трубке за этот минимальный шаг по времени по уравнению (1) - (i"mm ) •

При подходе мениска к узлу происходит перераспределение менисков по трубкам, примыкающим к узлу. При вытеснении жидкости газом в гидрофильной сетке по мере того, как трубка заполняется вытесняющим флюидом (газом) и мениск подходит к соседнему узлу, этот узел становится газовым. Может и к газовому узлу с течением времени подойти жидкостной мениск, но он останется газовым. Если жидкость достигает газового узла и через этот узел проходит газовый «путь», то считалось, что в выходных для этого узла капиллярах осуществлялось «совместное течение жидкости и газа» и проницаемость такого капилляра снижалась на заранее заданную величину КСП по газу. Величина КСП является параметром задачи: если КСП=0,5 (проницаемость по газу снижается в 2 раза), то считалось, что в капилляре образуется пленка, а если КСП=0,1; 0,01; 0,001, то в капилляре образуется ламелла.

Когда же жидкость вытесняет газ в гидрофобной сетке и мениск вытесняющего флюида (жидкости) подходит к узлу, в котором находится газ, то этот узел становится жидкостным. А если к жидкостному узлу подойдет газовый мениск, то он останется жидкостным. Если газ достиг жидкостного

13

узла, и через этот узел проходит жидкостной путь, то считалось, что в выходных капиллярах из этого узла происходит «совместное течение жидкости и газа», в данном случае — в жидкости находятся пузырьки газа, снижающие проницаемость жидкости. Проницаемость выходящих капилляров, через которые проходит жидкостной путь, снижается на заранее заданную величину КСП по жидкости, которая в этом случае может быть 0,1 или 0,5.

Считается, что когда вытесняющая фаза достигла узла по одному из капилляров, то во всех других капиллярах, примыкающих к этому узлу, мгновенно возникают мениски. Если такие мениски возникают в капиллярах, в которых мениск уже существовал, то такой капилляр становится неактивным, а его проницаемость в дальнейшем считается равной нулю (КСП=0), что соответствует случаю образованию толстой жидкостной линзы при вытеснении жидкости газом и газового пузыря, перекрывающего капилляр, в случае вытеснения газа жидкостью.

Изменение в положении менисков в трубках при переходе через узлы ведет к изменению распределения капиллярного давления по трубкам. Поэтому после перераспределения менисков по трубкам пересчитывалось давление в узлах сетки.

Из условий сохранения потоков по '.¡"-тым трубкам каждого "/"-того узла (рис. 3), сумма потоков через этот узел записывается следующем образом:

Здесь Р, - давление в данном рассматриваемом "центральном" узле; Рц давление в соседнем узле, соединенном трубкой; - капиллярное

давление в 'У"-Т0Й трубк£;- длина 'у"-той трубки; - радиус 'у*"-той трубки, Д, - коэффициент, который равен (-1), если 'У "-тая трубка входящая, и (1), если - выходящая; - параметры, которые зависят от

расположения жидкости и газа в трубке и от типа трубки; - КСП в

трубке по газу.

Из системы таких уравнений по всем узлам сетки вычисляем давление в каждом узле.

Эта система уравнений решалась методом установления (Самарский А.А, Бахвалов Н.С. и др.), так как является конечно-разностным аналогом эллиптического уравнения Лапласа с переменными коэффициентами.

Вычисления проводились с использованием частично неявной схемы, позволяющей избегать низкочастотных колебаний невязки, с последующим применением явной схемы с шагом по времени, гарантирующим сходимость итераций. Решение этой системы уравнений для давлений в узлах сетки требует основного компьютерного времени.

В третьей главе представлены результаты расчетов смоделированного двухфазного вытеснения в трехмерной капиллярной сетке. Эти результаты представлены зависимостью водонасыщенности сетки от перепада давления на входной и выходной грапи; зависимостью капиллярного давления от водонасыщенности; зависимостью ОФП от водонасыщенности; функцией Бакли-Леверетта; долями классифицированных трубок по признакам. Под «водонасыщенностью» понимается насыщенность жидкостью.

В этой главе результаты расчетов представлены по двум типам вытеснения: жидкость газом в гидрофильной сетке и газа жидкостью в гидрофобной сетке.

Вычисления проводились при' варьировании следующих параметров: размера сетки: 375, 3000 и 5184 трубок в сетке; координационных чисел

8, 14; типов распределения радиусов по размеру: для равномерного и нормального закона распределения; перепадов давления в узлах входной и

выходной гранях; КСП по газу " .¡"-той трубки ¿Мц - 1; 0,5; 0,1; 0,01; 0,001 и КСП по жидкости ^-ТОЙ трубки /Му - 1; 0,5; 0,1 при вытеснении газа жидкостью.

Предварительными вычислениями было установлено, что в стационарном состоянии доли капилляров перестают зависеть от размера сетки при числе трубок больше, чем 3 000. Далее представлены результаты расчетов для числа трубок 5 184 в трехмерной капиллярной сетке с координационным числом

В первой части главы представлены результаты расчета вытеснения жидкости газом в гидрофильной сетке. При вытеснении в капиллярной сетке детально прослеживались положения менисков и классифицировались все трубки по следующим признакам: 1) капилляры, заполненные жидкостью; 2) газом; 3) капилляры, где присутствует мениск; 4) капилляры со сниженной проницаемостью по газу; 5) капилляры, где находятся два мениска (с толстой линзой).

Представлены результаты численного эксперимента, когда встречается ситуация с одновременной фильтрацией жидкости и газа в отдельных капиллярах, а также показано влияние КСП на различные характеристики вытеснения.

На рис. 4 представлены зависимости капиллярного давления от водонасыщенности при вытеснении жидкости газом в ситуациях совместного течения жидкости и газа. Кривая 1 - нет снижения проницаемости (КСП=1); кривая 2 — проницаемость по газу снижена в 2 раза (КСП =0,5); кривая 3 -КСП=0,1; кривая 4 - КСП =0,01; кривая 5 - КСП =0,001. Кривые (4) и (5) -практически совпадают. На данном рисунке показано влияние КСП по газу на кривые капиллярного давления от водонасыщенности: чем меньше КСП, тем меньше остаточная водонасыщенность. Также видно, что с увеличением

давления и уменьшением КСП по газу, остаточная водонасыщенность уменьшается.

Рис. 4. Зависимость капиллярного давления от водонасыщенности

Далее на рис. 5 представлены ОФП по газу и жидкости в зависимости от водонасыщенности. Нечетные номера кривых - ОФП по газу и четные номера кривых - ОФП по воде. Нумерация кривых, как и на рис. 4. Из этого рисунка можно видеть, что ОФП по газу изменяется в зависимости от КСП, а ОФП по воде практически не различаются. Причем заметно, что при КСП по

газу в отдельном капилляре снизился в 100 раз, а ОФП всей сетки по газу в этих условиях снизилась не более, чем 1,6 раз (кривые 1 и 7).

Рис. 5. Зависимость ОФП от водонасыщенности.

График функции распределения потоков фаз от насыщенности вытесняющей фазы (газонасыщенности), т.е. функции Бакли-Леверетта:

/ (S )

* ,

(где кг - ОФП по газу, к, - ОФП по воде,

к , + fi к .

ЦоI — Hi I- отношение вязкости газа к вязкости жидкости) показан на рис. 5 (нумерация кривых такая же как и на рис. 4)

Рис 6 График функции Багли-Леверетта от газонасыщенности.

Капилляры со сниженной проницаемостью можно рассматривать как капилляры, изменившие свой радиус в процессе вытеснения. Так, если начальный радиус капилляра составлял величину г0, а затем его

проницаемость уменьшилась на величину КСП, то ему можно приписать значение эффективного радиуса, обеспечивающего ту же самую сниженную проводимость. В этом случае мы будем говорить, что капилляр имеет эффективный радиус:

Распределение радиусов по размеру с учетом того, что часть капилляров из начального распределения имеет эффективный радиус (капилляры со сниженной проницаемостью) зависит как от величины перепада давления на входной и выходной гранях, так и от величины КСП. Из рис. 7 видно, что первоначальный характер распределения капилляров (прямая 5) по размерам существенно меняется, так что значительная доля капилляров с радиусом большим, чем 0,5 (до 25%) изменяет свой радиус на г^ < 0,5- В

распределениях образуется пик при Величина и местоположение

образующегося пика зависят как от величины перепада давления, так и от величины КСП. При перепадах давления зависимость распределения от

р становится слабой, а зависимость от величины КСП остается значительной.

Рис. 7. Характер изменения г^

в зависимости от размера радиусов.

Далее в этой части представлены результаты моделирования, аналогичные предыдущим при этом же вытеснении, но начальное распределение радиусов капилляров сетки задавалось по нормальному вероятностному закону распределения.

Во второй части главы рассмотрено вытеснение газа жидкостью в гидрофобной среде.

Расчеты велись при тех же параметрах, что и в предыдущей части.

На рис. 8 представлены зависимости капиллярного давления от водонасыщенности в ситуациях совместного течения жидкости, и газа в отдельных капиллярах. Кривая 1 - нет снижения проницаемости (КСП=1); кривая 2 - проницаемость по газу снижена в 2 раза (КСП =0,5); кривая 3 -КСП=0,1. Видно, что конечная водонасыщенность увеличивается с уменьшением КСП.

Рис. 8. Зависимость капиллярного давления от водонасыщенности 1.

ОФП по газу (рис. 9) практически мало отличаются друг от друга при различных коэффициентах снижения проницаемости, а вот ОФП по воде изменяются (четные номера кривых - ОФП по газу и нечетные номера кривых -ОФП по воде), их значения при одних и тех же водонасыщешюстях

19

уменьшаются. Максимальные ОФП для воды уменьшаются с 0,8 при КСП=1 до 0,57 при КСП=0,1.

Рис 9. Зависимость ОФП от ■(М'тяпакп водонасыщенности

Аналогичные результаты получены и по исследованию функций Бакли-Леверетта и изменению эффективных радиусов в зависимости от КСП и перепада давления.

Четвертая глава посвящена анализу результатов.

На примере вытеснения жидкости газом в гидрофильной сетке исследуются доли классов капилляров в стационарном состоянии. Доли группируются следующим образом:

• Капилляры, полностью заполненные жидкостью. Через такие капилляры не фильтруется ни газ, ни жидкость.

• Капилляры, полностью заполненные газом. Такие капилляры фильтруют газ и не фильтруют жидкость.

• Капилляры, частично заполненные жидкостью и частично газом, в которых существует один неподвижный мениск в стационарном состоянии сетки. Считалось, что такие капилляры не фильтруют ни газ, ни жидкость.

• Капилляры со сниженной проницаемостью по газу. К ним относились капилляры, способные фильтровать газ и жидкость одновременно.

• Капилляры, в которых существуют два мениска (существует жидкостная линза). Такие капилляры не фильтруют ни газ, ни жидкость.

Последнее допущение оправдано при небольших перепадах давления, когда движению линзы под действием перепада давления на концах капилляра препятствует различие в наступающем и отступающем углах смачивания

Доля газовых капилляров кубической решетки состоит из двух типов капилляров из капилляров, полностью занятых газом, и капилляров со сниженной проницаемостью по газу При «совместном течении жидкости и газа» большая часть газовых капилляров состоит из капилляров со сниженной проницаемостью (таб. 1) Первая большая колонка показывает величину газового кластера в зависимости от и КСП в долях от общего

числа капилляров сетки, а вторая и третья описывают его структуру. Для правильного понимания таблицы 1 необходимо особо прокомментировать строку, соответствующую значению КСП=1 Казалось бы, в этом случае в структуре газового кластера должны отсутствовать капилляры со сниженной проницаемостью, так как КСП=1, а таблица показывает обратное Это объясняется тем, что в процессе расчета помечались все капилляры в газовом кластере, в которые инжектировалась жидкость, в том числе и при КСП = 1. Поэтому значения величин в строке КСП=1 и больших колонках 2 и 3 надо трактовать как доли капилляров, имеющих (колонка 3) или не имеющих (колонка 2) метки для снижения проницаемости, хотя реального снижения проницаемости в этих капиллярах в данном случае не происходит, так как КСП=1.

Из таблицы 1 видно, что увеличение АР при любом фиксированном значении КСП вызывает рост числа фильтрующих газ капилляров. Наиболее интенсивный рост происходит в диапазоне изменения перепадов давления В этом диапазоне прирост числа фильтрующих газ капилляров составляет 23-27% от общего числа капилляров и при перепаде давления ДР= 2 составляет 50,2-56,4% по сравнению с 21,5-28,5% при ДР = 0,63. Отметим также, что газовый кластер состоит в основном из капилляров со сниженной проницаемостью, что видно из сравнения соответствующих

Таблица 1 Процентные соотношения

между тремя группами капилляров,

фильтрующих газ

22

Фильтрующие газ капилляры, гр I, (пр 1 и 2), (%) Доля капилляров, занятых только газом, (пр 1), С/») Доля капилляров со сниженной проницаемостью, (пр 2), (%)

ксп 0,63 0,8 0,9 1 2 5 0,63 0,8 0,9 1 2 5 0,63 0,8 0,9 I 2 5

1 21,5 29,1 36,б 43,6 48,6 50,2 2 3 5,5 8,2 9,0 10,2 19,5 26,1 31,1 35,4 39,6 40,0

0,5 23,0 34,1 46,1 46,3 50,9 52,5 2,5 5,0 10 10 11,0 11 20,5 29,1 36,1 36,3 39,9 41,5

0,1 27,8 39 48 50 51,0 52,8 3,4 7,7 10,8 11,5 11,2 11,0 24,4 31,3 37,2 38,5 39,8 41,8

0,01 28,5 41,2 51 52,7 55,4 56,4 3,8 9 12,1 12,9 14,0 14,6 24,7 32,2 38,9 39,8 41,4 41,8

колонок с признаком 1 и 2. Уменьшение величин КСП при всех значениях АР способствует увеличению доли фильтрующих газ капилляров. При этом основной прирост происходит за счет возрастания доли капилляров, одновременно фильтрующих жидкость и газ.

Анализ результатов расчетов позволяет сделать вывод о существовании по крайней мере двух пороговых давлений:

начиная с которого происходит проникновение газа в сетку без

образования бесконечного кластера;

при превышении которого становится возможным в сетке образование

бесконечного кластера. При этом, как отмечалось выше, увеличение и уменьшение КСП за пределы пороговых значений увеличивает долю проводящих газ капилляров.

Следует отметить, что в данном случае процесс образования фильтрующих газ капилляров в сетке носит неслучайный характер. Так, газ в сетке перемещается по пути наименьшего сопротивления в силу того, что он является менее смачивающим флюидом по сравнению с жидкостью, т.е. при прочих равных условиях газ занимает капилляры наибольшего радиуса. Однако сами капилляры распределены по размерам и расположены в сетке случайным образом. Поэтому можно ожидать, что результаты классической теории протекания для решеточных задач, описанных Шкловским Б.И. и ЭфросомА.Л., могут быть применимы и к данному случаю.

Расчетами установлено, что в диапазоне перепадов давления в сетке образуется конечный кластер заполненных

газом капилляров и при этом фильтрации газа через сетку не происходит.

И, наконец, при существует стационарный поток газа

через сетку. Число фильтрующих газ капилляров оказывается достаточным для

образования кластера, распространяющегося через всю сетку. При этом доля

фильтрующих газ капилляров составляет величину 20,6%. Из сравнения

приводимых величин видно хорошее совпадение результатов численного

23

эксперимента с теоретическими положениями. Так первое пороговое значение определено в эксперименте с точностью =2%- Значение второго

порогового давления отличается от предсказанного классической теорией перколяции на величину Заметим, что как второе

значение перепада давления, так и доля фильтрующих газ капилляров, найденные из численного эксперимента, оказались меньше соответствующих теоретических величин, следующих из классической теории перколяции (0,63 и 20,6%; 0,6(6) и 25% соответственно). Такие незначительные различия могут быть объяснены скорее всего конечным размером сетки (в теории сетка предполагается бесконечной).

Заметим, что уменьшение величин КСП оказывает наиболее сильное влияние на число проникающих для газа капилляров при перепадах давления незначительно превышающих Так, изменение КСП от 1 до 0,01 при

Д/" = 0,8 приводит к увеличению фильтрующих газ капилляров с 29,1% до 41,2%, а при перепаде давления АР =5 эта доля увеличивается всего с 50,2% до 56,4%.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что эффект снижения проницаемости в части капилляров оказывает наибольшее влияние на процесс фильтрации газа через сетку капилляров при малых перепадах давления или при больших водонасыщенностях.

Результаты проведенного анализа влияния КСП на ОФП по газу и ОФП по жидкости в случае снижения проницаемости представлены на рисунках 10-11 (кривая 1 - КСП=0,5; кривая 2 - КСП=0,1; кривая 3 -КСП= 0,01).

Проведем анализ влияния КСП на ОФП по газу и ОФП по жидкости в случае снижения проницаемости.

Рис 10 Зависимости ОФП по жидкости при разных КСП к ОФП по жидкости при КСП=1 от

водонасыщенности

На рис 10 показаны зависимости отношений относительных фазовых проницаемостей по жидкости при разных КСП к ОФП по жидкости при КСП=1

от водонасыщенности

кп(КСП

при вытеснении жидкости газом с

к „(КСП ■■

учетом совместного течения жидкости и газа Видно, что это соотношение примерно равно 1.

На следующем рис 11 представлены зависимости ОФП по газу при разных КСП к ОФП по газу при КСП=1 от водонасыщенности при вытеснении жидкости газом с учетом совместного течения жидкости и газа в координатах

Рис 11 Зависимости ОФП по газу при разных КСП к ОФП по газу при КСП=1 от водонасыщенност и

Таким образом, КСП оказывет большое влияние на ОФП вытесняющего флюида и в основном в области, где насыщенность этого флюида составляет менее 50%

В заключении сформулированы основные результаты работы

Основные результаты работы

1. Построена математическая модель фильтрации двухфазной смеси (газа и жидкости) в трехмерной капиллярной сетке, в которой учтено влияние совместного течения жидкости и газа введением коэффициента снижения проницаемости в отдельных капиллярах. Исследованы процессы вытеснения жидкости газом в гидрофильной сетке и газа жидкостью в гидрофобной сетке.

2. Разработан алгоритм численной реализации математической модели с использованием метода установления в адекватной интерпретации. В результате его реализации:

- выявлено, что максимальное влияние эффекта снижения проницаемости газа в части капилляров, обусловленного образованием ламелл, пленок или пузырьков газа, на процесс фильтрации газа имеет место при малых перепадах давления или больших насыщенностях вытесняемого флюида;

- построены функции относительных фазовых проницаемостей для газа и жидкости, которые имеют качественное совпадение с ранее полученными результатами (Ентов В.М., Чен Син Э.П.и др.);

- показано, что снижение проницаемости в отдельных капиллярах оказывает наибольшее влияние на относительные фазовые проницаемости вытесняющего флюида в области, где насыщенность этого флюида составляет меньше 50%;

- установлено, что существует два пороговых давления, определяющих отсутствие или образование в капиллярной сетке бесконечного кластера, и теоретически определены их численные значения для сетки с заданными параметрами.

3. Дана классификация трубок трехмерной капиллярной сетки по пяти основным признакам, определяющим их способ фильтровать газ и/или жидкость через капилляры.

4. Построено аналитическое решение уравнения, описывающего движение мениска в единичном капилляре с учетом капиллярных сил и предложена классификация режимов двухфазного вытеснения.

5. Результаты, полученные на трехмерной капиллярной сетке при различных значениях коэффициента снижения проницаемости в отдельных капиллярах при переходе к макромасштабу, использованы для построения решения задачи Бакли-Леверетта.

Основные положения и результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Zemskikh V., Krylova JVL Physical and Mathematical Modelling ofFoam Flow Through Porous Media // presented at 1-st International Workshop of Reservoir Application ofFoam, 2-5 April, 1993, Stavanger, Norway pp. 88-97

2. Krylova M., Zemskikh V. Computer Modelling of Foam Flow through 3D Capillary Network // presented at 9th European Symposium on Improved Oil Recovery, October, The Hague, The Netherlands, 1997, P210.

3. Земских В.И., Крылова М.В. Макроскопические характеристики движения границы раздела фаз в единичном капилляре с учетом капиллярных сил // Изв. РАН, МЖГ, 1998 г., № 1, с. 188-190.

4. Крылова М.В. Математическое моделирование двухфазной фильтрации в трехмерной капиллярной сетке в присутствии пен // В сб. научн. тр. «Фундаментальный базис новых технологий нефтяной и газовой промЫшленности».-М.: ГЕОС, 2002 г., с.200-216

5. Крылова М.В. Локальные нелинейные эффекты в задаче о вытеснении жидкости газом в пористой среде/ ИПНГ РАН и Мин-ва образования РФ.-М., 2003. - 39 с: 29 ил. - Библиограф.: 35 назв.- Рус- Деп. ВИНИТИ 10.02.2003 г., № 253-В2003.

Отпечатано в копицентре Москва, Ленинские горы, МГУ, 1 Гуманитарный корпус. www.stprintru e-mail: zakaz@stprint.ru тел 939-3338 Заказ № 501, тираж 100 экз. Подписано в печать 22.04.2004 г.

ДЛЯ ЗАМЕТОК

» - 77 1 I

Введение4 стр.

Глава 1. Анализ теоретических и экспериментальных исследований двухфазного течения в пористых средах10 стр.

1.1. Обзор математических моделей двухфазного течения в капиллярных сетках13 стр.

1.2. Экспериментальные и математические описания двухфазного течения жидкости и газа, представленного пеной, в пористой среде23 стр.

1.3. Экспериментальные исследования по режимам вытеснения жидкости газом в капилляре33 стр.

1.4. Основные положения, используемые в дальнейшем исследовании35 стр.

Глава 2. Моделирование вытеснения в трехмерной капиллярной сетке36 стр.

2.1. Геометрия порового пространства37 стр.

2.2. Физические параметры капиллярной сетки41 стр.

2.2.1. Вытеснение жидкости газом в гидрофильной сетке41 стр.

2.2.1. Вытеснение газа жидкостью в гидрофобной сетке42 стр.

2.3. Постановка задачи43 стр.

2.3.1. Граничные и начальные условия. Расчет поля давлений в начальном состоянии сетки44 стр.

2.3.2. Расчет движения менисков по капиллярным трубкам. Классификация режимов вытеснения в единичном капилляре с учетом капиллярных сил46 стр.

2.3.2.1. Классификация режимов вытеснения в единичном капилляре с учетом капиллярных сил48 стр.

2.3.2.2. Расчет движения менисков по капиллярным трубкам в трехмерной капиллярной сетке55 стр.

2.3.3. Механизм перераспределения менисков при новом состоянии капиллярной сетки57 стр.

2.3.3.1. Вытеснение жидкости газом в гидрофильной сетке57 стр.

2.3.3.2. Вытеснение газа жидкостью в гидрофобной сетке61 стр.

2.3.4. Расчет поля давления в узлах сетки65 стр.

2.4. Численная реализация решения67 стр.

Глава 3. Результаты расчетов двухфазного вытеснения в трехмерной капиллярной сетке72 стр.

3.1. Результаты расчетов вытеснения жидкости газом в гидрофильной сетке73 стр.

3.2. Результаты расчетов вытеснения газа жидкостью в гидрофобной сетке86 стр.

Глава 4. Анализ и обсуждение результатов95 стр.

Актуальность проблемы. В процессе разработки и эксплуатации месторождения возникает многофазное движение углеводородных и неуглеводородных компонентов. Важным элементом в понимании динамики многофазных течений в пористых средах является соединение физики в микроскопическом масштабе с макроскопическими явлениями, которые наблюдаются в лаборатории или на месторождении. Внутри отдельных пор движение флюидов и мениска можно изучать на основании микрогеометрии и физических характеристик жидкости, газов и твердых тел. В макроскопическом масштабе обычно применяется теория многофазной фильтрации, использующая обобщенный закон Дарси и несколько эмпирических параметров (относительную фазовую проницаемость, среднее капиллярное давление и т.д.). Структура и свойства порового пространства становится важным, когда влияние капиллярных сил на поверхность раздела фаз становится существенным по отношению к другим силам, и тогда поведение двухфазного течения рассматривается на микромоделях.

Если один из флюидов является газом, а остальные жидкостями, то их подвижности могут отличаться в сотни и тысячи раз. Это обстоятельство приводит к ряду отрицательных последствий при вытеснении нефти газом: газ легко туннелируется от нагнетательной к добывающей скважине по высокопроницаемым участкам пористой среды; образует при наличии газовой шапки газовые конуса у добывающих скважин. Фронт вытеснения газом воды или нефти оказывается неустойчивым. Перечисленные свойства таких систем приводят к уменьшению добычи нефти.

Малые добавки поверхностно-активных веществ могут оказывать огромное влияние на подвижность газа в пористой среде, снижая ее в сотни и тысячи раз (Фрид, 1961 и др.). Эксперименты на прозрачных микромоделях показывают, что в этом случае газ диспергируется в жидкости, находясь в пористой среде в виде газовых пузырьков, разделенных тонкими перегородками жидкости (ламеллами). При использовании пены как блокиратора газовых каналов наблюдается понижение проницаемости по газу на несколько порядков [8-9, 29, 64-66, 108]. Известно [86-88, 102], что образование в каналах пористой среды жидкостных пробок (линз) ведет не только к снижению проницаемости по газу данного канала, но иногда и к поЛЬой их закупорке. Пленки вдоль стенок каналов, образующиеся при совместном несмешивающемся двухфазном течении в каналах и стабилизирующиеся при наличии ПАВ, также ведут к уменьшению проницаемости порового канала по газу [21, 112].

При вытеснении газа жидкостью в пористой среде в отдельных капиллярах встречаются режимы, в которых газ в жидкости находится в виде пузырьков. И в этом случае можно предположить, что проницаемость капилляров по жидкости, в которых имеет место такое «совместное течение жидкости и газа», снижается.

Существуют множество моделей для описания вытеснения одного флюида другим, как на макро-, так и на микроуровне. Однако недостаточно моделей двухфазной фильтрации, в которых учитывалось бы пленочное течение, течение со множеством пузырьков и ламелл. Учет этих режимов в отдельных капиллярах ведет к уменьшению проницаемости вытесняющего флюида. Такие режимы течения в капилляре в дальнейшем будем называть «совместным течением жидкости и газа по капиллярам со сниженной проницаемостью».

В этой связи, построение математической модели вытеснения жидкости газом в гидрофильной среде и газа жидкостью в гидрофобной среде, учитывающей вышеприведенные факты, является актуальной задачей современной науки о фильтрации газожидкостных смесей, так как более полно учитывает структуру течения.

Цель работы заключается в исследование совместного течения флюидов с сильно различающимися подвижностями в трехмерной капиллярной сетке на основе обобщенной математической модели и ее численной реализации. Определение на этой базе основных макрохарактеристик взаимного вытеснения флюидов: зависимостей от насыщенностей относительных фазовых проницаемостей, капиллярного давления и функции Бакли-Леверетта.

Основные задачи исследования.

1. Построение трехмерных решетчатых моделей с различными координационными числами, имитирующих структуру поровых сред со сложной геометрией.

2. Построение математической модели, в которой учтено возможное снижение проницаемости в отдельных капиллярах, обусловленное образованием ламелл, пленок или пузырьков газа, при вытеснении жидкости газом и газа жидкостью, соответственно, в гидрофильной и гидрофобной трехмерной капиллярной сетке.

3. Разработка и численная реализация эффективных разностных схем и алгоритмов математической модели взаимного вытеснения флюидов.

4. Определение макромасштаба и расчет интегральных макрохарактеристик вытеснения: зависимостей относительных фазовых проницаемостей и капиллярного давления от насыщенностей, функции Бакли-Леверетта, пороговых давлений для образования кластеров различных типов.

Обоснованность методов исследования.

Указанные задачи решались с помощью современных методов подземной гидромеханики, которые многократно апробированы численно-аналитически и экспериментально путем моделирования процессов двухфазной фильтрации в трехмерной капиллярной сетке, а также использования численного метода установления и хорошим совпадением с результатами экспериментов, проведенных в ИПНГ РАН. Построенные функции относительных фазовых проницаемостей для газа и жидкости имеют качественное совпадение с ранее полученными результатами (ЕнтовВ.М., Чен Син Э.П. и др.).

Краткое содержание работы.

В главе 1 дается изложение опубликованных теоретических и экспериментальных исследований двухфазного течения в пористых средах. Представлен обзор математических моделей многофазного вытеснения в капиллярных сетках. Также даны описания экспериментальных и теоретических моделей совместного течения, представленного пеной, и приводятся основные положения из анализа этих работ, на которых и строится модель совместного течения жидкости и газа в трехмерной капиллярной сетке при вытеснении жидкости газом и газа жидкостью. Описывается эксперимент, сделанный в работе [37], который был положен в основу моделирования вытеснения жидкости газом в трехмерной капиллярной сетке, в которой возможно существование капилляров со сниженной проницаемостью.

В главе 2 на основе положений, описанных в предыдущей главе, строится модель совместного течения жидкости и газа в трехмерной капиллярной сетке при вытеснении жидкости газом и газа жидкостью. Для постановки задачи о двухфазном вытеснении задается геометрическая модель пористой среды, представленная капиллярной решеткой, с физическими параметрами и вычисляется распределение поля давления по узлам решетки, ставятся начальные и граничные условия. Далее рассматривается движение мениска по капиллярам решетки и характеристики его движения в единичном капилляре с учетом капиллярных сил. Задача по классификации режимов вытеснения в единичном капилляре является важным вспомогательным элементом для построения капиллярно-решеточной модели. При прохождении через узлы решетки мениска определяются правила перераспределения положения менисков. И при новом распределении менисков пересчитывается поле давления по узлам решетки по численной схеме, описанной в конце этой главы.

В главе 3 представлены результаты расчетов математического моделирования двухфазного вытеснения при различных параметрах задачи. Предложена классификация капилляров и найдены зависимости доли капилляров с «совместным течением жидкости и газа» от величины коэффициента снижения проницаемости и геометрии пористой среды. Приводятся зависимости: капиллярного давления от водонасыщенности; относительных фазовых проницаемостей от водонасыщенности; распределения эффективных радиусов от размеров капилляров при вытеснении жидкости газом в гидрофильной сетке и при вытеснении газа жидкости в гидрофобной сетке с учетом различных распределений радиусов по размеру капиллярной сетке.

В следующей главе проанализированы результаты, полученные в предыдущей главе. С помощью этого анализа установлено предельное число трубок в сетке капилляров, которое достаточно для расчета основных параметров вытеснения флюидов с требуемой точностью. Так же в этой главе показано, что существует два пороговых давления, определяющих отсутствие или образование в капиллярной сетке кластера вытесняющего флюида, который соединяет входную и выходную грани, и численным экспериментом определены величины их значений для сетки с заданными параметрами. Выявлено, что максимальное влияние эффекта снижения проницаемости вытесняющего флюида в части капилляров на процесс фильтрации в капиллярной сетке имеет место быть при малых перепадах давления или больших насьпценностях вытесняемого флюида. На данных из предыдущей главы построены функции отношения относительных фазовых проницаемостей с учетом совместного течения газа и жидкости в отдельных капиллярах к относительным фазовым проницаемостям без учета совместного течения газа и жидкости и показано, что КСП оказывает наибольшее влияние на ОФП вытесняющего флюида в области, где насыщенность этого флюида составляет от 0 до 50%. И в конце этой главы приводятся результаты, полученные на трехмерной капиллярной сетке при различных значения КСП, при переходе к макромасштабу использованы для построения и анализа решения классической задачи Бакли-Леверретта.

Научная новизна.

Разработана новая математической модель, учитывающая возможное снижение проницаемости вытесняющего флюида в отдельных капиллярах сетки, обусловленное образованием пленок, ламелл или пузырьков газа, при вытеснении жидкости газом в гидрофильной среде и газа жидкостью в гидрофобной среде.

Разработан и реализован алгоритм численного расчета для предложенной математической модели.

Произведен расчет параметров взаимного вытеснения газа жидкостью и жидкости газом в трехмерной капиллярной сетке, моделирующей поровое пространство, при различных законах распределения пор по размерам.

На основе выполненных численных экспериментов качественно подтверждены результаты предыдущих исследований в этом направлении и получены новые закономерности по возникновению «совместного течения жидкости; и газа по капиллярам со сниженной проницаемостью»:

• выявлено, что максимальное влияние эффекта снижения проницаемости газа в части капилляров, обусловленного образованием ламелл, пленок или пузырьков газа, на процесс фильтрации газа имеет место при малых перепадах давления или больших насыщенностях вытесняемого флюида;

• показано, что существуют два пороговых давления, определяющих отсутствие или образование в капиллярной сетке бесконечного кластера при вытеснении жидкости газом в трехмерной капиллярной сетке;

• продемонстрировано, что снижение проницаемости вытесняющего флюида слабо влияет на относительные фазовые проницаемости (ОФП) для вытесняемого флюида, тогда как для вытесняющего флюида это влияние становится значительным;

• установлено, что снижение проницаемости в отдельных капиллярах оказывает наибольшее влияние на относительные фазовые проницаемости вытесняющего флюида в области, где насыщенность этого флюида составляет меньше 50%. Определены макроскопические характеристики взаимного вытеснения газа жидкостью:

• новые зависимости капиллярного давления от насыщенности;

• зависимости ОФП для флюидов в широком диапазоне параметров задачи;

• функция Бакли-Леверетта, которая (в рамках проведенных исследований) была применена к решению задач о движении фронта при двухфазной фильтрации.

Практическая значимость. Полученные в диссертационной работе результаты математического моделирования гидродинамических процессов при совместном течении жидкости и газа могут быть теоретической основой для развития новых методических рекомендаций и обоснованием новых технологий воздействия на залежи углеводородного сырья с целью увеличения нефтегазоконденсатоотдачи. Полученные результаты имеют также важное значение для определения эффективных технологических режимов циклической эксплуатации подземного хранилища газа в водоносных пластах, как в естественном режиме, так и при использовании пенообразующего водного раствора.

Апробация работы. Основные результаты работы опубликованы в [16,125-127].

Результаты работы докладывались и обсуждались: th

- на 9-ом международной Европейском Симпозиуме по повышению нефтеотдачи (9 European Symposium on Improved Oil Recovery) (Гаага, Нидерланды, 20-22 октября 1997 г.);

- на конференции молодых ученых, посвященной 10-летию Института проблем нефти и газа РАН (Москва, ноябрь 1997 г.), на III Форуме SPE в Европе «Использование газа в повышении нефтеотдачи: от проекта до внедрения» (Авиамор, Великобритания, 20-25 сентября 1998 г.);

- на 4-ой Всероссийской конференции молодых ученых, специалистов и студентов по проблемам газовой промышленности России «Новые технологии в газовой промышленности» (Москва, 25-27 сентября 2001 г.);

- на конференции, посвященной 15-летию Института проблем нефти и газа РАН (Москва, май 2002 г.);

- на семинарах секции «Разработки нефтяных и газовых месторождений» и «Механики гетерогенных сред» ИПНГ РАН (1998-2004 гг.) и семинарах в ИПМ РАН (2003-2004 гг.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы. Список литературы насчитывает 127 наименований. Общий объем работы (включая 4 таблицы и 78 рисунков) составляет 119 страницы.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Построена математическая модель фильтрации двухфазной смеси (газа и жидкости) в трехмерной капиллярной сетке, в которой учтено влияние совместного течения жидкости и газа введением коэффициента снижения проницаемости в отдельных капиллярах. Исследованы процессы вытеснения жидкости газом в гидрофильной сетке и газа жидкостью в гидрофобной сетке.

2. Разработан алгоритм численной реализации математической модели с использованием метода установления в адекватной интерпретации. В результате его реализации:

- выявлено, что максимальное влияние эффекта снижения проницаемости газа в части капилляров, обусловленного образованием ламелл, пленок или пузырьков газа, на процесс фильтрации газа имеет место при малых перепадах давления или больших насьпценностях вытесняемого флюида;

- построены функции относительных фазовых проницаемостей для газа и жидкости, которые имеют качественное совпадение с ранее полученными результатами (ЕнтовВ.М., Чен Син Э.П.и др.);

- показано, что снижение проницаемости в отдельных капиллярах оказывает наибольшее влияние на относительные фазовые проницаемости вытесняющего флюида в области, где насыщенность этого флюида составляет меньше 50%;

- установлено, что существует два пороговых давления, определяющих отсутствие или образование в капиллярной сетке бесконечного кластера, и теоретически определены их численные значения для сетки с заданными параметрами.

3. Дана классификация трубок трехмерной капиллярной сетки по пяти основным признакам, определяющим их способ фильтровать газ и/или жидкость через капилляры.

4. Построено аналитическое решение уравнения, описывающего движение мениска в единичном капилляре с учетом капиллярных сил и предложена классификация режимов двухфазного вытеснения.

5. Результаты, полученные на трехмерной капиллярной сетке при различных значениях коэффициента снижения проницаемости в отдельных капиллярах при переходе к макромасштабу, использованы для построения решения задачи Бакли-Леверетта.

Заключение.

1. Амиян В.А., Амиян А.В., Казакевич J1.B., Бекеш Е.Н. Применение пенных систем в нефтегазодобыче. М., Недра, 1987,229 с.

2. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М., Недра, 1984,211с.

3. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика: Учебник для вузов. -М.: Недра, 1993. -416с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987. 600 с.

5. Власов A.M., Евгеньев А.Е., Максимов В.М. Методическое руководство по оценке эффективности использования пенообразующих растворов ПАВ при эксплуатации ПХГ в водоносных платах //МИНХиГП им. И.М.Губкина. М.: 1984, 70 с.

6. Воинов О.В. Нелинейные капиллярные волны в тонких пленках вязкой жидкости и их разрушение. М, Изв. АН СССР, МЖГ, 1982, N4, с.

7. Дерягин Б.В., Чураев Н.В. Смачивающие пленки. -М.: Наука, 1984, 160 с.

8. Евгеньев А.Е. с сотр. Экспериментальные исследования фильтрации пены в пористой среде // Труды МИНХиГП им. И.М.Губкина. М.: Недра. 1972. Вып. 101 стр. 73-78

9. Евгеньев А.Е., Дедков Б.Н. Циклическая закачка раствора ПАВ и газа в пористую среду // Изв. Вузов. Нефть и газ. 1981. № 1, стр. 23-26.

10. Ентов В.М. Физико-химическая гидродинамика процессов в пористых средах (математические модели методов повышения нефтеотдачи пластов). Препринт Институт проблем механики РАН №161. М., 1980. 63 с.

11. Ентов В.М., Зазовский А.Ф. Гидродинамика процессов повышения нефтеотдачи. М.: Недра, 1989.-232 с.

12. Ентов В.М., Мусин P.M. Микромеханика нелинейных двухфазных течений в пористых средах. Сточное моделирование и перколяционный анализ. М., Изв. РАН, МЖГ, 1997, с.

13. Ентов В.М., Мусин P.M. Микромеханика образования и движения пены в пористых средах. Механизмы и сеточное моделирование. Препринт № 560, М., Ин-т Проблем механики, 1996, 56 с.

14. Ентов И.М., Фельдман А.Я., Чен-Син Э., Моделирование процессов вытеснения в пористой среде, М., Изв. АН СССР, Программирование, 1975, N3, с. 67-74.

15. Ентов И.М., Фельдман А.Я., Чен-Син Э., Юдин В.А., Численное моделирование равновесия и движения несмешивающихся жидкостей в сетке капилляров на ЭВМ, // рук. деп. ВИНИТИ 14.08.80.

16. Земских В.И., Крылова М.В. Макроскопические характеристики движения границы раздела фаз в единичном капилляре с учетом капиллярных сил // Изв. АН РАН. МЖГ, 1998 г., № 1, с. 188-190.

17. Кадет В.В., Селяков В.И., Мусин М.М., Мусин P.M. Анализ эффективности заводнения с учетом характера течения жидкостей на микроуровне. Нефтяное хозяйство N.12 ,1995 ,с. 40-43.

18. Кадет В.В., Максименко А.А. Принцип аналитического описания течения флюидов в решеточных моделях пористой среды. М., Изв. РАН, МЖГ, №1, 2000, с. 79-84.

19. Кадет В.В., Селяков В.И. Перколяционная модель двухфазной фильтрации. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1987, № 1, с. 88-95.

20. Каневская Р.Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов. Москва- Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2002. 140 с.

21. Каримов М.Ф. Эксплуатация подземных хранилищ газа. М.: Недра, 1981. 248 с.

22. Каримов М.Ф., Харисов М.М. Относительные проницаемости жидкости и газа при пенообразовании в пористой среде. Известия АН СССР, сер. Механика жидкости и газа. М., Наука, 1979, № 1, с. 179-182.

23. Корнев К.Г. Пены в пористых средах.-М: Издательство Физико-математической литературы, 2001.-192с.

24. Корнев К.Г., Курдюмов В.Н. Пены в пористых средах как объект физики полимеров. ЖЭТФ, 1994, том 106, вып. 2(8), стр. 457-578.

25. Кругляков П.М., Ексерова Д.Р. Пена и пенные пленки, М., Химия, 1990.

26. Крылова М.В. Локальные нелинейные эффекты в задаче о вытеснении жидкости газом в пористой среде/ ИПНГ РАН и Мин-ва образования РФ.- М., 2002. е.: ил. -Библиограф.: назв.- Рус,- Деп. ВИНИТИ 1.12.2002 г., № 2001-В2002.

27. Крылова М.В. Математическое моделирование двухфазной фильтрации в трехмерной капиллярной сетке в присутствии пен // В сб. научн. тр. «Фундаментальный базис новых технологий нефтяной и газовой промышленности».-М., ГЕОС, 2003

28. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

29. Максимов В.М. Основы гидротермодинамики пластовых систем. М.: Недра 1994, 202 с.

30. Максимов М.М., Рыбицкая Л.П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. М.:Недра, 1976.-264с.

31. Марон В.И. Вытеснение жидкости из горизонтальной круглой трубы с помощью другой жидкости. М, Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, N2, с. 11-.

32. Н.Р. Махмутов и др., Реологические свойства пен и опыт их применения в нефтеразработке, Труды БашНИПИнефть, Уфа, N80, 1989г., с. 36-37.

33. Панфилов М.Б., Панфилова И.В. Осредненные модели фильтрационных процессов с неоднородной внутренней структурой. М.: «Наука», 1996.-3 83с.

34. Панфилов М.Б., Туваева И.В. Перколяционные модели вытеснения жидкостей в случайно неоднородных средах.// М., 1990. 90с. (Препр./ ИПНГ АН СССР; №12).

35. Пыхачев Г.Б., Исаев Р.Г. Подземная гидравлика. Учебное пособие. М., Недра, 1972, 360с.

36. Селяков В.И. Эффективная проницаемость неоднородной среды. В кн.: Всесоюз. Семинар «Современные проблемы и математические методы теории фильтрации», Москва, 1984, с. 99-101.

37. Somov U. Physical and Mathematical Modeling of Foam Flow through Porous Media, p. 67-69, IKU project № 53.4810.00 «Foam Simulation» 30.09.1995

38. Тихомиров B.K., Пены. Теория и практика их получения и разрушения. М., «Химия», 1975,264 с.

39. Трофимов А. С. Опыт газоводных воздействий на месторождениях Западной Сибири, Саматлор, Диссертация, Нижневартовск, 1991г.

40. Туваева И.В., Панфилов М.Б. Конвективное размазывание фронта в неоднородной среде и проблема его описания. М., 1990. 71 с. (Препр./ ИПНГ АН СССР; №6).

41. Чернин В.Н. Влияние капиллярных эффектов и контактов с углеводородами на устойчивость пен: Дис. канд. Хим. Наук. М.: МГУ, 1981.218 с.

42. Billiotte, J.A., De Moegen, H., and Oren, P.E. Experimental micromodeling and numerical simulation of gas/water injection/withdrawal cycles as applied to underground gas storage, SPE Adv. Tech. Ser. 1(1), pp. 133-139,1993.

43. Borchardt, J.K., Structure-property relationships for mobility-control surfactant. D.H. Smith (ed.), ACS Symposium Series, American Chemical Society, Washington DC, 1988, 373, pp. 181-205.

44. Chambers K.T. Pore-level basics for modeling foam flow in porous media with randomly connected pore throats and bodies. MS Thesis, Univ. Of California, Berkeley, 1990.

45. Chambers K.T., Radke C.J. Capillary phenomena in foam flow through porous media. Interfacial phenomena in petroleum recovery, ed. Morrow, N.R., Surfactant science series, vol. 36, Marcel Dekker, New York, 1991.

46. Chandler R., Koplik J., Lerman K., Willemsen J.F. Percolation and Capillary Fluid Displacement, J. Fluid Mech., 1982,119, pp. 249-267.

47. Chou S.I. Percolation theory foam in porous media. Paper SPE/DOE 20 239 presented at the 1990 SPE/DOE Symposium on EOR, Tulsa, April 22-25.

48. Coats K.H., Neilson R.L., Terhune M.H., Weber A.J. Sumulation of three-dimensional, two-phase flow in oil and gas reservoirs., SPEJ, December 1967, pp. 377-388.

49. Constantinides G.N., Payatakes A.C., A Theoretical Model of Collision and Coalescence of Ganglia in Porous Media. J. Colloid Interface Sci., Vol. 141, No. 2, February 1991, pp. 486-504.

50. Dautov R., Kornev K., MourzenkoV. Foam patterning in porous media. Phys. Rev. E 58, Number 6, December 1997, pp. 6929-6944.

51. Dussan E.B. On the spreading of liquids on solid surfaces: static and dynamic contact lines. Ann. Rev. Fluid Mech. 1979.11.P. 371-400.

52. Entov V.M., Physical and Mathematical Modeling of Foam Flow Trough Porous Media, presented at 3ed Workshop on Foam Field Application, March, Roros, Norway, 1994.

53. Ettinger R.A., Radke C.J., The influence of texture on steady foam flow in berea sandstone. SPE 19688, presented at the Annual Fall Technical Conference of SPE, San Antonio, October 8-11,1988, pp. 589-600.

54. Falls A.H., Hirasaki G.I., Patzek T.W., Gauglitz P.A., Miller D.D., Ratulowski J. Development of mechanistic foam simulator: the population balance and generation by snap-off. SPERE, August 1988, pp. 884-892.

55. Falls A.H., Musters J J., Ratulowski J. The apparent viscosity of foams in homogeneous beadpacks. Soc. Petr. Eng. Reservoir Eng., May 1989, 4, pp. 155-164.

56. Fatt I. The network model of porous media, I-III, Trans. AIME, 1956, v. 207, p.144-181.

57. Fried N.A., The Foam Drive Process for Increasing of Oil Recovery, US Dept. of Interior, Bureau of Mines: Washington, DC, 1961.

58. Friedmann F., Chen W.H., Gauglitz P. A. Experimental and simulation study of high-temperature foam displacement in porous media. Paper SPE/DOE 17357 presented at the 1988 SPE/DOE Enhanced Oil Recovery Symposium, Tulsa, OK, April 17-20, 1988.

59. Friedmann F., Chen W.H., Gauglitz P.A. Steam-foam mechanistic field trial in the midway-sunset field. Paper SPE 21 780 presented at the 1991 SPE California Regional Meeting.

60. Gillis J.V. Tracer-detection and structure of stationary lamellae during foam flow through Berea sandstone. PhD dissertation, University of California, Berkley, 1990.

61. Gray W.J., Lee P.C.Y. On the theorems for local volume averaging of multiphase systems. Int. J. Multiphase Flow. 1977,3, pp. 333-340.

62. Hanssen J.E. Foam as a gas-blocking agent in petroleum reservoirs I: Empirical observations and parametric study. Submitted for journal publication. 1992.

63. Hanssen J.E. Foam as a gas-blocking agent in petroleum reservoirs II: Mechanisms of gas blockage by foam. Submitted for journal publication, October 1992.

64. Hanssen J.E. Foam for gas flooding. Published as Section 11.1 in The SPOR Monograph: Recent Advances in Improved Oil Recovery Methods for North Sea Sandstone Reservoirs.

65. S.M. Skjoeveland and J. Kleppe (Eds.), Norwegian Petroleum Directorate, Stavanger 1992, pp. 277-283.

66. Hanssen J.E., Dalland M. Foam barriers for thin oil rims: Gas blockage at reservoir conditions. Presented at the 6th European Symposium on Improved Oil Recovery, Stavanger, 21-23 May 1991.

67. Hanssen J.E., Jakobsen K.R, Meling T. Interaction of gas-blocking foam with oil in model porous media. Progr. Coll. Polum. Sci., 81,1990, pp. 264-265.

68. Hanssen J.E., Meling T. Gas-blocking foams in porous media: Effects of oil and surfactant hydrophobe carbon number. Progr. Coll. Polum. Sci., 82,1990, pp. 140-154.

69. Hanssen J.E., Rolfsvag T.A., Corneliussen R., Dalland M. Foam barriers against gastViconing in thin oil zones. Presented at the 5 European Symposium on Improved Oil Recovery, Budapest, 25-27 April 1989, proceeding, pp. 737-746.

70. Hinkley R. Oil ganglion motion, M.S. Thesis, Univ. Of Houston, Houston, Texas, 1982.

71. Hirasaki G.J. The steam-foam process, supplement to SPE 19 505, available from SPE Book Order Department, Richardson, Tex., 1988.

72. Hirasaki G.J., Lawson J.B. Mechanisms of foam flow in porous media: apparent viscosity in smooth capillaries. SPE J., February 1985, pp. 176-190.

73. Holm L.W. The mechanism of gas and liquid flow through porous media in the presence of foam. SPEJ, December 1968, pp. 359-369.

74. Holm L.W., Bernard G.G Effect of foam on permeability of porous media to gas. SPEJ, September 1964, pp. 267-274.

75. Holt Т., Vassenden F., Svorstol I. Effects of pressure on foam stability; Implications for foam screening. SPE 35 398, presented at the 1996 SPE/DOE Tenth Symposium of Improved Oil Recovery held in Tulsa, Oklahoma, April 21-24, 1996.

76. Huh D.G., Handy L.L. Comparison of steady and unsteady state flow of gas and foaming solution in porous media. SPERE, February 1989, pp.77.

77. Hulbert H.M., Katz S. Some problems in particle technology-A statistical mechanical formulation. Chem. Eng. Sci. 1964, 19, pp. 555-574.

78. Khristov К., Exerowa D.R., Kruglyakov P.M. Influence of the pressure in the Plateau-Gibbs borders on the drainage and foam stability. Colloid and Polimer Science, 1979, 257, pp. 504-511.

79. Koplik J. Creeping flow in two-dimensional network., J. Fluid Mech., 1982,119, pp. 219247.

80. Koplik J., Lasserter T.J., Two-phase flow in random network models of porous media. //SPE J. 1985. Vol. 25, N 1, pp. 89-100.

81. Kornev K., Shugai G. Thermodynamic and hydrodynamic peculiarities of a foam lamella confined in cylindrical pore. Phys. Rev. E 58, Number 6, December 1998, pp. 7606-7619.

82. Krylova M., Zemskikh V. Computer Modelling of Foam Flow through 3D Capillary Network // presented at 9th European Symposium on Improved Oil Recovery, October, The Hague, The Netherlands, 1997, P210.

83. Laidlaw W.G., Wilson W.G., Coomber Denis A. A lattice model of foam flow in porous media: a percolation approach. Transport in Porous Media, 11, pp. 139-159,1993.

84. Lenormand R, Schlumberger D., Zarcone C. Physics of blob displacement in two-dimension porous medium, paper SPE/DOE 14882 presented at the 5th Symposium on Enhanced Oil Recovery of SPE/DOE, Tulsa, OK, Apr. 2-23,1986.

85. Lenormand R, Touboul E., Zarcone C. Numerical models and experiments on immiscible displacement in porous media. // J. Fluid Mech. (1988), vol. 189, pp. 165-187.

86. Lenormand R, Zarcone C, Sarr A. Mechanisms of the displacement of one fluid by another in a network of capillary ducts. // J. Fluid Mech. (1983), vol. 135, pp. 337-353.

87. Lenormand R, Zarcone C. Role of roughness and edges during imbibition in square capillaries, paper SPE 13264 presented at the 59th SPE Annual Technical Meeting, Houston, Sept., 1985.

88. Lenormand R. Scaling laws for immiscible displacements with capillary and viscous fingering. SPE 15390 61th Annual Tech. Conf. AndExhib. Of SPE, New Orleans, La, Oct. 5-6, 1986.

89. Marsden S.S., Albrecht R.A. Foams as blocking agent in porous media. SPEJ, March 1970, pp. 51-55.

90. Mast R.F. Microscopic behavior of foam in porous media. Paper SPE 3 997 presented at the 1972 SPE Annual Meeting, San Antonio, October 8-11.

91. Mohammadi S.S. Techniques for accelerating production response in steam-foam recovery. SPE 24 028, presented at the SPE California Region Meeting 1992 in Bakersfield, California, May 30- April 1, 1992.

92. Nahid B.H. Non-Darcy flow of gas through porous media in the presence surface active agent. PhD dissertation, University of Southern California, Los-Angeles, 1971.

93. Oren, P.E., Billiotte, J.A., Pinczewski, W.V., Pore-scale network modelling of waterflood residual oil recovery by immiscible gas flooding, paper SPE/DOE 27814, 9th Symp. IOR, Tulsa, OK, April 17-20,1994.

94. Oren, P.E., Pinczewski, W.V., Effect of wettability and spreading on recovery of waterflood residual oil by immiscible gasflooding. SPE Formation Evalution 7(1), pp. 7078, 1994.

95. Oren, P.E., Pinczewski, W.V., Fluid distribution and pore-scale displacement mechanisms in drainage dominated three-phase flow. Transport in Porous Media 20: pp. 105-133, 1995.

96. Patzek T.W. Descrition of foam flow in porous media by the population balance method. Surfactant-based mobility control, D.H. Smith (ed.), ACS Symposium Series American Chemical Society, Washington DC, 1988, 373, pp. 326-341.

97. Patzek T.W., Myhill N.A. Simulation of the Bishop Steam Foam Pilot. SPE 18 786, presented at the SPE California Region Meeting 1992 in Bakersfield, California, April 5-7, 1989.

98. Payatakes A.C., Dias M.M., Immiscible microdisplacement and ganglion dynamics in porous media. Reviews in Chemical Engeneering, Vol. 2, No. 2,1984, pp. 85-174.

99. Payatakes A.C., Dynamics of Oil Ganglia During Immiscible Displacement in Water-Wet Porous Media. Ann. Rev. Fluid Mech., 1982,14, pp. 365-393.

100. Payatakes A.C., Dynamics of oil ganglion during immiscible displacement in water-wet porous media. Ann. Rev. Fluid Mech. 1982, 14m, pp. 365-393.

101. Payatakes A.C., Ng K.M., Flumerfelt R.W. Oil ganglia dinamics during immiscible displacement. AIChE Journal, 1980, Vol.26, pp. 430-443.

102. Pereira, G. G., Pinczewski, W.V., Chan D.Y.C., Paterson L., Oren P.E., Pore-scale network model for drainage-dominated three-phase flow in porous media. Transport in Porous Media 24: pp. 167-201,1996.

103. Persoff P., Radke C.J., Praess K., Benson S.M., Witherspoon P.A. A laboratory investigation of foam flow in sanstone at elevated pressure. SPE 18 781, presented at the

104. California Reginal Meeting of SPE, Bakersfield, April 5-7 1989, to appear in SPE Reservoir Eng.

105. Prieditis J. A pore level investigation of foam flow behavior in porous media. PhD Thesis, Univ. of Houston, Houston 1988.

106. Prieditis J., Flumerfelt R.W. Mobility of foam in porous media. Surfactant-based mobility control: progress in miscible-flood enhanced oil recovery. D.H. Smith, ed., Am Chem. Soc. Symp. Ser., 373, Washington, DC,1988.

107. Radke C.J., Ettinger R.A., The influence of texture on steady foam flow in Berea sandstone. SPE Reservoir Engineering, 7, April, 1991, pp. 83-90.

108. Radke C.J., Gillis J.V, A dual gas tracer technique for determining trapped gas saturation during steady foam flow in porous media. SPE 20 519, presented at the 1990 SPE Annual Technical Conference and Exhibition, New Orleans, September 23-26.

109. Ransohoff, T.C. and C.J. Radke, Mechanisms of Foam Generation in Glass-Bead Packs. SPE Reservoir Engineering, 3(2), 573-585 (May 1988).

110. Rapin S. Behavior of non-wetting oil ganglia displaced by an aqueous phase, M.S. Thesis, Univ. Of Houston, Houston, Texas, 1980.

111. Rossen W.R., Gauglitz P.A. Percolation theory of creation and mobilization of foam in porous media. AIChE J., 36: 8,1990, pp. 1176-1188.

112. Rossen W.R., Theory of foam mobilization pressure gradient. SPE 17358, Soc. Petr. Eng./DOE Symp. On Enhanced Oil Recovery, Tulsa, 1988.

113. Rossen W.R., Theory of mobilization pressure gradient of flowing foams in porous media. I: Incompressible foam. J. Colloid Interf. Sci., 136, 1,1990.

114. Rossen W.R., Theory of mobilization pressure gradient of flowing foams in porous media. II: Effect of compressibility. J. Colloid Interf. Sci., 136, 17,1990.

115. Rossen W.R., Theory of mobilization pressure gradient of flowing foams in porous media. II: Asymmetric lamella shapes. J. Colloid Interf. Sci., 136, 38, 1990.

116. Sanchez J.M., Hazlett R.D. Foam flow through an oil-wet porous medium: a laboratory study. SPE 19687, Soc. Pet. Eng. Ann. Meet. 1989.

117. Shirley A.I. Foam formulation in porous media, a microscopic visual study. Surfactant-based mobility control, D.H. Smith (ed.), ACS Symposium Series American Chemical Society, Washington DC, 1988, 373, pp. 234-257.

118. Singhal A.K., Somerton W.H. Quantitative modelling of immiscible displacement in porous media: a network approach, Rev. Inst. Franc Petrole, 1977,32, pp. 897-920.

119. Tilton J.N., Payatakes A.C., Collocation Solution of Creeping Newtonian Flow through Sinusoidal Tubes: A Correction, AIChE Journal, Vol.30, No. 6, November 1984, pp. 1016-1021.

120. Vassenden F., Holt T. Experimental foundation for relative permeability modeling of foam. SPE 39 660, presented at the 1998 SPE/DOE Improved Oil Recovery Symposium held in Tulsa, Oklahoma, April 19-22 1998.

121. Vassenden F., Holt Т., Solheim A. Foam propagation on Semi-reservoir Scale. SPE 39 682, presented at the 1998 SPE/DOE Improved Oil Recovery Symposium held in Tulsa, Oklahoma, April 19-22 1998.

122. Washburn E.W. The dynamics of capillary flow// Phys.Rev.l921.V.17.P.273-283.

123. Whitaker S. The transport equation for multi-phase systems. Chem. Eng. Sci. 1973, 28, pp. 139-147.

124. Zemskikh V., Krylova M. Physical and Mathematical Modelling of Foam Flow Through Porous Media // presented at 1-st International Workshop of Reservoir Application of Foam, 2-5 April, 1993, Stavanger, Norway pp.

125. Самарский АЛ. Теория разностных схем. М. Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1983.- 616 с.

126. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). М. Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1977.-440 с.