Асимптотические задачи фильтрации при наличии фазовых переходов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение.

I. Модельная задача двухфазной фильтрации жидкостей с сильно различающимися подвижностями при наличии фазовых переходов

1) Уравнение процесса.

2) Модель двухфазного течения с фазовым переходом.

3) Автомодельное решение. a. Внешнее разложение. Перерождение типа особенности. b. Разложение в пограничном слое. Сращивание разложений. c. Обоснование построения асимптотического разложения.

4) Неавтомодельное решение.

5) Свойства решений. Скейлинговая инвариантность.

И. Модельная задача двухфазной фильтрации жидкостей с сильно различающимися подвижностями при наличии фазовых переходов и капиллярных сил

1) Уравнение процесса.

2) Автомодельное решение.

3) Неавтомодельное решение.

4) Свойства решений. Скейлинговая инвариантность.

Ш.Численное моделирование фазового перехода в задачах фильтрации

Многие процессы в гидрологии и нефтяной инженерии приводят к задачам двухфазного течения с "распределенными" в пространстве фазовыми переходами в пористой среде, происходящими не на отдельной поверхности, как, например, в классической задаче Стефана, а в пространственной области.Это имеет место всегда, когда флюид состоит из нескольких химически различных компонент, находящихся в различных агрегатных состояниях.Типичными примерами является выделение газа при течении насыщенной нефти, углеводородного конденсата при течении природного газа, образование твердой серы при фильтрации сероводородсодержащего газа, выделение кислых газов при течении минерализованных растворов подземной воды.Наиболее важным представляются течения газоконденсатных смесей, обусловленных эффектом так называемого ретроградного перехода в результате молекулярного взаимодействия различных типов тяжелых углеводородных газов в некотором диапазоне давлений. В приведенных примерах образование углеводородного конденсата при фильтрации природного газа или образование твердой серы при фильтрации сероводородсодержащего газа, соответствует ретроградной конденсации, т.е. конденсации вещества при понижении давления. Во всех этих случаях новая фаза образуется в достаточно малых количествах, при которых ее фильтрация на начальном этапе в пористой среде затруднена. В силу этого подвижности фаз сильно различаются, т.е. оказываются контрастными.Формирование двухфазных течений весьма характерно для процессов нефте- и газодобычи. Подобные течения формируются, во-первых, в тех случаях, когда происходит высвобождение растворенного газа, во-вторых, когда происходит естественное или искусственное вытеснение углеводородов.Обычно вытесняющим агентом служит вода, а сам процесс называется заводнением. Подвижность нефти в пласте во многом зависит от количества растворенного в ней газа. Растворимость же газа в нефти определяется давлением (и температурой как постоянным пластовым параметром, но не параметрами процесса течения). В целях поддержания пластового давления и, как следствие, задержания газа, присутствующего в нефтяных или водных подземных резервуарах, на практике щироко применяется метод заводнения.По этой причине возникает потребность в математическом моделировании процессов вытеснения двух несмещивающихся жидкостей. Одной из первых моделей, описывающих двухфазные течения, явилась одножидкостная модель "разноцветных жидкостей" [Герольд СП., 1932]. В рамках подобных моделей предполагалось, что область фильтрационного течения полностью заполнена однородной жидкостью с неизменными характеристиками, например, такими же, как у вытесняемой жидкости — нефти. Вытесняющая и вытесняемая жидкости отличаются при этом только цветом, т.е. фактически прослеживается перемещение первоначальной границы раздела жидкостей при известном поле давлений.В работах [Куфарев П.П., 1948] эта модель усовершенствована путем пренебрежения зависимостью от давления плотности воды и предположения полного взаимного вытеснения жидкостей. При этом давление в области фильтрации, включая границу раздела жидкостей, квазистационарно, а задача определения границы - нелинейная. Модели подобного рода называются моделями "поршневого" вытеснения. Использование моделей " поршневого вытеснения, не учитывающих неполноту вытеснения несмешивающихся жидкостей, не согласовывалось с экспериментальными данными и опытом разработки залежей. Поэтому появились попытки учесть неполное вытеснение и зону совместного течения жидкостей путем изменения фильтрационных характеристик. Так, в экспериментах Викова и Ботсета [WycoffR.D., Botset H.G., 1936] были впервые построены фазовые проницаемости при совместном движении двух несмешивающихся жидкостей в пористой среде как функции насыщенностей одной из фаз.Одномерная модель фильтрации с использованием фазовых проницаемостей и в предположении несжимаемости флюида была исследована Бакли и Левереттом [Buckley S.E., Leverett М.С., 1942], которые выявили наличие скачка насыщенности на фронте вытесняющей жидкости, что указывало на гиперболическую природу уравнений для насыщенности.Классические модели двухфазной фильтрации, такие как модели БаклиЛеверетта и Раппопорта-Лиса [Rappoport L.A., Leas W.L, 1953] предполагают зависимость функций фазовых проницаемостей и капиллярного давления только от насыщенности. Предварительный анализ линейной модели был впервые проведен А.Н. Коноваловым [Коновалов А.Н., 1972], где в качестве искомых функций были предложены насыщенность и функции тока суммарного потока.Уравнения течения неоднородных жидкостей в общих предположениях были даны М. Маскетом и М. Мересом [Chungshiang P.P., 1990], рассматривающих изотермические процессы при наличии 3-х фаз (вода, жидкость, газ), находящихся в фазовом равновесии. Система настолько сложна, что решения могут быть получены, как правило, только численными методами.Модели, основанные на уравнениях Маскета-Мереса, принято называть моделями черной нефти (black oil model). Их применение в некоторых случаях, например, при истощении газоконденсатных месторождений, невозможно, поскольку возникают эффекты фазовых переходов, существенно зависящие от компонентного состава углеводородной фазы и термобарических условий фильтрации.Для этой цели используют так называемые композиционные модели, использующие сложные уравнения состояния смеси и коэффициенты распределения (константы фазового равновесия) [Николаевский В.Н., 1996]. В случае двухфазной фильтрации уравнения баланса масс компонент записываются для каждой фазы отдельно. При этом в фильтрационном потоке реализуются условия термодинамического равновесия, т.е. массообмен между фазами происходит (по сравнению фильтрационного течения в целом) как бы мгновенно. Следовательно, выполняется равенство химических потенциалов компонент, присутствующих в обеих фазах. Кроме того, выделяются независимые параметры, определяющие условия равновесия, или, иначе, так называемые химические степени свободы, которые и будут аргументами для концентраций компонент в каждой фазе. Рассмотрим этот вопрос подробнее.Полное число переменных является суммой числа концентраций У(А:-1), числа насыщенностей у-1 плюс два: j{k-l)+(J-\) + 2 = jk+\, где к - число компонент в смеси, у - число фаз, а еще две переменные учитывают давление и температуру в пласте. В условиях локального термодинамического равновесия эти переменные взаимосвязаны равенствами химических потенциалов компонент присутствующих в фазах. Всего таких равенств будет k(J-l). При этом число необходимых уравнений баланса масс компонент, содержащихся в смеси уменьшается и равно просто числу компонент к. Таким образом, число независимых переменных, соответствующих системе уравнений баланса масс компонентов, равно разности полного числа переменных и числа равенств химических потенциалов компонент присутствующих в фазах, т.е. (Jk+\)-k(j-l) = к+\, что соответствует добавлению еще одного уравнения - баланса тепла. В изотермическом случае, когда T=const, число независимых переменных равно к, т.е. соответствует числу необходимых уравнений баланса масс компонент, содержащихся в смеси.Аналитические решения задач многокомпонентной двухфазной фильтрации даже в одномерной постановке строятся лишь для сильно упрощенных моделей процесса, учитывающих сжимаемости компонент. Такие решения имеются в работе [Липовой Г.С, 1981], где использован метод последовательной смены стационарных состояний и в работах [Мирзаджанзаде А.Х., Дурмишьян А.Г., Ковалев А.Г., Аллахвердиев Т.А., 1967], где использован метод функций Христиановича.Одна из характерных одномерных задач многофазной фильтрации, имеющая прикладное значение - это задача фильтрации к отдельному стоку.Построению приближенных аналитических решений задачи фильтрации на ячейке вокруг отдельного стока для полной неупрощенной системы уравнений, описывающих двухфазную многокомпонентную фильтрацию, посвящены работы [Панфилов М.Б., 1985]. При этом различают три типа задач в отношении свойств фаз. Первый тип задач рассматривает фазы примерно с одинаковыми подвижностями, т.е. фактически случай одножидкостные модели "разноцветных жидкостей". Другой тип задач характерен для фаз имеющих различный подвижности одного порядка. Такие задачи рассматривались в работах [Кочина И.Н., Филинов М.В. 1976; Панфилов М.Б., 1985]. Наконец, третий тип задач двухфазной фильтрации, в которой подвижности фаз различаются на порядок. Этот случай является наиболее сложным для анализа.Основная проблема заключается в следующем. При условии контрастной подвижности фаз неизбежно их относительное движение. В результате этого в любом элементарном объеме порция новой фазы, образовавшейся согласно условиям равновесия, быстро переносится по массе и оказывается в неравновесных условиях, что, в свою очередь, порождает вновь фазовый переход для установления нового состояния равновесия. В итоге, относительное движение фаз вызывает массообмен, который назван конвективным [Базов В., 1968]. В системах с контрастными подвижностями фаз, роль конвективного массообмена становится определяющей в формировании законов распределения насыщенностей фаз.Процесс двухфазной фильтрации к единичному стоку развивается вначале как движение однофазного флюида, в котором через некоторое время начинается фазовый переход. Такие задачи имеют малые параметры, описывающие возмущение изначального однофазного флюида. В случае двухфазной фильтрации один из вводимых параметров е - это отнощение потоков: дебита скважины к максимально возможному потоку флюида, другой, й) - свойство самих фаз, т.е. отношение их плотностей, вязкостей и относительных фазовых проницаемостей.Типичные режимы разработки месторождений - это режимы с относительно малым дебитом, что соответствует достаточно малым значениям градиента норового давления, т.е. г дрЛ О = £. в результате появляются малые параметры при пространственных производных. Помимо этого, малыми величинами являются отношения плотностей и вязкостей фаз, а также относительных фазовых проницаемостей.В самом деле, параметр о) характеризует свойство самих фаз и является отношением их плотностей, вязкостей и относительных фазовых о ..Oh. проницаемостей: со = ^^ -^^ ^, где нижние индексы обозначают фазы, соответственно, первичную (А), изначально существовавшую в системе, и вторичную (В), появляющуюся после внесения возмущения (понижения давления). Новая фаза (В) образуется в незначительном количестве, что характеризуется сильным различием в подвижностях фаз на начальном этапе процесса и приводит к появлению еще одного малого параметра [Aziz К., Settary А., 1979]. Как следствие, малые параметры появляются после обезразмеривания задачи как при производных по пространству, так и при производных по времени. Такие задачи сингулярно возмущены, т.е. имеют малые параметры при старших производных в уравнении. Это означает, что степенной ряд, в виде которого ищется решение, сходится неравномерно. Кроме того, сами члены степенного ряда могут иметь нарастающую особенность в нуле. Таким образом, данный тип задач характеризуется сложной асимптотикой поведения решений.Один из методов теории возмущений - метод сращиваемых асимптотических разложений - использован для решения модельной задачи двухфазной фильтрации, исследуемой в предлагаемой работе.Для описания двухфазного течения используем феноменологический подход [Нигматулин Р.И., 1987; Николаевский В.Н., Бондарев Э.А., Миркин М.И. и др. 1968; Седов Л.И., 1976]. Предполагается, что смесь всегда хорошо перемешана, а межфазная поверхность раздела рассеяна в пространстве, например в форме системы менисков в отдельных порах. Следствием гипотезы хорошо перемешанной смеси является условие локального равновесия фазового состояния смеси. Рассмотрим смесь, состоящую из Л'^ химических компонент, способных образовывать две различные фазы, между которыми существует поверхность раздела. Такая смесь может быть представлена компонентами парафинового ряда или рядом ароматических углеводородов.Фазы будем подразделять на первичную фазу (А), изначально существовавшую в системе, и вторичную (В), появляющуюся после внесения возмущения (понижения давления). Каждая фаза может состоять более чем из двух компонент. На фазовой диаграмме условия фазового перехода для легких фракций близки друг другу, поэтому их различием можно пренебречь, т.е. многокомпонентная смесь характеризуется лишь различием между собой фаз, а не компонентным составом. Это означает, что условия фильтрации многокомпонентной смеси, в такой постановке, могут быть сведены к условиям фильтрации в бинарной задаче. Иначе, содержание газа в жидкой фазе, равно как и присутствие тяжелой (нефтяной) компоненты в газовой фазе, является функцией норового давления.Рассмотрим подземный пласт, характеризуемый обычно изотермическими условиями. Вполне закономерным является пренебрежение капиллярными силами, так как вблизи точки начала фазового перехода фазы обладают достаточно близкими свойствами и поверхностное натяжение сравнительно мало. Будем считать, что компонентный состав смеси удовлетворяет следующим четырем условиям.1. Смесь многокомпонентная (химических компонент не менее двух).Вследствие этого двухфазным состояниям на фазовой диаграмме отвечает невырожденная область, так что смесь может пребывать в двухфазном состоянии Б некотором диапазоне давлений. Существование двухфазных состояний означает, что при фазовом переходе лищь часть одной фазы переходит в другую. При этом можно ограничиться двумя рядами фазовых концентраций Lk и Gk соответственно в жидкой {A=L) и в газовой (B=G) фазах: Ы N к к Рассмотрим такую систему на модели "жидкость + газ". Это двухфазная система, состоящая из двух компонент. Каждая из фаз имеет обе компоненты.При этом компонентами жидкой фазы будут жидкость, плюс некоторое количество растворенного в ней газа, а газовой фазы - газ плюс некоторое количество паров жидкости.2. Компоненты делятся на три класса, различающихся по их отношению к фазовому состоянию: .4-образующие, 5-образующие и "промежуточные", Аобразующие - те, которые доминируют в фазе А. К ним относятся те компоненты, которые в чистом виде в данных термодинамических условиях существуют в виде фазы А. Они доминируют в фазе А. Для 5-образующих аналогично. Для газожидкостных систем понятия А- и 5-образующих компонент эквивалентны понятиям "тяжелый" и "летучий". Наряду с ярко выраженными А- и 5-образующими компонентами может существовать ряд промежуточных компонент, которые нейтральны к фазовому состоянию, и потому более-менее равномерно распределяются по обеим фазам.Для определенности /i-образующим компонентам присвоим номера от 1 до iV ,^ а 5-образующим - от N^+j ло N, так, что число 5-образующих равно NB.По определению А- и 5-образующие компоненты не могут быть одинаковыми, иначе они попадают в класс нейтральных к фазовому состоянию компонент.Очевидно, что промежуточные компоненты могут не выделяться в отдельный класс, а произвольным образом быть включены в число А- или 5-образующих.Это наводит на мысль о том, что система близка по свойствам к псевдобинарной, в которой все /i-образующие компоненты плюс произвольная часть нейтральных формируют Л-образующий псевдокомпонент (I), а все Вобразующие компоненты плюс оставшаяся часть нейтральных формируют Вобразующий псевдокомпонент (II), 3. А- и 5-образующие компоненты являются доминирующими компонентами соответствующих фаз. Доминирование компонент в фазах означает, что /i-образующих компонент мало в фазе В, 5-образующих мало в фазе А, а нейтральных мало в обеих фазах. Это допущение исключает тот достаточно редкий на практике случай, когда каждая фаза содержит достаточно много промежуточных компонент. Тогда составы фаз наполовину одинаковы, их свойства оказываются неконтрастными.4. Компоненты химически взаимно нейтральны. Это допущение необязательно и вводится только для того, чтобы исследовать фазовый переход в чистом виде. Из него следует, что новые химические компоненты в смеси не образуются, старые не уничтожаются, и баланс массы каждой компоненты независим. Если фаза А образована летучими компонентами, термодинамические свойства которых мало отличаются друг от друга, и нелетучими компонентами, которые вообще не дают вклада в испарение, то систему можно рассматривать как бинарную. При этом следует только ввести эффективные уравнения состояния для жидкой фазы, представляющей собой смесь летучих и нелетучих компонент, и газообразной фазы, состоящей из В образующего газа В и паров летучих компонент из фазы А. Приведем примеры систем, удовлетворяющие всем вышеперечисленным свойствам.Течение нефти (фаза А) с высвобождением растворенного газа (фаза В).Смесь состоит из компонент парафинового ряда, ароматических углеводородов, смолистых веществ. Доминирующими компонентами жидкой фазы являются тяжелые парафины, а газовой - метан.Течение газоконденсатных смесей к скважине в природном пласте, при котором из газа (фаза А), изначально насыщающего пласт, образуется жидкий углеводородный конденсат (фаза В) в результате ретроградного фазового перехода, т.е. фазового перехода, когда конденсация происходит при понижении давления. Каждая фаза состоит из одинакового набора N компонентов парафинового ряда и, малых добавок азота, сероводорода, углекислоты и водорода. Доминирующими компонентами газовой фазы являются метан, этан. Доминирующими компонентами жидкой фазы являются более тяжелые углеводороды, начиная с пентана. Промежуточные компоненты (пропан, бутан) нейтральны к фазовому состоянию.Течение минерализованной воды в горных породах к разгрузочной трещине с образованием насыщенных солевых или кислотных растворов (фаза А) и газа из летучих кислот (фаза В). Поскольку происходят химические реакции (типа "вода + газ = кислота + кислород"), система может быть рассмотрена в рамках псевдобинарной модели. Тогда ^-образующий псевдокомпонент является смесью газа и кислорода, а 5-образующий псевдокомпонент представлен водой и кислотой.Течение природного газа (фаза А), содержащего сероводород, с формированием твердой серы (фаза В). В системе происходит химическая реакция между сероводородом и железистыми соединениями вмещающих пород с образованием окислов железа, чистой серы и водорода, ^-образующим псевдокомпонентом является смесь углеводородных компонент природного газа, сероводорода и водорода, 5-образующий компонент представлен твердой серой.При разработке углеводородных месторождений возникает ряд проблем, связанных с тем, что флюид состоит из химически различных компонент, которые, к тому же, находятся в различных агрегатных состояниях. В настоящей работе предлагается обобщенная эффективная модель многофазного течения, позволяющая проводить качественное исследование особенностей процесса, и на ее базе изучена задача возмущения изначально однофазной покоящейся жидкости, сопровождающегося фазовым переходом. Показано, что модельная задача течения к единичному стоку является сингулярно возмущенной и может быть решена аналитически методами сращивания асимптотик. Малым параметром в данной задаче является отношение дебита скважины к массовому расходу фазы А, т.е. рассматривается случай, когда откачка происходит медленно (градиенты давления малы). Кроме того, в задаче существует еще один малый параметр со, связанный с тем, что вязкости жидкой и газообразной фаз так же сильно отличаются, как и плотности этих фаз.Внимание концентрируется на следующих новых результатах: образование пограничного слоя в зоне стока, типичной моделью которого оказывается исследуемая задача; явлении логарифмического дробностепенного промежуточного слоя связанного с нарушением условий контрастной подвижности фаз при увеличении насыщенности новой фазы; образовании пространственных фазовых структур вокруг источника возмущения; свойстве скейлинговой инвариантности решений. Интересно, что весьма быстро формируется зона максимальной насыщенности легкой компоненты, выделяющейся из начальной смеси. В частности это означает, что первоначально из смеси выделяется газ. Наконец, существование режимов неустойчивого течения, порождающих осциллирующие в пространстве структуры, развивающиеся во времени. Решение может быть неустойчивым, в зависимости от направления межфазного массообмена и зоны протекания процесса. Неустойчивость автомодельных и стационарных решений может возникать в зоне, где фазовый переход имеет обратную направленность, нежели в остальной области. Теоретические рассмотрения подтверждены численными расчетами.В первом параграфе главы I для изначальной однофазной смеси рассматриваются уравнения сохранения массы и импульса каждой химической компоненты, которые, при допущениях о химической нейтральности компонент и изотермичности процесса имеют вид закона Дарси. Эти уравнения записываются соответственно в однофазной и двухфазной области фильтрации.Система уравнений сохранения массы и импульса для двухфазной области фильтрации дополняется замыкающими соотношениями равенств химических потенциалов компонент присутствующих в обеих фазах. В результате получается замкнутая система уравнений изотермической фильтрации двухфазной смеси относительно концентраций компонент с*/, насыщенности s и давления/7, которая в конечном итоге приводится к безразмерному виду.Таким образом, исследуется задача Кощи для уравнения насыщенности: 0<^<оо; 0<5<1; 5(0) = lim5(^)<l; 5(оо) = 0.В третьем параграфе главы I получено автомодельное решение краевой задачи Коши для уравнения насыщенности и проведено обоснование построенного решения.В четвертом параграфе главы I решается при временах г = 0(i'^'^) начальная задача Коши для уравнения насыщенности: ds S дкЛз) Ле^кЛз) i « i л ОХ Г or Г Исходное уравнение перенормируется в предположении, что насыщенность s=0(^) и отлична от нуля для малых значений г.Перенормированное уравнение рассматривается как уравнение с постоянным ds ^ „ д I а\ :: ^ Л источником в правой части: 2р—[s^] = A, где Я = — - некоторое среднее значение источника. Определяется период существования неавтомодельного решения и его характерный вид.В пятом параграфе главы I исследованы свойства полученного автомодельного решения, и установлена его скейлинговая инвариантность.Кроме того, рассмотрены стационарные уравнения для насыщенности и найдено явное решение: кц{8)=-Х^\\г-(p^. При этом интенсивность фазового перехода X считалась постоянной и не учитывались изменения фазовой проницаемости по фазе А при малых насыщенностях s.Исследовалась задача аппроксимации фазовых проницаемостей в предположении, что интенсивность фазового перехода Х=Х{г, t, s) - переменная величина, а на внешнее воздействие е накладывается малое возмущение порядка а: е=£о+а£\(т). Тогда насыщенность представляется в виде ряда: s=so+as\+.... Невозмущенное поле о^ соответствует либо автомодельному решению, либо стационарному. Экспоненциальное во времени нарастание или затухание возмущении определяется знаком величины / = —-—ьЯ^о, г дг который целиком определяется характером невозмущенного распределения насыщенности в пространстве. Система неустойчива, если />0.Во второй главе на базе полученного решения исследуется модельная задача фильтрации контрастных жидкостей с включением капиллярных сил.В первом параграфе главы II аналогично модельной задаче фильтрации, рассмотренной выше, для изначальной однофазной смеси рассматриваются уравнения сохранения массы и импульса каждой химической компоненты, которые, при допущениях о химической нейтральности компонент и изотермичности процесса имеют вид закона Дарси. Эти уравнения записываются соответственно в однофазной и двухфазной области фильтрации.Для определенности считается процесс выпадения фазы В из фазы А основным направлением фазового перехода. Система уравнений сохранения массы и импульса для двухфазной области фильтрации дополняется замыкающими соотношениями равенств химических потенциалов компонент присутствующих в обеих фазах. В результате получается замкнутая система уравнений изотермической фильтрации двухфазной смеси относительно концентраций компонент с*/, насыщенности s и давлений РА, рв, которая в конечном итоге приводится к безразмерному виду. С учетом описанных свойств смеси, модель фильтрации многокомпонентной смеси с фазовым переходом принимает вид системы трех уравнений относительно давлений р^, рв и насыщенности s. С целью исключения давления рассматривается одномерная задача возмущения изначально однофазного флюида, соответствовавшего фазе А, в цилиндрической области толщиной Н. Как указывалось выше, задан постоянный во времени дебит скважины G.Перенормированное уравнение рассматривается как уравнение с постоянным источником в правой части: lap—(5^) = Я, где Я = — - некоторое среднее значение источника. Определяется период существования неавтомодельного рещения и его характерный вид.В четвертом параграфе главы II исследованы свойства полученного автомодельного решения, и установлена его скейлинговая инвариантность.Кроме того, рассмотрены стационарные уравнения для насыщенности и As с найдено явное решение: к^{s) = Inr • <р^, где a = \ + -^-•, \<а<2. При этом а S интенсивность фазового перехода Я считалась постоянной и не учитывались изменения фазовой проницаемости по фазе А при малых насыщенностях s.Исследовалась задача аппроксимации фазовых проницаемостей в предположении, что интенсивность фазового перехода А=Х{г, /, s) - переменная величина, а на внешнее воздействие Е накладывается малое возмущение порядка а\ s=&s^ae\{T). Тогда насыщенность представляется в виде ряда: 5=5'o+asi+.... Невозмущенное поле SQ соответствует либо автомодельному решению, либо стационарному. Экспоненциальное во времени нарастание или затухание возмущений определяется знаком величины , 'AP{£^+£^)dsl-' ,1 I = ^ " ——-—ьЯ^ , который целиком определяется характером г дг " невозмущенного распределения насыщенности в пространстве. Система неустойчива, если />0. в третьей главе представлена численная схема счета начальной задачи фильтрации рассмотренной в первой главе. В общем случае система уравнений фильтрации может быть представлена в двух видах: в виде системы уравнений баланса относительно молярных плотностей или в виде системы уравнений адвекции для молярных концентраций и уравнения параболического типа для норового давления. Таким образом, основываясь на идеях К. Годунова, построен метод предиктор - корректор для уравнений фильтрации. На этапе предиктора разрешается с помощью явной схемы уравнение переноса и на основе неявной схемы уравнение для порового давления. На этапе корректор, по известному норовому давлению определяются молярные плотности компонент, а затем осуществляется дивергентное замыкание системы посредством удовлетворения условий термодинамического равновесия.В основе численной модели лежит консервативная явная разностная схема, аппроксимирующая уравнения баланса (1.1.2), (1.1.3) двухкомпонентной двухфазной смеси для молярных плотностей и концентраций компонентов: Кср, дР дх дпс 1 д dt т дх К(р, дРЛ дх Данные уравнения записываются в универсальной форме одно- и двухфазного состояния смеси следующим образом: di{/ dt т дх д (^ дР^ К(р дх для dt т дх построения ^^ .^ 1 ч дх ) разностной схемы типа и используются в дальнейшем предиктор-корректор.Корректор для представленной выше схемы расчета, аппроксимирующий уравнения баланса молярной массы двухкомпонентной смеси, записывается как: n^=n,+-V[Kx{P,c)VP\, y>,=y/,+-V[K(p[P,c)VP]^.

Заключение

Построена обобщенная эффективная модель фильтрации двухфазной смеси, в которой подвижности фаз сильно различны. На базе этой модели, позволяющей проводить качественное исследование особенностей процесса, рассмотрена задача возмущения изначально однофазной покоящейся жидкости, сопровождающегося фазовым переходом.

Исследован пограничный слой по времени, где решение не автомодельно. Показано, что существует растущее по времени решение в окрестности нуля. Качественные результаты подкреплены численными расчетами. Реализована численная модель расчета полученных решений на основе консервативной явной разностной схемы, аппроксимирующей уравнения фильтрации для концентраций компонентов.

Показано, что существует автомодельная асимптотика решения задачи течения к единичному стоку и получено асимптотическое уравнение, описывающее эту асимптотику. На его основе проведен качественный анализ процессов фильтрационного переноса таких жидкостей и исследована задача фильтрации с включением капиллярных сил. Показано, что полученное уравнение является бисингулярно возмущенным. Это уравнение имеет особую точку, при £=0, где % = r/>Jт- автомодельная переменная, которая является точкой ветвления.

Доказано, что существует единственное решение автомодельного уравнения для задачи фильтрации многокомпонентной двухфазной смеси, сопровождающейся фазовым переходом, стремящееся к нулю на бесконечности и равное smax в окрестности нуля. Таким образом, может быть поставлено краевое условие 5=0 на бесконечности.

Методом сращивания асимптотических разложений найдено решение модельной задачи фильтрации контрастных жидкостей. При этом было показано, что существуют три зоны в области изменения независимой переменной, в которых решение автомодельного уравнения имеет различные асимптотики поведения: внешняя зона, промежуточная и внутренняя, т.е. зона пограничного слоя в окрестности нуля.

Для внешней зоны, т.е. где независимая переменная 0(1), решение s

1 Яе2 разлагается по степеням — и по величине эквивалентно с. s « . Для зоны пограничного слоя в окрестности нуля, т.е. для < s значение s(^) = smax. Наконец, в промежуточной зоне, т.е. области, где б<%<0( 1), решение s ведет себя как дробная степень логарифмической функции: s&A(dns)yp , где А константа.

По результатам сравнительного анализа численного решения начальной задачи фильтрации с решением автомодельной задачи показано, что размер пограничного слоя в окрестности точки возмущения совпадает с зоной, где s = smax в точном автомодельном решении.

Исследованы свойства полученного автомодельного решения, и установлена его скейлинговая инвариантность относительно следующего скейлингового преобразования:

АеМбт2/М)1 где П -масштаб изменения переменной Таким образом, решение сохраняет прежнюю структуру, если Л«Мб. Если же Л>\ /б, то структура решения качественно меняется.

Рассмотрена начальная задача насыщенности в варианте аппроксимации фазовых проницаемостей в предположении, что интенсивность фазового перехода переменная величина: Л=Л(г, t, s). При этом, на внешнее воздействие б накладывалось малое возмущение порядка а: Б=Бо+аБ1(т), а насыщенность представлялась в виде ряда:

Показано, что существуют режимы неустойчивого течения, порождающие осциллирующие в пространстве структуры, развивающиеся во времени. Если интенсивность фазового перехода Л не меняет знак (фазовый переход везде однонаправленный), то насыщенность Sq монотонно убывает в направлении от стока. Если интенсивность фазового перехода в некоторой подобласти Q меняет знак, то есть фазовый переход в этой области имеет обратную направленность (из фазы В в фазу А), то невозмущенное распределение насыщенности немонотонно. В реальности это всегда имеет место вблизи стока, когда давление станет ниже давления максимума конденсации/испарения.

Таким образом, рассмотрена природа сингулярности, связанная с нарушением условия контрастности течения в отдельных зонах. Научный интерес представляют следующие результаты:

1. возникновение временного пограничного слоя, в течение которого существует растущее по времени неавтомодельное решение в окрестности нуля;

2. образование пограничного слоя в зоне стока, типичной моделью которого оказывается исследуемая задача;

3. явление логарифмического дробно-степенного промежуточного слоя связанного с нарушением условий контрастной подвижности фаз при увеличении насыщенности новой фазы;

4. образование пространственных фазовых структур вокруг источника возмущения;

5. свойство скейлинговой инвариантности решений;

6. существование режимов неустойчивого течения, порождающих осциллирующие в пространстве структуры, развивающиеся во времени.

Разработанная техника решения и полученные решения моделей задачи фильтрации контрастных жидкостей могут быть использованы для качественного анализа неравновесности фазовых переходов, неравновесности фазовых проницаемостей, а также неизотермических эффектов. Результаты работы приложены к прогнозированию процессов истощения газоконденсатных и нефтегазовых пластов.

1. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 стр.

2. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 310 стр.

3. Васильева А.В., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 стр.

4. Виноградов Ю.П., Куфарев П.П. Об одной задаче фильтрации. Прикладная математика и механика. 1948, N2, Т. 12, стр. 181-198.

5. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями // Успехи мат. наук. 1960. Т.15, № 4. стр.3-95.

6. Герольд С.П. Аналитические основы добычи нефти, газа и воды из скважин. M.-JL: Нефтеиздат, 1932.

7. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979. 320 стр.

8. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 стр.

9. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: изд. Новосибирского ун-та, 1972, 128 стр.

10. КоулДж.Д. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 274 стр.

11. Кочина И.Н., Филинов М.В. К гидродинамике подземных газохранилищ. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. N 3, стр. 56-63.

12. Куфарев П.П. Решение задач о контуре нефтеносности для круга. Доклады АН СССР, 1948, N8, Т.60, стр.1333-1334.

13. Липовой Г.С. Фильтрация двухфазной многокомпонентной смеси к системе скважин // Некоторые задачи массопереноса и фильтрации подземных вод. Киев, 1981, (Препр. / Ин-т математики АН УССР) стр. 25-30.

14. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. 398 стр.

15. Ломов С.А. Степенной пограничный слой в задачах с сингулярным возмущением, Изв. АН СССР, сер. Матем. 30, № 4 (1968), стр. 525-572.

16. Мирзаджанзаде А.Х., Дурмишьян А.Г., Ковалев А.Г., Аллахвердиев Т.А. Разработка газоконденсатных месторождений. М.: Недра, 1967. стр. 356.

17. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.2. М.: Наука, 1987. стр. 360.

18. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. Москва, Недра, 1996, 447 стр.

19. Николаевский В.Н., Бондарев Э.А., Миркин М.И. и др. Движение углеводородных смесей в пористой среде / М.: Недра, 1968. стр.190.

20. Панфилов М.Б. Асимптотика решения задач фильтрации многокомпонентной смеси с погранслоем // Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. № 4. стр. 94-100.

21. Панфилов М.Б. Асимптотические методы решения задач фильтрации многокомпонентных смесей в процессах истощения газоконденсатных залежей // Динамика многофазных сред. Новосибирск: Наука, 1985. стр. 183-187.

22. Панфилов М.Б. Сведение задач истощения нефтегазовых пластов к теории сингулярных возмущений // Разработка месторождений природных газов. М., 1985 (Тр. МИНХ и ГП; N192), стр. 30-41.

23. Панфилов М.Б. Сращивание асимптотических разложений в задачах фильтрации газоконденсатной смеси // Инж.-физ. жур. 1983. Т.45, N 4, стр. 608-616.

24. Ромм Е.С. Структурные модели пористых сред. М.: Недра, 1984, стр. 312.

25. Седов Л.И. Механика сплошной среды. T.l. М.: Наука, 1976, стр. 535.

26. Сомов Б.Е. О методах решения задач гетерогенной фильтрации многокомпонентных смесей в пористой среде // Разработка и эксплуатация месторождений. М., 1983, стр.55-65. (Тр. МИНХ и ГП; № 174).

27. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980, стр. 231.

28. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника Вишика // Успехи мат. наук. 1970. Т.25, № 4. стр. 123-156.

29. Чарных И.А. Методы расчета перемещения границы раздела нефти и воды в пластах. Изв. АН СССР, 1954, N4, стр. 107-120.

30. Швидлер М.И. Об усреднении уравнений равновесной фильтрации несмешивающихся жидкостей // Сб. науч. тр. Всесоюз. Нефтегаз. НИИ. 1982. N79, стр. 36-41.

31. Alhanai W„ Berlin Н., Quintard М. Two- phase flow in nodular systems: Laboratory experiments // Rev. Inst. Fr. Petrol. 1992. Vol.47, N 1, p. 29-44.

32. Blunt M. J., King P. Relative permeabilities from two and three dimensional pore scale network modelling // Transport in porous media. 1991. N 6, p. 107-119.

33. Bourgeat A. Nonlinear homogenisation of two-phase flow simulation // Lect. Notes Pure and Appl. Math. 1985. Vol.102, p.207-212.

34. Bourgeat A Global behaviour of two-phase flows in geterogeneoos media. // Proc. Ill Intern. Conf. On boundary layers, Dublin, Ireland, 1985. Dublin: Boole, 1985, p.157-160.

35. Buckley S.E., Leverett M.C. Mechanism of fluid displacement in sands // Trans. AIME. 1942. Vol.146, p.107-116.

36. Chungshiang P.P., Yanosik J.L., Stepenson R.E. A generalized compositional model for naturally fractured reservoir. SPE Reservoir Engineering, august 1990.

37. Mitlin V.S. Two-phase multicomponent filtration: instabilities, autowaves and retrograde phenomena// J. Fluid Mech. 1990. V.220, p.369-395.

38. Pergament A.Kh., Koldoba A.V., Poveschenko Yu.A., Simous N.A. The mathematical modelling of the multi-phase flow in inhomogeneous media. // Proceedings 7th Europen Conference on the Mathematics of Oil Recovery. Baveno, Italy, September 2000.

39. Quintard M., Whitaker S. Ecoulement monophasique en milieu poreux: effet des heterogeneites lokales // J. Mech. Theor. et Appli. 1987, Vol.6, N 5, p.691-726.

40. Quintard M„ Whitaker S. Two-phase flow in geterogeneoos porous media: the method of large-scale averaging // Transport in Porous Media. 1988. N 3, p.357-413.

41. Quandalle P., Sabathier J. Typical features of the multipurpose reservoir simulator. SPE Reservoir Engineering, november 1989.

42. Rappoport L.A., Leas W.I. Properties of linear waterfloods I I Trans. AIME. 1953. Vol.198, p.139-148.

43. Radvogim Yu.B. The characteristic properties of the two-component filtration equatiens. Moscow, Preprint, Keldysh Inst. Appl. Math., Rus. Acad, of Sciences, 2001, N 37, p.14 (in Russian).

44. Singal A.K., Somerton W.H. Quantitative modelling of immiscible displacement in porous media: A network approach // Rev. Inst. Fr. petrol. 1997. Vol.32, N6, p.897-920.

45. WycoffR.D., Botset E.G. The flow of gas-liquid mixtures through unconsolidated sands. Phusics, 1936, vol.7, N9.1. Подрисуночные подписи

46. Фиг.1. Иллюстрация явления перерождения типа особенности 1 точное решение с точкой ветвления в <£=0; 2 - разложение при £->0, 4=0(1); 3 - разложение при s->0, <%=0(A(s))