Асимптотики решений сингулярно возмущённых задач, описывающих явление конвективной диффузии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

□034В2504

На правах рукописи

Лхметов Рустям Гилимович

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННЫХ ЗАДАЧ, ОПИСЫВАЮЩИХ ЯВЛЕНИЕ КОНВЕКТИВНОЙ ДИФФУЗИИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 - О1З

УФА 2008 г.

003462504

Работ а выполнена на кафедре математического анализа ГОУ ВПО ''Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы"

Официальные оппоненты: Доктор физико - математических наук,

Защита состоится 13 марта 2009 года в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 по присуждению учёной степени доктора физико-математических наук в Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской академии наук по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН

профессор Бабич Василий Михайлович

Доктор физико - математических наук, профессор Калякин Леонид Анатольевич

Доктор физико - математических наук, Ведущий нучный сотрудник Макаренко Николай Иванович

Ведущая организация Институт проблем механики

Российской академии наук (г. Москва)

Автореферат разослан

2009 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

С.В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При исследовании сингулярно возмущенных задач особое значение имеет понятие пограничного слоя, введённое Пран-дтлем. Решения в пограничных слоях строятся в виде асимптотических рядов [1], зависящих также от погранслойных переменных. В зависимости от исследуемых задач, разработаны различные асимптотические методы. Часто возникают задачи, где применяются методы построения экспоненциально убывающих погранслойных функций. Однако, в ряде задач коэффициенты ряда по степеням малого параметра имеют особенности ( растущие вместе с ростом степеней малого параметра). Такие задачи носят бисингулярньш характер [2]. Одним из эффективных методов, приводящих к успеху в подобных задачах, является метод согласования (сращивания) асимптотических разложений [2], [3], [4]. Аналогичные ситуации имеют место также в задачах волновой оптики [5] и теории релаксационных колебаний [6].

Бисингулярные задачи также возникают при исследовании явлений тепломассообмена с учётом конвекции, в частности, конвективной диффузии. Такие задачи исследовали многие авторы: Левич В.Г., Фукс Н. A., Acrivos

A., Goddard J.D., Taylor T.D., Sih Р.Н., Newman J., Murray D., Крылов

B.C., Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Рязанцев Ю.С. и другие. Задачи конвективной диффузии в окрестностях частиц и цилиндров возникают в химической технологии, теории фильтрации, в биофизике. Одной из основных задач при этом является определение полного диффузионного потока (к поверхностям обтекаемых тел), который зависит от решений краевых задач в пограничных слоях (около частиц).

Характерной особенностью задач конвективной диффузии являются наличие седловых особых точек на границе области в предельном уравнении, когда малый параметр ( малый параметр соответствует большим числам Пекле: Ре) равен нулю. Другая особенность таких задач состоит в том, что в некоторых пограничных слоях возникают параболические уравнения, вырождающиеся на границе области.

В задачах конвективной диффузии в окрестностях частиц ранее были исследованы, в основном, лишь главные члены формальной асимптотики по малому параметру [7]. Вопрос математического обоснованна асимптоти-

ческих решений, в частности, построение полного асимптотического разложения решений задач конвективной диффузиии является актуальным. В окрестности частицы за исключением следа за частицей погранслойные функции обычно носят экспоненциальный характер. Однако, в следе за частицей асимптотика носит степенной характер. В таких случаях приходится применять метод согласования асимптотических разложений. В окрестности частицы ( или капли ) возникают несколько пограничных слоёв, в том числе и внутренние пограничные слои.

Другой класс задач возникает при исследовании конвективной диффузии в окрестности сферической частицы или капли с учётом химической реакции. Одна из характерных особенностей таких задач - это зависимость от двух параметров: числа Пекле Ре и постоянной скорости химической реакции к„. В случаях, когда один из параметров ограничен, задача упрощается. В этих случаях построены главные члены асимптотики [7]. Задача усложняется, когда оба параметра достаточно большие. В этом случае трудно построить даже главные члены асимптотики. В более простом случае обтекания капли и химической реакции первого порядка были построены главные члены асимптотики решения задачи конвективной диффузии ( линейная задача ) [8].

Бисингулярные задачи, содержащие седловые точки на границе области в предельной задаче, возникают также в гидродинамике [9]. Малый параметр соответствует средним и большим числам Рейнольдса. В этих задачах также возникают внутренние пограничные слои.

Актуальными являются исследование асимптотических свойств решений сингулярно возмущённых задач, дальнейшее развитие методов построения асимптотических разложений и их применение к исследованию новых задач.

Цель работы.

1) Построить полное асимптотическое разложение по малому параметру решения краевой задачи для эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных, описывающего процесс стационарной конвективной диффузии около капли.

2) Построить полное асимптотическое разложение по малому параметру решения краевой задачи для эллиптического уравнения с малым пара-

метром прп старших производных, описывающего процесс стационарной конвективной диффузии около сферической частицы.

3) Построить главные члены асимптотического решения внешней краевой задачи для линейных и квазилинейных уравнений эллиптического типа с двумя параметрами, описывающих процесс стационарной конвективной диффузии около частицы при наличии химической реакции.

Для достижения цели требуется решить следующие задачи:

1. Построить формальные асимптотические разложения ( ф. а. р. ) по малому параметру решений краевых задач стационарной конвективной диффузии в пограничных слоях около капли и частицы.

2. Исследовать асимптотические свойства коэффициентов асимптотического разложения по малому параметру в каждом пограничном слое с учётом условий согласования с решениями в соседних пограничных слоях.

3. Исследовать решения неоднородных краевых задач в неограниченных областях с убывающими на бесконечности правыми частями и граничными условиями. В этих задачах требуется исследовать асимптотические свойства на бесконечности. Такие задачи обычно возникают в большинстве пограничных слоёв.

4. Доказать справедливость асимптотических разложений.

Методы исследования. Основным методом исследования является

вариант метода согласования асимптотических разложений, предложенный A.M. Ильиным. Применяются также методы математического анализа, функционального анализа, дифференциальных уравнений.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми и получены автором лично. Основные результаты диссертации таковы.

1. Построено полное асимптотическое разложение по малому параметру решения краевой задачи для эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных, описывающего процесс стационарной конвективной диффузии около капли. В окрестности капли возникают пять пограничных слоёв. Асимптотическое разложение представляет собой составное разложение, полученное согласованием асимптотических разложений в пограничных слоях. Для обоснования используются барьерные функции.

2. Построено полное асимптотическое разложение по малому параметру

решения краевой задачи для эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных, описывающего процесс стационарной конвективной диффузии около сферической частицы. В окрестности частицы возникают пять пограничных слоев. В двух пограничных слоях асимптотика решения было построено ранее. В этой работе построено асимптотическое разложение решения еще в трёх пограничных слоях. Построенные асимптотические разложения согласованы с ранее полученными.

3. Построены главные члены асимптотического решения внешней краевой задачи для квазилинейного эллиптического уравнения с двумя параметрами. Рассматриваемая задача описывает процесс стационарной конвективной диффузии около частицы при наличии химической реакции. Рассмотрен более сложный случай, когда оба параметра стремятся к бесконечности. При исследовании задача сводится к сингулярной, имеющей малый параметр при старших производных, а другой параметр при этом меняется медленно и зависит от отношения двух больших параметров.

Кроме того, получены результаты, имеющие самостоятельную теоретическую ценность.

- Исследована краевая задача для эллиптического уравнения в полуплоскости. Данная задача возникает при исследовании явления стационарной конвективной диффузии около сферической частицы при больших числах Пекле в пограничном слое окрестности точки стекания жидкости с частицы. Построена асимптотика решения, удовлетворяющая условию согласования с решением в соседнем диффузионном пограничном слое. Ранее эта задача была исследована только численными методами.

- Построен главный член формального асимптотического разложения решения краевой задачи для уравнения конвективной диффузии в эллиптическом пограничном слое. Рассматриваемая задача соответствует случаю обтекания цилиндрической частицы. Ранее такая задача была исследована только численными методами.

- Исследована асимптотика решения вырождающегося квазилинейного параболического уравнения. Такое уравнение возникает в диффузионном пограничном слое при исследовании явления конвективной диффузии около частицы с учётом объёмной нелинейной химической реакции.

- Доказана теорема существования решения краевой задачи на полу-

прямой для класса квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра. Построены асимптотические разложения решений таких задач на бесконечности. Исследована асимптотика для малых значений параметра. Главный член асимптотики на бесконечности зависит от явного вида нелинейной функции и от параметра. Указанный здесь класс уравнений возникает при построении асимптотики решения в диффузионном пограничном слое вырождающегося квазилинейного параболического уравнения в окрестности линии вырождения в следе за частицей.

Теоретическая и практическая ценность.

В диссертацию включены теоретические результаты, полученные автором и представляющие вклад в развитие асимптотических методов решения задач эллиптического типа с малым параметром при старших производных бисингулярного характера. Особенностью этих задач является наличие особых точек седлового типа на границе области. Рассматриваемые задачи представляют собой математическую модель стационарной диффузии около одиночной частицы ( или капли ), при обтекании потоком жидкости или газа. Малый параметр соответствует большим числам Пекле. Другой характерной особенностью рассматриваемых задач является тот факт, что в некоторых пограничных слоях возникают вырождающиеся параболические уравнения. Порядок вырождения зависит от свойств функции тока. А последнее, в свою очередь, зависит от того, рассматривается обтекание капли или твёрдой частицы. Указанные свойства задач говорят об их сложности для исследования. Построены главные члены формальной асимптотики решения задачи конвективной диффузии с объёмной нелинейной химической реакцией в следе за осесимметричной частицей. Задача содержит два параметра: число Пекле Ре и постоянную скорости химической реакции к„. В случае налитая нелинейной химической реакции ранее задачи конвективной диффузии исследовались на физическом уровне строгости, используя методы модельных уравнений и аналогий, и метод интерполяции. Были получены интерполяционые формулы для нахождения полного диффузионного потока ( [7], гл 5).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре Института математики и механики Ур. НЦ РАН (рук.,

академик РАН, А.Ф. Сидоров), на семинаре по асимптотическим методам Института математики и механики Ур. НЦ РАН (рук., академик РАН, A.M. Ильин), на семинаре по дифференциальным уравнениям математической физики Института математики с Вычислительным центром Уфимского НЦ РАН (руководители семинара проф. JI.A. Калякин, проф. В.Ю. Новокшенов), на Санкт-Петербургском (городском) семинаре по дифракции и распространению волн (руководитель семинара проф., В. М. Бабич), на семинаре чл. корр. РАН П.И. Плотникова в Институте гиродинамики им. М.А. Лаврентьева и др., на Международных конференциях: "Комплексный анализ, дифференц. ур-ния и смежные вопросы" ( Уфа, Ин-т матем. с вычисл. центром Уф. НЦ РАН, 1996, 2000), "Кубатурные формулы и их приложения." VI-й международный семинар-совещание (Ин-т матем. с вычисл. центром Уф. НЦ РАН ( г. Уфа, БГПУ, 2001 г.), "Асимптотики решений дифференциальных уравнений", посвящённьш к 70 - летию академика А. М. Ильина ( Ин-т матем. с вычисл. центром Уф. НЦ РАН, г. Уфа, 2002 г.), "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" ( Стерлитамак, СГПИ, 1998 г.), "Потоки и структуры в жидкостях" ( Институт проблем механики РАН, Москва, МГУ, 2005, Санкт-Петербург, РГГМУ, 2007), "Математика. Компьютер. Образование" ( МГУ им. Ломоносова, г. Пущино, Путинский центр биол. иссл-й РАН, 2007 г.), Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И.Г. Петровского (МГУ им. М.В. Ломоносова, Матем. ин-т им. В.А. Стеклова. МГУ, 21-26 мая 2007 г.), "Уфимская международная научная конференция, посвященная памяти А.Ф. Леонтьева " Теория функций, дифференц. ур-ния, вычислительная математика" ( Уфа, Ин-т матем. с вычисл. центром Уф. НЦ РАН, 2-4 июня 2007 г.), в "Зимней школе по механике сплошных сред" Уральское отделение РАН (г. Пермь, 2005), в Российских и региональных конференциях в городах: Санкт-Петербург (1997), Екатеринбург (2000), Уфа (1997,2002,2003), Челябинск (2006) и др. Часть результатов получена автором диссертации в ходе работ по проектам Российского фонда фундаментальных исследований ( коды проектов: 99-01-01143,02-01-00693,06-01-00138) и Ведущих научных школ (коды проектов: 96-15-96241, 00-15-96038, НШ-1446.2003.1 ).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [12]-[24]. В

автореферате приведен список основных публикаций. В работе [22] имеется ссылка на работу с соавторами. Эти результаты численного характера приведены в диссертации для полноты изложения результатов и не выносятся на защиту.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, списка литературы из 148 наименований. Объём работы 280 страниц.

Внимание автора к вопросам, затрагиваемым в диссертации было привлечено A.M. Ильиным. Автор выражает благодарность ему, а так же А. Д. Полянину и всем участникам упомянутых семинаров за полезное обсуждение.

Краткое содержание работы

В диссертации строятся асимптотические разложения (а. р.) по малому параметру решений внешних краевых задач для эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных в случаях, когда предельные уравнения имеют особые точки типа "седла" на границе области. Для решения таких задач применяется метод согласования а. р.: в пограничных слоях вводятся погранслойные переменные, строятся формальные асимптотические разложения ( ф. а. р. ) решений, проводится обоснование. Сложность применения метода согласования состоит в том, что в пограничных слоях при нахождении структуры ф. а. р., при их согласовании и обосновании приходится порой выполнять трудные и громоздкие вычисления. При этом в каждой задаче возникают свои специфические особенности.

В первой главе рассматривается задача конвективной диффузии около капли. Рассмотрим математическую постановку задачи о конвективной диффузии. Для удобства каплю будем считать сферической. При ряде упрощающих предположений стационарное уравнешге конвективной диффузии в безразмерных переменных имеет вид

£2ДИ - (V, V)u = 0, (1)

где е2 = Ре~1 - малый параметр ( соответствует большим числам Пекле Ре), А - оператор Лапласа, вектор - функция V для сферической частицы

известна и выражается через функцию тока ф{г,в), где г, в - сферические координаты, г > 1,0 & (0; тг). В случае обтекания сферической капли

*М) = (2)

где (3 - отношение вязкости капли к вязкости окружающей среды. Тогда

л7 г п\ 1 ^ 1 дф

V - {иг,ьв,0), - . -■—-, --г^д-. (3)

4 ггьтв о9 гвтвдг

Требуется построить ограниченное решение и(г, в), удовлетворяющее усло-

ди

и( 1,0) = 0, и 1 при г -> со, — = 0 при 9 — ж,9 = 0 . (4)

о9

В окрестности капли возникают несколько пограничных слоёв (Рис.1). Во внешней области и= 1. А. р. диффузионном пограничном слое строится в переменных Т) = (г — 1)£'1,0. В диффузионном пограничном слое решение ищется в виде

и(0,М,г)=ЕгЧ0,М). (5)

4=0

Подставляя ряд (5) в уравнение (1), разлагая также коэффициенты этого уравнения, и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, приходим к следующей рекуррентной системе уравнений

(0)/ д240) г] сое 9 ди^1 ътв ди^ ^ = /3 + 1 дц

= 1к(у$\г,, 9), и<°>(7, 9),..., 4°], (7), 9)), (6)

где 10 = 0. Функции и!£\т),9), кроме того, должны удовлетворять граничным условиям

и{„0)(0,9) = О;и{^(т},0) -> 1,17 оо;ди(„0>/д9 = 0 при в = тг;

40)(0,6>) = ->0,т; оо;ди^/дв = 0, 9 = тг; А > 0 . 1 ^

Функции и^(т],9) определяются из рекуррентной системы дифференциальных уравнений параболического типа, вырождающихся на границе области. Известно, что на линии вырождения, как правило, требуется дополнительное исследование. В этом случае на линии в = 7Г достаточно

Рис. 1

е -Внешняя область, 0 - Диффузионный пограничный слой, 1- Конвективно - погранслойиая область, 2 - Внутренняя область диффузионного следа, 3 - Область задней критической точки, 4 - Область смешения

требовать условие ограниченности. Здесь обычно задают условие симметрии (равенство нулю первой производной решения). А значение решения на этой линии вырождения нельзя задавать. В некоторых случаях на шиши вырождения решение может быть разрывной. Главный член асимптотики имеет вид

= (8) ж=^тт)7751112^^== 2С8ТГ

Пусть V > 0, Д, = {(т?, т) : г] > 0,0 < т < тг - и] .

Определение 1 Посредством В обозначим класс функций д(г), т) 6 и таких ,что при т -4 0 справедливо а.р.: существует 5 > 0, что для любого натурального N

9(7,, г) = ехр(-Хг)2) е'т^Мт/) + 0(г~л'ехр(—6г}2)), (10)

где Л = 1/2(/3+1), функции <рк{г}) растут не быстрее некоторой степени г/ при г/ —» оо. В области справедлива оценка д(г}, т) = 0(ехр{~и\г{1)), где зависит от V. Аналогичные оценки справедливы и для производных д(г],т). Причем а.р.(10) можно дифференцировать любое число раз.

Из формулы (8) следует, что правая часть уравнения (6) для тг -г) принадлежит классу В. Таким же свойством обладают правые части остальных уравнений системы (6).

Теорема 1.1 Пусть функция ф(г, 6) имеет вид (2). Тогда существует такое решение задачи (1), (4), что ж — т) € В при п > 1, ио\у>ж~т) определено выше ж — т) = Уц(хЛ) (см.(8), (9)).

Функции и^\т],9) построены в разделе 1.2 и иследованы асимптотические разложения решения при 9 ж, в —> 0. Эти функции экспоненциально убывают на бесконечности, за исключением следа за частицей (см. области 1-4). Доказано, что функции г$\т},в) являются гладкими при 0 < в < ж, т] > 0. Таким образом, доказано, что в окрестности точки 01(1, ж) (точки набегания потока к капле) никаких других пограничных слоёв не возникает. При б 0 функции 0) имеют особенности для

к > 2. Поэтому приходится дополнительно исследовать исходную задачу в окрестности седловой точки 02 (1,0).

В области задней критической точки ( точки стекания жидкости с капли ) асимптотическое разложение решения строится в переменных £ = ва/е, г) = (г - 1)а/е, где а = 1//2(/3 +1) и ищется в виде

(И)

¡=0 *=2

Подставляя ряд (11) в уравнение (1) ( разлагая также коэффициенты уравнения ) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, 1п г приходим к следующей рекуррентной системе уравнений

= (12)

где ¿2 = 0,

Г = 1Л(еЁЛ 1.

+ + 71 дп

Правые части системы рекуррентно зависят от 77) до I = к — 1, разлагаются в асимптотические ряды степенного типа ( с логарифмическими множителями от т]), растущие на бесконечности.

Функции «а!(£,7/) строятся как решение системы (12), удовлетворяющее граничным условиям

№/£■ т п ^Ш^1?) п ¿л

%ш,0)=0, —--= 0 при £ = 0 (13)

и условиям согласования

V) ~ П) 0 при £ оо

(14)

и при любом фиксированном т? > 0, где ¿¡./¡(£, 77) получены переписыванием ряда (5) в переменных г]. Сначала исследуется уравнение

1 д /,ди\ д2и £ди ди

в полуплоскости £> : {(£, г/) : С £ > а}, где а > 0, функция /(£,77)

стремится к нулю на бесконечности и достаточно гладкая. В работе [14] доказана теорема существования, получены оценки решения и построено асимптотическое разложение решения при г\ —> оо. Затем строится асимптотическое разложение решения по малому параметру ( строятся функции ) и иследуются асимптотические свойства на бесконечности функций и'3))(£, г/) . Затем проводится обоснование, пользуясь условием согласования и барьерными функциями [18].

Определение 2 Функция /(17) 6 .?и(Л+), сел« выполнены условия:

1) Я1)) прит]> 0 и

2) при г) —> оо с?л.я любого N справедливо а. р.

/Ы - Е1п' V + о(тл')).

¡=0 \ л=0 /

Из работы [18] следует справедливость а. р.

= 2 @2кР2к-\(р)1 где Р<(г) — многочлены степени I, (15) к=1

= £ ь1' е £ г-^Ч^т,)++ „Г1), (16)

;=о /=2

если 0 < а < сг^, 0 < со < сгь

где и,>:г(г?) € п > 1.

Рассмотрим частичную сумму ряда (5)

йГМ.еНЕеЧ'М). (17)

4=0

При в -> 0 и малых ст функции uf\r¡, в) заменим их а. р. (15), (16) и перепишем в переменных r¡,£ = 9/е:

«№>(»/, £ ^{¿(Ine + lnfl-'x

fc=U U=0

(18)

.1=2

где «¡.„.¡(r/) <E Jr;,71-i(ß+) (см. (16)). Группируя коэффициенты при одинаковых степенях s,!nt, получаем

т~г

¿—О 1-2

+0(£ £квт~к(1 + q)"*1), при т<п, (19)

fc=О

где для 2ц.п(£,т}) справедливо представление

*и,«Ы = £ In'í Е С^'л.мЫ, (20)

причём gin.i(v) G (см. (16)). Функции ¿¿,¿(£,7?) в условиях (14) -

это растущие по £ члены суммы z;.í.ti (£,??)■

Определение 3 Функция Ь(х) 6 Ba{R), где А > 0, если Ь(ж) € C°°(R), является четной, u\dlb/dxx\ < M(l+x2)~A^+ml для некоторыхто > 0,М > 0 « любого i > 0.

Определение 4 Функция £ где 23 = {(£, 77) •■ f¡ Е R,tj >

0}, j4 > 0, / 6 Л, и целое к >0, если выполнены условия: 1) KZiV) € C"(V) и является четной относительно 2J при £ £ R, i] < 1 справедлива оценка: 3т > 0, Vé, j > 0, ЭМ > 0

<м( í+a

2\-A/2+m\i+j).

3) для £; € Я, г) > 1 справедливо а. р. при I] Ч- оо

НЫ = V1 (Е^П+^ЪО + О&'^Ч о)) .

где Рт,л(ж,г) - полиномы степени не выше т относительно х с коэффициентами ¿¿(г) £ Ва{К), причем данное асимптотическое разложение допускает дифференцирование, остаточный член для д1+1к{£,г])/д£*д7]' имеет порядок О (^^Хц), где = (1 + ^-л/г+пф'+я

Функция иоЖ-т?) имеет вид С^С-г + £2) (см. [7], гл. 1, (3.17)). При построении функций гг-3^ (£, г/) для г + к > 2 будем пользоваться следующей теоремой о решении краевой задачи

= /(£,ч),Ц£,о) = о. (21)

Теорема 3.1 Пусть /(£,т?) £ Ва.-хлФ), г<?е Л - достаточно большое, целое к > 0. Тогда существует решение задачи (21) такое, что €

г<Эе В —> оо ггры .А —)■ оо. Доказательство теоремы следует из теоремы 2.1 работы [18]. Функции т}) продолжим сначала гладким образом до нуля ( и обозначим га,п(<!;, ¡у) ), а затем четно на значения £ < 0 и определим функцию равенством

(22)

которая обладает свойствами:

1)1;^и,т.(ч!г?) £ СХ(Т>), является чётной относительно

2)ИГа,»(е,ч) = 0 при 77 = 0.

Теорема 3.2 Для любых индексов г, к - таких, что 3 < 1 + к < 5п, 0 < 8 < 5о < 1,п - достаточно большое, существует решение задачи (12), (13), удовлетворяющее условиям согласования (Ц), и имеющее представление

V) = г,) + о,а:,п(£, ?г) (23)

где 1Угд..я(£,т;) определена равенством (22), к

¿=о

при 0 < ] < к и П] -> оо тгри п — г — & —» оо.

Замечание 1 5 сформулированной выше теореме функции №¡¿,„(£,7]),

V) определены в области V и являются четными функциями относительно Такими образом, решение поставленной задачи четно продолжено на значения £ < 0 и через г]) обозначены четно продолженные решения.

А.р. решения в конвективно - погранслойной области 1 строится переменных г = е-1г/>(г, в) = г'1 f{y)t2,у = г — 1. Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в области 0. А. р. решения в области 1 ищем в виде ряда

(24)

i=0 i=о

В уравнении (1) перейдем к переменным z,y и, подставляя в полученное уравнение ряд (24), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях e,Ine, приходим к системе

/ V "... «(1) \ (25)

где = 0. Правые части имеют оценки порядка 0((y~k(zt + 1) + ykz~k) х х exp(Sz11)}. Требуется найти а. р. решения уравнения (25), удовлетворяющее условиям согласования для функций ы) при у —Ъ 0

4V,2/) - W$(z,y) = o(yaz~l ехр(—iz2)) (26)

для любого а € (0,1/2), I > 0. Здесь функции получены пере-

писываштем а. р. функций uf (т],в) при в 0 и z отделенных от нуля. Функции у) построены в работе [21].

А.р. решения в области 2 (во внутренней области диффузионного следа) ищем в переменных £ = е~2ф,у = г — 1. Вид а.р. решения определяется структурой а.р. решений в областях 1, 3 вблизи области 2. А.р. решения в области 2 ищем в виде ряда

оо к—1

«(г,(С,У,*) = 5>* Eln'et^W (27)

*=i ¿=о

В уравнении (1) перейдем к переменным и, подставляя в полученное уравнение ряд (27), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, In е, приходим к системе

где = О,

- W ду' 16

и справедливы оценки /Д1 (С,у) = 0(у~ш{ 1 + ¡.т))1), х - -(/(2у). Эти уравнения являются вырождающимися при С = 0 параболическими уравнениями. Асимптотические свойства решений исследуются, в частности, в работе [14]. Вместе с тем приходится дополнительно исследовать это уравнение. Требуется построить гладкие решения уравнений (28), удовлетворяющие условиям

= (29)

условиям согласования при С —> ос

ч1«,у) - ^Л(С.у) = 0[гГ(1 + С)-"1) (30)

для любого а £ (0,1 /2) и условиям согласования при у ч-О

= 1 + 01) (31)

для любого а € (0,1/2).

Определение 5 Через где т,1 - целые, т > 0, обозначим класс

бесконечно дифференцируемых функций q(x) при х < 0, и имеющих при х —> —оо асимптотическое представление

т т

я{х) = £ 1п' И( Е ¿-ГЬ3-,1, + 0(х1~т)). (32)

_)=0 т=0

Теорема 5.1 Существует решение системы (28), удовлетворяющее условиям (29), условиям согласования (30), (31), и такое, что «[¿'(С, у) 6 при у > 0, С > 0. Функция и$(С,у) = /3(/3 + 1)/2п(( + 2у). При к > 1 и у —>• 0 справедливо а.р.

£-2-1 т—г—з

£ У{ £ у-к+2^+1ы(*)) + 1=0 1=0

+0(ут-*(1 + |х|)*-2), (33)

где х = —С/(2у), 6 Ки-{(Я~), при I < к - 2 - г - дц,}(х) £

Кк,к-при I > к - 2 - г - з , <ц,1„.ц(х) £ Сх при х < 0. Функции и[2/.((,у) построены в работе [21].

А. р. решения в области смешения 4 строится в переменных г = £~1ф(г, в), р=г ег = с (у + 1). Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в областях 1, 2. А.р. решения в области

4 ищем в виде ряда

и<%,р,£) = £ Ек Е 1п(34) ¿•=0 ¿=0

В уравнении (1) перейдем к переменным г, р и, подставляя в полученное уравнение ряд (34), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, 1п £, приходим к системе

¿М(^) = (35)

где /¡ь = 0, при к < 0, явный вид правой части (35) здесь не выписываем,

Л* дгУ дг> др

Заметим, что левые части уравнений этой системы такого же вида, что и в области 2. Отличие состоит в том, что в области 2 классы функций были растущие на бесконечности, а здесь функции экспоненциально убывают при г —* оо. Кроме того, условия согласования получены согласованием а. р. в пограничных слоях 1, 2 по переменным г, £ при у оо Условия согласования для функций и'^1 при р —> 0 имеют вид

Р) ~ = о(р*(ехр(-5г2) + (1 + ИГ')) (36)

для любого а 6 (0,1/2),/ > 0, где функции Иг1к{г,р получены переписыванием согласованных а. р. (24), (27) при у —> оо.

ди(4>

>/?-~|.=о = 0. (37)

Функции иЦ(г,р) в классе гладких функций построены в работе [21].

Теорема 6.1 Существует решение системы (35), удовлетворяющее условиям согласования (36), граничным условиям (37) и такое, что при р —> 0 справедливо АР:

, ТП

Р) = Е р'Ф) + 0(рт+1 ехр 1=0

а при к > О

к—1—г т

з=о 1=л 18

+0(//гн1 ехр(—-/г2)), г > е3,

. 1—г т

3-0 ¡=0

+ 0(/"+1( 1 + ИГ41),* < 2е*. (38)

где з = -г/(2р), 3о(г) = ег/(г/(2^)) , 6

■Ри.уЛ5) 6 Р^Л3) е С^й"), и справедлива оценка

9а.}Лг) = 0(ехр(-7122)),О < 71 < > 2о > 0-

Рассмотрим частичные суммы рядов (5), (11), (24), (27), (34), вида «4^(7,6, с),

Здесь нижние индексы означают порядки частичных сумм указанных рядов по степеням е. Введем обозначения областей: = {(г, в) : в1"'1 < г — 1,е'г < ф,}, = {(г,0) : 0 < г - 1 < 2е1~>',е1' < 9 < тг}, ^ = {(г,6>) : г1''1 < г- 1 < 2^-1^7+1 < ф < £)(2> = {(г, б): е1"'' < г-1 < 2е>1~\0 <ф< Х)<3> = {(г,0) : 0 < г - 1 < 2е1_'',0 < 9 < 2еи}, где 0 < ц < 1/ < 7 < 1,

Устроим гладкое разбиение единицы так, чтобы

Мг,в,е) = 1 при (г,в) € £>»\(и = 1 на И

зф» •

для всех г = е, 0,1,2,3,4. Далее обозначим М»-, в, £) = Хе(г, в,е) + хо (г, <?> Ю + Хг(г, в, , п, е), (39)

9, е) = хг{г, 0, е)й^,у, г) + хг(г, 0, <т)4л(С, г) +■

Г^гАЮ = + (41)

Пусть иЕ(г, 0) - решение задачи (1), (4) (см. теорему 4 работы [18]).

Обоснование построенных в главе 1. а.р. дается в следующей теореме. Теорема 6.2 Пусть гр(г, в) имеет вид (2). Тогда на множестве В для любого достаточно большого N выполнена оценка

\щ(г,в)~Тм(г,в,е)\<Меш, 19

где О < А зависит лишь от ¡,',fi,j;M - зависит от г/, fi,j и N.

Во второй главе рассматривается задача конвективной диффузии около частицы. Стационарное уравнение конвективной диффузии имеет вид

е3Д« — (V, V)u = 0, (43)

где е3 = Ре~1 - малый параметр. Вообще говоря, внешний вид уравнения такой же, как и уравнение (1). Но ввиду изменения функции тока ( см. ниже ), следовательно и масштабов растяжения в пограничных слоях, удобнее множитель писать в виде е3. В случае обтекания твёрдой сферической частицы функция тока имеет вид

ф(г, в) = I(r - I)2 (2 + i) sin2 в. (44)

Требуется построить а. р, ограниченного решения и(г,в) уравнения (43), удовлетворяющего условиям

Зи

«(1,0) = 0; и -4 1 при r-í-oo; — = 0 при 0 = тг, 0 = 0. (45)

Оа

В окрестности частицы возникают пограничные слои такого же вида как и на рисунке 1. Но масштабы несколько другие (см. [10]). Во внешней области и^ s 1. Функция тока на поверхности сферы обращается в нуль вместе с первой производной. Задача в этом случае усложняется. А. р. в диффузионном пограничном слое строится в переменных r¡ = (3/2) ^(г — 1)/е,в. В этом пограничном слое решение ищется в виде

•Я/« й el - ^ <А.!°> к=0

Подставляя ряд (46) в уравнение (43) ( разлагая также коэффициенты уравнения ) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, приходим к следующей рекуррентной системе уравнений

,т íÍ'Vm)! sí).

Функции и[и)(т], б), кроме того, должны удовлетворять граничным условиям

4О)(О,в) = О;4о)М)-+1,1,-4оо;0и{,о,/в0 = О при в = тг, | 40)(0,ö) = 0;uf (77,6) -4 0,77 -> оо]ди1^/дв = 0, 0 = тг, * > 0. J

(46)

Функции определяются из рекуррентной системы дифферен-

циальных уравнений параболического типа, вырождающихся на границе области. Эти функции экспоненциально убывают на бесконечности, за исключением следа за частицей. Доказано, что функции uf (т/, б) являются гладкими при 0 < в < ж, ц > 0. Таким образом, доказано, что в окрестности точки Oi(1,tt) (точки набегания потока к частице) никаких других пограничных слоёв не возникает. При б —>• 0 функции uf](rj,0) имеют особенности для к > 2. Поэтому приходится дополнительно исследовать исходную задачу в окрестности седловой точки 0г(1,0).

В области задней критической точки (точки стекания жидкости с частицы) асимптотическое разложение решения строится в переменных £ —

г) = (3/2)1/3(г - 1)/е и ищется в виде

00 00

Ч, е) = Е Ь' е £ V)- (49)

¿=0 к-1

Подставляя ряд (49) в уравнение (43) ( разлагая также коэффициенты уравнения ) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, Ins приходим к следующей рекуррентной системе уравнений

п) = ч). где 0) = 0, (50)

„ 1Ö/J\ ö2 , Ö 2 д

Функции и'??) строятся как решение системы (50), удовлетворяющее граничным условиям

«g(f,0)=0, при € = 0 (51)

и условиям согласования

при (52)

и при любом фиксированном ц > 0, где г)) получены переходя в раз-

ложении (46) к переменным 7?. Заметим, что главный член асимптотики решения (функция «од^7?)) построена в работах [15], [16]. Ниже приводим формулировку теоремы. Сформулируем задачу

+ = 0 (53)

\ д£ ) дг,2 s/ 8t ' дг, 21

= 0 при (54)

«ол (£>»?) - М'П 0 при £оо (55)

и щ > 0, где Л = з2/з7г--1/3[Г(1/3)]-1. Функция и^^Я) имеет вид ( [7], гл.З, (1.16))

= (56)

где = /о е~уу*~1ду - неполная гамма функция, С, — (л/3/2)<зтв,т —

(л/3/4) /з" вт2 = (л/3/8)(тг - 0 + (1/2)яп20). Условие согласования (55) получено путем выделения главного члена разложения функции «о°'(??, в) в ряд при в -> 0 и перехода к переменным 77.

иГМ) = е^ + о(е). (57)

Таким образом, при 0 < в < 0(е),0 < г — 1 < О (а) получаем вид асимптотики функции и(г, 9, е)

и(г,0,е) = еи(о>.1({,у) + о(£). (58)

Функция г?)) будет построена как решение задачи (53)-(55), удовле-

творяющее, кроме того, условию роста функции «ол(£>'?) не быстрее степенной:

«ЙК,ч) = 0(,"(1 + 6))') (59)

для некоторых о > О, Ь > 0 и всех т? € £>, где £> = {(£, г?), £ > 0, г] > 0}.

Теорема 8.4 Существует решение г4л(£, ??)) 6 С00(б) задачи (53)-(55) такое, что при г\ —V оо справедливо асимптотическое представление

Л,»!))=^/^$(-1/2,1, -е-п/т+о(г,-% (60)

где Ф(а,7, х)- вырожденная гипергеометрическая функция, 8 — А(2/$)2!3\/ж. Такое решение в классе функций, удовлетворяющих оценке (59), единственно.

Заметим, что задача (53)-(55) ранее была исследована [10] численными методами, пользуясь условием согласования с асимптотикой решения в прилегающей к окрестности тыльной точки внутренней области диффузионного следа. Справедлива также теорема об асимптотике решения

главного члена разложения в пограничном слое окрестности задней критической точки для задачи конвективной диффузии в случае обтекания цилиндра [17] .

Затем строится асимптотическое разложение решения по малому параметру ( строятся функции г})) и иследуются асимптотические свойства на бесконечности функций (£, 1]) ( [13]). Асимптотические ряды (46), (49) были построены в кандидатской диссертации. Во второй главе построение этих рядов и их согласование приводятся для полноты изложения, а так же для удобства чтения. Заметим так же, что для главного члена асимптотического разложения (49) были изучены асимптотические свойства на бесконечности, но не было установлено согласованность с ранее известными решениями в следе за частицей. Поэтому потребовалось дополнительное исследование [15], [16]. Ранее главный член асимптотики был построен численными методами [10].

А.р. решения в конвективно - погранслойной области 1 строится в переменных г = е~1 &) — '/(*/), у = г -1. Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в области 0. А. р. решения в области 1 шцем в виде ряда

У.*) = Е ^ £ Ь1 «$(*,!/)• (61)

к=0 ¿=0

В уравнении (43) перейдем к переменным 2, у и, подставляя в полученное уравнение ряд (61), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £,1п£, приходим к системе

= (62)

= 0. Требуется найти а. р. решений уравнений (62), удовлетворяющие условиям согласования для функций т/ц. при у —> 0

у) - \Уа{г, у) = о{уаг'1 ехр(-^3)) (63)

для любого а £ (0,1/2),/ > 0. Здесь функции 1Уц(г,у) получены переписыванием а. р. функций Щ1^!, 0) при в 0 и г отделённых от пуля. Функции и{Ц{г,у) построены в работе [23].

А.р. решения в области 2 (во внутренней области диффузионного следа) ищем в переменных ( = £'2ф,у — г — 1. Вид а.р. решения определяется

структурой а.р. решений в областях 1, 3 вблизи области 2. А.р. решения в области 2 ищем в виде ряда

00 [(I— \))2}

= £ с, г/). (64)

i=l i=(l

В уравнении (43) перейдем к переменным Ci У и, подставляя в полученное уравнение ряд (64), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, In е, приходим к системе

= (65)

где F$((,y) s О,

Левые части этих уравнений те же, что и в уравнениях (28), но здесь классы функций несколько другие. Требуется построить гладкие решения уравнений (65), удовлетворяющие условиям

я (2>

= (66)

условиям согласования при С оо

«Шс у) - 1&К, у) = Фв(1 + С)-га) (67)

для: любого а £ (0,1 /2) и условиям согласования при у —» О

«8кс,2/) - ^'(С, У) = о(ув(1 + с)') (68)

для любого а € (0,1/2). Функции «¿tiCjf) построены в работе [21].

Определение 6 Через Mtj(R+), где k,l - целые, k > Q, обозначим класс бесконечно дифференцируемых функций g{z) при z > 0, имеющих при z О асимптотическое представление

к ш

g(z) = Е У *( £ + 0(zl+m)), (69)

;=(! п=0

а при z > а > 0 справедлива оценка g(z) = 0(ехр(-5г3)) для некоторого 8> 0.

Определение 1 Через где т - целое, т > 0, г - рациональное

число, обозначим класс бесконечно дифференцируемых функций q{x) при х < 0, и имеющих при х —> —со асимптотическое представление

т ш

q(x) = Е 1п' \х\{£ \х\г-1'Чи.Г + 0(х'-т)). (70)

;=о ¡=о

Теорема 10.2 Существует решение системы (28), удовлетворяющее условиям (66) и условиям согласования (67), (68), и такое, что £

Сх при у > О, С > 0. Функция у) = Лоу1/2Ф(~-1/2,1, ж). При к > 1 и у —» 0 справедливо а.р.

[(1-2-0/2] 2 т-г-}

)=и 1=0

+0(!Г-4/2(1 + М)4), (71)

где х = —С/(2у), £ &-1.(/-*+2)/2(Д~). при I < 2к - 2 - 2г - 2],

Я>.ш(х) 6 Sk.ii/2{ВТ), при I > 2к - 2 - 2г - 2;, да-./Дя) € С30 при х < 0,Ао = 21/2яЛ/'('31/б[Г(1/3)]_1,Ф(а,с, ж) — вырожденная гипергеометрическая функция.

А. р. решения в области смешения 4 строится в переменных г = £~1уч/>(г,£)), р — е{г — 1)/2 = еу/2. Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в областях 1, 2. А.р. решения в области 4 ищем в виде ряда

и

= £ е* £ «$(*,/>). (72)

¿•=о «=о

В уравнении (43) перейдем к переменным г,р и, подставляя в полученное уравнение ряд (72), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях с, 1пг, приходим к системе

= (73)

где ^ад{г,р) = 0,

№ = - ^

Условия согласования для функций ц'4^ при р —> 0 имеют вид

р) - IV®(г, р) = о(ра(ехр(—5г2) + (1 + МГ<)) (74)

25

для любого а £ (0,1/2),! > 0, где функции получены переписы-

ванием согласованных а. р. (61), (64) при у оо. Функции кроме

того, должны удовлетворять граничным условиям

Я

ч/я-—-|3=0 = о (75)

Функции в классе гладких функций построены в работе [24].

Теорема 10.$ Существует решение системы (73), удовлетворяющее условиям согласования (74), условиям (75) и такое, что при р —> 0 справедливо АР:

... 2т

4%,Р) = Ер'Ф) + 0(р2т+1ехр(-71г% * > ед, 1=0

Р) = Ё Р^'РМ + 0(р^Щ 1 + г=»

при г < 2е\ при р -4 0 и к> 0 справедливо АР: ... 4-»-1 т-г-з У=0 1=0

= Е 1п>)( Е />1/2-4+^'+,/2)п^(в)) +0(^(1+ (78)

ьо

при г < <?„(*) = [Г(1/3)]-17(1/3,г3/(9г(0))),5/(г) £ Л4о._21+1(Я+),® =

-22/(4р),ад = #(-1/2,1,я),€ е

ДуД») е и дал{г) = 0(ехр(-523)),

О < 5 < 1/2.

Рассмотрим частичные суммы рядов (46), (49), (61), (64), (72), вида М). 2/. е)> У, е). ^'(г, л е) •

Введем обозначе!шя. Для обоснования а.р. решения исходной задачи удобно рассматривать области £>|е) = {(г,С) : е1'1' < г - 1, < }, = {(г,«) : 0 < г - 1 < 2е1-'', е1" < 0 < тг}, = {(г,0) : е1''' < г- 1 < 2е"-1,ет+г < ^ < £>Р = {(г,б) : е1"" < г - 1 < г^ЛО < ф <

}, Р(3) = {(г,<?) : 0 < г - 1 < гг1"", 0 < в < 2е"}, где0</*0<7< 1, £><4> {(г,0): е>'-1 <т,ф< 2е->+1}.

Устроим гладкое разбиение единицы так, чтобы

Х.-М,е) = 1 при (г,0) 6 D¡íí),J:Xi з 1 на О

]ф1 г

для всех г — е, 0,1,2,3,4. Далее обозначим им{г, 0, с) = Хе(г, 0, е) + хо (г, е)й{%, 0, г) + Х,(Р) 0, »7, г), (77)

Глг(г, 0, е) = XI (г, в, е) + Х2(г, 0, г)й$(С, 2/, е) +

+Х4 {г,е,е)й%\г,р,е). (78)

0, е) - 17лг(г, 0,г) + У*{г, в, е). (79)

Пусть ие(г,в) - решение задачи (43), (45) (см. теорему 2 работы [19]). Обоснование построенных в главе 2. а.р. дается в следующей теореме. Теорема 10.4 Пусть ф(г,0) имеет вид (44)- Тогда на множестве О для любого достаточно большого N выполнена оценка

к(г,0)-^(г,0,г)|<МеА^, (80)

где 0 < Л зависит лишь от V, ц, 7; М -зависит от и N.

В третьей главе исследуется задача конвективной диффузии с учётом химической реакции. Рассматривается краевая задача для стационарного уравнения конвективной диффузии при наличии объёмной химической реакции ( см. [7], гл. 5, (6.1)-(6.3) )

&и = Ре(У-Ч)и + к„Г{и), (81)

¡7=1 при г = 1;1/ 0 при г -> оо. (82)

где V = {Уг,У№,0) , К = (ггатв)~1дф/д9, V9 = -(гвгпву^дф/дг, ф(г,в)-функция тока, г,0— сферические координаты, Д— оператор Лапласа, Ре-число Пекле, к„ - число, определяемое скоростью химической реакции, угол 0 отсчитывается от направления потока на бесконечности. В случае обтекания сферической капли функция тока имеет вид (2). В разделах 11-12 построены полные асимптотические разложения решений в диффузионном пограничном слое при наличии объёмной линейной химической реакции ( раздел 11 ), и нелинейной химической реакции ( раздел 12 ). В случае обтекания сферической частицы функция тока имеет вид (44).

Будем считать, что выполнены следующие условия. Условие А. Функция Р(и) монотонно возрастает, непрерывна, удовлетворяет условию Липшица на отрезке [0; 1] и такая, что

Р : [0; 1] -» [0; 1], Р(0) = 0, Р'{а) > 0. (83)

Некоторые свойства асимптотических решений будут также исследоваться при дополнительных условиях:

Ди)еС'(0,1), где к >1. (84)

Требуется найти асимптотику по малому параметру е — Ре~1<>?' ограниченного решения задачи (81), (82) удовлетворяющую граничным условиям

{7 = 1 при г — 1; II —> 0 при г —> оо. (85)

Наиболее трудным является случай, когда Ре >> 1, кг, >> 1. В данной работе предполагается, что величина до = к„[Ре2'^ - постоянная. В этом случае все слагаемые в уравнении (81) одного порядка в окрестностях сед-ловых точек. При рассмотрении твёрдых частиц для удобства введем малый параметр е = Ре~х!г и перепишем уравнение (81) в виде

- ^«о - - -¿-(«й - - . о. (М)

Уравнение (86) при е = 0 имеет особые точки 0^(1, тг), 02(1,0) седлового типа.

Во внешней области е решение и^ = 0.

А. р. решения в диффузионном пограничном слое строится в переменных х = е~1(3~х{г - 1),0, где /3 = (2/3)1/!. Функция и(х,в,е) ищется в виде

и(х,в,е) = щ(х,в)+еи1(х,0) + ... (87)

Для определения щ(х, 9) в области О<0<7г,О<а; получаем рекуррентную систему уравнений

Ьщ(х,в) - ^(М^в)) = 0, (88)

Ьщ(х,в) - цР'(щ(х,в))щ(х,в) = (89)

т- / />■, д'и 1 .ди . .ди где Ьи(х,в) = — - х'совв— -¡-хвшО—.

Из условий (82) получаем граничные условия

и«(0,0) = 1; «¿(0,0) = 0 при г > 1, (90)

щ(х,в)-¥ 0 при X оо, -¿{х,1г) = 0, г>0. (91)

ив

Уравнение (88) является квазилинейным параболическим, вырождающимся на границе области.

Определение 8 Пусть П„- полуполоса {х,в : х >0,и < в < ж}, V > 0. Посредством К обозначим класс функций д{х,в) € С50^) ы таких, что при в -}■ 7Г справедливо а. р.: найдется у > 0, что для любого натурального N

9(х, в) = - 6)2>9}(х) + 0((ж - 0)техр(-7а;3))) (92)

,■=о

и справедливы оценки |ду(аг)| < М\ ехр(—"/ж3) ( вместе с производными ); а в области справедлива оценка

\д(х,в)\<Мехр(-ух3), (93)

для производных д(х, в) справедливы а. р., которые получаются формальным дифференцированием равенства (92).

Для определения главного члена асимптотики при 0 тг получаем задачу

+ *Чо(*) - /еГ(що(х)) = 0. (94)

«оо(0) = 1; «оо 0 пРи х 00• (95)

Доказано существование решения задачи (94), (95), удовлетворяющее оценке

«оо(®)) < ехр(—я3/6). (96)

Теорема 14.1 Пусть функция F(u) удовлетворяет условиям (83), функция тока ф имеет вид (44)- Тогда существует решение системы ), (89), удовлетворяющее граничным условиям (90), (91) такое, что

и,{х, в) £ К . Тем самым ряд (87) является асимптотическим решением задачи (81), (82) на множестве 0„ при е -> 0, где е = Ре-1/3 > 0.

Рассмотрим частичную сумму ряда (87)

йп(х,9,е) = £е%(х,9). (97)

»

Из теоремы 1 следует равенство

Le(йп(х,в,е)) - e^F(ün(x,9,s)) = ¡n{x,9,s), (98)

где fn(x,0,e) = 0(г"ехр(—ai®3)) для некоторого ai > 0.

Сформулируем теорему существования и единственности решения задачи (81), (82) в области Ü = {{г,в) :г> 1,0 < 0 < ir}.

Теорема 14.2 Пусть функция ф(г,6) имеет вид (44) и функция F(u) удовлетворяет условиям (83). Тогда для достаточно малого е > 0, где е = существует единственное решение ие(г,в) € С(0)П(72(Г2) задачи (81), (82).

Теорема 14.3 Пусть ^(r,9) mieem вид (44) и функция F(u) удовлетворяет условиям (83). Тогда на множестве П„ для достаточно малого е > 0 и любого достаточно большого п выполнена оценка

1ис(г,в)-йп(хЛе)1<М£>п, (99)

где и£(г,в) - решение задачи (81), (82), ип(х,в,е) - определена равенством (97), 0 < Л - зависит лишь от v , М -зависит лишь от п.

Асимптотика функции щ(х>9) при в 0.

При исследовании асимптотики функции uq(x, в) при в 0 будем использовать также переменные г = г = т(0), где г = (\/3/8)(тг -в + sin 20/2) и обозначим щ(Ь,в) = Vn(z, т) . Дело в том, что асимптотика функции щ (t,9) при в 0 носит различный характер для малых z и для значений г, отделенных от нуля.

Сначала рассмотрим случай малых значений z. В этом случае асимптотика функции щ(х,в) при в —г 0 ищется в виде

Щ(х,в) = щ(х) + 0(9г). (100)

Функция «и(ж) строится как решение задачи

г>;'(Ж) - х\{х) - iiF{vо(®)) = 0, (101)

uo(0) = 1 ; v0(x) = 0(1) при z > 0. (102)

Теорема 15.2 Пусть F (и) удовлетворяет условиям (83) и (84)-Тогда существует Ца > 0, что для всех ¡л € (0, ¡1») при х —> оо для решения задачи (101), (102) справедливо асимптотическое представление

v0(x) =с0 + ах'1 + с2аГ2 + • • • + ckx~k + 0{x-k~l), (103)

где сц £ (0,1) , а коэффициенты сп при п > 0 определяются из системы

ci = tiFfa), С2 = fiF'(c0)Cl/2, \

= (l(F(cü)c2 + F"(c<¡)4/2)/3!

Переходим к исследованию свойств функции в) при 0 0 для значений z отделенных от нуля. Такое исследование дает возможность построить асимптотику решения в котшектмно-погранслойной области ( область 1) и доказать согласованность в некоторой промежуточной области между 0 и 1. Как было отмечено в начале этого пункта, удобно перейти к переменным z,r. При этом функция V<¡(z,t) — щ(х,8) удовлетворяет уравнению

а 2 у алг

- ^ - m{T)F{V,{z, г)) = 0, (105)

где <¡>(t) = g,)(ro - т)~2/'3[1 + О((г0 — т)г^)\. Требуется исследовать асимптотические свойства решения уравнения (105), удовлетворяющего условию

V<¡(z,d) = ф), (106)

где <p(z) удовлетворяет оценке tp(z) = 0(exp(-7i25)),Mi > 0,7i > 0. Для решеши задачи (105), (106) справедливо интегральное уравнение

У0(z,t) = fCG&T-dMQdC + p¡¡l¡°qF(V,)G(z,r-t,C)dCdt, (107)

где G(z,r,£)- фундаментальное решение оператора £-¡ — 2-J^ (см. напр. [11]) Теорема 15.4 Пусть F(и) удовлетворяет условиям (83), (84)- Тогда найдутся число ¡х* > 0 и точка M*(z*, т*), где z* > 2ц, т* € (d, r<j), Tq — d = £a такие, что на множестве D= {(г,г), г > г*, |г — т*| < г7}, для z<¡ — г"1 и любого ц £ (0, /х*) справедливо асимптотическое представление

Щг, т) = 70(г) + 0(еа/3) при s ч- 0 (108)

для у >2 au некоторого а 6 (0,1). Функция Vo(z) монотонно убывает, удовлетворяет условию

V,{z')=c^ (109)

где со- то же число, что и в теореме 1, и оценке

0 < V6{z) < М2ехр(-7223),М2 > 0,72 > 0. (110)

Итак, для функции щ(х, в) при в 0 справедлива асимптотика

и0(г) + 0{в2) при х = <9(Г^

щ(х,в) = { vy ' ' ' ' (111)

4,1 \ + 0{ва») npuz>z> V 1

для s —У 0 и некоторых S > О, а > 0.

Асимптотика в диффузионном следе. Область диффузионного следа состоит из областей 1, 2, 3, 4. В области 3 задней критической точки удобно ввести локальные координаты £ = е_1(3/2)1/13б,ж = е_1(3/2)1,'3(г — 1). Тогда, для определения главного члена разложения в области 3 получаем задачу

Qw{ 3)

ги(3)(£,0) = 1; = 0 при£ = 0; а:)—v0(ar) 0 при£ оо, (ИЗ)

где t;0(a;) - решение задачи (101)-(102). Тогда функция w'3' = г'о(сс) есть решение задачи (112)-(113).

В копвективно-погранслошюй области 1 асимптотика решения строится в переменных г = £~1\/ф,у — г — 1. Главный член м/(1) строится как решение задачи

= (114)

где второе условие - условие согласования с решением и0(х,в) задачи (88) - (91), а при |z — 2*| < е справедлива оценка

ад = с0 + О(е"/3) (115)

Таким образом, из приведённых выше рассуждений следует, что функция w^(z) — VJj(z)- есть решение задачи (114). Из оценки (115) следует, что

выполняется гак же условие согласования (118) в окрестности z" порядка г.

Во внутренней области диффузионного следа (область 2) естественными переменными являются С = е~3"Ф, у — г — 1. Для определения главного члена разложения по параметру £ получаем задачу

(116)

öclcöcj ду -0,

w{2\y 0) = vjW{x -> оо); = 0 при С = 0; (117)

•ш(2)(С -> оо) = 0), (118)

Тогда функция и-'2' = со удовлетворяет уравнению (116) и граничным условиям (117), где с0 - та же постоянная, что и в формулах (109).

В области смешения ( область 4) асимптотическое решение ищется в переменных г = £-1-у/0,р = е(г — 1)/2. Для определения -ш'4'(г,/>) получаем уравнение

и граничные условия

дго(4)

и*{ '(г,р) -4 0 при г оо; —— = 0 при г = 0. (120)

Кроме того, должны выполняться условия согласования с решениями в соседних областях 1,2

р) Ш(1'2)(г) при рч 0, (121)

W(U)(2) = | ВД при z*<z< 0(1), (122)

[ со при 0 < z < z',

здесь Vo(z) - функция, полученная в теореме 2, с<) - то же число, что и в теореме 1 ( решение в области 2 ).

Для решения задачи (119) - (121) получаем интегральное уравнение

Р W

+/ЛГ 2&Т) <123)

Фундаментальное решение получено в работе [11]. Интегральное уравнение (123) исследуется аналогично работе [12].

Литература

1. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. труды, т. 1. М.: Наука, 1971.

2. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

3. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967. 310 с.

4. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: Изд-во. Тбил. ун-та, 1981. 206 с.

5. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука,1970, 456 с.

6. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975, 247 с.

7. Гупало Ю.П.,Полянин А.Д.,Рязанцев Ю.С. Массотеплообмен реагирующих частиц с потоком. М.: Наука, 1985.

8. Животягин А. Ф. Влияние гомогенной химической реакции на распределение концентрации в диффузионном следе капли // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. и механ. 1980 . N 6. С. 73-78.

9. Бабенко К. И., Введенская Н. Д., Орлова М. Г. Расчет стационарного обтекания кругового цилиндра вязкой жидкостью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т.15. N 1. С. 183-196.

10. Sih P.H,,Ne vman J. Mass transfer to the rear of a sphere in Stoccs flow // Internat. J.Heat Mass Transfer. 1967. V. 10. N 12. P. 17491756.

11. Sutton W. G. L. On the equation of diffusion in a turbulent medium // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1943. V. 182. N 988. P. 48-75.

Основные работы автора по теме диссертации:

12. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения краевой задачи для одного уравнения диффузии в полуплоскости // Дифф. уравнения. 1983. Т. 19. N 2. С. 287-294.

13. Ахметов Р.Г. Метод согласования в задаче о диффузии к частице // Матем.заметки. 1990. Т. 47, Bim. 5. С. 144-146.

14. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения краевой задачи для одного эллиптического уравнения // Дифференц. ур-ния. 1997. Т. 33(11). С. 1552 - 1551.

15. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения сингулярно возмущённой задачи для уравнения диффузии в окрестности седловой точки у предельного оператора //Докл. РАН. 1998. Т. 362. N 6. С. 727728.

16. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения задачи конвективной диффузии около сферы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. N 5. С. 801-806.

17. Ахметов Р. Г. Об асимптотике решения задачи конвективной диффузии около цилиндра //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. N 4. С. 612-617.

18. Ахметов Р. Г. Асимптотическое разложение решения задачи о конвективной диффузии около осесимметричной капли // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40. N 10. С. 1541-1553.

19. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения задачи о конвективной диффузии с объёмной химической реакцией // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т.42. N 10. С. 1600-1608.

20. Akhmetov R. G. Asymptotics of Solution for a Problem of Convective Diffusion with Volume Reaction Near a Spherical Drop // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1, 2003, pp. S8-S12.

21. Ахметов P. Г. Асимптотическое разложение решения задачи конвективной диффузии в следе за каплей. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т.44. N 6. С. 1062-1078.

22. Ахметов Р. Г., Существование и асимптотики решений одного класса квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференц. ур-ния. 2005. Т. 41. N 6. С. 723-729

23. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения задачи конвективной диффузии с объёмной химической реакцией в следе за частицей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. N 5. С. 834-847.

24. Ахметов Р. Г. Асимптотическое разложение решения задачи конвективной диффузии в следе за сферической частицей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. N 10. С. 1822-1837.

Лиц. на издат. деят. Б848421 от 03.11.2000 г. Подписано в печать 16.01.2009. Формат 60X84/16. Компьютерный набор. Гарнитура Times New Roman. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. - 2,2. Уч.-изд. л. - 2,0. Тираж 100 экз. Заказ № 244.

ИПК БГПУ 450000, г.Уфа, ул. Октябрьской революции, За

0 Введение

0.1 Исторические замечания

0.2 Основные результаты.

1 Асимптотика решения около капли задачи конвективной диффузии

1 Построение асимптотики по малому параметру в диффузионном пограничном слое

1.1 Постановка задачи

1.2 Построение формального асимптотического реше

1.3 Асимптотика коэффициентов асимптотического разложения около границы области

2 Существование решения и асимптотика эллиптического уравнения в полуплоскости.

2.1 Постановка задачи и существование решения

2.2 Построение асимптотического разложения решения на бесконечности.

3 Асимптотическое разложение решения по малому параметру в эллиптическом пограничном слое

3.1 Постановка задачи

3.2 Построение формального асимптотического разложения в окрестности седловой точки предельного уравнения.

3.3 Согласование асимптотических разложений и их обоснование.

4 Асимптотика решения в конвективно - погранслойной области.

4.1 Постановка задачи

4.2 Построение формального асимптотического разложения в конвективно - погранслойной области.

5 Асимптотика решения во внутренней области диффузионного следа

5.1 Постановка задачи

5.2 Построение формального асимптотического разложения во внутреней области диффузионного следа

6 Построение а.р. решения в области смешения

6.1 Постановка задачи

6.2 Построение ф.а.р. в области смешения

6.3 Согласование асимптотических разложениий и их обоснование

2 Асимптотика решения около частицы задачи конвективной диффузии

7 Асимптотика решения в диффузионном пограничном слое

7.1 Постановка задачи

7.2 Доказательство существования решений и$(т], 9)

7.3 Асимптотика функций и$(т],6) при в —> 0.

8 Асимптотика решения эллиптического уравнения в полуплоскости.

8.1 Постановка задачи .4.

8.2 Существование решения и асимптотика при \у\ —>

8.3 Построение асимптотического разложения решения на бесконечности.

8.4 Асимптотика решения главного члена асимптотики на бесконечности.

8.5 Асимптотика решения главного члена асимптотики на бесконечности в случае обтекания цилиндра

9 Асимптотика по параметру решения в окрестности седловой точки.

9.1 Построение а.р.решения задачи по малому параметру в эллиптическом слое.

9.2 Построение формального асимптотического разложения в окрестности седловой.точки предельного уравнения.^

9.3 Согласование асимптотических разложений и их обоснование

0.1 Исторические замечания

Дифференциальные уравнения с малым параметром при старших производных возникают при рассмотрении математических моделей физических, химических, биологических и других явлений [39], [67], [91], [47], [83]. Особое значение для исследования сингулярно возмущённых задач имеет понятие пограничного слоя, введённое Прандтлем [144]. Решения в пограничных слоях строятся в виде асимптотических рядов [107], зависящих также от погран-слойных переменных. В зависимости от исследуемых задач, разработаны различные асимптотические методы. Исследованиям по обыкновенным дифференциальным уравнениям посвящены известные работы [36], [42], [88], [125]. Часто возникают задачи, где применяются методы построения экспоненциально убывающих погран-слойных функций [40]-[43]. Однако, в ряде задач коэффициенты ряда по степеням малого параметра имеют особенности. Такие задачи носят бисингулярный характер [56]. Одним из эффективных методов, приводящих к успеху в подобных задачах, является метод согласования (сращивания) асимптотических разложений [39], [67], [56], [80]. Аналогичные ситуации имеют место также в задачах волновой оптики [25], [26], и теории релаксационных колебаний [53], [88], [106]. Другой подход к подобным задачам состоит в применении метода канонического оператора В. П. Маслова [84] - [86]. Асимптотическим методам посвящены также работы [38], [60], [66], [91], [118], [128], [135], а методу усреднения - работы [33], [55], [108].

Бисингулярные задачи также возникают при исследовании явлений тепломассообмена с учётом конвекции, в частности, конвективной диффузии. Такие задачи исследовали многие авторы:

Левич В.Г., Фукс Н. A., Acrivos A., Goddard J.D., Taylor T.D., Sih Р.Н., Newman J., Murray D., Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Ря-занцев Ю.С. и другие ( [102]-[104], [133], [134], [141], [145]). Задачи конвективной диффузии в окрестностях частиц и цилиндров возникают в химической технологии [51], [74], в теории фильтрации [121], [122], [126], в биофизике [83], [146].

Характерной особенностью задач конвективной диффузии являются наличие особых точек типа седла на границе области в предельном уравнении, когда малый параметр равен нулю. В качестве примера рассмотрим эллиптическое уравнение с малым параметром при старших производных du ди . . ^. еАи + хох~Уо^ = У) (°-1Л) в прямоугольнике {(х,у) : |ж| < 1,г/ € (0; 1)}, где 0 < е - малый параметр, А— оператор Лапласа. Это уравнение содержит некоторые особенности рассматриваемого класса задач: 1) точка 0(0, 0) является седловой точкой предельного уравнения ( при е = 0), 2) после замены £ = х/yfe получаем вырождающееся на границе области ( при у = 0) параболическое уравнение д2и ^ди ди „ . . ,

8ё + (0~ГУЪ=тУ)' ((U-2) где /о(0, у) - главный член разложения функции f(x,y) при х = 0. Подобные и более общие задачи рассматривались в работе [62], где построено полное асимптотическое разложение решения по малому параметру. Для построения асимптотики применяется комбинация методов согласования [56] и регуляризации [79]. В работах [138], [139] исследовано уравнение с седловой точкой внутри области, где построение асимптотики опирается на явные формулы, а в работе [61] исследованы более общие уравнения такого типа. Однако, исследование такого рода задач не дает возможности непосредственного их применения к задачам механики, физики и другим прикладным задачам, в частности, задачам конвективной диффузии. Это обстоятельство побудило продолжить исследования, начатые диссертантом в начале восьмидесятых годов. С одной стороны, хотелось сохранить классы задач максимально приближённые к тем задачам, которые возникают в упомянутых выше публикациях (см. ссылки [47], [74] по задачам конвективной диффузии). С другой стороны, хотелось рассмотреть более трудные для исследования бисингулярные [56] задачи. Основным мотивом для автора было желание дальнейшей разработки асимптотических методов и их применение для исследования новых задач.

В приведённых выше работах ранее были исследованы, в основном, лишь главные члены формальной асимптотики по малому параметру. Исследование и построение полного асимптотического разложения и его обоснование является трудной задачей. В окрестности частицы, за исключением следа за частицей, погранслойные функции обычно носят экспоненциальный характер. Однако, в следе за частицей асимптотика носит степенной характер. В таких случаях приходится применять метод согласования асимптотических разложений. В окрестности частицы ( или капли ) возникают несколько пограничных слоёв, в том числе и внутренние пограничные слои. В работах [48], [50] методом согласования [39] построены главные члены формальных асимптотик как вне одиночной капли, так и вне цепочки капель ( пузырей ). В работах [130], [140], [147], [49] построены главные члены формальных асимптотик вне твёрдой сферической частицы и вне цепочки осесимметричных частиц. Более полное изложение результатов по задачам конвективной диффузии дано в работе [47]. Задачи с внутренними пограничными слоями возникают во многих работах. Отметим, например, работы [28]—[32], [137]. Отметим также, не претендуя на полноту, некоторые работы, посвященные математическим проблемам механики и физики: [70], [71], [81], [82], [90], [92], [96], [100], [101], [109], [111], [115].

Вклад диссертанта в развитие теории асимптотических методов состоит в следующем. В 1983-84 годах была исследована задача конвективной диффузии в малой окрестности твёрдой осесиммет-ричной частицы [4], [5]. Построено полное асимптотическое разложение решения в диффузионном пограничном слое [5]. В частности, доказано, что в окрестности седловой точки, соответствующей точке натекания жидкости к частице, дополнительный пограничный слой не возникает. Вместе с тем доказано, что в окрестности седловой точки, соответствующей точке стекания жидкости с частицы, действительно возникает дополнительный (эллиптический) пограничный слой. Построено полное асимптотическое разложение решения в эллиптическом пограничном слое [4], [6] и методом согласования асимптотических разложений получено равномерное составное асимптотическое разложение в малой окрестности частицы. Эти результаты составляют основу кандидатской диссертации [6]. Для построения асимптотического разложения решения на бесконечности (в полуплоскости) задача сводится к интегральному уравнению и применяется асимптотический аналог метода последовательных приближений [4], [57]. Далее исследовались задачи в окрестности капли [7], [8], [10]. Были решены также эллиптические задачи, поставленные в работах [147], [142] ( в цитируемых работах применялись численные методы для их решения). Построены асимптотики на бесконечности решений этих задач и дано обоснование методом барьерных функций [11], [12], [14]. В работе [16] построено полное асимптотическое разложение решения в эллиптическом пограничном слое ( в окрестности седловой точки, соответствующей точке стекания жидкости с капли ) и доказано, что вместе с асимптотическим разложением, построенным в работах [7], [8], они дают приближения решения задачи конвективной диффузии в малой окрестности капли.

В 2000-2003 годах исследовались задачи конвективной диффузии в окрестности сферической частицы и капли с учетом химической реакции. Одна из характерных особенностей таких задач -это зависимость от двух параметров: числа Пекле Ре и постоянной скорости химической реакции kv. В случаях, когда один из параметров ограничен, задача упрощается. Задача усложняется, когда оба параметра достаточно большие. Построены асимптотические разложения решений задач конвективной диффузии в малой окрестности сферической частицы и капли с учетом линейной [15], [19] и нелинейной [17], [18], [131] объёмной химической реакции.

В 2004-2006 годах исследовались задачи конвективной диффузии в следе за каплей [21], за сферической частицей [24], где построены полные асимптотические разложения по малому параметру и дано обоснование всюду вне капли и частицы. В работах [22], [23], [132] построены главные члены формальной асимптотики задачи конвективной диффузии с учетом объёмной нелинейной химической реакции в следе за осесимметричной частицей. Следует заметить, что ранее подобные задачи исследовались на физическом уровне строгости, используя методы модельных уравнений и аналогий, и метод интерполяции. Были получены интерполяционые формулы для нахождения полного диффузионного потока [52], [105].

0.2 Основные результаты

В диссертации строятся асимптотические разложения (а.р.) по малому параметру решений внешних краевых задач для эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных в случаях, когда предельные уравнения имеют особые точки типа "седла" на границе области. Для решения таких задач применяется метод согласования а.р.: в пограничных слоях вводятся погранслойные переменные, строятся формальные асимптотические разложения (ф.а.р.) решений, проводится обоснование. Сложность применения метода согласования состоит в том, что в пограничных слоях при нахождении структуры ф.а.р., при их согласовании и обосновании, приходится порой выполнять трудные и громоздкие вычисления. При этом в каждой задаче возникают свои специфические особенности [56], [80], [3], [44], [45], [62], [77], [95], [127].

Задача конвективной диффузии около капли. Рассмотрим математическую постановку задачи о конвективной диффузии. Для удобства обтекаемое тело будем считать сферической. При ряде упрощающих предположений стационарное уравнение конвективной диффузии в безразмерных переменных имеет вид [47] е2Аи- (У,У)гг = 0, (0.2.1) где £2 = Ре- малый параметр (соответствует большим числам Пекле Ре), А - оператор Лапласа, вектор - функция V для сферической частицы известна и выражается через функцию тока ф(г, в), где г, в - сферические координаты, г > 1, # £ (0; 7г). В случае обтекания сферической капли в приближении Стокса функция тока имеет вид [123]: ф(г,0) = |(г - 1)(2г - ^ - ДТТ^-пЧ (0.2.2) где (3 - отношение вязкости капли к вязкости окружающей среды. Тогда

-г , 1 дф 1 дф , г1 бш и Ои г вт в ог

Требуется построить ограниченное решение гг(г, в), удовлетворяющее условиям ди и( 1,6») = 0, и -> 1 при г -» оо, — = 0 при в = 7г,в = 0. (0.2.4)

Рис. 1 е -Внешняя область, 0 - Диффузионный пограничный слой, 1- Конвективно - погранслойная область, 2 - Внутренняя область диффузионного следа, 3 - Область задней критической точки, 4 - Область смешения

В окрестности капли возникают несколько пограничных слоёв (см., напр., [47]) (Рис.1). Во внешней области = 1.

А. р. в диффузионном пограничном слое строится в переменных г] = (г — 1)£1,0. В диффузионном пограничном слое решение ищется в виде оо ,„.

U<0)(»7,M)= E^ÎW)- (0.2.5) к-о

Подставляя ряд (0.2.5) в уравнение (0.2.1), разлагая также коэффициенты этого уравнения, и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s, приходим к следующей рекуррентной системе уравнений т- гоъ ^ д2и№ ricosQduf^ sin0 ди^? „. п. . л . Lui W) = ^ " ji+ï-fi- + = Ml> «). (0-2-6) где правая часть (см. (1.1.13)) рекуррентно зависит от до

I = к — 1, разлагается в асимптотический ряд при 9 —» 7Г, в —» 0; /0(?7,<9) ее 0, функции Ь{г],в) = 0(ехр{-5г]2)) при к > 0 и в > еа для некоторых 5 > 0, а > 0; a при в —>- 0 имеют особенности при к > 2.

Функции кроме того, должны удовлетворять граничным условиям и(0о)(О,в) = 0;и(00) -> М оо-ди^/дв\в^ = 0; 4о)(О,0)=О;4о) О,?? ^ оо-,ди[ъ]/дв\е=к = 0; к > 0 .

0.2.7)

Функции и^ (ту, в) определяются из рекуррентной системы дифференциальных уравнений параболического типа. Линиями вырожч дения являются в = 7г, в = 0. Известно ( см., напр., [58], [114] ), что на линии вырождения, как правило, требуется дополнительное исследование. В этом случае, как следует из работы [114] ( теорема 1) на линии в = 7Г достаточно требовать условие ограниченности. Здесь обычно задают условие симметрии (равенство нулю первой производной решения по в ). А значение решения на этой линии вырождения нельзя задавать. В некоторых случаях на линии вырождения решение может быть разрывной. При построении функции и{^(7],в) удобно перейти к переменным х = г]'ф1{в)^ = Щ, (0.2.8) где

Щ = Г ф1{г)*шг<1Ь,'ф1{в) = 8Й126>/(2(/3 + 1)). (0.2.9)

3 в

Функция У0(ж,£) = имеет вид (см. [47], гл. 1, §2, (2.13)): = вг/(^). (0.2.10)

В работах [7], [8] построены функции и^ 0) и иследованы асимптотические разложения решений при в —> 7Г, в —> 0. Эти функции экспоненциально убывают на бесконечности, за исключением следа за частицей ( см. области 1 - 4 ). Доказано, что функции и{ъ\г),в) являются гладкими при 0 < 0 < 7г,77 > 0. Таким образом, доказано, что в окрестности точки 01(1,7г) (точки набегания потока к капле) никаких других пограничных слоёв не возникает. При 9 —> 0 функции имеют особенности для к > 2. Поэтому приходится дополнительно исследовать исходную задачу в окрестности седловой точки 02(1,0).

В области задней критической точки 3 ( точки стекания жидкости с капли ) асимптотическое разложение решения строится в переменных £ = г) = (г — 1)е--1 и ищется в виде оо оо . . Е (0.2.11) г=0 к=2

Подставляя ряд (0.2.11) в уравнение (0.2.1) ( разлагая также коэффициенты уравнения ) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, 1п £ приходим к следующей рекуррентной системе уравнений (0.2.12) где \?д£) дг]2 + 2д£ 77д^ правые части рекуррентно зависят от до / = к — 1, разлагаются в асимптотические ряды степенного типа ( с логарифмическими множителями от растущие на бесконечности.

Функции и\31(£,г}) строятся как решение системы (0.2.12), удовлетворяющее граничным условиям

3(£,0) = 0, = о при £ = 0 (0.2.13) и условиям согласования

ЗК'^-^К^)^0 ПРИ ¿-»оо (0.2.14) для любого фиксированного 77, где 77) получены путем перехода в сумме (0.2.5) к переменным 77, разложения в ряд по степеням е, 1п е. Сначала исследуется уравнение

1 д (>.ди\ д2и £ди ди в полуплоскости И : {(£,77) : £ Е Я1, 77 > а}, где а > 0, функция /(£>г}) стремится к нулю на бесконечности и достаточно гладкая. В работе [10] доказана теорема существования, получены оценки решения и построено асимптотическое разложение решения при 77 —» оо. Затем строится асимптотическое разложение решения по малому параметру ( строятся функции ) и иследуются асимптотические свойства на бесконечности функций ^^(£,77) . Проводится обоснование, пользуясь условием согласования и барьерными функциями [16].

А.р. решения в конвективно - погранслойной области 1 строится в переменных г = £~1гф{г,6) = /(у)^= г — 1. Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в области 0. А. р. решения в области 1 ищем в виде ряда оо к — 1 . . £ е* У)- (0-2.15)

А-=0 ¿=0

В уравнении (0.2.1) перейдем к переменным 2, у и, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.15), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, 1п е, приходим к системе $(,,„), (0.2.16) где правые части имеют оценки порядка 0((у~к(гк + 1) + укг~~к) ехр(—5г2)). Требуется найти а. р. решения уравнения (0.2.16), удовлетворяющее условиям согласования для функций г^- ПРИ У ► 0

V) ~ = о(уаг-1ехр(-5г2)) (0.2.17) для любого а £ (0,1/2),/ > 0. Здесь функции получены переписыванием а. р. функции в, е) при 9 —> 0 и г отделенных от нуля в переменных г, у. Функции построены в работе

21].

А.р. решения в области 2 ( во внутренней области диффузионного следа ) ищем в переменных £ = у = г — 1. Вид а.р. решения определяется структурой а.р. решений в областях 1, 3 вблизи области 2. А.р. решения в области 2 ищем в виде ряда со к—1 . . £ г* £ 1п^422(С,у). (0.2.18) к=1 г=0

В уравнении (0.2.1) перейдем к переменным и, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.18), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, 1п£, приходим к системе

2(С,у) = 4?(С,у), (0-2.19)

Ь^У~2д(СдУ) дУ ьу<¥ = 2ас(С } ~ ^ и справедливы оценки = 0(2/~*(1 + И)А), ж = ~С/(2у).

Эти уравнения являются вырождающимися при £ = 0 параболическими уравнениями. В работе [114] доказаны теоремы существования и единственности в классе ограниченных функций. Требуется построить гладкие решения уравнений (0.2.19), удовлетворяющие условиям ди{2) 0 при С = 0, (0.2.20) условиям согласования при С, —> оо

12(С.у) - У'^У) = °(Уа( 1 + СГт) (0.2.21) для любого а £ (0,1/2) и условиям согласования при у —» 0

Ш - У$)(Су) = о(уа(1 + С)') (0.2.22) для любого а Е (0,1/2), где функции у)-, У) получены переписыванием а. р. (0.2.5) ( при 0-*Оиж>жо>О), (0.2.11) С при г) —» оо) в переменных у. Функции построены в работе [21].

А. р. решения в области смешения 4 строится в переменных г = е~1-ф{г, в), р = ег = е(у + 1). Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в областях 1, 2. А.р. решения в области 4 ищем в виде ряда оо к—1 . . £ ^ £ 1п'«1$ (*,/>). (0.2.23) к-0 г=0

В уравнении (0.2.1) перейдем к переменным г,р и, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.23), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, 1п приходим к системе р) = $(*>Р), (0.2.24) где ьту = 2±.г?Ц гдг> др'

Заметим, что левые части уравнений этой системы такого же вида, что и в области 2. Отличие состоит в том, что в области 2 классы функций были растущие на бесконечности, а здесь функции экспоненциально убывают при 2 ->оо и имеют особенности при р —> 0. Аналогичную сруктуру имеют и правые части. Кроме того, условия согласования получены согласованием а. р. в пограничных слоях 1, 2 по переменным при у —> оо. Условия согласования для функций при р —> 0 имеют вид г45(*,р) - УГ${г,р) = о(р°(ехр(-5г2) + (1 + \з\)~1)) (0.2.25) для любого а £ (0,1/2),/ > 0, где функции получены переписыванием согласованных а. р. (0.2.15), (0.2.18) при у —>■ оо в переменных z,p. Кроме того, должно выполняться условие ди{4) y/s-j^- = о при 5 — 0. (0.2.26)

Функции uf'l (z, р) в классе гладких функций построены в работе [21]. Далее проводится обоснование [21], используя барьерные функции.

Задача конвективной диффузии около частицы. Рассматривается стационарное уравнение конвективной диффузии е3Аи - (V, V)u = 0, (0.2.27) где £3 = Ре-1 - малый параметр. Вообще говоря, внешний вид уравнения такой же, как и уравнение (0.2.1). Но ввиду изменения функции тока ( см. ниже ), следовательно и масштабов растяжения в пограничных слоях, удобнее множитель писать в виде г3. В случае обтекания твердой сферической частицы стоксовым потоком функция тока имеет вид [123]: ф(г, 6>) = |(r - I)2 + i)) sin2 9. (0.2.28)

Требуется построить ограниченное решение t¿(r, 9) уравнения (0.2.27), удовлетворяюшее условиям ди u(r, 9) = 0 при г=1 , и —> 1 при г —оо, —- — 0 при 9 — п, 9 = 0. о9

0.2.29)

В окрестности частицы возникают пограничные слои такого же вида как и на рисунке 1. Но масштабы несколько другие (см. [147], [47]). Во внешней области и= 1. Функция тока на поверхности сферы обращается в нуль вместе с первой производной. Задача в этом случае усложняется. А. р. в диффузионном пограничном слое строится в переменных г] = (3/2)1/,3(г — 1)е-1,9. В этом пограничном слое решение ищется в виде оо . .

W>e)= (0.2.30) к=0

0.2.32)

Подставляя ряд (0.2.30) в уравнение (0.2.27) ( разлагая также коэффициенты уравнения ) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, приходим к следующей рекуррентной системе уравнений

0 - Ч'ссв^ + „.тв^ = 4%,в), (0.2.31) где = 0, функции Д.(ту, в) = 0(ехр(-5гу3)) при к > 0 и 9 > £а для некоторых 5 > 0, а > 0; а при 9 —)■ 0 имеют особенности.

Функции гг^(?7,0), кроме того, должны удовлетворять граничным условиям

40)(0,9) = 0; -Я, »7 ди{$)/89\в^ = 0;

4О)(О,0) = 0;40) 0,г7 оо; ди^/д9\в=1Т = 0; к > 0 .

Система дифференциальных уравнений (0.2.31) - параболического типа, вырождающаяся на границе области. В работах [5], [7] построены функции 9) и иследовано асимптотическое разложение решения при 9 —>• 7г, 9 —> 0. Эти функции экспоненциально убывают на бесконечности, за исключением следа за частицей. Доказано, что функции г$\г],в) являются гладкими при 0 < 9 < 7г, 77 > 0. Таким образом, доказано, что в окрестности точки 01(1,7г) (точки набегания потока к частице) никаких других пограничных слоев не возникает. При 9 —> 0 функции и^\г1,9) имеют особенности для к > 2. Поэтому приходится дополнительно исследовать исходную задачу в окрестности седловой точки 02(1, 0).

В области задней критической точки (точки стекания жидкости с частицы) асимптотическое разложение решения строится в переменных £ = (3/2)1/39£~\ 7] = (3/2)х/3(г - 1)£-х и ищется в виде оо оо . .

0-2.33) г=0 к-1

Подставляя ряд (0.2.33) в уравнение (0.2.27) ( разлагая также коэффициенты уравнения ) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 1п е приходим к следующей рекуррентной системе уравнений

1 д Л д \ . д2 . д 2д где правые части рекуррентно зависят от (£, г]) до I = к — 1, а на бесконечности разлагаются в асимптотические ряды степенного вида с множителями, зависящими от 1пгу,1п^.

Функции строятся как решение системы (0.2.34), удовлетворяющее граничным условиям ди%с ^ =0 пРи £ = (°-2-35) и условиям согласования к^)-**.*^)-»0 пРи (°-2-36) и при любом фиксированном т/, где г)) получены путем перехода в сумме (0.2.30) к переменным 7/, разложения в ряд по степеням е, 1п £.

Асимптотические ряды (0.2.30), (0.2.33) были построены в кандидатской диссертации ( [4], [5], [6]). Во второй главе построение этих рядов и их согласование приводятся для полноты изложения, а так же для удобства чтения и не выносятся на защиту. Заметим так же, что для главного члена асимптотического разложения (0.2.33) были изучены асимптотические свойства на бесконечности, но не было установлено согласованность с ранее известными решениями в следе за частицей. Поэтому потребовалось дополнительное исследование [11], [12]. Ранее главный член асимптотики был построен численными методами [147].

А.р. решения в конвективно - погранслойной области 1 строится в переменных z — e~l\Jip(r, 9) = e^t^f(y), у = г — 1. Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в области 0. А. р. решения в области 1 ищем в виде ряда оо к—1 u{1)(z,y,s) = £ ^ £ In*еи§(г,у). (0.2.37) к=0 г=0

В уравнении (0.2.27) перейдем к переменным z, у, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.37), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, In е, приходим к системе

У), (0.2.38) где правые части имеют оценки порядка 0{{y~k{zk + 1) + ykz~k) ехр(—5z3)). Требуется найти а. р. решений уравнений (0.2.38), удовлетворяющие условиям согласования для функций при у —» 0

- Щь&у) = о(^-гехр(-^3)) (0.2.39) для любого а G (0,1/2),/ > 0. Здесь функции Wi^(z^y) получены путем перехода в сумме (0.2.30) при 9 —> 0 и z, отделенных от нуля, к переменным z,y, разложения в ряд по степеням е, Ine. Функции u^~l(z,y) построены в работе [24].

А.р. решения в области 2 ( во внутренней области диффузионного следа ) ищем в переменных С, = е~2,ф,у = г — 1. Вид а.р. решения определяется структурой а.р. решений в областях 1, 3 вблизи области 2. А.р. решения в области 2 ищем в виде ряда riLiil 00 L 2 J u{2\U,e) = £ ек'2 £ 1пг'^22(С,2/). (0.2.40)

В уравнении (0.2.27) перейдем к переменным у, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.40), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, In е, приходим к системе

Lf);U%(Cy)=F$((,y), (0.2.41) где 2дС{СдС} ду'

0(,о(С»у) = 0, и справедливы оценки ^(С,у) = 0(у~к/2{ 1 + \х\)к), х = —С/(2у). Левые части этих уравнений те же, что и в уравнениях (0.2.19), но здесь классы функций другие. Требуется построить гладкие решения уравнений (0.2.19), удовлетворяющие условиям

0 (2) 0 при с = 0, (0.2.42) условиям согласования при £ —>• оо

У^кШ - = о(уа( 1 + СГт) (0.2.43) для любого а 6 (0,1/2) и условиям согласования при у —» 0

С, у) - ^?(С,у) = "(уЧ1 + О1) (0.2.44) для любого а 6 (0,1/2), где функции у), у) получены переписыванием а. р. (0.2.30) ( при 0 0 и ж > ж0 > 0), (0.2.33) ( при г} —» оо) в переменных Функции построены в работе [24].

А. р. решения в области смешения 4 строится в переменных г = в), р = е{г —1)/2 = еу/2. Вид а.р. в этом пограничном слое определяется из условий согласования с а.р. решения в областях 1, 2. А.р. решения в области 4 ищем в виде ряда оо к—1 £ е* £1п*еи§(г,р). (0.2.45)

Л-=0 г=0

В уравнении (0.2.27) перейдем к переменным г, р, подставляя в полученное уравнение ряд (0.2.45), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, 1п е, приходим к системе

Ь%1и§(г,р) = р}${г,р), (0.2.46) р~ гдхК дг] др1 здесь функции Р^] (г, р) экспоненциально убывают при г оо и имеют особенности при р —> 0. Условия согласования для функций и^}. при р —>■ 0 имеют вид

- = о(ра(ехр(—8г2) + (1 + \з\)~1) (0.2.47) для любого а € (0,1/2),/ > 0, где функции получены переписыванием согласованных а. р. (0.2.37), (0.2.40) при у —оо в переменных г, р. Кроме того, должно выполняться условие о при 5 = 0. (0.2.48) дв

Функции в классе гладких функций построены в работе

24], там же дано обоснование справедливости составного асимптотического разложения.

Задача конвективной диффузии с учетом химической реакции. Рассматривается краевая задача для стационарного уравнения конвективной диффузии при наличии объемной химической реакции ( см. [47], гл. 5, (6.1)-(6.3) )

А и = Ре(У ■ У)и + КЯф), (0.2.49) ди и — 1 при г = 1; и —У 0 при г —> оо —— = 0 при 9 = 7Г, в = 0 , д9

0.2.50) где V - (К, 14,0) , К = (г2зтв)-1дф1дв, Ув = -{гз1п9)~1дф/дг , ф(гу9)~ функция тока, г, 9— сферические координаты, Л— оператор Лапласа, Ре— число Пекле, ку - число, определяемое скоростью химической реакции, угол 9 отсчитывается от направления потока на бесконечности. В случае обтекания сферической частицы функция тока имеет вид (см., например, [123]) ф(г, в) = зт2 9(г - 1)2(2 + 1 /г)/4. (0.2.51)

Будем считать, что выполнены следующие условия.

Условие А. Функция F(u) монотонно возрастает, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица на отрезке [0; 1] и такая, что

F : [0; 1] [0; 1], Р(0) = 0 . (0.2.52)

Некоторые свойства асимптотических решений будут также исследоваться при дополнительных условиях:

F(u) € Ск(0,1), где к>1. (0.2.53)

Требуется найти асимптотику по малому параметру е — Ре-1/3 ограниченного решения задачи (0.2.49), (0.2.50). Наиболее трудным является случай, когда Ре >>1, fc„>>l.B данной работе предполагается, что величина ¡i = kv/Pe2/3 - постоянная. В этом случае все слагаемые в уравнении (0.2.49) одного порядка в окрестностях седловых точек. При рассмотрении твердых частиц для удобства введем малый параметр е = Ре-1/3 и перепишем уравнение (0.2.49) в виде - S АШ - - %г> - ^ = 0.

0.2.54)

Уравнение (0.2.54) при е — 0 имеет особые точки Oi(l, 7г), Ог(1,0) седлового типа.

Во внешней области е решение и^ = 0.

А. р. решения в диффузионном пограничном слое строится в переменных х - E~l(3~l{r - 1), где (3 = (2/3)1/3. Функция i¿(°)(íe, в, е) ищется в виде и{0\х, 0, е) = щ(х, в) + 0(е). (0.2.55)

Для определения щ(х,в) получаем задачу д2и0 9 лдщ . лдщ . „„

-f - ж2 cos 0—+ ж sin е-%- - ¡iF(u0(x, в)) = 0, (0.2.56) t¿o(O,0) = 1; щ{х,9) 0 прих-ъ оо,тг) = 0. (0.2.57)

Уравнение (0.2.56) является квазилинейным параболическим, вырождающимся на границе области. Асимптотика 9) при 9 —» 7г строится в виде uo,o(z) + O((7r-0)2). (0.2.58)

Для определения главного члена асимптотики при в —> тт получаем задачу u'¡Q{x) + x2u'qq[x) - fj,F(u00(x)) = 0. (0.2.59)

•^oo(O) = 1 i woo —> 0 при x —>• oo. (0.2.60)

Доказано существование решения задачи (0.2.59), (0.2.60), удовлетворяющее оценке щ0(х)) < ехр(-ж3/6). (0.2.61)

Функция щ(х,9) удовлетворяет условиям щ(х, 9) = щ0(х) + 0((тг - 6>)2 ехр(-7ж3)) (0.2.62) для некоторого 7 > 0 при 9 —» 7Г, и оценке

ММ)| < Мехр(-7ж3),М > 0 (0.2.63) в области D = {ж, 9 : х > 0,71^ < 9 < 7г}, z/ G (0,1),71 > 0. Асимптотика функции ^(ж,^) при 9 —>• 0.

При исследовании асимптотики функции щ{х,9) при 9 —> 0 будем использовать также переменные z = £1\Л/>, т = т{9), где т = (л/3/8)(тг - 0 + sin 29/2) и обозначим и0(£, 0) = Vq(z, т) . Дело в том, что асимптотика функции гго(£, 9) при 9 —> 0 носит различный характер для малых z и для значений z, отделенных от нуля.

Сначала рассмотрим случай малых значений z. В этом случае асимптотика функции щ(х, 9) при в 0 ищется в виде щ(х, 9) = vQ{x) + 0{92) (0.2.64)

Функция г>о(ж) строится как решение задачи v'i(x) - x2v'0(x) - fj,F(v0(x)) = 0, (0.2.65) v0(0) = 1 ; г/0(а:) = °{l) пРи х > 0. (0.2.66)

Справедлива теорема [22]:

Теорема 1 Пусть F(u) удовлетворяет условиям (0.2.52) и (0.2.53).

Тогда существует ¿¿о > 0, что для всех \х Е (0, ¿¿о) пРи ж —> оо для решения задачи (0.2.65), (0.2.66) справедливо асимптотическое представление v0(x) = с0 + ciaT1 + с2аГ2 + • • • + ckx~k + 0(x~k~l), (0.2.67) где со Е (0,1) , а коэффициенты сп при п > 0 определяются из системы сл = uF(cn). со = uF'(cn)ci /2.

0.2.68) ci = fiF(c0), с2 = ¡jlF'(cq)ci/2,

Переходим к исследованию свойств функции щ(х,6) при в —> О для значений г, отделенных от нуля. Такое исследование дает возможность построить асимптотику решения в конвективно-погранслойной области ( область 1) и доказать согласованность в некоторой промежуточной области между областями 0 и 1 (см. рис. 1). Как было отмечено в начале этого пункта, удобно перейти к переменным г,г. При этом функция Уо(г,т) = щ(х,в) удовлетворяет уравнению - ^ - Мг)ПУ0(г, г)) = 0, (0.2.69) где д(т) = до(го — т)~2/3[1 + О((то — т)2/3)]. Требуется исследовать асимптотические свойства решения уравнения (0.2.69), удовлетворяющего условию

У0(г,Л) = ф), (0.2.70) где <р(г) удовлетворяет оценке <р{г) — 0(ехр(—11^))-, М\ > 0,71 > 0. Для решения задачи (0.2.69), (0.2.70) справедливо интегральное уравнение

V0(z, т) = /о°° ÇG(z, т-d, CMQdC + гт гоо

Jd /0 qF(Vo)G(z, r-t, C)dCdi, (0.2.71) где G(z,r,Q- фундаментальное решение оператора д2/дz2 — zd/dr (см., напр., [148]). Справедлива теорема [23]:

Теорема 2 Пусть F(u) удовлетворяет условию А и условию (0.2.53). Тогда найдутся число ¡1* > 0 и точка M*(z*,т*), где z* > zq,t* £ (ci,tq), tq — d = ea такие, что на множестве D^ — {(z,r),z > z*, \t — r*| < Эл^ = sai и любого ц £ (0,//*) справедливо асимптотическое представление

V0(z, т) = V0(z) + 0(eQ/3) пртечО (0.2.72) d/Lff 7 > 2a и некоторых ai,a G (0,1). Функция Vq(z) монотонно убывает, удовлетворяет условию

V0(z*) = с0, (0.2.73) где со- то же число, что и в теореме 1, и оценке

0 < V0(z) < M2exp(-72z3),M2 > 0,72 > 0. (0.2.74)

Итак, для функции щ(х,в) при 0 —» 0 справедлива асимптотика „ч i У0(х) + О(в2) при х = 0(£~s) щ(х,в) = \ , п/ (0.2.75)

1 V0(z) + 0{£а/3) npuz>z* V J для £ —у 0 и некоторых S > 0, а > 0.

Асимптотика в диффузионном следе. Область диффузионного следа состоит из областей 1, 2, 3, 4. В области 3 задней критической точки удобно ввести локальные координаты £ = £-1(3/2)1!г0,х = е 1(3/2)1/'3(г — 1). Тогда, для определения главного члена разложения в области 3 получаем задачу

1 Э Гдт®\ Л/3> , дш® 2д»(3> „ ,,ь „ ,„„„„, еве 1€"вг) ) = (0'2'76)

Ягу(з) ги(3)(£,0) = 1; — = 0при,£ = 0; х) ~ ^о(ж) 0 при £ оо, (0.2.77) где г?о(ж) - решение задачи (0.2.65)-(0.2.66). Тогда функция к/3) = ио(х) есть решение задачи (0.2.76)-(0.2.77).

1. Аксельруд Г. А. Массообмен тел сферической формы с потоком жидкости // Инж.-физ. журн. 1970. Т. 19. N 1. С. 110-112.

2. Астарита Дж. Массопередача с химической реакцией. JL, Химия, 1971.

3. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при старших производных // Дифф. уравнения. 1982. Т. 18. N 3. С. 440-450.

4. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения краевой задачи для одного уравнения диффузии в полуплоскости // Дифф. уравнения.1983. Т. 19. N 2. С. 287-294.

5. Ахметов Р. Г., Асимптотика решения краевой задачи для одного уравнения диффузии // Дифференц. ур-ния с малым параметром. Свердловск: Ин-т матем. и механ. Ур.НЦ АН СССР,1984. 3-17.

6. Ахметов Р. Г., Асимптотика решения сингулярно возмущенного эллиптического уравнения, описывающего явление диффузии около частицы. Дисс. . канд. физ.-мат. наук, Уфа, 1986.

7. Ахметов Р.Г. Метод согласования в задаче о диффузии к частице // Матем.заметки. 1990. Т. 47, Вып. 5. С. 144-146.

8. Ахметов Р. Г. Асимптотика по малому параметру решения уравнения диффузии вне капли // Асимптотические решения задач математической физики: сборник научных статей / БНЦ УрО АН СССР. Уфа, 1990. С. 3 16.

9. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения краевой задачи для одного эллиптического уравнения // Дифференц. ур-ния. 1997. Т. 33(11). С. 1552 1554.

10. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи для уравнения диффузии в окрестности седловой точки у предельного оператора //Докл. РАН. 1998. Т. 362. N 6. С. 727-728.

11. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения задачи конвективной диффузии около сферы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.1998. Т. 38. N 5. С. 801-806.

12. Ахметов Р.Г. Оценки решений краевой задачи для одного уравнения диффузии в полуплоскости // Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы. Сб. науч. тр.: В 2 ч./ Междунар. науч. конф., Стерлитамак, СГПИ, 1998. С. 5-9.

13. Ахметов Р. Г. Об асимптотике решения задачи конвективной диффузии около цилиндра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.1999. Т. 39. N 4. С. 612-617.

14. Ахметов Р.Г. Асимптотика решения одной задачи конвективной диффузии с двумя параметрами // Труды междунар. конф. Комплексный анализ, дифференц. ур-ния и смежные вопросы. II. Дифференц. ур-ния. Уфа: Ин-т матем. с вычисл. центром РАН, 2000. С. 10-15.

15. Ахметов Р. Г. Асимптотическое разложение решения задачи о конвективной диффузии около осесимметричной капли // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т.40. N 10. С. 1541-1553.

16. Ахметов Р. Г. Об асимптотике решения задачи конвективной диффузии около сферы с объемной реакцией // Кубатур-ные формулы и их приложения. Труды VI-го международного семинара-совещания, Уфа, 2-7 июля 2001 г., ИМВЦ УНЦ РАН, БГПУ. 2002. С. 5-14

17. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения задачи о конвективной диффузии с объемной химической реакцией // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т.42. N 10. С. 1600-1608.

18. Ахметов В.Р., Ахметов Р. Г., Загидуллина A.B. Асимптотика решения одного квазилинейного эллиптического уравнения // Уч. записки: Сб. науч. тр. Уфа, 2003. С. 12-17.

19. Ахметов Р. Г. Асимптотическое разложение решения задачи конвективной диффузии в следе за каплей. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т.44. N 6. С. 1062-1078.

20. Ахметов Р. Г., Существование и асимптотики решений одного класса квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференц. ур-ния. 2005. Т. 41. N 6. С. 723-729

21. Ахметов Р. Г. Асимптотика решения задачи конвективной диффузии с объемной химической реакцией в следе за частицей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. N 5. С. 834-847.

22. Ахметов Р. Г. Асимптотическое разложение решения задачи конвективной диффузии в следе за сферической частицей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. N 10. С. 18221837.

23. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука,1970, 456 с.

24. Бабич В.М., Кирпичникова Н.Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974, 124 с.

25. Бабенко К. И. Основы численного анализа. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002, 848 с.

26. Бабенко К. И., Введенская Н. Д., Орлова М. Г. Расчет стационарного обтекания кругового цилиндра вязкой жидкостью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т.15. N 1.0. 183-196.

27. Байдулов В.Г., Матюшин П.В., Чашечкин Ю.Д. Структура течения, индуцированного диффузией, около сферы в непрерывно стратифицированной жидкости // Докл. РАН. 2005. Т. 401. N 5. С. 1-6.

28. Батищев В. А. Автомодельные решения, описывающие нестационарные термокапиллярные течения жидкости // Прикл. матем. и механ. 1995. Т. 59. N. 6.

29. Батищев В. А. Ветвление автомодельных решений, описывающих термокапиллярные течения жидкости в тонком слое// Прикл. механ. и техническая физика. 1999. Т. 40. N. 3.

30. Батшцев В. А., Хорошунова Е.В. Возникновение вращательных режимов термокапиллярных течений неоднородной жидкости в слое // Прикл. матем. и механ. 2002. Т. 64. N. 4.

31. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах, М. Наука, 1984.

32. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, Т. 1, 1973, Т. 2, 1974.

33. Бернштейн С. Н. Ограничение модулей последовательных производных решений уравнений параболического типа. Докл. АН СССР, Т. 18. N. 7.(1938), с. 385-388.

34. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 503 с.

35. Броунштейн Б. И., Фишбейн Г. А. Гидродинамика, массо и теплообмен в дисперсных системах. Л.: Химия, 1977, 280 с.

36. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1982, 294 с.

37. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967. 310 с.

38. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // УМН, 1963, Т. 18. N. 3. С. 15-86

39. Васильева А.Б. О развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных за период 1966-1976 // УМН, 1976, Т. 31. N. 6. С. 102-122

40. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука. 1973, 272 с.

41. Вишик М. И., Люстерник JI. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, вып. 5. С. 3-120

42. Гадылынин Р. Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной самосопряженной эллиптической задачи с малым параметром в граничных условиях // Дифференц. ур-ния. 1986. Т. 22. N 4. С. 640 652.

43. Гадылынин Р. Р. Метод сращиваемых асимптотических разложений в задаче об акустическом резонаторе Гельмгольца / / Прикл. матем. и механ. 1992. Т. 56. Вып. 3. С. 412-418.

44. Головин А. М., Животягин А. Ф. Влияние объемной химической реакции на массоперенос внутри капли при больших числах Пекле // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. и механ. N 4 (1979) 77-83.

45. Гупало Ю.П.,Полянин А.Д.,Рязанцев Ю.С. Массотеплообмен реагирующих частиц с потоком. М.: Наука, 1985.

46. Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Рязанцев Ю.С., Массоперенос в диффузионном следе капли при стоксовом обтекании // Прикл. матем. и механ. 1977. Т. 41. Вып. 2. с. 307-311

47. Гупало Ю.П.,Полянин А.Д.,Рязанцев Ю.С. О массообмене частиц, расположенных на оси потока, при больших числах Пекле // Изв.АН СССР, МЖГ. 1977. N 2. С. 64-74.

48. Гупало Ю.П.,Полянин А.Д.,Рязанцев Ю.С. О диффузии к цепочке капель (пузырей) при больших числах Пекле // Изв.АН СССР, МЖГ. 1978. N 1. С. 59-69.

49. Данквертс П. В. Газожидкостные реакции / Пер. с англ. М.: Химия, 1973

50. Дильман В.В., Полянин А. Д., Метод модельных уравнений и аналогий в задачах о конвективном массообмене с поверхностными и объемными реакциями // Хим. промышленность. 1983. N 1. С. 238-241.

51. Дородницын A.A. Асимптотика решения уравнения Ван-дер-Поля // Прикл. мат. и мех. 1947. Т. 11, вып. 3. С. 313-328.

52. Животягин А. Ф. Влияние гомогенной химической реакции на распределение концентрации в диффузионном следе капли // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. и механ. 1980 . N 6. С. 73-78.

53. Жиков В. В., Козлов С.М. Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Изд. фирма "Физ.- мат. лит.", 1993, 464 с.

54. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

55. Ильин A.M. Асимптотика решения краевой задачи для уравнения Пуассона вне цилиндра и вне полуцилиндра // Матем. сборник. 1982. Т. 118. 2. С. 184-202.

56. Ильин A.M. Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения // Матем. сборник. 1960. Т. 50(92). N 4. С. 443-498. С. 184-202.

57. Ильин A.M., Сулейманов Б.И. О двух специальных функциях, связанных с особенностями типа сборки // Докл. РАН. 2002. Т. 387. N 2. С. 156-158.

58. Итс А.Р., Капаев A.A., Новокшенов В.Ю., Фокас A.C. Транс-ценденты Пенлеве. Метод задачи Римана. Москва-Ижевск, 2005.

59. Калякин JI. А. Эллиптическое возмущение динамической системы с седловой точкой на границе области // Метод согласования асимптотических разложений в задачах с сингулярными возмущениями. Башк. Филиал АН СССР. Уфа. 1980. С. 3 33.

60. Калякин JI. А. Асимптотики решений уравнений главного резонанса // Теор. и мат. физика, 2003. Т.137, N 1, с. 142-152.

61. Калякин JI. А. Асимптотическое решение задачи о пороговом эффекте для уравнений главного резонанса // Дифференц. ур-ния. 2004. Т. 40. N 6. С. 731 739.

62. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976

63. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. мат. об-ва. 1967. Т. 16. С. 209-292.

64. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 274 с.

65. Крылов. В. С. Диффузионный пограничный слой на поверхности движущейся капли при наличии объемной химической реакции // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1967. N 1. С. 146-149.

66. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир.1964. 830 с.

67. Кузнецов В. В. О существовании пограничного слоя вблизи точки трехфазного контакта // Сиб. мат. журн. Т. 41, N 3. 2000. С.635-647.

68. Кузнецов В. В. О задаче продолжения пограничного слоя Пран-дтля // Дифференц. ур-ния. Т. 36, N 7. 2000. С.898-902.

69. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1977.

70. Ладыженская О. А., Солонников В.А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

71. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физмат-гиз, 1959.

72. Левич В.Г., Крылов В. С., Воротилин В. П. К теории нестационарной диффузии из движущейся капли // Докл. АН СССР,1965, т. 161, 3 , с. 648-652.

73. Леликова Е.Ф. Об асимптотике решения эллиптического уравнения второго порядка с малым параметром при старших производных // Дифференц. ур-ния. 1976. Т. 12. N 10. С. 18521865.

74. Леликова Е.Ф. Асимптотика решения эллиптического уравнения с малым параметром в области с конической точкой // Дифференц. ур-ния. 1983. Т. 19. N 2. С. 305-317.

75. Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

76. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981, 398 с.

77. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: Изд-во. Тбил. ун-та, 1981. 206 с.

78. Макаренко Н.И. Второе длинноволновое приближение в задаче Коши -Пуассона // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1986. Вып. 77. С. 56-72.

79. Макаренко Н.И. Асимптотика несимметричных внутренних волн // Вычислительные технологии. 1993. Т. 2, N 4. С. 2229.

80. Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983, 400 с.

81. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965. 549 с.

82. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977. 384 с.

83. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976, 296 с.

84. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа.- М.: ИЛ. 1957. 256 с.

85. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука,1975, 247 с.

86. Мовчан Н.В., Назаров С.А. О напряженно-деформированном состоянии вблизи вершин конусов // Прикл. мат. и мех. 1990. Т. 52, N 2. С. 281-293.

87. Мукминов Ф.Х. О скорости убывания сильного решения первой смешанной задачи для систем уравнений Навье-Стокса в областях с некомпактными границами // Матем. сборник, 1993. Т. 184. N 4. С. 149-160.

88. Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976, 455 с.

89. Налимов В.И., Пухначев В.В. Неустановившиеся движения идеальной жидкости со свободной границей. Новосибирск: НГУ, 1975.

90. Натансон Г.Л. Диффузионное осаждение аэрозолей на обтекаемом цилиндре при малых коэффициентах захвата. Докл.АН СССР, Т. 112(1), 1957, с. 100-103.

91. Новокшенов В. Ю. Асимптотика решения сингулярного интегрального уравнения с малым параметром // Матем. сборник.1976. Т. 100. N 3. С. 455-475.

92. Новокшенов В. Ю. Сингулярное интегральное уравнение с малым параметром на конечном отрезке // Матем. сборник. 1978. Т. 105. N 4. С. 543-573.

93. Овсянников Л.В., Макаренко Н.И., Налимов В.И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск.

94. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука,1978,376 с.

95. Олейник O.A., Вентцель Т.Д. Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных уравнений параболического типа // Матем. сборник. 1957. Т. 41, N 1. С. 105-128.

96. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

97. Плотников П.И. Разрешимость задачи о пространственных гравитационных волнах на поверхности идеальной жидкости // Докл. АН СССР. 1980. Т. 251, N 3. С. 591-594.

98. Плотников П.И. Обоснование гипотезы Стокса в теории поверхностных волн // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, N 1. С. 80-83.

99. Полянин А. Д., Некоторые качественные особенности внутренних задач конвективного тепло и массообмена в областях с замкнутыми линиями тока // Изд. АН СССР, Механ. жидкости и газа. 1983. N 5. С. 116-125.

100. Полянин А. Д., Качественные особенности внутренних задач нестационарного конвективного массо и теплоообмена при больших числах Пекле // Теор. основы хим. технол. 1984. Т. 18. N 3. С. 284-296.

101. Полянин А. Д., О нестационарном конвективном массо- и теплообмене капли при соизмеримых фазовых сопротивлениях // Жур. прикл. мех. и техн. физ. АН СССР, Сиб. отд. 1984. N 3. С. 105 116.

102. Полянин А. Д., Дильман В.В., Асимптотическая интерполяция в задачах массо и теплопереноса и гидродинамики // Теор. основы хим. технол. 1985. Т. 19. N 1. С. 3-11.

103. Понтрягин JI.C. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // Изв. АН СССР, сер. матем. 1957. Т. 21. N. 5. С. 605-626.

104. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. труды, т. 1. М.: Наука, 1971.

105. Пятницкий A.JL, Чечкин Г.А., Шамаев A.C. Усреднение. Методы и приложения. Новосибирск: Изд-во "Тамара Рожков-ская", 2007.-264 с. (Белая серия в математике и физике. Т. 3.

106. Радкевич Е.В. Математические вопросы неравновесных процессов. Новосибирск: Изд-во "Тамара Рожковская", 2007.-300 с. (Белая серия в математике и физике. Т.4)

107. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И.Г. Числе-ные методы решения жестких систем. М. Наука, 1979, 208 с.

108. Рамазанов М.Д. Задача об обтекании тонкого крыла с острой задней кромкой невязкой несжимаемой жидкостью // Математический анализ и смежные вопросы математики.-Новосибирск: Наука, 1978.-С. 224-236.

109. Риекстынып Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Рига: Зинатне, 1974. Т.1. 390 с.

110. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений.-М.: Наука, 1978.

111. Смирнова Г. Н. Линейные параболические уравнения, вырождающиеся на границе области // Сибирский матем. журнал. 1963, Т. 4. N 2. С. 343-358.

112. Тешуков В.М. О гиперболичности уравнений длинных волн. Докл. АН СССР. 1985. Т. 284, N 3. С. 555-559.

113. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем сб. 1948. Т. 22 (64). N. 2. С. 193-204.

114. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матем сб. 1950. Т. 27 (69). N. 1. С. 147-156.

115. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983. 352 с.

116. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Наука, 1967

117. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.- М.: Мир. 1968. 427 с.

118. Фукс Н. А., Стечкина Н. Б. К теории волокнистых аэрозольных фильтров // Докл. АН СССР. 1962. Т. 146. N 5. С. 11441146.

119. Фукс Н. А. Механика аэрозолей. Изд. АН СССР. 1955. 352 с.

120. Хаппель Д., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М.: Мир, 1976, 630 с.

121. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970

122. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов ( метод ВКБ ). М.: Мир, 1965. 237 с.

123. Чен Ч. Фильтрация аэрозолей волокнистыми материалами // Успехи химии. 1956. Т. 25, вып. 3. С. 368-392.

124. Шайгарданов Ю.З. Асимптотика по параметру решения эллиптического уравнения высокого порядка в окрестности линии разрыва предельного уравнения // Дифф. уравнения. 1985. Т. 21. N 4. С. 706-715.

125. Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: Физматгиз, 1962. 127 с.

126. Acrivos A., Goddard J. D. Asymptotic expansions for laminar forced-convection heat and mass transfer. Pt 1. Low speed flows //J. Fluid Mech. 1965. T. 23. pt. 2. P. 273-291.

127. Acrivos A., Taylor T. D., Heat and mass transfer from single spheres in Stokes flow // Phys. Fluids. 1962 V. 5. N 5. P. 378-394.

128. Akhmetov R. G. Asymptotics of Solution for a Problem of Convective Diffusion with Volume Reaction Near a Spherical Drop // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 1, 2003, pp. S8-S12.

129. Brignell A. S. Solute extraction from an internally circulating spherical liquid drop. // Internat. J.Heat Mass Transfer. 1975. V. 18. N 1. p. 61-73

130. Chapman S.J., Lawry J.M.S., Ockendon // Ray Theory for high-Peclet-number convection diffusion. SIAM J. APPL. MATH., 1999, Vol. 60, N 1, pp. 121-135

131. Dobrokhotov S.Yu., Maslov V.P. Multiphase asymptotics of nonlinear partial differential equations with a small parameter // Sov. Sci.Rev., New York, Harwood Acad. Publishers. OVP. 1982. V.3. P. 221-311.

132. Fraenkel L.E. On the method of matched asymptotic expansions, Parts I-III // Proc. Camb. Phil. Soc. 1969. V. 65. N 1. pp. 209263.

133. Goddard J. D., Acrivos A. Asymptotic expansions for laminar forced-convection heat and mass transfer. Part 2. Boundary layer flows //J. Fluid Mech., 1966, v. 24, pt. 2, p. 339-366.

134. Newman J. Mass transfer to the rear of a cylinder at high Schmidt number // Ind.and Engng Chem Fundam., 1969. V. 8(3). P. 553557.

135. Polyanin A. D. Unsteady-State Extraction From a Falling Droplet With Nonlinear Dependens of Distribution Coefficient on Concentration // Internat. J.Heat Mass Transfer. 1984. V. 27. N 8. P. 1261-1276.

136. Prandtl L. Uber Flüssigkeiten bei sehr kleiner Reibung // Vehr. III Internat. Math. Kongr. Heidelberg, 1904, Leipzig 1905 - S.

137. Ruckenstein E. Mass transfer between a single drop and a continuous phase // Internat. J.Heat Mass Transfer. 1966. V. 10. N. 12. P. 1785-1792

138. Schneider D. The sex atractant receptor of moths // Sei. Amer. 1974. V. 231. N 1. P.28-35

139. Sih P.H.,Newman J. Mass transfer to the rear of a sphere in Stoces flow // Internat. J.Heat Mass Transfer. 1967. V. 10. N 12. P.1749-1756.484.491.

140. Sutton W. G. L. On the equation of diffusion in a turbulent medium // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1943. V. 182. N 988. P. 48-75.