О построении асимптотик решений некоторых классов сингулярно возмущенных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

го

од

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВППМ

_УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА_

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи УДК 517.946

НЕСТЕРОВ Андрей Владимирович

О ПОСТРОЕНИИ АСИМПТОТИК РЕИОЯИЙ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЕЩЩ УРАВНЕНИЙ'

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный консультант . доктор физико-математических наук,

профессор Бутузов Валентин Федорович Официальные оппоненты доктор физико-математнческжх шук»

4 - профессор Хапаев Михаил Михаиле»]

доктор физико-математических наук,, профессор Кащенко Сергее Александрович

доктор физико-математических наук, в;н.с. Доброхотов Сергей Юрьевич

Ведущая организация Екатеринбургские Институт математики и ыеха-

, ники УО РАН. ^

Защита диссертации состоится " / " ^^ 199^ г„ в на

заседании специализированного совета Д 053.05.37-факультета ВМ и К МГУ в Московском государственном университете им. М, В. Ломоносова по адресу; 119899, Москва, Ленинские горы» МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, 2-Й учебный корпус, аудитория 685.

С диссертацией мояно ознакомиться в библиотеке факультета ЕМ и К МГУ. ' . ■

Автореферат разослав

Ученый секретарь специализированного

совета Д 053.05.37, доктор физ.-мат. наук,

профессор ' /О / * Е. И. Моисеев.

ШЗШОЕ&Х^ШШЗИ- математическая теория сингулярно возмущенных дифференциальных уравнэетй жтансивно развивается о основополагающих работ А. Н. ■Тихонова. В настоящее время созданы и интенсивно развиваются могцкш мотодн построений асимптотических разложений / а» рг / решений скнхулярно возцушэнйых'/ г, в./ дифференциальных уравнений,, такие» как метод порранфутсций / М. И. Виштс, Л„ Ас Люсгернкк, Ао Б«, Васильева» 3» А. 'Греноггш, З^т-.

тузов и др./, метод регуляризация / с. А. Ломов и др./, «таток усреднения / Н.Н. Боголюбов, О, А„' МитропольсвяЙ, Бс М„ Волееог и др.Дметоды типа ВКБ / В. Ш Маслов, М. В» Федорпк„к да/, метод согласования а. р. / А. М. йльик0 Е. Ф. Яеликоза, Д. А. Калякик и др./, а.также и многие другие» Вместе с тем большое разнообразие с. в. дифференциальных уравнений делает актуальным дадьйэйшеэ раэвя-. тие теории с„ в0 и, создание нозюс методов для рвЕэиияг новых задач.

В диссертации рассматривается с. в. дифференциальны уравнения в частных производных, для которых характерно явление потеря гладкости. Пусть с» вв-д. у» имзэт вид , /"А и & дифференциальные операторы, 0<1 с«1 - малый параметр /. При псзтро-

6351 г л р

ения а. р» решения в виде ряда ^ • получаем о-и® -.7 ,

<«0 ■

Г6 и» гс, .Если у„ не обладает достаточной гладкоегг®, чтобы существовала величина , иле Ййг, яз принадлежит

области определения обратного оператора В"*, то построение а, р, в виде ряда по степеням малого параметра & невозможно. Эте яаде-ние может иметь место я при построении других членов асимптотики, например, погранфункций. Подобные задачи по терминологии А» М. Ильина" называются бисингулярныш, классические логранаяойные методы к ним, как правило., неприменимы, Ддя построения асимптотических разложений решений бисингулярннх задач приходится применять более

ас

мощные методы,, такие, как метод согласования а. р. В диссертации предлагаемся иной подход к построению а. р. решений некоторых классов бисингулярных д. у. в частных производных.

. Операторы /\ и 6 могут иметь самую разную структуру и рассмотреть задачу в обшей постановке не представляется возможным. В диссертации изучаются три класса бисингулярных уравнений в частных производных. ;

Для первого класса задач бисингулярность связана с малым параметром при старшей производной в красном условии / условие третьего рода вырождается в условие первого рода /. Такое вырождение приводит к появлению неэкспонендлальных погроислосв. Подобные задачи ранее вовсе но исследовались.

Для второго класса задач бисингулярность связана с кусочно -непрерывными краевыми условия;."; / само точное реааТтпе задачи имеет разрывы в угловых точках границы /.

Дт третьего класса задач бисингулярность связана с наличием '• оубхарахтерастик / характеристик некоторых вспомогательных опера-■ .topos,, появляющихся в процессе построения а. р. решения /. Задачи, рассмотренные в третьей главе, имеют в основном прикладной характер - к описываю?' динамику разных процессов в релаксирупцих средах.

Задачи0 изучаемые в диссертации, имеют как самостоятельное так и прикладное значение,

, С. в. задачи,- содержащие малые дереметры при старакх производила в краевых условиях» возникают в самых разике областях - пр:* "описании feimo - к массоаероноса, в задачах химической кг-кетики» гидродинамики и д0 С точки зрения теории с. в; интерес представляют Ke5KcnoH&Hiy№JbH>j6 norpa:-ic^or., ^озиикагзчие за счет сингулярного Ильин A«. М» Согласование асимптотических разлогенай ропеккя краевых задач. М.„ Наука, 1989, 334 с.

возмущения краевого условия.

Задачи Дирихле для с. в. параболических к эллиптических уравнений с кусочно непрерывными краевыми условиями в .областях с угло-бш.ш точками или ребрами часто встречается в приложениях, а так же как промежуточные при построении а. р."решений с. в. уравнений. С точки зрения теории с. в. большой интерес представляет зависимость структуры а. р. от гладкости входных данных / даш гладких границ и краевых условий а. р. получено М. И. Вшиком и Л* А. Люстернином, для областей с угловыми точками и непрерывными условиями В.'ф, Бу~ тузовым /.

Задача, описывающие динамику процессов релаксирующих сред очень важны для практики, применение асимптотических методов дает яростна формулы для описания решения задач. Вместе с тем эти уравнения являются интересным объектом для' математического исследования и требуй? сложной техники как при построении*, так к яри обосновании "а, р.

Дня. построения а. р. решений задач первых двух классов з диссертации предлагается метод, который можно назвать методом ""неполного разложения по параметру".' Асимптотвхфтроится в виде рядов более

°° I

общей структура й. - 2.6 Ы; (%,£)/ подобные ряда исводьзовадасъ й ракее„ например, в методе регуляризедаа Св А, Яомова /в За отеге появления "степени свобода" коэффициента ряда определяются с аоиоцью операторов,, правильно передающих особенность ранения исходно! задачи / эта операторы могут быть регулярно или сингулярно возмущенными/-. В применении к задачам первых двух классов метод приводит к тчу6 что в левых частях, уравнений для определения членов а. р. оставляются формально, малые слагаемые/ см. ниже /.

-9

Для построения а. р. решений задач третьего класса используетбя предложенный автором ранее метод сглаживания, - а так же методы погранфункций ж согласования а. р. В некоторых задачах применяется

развитый в первых главах метол неполного разложений, й£ЩШО&»ШШ|22 Р^оты является дальнейшее-развитие теории сингулярных возмущений к построение асимптотик решений задач указанных выше классов, а также построение асимптотик решений важных для практики задач, описывающих процессы в релаксируюцих средах. Второй, не менее- . ажной целью было общение предложенного ранее автором метода сглаякёяния на системы уравнений в частных производных в критическом случае.

1. В диссертации предложен к развит новый метод построения асимптотик решений некоторых классов бисингуляркых задач - метод неполного разложения ло параметру.

2, Рассмотрен класс бвеингулярных задач для уравнений параболического к эллиптического типов с малыми параметрами при старших производных в краевом условии, изучены возникавщио неэкспонсндоальные пограз слои, ' _

3» С помощью метода неполного разложения построены асимптотики решений с. в. эллиптических н параболических уравнений в областях с угловыми точками и ребрами и кусочно непрерывны?.::! краевыми условиям. Исследпана зависимость равномерной асимптотики от х'ладкости входных условий задачи.

4. Предложенный ранее автором метод сглакизани/ развит п обилен па случай систем уравнений в частных производных в критическом случае.

5. С помощью метода сглаживания и неполного разложения получены • а. р. решений ряда важних для'практики с. г. д. у., опксываших динамику процессов в релаксирухдах средах.

Зсй результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и тактическая ценность результатов. Диссертация имеет теоретический характер. С точки зрения теории сингулярных возмущений ценность•представляют новый подход к построению а„ р, 'бисингулярных.уравнений, построение с помощью этого метода а. р. решений задач, ранее не исследовавшихся - задач с сингулярно возмущенными и кусочно непрерывными краевыми условиями, построение погранслоев не экспоненциального типа, дальнейшее развитие метода сглаживания.

Асимптотики решений прикладных задац рассмотренных в третьей главе, имеют ценность для описания процессов тепло - и массопе-реноса, теории диффузии-с сорбцией, акустики, экологии» Результаты § 5 гл» 3 нашли прямое использование при прогнозировании яо~ ведения пятна радиоактивного загрязнения в районе Чернобыльской АЭС. Публикации.Основные результаты диссертации опубликованы в работах

Ci-ffJ. •

Апробация работы.Результаты работы докладывались на 9-й Международной конференции по нелинейным колебаниям / Киев» I98X /, на Всесо-юзно^школе - семинаре по методам малого параметра / Минск, 1982/, на совместном заседании ШО и семинара им. И» Г. Петровского / Москва, ¡МГУ,' 1982,1993 /, на Международной конфёренции BAIL- 1У / Новосибирск, 1986 /, на Всесоюзном совещании по сингулярным возмущениям / Нальчик, IS87 /, на Всесоюзном совещании по сингулярным возмущениям / Рига, 1990 /, на школе " Алгебраические структуры и теория сингулярных возмущений / Аксаково, 1993/, на семинарах кафедры математики физич. ф~та ШУ,.ВЦ АН СССР, кафедр спецкурсов высшей математики МЭИ, кафедр общей математики и математичес-

®

кой физики ф-та ВМиК МГУ; кафедр высшей и прикладной математики ИАтЭ, а также на 5-й Международной конференции по процессам взаимодействия атмосфера - поверхность / США, Ричленд, 1991/,■на Пер-

зой конференция по проблемам аварии на Чернобыльской АЗС / Обнинск, 1990/, иа семинарах Ин-та экспериментальной метеорологии. Обтаем работы.Диссертация состоит из введения, трах глав , в каждой из которых содержится пять параграфов, и заключения. Она содержит 23? стр.,2 рисунка, в списке литературы III наименований. Сокващзшм» обозначения. Асимптотическое разложение - а. р., асШчЬ птоткческое разложение до некоторого фиксированного порядка -асимптотическое представление - а. п., сингулярное возмущение -с; в.,- дифференциальное уравнение - д. у. Оценка х- - 0/у) означает, что в рассматриваемой области равномерно выполняется неравенство |ä( s Cj у) , постоянная С- не зависит от X к ^ » постоянные, независящие от малого параметра, обозначаются одной буквой» кроме особо оговоренных случаев, исходные-пораненные обозначаются лаищекими, растянутые - греческим! буквами. Гладкая срезаицая функция обозначается р((х) или и^е(х) : С-[еса)г

f » L V о £ , I В О , V* » <г , б" >0. ' Везде в тексте & н ju - малые параметра? О <S«- i , • 0 «г U. i . Коэффициенты уравнений и дополнительные условия

V

считаются достаточно гладкими.

Краткой (¿одержан^ дяемшта. . .

РТШЗААИ описывается постановка задачи, возшпеавдие трудности ври построении а, р» рассматриваемых задач классическими методами. Приведен обзор литературы по известный асимптотическим методам для Зравнвияй в чаотннг производных, жыеадще погранслойвый характер

В первой у^авфтроятся асимптотики решений с, в. 'параболических и эллиптических уравнений о малыми параметрами при, старших производных в краевом условна.

В первом параграфе строятся а. р. регвния с. в; краевой авда«сс лйя с. в. эллиптического уравнения:

1гАУ - к2(х,у)и = 0 , Я,-у 6 (0,Х)*(0,<Г)>

Здесь &2>0 в $ , (0}4%(о).

А. р. решения задачи (I) построено в вида

и-- ф^^.а^ф аи^) - ,ч

«--о (21

♦

где , „ .

Погранфункцяя П » & строятся известным образом. / 'см, например, /. Построение угловых погранфувкпяй к®, как это- сделано в указанной работа, невозможно ввиду появления, караьтадах особенностей у соответствующего ряда. Для построения угловых погран-функций К. , используется метод неполного разлоаения по парамат-ру: они строятся в виде рядов К > л° §) . Члены

ряда определяются как решения задач:

о | £ я е • о I Н о

> 3 С. С .

где ^ =0 , (¿>- I] известным образом выражаются через . с номерами с , Й;" , - через П],^ с номера-

ми < 1 и й )' с номерами Я < ■ £ , Доказана оценка з . ' ' Бутузов В,Ф.//.ур-ия, 1376, т. 12,НЮ, 1793-1803.

Последнее неравенство говорит,о том, что функции /?{ имеют • в .окрестности точки (0,0) дополнительный погранслой неэкспоненциального типа.

Остальные погранфункщи строятся аналогично.

Теопег/а. Решение задачи (i) представило в виде (2) , причем

равномерно в области Si Во втором параграфе строится а. р. решения эллиптического уравнения о тремя пространственны;.!:: переменными и малым параметром в краевом условии -.'.-.

fe fe¿ и - у, ж) Я-р^Щ«*}* (ою),

о = « о , - gc . ¿ (^)U 1Тг0 - о. (3)

Здесь с\с>0 , , къ %0 >0 в Q, финитная..

&.. Ре задачи (3) построено в виде

« - Í в4 (Ü£ (а.У, г) t fl¿ (1,У,г) i- Л?

' ' _ (4)

где f-jhx »l* , "..

Регулярный ряд, обыкновенные погранфункцяя П1 , /7^ , Па

и угловая погранфункция Я — строятся стандартно, Погранфунтарк Ц* , , М строятся методом неполного-

разложения в виде рядов £ S) , -

, /4=5: g¿AÍ ¿ (f,0,e-;s) . Коэффициента радов

t"0 iro

есть решения задач

\ Kfl^ ,-íff?

/ определяются из аналогичных задач /,

^ -сг(а,о,о)Н[ = /и? , ^о.о^о^о,

где правые части уравнений и краевых условий известным образом выражаются через ужа построенныо погранфункции. Все ,

элементарно выражаются через квадратуры. Справедливы оценки

N¡1 ^кСГе^'Ч«^

1

9

которые показывают наличие дополнительных: псгранслоев неэкспонек-циалького•типа .

Xg.ope.Ma,Решение задачи (3) представило в виде (4) , причем -О равномерно в области 3.

В третьем параграфе строится а. р. решения параболического уравнения с малым параметром в краевом условии

а'а^Ил* о&л 6£~(о,*)*(о,т)-

и* + а|ЯиХ = ?*(*), и(о,х)-ог' • .

где аъао>0 , ?.%10->р ,?1*>Лс>0, (р0(о)ФО , 9*(о)ФО .

А. р. решения задачи (5) построено в виде

1=0 < ' -я л'

где ¿^Я^Ма^^

л 0 ± *

Регулярный ряд строится стандартно» Ери построении погранфункций 0s и возникают такие ле сложности, что и для эллипти-

ческих уравнений, поэтому для их построения'применяется метод неполного разложения по параметру. Переходя в однородном уравнении • к переменным > Z° и выбирая определенным образом функцию

V г получаем, что пограяфункция Q-B Q есть решение уравнения

G* = Qs*s t S<5(£S,t)a* , ^ >0, (?)

где б(& J,г) гладкая, ограниченная фушеция, Краевые

а начальные условия для (Л* имеют вид:

-gi(t) с£.+Q ^ft) Uо = a*s~z2> • (8)

где Г(tj - i « О(ёs) tt*t(Z) ,a%8) j. известная фун-

вднж» Подставляя разложение Q* =21 в задачу , (в)

получаем , что G{, есть решения задач:

б ¿г s ©¿дд , з >о, о<г<т,

где fyj , выражаются через Qj , j < i . Все G{

элементарно записываются через квадратуры. Справедливы оцежи:

|Gtl Се**' \ л,о,

из которых видно, что Q{ имеют дополнительные ноэлепоненциаль-ные погранслои в окрестности точки [0,0) . , Погранфункция Q* строится совершенно аналогично. Террема. А. р. решения задачи (5) представило в виде (Gj , причем Ь" 0 (sfttij равно).'. ;рно в области Ф

В четвертом параграфе строится асимптотика решения параболического уравнения с двумя пространстпснтми пепеметшул и малым параметром при производной в краевом условии:

(уЛ), (9)

Г б^с = ^ .

Здесь ^ «¿0 > О » ¡Ь £¡>0 и на ребрах области 2 на функции ^ У не накладывается никакие условия согласования. А. Р. решения задачи (9) построено в гадо

где . Г1 ,

Регулярный ряд строится стандартно. При построении всех погравфунк-ций применяется метод неполного разложения. Так, погранфупкция

оо '

в окрестности стороны эе=0 определяется

«.-с

из решения задач

, 0< I <гТ "

где 7С? , выражаются через Ду , у' ¿>

Справедллвн оценки

Л

Остальные догранфункция строятся аналогично. Погранфункция -

в окрестности ребра ,

гчз

' 12 . строится как решение задач

§десь ^ известным способом выражаются чврез „ ^г ,

Справедливы оценки !*>*(- Се"*4* /№)) , А »0. Остальные погранфункции К. строятся аналогично. В со аогранфункцш П , О. , Ц выписываются в квадратурах. Теопема.Решение задачи (э) представимо в виде (ю), причем

равномерно в области 52 В пятом параграфе стройся а. р. решения параболического уравнения вырождающегося в алгебраическое, с малым параметроп при производной в краевом условия:

— (Ц)

*= Здесь , » » У - финитная по у ,

. вообще говоря, * О , А* р.' решения задачи (Ц) построено в виде

где а^л , ё"1^.

Погранфункция й строится стандартно. В окрестности робра .

СО ^ .

. О^зТ строится погранфункция Ъ}1) ,.

причём Р^ есть решения задач:

ДРг ~ Ь*(о,оЛ)Р{ , %

+ 1?«0=/>? (О?

где известные функции. Справедлива оценки

В окрестности ребра строятся погранфункция «5 =

= 2 »где есть решения задач

= а(о,у,о;| - с (О,Ц, 0)^1 , 5»о,г>о .

X г

~ известные функция. Справедливы оценки

Б окрестности точки (0,0,0) строится погранфункцяя /Ч -? , где есть решения задач

Справедливы оценки . .

Теорема. Решение задачи (II) представило в виде (12^) , причем

~ ОГй,"1) равномерно в области . . Во второй главе строятся а. р, разрывных решений с, в* параболических и эллиптических уравнений в областях с угловыми точками и

в

ребрами с кусочно - непрерывными условиями Дирихле. При построении а. р. решений подобных задач происходит потеря гладкости у погран-фуннций в окрестности разрыва точного решения. Дяя построения

а, р« применяется метод неполного разложения по параметру. В первом параирафе строится а. р. решения простейшего параболического уравнения с несогласованными краевыми и начальными условиями:

Ut « %аrí (ar,t),x,taQ = (O, i) * (0>T),

U(o,t)= %(t)}u(X,i)- % (i), и(x.O) = Uo(x), • (I3)

где a^ao>0 ,%(о)Фи0(о) .%(0)*Uo(l) . А. p, решения задачи (13) строится в виде

tu£ sY^^eVo^^ e VCsV, §)) - (14)

i-i

где ,5* . t" , определены так же, как и в

§ 3 гл. I.'

Регулярный ряд строятся стандартно. При построение погранфункций 0е я QK стандартными метода«! при Vc{o)tUe(o) У

членов асимптотических рядов возникают особенности, поэтому для построения этих погранфункций применяется метод неполного разложе-' ния. Переходя в однородном уравнении (l3j к переменным и

вибярая определенным образом функцию tf 0 , получаем, что {2*»е ^"0. есть решение уравнения

fr" ^ ¿ гч /

Подставляя разложение G =216 QAzb уравнение и дополнительные

t*o 1 '

условия, получаем:

б¿r= Qy5 , ¿>o,t>o/ G¿(<VtJ =JÜi(t) tQi(¿,0)=0, Uo

x ,

В правые части уравнений неограниченные в точке (0,0)

производные от Qj , не входят и все Q{ существуют.

/■¡i.

Погранфуякция Q. строится аналогично.

Теорема. А. р. решения задачи (13) аредставимо в виде (l4) , прячем £= 0(S л+1) равномерно в области 52 . Во втором параграфе строится а„ р. реиения краевой задачи второго рода для почти - лилейного параболического уравнения . .

fl5)

Считается, что уравнение f(t/,x!,£) = о имеет изолирований

корень К = Ц>{х,Ь) > ?ако8е что x/i) < 0 . А. р. реиения задач® (15) построено в виде' Ц= 1 (хЛШх.т)+1- (16)

где

о а

Погранфункции Л , , Q. и регулярный ряд строятбя •

стандартно. lips построения угловых погранфункцяй Г° „ Г у

стандартными методами неограниченные в точке f0,0j производные

от предыдущих приближений аопадав? в правые частя уравнений,, что

делает невозможным построение Г" . Для построения угловых ногран-

функцнй переходам в уравнении.для определения Г" к переметов.!

Д и определенным образом выбираем функцию Ч/0 .

Подставляя в полученное уравнашге и дополнительные условия

^=6 , получаем» что I i есть решения задач

Ггг - rij5 k (г) Г{ ^iM

Лг) г.» —■ 'И

где - известная функция, ^ определенным образом

выражаются через fj , j ' * í . При таком определении Г{ в неограниченные в точке (0,0) производные от íj

не входят я все Г¿ существуют. Справедливы оценки

Погранфункция р * строится аналогично. Теорема.Решеняе задачи (15) представлю в виде (l6) , причем

равномерно в области 52 » В третьем параграфе строится а. р. решения параболического уравнения с двумя пространственными переменными и кусочно- непрерывными краевыми условиями:

i't

У (я,у,о)Ф0.

Здесь aua¡¿ -cf/2 а0> 0 , граница дЯ. состоит из гладких Др> í j , i^j имеющих конечное число точек перегиба а азре-' сэкаюазжоя под ненулевшш углами в точках Щ(Мв*Мк)> Функция ^(xtyt} отлива от нуля только на Г{ яЩN^ijfO ¡ на осталь-

ных дугах íj- функция тождественно равна нулю.

Отметим, что при гладкой границе 3á? к функции f(Hjt) а. р. решения задачи (18) было получено М.И. Внпшком и Я. А. Ягстерником, ври-непрерывной Ч>(М) -В. Ф. Бутузовым. При поотрое-

• ше а. р. решения задачи (18) так, как это делалось ранее, невозможно.

А. р. решения задачи (18) построено в виде

tu z¿H?>lU) t.D) * г я., (19)

1=0

где растянутые переменные р , О'0, г"1 » б * выбраны специальным образом,

Погранфункция О, в окрестности Гц у (с^Т) эсть решение залачи

\ (20} I й I г< - , й 1г> о~ °> о; •

Для построения а» р. решения задачи (20) с несогласованными краевн-ми и начальными условиями сначала соаерааегся переход к новым специальным переквняш* р , I поолв чего 0. ав;ется в виде

Ряда &=21 § „ ыI есть решения задач

С-о '

тт Р >о, он 0< и А

.бии = а-: 11.о = °>

в которых 1(1) - известная функция, сег^ определенным обра-

о • ■ а

эом выражаются через и^ , ^ <■■ г. . Координаты р , С выбраны

так, что неограниченные в точке (0,0) производные от (3; лопа-

и я ^

лают в с сомножителями р с Й г 2 для вторых и

.4» для первых производных, что обеспечивает ограниченность, тальдеровость правых частей задач я существование всех £хг. Построенные погранфунхции , либо вносят невязки аа соседние участки границы Г^ Г? / рис»- 1а/, либо разрывны / рис„ I б/. 3 первом случае з окрестности ребер /\ц(ср)и ИЛ(0,Т) строятся угловые погранфункции , Я4 , которые; формально удовлетво-

ряют уравнении (18) и совместно с О. краевым условиям. Уравнение (18) предварительно преобразуется к специальным переменяй« : Iф^ ЩЭЬ ^гЩг

Переменные £ , и ' выбираются так, что (М0)-1, о^, (Ма) - (Но) -О.

После растяжения переменных д- , у> : ,6=%")? погранфунк-

ция строится в виде ряда Ъ^-Ц^ (£ I» Б котором

есть решения задач ■ С °

в которых г 1 , , 2 г известным образом выражаются через

$ • , 4<1 „ П, е Г(/ - касательные к дугам Г{ , Г^ в точке

' г»

. Неограниченные производные от к^ попадают в правые части уравнений и краевых условий с сомножителям п с ПЛ(К >>к да® вторых и )1+т>,1 для первых производных,, что обеспечивает ограниченность, гельдеровость к существование всех КI . Справедливы оценки:

Если область 52хУ в окрестности точки Мс невыпукла, то погранфункция 12 доопределяется в пересечении окрестности точки Мр, с областью рис. 2 /.

Если погранфункция О. разрывна, то она заменяется на специальным образом построенную гладкую функцию 0. . В этом случае угловая погранфункция ликвидирует возникающие невязки не только на границах, но и в уравнении. # имеет тот же вид, что и ранее, 12 £ определяются из аналогичных задач, но с дополнительными неоднородностями в правых частях уравнений и краевых условий.

■Ш

Л <> 4,„Л. Л

¿"Г, Ч V ,-,0 г

Рис. I Рис. 2.

Погранфункция £ 1 в окрестности ребра /М^ А (о,Т) строится аналогично.

Теорема. А. р. задачи (18) представимо в виде (19) , причем

равномерно в области 52 г . В четвертом параграфе строится а. р. решения задачи Дирихле с кусочно-непрерывным краевым условием для с. в. эллиптического уравнения:

и = (¿V+= 1(а«и1Х ЧХу шгг Ыф^хф^О Оператор 'Х , область и функция

удовлетворяют тем

же условиям, что и в § 3.

А. р. решения задачи (21) построено в виде

где, П - погранфункция в окрестности стороны Г^ , 0° , 0.*-угловые погранфункция в окрестностях точек /Чс» /М/, .

оо

Погранфункция |7= .2 ^¿б^;, £) строится стандартно* экспоненциально убивает по переменной Н и либо вносит невязки на соседние участки границы, либо разрывна в .В первом случае угловые погранфункция формально удовлетворяют уравнению и совместно с П - краевым условиям. Переходя в уравнении к переменным

/ , 1? -переменные, приводящие к каноническому

виду и такие, что строим а. р. погранфункции О.0

оо

в виде ряда (2 =2. » в котором (2г 9СГь решения

1-0

задач

*

М,-И. Вишик, Л. А. Люстерник/'/ УШ, 1957,т.12,®,с. 3.-122.

л*,¿си кг(Мо) а

»•£ выражаются через , Гд , Г( -касатель-

ные я; Г0 о П в точке М0 . Неограяичвннаеу1ройзводаые от й^ в точгш Н0 входят в ^ с сомножителями ,

поэтому являются ограниченными и гельдеровыми, что гарантирует существование всех О* , Справедлива оценки

" ¡й*

В случае, есдг 2 невкнукла в окрестности Мо » построенная погранфункция определенным образом доопределяется в пересечении окрестности точке Мс с областью 52 е Если жэ погранфункщя (Г разрывна» т угловая погранфункция строится аналогично тому , как это делалось в § 3 гл. 2«

Погранфункция (Ц* ъ окрестности точки строится аналогично. ТеоремаРешение задачи (21) представило в виде (22) , щжчем ^»О^'1*'*) равномерно в области 52 »

В пятом параграфе строится а. р. решения задачи Дирихле в кубе для с® вв эллиптического уравнения с ц переменнными:

С^х-с2(м))и* § £-сЩи = О

-Г* *

«и**-» м«а-гос,,^}. (23>

Оператор X считается равномерно-эллиптическим в О. , Сг*йо>0 , а5 вообще говоря, Ч(М)1Х„^0 £0

В случае трех пространственных переменных а. р„ решения задачи (23) построено в виде

Ы.Л а/ Лр*)*^

С»0

Погранфунжция П = ^¿(^¿.Я^Дэ) »застроится методом Зяшнка - Люстерккка н экспоненциально „убывав? по переменной % » Для устранения новязок9 вносимых И на еоседииэ грани» строяэ« ся погранфункцня 0- » которые формально удовлетворяю« уравнению и совместно с П ~ краевым условиям яа соответствующих гранях. Погранфуяхция 0. * , например, есть решение задача

[(82Й -сЗД а -о

(25)

Переходя в уравнения к переменным получаем

Переменные ,5-, , ¿"з выбираются так, чтобы на ребре /_(ярО^О) выполнялись соотношения =^23|,=0 „ =0 .

»51 ¡1,

Погранфуикцая О. строится в виде £2 = Л? ? Ьу

члени ряда £}{ есть решения задач

и / э!01 Эй г ,Гр эаг Д? а1

где , ^ „ е^ зависят от 15 как от параметра, ^ язвестным образом выражаются через Оц , . Неограниченные производные от входят в правке частя уравнения ж граиетныа условия с сомножятелямж ДУМ вторых к ИШЫ

для нервах производных» поэтому правые часта являются зграяягсвнин» Ш8 я гельдеровнмк„ что гарантируег существование всэк $ Вса О! акспоненцяально убывают по растянутым поремэншаа.

Остальные погранфунк^ж 0. в окрестности ребер -Х^О, I

строятся аналогично. В окрестности верашк (0,0-0; . (0,^,0) > (О, О, I) > (0,1,1) строятся аограяфункцак р^ , йогранфршдая Р'' есть решений задачи.

>0, I* 1,3.,ъ

- /0£)

Посей перехода в задаче (26) й енеда&Ешшй координатам £с= 8 » I. « 1„2С3 /За выбрани -гак, таобк Щ%Н0>0>°}= 0 / а^ Р« решения задача (26) отроится в шд© рада р ~ ГДЭ р-г эсть решения задач

Л?! «А? А;| Рг1

Ег

¡>1" > о о ^ ояределэнным образом выражаются через

° Неограниченные в точке (одо) нроизводнне от Я- входят в ^ с сомножителями вида ^Дт/"?/ с ^ й ¡,(к~ порядок

производао^, поэтому все ограничены и гельдеровы, что таран-'

тнруег существование всех Р^ , Погранфункции РИ в окрестности остальных' вершин строятся аналогично.

Теорема .. Решение задачк (23) при /1-3 представимо в виде (24), прачек равномерно в области Я.: .-

Б этом же параграфе построено а. р. решения задачи (23) для произвольных натуральных ги

В третьей главе строятся а. р. решений некоторых с. в. д. у. , опи сывагщкх динамику процессов сорбции - диффузии, акустики релакси-

скрудах газов, переноса лримасн в атмосфере ври наличии подхвата с подстилающей ловэрзности. •

Для большинства рассмотренных задач характерно наличие еуб-характвристик - линия, на которых члены а„ р0 теряю? гладкость / характеристик вспомогательных операторов, эознккввщих в процессе построения а. р„ /.

В первом параграфе строятся а. п. решения с, в. системы д, у. , описывающих процессы сорбции - диффузии:

+ га(х)и-ёГ5=)гг-о,

/27)

гШи!^ ОД, а

Считается, что с!(х) , а (л) >М0>0 , » ^(Ь) >Ло>0 »

0

и - финитные.

Вид а. п. существенно зависит от соотношения между малыми параметра.««! § а уи , поэтому отдельно рассмотрены случаи , ¿у-е',

При задача имеет вид

5гги - 1Г= о , хД 6 5?

Регулярная часть а. п. решения Ц0 , 1>0 удовлетворяет задаче а0 = с(*)«0 ? е(» - а(ъ) /&(х): (I*-с(х))и.оЬ гйОх=0 , х,-Ь е Я

известная функция. Уравнения для определения ИБ есть следствие условий разрешимости уравнений , определяющих следующие члены регулярного ряда и. , 1К , что характерно для с. в.

уравнений в критическом случаеДля устранения невязок в начальном условии строятся погранфункции Пои(х,г) , Г1д1Г(х,гс) , Т = , которые найдены в явной форме.

Функции Ко и 1Т0 разрывны на линии субхарактерио--

тикеР которая не совпадает с характеристикой системы 1:1 - ж /, что говорит о томе что точное решение на линии, I имеет переходный слой о переходящий в пределе при в разрыв« Для описания этого елок применяется разработанная ранее автором5" процедура , сглаживания » Построенная функция , равная ^¿(х^) при Ь>0>(х) е 0"(Гярк Ь< В>(х) заменяется на егдавеняув функции ££ » которая отличается ог 1С лишь в окрестности линии I г «.=и&к) -г <&(£>)) Возникающие в уравнении к граничных условиях невязки устраняются с помощью функцк! переходного слоя 80И которые определяются как решения задачи

< с(ьХь)) ,

СоО

(ь е (= (£0им - & ),-Ь>0, №

ы > Ц^>о = -1

и равны со

^ г -В

В окрестности точки (0,0) строктсй' внутреннее разложение/см. ^Васильева А.Б0,Бутузов В.$„, Сингулярно возмущённые уравнения в критическом случае, М.,МГУ,1978. *эгНестеров А, В, 0 процедуре сглаживания... Дисс. на соиск. степени канд; физ.-мат. наук, М.,Москва, 1983.

сноску на стр. 2 / , б^^ф» Эти функции есть решение

задачи

* л ~2

й0т?г = 0(0)Оси - 8(0)Оо гг • и найдены в квадратурах.

Равномерное в 52. а. п. решения задачи (28) имеет вид

ц= г70 «-П0и 9<*ои

(2Э)

где *%г)'/г) = „ - срезающая функ-

Теорема.Ревение задачи (28) представимо в виде (29) , причем

равномерно в области 4 2

Аналогично рассмотрена случаи и = % , . Построенные а. п.

имеют качественно иной характер в окрестности точки (0,0) Во втором параграфе строится а. п. решения задачи (27) при,^4., А. л, решения построено в виде

£=о ,

где Ъ-&~г1» | з .

Регулярная часть а. п.(зо) есть решение задачи - Я^г'^.ц^

*

Погранфункции f^u „ U^tr найдены в явном вида. Угловые иогранфункцик SjU t- S/IT есть решение задачи

- аS,и - Ho,o)S{w , Stult^^iy\t_0 =0,

Они найдены в квадратурах» Интерео-яой особенностью задачи является отепэяное убывание аогракфункций SfU , S/ty s

|s,a[ & Се * г , se

Теорема. Решение задачи (27) при ju~i представимо в виде (30) » причем ,%))- -О (&г) равномерно в области

S2. «.

Построенное а, л. (Заявляется математическим обоснованием используемого в теории динамики сорбции "квазиравновесного" приближения. Б третьем параграфе'строится а. р. решения задачи , описывающей распространение примесей в почвах:

еЩ.а fL ~а(х)и

|If^aMu-Efövi-ztetytxt £&*(о,«>)х(о,Т) ^ -ux+ НЩх*о =<№)»tL-»- О, а?-> »о ; uj^Q = Wf.0 - о.

На функции а , а. , & * £ , S i ff . ^ наложены те же

самые ограничения, что и ранее.

А. р. решения задачи (olj построено в виде

U-г iu(xfl)+Qivfct)+riu(s&&)+ tu

1=0 . (32)

у= f gV^.t) *-tlivr(xtx)+Qiir&t) +Г11Г($Ы))г tr .

i-o х-

где •

Регулярный ряд TL , IX » погранфункции D« „ Пгг „Qu , Qir строятся стандартно. При построении угловых погранфункций Ги с iV возникают краевые задачи с несогласованными начальными и краевыми условиями и поэтому для построения угловых погранфункций применяет ся метод неполного разложения по параметру» После переходе в однородных уравнениях н новым переменным Д 8 X погранфункции (V строятся в виде рядов Ги-^Х £1 Г{ U (S Z) » Л- -

Ш ОО ■

- & Гх iy(ß,v) » В которых Qu „ dir есть решения

задач.

fivrv ^a^u+yfur, I=

^¿K , ^¿ur- выражаются через Pj U, [Jo-}j<i. Все Q удовлетворяют оценкам

1 r- t i ,- i л г* (З+Тг)

|Q«| JTitH * Се , аг>0.

Теорема. Решение задачи (31) представимо в виде (32) „. причем tu' > Ту- 0равномерно в области Ж . В этом же параграфе построено а. р. решения аналогичной почти-линейной задачи.

В четвергом параграфе построено а. п. решения с» в. уравнения, описывающего акустические колебания в релаксиругщюс газах

\x,i € Я. = (О,coj X (О,оо) (33)

[Щх.0)*ифф utt (х,о) = О, U(o,t)= 4(t), <1(0) ФО . х

Здесь 52/*) >. Х0 dL0>О , Пусть Ä (х.) »Joi (■sjcls ,

.¡¿(x)*faiflz(i)ctb. о

А. п. решения задачи ^ЗЗ) построено в виде

и=[(«„ ф) +s0)(L- V№b QoVfot)} ~ ¡¿(Ф г, (з*)

где 9(h) - функция Хэвисайда» Регулярная: часть а«, п. (зз)есть решение задачи ■

\Uotz -°i(cz)UoXXr=0 •

и0 (х,о)=аоь (х,с) й0 (o,t) « Ч(Ь)

а имеег разрыв на характеристике L t-P<(-~) / еубхарактеристкке задачи (34) Д В окрестности точное решение задачи (33) имеет

переходный слой^. дая описания которого используется процедура сгла--тавания0 Цс заменяется на гладкую функцию U0-U0iO(j)fy= возникающие невязки устраняются с помощью функции переходного слоя $0 , Она определяется как решение параболического уравнения ■ ж имеет вид ? аа ■ г

. sdi)

jttft), d(i) - известные <рункцци. ' В окрестности хочкк (0,0) строится внутреннее разложение && :

ISrlW* " Тс*-" Qiz'~0f

Теорема. Решение задачи ^33) представимо в виде (34} , причем

равномерно в области где />0,

Т>0 -»любые фиксированные числа,, 0< (/ц * В пятом параграфе строится а. р. решения с, в. системы уравнений, описывающих перенос примеси в атмосфере при наличии подхвата с

подоталатеей поверхности;

Отмэгкмц что неизвестны® С s G, связана через с. а, краевое условно»

А» р. решения задачи (35) построено в виде

С = 1 ¿-(Ccte.'i.ïthrii + ta. ir .

!,»о > _ • ( ЗЬу

£3 - £ 6*(С3 i (*.У; t)*nsi (х,y,z)) Un ,

где rrtî"1' «

Дяя практика интерес представляют нулевые.члены регулярного ряда, ко тора о определяются яз соотношений CU = <зС0{ /8 , Ср -

v - Г8 à 5 Х"С '

<?о --е~и'у

Щ i% + V (»■* %) -

%\ио = ( fc.'fcy.Wb + clfay)) /1(*<уА

... о

в которых â , tr* , ¡с* определенным образом выражаются через воэффицненгц уравнения (з5) »

Теорема.При выполнении условий согласования V(x.,i0{Po(x,vi)7Lfi)i С решение задачи (35) представим© в виде (36) , при-

чем t^^^Ofê у равномерно в области S-. .

Ао р. решения задачи (35) использовалось яри прогнозировании поведения, пятна загрязнения радионуклидами в районе Чернобыльской АЭС«

so

Э заключении кратко подаэдевк атоги.

Автор выражает благодарность научному консультанту профессору

В. Фс Цутузову за постоянное вшшшке ж работе к полезные обсуждения®

Основные результата диссертации опубликована в работах?

I. Нестеров А.» В»» Бутузов Во О некоторых сингулярно возмущен-ннх задачах с негладкими пограничными фуккцаяш* ДШ CCCPS Х982с эе 283с 4 4 , с, 786 ~ 789.

2о Нестеров Ав Вос Бутузов В. ф, 0 некоторых сингулярно .возмущэя-нах задачах гшшрбожчэсхого айна с переходными слоями. ДкфФ» ур-ия, 1986„ т. 22„ В Юр 1739 - 17440

3« Иеегэров А. В. К обоснованна квазираановесного приближения б теории дкнашкЕ сорбщш* Ш 'и М®0 1987е т. 27„ • £ 7, с. 1005 - lOIIo

Ней'еров А,. Вв 0 степенном угловом погранслое в одной сингулярно возмущенной задаче тжпа сорбция - диффузия» В сб» * Метода малого параметра,. Тезисы ввсесоозного совещания". Нальчик, 1987„ с„ 10Эо - .

5« Нестеров Ас В0 Об асимптотика решения о переходным слоем одной сингулярно возмущенной гиперболической системы уравнений. ДИГСССРц 18890 So 305 „ JS 6, 1350 - 1353.

6. Нестеров А,, В„ Об асимптотике решения системы уравнений диффузия - сорбция прк малых коэффициентах диффузии. ША к I®, -1989, Л 9„ S. 29, X3I8 ~ 1330,

7. Нестеров А. В» Об асимптотихЕрэешения одной нелинейной задачи дом сингулярно возмущенной системы уравнений диффузия - сорбция. Ш и Ш, 1990, т. 30, « 7, ПОЗ ~ 1107. •

8. Нестеров Ас В. Об асимптотике решения одной сингулярно возмущенной краевой задачи для системы уравнений диффузия - сорбция, IBM и MS, 1987, т. 27, Л 2 , 219 - 225.

9. Нестеров А, В., Варламов В. В. Асимптотическое представление решения задачи о распространении акустических волн э неаодао-родной сжимаемой релаксирующей среде. ША и МФ, I990s т. 30г, Я 5, 705 - 715.

10. Нестеров А„ В» Об одной сингулярно возмущенной краевой задаче, описывающей перенос примеси в атмосфере, В сб.:и Метода теории сингулярных возмущений в прикладных задачах"» Материалы Ряжског-совещания по методам малого параметра, Рига, 1990, с, 154*

11. Нестеров А. В.. Об асимптотике решения параболического уравнения с сингулярно возмущенным краевым условием,, 2ВЕЛ a MS, 1991, т. 30, й 9, 1320 - 1327»

12. Нестеров А. В., Возженников 0. И. О переносе прямеои в атмосфера яря ветровом подхвате с подстилающей поверхности. Метеорология

Я гидрология, 1988,, № II, с. S3 - 70,

13. Нестеров А. В., Возженников 0. И, Об одном краевом условии для уравнения турбулентной диффузии при наличии ветрового подхвата. Метеорология и гидрология,, IS9I, № 3» 32 - 38„

14« Нестеров А, В», Возженников 0. И» Модель долгосрочной оценки расширения пятна радиоактивного загрязнения, обусловленного аварией на ЧАЭС за счет вторичного ветрового подхвата» Труды МЭМ, вып. 19 / 152 /", с. 106 - III.

15. Нестеров А, В„„ Возженников О» И. Ветровой подхват г приближение равновесия и его применение к проблеме самоочистки поверхности. Труды 5-й Международной конференция по проблемам взаимодействия атмосферы к поверхности, США, Ричленд5 1990 / на англ./.

16. Нестеров А» Б« Об одной модификации метода пограничных функций. Математические заметки„ 1993, т.

17, Нестеров А. В. АсимптЬтика решения параболического уравнения о сингулярно возмущенным краевым условием. Успехи мат. наук,'

•1993,

Подписано к печати 31.05,93 Зшс.121 Ойъём 2 п.л. Тир.ВО

ШЗЛ, Москва, И.Пионерская ул., 12