Асимптотическое поведение решения сингулярно возмущенных краевых задач с начальными скачками для обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНЛЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени АЛЬ-ФАРАБИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТКТ

Специальность 01.01.02.— дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических иауч

РГО—И

а 1 .

На правах рукописи

БАЛГИМВАЕВА ІІІолпан Адбапоина

АЛМАТЫ 109 і

Работа выполнена в Алматннском государственном университете им. Абая на кафедре математического анализа.

Научные руководителя: член-корр. НАН РК, доктор физико-математических наук, профессор К. А. Касымов, кандидат физико-математических наук, доцент Е. А. Абильдаев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дж. М. Мырзалиев, кандидат физико-математических наук, доцент Н. Б. Биадилсв.

Ведущая организация: Институт математики НАН Кыргызской Рес-' публики.

Защита состоится « ^ & "9 1994 г. в часов

на заседании специализированного совета К 14/А 01.05 в Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фараби на математическом факультете. ’

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета.

Адрес факультета: 480012, г. Алматы, ул. Масаичи 39/47. ’

Автореферат разослан « <5 » 1994 г,

Ученый секретарь специализированного совет-Ч

доцент ^ Б> М’ 1гАДЫКЕ1ЮВ

Обшая характеристика работы.

Актуальность те:.ы. Многие задачи механики, физики, химии и других областей естественных наук праводяг к дифференциальным уравнегщям* содержании малые параметры, при старшей производной. В качестве малых параметров могут выступать, напрамер, лоотоян-ная планка,, входящая во все уравнения квантовой механик;:, отношение коэффициента дпт/Тузаи к скорости химической реакции з теорій горения-,. коэффициент вязкости з теории исследование одномерного, сгациояарного потока, возникающего при вдуванпл газа в какал со. сверхзвуковой скоростью, отношение длины свободного пробега, молекул к размерам обтекаемого тела в теории перехода от кинетической теория газов к гидродинамике, величина обратная числу Еейкольдса в уравнениях Навье-Стокса « т.д. хотя физические .процессы этих задач отличаются друг от друга, но с ¿'атематической точки зрения она оказываются аналогичными, тематически параллельными. Такие уравнения называются сингулярно возмущёнными дифференциальными уравнениями. Методы ¡їх решения представляют собой сейчас одну из важнейших задач качественной теория дифференциальных уравнений. Этя методы принято называть асшштотическпли.

Для решения такого рода задач были разработаны различные асимптотические методы. Посяе основополагающих работ А.Н.Тихонова были разработаны эффективные асимптотические методы. 3 первую очередь следует откегять наиболее простой аспглітота-ческай метод пограничных функций, разработанный л.А.Люстзрш:ком и .МЛ.Вкпшком для сингулярно возмуивняих лішеіітх л квазг:л'г/?ел-нкх дифференциальных уравнений, А.В.Засильевой для яеагав&шх дифференциальных уравнений п И.II.Цкааалп.-*нн?л для кэлшю&чнх пн-

тегро-дггТференцяальнюс уравнений. Дальнейшее развитие метод пограничных функций получгл з работах В.А.Трзнсгшш, Б.А.Туїгпіева Б.5.Бутузова її других авторов.

Проблема сингулярно -возыуаёшшх дифіерйнц'лальиьпс уравнений в разил: аспектах рассмотрена так&з в работах С .А .Л смога, В. ІІ.Роіасова, ?,!.М.Хапаева :і др.

Пр;: изучении некоторых краевых задач возникает случай, когда быстрые переменные клн производные от медленных переменных в начальный момент времени не ограничены при стремлении малого параметра к нулю, Такая кравная задача эквивалентна задаче Кссш с начальным скачком, Впервые задача Коша с начальным скачком для нелинейных сингулярно возмушёшшх дяфференцпальанх уравнений второго порядка была изучена Л.А.Лкстернкком, 1,1,И. Бкскком и к.А.Каснмознм.

Однако краевне задачи для сингулярно возмущённых обшено-взтих да^оренцаалышх .уравнений с граничними условиями, но зависящими от. малого параметре, но обладашае явлением начального скачка до последнего времени мало изучены, решение таких краевых зада'» вмеот начальні« екзчки. Краевые задачи, обладавши яашюем начальных скачков, естественно, модно называть краовіш оодачами с начальными скачкамк. Поэтому .исследование кпгокж задач с начальними скачками для сингулярно возмуаёшшх о&жшвенянх ди^еренцаальних уравнений представляет собой как. теоретический, так .и практический интерес. Получение оценок ресингулярно возмугазкшх краевнх задач с начальними. скачками к построение асмагаютическкх разложений их рещенпй является актуальной задачей теорий доф^еревдгалышх уравнений.

Доль работы. Получение оценок решений н науенденке условия

сушествовання начального скачка линейных краевых задач с начальными скачками для сингулярно возмущённых дифференциальных уравнений. Построение асимптотических решений сингулярно возмущённых краевых задач для лкнейных с квазилинейных дифференциальных уравнений любого порядка.

Научная новизна, в диссертации получены следующие нонге результати: оценка решений сингулярно возкупённых краевых загач для линейных дифференциальных уравнений, оценки разностей ¡ле:'ду решениями возмущённых я невозмушбнішх задач, порядок роста решения з окрестности точки начального скачка, зсимвтотаческсо разложение решения краевых задач с начальным скачками для спн-гулярно 'возуущёшшх лилейных и квазилинейных дк:1>ферещ:шлышх уравненкії.

Практическая и троретическая ценность. Результаты диссертации могут,быть использованы как пра теоретических исследованиях решений' дифференциальных' уравнений с малы;.! параметром при старшей производной, так и в приложениях теория дяМереяц':аяь-ных уравнений к задачам физики, механики, хкшш, техника и др.

Апробация работы, содержание работы докладалось па научно-теоретическом семинаре кафедры дифференциальных уравнений математического факультета КазПТУ ям. Аль-Фараба ( рук. член-корр. ИЛИ РК Х.А.Касымов, проф. Да.МЛырзалпев ), на научно—тооре гическом семинаре лаборатории дайерекцмаяьяух уравнений аш НАН РК ( рук. член-корр. НАН РК Д.т.умбатаанор, пу<х*.

М .К.Рахимбердлев ), на научно-теоретическом семинаре каТ%дрн уравнений ма’гехатйческой йиэккк ¡¿¿тематического <?5кулы"вга К«5эПГ/ ам. Аль-Фарайя ( рук. проф. С .И.Текпрбулгто?? ), «:• каучас^теорвтпчеокоы сеж-гаое кафедр» .йЗхоглатЕ^сского г-пал":-’

ШЪ АГУ ил. Абзя ( рук. доц. Е.А.Токибетов ).

ПуЗлякацаи. Основные результата диссертации опубликованы в трёх статьях, список которых помещён в конце автореферата.

' Структура и объём работа. Диссертация состоят из введения, двух глав и списка литературы, нхштакгсого названий. Об~ е."й объем диссертации составляет' страниц.

Краткое содержание работа.

Введение содержит краткий обзор по истории развития асямп-тоткческлх методов решений сингулярно возмущённых уравнений и краткое содеряаяае глав диссертации.

5.первой главе кселедуется сякгулярко возмущённое лпнеляоо обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка с Мали/; параметром дря старшей производной кую: ■

■+• ЛсС±')^'к ,а)+... t Ип_шу с%п^Рс±) (I)

с краевыми уелобилии: '

О^р^а-2 ,0«Я^п.-5* . ,р0<.. <р^т ,т-г"ос4о,..,*•■*} Н®рсду с сингулярно возмущённым уравнением (I) рассматривается ооогаэтотвущес невозмушённоз уравнение:

+ /1л<С-Ь)^(!)•=■ НС’Ь) (3)

е краёки;.'.а условиями; ( при &>С> )

~-.к тчгшямг уелевяямя ■( при Н~0) .

• 1рС°^Ч >’ • <Г^ ! . (4-5

Предполагается Еыпол.чение условий:

А Сп-О ^

^Шє I (Со,Я) ,^о7м ; Рс-і)єСссо,і])

ТТ Я С-і) ^СОгиЪО І

Предварительно кеобяолягло нпГш: оценки репояяя гидами (1),(2), оиекк” разности режим задач (1),(2) " (3)»С4) :

услопге супостгопзлля начального скачка для задачи (1),(2).

Для построения и окенкл реаенпя у(-Ь,£) задачи (1),{2) делз-а: лродЕарательяые построения. Строп:.: ^утаци: ¡••-■і,п. ,

зеотогже нззквао? ^ункцняж Коши, и «Руяав'я 0-* С4>, Ьн.а . птн ■ &»-‘■у-уккцня яр.'аготся, соответственно, регекпякя задачи кп:п!” ;; краевой задачи для сингулярно возкулёшхого дйЛТ'орз:щг.альпэго уравнения. При зто:л ееодг.тся условно П.игСф-Ог^О, где цгСОД)-опредо^хтель, сосгавлешікіі из и ^ лроизводнш оундагон-тальной скптоілк репет:?. уравнения Ь'й-С1 э точках 'Ь-0Д-1

НаХОДКіМ оценки функций С4.1=7/1 п ’лх: ПГОП?В0ДііКХ.

і ’ а Теперь справедлива '

Лежа I. Пусть выполнены условия 1-21. Тогда краогэч задача (1),(2) ямеет .придостаточно калах £ едаясягекау») ¿уякцпл Гр^яа б' С-Ь^) продета?амуи в в;:до

а ¿1;» К. С^,5) К С-о , сн-ьх

1:0 $ К *?-**. *

0 ^,5^ ^ *,г ■ - ■

!і I 03^’ 1 х'с>‘

- гг) К б) ] , с-и+с-1\ ад^ы

С^0Д-* І с С-

О. С"Ь ,Б) = Л / с; \

^ и^К.^(0,5)Фг"4Ш ,*^1

где Кс^фСЧ:) , 1-^а , определяются из соответствующих формул.

Тогда решение краевой задачи (1),(2) прсдставимо в виде:

I?

•я справедлива

Теорема I. Пусть выполнены условия НЕ. Тогда сингулярно возмущёзшая краевая-задача (1),(2) при достаточно малых £. не отрезке 05-15:1 имеет единственное решение и ДЛЯ пе-

го справедливы оценка:

1)Ьо

(6)

1г|С')а(£)| ч<К|1Гу аСо,&)1+ К е"’^' +

+Н. 2 К. ^| Рс-и| , ¿- 5^=1

Л-ч

¡г|’ С±,£)и К.С-1 + £^->('8 Т)) Р;^£)| -Ь

+ Кл?Г Г*‘Ч&хь(;-й1:)) К|С| ь(:о8->! +

■ ‘ -.17)

-1'К(1 -I-ех^(-^■)')[!-ц^(Н е.)I-Ьп\ал£.IГ (Л )I

VI о С/ с £ 1 ^ л - *

ЬГ% $ )| *кл-н ?! ^ )) ¿2 |)Г'<ч»1+

О ' и * чи о

+К1Г^'-4с^;>С^;Ь}!\|‘л,(ое)!-ьК(-1 +

2) Ьо _ л.#

І^адІ * к Г^уА(о,ы1 + К[2 +

+2?йг?с1р^] ;с)'-ор^

1^а,&)?< К. езф (-3" ^)! ^г>со6 )Ь- К. С-1 + е-х ^ й|)) -

Г -%** , —і —і ^ ^

* 1.1Е>СР^>1+ &£?- I ^ \

;*д. ^

1грк,£)к К

п-> • -

^[^‘^'НоКта^ІЬІ'ОІ] ^^пГпГл

где К>0;Х>Я>0 - постоянные, не завпсяяно от і я £- .

Для нахождения оценок разности репенпя задач (1),(2) и

(3),(4) ( или (4,)), апалогичяим образом строятся фуягсхкп

Коши, К.а,5),і*^гм , функции СрШ/іДп-ї, -я функция Грина

Для кезоз:.-.упёнкого уравнения.

Лемма 2. Пусть выполнешг условия 143. Тогда краевая задача (3),(4) тлеет.единственную функции Грана 0(1,5) , представимую следующими $ор:.іула;.:п: '

±J- —і

Gc-t.s)-4*

'■^5 -°u's

HjS) Vr »' “•

где к CiS> Cp (X) І-Тій определяется из соответствутих фор-s. ' > і ' ' '

ыул. '

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1-й. Тогда краевая задача (3),(4) на огреэкэ Оіібі имеет единственное решение и оно представимо в виде:

^С-^= £^соЯ?, СЧИ ^§(4,s)Rs)ds (Ю)

где функции 1И,гм • и Функция Грпна Qa ,s) определя-

ются из соответствующих формул.

Теорема 3. Пусть зкполнеш условия ІЧД. Тогда шпальная задача (3), С 4_j) на отрезке О it Я имеет единственное решение Tj Ot) представимое в виде:

,д&)= -ЬК, а,«+ЩК jt,»Pcs)ds »и

___ 1 O .

где функции Коші К.Сч^ I* > определяются из соответствующих фор:лул. ■ • , ;

Теорема 4. Пусть вкполяегаї условия на. Тогда при достаточно глалых 8 : • -

а) для разности тяду решением сингулярно возиупённол

краевой задачи. (1),(2) ,Ь>Э, к рппениеы yft) іювоз-'луаош-оі: краевоії задачи (3)*(4) на отрезке Oibi справедливы слезуише оценки:

^ f{,£ Л'' |Vj>Pub f- У-Т\^(0)) -т 4-k£.(2K^I\j‘'"C4)! , y-O^Fi (12)

f'yk. Cfc^’-becx.^-S\)) llf'bf 5-у1ab,h

+ к. 6 К+ех ^ (-»"І і%Г«і .

4 ^(£~%

+ Ке.(1+ - <И7п35П

где К>0, Х>*>0 - постоян!Ш0, не зліз!ісії:апе <■'- и £ .

6) для разности между решением сингулярно возмущён-

но;! кроевріі задачи <1),(2),Ь=0, II решением у(Ч) ЛОЕОЗИулёННО“' начальной задачи (3),(44) на отрезке 0<"Ь:1 справедлива слсдуїс-тие оценки:

|-учи,«-у*Ы ЇКе«1^'Со,Е)-1),Чо)| +

(ТЗ)

І^Н±£)-т)(^-оІ $ К.ех^(гї -т/аїо>і+

4 ел|э бгг£)) ^рс-оі

1‘у’мЧі,о-у‘в‘%ї1 ^ К. £5 еос^(-&|)1^лЬр-у,лЫ+

4 \іь(4+ ^ех|э(-У |-)) тсис |^ГЪ)| ,

гдв У>У>0 - постоянные, не зависящие от 4. н £ . далее, получаем формулу:

•уЧ+Д)- КС0) ^¿^ОСЕ)] , ¿ = 1,п-т-1 (14)

Предположил, что выполнено условие:

17. оір^^’со)

Это есть условие суиеетвозаная начального скачка. Тогда рюзенне

краевой задачи (1),(2) имеет следующий характер роста произвол-ннх в окрестности точки 4:-= О :

-уПо,в-0ф !«>

Далее, согласно теореые 2 (теореме 3), будем полагать: у. Задача (3),(4) ((3)»(41)) имеет единственное решение на отрезке <ЖМ , ■

рассматриваем вспомогательную задачу Коша с начальным скач- • кои лг -го порядка - уравнение (I) с условиями Еида:

а \сн<С€ >/<)--о,

*уд"^СО/Ь)= 8."^С<г',С£) ¿г^п-гп-Ч (16)

о*ра$а-г , о^0<,- <Яь <п >Л*Р<), <--0^1 ,¿0%

где ¿‘,С£)= С*+ £.сЧ... 3 С/1*' - неизвестные постоянные. Строя асимптотическое решение вспомогательной задачи (1),(1б), будем определять неизвестные С^1 так, чтобы реиение задачи (1),(Т6) являлось решением исходно;? краевой задачи (1),(2).

Асимптотическое решение задачи-(I)',(16) ишется в виде:

Д-| (17)

--регулярные членч асимптотики, / *¡*0,1,2 .. -

’пэгранслойкне члены асимптотики, К.(Ч:.£) - остаточный член.

14 '

¿тля каждой из этих функция вкписани определлюшаэ их всио-когаталыше задачи., дока зона их разрешимость. ( Вид откх зя~ лзп нэ приводится из—за недостатка кесп ). С поуошьэ зтах \7Ь';с£;;:Г; определяются тизиеспт СУ/1*0,1,? ... Теперь сг^п^од-

лава Лемма з. Пусть выполнены условия 1-у. тогда лля коэффициентов \Х/(ГО,ч-ОдГн , при %>гО , справедливы оценки:

< д) ,

;а=б^Г ^=о^т

с, (1е)

I^ ш! « К СчЧ-елфС-Угй ,

где К^О,^>^>0 ~ постоянные, не зависящие от. 4. л £■ .

Лемма 4. Пусть выполнен« условия 1-У. Тогда Фугаспкя вщжсаемая соогветсгвутазЯ ¿[■ормуло'л, на отрезке 0*4.;й яв-

ляется приближённым репением задачи (I),(16) о точностью порядка ОСГ') :

ауГ«,я+А,<*’$Г Чн* ..-*Й„«1у,«,я= Пн-иОсО

_й, Г^П^Ч .№> (19)

и (|0 . _}_’ С ,ПЛ

У^СО;£)= 8'Чср’+.. ,-+/мС^’ ) ,<|.1

Теорема 5. Пусть шполнены условия 1-у. Тогда задача (1),(16) на отрезке 0^45 4 кмее? едяпегзекноэ ресбй.че Т|(-Ь

<« -ь,. гЧ « '

'-(-Ц..)С <•£>,*:> и оно допускает слодутагео ас;'.:/лтот;:ческоэ разло-

где |(>0 - постоялые, не зависящие от -І и £ , а коэффи-

циенты ,4^0,4^ \^С1) > ч.'ОХ* "* опролеляются из соответству— гсих задач. . -

Теорема 6. Пусть выполнены условия 1-у. Тогда в некоторых

достаточно малых окрестностях значений СУ, ^-=о/»-*М , сущест-

вуют значения С“1^) такие, что решение вспомогательной задачи (1),(16) является единственным решением исходной краевой задачи (1),(2) на отрезке 0-И:£-( и оно допускает асимптотическое разложение (20), а для остаточного члена справедливы оценки (21).

Вр ъ\эрой глазе рассматривается квазилинейное сингулярно возмущённое обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка: , . • . •

"■= Рс-щ,..др (22)

с краевши условиями: . '

р ; У)С^е>£гг ^=07:^2

(23)

°'Рс<- <Р^гп , о«Яо<-

Задаче (22),(23) соответствует невозыушённое уравнение:

Ат:П'Ч''-^^Р т)

с хргевкии условиями:

грЬ) = { О, М , ]= 0/п-Ь"-г. (25)

Предположим, что выполнены условия: т. функции АХ±,\),. у/') 1с]-о7^ ,Рс+,у, ,}Г) имо»? непрерывные ограниченные частные производите по всем аргументам» ' ’

II. Задача (24),(25) имеет единственное решение на

и.

IV.

V. Определитель, составлена!,! из я производных

Фундаментальной системы решений уравнения в точ-

ках -Ь-ОД- А , отличен от нуля. Уравнение Ьх=0 имеет вид: Л

йа.у, Д)"’)*'' % ■ 4 А..г.С-1,у. ,у',).х'"’4-

4 ^4- ....- '

Вводятся вспомогательная задача Коши с начальным скачком т.-го порядка, аналогичная задаче линейного случая:

г(и,со,е)= Р^ ^^ ,ио^

“У тЧо,е)= рсЧе) , ^ -Г.п-тИ

Д*^Ж .

где С^ХО-С.^+ЕС^... С^' - неизвестные постоянные, которые

<1удсм определять так, чтобы решение задачи (22),(26) являлось решением исходной задачи (22),(23).

Асет/лтотическое решение задачи (22),(26) идем в виде:

•ус+.е)- д=| (I?)

Из соотзетсгвушдх вспомогательных задач определяются ре-

гуляршо,11 С1\4=0., и пеграистейгмэ, \$СГС) /ио,{,2,., ,

члеш аспупгэтккн и чероз них кеиззестаке С*15','Ъ=0,</э .(Зти за~5':п яе праэ^пош.4 из-за недосгаткг ¡«ста.) Тогда спрагелкаи

Леша 5. Пусть выголзеяы условия 1-У. Тогда для коэффициентов \Х/гСгО,г;0,гА-< , при Х?-0 , справедливы оценки:

|\Х(а>и Кех^Иг) (27)

С) ‘Ъ.сА-* , <[= па-*Л,(\-Л

где

кх>, *>*><>

- постоянные, не зависящие от X и £ .

Леша 6. Пусть выполнены условия 1-у. Тогда функция уЧЧ.е-) шрояаеная соответствующей формулой, на отрезке 0$Л^ -{ является приближённым решением задачи (22),(26) с точностью порядка ОСЕ*'): '

)

(28)

(с"А..ч£ сЛ »¿«О.пч-Ь.Й

£'асс4Ч...+£*и с2;)., ^ •

Теорема 7« Пусть выполнены условия 1-У. Тогда сингулярно зезмушёштя краевая задача (22), (23) при достаточно мал их £. на отрезке 05-15^ имеет единственное реиеяао ^Ць) я оно допускает асгилтоти'гйское разложение: ■ ■ ,

с-о-*ь~^?Ще1п11ау >>о С2э)

^ иэ и ч»* '

-а остаточшй.член №-п0-Л} кмзот оцекха:

• ?к&г4- .Л-0^^ гск-ы • сзо^

N ’ . ' ^ ____'

к® каэ^юаеггц ^С±) ,‘ЬС^, \Х(со, ‘1-С,мН, определяются :? сс;)?5.>б’?ся,85'К2г.г. з^дзч,.к>0 " лозтояй^зя,'ео завчеяазя от

Публикации

Осиозные результаты диссертации опубликованы в работах:

[. Балгкмйаева Ш.А., Абильдаев Е.А. Построение асимптотических оценок решений сингулярно возг/ушёншх краевых задач с началык-да скачками для линейных диффере1щиальных уравнений./ КазгосИНТИ, "Деи.науч.раб." , 18.03.94, 4729-К94

2. Балгимбаева Ш.А. Асимптотическое ресенио сингулярно возмущён-

ных краевых задач с начальники с1сачна?.м для линейных дифференциальных уравнений./ Казгос;гнТ1, "Деп.лауч.раб.", 18.03.94, ’?• 4727-К94 .

3. Балгимбаева Ш.А. Построение асп:.:пто?;1к:: КЕазцланоЙноД краевой задачи с-начальным скачком./ КлэгосШШ, "Дел.науч.рай.", 16.03. 24, А’ 4728-К94 .

;K;>ä .nviiíopcHUiv-iAJC!;-; тсндоу.адр увін (іастапкн сон і (.'меч11 cap сиигуляп збитку bipktJk ос-чітор шоиітлін асимиїО'Пікалнк öavonnybi.

f>YJI І‘ус:іMÎ'IV ОПГ.ЇГРН'І] ССКlpî/!CCJ бар екі нгктелі ЕЬКТІК

■ Ч.'СЧ ГИШ’У-’иф ■' ¡.VPÏKUI 'íUl Î-і > і 'О pe H ! ПІ f! .Л 'ГОНДРУЛРр \S ІН

. ’.¡'xil,V::-* б.'1>:‘ШН<и COKjjMOCl Лір £№)CT L/C ЄС9ЇІ Y i’J J ї Т

г’.'1Г.'1.п;:|1')ДЛ „ C.nC'Vr'ïIJKJi бОЛУ їіійр'П] SE-Î5H

ve!;: іміи ¡j; 'íCl'í.'UT- iV'lMíi.WK lió’Л !"1 t гпомладл. АС КУПТ071ЖН е.у.:,імді '.\кч-.:юім , K.'íjo! p rj.'icj'fiüiji пург/ор'; к Ja i иярамрї Ірлордон '/.у.-.пді o,vir!<:Uv;op бол.'й-üii оагшик'-; оокірчееі сор кос-ч::лн K«:z .:t‘>г,ін jffiptsivrnpyr’fi Utviî’.i riрр.:,пді. Рул Олі 1оі:у-(»рді koc;ï.'.k>j "C.rü'i’in ü'.oiü I ü ! п'ю’гопки сг;!:]р'нтгІ onp fíJií'J j:yKTÍK ¿»сотій ¡ -і,íü ї;ті f>o.«.*t>:-i;ib*riíí -■ v I!í ¡¡нккїгіУ Н'.пхк подалі.

• HAl.Gi !.BAY!-:VA SliOlPAN ALBANOVNA

/с:'ir pi otic behaviour oí ¡.-.irnula»- porturbod boundary vaiu.v probina:-, rokiUonr; vnlh imtinl juirpo Гог ordinary , ti si'feront i a] equation.

in Ни:: v/аг 1: v,v с’огіг-ti «ior і nit Iw-point bcundaiy value prc-bi*;: '«її її ¡¡iii.Kii jU4p fot і тем J -rix- pu:'tur nod difiorcntial •.•curiticr',.

Ьдіїкіо/у -ail;'' l:rc'u 1 <;,•/) Jikt; Inlv Kith initial ,u:rp lirj'ily fc.ri: ;i rru :¡ ut : on >.voUvil'on, fjrvJii:;; Uk> initiai jura

ir.'f'.H.Wv <--oti*:î 1 ) ten ;s’>'J ¡хпггЛо» іс rvpiccwnt.il jon of с-оічііоп. Tir:

« і *.*ї>г«»ritaUc-r» cor¡:;i >4icün;.í prcöif-m іг: in «йііійілсїі

ci 1 і at y S').::,; р-сі.Н'Мі vnti, :i!ti;ü jurf, H. vfruCh

(-С!кііt jüt;-. ;u-c ‘-Л^пота: сучі cic-pnirir. f ter. jííí ¿r<ä iC'Ui-.iü І-у’-'.::»:* it 10 ÚK ! i}!;'W such V«S>/, titfît iho i;0Ï‘ÆX0i, c;

• I'.vC’i і ¡<;:y r„\< » :-i v-wM p* I'riv i.o.'uf-і on of initial £л?уп-.3;\гу vaï-.ч

piel'*." viitii t'¡o i’.ju'iX .