Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений второго порядка в различных случаях зависимости правой части от первой производной тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

БУКЖАЛЁВ Евгений Евгеньевич

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО

ВОЗМУЩЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В РАЗЛИЧНЫХ СЛУЧАЯХ ЗАВИСИМОСТИ ПРАВОЙ ЧАСТИ ОТ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А.Б. ВАСИЛЬЕВА

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Г.С. ЖУКОВА

доктор физико-математических наук, профессор И.Н. ЩИТОВ

Ведущая организация: Обнинский государственный технический

университет атомной энергетики

Защита диссертации состоится 2004 г. в 15 ча-

сов на заседании диссертационного совета К 501.001.17 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд.

ст.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан цч5* " иССу&Та 2004 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета

доктор физико-математических наук

П.А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Задачи для сингулярно возмущенных уравнений, т. е. уравнений, содержащих малые параметры при старших производных, представляют собой один из наиболее актуальных вопросов математической физики. Неослабевающий интерес к этим задачам обусловлен в значительной мере их прикладной значимостью: многие физические, химические и социальные системы, рассматриваемые современной наукой, описываются нелинейными сингулярно возмущенными дифференциальными уравнениями. Для построения приближенных решений сингулярно возмущенных задач применяются либо численные, либо асимптотические методы. Последние представляют собой мощный аппарат аналитического исследования, позволяющий выявлять общие закономерности поведения нелинейных систем.

На сегодняшний день асимптотические методы в теории сингулярных возмущений приобрели весьма обширный и разнообразный характер. Наиболее известными из них являются метод пограничных функций, метод регуляризации, метод сращивания, метод ВКБ, метод релаксационных колебаний. В этом ряду благодаря возможности широкого и сравнительно простого применения выделяется метод пограничных функций. Его развитый аппарат позволяет эффективно исследовать как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных.

Большое количество исследований посвящено изучению решений сингулярно возмущенных краевых задач. Одной из наиболее простых и хорошо изученных является следующая краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения, разрешенного относительно старшей производной

где е > 0 — параметр возмущения.

Представляемая диссертация посвящена изучению ряда краевых задач с малыми параметрами возникших на основе усложнения и развития задачи (1). Наиболее простым из возможных решений (1) является по-гранслойное решение, характерная особенность которого заключается в наличии вблизи граничных точек областей .г...».«....

РОС-НАЦИОНАЛЬНАЯI БИБЛИОТЕКА }

функции от граничных значений до некоторого решения вырожденного уравнения (уравнения, получающегося из исходного при обращении параметра возмущения в нуль).

Другими, качественно более сложными (по сравнению с погранслой-ным) решениями (1) являются решения с внутренними слоями (называемые также контрастными структурами). Под последними подразумеваются решения, имеющие резкие изменения в окрестностях внутренних точек области определения. Частным случаем подобных решений являются контрастные структуры типа ступеньки (КСТС). В них происходит изменение искомой функции от одного решения вырожденного уравнения до некоторого другого его решения.

Метод пограничных функций даёт представление искомой функции в виде некоторого ряда по степеням малого параметра, каждая конечная сумма которого удовлетворяет уравнениям задачи (1) по невязке (сам ряд, вообще говоря, расходится). Недостатком метода погранфун-ций является то, что сам по себе он не предлагает доказательства существования решения близкого к получаемому на основе данного метода представлению. Указанное доказательство обычно называют обоснованием асимптотики.

Для обоснования асимптотического разложения может быть использован метод дифференциальных неравенств. В основе его применения для краевых задач первого рода лежит построение упорядоченной пары функций (так называемых барьеров), удовлетворяющих некоторым конечным и дифференциальным неравенствам. После осуществления этого построения на основании соответствующей теоремы, делается вывод о существовании решения, заключенного между данными барьерами. Таким образом, мы получаем приближение этого решения с точностью, определяемой расстоянием между барьерными функциями (чем меньше расстояние, тем выше точность).

В своё время был поставлен вопрос об обобщении уравнения (1) на случай зависимости правой части от первой производной

£2у" = ^(у',у,х). (2)

Метод пограничных функций для построения асимптотического разложения (2), вообще говоря, не работает, т.к. у1 — величина ~ 1/е. Здесь возможно использование метода сращивания. Были предприняты попытки отыскать классы функций Б, для которых метод погранфункций всё же оказывается применим. Было избрано два варианта: первый — лине-

аризация В по у* и второй — ослабление её первого аргумента

Для первого случая соответствующая задача рассмотрена А.Б. Васильевой. Использование метода погранфункций не встретило здесь принципиальных ограничений. Во втором варианте вопрос о применимости метода погранфункций во многом ставится в зависимость от величины к (предполагается, что к принимает лишь положительные рациональные значения). Можно выделить две качественно различные ситуации. При данная задача как по виду решений так и по характеру их построений сближается со случаем (1) (т. е. с полным отсутствием зависимости правой части от первой производной). Для к = 1 она рассмотрена в работе А.Б Васильевой и М.Д. Давыдовой. Если же к < 1, то получение асимптотики для случая с произвольной правой частью прежними способами, вообще говоря, не представляется возможным. В связи с этим А.Б. Васильевой и М.Д. Давыдовой была проанализирована задача с функцией В линейной по первому аргументу: = у/ег/ А(у,х) + В(у,х) (в качестве к бралось конкретное значение к — 1/2), т. е. задача вида

е*у" = еу'А(у,х) + В(у,х), (3)

при прежних граничных условиях (1) (с целью удобства изложения переобозначен через Было построено асимптотическое разложение для случая погранслойного решения и с помощью метода дифференциальных неравенств проведено его обоснование.

Что касается КСТС (т. е. решений с внутренними переходными слоями) для уравнения (3), то их построение, составляет одно из основных направлений исследования настоящей диссертации.

Следующим естественным обобщением является исследование возможности применения результатов, полученных при рассмотрении (3) для случая, когда функции А и В, входящие в правую часть, допускают зависимость от первой производной. В рамках данной диссертации это удалось сделать для следующего уравнения

£4 у" = £у' А(е3у\ у, х) + в(£3у', у, х). (4)

Отметим одно важное обстоятельство, связанное с применимостью метода дифференциальных неравенств (используемого для обоснования

асимптотики) в случае (4). Дело в том, что данный метод, вообще говоря, не может быть использован в случае, когда правая часть уравнения имеет более чем квадратичный рост по первой производной (при оо). В то же время в (4) никаких специальных ограничений на характер роста функций А и В по своим первым аргументам не накладывается. Таким образом, возникает задача распространения метода дифференциальных неравенств на уравнения, правая часть которых допускала бы произвольный порядок роста по производной искомой функции. Её разрешение также представляет собой один из основных результатов диссертации.

В последние годы активно исследуются вопросы существования и свойства решений сингулярно возмущенных параболических уравнений. В связи с этим в последних двух главах диссертации проводится обобщение на задачи для уравнений параболического типа соответствующих постановок для обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналогом (3) выступает задача по отысканию Т-периодического по I решения следующей системы

при условии Т-периодичности по I всех входящих в неё величин.

В качестве аналога (4) используется уравнение

при дополнительных условиях задачи (5).

Всё сказанное по поводу обыкновенных дифференциальных уравнений в полной мере относится и к этим постановкам. Так же как и в случае с (4) при рассмотрении (6) для обоснования асимптотики пришлось пойти на расширение границ области применимости метода дифференциальных неравенств, распространив его на уравнения, допускающие более чем квадратичный рост правой части по пространственной производной ду/дх.

Цель работы

Целью настоящей диссертации является развитие метода пограничных функций для нелинейных сингулярно возмущенных краевых задач

вида (3), (4), (5), (6), а также распространение метода дифференциальных неравенств на задачи вида (4), (6) (правая часть которых допускает произвольный порядок роста по первой производной).

Научная новизна

1) Методом пограничных функций построены асимптотические разложения двух видов КСТС для квазилинейного уравнения с малыми параметрами при первой и второй производных. При этом для получения асимптотики точки перехода одной из них использовалось не традиционное условие гладкости асимптотического разложения решения, а дополнительное условие разрешимости уравнений определяющих члены асимптотики искомой функции.

2) Показана возможность применения метода дифференциальных неравенств для целого ряда уравнений, имеющих нелинейную зависимость от первой производной с произвольным порядком роста.

3) Показана возможность использования метода дифференциальных неравенств не только для получения оценок самого решения, но и его производных.

Практическая ценность

Найденные асимптотические формулы могут быть использованы для построения численных решений рассматриваемых задач. Полученные результаты могут найти применение в различных областях естествознания. В частности, задачи вида (6) являются модельными для описания динамики вязкой жидкости, а также процессов тепло-массопереноса с конвективными потоками.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоно-сов-2002" (Москва, 2002 г.), на ежегодных математических чтениях МГСУ "Математические методы и приложения" (Руза, 2000, 2001, 2002, 2003 гг.), а также неоднократно обсуждались на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ (руководители семинара: профессора А.Б. Васильева и В.Ф. Бутузов).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 6-и работах, список которых помещен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, краткого содержания, четырех глав, двух дополнений, списка литературы (30 наименований) и 8-и рисунков. Общий объем диссертации 108 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении и кратком содержании выделен круг вопросов, охваченных диссертацией, приведен краткий обзор близких к этим вопросам работ и изложено основное содержание.

Первая глава посвящена рассмотрению краевой задачи первого рода для уравнения (4)

В § 1 приведена постановка задачи. В § 2 на основе метода пограничных функций построено асимптотическое разложение погранслойного решения задачи (7). Суть этого метода заключается в представлении искомой функции у(х, е) в виде суммы трёх составляющих: регулярной у(х,е), левой П(т-,е) и правойп®)"раничных и построении асимптотического разложения каждой из них в отдельности. При этом члены левого погранслоя зависят от растянутой переменной т = х/е3, а правого от р—{х — 1)/е

Кроме того, в § 2 для пограничных членов асимптотики установлены специальные оценки экспоненциально-степенного типа. При этом показатели экспонент одинаковы для всех членов асимптотики — отличаются лишь показатели степенных сомножителей. Помимо того, что эти оценки

уточняют геометрическую структуру пограничных функций, они существенно используются при обосновании асимптотического разложения.

В § 3 проводится построение барьерных функций. Показывается, что при достаточно малых а также при выполнении ряда других условий

где 7 — некоторое положительное число, а П(„+1)а, n^+i^, <5(„+i)a, Q(n+i)/? суть известные функции своих аргументов, являются соответственно нижним и верхним (барьерными) решениями задачи (7).

В § 4 доказывается, что при достаточно малых е правая часть уравнения (7) удовлетворяет условиям соответствующей теоремы дополнения А, на основании которой делается вывод о существовании решения (7), заключенного между построенными в §3 барьерами. В качестве основного результата приводится

Теорема 1.1 Пусть выполнены следующие требования:

1) требования гладкости на правую часть уравнения: функции B(z,y,x), A(z,y,x), принадлежат классам.

B(z,y,x) е C"+3(fi), A(z,y,x) G Cn+3(fi),

а М и Н — некоторые достаточно большие положительные числа ;

2) требования на корень вырожденногоуравнения: существует изолированноерешение <р(х) у р а в ВяК,о-тороеудовлетворяет дополнительнымусловиям

В3{0,<р(х),х) > 0, при х € [0,1], Л(0,^(0),0)<0, Л(0,?(1),1)<0;

3) требования на граничные значения: у0, у1 принадлежат соответствующим областям влияния корня вы-рожденногоуравнения.

Тогда при достаточно малых е (0 < е < £о) существует решение у(х, е) задачи (7), для которого справедливо следующее представление

В конце § 4 (также с использованием теоремы из дополнения А) доказано, что формальное дифференцирование по х асимптотического ряда функции у(х, е) дает асимптотический ряд ее производной.

Заключительный § 5 содержит пример, иллюстрирующий результаты главы I.

Содержание второй главы составляет построение и обоснование асимптотического разложения контрастных структур типа ступеньки для квазилинейного случая

^ = + *€(0'1)' (8)

В § 1 приведена постановка задачи и указаны условия, необходимые для возникновения КСТС. В частности, требуется, чтобы вырожденное уравнение В(у,х) = 0 имело три изолированных корня у = у?Дх), » = 1,2,3, таких что <р1(х) < <рч(х) < <рз(х). Тогда в предположении, что у0 принадлежит области влияния нижнего корня у>1(х), а у1 — верхнего <р3(х) могут возникать два вида контрастных структур типа ступеньки с переходом с в окрестности некоторой точки

хо+£Х1Н----(0 < хо < 1). Именно, в зависимости от знаков А на решениях

вырожденного уравнения при х = хо, внутренний переходный слой этих структур является функцией следующих растянутых переменных:

1) если Л(91(х0),х0) > 0, А(<р3{х0),х0) < О, то г/ — (х — х*)/е3 — КСТС резкого вида,

2) если А{<р1(х0),х0) < 0, /%з(х0),хо) > О, то г/ — (х — х*)/е — КСТС плавного вида.

§2 посвящен рассмотрению случая 1), в котором имеет место резкий переход. С помощью метода пограничных функций строится асимптотика решения вида

^ = | + П(г,е) +Гл(т7,е), 0 < х < х*,

где Пи С} — суть пограничные слои в окрестностях точек х = 0 и х = 1 соответственно, Т" нТ" — соответственно левая и правая части переходного слоя в окрестности х — х*.

Значения функций Т" и Т" при т} = 0 (или, что тоже самое х = х*) выбираются из соображений непрерывности асимптотики решения в точке перехода. Но, вообще говоря, этот выбор не гарантируют её гладкости. Последняя может быть обеспечена лишь при определенном выборе составляющих точки перехода. Таким образом, условие гладкости, по сути своей, служит построению асимптотического разложения

Обоснование асимптотики проводится методом дифференциальных неравенств. В качестве окончательного итога приводится

Теорема 2.1' Пусть выполнен ряд требований:

1) вырожденноеуравнение В(у,х) = 0 имеет корни у = <р1(х), х 6 [0,хп] и у = ^зС1)» х € [яЛ)1]> 0 < хл < хП < 1, удовлетворяющие условиям

VI(*) < <рз{х), 1£[1л,4 ве[0,х„],

Ву(<р3(х),х)>0, х £ [хл,1],

АЫ0),0)<0, %(1),1)<0;

Ы»)

2) переходное у р а в / Л(в,х)</а = Ое е т корень х = хц, хо € (хл,хП), удовлетво_ряющийусловиям

функция У(7)= } А{в,х^)Лз не обращается в нуль на интервале {<Р1(Х0),<РЗ{Х0)),

Л(<Р1(х0),х0) > 0, А(<р3(х0),х0) < 0;

3) А и В являются достаточно гладкими функциями своих аргументов ;

4) граничные значения у® и у1 принадлежат областям влияния корней вырожденного уравнения у = (р^х) и у — <рз(х) соответственно.

Тогда при достаточно малых £ (0 < £ < £о) существует решение у = у(х,е) задачи (8), для которого справедливо следующее асимптотическое представление

В §3 рассмотрен случай 2), в котором имеет место плавный переход. Построение и обоснование асимптотики данной КСТС как и ранее проводится методом пограничных функций и методом дифференциальных неравенств соответственно.

Отметим, что все члены асимптотики переходного слоя в данном случае определяются из уравнений первого порядка, так что их гладкость в переходной точке есть следствие их непрерывности. Таким образом, для определения составляющих х*{£) приходится задействовать иные соображения. Как выясняется в процессе анализа эти соображения связаны с возможностью разрешимости возникающих для членов переходного ряда. уравнений.

Основным результатом этого параграфа является

Теорема 2.2 Пусть выполнены требования 1), 3) и теоремы 1 и, кроме того,

1)вырожденное уравнение В(у,х) = 0 имеет корень у = <р2{х), х Е [хл,хп], удовлетворяющий условиям

VI(*) < < Ви{<р2(х),х) < 0;

2)переходное у р а в тА^р^х)/,^ = 0 имеет корень х = Хо, Яо € удовлетворяющий условиям

А{у,х0),В(у,хо) ф 0 при у е (%?1(лго),^з(«о))\^(а;о), А(1р2(х0),х0) < 0, Ау{<р2{х0),ха) ф 0,

Тогда при достаточно малых £ (0 < £ < е0) существует решение у = у(х,е) задачи (8), для которого справедливо следующее асимптотическое представление

В последнем параграфе главы II приведены два примера, иллюстрирующие утверждения теорем 2.1 и 2.2.

Предметом изучения третьей главы является обобщение (7) на случай краевой задачи Дирихле для параболического уравнения с условием периодичности по t

где А, В, у0 и у1 — Т-периодические по t функции.

Здесь также как и в первой главе рассматривается решение, имеющее только пограничные слои

у{х,г,£) = у{х,Ь,£)+Щт,1,£)+(2(р,1,е),

Поскольку зависимость от t в уравнениях, определяющих члены асимптотики этого решения носит лишь параметрический характер, ее построение и обоснование проводится по схеме аналогичной предложенному в главе I алгоритму, с тем изменением, что обоснование асимптотического разложения опирается на теорему, доказательство которой содержится в дополнении В.

Наконец, в четвёртой главе рассматривается краевая задача (5). В ней, также как и во второй главе, изложение сконцентрировано на иссле-

довании КСТС, т. е. решений вида

у"(х,«,г) + П(г,*,е) +Тя(т],г,е), (*,«) е Ц 5"(а?, е) + д(л е) + Г (»/, г, г), (*, *) € Д

•л»

'П»

где

Пл = (0, «•(«,£)) X Я, Оп = (х*(е,е), 1)хй,

а в зависимости от знаков А на решениях вырожденного уравнения в соответствующих точках

Зависимость от времени в уравнениях, определяющих члены асимптотических разложений здесь также носит параметрический характер, так что все результаты, полученные при рассмотрении задачи (8) без труда переносятся и обобщаются на случай краевой задачи (5) для соответствующего параболического уравнения с условием Т-периодичности по временному аргументу.

В дополнении А и дополнении В, как уже указывалось, приведены доказательства теорем о дифференциальных неравенствах, относящиеся к случаям обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений параболического типа соответственно.

В заключении приведем основные результаты диссертации.

1) Методом пограничных функций построено асимптотическое разложение обычного погранслойного решения (т. е. решения без внутренних, в том числе переходных, слоев) краевой задачи первого рода для дифференциального уравнения второго порядка с малыми параметрами при первой и второй производных, правая часть которого нелинейным образом зависит от первой производной. При этом по-гранслойные переменные левой и правой пограничных частей данного решения зависят от растянутых переменных разного порядка

2) В случае квазилинейного дифференциального уравнения построены асимптотического разложения для двух видов КСТС. При этом растянутые переменные переходных слоев первой и второй ступенек также имеют разный порядок параметра возмущения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

3) Методом дифференциальных неравенств проведено обоснование полученных на основе метода пограничных функций формальных асимптотических представлений. При этом показана возможность применения этого метода для целого ряда уравнений, правая часть которых имеет нелинейную зависимость от первой производной и допускает более чем квадратичный рост.

4) Показано, что на основе метода дифференциальных неравенств можно получать оценки производной искомой функции. С его помощью обоснована асимптотика производной одного из решений.

5) Все полученные результаты для обыкновенных дифференциальных уравнений обобщены на случай краевой задачи Дирихле для дифференциальных уравнений параболического типа с условием периодичности по t.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Васильева А.Б., Букжалёв Е.Е. Сингулярно возмущенная краевая задача с погранслоями, зависящими от растянутых переменных разных порядков // Матем. методы и прилож. (Тр. VIII матем. чтений МГСУ). М.: Изд-во МГСУ, 2001: С. 12-15.

2. Васильева А.Б., Букжалёв Е.Е. О построении верхних и нижних решений по методу Нагумо // Матем. методы и прилож. (Тр. IX матем. чтений МГСУ). М.: Изд-во МГСУ, 2002. С. 33-36.

3. Васильева А.В., Букжалёв Е.Е. Сингулярно возмущенная краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка, правая часть которого квадратичным образом содержит производную искомой функции // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. №6. С. 724-734.

4. Букжалёв Е.Е. О построении верхних и нижних решений по методу Нагумо // Девятая Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2002". Секция "Физика". Сборник тезисов. М.: Физич. ф-т МГУ, 2002. С.45-46.

5. Букжалёв Е.Е. Решение сингулярно возмущенной краевой задачи с внутренними переходными слоями, зависящими от растянутых переменных разного порядка // Матем. методы и прилож. (Тр. X матем. чтений МГСУ). М.: Изд-во МГСУ, 2003. С. 32-35.

6. Букжалёв Е.Е. Сингулярно возмущенное уравнение с погранслой-ным решением, растянутые переменные которого зависят от различных степеней параметра возмущения. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. №12. С. 1775-1785.

ООП Физ.ф-та МГУ. Заказ 30-100-04

щ -5372

Введение.

Краткое содержание работы.

1 Погранслойное решение в стационарном случае

1.1 Постановка задачи.

1.2 Построение асимптотики.

1.2.1 Нахождение регулярной части решения.

1.2.2 Нахождение левой погранслойной части решения.

1.2.3 Нахождение правой погранслойной части решения.

1.2.4 Установление экспоненциальных оценок погранчленов.

1.3 Обоснование асимптотики

1.3.1 Построение барьерных решений.

1.3.2 Доказательство существования решения и его асимптотического представления

1.4 Пример.

2 Контрастная структура типа ступеньки для стационарного уравнения

2.1 Постановка задачи.

2.2 Внутренний переходный слой резкого типа.

2.2.1 Построение асимптотики.

2.2.2 Обоснование асимптотики.

2.3 Внутренний переходный слой плавного типа.

2.3.1 Построение асимптотики.

2.3.2 Обоснование асимптотики.

2.4 Пример.

3 Погранслойное решение в случае параболического уравнения

3.1 Постановка задачи.

3.2 Построение асимптотики.

3.2.1 Установление экспоненциальных оценок погранчленов.

3.3 Обоснование асимптотики

3.3.1 Построение барьерных решений.

3.3.2 Доказательство существования решения и его асимптотического представления

4 Контрастная структура типа ступеньки для параболического уравнения

4.1 Постановка задачи.

4.2 Внутренний переходный слой резкого вида.

4.2.1 Построение асимптотики.

4.2.2 Обоснование асимптотики.

4.3 Внутренний переходный слой плавного вида.

4.3.1 Построение асимптотики.

4.3.2 Обоснование асимптотики.

А О построении верхних и нижних решений по методу Нагумо

В О применении метода дифференциальных неравенств к уравнениям параболического типа

Данная диссертация посвящена изучению ряда краевых задач с малыми параметрами, возникших на основе усложнения и развития следующей сингулярно возмущённой задачи (см. [1], [2]).

Наиболее простым из возможных решений (1) является погранслойное решение, характерная особенность которого заключается в наличии вблизи граничных точек областей резкого изменения искомой функции от граничных значений до некоторого решения вырожденного уравнения (уравнения, получающегося из исходного при обращении параметра возмущения в пуль).

При рассмотрении сингулярно возмущённых уравнений, как правило, ставится задача построения асимптотического представления некоторого точного решения. В работах [1], [2] с помощью метода пограничных функций была построена асимптотика погранслойного решения (1). Суть этого метода заключается в представлении решения у(х,е) в виде суммы трёх составляющих: регулярной у(х,е), левой П(т, е) и правой Q(p,e) пограничных и построении асимптотического разложения каждой из них в отдельности. При этом члены левого погранслоя зависят от растянутой переменной т = х/е, а правого от р = (х — 1)/е

Таким образом, метод пограничных функций даёт представление решения в виде некоторого ряда по степеням малого параметра

1) у(х,е) = у0(х) + еу^х) + ••• П(т,е) = П0(т) + elli(r) + ••• Q(p,e) = Q0(p) + eQi(p) + •••

2) y{xi e) = Шх) + По(т) + Q0(p)) + £ (j7x(x) + П,(г) + Q^p)) + ■

Каждая конечная сумма этого ряда удовлетворяет уравнениям задачи (1) по невязке (сам ряд, вообще говоря, расходится). Недостатком метода погранфунций является то, что сам по себе он не предлагает доказательства существования решения близкого к получаемому на основе данного метода представлению. Указанное доказательство обычно называют обоснованием асимптотики.

Для обоснования асимптотического разложения может быть использован метод дифференциальных неравенств (см. [3], [4]). В основе его применения для краевых задач первого рода лежит построение упорядоченной пары функций (так называемых барьеров), удовлетворяющих некоторым конечным и дифференциальным неравенствам. После осуществления этого построения на основании соответствующей теоремы, делается вывод о существовании решения, заключённого между данными барьерами. Таким образом, мы получаем приближение этого решения с точностью, определяемой расстоянием между барьерными функциями (чем меньше расстояние, тем выше точность).

Недостаток метода дифференциальных неравенств, в свою очередь, заключается в том, что он не предлагает никакого ответ на вопрос о способе построения барьерных функций. Этот ответ в определённом смысле даёт метод пограничых функций (см. [5]). Дело в том, что барьерные решения могут быть получены с помощью незначительных модификаций любой из конечных сумм получаемого с его помощью ряда. Поскольку расстояние между барьерами при этом оказывается асимптотически малым, то можно говорить о получении асимптотического представления рассматриваемого решения.

Таким образом, видно, что соединённые вместе, эти методы лишают друг друга присущих им недостатков. Метод пограничных функций способствует построению барьерных решений, а метод дифференциальных неравенств обоснованию асимптотичности получаемого на основе метода погранфункций представления.

В работах [1], [2] помимо погранслойных исследуются решения с внутренними слоями (называемые также контрастными структурами). Под последними подразумеваются решения, имеющие резкие изменения в окрестностях внутренних точек области определения. Частным случаем подобных решений являются контрастные структуры типа стуиеньки (КСТС). В них речь идёт об изменении искомой функции от одного решения вырожденного уравнения до некоторого другого его решения.

В своё время был поставлен вопрос об обобщении уравнения (1) на случай зависимости правой части от первой производной e2y"=F{y',y,x). (3)

Метод пограничных функций для построения асимптотического разложения (3), вообще говоря, не работает, т.к. у' — величина ~ 1/е. Здесь возможно использование метода сращивания (см. [6]). Были предприняты попытки отыскать классы функций F, для которых метод погранфункций всё же оказывается применим. Было избрано два варианта: первый — линеаризация F по у' и второй — ослабление её первого аргумента

1) F = у'А(у,х) + В(у,х),

2) F = F(eky',y,x).

Для первого случая соответствующая задача рассмотрена в [7]. Использование метода погранфункций не встретило здесь принципиальных ограничений. Отметим только, что растянутые переменные, задействованные при построении асимптотики её решений, имели порядок 1/е2.

Во втором варианте вопрос о применимости метода ногранфункций во многом ставится в зависимость от величины к (предполагается, что к принимает лишь положительные рациональные значения). Можно выделить две качественно различные ситуации. При к > 1 данная задача как по виду решений так и по характеру их построений сближается со случаем (1) (т. е. с полным отсутствием зависимости правой части от первой производной). Для к = 1 она рассмотрена в [8]. Если же к < 1, то получение асимптотики для случая с произвольной правой частью прежними способами, вообще говоря, не представляется возможным. В связи с этим, в работе [9] проанализирована задача с функцией F линейной по первому аргументу: F = у/е у' А(у, х) + В (у, х) (в качестве к взято конкретное значение к = 1/2).

Итак, в [9] была рассмотрена задача при прежних граничных условиях (1) (с целью удобства изложения у/е переобозначен через е). Было построено асимптотическое разложение для случая погранслойного решения и с помощью метода дифференциальных неравенств проведено его обоснование. Отличительной особенностью данного решения является то, что его левая и правая погранслойные части зависят от растянутых переменных разного порядка (одна из них имеет порядок 1/е, а другая — 1/е3)- Что касается КСТС (т. е. решений с внутренними переходными слоями) для уравнения (4), то их построение, составляет одно из основных направлений исследования настоящей диссертации (см. также [10]). Выяснилось, что здесь, при определённых условиях, могут возникать КСТС двух видов. В ступеньках первого вида растянутая переменная внутреннего переходного слоя имеет порядок 1/е (переход плавного типа), а в ступеньках второго — 1/е3 (переход резкого типа).

Другим важным направлением исследования данной диссертации, является изучение возможности применения результатов, полученных при рассмотрении (4) для случая, когда функции А и В, входящие в правую часть, допускают зависимость от первой производной (см. также [12]-[14]). Это удалось сделать для следующего уравнения е4у" = еу'А(у,х) + В(у,х),

4) е4 у" = е у' А(е3у', у, х) + В(еУ, у, х).

5)

Именно, в случае (5) с помощью метода пограничных функций было построено по-гранслойное решение, в качестве растянутых переменных левой и правой пограничных частей которого использовались т = х/е3 и р = (х — 1)/е соответственно. Обоснование асимптотики было проведено методом дифференциальных неравенств.

Отметим одно важное обстоятельство, связанное с применимостью последнего. Дело в том, что метод дифференциальных неравенств, вообще говоря, не может быть использован в случае, когда правая часть уравнения имеет более чем квадратичный рост по первой производной (при у' —> оо). В то же время в (5) никаких специальных ограничений на характер роста функций А и В по своим первым аргументам не накладывается. Таким образом, возникает задача распространения метода дифференциальных неравенств на уравнения, правая часть которых допускала бы произвольный порядок роста по производной искомой функции. Её разрешение также представляет собой один из основных результатов данной диссертации (см. также [15], [16]).

Завершающим этапом диссертации является естественное обобщение на задачи для уравнений параболического типа соответствующих постановок для обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналогом (4) выступает задача по отысканию Т-нериодиче-ского по t решения следующей системы (о периодичесуих решениях сингулярно возмущенных параболических уравнений см. также в [17]-[19]) при дополнительных условиях задачи (6).

Всё сказанное по поводу обыкновенных дифференциальных уравнений в полной мере относится и к этим постановкам. Так же как и в случае с (5) при рассмотрении (7) для обоснования асимптотики пришлось пойти на расширение границ области применимости метода дифференциальных неравенств, распространив его на уравнения, допускающие более чем квадратичный рост правой части но пространственной производной ду/дх.

Отметим в заключение, что параболическое уравнение (6) является уравнением типа реакция-адвекция-диффузия и может выступать в качестве модельного для описания динамики вязкой жидкости, а также процессов тепло-массопереноса с конвективными потоками.

6)

7)

Краткое содержание работы

Первая глава посвящена рассмотрению краевой задачи первого рода для уравнения (5). В ней было проведено построение асимптотики обычного погранслойного решения (т. е. решения без внутренних, в том числе переходных, слоёв). При её обосновании используется теорема, доказательство которой находится в дополнении А.

Содержание второй главы составляет построение и обоснование асимптотического разложения контрастных структур типа ступеньки для случая (4) (т. е. для случая линейной зависимости от первой производной). Отметим, что наличие даже линейной зависимости по у' оказалось способным внести качественно новые (по сравнению с её отсутствием) элементы как в саму структуру этих решений, так и в условия их возникновения.

Третья глава посвящена изучению (7), представляющей собой краевую задачу Дирихле для одномерного параболического уравнения с условием периодичности по времени. Здесь также как и в первой главе строится асимптотика решения, имеющего только пограничные слои. Её обоснование опирается на теорему, доказательство которой содержится в дополнении В.

Наконец, в четвёртой главе рассматривается соответствующая задача для уравнения (6). В ней, также как и во второй главе, изложение сконцентрировано на исследовании КСТС.

1. Васильева А.В., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

2. Васильева А.В., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

3. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. M.-JL: Гостехиздат, 1950.

4. Nagumo М. Uber die Differenzialgleichung у" = f(x,y,y') // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1937. V. 19. P. 861-866.

5. Нефёдов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31. №7. С. 1132-1139.

6. Виишк М.И., Люстерник Л.А. О начальном скачке для нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // Докл. АН СССР. 1960. Т. 132. №6. С.1242-1245.

7. Васильева А.Б. Контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1995. Т. 35. №4. С. 520-531.

8. Васильева А.Б., Давыдова М.А. О контрастной структуре типа ступеньки для одного класса нелинейных сингулярно возмущённых уравнений второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1998. Т. 38. №6. С. 938-947.

9. Васильева А.Б., Давыдова М.А. Сингулярно возмущённое уравнение второго порядка с малыми параметрами при первой и второй производных // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1999. Т. 39. №9. С. 1504-1512.

10. Букжалёв Е.Е. Решение сингулярно возмущенной краевой задачи с внутренними переходными слоями, зависящими от растянутых переменных разного порядка // Матем. методы и прилож. (Тр. X матем. чтений МГСУ). М.: Изд-во МГСУ, 2003. С. 32-35.

11. Букжалёв Е.Е. Контрастные структуры типа ступеньки, растянутые переменные которых зависят от различны^ степеней параметра возмущения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 20057 Т. 43. JVM.

12. Васильева Л.В., Букжалёв Е.Е. Сингулярно позмущенная краевая задача с ио-гранслоями, зависящими от растянутых переменных разных порядков // Матем. методы и прштож. (Тр. VIII матем. чтений МГСУ). М.: Изд-во МГСУ, 2001. С. 1215.

13. Васильева Л.Б., Букжалёв Е.Е. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка, правая часть которого квадратичным образом содержит производную искомой функции // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 6. С. 724734.

14. Букжалёв Е.Е. Сингулярно возмущенное уравнение с погранслойным решением, растянутые переменные которого зависят от различных степеней параметра возмущения. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. №12. С. 1801-1811.

15. Васильева А.Б., Букжалёв Е.Е. О построении верхних и нижних решений по методу Нагумо // Матем. методы и прилож. (Тр. IX матем. чтений МГСУ). М.: Изд-во МГСУ, 2002. С. 33-36.

16. Букжалёв Е.Е. О построении верхних и нижних решений но методу Нагумо // Девятая Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2002". Секция "Физика". Сборник тезисов. М.: Физич. ф-т МГУ, 2002. С. 45-46.

17. Васильева А.Б., Омельченко О.Е. Периодические контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №2. С. 198-208.

18. Васильева А.Б. О периодических решениях уравнений параболического типа с малыми параметрами. // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. JV?12. С. 2076-2081.

19. Васильева А.Б., Волков В.Т. Периодические решения некоторых сингулярно возмущенных уравнений параболического типа. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т. 25. №4. С. 609-614.

20. Тихонов А.II., Свешников А.Г., Васильева А.Б. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1998.

21. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефёдов II.II. Асимптотическая теория контрастных структур // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. С. 4-32.

22. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефёдов Н.Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундамент, и ирикл. матем. 1998. Т. 4. jY«3. С. 799-851.

23. Васильева А.Б. К вопросу о близких к разрывным решениях в системе с малым параметром при производных условно устойчивого типа // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. №9. С. 1560-1568.

24. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущённые уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978.

25. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. 8-е изд. М.: Гостехиздат, 1959.

26. Sattinger D.H. Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1972. V.21. №11. P.979-1001.

27. Amann H. Periodic solutions of semi-linear parabolic equations. In "Nonlinear Analysis: A Collection of Papers in Honor of Erich Rot he", New York, Academic Press, 1978. P. 129.

28. Amann H. Existence and multiplicity theorems for semi-linear elliptic boundary value problems // Math. Z. 1976. V. 150. P. 281-295.

29. Нефедов II.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. №4. С. 719-722.

30. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева H.II. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.