Асимптотики решений сингулярно возмущенных систем типа реакция-диффузия-перенос тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛЕВАШОВА Наталия Тимуровна

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ ТИПА РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ-ПЕРЕНОС.

01.01.03.-математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2004.

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Бутузов Валентин Федорович Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Нестеров Андрей Владимирович кандидат физико-математических наук, доцент Петров Александр Пхонджо

Ведущая организация:

Московский Энергетический Институт (Технический Университет)

заседании Диссертационного Совета К 501.001.17 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899 г.Москва, Воробьёвы горы, физический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан

2004г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 501.001.17 доктор физико-математических наук

Поляков П.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения решений систем нелинейных сингулярно возмущенных параболических уравнений. Актуальность темы.

При построении математических моделей многих прикладных задач различных областей науки (химической кинетики, теории полупроводников, математической биофизики и др.) используются системы нелинейных дифференциальных уравнений. Трудности, возникающие при решении таких систем, часто удаётся успешно преодолеть с помощью асимптотических методов. Асимптотические методы широко используются в теории сингулярных возмущений и ей приложениях. Разработка этой теории была начата в трудах А.Н. Тихонова. В настоящее время существует большое разнообразие методов исследования сингулярно-возмущенных задач. К их числу относятся метод пограничных функций (А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов и др.), метод усреднения (Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский), метод регуляризации сингулярных возмущений (С. А. Ломов), методы теории релаксационных колебаний (Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов и др.) метод сращивания асимптотических разложений (А. М. Ильин), методы типа ВКБ (В. П. Маслов) и другие. Применение метода пограничных функций часто оказывается эффективным при решении дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при старших производных. Во многих случаях с помощью этого метода удаётся построить асимптотику решения и, тем самым, детально изучить особенности его поведения. Дальнейшее развитие метода пограничных функций , его применение и обоснование для новых классов задач является актуальной темой качественной теории дифференциальных уравнений.

В настоящей - работе на основе метода пограничных функций построены и обоснованы асимптотики решений ряда задач, возникающих при моделировании процессов химической кинетики, сопровождающихся, диффузией и переносом веществ. Особый интерес, в частности, представляют процессы, происходящие в так называемых "тонких телах", то есть областях, в которых одно из пространственных измерений много меньше других. Обоснования асимптотик проводится при помощи асимптотического метода дифференциальных неравенств. Дель работы.

Целью настоящей работы является развитие метода пограничных функций и метода дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных параболических систем. Научная новизна работы.

На случай систем уравнений типа реакция-диффузия-перенос обобщены результаты (построение асимптотик и их обоснование), полученные ранее для скалярных задач. Практическая ценность работы.

Построенные равномерные асимптотические приближения решений нелинейных сингулярно возмущённых параболических систем могут использоваться для анализа конкретных математических моделей в задачах химической кинетики. Апробация работы.

Результаты работы докладывались на Международной конференции "Сингулярные возмущения и системы управления" (Переславль-Залесский, 1995), на ежегодных математических чтениях МГСУ "Математические методы и приложения" (Нахабино, 1996), на V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002) на конференции «Ломоносов - 2003» (Москва, 2003), а также неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры Математики Физического факультета МГУ. Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 7 работ. Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы, состоящего из двадцати трёх наименований. Общий объем диссертации - 92 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Введение. Во введение очерчен круг задач, рассмотренных в диссертации. Глава I посвящена исследованию системы уравнений - типа "реакция - диффузия -перенос"

которая получается при математическом описании процессов химических превращении двух веществ в случае малой диффузии и быстрых реакций. Здесь tt(x,<), v(x,t) — концентрации веществ, 6(1) > 0 - скорость переноса, e2a,(i)>0, ега1(.х)>0 -коэффициенты диффузии, е > О - малый параметр (диффузия мала), к = const > 0. Функции в правых частях уравнений описывают химические реакции, причем множитель 1/е показывает, что реакции быстрые. То обстоятельство, что правые части уравнений отличаются лишь постоянным множителем, характерно для многих задач химической кинетики.

Система (1) исследуется в области О = (0 < х < 1) х (0 < 15 Т) с начальными

условиями:

t4=o =<р{х); = у{х)

и граничными условиями (условия непроницаемости):

dv

=0

дх

г = 0 1 = 1

= о.

(2)

(3)

Согласованность начальных и граничных условий не предполагается; то есть, вообще говоря, * 0, . , * 0.

Построение асимптотики по малому параметру е решения задачи (1)-(3) проводится с

помощью метода пограничных функций при определённых условиях.

Условие Ь1. Достаточная гладкость функций / Ь(.х), а,<х), аа(х), <р(.х) и ^(х).

При г = 0 задача вырождается г одно уравнение

/(«0,50,1,^0) = 0. (4)

Условие 1.2. Пусть вырожденное уравнение (4) имеет решение относительно 5>,:

где х- достаточно гладкая функция, причем /.[^Х^Ъ^Л^О

при (Ц,!^) е I хЙ, /- некоторый интервал.

Решение вырожденной системы можно записать в виде

где ац(х,{) - произвольная функция. Тем самым, система (1) относится к критическим случаям - вырожденная система имеет семейство решений. Следует отметить, что существование семейства решений у вырожденной системы характерно для многих задач химической кинетики.

Для решения задачи (1)-(3) построена равномерная в С1 — (0 £ х 5 1) х (0 < £ < Т) погранслойная асимптотика по малому параметру с остаточным членом порядка Вследствие несогласованности начальных и граничных условий в постановке задачи некоторые члены асимптотики оказываются негладкими на характеристике Ь = э . Это приводит к необходимости применения процедуры сглаживания.

Асимптотика решения имеет вид:

Здесь йДх^е), - сглаженные регулярные члены асимптотики (» = 0,1). В

частности, й0 и {;„ получаются в результате сглаживания ф у н к цййивыр а ж е н и я для которых (см. (5)) содержат функцию Назначение других членов асимптотики

указано ниже.

Уравнение для функции «(¡(я,*) получается из условия разрешимости задачи для й|, . Оно оказывается уравнением в частных производных первого порядка

0.

ёх

(б)

где - известная функция. Характеристика 1 = = уравнения (б),

выходящая из точки (0,0), разделяет область П на две части: и !ЬВ(х). Для

определения каждой из этих областей требуются дополнительные условия

соответственно при

Начальное (при t = 0) условие для определения получается при построении

пограничных функций

Для пограничных функций. - главных членов

погранслойной части асимптотики в окрестности начального момента времени -

имеем систему уравнений {х входит как параметр)

с начальными условиями:

0) = ф{х) - а0 (х, 0), П0г<г, 0) = ¥(х) - Х («„ (г, 0), I, о). (8)

Кроме того, потребуем стремления П - функций к нулю при В силу этого

требования из системы (7) следует равенство:

и система (7) сводится к одному уравнению:

= /(ад (1,0)+П0Чх,т)Л(*,0)-Ш0«(1,т),1ДО). (10)

Точка является точкой покоя этого уравнения, асимптотически устойчивой в

силу неравенства (см. условие 1.2).

Подставляя в равенство (9), взятое при т — 0, значения Пци^О), Пц^т.О),

определённые равенствами (8), получаем уравнение

1ГЮ-Х(а0(х,0),х,0) = -ф(х)-а„(х,0))

(И)

относительно то есть относительно функции в начальный момент времени.

Условие L3. Пусть уравнение (11) имеет решение

такое, что начальное значение принадлежит области влияния

точки покоя уравнения (10).

Тогда решение уравнения (10) с указанным начальным условием имеет экспоненциальную оценку

|nou(i,r^ 5 Сехр(-гег).

Буквами Си зе здесь и далее обозначаются подходящие положительные числа.

Функция £Ц)(з;,!) в области t й В(х) определяется как решение уравнения (6) с

начальным условием (12).

Условие 1. 4. Пусть уравнение (6) с начальным условием (12) имеет решение при О Sxül, 0<.t<,B{x).

Для определения «o(z,i) в области 4 ä В(т) требуется граничное условие при х =0.

Оно получается при рассмотрении пограничного слоя в окрестности граничной точки х — 0. Характерной особенностью данной задачи является то, что граничное условие для функции оказывается нелинейным краевым условием III рода (см (15)).

Пограничные функции Qv(£,i), £ = х/е, описывающие этот погранслой,

начинаются с членов порядка е. Они определяются из системы уравнений (t входит как параметр)

6(0)^ = Л («о (0,0.')^"+/. («o(°.f),<Hv-

(13)

dQxv

с граничными условиями:

«-о

Ьх

= 0,

' дх

= 0.

(14)

Кроме того, потребуем стремления ффункций к нулю при 4 Решив задачу (13)-(14), получим (¡хи, С}^ , зависящие от Ц)(0,<), при этом для любой функции щ имеют место оценки:

^ С «ср (-*£), ^ Сехр(-ге£).

Подставляя найденные выражения для и и (¿¡V в (14), получаем систему двух уравнений, из которой следует нелинейное граничное условие для а^{хЛ) при г = 0:

даа дх

= p(a0(0,i),t).

где р(с0 (0,0,0 = Л («о WO,0я"' (ао (0,t),0,t)|j(a0(0,t),0,t),

Л(а0,х,<) = /.(«(,>*(«(>>*.О»(ао'*(ао>г>*)'х'') <0 в силу условия Ь2.

Используя (15), найдем Оц(0Л). Для этого положим в (6) х=0. Получим уравнение относительно 0^,(0,4).

Положив в (12) х= О, найдем начальное условие для этого уравнения:

ао(О,О) = Ф0(О) (17)

Условие 1.5. Пусть существует решение задачи (16) - (17) при

Обозначим его (/). Таким образом, для определения а0(х,() в области t £ В(х)

имеем уравнение (6) с граничным условием Потребуем, чтобы

выполнялось

Условие Ь 6. Пусть уравнение (6) с граничным условием а<)(0,/) = Ч'о(*) имеет решение при

Итак, функция Оц{х,{) , а потому и функции «„, (см. (5)) полностью определены. (Предполагаем, что значения функции й0 принадлежат интервалу I из условия 1.2). Определены также функции

непрерывны в но, вообще говоря, не являются гладкими на характеристике

уравнения (6) На этой характеристике они имеют скачки производных. Для получения гладких членов асимптотики вместо вводим сглаженные функции

Процедура сглаживания описана в п. 2.3.

Функции первого приближения й^, ^ и Г^и , определяются аналогично

функциям пулевого приближения.

Отметим, что П - функции вносят невязки в граничные условия (3), а функции -

в начальные условия (2). Для устранения этих невязок строятся угловые погранфункции, которые оказываются негладкими на характеристике выходящей из угловой

точки (0,0). В окончательную асимптотику решения входят сглаженные угловые погранфункции ./^и(£,г),т Эти погранфункции экспоненциально убывают по

каждому из своих аргументов на бесконечности. Для устранения невязок, вносимых в уравнения (1) и дополнительные условия (2) и (3) в результате сглаживания, вводятся так называемые функции переходного слоя и

б

I £ I

Т.,и(т},т), Тг/ь(г),т)у где г)---у,—При удалении от характеристики 1 = В(х)

Л Л

Б - функции убывают по закону сехр(-ае£*), а Т -функции убывают по закону сехр(-ае(г +1»;|)) при удалении от точки (0,0).

Теорема Ы. При достаточно малых е задача (1)-(3) имеет единственное решение и(х,Ь,е), а функции и, Vявляются его равномерным в С1 асимптотическим

приближением с точностью то есть,

Доказательство теоремы проводится с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств.

В Главе П рассматривается система уравнений реакция-диффузия

= Цр-яД^и = /(и,ь,х, у', О, = (18*)

в тонком стержне - прямоугольнике {0 < х < 1; 0 5 у' £ е} при 0 < 4 < Т.

Здесь «и V можно трактовать как концентрации веществ, коэффиценты диффузии

которых существенно различаются - порядка е и 1, соответственно.

Источники веществ, в частности, химические реакции описываются функциями /и д. Известны концентрации веществ в начальный момент времени:

и1|=о = <р[х,у'), УЧ=0 = 1р(х,у'), (19')

а также, на торцах стержня:

«1х=0 = «°(у',4), «1*=о = Vй {у',г), «1х=1 = а1 (у',*). = (»'.*)• (20')

Частицы вещества свободно уходят через боковые стенки стержня у' = 0 и у' = е, что описывается граничными условиями III рода:

= 0;

у'-е

(2Г)

= 0,

где А и В - положительные постоянные.

Начальные и граничные условия предполагаются согласованными: 0,у,е) = «"(уДе), ф(0,у,е)=,Р(у,0,е),

^(1,У,е) = «ЧуДе), Ф^У^) = ^(у, 0,е).

В Главе ТП рассматривается система уравнений с теми же операторами и что и в (18'), и с мощным источником внутри стержня, который математически описывается коэффициентом 1/е перед функцией, стоящей в правой части второго уравнения:

= = = Ац'у = ^(«.«.».У'.О. (22')

Дополнительные условия в постановке задачи третьей главы имеют вид (19')-(2Г). В ходе решения систем уравнении (18') и (22') целесообразно произвести замену переменной

что позволяет перейти к о 13 = (0 < X < 1)X(0 < у < 1)х(0 < 4 < Т), е е

удобной для решения задачи.

В новых переменных системы (18') и (22') принимают вид:

ди 2Л ,, , .

(*,!/,«)еД (18)

оду , Л 2 , ,

~ ау1 = е'д<-и^х'у'1'е

ди осРи <?и .. . х

лду •> , . .

(22)

Дополнительные условия (19'Н21') принимают вид:.

Для построения асимптотик решений применяется процедура метода пограничных функций, причем разложение ведется по степеням -/ё.

Для этих задач построены равномерные во всей области погранслойные асимптотики решений с остаточными членами порядка 0(е). Кроме того, построена и обоснована асимптотика произвольного порядка по с внутри области впе малых окрестностей границ

Асимптотика решения состоит из регулярной и погранслойной частей:

I/ = ы + Пи + Ти + Л и + Ои + Ли + Ми + Ри + ви + +П.'и + <2*и + Л*« + М'и + Р'и +

V = V +11» + ТУ + № + 0о + Ш + МУ + Ро + вь + + (¿'V + N'v + М'У + Р'у + Б'ь.

Здесь « = и„ + -</£Й| + еи3 + ..., V = «0 + -Уё^ + - регулярные члены

асимптотики. Остальные слагаемые описывают различные типы погранслоев, возникающих в данной задаче.

Вырожденная система распадается на две отдельные задачи'

Общее решение каждой из них есть произвольная функция переменных

«о = «о «0 = /У*.*>-

Таким образом здесь, как и в главе I, имеет место критический случай. Уравнения для определения функций о^иД, получаются из условий разрешимости задач для функций ^ И При этом в случае системы (18) получаем /?„ = 0. В случае системы (22) из условия разрешимости задачи для функции 572 получается уравнение, связывающее функции с^иД,:

где в (а, р, х, = д (а, /?, х, <) - 2В/}. Здесь и далее символ Л над обозначением функции

означает усреднение по

Уравнение (24) нелинейное, поэтому в случае системы (22) потребуем выполнения следующего условия:

Условие П.1 Пусть уравнение (24) имеет решение /?0 = и пусть

- некоторый интервал. Считая Ри известным, как в случае системы (18), так и в случае системы (22), из условия разрешимости задачи для функции получаем уравнение для функции

(25)

где Р(а,х,0 = /(а,А(а,х,(),х,1)-2Аг.

Начальное условие, необходимое для однозначного определения х,*)> получается

при построении - главного члена погранслойной функции Пи.

В окрестности / - 0 погранслой описывается функциями двух типов, зависящими от разных растянутых переменных: Пи(х,у,г,е), Т1у(х,у,т,е) и Ти(т,у,я,е), Ту(х,у,я,е),

где г -Це у з = Как и регулярные члены, эти функции представляют собой ряды по степеням

Для функции По«(ж,у,г) получается начально-краевая задача параболического типа, которая решается при помощи метода Фурье. В начальное условие для По« аддитивным образом входит функция - начальное значение функции ^(х^). Требуя

убывания Пои при т —» со, получаем

«oM) = ¥>0(*), (26)

где функция ро - главный член разложения функции <р по степеням -Je . При этом для функции По« имеет место оценка:

|П0«(х,у,т)] i Сехр(-аег) (27)

Потребуем выполнения следующего условия:

Условие П.2. Пусть для каждого т 6 [0,1] существует решение о0(а:,<)е/уравнения (25) с начальным условием (26).

Для функции - главного члена погранслойной функции - получаем задачу вида (23), общее решение которой есть произвольная функция переменных хн г.

Из условия разрешимости задачи для получаем уравнение для функции

сг0 . Оно имеет вид

?%- + 2Вай = Пд(<га,х,т), (28)

где Нд - функция известного вида, нелинейная относительно <та в случае системы (22), и П<? s 0 в случае системы (18) Начальное значение аа{х,0) находим при построении функции Tav (х, у, s). Требуя убывания ТоО при т —* оо, находим

о", (*■«>)-£,<*>, (29)

где функция jfo - главный член разложения функции у/ по степеням-Je. При этом для функции То" имеет место оценка:

fou {х, У, а)| < О exp (-ses) (30)

В случае системы (22) уравнение (28) для функции <7о нелинейное, поэтому необходимо потребовать выполнения следующего условия*

Условие IL3. Пусть для каждого х 6 [0,1] существует решение сг0(х,т) уравнения (28) с начальным условием (29), имеющее оценку типа (27).

Можно показать, что при достаточно малой величине j|ff0 (z,0) - (зо|| условие П.З выполняется.

Отметим, что в случае системы (18) это требование излишне, так как уравнение (28) при Пд я 0 с начальным условием (29) имеет единственное решение, удовлетворяющее экспоненциальной оценке (27).

С помощью приведенного алгоритма можно построить регулярные члены, а также погранфункции вблизи начального момента времени t = 0 до любого порядка. При этом функции тождественно равны нулю при определяются из

обыкновенных дифференциальных уравнений с дополнительным условием убывания на бесконечности. Для функций Ttu имеет место оценка типа (30).

10

В окрестности грани х — 0 параллелепипеда Б погранслой описывается также пограничными функциями двух типов, зависящими от различных растянутых пространственных переменных: где

с = */>/?; £ =

Для функций получаем задачи вида (2), общие решения которых суть

произвольные функции переменных

Из условий разрешимости задач для В^и и Rtv получаем систему уравнений следующего вида для определения функций

0<(<1, 0<КТ (31)

Я/ и Яд - нелинейные функции известного вида, причем в случае системы (18) Яд = 0. В этом случае уравнения системы (31) можно рассматривать отдельно: сначала из второго уравнения определяется функция у0{£,{), а затем, зная из первого уравнения

находим функцию В случае же системы (22) возникает более сложная ситуация -

система уравнений (31) относительно функций д и у„ представляет собой систему специального вида, состоящую из параболического и обыкновенного дифференциальных уравнений.

Граничные условия для системы (31) определяются при рассмотрении начально-краевых задач для функций и имеют вид:

р0(0,1)=й00(0-а0(0,1), Го(0,4) = <(')-/ЦО.О- (32)

Функции 0,и и 0)1) имеют оценку

¡^у^Сехр^а*)-

Поскольку первое уравнение в (31) - параболическое, то для однозначного определения ро необходимо задать начальное значение р„(0,0- Оно находится при построении угловой погранфункции и имеет вид:

А(<Г,0) = 0 (33)

Начальное условие (33) и первое из граничных условий (32) оказываются согласованными до непрерывности в точке (0,0).

Уравнения, входящие в систему (31), нелинейные, поэтому потребуем выполнения следующего условия:

Условие 11.4. Пусть существует решение />о(С0 , Уо(С0 задачи (31)-(33), имеющее оценку типа

04)

Можно показать, что Условие 11.4 выполняется при достаточно малых величинах

к(°.о|' к(о,о|.

В случае системы (18) нелинейной будет лишь задача для /эо({",*), а для уо(С,0 получается линейное обыкновенное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое вместе со вторым граничным условием (32) и условием убывания уо(С,<)-»0 при £ —► а> однозначно определяет функцию Уо(С0> для которой справедлива оценка типа (34). Условие 11.4. в этом случае формулируется лишь для задачи, определяющей функцию ро(С$-

Та же схема применяется при построении функций Я.^ , П^, С}, и , (¿¡V . При этом получаем (¡¡и = 0, (¿¡и в 0, а отличными от нуля в случае системы (22) оказываются лишь функции Л^ = а(£>9 и ~ Л (СО; в случае системы (18) отлична от нуля только функция /э,, а у, = 0.

Из условия разрешимости задач для и Д,«^,^) получается система

уравнений типа (31) для функций />,(£<), й(£0> причем, уравнение для функции параболическое. Начальное условие для а(£0 получается при рассмотрении задачи для М2и(С,УЛ При этом оказывается, что начальное и граничное условия для функции не будут согласованы в точке (0,0). На этом итерационный процесс построения функций Л,и и прерывается, так как при помощи стандартного алгоритма не удается построить непрерывную в О функцию .

Функции П„и(1,у,г), П0я(г,г/,г), Т01'(х,1/,а) вносят невязки в граничные условия (20), а функции <Э„1>(£,!/,(), ^»(С.у,«) и - в начальные условия

(19). Вблизи ребра х = 0, е = о эти невязки имеют порядок 0(1) и экспоненциально убывают при удалении от ребра. Для устранения указанных невязок строим угловые пограничные функции. Здесь возникает четыре типа угловых погранслойных функций, зависящих от каждой из пар растянутых переменных: Ри(£,у,т) и N4 (С,у, г) и

М(».V.*), и М« ((,</, я), 5и(4,у,з) и Эта функции представляют собой

ряды по степеням -/ё. Для тех слагаемых, которые входят в окончательную асимптотику решения, применяя стандартный алгоритм, получаем: М,и в 0, 5,и = 0, « = 0,1,2. Для функций УУ.и , I = 0,1,2, получаем задачи параболического типа, которые решаются при помощи метода Фурье. В начальные условия для функций ЛГ,и аддитивным образом входят неизвестные функции д(£0) - начальные значения функций д . Эти функции определяются из условия Л',и = 0 при г-*». При < в 0,1 получаем Да = 0, остальные слагаемые ряда М« не входят в асимптотику решения с точностью 0{е). Отличной от тождественного нуля оказывается лишь функция Р0и . Она определяется как решение начально - краевой задачи параболического типа, находится в явном виде при помощи метода Фурье и имеет оценку

^(^¡/.^¿Ссхр^^и)).

Функции А\у , » = 0,1 определяются из задач вида (23) и представляют собой произвольные функции переменных ¿"иг: Лт,и = у,(£,г). На следующем шаге из условия разрешимости зздач для +2и получаются уравнения параболического типа для функций К ■

ду. сУ

+ 2 Bvi = г).

(35)

дт дС

Начальные значения находятся при решении задач для , а граничные

значения - при решении задач для функций

Функции определяются из начально - краевых задач параболического

типа. В начальные условия для входят аддитивно функции Они определяются

из условия и имеют вид*

где суть решения задач типа (31) - (33)

Функции Р,и , ( = 0,1, определяются из задач эллиптического типа. В начальные условия для Р,и входят аддитивно функции ц(0,г) — значения V, при £ = 0 Они определяются из условия и имеют вид:

где и, - суть решения задач типа (28), (29)

Функции М,и и Р,« оказываются тождественно равными нулю

В случае системы (18) функция находятся в явном виде. Для имеет

место оценка:

а VI зО.

В случае системы (22) для функции получается нелинейное параболическое уравнение. Поэтому требуем выполнения следующего условия.

Условие II.5. Пусть существует решение задачи (35)-{38), имеющее оценку

типа (38)

Как в случае системы (18), так и в случае системы (22), функции 5,и , » = 0,1, определяются из начально - краевых задач параболического типа. Для функции имеет место оценка:

|50г)(#,у,в)| 5 Сехр(-гв(£ + в)),

а

В окончательную асимптотику решения входят еще пограничные функции, описывающие погранслои в окрестностях грани х = 1 и ребра {г= 1,0£ 1, 4 = 0}. Эти функции аналогичны погранфункциям, построенным, соответственно, в окрестности грани Они зависят от растянутых

пространственных переменных

Обозначим их так:

И'и(С.,уЛ ЛЧ<£,у,0, У,О, (?Ч<£,уД Р^уА Хи((.,у,т) ,

-^ЧС'.З/Л &ь(&,у,з),

Введем обозначения:

и1 = «о О + п0и (*. У'г) + А> (С. О + ^ (С. О + Со" (<?> О + (6 2/.т) + ^ = А СМ)+^ (*,г)+т^{х,у,8)+(с,о+^ (£ ,0+<?„«(£ л О+

(<Г, г) + Лу, (с, г) + 50 V (£, у, *) + Г0' (;.,«) + (с, 0 + (}0'ь (I, у, ¿) +

Теорема 11.1 (Теорема Ш.1). При достаточно малых е решения системы уравнений (18) (системы (22)) с условиями (19)-(21) существуют и единственны, а функций}¡и V, дают равномерные в И асимптотические приближения этихрешений с точностьюО(г), то есть,

шях|г(-г/1| = 0(г); тюф-Г,} = <?(«).

При доказательстве теорем П.1 и Ш.1 применяется асимптотический метод дифференциальньж неравенств.

Внутри области вне окрестностей границ. х = 0 и х = 1 удается построить и обосновать асимптотику произвольного порядка по е.

Введем обозначения

п

«И) я

= Xе' + П2^(1,т/,г) + Т3у(х,у,(,)),

1=0

=(.5 5)х (051/<;1)х (()£«<; Т),

где 5 > 0 - сколь угодно малое, но фиксированное при е —» 0 число.

Теорема 1Ь2 (Теорема ПЬ2). Функции и„ , V, ятяются равномерным в Цг асимптотическимприближениемдлярешениясистемыуравнений(18)(системы(22))с условиями (19)-(21) с точно

тюх то есть,

Таким образом, в диссертации построены и обоснованы асимптотические разложения по малому параметру для решений двух классов сингулярно-возмущенных параболических систем, служащих математическими моделями в задачах химической кинетики и в задачах тепло- и массопереноса в тонких телах.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Методом пограничных функций построено равномерное во всей области асимптотическое разложение решения системы параболических уравнений типа реакция-диффузия-перенос по малому параметру £ с точностью 0(г?).

2. Построены равномерные во всей области асимптотические разложения систем типа реакция-диффузия с различными вариантами вхождения малого параметра в правые части в "тонком стержне" с точностью О(е), а также асимптотические разложения с произвольной точностью внутри стержня, вне малых окрестностей его торцов.

14

1. При помощи метода дифференциальных неравенств проведено обоснование асимптотических разложений решений во всей области для указанных задач.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т. Об одной сингулярно возмущённой системе типа реакция-диффузия-перенос в случае малой диффузии и быстрых реакций. // Фундамент, и прикладн. матем.- 1995.-Т.1, №4.-с.907-922

2. V. F. Butuzov, N. Т. Levashova Asymptotics ofthe Boundaiy Layer Solution of a Reaction-Diffusion-Convection SystemV/ Proceedings of International Workshop "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems". -Pereslavl-Zalessky, Russia, 1995. p.22

3. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т. О сингулярно возмущённых системах типа реакция-диффузия-перенос в случае малой диффузии и быстрых реакций.// Труды IV мат. чтений МГСУ "Математические методы и приложения". -Москва, 1996. с.15-18.

4. N. Т. Levashova On the Asymptotics ofa Boundary Layer Solution ofa Reaction-Diffusion System of Equations in a Thin Pivot// V International Congress on Mathematical Modelling. - Dubna, 2003. p.83.

5. Левашова Н. Т. Асимптотика решения сингулярно-возмущеной системы уравнений реакция-диффузия в тонком стержне// Сборник тезисов Международной конференции "Ломоносов - 2003". - Москва, 2003. с.55.

6. Бутузов В. Ф. Левашова Н. Т. О системе типа реакция-диффузия-перенос в случае малой диффузии и быстрых реакций//Ж 1 вычисл. матем. и матем. физ.2003.Т.43. №7. С. 1005-1017.

7. Бутузов В. Ф. Левашова Н. Т. Асимптотика решения сингулярно возмущенной системы уравнений реакция-диффузия в тонком стержне//Ж.. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т.43. №8. C.1160-1182.

ООП Физ ф-та МГУ. Заказ 42.100-04

4-7754

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. О СИСТЕМЕ ТИПА РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ-ПЕРЕНОС

В СЛУЧАЕ МАЛОЙ ДИФФУЗИИ И БЫСТРЫХ РЕАКЦИЙ.

§1. Постановка задачи.

§2. Построение асимптотики решения.

2.1. Главные члены асимптотики.

2.2. Асимптотика первого порядка.

2.3. Сглаживание негладких регулярных членов асимптотики.

2.4. Угловые пограничные функции.

2.5. Погранслой в окрестности ¡г = 1.

§3. Оценка остаточного члена.

ГЛАВА II. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РЕАКЦИЯ - ДИФФУЗИЯ В ТОНКОМ СТЕРЖНЕ.

§ 1. Постановка задачи.

§2. Построение асимптотики решения.

2.1. Регулярные члены асимптотики.

2.2. Погранслой в окрестности начального момента времени.

2.3. Погранслой в окрестности грани {х — 0, 0 < у < 1, 0 < I < Т}.

2.4. Угловой погранслой в окрестности ребра {х= 0, 0 < у < 1, Ь — 0}.

2.5. Вспомогательные члены асимптотики.

2.6. Погранслой в окрестности грани {ж=1, 0<?/<1, 0 < £ < Т}.

§3. Оценка остаточных членов асимптотики.

§4. Асимптотика произвольного порядка внутри стержня.

ГЛАВА III. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РЕАКЦИЯ - ДИФФУЗИЯ В ТОНКОМ СТЕРЖНЕ В СЛУЧАЕ БЫСТРЫХ РЕАКЦИЙ ВО ВТОРОМ

УРАВНЕНИИ

§1. Постановка задачи.

§2. Построение асимптотики решения.

2.1. Регулярные члены асимптотики.

2.2. Погранслой в окрестности начального момента времени.

2.3. Погранслой в окрестности грани {ж=0,0<з/<1,0<г<Г}.

2.4. Угловой погранслой в окрестности ребра {х — 0, 0 < у < 1, £ = 0}.

2.5. Вспомогательные члены асимптотики.

2.6. Погранслой в окрестности грани {ж = 1, 0 < у< 1, 0 < 1< Т}.

§3. Оценка остаточных членов асимптотики.

3.1. Асимптотика первого порядка.

3.2. Асимптотика произвольного порядка внутри стержня.

§4. Дополнение к главе Ш. Доказательство леммы го п. 2.3.

Теория сингулярных возмущений даёт эффективные методы решения многих задач математической физики. Разработка этой теории была начата в трудах А.Н. Тихонова [1], [2], [3]. В настоящее время существует большое разнообразие методов исследования сингулярно-возмущенных задач. К их числу относятся метод пограничных функций [4], [5], [6], метод усреднения [7], [8], метод регуляризации сингулярных возмущений [9], методы теории релаксационных колебаний [10], [11] метод сращивания асимптотических разложений [12], методы типа ВКБ [13] и другие. Вместе с тем, прикладные задачи приводят к необходимости рассмотрения новых классов сингулярно-возмущенных задач и модификации известных методов.

Диссертация посвящена исследованию асимтотического поведения решений систем нелинейных сингулярно возмущенных параболических уравнений. Такие системы возникают при математическом моделировании в задачах химической кинетики, при изучении процессов тепло- и массопереноса в тонких телах и во многих других прикладных задачах. Физическая природа малых параметров, входящих в уравнения, может быть различной. Это могут быть: малые коэффициенты диффузии; малые величины, обратные константам скоростей быстрых реакций в задачах химической кинетики; отношение характерных размеров в поперечном и продольном направлениях при изучении процессов в тонких телах и т. д. Во многих, задачах возникает не один, а несколько малых параметров, либо различные степени одного малого параметра. Разнообразие возможных вариантов вхождения малого параметра в уравнения системы весьма велико. Задача состоит в том, чтобы выделить какие-то классы уравнений, допускающие применение тех или иных асимптотических методов. В настоящей работе рассмотрены два класса систем, к которым удается применить с определёнными модификациями метод пограничных функций [4]. Первый класс систем характерен для задач химической кинетики (он рассмотрен в главе I), второй — как для описания химических процессов, так и для задач тепло- и массопереноса в тонких телах (главы II и III). Результаты, представленные в диссертации, обобщают на случай систем уравнений теоремы об асимптотическом поведении решений, доказанные ранее для скалярных задач [14], [15]. В случае систем уравнений усложняется как сам алгоритм построения асимптотических разложений для компонент решения, так и обоснование построенной асимптотики. Доказательство существования решения и оценка остаточных членов асимптотики для системы уравнений - гораздо более сложная проблема, чем для скалярного уравнения. В задачах, рассмотренных в диссертации, удалось решить эту проблему с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств [16], [17], [18], [19].

Остановимся кратко на содержании диссертации. В первой главе рассматривается система уравнений типа "реакция - диффузия - перенос" ди ,, 2 / \ д2и 1 г/ , \ + Ъ(х)-~ s а - — f(u,v,ж,t,г), от оа; ox s

1) аг

Эг; d2v Ъ(х)--£ а (ж) —^ ~ — M{ui vi xi s)

Эж которая получается при математическом описании процессов химических превращений двух веществ в случае малой диффузии и быстрых реакций. Здесь u(x,t), v(x,t) концентрации веществ, Ъ С ж) >0 - скорость переноса, егах (х) > 0, £га% (ж) > 0 -коэффициенты диффузии, е > 0 - малый параметр (диффузия мала), к = const > 0. Функции в правых частях уравнений описывают химические реакции, причем множитель 1/е показывает, что реакции быстрые. То обстоятельство, что правые части уравнений отличаются лишь постоянным множителем, характерно для многих задач химической кинетики.

Система (1) исследуется в области Q = (0 < х < 1) х (0 < t < Т) с начальными условиями: u\i=0 = (р(х)\ =у4х) (2) и граничными условиями: ди дх х=0 х=1 о dv дх х = 0 х=1 0.

3)

Согласованность начальных и граничных условий не предполагается; то есть, вообще говоря, <р'^ Ф 0, у/\х)Ц^ Ф 0.

Системы из двух параболических уравнений типа реакция-диффузия-перенос с различным вхождением малого параметра исследовались в [20]. Система (1) - другого типа, нежели рассмотренные в [20]. Она была рассмотрена в [21] в случае линейных функций относительно и и V в правой части системы. В данной работе, в отличие от [21], линейность функции / не предполагается, что делает как построение асимптотики, так и доказательство оценки остаточных членов более сложными задачами по сравнению с [21].

Построение асимптотики по малому параметру е решения задачи (1)-(3) проводится с помощью метода пограничных функций [4] при определённых условиях.

Условие 1.1. Достаточная гладкость функций/, Ъ(х), ах (х), а2(:г), <р (ж) и \//(х).

При е = 0 задача вырождается в одно уравнение г£о,ш,ж,£,0) = 0. (4)

Условие 1.2. Пусть вырожденное уравнение (4) имеет решение относительно^: о = , где х- достаточно гладкая функция, причем ¡и(й0,х(й0,х,г),х,^ <0, ./„ (й0,х(и0,х^),х,^ > 0 при (й^х^ еIхО.,I- некоторый интервал.

Решение вырожденной системы можно записать в виде = «0(М); «о = я(а0,М)> (5) где щ(х,£) - произвольная функция. Тем самым, система (1) относится к критическим случаям - вырожденная система имеет семейство решений. Следует отметить, что существование семейства решений у вырожденной системы характерно для многих задач химической кинетики.

Для решения задачи (1)~(3) была построена равномерная в □ = (0 < х < 1) х (0 < £ < Т) погранслойная асимптотика по малому параметру е с остаточным членом порядка е2. Вследствие несогласованности начальных и граничных условий в постановке задачи некоторые члены асимптотики оказываются не гладкими на

-= В СхУ . Это приводит к необходимости применения процедуры о сглаживания [20], [22], [23].

Асимптотика решения имеет вид: и (ж, ¿?) = £ И (ж, <?) + г)] + ¿^и (6 *) + гР^ (I, т) + 0

У(х^8)= £ [А 0> *> + .г/(яг, г)] + ^ (£ *) + еРр (£ т) + г=0

Здесь й. (х,е), - сглаженные регулярные члены асимптотики (г — 0,1). В частности, й и г>0 получаются в результате сглаживания функций и0 я выражения для которых (см. (5)) содержат функцию а0(х,£).

Уравнение для функции а0(х,£) получается из условия разрешимости задачи для Уг. Оно оказывается уравнением в частных производных первого порядка выходящая из точки (0,0), разделяет область О, на две части: t<B(x) и 1>В(х). Для определения а0(ж,£)в каждой из этих областей требуются дополнительные условия соответственно при 0 и ж = 0.

Начальное (при Ь — 0) условие для определения а0(х,{) получается при построении пограничных функций П0м, П0и

Для пограничных функций П0и(а;,г), П0и(ж,г)( г = £/е) - главных членов погранслойной части асимптотики Пад, П-и в окрестности начального момента времени -имеем систему уравнений (х входит как параметр) с начальными условиями:

Т10и(х,0) = <р(х)-а0(х,0), П0ь(х,0) = 1//(х)-%(а0(х,0),х,0). (8)

Кроме того, потребуем стремления П - функций к нулю при т -» со. В силу этого требования из системы (7) следует равенство:

П0и(ж,х) = -Ш0и(ж,т), (9) и система (7) сводится к одному уравнению: - /(«О (ж, 0) + П0И(аг, т),¥0 (х,0)- кп0и(х,т),х,0,0). (10) от

Точка Пи = 0 является точкой покоя этого уравнения, асимптотически устойчивой в силу неравенства }'и - | < 0 (см. условие 1.2).

Подставляя в равенство (9), взятое при г = 0, значения П0-и(ж,0), П0г>(ж,0), определённые равенствами (8), получаем уравнение у/(х~)~ %(а0(х,0),ж,0) = -к(<р(.х)-а0(х,0)) (11) относительно а^О), то есть относительно функции а0(х,£) в начальный момент времени.

Условие 1.3. Пусть уравнение (11) имеет решение а0(х, 0) = Ф0(я). (12) такое, что начальное значение П0,и(ж, 0) = (р{х) - Ф0 (ж) принадлежит области влияния точки покоя П0и = 0 уравнения (10).

Тогда решение уравнения (10) с указанным начальным условием имеет экспоненциальную оценку

П0и(ж,г)| < С ехр(-гет). Буквами С и аг здесь и далее обозначаются подходящие положительные числа.

Функция ай(х,{) в области Ь < В(х) определяется как решение уравнения (6) с начальным условием (12).

Условие I. 4. Пусть уравнение (6) с начальным условием (12) имеет решение при О х<1, о<г<в(х).

Для определения а{](х,{) в области I > В(х) требуется граничное условие при х = 0.

Оно получается при рассмотрении пограничного слоя в окрестности граничной точки х = 0. Характерной особенностью данной задачи является то, что граничное условие для функции Oo(x,t) оказывается нелинейным краевым условием III рода (см (15)). Пограничные функции Qu(^t) Qv(£,t)y £ = x/s. описывающие этот погранслой, начинаются с членов порядка е. Они определяются из системы уравнений (t входит как параметр) fu («о (0,t),t)QlU + fv (aQ m,t)Qlv, ~kL ^ СО.*),*)^«- kfv (а0 (О,t),t)QlV,

13) где jFt(«0(ОДt) = fu(a0(ОД^ДОДО^О,i), fv(aQ(0,t),t) = fv(ao(0,t),z(aQ(0,t),0,t)At) dQxv с граничными условиями: dQги ди„ ■ дх 0. х-0 dt dv„ f=o дх

-0.

14) x=0

Кроме того, потребуем стремления (^-функций к нулю при 2, -» °о. Решив задачу (13)-(14), получим С^г», зависящие от а0(ОД при этом для любых а0 имеют место оценки: \Яги(^г)\ < Сехр(-а^), * Сехр(-ээ^).

Подставляя найденные выражения для и в (14), получаем систему двух уравнений, из которой следует нелинейное граничное условие для а0(х,Ь) при х = 0: да„ дх

15) х = 0 р(а0 (0,0,«). где р («0 (0, (), *) = £ (а, (0,^),*)Л'1 (а0 (0,1), 0,*)^(«0 (0,*), 0,I),

А (а0, ж, ¿) = /„ (а0,% (а0, ж, , х, (а0,х, ¿), х, < 0, в силу условия 1.2.

Используя (15), найдем а0(0,£). Для этого положим в (6) х = 0. Получим уравнение относительно «¿(ОД

Положив в (12) х = 0, найдем начальное условие для этого уравнения: аь(0,0) = Ф0(0). (17)

Условие 1.5. Пусть существует решение задачи (16) - (17) при 0 < г1 < 7\ Обозначим его Тд (?). Таким образом, для определения а0(х,1) в области t > В(х) имеем уравнение (6) с граничным условием а0(0^) = Потребуем, чтобы выполнялось

Условие I- 6. Пусть уравнение (6) с граничным условием а0 (Од) = (7) имеет решение при 0 < х< 1, В(х) < t < Г.

Итак, функция а0(х,£) , а потому и функции и(), гГ0 (см. (5)) полностью определены. (Предполагаем, что значения функции и0 принадлежат интервалу I из условия 1.2). Определены также функции П0и(х,т) , П0у(х,т) и , £¿^(£,1). Функции й() и ¥0 непрерывны в , но, вообще говоря, не гладкие на характеристике i = В(х) уравнения (6).

На этой характеристике они имеют скачки производных. Для получения гладких членов асимптотики вместо й0 и гГ вводим сглаженные функции й и г>0. Процедура сглаживания описана в п. 2.3.

Функции первого приближения йх, ^ и , П^ определяются аналогично функциям нулевого приближения.

Отметим, что П - функции вносят невязки в граничные условия (3), а функции — в начальные условия (2). Для устранения этих невязок строятся угловые погранфункции, которые оказываются негладкими на характеристике £ = а^Ь (0), выходящей из угловой точки (0,0). В окончательную асимптотику решения входят сглаженные угловые погранфункции т), Р^^т). Эти погранфункции экспоненциально убывают по каждому из своих аргументов на бесконечности. Для устранения невязок, вносимых в уравнения (1) и дополнительные условия (2) и (3) в результате сглаживания, вводятся так называемые функции переходного слоя ¿7 -и (¿Г, ¿), £), где С, =- и г

X/

Т и (г/, т), Т V (г},т), где г] = ----. При удалении от характеристики Ь = В(х)

72 /2 е''1

Б - функции убывают по закону сехр(-эз^2), а Т -функции убывают по закону сехр (-85-(т +1?7|)) при удалении от точки (0,0). и

Теорема 1.1. При достаточно малых е задача (1)-(3) имеет единственное решение и(х,1,е), а функции II, Vявляются его равномерным в асимптотическим приближением с точностью то есть, е) — Х1 £г)| = 0(е2), тах^а^г) - У(х,1,е)\ =

Доказательство теоремы проводится с использованием асимптотического метода дифференциальных неравенств.

Вторая и третья главы диссертации посвящены задачам для систем уравнений параболического типа в тонких телах, то есть в такой области, у которой одно из пространственных измерений много меньше других. Рассмотренные задачи являются обобщением задач для скалярных уравнений, описанных в [14] и [15]. Во второй главе рассматривается система уравнений реакция-диффузия

Q'll (j'[J

L^ui =--sAxy,u = f(u,v,x,y',t), L2ivis—-AiBi/v = g(iL,v,x,y,,t) (18') в тонком стержне - прямоугольнике { 0 < £ < 1; 0 < у' < е} при 0 < t < Т. Здесь и и v можно трактовать как концентрации веществ, коэффиценты диффузии которых существенно различаются — порядка е и 1, соответственно.

Источники веществ, в частности, химические реакции описываются функциями ¡яд.

Известны концентрации веществ в начальный момент времени: u\t=o = (р(х,у'), v\t=o = ф(х,у'), (19') а также, на торцах стержня: и\х=о = u°(y',t), v\x=0 = V°(y',t), и\х=1 = UX{y\t), V\x=l = Vl(y',t). (20') Частицы вещества свободно уходят через боковые стенки стержня у' — 0 и у' = е, что описывается граничными условиями III рода:

Эи~Аи ду' dv W у'=0 0, ди . ^ ttj + AU ду 0;

- Bv 0, dv о ду j + Bv 0,

V=e гдеАяВ-положительные постоянные.

Начальные и граничные условия предполагаются согласованными: <р(0,у,е) = и° (уД е), ^(0,у,е) = -и0 (уДе), ¥>(1,у,е) = и1 (уДе)5 = г;1 (у, 0, е).

В третьей главе рассматривается система уравнений с теми же операторами Ьх и Ь2, что и в (18') и с мощным источником внутри стержня, который математически описывается коэффициентом 1/е перед функцией, стоящей в правой части второго уравнения: сш = ~-еАхуГи = /(«,«, ж,у',*), £2с?л = Аху,у = . (22')

Дополнительные условия в постановке задачи третьей главы имеют вид (19')-(21'). В ходе решения систем уравнений (18') и (22') целесообразно произвести замену переменной у' = ¿У, что позволяет перейти к области В = (0 < х < 1) х (0 < у < 1) х (0 < £ < Т), более удобной для решения задачи.

В новых переменных системы (18") и (22') принимают вид: ди о д2и ё2и . ч х,у,£)еП; (18)

9 дь о д2у д2ь о , . ди о д2и 82и ^ .

22)

О ду 2 32г/ д2у . ^ ч

ОЬ ~ Ъу2 =

Дополнительные условия (19')-(21') принимают вид: ик=о = <р(х,у,ё), г»|*=о = у/(х,у,в),

19) гг1ж=о = и0 гл^о = г>° (?/,£,£),

20)

МЬ=1 = ад1 (?/,£, «г ), у\х=1 =у1(у,^е). О, + =0;

21)

Для построения асимптотики решения применяется процедура метода пограничных функций, причем разложение ведется по степеням -Л.

Для этих задач построены равномерные во всей области погранслойные асимптотики решений с остаточными членами порядка О(е). Кроме того, построена и обоснована асимптотика произвольного порядка по е внутри области вне малых окрестностей границ х = 0 и % — 1.

Асимптотика решения состоит из регулярной и погранслойной частей: асимптотики. Остальные слагаемые описывают различные типы погранслоев, возникающих в данной задаче.

Вырожденная система (при е = 0) распадается на две отдельные задачи:

II = и + Ш + Ти + Ни + С£и-\- Ыи + Ми + Ри + + +Я*и + О* и + Ы*и + М*и + Р*и + 3*и,

V = V + Ш + ТУ + ЯУ + С}у + НУ + МУ + РУ + 8У + +11* V + 0*ь + И* у + М*у + Р*у + 5*г>.

Здесь и = и0+ 4ёи + еи2 +., у = г>0 + -ТгггГ + £у2 +. регулярные члены д\ и = 0, 0 < у < 1;

Общее решение каждой из них есть произвольная функция переменных х и Ь. и0 = а0( ж,О; и0 =/?0(а:,О.

Таким образом здесь, как и в главе I, имеет место критический случай.

Уравнения для определения функций с^и Д} получаются из условий разрешимости задач для функций й2 и ?2. При этом в случае системы (18) получаем /30 = 0. В случае системы (22) из условия разрешимости задачи для функции й2 получается уравнение, связывающее функции о^и /3{): где (7(а,/?,ж,£) = — 2В/3. Здесь и далее символ Л над обозначением функции 1 означает усреднение по у: д (ск0, /?, ж, Ь) = ^ д (а0, ¡3, ж, у, 0 у,у . о

Уравнение (24) нелинейное, поэтому в случае системы (22) потребуем выполнения следующего условия:

Условие 11.1. Пусть уравнение (24) имеет решение /?0 = Ца0,ж, ¿) и пусть а0,й(а0,ж,£),ж,£) < 0 при (а0, ж,£) е I х Б ,1- некоторый интервал.

Считая Д известным, как в случае системы (18), так и в случае системы (22) из условия разрешимости задачи для функции и2 получаем уравнение для функции а^:

Начальное условие, необходимое для однозначного определения а0 (ж,£)? получается при построении П0и - главного члена погранслойной функции Пи.

В окрестности t = 0 погранслой описывается функциями двух типов, зависящими от разных растянутых переменных: Пи (х, у, т, в), Пи (ж, у, г, £•) и Ти (ж, у, 5, <£•), Тг> (ж, у, 5, £•), где г = Цг, в = ¿/е2. Как и регулярные члены, эти функции представляют собой ряды по степеням-^.

24)

25) л где Р(а,ж,£) = - 2^4«.

Для функции По«(ж,г/,т) получается начально-краевая задача параболического типа, которая решается при помощи метода Фурье. В начальное условие для По и ад дитивным образом входит функция а0 (х, 0) - начальное значение функции а0 (х, I). Требуя убывания По и при т —> ад, получаем а0(я,0) = £0(а», (26) где функция гр0 - главный член разложения функции <р по степеням -/е . При этом для функции По и имеет место оценка:

П0ад (ж, у, г)| < с ехр (-ее г) (27)

Потребуем выполнения следующего условия:

Условие П.2. Пусть для каждого же [0,1] существует решение а0 (ж, £ ) е I уравнения

25) с начальным условием (26).

Для функции По и - главного члена погранслойной функции Пг> — получаем задачу вида (23), общее решение которой есть произвольная функция переменных жиг:

П0г; = сг0(ж,г).

Из условия разрешимости задачи для П?г; (ж, у, т) получаем уравнение для функции сг0 . Оно имеет вид

-^ + 2Во-0=Щ(ст0)ж,т), (28) где П<? - функция известного вида, нелинейная относительно <т0 в случае системы (22), и П<? = 0 в случае системы (18). Начальное значение сг0 (ж, 0) находим при построении функции Т0у (ж, у, я). Требуя убывания Тоу при т —> да, находим т0(ж,0) = ^0Сж), (29) где функция у/о - главный член разложения функции у/ по степеням -ч/гг . При этом для функции Тог; имеет место оценка:

Т0г; (ж, у, < с ехр (-же) (30)

В случае системы (22) уравнение (28) для функции оо нелинейное, поэтому необходимо потребовать выполнения следующего условия:

Условие П.З. Пусть для каждого х £ [0,1] существует решение а0(х,т) уравнения

28) с начальным условием (29), имеющее оценку типа (27).

Можно показать, что при достаточно малой величине |сг0 (х, 0) - 1/>0 (ж)|| условие П.2 выполняется.

Отметим, что в случае системы (18) это требование излишне, так как уравнение (28) при Ид = 0 с начальным условием (29) имеет единственное решение, удовлетворяющее экспоненциальной оценке (27).

С помощью приведенного алгоритма можно построить регулярные члены, а также погранфункции вблизи начального момента времени t= 0 до любого порядка. При этом функции Т-и, тождественно равны нулю при г — 0,1,2,3, а при г = 4,5. определяются из обыкновенных дифференциальных уравнений с дополнительным условием убывания на бесконечности. Для функций Т{а имеет место оценка типа (30).

В окрестности грани х = 0 параллелепипеда погранслой описывается также пограничными функциями двух типов, зависящими от различных растянутых переменных: Ли (С, у, ¿), Ну (С, у, , Яи (£, у, ¿), ф (£, У, , где ( = х/Л; £ = ®/е •

Для функций Ли и Вл получаем задачи вида (2), общие решения которых суть произвольные функции переменных £* и £:

Из условий разрешимости задач для Я2и и Я2у получаем систему уравнений следующего вида для определения функций ро(С^) и уо(С$' 2 Ар0=Щр01г0,Ы),

0 < с< 1, 0<t<т (31)

Л/ и нелинейные функции известного вида, причем в случае системы (18) Дд = 0. В этом случае уравнения системы (31) можно рассматривать отдельно: сначала из второго уравнения определяется функция а затем, зная из первого уравнения находим функцию р0(&). В случае же системы (22) возникает более сложная ситуация -система уравнений (31) относительно функций р0 и /0 представляет собой систему специального вида, состоящую из параболического и обыкновенного дифференциальных уравнений.

Граничные условия для системы (31) определяются при рассмотрении начально-краевых задач для функций (¡}0и и и имеют вид: р0 (0,0 = < (*) - а0 (0,0, г0 (0,0 = (О - /?0 (0, ¿), (32)

Функции О, г/. и (5о"У имеют оценку сехр(-гв^).

Поскольку первое уравнение в (31) - параболическое, то для однозначного определения ро необходимо задать начальное значение р0 (0, . Оно находится при построении угловой погранфункции И0и у, т) и имеет вид:

Ро{С> о) = о (33)

Начальное условие (33) и первое из граничных условий (32) оказываются согласованными до непрерывности в точке (0,0).

Уравнения, входящие в систему (31), нелинейные, поэтому потребуем выполнения следующего условия:

Условие П.4. Пусть существует решение ро(С$ , задачи (31)-(33), имеющее оценку типа р0(£,0\<сех р(-8еО- (34)

Можно показать, что Условие П.4 вьшолняется при достаточно малых величинах hrnl \\пт\\

В случае системы (18) нелинейной будет лишь задача для ро(С^), а для Уо(С,£) получается линейное обьпсновенное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое вместе со вторым граничным условием (32) и условием убывания 0 при £ —» со однозначно определяет функцию уо{С^), Для которой справедлива оценка типа (34). Условие 11.4. в этом случае формулируется лишь для задачи, определяющей функцию ро(($

Та же схема применяется при построении функций Щи , Щь, С^и , (^у . При этом получаем <2^ ^ О, 0, а отличными от нуля в случае системы (22) оказываются лишь функции Щи = и = ^(¿Г^); в случае системы (18) отлична от нуля только функция /?15 а = 0.

Из условия разрешимости задач для и получается система уравнений типа (31) для функций р2(&), причем, уравнение для функции параболическое. Начальное условие для получается при рассмотрении задачи для

К2и(^,у,т). При этом оказывается, что начальное и граничное условия для функции не будут согласованы в точке (0,0). На этом итерационный процесс построения функций Щи и С}{и прерывается, так как при помощи стандартного алгоритма не удается построить непрерывную в Б функцию р2.

Функции н.0и(х,у,т), иоь(х,у,т), Т^(х,у,з) вносят невязки в граничные условия (20), а функции (£,?/, г), и - в начальные условия

19). Вблизи ребра х = 0, t = 0 эти невязки имеют порядок 0(1) и экспоненциально убывают при удалении от ребра.

Для устранения указанных невязок строим угловые пограничные функции. Здесь возникает четыре типа угловых погранслойных функций, зависящих от каждой из пар растянутых переменных: Ри(£,у,т) и Ру у, г), Ши(С,у, г) и , Ми (С, у, в) и

8и(%,у,з) и . Эти функции представляют собой ряды по степеням .

Для тех слагаемых, которые входят в окончательную асимптотику решения, применяя стандартный алгоритм [4], получаем: М,и = 0, = 0, г = 0,1,2. Для функций N{4, г = 0,1,2, получаем задачи параболического типа, которые решаются при помощи метода Фурье. В начальные условия для функций Щи аддитивным образом входят неизвестные функции рг(С,0) - начальные значения функций р1. Эти функции определяются из условия Ыпи = О при г—>со. При г = 0,1 получаем Ы{и = 0, остальные слагаемые ряда Ыи не входят в асимптотику решения с точностью 0(е). Отличной от тождественного нуля оказывается лишь функция Р0и . Она определяется как решение начально — краевой задачи параболического типа, находится в явном виде при помощи метода Фурье и имеет оценку & г)| - с ехР (£+ г)) '

Функции .ЛГ/и , г = 0,1 определяются из задач вида (23) и представляют собой произвольные функции переменных (иг: = и(£т). На следующем шаге из условия разрешимости задач для +2г> получаются уравнения параболического типа для функций ду д2у = (35)

Начальные значения у^С,0) находятся при решении задач для М;у , а граничные значения ^(0,г) - при решении задач для функций Р(о.

Функции М{0 , %- 0,1, определяются из начально - краевых задач параболического типа. В начальные условия для Мр входят аддитивно функции 0). Они определяются из условия М/и = 0 при и имеют вид: у1т=-пш (36) где суть решения задач типа (31) - (33).

Функции Р(о , г = 0,1, определяются из задач эллиптического типа. В начальные условия для Рр входят аддитивно функции у;(0,г) - значения та при £ = 0. Они определяются из условия Р^ = 0 при £ —> оо и имеют вид: ц(0,г)=-о;.(0,т), (37) где сг - суть решения задач типа (28), (29).

Функции Мр и Р/у оказываются тождественно равными нулю.

В случае системы (18) функция ]\Гд = 0 и находятся в явном виде. Для у0(£,т) имеет место оценка: г^сехр^^+т)), (38) а ц s 0.

В случае системы (22) для функции v0 получается нелинейное параболическое уравнение. Поэтому требуем выполнения следующего условия:

Условие II.5. Пусть существует решение v0(£t) задачи (35)-(38), имеющее оценку типа (38).

Как в случае системы (18), так и в случае системы (22), функции S{v , г — 0,1, определяются из начально - краевых задач параболического типа. Для функции S0v имеет место оценка:

SQv У» s)| ^ с ехР (£ + «))» slS0V=0.

В окончательную асимптотику решения входят ещё пограничные функции, описывающие погранслои в окрестностях грани х — 1 и ребра {х=1,0<у<1, t = О}. Эти функции аналогичны погранфункциям, построенным, соответственно, в окрестности грани х = 0 и ребра {ж = 0, 0 < у < 1, t = 0}. Они зависят от растянутых пространственных переменных

Обозначим их так:

R*u(£by,t), R*v(£*,y,t), Q*u(£*,y,t), Q*v(^,y,t), Р*и(%*,у,х), P*v(&,y,r), ]Stu{C*,V,г) ,

N*v((Z*,y,T), Afu(£*,y,s), M*v(£*,y,s), gv(&,y,s). Введем обозначения: и I = «о (ж> г) + П0М (ж> У'т)+ А> (£>+ ^А 0 + (£ У> 0 + (£ ^ г) + (£,*) + (£,*) + <?;«(&,у,t) + v,*); /?0 (ж, i) + сг0 (х, т) + T0V (х, у, s) + У0 (С, t) + -ДГ1 (С, t) + Q0V (£ у, t) + +v0 (с,т) + ^ (С,г) + S0v(Z,y,s) + г; + -Tsy* {C,t) + Q0*v(&,y,t) + +v' (с„т) + Jsv? (C,t) + S0*v(^y,s).

Теорема II.1 (Теорема III.1). При достаточно малых е решения u(x,t,e), v(x,t,e) системы уравнений (18) (системы (22)) с условиями (19)-(21) существуют и единственны, а функции Uj и V1 дают равномерные в D асимптотические приближения этих решений с точностью 0(е), то есть, шах\и - UI = О (£■); maxro-F =0(г). о I i| п< 11

При доказательстве теоремы II.1 применяется асимптотический метод дифференциальных неравенств.

Внутри области вне окрестностей границ х = О и ж = 1 удается построить и обосновать асимптотику произвольного порядка по s.

Введем обозначения п

Un=Y,Sl (Ж> У'+ П2iU 2/' Т) + Т2ги У' S)) ' 0 п

К = Z ^ С3-'' & 0 + ^¿^ О' 2/' + У' S)) ' г=0

Я, = (<У < ж < 1 - (?) X (0 < у < 1) X (О < t < Т), где 5 > 0 - сколь угодно малое, но фиксированное при е —> 0 число.

Теорема II.2 (Теорема III.2). Функции Un , Vn являются равномерным в Ds асимптотическим приближением для решения системы уравнений (18) (системы (22)) с условиями (19)-(21) с точностью 0(sn+1), то есть, maxi«-Un\ - 0(sn+1), maxlv - V„| = 0(sn+1).

Ds 1 v > Ds ' n| \ '

Таким образом, в диссертации построены и обоснованы асимптотические разложения по малому параметру для решений двух классов сингулярно-возмущенных параболических систем, служащих математическими моделями в задачах химической кинетики и в задачах тепло- и массопереноса в тонких телах.

1. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра. // Матем. сб. - 1948. Т.22, № 2. - С. 193 - 204.

2. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры. // Матем. сб. 1950. Т.27, № 1. - С. 147 - 156.

3. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. // Матем. сб. 1952. Т.31, № 3. - С. 575 - 586.

4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. // М.: Высшая школа, 1990.

5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. // М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978.

6. A.B. Vasü'eva, V.F. Butuzov and L.V. Kalachev, The Boundary Function Method for Singular Perturbation Problems, SIAM Stud. Appl. Math., Philadelphia (1995).

7. Волосов B.M., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. // М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971.

8. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. // М.: «Наука», 1974.

9. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. // М.: «Наука»,1981.

10. Мищенко Е.Ф., Понтрягин Л.С. Периодические решения систем дифференциальных уравнений, близкие к разрывным. // Докл. АН СССР. 1957. Т. 102, №5.-С. 889-891.

11. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. //М.: «Наука», 1975.

12. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. // М.: «Наука», 1989.

13. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. // М.: «Наука», 1977.

14. Бутузов В.Ф., Деркунова Е.А. Асимптотика решения уравнения теплопроводности с нелинейным источником тепла в тонком стержне. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. — 1996. Т.36., №6. С. 68 - 85.

15. Бутузов В.Ф., Уразгильдина Т7А. Асимптотика решения краевой задачи для уравнения теплопроводности с мощным нелинейным источником в тонком стержне. // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31., №3. - С.472 - 482.

16. Pao C.Y. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. Plenum Press, New York and London, 1992.

17. Нефёдов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущённых задач в частных производных. // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31., №4. - С.719 - 722.

18. Нефёдов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущённых задач с внутренними слоями. // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31., №7. - С. 1132- 1133.

19. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Нефёдов H.H. Асимптотическая теория контрастных структур. // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. - С. 4 - 32.

20. Бутузов В.Ф., Есимова С.Т. Сингулярно возмущенная система типа "реакция — диффузия перенос", вырождающаяся в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. - 1994. -Т.34, №10. - С. 1380 -1400.

21. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т. Об одной сингулярно возмущенной системе типа реакция диффузия - перенос в случае малой диффузии и быстрых реакций.// Фундамент, и прикладн. матем. - 1995. - Т.1, №4. - С. 907 - 922.

22. Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т. Асимптотика решения сингулярно возмущенной системы уравнений реакция диффузия в тонком стержне. // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. -2003. -Т.34, №8. - С. 1160 -1182.

23. Бутузов В.Ф., Нестеров A.B. О некоторых сингулярно возмущенных задачах с негладкими погранфункциями. // Докл. АН СССР. 1982. Т.263, №4. - С. 786 - 789.