Асимптотики решений сингулярно возмущенных систем типа "реакция-диффузия-перенос" тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ-УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

ЕСИМОВА Сауле Тельмановна

УДК 517.956

АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ ТИПА "РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ-ПЕРЕНОС"

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени . кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, . профессор В.Ф.Бутузов

Официальные оппоненты:, доктор физико-математических наук,

профессор Б.А.Зупчиев, кандидат физико-математических наук, доцент В.Г.Сушко

Ведущая организация - Институт математики и механики

Уральского научного центра РАН

Защита диссертации состоится

(¡¡¿¿рОЛ? 1993 г. в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " 1993 р<

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.04 при МГУ, профессор

Т.П.Лукашеш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Теория сингулярно возмущенных уравнений начала свое интенсивное развитие около 40 лет назад, начиная с работ А.Н.Тихонова, связанных с качественной теорией обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных. Им доказана теорема о предельном переходе, устанавливающая связь между решением вырожденной задачи и решением исходной начальной задачи для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

С тех пор сингулярно возмущенные уравнения привлекают внимание многих исследователей, что объясняется их большим прикладным значением в таких областях, как теория нелинейных колебаний, теория автоматического регулирования, гидродинамика, химическая,, кинетика, тепло- и массоперенос и др. К настоящему времени развит ряд асимптотических и численных методов, позволяющих получать приближенные решения различных сингулярно возмущенных задач.

В работах Н.Левинсона и О.А.Олейник были доказаны первые теоремы о предельном переходе для уравнений в частных производных. В 50-х годах А.Б.Васильевой было построено асимптотическое разложение для решения начальной задачи, исследованного А.Н.Тихоновым, и ряда краевых задач. М.И.Вишиком и Л.А.Люстерником был разработан общий подход к построению асимптотических разло-« жений решений линейных сингулярно возмущенных уравнений в частных производных. Метод построения асимптотики, разработанный.в работах А.Б.Васильевой для обыкновенных дифференциальных уравнений и работах М.И.Вгапика и Л.А.Люстерника для уравнений в частных производных, получил название метода пограничных функций. Метод получил дальнейшее развитие во многих последующих

работах, в частности, В.Ф.Бутузовым была разработана процедура введения угловых пограничных функгий при построении асимптотических разложений решений дифференциальных уравнений в частных производных в областях, границы которых содержат угловые точки.

Крупное направление в теории сингулярных возмущений связано с работами Л.С.ПЬнтрягина, Е.Ф.Мшценко, Н.Х.Розова, сыгравшими важную роль в развитии теории релаксационных колебаний. Среди других направлений следует отметить методы типа ВКБ, развитые в работах В.П.Маслова и его учеников, метод регуляризации С.А.Ломова, метод сращивания, получивший обоснование в работах А.М.Ильина и его учеников. Число работ по теории сингулярных возмущений и ее приложениям так велико, что не представляется возможным назвать даже наиболее существенные из них.

Данная диссертация посвящена развитию метода пограничных функций применительно к сингулярно возмущенным задачам типа "реакция-диффузия-перенос". Малый параметр может входить в уравнения такого %гаа различным образом в зависимости от соотношения между скоростями химических реакций, диффузии и переноса. При исследовании таких сингулярно возмущенных задач нередко такие-то члены асимптотики определяются как решения уравнений в частных производных первого порядка, в результате чего они оказываются негладкими или даже разрывными на характеристике, выходящей из угловой точки границы. В такой ситуации стандартный метод пограничных функций не работает. Для построения гладкой асимптотики применяется процедура сглаживания, которая была разработана В.Ф.Бутузовым и его учениками и успешно применялась к ряду скалярных задач. В реальных химических процессах участвуют два или более веществ, поэтому естественно встает задача распространения результатов, полученных для скалярных уравнений, па систему уравнений.

Поль работ». Получить к обосновать асимптотические представления для решений систем сингулярно возмущенных уравнений типа "реакпия-диффузия-перенос" при различной расстановке малого параметра в уравнениях системы.

Методика исследований. При построении асимптотик решений стандартный метод пограничных функций не работает, требуется определенная его модификация. Используемая модификация основана на процедуре сглаживания негладких членов асимптотики, разработанной ранее для скалярных уравнений такого типа.

Оценки остаточных членов проводятся методом последоваталь-

I

них приближений с использованием барьерных функций.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Построены и обоснованы асимптотические представления реше-0 кий сингулярно возмущенных задач типа "реакция-диффузия-перенос" для трех различных случаев расстановки малого параметра в уравнениях системы, в каждом из которых построение асимптотики решения и доказательство оценки остаточного члена имеет свои особенности. Следует отметить, что для систем, в отличие от скалярных уравнений, появляются новые моменты в алгоритме построения асимптотики и существенно усложняется задача получения оценки остаточного члена, особенно для полулинейных систем.

Таким образом, основним результатом диссертации является развитие метода пограничных функций применительно к сингулярно-возмущенным системам типа "реакция-диффузия-перенос".

Приложения. Полученные в диссертации результаты представляют как теоретический, так и практический интерес. Методы и процедуры, использованные при построении асимптотик и при доказательстве оценок остаточных членов, могут применяться в дальнейших исследованиях сингулярно возмущенных систем.

Системы указанного типа находят практическое применение в качестве математических моделей при описании различных физических, химических и биологичвских процессов. Результаты диссертации дают возможность получать приближенные решения таких систем путем сведения их к более простым задачам и исследовать качественно структуру решений.

Аппробацид работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах: по теории сингулярных возмущений под руководством А.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузова на физическом факультете МГУ, по качественной теории дифференциальных уравнений под руководством В.А.Кондратьева, В.М.Миллиоицикова, Н.Х.Розова на механико-математическом факультете МГУ, на Всесоюзной конференции "Асимптотические методы теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" /г. Бишкек, 1991 г./.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структур^ диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 35 наименований. Общий объем диссертации 100 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий исторический обзор исследований в области сингулярно возмущенных уравнений, определен объект исследований диссертации и сформулированы основные результаты.

Основной объект исследований диссертации - система двух сингулярно возмущенных уравнений типа "реакция-диффузия-перенос" следующего.вида

+ " «и,м-,*,-»-.О,

где е,> о - малый параметр, > » У ( 5 - целые неотрицательные числа.

В диссертации рассматриваются три варианта значений о(. , £ , ^ , б (три случая'), для каждого из которых построение асимптотики решения и доказательство оценки остаточного члена имеет свои особенности.

Случай 1. = 1 ,5=2 , 2 или у = 4 . При такой расстановке малого параметра вырожденная система состоит из конечного и обыкновенного дифференциального уравнений переменная Ч: выступает как параметр).

Случай 2. = О , 5 = 2. . Вырожденная система состоит из двух дифференциальных уравнений первого порядка, причем одно из них содержит частные производные по обеим переменным х и ^ , а другое - только частную производную по ос .

Случай 3. ос=,1 , ^>=-0 , )С~2> , 2 . Вырожденная система состоит из конечного уравнения и уравнения в частных производных первого порядка.

Другие возможные случаи вхождения малого параметра в систему (.0 либо являются весьма простыми с точки зрения построения погранслойной асимптотики решения (и потому не представляют интереса) , либо мало отличаются от указанных трех.

Во всех трех случаях коэффициенты и правые части уравнений считаются достаточно гладкими, а^зс^О , при .

В первой главе рассматривается случай 1 для линейных относительно и. и ^ правых частей, т. е. рассматривается система вида

U,^ ел» со-toc* где ^ — 2. » Ли<5° ^ 0 дополнительными условиями

Чтобы решение носило погранслойный характер, важную роль играет условие р^С* ,-0 > О в П ^ICutxéA'ix Co^-t ^Т) .

Асимптотическое.представление решения данной задачи построено в виде

при У = 2 : u(=c1-fc,ï,,)= 2. ë [СчСхЛК I\u.tx,-t,h4K

■»■ W;U ,0) + Уiu C^J, + z,L* Л ,£) = U"U Л la.,-fc,t),

ca

V=0

•^■oU, ,V^TVvï l-r , АУ-,-T ,ev-

* У -OJ ,-C f г^ЗС VC« Л + »J. loc Л ,E.) ,

где остаточные члены z^Ox^.t) имеют порядок Ole-2-) равномерно в Xi .

Здесь ,-t), Ъ-^Л-) - регулярные члены асимптотики.

Они удовлетворяют только граничному условию при эс=о для функции u.(.oc,-t,t,} . Чтобы удовлетворить другим условиям, строим пограничные функции П^иЛгс/х), П-^Сх /х) (у, t/c) в окрестнос-та начального момента времени -t = О и пограничные функции , Qoïts/f) 14=^/0 в окрестности стороны ос = о

прямоугольника х! . Функции П\.и. , вносят невязки в

граничные условия при ос=0 , а функции О^а , (^у - в начальные условия при -Ь = 0 . Для их устранения вводятся угловые пограничные функции Р-^иЛч,"^ » Р\.иСчл^ •

Функции .х), П^* .х"), а при и функции

Р^^Лч.х4), Р-^ч.х} определяются из систем уравнений в частных производных первого порядка, в результате чего они оказываются негладкими или даже разрывными на соответствующих характеристиках, выходящих из угловой точки СО,О1) прямоугольника Л . Следовательно, эти функции не удовлетворяют исходной системе уравнений (2) на этих характеристиках с точностью 0(Е-М . Проводим процедуру сглаживания этих функций и ролучаем П^^.х,^4) , П^и.х,^) , ^(.Ч.х,^, Р^Ч/х,^ -сглаженные пограничные функции, где

= , а $ , Ч = уравнение ха-

рактеристики оператора Т>/тге + "Ь/^Ч , выходящей из угло-

вой точки (.^ = о,х=сГ) (вместо Ь^-с') достаточно взять первые два члена разложения Ь^Сх4) по степеням ь , т. е. можно положить ^СоН + ^б^ОИ'^оН^,

Сглаживание вносит невязки в уравнения и дополнительные условия. Для их устранения строятся функции внутреннего слоя

и ьТ^-аСх^^при , описывающие внутренние

слои в 01фестностях указанных характеристик. Они находятся в явном виде.

Остальные пограничные функции вводятся для устранения невязок в граничных условиях при эс = \ . Они зависят от погран-слойных переменных ^МА-ж^/е-2- и ;53=(А-ос)/с_ в случае

2- I ^ и в случае , а также от пере-

менной •

Доказана теорема: при достаточно малых ь для решения

иЛ-х,^,^ , лл^Л.г} задачи (.2.") Д2Л верна опенка

так, I и и л,с4) - иЛх Л, ОI = О (.с*), л

-п.

Для доказательства теоремы используется модификация принципа максимума для такой системы.

Во второй главе исследуется случай 2, т. е. система двух сингулярно возмущенных уравнений

ь Зг* * ' ^ а - ,-а, х Л,О,

с дополнительными условиями -

(4)

— I =0 -о

и

В отличие от задачи, рассмотренной в главе 1, здесь задаются щ>аевые условия второго рода, что существенно влияет на алгоритм построения асимптотики. Согласованность начальных и граничных условий не предполагается, в частности, 0 ,

Асимптотика решения задачи (4) , (.5) построена в виде иЛ«,-Ь ¿^Ч^-Л00 П-.аи^,^] еТ, и. ^, +

+ г-гЛ^Л.еЛ,

где остаточные члены -г.-,.(ос имеют порядок Oit2-) равномерно

в ХХ. .

При £-0 тлеем вырожденную задачу

ёи.-». ^.и-о-^. ^и-о-0-

Полагая ос-О и учитывая краевые условия, получим систему уравнений относительно , :

о = 4(.й.0(оА ^оЮ.^.оЛ.о),

Предположим, что из первого уравнения этой системы можно выразить через : ¡Хо(О,-*0= 1г1л?0(.о,-1:),Ч:) . за_

метим, что в силу нелинейности функции может существовать несколько таких корней. Встает вопрос о выборе корня.

Выбор нужного корня произведем следующим образом. Во-первых, потребуем, чтобы выполнялось неравенство

- о при (6)

где ^„(.О,-^ - решение задачи

Во-вторых, рассмотрим вспомогательную задачу

•^^Н*,4»'1-1».0'0'0^.'^0» гСО^-У(О). (Д)

В силу (.б") точка н = к^Ю^СГ) является асимптотически устойчивой точкой покоя уравнения (3") . Потребуем, чтобы значение ^ 1.0х) принадлежало области влияния точки покоя ^ = , т. е. чтобы решение задачи стреми-

лось к ЬЛ^О^О) при -г-* со .

Эти требования позволяют однозначно выбрать нужный корень к[й0(.о,-^,*) и определить регулярные члены асимптотики

G.-Лас-Л) , , V.-о, 1 . Для описания пограничного слоя в

окрестности начального момента времени вводим пограничные функ-. ции rUutjx.x4) , Пl»Ipc-с /о .

Регулярные члены асимптотики u-v » ^ и пограничные функции !\ic , П1У определяются из систем уравнений в частных производных первого порядка, в результате чего они оказываются негладкими на соответствующих характеристиках, выходящих из угловой точки СО,0\ прямоугольника irL . Сгладив указанные функции, получим сглаженные функции ,4*) , лгДх.-Ь.ч') ,

П^и.^.П^хр:,^ , где ч-С^-Ь^Уь, =

г» jp

\ -^j— . Для устранения невязок, внесенных сглаживанием, вводим функции внутреннего слоя ¿S^tA^) , £Л\иЛ'1=,^ • Главные члены пограничных функций в окрестности стороны эс=Н имеют порядок 0Le-2-") , поэтому в окончательную асимптотику не входят.

Доказана следующая теорема: при достаточно малых L задача (А4) ,(5^ имеет единственное решение иЛх,-^,^ f Д,е.^ и верна оценка

kyvo-oc | U U ,-Ь, t)- иЛх = OU», п.

rrxûjx. <v(=cЛ= 0(ег).

XL

Теорема доказывается методом последовательных приближений с использованием барьерных функций.

' В третьей главе рассматривается случай 3, т. е. сингулярно возмущенная система вида

с дополнительными условиями

^ \ =0, И, =0. •

Согласованность начальных п граничных условий не предполагается, в частности, Ч>'(0)О , .

Асимптотика решения задачи Са) ,19) построена в виде

ч + Е-?,,-с, + Тз/2. иЛх, I?) + ъДх =

где остаточные члены -г. ¡.^ > , е^ имеют порядок ОС*-2-} равномерно в П .

В отличие от задачи, рассмотренной в глава 2, здесь первое уравнение системы вырождается в функциональное, а второе - в уравнение в частных производных первого порядка, т. е. вырожденная задача имеет вид

0= -ШЧ^ХД),

Предположим, что из первого уравнения этой системы можно выразить через ^¡^х.Ч) : й.0 = К.(/»г0|:>сЛ). Заметим, что

в силу нелинейности функции t может существовать несколько таких корней.

Выбор нужного корня произведем следующим образом. Во-первых, потребуем, чтобы выполнялось неравенство

^^ас^-^цСК^жА^.^.^.-^.а^Но при СхЛ^Л,

- 11 -

где '¡Jote,-^ - решение уравнения

^ + etx^ g (. М^Лх А* А1, , х .О

с дополнительными условиями LAO4) .

Во—BTopirx, рассмотрим вспомогательную задачу (.с*- играет роль параметра, О:

Д-гг.ЧЧэО,^,^ , ilx^W^Cx). (.12.)

В силу Си) точка г = h(.v^ЧxV):xlO,) является асимптотически устойчивой точкой покоя уравнения (.•(2,) . Потребуем, чтобы значение Vt*) принадлежало области влияния точки покоя

, т. е. чтобы решение г(эс ,-с) задачи стремилось к ЦЖ^.э^о) при t->©o .

Эти требования позволяют однозначно выбрать нужный корень Uv^WB^x.V) и определить регулярные члены асимптотики

» , которые оказываются негладкими на характе-

ристике, выходящей из угловой точки (.0.

функция й^х.-О не удовлетворяет ни одному из дополнительных условий . Для описания пограничного слоя в окрестности начального момента времени -t-О введем функции ГКиЛос.,-^ ,

, x.-^-t/с , а в окрестности стороны о.—О - функцию

Функция еО,ц вносит невязку в начальное условие при -t-О , а функция ГЦи - в граничное условие при ос = о . Дяя их устранения построим угловую пограничную функцию г-^иСЧ/с4). Она определяется из уравнения в частных производных первого порядка, в результате чего оказывается негладкой на соответствующей характеристике.

Сгладив негладкие функции йч , лт-^ , i\u, , получим сглаженные функции , лг1 (.■х,-t,9") , Р^^ч.т , где

, , • Для опи-

сания внутренних переходных слоев в окрестности указанных характеристик вводим функции внутреннего слоя £.8,и.(Л,0), , е^Т^иЛ^. Ю . Они находятся в явном виде.

Пограничные функции в окрестности стороны эс=н • имеют порядок 0Се-1) , поэтому в окончательную асимптотику не входят.

Доказана теорема: при достаточно малых существует единственное решение а^Л,^ , лК^ЛЛ) задачи (2) ,(9) л имеет место опенка

тоих,| иСх ,с) - ил*,-Ъ,= ОСсг-),

■2г.

тоис | V С« Л , - V С* Л, е.) 1 « 0 С^г).

л.

Теорема доказывается методом последовательных приближений с использованием барьерных функций.

. Таким образом, в первых трех главах диссертации построены и обоснованы равномерные в П. асимптотические приближения для решений начально-краевых задач для системы IV) в трех случаях. Общим моментом для всех трех случаев является применение процедуры сглаживания негладких членов асимптотики и введение функций внутреннего слоя. Отличие же этих случаев друг от друга состоит в том, что негладкими оказываются различные члены асимптотики. В первом случае - временные и угловые пограничные функции, во втором - регулярные члены асимптотики и временные пограничные функпии, в третьем - регулярные члены и угловая пограничная функция. Кроме того, сами уравнения, служащие для нахождения тех или иных членов асимптотики, отличаются качественно в, этих трех случаях.

Следует отметить, что формализм построения асимптотик решений системы уравнений С1) содержит ряд новых моментов по сравнению со скалярным уравнением, погранслойная структура решений становится более разнообразной. Более сложной является

задача обоснования построенных приближений.

Описанные в первых трех главах процедуры применимы также к системам с большим числом пространственных переменных. Это продемонстрировано в четвертой главе на примере системы с двумя пространственными переменными:

а

с дополнительными условиями

= < (.аил, ч ив1 - * у л),

-0 — \ -о

Предполагается, что аСх} > о , , а начальные и

граничные условия согласованы по непрерывности: У^Чо^^^'с^о),

Такая задача является модельной для описания процессов в тонком химическом реакторе (о< * (.0< ^ < £) , "толщина" которого имеет тот же порядок малости, что и характерная длина диффузионных процессов. Система получается из системы

уравнений с малым множителем Е.г перед дч- и ДМ ( малым коэффициентом диффузии) путем растяжения переменной у с коэффициентом £- .

Вырожденная задача здесь является также параболической, но с одной пространственной переменной, роль оси времени играют характеристики оператора переноса ^ + . На характе-

ристике, выходящей из угловой точки границы ~оу, вы-

рожденное решение не является гладким - его производные терпят разрыв. Для построения асимптотики используется процедура сглаживания.

Асимптотика решения'задачи (\Ъ~) построена в виде

ч/=. О

+ гzl.*-.Ч. ^^ = VU,у 4=,í-H га(.*.,ц,-t, о,

где остаточные члены имеют порядок 0(я2-) равномер-

но в П. , СС^х^-ЦЧ^ , 'Cív.tc,у Л,Ч)- сглаженные регулярные члены асимптотики, Д, тття^- переменная,

О OV.5")

описывающая внутренний переходный слой в окрестности указанной характеристики. Сглаживание вносит невязки в уравнения и дополнительные условия. Для их устранения вводятся функции переходного слоя s,S1 i^)» Л) (S.ux» S0\y =0) , которые находятся в явном виде.

Для описания пограничного слоя в окрестности стороны строятся пограничные функции Riu.(*s,y,t, , ,-t,

где О-Ч .

Доказана теорема: при достаточно малых е- для решения "■^(У.-М). ^U.y.-t^) задачи (-(а.) , (14) справедлива оценка шах lULx.vj.t

XI.

-Л-

Итак, основным результатом диссертации является развитие метода пограничных функций применительно к ряду сингулярно возмущенных задач типа "реакция-диффузия-перенос".

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Валентину Федоровичу Бутузову за постановки задач, полезные обсуждения и внимание к работе.

ПУБЛИК/ЩИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бутузов В.Ф., Есимова С.Т. Процедура сглаживания в одной сингулярно возмущенной параболической задаче // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 199,1.

С. 22-29.

2. Есимова С.Т. Процедура сглаживания негладких членов асимптотики решения системы сингулярно возмущенных уравнений параболического типа // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1992. № 2. С. 13-20.

3. Есимова С.Т. Асимптотика решения одной системы сингулярно возмущенных уравнений типа "реакция-диффузия-перенос" // Дифф. уравнения. 1992. 28. & 6. С. 1088.