Асимптотическое представление решений систем сингулярно возмущенных уравнений в частных производных в критическом случае тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. Ломоносова

На правах рукописи УДК 517.946

Шулико Ольга Васильевна

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

ООЗОБТЗЗО

003067330

Работа выполнена на кафедре высшей математики факультета естественных наук Обнинского государственного технического университета атомной энергетики

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Нестеров Андрей Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук,

профессор Нефедов Николай Николаевич,

кандидат физико-математических наук Петров Александр Пхоун Чжо.

Ведущая организация: Московский энергетический институт

Защита состоится 16 февраля 2007 года в 14 ч 30 мин на заседании Диссертационного совета К 501.001.07 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119998, Москва, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет ВМК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан 15 января 2007 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-мзгемат-----------

доцент,

Говоров В. М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований

Сингулярно возмущенные (с.в.) дифференциальные уравнения (д.у.) в частных производных с малыми параметрами при старших производных часто возникают в различных прикладных задачах и используются при описании математических моделей процессов диффузии, сорбции с учетом малой диффузии, фильтрации жидкостей в пористых средах, химической кинетики, хроматографии, тепло- и массопереяоса, гидродинамики и многих других областях.

Теория сингулярных возмущений интенсивно развивается, начиная с основополагающих работ А. Н. Тихонова. К настоящему времени создан ряд методов построения асимптотических разложений решений различных с.в. задач. Это метод пограничных функций, развитый в работах А. Б. Васильевой, М. И. Випмка, Л. А. Люстерни-ка, В. Ф. Бутузова; метод регуляризации С. А. Ломова, методы усреднения, ВКБ, сращивания асмптотических разложений А. М. Ильина и другие. Также следует отметить немалые вклады в развитие теории асимптотических методов Н. Левинсона, А. X. Найфэ, Дж. Хединга.

Однако нередко возникают такие с.в. задачи, к которым готовые методы не применимы или не позволяют получить эффективный результат. Поэтому разработка методов решений с.в. уравнений остается весьма актуальной проблемой.

Диссертация посвящена исследованию с.в. задач в критическом случае:

еЧс, -AU = eF,

U(x,0)=Ue(x), U{0,i) = Ф°(0,

где L - дифференциальный оператор в частных производных первого порядка, А -вырожденная матрица, х, i С f! = {0 < i < со, 0<i< У}, U(x,t) = {u;(a:,t)}, (i = 1,п) - вектор решений, 0 < е << 1 - малый параметр. Вырожденная система уравнений имеет не изолированный корень, а целое семейство решений. Такой случай называется критическим.

В диссертации рассматриваются задачи, для которых rang Л = п — 1.

Подобные задачи были решены для случая с двумя неизвестными, но методы решения не могут быть распространены на случай с п неизвестными в силу возникновения серьезных осложнений. Поэтому был разработан новый алгоритм решения задачи, который имеет обратную силу, т.е. применим и ддя двумерного случая, причем существенно облегчает вывод уравнений для некоторых членов асимптотики.

Цели и задачи работы

Основной целью настоящей работы является следующее.

Построение асимптотического представления (АЛ) решения слабонелинейной системы д.у. типа «реакция-диффузия», обоснование полученного алгоритма (для системы из двух уравнений).

Формальное построение АП решения начально-краевой задачи для с.в. системы д.у. в частных производных первого порядка с малой нелинейностью в критическом случае с тг неизвестными и постоянными коэффициентами вне малой окрестости начала координат.

Формальное построение АП решения начально-краевой задачи для с.в. системы д.у. в частных производных первого порядка с малой нелинейностью в критическом случае с п неизвестными и переменными коэффициентами вне малой окрестости начала координат.

Обобщение алгоритма формального построения АП решения на начально-краевую задачу системы с.в. д.у. типа «реакция-диффузия-перенос».

Обоснование сформулированных алгоритмов.

Оценка АП решений по невязке.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Сформулированные алгоритмы АП решений начально-краевых задач для с.в. систем д.у. в критическом случае.

2. Доказано достаточное условие параболичности внутреннего переходного слоя для рассматриваемых задач.

3. Оценки по невязке построенных АП решений.

Научная новизна и практическая значимость

Исследован класс задач для систем с.в. д.у. в частных производных в критическом случае.

Разработаны формальные алгоритмы АП решений начально-краевых задач для систем с.в. д.у. в частных производных в критическом случае. Алгоритмы АП решений рассмотрены в порядке возрастания сложности. В изучении каждой задачи особое место уделено выводу уравнений для функций внутреннего переходного слоя, поскольку для каждой задачи были разработаны и применены новые методы вывода данных уравнений.

Подобная задача была решена для системы из двух уравнений с двумя искомыми функциями, но методы сс решения не могут быть прямо распространены даже на систему трех уравненипй в силу возникновения серьезных осложнений при выводе формул для нахождения членов асимптотики. Поэтому был разработан новый алгоритм решения задачи в п-мерном случае, который кроме того позволяет получить уравнения для членов асимптотики в двумерном случае с меньшими вычислительными затратами.

Результаты исследований имеют как теоретическую, так и практическую ценность.

Разработанные в работе алгоритмы построений АГ1 решений начально-краевых задач для с.в. систем д.у. могут быть реализованы в виде комплекса программ для ЭВМ и использованы на практике. Данные алгоритмы особенно полезны при изучении математических моделей процессов фильтрации жидкости в пористых средах при учете малой диффузии, что часто встречается в задачах экологии, биофизики, хроматографии и других пауках.

Апробация работы

Результаты работы докладывались автором на следующих международных и всероссийских конференциях и научных семинарах:

Международной конференции «А. Н. Тихонов и современная математика». Июль 2006 г. „

II Международной конференции «Математические идеи П. Л. Чебышева и их

приложение к современным проблемам естествознаниям Ноябрь 2004 г.

III Международной конференции «Математические идеи П. JL Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания». Май 2006 г.

Международной конференции «Mathematical modeling and analysis». Тракай, Литва, 2005.

XI Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по фундаментальным наукам «Ломоносов 2004». Май 2004г.

Научных семинарах кафедры математики физического факультета МГУ под руководством профессора В. Ф. Бутузова.

Научных семинарах кафедры высшей математики факультета естественных наук ИАТЭ под руководством профессора Е. А. Сатаева.

Публикации

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из четырех глав, введения, заключения, списка литературы и приложения. Объем работы составляет 90 страниц, включая список литературы, содержащий 45 работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор существующих математических методов АП решения с.в. задач с внутренним переходным слоем. Обосновывается актуальность разработки новых и модификации существующих математических методов и алгоритмов исследования и построения АП решений с.в. задач с внутренний переходными слоями. Приводится краткое содержание диссертации по главам.

При построении АП решений задач применяются ранее оиисанные методы: стандартный способ1 (ст. сп.) вывода задачи для членов асимптотики и метод сглажи-

1 Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Мир. 1973. 272 С.

вания2 для негладких членов асимптотики, метод согласования3 асимптотических разложений.

Первая глава диссертации посвящена изучению и построепию АП решения слабонелинейной системы д.у. типа «реакция-диффузия».

В первой части этой главы рассмотрена строгая математическая постановка задачи для одной слабонелинейной системы д.у. типа «реакция-диффузия». Постановка проведена в общем виде с учетом критического случая.

Математическую задачу поставим в следующем виде. Требуется найти решения и(х) и у(х) (концентрации подвижной и неподвижной фаз соответственно), удовлетворяющие системе уравнений типа «реакция-диффузия»:

Здесь а(х), Ь{х) - кинетические коэффициенты, 0 < е <К 1, 0 < /Де) < 1 ~ малые положительные параметры (е2 - отношение характерных времен реакции и переноса, - отношение характерных времен переноса и диффузии). Представление обмена между фазами в виде а(х)и — Ь(х)ь — е/(и,у) соответствует малым отклонениям концентраций от равновесных значений.

Для построения формального асимптотического представления решения начально-краевой задачи на функции налагаются определенные условия.

Окончательный вид асимптотики различен при различных значениях малого параметра ¿¿(е), в первой главе рассматриваются случаи ц(е) = е4 и ¡¡(е) = е2.

Во второй части первой главы рассматривается случай ц{е) = £4. Вне малой окрестности начала координат асимптическое представление решения задачи (1) строится в виде и = й 4- 5и + II?/, где ы - сглаженное регулярное решение, 5и -

2Нестеров А. В. Об асимптотике решения с переходным слоем одной сингулярно возмущенной

гиперболической системы уравнений // Докл. АН СССР. 1089. Т. 35. №6. С. 1350-1353.

3Ильич А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука.

¿„(и, V) = £2(щ + их) — £2ц(е)<1(х)ихх + а(х)и — 6(1)11 — е/(и, у) = 0, (1а)

Ь„ (и, у) = £2г1( - а(х)и + Ь(х)ь + еЦи, и) = 0, и(0,*) = ¥>(*),

и(х, 0) = и°{х), ь(х, 0) = ь°(х).

(1Ъ) (1с) (Ы)

1989. 334 С.

фуикция внутреннего переходного слоя, Пи - пограничная функция в окрестности линии i = 0 (асимптотика для v строится аналогично). В окрестности начала координат для функций (и, v) строится внутреннее разложение.

Регулярная часть решения строится ст. сп. в виде разложений по степеням е. Начальное условие для нахождения функции щ ставится совместно с пограничными функциями Пи(а;, г), Ш(т,т) (г = tc~2). Построение Пси, Пои производится также ст. сп. Решая задачу для нахождения щ, получаем:

( iI>(B-l(B(x)-t)) = ü;(x,t), 0 < t < В(х),

«о = < (2)

I pti-BWlEiJfi.i), t > B(x),

X

где В(х) = / (1 + a(s)/b(s))ds. Построенные функции йд, Щ имеют разрыв на линии

о

I: t = В(х) - характеристике уравнения (1 + с(:г))йое+йо* = 0, выходящей из угловой точки границы области О. Разрыв функций öo, v0 на линии / является следствием того, что точное решение задачи (1) имеет на I переходный слой. Для его описания применим процедуру сглаживания, в соответствии с которой продолжим гладким образом ф({) на полуось t < 0, тр{х) на полуось х < 0 и определим функции Ug, щ по формулам (2), но уже для всех х > О, I > 0. Введем в рассмотрение гладкие в П функции «о, v0: щ = «¡Jw(0 + «Л1 - ш(0)> = "o"w(0 + "о _ w(0). где £ — (t — B{x))je, а - произвольна!! функция, удовлетворяющая условиям: «КО G С^^у ИО -sgnCl, И>(01 < Сехр(-хС2), х > 0. Гладкие функции «о, vg асимптотически близки к функциям щ, щ всюду в П, за исключением малой окрестности линии I. Для устранения невязок, вносимых заменой й0, ®о на гладкие функции й0) С0, строим функции переходного слоя Su, Sv, исходя из требований:

Lsu{ü о + Su,v0 + Sv) = 0(е2),

Lsv(ÜО + Su, Vg + Sv) = 0{e2),

Üo + Su |I=0 = <p(t) + 0(e2), üo + Su 1(^0 = p(x) + 0(e2),

Функции Su, Sv строятся в виде разложений по целым положительным степеням е, однако фупкции eSui, eSvi, £25«2, e2Sv2 играют вспомогательную роль и в окончательный вид асимптотики не входят. Задача для определения Sgu, Sgv имеет вид:

= ЩПад) (Пщ + 5оМ' + 5ог,))< + (3а)

50и(С,0) = Ы, С<0; 5,0и(с,0) = -й(1-ш}, С > О, (ЗЬ)

где к = (<¿>(0) — ^(0)), значения функций й0, щ берутся на линии I. Функция определяется из алгебраического соотношения

Пограничная функция П0а вносит невязку в граничное условие в окрестности точки (0,0) и, кроме того, функция Зои, определенная задачей (3), удовлетворяет краевому условию неравномерно. Для построения равномерной асимптотики в окрестности точки (0,0) применим метод согласования асимптотических разложенй. В окрестности начала координат построим внутреннее разложение функций (¿и(£,т), С}г)(£,т), £ = хе""2, т = ¿г""2, которые строятся аналогично рассмотренной ранее двумерной задачи4.

Построенное внутреннее разложение имеет разрыв на характеристике £ = г, в то время как точное решение исходной задачи является гладким всюду впутри области. Это говорит о том, что при /с > 0 и в частности при /л = е4, решение задачи (1) имеет на линии £ = г переходный слой в окрестности точки (0,0). Поэтому дли описания переходного слоя на линии £ = т в окрестности начала координат введем дополнительную растянутую переменную ^ = ({ — :г)е~3. Продолжим д(т) гладким образом на полуось т < 0 и определим фо"г/ по тем же формулам, что и ранее, но уже пр всех £ > 0, т > 0. Построим сглаженные функции: (¿¡¡и = <Зо и(^г)и(С1)> Оо" = Яо^!7)^^)- Гладкие функции <5ои, всюду в П близки к <30и, за исключением линии £ = т = 0). В окрестности этой линии функции (¿¡¡и, (¡V не удовлетворяют уравнениям и условиям с нужной точностью. Для ликвидации невязок, вызванных сглаживанием функций <30г1, (¿оу, строим функции внутреннего

4Нестеров А. В. Об асимптотике решения системы уравнений "диффузия-сорбция" при малых

коэфициентах диффузии // ЖВМиМФ. 1989, Т.29. №9. С. 1318-1330.

переходного слоя Яои(С1,т), Ло^(Сьг)- Эти функции, а также функции Г0«(^1,п), п), ^ = хе~А, п — в окрестности начала координат строятся также аналогично ранее рассмотренной двумерной задачи.

На этом алгоритм построепия членов асимптотичского представления заканчивается. Равномерное в П асимптотическое решение задачи (1) имеет вид

и = щ + П0« + 50«(1 - х) + Х&ои + ~ Х\) + Х^Зи + ги, V = щ + П0х> + 50и(1 - х) + Х<9о" + ги,

где

гх=Х£~\ г2 = «¡Г1, XI = Х*{\/У1 + У1), У1 = з:е_3, г2 = *«Г3,

Х8 - срезающая функция:

Х»(2) = 1, г<Сь х»(г)=0, 0 < С, < С2 < г, х, С С°°,

= Оо« + кы( с), = <Эо» + сАи(С),

Г> = Г0и + (А + ^о(0))е"1,тш(С1).

Теорема 1. Остаточные члены г„, г„ удовлетворяют оценке г„, г„ = 0(е»| 1п(е)|г). В третьей части первой главы рассматривается случай ц(е) = е2. Аналогично случаю /л = е4 вне малой окрестности начала координат асимптиче-ское представление решения задачи (1) строится в виде и = й + Би + Пи, где й -сглаженное регулярное решение, Би - функция внутреннего переходного слоя, Пи -пограничная функция в окрестности линии 4 = 0 (асимптотика для v строится аналогично). В окрестности начала координат для функций (и, и) строится внутреннее разложение.

Функции регулярной части, пограничные функции и сглаженные функции регулярной части строятся аналогично случаю ц = е4 и имеют идентичный вид.

Построение функций переходного слоя Би, 5и технически производится так же, как и выше, однако для членов разложения получается несколько иная задача:

(* + ШМ!)) ~ е(|!)5оисс = + Щ^Щ + + £'ог,))с'

10

50и(С,0) = йи), С<0; 50(С.О) = -к(1-у), С > О,

где к = (ф(0) - #е(0)), е(0 = + ¿{В-Щ)) (1 + > значения функций

«о, «о берутся на линии I.

Функция 50и определяется из алгебраического соотношения

Построенная функция Эци удовлетворяет краевому условию при < = е(, неравномерно, кроме того, в окрестности точки (0,0) пограничная функция П0и вносит невязку в краевое условие.

В окрестности начала координат строим внутренпее разложение функций фт), т), £ = хе~2, исходя из некоторых требований в окрестности точки (0,0). Ст. сп. получаем задачу для нахождения <2о«, (¿¡¡у.

Окончательно равномерное в Í2 асимптотическое решение задачи (1) имеет вид

и = й0 + Пи0 + 50и(1 - х) + хЯои + ти, V - щ + Ш0 + 50т;(1 - х) + Х<Зо" + г«.

где ги,г„ = 0(е1/2|1п(е)|1/2), а х ~ срезающая функция: X ~ Х{у[4 + 4), г!=хе~1, 22 = и'1, Х(*) = 1, х< Си х(г)=0, O<CJ<C2<2, ХС С°°, = <30и + МО, = ЯоЪ + а(0)/Ь(0)кш(О.

Теорема 2. Остаточные члены гц, г„ удовлетворяют оценке ги,г„

Во второй главе рассматривается АП решения с.в. начально-краевой задачи для системы д.у. в частных производных первого порядка, со слабой нелинейностью в критическом случае, которая имеет вид:

£2(Щ + Оих) = Аи + еР(Ц), (4а)

Щх, 0) = Ц°(х), (7(0, *) = Ф°й, (4Ь)

где х,г С О = {0 < х < 00, 0 < ¿< Т}, и(х,{) = {«¡(ж,г)}, (г = 17«) - вектор решений, 0 < е « 1 - малый параметр.

Предполагается, что матрица!) = diag ||d¡¡i|" -диагональная, dü > О, А = |)а„|;" -вырожденная (rang А = п~1), F(U) = {/,({/), i ~ 1, п} - вектор-функция, определенная для всех |uj| < оо, (i = 1, п). Считается, что элементы матриц A, D - постоянны и вещественны.

Введем следующие обозначения: ha - собственный вектор матрицы А, соответствующий нулевому собственному значению А = 0; hg - собственный вектор транспонированной матрицы Л*, соответствующий собственному значению А* = 0; скалярное произведение векторов а и b будем обозначать стандартно (о, 6). Будем считать, что выполнены следующие условия.

1. U°(x), Ф°(£), а так же элементы гг-мерной вектор-функции F(U) дважды непрерывно дифференцируемы в областях своего определения.

2. (F, h'0) = 0.

Z.{ho,ht) = H>0,{Dh0,h*Q)>0.

4. Собственные значения А матрицы А, отличные от нуля, удовлетворяют условию Re А < 0. Отметим, что А = 0 есть так же собственное значение матрицы D~lA, и при наложенных на матрицы A, D условиях - однократное.

5. Остальные собственные значения А матрицы D'XA удовлетворяют условию Re À < 0.

Формальное асимптотическое представление задачи (4) с точностью О(е) строится вне малой окрестности точки (0,0) в виде суммы сглаженой регулярной части U(x,t,Ç), пограничных функций П{х,т), Q(f,t) и функции переходного слоя S(Q:

U = Щ(х, t, С) + П0{х, г) + t) + 50(С, t) + ф, t, £) = U0 + ф, t, s),

здесь U(¡ --■ Uq{x, í, О+П0(х, t)+Q0(?, í)+So((, ~ АП решения, r(:r, t, e) - остаточный член. Не ограничивая общности, для сокращения выкладок при построении пограничных функций П{х,т), Q{Ç,t)< рассматривается случай однократных собственных значепий матриц А и D~lA.

Регулярная часть 0(х,í) строится из условия удовлетворения уравнению

£2{U¡ + DÜX) -AD- cF(x, Ü) = 0(e3).

в виде разложения по степеням s: Ü (х, t) = Üq+eD, +e2Ü2 + ..здесь и далее вектор-функции с индексами 1 и 2 играют вспомогательную роль и в окончательный вид

асимптотики не входят. Вектор-функцию F(U) также разлагаем по степеням е :

eF(x, U) = sF(x, ий + eUx + е2Щ +...) = eft + e2F2 + ...

Построение регулярной части производится ст. сп., уравнение для определения функции д0[х, t) имеет вид:

9ot + Vg0, = 0, где V = (,Dh0, Л;} /Я > 0.

Отметим, что векторные краевые и начальные условия (4Ь) не могут удовлетворятся одной функцией. Для их выполнения строим пограничные вектор-функции П(х,т), Q(f,f) в окрестности линий t — 0, х ~ 0 соответственно. Пограничные функции строятся ст. сп. и удовлетворяют оценкам:

|Я0| < С7ехр(-кт),С > 0, к > 0,

|Qo| < Cexp(-Ki),C > 0, к > 0.

Функция до является решением начально-краевой задачи для уравнения первого порядка в частных производных

So,+Vg0x = Q, . (5а)

= 5Uo=5+(i). (5b)

Отметим, что вообще говоря, д (0) ф <Л(0). Решение задачи (5) имеет разрыв на линии па линии I : í = ух

д{х г) = / -9" (* - П> °) = 9~(х< *)■ х ~ > °>

| д+ (0, * - ¿я) ее д+(х,«), х - VI < 0,

следовательно, регулярная часть 0 имеет вид:

/ д'(х, = и-(х, I), х - VI > 0, [ д+{х,1)11° = и+{хА), I - уг < о,

и так же имеет разрыв на линии I. В общем случае I не является характеристикой системы (4) и, следовательно, решение данной системы должно быть гладким

в окрестности I (линия I, являясь характеристикой вырожденного оператора, является псевдохарактеристикой исходного). Это говорит о том, что в окрестности этой псевдохарактеристики точное решение исходной задачи имеет переходный слой, вырождающийся при е -> 0 в разрыв.

Для описания переходного слоя вдоль этой линии применим метод сглаживания, для чего предварительно построим гладкие вектор-функции:

О — U+u(C) + U~(i — w(f)),

где С = (i — x/V)/£, а ш(С) - любая бесконечно-дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям: а/«) = 0, £ < 0, = 1, Ç > 1.

Строим вектор-функции переходного слоя S(£,f), исходя из требований:

£2{фо + S)t + D{\% + S),) - АфЬ + S) - eF(x, ûo + S) = 0(e3),

(t/o+5 + Я)! =U°(x) + 0(£%

(£/„ +5-fQ)| =Ф°(4)+0(е2). li=0

Задачу для нахождения вектор-функции So получаем, представляя S и SF в виде разложения по степеням е:

S = S0+eS,+£2S2 + ..., SF = SF0 + eSFi + e2SF2 + ...,

Вектор-функция S0 находится из выражения So = После достаточно тру-

доемких выкладок получаем задачу для нахождения функций внутреннего переходного слоя:

sDi + Ms0(( + Мш1(к - (ФGF{Vt, (кш + So-(0) 4- s0)h0), h'0)(/H = 0, (6а)

So |t=o,c<o = -&Л «о |î=o,c>o = k( 1 - w). (6b)

где: Ф = (E-±D), M = {^G^h0,h'0)/H, к = $¡¡"(0) - ^(0), Ë - единичная матрица размерности п. Хотя собственые векторы hD, /¡3 и псевдообратная матрица G определены неоднозначно, коэффициент M определяется единственным образом (соответствующая Лемма и ее доказательство приведены в Приложении).

Теорема 3. Если выполняется условие параболичности уравпения (6а) (М < 0), то существует То > 0 такое, что на [0, Т0] существует единственное решение задачи (6а) и на [0,7о] справедлива оценка

|s0| < Сехр(-/<2),С > 0,к > 0.

Окончательно представим решение задачи (4) в виде

U{x, t) = V0(x, t) + П0(х, т) + QoK, t) + 5п(С, t) + r(x, t, e),

где Uo(x, t) + Яо(х,r) + Qo(£, i) + So(C, t) - построенная асимптотика, г(ж, i, e) - остаточный член.

Теорема 4. Остаточный член r(x,t,e) удовлетворяет задаче £2(т-, + Drx) = Ar + RF + Ru х > 0, 0 < t < -Ти Г, = mm[T,T0]. г(0,х) = Д2, r{t,0) = R3,

гдеЛ1 = 0(Е2),Д2,Д3 = 0(г)-

В третьей главе рассматривается построение формального асимптотического представления решения начально-краевой задачи для с.в. системы д.у. первого порядка в частных производных с малой нелинейностью в случае зависимости элементов матриц A, D от пространственной переменной х\

e2(Ut + D(x)Ux) = A(x)U + eF(x, U), (7a)

U(x,0) = U°(x), U(0,t) = <f>0(i), (7b)

где x,t С il = {0 < x < oo, 0 < t < T}, U(x,t) = {«¿(z,i)}, (i = I7n) - вектор решений, 0 < £ << 1 - малый параметр.

Предполагается, что матрица D(x) = diag||d,t(z)||j - диагональная, da(x) > О, А(х) = - вырожденная (rang A(z) = п - 1), F(x,U) = {fi{x,U),i = l,n} -

вектор-функция, определенная для всех |«i| < оо,

Для построения АП решения задачи на функции налагаются условия, аналогичные условиям предыдущей задачи и принимаются аналогичные обозначения.

АП задачи строится технически аналогично задаче из второй главы, однако зависимость коэффициентов системы от пространственной пермениой х вносит коррективы в построение регулярной части и существенные осложнения в вывод функций внутреннего переходного слоя. Поэтому был предложен новый метод вывода уравнений для этих функций.

Формальное АП задачи (7) с точностью 0(e) строится вне малой окрестности точки (0,0) в виде суммы сглаженой регулярной части U(x,t,Q, пограничных функций П(х,т), Q{Ç,t) и функции переходного слоя S(Ç,t):

U = Ü0(x, t, О + П0(х, т) + <2о(£, t) + So«, t) + r(x, t, e) = U0 + r(x, t, e),

здесь i/o = Üü{x,tX)+n0(x, r)+Qo(^,t)-hSo(C, t) - АП решения, т{х, t, e) - остаточный член. Функция F(x, U) представляется в виде

F(x, U) — F + SF + IIF -I- QF + RF,

Построение регулярной части производится аналогично функциям из предыдущей главы, однако здесь и ниже выберем вектор h0(x) специальным образом: h0(x) = ip(x)ha(x), где ha(x) — {Мц(х), 1 < i < n}, Mu(x) - алгебраические дополнения к элементам au (1 < i < n) матрицы А(х), а функция (р(х) определена как

Векторные краевые и начальные условия для (8) также не могут удовлетворятся одной функцией, поэтому ставим их совместно с пограничными функциями П(х, т)

(т = i/e2), Q(£,£) (£ = х/е), которые строятся ст. сп. и удовлетворяют оценкам: |Я0| < Сехр(-кг),С > 0,« > 0, IQol < Сехр(-я£),С > 0, к > 0.

Тогда получаем уравнение для определения функции <?о(х, i):

So, + Vga, = 0,

(8)

где V = (Dh0,h*B)/H.

Функция дд является решением начально-краевой задачи для уравнения первого порядка в частных производных

0о, + = О,

(9а)

Отметим, что вообще говоря, д~(0) Ф 9+(0)-

Решение задачи (9) имеет разрыв на линии I : 4 = ^х

(9Ъ)

д( х, г) =

{ д~ {В-\В{х)-1), 0) - <Г0М), 0 < 4 < £(*), \ д+(0,*-В(в)) = 9+(1,1), 4>В(х),

(

X

где В(х) = / ^т, следовательно, регулярная часть и имеет вид:

СГ(М) =

»-(х,4)/10(г) = и~{х,1), 0 <1<В{х), д+(х,г)ь,0(х) = и+(х,г), г>в{х),

и так же имеет разрыв на линии I. В общем случае I не является характеристикой системы (7) и, следовательно, решение данной системы должно быть гладким в окрестности [ (линия I, являясь характеристикой вырожденного оператора, является псевдохарактеристикой исходного). Это говорит о том, что в окрестности этой псевдохарактеристики точное решение исходной задачи имеет переходный слой, вырождающийся при е —> 0 в разрыв.

Для описания переходного слоя вдоль этой линии применим метод сглаживания, для чего предварительно построим гладкие вектор-функции:

где £ = (£ — В(х))/е, а - любая бесконечно-дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям: ш(£) = 0, С < 0, ш(С) = 1, С > 1. Построим вектор-функции

С/ = £/+ИС)) + 1Г(1-и(С)),

переходного слоя £(£, £), исходя из требований:

+ 5)г + £(¿/0 + ЗД - А(й0 + 5) - О0 + 5) = 0(е3),

(бо + 5 + Л) =и0[х)+О{е2), ({?0 + 5 + <2) = Ф°(4) + 0(е2).

Для нахождения вектор-функции представим функции 5 и элементы матриц А и Ф, а также переменную х в виде разложений по степеням е:

х = В~1(1 - еС) = В"1 (4) + кц^) + ..., 5 = 50 +£$1 + е232 + ..., = ЗД + еЯ^ + е25Р2 + ...,

А{х) = А{В~1(г - еС)) = 4> + + ^ + • • •, Ф(а;) = (< - еС)) = Фо + £®1 + г2Фг + ...,

Отметим, что БРц = 0. После трудоемких вычислепий с учетом результатов предыдущей главы и выражения Бо = 5о(С> О^о,» получаем задачу для определения з0:

% + Мв0{С - г = 0, (10)

«о |<=о,«о = «о (¡=о,с>о = Щ ~

где М = (ФвФЛо, Н1) /Я, Ь = 5о+(0) - ^ (0),

г = -Мшак + (ФС^(В-1(4), Лш + & (0) + 80)Ь0, Щ)с/Н,

матрица б - псевдообратная к матрице А (удовлетворяющая при условии (Р, кд) = 0 соотношениям: АУ = Р, У - (7Р+ СЛ0).

При условии параболичности уравнения (10) (т.е. М < 0) существует Т0 > 0 такое, что на интервале [0,То] существует единственное решение задачи (10) и на [0, Го] справедлива оценка

|«о[ <Сехр(-кС2),С>0,/с>0.

Доказано, что условие параболичности задачи М < 0 выполнено для некоторых симметричных матриц А специального вида, у которых все элементы кроме главной диагонали неотрицательны, а элементы главной диагонали равны суммам элементов по столбцам, взятых с отрицательными знаками.

Окончательно представим решение задачи (7) в виде

Щх,г) = й0{х,{) + Ло (х,т) + Оо(£,«) + 50(С,£) + ФЛе),

где 0о(х, I) + П0(х, г) + (¡¿о{£, ¿) + 50(С> ~ построенная асимптотика, г(х, е) - остаточный член.

Теорема 5. Остаточный член r(x, t, е) удовлетворяет задаче е2(г( + Drx) = Ат + RF + R, х > 0, 0 < t < Ти Tt = min{T, Т0},

= 0(e),r(i, 0) = 0(е),

где R = О к2) всюду в области {0 < х < оо, 0 > t > Ti} вне любой фиксированной окрестности точки (0,0).

В четвертой главе рассматривается АП решения начально-краевой задачи для слабо-нелинейной системы с.в. д.у. типа "реакция-диффузия-перенос":

где х,Ь С и = {0 < х < оо, 0 < г < Т}, 1/(г,<) = {ггДа;,4)}, (г = 17п) - вектор решений, 0 < е « 1 - малый параметр.

Предполагается, что матрицы В(х) — ¡¡«¿«(л:)!!?, С{х) = <ИайЦси(а:)||" - диагональные, ¿ц(х) > 0, сц(х) > 0; А{х) = |[а(;(х)||" - вырожденная (rang.A(x) = п— 1); Р(х,II) = {/¡(х,[/),г = 1,п} - вектор-функция, определенная для всех < со, (г = М).

Для построения асимптотики на функции налагаются определенные условия.

Формальное асимптотическое представление задачи (11) с точностью О(е) строится вне малой окрестности точки (0,0) в виде суммы сглажепой регулярной части {/(г,4,С), пограничных функций П{х,т), <Э(£,4) и функции переходного слоя 5(£,<):

и = йъ{х, С) + Щ(х, г) + <2о{£, ¿) + 50(С, *) + г = и0 + г,

здесь Щ — йо(х,Ь,С) + Щ[х,т) + <Эо(?>£) + 5о(С>*) АП решения, г - остаточный член.

АП задачи строится технически аналогично АП задачи из третьей главы, однако слагаемое —е*С(х)ихх вносит незначительные коррективы в построение пограничных (^-функций (не меняя оценку данных функций) и существенно осложняет вывод функций внутреннего переходного слоя, причем вид уравнения для определения функции переходного слоя меняется незначительно.

L{U) = e\Ut + D(x)Ux) - e4C(x)Uxx - A(x)U - eF(x, U) = 0,

(lia)

1/(0, i) = ¡p(t), U(x,0) = U°{x).

(11b)

Регулярная часть U(x, t) и пограпичные функции строятся аналогично функциям предыдущей главы, а также аналогична процедура сглаживания функций регулярной части.

Построим вектор-функции переходного слоя S(£,i), исходя из требований: е2(Фо + S)t + D{Û0 + S)x) - е*Сфо + S)K - Аф0 + S) - eF(£Â0 + S) = 0(e3),

(î/o + 5 + II) j =U°(x) + 0{£2), (C/0 + 5 + Q)l =$°(i) + 0(e2).

Строим S в виде разложения по степеням е: S = So + eS-i -h e2S2 +... Учитывая выражение S0 ~ s0(Ç,t)hoa, и результаты предыдущих глав, получаем задачу для определения s0:

s0, + M(t)s0(ç + M(t)kùja = 0, (12)

«о |t=o,c<o = s0 |i=0,c>o = k(l - w),

где M{t) = (®oGe«oftoo, K0) - {Щк00, /&))) /#о, к = <?0+(0) - ffe~(0)-

При условии нараболичности уравнения (12) (т.е. M < 0) существует Т0 > 0 такое, что на интервале [0, Т0] существует единственное решение задачи (12) и на [0,7о] справедлива оценка

|s0| < Сехр(-кС2), С > 0, к > 0.

Окончательно представим решение задачи (11) в виде

U{x, t) = Û0{x, t) + П0(х, т) + Q0(Î, t) + S'oie, t) + r(x, t, e),

где Щх, i) + #o(x,r) + <3o(Ç, i) + 50(C, i) - построенная асимптотика, r(x, t, e) - остаточный член.

Теорема, 6. Остаточный член r(x,t,e) удовлетворяет задаче e2(r( + Drx) = Ат + RF 4- R, х > 0, 0 < t < T, Т > 0,

г(0,®) = 0(е),гМ) = 0(е).

где R = 0[е2) всюду в области {0 < х < со, 0 > t > 7\} вне любой фиксированной окрестности точки (0,0).

Оценки правой части уравнения, а так же начальных и краевых условий получаются непосредственным вычислением с учетом алгоритма построения асимптотики.

Основные результаты

1. Предложен новый алгоритм построения АП решения с.в. задач для систем в частных производных в критическом случае.

2. Доказано, что полученные АП решений удовлетворяют асимптотическим оценкам и оценке по невязке (неравномерной).

3. Доказано достаточное условие параболичности внутреннего переходного слоя для данных задач.

4. Получены простые асимптотические формулы для описания решения начально-краевых задач для с.в. систем д.у. в частпых производных.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Обнинского государственного технического университета атомной энергетики Андрею Владимировичу Нестерову за научное руководство, многочисленные плодотворные дискуссии на всех этапах работы, постоянное внимание и поддержку.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Нестеров А. В., Шулико О. В.

Асимптотика решения слабо нелинейной системы д.у. типа "реакция-диффузия"// Математическое моделирование. 2004, Т. 16, №8, С. 50-58.

2. Нестеров А. В., Шулжо О. В.

Асимптотика решения сингулярно возмущенной системы д.у. первого порядка в частных производпых в критическом случае. Тезисы докладов конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск, 2004..

3. Nesterov А. V., Shuliko О. V.

"The asymptotic solution of singularly perturbed system of first, order partial differential equation in critical case"Te3Hcu докладов конференции "Mathematical modeling and analysis Trakai, 2005.

4. Нестеров А. В., Шулико О. В.

Асимптотика решения слабонелинейной системы д.у. типа «реакция-диффузия-перенос». Тезисы докладов конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск, 2006.

5. Нестеров А. В., Шулико О. В.

Асимптотика решения сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с малой нелинейностью в критическом случае. Тезисы докладов конференции «А. Н. Тихонов и современная математика». Москва, 2006.

Компьютерная верстка О.В.Борисенко

ЛР№ 020713 от 27.04.1998

Подписано к печати / 0.0 4 • 0 . Формат бумаги 60x84/16

Печать ризограф. Бумага МВ Заказ № <?7 Тираж 70 экз. Печ. л. 1,5 Цена договорная

Отдел множительной техники ИАТЭ 249035, г. Обнинск, Студгородок, 1

Введение

Обзор литературы

1 Построение асимптотического представления решения слабонелинейной системы дифференциальных уравнений типа «реакция-диффузия»

1.1 Постановка задачи.

1.2 Алгоритм построения асимптотики при // = е4.

1.2.1 Регулярная часть

1.2.2 Пограничные функции Х1и(х, т), Пи(х,т).

1.2.3 Процедура сглаживания функций щ, щ.

1.2.4 Внутренний переходный слой

1.2.5 Внутренее разложение в окрестности начала координат.

1.2.6 Построение функций внутреннего переходного слоя Rqu, R0v

1.2.7 Дополнительное внутреннее разложение Гон, Гои.

1.2.8 Окончательный вид АП.

1.3 Алгоритм построения асимптотики при ц — е2.

1.3.1 Регулярная часть

1.3.2 Пограничные функции Пи(х,т), Пу(х,т)

1.3.3 Функции переходного слоя Sou, S0v.

1.3.4 Внутреннее разложение в окрестности начала координат

1.3.5 Окончательный вид АП.

2 Асимптотика решения сингулярно возмущенной начально-краевой задачи для слабонелинейной системы типа "реакция-диффузия"

2.1 Постановка задачи.

2.2 Алгоритм построения асимптотики.

2.2.1 Регулярная часть разложения.

2.2.2 Пограничные Я-функции.

2.2.3 Пограничные Q-функции.

2.2.4 Внутренний переходный слой

2.2.5 Окончательный вид АП.

3 Асимптотика сингулярно-возмущенной начально-краевой задачи с переменными коэффициентами

3.1 Постановка задачи.

3.2 Алгоритм построения асимптотики.

3.2.1 Регулярная часть разложения.

3.2.2 Пограничные Я-функции.

3.2.3 Пограничные ф-фунищи.

3.2.4 Внутренний переходный слой

3.2.5 Окончательный вид АП.

4 АП решения начально-краевой задачи для системы дифференциальных уравнений типа «реакция-диффузия-перенос»

4.1 Постановка задачи.

4.2 Алгоритм построения асимптотики.

4.2.1 Регулярная часть разложения.

4.2.2 Пограничные Я-функции.

4.2.3 Пограничные ф-функции.

4.2.4 Внутренний переходный слой

4.2.5 Окончательный вид АП.

Асимптотические методы представляют собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Они позволяют получать приближенные аналитические представления решений весьма сложных линеных и нелинейных краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных.

Асимптотические методы широко применяются в механике, физике и других науках, оперирующих дифференциальными уравнениями. Большинство этих методов (например, метод Пуанкаре, метод усреднения, метод пограничного слоя) первоначально возникли именно при решении конкретных задач механики и физики, а затем уже были развиты и обобщены. Впоследствии многие методы получили строгое математическое обоснование. Однако до сих пор целый ряд методов малого параметра, особенно применительно к уравнениям в частных производных, нельзя считать строго обоснованными, и успех их применения часто бывает связан с глубоким и неформальным проникновением в суть задачи, с пониманием процессов, описываемых данными уравнениями.

В настоящее время асимптотические мотоды продолжают бурно развиваться, несмотря на бурное развитие численных методов, вызванное появлением быстродействующих вычислительных машин и комплексов,- численные и асимптотические методы не исключают, а взаимно дополнят друг друга. Аналитические методы служат для выяснения качественных особенностей задач, для получения асимптотик и анализа особых точек, для построения опорных мтестовыхмрешений, а в ряде случаев являются также основой для разработки вычислительных методов.

В последние годы внимание ученых, занимающихся асимптотическими методами теории дифференциальных уравнений, привлекла так называемая проблема сингулярных возмущений, поставленная перед математиками интенсивным развитием самых разнообразных областей науки. Особое внимание заслуживают сингулярно возмущенные (с.в.) дифференциальные уравнения в частных производных с малыми параметрами при старших производных, которые часто возникают в разнообразных прикладных задачах и используются при описании математических моделей процессов диффузии, сорбции с учетом малой диффузии, фильтрации жидкостей в пористых средах, химической кинетики, хроматографии, тепло- и массопереноса, гидродинамики и многих других областях.

Теория сингулярных возмущений интенсивно развивается, начиная с основополагающих работ А. Н. Тихонова. К настоящему времени создан ряд методов построения асимптотических разложений решений различных с.в. задач. Это метод пограничных функций, развитый в работах А. Б. Васильевой, М. И. Вишика, Л. А. Люстерни-ка, В. Ф. Бутузова; метод регуляризации С. А. Ломова, методы усреднения, ВКБ, сращивания асмптотических разложений А. М. Ильина и другие. Также следует отметить немалые вклады в развитие теории асимптотических методов Н. Левинсона, Дж. Хединга, А. X. Найфэ.

Все вышеуказанные методы позволяют получить асиптотические разложения решений для весьма широких классов с.в. уравнений. Вместе с тем каждый из них не охватывает все многообразие задач, особенно для уравнений в частных производных в критическом случае. Нередко возникают такие с.в. задачи, к которым готовые методы не применимы или не позволяют получить эффективный результат. Поэтому разработка методов решений с.в. уравнений остается весьма актуальной проблемой.

Диссертация посвящена решению этой проблемы применительно к некоторому классу с.в. задач в критическом случае.

Как известно, один из основных требований в теореме Тихонова о существовании решения системы является условие существования изолированного корня z — (p(y,t) вырожденного уравнения F(z, у, t) = 0. Во многих прикладных задачах, приводящих к с.в. уравнениям, это условие нарушается: вырожденное уравнение имеет не изолированный корень, а целое семейство решенийзависящее от одного или нескольких параметров. Такой случай называется критическим.

Оказывается, при определенных весьма общих условиях асимптотика решения начальной задачи в критическом случае имеет такой же вид, как и для систем Тихоновского типа, в частности, в пределе при д 0 решение начальной задачи переходит в одно из решений вырожденного уравнения, однако алгоритм построения асимптотики претерпевает изменения.

Диссертация посвящена исследованию с.в. задач в критическом случае: где L - дифференциальный оператор в частных производных первого порядка, А -вырожденная матрица, x,t С ft — {0 < t < Т, 0 < х < оо}, U(x,t) = {щ(х, £)}, (г = 1,п) - вектор решений, 0 < е « 1 - малый параметр. Как видно, вырожденная система уравнений имеет не изолированный корень, а целое семейство решений. Такой случай называется критическим.

В диссертации рассматриваются задачи, для которых rang Л = п — 1.

Подобные задачи были решены для двумерного случая, но методы решения не могут быть распространены на n-мерный случай в силу возникновения серьезных осложнений. Поэтому был разработан новый алгоритм решения задачи, который имеет обратную силу, т.е. применим и для двумерного случая, причем существенно облегчает вывод уравнений для некоторых членов асимптотики.

Основной целью настоящей работы является следующее. dz „, , dy . „ ii— = f(z, vA-£ = /(*> ул0 <t<T, z{0,lx) = z°,y(0,fi) = y0 dt e2Lu -AU = eF,

C/(x,0) = U°(x), U{0,t) = $°(t)

1) (2)

Построение асимптотического представления (АП) решения слабонелинейной системы д.у. типа «реакция-диффузия», обоснование полученного алгоритма (для системы из двух уравнений).

Формальное построение АП решения начально-краевой задачи для с.в. системы д.у. в частных производных первого порядка с малой нелинейностью в критическом случае с п неизвестными и постоянными коэффициентами вне малой окрестости начала координат.

Формальное построение АП решения начально-краевой задачи для с.в. системы д.у. в частных производных первого порядка с малой нелинейностью в критическом случае с п неизвестными и переменными коэффициентами вне малой окрестости начала координат.

Обобщение алгоритма формального построения АП решения на начально-краевую задачу системы с.в. д.у. типа «реакция-диффузия-перенос».

Обоснование сформулированных алгоритмов.

Оценка АП решений по невязке.

Результаты исследований имеют как теоретическую, так и практическую ценность. Разработанные в работе алгоритмы АП решений начально-краевых задач для с.в. систем д.у. могут быть реализованы в виде комплекса программ для ЭВМ и использованы на практике. Данные алгоритмы особенно полезны при изучении математических моделей процессов фильтрации жидкости в пористых средах при учете малой диффузии, что часто встречается в задачах экологии, биофизики, хроматографии и других науках.

Диссертация состоит из четырех глав, введения, заключения, списка литературы и приложения.

Во введении дается обзор существующих математических методов АП решения с.в. задач с внутренним переходным слоем. Обосновывается актуальность разработки новых и модификации существующих математических методов и алгоритмов исследования и построения АП решений с.в. задач с внутреними переходными слоями. Приводится краткое содержание диссертации по главам.

Первая глава диссертации посвящена изучению и построению АП решения слабонелинейной системы д.у. типа «реакция-диффузия». Окончательный вид асимптотики различен при различных значениях малого параметра ц{е), в первой главе рассматриваются случаи ц{е) — е4 и /х(е) = е2.

Во второй главе рассматривается АП решения с.в. начально-краевой задачи для системы д.у. в частных производных первого порядка со слабой нелинейностью в критическом случае, которая имеет вид: где x,t С Г2 = {0 < t < Т, 0 < х < сю}, U(x,t) = {щ(х,Ь)}, (г = 1 ,п) - вектор решений, 0 < е << 1 - малый параметр.

Предполагается, что матрица D — diag \\dn\\^ - диагональная, ёц > О, А = Цо^Ц" -вырожденная (rang Л = п-1), F(U) — {fi(U),i — 1 ,п} - вектор-функция, определенная для всех \щ\ < оо, (г = 1 ,п). Считается, что элементы матриц Л, D - постоянны и вещественны. e2{Ut + DUx) = AU + £F{U), U(x,0) = U°(x), 1/(0,4) = Ф0(*)>

За)

ЗЬ)

Для построения асимптотики на функции налагаются определенные условия.

В третьей главе рассматривается построение формального асимптотического представления решения начально-краевой задачи для с.в. системы д.у. первого порядка в частных производных с малой нелинейностью в случае зависимости элементов матриц A, D от пространственной переменной х.

В четвертой главе рассматривается АП решения начально-краевой задачи для слабо-нелинейной системы с.в. д.у. типа "реакция-диффузия-перенос": где х, t С П = {0 < t < Т, 0 < х < оо}, U(x,t) — {-Uj(:r,i)}, (г = 1,п) - вектор решений, 0 < е << 1 - малый параметр.

В заключении сформулированы основные полученные результаты и основные выводы.

Некоторые громоздкие вычисления представлены в приложении.

L{U) = e2(Ut + D(x)Ux) - e4C(x)Uxx - A(x)U - eF{x, U) = 0, U{0,t) = (p(t), U{x,0) = U°(x).

4a) (4b)

Обзор литературы

С.в. дифференциальные уравнения, содержащие малые параметры при старших производных, являются интресным объектом для исследования как с чисто математической, так и с прикладной точек зрения. В прикладных областях уравнения возникают также в задачах теплопроводности, диффузии [3], сорбции [3], химической кинетики, биофизики [4], гидродинамики, акустики, взаимодействия излучения с веществом и других.

Математическая теория с.в. интенсивно развивается с основополагающих работ А. Н. Тихонова. В настоящее время существуют мощные методы построения асимптотических разложений (а.р.) решений с.в. уравнений, такие, как метод погранфунк-ций, развитый в работах М. И. Вишика, JI. А. Люстерника, А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова и их учеников [22]-[25], метод регуляризации С. А. Ломова [27]. метод усреднения [29], метод ВКБ и операторный метод В. П. Маслова [31]-[33], метод согласования а. р., получивший в монографии А. М. Ильина законченную математическую форму [28] и другие. Вместе с тем ни один из методов не исчерпывает всего многообразия с.в. задач.

Поскольку в диссертации рассматриваются только уравнения в частных производных в критическом случае, а также с внутренним переходным слоем, то приведем обзор литературы, наиболее близкой к предмету исследования, не претендуя, впрочем, на исчерпывающую полноту.

Одной из первых математически строгих работ, посвященных критическому случаю, является работа А. Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова [2]. Рассмотрим систему уравнений с малой нелинейностью:

Где х и / - m-мерные вектор-функции, A(t) - (т х т)-матрица, ц > О - малый параметр, A(t) и f(x,t,n) предполагаются достаточно гладкими.

При некоторых наложенных на матрицу A(t) условиях, решение задачи (5)-(6) строится в виде суммы регулярного и пограничного рядов: A(t)x + ц/(х, t, /i), 0 < t < T, at х{0,ц) = х°.

5)

6)

00 x(t, /л) = x(t, fi) + Пх(т, ц) = + П^(т)), X

Общее решение этого уравнения в силу наложенных на A{t) условий можно записать в виде х0 = e(t)a(t), где e(t) - (т х &)-матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы A(t), a(t) - А;-мерная вектор-функция, элементами которой являются произвольные скалярные функции. Для П0х(г) получается задача а(0)П0х, т > О, аг к

П0х(0) = х°- ж0(0) = х° - ]ГаД0)е<(0). i=i

Общее решение с учетом наложенных условий и требования стремления к нулю всех П-функций при т —» оо, имеет вид: m

П0х = CjWj(r) exp(Aj(0)r). i=k+\

Подставляя это выражение в начальные условия (6), получаем систему к m t=l i=k+1 однозначно определяющую начальные значения для неизвестных пока функций а^О) (полностью эти функции определяются на следующем шаге при рассмотрении уравнения ДЛЯ Х\(t)).

Таким образом, функция Поя(т) полностью определена, причем в силу наложенных условий она имеет экспоненциальную оценку

П0ж(г)|| < сехр(кт), а для неизвестных функций ai(t), входящих в выражение для х0, найдены начальные значения.

Функции следующего приближения строятся аналогично.

Этот метод широко используется при рассмотрении задач в критическом случае (см., например [5]).

Необходимо отдельно остановиться на методе согласования а.р. [4]. Приведем пример построения а.р. с помощью метода согласования [4]:

Рассмотрим задачу Дирихле для эллиптического уравнения:

Г £2AU-a(x)y)Uy = f(x,y), х,ре(1 = (0,1)х(0,1), 1 U\sa =0.

Сначала строится внешнее разложение U = Е £2ки2к{х,у), пригодное в квадрате к=о без сторон х — 0, х = 1, у - 1. Все U2k есть решения задач dJJ а{х,у)-^- = fk(x,y), Uk{x, 0) = 0, /о = ~1{х,у), fk = -AU2k-2, к> 1.

В окрестности верхней стороны квадрата Q, к внешнему разложению добавляются обыкновенные погранфункции, которые строятся стандартно.

Для ликвидации невязок в граничных условиях на сторонах х = 0 и х = 1 строятся ряды внутренних разложений. РАстягивая переменную ( = х/е, стандартным способом (ст.сп.) получаем задачи для определения членов внутреннего разложения к-О

Lvо = 0, Lvk = + Е к > 1, (7)

Vn(0, У) = — «2*(0, у), V2k+i{0, у) = О, vk{с, 0) = 0, оо где Z = ^ - a0(y)jф, j/) = Е i=0

Члены ряда Uj определены однозначно ввиду того, что правые части уравнений (7) имеют особенности, нарастающие с увеличением номера к.

Каждое слагаемое г>* определено с точностью до линейной комбинации Е Cj f^t+i Г (С j у 2 где 2/i = f(a0(s)) lds, Г((,у) = ехр(-$-)/у/у. о у

Для устанения этой неоднозначности строится еще одно внутреннее разложение с помощью переменных £ = е2х, т) = е2у :

W = '£e2kw2k((,r]). к=0

Ряд W должен формально удовлетворять уравнению и краевому условию в окрестности точки (0,0). Ст.сп. получаем задачи для определения w2k

LlWo = 0, L,w2k = tpACrif-^, к > 1, £ > 0, V > 0, (8) w2k(ti,0) = 0, w2k(0,r}) = -£ j^^gr^M, i=i

00 где Lx = Дс„ - а(0,0)|-, = Е ^РзЫ

3=0

Решения задач (8) также неоднозначны, поскольку краевые условия и правые части уравнений неограничены на бесконечности. Vj и Wj определяются однозначно из условия, что в некоторой промежуточной зоне разложение "плавно" переходит в V (подробнее см. в [4]). После этого строится единое разложение и доказывается теорема об оценке остаточного члена.

С помощью метода согласования построено много асимптотик решений бисингу-лярных задач ([5]-[8] и др.).

Кроме того, заслуживают отдельного внимания задачи с внутренним слоем типа ступеньки, изучению которых в последнее время уделено много работ различных авторов ([9]-[21]).

Заключение

В заключение кратко подведем итоги.

Подобные задачи были решены для двумерного случая, но методы решения не могут быть распространены на n-мерный случай в силу возникновения серьезных осложнений. Поэтому был разработан новый алгоритм решения задачи, который применим и для двумерного случая, причем существенно облегчает вывод уравнений для некоторых членов асимптотики.

Построено АП решения слабонелинейной системы д.у. типа «реакция-диффузия», обоснование полученного алгоритма (для системы из двух уравнений).

Формально построено АП решения начально-краевой задачи для с.в. системы д.у. в частных производных первого порядка с малой нелинейностью в критическом случае с п неизвестными и постоянными коэффициентами вне малой окрестости начала координат.

Формально построено АП решения начально-краевой задачи для с.в. системы д.у. в частных производных первого порядка с малой нелинейностью в критическом случае с п неизвестными и переменными коэффициентами вне малой окрестости начала координат.

Обобщен алгоритм формального построения АП решения на начально-краевую задачу системы с.в. д.у. типа «реакция-диффузия-перенос».

Сформулированные алгоритмы обоснованы.

Результаты исследований имеют как теоретическую, так и практическую ценность.

Разработанные в работе алгоритмы АП решений начально-краевых задач для с.в. систем д.у. могут быть реализованы в виде комплекса программ для ЭВМ и использованы на практике. Данные алгоритмы особенно полезны при изучении математических моделей процессов фильтрации жидкости в пористых средах при учете малой диффузии, что часто встречается в задачах экологии, биофизики, хроматографии и других науках.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Обнинского государственного технического университета атомной энергетики Андрею Владимировичу Нестерову за научное руководство, многочисленные плодотворные дискуссии на всех этапах работы, постоянное внимание и поддержку.

1. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ. 1978. 262 С.

2. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Мир. 1973. 272 С.

3. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука. 1989. 334 С.

4. Нестеров А. В. О внутренних переходных параболических слоях. Международная конференция "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания Обнинск, 2002г. Тезисы докладов.

5. Нестеров А. В. Об асимптотике решения системы уравнений "диффузия-сорбция" при малых коэфициентах диффузии j j ЖВМиМФ. 1989, T.29. №9. С. 1318-1330.

6. Нестеров А. В. Асимптотика решения слабо нелинейной системы дифференциальных уравнений типа "реакция-перенос"// Математическое моделирование. 2001. Т. 13. №12. С. 58-64.

7. Нестеров А. В. Об асимптотике решения с переходным слоем одной сингулярно возмущенной гиперболической системы уравнений // Докл. АН СССР. 1989. Т. 35. №6. С. 1350-1353.

8. Бутузов В. Ф., Громова Е. А. Асимптотическая устойчивость решений сингулярно возмущенных краевых задач с пограничными и внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №2. С. 198-208.

9. Васильева А. Б., Омельченко О. Е. Периодические контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. №2. С. 209-218.

10. Васильева А. Б. О внутреннем слое в решениях сингулярно возмущенных задач в случае смены устойчивости // ЖВМиМФ. 1999. Т. 39. №3. С. 451457.

11. Васильева А. Б., Рыхлинская Е. Н. О некоторых контрастных структурах переменного типа // ЖВМиМФ. 1999. Т. 39. №5. С. 792-800.

12. Бутузов В. Ф., Неделько И. В. Существование, локальная единственность и и асимптотика двумерных периодических контрастных структур типа ступеньки // ЖВМиМФ. 1999. Т. 39. №5. С. 812-831.

13. Васильева А. Б., Давыдова М. А. Сингулярно возмущенное уравнение второго порядка с малыми параметрами при первой и второй производных// ЖВМиМФ. 1999. Т. 39. №9. С. 1504-1512.

14. Васильева А. Б. Контрастные структуры в системах трех сингулярно возмущенных уравнений// ЖВМиМФ. 1999. Т. 39. №12. С. 2007-2018.

15. Васильева А. Б., Радченко И. В. О периодическом решении параболического сингулярно возмущенного уравнения с разными степенями малого параметра при первой и второй производных// ЖВМиМФ. 2000. Т. 40. №8. С. 1192-1205.

16. Васильева А. Б. Внутренний слой в краевой задаче для системы двух сингулярно возмущенных уравнений второго порядка с одинаковым порядком сингулярности// ЖВМиМФ. 2001. Т. 41. №7. С. 1067-1077.

17. Бутузова М. В. Построение асимптотики решения сингулярно возмущенной параболической задачи с негладкими пограничными функциями// ЖВМиМФ. 2000. Т. 40. №8. С. 1176-1191.

18. Васильева А. Б. О периодических решениях параболической задачи с малым параметром при производных// ЖВМиМФ. 2003. Т. 43. №7. С. 975-986.

19. Бутузов В. Ф., Неделько И. В. О формировании контрастной структуры типа ступеньки в параболический системе с разными степенями малого параметра// ДАН. 2003. Т. 390. №1. С. 15-18.

20. Васильева А. Б., Омельченко О. Е. Контрастные структуры переменного типа в сингулярно возмущенных квазилинейных уравнениях// ДАН. 2003. Т. 390. №3. С. 295-297.

21. Бутузов В. Ф., Громова Е. А. Теорема о предельном переходе для системы уравнений тихоновского типа// ЖВМиМФ. 2000. Т. 40. №5. С. 703-713.

22. Бутузов В. Ф., Громова Е. А. О краевой задаче для системы быстрого и медленного уравнений второго порядка в случае пересечения корней вырожденного уравнения// ЖВМиМФ. 2001. Т. 41. №8. С. 1165-1179.

23. Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н., Шнайдер К. Р. О сингулярно возмущенной системе параболических уравнений в случае пересечения корней вырожденного уравнения// ЖВМиМФ. 2002. Т. 42. №2. С. 185-196.

24. Бутузов В. Ф., Терентъев М. А. О системах сингулярно возмущенных уравнений в случае пересечения корней вырожденной системы// ЖВМиМФ.2002. Т. 42. №11. С. 1686-1699.

25. Нестеров А. В., Шулико О. В. Асимптотика решения слабо нелинейной системы дифференциальных уравнений типа "реакция-диффузия"// ДАН.2003. Т. 390. № 3. С. 295-297. Математическое моделирование. 2004. Т. 16. № 8. С. 50-58.

26. Nesterov А. V., Shuliko О. V. The asymptotic solution of singularly perturbed system of first order partial differential equation in critical case. Тезисы докладов конференции "Mathematical modeling and analysis". Trakai, 2005.