Развитие асимптотических методов в моделях реакция - диффузия и их приложения в задачах о межфазовых переходах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Физический факультет

На правах рукописи

Божевольнов Юстислав Владиславович

Развитие асимптотических методов

в моделях реакция — диффузия

и их приложения в задачах о межфазовых переходах

Специальность 01.01.03 — математическая физика

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2011

О / Л 7 ~ -ч <■ -I. Ч ¿и Ц

4856098

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Нефедов Н. Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Малинецкий Г. Г. доктор физико-математических наук, профессор Дмитриев М. Г.

Ведущая организация: Институт проблем механики

им. А. Ю. Ишлинского РАН

Защита диссертации состоится 17 февраля 2011 г. в 16:30 на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Россия, 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, Северная физическая аудитория.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан 13 цисхьрл 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор

Грац Ю. В.

Актуальность темы диссертации

Диссертация посвящена исследованию существования и устойчивости стационарных решений типа контрастных структур и описанию движения (эволюции) контрастных структур в важных для приложений начально-краевых задач для уравнений реакция — диффузия.

Теоретические исследования в области асимптотических методов в теории сингулярных возмущений ведутся довольно давно. Их начало положено классическими работами А. Н. Тихонова [1, 2, 3], А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова [4], С. А. Ломова [5], А. М. Ильина [б] и ряда других исследователей. В последние годы интенсивно развивается важное направление этой теории — исследование контрастных структур, основы которого заложены в работах А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова, Н. Н. Нефедова (см. обзорные работы [7, 8, 9]). Несмотря на значительный прогресс в этой области, ряд интересных для приложений задач все еще не исследован полностью.

В сингулярно возмущенных задачах типа реакция —диффузия разработанные методы позволяют строить формальную асимптотику, что активно используется на практике, в частности при численном моделировании процессов в социологии (работы А. П. Михайлова [10, И]) или космической динамики (работы Д. Д. Соколова и А. П. Петрова [12,13,14, 15], а также см. [16]). В приложениях вопросы обоснования существования решения часто остаются вне рассмотрения. В настоящей работе предложено теоретическое обоснование существования решений для рассмотренного класса задач. Проведение строгого доказательства существования и устойчивости стационарных решений для систем уравнений наряду с построением асимптотики произвольного порядка точности движущегося фронта были основными целями данной работы. Результаты был получены в развитии асимптотического метода дифференциальных

неравенств, предложенного Н. Н. Нефедовым (см., например, [17, 9]).

В работе также рассмотрены некоторые аспекты применения развиваемого аппарата для качественного описания процесса синтеза алмазоподобных кластеров в ходе релаксации углерод-содержащей плазмы [18, 19].

Научная новизна

В выбранных классах задач в диссертации получены теоремы о существовании и устойчивости стационарных контрастных структур, построена их асимптотика произвольного порядка точности, описана эволюция движущихся контрастных структур. Эти результаты являются новыми.

Практическая значимость работы

Полученные в работе результаты использованы для:

• качественного описания процесса синтеза алмазоподобных кластеров в ходе релаксации углерод-содержащей плазмы.

Следует отметить, что в работе выдвинуто предположение о том, что именно неоднородности (их геометрическое и энергетическое распределение) в конечном счете и определяют электронные свойства систем, содержащих тонкодисперсный углерод. Это предположение нашло экспериментальное подтверждение (см. [18, 19]). Данный результат является новым. Также результаты могут быть использованы для:

• теоретического обоснования результатов численных экспериментов в задачах реакция — диффузия в ряде дисциплин (физика, химия, социология и др.)

Методы исследования:

метод пограничных функций

и метод дифференциальных неравенств

В ходе исследований использовались следующие основные подходы:

• метод пограничных функций (см. [20]) и его модификации для задач с контрастными структурами (см. [8, 7]), что позволяет построить формальную асимптотику, а также

• асимптотический метод дифференциальных неравенств, позволяющий провести строгое обоснование существования решения (см. [17]).

Остановимся кратко на описании этих методов.

Решение задачи ищется в виде суммы регулярной и пограничной частей. Выбор такого представления решения обусловлен тем, что регулярная часть решения (с точностью до величин порядка е) является решением вырожденного уравнения (т. е. исходной задачи, в которой малый параметр полагается равным нулю), а пограничный слой "служит" для удовлетворения граничных условий.

Каждое слагаемое в представлении, рассматривается как ряд по степеням малого параметра е. Коэффициенты асимптотического разложения ищутся следующим образом:

• Уравнения, составляющие исходную задачу, раскладываются в ряд по степеням малого параметра.

• Полученные (в результате разложения) уравнения в старшем (по е) порядке определяют старшие коэффициенты асимптотическою разложения.

• Уравнения при следующей степени е служат для отыскания следующих (более младших) приближений.

• Процесс отыскания коэффициентов идет "шагообразно" по степеням малого параметра (в сторону увеличения степени е).

Разрешимость получаемых уравнений выражается в виде дополнительных условий.

Для задач со внутренними контрастными проводится построение пограничных слоев на двух отрезках: левее и правее точки а:* € ( — 1,1), описывающей положение контрастной структуры, при этом полученные "левая" и "правая" задачи решаются связанно — через дополнительные условия "сшивания" в точке ж*. При этом, в ходе построения асимптотики определяется заранее неизвестная локализация внутреннего слоя.

В результате предложенного процесса удается построить формальное асимптотическое разложение. Доказательство существования решения и оценка точности построенного асимптотического ряда требует отдельного рассмотрения. Оно основано на применении асимптотического метода дифференциальных неравенств, основная идея которого заключается в использовании формальной асимптотики для построения верхних и нижних решений.

Краткое содержание диссертации

Глава 1 — вводная. В главе 2 "Пограничные слои в системе реакция—диффузия" описан алгоритм построения асимптотики решения параболической системы тихоновского типа, для решений доказаны существование и устойчивость. Рассмотрено два варианта граничных условий. В главе 3 "Внутренние слои в системе реакция — диффузия" исследован вопрос

существования решения со внутренней контрастной структурой типа ступенька. В главе 4 "Движение фронта в уравнении реакция — диффузия" рассмотрена параболическая сингулярно возмущенная задача Неймана. Построено асимптотическое разложение решений с движущимся фронтом и доказана теорема существования таких решений. В главе 5 "Движение всплеска в уравнении реакция — диффузия" построено разложение первого порядка асимптотики для решения с контрастной структурой типа всплеска.

В главе 6 описано приложение разрабатываемых методов к задаче релаксации углеродсодержащей плазмы, предложена модель формирования фазовых состояний (алмазоподобных кластеров), в которой эволюция неоднородности является ключевым механизмом [19].

Глава 1. Введение

Во введении описаны основные идеи диссертации, описаны, методы исследования поставленных задач и приведено краткое содержание глав.

Глава 2. Пограничные слои в системе реакция — диффузия

Описан алгоритм построения асимптотики классического решения параболической системы тихоновского типа, для решений доказаны существование и устойчивость. Рассмотрено два варианта граничных условий. Эта задача развивает направление исследований параболических задач на многомерных областях (см. [21, 22]), расширяя применение метода дифференциальных неравенств на систему из двух уравнений.

Постановка задачи: пусть, Б— открытая область в К2. Пусть, и(х, V), у(х, ¿) — веществешюзначные функции точки х € И и времени í € [0, +оо). Пусть, е — малый положительный параметр, а функции и и и связаны уравнениями

е1 Аи - е^и = д(и, у, х, е),

АV-е^ь =/(и,у,х,е), ^

€ £> х (0, +оо).

И пусть для функции и задано одно из следующих граничных условий

^(х,Я = и°(х), хедБ,

дп

и(х, {) = и°{х), х е дБ,

для V — условие Дирихле

у(х,Ь) = у°{х), х&дБ.

Для данной задачи получены следующие результаты:

• Построено асимптотическое разложение стационарного решения и доказана теорема о существовании такого решения.

• Доказана теорема об устойчивости стационарных решений, и описана локальная область устойчивости стационарного решения.

Глава 3. Внутренние слои в системе реакция — диффузия

Рассмотрена задача в классе дважды дифференцируемых на (—1,1) за исключением некоторой точки этого интервала и

и

-1

1 *

Рис. 1: Пограничные слои в одномерной задаче (1), где И = (—1,1). Слева задано условие Дирихле, справа — условие Неймана. (Одномерная задача — частный случай рассмотренной двумерной.)

непрерывных вместе с производной на [—1,1] веществепнознач-ных функций:

Исследован вопрос существования решения со внутренним слоем. Данная система рассматривалась в работе А. Б. Васильевой и А. С. Авдеева [23]. Расширено применение метода дифференциальных неравенств на эту систему и получены следующие результаты:

• Построено асимптотическое разложение решения.

• Доказано существование решения и получена оценка точности построенной асимптотики.

у" = д(и,у), же (-1,1), и'(±1) - О, г/(±1) = 0.

(2)

и

-1

1 X

Рис. 2: Внутренние слои в задаче (2)

Глава 4. Движение фронта в уравнении реакция — диффузия

Рассмотрена сингулярно возмущенная начально-краева задача

где е — малый параметр.

Предполагается, что фронт в начальный момент сформирован, т. е. функция и°(х,е) в некоторой точке отрезка (—1,1) имеет внутренний переходный слой.

Формирование и движение внутренних слоев являются одним из приоритетных направлений в исследовании контрастных структур (см., например, [24]). Рассмотренная задача является упрощением интегро-дифференциальной задачи, описанной в [25].

0М)е(-1,1)х(о,г)

(3)

и(х,0,е) = и°(х,е),

Для данной задачи получены и опубликованы [26, 27] следующие результаты:

• Построено асимптотическое разложение решения и разложение произвольного порядка для скорости движения внутреннего слоя в области, не содержащей стационарные решения.

• Доказано существование такого решения.

Глава 5. Движение всплеска в уравнении реакция — диффузия

Контрастные структуры типа всплеска рассмотрены, например, в работах В. Ф. Бутузова и А. Б. Васильевой [28] и Н. Н. Нефедова [29, 30]. В этих работах исследовались стационарные решения типа всплеска.

В диссертации рассмотрена следующая задача

Здесь е — малый положительный параметр.

Для данной задачи получены следующие результаты:

• Построена формальная асимптотика произвольного порядка по е.

• Получен результат о приближении решения по невязке.

(а;,*) € (-1,1) х (0,Г), и'(±М,е) = 0, и(а;,0, е) = и°(х,е).

(4)

Рис. 3: Контрастная структура типа всплеска

Глава 6. Приложение асимптотических методов к описанию фазового перехода

В качестве приложения полученных результатов и результатов теории контрастных структур была рассмотрена математическая модель разделения фаз, качественно описывающая

• явления пространственного разделения — формирование межфазных границ (контрастных структур),

• эволюцию границ раздела (межфазных границ),

• а также стационарные (конечные, наблюдаемые в эксперименте) состояния.

Формирование наночастиц алмаза

в ходе релаксации

химически активированной плазмы

Формирование наночастиц (алмазоподобпых кластеров) в ходе релаксации химически активированной плазмы было открыто во второй половине XX века, и с тех пор было предложено несколько механизмов для описания таких процессов [31]. Эти описания далеки от детальных и не объясняют все стадии процесса.

Возможно расширить описание формирования наночастиц и рассмотреть процесс с точки зрения теории контрастных структур.

Предложена модель формирования фазовых состояний, в которой эволюция неоднородности является ключевым механизмом [19]. На основе статистического анализа экспериментальных снимков углеродных структур произведена оценка характерного размера появляющихся неоднородностей и (среднее) расстояние между ними, что позволяет оценить энергетические характеристики неоднородностей в процессе эволюции.

В работе сделано предположение о том, что именно неоднородности (их геометрическое и энергетическое распределение) в конечном счете и определяют электронные свойства систем, содержащих тонкодисперсный углерод. Это предположение нашло экспериментальное подтверждение [19].

Математическая модель

Уравнение Аллена — Кана

,2 ди о . дР

описывает процесс фазового разделения в среде, для которой

^ —свободная энергия, ^ —ее плотность [32].

Пусть, плотность свободной энергии равна (и2 — 1) (и — а(х,е)) (см. рис. 4), тогда отношение

описывает процессы возникновения и эволюции межфазных границ. При этом считаем, что и = — 1 соответствует неплотной фазе, а и = +1 — плотной фазе, а е — малый положительный параметр.

Рис. 4: Зависимость свободной энергии ^ от параметра порядка и обладает двумя минимумами в точках и = ±1. Точка а(х,е) определяет границу между зонами влияния левого (и = — 1) и правого (и = 1) устойчивых фазовых состояний

Начальное состояние и(х, 0) при £ = 0 задается в виде и(х, 0) = ио(х).

Уравнение (5) рассматривается в некоторой ограниченной области, на границе которой ставятся условия непроницаемости.

Таким образом, предложен еще один механизм формирования наночастиц — как результат эволюции неоднородностей, и предложена математическая модель этого механизма.

Интерпретация модели

+1 N \ Г л / / г л "" ^ ( /

0 \ V ч / *». 4 1_____) 1 N

-1

Рис. 5: Стратификация. Пунктирная линия — начальное состояние щ(х), сплошная линия — стратифицированное состояние и(х), штриховая линия — функция а(х,е). Границы раздела фаз определяются точками пересечения а(х,е) и ио(х).

На основании модели можно дать следующее качественное описание динамики процесса:

• Быстрое разделение нестратифицированного вначале.ве-щества на различные состояния с появлением ярко выраженных границ раздела (рис. 5).

• Медленное по сравнению с первым этапом движение границ раздела с изменением структуры к одному из стационарных состояний (рис. б).

В рамках математической модели, предложенной в работе, функция а(х,е) определяет энергетическое и геометрическое (пространственное) "распределение" управляющего параметра (см. рис. 4, 5, 6).

В условиях, при которых происходит процесс релаксации углерод-содержащей плазмы в эксперименте, электронные

Рис. 6: Стационарное (наблюдаемое) состояние. Сплошная линия — стационарное состояние, штриховая линия — а(х, е). Границы раздела фаз определяются точками пересечения а(х, е) с осью х.

свойства и характерные геометрические масштабы (а значит, и функцию а(х, в)) определяют законы квантовой механики. Более того понимание природы этой взаимосвязи — ключ к управлению процессом синтеза наночастиц. В таком случае возникает вопрос: каким образом можно исследовать этот параметр?

Микроскоп контрастных структур

Во взвеси размерно квантованного [33] углерода (полученного в процессе релаксации углерод-содержащей плазмы) в полярной жидкости наблюдается образование характерных структур (см. рис. 8), индуцированное неоднородностью электрон-пых свойств материала на наномасштабах. Данный результат прошел апробацию на международной конференции [34].

Эффект заключается в том, что геометрическое распределение и электронные свойства межфазиых границ нано-структурированного углерода взаимосвязаны с геометрической

г

I

Рис. 7: Детонационный углерод. Видна мозаичная структура, связанная с наличием характерного расстояния между "горячими

точками" [35].

Рис. 8: Индукция электронных свойств паноструктури-рованного [33] углерода па макромасштабы.

структурой, возникающей во взвеси. Аналогом кратности увеличения здесь будет отношение характерных размеров и масштабов времени. Характерное время образования контрастных структур в ходе релаксации составляет Ю-7 сек, а в растворе — порядка секунды. Для структур, показанных на рис. 7 и 8, это отношение составляет 6 порядков.

Необходимо отметить, что "изображение" на макромасштабах; получается не в результате оптического увеличения, а является следствием масштабирования геометрического распределения неоднородностей с нано- па макромасштаб.

Задача описания взаимосвязи структурных геометрических распределений на нано- и макромасштабах может быть рассмотрена в рамках предложенной математической модели в терминах функции а (см. (5)).

Защищаемые положения

Автор выносит на защиту следующие положения:

• Для рассмотренных классов задач доказано существование решений типа контрастных структур.

• Для таких решений построены асимптотические разложения произвольного прядка точности.

• Доказана устойчивость стационарных контрастных структур в рассмотренных задач.

• Разрабатываемые асимптотические методы нашли приложение в исследовании релаксационных процессов в химически активированной плазме: предложена качественная модель возникновения структуры межфазных границ.

Публикации автора по теме диссертации

• Божевольнов Ю. В., Нефедов Н. Н. Движение фронта в параболической задаче реакция — диффузия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ,— 2010,— Т. 50, № 2.— С. 276-285.

• Нефедов Н. Н., Божевольнов Ю. В. Фронты в задаче реакция—диффузия // Труды восемнадцатых математических чтений РГСУ. — 2009. — С. 153-165.

• Божевольнов Ю. В., Божевольнов В. Б., Яфясов А. М. Формирование структуры углерода с нанометровым характерным масштабом при релаксации химически активированной плазмы // Труды VII Международной конференции "Аморфные и микрокристаллические полупроводники". - 2010. - С. 162-163.

• Нефедов Н. Н., Божеволънов Ю. В. Исследование процессов возникновения неоднородностей в химически активированной плазме в процессе ее релаксации. — 2008. http://dl.dropbox.com/u/9823550/carbon2008.pdf.

• Нефедов H. H., Божеволънов Ю. В. Модель возникновения неоднородностей фазового состава на этапах синтеза и сепарации продуктов детонационного синтеза. — 2009. http://dl.dropbox.com/u/9823550/carbon2009.pdf.

Список литературы

[1] Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. — 1948. - Т. 22(64), вып. 2. - С. 193-204.

[2] Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матем. сб. — 1950. — Т. 27(69), вып. 2. - С. 147-156.

[3] Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. сб. - 1952. - Т. 31(73), вып. 3. - С. 575-586.

[4] Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: «Наука», 1973,— 272 с.

[5] Введение в общую теорию сингулярных возмущений / Под ред. С. А. Ломов. — М.: Наука, 1981. — 400 с.

[6] Пограничный слой / Под ред. А. М. Ильин. — Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные исследования, т.34, ВИНИТИ изд. — М.: Наука, 1988. — 336 с.

[7] Бутузов В. Ф., Васильева А. В., Нефедов Н. Н. Асимптотические методы в исследовании контрастных структур. — М.: МГУ, 1999.

[8] Васильева А. В., Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундаментальная и прикладная математика. — 1998. — Т. 4, № 3,—С. 799-851.

[9] Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н. Сингулярно возмущенные задачи с пограничными и внутренними слоями // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. — 2010. — Т. 268. — С. 268-283.

[10] Михайлов А. П. Математическое моделирование власти в иерархических структурах // Математическое моделирование. - 1994. — Т. 6, № 6. — С. 108-138.

[11] Дмитриев М. Г., Жукова Г. С., Петров А. П. Асимптотический анализ модели "власть — общество" для случая двух устойчивых распределений власти // Математическое моделирование. — 2004. — Т. 16, № 5. — С. 23-34.

[12] Vasil'eva A., Nikitin A., Petrov A. Stability of contrasting solutions of nonlinear hydromagnetic dynamo equations and magnetic fields reversals in galaxies // Geophysical and Astro-physical Fluid Dynamics. — 1994. — Vol. 78. - Pp. 261-279.

[13] Anomalous persistence of bisymmetric magnetic structures in spiral galaxies / A. Bykov, A. Popov, A. Shukurov, D. Sokoloff // Monthly Notes of the Royal Astronomical Society. — 1997. - Vol. 292, no. 1. — Pp. 1-10.

[14] Moss D., Petrov A., Sokoloff D. The motion of magnetic fronts in spiral galaxies // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. ~ 2000. - Vol. 92. - Pp. 129-149.

[15] Петров А. П., Соколов Д. Д., Мосс Д. Л. Магнитные фронты в галактиках // Астрономический журнал.— 2001. - Т. 78, № 7. - С. 579-584.

[16] Попов В. Ю. Моделирование эволюции контрастных структур в астрофизической и геофизической плазме // Научная конференция: "Ломоносовские чт,ения. Секция физики. Апрель 2005".— 2005.— С. 92-100.

[17] Нефедов Н. Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференциальные уравнения. - 1995. - Т. 31, № 7. - С. 1132-1139.

[18] Нефедов Н. Н., Божеволънов Ю. В. Исследование процессов возникновения неоднородностей в химически активированной плазме в процессе се релаксации. — 2008. http://dl.dropbox.com/u/9823550/carbon2008.pdf.

[19] Нефедов H. H., Божеволънов Ю. В. Модель возникновения неоднородностей фазового состава на этапах синтеза и сепарации продуктов детонационного синтеза. — 2009. http://dl.dropbox.com/u/9823550/carbon2009.pdf.

[20] Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений.— М.: «Высшая школа», 1990. — 208 с.

[21] О формировании резких переходных слоев в двумерных моделях "реакция — диффузия" / В. Т. Волков, Н. Е. Грачев, Н. Н. Нефедов, А. Н. Николаев // Ж. вычиел. матем. и матем. физ. - 2007. - Т. 47, № 8. — С. 1356-1364.

[22] Nefedov N. N., Sakamoto К. Multi-dimensional stationary internal layers for spatially inhomogeneous reaction-diffusion

equations with balanced nonlinearity // Hiroshima Mathematical Journal. - 2003. - Vol. 33, no. 3. - Pp. 391-432.

[23] Авдеев А. С., Васильева А. Б. О контрастной структуре типа ступеньки для системы двух сингулярно возмущенных уравнений второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1996. — Т. 36, № 5. — С. 75-89.

[24] Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н., Шнайдер К. Р. О формировании и распространении резких переходных слоев в параболических задачах. — 2005. — № 1. — С. 9-13.

[25] Nefedov N. N., Nikitin A. G., Recke L. Moving fronts in integro-parabolic rcaction-diffusion-advcction equations // Institut fur Mathematik an der MathematischNaturwissenschaftlichen Fakultat II der Humboldt-Universität zu Berlin.— 2007.- Vol. Preprint 2007-22,- Pp. 1-17.

[26] Нефедов H. Н., Вожевольнов Ю. В. Фронты в задаче реакция — диффузия // Труды восемнадцатых математических чтений РГСУ. — 2009. — С. 153-1С5.

[27] Божевольнов Ю. В., Нефедов Н. Н. Движение фронта в параболической задаче реакция — диффузия // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2010. — Т. 50, № 2. — С. 276-285.

[28] Бутузов В. Ф., Васильева А. Б. Об асимптотике решения типа контрастной структуры // Математические заметки. - 1987. - Т. 42, № 6. - С. 831-841.

[29] Nefedov N. N. On moving spike type internal layer in nonlinear singularly perturbed problems //J. Math. Anal. Appl. — 1998.-Vol. 221.-Pp. 1-12.

[30] Нефедов Н. Н. Контрастные структуры типа всплеска в системах типа реакция-диффузия // Фундамент, и прикл. матем. - 200С. — Т. 12, выи. 5. — С. 121-134.

[31] Даниленко В. В. Из истории открытия синтеза напоалма-зов // Физика твердого тела, — 2004.— Т. 46, вып. 4.— С. 581-584.

[32] Allen S. М., Cahn J. W. A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening // Acta Metal. — 1979. — no. 27. - Pp. 1085-1095.

[33] Konorov P. P., Yafyasov A. M., Bogevolnov V. B. Field Effect in Semiconductor-Electrolyte Interfaces: Application to Investigations of Electronic Properties of Semiconductor Surfaces. — Princcton University Press, 2006. — 196 pp.

[34] Божеволъиов Ю. В., Вооюевольнов В. В., Яфясов А. М. Формирование структуры углерода с напометровым характерным масштабом при релаксации химически активированной плазмы // Труды VII Международной конференции "Аморфные и микрокристаллические полупроводники". - 2010. - С. 162-163.

[35] Толочко А. Я. Радикальный механизм образования нано-частиц алмаза после ударно-волнового воздействия на ада-мантан. — 2006. — 12 с.

Подписано в печать: 11.01.11

Объем: 1,5 усл.п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 765 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского,39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

1 Введение

1.1 Актуальность темы диссертации.

1.1.1 Научная новизна.

1.1.2 Практическая значимость работы.

1.2 Метод пограничных функций и метод дифференциальных неравенств.

1.3 Содержание диссертации.

1.3.1 Пограничные слои в системе реакция — диффузия

1.3.2 Внутренние слои в системе реакция — диффузия

1.3.3 Движение фронта в уравнении реакция — диффузия

1.3.4 Движение всплеска в уравнении реакция — диффузия

Наличие малого параметра при старших производных в уравнениях типа реакция — диффузия приводит к возможности существования быстро меняющихся в малой пространственной области решений — контрастных структур.

В работе рассмотрены некоторые классы задач, получены асимптотические разложения решений, для которых доказаны теоремы существования. Исследование основано на применении и развитии метода пограничных функций (см. [1, 2, 3, 4]) и асимптотического метода дифференциальных неравенств (см. [5]).

Математический аппарат теории контрастных структур днашел приложение в описании процессов синтеза и автосепарации в химически активированной плазме. Здесь надо отметить, что до сих пор не ясны фундаментальные механизмы таких явлений (см. [6]). На основе теории контрастных структур рассмотрен процесс фазового разделения (см. [7, 8]) и предложена соответствующая модель. Это позволило дать качественное описание явления и предсказать некоторые свойства процессов синтеза и релаксации.

1.1 Актуальность темы диссертации

Диссертация посвящена исследованию существования и устойчивости стационарных решений типа контрастных структур и описанию движения (эволюции) контрастных структур в важных для приложений начально-краевых задач для уравнений реакция — диффузия.

Теоретические исследования в области асимптотических методов в теории сингулярных возмущений ведутся довольно давно. Их начало положено классическими работами А. Н. Тихонова [9, 10, 11], А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова [12], С. А. Ломова [13], А. М. Ильина [14] и ряда других исследователей. В последние годы интенсивно развивается важное направление этой теории — исследование контрастных структур, основы которого заложены в работах А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова,

H. Н. Нефедова (см. обзорные работы [3, 4, 15]). Несмотря на значительный прогресс в этой области, ряд интересных для приложений задач все еще не исследован полностью.

В сингулярно возмущенных задачах типа реакция — диффузия разработанные методы позволяют строить формальную асимптотику, что активно используется на практике, в частности при численном моделировании процессов в социологии (работы А. П. Михайлова [16, 17]) или космической динамики (работы Д. Д. Соколова и А. П. Петрова [18, 19, 20, 21], а также см. [22]). В приложениях вопросы обоснования существования решения часто остаются вне рассмотрения. В настоящей работе предложено теоретическое обоснование существования решений для рассмотренного класса задач. Проведение строгого доказательства существования и устойчивости стационарных решений для систем уравнений наряду с построением асимптотики произвольного порядка точности движущегося фронта были основными целями данной работы. Результаты был получены в развитии асимптотического метода дифференциальных неравенств, предложенного Н. Н. Нефедовым (см., например, [5, 15]).

В работе также рассмотрены некоторые аспекты применения развиваемого аппарата для качественного описания процесса синтеза ал-мазоподобных кластеров в ходе релаксации углерод-содержащей плазмы [23, 24].

I.1.1 Научная новизна

В выбранных классах задач в диссертации получены теоремы о существовании и устойчивости стационарных контрастных структур, построена их асимптотика произвольного порядка точности, описана эволюция движущихся контрастных структур. Эти результаты являются новыми.

Заключение

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Николаю Николаевичу Нефедову за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также сотрудникам Санкт-Петербургского государственного университета — Божевольнову Владиславу Борисовичу и Яфясову Адилю Маликовичу, с которыми была проделана часть работы по приложению асимптотических методов к задаче синтеза углеродных наноструктур.

1. Бутузов, В. Ф. Об асимптотике решения типа контрастной структуры / В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева // Математические заметки. - 1987. - Т. 42, № 6. - С. 831-841.

2. Васильева, А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. — М.: «Высшая школа», 1990. — 208 с.

3. Бутузов, В. Ф. Асимптотические методы в исследовании контрастных структур / В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, Н. Н. Нефедов,— М.: МГУ, 1999.

4. Васильева, А. Б. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов // Фундаментальная и прикладная математика. — 1998. — Т. 4, №3. —С. 799-851.

5. Нефедов, Н. Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями / Н. Н. Нефедов // Дифференциальные уравнения.— 1995. — Т. 31, № 7.- С. 1132-1139.

6. Даниленко, В. В. Из истории открытия синтеза наноалмазов /

7. B. В. Даниленко // Физика твердого тела. — 2004. — Т. 46, вып. 4. —1. C. 581-584.

8. Fife, Р. С. Models for phase separation and their mathematics / P. C. Fife // Electronic Journal of Differential Equations. — 2000. — Vol. 2000, no. 48. — Pp. 1-26.

9. Allen, S. M. A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening / S. M. Allen, J. W. Cahn // Acta Metal— 1979. — no. 27. — Pp. 1085-1095.

10. Тихонов, А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра / А. Н. Тихонов // Матем. сб. — 1948. — Т. 22(64), вып. 2. — С. 193-204.

11. Тихонов, А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры / А. Н. Тихонов // Матем. сб. — 1950.— Т. 27(69), вып. 2. — С. 147-156.

12. Тихонов, А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных / А. Н. Тихонов // Матем. сб.— 1952.- Т. 31(73), вып. 3.- С. 575-586.

13. Васильева, А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов.— М.: «Наука», 1973. — 272 с.

14. Введение в общую теорию сингулярных возмущений / Под ред. С. А. Ломов, — М.: Наука, 1981. — 400 с.

15. Пограничный слой / Под ред. А. М. Ильин. — Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные исследования, т.34, ВИНИТИ изд. — М.: Наука, 1988. — 336 с.

16. Васильева, А. Б. Сингулярно возмущенные задачи с пограничными и внутренними слоями / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. — 2010. — Т. 268. С. 268-283.

17. Михайлов, А. П. Математическое моделирование власти в иерархических структурах / А. П. Михайлов // Математическое моделирование. 1994. — Т. 6, № 6. — С. 108-138.

18. Дмитриев, М. Г. Асимптотический анализ модели "власть — общество" для случая двух устойчивых распределений власти / М. Г. Дмитриев, Г. С. Жукова, А. П. Петров // Математическое моделирование. — 2004. — Т. 16, № 5. — С. 23-34.

19. Anomalous persistence of bisymmetric magnetic structures in spiral galaxies / A. Bykov, A. Popov, A. Shukurov, D. Sokoloff // Monthly

20. Notes of the Royal Astronomical Society. — 1997.-— Vol. 292, no. 1.— Pp. 1-10.

21. Moss, D. The motion of magnetic fronts in spiral galaxies / D. Moss, A. Petrov, D. Sokoloff // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 2000. - Vol. 92. — Pp. 129-149.

22. Петров, А. П. Магнитные фронты в галактиках / А. П. Петров, Д. Д. Соколов, Д. JI. Мосс // Астрономический оюурнал,— 2001.— Т. 78, № 7. С. 579-584.

23. Попов, В. Ю. Моделирование эволюции контрастных структур в астрофизической и геофизической плазме / В. Ю. Попов // Научная конференция: "Ломоносовские чтения. Секция физики. Апрель 2005". — 2005. — С. 92-100.

24. Нефедов, Н. Н. Исследование процессов возникновения неоднород-ностей в химически активированной плазме в процессе ее релаксации / Н. Н. Нефедов, Ю. В. Божевольнов. — 2008. http://dl. dropbox.сот/и/9823550/carbon2008.pdf.

25. Нефедов, H. Н. Модель возникновения неоднородностей фазового состава на этапах синтеза и сепарации продуктов детонационного синтеза / Н. Н. Нефедов, Ю. В. Божевольнов. — 2009. http://dl. dropbox.com/u/9823550/carbon2009.pdf.

26. О формировании резких переходных слоев в двумерных моделях "реакция — диффузия" / В. Т. Волков, Н. Е. Грачев, Н. Н. Нефедов, А. Н. Николаев // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2007. — Т. 47, № 8.- С. 1356-1364.

27. Nefedov, N. N. Multi-dimensional stationary internal layers for spatially inhomogeneous reaction-diffusion equations with balanced nonlineari-ty / N. N. Nefedov, K. Sakamoto // Hiroshima Mathematical Journal. — 2003. — Vol. 33, no. 3. — Pp. 391-432.

28. Авдеев, А. С. О контрастной структуре типа ступеньки для системы двух сингулярно возмущенных уравнений второго порядка / А. С. Авдеев, А. Б. Васильева // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. - Т. 36, № 5. - С. 75-89.

29. Бутузов, В. Ф. О формировании и распространении резких переходных слоев в параболических задачах / В. Ф. Бутузов, Н. Н. Нефедов, К. Р. Шнайдер. 2005. — JY® 1. — С. 9-13.

30. Нефедов, H. Н. Фронты в задаче реакция — диффузия / Н. Н. Нефедов, Ю. В. Божевольнов // Труды восемнадцатых математических чтений РГСУ. — 2009. — С. 153-165.

31. Божевольнов, Ю. В. Движение фронта в параболической задаче реакция — диффузия / Ю. В. Божевольнов, Н. Н. Нефедов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.— 2010.— Т. 50, № 2,— С. 276-285.

32. Nefedov, N. N. On moving spike type internal layer in nonlinear singularly perturbed problems / N. N. Nefedov //J. Math. Anal. Appl.— 1998. — Vol. 221. — Pp. 1-12.

33. Нефедов, H. H. Контрастные структуры типа всплеска в системах типа реакция-диффузия / Н. Н. Нефедов // Фундамент, и прикл. матем. — 2006. — Т. 12, вып. 5. — С. 121-134.

34. Konorov, P. P. Field Effect in Semiconductor-Electrolyte Interfaces: Application to Investigations of Electronic Properties of Semiconductor Surfaces / P. P. Konorov, A. M. Yafyasov, V. B. Bogevolnov. — Princeton University Press, 2006. — 196 pp.

35. Толочко, А. Я. Радикальный механизм образования наночастиц алмаза после ударно-волнового воздействия на адамантан / А. Я. Толочко. — 2006. — 12 с.

36. Рао, С. V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations / С. V. Pao. — New York—London: Plenum Press, 1992. — 777 pp.

37. Fife, P. C. The generation and propagation of internal layers / P. C. Fife, L. Hsiao // Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. — 1998. — Vol. 12. — Pp. 19-41.

38. Change of the type of contrast structures in parabolic neumann problems / N. N. Nefedov, M. Radziunas, K. R. Schneider, A. B. Vasil'eva // Comput. Math. Math. Phys. — 2005. — Vol. 45, no. 1, —Pp. 37-51.

39. Sattinger, D. Monotone methods in elliptic and parabolic boundary value problems / D. Sattinger // Indiana Univ. Math. J. — 1972. — Vol. 21, no. 11. —Pp. 979-1001.