Контрастные структуры в нелинейных сингулярно возмущенных задачах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

московский государственный университет

ИИ. м. в. ломоносова факультет вычислительной математики и кибернетики

Р Г Б О Д Ла правах рукописи

■ Г, ЛИВ УДК """

НЕФЕДОВ Николай Николаевич

КОНТРАСТНЫЕ СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧАХ

(01.01.02— Дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва— 1 994

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ДМИТРИЕВ Михаил Геннадьевич; доктор физико-математических наук, профессор ВИНОКУРОВ Валерий Александрович; доктор физико-математических наук, профессор САФОНОВ Валерий Федорович.

Ведущая организация — Институт Прикладной Математики им. М. В. Келдыша.

Защита диссертации состоится «1Ь » ф? О |[) О Л Я1995 г.

в Х^ ... часов на заседании специализированного совета Д 053.05.37 факультета ВМ и К МГУ при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, 2-й учебный корпус, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМ и К МГУ. .

Автореферат разослан «-»- 199 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 053.05.37, доктор физ.-мат. наук, профессор

МЩ?»

МОИСЕЕВ

1°. Актуальность теш. Постановка задачи.

Теория сингулярных возмущений, зародившаяся еще в начале века при решении прикладных задач, связанных с решением погранслойных задач в гидродинамике, в конце 40-х - начале 50-х годов известными работами А.Н.Тихонова была превращена в одно из крупнейших направлений теории дифференциальных уравнений. Далее А.Б.Васильевой был развит метод построения асимптотического разложения решения тихоновской системы по малому параметру для начальной, а затем и краевой задачи. Этот метод, развитый затем для широких классов обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными, интегро-диффервнциальных уравнений, уравнений с отклоняющимся аргументом А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузовым и их учениками, известен в настоящее время как метод пограничных функций и получил свое отражение в монографиях . Не претендуя на полноту, среди работ, развивающих различные подходы в теории сингулярных возмущений выделю работы М.Й.Вишика и Л.А.Люстерника для линейных дифференциальных уранений в частных производных , В.А.Треногина, метод регуляризации С.А.Ломова , метод усреднения, развиваемый в работах Н.Н.Боголюбова, Ю. А.Митропольского, В.М.Волосова, М.М.Хапаева и др., метод типа ВКБ В.П.Маслова , метод согласования асимптотических разложений А.М.Ильина, теорию релаксационных колебаний Е.Ф.Мищенко

с

\\ Н.Х.Розова . Различные направления теории сингулярных возмущений и ее приложений интенсивно развиваются и за рубежом.

Рад важных прикладных задач в химической кинетике, синергетике, биологии, астрофизике, лазерной оптике приводят к уравнениям типа реакция-адвекция-диффузия. Во многих случаях (быстрая реакция, малая диффузия и т.д.) такие уравнения являются сингулярно возмущенными, и, как следствие, их решения яме ют зоны быстрого пространственно-временного изменения (пограничные и внутренние слои). Такие рэаения мы называем контрастными структурам;. Теория контрастных структур интенсивно развивается в последнее время, что связано с интересом к такого типа решениям в приложениях и в численном исследовании математических моделей. Значительную роль в развитии теории контрастных структур сыграли работы А.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузова для обыкновенных дифференциальных уравнений.

В настоящей диссертации теория контрастных структур развивается для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными.

Определим понятие контрастной структуры на примере следующей задачи

е2Ли = Г(и,х,5), хеЮсИ2, (1)

где е>0 - малый параметр, А - оператор Лэплзсз.

Контрастной структурой типа всплеска будем называть решение задачи (I), (2), которое близко к некоторому решению вырожденного уравнения

Ий,х,0)=0 (3)

всюду внутри области В за исключением малой окрестности некоторой замкнутой гладкой кривой С. лежащей внутри Б, в которой происходит всплеск решения.

Контрастной структурой типа ступеньки будем называть решение задачи (I), (2), которое по разные стороны от некоторой замкнутой кривой С, лежащей внутри Б , близко к разным решениям й = Ф1 (х) и й = <р2(х) внровденного уравнения (3). Кривая С, в окрестности которой локализована контрастная структура, как в первом, так и во втором случае заранее не известна. Она находится в ходе построения асимптотики.

Аналогичным образом могут быть определены решения типа контрастных структур и в других классах нелинейных сингулярно возмущенных задач.

Настоящая диссертация в основном посвящена вопросу существования решений типа контрастных структур - стационарных и нестационарных, построению их асимптотики и оценке точности этих асимптотик. В работе получены также некоторый результаты по

устойчивости контрастных структур, а также по применению теории контрастных, структур в прикладных задачах.. Проблема формирования контрастных структур не рассматривается.

Доказательство существования решений и оценка точности построенных асимптотик в изученных в диссертации классах задач основано на развитии автором метода дифференциальных неравенств для нелинейных сингулярно возмущенных задач. Идеи метода дифференциальных неравенств, берущие свое начало от работ А.С.Чаплыгина и С.Н.Бернштейна , получили свое дальнейшее развитие в работах Нагумо. Идеи метода дифференциальных неравенств и обобщение теорем Нагумо нашли свое отражение и дальнейшее развитие в работах Амана, Бернфельда и Лакшмикантама, позволивших получить результаты, аналогичные теоремам Нагумо для некоторых классов нелинейных эллиптических и параболических задач, в том числе для ' периодических решений, а также расширить класс функций Нагумо (класс нелинейностей, для которых справедлива теоремы о дифференциальных неравенствах), что, как оказалось, монет быть эффективно использовано именно в сингулярно возмущенных задачах. В частности, в работах Амана был получен результат для задачи (1), (2), состоящий в том, что

если существуют достаточно гладкие функции а(х,е) и . р(х,е), называемое нижнил и вертим решениел задачи (1), (2) и удовлетворяющие неравенства«

е2Да - £(а,х,а> ^ О,

е2Др - 1(р,х,в) > О,

а(х,е) ^ р(х,е) при I ( В,

а(х,£) < g(x) < р(х,е) при к®, то существует решете задачи (1), (2) и(х,е) такое,, что а(х,е) < и(х) < р(х,е).

Развиваемый в диссертации подход позволяет использовать результаты сформулированной выше теоремы о дифференциальных неравенствах и ее аналогов в других классах задач для эффективного в ряде случаев построения нижних и верхних решений на основании построенной по методу пограничных функций формальной асимптотики решения путем ее модификации и представляет, таким образом, некоторое дальнейшее развитие метода пограничных функций. Все рассмотренные в диссертации задачи принадлежат классу, для которого справедливы теоремы о дифференциальных неравенствах. Большинство из рассмотренных задач об 'единены еще и тем, что построение асимптотического разложения решения по методу пограничных функций проводится по одной схеме, в частности, функции пограничного слоя строятся с помощью одних и тех же, погранслойных дифференциальных операторов, что позволяет предложить общий для этих задач способ

модификации асимптотик для построения верхних и низших решений.

Изучение устойчивости контрастных структур, полученных для стационарных задач, как решений соответствующих нестационарных задач является весьма важной и непростой теоретической задачей, существенной для приложений, где с• устойчивостью связана возможность наблюдения внутренних слоев в изучаемых моделях.

Применительно к задаче (I), (2) речь идет о поведении при X со решений уравнения вида

а2 Ли - ди/дХ = Г(и,х>,

близких в начальный момент к стационарной контрастной структуре. Одним из основных методов исследования на устойчивость является изучение знака собственных значений соответствующей задачи Штурма - Лиувилля (устойчивость по первому приближению). Е связи с тем, что стационарные решения имеют внутренние слои, и, следовательно, производная Г на стационарном решении меняет знак в узкой области, такие задачи являются нестандартными и требуют развития специальных методов. И если для одномерных контрастных структур типа ступеньки проблема изучена гораздо шире, то по устойчивости контрастных структур типа всплеска известны лишь результаты о неустойчивости. В получен результат о неустойчивости контрастной структуры типа всплеска в одномерном аналоге задачи (I), (2). Аналогичный результат о неустойчивости контрастной структуры типа всплеска получен для системы

дзух уравнений, одно из которых является быстрым, а другое медленным, в работе. Поэтому выделение классов задач с устойчивы?® контрастными, структурами типа всплеска, а также исследование устойчивости двумерных контрастных структур является актуальной и важной задачей. Этому посвящен §4 главы 1.

Основной целью работы является дальнейшее развитие теории сингулярных возмущений, развитие метода дифференциальных неравенств для широкого класса нелинейных сингулярно возмущенных задач с частными производными и построение и обоснование асимптотических разложений по малому параметру решения этих задач, представляющих интерес как с точки зрения теории сингулярных возмущений, так и ее приложений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. В диссертации предложен и развит метод построения асимптотических разложений решений типа контрастных структур для некоторых классов нелинейных сингулярно- возмущенных задач с частными производными.

2. Развит метод дифференциальных неравенств для нелинейных сингулярно возмущенных задач эллиптического типа и параболического типа, позволяющий доказать существование решений

с внутренними и пограничными слоями и оценить точность построенных

асимптотических разложений. Таким образом доказано существование новых классов решений у нелинейных сингулярно возмущенных задач с частными производными.

3. Впервые доказана устойчивость контрастных структур типа ступенью! в двумерном случае.

4. Выделен класс -с сингулярно возмущенных систем с устойчивыми решениями типа контрастных структур типа всплеска, т.е. впервые доказано существование устойчивых контрастных структур типа всплеска.

НОВИЗНА. РЕЗУЛЬТАТОВ

Все результаты, представленные в диссертации, являются новы;«!.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ

Диссертация имеет теоретический характер. С точки зрения теории сингулярных возмущений ценность представляет развитие метода пограничных функций на новые классы задач, разработка теории контрастных структур для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными. Представляет теоретическую ценность также разработка нового подхода к исследованию проблемы существования решений и оценки

точности та асимптотик - метода дифференциальных неравенств, позволившего установить существование решений- с внутренними и пограничными слоями - стационарных и нестационарных контрастных структур, периодических по времени и по пространству, изучить критический случай для задачи реакция-диффузия, а также установить устойчивость этих контрастных структур.

Асимптотика решений задач, известных в приложениях как стационарные и нестационарные модели типа реакция-диффузия имеют ценность для широкого круга процессов, описываемых этими моделями, В частности, для приложений представляет интерес применение развитой теории контрастных структур к моделям о межфазовых переходах ( § 4, гл.1). Прямое применение в задачах астрофизики нашли также результаты §1 и §2 главы I.

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в работах Л] - [211.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Результаты работы докладывались на совместном заседании ММО и семинара имени И.Г.Петровского {Москва,' МГУ, 1987, 1993), на Все сошной конференции, по сингулярным возмущениям (Нальчик, 1987), на Всесоюзном совещании по сингулярным возмущениям (Рига,

1990), на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам {Бишкек, 1991), на Всесоюзной конференции по нелинейным проблемам дифференциальных уравнений (Тернополъ, 1939), на Всесоюзной школе по функциональным методам в прикладной математике и математической физике (Ташкент, 1988), на Всесоюзных конференциях по математическому моделированию (Звенигород, 1983, 1990), на международной конференции 1МАСЗ (Москва, 1990), на международной конференции по дифференциальным уравнениям (Самара, 1992), на школах "Алгебраические структуры и теория сингулярных возмущений" (Аксаково, 1993, Нахабино, 1994), на международной конференции по сингулярным возмущениям (Переславль-Залессккй, 1993), а также на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском университете, на семинарах кафедры математики физического Факультета МГУ, на семинарах кафедры общей математики ВМиК МГУ, на семинаре кафедры спецкурсов высшей математики МЭИ и математическом семинаре !«Ш.

• Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Глава 1 посвящена стационарным решениям, являющимся контрастными структурами типа всплеска и ступеньки. В §1 строится решение задачи (1), (2), являющееся контрастной

структурой типа всплеска. Асимптотика решения в этом случае ищется в виде

и(х,8)=и0(х)+ш1 (х)+ ... + *0(р,1 )+етс1 (рЛН

+... + 0о(1,9)1-е01(х,е)+ ... , (4)

где 5{(х) - коэффициенты регулярной части асимптотического ряда, и;{(р,1) - пограничные функции, <3{(т,6)- фикция всплеска. Для построения пограничных, функций используется, стандартная локальная система координат (г,I) в окрестности границы <ЭБ, р - растянутая переменная р = г/в. Для построения функций (3£(т,6) использована локальная система координат (г,9) в окрестности главного члена кривой всплеска, задаваемого в полярной системе координат в виде й = 11(6), при этом сама кривая всплеска ищется в виде

г — А.(9,е) = £^(6) + е^О) + ... , (5) ■

а растянутая переменная определяется соотношением 1=(г-\(в,е))/8, при этом г считается положительным, если г - расстояние до точки внутри кривой Н=Щ9), г - отрицательное, если" г -расстояние до точки вне кривой 11=11(9). При выполнении условий на нелинейность:

Пусть вырожденное уравнение (3) млеет два решения и=ф(х) и

и=фп(х> , причел для определенности ф(х) < Ф0(х), хеБ , а Ги(<р(х),х,0) >0 и Ги<ф0(х),х,0) < 0

Пусть существует функция ф(х) такая, что

ф(х) в. " -

X г(и,х,0)йд = 0, а X 1(и,х,0)йи > О при 8€(ф(х),ф(х)),х€0 Ф(х) ({>(2)

(этому условию удовлетворяет, например, квадратичная нелинейность 1(и,х,е) = и(а(х,е) - и), а(х)<0 ) задача для определения главного члена части асимптотического ряда (4), описывающая всплеск, функции 0о(т,6)

д2а0/дт.2 = г(ц0(о,в)+о0{т,е),о,е,о), ч» < х < », аауако.е) = о, а0{±<»,е) = о

имеет нетривиальное решение. Уравнение для определения главного члена в разложению! кривой всплеска (использовано задание кривой в виде о = о (в) = 1/Н{9) ) получается из условия разрешимости задачи для функции 01(т,В) и представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка с условием периодичности.

При условии принадлежности граничного значения £{х) области влияния корня й = <р(х) , а также при некоторых условиях на

соотношение, связанное с разрешимостью уравнения для функции о(х), доказана последовательная разрешимость задач для определения коэффициентов асимптотических рядов (4), (5). Получены результаты, дающие некоторые достаточные условия разрешимости задачи для определения главного члена кривой всплеска - функции о(х).

Для пограничных функций доказаны оценки экспоненциального убывания

< С ехр(-аер), р>0.

Для функции всплеска доказаны оценки вида

0^,6) $ С ехр(-ае|т:1), ~ю < х < ®

Таким образом, разработан алгоритм построения асимптотического разложения решения задачи (I), (2). Для обоснования асимптотики решения задачи (I), (2) предложен конструктивный метод построения верхних и нижних решений для широкого класса задач с решениями погранслойного типа. В частности, для решения погранслойного типа задачи (I), (2) показано, что верхнее решение .задачи (I). (2) может быть построено в виде

¡Эп= * + ... .+ е^ц^ (х) + «^йдр +

■ис0(р,1) + е^Ср;!) ... -I- еп_11Сп_г(р,1) + еЧ^

где и{(х), ^¿(х), (=0,п-1 - определенные по методу пограничных

функций коэффициенты асимптотического ряда, йпр и тгпр - некоторые модификации последних членов асимптотики - = 7 - некоторая положительная постоянная, - решение задачи

зЧр/ар2 = гц(р,1)1спр + гпр + Ф(р,е>, р>о,

где «р = -ш, (о - некоторзя положительная постоянная, ф(р,1) - некоторая положительная, экспоненциально убывающая по переменной р функция, 1пр отличается от 1п в аналогичной

задаче для %п тем, что на месте йд стоит й^. Аналогичным

образом определяется ап(х,б) (й^-7, оа=а>). Показано, что 7,0),

и ф можно выбрать так, чтобы ап и рп удовлетворяли теореме о дифференциальных неравенствах, а в силу того, что ап и рп -являются функциями погранслойного типа, то и решение, заключенное между ними, будет погранслойным. В предположении существования решения задачи с неймановским погранслоем окончательный результат §1 сформулирован в виде теоремы:

Теорема 1. при достаточно лажых е существует решение задачи (1), (2), ябляющееся контрастной структурой типа всплеска.

причел частичная сулма порядка и асимптотического' ряда (4) Un(x,s) яб.юется его равномерным приближением ô D с точностью 0(вп*1), т.е.

mai |u(x,e) - Un(x,s)| S С €n+1 5

В §2 и §3 главы 1 рассмотрены контрастные структуры типа ступеньки в некритическом и критическом случае в задаче (1>,(2). При этом предполагается, что нелинейность подчинена еледувдим условиям.

Вырожденное уравнение (3) имеет три решения: й=ф1(х), й(х)=<р0(х), и й(х)=ф2(х), причел фп(х) < <р0(х) < <р2(х) при всех х б D.

Пусть Ги(ф((х),х,О) > О, t=1,2, а

1ц(Ф0(х),х,0) < О, х е D, а Ф2(х)

1(х)з f Г(u,x,0)du = О определяет некоторую

гладкую замкнутую кривую CQ б некрштеском случае или

1(х)*0 при всех х.е D (б)

в кршинескол случае, а

Б

/ 1(ид,0)йи > о при 3 € (ф1 (х),ф2(х)}, x € В.

Условие (6) обусловливает критичность рассматриваемого случая. Для асимптотического представления решения в виде ряда типа (4) и определения кривой переходного слоя в вида асимптотического ряда типа (5) развита асимптотическая процедура, во многом аналогичная предложенной в §1. В частности, главный член в асимптотическом представлении переходного слоя функция 50 определяется из задачи

0гйо/д%2 = 1(0о,х,0), х € С0, -ч* < т < ш,

(7)

О0(-«,в}=(р1 (х), <а0(+«°)=ф2(х), 00(0,б)=ф0(х), хео(в),

а для определения главного члена в разложении кривой переходного слоя Функции о(9) в критическом случае получается задача

(о*Чо)/ (1 + (о < /о)2 )3/2 }"(э30/аа)гй1' =

-о»

= Г(1г<0о.*."0>* + Г6(0о.х,0))5ао/За 1т, (8)

—00

х е о(в), 0(0) = 0(е+21С).

5эдача (7) разрешима в силу сформулированных выае условий на »линейность, а для исследования разрешимости ■ задачи tS ) могут iHTb использованы результаты §1. С использованием метода дифференциальных неравенств, развитого в §1,§2 доказана теорема, ¡нелогичная теореме 1.

Теорема 2. При достаточно лама: в существует решение задачи ;1),(2) б некршшческод и нритческол случаях* являющееся сотрастной структурой типа ступеньки, причел частичная сулжа городка п асилптатчестго ряда Un(x,s) является его равнолерти хриближешел 6 D с точностью 0{en+1), т.е.

тах |u(x,s) - Un(x,s)| < С е11*1 5

В §4 главы 1 рассмотрена проблема устойчивости контрастных структур типа всплеска в одной системе. Рассмотрена система

du/ôt = s2^ - ï(u,x) + g(u-v)

(9)

ду/дt = 1/a Ce2?" - î(v,x) + h(u-v)], x € (a,b)

з условиями непроницаемости на границе. В предположении, что функция I удовлетворяет условиям существования всплеска, а

5(0) = h(0) =0, gz(0) = г, bz(0) = r/a, показано, что при

определенном выборе параметров г и a стационарные контрастные

структуры типа всплеска являются устойчивыми решениями системы (9). В этом параграфе получены также результаты об устойчивости двумерных контрастных структур типа ступеньки на основе предложенного метода дифференциальных неравенств.

В §5 главы 1 рассматриваются некоторые приложения развитой в §1 и §2 теории и примеры. В частности, теория контрастных структур применена к. задаче о мэжфазиых переходах, которые описываются системой

дт/дг + А. ди/дЬ = ДТ, -а вг&а/дЬ + е2Ли = Г(и,Т,е)

где Т - распределение температур в материале, и - структурный параметр материала такой, что материал находится в твердой фазе, когда и находится вблизи -1, и в жидкой фазе, когда и вблизи +1. Параметры еД на -безразмерные длина взаимопроникновения, латентное тепло и время релаксации ' соответственно. При

определенных условиях е - малый параметр, Г(иД,е)=к(и3-и)+еТ.

При этом стационарная модель описывается задачей

е2Аи = к(и3-и) + еТ(х), х е Б

да/дп1 = О,-150

где Т(х) - известная функция. Задача (10) укладывается в класс задач, рассмотренных в §2. Приведены простые примеры, показывающие, что кривизна кривой переходного слоя приводит к существенным отличиям от плоского случая. В частности, удается объяснить влияние кривизны на явления переохлаждения и перегревания фаз, заключающееся в том, что например, вода -может находиться в твердом состоянии в области, где температура больше нуля.

Глава 2 посвящена нестационарным контрастным структурам. В §1 рассмотрены различные типы одномерных контрастных структур, описываемых задачей вида

е2(аги/ах2-аи/зг)=г(и,х,г,б), (х,г)евти:(о<х<1)«(о<-ит)}, пп и(х,0,е) = §(Х,6), 0и/<Эх(О,г,5) = (9и/0х(1 Д,е) = 0. (12)

I. При. условиях на нелинейность, эаключащихся в тол,' что вырожденное уравнение 1(й,х,Х,0>=0 имеет два корня й=ф1(х.Ю и

5=^(1,1;), подчиненных условиям, для которых

Ф^хДХФ^хД), 1и(ф, (х,г),х,-1,0)>0, ги(Ф2(х,1),х,г,о)<о. (х,г)еот и существует функция <|>(х,1;) • такая, что

ф(х) э

I Г{и,х,г,о>Ш1=о, х Ки,хд,0)йи>0, зе(Ф1(хд),Ф(х,г))бВт Ф, 00 Ф1 00

а также при некоторых дополнительных условиях на соотношение, .определяющее Кривую всплеска,, развита асимптотическая теория контрастных структур типа всплеска. Асимптотика решения 'задачи (II), (12), а также кривой всплеска построены в виде

и((х,г,е) = й^х.Ю'Ьей, (хД) + ... +1С0(р,г)+ех1 (р,Ю+ ... +

(13)

н^р'.г) + ей., (р*Д) + 0о(5Д) > £0о(^,г) 4- ...

Ш.б) = ^(Ь) + е1ц(г) + ... (14).

Для определения главного члена кривой всплеска функции " получено обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Переходные процессы в начальный момент времени не рассматриваются, а предполагается, что задает сформирований

в начальный момент всплеск.

В предположении, что нелинейность удовлетворяет условиям, при которых

I*. Вырожденное уравнение имеет три корня

Ф^хД) < Ф0(хД) < у2{т,%), для которых

ги(Ф{(х,г),х,г,0) >о, I = 1,2, ги(ф0(х,г),х,г,0) < о,

Ф2(хЛ)

| Г(и,хД,0) йи = О, (15)

ф,(хд) Б

; Ки,х,г,о) йи > о, з-? (ф1 (хд),ф2(хд)), (х.юеДр ф., (г, г)

разработан алгоритм построения асимптотического приближения решения задачи (11), (12) в виде (13) и нахождения локализации кривой переходного слоя в виде (14) для случая, когда решение задачи (11), (12) является контрастной структурой типа ступеньки. Рассмотрены случай некритический, когда Зп0(г) определяется из соотношения (15), являющегося для него уравнением и критический, когда соотношение (15) выполняется при всех (х.-^еЦр . Для этих случаев доказаны теоремы типа теоремы 2.

В §2 главы 2 рассмотрена нестационарные двумерные контрастные структуры, являющиеся решения® следующей задачи

е2(Ди - ди/д%) = Г(и,хД,е), (хД)€Бт={х€1)сН2Д€(0,Т)) (16) и| = (17)

11(х,0,8) = 7(х,-£) (16;

Проблема формирования контрастных структур не рассматривается, поэтому начальное значение берется в виде контрастной структуры. Асимптотическое разложение решения задачи (16)-(18) ищется в виде ряда

и(х,г,8)=й0(х,г)+ей1 (х, г )+...+1с0(р, (рл.г)-!-...+

(19)

<з0<?,е,-1) + 60,(5,6,1) + ... .

где для построения пограничных функций используется стандартная локальная система координат в окрестности движущейся кривой £1=11(8,1;), являющейся главным членом в разложении кривой внутреннего слоя (всплеска или ступеньки). Асимптотическое разложение кривой всплеска в этой локальной системе координат имеет вид

г = М6,г,е) = 6^(6,г) + 52Я^(9Д) + ... . (20)

В силу того, что пограничные функции, функции всплеска, .функции переходного слоя определяются с помощью таких же дифференциальных .операторов, как и в предыдущих задачах, построение членов ' асимптотических рядов (19), (20) в значительной мере повторяет алгоритм построения асимптотики, предложенный в §1 этой главы. В частности, главный член в разложении по е кривой переходного слоя Б(9,г) в случае контрастной структуры типа ступеньки в некритическом случае определяется из двумерного аналога соотношения (15). В

пдется е виде <14!, где Ь^ <^} - Т-иериодические по I функции. Ери условиях на нелинейность г.ша I получена асимптотика и дока-¡ано существование решения с построенной асимптотикой. Периода-Ееские функции й{(I) определяются из обыкновенных дифференциальных фавнений первого порядка. Сформулированы достаточные условия >азрешимости этих задач. Таким образом, получена теорема ¡уществования периодического решения, являющегося контрастной ¡труктурой типа всплеска, аналогичная Теореме 1.

При условиях н* нелинейность типа I* исследованы юриодические контрастные структуры типа ступеньки в 1екритическом случае и критическом случае. Как и в других ¡адачах в некритическом' случае периодическая кривая -

'лавный член в асимптотическом представлении кривой перехода, определяется из соотношения типа (15), а в критическом случае из збыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. )кончательнкм результатом для критического и некритического случаев являются теоремы типа Теоремы 2.

Результаты одномерного случая обобщены затем на двумерные гериодические структуры указанных типов в задаче для уравнения [16) с условием (I?) и условием периодичности (25). В этих случаях кривая внутреннего слоя представляет собой замкнутую изменяющуюся по периодическому закону кривую.

В §3 главы • 3 рассмотрен вопрос а существовании териодических по времени решений погранслойного типа и решений

типа контрастных структур для одной слабонелинейной задачи типа .. реакция-диффузия в критическом случае. Была рассмотрена одномерная задача вида

sVu/dx2 = du/dt + e2F(x,t,u) - i(x,t), (26) (X»t) € Q= iX£(0,1), U(-«>l0>)}, U(0,t) = <p0(t), U(1,t) = фп (t). (2?)

u(x,t,E) = u(x,t+T,s). (23)

Эта задача отличается от рассмотренных в §1 и §2 задач несколькими особенностями. Одна из них состоит в тем, что выровденное уравнение (26) имеет семейство решений. В этом состоит критичность случая. Развитию критического случая посвящена монография 115), идеи метода пограничных функций в таких задачах развивались также автором диссертации в {333,1341, 1351. Второй интересной особенностью задачи (26)-(28) является тот факт, что пограничный слой содержит два масштаба разложения. Автономный аналог уравнения (26) рассматривался ранее б 122), где не доказывалось существование решения. Задача (26)-(28) рассматривалась также в (20) при существенных ограничениях на граничные условия. Эти условия не позволяли, в частности, рассматривать задачи с внутренними слоями.

Представляет интерес обобщение метода дифференциальных

¡«равенств на более сложные задачи с решениями погранслойного тспа, какой является задача (26)-(23).

Введем функцию

Т t

Ф(х,г) = Т~1 Г Р(х,1;,г* Г *(х,*с)<1а)<11; О О

г потребуем выполнения условий

:А1) Пусягь при всех х € £0,1] г

X Г(хд)йг - О

о

:А2) Пуст.ь при всех х уравнение Ф(x,z) = О илет реъекив 1=гГ>(х), для которого выполнено условие

= т-1 ; Р (х,г,ап(х)+ х'пх.'Оагхк > о. ъ о и и о

II

[АЗ) Пусть [ Ф(0,а0(0)+з)с1з > О

гри всех и € (0,В^{)(0)3, где

В<{)<0) » Т'1 / (ф£(1) - и^М))«, <=0,1.-

При этих условиях была построена асимптотика решения задачи [26)-(28), имеющая вид

U(x,t,e) = S sk(ulc{xft) f n^Ç.t) + Rk(p,t) +

+ Qk(n.t> + Pk(o,t)).

где ûjj. - коэффициенты регулярной части асимптотики, Rk -

пограничные функции вблизи границы х=0, p=x/s, £=х/е2, Qk и

?к-пограничные функции вблизи границы х=1, т)=(1 -х)/е2,с={1 -х)/е.

Предложен метод модификации асимптотики, позволяющий построить нижнее и верхнее решения задачи (26)-(28). Доказана теорема:

Теорема 3. При достаточно лалых a сутцеапдуеп решение u(x,t,s) задами (26)-(PS) такое, что

- |u{x,t,e) - U0(x,t,s)i < 0 ev,

где UQ - нулевой член асилтжичесиого ряда (29), Q<v<1.

Рассмотрено также двумерное обобщение задачи (26)-(28), т.е. задача вида

е4Ди - ôu/at = s2 F(x,t,u) - f(x,t),

(X,t) i Q = {X€DcR2, ti (-«.a»)},

u(x,t) = g(t> x € ac.

и(х,1;,е> = и(х,1>т,£), зля которой при условиях типа (А1)-{АЗ) доказан аналог Теоремы 3.

Метод дифференциальных неравенств позволил также доказать существование решений типа контрастных структур в задаче (26)-(28). Условие (А2) Теоремы 3 в этом случае имеет вид

(А2*). Пусть при всех х € [0,11 уравнение Ф(х,.;> = О

¡леем. три решения (х), з0(х>, з2(х), причел для определенности хредположал, чаю

а,(х) < г0(х) < г2(х),

2

Фа(х,а{(х)) > 0, £=»1,2, Ф^(х,20(х)) < 0.

¡устъ кроле того существует. х0€(0,1) такая, что г:2(г)

1(х) = / Ф(х,з)д2 = 0 при х=х0, 1^{хо)т!0, (х)

8

| Ф(х0,2)йа > 0 при всех з € «р, (х0),<р^(х0)).

При этих условиях доказана следующая теорема: !еорема 4. При .достаточно лалых е существует решение задачи

(26)-(28), являющееся контрастной структурой типа ступеньки. Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Нефедов Н.Н. Асимптотическое решение задачи, моделирующей; теплообмен во взаимопроникающих средах. Дифф. уравнения, 1935, т.21, N10, C.I8I9-I82I.

2. Neledov N.N. On some singularly perturbed problems for viscous stratified fluids. Journal of Math. An. and Appl., 1988, V.131, P. 118-126.

3. Gu Z., Nefedov N.N., O'Malley R.E. Jr. On singular singularly perturbed initial value problems. SIAM J.Appl. Math> 1989, V.49, N 1, P. 1-25.

4. Нефедов Н.Н. Асимптотика стационарных решений некоторых параболических задач реактивно-адвективно-даффузионного типа. Тезисы докл. Всесоюзной конф. "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики". Тернополь, 1989, с. 3I0-3II.

5. Нефедов Н.Н. Решения типа контрастных структур в задаче реакция-адвекция-диффузия. В сб. "Методы теории сингулярных возмущений в прикладных задачах". Рига: IntelServ 1990,0.75-79.

6. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н. Решения типа контрастных структур . в нелинейных сингулярно возмущенных

з дачах. Mathematical Modelirig srid Applied Matftematics. international.IMAC3 Conierence.Abstracts. P. 141-142...-----

y

«

7. Нефедов H.H. Контрастные структуры в уравнениях типа еакция-адвекция-диффузия. Мат. моделирование, 1391, т.З, с. '64-372.

8. Vasiljeva а.в., Butusov V.P., Neiedov h.n. The entrast structures type solutions oi nonlinear slgulartly ierturbed équations. Pr-oceedings of IMACS. North tîolland/Elsiver Amsterdam).1992 r. P.439 - 445.

9. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов H.H. Рдения типа :онтрастных структур в нелинейных сингулярно возмущенных ¡адачах. Дифф. уравнения, 1992, т.28, N6, с. I087-I0S3.

10. Васильева А.Б., Бутузов в.ф., Нефедов Н.Н. Контрастные :труктуры в нелинейных сингулярно возмущенных задачах 1атематической физики. Труды 3-го Всероссийского семинара 'Динамика волновых процессов и солитоны". Москва, 1992, с.3-12.

11. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н. Многомерные штрастныа структуры. Тезисы докладов. Междунар. конф. Дифференциальные и интегральные уравнения", Самара, 1992, :.42-43. .

12. Нефедов Н.Н. Нестационарные контрастные структуры, 'езисы докладов Междунар. конф. "Дифференциальные и интегральные равнения", Самара, 1992, c.lé4.

13. Нефедов Н.Н. Нестационарные контрастные структуры в

системе реакция-диффузия. Мат. моделирование, 1992, т.З, N8,

со рс

14. Нефедов H.H. Контрастные структуры типа всплеска в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях. Докл. АН, 1992, т.327, HI, с.16-19.

15. Волков В.Т., Нефедов H.H. О периодических решениях с внутренними пограничными слоями одной сингулярно возмущенной модели реакция-да^фузия. Материалы зимней математической школы "Алгебраические структуры и теория синг/лярных возмущений". Москва, 1993, с.49-50.

16. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств в нелинейных сингулярно возмущенных уравнениях в частных производных. Материалы зимней математической школы "Алгебраические структуры и теория сингулярных возмущений". Москва, 1993, с.119-120.

17. ButuzoY V.F., Nefedov N.N., Yaslljeva A.B. Existence, evolution and stability о 1 contrast structures in nonlineai singularly perturbed equation. Proceedings of Intenationa] Workshop "Singular Solutions and Perturbations in Contro] Systems", Pereslavl-Zalessky, 1993, P. 8-9.

18. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б., Нефедов H.H. Контрастные структуры: Теория и приложения. В сб. Мат. моделирование. Изд-во Моск. ун-та, 19ЭЗ, С.63-67.

' 19. Нефедов H.H. Решения с внутренними слоями нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными. Успехи