Контрастные структуры типа ступеньки в случае кратного корня уравнения для линии или точки перехода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение.

Краткое содержание работы.

Глава 1. Одномерная контрастная структура типа ступеньки в некритическом случае.

§1. Асимптотическое разложение и теорема существования контрастной структуры типа ступеньки в некритическом случае.

1. Постановка задачи.

2. Построение асимптотики контрастной структуры.

3. Вспомогательные задачи.

4. Теорема существования.

§2. Устойчивость контрастной структуры типа ступеньки в некритическом случае.

1. Постановка задачи.

2. Построение асимптотики собственного значения и соответствующей собственной функции.

3. Обоснование асимптотики.

§3. Пример.

Глава 2. Одномерная контрастная структура типа ступеньки в критическом случае.

§1. Асимптотическое разложение и теорема существования контрастной структуры типа ступеньки в критическом случае.

1. Постановка задачи.

2. Построение асимптотики контрастной структуры.

3. Вспомогательные задачи.

4. Теорема существования.

§2. Устойчивость контрастной структуры типа ступеньки в критическом случае.

1. Постановка задачи.

2. Построение асимптотики собственного значения и соответствующей собственной функции.

3. Обоснование асимптотики.

Глава 3. Двумерная контрастная структура типа ступеньки в некритическом случае.

§1. Асимптотическое разложение и теорема существования двумерной контрастной структуры типа ступеньки.

1. Постановка задачи.

2. Построение асимптотики контрастной структуры.

3. Построение верхнего и нижнего решений. Теорема существования.

§2. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность двумерной контрастной структуры типа ступеньки.

1. Постановка задачи.

2. Оценка собственных значений задачи Штурма-Лиувилля.

3. Локальная единственность двумерной контрастной структуры типа ступеньки.

Теория сингулярных возмущений за последние десятилетия стала неотъемлемой частью математической физики. Зародившись еще в начале века при решении отдельных прикладных задач, она, благодаря известным работам А.Н.Тихонова конца 40-х — начала 50-х годов (см. [1]), превратилась в одно из крупнейших направлений в области дифференциальных уравнений и их приложений к задачам физики, химии, биологии.

К настоящему времени разработаны разнообразные методы исследования различных классов сингулярно возмущенных задач. К их числу относятся метод пограничных функций [2]-[10], метод усреднения [11], метод регуляризации [12], методы теории релаксационных колебаний [13],[14], метод сращивания асимптотических разложений [15],[16], методы типа ВКБ [17],[18] и другие.

В последние годы ведутся активные исследования сингулярно возмущенных задач, решения которых имеют внутренние переходные слои. Такие решения получили название контрастных структур. Повышенное внимание к контрастным структурам объясняется не только теоретическим интересом, но также их высокой прикладной значимостью: они возникают в задачах химической кинетики, синергетики, биологии и биофизики, астрофизики, лазерной оптики, теории фазовых переходов, теории автосолитонов.

Различают контрастные структуры типа ступеньки и контрастные структуры типа всплеска. Определим эти понятия на примере краевой задачи где е > 0 — малый параметр, А — оператор Лапласа.

Контрастной структурой типа ступеньки называется такое решение задачи (В.1), которое по разные стороны от некоторой кривой С, лежащей в области Б, близко при малых е к различным решениям й = <¿>1(2;) и й = <¿>2 (ж) вырожденного уравнения

Тем самым в окрестности кривой С происходит быстрый переход от ^{х) к <¿>2(ж) — образуется "ступенька". Саму кривую С называют кривой (или линией) перехода.

Контрастной структурой типа всплеска называется такое решение задачи (В.1), которое близко при малых е к какому-то решению й = <р(х) уравнения (В.2) всюду внутри области 2), за исключением малой окрестности некоторой кривой С; в этой е2Д и = /(и,х), х <Е Б С В2 и\ьв = 9(х),

В.1) я) = 0.

В.2) окрестности решение отличается на конечную величину от <р{х), т.е. там происходит "всплеск" решения. Кривую С в этом случае называют кривой (или линией) всплеска.

Аналогичным образом можно определить контрастные структуры типа ступеньки и всплеска в одномерном случае. При этом роль кривой С будет играть некоторая точка ж* — точка перехода (для "ступеньки") или точка всплеска (для "всплеска").

То, что в задачах типа (В.1) возможны решения, имеющие вид контрастных структур, отмечалось еще в работах [19]—[21]. Несколько позже в работах [22],[23] методом пограничных функций [2],[3] были построены асимптотические разложения контрастных структур типа ступеньки и всплеска. Этот метод оказался настолько эффективен, что позволил исследовать контрастные структуры в целом ряде различных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, а также для систем уравнений (см., например, [24]—[35]).

Общей особенностью рассмотренных задач является то, что местоположение кривой (точки) перехода или всплеска заранее неизвестно и определяется в процессе построения асимптотики. В связи с этим уравнение этой кривой (точки) ищется в виде разложения по целым степеням малого параметра е. При этом главный член асимптотического разложения кривой (точки) определяется из уравнения х) = О,

В.З) где .Р(ж) — некоторая функция, полностью определяемая правой частью исходного дифференциального уравнения. К примеру, для задачи (В.1), имеющей решением контрастную структуру типа ступеньки с переходом от ч>\{х) к <Р2(х), в некритиче ском случае -Р(ж) = / /(и, х)в,и.

VI

Уравнение (В.З) задает некоторую кривую Со (точку х0), в малой окрестности которой и происходит переход или всплеск решения. При этом имеет место следующее предельное равенство

Нт С = С0 ( Нт ж* = х0 ). £->0 \ £->0 /

В.4)

Равенство (В.4) позволяет назвать уравнение (В.З) уравнением для линии (точки) перехода или всплеска.

Одним из условий существования контрастных структур в большинстве задач, рассмотренных в упомянутых выше работах, является требование: дР дп0 х&с0

Ф о (>(*о)^о);

В.5) где д/дпо — производная по нормали к кривой Со (штрих означает производную дп0 д^ дп0

В.б) по ж). Если условие (В.5) выполняется, то будем говорить, что уравнение (В.З) имеет простой корень.

В данной работе рассматриваются задачи, в которых уравнение (В.З) имеет двукратный корень, т.е. выполняются условия д£ =0 (>(*о) = о), хбСо \ / хес0 V /

Для таких задач методом пограничных функций построены асимптотические разложения решений, имеющих вид контрастных структур типа ступеньки.

Важно, однако, не только построить формальное асимптотическое разложение контрастной структуры, но и доказать, что это асимптотическое разложение является при достаточно малом е асимптотическим разложением некоторого решения исходной задачи. Другими словами, надо доказать, что исходная задача имеет решение типа контрастной структуры, для которого формально построенное разложение является, при достаточно малом е, асимптотическим разложением.

Весьма эффективным методом обоснования асимптотики оказался метод дифференциальных неравенств. Этот метод, берущий свое начало в работах С.А.Чаплыгина [36] и М.Нагумо [37] и развитый в работах Г.Аманна, П.Файфа и других (см., например, [38]—[45]), в настоящее время является мощным инструментом исследования вопроса существования решений дифференциальных уравнений.

Широкое распространение при исследовании сингулярно возмущенных задач метод дифференциальных неравенств получил после того, как Н.Н.Нефедовым был указан способ построения верхнего и нижнего решений таких задач путем модификации формальной асимптотики [46],[47],[24],[25]. Такой подход позволил значительно упростить доказательство теорем существования для уже известных задач, а также исследовать целый ряд новых.

При доказательстве существования контрастных структур типа ступеньки метод дифференциальных неравенств может быть использован как самостоятельно, так и в сочетании с теоремой о неявной функции. В данной работе используются оба подхода.

Контрастные структуры, возникающие в задаче (В.1) можно рассматривать как стационарные решения соответствующей параболической задачи е2 Аи- Щ- = /{и,х), жбД г> Щ, х) =д(х). х£ди о,

В.7)

Встает вопрос об устойчивости контрастных структур по Ляпунову при Ь —> +оо.

Известно (см., например, [48]), что исследование на устойчивость стационарных решений задачи (В.7) можно провести с помощью изучения спектра следующей задачи Штурма-Лиувилля: е2 Д V = [/и(и,х) + А]и, х е Д

В.8) где производная /„ вычисляется на стационарном решении задачи (В.7) (т.е. на решении задачи (В.1)). Стационарное решение и(х,е) задачи (В.7) будет асимптотически устойчивым по Ляпунову, если все собственные значения задачи (В.8) отрицательны, и неустойчивым, если хотя бы одно собственное значение задачи (В.8) положительно.

Для контрастной структуры типа ступеньки в работах [49],[31] с помощью метода пограничных функций были построены асимптотические разложения главного (наибольшего) собственного значения и отвечающей этому собственному значению собственной функции. Было показано, что при некоторых условиях на функцию / главное собственное значение задачи (В.8) отрицательно, что влечет за собой отрицательность всех остальных собственных значений, а следовательно, и асимптотическую устойчивость контрастной структуры типа ступеньки.

Метод оценки главного собственного значения, предложенный в работах [31],[49], достаточно эффективен при исследовании одномерных задач. Но в многомерных задачах он сталкивается с определенными трудностями. Альтернативный подход к данной проблеме, основанный на использовании верхних и нижних решений, предложен в [50]. Этот подход позволил доказать асимптотическую устойчивость многомерных контрастных структур типа ступеньки в случае простого корня уравнения (В.З).

Целью настоящей работы является развитие метода пограничных функций и метода дифференциальных неравенств для сингулярно возмущенных краевых задач вида (В.1), решениями которых являются контрастные структуры типа ступеньки в случае, когда уравнение для линии (точки) перехода имеет двукратный корень.

Научная новизна работы состоит в том, что впервые рассмотрен класс сингулярно возмущенных краевых задач, имеющих в качестве решений контрастные структуры типа ступеньки в случае двукратного корня уравнения для линии (точки) перехода. Для этих задач:

1. Методом пограничных функций построены равномерные во всей области асимптотические разложения решений с произвольной степенью точности. При этом известный алгоритм построения асимптотики видоизменен с учетом специфики рассматриваемых задач.

2. Для одномерных задач получена асимптотика производной от решения.

3. С помощью метода дифференциальных неравенств доказано существование контрастных структур типа ступеньки.

4. Исследован вопрос об устойчивости контрастных структур типа ступеньки. Получены оценки главных собственных значений соответствующих задач Штурма-Лиувилля. При этом используются разные подходы для одномерных и многомерных задач.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из трех глав, каждая из которых разделена на три параграфа.

В Главе 1 рассмотрена краевая задача вида (В.1) на отрезке. Исследован вопрос существования в такой задаче контрастной структуры типа ступеньки в так называемом некритическом случае, а также вопрос устойчивости этой контрастной структуры. В первом параграфе методом пограничных функций построена асимптотика решения исследуемой задачи, имеющего вид контрастной структуры типа ступеньки, получено асимптотическое разложение производной этого решения, с помощью метода дифференциальных неравенств и теоремы о неявной функции доказана теорема существования. Во втором параграфе построены асимптотические разложения главного (наибольшего) собственного значения и соответствующей собственной функции задачи Штурма-Лиувилля, отвечающей контрастной структуре типа ступеньки, построенной в первом параграфе. Получено условие устойчивости. В третьем параграфе приведен пример, иллюстрирующий полученные результаты.

В Главе 2 также рассмотрена одномерная задача вида (В.1). В отличие от Главы 1 в Главе 2 изучен так называемый критический случай.

В Главе 3 рассмотрена двумерная краевая задача вида (В.1) в ограниченной области. В первом параграфе методом пограничных функций построена асимптотика решения этой задачи, имеющего вид двумерной контрастной структуры типа ступеньки, с помощью метода дифференциальных неравенств доказана теорема существования. Во втором параграфе с помощью верхних и нижних решений получена оценка главного собственного значения соответствующей задачи Штурма-Лиувилля (тем самым исследован вопрос устойчивости построенной контрастной структуры), а также доказана локальная единственность контрастной структуры типа ступеньки.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [53]—[57].

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Валентину Федоровичу Бутузову за постановку задачи и большую помощь в работе.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации:

1. Рассмотрен новый класс сингулярно возмущенных краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных), в которых возникают контрастные структуры типа ступеньки в случае двукратного корня уравнения для линии или точки перехода.

2. Методом пограничных функций построены равномерные во всей области асимптотические разложения контрастных структур типа ступеньки в некритическом и критическом случаях для одномерной задачи и в некритическом случае для двумерной задачи. При этом известный алгоритм построения асимптотики видоизменен с учетом специфики задач.

3. Для одномерных задач получена асимптотика производной от решения.

4. С помощью метода дифференциальных неравенств доказано существование контрастных структур типа ступеньки. При этом использованы различные способы доказательства для одномерных и двумерной задач.

5. Исследована устойчивость построенных контрастных структур. Для одномерных задач методом пограничных функций построены асимптотические разложения главного собственного значения и отвечающей этому собственному значению собственной функции задачи Штурма-Лиувилля для соответствующего линеаризованного уравнения. Для двумерной задачи с помощью метода дифференциальных неравенств получена асимптотическая оценка для собственных значений соответствующей задачи Штурма-Лиувилля.

6. На основе метода дифференциальных неравенств доказана теорема о локальной единственности двумерной контрастной структуры типа ступеньки.

1. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. 1948. Т. 22(64), №2. С. 193-204.

2. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

3. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

4. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых краевых задач для уравнений с малым параметром при старшей производной // Докл. АН СССР. 1960. Т. 135, №6. С. 1303-1306.

5. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной // УМН 1963. Т. 18, №9. С. 15-86.

6. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН 1957. Т. 12, №5. С. 3-122.

7. Треногин В.А. Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника-Вишика // УМН 1970. Т. 25, №4. С. 123-156.

8. Бутузов В.Ф. Асимптотика решения уравнения ¡л2 А и — k2{x,y)u = f(x,y) в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, №9. С. 1654— 1660.

9. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в сингулярно возмущенных задачах с частными производными // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №10. С. 1848-1862.

10. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978.

11. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

12. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

13. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

14. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю.,Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995.

15. Ильин A.M., Горьков Ю.П., Леликова Е.Ф. О методе сращивания асимптотических разложений // Докл. АН СССР. 1974. Т. 217, №5. С. 1033-1036.

16. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

17. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977.

18. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976.

19. Васильева А.Б., Тупчиев В.А. О периодических решениях систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производной, близких к разрывным // Докл. АН СССР. 1968. Т. 178, №4. С. 767-770.

20. Васильева А.Б. К вопросу о близких к разрывным решениях в системах с малым параметром при производных условно устойчивого типа // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, №9. С. 1560-1568.

21. Файф П., Гринли В. Внутренние переходные слои для эллиптических краевых задач с малым параметром // УМН 1974. Т. 29, №4. С. 103-131.

22. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Об асимптотике решения типа контрастной структуры // Матем. заметки. 1987. Т. 42, №6. С. 831-841.

23. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Об асимптотической теории контрастных пространственных структур // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1988. Т. 28, №3. С. 346-361.

24. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями / / Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №7. С. 1132-1139.

25. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для нелинейных сингулярно возмущенных задач с контрастными структурами типа ступеньки в критическом случае // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, №11. С. 1529-1537.

26. Васильева A.B. Контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения второго порядка, линейного относительно производных // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1995. Т. 35, №4. С. 520-531.

27. Васильева A.B. О контрастных структурах типа ступеньки для системы сингулярно возмущенных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1994. Т. 34, №10. С. 1401-1411.

28. Васильева A.B. О контрастных структурах в системах сингулярно возмущенных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1994. Т. 34, №8-9. С. 1168-1178.

29. Васильева A.B., Никитин А.Г. К вопросу об устойчивости периодических контрастных структур в пространственно двумерном случае // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, №10. С. 1355-1361.

30. Васильева A.B. О решениях сингулярно возмущенных задач, имеющих контрастную структуру типа всплеска// Фундамент, и прикладн. матем. 1995. Т. 1, №1. С. 109-122.

31. Васильева A.B., Никитин А.Г., Петров А.П. Асимптотический метод исследования контрастных структур и его приложение к теории гидромагнитного динамо // Матем. моделирование. 1995. Т. 7, №2. С. 61-71.

32. Васильева A.B. Контрастные структуры с двумя переходными слоями типа ступеньки и их устойчивость // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1992. Т. 32, №10. С. 1582-1593.

33. Бутузов В.Ф. Контрастные структуры типа всплеска в параболической системе двух сингулярно возмущенных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1997. Т. 37, №4. С. 415-428.

34. Бутузов В.Ф., Нефедов H.H. Пространственно-периодические контрастные структуры в сингулярно возмущенных эллиптических задачах // Докл. АН. 1996. Т. 351, №6. С. 731-734.

35. Васильева А.В., Нефедов Н.Н., Радченко И.В. Сингулярно возмущенная задача с внутренним переходным слоем //Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1996. Т. 36, №9. С. 105-111.

36. Чаплыгин С.А. Новый метод интегрирования дифференциальных уравнений. М.; Л., 1950.

37. Nagumo М. Ueber die Differenzialgleichung у" = f(x,y,y') // Proc. Phys. Math. Soc. Japan 1937. V. 19. P. 861-866.

38. Amann H. On the existence of positive solutions of nonlinear elliptic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1971. V. 21, №2. P. 125-146.

39. Amann H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations // Nonlinear analysis: Collections of Papers in Honor of Eric Rothe. New York: Academic Press, 1978. P. 1-29.

40. Fife P. C. Semilinear elliptic boundary value problems with small parameters // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1973. V. 52, №3. P. 205-232.

41. Fife P., Tang M. Comparision Principles for Reaction-Diffusion Systems: Irregular Comparision Functions and Application to Question of Stability and Speed of Propagation of Disturbances // J. Diff. Equations. 1981. V. 40. P. 168-185.

42. Pao C.V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. Plenum Press. New York and London, 1992.

43. Sattinger D.H. Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1972. V. 21, №11. P. 979-1001.

44. Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига. Зинатне, 1978.

45. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения. М.: Мир, 1988.

46. Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №4. С. 719-722.

47. Нефедов Н.Н. Двумерные контрастные структуры типа ступеньки: асимптотика, существование, устойчивость // Докл. АН. 1996. Т. 349, №5. С. 603-605.

48. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

49. Васильева А.Б. Об устойчивости контрастных структур // Матем. моделирование. 1991. Т. 3, №4. С. 114-123.

50. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Устойчивость контрастных структур типа ступеньки в двумерном случае // Докл. РАН. 1999. Т. 366, №3. С. 1-4.

51. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука, 1975.

52. Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Ризниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов. М.: Изд-во МГУ, 1987.

53. Бутузов В.Ф., Кирюшин В.В. Контрастная структура типа ступеньки в случае кратного корня уравнения для точки перехода // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, №8. С. 1029-1038.

54. Кирюшин В.В. Об асимптотике контрастных структур в случае кратного корня уравнения для точки перехода // Теория и приложения методов малого параметра. (Конференция, посвященная 90-летию со дня рождения академика А.Н.Тихонова). Обнинск, 1996. С. 41.

55. Кирюшин В.В. Контрастные структуры в случае кратного корня уравнения для точки перехода // Математические методы и приложения. (Труды пятых математических чтений МГСУ 26-31 января 1997 года). М.: МГСУ. 1997., С. 33-36.

56. Кирюшин В.В. Критическая ступенька в случае кратного корня уравнения для точки перехода // Математические методы и приложения. (Труды шестых математических чтений МГСУ 25-30 января 1998 года). М.: МГСУ. 1999. С. 12-17.