Контрастные структуры в нелинейных сингулярно возмущенных системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Т 5 0Д

• 2 5 МАЙ 2000

На правах рукописи УДК 517.956.221

ДАВЫДОВА Марина Александровна

КОНТРАСТНЫЕ СТРУКТУРЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМАХ

Специальность: 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2000

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета М1 им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А. Б. ВАСИЛЬЕВА

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. В. НЕСТЕРОВ

кандидат физико-математических наук, доцент М. А. ПЕТРОВА

Ведущая организация:

Ярославский государственный Университет им. П. Г. Демидова

Защита диссертации состоится « /6 » 6С4-0С<Л— 2000 г. часов на заседании Диссертационного Совета К 053. 05. 18 г Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу:

119899, г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факульт ауд. СФЯ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физическс факультета МГУ.

Автореферат разослан «

2000 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета К 053.05.18 доктор физико-математических наук

те г,

П. А. Поляко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

В диссертации исследовано существование различных типов контрастных руктур, возникающих в нелинейных сингулярно возмущенных системах двух авнений первого порядка, а также в нелинейных уравнениях второго порядка, держащих малые параметры при первой и второй производных. Обоснования строений асимптотических разложений решений по малому параметру оводятся с использованием методов пограничных функций и фференциальных неравенств.

Актуальность темы.

В последнее время, в связи с потребностями некоторых прикладных ластей (химическая кинетика, теория полупроводников, нелинейная оптика, тематическая биофизика и т. д.), возрос интерес к изучению нелинейных стем дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при фших производных (сингулярно возмущенные системы). В общем случае линейность системы затрудняет точное решение задачи и выражение пения через известные функции или квадратуры от них. Однако, благодаря чичию малых параметров, удается применить асимптотические методы при /чении ряда задач. Так, используя метод пограничных функций [2], во огих случаях можно построить асимптотику погранспойных решений и <азать существование этих решений.

В основе метода пограничных функций лежит идея о построении шптотического разложения решения сингулярно возмущенной задачи по тому параметру, близкого к решению вырожденной задачи во внутренних 1ках области и удовлетворяющего граничным условиям за счет введения в [мптотику, так называемых, пограничных функций, которые поненциально малы внутри области. Благодаря своей простоте метод яется весьма эффективным в отношении исследования широкого класса ач, начиная с простейших задач для обыкновенных дифференциальных

уравнений [1] и заканчивая весьма сложными задачами для уравнений частных производных [6]. Более того, этот метод применим для изучен особого класса решений - контрастных структур [1].

Контрастной структурой называется такое решение сингуляр возмущенной краевой задачи, которое помимо пограничных ело локализованных в окрестности границы, обладает внутренним сло< локализованным в окрестности одной из внутренних точек области. Р результатов по теории контрастных структур получен в [1, 3, 4, 6, 8].

Предметом изучения в настоящей диссертации явились контрастн структуры, возникающие в системе двух нелинейных сингулярно возмущенн уравнений первого порядка, а также в нелинейных сингулярно возмущенн уравнениях второго порядка.

Цель работы.

" Применение метода пограничных функций для построения формальн асимптотики решений в виде контрастных структур в случае:

а) сингулярно возмущенного нелинейного уравнения вторе порядка, содержащего малый параметр // при первой производи и малый параметр при второй производной (некритический критический случаи, а также случай решения типа всплеска);

б) системы двух нелинейных сингулярно возмущенных уравнен первого порядка (некритический и критический случаи);

в) квазилинейного уравнения второго порядка с малым параметр ¡л1 при второй производной и малым параметром Та при перв производной.

Выявление зависимости типа контрастной структуры от особенное! системы и демонстрация этой зависимости на конкретных примерах.

Доказательство существования решений и оценка остаточных члеь асимптотик.

Научная иовизна.

Исследованы решения с внутренними слоями сингулярно ¡мущенного уравнения второго порядка, а также системы двух сингулярно ¡мущенных уравнений первого порядка в критическом случае.

С использованием метода дифференциальных неравенств, доказано цествование погранслойного решения квазилинейного сингулярно ¡мущенного уравнения второго порядка, а также исследована возможность цествования решений с внутренними слоями.

Практическая ценность работы.

На основе метода пограничных функций разработаны и обоснованы •оритмы построения равномерных асимптотических приближений решений та контрастных структур системы двух нелинейных сингулярно ¡мущенных уравнений,. а также уравнения второго порядка с малым эаметром /л при первой производной и с малым параметром /? при второй эизводной.

С использованием методов пограничных функций и })ференциальных неравенств разработан и обоснован алгоритм построения [мптотического разложения по малому параметру погранслойного решения 1зилинейного уравнения второго порядка с малым параметром при >вой производной и с малым параметром ¡л2 при второй производной, а же исследована возможность существования решений типа контрастных •уктур.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на Международной конференции :вященной 90 - летию со дня рождения академика А. Н. Тихонова "Теория и шожения методов малого параметра" (Обнинск, 1996), на ежегодных :ематических чтениях МГСУ "Математические методы и приложения" 1хабино, 1997), (Руза, 1998), (Руза, 1999), на Ломоносовских чтениях в МГУ

(Москва, 2000), а также неоднократно обсуждались на научных семинар кафедры математики физического факультета МГУ.

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, трех приложений к главе заключения и списка литературы. Общий объем текста - 140 страниц. Спис литературы содержит 26 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Введение. Во введении кратко охарактеризованы актуальность и нови: работы, а также коротко изложено содержание глав.

В главе 1 доказано существование решений в виде контрастных структ сингулярно возмущенного нелинейного уравнения второго поряд содержащего малый параметр ц при первой производной и малый параметр при второй производной. Рассматриваются некритический и критическ случаи, а также случай решения типа всплеска. В некритическом слу1 подробно исследуется асимптотическая устойчивость решения по Ляпунову.

В главе 2 обобщаются результаты главы 1 на случай системы Д1 нелинейных сингулярно возмущенных уравнений первого порядка.

В главе 3 исследуется вопрос о существовании погранслойного решег квазилинейного уравнения второго порядка с малым параметром 4м г первой производной и с малым параметром ¡г при второй производной, заключительном параграфе главы 3 обсуждается принципиальная возможно' возникновения решений типа контрастных структур без рассмотре( детального доказательства их существования.

Глава 1. Нелинейное сингулярно возмущенное уравнение второго рядка. В этой главе рассматривается сингулярно возмущенное уравнение >рого порядка, правая часть которого слабо зависит от ¿у/ск:

ц1 Л2у/с1х2 = Р(1хйу1(1х,у,х\ а<х<Ь,

(1)

* ц>0 - малый параметр, с краевыми условиями

у(а,р.) = у{Ъ,р) = 0.

(2)

[ряду с (1) будем использовать следующую запись

(3)

1. Контрастная структура типа ступеньки. Пусть для системы (3), (2) [полнены

Требование 1. Функция Р(у,1,х) обладает непрерывными производными до орого порядка в области В = {а < х <, Ъ,\ у |< В}.

Требование 2. Уравнение Р{в,у,х) = 0 имеет три корня у = (р,{х\ / = 1,2,3, ких, что ср^х) < ср2(х) < ср3(х) и Ру{ср,) > 0 при / = 1,3, Ру(<р2)<0. эгласно требованию 2, точки М^(хЩ и М^р^хЩ являются седлами на 1зо'вой плоскости (у,г) присоединенной системы сЕ1с1т= Р(2,у,х), ¿у/с1т = 7, е х- фиксировано. Через каждое из седел М, и Мг проходят две паратрисы, и в случае фокуса одна из них может входить в фокус (или входить из него). Рассмотрим сепаратрисы, не связывающие седло с экусом.

Требование 3. Сепаратриса, выходящая из седла Л/, (левая сепаратриса) представима в виде 7л(т,х), у"(т,х) и пересекает линию у = <р2(х), при этом точке пересечения отвечает г = 0, а седлу А/, отвечает г = -а>. Сепаратриса, входящая в седло Мг (правая сепаратриса), представима в виде ?п(г,х), 7п(г,х пересекает линию у = <р2 (х), причем точке пересечения отвечает т = 0, а седл) Мг отвечает г = а>.

Обозначим Н(х)згп{0,х)-гл(0,х).

Требование 4. При некотором х = х0, а<ха <Ъ, справедливо следующее:

а) Я(х0) = 0,6)

Требование а) означает, что существует сепаратриса, выходящая из се; М) и входящая в седло М2.Требование б) нужно для того, чтобы исключ) случай, когда соединительная сепаратриса имеет место при любом х или ко] при х = х0 имеется ветвление.

Требование 5. Функция р(г) = ехр| - ^(г.у.х^т^ограничена при г -» ±о

Асимптотическое разложение решения типа ступеньки, т. е. решен претерпевающего быстрое изменение вблизи точки х = х0 при переходе окрестности функции у = <р^х) в окрестность функции > = задачи (3), ( согласно методу пограничных функций [2], ищется в виде

Гл-П {х,И) = гол'п (х) + ¿£,л-п (х) + П „г ■4 (г,) + /Л (та) + + ео2л'п(г) + //Й2л-п(г) + П07п(г4) +

/ л (*, ц) = М + М+П„>'Л (Г „) + ^ул (Г. ) + +аул'п(г)+Аа;'лпм+п0уп(Г)))+

+ п (гд) + ).

азложения (4) содержат регулярную часть, пограничные функции по еремеиным тс =(х-а)р~', ть=(х-Ь)/ли функции внутреннего слоя по еременной г = (х-х*)/г~', локализованного в окрестности некоторой точки *е(а,Ь) (индексы Л,П означают, что решение рассматривается слева от точки * или справа от нее).

Теорема 1.1.1 Существует решение у(х,ц) задачи (1),(2) типа ступеньки, меющее следующее асимптотическое представление:

yix.fi)-

Л

<р, о) + П0Хг0) + 2о у(т) + О(^), х < х* = х0 + /Л-, + 0(р2),

<р2(х*), х = х*, ,

[<¡>3 (х) + Я0Яг,) + а Яг) + О(р), х>х*. где т = ^'\х-х*).

Замечание. Пользуясь асимптотическим представлением (4) для ук{х,ц) и уп{х,/л), ожно определить х * с точностью более высокого порядка:

х*(/и)^х0+ /а, ...+ ц"х„ + ). (5)

Определение х0 в формуле (5) осуществляется при построении асимптотики ешения нулевого порядка, что является характерной чертой для екритического случая.

Рассматриваемая контрастная структура является стационарным ешением (будем его обозначать у(х,/и)) следующей параболической задачи

В диссертации эта теорема имеет номер (1.2).

,х), а<х<Ь, О О, у(а, ц, 0 = у{Ъ,»,!) = 0, у(х, О, м) = у0 (х,/0.

Поэтому, в случае достаточной близости решения у(х,^) к начальной функц у"{х,/л), возникает вопрос об устойчивости решения у(х,м) в смыс устойчивости по Ляпунову. Исследование этого вопроса связано с изучени задачи Штурма - Лиувилля (см. [7])

/.гс!2а/с1х' = Г.(рс!у/<Ь:,у,х)рА' + РЛрйу\сЬ,у, д')Д + ЯА,

(6)

Д(а,р) = Д(6, ¡л) = 0.

Асимптотическая устойчивость будет иметь место, если в (6) Л, <0 для любо /' = 0,1,2.... Используя метод пограничных функций, удается построй асимптотику наибольшего собственного значения задачи (6).

Теорема 1.2.2 Собственное значение Л и соответствующая собственн, функция А задачи (б) существуют и в окрестности точки сшивания х* имеют следующие асимптотические представления:

Д = £0Д(г) + /,аД(О+...+//аЛ(г) + О(//+1),

равномерно на отрезке а<х<Ь.

Теорема 1.З.3 Главная собственная функция задачи (6) имеет асимптотическое представление

Д = О0Д + Д + ).

2 В диссертации эта теорема имеет номер (1.3).

3 В диссертации эта теорема имеет номер (1.4).

Т. о. наибольшее собственное значение задачи (6) имеет представление '), и тем самым удается определить условие устойчивости.

2. Контрастная структура типа всплеска. Пусть для задачи (1), (2) лполнены

Требование 1Вырожденное уравнение F(0,.^',*) = 0 имеет два решения = р,(дг), у = <рг(,х) причем %{х) <<р2(х), Ру(0,<р1(х),х) > 0, Ру(0,<р2(х),х) < 0.

Требование 2". На фазовой плоскости (у,?), отвечающей системе эавнений с£/с1т = Р(1,у,х), с[у1йх = г, где х - фиксировано, существует петля ¡паратрисы, то есть сепаратриса ул(т,х), 7л(т,л), выходящая из седла ^(<р^{х),х) при г = -оо, и сепаратриса у"(т,х), ?п(т,5с), входящая в седло Г,(<р,(х),х) при г = +со, гладко соединяются при г = 0 в точке (у/{х),0) (т-гкоторая независимая переменная).

Требование 311. Существует решение х - х0 уравнения

]рх(1,у,х!1)ту'р(т)<1т = 0.

Требование 4". С(х0)*0.

Требование 511. Функция р(т) ограничена при г-»±со

Асимптотическое разложение решения типа всплеска по малому фаметру // ищется в виде (4), причем справедлива

Теорема 2.1. Если выполнены требования /" -50, то при достаточно алых р существует решение у{х,ц) задачи (1), (2) и ряд

у(х,ц) = у{х) + Пу\т„) + Оу(т) + Пз>п(г4) (8)

шляется асимптотическим рядом на отрезке [а,Ь], то есть

где V П{х,ц)-п-я частичная сумма ряда (8).

Для точки всплеска решения, определяемой условием у'(х*,/и) = О справедливо асимптотическое разложение (5), где х0 определяется пр! построении асимптотики решения первого порядка.

3. Контрастная структура типа ступеньки в критическом случае Ранее было показано, что для существования решения типа ступеньки задач! (1), (2) нужно наличие такого х = х0, а<х0<Ь> при котором справедливы требования 4а) и 46).

Рассмотрим критический случай, когда Н(х) = 0, с1Н/сБ = 0 при любок х, а<х<Ь. Пусть выполнены

Требование 12). Уравнение /'(О.д'.х) = 0 имеет три решенш у = ср,{х), г = 1,2,3, причем р, (х) < <рг (х) < (рг (х), Ру(0,р,{х),х)>0 при ¡' = 1,3, Ру(0,<рг (х),х) < 0.

Требование 22). На фазовой плоскости (у,?) существует сепаратриса соединяющая седла М,(р,(х),0) и М2(р3(х),0) при любом хе[а,Ь].

Следовательно, для любого х, а<х<Ь, сепаратриса, выходящая из седлг (х),0) переходит в сепаратрису, входящую в седло Мг{(ру{х),0).

Требования 321-5 2) совпадают с требованиями 3 "-51}.

При выполнении вышеперечисленных требований можно доказат! теорему, аналогичную теореме 2.1, о существовании решения типа ступеньки £ критическом случае с асимптотикой (4). Для точки перехода х* справедливс асимптотическое представление (5), в котором х0 определяется не на нулево\ шаге, что характерно для критического случая.

Глава 2. Нелинейная система сингулярно возмущенных уравнений 1ервого порядка. В этой главе исследуется система двух нелинейных ингулярно возмущенных уравнений первого порядка:

в' = F(z,y,x), sy' = G(z,y,x), xe(a,b),

(9)

де Р(г,у,х), С(г,у,х)- достаточно гладкие нелинейные функции, £>0- малый араметр, с граничными условиями первого рода

1. Некритический случай. Пусть для системы (9), (10) выполнены

Требование 1. При каждом фиксированном х = хе[а,Ь] система ?/dT= F(z,y,x), dyldz = G(z,y,x) имеет первый интеграл вида Ф(?,у,х) = С, ' = const, т - некоторая независимая переменная.

Требование 2. Система dS/dr = F(z,y,x), dy/dx = G(z,y,x) при иксированном x имеет хотя бы две особые точки типа седла (<р,(х),у/,(х)), M2(<p2{x),i//2(x)), где два изолированных на [а,Ь]

гшения вырожденной системы F{z,y,x) = 0, G(z,y,x) = 0, i - 1,2. епаратрисы St)[, Shh, проходящие через седла М,, М2 представимы в виде с - фиксировано)

SMt: Ф(г,у,х) = Ф(^1(х),<р1(х),х),

Требование 3. При некотором значении х=х0е (а,Ь) имеется :паратриса, соединяющая седла Мх и Мг. Точка х0 удовлетворяет уравнению

у(а,е) = 0, у(Ь,Е) = 0.

(10)

SMl ■■ Ф(г,у,х) = Ф(ц/2(х),<рг(х),х).

(П)

ЧУ, (X),Р,(*),*) = Ф(Г:(х),<Р2(х),х).

Требование 4. Уравнения (11) разрешимы относительно г в окрестност У = Уо(х*), хй-5<х*<ха+8:

г= ?,(**),**), = У{у^г{х*1<рг{х*),х*Х

где уа(х*) = (<рх(**) + <р2(л'*))/2.

Пусть Дг = г(2)-г(1). При х* = х0 имеем У(уЛх0),У/2(ха),р2(х0),х0) = = У{уо{х(>)>у,(х1>),<р1(х0),х0). Следовательно Лг^ =0.

с1Ьг

Требование 5. Производная

<3х'

Теорема 1.2. Пусть выполнены требования 1-5. Тогда при достаточн малых е > 0 :

I) существует решение задачи (9), (10) представимое в виде

„Л.П

20Л(х) + агЛ(г) + П02Л(То) + ...+ £"5„ЛМ + г"е„гЛ(г) + г«П (*) ■+ 6.*" (О + П0 -п (п) +... + (*) + (г) +

уЛЛ(х,е) =

К (X) + во>'Л (О + П0 / (г. ) +... + £"у„Л (X) + ¿"ОУ (г) + + е"ПУ{т„) + 0{е"*'), х<х*,

Я" (*) + бьУ" (О + П0Уп (г4) +... + с'у? (х) + £^У(г) + + е"П„уп(ть) + 0(£"*'), х>х*,

■де т = (х-х*)£'\ тя=(х-а)е-\ ть=(х-Ь)е'\ П лд'п(г„,Д ПЛ"^)

юграничные слои, локализованные в окрестности точек х = а и х = Ь, Э:Л"(т), 0>,лп(г) - фунщии внутреннего слоя, :„л'п(х), у*л(х) - члены ¡егулярных рядов порядка п;

у) для точки сшивания х* справедливо асимптотическое разложение

В формуле (12) х0 определяется при построении членов асимптотики улевого порядка, т. к. рассматривается некритический случай.

В зависимости от фазового портрета присоединенной системы

истема (9), (10) может иметь различные решения: решение типа ступенька -гупенька (по г - компоненте и по у - компоненте реализуются контрастные груктуры типа ступеньки), решение типа всплеск — ступенька, решение лешедтого типа (по двум компонентам реализуются контрастные структуры, эладающие как свойствами решения типа ступеньки, так и свойствами :шения типа всплеска). Независимо от типа контрастной структуры, ормальные построения асимптотик и обоснования построений одни и те же.

Замечание. Явление внутреннего переходного слоя в системах типа (9) изучалось в боте [8], и далее в работе [3]. В частности, в работе [3] исследовалась контрастная руктура типа ступенька - ступенька.

2. Критический случай. Пусть для системы (9), (10) выполнен один из [ух наборов требований.

I: Требования 1 и 2 из пункта 1.

х*(е) = х0+гх,+... + £" х„+ 0(е').

(12)

(13)

Требование 3°. Для любого х = ха[а,Ь] существует сепаратрис соединяющая седла Л/, и Мг, т. е. для любого х = хе[а,Ь] справедли равенство

Ф(У| (*)>*) = ф(Г2 (*). <Рг (*)>*) ■

Требование 4". Уравнение

/(х0)з2".'(0)(г,(*о +0)-г,(*0 -0))+у:(РШх, +0)-5;,(*о — 0>)—

- {(£ (х0 )т + г, (х0)) + Р, (х0)г + 5?, (х0)) + - г;(х0))г.Уг -

- Щ{хй)т + (х0)) + бу(Уо(х0)т + у,(х„)) + <5,г - ^(х0= О

разрешимо относительно х0.

Требование 5/'(*„)* 0.

Т2: Требование 1 из пункта 1.

Требование 22). Система <£/с1т = Р(7,у,х), ¡1у/с1г = 0{г,у,х) щ фиксированном х имеет хотя бы одну особую точку типа седла М,(<р,(х),у/,(х и одну особую точку типа центра 0,(9>2(*)>(М*))> ГДе (!»,(*)> У, (*))- Д; изолированных на [а, Ь] решения вырожденной систем Г(г,у,х) = 0, в(г,у,х) = О, / = 1,2.

Требование 3Г|. На фазовой плоскости (у,г), отвечающей cиcтe^ уравнений сЕ/с1т = Р(г,у,х), с1у/с!т = С(2,у,х), где х - фиксировано, существу! петля сепаратрисы, то есть сепаратриса уА(т,х), 2"л(т,х), выходящая из сед; Л/, при г = -со, и сепаратриса уп(г,х), 1п(т,х), входящая в седло М, при г = -к гладко соединяются в некоторой точке, которой соответствует г = 0.

Требование 421.Уравнение

7(х0) 5= (2; (х0)■г + г, [ха)) + ¥у (к (х0)г + у, (х0)) + Рхт - г'0 (х0 г +

+ (20 (дг0 )г +(х0)) + бу (у„ (х0 )г + у, (х0)) + 5хт - у0 (х0 = 0.

азрешимо относительно х0.

Требование 57). 7'(х0)*0.

Несмотря на то, что фазовый портрет присоединенной системы (13) при яполнении условий Т1 существенно отличается от фазового портрета системы 3) при выполнении условий Т2, формальные построения асимптотик решений обоснование этих построений, за исключением небольших поправок, >впадают. Поэтому эти два случая объединены в один случай, который в зстоящей диссертации носит название критического.

При выполнении условий Т1 или Т2 доказывается теорема, аналогичная :ореме 1.2 (в диссертации эта теорема имеет номер 2.2).

Определение х0 в формуле (12) осуществляется не на нулевом шаге, что шяется характерной чертой критического случая.

Если выполнены требования Т1, то система (9), (101 может иметь как шение типа ступенька - ступенька, так и решение типа всплеск - ступенька, а кже решение смешанного типа. Тип реализующейся контрастной структуры висит от фазового портрета присоединенной системы. При выполнении |ебований Т2 система (9), (10) имеет решение типа всплеск - всплеск арактер всплесков по каждой из компонент определяется особенностями нового портрета присоединенной системы).

Глава 3. Квазилинейное сингулярно возмущенное уравнение второго фядка. Эта глава посвящена изучению краевой задачи:

= А(у, х)г + В(у,х), ¡лйу1ск-2, 0<д:<а,

1. Существование погранслонного решения. Пусть выполнены Требование 1. Функция Аг + В обладает непрерывными производные до пятого порядка в области £> = {0 < х < а\у\ < /?}.

Требование 2. Уравнение В{у,х) = 0 имеет решение у = <р{х). ТребованиеЗ. А(<р{х),х)< 0, Ву{ср{х),х)> 0, А(у\а)< 0. Асимптотика погранслойного решения ищется в виде

у{х,/А = у{х) + Пу(ц) + Яу(г,\ г[х,!л) = ¡(х) + Ш(г0) + Лг(г,),

где у(х,^) = у0(х) + ру1(х)+..., г{х,/и)=г0{х) + регулярная част

асимптотики;

Пг(г0„и) = 1/У П.2г(г0) + + П02(г0)+...-

левые пограничные ряды (г0 = х/);

= + МХГ1 )+•••»

1Ь(т, = адт,) + )+...-

правые пограничные ряды (г, = (х - а)/р).

Требование 4. Значение У-р(0) лежит в области влияния корня П0>> =

ПцУ

уравнения с/П0>/</г0= |,1(.у0(0) +т/ДОт/.

о

Требование 5. Значение У-р(а) принадлежит области влияния корн Я„у = 0 уравнения ст^Ыт^-В^у^ + К^^^А-^у^ + ЯсУ^).

Теорема 1.1. Пусть выполнены требования 1-5. Тогда существует оешение у(х,р) задачи (14) при хе[0,я] такое, что

г(х^) = (х) +1 /У П_г2(г0) + 1///П_,г(г0) + П„г(г0) + Л0>( т,) + ООД Я*, а) = Л М + ПоД-Сго) + К0у{ г,) + ОСи),

>'„ (х) = г0 = х/^3, г, = (х - о)/^.

Доказательство теоремы 1.1 проводится с использованием теоремы йагумо [5].

Замечание. Теорему 1.1 можно обобщить на случай произвольного порядка

1СИМПТОТИКИ.

2. Контрастная структура типа ступеньки. Если уравнение В{у,х) = О шеет три корня (х) < /р7 (х) < <рг (х), причем

Л(д>,(х),х) > 0, Ву(<р, (х),х) > О,

Ву{<р7(х),х)< О,

о может возникнуть контрастная структура типа ступеньки с переходом с ср^х) 1а <рь(х) в некоторой точке х*(р) = х0+ /а,+..., где у(х*,р) = <р1(х*), (0<х*<а), [ричем внутренний слой в точке **(//) будет иметь вид погранслойного ряда ~1у. В этом случае величина х0 определяется из уравнения

Если же в (15) Др, (*),*)< о, Л(^,(х),х)>0, то внутренний погранслой меет вид погранслоя Яу, причем величина х0 определяется из уравнения

А(<р3(х),х) < 0, Вг(<р3{х),х) > О,

(15)

<Р'ЛХ о)-<91,(д;о) = 0-

Заключение. Сформулируем основные научные результаты, получен1 в работе:

1. Метод пограничных функций применен при формальном построе! асимптотических разложений по малому параметру решений типа контраста структур нелинейной сингулярно возмущенной системы, а также сингуля; возмущенного уравнения второго порядка с различными соотношения степеней малых параметров при первой и второй производных.

2. Разработаны и обоснованы алгоритмы равномерных асимптотичеи приближений решений типа контрастных структур следующих задач:

а) нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго поряд содержащего малый параметр /л1 при второй производной и мал параметр р при первой производной, в некритическом и критичесь случаях, а также в случае решения типа всплеска;

б) нелинейной сингулярно возмущенной системы двух уравнег первого порядка в некритическом и критическом случаях.

3. Разработан и обоснован алгоритм построения асимптотичесю разложения по малому параметру погранслойного решения квазшшнейш уравнения второго порядка с малым параметром при первой производно) с малым параметром ¡лг при второй производной.

4. Разработанная методика продемонстрирована на конкретных пример

ЛИТЕРАТУРА.

1. Бутузов В. Ф., Васильева А. Б., Нефедов Н. Н. Асимптотическая теор контрастных структур (обзор). // Автоматика и телемеханика. 1997. № С. 4-32.

2. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

3. Васильева А. Б. О контрастных структурах типа ступеньки для системы сингулярно возмущенных уравнений. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. № 10. С. 1401-1411.

4. Васильева А. Б. Контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного и квазилинейного уравнения второго порядка. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. № 4. С. 520-531.

5. Nagumo М. Uber die Differentialgleichung / = f{x,y,y'). // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1937. V. 19. P. 861-866.

6. Нефедов H. H., Луценко А. Б. О периодических решениях параболического уравнения .в случае смены устойчивости // Труды шестых мат. чтений МГСУ. 25-30 января. 1998. Тез. докл.- Москва-1999. С. 23-28.

7. ХенриД. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. -М.: Мир, 1985.

8. ЯркинА. Н. Явление внутреннего пограничного слоя в сингулярно возмущенных системах условно устойчивого типа. // Дифф. уравнения. Т. 12. № 12. 1976. С. 1727 - 1728.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Васильева А. Б., Давыдова М. А. О контрастной структуре типа ступеньки для одного класса нелинейных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 6. С. 938-947. Васильева А. Б., Давыдова М. А. О контрастной структуре типа ступеньки для сингулярно возмущенных уравнений второго порядка. // Конференция, посвященная 90 - летию со дня рождения академика А. Н. Тихонова. 2-6 июня. 1996. Тез. докл. - Обнинск- 1996. С. 20.

3. Васильева А. Б., Давыдова М. А. О контрастной структуре типа ступен для уравнения второго порядка с малыми параметрами при первой и вто] производных. // Труды пятых мат. чтений МГСУ. 26-31 января. 1997. 1 докл. - Москва - 1997. С. 59-62.

4. Васильева А. Б., Давыдова М. А. Сингулярно возмущенное уравне! второго порядка с малыми параметрами при первой и второй производш II Ж. вычисл. матем. и матим. физ. 1999. Т. 39. № 9. С. 504-512.

5. Давыдова М. А. Решение типа всплеска и критический случай ступеньки I сингулярно возмущенного уравнения второго порядка. // Ж. вычисл. мат« и матем. физ. 1999. Т. 39. № 8. С. 1305-1316.

6. Давыдова М. А. Решение типа всплеска и критический случай ступеньки д уравнения второго порядка с малыми параметрами при первой и втор> производных. // Труды шестых мат. чтений МГСУ. 25-30 января. 1998. Т< докл. - Москва - 1999. С. 6-9.

7. Давыдова М. А. Сингулярно возмущенное уравнение второго порядка малыми параметрами при первой и второй производных. // Труды седьмь мат. чтений МГСУ. 28 января- 3 февраля. 1999. Тез. докл. - Москва-2000. ( 17-20.

В. Давыдова М. А. О контрастных структурах для системы сингулярг возмущенных уравнений в некритическом случае. // Ж. вычисл. матем. матем. физ. 2000 (принято к печати).

9. Давыдова М. А. О контрастных структурах для системы сингулярн возмущенных уравнений в критическом случае. // Ж. вычисл. матем. матем. физ. 2000 (принято к печати).

Ю.Никитин А. Г., Давыдова М. А. Устойчивость контрастной структуры тип ступеньки в случае слабой зависимости правой части от перво) производной. // Труды пятых мат. чтений МГСУ. 26-31 января. 1997. Тез докл.-Москва - 1997. С. 50-54.

Введение.

Глава 1. Нелинейное сингулярно возмущенное уравнение второго порядка.

§ 1. Контрастная структура типа ступеньки.

§2. Контрастная структура типа всплеска.

§3. Контрастная структура типа ступеньки в критическом случае. Приложение 1.

Глава 2. Нелинейная система сингулярно возмущенных уравнений первого порядка.

§ 1. Контрастные структуры в системе сингулярно возмущенных уравнений в некритическом случае.

§2. Контрастные структуры в системе сингулярно возмущенных уравнений в критическом случае. Приложение 2.

Глава 3. Квазилинейное сингулярно возмущенное уравнение второго порядка.

§ 1. Существование погранслойного решения.

§2. Контрастная структура типа ступеньки. Приложение 3.

В последнее время, в связи с потребностями некоторых прикладных областей (химическая кинетика, теория полупроводников, нелинейная оптика, математическая биофизика и т. д.), возрос интерес к изучению нелинейных систем дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при старших производных (сингулярно возмущенные системы). В общем случае нелинейность системы затрудняет точное решение задачи и выражение решения через известные функции или квадратуры от них. Однако, благодаря наличию малых параметров, удается применить асимптотические методы при изучении ряда задач. Так, используя метод пограничных функций [4], во многих случаях можно построить асимптотику погранслойных решений и доказать существование этих решений.

В основе метода пограничных функций лежит идея о построении асимптотического разложения решения сингулярно возмущенной задачи по малому параметру, близкого к решению вырожденной задачи во внутренних точках области и удовлетворяющего граничным условиям за счет введения в асимптотику, так называемых, пограничных функций, которые экспоненциально малы внутри области. Благодаря своей простоте метод является весьма эффективным в отношении исследования широкого класса задач, начиная с простейших задач для обыкновенных дифференциальных уравнений [1] и заканчивая весьма сложными задачами для уравнений в частных производных [22]. Более того, этот метод применим для изучения особого класса решений - контрастных структур [1,2].

Контрастной структурой называется такое решение сингулярно возмущенной краевой задачи, которое помимо пограничных слоев, локализованных в окрестности границы, обладает внутренним слоем, локализованным в окрестности одной из внутренних точек области. Ряд результатов по теории контрастных структур получен в [2, 6, 7, 22, 26].

Предметом изучения в настоящей диссертации явились контрастные структуры, возникающие в системе двух нелинейных сингулярно возмущенных уравнении первого порядка, а также в нелинейных уравнениях второго порядка, содержащих малые параметры при первой и второй производных.

Перечислим основные цели работы.

1. Применение метода пограничных функций для построения формальной асимптотики решений в виде контрастных структур в случае: а) сингулярно возмущенного нелинейного уравнения второго порядка, содержащего малый параметр // при первой производной и малый параметр ц2 при второй производной (некритический и критический случаи, а также случай решения типа всплеска); б) системы двух нелинейных сингулярно возмущенных уравнений первого порядка (некритический и критический случаи); в) квазилинейного уравнения второго порядка с малым параметром /и2 при второй производной и малым параметромл[/и при первой производной.

2. Выявление зависимости типа контрастной структуры от особенностей системы и демонстрация этой зависимости на конкретных примерах.

3. Доказательство существования решений и оценка остаточных членов асимптотик.

Диссертация содержит три главы.

Рассмотрим задачу а2у" = Г(м>',у,х), 0 < х < 1, у(а,е,м) = у°, у{Ъ,£,/и)=у

0) где £ > 0, // > 0 - малые параметры.

Если ¡и = 0, то для такой задачи известно асимптотическое разложение по параметру £ как для решения, не имеющего внутренний переходной слой, так и для решения имеющего внутренний переходной слой (контрастная структура) (см. [1], [2]).

В первой главе исследуется задача (1) при ¡л = е, у" = У = 0: иг' = Р(г,у,х), /иу' = г, а<х<Ъ,

1а) у(а,/л) = 0, уф,ц) = 0.

В этом случае также можно построить асимптотическое разложение решения типа контрастной структуры по малому параметру ¡л : (г) + Лй*Ал (Г) + П02П (т6) + + //П^" (г,) +. + (х) + /¿ИП„2Л (та) + МП<2УД (Г) + /|"П пги(ть) + 0(М"+1),

2) х, //) = (х) + Мл'п (х) + П0^л(го) + /^П^л (та) + во УАЛ (О + (?) + П0^П (*ь) + МП]Уп(ть) + . + м"у^П(х) + М"ПпуА(га) + М"дУ'п(т) + + Мпипуп(т/,) + 0(м"%

Разложения (2) содержат регулярную часть, пограничные функции по переменным та =(х-а)/л~\ ть=(х-Ь)/и~' и функции внутреннего слоя по переменной т = (х-х*)/Г', локализованного в окрестности некоторой точки х*е(а,Ь) (индексы Л,П означают, что решение рассматривается слева от точки х* или справа от нее). Члены этих разложений могут быть получены согласно некоторому модифицированному, по сравнению со случаем /и-0, алгоритму. Построение решения типа контрастной структуры, например "ступеньки", приводит в этом случае к некоторым трудностям, так как внутренний переходной слой описывается уравнением

2у/с1т2 = Р{(1у/(1т,у,х()), где г - некоторая независимая переменная, х0 - нулевой член в разложении по малому параметру для точки перехода. Полученное уравнение не интегрируется в квадратурах, в отличие от случая /.1 = 0. Однако, это не мешает построению асимптотики, не отличающейся по типу от случая ¡л = 0, и лишь определенным образом модифицированной.

В §1 рассматривается контрастная структура типа ступеньки для задачи (1а). Исследование этой задачи непосредственно связано с исследованием соответствующей присоединенной системы сЕ!йг = Р(г,у,х), (Иу/йт^г, (3) где х- фиксировано.

Пусть вырожденное уравнение Р(0,у,х) = 0 имеет три корня у = (р,{х), = 1,2,3, таких, что <рх (х) < <рг (х) < <рг (х) и Гу(<р1)>0 при / = 1,3, ^ (ср2) < 0.

Тогда на фазовой плоскости (у,г) системы (3) существуют два седла

М^{(рх{х),0) и М2Оз(х),0).

Пусть при некотором значении х = х0 седла соединены сепаратрисой.

Заметим, что именно этот обстоятельство отражает сущность некритического случая.

Тогда, при определенных допущениях, удается построить асимптотику решения, обладающего свойством и доказать его существование, используя процедуру сшивания. При этом для точки сшивания х * справедливо асимптотическое разложение

И ту(х,/и) =

Ру(х), а<х<х*, <р3(х), х*<х<Ь, х *(//) = х0 + /£С, +. + цпхп + 0(/лш).

4)

Определение х0 в формуле (4) осуществляется при построении асимптотики решения нулевого порядка, что является характерной чертой некритического случая.

Рассматриваемая контрастная структура является стационарным решением (будем его обозначать у(х,/л)) следующей параболической задачи

-(¡у/Ж + ¡и2 с12у/сЬс2 — Р{/лс1у1сЬс,у,х), а<х<Ь, ¿>0, у{а,ц, 0 = уф,/л, 0 = 0, у(х$,ц) = у°(х,м).

Поэтому, в случае достаточной близости решения у(х,/л) к начальной функции у°(х,/л), возникает вопрос об устойчивости решения у(х,/л) в смысле устойчивости по Ляпунову. Исследование этого вопроса связано с изучением задачи Штурма - Лиувилля (см. [25])

Г с/2д/йЬс2 = с!у/с1х,у,х)]ис1А/с1х + Р (/лс1у/с1х,у,х)А + ЛА,

А(а,/л) = А(Ь,м) = 0.

Асимптотическая устойчивость будет иметь место, если в (5) < 0 для любого г = 0,1,2.

Используя метод пограничных функций, удается построить асимптотику наибольшего собственного значения задачи (5) и тем самым определить условие устойчивости.

В §2 исследуется случай, когда на фазовой плоскости (у,г) присоединенной системы (3) существуют, по крайней мере, одна точка покоя типа седла /V/,(ср](х),х) и одна точка покоя типа центра 01{(р2{х),х), причем функции у = <рх (х), у-(рг (х) являются решениями вырожденного уравнения ^(О^х) = 0. При этом имеет место петля сепаратрисы, то есть сепаратриса, выходящая из седла А/,(</>,(х),х)огибает центр О,((р2(х),х) и возвращается в седло.

Тогда, при определенных условиях, удается доказать существование решения типа всплеска с асимптотикой (2). Для точки всплеска, определяемой условием у\х*,/л)- 0, справедливо представление (4), где х0 определяется при построении асимптотики решения первого порядка.

В §3 рассматривается решение типа ступеньки в критическом случае, что соответствует ситуации, когда при любом значении параметра х седла Мх{д>х(х),0) и М2(<£>3(х),0) на фазовой плоскости системы (3) соединены сепаратрисой. В этом случае асимптотическое разложение решения по параметру ¡л также представимо в виде (2), причем определение х0 в разложении (4) осуществляется не на нулевом шаге.

Отметим, что с практической точки зрения исследование задачи (1) может оказаться полезным при рассмотрении математической модели, описывающей процесс быстрой химической реакции двух веществ с разными концентрациями и разной скоростью изменения концентраций. При определенных условиях соответствующая стационарная модель вырождается в задачу типа (1).

Вторая глава посвящена обобщению результатов, полученных в первой главе для систем вида ¡л ск/с1х = Р{2, у, х), //¿/уД/х = 2 на следующий случай лйг/сЫ = Р(г,у,х), /ис1у/с1х = 0(г,у,х), а<х<Ъ. (6)

Будем рассматривать однородные граничные условия первого рода у(а,ц) = 0, у(Ь,м) = 0. (6а)

В §1 исследуются контрастные структуры для системы (6) в некритическом случае.

Явление внутреннего переходного слоя в сингулярно возмущенных системах типа (6) в некритическом случае изучалось в работе [26] и далее в работе [6]. В результате был разработан формальный алгоритм построения асимптотики и доказано существование решения с внутренним переходным слоем. В частности, в работе [6] рассматривалась контрастная структура типа ступенька - ступенька (по 2 - компоненте и по у - компоненте реализуются контрастные структуры типа ступеньки).

В настоящем параграфе показано, что система (6) может иметь решения в виде контрастных структур других типов (всплеск - ступенька, контрастные структуры смешанного типа), причем тип контрастной структуры зависит от фазового портрета присоединенной системы

Е/(1т = (Ну/(1т = С(г,у,х), (7) где х - фиксировано, т - некоторая независимая переменная.

Асимптотическое разложение решения типа контрастной структуры ищется в виде (2) (¿и = е) . Замечательным является тот факт, что независимо от типа контрастной структуры, формальные построения асимптотики и обоснование построений одни и те же.

Посредством процедуры сшивания доказывается асимптотическая формула (4) для точки сшивания {/л = £), причем х0 определяется при построении асимптотики нулевого порядка, так как случай является некритическим.

В §2 рассматривается вопрос о существовании контрастных структур для системы (6) в критическом случае. Под критическим случаем будем понимать каждую из следующих двух ситуаций для системы (6):

1) на фазовой плоскости (у,г) присоединенной системы (7) при каждом фиксированном х существуют хотя бы две особые точки типа седла Мх{(рх{х),щх{х)), М2{(р2{х),у/2{х)), где (ср,(х),у/1 (х))- два изолированных на а,Ь\ решения вырожденной системы Р(г,у,х) = О, 0(г,у,х) = О, причем для любого х = х е [а,Ь] существует сепаратриса, соединяющая седла Мх и М2;

2) на фазовой плоскости (у,г) при фиксированном х существуют хотя бы одна особая точка типа седла Мх{^>х{х),у/х{х)) и одна особая точка типа центра Ох(ср2(х),у/2(х)), где (<р,(х),^л(х)) - два изолированных на [а,Ь\ решения вырожденной системы F(z,^',x) = 0, 0(г,у,х) = 0, / = 1,2 , причем имеет место петля сепаратрисы.

Несмотря на то, что фазовый портрет в пункте 2) существенно отличается от фазового портрета в пункте 1), при определенных условиях алгоритмы построения асимптотик и обоснования этих построений, за исключением небольших поправок, совпадают. Общим для этих случаев является то, что определение нулевого члена х0 в разложении точки сшивания х * по степеням £ осуществляется не на нулевом шаге. Более того, в отличие от традиционного подхода, когда в случае фазового портрета из пункта 2) точка х* задавалась условием Неймана у'(х*,е) = 0, в данном случае более разумным является задание х* с помощью условия Дирихле так же, как в случае из пункта 1). Эти причины позволили объединить рассмотрение случаев 1)и2).

Асимптотическое разложение решения по параметру £ представимо в виде (2), причем для точки сшивания х* справедливо асимптотическое разложение (4) {/и = £).

Как и в некритическом случае, в критическом случае удается показать, что тип контрастной структуры зависит от поведения сепаратрис на фазовой плоскости (у, 2"). Эта закономерность иллюстрируется на конкретных примерах.

В частности, системы вида (6) могут найти свое применение в математической биофизике, изучающей взаимодействие популяций.

Простейшая модель, описывающая динамику численности (плотности) двух популяций, взаимодействующих по принципу хищник - жертва, была предложена независимо А. Лотка [20] и В. Вольтерра [13]. Неавтономная модель Лотка - Вольтерра в случае быстрого изменения численности популяций имеет вид х = а(1)х - Ь(1)ху, £у = -с(()у + (¿({)ху, (6а) где х и у - плотности популяций жертвы и хищника соответственно, а(1) -скорость размножения популяции жертвы в отсутствии хищника, Ь(1) -удельная скорость потребления популяцией хищника популяции жертвы при единичной плотности обеих популяций, с(^) - естественная смертность хищника, й? (0/6(0 - коэффициент переработки потребленной хищником биомассы жертвы в собственную биомассу.

Обобщенный вариант модели (6а) учитывает не только внутривидовую борьбу, но и отдельные биологические факторы (конкуренцию хищника за жертву и за отличные от жертвы ресурсы, нелинейный характер выедания хищником жертвы при малых плотностях популяции жертвы и т. д.): а-= ) + >',/), су = -('(>»,/) + 0(х,)М). (66)

Поэтому кроме колебаний численности популяций, которые характерны для модели (6а), данная модель может описывать резкое изменение численности под воздействием внешних или внутренних факторов, что будет соответствовать наличию у системы (66) решения типа контрастной структуры.

В третьей главе вновь рассматривается система (1), но уже при другом соотношении параметров.

Пусть ¡л = 4е , то есть влияние первой производной еще более усилено. Здесь ситуация меняется коренным образом. Для того, чтобы не употреблять 4е , перепишем задачу (1), введя параметр //: л"у" = F(/^y',^,x), а < х <Ь, у(а,/л) = у°, у(Ь,/л) = у.

Рассмотрим следующий пример, на котором можно выяснить характерные черты этой задачи и4 у" = а/лу' + Ъу + с, а<х<Ь, у(а,/л) = у\ уф,/л) = у\ где а, Ь, с - константы.

Так как коэффициенты постоянны, то, пользуясь приближенным выражением для корней характеристического уравнения, можно выписать приближенное решение задачи (9), а именно: если а < О, Ь > 0, то у = (у° +с/Ь)ехр(а(х-а)///3) + (У + с/Ь)ехр(-Ь (х - Ь)//ла) - с/Ь ; если а > О, Ъ > О, то у = (у° + с/б)ехр(-&(х-а)///«) + (У + с/Ь)ехр(а (х-Ь)//иъ)-с/Ь .

В случаях Ъ < 0 решение не имеет предела при /л —> 0 (не выполнено условие регулярности вырождения).

Пример показывает, что в окрестности одной из границ (Иу/сЬс имеет порядок \//лъ, то есть г = ¡иу' имеет порядок 1///2 и погранслой в асимптотике г должен начинаться с члена порядка \//л2 .

Метод пограничных функций, вообще говоря, неприменим в случае, когда ^ = Р{г,у,х). Это связано с тем, что переменная 2 может принимать бесконечно большие значения (см. [12]). Поэтому в данной работе исследования ограничиваются случаем, когда функция ^ линейна относительно г.

В §1 исследуется вопрос о существовании погранслойных решений в системах вида:

Л' = А(у,х)г + В{у,х), !лу' = 2, 0 <х<а, у(0,М) = у°, у(а,/л) = у\

В соответствии с анализом системы (9), асимптотика погранслойного решения задачи (10) ищется в виде

П2г(г0) +1/ /¿П,г(г0) + та) +

10а) у(х, /л) = у0 (х) + ш (х) + П0у(г0) + ^пху(тй) + Я0у(та) + + Жу(та) + . + мяУп (*) + пАч) + М"*„У(та) + 0{/лп+х).

Разложения (10а) содержат регулярную часть и пограничные функции по переменным г0 = х///3 и та=(х-а)//и. Обоснование соответствующих построений проводится с использованием теоремы Нагумо [21].

В §2 обсуждается принципиальная возможность возникновения контрастных структур в системе (10), без рассмотрения детального доказательства их существования.

Заметим, что линейность ^ по г сближает задачу (8) с задачей (1) при // = 1, которая рассмотрена в [7].

Результаты работы докладывались на Международной конференции посвященной 90 - летию со дня рождения академика А. Н. Тихонова "Теория и приложения методов малого параметра" (Обнинск, 1996), на ежегодных математических чтениях МГСУ "Математические методы и приложения" (Нахабино, 1997), (Руза, 1998), (Руза, 1999), на Ломоносовских чтениях в МГУ (Москва, 2000), а также неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры математики физического факультета МГУ.

По материалам диссертации опубликовано 10 работ [8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 18,24].

В тексте диссертации принята двойная нумерация формул внутри каждой главы. При этом ссылки на формулы даются внутри данной главы. Ссылки на формулы из других глав оговариваются особо. В конце каждой главы прилагаются рисунки к этой главе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Сформулируем основные научные результаты, полученные в работе:

1. Метод пограничных функций применен при формальном построении асимптотических разложений по малому параметру решений типа контрастных структур нелинейной сингулярно возмущенной системы, а также сингулярно возмущенного уравнения второго порядка с различными соотношениями степеней малых параметров при первой и второй производных.

2. Разработаны и обоснованы алгоритмы равномерных асимптотических приближений решений типа контрастных структур следующих задач: а) нелинейного сингулярно возмущенного уравнения второго порядка, содержащего малый параметр ¡л1 при второй производной и малый параметр /л при первой производной, в некритическом и критическом случаях, а также в случае решения типа всплеска; б) нелинейной сингулярно возмущенной системы двух уравнений первого порядка в некритическом и критическом случаях.

3. Разработан и обоснован алгоритм построения асимптотического разложения по малому параметру погранслойного решения квазилинейного уравнения второго порядка с малым параметром при первой производной и с малым параметром /г при второй производной.

4. Проведен качественный анализ результатов с использованием конкретных примеров.

Автор выражает искреннюю признательность профессору А. Б. Васильевой за оказанную помощь в написании диссертации, постоянное внимание к работе и моральную поддержку.

1. Бутузов В. Ф., Васильева А. Б., Нефедов Н. Н. Асимптотическая теория контрастных структур (обзор). // Автоматика и телемеханика. 1997. № 7. С. 4-32.

2. Бутузов В. Ф., Васильева А. Б., Нефедов Н. Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах. // Фундаментальная и прикл. матем. 1998. Т. 4. № 3. С. 799-851.

3. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М. : Высш. школа, 1990.

4. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

5. Васильева А. Б. Об устойчивости контрастных структур.// Матем. моделирование. 1991. Т.З. №4. С. 114-123.

6. Васильева А. Б. О контрастных структурах типа ступеньки для системы сингулярно возмущенных уравнений. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. № 10. С. 1401-1411.

7. Васильева А. Б. Контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного и квазилинейного уравнения второго порядка. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. № 4. С. 520-531.

8. Васильева А. Б., Давыдова М. А. О контрастной структуре типа ступеньки для одного класса нелинейных сингулярно возмущенных уравнений второго порядка. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38. № 6. С. 938-947.

9. Васильева А. Б., Давыдова М. А. О контрастной структуре типа ступеньки для уравнения второго порядка с малыми параметрами при первой и второй производных. // Труды пятых мат. чтений МГСУ. 26-31 января. 1997. Тез. докл. Москва - 1997. С. 59-62.

10. Васильева А. Б., Давыдова М. А. Сингулярно возмущенное уравнение второго порядка с малыми параметрами при первой и второй производных. // Ж. вычисл. матем. и матим. физ. 1999. Т. 39. № 9. С. 504-512.

11. Вишик М. И., Люстерник Л. А. О начальном скачке для нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. . // ДАН. 132, №6. 1960. С. 1242-1245.

12. Volterra V. Leco'ns sur la the'orie mathematique de lutte pour la vie. P: Gauthiers Villars, 1931.

13. Давыдова M. А. Решение типа всплеска и критический случай ступеньки для сингулярно возмущенного уравнения второго порядка. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 8. С. 1305-1316.

14. П.Давыдова М. А. О контрастных структурах для системы сингулярно возмущенных уравнений в некритическом случае. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000 (принято к печати).

15. Давыдова М. А. О контрастных структурах для системы сингулярно возмущенных уравнений в критическом случае. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000 (принято к печати).

16. Лобачевский Н. И. Полное собрание сочинений. Т. 3. 1951. С. 225 (103а).

17. Lotka А. J. Elements of physical biology. Baltimore: Williams and Wilkins, 1925. P. 460.21 .Nagumo M. Uber die Differentialgleichung y" = f(x,y,y'). II Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1937. V. 19. P. 861-866.

18. Нефедов H. H., Луценко А. Б. О периодических решениях параболического уравнения в случае смены устойчивости // Труды шестых мат. чтений МГСУ. 25-30 января. 1998. Тез. докл.- Москва-1999. С. 23-28.

19. Никитин А. Г. Неустойчивость контрастных пространственных структур типа всплеска в системе реакции диффузии. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32. №3. С. 443 -451.

20. Никитин А. Г., Давыдова М. А. Устойчивость контрастной структуры типа ступеньки в случае слабой зависимости правой части от первой производной. // Труды пятых мат. чтений МГСУ. 26-31 января. 1997. Тез. докл. Москва - 1997. С. 50 -54.

21. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений М.: Мир, 1985.

22. Яркин А. Н. Явление внутреннего пограничного слоя в сингулярно возмущенных системах условно устойчивого типа. // Дифф. уравнения. Т. 12. № 12. 1976. С. 1727- 1728.