Асимптотическая устойчивость, локальная единственность и формирование контрастных структур в нелинейных сингулярно возмущенных задачах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

УДК 517.956

НЕДЕЛЬКО Илья Витальевич

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ, ЛОКАЛЬНАЯ ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ФОРМИРОВАНИЕ КОНТРАСТНЫХ СТРУКТУР В НЕЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧАХ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва — 2005

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Бутузов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Галкин,

академик РАН A.M. Ильин,

доктор физико-математических наук, профессор Е.В. Радкевич

Ведущая организация:

Институт прикладной математики РАН им. М.В. Келдыша

на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу:

119992, г. Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Защита диссертации состоится

2005 г. в час.

мин.

Учёный секретарь диссертационного совета профессор

Е.В. Захаров

///¿у

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

В теории сингулярных возмущений одно из центральных мест принадлежит нелинейным эллиптическим краевым задачам с малыми параметрами при старших производных, рассматриваемым в ограниченной области. Такие задачи возникают в химической кинетике, биофизике, популяционной генетике, теории фазовых переходов. В последние годы исследования сконцентрированы в основном вокруг решений с внутренними слоями, которые принято называть контрастными структурами.

С точки зрения приложений наибольший интерес представляют контрастные структуры типа ступеньки (КСТС). Контрастная структура типа ступеньки характеризуется наличием внутренних переходных слоев (в двумерном случае это - малые окрестности некоторых замкнутых кривых, лежащих внутри области определения КСТС), в которых происходят резкие переходы решения из окрестности одного корня вырожденного уравнения (т. е. уравнения, которое получается из исходного при обращении малого параметра в нуль) в окрестность другого корня. Могут существовать также контрастные структуры типа всплеска (КСТВ), которыми принято называть решения, имеющие внутренние слои (целиком лежащие в области определения КСТВ), где решение быстро удаляется от корня вырожденного уравнения и сразу вслед за этим возвращается к этому же корню.

Впервые существование контрастных структур в рассматриваемых задачах для одномерного случая было доказано в работах A.B. Васильевой и В.Ф. Кутузова [1-4]. Результат по существованию двумерных контрастных структур типа ступеньки принадлежит П. Файфу (P. Fife) и,У. Гринли (W. Greenlee) [5].

Асимптотическое разложение контрастной структуры по малому параметру можно построить на основе метода пограничных функций [1]. Для одномерных задач это сделано в [1-4,6] и ряде других работ, для некоторых двумерных задач — в [6,7]. Обширная библиография содержится в [6].

В работах H.H. Нефедова [7,8] предложен эффективный метод доказательства существования контрастных структур и оценки остаточных членов асимптотических разложений — так называемый асимптотический метод дифференциальных неравенств. Суть его состоит в том, что верхнее и нижнее решения конструируются путем модификации формальной асимптотики. Следует отметить, что из существования верхнего и нижнего решений вытекает существование, но не вытекает единственности (даже локальной) решения исходной

WC. НАЦИОНАЛЬНАЯ ]

БИБЛИОТЕКА I

задачи.

Важным вопросом как с теоретической, так и с прикладной точки зрения, является вопрос об устойчивости контрастных структур как стационарных решений соответствующих параболических задач (в смысле Ляпунова).

Для одномерных задач с краевыми условиями Неймана этот вопрос был решен в работах А.Б. Васильевой [9,11], В.Ф. Бутузова [10], S. Angenent [12], J. Hale [13] и др. В частности было показано, что одномерные КСТС могут быть как устойчивыми так и неустойчивыми, а одномерные КСТВ всегда неустойчивы.

Методы, использованные в [9-13] не удается применить для многомерных задач.

Таким образом, вопросы о достаточных условиях локальной единственности и устойчивости двумерных контрастных структур типа ступеньки оставались открытыми.

Одной из основных и наиболее сложных в теории контрастных структур является проблема их формирования, т.е. вопрос о том, из каких начальных функций в параболических задачах формируются (в финале) такие решения или, по крайней мере, асимптотически не отличимые от них (т.е. обладающие теми же предельными свойствами при стремлении малого параметра к нулю) нестационарные КСТС, а из каких начальных функций подобного формирования не происходит.

Речь прежде всего идет о нахождении областей влияния КСТС в случаях, когда эти решения асимптотически устойчивы. Отметим, что в работе используется термин "глобальная область влияния", отражающий тот факт, что рассматриваемые задачи содержат малый параметр. Под глобальной областью влияния асимптотически устойчивого решения понимается множество всех футе- » ций, каждая из которых, при достаточно малых значениях параметра принадлежит области влияния данного решения.

Определенные результаты по глобальной области влияния одномерной КСТС для некоторого частного случая были получены в работе P. Fife [14]. Но даже для рассмотренного частного случая не было ясности, насколько условия, обеспечивающие в [14] принадлежность начальной функции глобальной области влияния КСТС, близки к необходимым (более того, как следует из результатов нашей работы, указапные условия далеки от необходимых и поэтому позволяют найти лишь сравнительно небольшую часть глобальной области влияния

КСТС).

Таким образом, вопрос о том, каковы глобальные области влияния асимптотически устойчивых КСТС оставался открытым даже для одномерного случая.

Наряду с КСТС, имеющими внутрепние переходные слои в окрестностях некоторых замкнутых кривых (кривых переходного слоя), целиком лежащих внутри области определения КСТС, в двумерном случае могут существовать аналогичные решения, у которых кривые переходного слоя имеют общие точки с границей области (при этом указанные кривые могут быть незамкнутыми). Будем называть такие решения КСТС с внутренними слоями, выходящими на гранипу области.

Впервые существование таких решений для задач с краевыми условиями Неймана было установлено в работе М. del Pino [15].

Отметим, что основная трудность при изучении решений этого типа связана с тем, что из-за выхода внутреннего слоя на границу не удается построить формальную асимптотику во всей области (а, следовательно, и соответствующих верхнего и нижнего решений достаточной точности методом из [7,8]). В случае краевых условий Дирихле ситуация сильно усложняется еще и тем, что решение имеет пограничный слой, который накладывается на внутренний слой в окрестностях общих точек кривой переходного слоя и границы области; вопрос существования КСТС с внутренними слоями, выходящими на границу области, для задач с краевыми условиями Дирихле до последнего времени решен не был.

Проблема формирования КСТС с внутренними слоями, выходящими на границу области оставалась неисследованной.

Также неисследованной оставалась проблема формирования КСТС, возникающих в системах, состоящих из двух синхулярно возмущенных (СВ) уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных. Будем называть их также двухкомпонентными КСТС.

Заметим, что алгоритмы построения асимптотики (основанные на методе пограничных функций) и методы доказательства существования двухкомпонент-ных КСТС хорошо разработаны для одномерного случая [16]. В двумерном случае вопрос существования таких решений до последнего времени был открытым.

Цель работы

Исследование всех перечисленных выше проблем и в связи с этим:

• Разработка методов исследования вопросов локальной единственности и

асимптотической устойчивости контрастных структур в двумерном случае.

• Разработка методов, позволяющих исследовать проблемы формирования контрастных структур.

Научная новизна работы

Все основные результаты работы являются новыми.

Практическая ценность работы

Работа носит теоретический характер, ее результаты могут быть использованы как для дальнейших исследований проблем асимптотической устойчивости, локальной единственности и формирования решений нелинейных сингулярно возмущенных задач, так и для решения прикладных задач теории сингулярных возмущений из различных естественно-научных областей: химической кинетики, теории фазовых переходов, популяционной генетики и др.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре МГУ по малому параметру (руководители: профессора А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов), на семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ (руководители: академик В.А. Ильин, академик Е.И. Моисеев, профессор А.А. Дезин), на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском университете (руководители: профессора В.А. Кондратьев, В.М. Миллионщиков, Н.Х. Розов), на научных семинарах факультета ВМиК (руководитель: профессор И.А. Шишмарев), механико-математического факультета (руководители: профессора В.А. Кондратьев, Е.В. Радкевич) и кафедры математики физического факультета МГУ, на совместных заседаниях семинара им. И.Г. Петровского и Московского математического общества (Москва, 1998), на международной конференции "Математическая физика, математическое моделирование и приближенные методы", посвященной памяти академика А.Н. Тихонова (Обнинск, 2000), на международной конференции "Differential Equations and Related Topics", посвященной 100-летию со дня рождения И.Г. Петровского (Москва, 2001), на Тихоновских чтениях (Москва, 2001), на Ломоносовских чтениях (Москва, 2001 и 2004), на пятом международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002), на шестых (1998), седьмых (1999), восьмых (2000), девятых (2001), десятых (2002) и одинадцатых (2003) математических чтениях МГСУ.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 23 работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ используются только результаты, полученные автором.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, двух частей, разбитых на 10 глав и списка литературы, включающего 62 наименования. Общий объем текста — 333 страницы.

Содержание работы.

ВВЕДЕНИЕ. Во введении кратко охарактеризованы актуальность, новизна и основные результаты работы, а также приведено ее краткое содержание. ЧАСТЬ 1. Асимтотическая устойчивость и локальная единственность двумерных контрастных структур .

Глава 1. Теоремы существования для эллиптических и параболических задач. Достаточные условия устойчивости .

Пусть Л) С Я2 — ограниченная односвязная область с границей дЮ с С2+". Здесь и далее через и обозначено некоторое число из интервала (0,1). Пусть

где Д - оператор Лапласа, х = (х\,Х2), число ах > 0, а,(ж) £ С1+"(В), г = 2,3.

В датгой главе доказаны теоремы существования решений нелинейных эллиптических задач вида

= X е Б С Я2, (1)

В,и = д(х), х£дБ, (2)

где /(и, х) — достаточно гладкая функция, д(х) £ С2+1/(сЮ),

(и, если в = 0, х £ дБ, ,и = \ если « = 1, х 6 дБ

(через д^ обозначается производная по направлению внешней нормали к дБ),

и нелинейных параболических задач вида

dv

Lv- — = f(v,x), (x,t) ÇDx (0,+oo), (3)

Bsv = g(x), {x, t) edDx (0, +oo), (4)

v(a;,0) = vo(x), x £ D, (5)

в случаях, когда существуют негладкие на некоторых кривых верхнее и нижнее решения. Эти теоремы являются обобщением известных теорем существования для случая гладких верхнего и нижнего решений.

Приведем определения (негладких) верхнего и нижнего решений задачи (1), (2). С этой целью введем класс функций IV : и(х) € IV, если 1). и(х) € С(Б).

2). Функция и(х) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно всюду в Й, за исключением, может быть, конечного числа гладких замкнутых кривых С,, на которых первые и вторые частные производные функции и(х) испытывают скачок. Каждая кривая С, ограничивает односвязную область (обозначим ее , а через ' обозначим внешнюю по отношению к С, подобласть £>); С, и С3 не имеют общих точек при гф з ■

Далее через (. обозначается предельное значение на С* из области а через ( . — из области Через п, обозначим внешнюю нормаль к

кривой С,.

Определение(1.1). Функцию (3(х) из класса № назовем верхним решением задачи (1),(2), если:

1°. Ь() — /(/?, х) < 0, х е И, причем на кривых С,, фигурирующих в определении класса IV, данное неравенство должно выполняться для предельных значений Ь/З — /(/?, х) с одной и с другой стороны от кривой.

2°. На каждой кривой Сг выполняется неравенство:

\дпг) \дпг/

3°. Вв0>д(х), хедБ.

Аналогичным образом (изменяя знаки неравенств) определим нижнее решение задачи (1),(2).

Регулярным решением задачи (1),(2) будем называть ее решение из пространства СРф), а регулярным решением задачи (3)- (5) — ее решение из х [0, +оо)) П х (0, +оо)).

Введем требование

(А1).Пусть задача (3),(4) имеет стационарное решение й(х) £ С2(б).

Далее будем использовать обозначение: = {и£С2(Й) : В„и(х) —

д(х), х£дИ}.

Введем определения асимптотической (С-С)-устойчивости и области влияния устойчивого решения.

Определение(1.3). Решение й{х) назовем (С-С)-устойчивым стационарным решением задачи (3),(4), если > 0 Зт) > 0 такое, что если ||г>о(а;) — й(а;)||С(д) < г) и , то существует регулярное региение

1>(х, Ь) задачи (3)-(5) и оно удовлетворяет условию:

1°. яир^о ММ) - й(х)Н^ < ^

решение й(х) назовем асимптотически (С С)-устойчивым, если, кроме

того, 3tj0 > 0, такое, что при ||г>о(ж) - û(z)||C(g) < Щ, vq(x)gC2(D), выполнено условие

2°. ||и(ж,г) - й(а;)||С(5) ->■ О при t ->• +00.

Решение, не являющееся (С-С) устойчивым, будем называть неустойчивым решением.

Определение(1.4).Областью влияния асимптотически (С-С)- устойчивого стационарного решения й(х) назовем подмножество функций Vq(x) из Cg(D), для которых задача (3)-(5) имеет регулярное решение, удовлетворяющее условию 2° определения(1.3).

В главе 1 содержится также теорема о достаточных условиях асимптотической (С-С)- устойчивости.

Результаты главы 1 носят вспомогательный характер.

Глава 2. Общие теоремы о существовании, единственности и асимптотической устойчивости решений сингулярно возмущенных краевых задач.

В главе 2 изложен общий метод доказательства асимптотической (С-С)-устойчивости и локальной единственности решений сингулярно возмущенных задач (его главные утверждения — теоремы (2.1) и (2.2)), являющийся одним из основных результатов работы.

В этой главе рассматривается сингулярно возмущенная задача

du ди

Аеи = £2Au + ai(x,E)— + a2{х,е)~--f{u,x,e) = 0, х е D С R2, (6)

ОХ 1 ОХ2

(где е > 0 — малый параметр, Д — оператор Лапласа, аг(х,е) € C1+v(Dx\0,£о]). / G (РЦ х D х [0,£о])> I ~ некоторый интервал, а ео > 0 — некоторое число) с краевыми условиями (2). Пусть выполнено условие:

(В1). Существуют нижнее а(х,е) и верхнее fi(x,é) решения задачи (6),(2), обладающие следующими свойствами:

1°. аир — функции из класса W. Напомним, что согласно определению класса W, функции а и ¡3 непрерывны в D, но могут быть негладкими на некоторых гладких замкнутых кривых Са и Ср, лежащих в области D. Таких кривых может быть несколько. На любой кривой должно выполняться условие на скачок нормальной производной функции а{0).

2°. Для некоторого целого числа к > 0 имеют место равенства

Аеа = е2Шда(х, е) + ра(х, е), х G D, (7)

АеР = -e2k+1q0{x, е) + рц{х, е), х G D, (8)

где qa{x,e) > со > 0, <7/3(2:, с) > со > О (число со не зависит от е), ра(х,е) = 0(е2к+2), рр(х,е) — 0(е2к+2), причем на кривых Са(Ср) равенство (7) (соответственно (8)) выполняется для предельных значений обеих частей равенства с одной и с другой стороны от кривой.

Кроме того, пусть для х € дИ справедливы неравенства:

Ве г<*(*),. = О,

(>д(х), в = О, \ ><?(*), 8 = 1.

В,(3

3/3> а вЙ, ||а — 0\\сф) = 0(ек+1).

Конкретизируем интервал /. Будем предполагать, что существует не зависящее от е число ¿1 > 0 такое, что (а — 81,0 + 5{) £ I. Потребуем выполнения еще одного важного условия. (В2). Для любых двух кривых Са и Ср : Са П Ср — 0. Параболическая задача, соответствующая стационарной задаче (6), (2), имеет вид

ди

Л£г>- —= 0, (®,<)еЯх(0,+оо), (9)

В,у = д(х), (х, (0, +оо), (10)

ф,0) =ио(аг), хеВ. (11)

В (11) для краткости не указана зависимость от е. Теорема(2.1). Пусть выполнены условия (В1),(В2).

Тогда при достаточно малых е существует регулярное решение и(х, е) задачи (6),(2), такое, что:

1). а<и<р,хеВ.

2). и(х, е) — асимптотически (С-С) устойчивое стационарное решение задачи (9), (10) и его область влияния содержит все функции «о из С2(В), удовлетворяющие неравенствам

М М -и(х, е)--в(х, е) < ио(х, е) < и(х, е) Н--в(х, е),

С £

где М > 0 — некоторое число, не зависящее от е, в(х, е) = 0(х,е) — а(х,е).

3). Задача (6),(2) не имеет регулярных решений й(х,е), отличных от и(х, е), удовлетворяющих неравенству

М

\и(х,е) - и(х,е)| < —в(х,е), х е Д 9

т. е. решение и(х,е) — локально единственно. Пусть выполнены условия (В1) и (ВЗ). <ц(х, е) = а2(х, е) = 0, х € 5,

и пусть и(х,е) — решение задачи (6),(2), удовлетворяющее неравенствам а<и</3,х£Б.

Линеаризованный на решении и(х,е) оператор задачи (6),(2) в силу (ВЗ) оказывается формально самосопряженным. Рассмогрим задачу Штурма-Лиувилля для этого линеаризованного оператора:

е2Ают - /и{и(х,е),х,е)гот = цти>т, х е £>, (12)

В,гит = О, ж € сШ. (13)

Теорема(2.2). Пусть выполнены условия (В1),(ВЗ). Тогда при достаточно малых е:

1). Собственные значения /1т задачи (12), (13) для любого т имеют оценку

Ит < -екх,

где х > 0 — некоторое число, не зависящее от е .

2). Существует число с > 0, не зависящее от е и такое, что в шаре

V? = С2д(В) | \\й{х,е) - и(х,е) ||с(5) < ее"}

нет решений задачи (6), (2), отличных от и(х, е). В том числе, между а и 0 нет решений задачи (6), (2), отличных от и(х,е).

3). и(х,е) -- асимптотически (С С)-устойчивое стационарное решение задачи (9), (10).

Глава 3. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность двумерных контрастных структур типа ступеньки.

В этой главе рассматривается задача

ЬЕи - /(и,х,е), хвОсЯ2, (14)

где

(е > 0 малый параметр, Д — оператор Лапласа) с краевыми условиями (2). Предполагается, что граница дЮ, функция д(х) на дБ, функции а\{х), аг(ж) в Й и функция /(и, х, е) в I х Й х [0,ео] ( I — некоторый интервал, £д > 0 — некоторое число) сколь угодно гладкие. Пусть выполнены следующие условия.

(С1). Существуют функции <pt(x), i — 0,1,2, такие что при х £ D: <Pi(x) < ip0{x) < (р2(х), [ipi{x),ipi{x)} е I,

f(Vi{x),x, 0) = 0, г = 0,1,2,

/«М®), х, 0) >0, г = 1,2; fu(ip0(x),x, 0) < О,

и между <pi(x) и <рг(х) нет других корней вырожденного уравнения f(u, х, 0) = О кроме ipo(x)-

vA*)

(С2)'.Пусть уравнение J{x) = 0, где J(x) = J f(u,x,0)du, определяет

VxM

замкнутую гладкую кривую Со, лежащую внутри D и разделяющую D на две подобласти: Z)q+' (внутри кривой Со) и и пусть

dJ „

— < 0, ж € С0,

дщ

где ^ — производная по нормали к Со, направленной внутрь D^K

(Cb) .Если s — 0 ( т.е. если (2) соответствует условию Дирихле), то пусть при х 6 dD выполнены соотношения

t

g(x) С I; J f(u,x,0)du > 0, t е (v>i(a;),,g(x)]. viM

В §2 речь идет о контрастной структуре типа ступеньки и(х,е), обладающей следующим предельным переходом:

limwi,e) = < , „ Af_i (15)

т. е. имеющей один переходный слой (где происходит резкий переход решения между корнями <pi и <¿>2), расположенный в окрестности кривой Со из требования (С2)'. Существование этого решения было доказано П.Файфом и В. Гринли [5]. Изложение в данном параграфе построено по характерной для текущей главы схеме. После формулировки основных требований методом пограничных функций строится формальное асимптотическое приближение Un{x, е) рассматриваемого решения произвольного порядка N > 0 по параметру е. Далее, с использованием идей, развитых в работах H.H. Нефедова [7,8], полученная асимптотика модифицируется для построения верхнего ßx и нижнего решений задачи (14),(2) произвольного порядка точности по е. После этого при

помощи верхнего и нижнего решений доказывается существование семейства регулярных решений задачи (14),(2) в окрестности формальной асимптотики. Эти результаты носят вспомогательный характер. На заключительном этапе путем анализа свойств построенных верхнего и нижнего решений проверяются условия главы 2 и с помощью теорем (2.1),(2.2) обосновывается основной результат, касающийся локальной единственности рассматриваемого решения и его асимптотической (С-С)-устойчивости как стационарного решения задачи

ди

= /(®.®>е), (М) е#х (0,+оо) (16)

с краевыми условиями (10). В данном случае, если взять а(х,е) — а2(а;,е) и /3(х,е) = /32(а;,е), то при достаточно малых е условие (В1) главы 2 будет выполнено для к — 1. Основной результат §2 формулируется следующим образом. Теорема(3.4). Пусть выполнены условия (С1),(С2)',(С5). Тогда существует £1 € (0,£о], такое что при е £ (0,ех] выполнены следующие утверждения:

1). Задача (14), (2) имеет регулярное решение и(х,е), удовлетворяющее (15) и такое, что а2(х,е) < и(х,е) < (х,е), х £ О.

2). Решение и{х,е) асимптотически (С-С)-устойчиво как стационарное решение задачи (16), (10), и его область влияния содержит все функции «о из С^(О), удовлетворяющие неравенствам

М М

и(х,е)--[/?2(х,е) - а2(я,е)] < Уо(х,е) < и(х,е)-\— [Дг(з;,е) - а2(:г,£)], х е О,

е е

где М > 0 некоторое число, не зависящее от е.

3). Задача (14),(2) не имеет регулярных решений й{х,е), отличных от и(х,е), удовлетворяющих неравенству

М

\и(х,е) - и{х,е)\ < — \Ръ(х,е) - а2(х,е)], х е Э.

е

4). Решение и(х,е) удовлетворяет равенству \\и(х,е) — [/дг(ж, е)|| = 0(еЛГ+1) для любого N.

5). Если коэффициенты а\, а2 оператора Ье удовлетворяют условию а\(х) ---а2(ж) = 0, х £ 5, то собственные значения цт линеаризованного на решении и(х,е) оператора задачи (14),(2) (собственные значения задачи (12),(13)) имеют для любого т оценку

Цт < -ея,

где х > О — некоторое число (общее для всех т), не зависящее от е, и задача (14), (2) не имеет регулярных решений, отличных от и(х,е), в шаре

V? = {« £ С2д(В)| ||й(*,е) - «(*,г)||С(/)) < се},

где с > 0 — некоторое число, не зависящее от е.

В §1 аналогичный результат получен для контрастной структуры типа ступеньки в критическом случае, т. е. когда (вместо (С2)') в В выполнено условие .1{х) = 0. При этом для определения кривой Со (в окрестности которой локализован переходный слой) приходится привлекать дополнительные требования, а условие (В1) главы 2 оказывается выполненным для к = 2.

В §3 теоремы, аналогичные основным результатам §§1,2, доказаны для случая, когда корни и <р2 удовлетворяют неравенству <р\ > <^2> т- е- когда во внешней по отношению к кривой перехода области В^ решение и(х, е) близко к большему корню вырожденного уравнения /(и, х, 0) = 0.

В §4 результат, аналогичный теореме(3.4), получен для контрастной структуры типа ступеньки с несколькими переходными слоями.

Глава 4. О неустойчивости двумерных контрастных структур. В этой главе рассматривается задача

е2Ди = /(и, х,е), хбВсЙ2, (17)

(е > 0 — малый параметр, Д — оператор Лапласа) с краевыми условиями (2).

Предполагается, что граница дВ, функция д(х) на дБ и функция /(и,х,е) в I х В х [0, ео] (I - некоторый интервал, £о > 0 — некоторое число) бесконечно гладкие.

В §1 рассмотрен случай, когда выполнены условия (С1),(С5) (из главы 3) и следующее условие.

Ыг)

(П). Пусть уравнение ./(ж) = 0, где .1(х) = £ /(и, х, 0)с1и, определяет

<л(*)

замкнутую гладкую кривую Со, лежащую внутри В и разделяющую П на две подобласти: В^ (внутри кривой Со) и Вд \ и пусть

д.] п

— > 0, х е С0, ощ

где д/дщ —- производная по нормали к Со, направленной внутрь Вд+\

Наложенные условия (в частности — отличие от нуля производной дЗ)дщ во всех точках кривой Со, см. (И)) позволяют построить (методом пограничных

функций [1]) асимптотическое приближение и^(х, £■) произвольного порядка N КСТС и(х,е) с предельным переходом (15).

(Е2). Пусть при достаточно малых е существует решение и(х,е) задачи (17),(2), такое что тах|и(ж,е) - е)| = 0(е1+"), V > 0.

хеб

Отметим, что требование (И) отличается знаком неравенства от аналогичного требования (С2)' теоремы(3.4) (см. главу 3), где в предположении, что д.]/дпц < 0, х € Со, утверждается асимптотическая устойчивость КСТС. В §1 данной главы показано, что при выполнении условия (И) КСТС и(х,е) оказывается неустойчивым стационарным решением задачи

е2Ди- = (ж,<) е И х (0,+оо), (18)

с краевыми условиями (10). Сформулируем основной результат §1.

Теорема(4.1). Пусть выполнены условия (С1 ),(Р1), (С5),(Р2). Тогда КСТС и(х,е) при достаточно малых е является неустойчивым стационарным решением задачи (18), (10).

В §2 рассмотрен случай, когда для задачи (17),(2) может быть построена формальная асимптотика коптрастной структуры типа всплеска (КСТВ). Показано, что если КСТВ существует, то она неустойчива как стационарное решение задачи (18),(10).

Доказательства неустойчивости в данной главе проведены с помощью нового подхода, который основан на построении в малой окрестности асимптотики контрастной структуры неупорядоченных верхнего и нижнего решений задачи (17),(2).

Глава 5. Существование и локальная единственность двухкомпо-нентной контрастной структуры типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра.

Рассмотрим краевую задачу для системы двух эллиптических уравнений

е4Ди = /(и, V, х), е2Д« = д(и,и,х), х = {хих2) € И С Я2, ^ '

ди дп

дь |

ао = *<в)' дп\эо = ^> ^

ди

где е > 0 - малый параметр, Д - оператор Лапласа, — производная по внсш-

дп

ней нормали к х ранице ди области и. Предполагается, что /, р, фх, Ф2 сколь

угодно гладкие функции, Г)-ограниченная односвязная область с бесконечно гладкой границей дБ.

Пусть выполнены следующие требования :

(УН).У равнение /(и, V, х) — 0 имеет решение и = и

*),> о, (у, ж) € / х В,

где I - некоторый интервал.

(Н2).Уравнение к{и,х) = д(<р(у,х),ь,х) = 0 имеет три корня V = <рДж), г = 1,2,3, причём

^(х) < ^2(2;) < Ы^Ф),:») > о,г = 1,3; К{ч>г(х),х) <0, х 6 В, между ц>\ и (рз нет других корней, кроме ц>ъ.

Пусть [ тт1р\{х), тах<^з(г) ] с /, где /-интервал из условия (Н1). хеЬ хеЛ

ч>г(*)

Ввёдем функцию J(x) = J h(v, x)dv.

чч(*)

(ИЗ).Пусть уравнение J(x) = 0 определяет замкнутую гладкую кривую

Со С D, разделяющую D на две подобласти: (внутри кривой Со) и \

dJ п „ * д и пусть —— < и, х € Со, гае —— — производная по внутренней нормали к ОПа ОЩ

Со.

В данной главе при условиях (Н1)-(НЗ) построена (методом пограничных функций [1]) и обоснована асимптотика Un(x,s),Vn(x,£) (N = 0,1,2,...), а также доказана локальная единственность решения u(x,e),v(x,e) задачи (19),(20), удоволетворяющего следующим предельным соотношениям:

\u(x,s) - <p(v(x,e),x)\ = 0(е), х £ D, (21)

(<рг(х),хе

lunv(x,£) = < (22)

Из (22) видно, что по крайней мере и-компонента имеет внутренний переходный слой, поэтому решение и(х, e),v(x, е), согласно терминологии, принятой в [1], является контрастной структурой типа ступеньки (КСТС).

Следующая теорема представляет собой основной результат главы 5.

Теорема(5.4). Пусть выполнены условия (Н1) - (НЗ).

Тогда при достаточно малых е выполнены следующие утверждения:

1. Существует локально единственное решение и(х,е),г?(х,е) задачи (19), (20) (и,и € С2 (В)), удоволетворяющее соотношениям (21), (22).

2. При любом N > 0 функции и^(х,е),У^(х,е), построенные в §1, являются равномерным в области £) асимптотическим приближением решения и(х,е),и(х,е) с точностью порядка 0(ек+1).

В доказательстве теоремы(5.4) существенно используется метод из главы 2. ЧАСТЬ 2. Формирование контрастных структур.

Глава 6. О глобальной области влияния одномерной контрастной структуры типа ступеньки.

В данной главе рассматривается задача

е2ихх -щ = /(и, х, е), (х, Ь) € £> X (0, +оо), (23)

их(а, г, е) = их(Ь, I,е) = 0, г € (О, +оо), (24)

и(х, 0, е) = щ(х, е), х 6 Д (25)

где е > 0 — малый параметр, О = (а, 6). Относительно / предполагается, что выполнено условие

(II). Существуют функции й(х) и й{х) из СР(О), такие, что й(х) < й(х), х £ Т), и в области П = {(и,х) : й(х) <и< й(х), х е 5} функция /{и,х, 0) обращается в ноль только на кривых и = <рг(х), г = 0,1,2, причем

й(х) < ф\{х) < ч>о(х) = 0 < <£>2(я) < й(х), жеб,

/шЫ*).».0)>0, »=1,2; /,Ы®).«.0)<0.

/(и,х,е) — достаточно гладкая функция в области П1 х [0,ео]> — не-

которая открытая область, содержащая Я, а ео > 0 — некоторое число.

Ых)

Введем функцию 3(х) = J /(и, х, 0)йи.

VI (*)

(12). Пусть существует точка х* € Б, такая, что J(x*) ~ 0, -т~{х*) < 0.

ах

Известно [1], что при выполнении условий (II), (12) для достаточно малых е существует стационарное решение ив{х,е) задачи (23), (24), имеющее внутренний переходный слой в точке х — х*, т. е. такое, что

,• / \ /Ы®)» х£[а,х*), . .

1ип«4(а;,е) = < . ; . ' (26)

Согласно терминологии из [1], решение и,(ж,е) является (одномерной) контрастной структурой типа ступеньки (КСТС). Анализ устойчивости одномерных КСТС проведен в работах [9,11,12,13]. Из этих работ следует, что при выполнении условий (II), (12) решение и3(х, е) задачи (23), (24) асимптотически устойчиво.

В данной главе речь идет о глобальной области влияния КСТС и3(х,е). Введем соответствующее определение. С этой целью предположим, что при е £ (0,е'], где е' > 0 — некоторое число, задача (23), (24) имеет стационарное решение ие(х) £ С2(5). Введем множество С(иг) следующим образом: щ{х,е) £ С(гге), если Зе" € (0, е'], такое, что при е £ (0,е"] существует решение и£(х,{) £ С1'аф х [0,+оо)) П С2'1 (В х (0,+оо)) задачи (23) (25) и ||ие(ж,г) - ие(х)\\Сф) 0 при Ь +оо.

Определение(6.2). Множество С(и£) назовем глобальной областью влияния стационарного решения ие(х) задачи (23), (24).

Чтобы сформулировать основной результат главы 6, относящийся к глобальной области влияния КСТС и,(х, е), нам понадобится еще одно требование, касающееся функции ./(ж).

(15).Пусть множество Д) всех точек х, в которых J(x) ~ 0, состоит из конечного числа отрезков и (или) точек.

В дайной главе доказано, что при выполнении условий (II),(12),(15) глобальной области влияния КСТС и,(ж, е) принадлежат все начальные функции, удовлетворяющие следующим двум условиям.

(13). «о(в,е) = щ(х) £ С%ф) = {о(ж) € &ф) : ух(а) = 1»,(Ь) = 0} и й(х) < «о(®) < «(®)> х £ В.

(16). Зж'-' € (а, ж*) и £ (х*,Ь), такие, что

ио(ж'-') <0 и ио(ж) < 0 во всех точках х £ [а, ж*), где J(x) < 0;

«о(ж^+') > 0 и щ(х) > О во всех точках ж £ (ж*, Ь], где ./(ж) > 0.

Сформулируем основной результат данной главы.

Теорема(б.б). Пусть выполнены условия (И) и (12). Тогда при достаточно малых £ существует стационарное решение «„(ж, е) из С?ф) задачи (23), (24), удовлетворяющее предельному равенству (26). При выполнении условия (15) в отношении глобальной области влияния С?(и8) этого решения справедливы следующие утверждения:

1. Функция щ(х,е) = щ(х) принадлежит С(ив), если она удовлетворяет условию (13) и условию (16).

2. щ(х,е) £ G{us), если Bei > О такое, что при е € (О,£i] щ(х,е) £ С^(Б) (см. (13)) и Зйо(х) ийо(х), удовлетворяющие условиям (13), (16) и такие, что йо(ж) < ио(ж,е) < щ(х), x £ D, е £ (0,£i].

В главе б также показано, что условие (16) близко к необходимому.

Подход (развитый в данной главе для исследования поведения решения задачи (23)-(25) на бесконечном промежутке времени), на основе которого доказана теорема(б.б), базируется на методе параметрических барьеров. Суть метода состоит в том, что сначала строятся стационарные верхнее и нижнее решения задачи (23), (24), зависящие от параметра 7, изменяющегося на некотором отрезке [71,72], причём зависимость от 7 в определённом смысле равномерная (и в этом случае верхнее и нижнее решения называются параметрическими барьерами). Затем вводится зависимость 7 от времени (7 = 7(<)) так, что в силу "равномерности" по 7 параметрические барьеры становятся нестационарными верхним и нижним решениями задачи (23), (24). Это обстоятельство позволяет рассматривать параметрические барьеры при каждом 7 как границы, между которыми лежит решение задачи (23)—(25) при всех t, начиная с некоторого

Глава 7. О глобальной области влияния двумерной контрастной структуры типа ступеньки.

Рассмотрим задачу:

где е > О — малый параметр, Д- оператор Лапласа, х — (ж^жг), Б С В?

— ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей сШ, —

ап

— производная по направлению внешней нормали к дБ. Относительно / мы предполагаем, что выполнено условие

(К1). Существуют функции й(х) ий(х) из С2(Б), такие, чтой{х) < й(х), х £ Б, и в области П = {(и, ж) : й(х) < и < й(х), х £ Б} функция /(и, ж, 0) обращается в ноль только на поверхностях и = </>,(ж), г = 0,1,2, причем

Ш-

е2Аи - щ = f(u, х,е), (x,t) £ D х (0, +оо),

(27)

(28) (29)

и(х, 0, е) = щ(х, е), х £ D,

и(х) < tpi(x) < <ро(х) = 0 < <fi(x) < ü(x), х € Б, /и(^,(ж),ж,0) >0, i =1,2; fu(ipo(x),x,0) < 0, ж € D;

/(и,х,е) — достаточно гладкая функция в области Щ х [0, е0], где П1 — некоторая открытая область, содержащая П, а £о > О - некоторое число.

Введем функцию 3{х) — J /(и, х, 0)¿и.

(К2). Пусть существует достаточно гладкая замкнутая кривая Со С О без самопересечений, разделяющая область О на две подобласти: (внутри

дЗ д

Со) и £>1 * и такая, что J(x) - О, -—(ж) <0, х € Со, где -— —

ощ дщ

производная по направлению нормали к Со, направленной внутрь .

Известно [5,7], что при выполнении условий (К1), (К2) для достаточно малых е существует стационарное решение и8(х, е) задачи (27), (28), имеющее внутренний переходный слой в окрестности кривой Со, т. е. такое, что

Согласно терминологии из [1] решение ия(х, е) является (двумерной) контрастной структурой типа ступеньки (КСТС). В силу теоремы(3.4) (из §2 главы 3) при выполнении условий (К1), (К2) КСТС и,{х,е) является асимптотически устойчивым стационарным решением задачи (27), (28).

Как и в соответствующем одномерном случае, рассмотренном в главе 6, в главе 7 речь идет о глобальной области влияния КСТС и„(х, е) (определение глобальной области влияния стационарного решения задачи (27), (28) аналогично определению(6.2) из главы 6). Прежде чем сформулировать основной результат данной главы, введем еще одно требование. С чтой целью выделим в области Г)д+' все (отделенные друг от друга) множества и отдельные точки, если таковые имеются, где J(x) > 0, а в области Г)д ^ и дИ — все (отделенные друг от друга) множества и отдельные точки, если таковые имеются, где

./(ж) < 0. Класс (возможно пустой) указанных элементов обозначим через N. (КЗ). Пусть

1. 7(®) ф 0, х е дП.

2. Если класс N не пуст, то он содержит конечное число элементов, причем любой элемент класса N, не являющийся точкой, представляет из себя либо достаточно гладкую замкнутую кривую без самопересечений либо область с достаточно гладкой границей.

(30)

В главе 7 доказано, что при выполнении условий (К1)-(КЗ) глобальной области влияния КСТС ив(х,е) принадлежат все функции щ(х,е), удовлетворяющие следующим двум условиям:

Сформулируем основной результат данной главы.

Теорема(7.5). Пусть выполнены условия (К1) и (К2). Тогда при достаточно малых е существует стационарное решение иа(х, е) из C2(D) задачи (27), (28), удовлетворяющее предельному равенству (30). При выполнении условия (КЗ) в отношении глобальной области влияния G(us) этого решения справедливы следующие утверждения:

1. Функция ио(х,£) = щ(х) принадлежит G(us), если она удовлетворяет условию (К4) и условию (К5).

2. щ(х,е) £ G(us), если Вех > 0 такое, что при е £ (0,ei] щ(х,£) € С^(Б) (см. (К4)) и Зщ(х) и щ(х), удовлетворяющие условиям (К4), (К5) и такие, что щ(х) < щ(х,£) < щ(х), х G Б, е G (0,ех].

В главе 7 показано также, что условие (К5) близко к необходимому.

Подход (развитый в данной главе для исследования поведения решения задачи (27)-(29) на бесконечном промежутке времени), на основе которого доказана теорема(7.5), базируется на методе параметрических барьеров (суть метода изложена в главе 6).

Глава 8. Существование контрастной структуры типа ступеньки с внутренним слоем, выходящим на границу области.

Рассмотрим задачу

где £ > 0 — малый параметр, Д — оператор Лапласа, х — ж2), Б — ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей дБ. Пусть выполнены следующие условия.

(К4). щ(х,£) = щ(х) £ С%ф) = {*(*) : ®(х) С ; — = 0} и

_ С/7Ъ дТ)

й(х) < ио(х) < й(х), х £ Б.

(К5). ЗхН £ Б^ иЗх^ £ такие, что

Ио(х-Ч) < 0 и щ(х) < 0 во всех точках х £ Б^ ' и дБ, где J{x) < 0; > 0 и щ(х) > 0 во всех точках х £ Б^, где ./(х) > 0.

£2Аи= /(и,Х,£), X £ Б С Я2, и(х, е) = д(х), х £ дБ,

(31)

(32)

(М1). Существует интервал I и число ео > О, такие, что /(и,х,е) — достаточно гладкая функция в области I х б х [О, ео]-

(М2). Вырожденное уравнение /(и,х,0) = О имеет три корня и = (р,(х), г = 0,1,2, таких, что при гбб

(рх{х) < (р0{х) < (р2{х), [ч>1{х),<р2(х)\ С I, /«Ы®),®,0)>0, г — 1,2; ¡и{<р0(х),х,0) < О,

и между <р1 и (ръ нет других корней кроме ¡ро-

Ы*)

Введем функцию ,1(х) = £ /(и, х, 0)йи.

ч>1 (*)

(МЗ). Пусть существует кривая Г С Б, возможно имеющая общие точки г границей дИ области Б и такая, что ./(х) = 0, х 6 Г. Пусть, далее, кривая Г разделяет область О на две подобласти и и пусть суш,ествуют достаточно гладкие замкнутые кривые Сг С 1>(+) и С2 С ограничивающие некоторые односвязные области В\ с и Б2 С О^ соответственно, такие что

7(х)>0, х€1)(+)\А; -/(яр) С 0, 1еГ>н\02.

Введем также требование к функции д(х) из граничного условия (32).

(М4). Пусть функция д(х) — достаточно гладкая и удовлетворяет неравенствам <р1(х) < д(х) < </?2(я), х £ дБ.

В данной главе доказано, что при условиях (М1)-(М4) и достаточно малых е существует решение ия(х, е) задачи (31), (32), удовлетворяющее предельному соотношению

.. Г^1(х), х €£<+>,

ити,(х,£) = < , ; * . (33)

Из (33) следует, что в окрестности кривой Г из условия (МЗ) решение и.,(х, е) имеет внутренний переходный слой, поэтому, следуя терминологии, принятой в [1], такое решение можно отнести к контрастным структурам типа ступеньки

(КСТС).

Как уже отмечалось ранее, впервые существование КСТС в задаче (31), (32) доказано в работе [5], а позднее, более эффективным методом, в [7], причем в [5,7] важную роль играет условие, что кривая, в окрестности которой решение имеет переходный слой (кривая перехода), является гладкой, замкнутой и не имеет общих точек с границей области О. В нашем случае условие (МЗ) позволяет кривой Г иметь общие точки с дП (при этом кривая Г может быть как

замкнутой, так и разомкнутой), и в этом случае внутренний переходный слой решения и3(х, е) выходит на границу дБ области Б.

Сформулируем основной результат главы 8.

Теорема(8.3). Пусть выполнены условия (М1)-(М4).

Тогда при достаточно малых £ существует решение и8(х,е) из С2(5) задачи (31), (32), удовлетворяющее соотногиению (33), причем предельный переход в (33) равномерен на замкнутых множествах из и Б^.

Доказательство теоремы(8.3) построено на том, что ив(х, е) оценивается как решение соответствующей (31), (32) параболической задачи

е2Ди - VI = /(г>, х, е), (ж, г) е В х (0, +оо), г>(х,£,е) = д(х), (х,£) £ дБ х (0,+оо).

При этом используется подход, развитый в главе 7.

Глава 9. Формирование контрастной структуры типа ступеньки с внутренним слоем, выходящим на границу области.

Рассмотрим задачу

е2(Дм - щ) = /(и,х,е), (ж,*) £ Б х (0,+оо), (34)

и(х,Ь, е) = д(х), (ж,<) 6 сШ х (0, +оо), (35)

и(ж,0,е) = щ(х,е), х £ В, (36)

где е > 0 — малый параметр, Д — оператор Лапласа, х — (ж^жг), Б С Я2 — ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей дБ.

Множитель £2 перед щ введен для удобства формулировки результатов. Для любого к, взяв в качестве новой переменной Ь переметшую £*~2£, можно перейти к задаче с множителем перед щ, равным ек.

Пусть выполнены условия (К1) (см. главу 7) и (МЗ) (см. главу 8). Ыг)

Напомним, что ./(ж) = J /(и, х, 0)в.и.

vi (*)

Будем также предполагать, что в отношении функции д{ж) (см. (35)) выполнено условие (М4) (см. главу 8).

Как следует из главы 8, при условиях (К1),(МЗ),(М4) для достаточно малых е существует стационарное решение и„(х. е) задачи (34), (35), удовлетворяющее предельному соотношению (33), и которое в следствие наличия внутреннего переходного слоя в окрестности кривой Г из условия (МЗ) мы относим к контрастным структурам типа ступеньки (КСТС).

Соответсвенно этому, зависящее от времени решение задачи (34)-(36), обладающее внутренним переходным слоем, естественно назвать нестационарной КСТС.

В данной главе показано какие условия на начальные функции (см. ниже условия (М5),(М6)) обеспечивают (совместно с требованиями (К1),(МЗ),(М4)) формирование в задаче (34)- (36) нестационарной КСТС, асимптотически неотличимой (т.е. обладающей теми же предельными свойствами при £ 0) при достаточно больших t от КСТС ив(х,е).

Можно сказать, что в настоящей главе подход из главы 7 распространен на случай, когда кривая переходного слоя решения (кривая Г) может иметь общие точки с границей dD области D.

Введем требования к начальным функциям.

(М5). щ{х,е) = щ(х) е Cl(D) = M*) : v(x) £ C2{D) ; v\dD = g(x)} и й(х) < Wo(a:) < û(x), x £ D. (Мб). Эх(_) € и 3x(+> 6 такие, что щ(х^) < 0 и щ(х) < 0 во всех точках x £ где J(x) < 0; щ(х> 0 и щ(х) > 0 во всех точках x £ D^ где J(x) > 0. Перед тем как сформулировать основной результат данной главы, введем еще одно требование. С этой целью выделим в области все (отделенные друг от друга) множества и отдельные точки, если таковые имеются, где J(x) < 0, а в области Z^-' — все (отделенные друг от друга) множества и отдельные точки, если таковые имеются, где J(x) > 0. Класс (возможно пустой) указанных элементов обозначим через N.

(М7). Пусть либо класс N пуст либо он содержит конечное число элементов, причем любой элемент класса N, не являющийся точкой, представляет из себя либо достаточно гладкую замкнутую кривую без самопересечений либо область с достаточно гладкой границей. Сформулируем основной результат главы 9. Теорема(9.3). Пусть выполнены условия (К1),(МЗ)~(М7). Тогда при достаточно малых е существует единственное решение u(x,t,e) £ Cl'°(D х [0, +оо))ЛС2,1(1) х (0, +оо)) задачи (34) - (36) «Vt £ [0,+оо) справедливо предельное соотношение

е-Ю V \же £>(-),

причем для любых замкнутых множеств С D^ и

предельный переход в (37) равномерен по х и t при (x,t) £ x [0,+оо) U х

[О, +оо).

Соотношение (37) показывает, что при t > е| 1пе| решение задачи (34)-(36) представляет из себя нестационарную КСТС, которая равномерно по t удовлетворяет тому же предельному равенству при е —> 0, что и стационарная КСТС ив(х,е) (ср. (37) и (33)).

Глава 10. Формирование двухкомпонентной контрастной структуры типа ступеньки в параболической системе с разными степенями малого параметра. Рассмотрим задачу

£в(ихх - щ) = f(u, v, х, e), (38)

s2(vxx - vt) = g{u,v,x,e), (x,t) £ D x (0,+oo), (39)

ux(a,t,e)=ux(b,t,e) = vx(a,t,e)-vx(b,t,e)= 0, te(0,+oo), (40)

u(x,0,e) - щ(х), v(a;,0,e) = г;0(а;), x £ D, (41)

где e > 0 — малый параметр, D = (a,b), a / и g — достаточно гладкие функции при (u,v,x,e) e /„ x /„ x D x [0, eo], где ец > 0 - некоторое число, а Iu и /„ — некоторые ограниченные интервалы из Я1. Пусть выполнено следующее условие. (N1). Существует функциями,!), такая, что

Ф(ь,х)с1ш, f(il>(v,x),v,x, 0) = 0, fu(ip(v,x),v,x,0) > 0

при (v, x)eïvx D.

Введем обозначение h(v, x, е) = y(tji(v, x),v,x,é).

(N2). Пусть существуют функции ф(х) и ф(х) из С2(£)), такие, что ф(х) < ф(х), [ф{х),ф(х)] с Л, при x e D, и в области = {(г?, ж)" : ф(х) < v < ф(х), x £ D}, функция h(v,x, 0) обращается в ноль только на кривых v = <р,(х), г = 0,1,2, причем ф(х) < tpi{x) < tpo(x) < ^{х) < ф{х),

K((Pi{x), х, 0) > 0, г = 1,2; hv(<p0(x), х, 0) < 0, x € D. ¥>г(х)

Введем функцию J(x) = J h(v,x,0)dv.

(N3). Пусть существует точка х* £ (а. Ь), такая, что J(x*) — 0, —(х*) <

о. Ах

Из главы 5 (где рассмотрены стационарные системы с разными степенями малого параметра в случай двумерной переменной х), следует, что по крайней

мере когда функции /ид не зависят от е, при выполнении условий (N1)-(N3) для достаточно малых е существует стационарное решение us(x,e),v„(x,e) задачи (38)-(40), причем

К(х,е) - ф(уа(х,е),х)\ - 0(е), х б D, (42)

Как видно из (42) и (43), по крайней мере v - компонента решения обладает внутренним переходным слоем в окрестности точки х*, и поэтому решение щ,у3, согласно терминологии из [1], является контрастной структурой типа ступеньки (КСТС). Соответственно этому, зависящее от времени решение и(х, t, с) ,v(x, t, s) задачи (38) (40), которое имеет внутренний переходный слой, естественно именовать нестационарной КСТС.

В данной главе показано, какие условия на начальные функции (см. ниже условия (N5)-(N7)) обеспечивают (совместно с требованиями (N1) (N3)) формирование в задаче (38)-(41) нестационарной КСТС, асимптотически неотличимой (т.е. обладающей теми же предельными свойствами при е —>• 0) при достаточно больших t от КСТС us(x,e),v,(x,e).

Исследование проблемы формирования КСТС в системе (38) -(41) проведено путем распространения соответствующих результатов по однокомпонентному случаю, рассмотренному в главе 6. При этом центральную роль играет предложенный метод доказательства существования и оценок решений систем параболических уравнений — обобщенный метод дифференциальных неравенств. Его основная идея состоит в построении верхнего и нижнего решений рассматриваемой системы, таких, что и - компоненты этих решений (в общем случае) зависят не только от х и t, но и от v. Данное обобщение оказывается особенно полезным, когда не удается сконструировать классические верхнее и нижнее решения.

(N4). Пусть множество всех точек х S D, в которых J(x) = 0, состоит из конечного числа отрезков и (или) точек.

Введем требования к начальным функциям.

(N5). Пусть щ(х),у0{х) Е C%{D) = {w £ C2(D) : wx(a) = wx(b) = 0}, и

ф(х) < v0(x) < ф(х), x £ D.

(N6). Пусть существуют функции ф(х) и ф(х) из (^(D), такие, что справедливы соотношения:

[ф(х),ф(х)]С /„, ф(х) <ио(х) <ф{х), ф(х) <ф(и0{х),х) <ф(х), x£D,

f(u,vо(ж),ж,0) < 0, (u,x) € [ф(х),ф(и0(х),х)) x D, f(u,v0(x),x, 0) > 0, (и, ж) G (ф(р0(х),х),ф(х)] x D.

(N7). Пусть Эх'-' £ (a, ж*) и G (ж*,b), такие, что

Vq(x^) < ifo(x^) и Vo(x) < tpo(x) во всех точках х £ [о, ж*), в которых J(ж) < 0;

%(ж'+') > и vo(x) > <ро(х) во всех точках х £ (х*,Ь], в которых

J(x) > 0.

Сформулируем основной результат данной главы.

Теорема(10.5). Пусть выполнены условия (N1)-(N7).

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. При достаточно малых е существует единственное регулярное решение и(x,t,e), v{x,t,e) задачи (38)-(41) и

\u(x,t,e)-j>(v(x,t,e),x)\ = 0{e), (x,t) £ D x [e4, +oo). (44)

2. Vf £ [0, +oo) справедливо предельное соотношение

+ = * 6 ^ (45)

l X £ (ж*,6], V '

причем Vd > 0, такого, что [ж* — d, x* + d\ С (а, Ь), предельный переход в (45) равномерен по x ut в области (ж, t) £ [а, x* — d\ х [0, +оо) U [ж* + d, b] X [0,+оо).

Равенства (44) и (45) показывают, что при t > е\ 1пе| решение задачи (38)-(41) представляет из себя нестационарную КСТС, которая равномерно но t удовлетворяет тем же предельным при е —0 соотношениям, что и стационарная КСТС uB(x,s),ve(x,e) (ср. (44),(45) и (42),(43)).

Автор выражает глубокую благодарность профессору Валентину Федоровичу Бутузову за постоянное внимание к работе.

Основные результаты работы.

1. Разработан метод доказательства асимптотической устойчивости и локальной единственности решений сингулярно возмущенных нелинейных эллиптических задач в ограниченной области.

На основе этого метода решены вопросы о достаточных условиях асимптотической устойчивости и локальной единственности двумерных контрастных структур типа ступеньки.

2. Предложен новый подход к доказательству неустойчивости решений сингулярно возмущенных нелинейных эллиптических задач в ограниченной области, который позволил получить результаты по неустойчивости двумерных контрастных структур типа ступеньки и типа всплеска.

3. Доказаны существование и локальная единственность двухкомпонентных контрастных структур типа ступеньки в системах сингулярно возмущенных эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных в двумерной области. При этом существенно использованы основные идеи метода, указанного в п.1.

4. Разработан метод параметрических барьеров, позволивший решить проблему формирования контрастных структур в сингулярно возмущенных параболических задачах.

С помощью метода параметрических барьеров показано, какие функции принадлежат глобальным областям влияния асимптотически устойчивых контрастных структур типа ступеньки, причем как в одномерном, так и в двумерном случаях. Показано также, что найденные условия принадлежности функции глобальной области влияния в каждом случае близки к необходимым и, таким образом, достаточно полно описывают глобальную область влияния.

С применением метода параметрических барьеров доказано существование двумерных контрастных структур типа ступеньки с переходными слоями, выходящими на границу области, в сингулярно возмущенных эллиптических задачах с краевыми условиями Дирихле.

На основе метода параметрических барьеров показано из каких начальных функций в сингулярно возмущенных параболических задачах формируются нестационарные контрастные структуры типа ступеньки с переход-

ными слоями, выходящими на границу области, асимптотически неотличимые при достаточно больших временах от аналогичных стационарных решений.

5. Разработан обобщенный метод дифференциальных неравенств, позволивший распространить результаты по формированию контрастных структур типа ступеньки на системы параболических уравнений.

Список цитируемой литературы.

1. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

2. Васильева А.Б. К вопросу о близких к разрывным решениях в системе с малым параметром при производных условно устойчивого типа // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. N 9. С. 1560-1568.

3. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Об асимптотике решения типа контрастной структуры // Матем. заметки. 1987. Т. 42. N 6. С. 831-841.

4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

5. Файф П., Гринли В. Внутренние переходные слои для эллиптических краевых задач с малым параметром // Успехи мат. наук. 1974. Т. 29. N 4. С. 103-131.

6. Бутузов В.Ф., Васильева A.B., Нефедов H.H. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т.4. N 3. С. 799-851.

7. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для пекоторых классов нелипейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. N 7. С. 1132-1139.

8. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. N 4. С. 719-722.

9. Васильева А.Б. Об устойчивости контрастных структур // Матем. моделирование. 1991. Т. 3. N 4. С. 114 123.

10. Бутузов В.Ф. О неустойчивости контрастных структур тина всплеска // Математические модели и методы в социальных науках. (Труды вторых математических чтений МГСУ 26 января 2 февраля 1994). М.: МГСУ. 1994. С. 14-18.

11. Васильева А.Б., Никитин А.Г. Асимптотический метод исследования контрастных структур и его приложение к теории гидромагнитного динамо // Матем. моделирование. 1995. Т. 7. N 2. С. 61-71.

12. Angenent S., Mallet-Paret J., Peletier L. Stable transition layers in a semilinear boundary value problems // J. Diff. Equations. 1987. V. 67. N 2. P. 212-242.

13. Hale J. K., Sakamoto K. Existence and stability of transition layers // Japan J. of Appl. Math. 1988. V. 5. N 3. P. 367-405.

14. Fife P., Hsiao L. Generation and Propagation of Internal Layers // Nonlinear Anal. 1988. V. 12. N 1. P. 19-41.

15. Del Pino M. Layers with Nonsinooth Interface in a Semilinear Elliptic Problem // Commun, in Partial Diff. Eq. 1992. V. 17. N 9. P. 1695-1708.

16. Авдеев A.C., Васильева A.B. О контрастной структуре типа ступеньки в системе двух сингулярно возмущенных уравнений второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т 33. N 6. С. 874 883.

Работы автора по теме диссертации.

1. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Устойчивость решений сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Успехи мат. наук. 1998. Т. 53. Вып. 4. С. 135-136.

2. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Об устойчивости контрастных структур // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. N 6. С. 852-853.

3. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Устойчивость контрастных структур типа ступеньки в двумерном случае // Доклады РАН. 1999. Т. 366. N 3. С 295-298.

4. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Существование, локальная единственность и асимптотика двумерных периодических контрастных структур типа ступеньки // Ж. вычисл. матем. и магем. физики. 1999. Т. 39. N 5. С. 812-831.

5. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых контрастных структур // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. N 11. С. 1576-1577.

6. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Об устойчивости многомерных контрастных структур // Математические методы и приложения. (Труды шестых математических чтений МГСУ 25-30 января 1998 года). М.: МГСУ. 1999. С. 1-6.

7. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния решений с внутренними слоями. // Доклады РАН. 2000. Т. 373. N 2. С. 155-156.

8. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Асимптотическая устойчивость решений сингулярно возмущенных краевых задач с пограничными и внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. N 2. С. 198 -208.

9. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2000. Т.40. N 6. С. 877-900.

10. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями // Математические методы и приложе-

ния. (Труды седьмых математических чтений МГСУ 28 января-3 февраля 1999 года). М.: МГСУ. 2000. С. 1-6.

11. Butuzov V.F., Nedelko I.V. On step-type contrast structures in singularly perturbed parabolic system // Математическая физика, математическое моделирование и приближенные методы (Тезисы докладов конференции, посвященной памяти академика А.Н. Тихонова 15-19 мая 2000 года). С. 19. Обнинск, 2000.

12. Неделько И.В. Асимптотическая устойчивость, локальная единственность и область влияния двумерной контрастной структуры типа ступеньки // Матем. заметки. 2001. Т. 69. N 1. С. 82 91.

13. Бутузов В.Ф,, Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями // Матем. сборник. 2001. Т. 192. N 5. С. 13 52.

14. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Контрастная структура тина ступеньки в системе двух сингулярно возмущенных параболических уравнений.// Матем. моделирование. 2001. Т. 13. N 5. С. 23-42.

15. Butuzov V.F., Nedelko I.V. On The Global Domain of Attraction of The Stable Solution with Internal Transition Layers // International Conference "Differential Equations and Related Topics" Dedicated to The Centenary Anniversary of Ivan G. Petrovskii. (Book of Abstracts). P. 80. Moscow, May 22- 27, 2001.

16. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О формировании нестационарных контрастных структур в параболической системе с разными степенями малого параметра // Математические методы и приложения. (Труды восьмых математических чтений МГСУ 27 января-31 января 2000 года). М., Союз. 2001. С. 1 4.

17. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними переходными слоями // Ломоносовские чтения. Секция физики. (Сборник расширенных тезисов докладов). С. 31-32. Апрель, 2001.

18. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями в двумерном случае // Известия РАН (серия математическая). 2002. Т. 66. N 1. С. 3 42.

19. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О неустойчивости многомерных контрастных структур // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. N 2. С. 222 233.

20. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений в двумерном случае // Математические методы и приложения. (Труды девятых математических чтений МГСУ 26 января-31 января 2001

года). М., Союз. 2002. С. 16 20.

21. Неделько И.В. Существование решения с внутренними слоями, выходящими на границу области. // Математические методы и приложения. (Труды девятых математических чтений МГСУ 26 января-31 января 2001 года). М., Союз. 2002. С. 21-23.

22. Неделько И.В. Формирование решений с внутренними слоями, выходящими на границу // Математические методы и приложения. (Труды десятых математических чтений МГСУ 26 января-30 января 2002 года). Москва. 2003. С. 29-32.

23. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О формировании контрастной структуры * типа ступеньки в параболической системе с разными степенями малого параметра // Доклады РАН. 2003. Т. 390. N 1. С. 15-18.

ООП Физ.ф-та МГУ. Заказ 84-80-05

P150 77

PHE PyccKHH (|)OHfl

2006-4 12174

ВВЕДЕНИЕ.

ЧАСТЬ 1. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность двумерных контрастных структур.

Глава 1. Теоремы существования для эллиптических и параболических задач. Достаточные условия устойчивости.

§1. Основные обозначения.

§2. Принципы максимума и сравнения.

§3. Теоремы существования решений эллиптической задачи.

§4. Теорема существования решения параболической задачи.

§5. Теорема об асимптотической устойчивости.

Глава 2. Общие теоремы о существовании, единственности и асимптотической устойчивости решений сингулярно возмущенных краевых задач.

§1. Формулировка основных результатов.

§2. Доказательство теоремы (2.1).

§3. Доказательство теоремы (2.2).

Глава 3. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность решений двумерных сингулярно возмущенных краевых задач.

§1. Контрастная структура типа ступеньки в критическом случае.

§2. Контрастная структура типа ступеньки в некритическом случае.

§3. Контрастные структуры типа ступеньки при других условиях.

§4. Контрастные структуры типа ступеньки с несколькими переходными слоями.

Глава 4. О неустойчивости двумерных контрастных структур.

§1. О неустойчивости двумерной контрастной структуры типа ступеньки

§2. О неустойчивости двумерной контрастной структуры типа всплеска.

Глава 5. Существование и локальная единственность двухкомпонент-ной контрастной структуры типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра.

§1. Построение асимптотики.

§2. Вспомогательная задача.

§3. Теорема существования.

ЧАСТЬ 2. Формирование контрастных структур.

Глава 6. О глобальной области влияния одномерной контрастной структуры типа ступеньки.

§1. Лемма существования.

§2. Асимптотическое приближение решения на конечном промежутке времени.

§3. Метод параметрических барьеров.

§4. Поведение решения на бесконечном промежутке времени.

§5. Предельный переход к стационарному решению при t —> со.

§6. Глобальная область влияния (основной результат).

§7. Доказательство теоремы(6.2).

§8. Доказательство теоремы(б.б).

Глава 7. О глобальной области влияния двумерной контрастной структуры типа ступеньки.

§1. Лемма существования. Основные результаты для конечного промежутка времени.

§2. Поведение решения на бесконечном промежутке времени.

§3. Предельный переход к стационарному решению при t —» оо.

§4. Глобальная область влияния (основной результат).

Глава 8. Существование контрастной структуры типа ступеньки с внутренним слоем, выходящим на границу области.

§1. Доказательство существования решения.

§2. Предельный переход при е —» 0.

§3. Основной результат.

Глава 9. Формирование контрастной структуры типа ступеньки с внутренним слоем, выходящим на границу области.

§1. Лемма существования. Основные результаты для окрестности начального момента времени.

§2. Поведение решения на бесконечном промежутке времени.

§3. Основной результат.

Глава 10. Формирование двухкомпонентной контрастной структуры типа ступеньки в параболической системе с разными степенями малого параметра.

§1. Обобщенный метод дифференциальных неравенств.

§2. Поведение решения в окрестности начального момента времени.

§3. Поведение решения на полном промежутке времени.

§4. Основной результат.

В последние годы в теории сингулярных возмущений активно исследуются решения с внутренними переходными слоями. Такие решения получили название "контрастные структуры" [1] (далее имеются ввиду решения нелинейных эллиптических задач с малыми параметрами при старших производных, рассматриваемых в односвязной ограниченной области).

С точки зрения приложений наибольший интерес представляют контрастные структуры типа ступеньки (КСТС). Контрастная структура типа ступеньки характеризуется наличием внутренних переходных слоев (в двумерном случае это — малые окрестности некоторых замкнутых кривых, лежащих внутри области определения КСТС), в которых происходят резкие переходы решения из окрестности одного корня вырожденного уравнения (т. е. уравнения, которое получается из исходного при обращении малого параметра в нуль) в окрестность другого корня. Могут существовать также контрастные структуры типа всплеска (КСТВ), которыми принято называть решения, имеющие внутренние слои (целиком лежащие в области определения КСТВ), где решение быстро удаляется от корня вырожденного уравнения и сразу вслед за этим возвращается к этому же корню.

Впервые существование контрастных структур в рассматриваемых задачах для одномерного случая было доказано в работах A.B. Васильевой и В.Ф. Бу-тузова [1-4]. Результат по существованию двумерных контрастных структур типа ступеньки принадлежит П. Файфу (P. Fife) и У. Гринли (W. Greenlee) [5].

Асимптотическое разложение контрастной структуры по малому параметру можно построить на основе метода пограничных функций [1]. Для одномерных задач это сделано в [1-4,6] и ряде других работ, для некоторых двумерных задач — в [6,7]. Обширная библиография содержится в [6].

В работах H.H. Нефедова [7,8] предложен эффективный метод доказательства существования контрастных структур и оценки остаточных членов асимптотических разложений — так называемый асимптотический метод дифференциальных неравенств. Суть его состоит в том, что верхнее и нижнее решения конструируются путем модификации формальной асимптотики. Следует отметить, что из существования верхнего и нижнего решений вытекает существование, но не вытекает единственности (даже локальной) решения исходной задачи.

Важным вопросом как с теоретической, так и с прикладной точки зрения, является вопрос об устойчивости контрастных структур как стационарных решений соответствующих параболических задач (в смысле Ляпунова).

Для одномерных задач с краевыми условиями Неймана этот вопрос исследовался в работах A.B. Васильевой [9,11,14], В.Ф. Бутузова [10], S. Angenent [12], J.

Hale [13] и ряде других (см. библиографию, приведенную в работах [9-14] и [6]), и ответ был получен путем оценки главного (наибольшего) собственного значения соответствующего линеаризованного оператора. В частности для рассматриваемых задач было показано, что одномерные КСТС могут быть как устойчивыми так и неустойчивыми, а одномерные КСТВ всегда неустойчивы.

Методы, использованные в [9-14] не удается применить для многомерных задач, рассматриваемых в данной работе.

Таким образом, вопросы о достаточных условиях локальной единственности и устойчивости многомерных контрастных структур типа ступеньки оставались открытыми.

Эти вопросы решены в данной работе на основе нового метода.

По сути удалось указать условия на верхнее и нижнее решения сингулярно возмущенной краевой задачи, при выполнении которых наряду с существованием (точного) решения (в области между верхним и нижним решениями) рассматриваемой задачи (о чем было известно ранее) можно утверждать локальную единственность и асимптотическую устойчивость этого решения. Этот метод применим как для одномерных, так и для многомерных задач (для простоты изложения в работе рассматривается двумерный случай) и вместе с асимптотической устойчивостью и локальной единственностью позволяет получить оценки собственных значений соответствующих линеаризованных операторов.

Разработанный метод позволил обосновать (при различных условиях) асимптотическую устойчивость и локальную единственность двумерных контрастных структур типа ступеньки как с одним, так и с несколькими переходными слоями, причем как в случае краевых условий Дирихле, так и в случае краевых условий Неймана (и вне зависимости от того является ли линеаризованный на исследуемом решении оператор (JIO) рассматриваемой задачи формально самосопряженным или нет); для случаев задач с формально самосопряженными JIO получены еще и оценки собственных значений этих JIO.

Следует отметить, что в данной работе охвачены практически все основные случаи условий, при выполнении которых удается построить формальную асимптотику и доказать существование двумерных контрастных структур типа ступеньки (в рассматриваемых здесь задачах), причем доказательство асимптотической устойчивости и локальной единственности этих решений проходит без добавления каких-либо дополнительных требований.

В работе также рассмотрен случай, когда удается построить формальную асимптотику двумерной контрастной структуры типа ступеньки, но нарушаются условия соответствующей теоремы об асимптотической устойчивости. Для этого случая показано, что двумерная КСТС, если она существует, является неустойчивой.

Доказательство неустойчивости проведено с помощью нового подхода, который основан на построении в малой окрестности асимптотики контрастной структуры неупорядоченных верхнего и нижнего решений рассматриваемой задачи. Оказывается, что при определенных условиях в окрестности неупорядоченных верхнего и нижнего решений могут существовать только неустойчивые решения.

С помощью указанного подхода удалось также установить неустойчивость двумерной контрастной структуры типа всплеска.

Одной из основных и наиболее сложных в теории контрастных структур является проблема их формирования, т.е. вопрос о том, из каких начальных функций в параболических задачах формируются (в финале) такие решения или, по крайней мере, асимптотически не отличимые от них (т.е. обладающие теми же предельными свойствами при стремлении малого параметра к нулю) нестационарные КСТС, а из каких начальных функций подобного формирования не происходит.

Речь прежде всего идет о нахождении областей влияния контрастных структур типа ступеньки в случаях, когда эти решения асимптотически устойчивы. Отметим, что в работе используется термин "глобальная область влияния", отражающий тот факт, что рассматриваемые задачи содержат малый параметр. Под глобальной областью влияния асимптотически устойчивого решения понимается множество всех функций, каждая из которых, при достаточно малых значениях параметра принадлежит области влияния данного решения.

Определенные результаты по глобальной области влияния одномерной контрастной структуры типа ступеньки для некоторого частного случая были получены в работе P. Fife [16]. Но даже для рассмотренного частного случая не было ясности, насколько условия, обеспечивающие в [16] принадлежность начальной функции глобальной области влияния КСТС, близки к необходимым (более того, как следует из результатов нашей работы, указанные условия далеки от необходимых и поэтому позволяют найти лишь сравнительно небольшую часть глобальной области влияния КСТС).

Таким образом, вопрос о том, каковы глобальные области влияния асимптотически устойчивых контрастных структур типа ступеньки оставался открытым даже для одномерного случая.

В работе предложен метод параметрических барьеров, позволивший дать ответ на этот вопрос. Идея метода состоит в том, что нестационарные верхнее и нижнее решения параболической задачи конструируются путем введения зависящего от времени параметра в верхнее и нижнее решения соответствующей стационарной задачи.

С помощью метода параметрических барьеров в работе показано, какие (начальные) функции принадлежат глобальным областям влияния асимптотически устойчивых контрастных структур типа ступеньки, причем как в одномерном, так и в двумерном случае. Показано также, что найденные условия принадлежности функции глобальной области влияния в каждом случае близки к необходимым и, таким образом, достаточно полно описывают глобальную область влияния.

Заметим, что для простоты изложения результаты по глобальным областям влияния КСТС в работе представлены для задач с краевыми условиями Неймана в так называемом некритическом случае. Метод параметрических барьеров позволяет получить аналогичные результаты и для КСТС в критическом случае, а также для задач с краевыми условиями Дирихле [39].

Наряду с контрастными структурами типа ступеньки, имеющими внутренние переходные слои в окрестностях некоторых замкнутых кривых (кривых переходного слоя), целиком лежащих внутри области определения КСТС, в двумерном случае могут существовать аналогичные решения, у которых кривые переходного слоя имеют общие точки с границей области (при этом указанные кривые могут быть незамкнутыми). Будем называть такие решения контрастными структурами типа ступеньки с внутренними слоями, выходящими на границу области.

Отметим, что основная трудность при изучении решений этого типа связана с тем, что из-за выхода внутреннего слоя на границу не удается построить формальную асимптотику во всей области (а, следовательно, и соответствующих верхнего и нижнего решений достаточной точности методом из [7,8]). В случае краевых условий Дирихле ситуация сильно усложняется еще и тем, что решение имеет пограничный слой, который накладывается на внутренний слой в окрестностях общих точек кривой переходного слоя и границы области.

Отметим также, что доказательство существования КСТС с внутренними слоями, выходящими на границу области, для задач с краевыми условиями Дирихле — один из результатов данной работы. В этом доказательстве (оно пригодно и в случае краевых условий Неймана) существенно используется метод параметрических барьеров. Аналогичный результат для случая краевых условий Неймана другим методом был ранее получен в работе М. del Pino [17].

Проблема формирования КСТС с внутренними слоями, выходящими на границу области, оставалась неисследованной.

На основе метода параметрических барьеров в работе получены результаты по формированию и для двумерных КСТС с внутренними слоями, выходящими на границу области.

А именно, показано, из каких начальных функций в соответствующих параболических задачах формируются решения (нестационарные КСТС с переходными слоями, выходящими на границу области), асимптотически неотличимые при достаточно больших временах от указанных стационарных решений.

В работе получены также результаты по формированию контрастных структур типа ступеньки, возникающих в системах, состоящих из двух сингулярно возмущенных (СВ) уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных. Будем называть их также двухкомпонентными контрастными структурами типа ступеньки.

Заметим, что алгоритмы построения асимптотики (основанные на методе пограничных функций) и методы доказательства существования двухкомпонентных КСТС хорошо разработаны для одномерного случая [18].

В двумерном случае вопрос существования таких решений оставался открытым и (положительно) решен в данной работе (доказана также локальная единственность решения); соответствующее обоснование (оно проходит и в одномерном случае) основано на оценке собственных значений ЛО некоторой вспомогательной скалярной задачи. При этом существенно использованы основные идеи метода доказательства асимптотической устойчивости решений СВ задач, о котором шла речь выше.

Проблема формирования двухкомпонентных контрастных структур типа ступеньки в системе с разными степенями малого параметра до последнего времени оставалась неизученной.

Исследование данной проблемы в работе проведено на основе предложенного обобщенного метода дифференциальных неравенств. Центральная идея этого метода состоит в построении двухкомпонентных верхнего и нижнего решений рассматриваемой задачи, таких, что одна из компонент указанных решений зависит от другой компоненты. Данный метод наиболее эффективен в тех случаях, когда не удается построить классические верхнее и нижнее решения.

Можно сказать, что с помощью обобщенного метода дифференциальных неравенств удалось распространить определенные результаты по формированию од-нокомпонентных КСТС на двухкомпонентный случай.

Более точно, в работе показано из каких начальных функций в СВ системах параболических уравнений с разными степенями малого параметра при старших производных формируются нестационарные двухкомпонентные КСТС, асимптотически неотличимые при достаточно больших временах от соответствующих стационарных решений. Для простоты изложения данный результат представлен для одномерного случая.

Краткое содержание работы.

1. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

2. Васильева A.B. К вопросу о близких к разрывным решениях в системе с малым параметром при производных условно устойчивого типа // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. N 9. С. 1560-1568.

3. Бутузов В.Ф., Васильева А.Б. Об асимптотике решения типа контрастной структуры // Матем. заметки. 1987. Т. 42. N 6. С. 831-841.

4. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

5. Файф П., Гринли В. Внутренние переходные слои для эллиптических краевых задач с малым параметром // Успехи мат. наук. 1974. Т. 29. N 4. С. 103-131.

6. Бутузов В.Ф., Васильева A.B., Нефедов H.H. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т.4. N 3. С. 799-851.

7. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. N 7. С. 1132-1139.

8. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. N 4. С. 719-722.

9. Васильева А.Б. Об устойчивости контрастных структур // Матем. моделирование. 1991. Т. 3. N 4. С. 114-123.

10. Бутузов В.Ф. О неустойчивости контрастных структур типа всплеска // Математические модели и методы в социальных науках. (Труды вторых математических чтений МГСУ 26 января 2 февраля 1994). М.: МГСУ. 1994. С. 14-18.

11. Васильева A.B., Никитин А.Г. Асимптотический метод исследования контрастных структур и его приложение к теории гидромагнитного динамо // Матем. моделирование. 1995. Т. 7. N 2. С. 61-71.

12. Angenent S., Mallet-Paret J., Peletier L. Stable transition layers in a semilinear boundary value problems //J. Diff. Equations. 1987. V. 67. N 2. P. 212-242.

13. Hale J. K., Sakamoto K. Existence and stability of transition layers // Japan J. of Appl. Math. 1988. V. 5. N 3. P. 367-405.

14. Васильева А. Б., Бутузова M. В. Об устойчивости стационарных решений с пограничными и внутренними слоями // Математические методы и их приложения. (Труды третьих математических чтений МГСУ 24-29 января 1995). М.: МГСУ. 1995. С. 81-86.

15. Васильева А. Б. Об области влияния стационарного решения сингулярно возмущенного параболического уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т. 33. N 6. С. 874-883.

16. Fife P., Hsiao L. Generation and Propagation of Internal Layers // Nonlinear Anal. 1988. V. 12. N 1. P. 19-41.

17. Del Pino M. Layers with Nonsmooth Interface in a Semilinear Elliptic Problem // Commun. in Partial Diff. Eq. 1992. V. 17. N 9. P. 1695-1708.

18. Авдеев А.С., Васильева А.Б. О контрастной структуре типа ступеньки в системе двух сингулярно возмущенных уравнений второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т 33. N 6. С. 874-883.

19. Fife Р. С. Semilinear elliptic boundary value problems with small parameters // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. V. 52. N 3. P. 205-232.

20. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения. М.: Мир, 1988.

21. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

22. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

23. Sattinger D.H. Monotone methods in nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1972. V. 21. N 11. P. 979-1001.

24. Amann H. On the existence of positive solutions of nonlinear elliptic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1971 V. 21. N 2. P. 125-146.

25. Amann H. Existence and stability of solutions for semilinear parabolic systems and applications to some diffusion reaction equations // Proc. Roy. Soc. of Edinburgh. 1978. V. 81. N 1. P. 35-47.

26. Amann H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations // Nonlinear analysis: Collections of Papers in Honor of Eric Rothe. New York: Academic Press, 1978. P. 1-29.

27. Ильин A. M., Калашников А. С. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. Вып. 3. С. 3-146.

28. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

29. Ладыженская О. А., Уральцева H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

30. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966.

31. Berestycki H., Nirenberg L., Varadhan S.R.S. The Principal Eigenvalue and Maximum Principle for Second-Order Elliptic Operators in General Domains // Commun. Pure and Appl. Math. 1994. V.47. P. 47-92.

32. Нефедов H.H. Контрастные структуры типа всплеска в нелинейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнениях // Доклады АН. 1992. Т.327. N 1. С. 16-19.

33. Бутузов В.Ф. Контрастные структуры типа всплеска в параболической системе двух сингулярно возмущенных уравнений. // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1997. Т. 37. N 4. С. 415-428.

34. Дьедонне М. Основы современного анализа. М., Мир. 1964.

35. Треногин В.А. Об асимптотике почти линейных параболических уравнений с параболическим погранслоем // Успехи мат. наук. 1961. Т. 16. N 1. С. 163-169.

36. Гудков В.В., Клоков Ю.А., Лепин А.Я., Пономарев В.Д. Двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Зи-нанте, 1973.

37. Amann H. Invariant Sets and Existence Theorems for Semilinear Parabolic and Elliptic Systems // J. Math. Anal. Appl. 1978. V. 65. P. 432-467.

38. Butuzov V.F., Kryagimskii S.A., Nedelko I.V. Global Domain of Attraction of Step-Like Contrast Structure in The Case of Dirichlet Conditions // "V International Congress on Mathematical Modeling". (Book of Abstracts). V.2. P.45. Dubna, 2002.

39. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Устойчивость решений сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Успехи мат. наук. 1998. Т. 53. Вып. 4. С. 135-136.

40. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Об устойчивости контрастных структур // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. N 6. С. 852-853.

41. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Устойчивость контрастных структур типа ступеньки в двумерном случае // Доклады РАН. 1999. Т. 366. N 3. С 295-298.

42. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Существование, локальная единственность и асимптотика двумерных периодических контрастных структур типа ступеньки // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1999. Т. 39. N 5. С. 812-831.

43. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых контрастных структур // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. N 11. С. 15761577.

44. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Об устойчивости многомерных контрастныхструктур // Математические методы и приложения. (Труды шестых математических чтений МГСУ 25-30 января 1998 года). М.: МГСУ. 1999. С. 1-6.

45. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния решений с внутренними слоями. // Доклады РАН. 2000. Т. 373. N 2. С. 155-156.

46. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Асимптотическая устойчивость решений сингулярно возмущенных краевых задач с пограничными и внутренними слоями // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. N 2. С. 198-208.

47. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2000. Т.40. N 6. С. 877-900.

48. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями // Математические методы и приложения. (Труды седьмых математических чтений МГСУ 28 января-3 февраля 1999 года). М.: МГСУ. 2000. С. 1-6.

49. Неделько И.В. Асимптотическая устойчивость, локальная единственность и область влияния двумерной контрастной структуры типа ступеньки // Матем. заметки. 2001. Т. 69. N 1. С. 82-91.

50. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями // Матем. сборник. 2001. Т. 192. N 5. С. 13-52.

51. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Контрастная структура типа ступеньки в системе двух сингулярно возмущенных параболических уравнений.// Матем. моделирование. 2001. Т. 13. N 5. С. 23-42.

52. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними переходными слоями // Ломоносовские чтения. Секция физики. (Сборник расширенных тезисов докладов). С. 31-32. Апрель, 2001.

53. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений с внутренними слоями в двумерном случае // Известия РАН (серия математическая). 2002. Т. 66. N 1. С. 3-42.

54. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О неустойчивости многомерных контрастных структур // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. N 2. С. 222-233.

55. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых решений в двумерном случае // Математические методы и приложения. (Труды девятых математических чтений МГСУ 26 января-31 января 2001 года). М., Союз. 2002. С. 16-20.

56. Неделько И.В. Существование решения с внутренними слоями, выходящими на границу области. // Математические методы и приложения. (Труды девятых математических чтений МГСУ 26 января-31 января 2001 года). М., Союз. 2002. С. 21-23.

57. Неделько И.В. Формирование решений с внутренними слоями, выходящими на границу. // Математические методы и приложения. (Труды десятых математических чтений МГСУ 26 января-30 января 2002 года). Москва, 2003. С. 29-32.

58. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. О формировании контрастной структуры типа ступеньки в параболической системе с разными степенями малого параметра // Доклады РАН. 2003. Т. 390. N 1. С. 15-18.