Асимптотическая устойчивость и локальная единственность решений двумерных сингулярно возмущенных задач с пограничными и внутренними слоями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова

Физический факультет

На правах рукописи НЕДЕЛЬКО Илья Витальевич

УДК 517.956.226

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И ЛОКАЛЬНАЯ ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ С ПОГРАНИЧНЫМИ И ВНУТРЕННИМИ СЛОЯМИ

с»

01.01.03 — математическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор В. Ф. БУТУЗОВ

Москва - 1999

Оглавление

Введение.........................................................................2

Краткое содержание работы..................................................4

Глава 1. Теоремы существования для эллиптических и параболических задач. Достаточные условия устойчивости.................................5

§1. Основные обозначения.........................................................5

§2. Принципы максимума и сравнения.................................. /.........6

§3. Теоремы существования решений эллиптической задачи.....................8

§4. Теорема существования решения параболической задачи....................12

§5. Теорема об асимптотической устойчивости..................................16

Глава 2. Общие теоремы о существовании, единственности и асимптотической устойчивости решений сингулярно возмущенных краевых

задач............................................................................17

§1. Формулировка основных результатов........................................17

§2. Доказательство теоремы (2.1)................................................20

§3. Доказательство теоремы (2.2)................................................22

Глава 3. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность

решений двумерных сингулярно возмущенных краевых задач.........26

§1. Контрастная структура типа ступеньки в критическом случае.............28

§2. Контрастная структура типа ступеньки в некритическом случае...........59

§3. Контрастные структуры типа ступеньки при других условиях..............73

§4. Контрастные структуры типа ступеньки с несколькими переходными

слоями...........................................................................91

§5. Погранслойные решения......................................................95

Литература.....................................................................99

о

Введение.

В последние годы в теории сингулярных возмущений активно исследуются решения с внутренними переходными слоями. Такие решения получили название "контрастные структуры" [1] (далее имеются ввиду решения нелинейных эллиптических задач с малыми параметрами при старших производных, рассматриваемых в односвязной ограниченной области).

Контрастная структура типа ступеньки (КСТС), а именно о таких контрастных структурах пойдет речь в данной работе, характеризуется наличием внутренних переходных слоев (в двумерном случае это — малые окрестности некоторых кривых, лежащих внутри области определения КСТС) в которых происходят резкие переходы решения из окрестности одного корня вырожденного уравнения (т. е. уравнения, которое получается из исходного при обращении малого параметра в нуль) в окрестность другого корня.

Асимптотическое разложение контрастной структуры по малому параметру можно построить на основе метода пограничных функций. Для одномерных задач это сделано в [1-4] и ряде других работ, для некоторых двумерных задач — в [4-6]. Обширная библиография содержится в [4].

В [5] предложен эффективный метод доказательства существования контрастных структур и оценки остаточных членов асимптотических разложений — так называемый асимптотический метод дифференциальных неравенств. Суть его состоит в том, что верхнее и нижнее решения конструируются путем модификации формальной асимптотики. Следует отметить, что из существования верхнего и нижнего решений вытекает существование, но не вытекает единственности (даже локальной) решения исходной задачи.

Важным вопросом как с теоретической, так и с прикладной точки зрения, является вопрос об устойчивости контрастных структур как стационарных решений соответствующих параболических задач (в смысле Ляпунова). Для одномерных задач с краевыми условиями Неймана этот вопрос исследовался в работах [7-10] и ряде других (см. библиографию, приведенную в работах [7-10] и [4]), и ответ был получен путем оценки главного (наибольшего) собственного значения соответствующего линеаризованного оператора. Методы, использованные в [7-10] не удается применить для многомерных задач, о которых идет речь в данной работе.

Таким образом, вопросы о достаточных условиях локальной единственности и устойчивости многомерных контрастных структур типа ступеньки оставались открытыми.

Эти вопросы решены в данной работе на основе нового метода.

По сути удалось указать условия на верхнее и нижнее решения сингулярно возмущенной краевой задачи, при выполнении которых наряду с существованием (точного) решения (в области между верхним и нижним решениями) рассматриваемой задачи (о чем было известно ранее) можно утверждать локальную единственность и асимптотическую устойчивость этого решения. Этот метод применим как для одномерных, так и для многомерных задач и вместе с асимптотической устойчивостью и локальной единственностью позволяет исследовать области влияния (устойчивых) решений, а также находить оценки собственных значений соответствующих линеаризованных операторов (для простоты изложения в работе рассматривается двумерный случай).

Используемый метод позволил обосновать асимптотическую устойчивость и локальную единственность контрастных структур типа ступеньки (при условиях, обеспечивающих построение упорядоченных верхнего и нижнего решений рассматриваемых задач достаточно высокого порядка точности по малому параметру), а также решений без внутренних переходных слоев, т. е. (чисто) погранслойных решений (ПР), и получить информацию об их областях влияния, причем как в случае задач с условиями Дирихле, так и в случае задач с условиями Неймана (и вне зависимости от того является ли линеаризованный на исследуемом решении оператор рассматриваемой задачи (ЛО) формально самосопряженным или нет); для случаев задач с формально самосопряженными Л О получены еще и оценки собственных значений этих ЛО.

Отметим, что сходные результаты по областям влияния (устойчивых) КСТС и ПР для одномерных задач (другим методом) были получены в [11,12]. Асимптотическая устойчивость и локальная единственность многомерных ПР в случае, когда ЛО является формально самосопряженным следуют из оценки главного собственного значения этого ЛО, полученной (другим методом) в [13].

Следует также отметить, что в данной работе охвачены практически все основные случаи условий, при выполнении которых удается построить формальную асимптотику и доказать существование двумерных контрастных структур типа ступеньки (в рассматриваемых здесь задачах), причем доказательство асимптотической устойчивости и локальной единственности этих решений проходит без добавления каких-либо дополнительных требований. Подчеркнем, что все только что сказанное относится именно к двумерному случаю. В одномерном случае доказательство существования КС,ТС удается провести при более слабых требованиях [1], причем при этих ослабленных требованиях такое решение может оказаться неустойчивым [4],[7-10].

Краткое содержание работы.

о

В главе 1 доказаны теоремы существования решений нелинейных эллиптических и параболических задач (теоремы (1.1) и (1.2)) в случаях, когда существуют негладкие на некоторых кривых верхнее и нижнее решения. Эти теоремы являются обобщением известных теорем существования для случая гладких верхнего и нижнего решений. Кроме того, в заключительном параграфе главы 1 приведены определения асимптотической (С-С)-устойчивости и области влияния стационарного решения, а также теорема о достаточных условиях асимптотической (С-С)-устойчивости (теорема (1.3)). Результаты главы 1 носят вспомогательный характер.

В главе 2 приведен общий метод доказательства асимптотической (С-С)-устойчивости и локальной единственности сингулярно возмущенных задач (его главные утверждения — теоремы (2.1) и (2.2)), являющейся одним из основных результатов работы (см. Введение).

В главе 3 результаты главы 2 применяются для доказательства асимптотической (С-С)-устойчивости и локальной единственности контрастных структур типа ступеньки (при различных условиях) и погранслойных решений, возникающих в сингулярно возмущенных нелинейных эллиптических краевых задачах, рассматриваемых в двумерной ограниченной области. Основные результаты главы 3 (теоремы (3.2),(3.4),(3.5)-(3.8)) содержат также утверждения об областях влияния исследуемых решений и оценки собственных значений линеаризованных на этих решениях операторов рассматриваемых задач.

В данной работа для нумерации формул принята десятичная система: первая цифра — номер главы, а цифры после точки — порядковый номер формулы в данной главе. Аналогичным образом нумеруются леммы, теоремы и следствия.

Глава 1. Теоремы существования для эллиптических и параболических задач. Достаточные условия

устойчивости.

§1. Основные обозначения.

Пусть В — ограниченная односвязная область с границей дБ С С2+1/. Здесь и далее через и обозначено некоторое число из интервала (0,1). Мы предполагаем, что О С й2, хотя все результаты справедливы для В С , N > 1. Пусть

I = ахД + а2(ж)---Ь а3(х)-

дхх дх2 '

где А — оператор Лапласа, х = (ж^ссг), число й! > 0, а,(ж) € С1+"(1)), г = 2,3. Здесь и далее через Ск(Б) обозначается пространство функций, имеющих непрерывные в В производные до к-ого порядка включительно; через Ск+и{В) — пространство функций, у которых, кроме того, производные А;-ого порядка удовлетворяют в В условию Гельдера с показателем и.

Через С$(В) будем обозначать множество всех функций из Ск(В), имеющих компактный носитель в Б.

Введем класс функций \¥ : и(х) € Ш, если

1). и{х) б С(Б).

2). Функция и(х) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно всюду в В , за исключением, может быть, конечного числа гладких замкнутых кривых С,-, на которых первые и вторые частные производные функции и(х) испытывают скачок. Каждая кривая С{ оганичивает односвязную область (обозначим ее , а через обозначим внешнюю по отношению к С,-подобласть В); С,- и С] не имеют общих точек при г ф 2 .

Далее через ( . обозначается предельное значение на С,- из области В

а

через ( . — из области В\~\

Через щ (п) обозначим внешнюю нормаль к кривой {дБ). В дальнейшем будем одновременно рассматривать задачи с граничными условиями и Дирихле и Неймана, а потому введем единое обозначение граничного оператора:

Вяи

дп

и, если 5 — 0, х £ дБ,

если 5 = 1, х е дБ.

Иными словами, з = 0 соответствует случаю условий Дирихле, в = 1 — случаю условий Неймана.

§2. Принципы максимума и сравнения.

Заметим, что любая функция из класса W есть элемент пространства W2(B) П С" (В), где W^(D) — соболевское пространство функций (см., например [16]).

В соответствие с определением в [16], будем говорить, что функция и(х) €Е W2(B) удовлетворяет неравенству Lu — а{х)и > 0(< 0), а(х) € С (В), в обобщенном смысле, если Vф{х) G Cq{D), такой, что ф(х) > 0 в D, выполнено неравенство:

J= fl'i + 9U ЭФ

дх1 дх\ дх2дх2 о

(ди ди \ 1

Лемма(1.1). Пусть

1). и е\¥}(В)ПС(В).

2). Lu — аи < 0(> 0) в обобщенном смысле.

3). а(х) > 0, ж е В.

Тогда, если и(х) тождественно не равна постоянной в В, то и(х) не может иметь внутри В неположительного минимума (неотрицательного максимума).

Лемма (1.1) доказана в [16].

Лемма(1.2). Пусть

1).и£]¥.

2). Lu — аи < 0, х £ И, причем на кривых С{ (см. определение класса Ш в §1) данное неравенство выполняется для предельных значений Lu — аи с одной и с другой стороны от кривой.

3). На каждой кривой Сг- выполняется неравенство

ди\{+) (ди\{~] д щ) ~\дгц)

4). а(х) > 0, X £ В.

Тогда и(х) не может иметь внутри В неположительного минимума.

Доказательство. Пусть гг(х) тождественно не равна постоянной в В (в противном случае, как нетрудно усмотреть из требований данной леммы, и(х) > 0 в В). Для простоты будем предполагать, что имеется только одна кривая С;, на которой и(х) имеет скачки производных.

Используя первую формулу Грина для области

ди дф ди дф ]Л \ , г /ди\(+) „

дх\дх\ дх2дх2 ) J \дщ )

л(+) 4 Ci

О

и аналогичную формулу для области В\ \ интеграл J (см. (Г.1)) нетрудно представить в виде:

</= — у (Ьи — аи) фс1х— J (Ьи — аи) ф(1х + J Ф

д(+) с(-) Ci

/аи"\(+) _ /ди

<11.

Отсюда в силу условий 2), 3) данной леммы и неотрицательности ф(х) непосредственно следует, что Т > 0, т. е. выполнено условие Ьи — аи < 0 в обобщенном смысле. Применяя теперь лемму (1.1), получаем утверждение леммы (1.2). Лемма (1.2) доказана. Следствие(1.1). Пусть

1). Выполнены условия леммы (1-2).

2). и(х) > 0, (> О;, х е дВ. Тогда и(х) >0 в В (и(х) > 0 в В). Лемма(1.3). Пусть

1). и{х) е С2(В)ПС(В).

2). Ьи - аи < 0, а{х) > 0, х е В.

3). хо — такая точка границы дВ, что

а). и(х0) < 0.

б). и(хо) < и(х), х € В.

в). дВ удовлетворяет в точке хо условию внутренней сферы.

Тогда, если в точке Жо существует производная функции и(х) по направлению внешней нормали, то

Ви

< 0.

х=хо

ди дп

Лемма (1.3) доказана в [16]. Так как функции из класса достаточно гладкие в окрестности дВ и так как дВ € С2+,/, то из лемм (1.2),(1.3) получаем Следствие(1.2). Пусть

1). Выполнены условия леммы (1.2).

2). > 0, * € дВ. Тогда и(х) > 0 в В.

§3. Теоремы существования решений эллиптической задачи.

Рассмотрим задачу:

Ьи = /(и, ж), х £ В , В8и = д{х), х 6 дВ ,

(1.2) (1.3)

где /(и,х) — достаточно гладкая функция (степень гладкости уточним ниже),

Определение 1. Функцию (3{х) из класса ]У назовем верхним решением задачи (1.2), (1.3), если:

1°. Ь(3 — /(/3,х) < 0 , причем на кривых С{, фигурирующих в определе-

нии класса Ж, данное неравенство должно выполняться для предельных значений Ь(3 — /(/?,ж) с одной и с другой стороны от кривой. 2°. На каждой кривой С{ выполняется неравенство:

Аналогичным образом (изменяя знаки неравенств) введем понятие нижнего решения задачи (1.2),(1.3). Лемма(1.4). Пусть

1). Существуют верхнее решение (3 и нижнее решение а задачи (1.2), (1.3) из

Тогда существуют регулярные решения и(х) и й(х) задачи (1.2), (1.3), такие, что

и любое регулярное решение и(х) задачи (1.2), (1.3), удовлетворяющее неравенствам а<.и<(3,х£В, удовлетворяет также неравенствам й < и < й, х£ В.

Лемма (1.4) доказана в [17,18]. Обобщим результат этой леммы на случай, когда верхнее и нижнее решения — функции из класса IV■

Теорема(1.1). Пусть

1). Существуют верхнее решение (3 и нижнее решение а задачи (1.2), (1.3) из класса Ш и (3 > а в В.

3°. В,Р > д(х), хедВ.

С2+и(В) и ¡3 > а в В. 2). /еСЧМхД).

а < и < й < (3, з; £ О,

2). / € С\[а,(3]*у. В).

Тогда существуют регулярные решения й(х) и й(х) задачи (1.2), (1.3), такие, что

a<u<ü<ß, x£D,

и любое регулярное решение и(х) задачи (1.2),(1.3), удовлетворяющее неравенствам a<u<ß,x^D, удовлетворяет также неравенствам ü < и < и, х € D.

Доказательство. Пусть

т> max_ |/„(и,х)|. [a,ß]xD

Рассмотрим задачу:

Lß — mß = f(ß, х) — mß, х Е D, (1.4)

Bsß = g(x), x G dD. (1.5)

Поскольку ß G W, то ß однозначно определяется из (1.4),(1.5), причем ß Е C2+U(D).

Далее получаем (аргумент х у функции / для краткости не указываем): L{ß-ß)-m(ß-ß) = Lß-f{ß), xeD,

Bs(ß-ß) > о, х е dD.

Так как ß — верхнее решение, то Lß — f(ß) < 0 и. в силу следствий (1.1) и (1.2) имеем: ß — ß > 0, т. е.

ß > ß, х G D.

Для функции ß — ск, используя неравенства La — /(ее) > 0 и ß > а, получаем: L{ß -а)- m(ß -а) = /(/?) -La- m(ß - а) < f(ß) - f(a) - m(ß - а) < 0, ж G D,

Bs(ß-a)> 0, xG dD.

Отсюда следует, что

ß > а, х G D.

Далее,

Lß - f(ß) - f(ß) - f{~ß) ~ m(ß ~ß)< m(ß - ß) - m(ß - ß) = 0, x G D,

Bsß = g(x), xedD. Поэтому ß — верхнее решение задачи (1.2),(1.3) из C2+l/(D).

Определим теперь функцию а £ C2+U{D) как решение задачи ,

о

La — та = f(a, х) — та, х £ D,

Bsä = д(х), х £ <9£>. Таким же образом, как и для /3, нетрудно показать, что

а < ä < ß, х £ D

и что ä — нижнее решение задачи (1.2),(1.3) из C2+l/(D). Наконец,

L(ß -о)- m(ß -ä) = f(ß) - f(a) - m(ß - а) < 0, x £ D, Bt{ß - ä) = 0, же OD.

Отсюда следует, что

ß > ä, x e D.

Итак, ß и а — верхнее и нижнее решения задачи (1.2),(1.3) из C2+V(D), причем

а < ä < ß < ß, х Е D.

В силу леммы (1.4) существуют регулярные решения й, и задачи (1.2),(1.3), такие, что

ä < й < ü < ß, х £ D.

и любое регулярное решение и(х) задачи (1.2),(1.3), удовлетворяющее неравенствам а < и < ß в D, удовлетворяет неравенствам й < и < и в D.

Для завершения доказательства теоремы (1.1) остается показать, что если регулярное решение и(х) задачи (1.2),(1.3) удовлетворяет неравенствам а < и < ß в D, то оно удовлетворяет также неравенствам а < и < ß в D. Пусть а < и < ß в D. Для разности ß — и имеем:

L(ß -и)- m(ß -и) = f{ß) - f(u) - m(ß - и) < m(ß -и)- m{ß - и) = 0, х Е D,

Bs(ß-u) = 0, х £ dD.

Отсюда следует, что

ß >и, х е D.

9,

Аналогично доказывается, что

и> ä, xeD. 10

Теорема (1.1) доказана.

Подчеркнем, что в ходе доказательства теоремы (1.1) был доказан следующий результат.

Лемма(1.5). Пусть выполнены условия теоремы (1.1).

Тогда существуют верхнее решение (3 и нижнее решение а задачи (1.2),(1.3) из С2+"(5), причем

/3 > ¡3 > а > а, х £ И,

В3(3 = д(х), В3а = д(х), х € дВ,

и любое регулярное решение и(х) задачи (1.2),(1.3), удовлетворяющее неравенствам а < и < /3, х Е Б, удовлетворяет также неравенствам а < и < ¡3,

хе 5.

Замечание. Если (3>а, х£Оиз = 1 (т. е. (1.3) соответствует условию Неймана), то

(3 > ¡3 > а > а, х е Т).

§4. Теорема существования решения параболической задачи.

Рассмотрим следующую параболическую задачу, соответствующую стационарной задаче (1.2),(1.3):

дь

— = /(у,х), (ж,*) € В х (0,+оо), (1.6)

В$у = д(х), (ж,г) б дВ х (0,+оо), (1.7)

и(ж,0) = г?0(ж), ж € £>. (1.8)

Под регулярным решением задачи (1.6)—(1.8) будем понимать ее решен