Периодические решения и решения типа контрастных структур сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Ы. а ЛОМОНОСОВА

- " ФИЗИЧЕСКИЕ" ФАЕУЛЬТ ЕТ "

На правах рукописи

ПЕТРОМ Марина Алексеевна

УДК 517.956

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ И РЕШЕНИЯ ТИПА КОНТРАСТНЫХ. СТРУКТУР

I

СИНШЙРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. 01.01.03 - математическая физика

Автореферат' диссертации на соискание ученой степени кандидата физика-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ имени И. К Ломоносова

Научный рукводитед.ь: доктор физико-математических-наук, профессор -А. ¿Васильева.- -■

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор М. М. Уапаев, кандидат физико-математических наук М. П. Белянин.

Ведущая организация: Самарский Государственный Университет

Защита состоится . 1992 года

в /.5~. часов .УР. мин. в аудитории . .С^.Л.. на заседании специализированного совета К 053.05.18 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова. >

Адрес: 119839, Москва, Ленинские горы, МРУ, физический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан !?.. ^^-.ЧФ/У'.й 1992 года.

Ученый секретарь специализированного совета п. А. Поляков.

• _' - 1 -

4ч'* ' * *

1 ' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

( ■'

1 ••

Актуальность теш. Диссертационная работа посвящэна изучению стационарных режимов в задачах типа "реакция-диффузия", содержащих участки резкого изменения решения (пограничные слои, "всплески", внутренние переходные слои), вызывающие сейчас большой интерес в связи с развитием таких областей как синергетика, нелинейная оптика, химическая и биологическая кинетика. Для описания математических моделей в таких задачах применяют нелинейные уравнения эллиптического типа, содержащие один или несколько малых параметров, что позволяет с успехом использовать асимптотические методы теории сингулярных возмущений для их исследования.

В настояние время одним из наиболее эффективных асимптотических методов решения сингулярно возмущенных нелинейных краевых задач математической физики является метод пограничных функций, предложенный А. & Васильевой, М. И. Вишиком и Л. А. Лгаетер-ником и развитый позднее в работах А. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузова и их учеников, а также ряда других научных групп.

В данной диссертационной работе метод пограничных функций получил дальнейшее развитие в применении к новому классу задач для эллиптических уравнений.

Цель работы состоит в следующем: 1. Ери помощи метода пограничных функций разработать алгоритмы получения и обоснования равномерных асимптотических приближений периодических решений слабо нелинейных неавтономных уравнений эллиптического типа с малыми параметрами в критическом и некритическом случаях.

2. Развить алгоритмы построения и обоснования асимптотических разложений периодических по всем переменным решений сингулярно возмущенных уравнений в многомерной области.

3. Исследовать решения типа пространственной контрастной структуры нелинейных автономных сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа. Получить условия существования в таких задачах решений с периодическими контрастными структурами.

Научная новизна работы. Новыми являются следующие результаты, полученные в диссертации:

- В рамках единого подхода, основанного на методе пограничных функций в сочетании с методом Фурье, предложены и обоснованы эффективные алгоритмы построения асимптотических приближений периодических решений слабо нелинейных неавтономных уравнений эллиптического типа с двумя малыми параметрами в критическом и некритическом случаях.

- Рассмотрен ряд новых задач с периодическими по всем пространственным переменным граничными условиями в многомерной области с доказательством равномерной оценки остаточного члена в классах Гельдера.

- Доказано существование решений типа пространственной контрастной структуры у нелинейных автономных сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа с несимметричным вхождением малого параметра в дифференциальный оператор.

- Впервые исследовались периодические контрастные структуры в решениях сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа

Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при изучении стационарных решений широкого класса задач типа "реакция-диффузия" в случае большой разницы в масштабах по различным пространственным переменным. Применение к ним численных методов, как правило, сильно затруднено из-за наличия участков резкого изменения решения. Предложенный в работе алгоритм построения асимптотических приближений таких решений позволяет получать количественные оценки характеристик физических систем. В то же время, построенная асимптотика передает качественный характер решения и на нее можно опираться при проведении численного эксперимента, что < позволяет существенно снизить затраты времени и повысить точность результатов путем надлежащего выбора начальных приближений и масштабов расчетной сетки.

Апробация. Результаты работы докладывались на Всесоюзном совешзнии-семинаре "Методы малого параметра'ЧНальчик, 1987 г), на Совещании по теории сингулярных возмущений "Методы теории сингулярных возмущений в прикладных задачах"(Рига, 1990 г.), на семинаре факультета ЕШ МГУ под руководством профессора М. М. 2а-паева(Москва, 1992 г.) и неоднократно обсуждались на семинарах по теории сингулярных возмущений кафедры математики физического факультета МГУ.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в шести печатных работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, грех глав, заключения и списка литературы, изложена на 114 страницах машинописного текста, содержит 9 рисунков и библиографию, включающую 60 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

So введении обоснована актуальность темы диссертации, дается обзор литературы, кратко изложено основное содержание работы.

В первой главе развит и обоснован алгоритм получения асимптотических разложений периодических решений слабо нелинейных сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа с двумя малыми параметрами. В первых двух параграфах главы 1 рассматриваются некритические случаи, т. е. такие, когда решения вырожденных уравнений определяются однозначно. В § 1.1 исследуется периодическое по решение задачи

Г * %) * % *°и

Л и(0.Х, £СЛ)= и{1< Хг

(1)

L ufa, u&ih^-o

-малые параметры, a=Const?>0. Функции 3~ и £ предполагаются 2 7Г- периодическими по и достаточно гладкими.

Доказаны существование и единственность 27Г-периодического по CCj решения задачи (1). Доказательство проводилось методом последовательных приближений. Получена оценка обратного оператора для соответствующей линеаризированной задачи. Она существенно используется в доказательстве и обосновании асимптотики. Для получения этой оценки потребовалось доказательство модифицированного принципа максимума для эллиптического уравнения с периодическими граничными условиями.

С помощью метода пограничных функций в сочетании с методом Фурье построено и обосновано асимптотическое разложение решения по двум параметрам. Асимптотика строилась в два этапа- Сначала -было получено .равномерное асимптотическое.приближение решения по параметру^/ , который входит регулярно, и оценен остаточный член разложения. При этом для каждого члена асимптотического разложения по ^Л получалось сингулярно возмущенное По £ уравнение, асимптотика которого кроме регулярного и пограничных рядов содержит такие ряды с угловыми пограничными функциями. Описан алгоритм нахождения членов асимптотики. Доказана равномерная оценка остаточного члена разложения.

Подобные задачи возникают, например, при рассмотрении процесса диффузии с распадом в цилиндрической области. Действительно, в стационарном случае мы приходим к уравнению Х> Д и Си - О , где £>- коэффициент диффузии, а С - скорость распада. При рассмотрении этого процесса в циллиндри-ческих координатах в случае, когда коэффициент диффузии очень мал или скорость распада очень велика при наличии химических процессов мы приходим к задаче указанного типа. К аналогичной постановке приводит также задача о распределении температуры внутри тонкой циллиндрической оболочки в условиях больших перепадов температур. Об этой физической задаче, как о возможном применении полученного алгоритма рассказывается в § 1.4.

В § 1.2 рассматривается К-мерное эллиптическое уравнение

в области

Г ¿>0^>0 - малые параметра Здесь и - эллипти-

ческий оператор вида

V='í ' * ... . ...

где £ входит как множитель при каждом дифференцировании по од-

й ** ной из переменных, функции О.<; 1О.,/- определены в Я , при-

Г(е-гчр ''

надлежат пространству С 1 , -периодичны по всем пе-

ременным, (X ( Х1,..., СС.^) <о(< 0. Функция 5е X -периодична по сс< , ссу и принадлежит пространству С ^ ^ . фи этих условиях доказано существование единственного Т -периодического по всем переменным решения из С Доказательство проводится методом последовательных приближений с использованием принципа максимума и априорных оценок Шаудера для эллиптического оператора. Асимптотическое разложение решения по малым параметрам строилось аналогично § 1.1. Оценка остаточного члена разложения проводилась также методом последовательных приближений с использованием принципа максимума и оценок Шаудера. Оценка получена в норме

с ^

что является особенно важным для этого круга задач. Подобные постановки возникают при исследовании различных процессов и расчете полей в телах с периодической структурой (кристаллы, перфорированные пластины и т.д.). Полученное выше решение является потенциалом поля, а реальный физический смысл имеют производные от решения (поток тепла,тензор напреяжений, напряженность).

Параграф 1.3 посвящен рассмотрению критического случая, т.е. такого, когда вырожденное уравнение имеет семейство реше-

ний. Исследуется 27Г-периодическое по у. решение уравнения

в области (]-<» <у<о«Е* [О^ОС^ е]} с граничными условиями по X.

и (0,р = и(е,у) = о

С помощью метода пограничных функций построено равномерное асимптотическое приближение решения в виде суммы регулярного и пограничного рядов. Доказана оценка остаточного члена одновременно с существованием решения. Дополнительные трудности по

сравнению с некритическим случаем здесь вызваны появлением 1

множителя уУ в оценке для соответствующего линеаризированного оператора Наблюдаемая "потеря точности" является характерной для критического случая.

Во второй главе рассматриваются нелинейные сингулярно возмущенные уравнения эллиптического типа. Доказывается существование решений типа пространственной контрастной структуры, что представляет интерес в таких прикладных областях, как химическая и биологическая кинетика, нелинейная оптика и другие. Б § 2.1 исследуется задача

Г ъх1 Ъу2-и(х,о) = и (ее) * 6°(ос)

и

- В -

где и (х) есть не зависящее от решение данного уравнения, имевдэе вид контрастной структуры с двумя пограничными слоят в окрестности точек X - 0 и 1. Доказывается, что при заданных 5 (л) и и достаточно малом^и в окрестности решения и (&) существует единственное решение типа контрастной пространственной структуры задачи (2). Центральным моментом доказательства является получение оценки для обратного оператора линеаризированного в окрестности и (х) уравнения (2). Сущэст-венное осложнение здесь вызвано тем, что коэффициент при свободном члене линеаризированного эллиптического оператора меняет знак. В противном случае оценка легко получалась бы с помощью принципа максимума.

В §2.2 доказывается существование решения типа контрастной пространственной структуры у эллиптического уравнения с другой нелинейностью.

7>£г Ъ^2-

У

и(х,о)= и(л)ч-80(я) и(х,С) = и(э:) + Ее(х)

где и (з.) есть решение задачи

" - - и ( и+о) и '(-!)= и1(1)=о

имеющее внутренний пограничный слой типа "всплеск". Доказано, что в окрестности однородного по у решения и (х) существует единственное решение задачи (3) имеющее вид пространственной, контрастной структуры типа "гребня". Усложнение по. сравнению со случаем, разобранным в § 2.1, здесь вызвано наличием положительных собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля, получаемой при разложении линеаризированного уравнения (3) в ряд Зурье. При этом появляется дополнительное условие на область исследования.

§ 2.3 посвящен обобщению предыдущих результатов. Уравнение имеет более общий вид

пгт£к

Доказывается существование у такой задачи решения с пространственной контрастной структурой типа "гребня".' фи этом требуется выполнение особых условий для

В третьей главе изучаются периодические пространственные контрастные структуры, что представляет большой интерес для практики.

В .§3.1 доказано существование периодических пространственных структур типа "ступенька" и типа "гребень" для уравнений рассмотреных в параграфах 2.1, 2.2, главы второй.

В § 3.2 исследуются слабо нелинейные автономные сингулярно возмущенные эллиптические уравнения в критическом случае. Развитый в диссертации алгоритм позволяет доказать существова-

ние периодических по обеим переменным решений, причем по одной из переменных решение имеет вид гладкой периодической функции, а по другой имеет вид периодической пространственной контрастной структуры.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ПОЛУЧЕННЫЕ В ДИССЕРТАЦИИ:

1. На основе метода пограничных функций разработан и обоснован алгоритм получения асимптотических разложений по малым параметрам периодических решений следующих задач:

а) сингулярно возмущённого слабо нелинейного эллиптического уравнения в трехмерной области в некритическом случае;

б) эллиптического уравнения в пространственно многомерной области с оценкой остаточного члена в классах Гельдера;

в) сингулярно возмущенного эллиптического уравнения в критическом случае.

2. Доказано существование решений типа контрастной пространственной структуры нелинейных автономных сингулярно возмушэнных уравнений эллиптического типа.

3. Шлучекы условия существования периодических контрастных пространственных структур, имеющих внутренние переходные слои типа "ступенька" и типа "гребень", в решениях нелинейных сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа

4. Получены равномерные асимптотические приближения периодических по обеим переменным решений сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа в критическом случае, имеющих по

одной из переменных вид периодической контрастной пространственной структуры.

Основные результаты диссертации опубликованы в следутащх работах:

1. Васильева А. Б., Петрова Ы. А. Периодические решения сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа. - Дифференц. уравнения. 1985, т. 21, N 6, с. 1013-1020.

2. Васильева А. Б., Петрова М. А. К вопросу о решениях типа контрастной структуры для сингулярно возмущенных уравнений. - Моск. гос. ун-т.-М.1989,18с, ил, -Деп.в ВИНИТИ 31.01.90 N 570-Б90

3. Петрова М. А., Шишмарев И. А. Периодические решения уравнений в частных производных с малыми параметрами. - Дифференц. уравнения, 1988, т. 24, N 7, с. 1275-1278.

4. Петрова М. А., Шшшарев И. А. Об асимптотике периодических решений уравнений в частных производных с малыш параметрами. Методы малого параметра. Тез. докл. Всесоюзн. совещ. г. Нальчик; Из-во КЕГУ, 1987, -с. 41.

5. Васильева A. R Петрова М. А. О некоторых решениях типа контрастной структуры для сингулярно возмущенных уравнений. Методы теории сингулярных возмущений в прикладных задачах.: Материалы Рижского совещания по теории сингулярных возмущений, февраль 1990 г., с. 66-75.

6. Васильева А. Б., Петрова Е А. Контрастные структуры в уравнениях эллиптического типа. - 1урн. вычисл. матем. и ыатем. физ. , 1992, т. 32, N 7, с. 1007-1015.