Алгоритмы без насыщения осесимметричных краевых задач для уравнения Лапласа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

. ^ с .(]

. £ • АОДЕШ НАУК СССР

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

Г ' .

;/ ;/

На правах рукописи

БЕГиС ВЛАДИМИР НИКИТИЧ

УДК Л9.64

АЛГОРИТМЫ БЕЗ НАСЫЩЕНИЯ ) ОСЕСИММЕГРИЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДАЛЛАСА

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1990

Работа ниполнена в Институте математик! X АН СССг>

Официальные оппоненты:

член-корр. АН СССР д.ф.-м.н. Сидоров А.Ф.

д.ф.-м.н. Бухгейы А.Л. д.ф.-м.н. Цецохо В.А.

Ведущая организация: Институт прикладной математики им; М.В.Келдша АН СССР

Защита состоится "_"_1990 года в_часов

на заседании специализированного совета Д 002.10.01 по присуждению ученой степени доктора наук в Вычислительном центре СО АН СССР (630090, Новосибирск-90, проспект Академика Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомиться б читальном зале отделения ГПНТБ (проспект Академика Лаврентьева, 6)

г Автореферат разослан "_"_ 1990 г.

Ученый-секретарь Совета к.ф.-м.н.

Кузнецов Ю.И.

ОБЩАЯ ХАРАК. .РИСИНЛ РАБОТУ

Стдзл

'Ау^уУчьность темы. Вычислительные алгоритмы, способные адаптироваться к свойствам гладкости отыскиваемых решений, вызывают все больший интерес, что обусловлено н^ только гас растущим значением в приложениях, но и постепенно обнаруживающейся глубокой связью со многими разделами математики (см. К.И.Бабенко. Оо.ювы численного анализа. Наука, 1966 , 744 с). Использование таких алгоритмов особенно эффективно в тех задачах, решения которых обладают высокой гладкостью; в частно-ст з краевых задачах для уравнения Лапласа, развитая теория которых все еще недостаточно подкреплена адекватными ей вычислительными средешами.

Основная вычислительная трудность в проблеме численного решения уравнения Лапласа (эллиптических ддач) видится прежде всего в построении прецлзионного достоверного ответа в любой области, для которой эллиптическая задача поставлена корректно. Несмотря на ряд блестящих достижений в областях специального вица, следует констатировать, что для гладких трехмерных областей г статочно произвольной формы указанная проблематика все еще не разрешена. Попытки численного решения этих ■ задач методами, основанными на локальных способах аппроксимации решения, приводят, как показал К.И.Бабенко (Основы численного анализа. Наука, 1986, 744 с), к дискретным задачам, порой выходящим за пределы возможностей современных ЭВМ. 3 связи с этим в эллиптических задачах очень остро стоит вопрос о конструировании суцесть„нко более экономных вычислительных алгоритмов.

Хорошо известно, что эффективность численных методик в эллиптических задачах, компакты решений которых обладают высокими аппроксимативными возможностями, определяется тем, насколько полно решение конечномерной задачи, полученной дискретизацией эллиптической, наследует дифференциальные свойства своего эллиптического прототипа. Слабой стороной существующих

численных методик б эллиптических эь. ,дчах является то обстоятельство, что они не используют в должной степени специфику задания оператора задачи как оператора эллиптического, игнорируя тем самым весьма существенную информацию решении -его принадлежность функциональным компактам сравнительно просто устроенным (александровские поперечники компактов решений эллиптических задач могут убивать экспоненциально). Известно (см. К.И.Бабенко. ДАН, 1978, т.241, К 3), что, если способ аппроксимации решения зависит от "малости разбиения", то вычислительный процесс будет заведомо не "гибким", и управляющее вмешательство в него с це^ю настройки на новый класс гладкости решений, если оно вообще возможно, весьма ограниченно.

Потребовалась новая (неразностная) концепция вычислительного алгоритма, способная гибко и эффективно увязывать информацию о степени гладкости отыскиваемого решения с точностью его непосредственного построения. Главенствующая заслуга в разработке такой концепции принадлежит К.И.Бабенко (ДАН,1978, т.241, № 3). Суть ее применительно к решению эллиптических заг, : - в целесообразности использования таких способов приближения решений, ошибка аппроксимации которых определялась бы не "малостью разбиения" области на части, а наличием и степенью роста производных высокого порядка. В вычислительных алгоритмах такого типа, названных ненаськцаемыми, функционал погрешности отыскиваемого решения выражается обычно в терминах аппроксимативных характеристик гладкости решек.¡я, например, его наилучших чебышевских приближений многочленами. Эффективность нг асыщаемых вычислительных алгоритмов полностью зависит таким образом от дифференциальной природы самих решений: чем более гладко решение задачи, тем быстрее убывают аппроксимативные характеристики решения и тем, следовательно точнее оно может восстанавливаться численно. Преимущество не-наеыщаемых вычислительных алгоритмов наиболее ощутимо в тех задачах, аппроксимативные характеристики гладкости решений ко торых убывают, например, экспоненциально. В связи с этим имен

но в гладких (бесконечно дифференцируемых) эллиптичес'ос задачах впервые появляются объективные предпосылки к уста-новлени: глубокой и в делом дружественной связи с вычислительными процессами, способными дать экспоненци льный порядок сходимости (и точности!) численного ответа. Напротив, насыщаемые вычислительные методы (например, конечно-разностные, конечны; элементов) обеспечивают здесь только лишь конечную (не экспоненциальную) скорость сходимости (характеризуемую .для уравнения Лапласа вторым порядком по величине 'нага сетки).

В работе К.И.Бабенко "О явлении насыщения в численном анализе"(ДАН, 197*., т.№ 3) дано общее определение насыщения вычислительного процесса и указаны те причины, которые к нему приводят. В двумерном плоском случ э конструкция алгоритмов без насыщения для уравнения Лапласа впервые указана К.И.Бабенко в работе "Несколько замечаний о дискретизации эллиптических задач" (ДАН, 1975, т.221, Н). В пространственном (осесимметричном) случае такие алгоритмы построены Белых В.' . в /1-11/ Общий трехмерный случай все еще ждет полного исследования.Связано это прежде всего с тем, что проблема ненасыщаемой апппоксимации функций на гладких многообразиях, гомеоморфных двумерной сфере, до сих пор еще не разрешена. '

Тематика диссертации примыкает к кругу вопросов, непосредственно возникающих при исследовании одной из труднейших проблем нестационарной гидрог чамики - проблеме "разрушения" свободных границ в идеальной несжимаемой жидкости. Интерес автора ; этой гидродинамической проблематике определился под влиянием Л.В.Овсянникова.

Целью диссертации является построение прецизионных (высокоточных) алгоритмов численного решения уравнения Лапласа в гладких трехмерных (осесшметричных) областях достаточно произвольной формы.

Общая метоцика исследования. Анализ исследуемых в диссертации эллиптических задач производился на основе классической

теории потенциала и конструктивной теории функций. При этом существенно используется теория М- - поперечников и £ -энтропии функциональных компактов, а также определе :е ненасы-щаеу.ых вычислительных процессов данное К.И.Бабенко (ДАН, 1978, т.241,

Науцная новизна. На основе математических идей, принадлежащих К.И.Бабенко, е диссертации построены принципиально новые - ненаснщаомце - алгоритмы численного решения пространственна (ососккметричных) краевых яадач для уравнения Лапласа, автоматически регулирующие свои собаченные характеристики в ответ на любое потенциальное изменение гладкости отыскиваемых решений, что позволяет конструировать их экономно и, например, с экспоненциальной точностью.

Теоретическая к практическая значимость. Построенные вычислительные алгоритмы находят применение в задачах, где требуется высокая точность численных ответов, а возмозшостк ЭВМ ограничены (бифуркационных, электронной оптики, со свободными границами). В частности, их использование позволило высказать кош ;уктивную гипотезу о характере зарождения особых точек решения в задаче об эволюции нестационарного газового пузыря в идеальной несжимаемой жидкости и тем самым впервые обозначить реальную перспективу для получения здесь строгих результатов (теорем) с помощью организации на ЭВМ доказательных вычислений .

В диссертации приведены примеры численных расче :>в ряда уникальных задач обтекания тел потоком идеальной несжимаемой жидкости, траг ионно считавшиеся недоступными для средств вычислительной математики.

Апробация работы. Результаты.диссертации докладывались на семинарах ИГ СО АН СССР (1984), МГУ (1984), И ГШ АН СССР (1984, 1986), ИМ СО АН СССР (1984-1990), ВЦ СО АН СССР (19Э0), на П рабочем совещании по теории граничных интегральных уравнении (Пущине, 1985), 4 Международной конференции по пограничным и внутренним слоям (Новосибирск, 1986), Всесоюзной конференции по актуальным проблемам вычислительной и прикладной математики

(Новосибирск, 1987), УП Всесоюзной школе-семинаре по теоретическим основам и конструированию численных алгоритме (Кемерово, 1988), П Всесоюзном семинаре по конструировании сеток (Кемерово, 1988), Ш Республиканской научно-технической конференции по'применению интегральных уравнений в прикладном моделировании (Одесса, 1989).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях автор«. /1-11/, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. -Диссертация состоит из бе^-де1 .я, трех глав, разбитых на 7 параграфов и 14 таблиц. Параграфы разбиты на гг'нкты, снабженные заголовками. Объем работы 163 е.; библиография содержит 76 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Зо введении обосновывается актуальность темы диссертации. Дана обдая характеристика и краткое ее содержание. Изложены основные результаты цисссртаиии.

Отмечается, что в рамках классической теории приближения функций понятие насыщения уже было сформировано, причем вне связи его с реальными вычислительными процессами (Фабер,1947). 3 современной ¡«числительной математик0 ненасыщаемые вычислительные процессы появились как следствие плодотворной математической идеологии, создателем и вдохновенным пропагандистом которой являлся К.И.Вабенко (см. Основы численного анализа. Наука, 1985, 744 с). Одной из примечательных особенностей не-наскщаемых вычислительных процессов является гас способность к саморегулированию по степени гладкости участвующих в них функций, Во введении в качестве примера, поясняющего реальный механизм учета гладкости в ненасьгдаемом вычислительном процессе, рассмотрена процедура вычисления определенного интеграла с помощью знасыщаеыой квадратурной формулы. При этом выясняется одна замечательная особенность таких квадратур: при возрастании числа узлов ть квадратурной формулы порядок ее сходимости (и точности) изменяется и, монотонно возрастая, самонастраивается на оптимальный для данного П- порядок производной подынтегральной функции, обеспечивая при этом наилучг,,!о для данного П- оценку погрешности. Иными словами, погреи^ость не-насыцаемых квадратур зависит лиаь от гладкости подынтегральных функций и ее вел: на автоматически прослеживает дифференциальные свойства функций. Отсюда извлекается одно очень важное обстоятельство, характеризующее ненасыщаемые вычислительные процессы, - отсутствие у них главного члена погрешности.

В глапе I, состоящей из двух параграфов, изучены свойства градиентов гармонической функции на ляпуновской замкнутой поверхности. Получены эффективные (с точки зрения численных реализаций) интегральные представления прямых значений градиентов гармонических потенциалов на достаточно гладкой осескмметрич-ной поверхности. Указаны высокоэффективные алгоритш вычисле-

ния полных эллиптических инт градов.

Приведем основные результаты § I. Пусть Ляпунове;?-ч замкнутая поверхность ^^ с нормалью о г- '■• раничичет в конечную область . Обозначим Пусть функция непрерывно дифференцяруе:.... вне'""^ и Р1 - ее прямое значение на ^^ . Для прямого значения произвол, ной ^РуЭд/ в точках поверхности примем обозначениеНР*. Введем гармонические потенциалы простого и двойного слоя

Г

=¥г XI со =

Здесь Р~ 1 ^ ~ 1 - расстояние между точками к б^и) и зеб Я . Известно, что операторы ~УСХ] иимеют на слабую особенность и поэтому вполне непрерывны в

иЦ>>),р- 1.

Теорема 1.3. Для существования единственного в л^р (. би>)* £<р <оа решени" уравнения +■ , необходимо и достаточно, О'Ч). _ ^

Теорема 1.4. Решение уравнения имеет в;1Д _ __ „

£ + //Щ, '

здесь У , ЭД^ интегральные операторы соответственно с ад-рами

Пусть ^^ - достаточно гладкая замкнутая поверхность вращения, меридиональное сечение которой задано с помощью отображе-

кия СО, 5СО}, ЧъО, х'ъО.

Положи:: § ~ 3 = 5 СО, 2 = ^(5).

функции: К Сое}. . * 72 . Л

о

о

Предположим, что плотность Ж^) введенных вше гармонических потенциалов непрерывна на и инвариантна относительно группы вращения поверхности. Тогда справедлива

Теорема 1.5. Прямые значения гармонических потенциалов (и их производных) на гладкой осесимметричной поверхности имеют следующую структуру

л & = и * / к; ср] С*

о

Здесь

- полные эллиптические интегралы аргумента , а С^Се^юО^), - равномерно

непрерывные на квадрате ^ функции.

Б диссертации утверждения теоремы 1.5 представляют набор аналитических выражений: ввиду громоздкости, пришг^сь ограничиться указанием только их структуры (очень важной кстати для реализаций на <Ж<!).

Результаты ' 1 изложены в работах /1,7,8,11/. Как следует из теоремы 1.5 решение осесимметричных задач требует эффективных методов вычисления полных эллптических ■ интегралов как функций их модуля . Поскольку ^ - функция двух переменных, то к способу вычисления полных эллиптических интегралов предъявляются особые требования. Хорошо известно, что вычисление функций £(<|Л , , затруднено из-за

медленной сходимости степенных рядов, представляющих эти

функции при А . Одним из приемов, позволяющих ускорить сходимость степенного ряда, является аналитическое п^должак1. 0 ряда п окрестность его особой точки. Эвристической основой для этого служит известная связь функций КО^), Е с частными решениями гипергеометрического уравнения. Располагая такой информацией о функциях { О С^, К СО,)}

ыото, аналитически продолжал соответствующее решение гипер-геометряческого уравнения, выделить ос 1енности явно в виде множителя и указать удобные для вычислений рекуррентные формулы.

В 5 2 построены новые алгоритмы вычисления полных эллиптических интегралов первого и второго рода. Они основаны на быстросходящихся степенных рядах; знакоопределенность членов ряда обеспечивает вычислительным процессам хорошую обусловленность (устойчивость к ошибкам округления;. Алгоритмы оказались гибкими и легко приспосабливаемыми к любым запросам вычислительной практики.

Теорема 2.1. Для любого целого р^ О справедливо представление

= + ор .

л55-

Способы вычисления функций Н'рС^ и "хрС^Л указаны в диссертации в теореме 2.2 (в виду громоздкости она здесь не приводится) .

Отметим, ло выбор целого числа р^О будет в дальнейшем (см. §5) связан с нейтрализацией пограничного слоя квадратурными (^рмулами, учитывающими специфику логарифмической особенности интегральных операторов осесимметричных краевых задач.

Результаты § 2 опубликованы в /5,8/.

Глава П диссертации состоит из двух параграфов (§ 3 и §4) и продолжает изучение вспомогательных вопросов, подчиненных идее построения ненасыщаемьк вычислительных алгоритмов в осе-симметричных краевых задачах для уравнения Лапласа. Здесь з

явном виде вычислены нетривиальные интегралы типа Коши по разомкнутому контуру, построены новые ненасьцаемые квадратурные формулы; обнаружено новое свойство ненасьпцаемых квадратурных формул - их способность к нейтрализации пограничное слоя.

3 § 2 вычислены в ясно;«! виде интегралы типа Коши с логарифмической особзнностью по разомкнутаду контуру. Указанные ниже интегралы возникли при конструировании специальных квадратурных формул для аппроксимации интегральных операторов осесимметрич-ных храееюс задач. Известно, что этот этап наиболее ответствен при решении интегральных уравнений. Именно поэтому явное вычисление встретившихся интегралов оказывается предпочтительнее любого приближенного их представления. Идея используемого здесь метода принадлежит Г.Н.Пыхтееву и состоит в сведении интегралов типа Коли к некоторым интегралам Коши, мероморфных в единичном круге функций. Отметим, что момент построения мероморф-ной функции с нужными свойствами пока не алгоритмизован и является трудным. Однако, именно на этом пути рассмотренные в § 3 интегралы типа Коши были вычислены в явном виде. Укажем некоторые результаты.

Тео: .-». 3.3. Пусть-4<*с<1> Со4аа'гсссЗос > тогда

-1

3 - ос

-1

где

о® ^ ^

, ¿оса) - л

7 £ч-ос (Як-*-!)

а функции

'"Г^*1 1 — С~ ^ г*

то!

вычисчются с помощью простых трехчленных рекурсий по предварительно рассчитанным коэффициентам ¿Г. = 2. ? =

а « а- '-5) с с./(;-, £ * ] < [.

г У

Результаты § 3 подробно изложены в /8/.

Завершае- вторую главу §4., посвященный конструированию не-насыщаемых квадратурных и интерполяционных вычислительных процессе: 3 нем, в частности, построены новые ненасыщаемые квадратурные формулы, близкие по своим свойствам к гауссовским, но более удобные в приложениях.

В основе любой квадратурной формулы лежит определенный способ аппроксимации функций. Так что сама постановка задачи приближенного интегрирования вынувдает ограничивать каким-то спо-бом множество X возможных подынтегральных функций. Например,

X должно быть таковым, чтобы любой его элемент ^ конструктивно представлялся с любой наперед заданной погрешностью

- -

элементами более простой структуры, i оворя о погрешности, считаем, что f&Cilj, Is . Таким образом, в

задаче численного интегрирования возникает проблема конструктивного описания процедур аппроксимации, которые из совокупности функций простой структуры, например многочленов, приводили бы к содержательному описанию более сложных классов в ССЯ. Без ограничения общности считаем X компактом. в СП] . Кячсстбо выбираемого способа аппроксимации

X определяемся сравнением величины погрешности аппроксимации компакта X с соответствуя^'/" ft- - поперечником.

Ограничимся прибликенкем непрерывных функций многочленами. Пусть С [I] - подпространство алгебраических многочленов степени не вьгле П-А, min llf~J?n ll,-Pn£

Задача чебьЪевского интерполирования элемента -fé CEI] состоит в отыскании многочлена такого, что

= (If - Qri ü • 3 силу классических теорем Джексона указанный чебьпеЕСкий аппарат приближения многочленами не-насыдаем (К.И.Бабенко. ДАН, 1978, т.241, S 3). Поскольку по порядку приближения последовательность подпространств Р5 экстремальна сразу для многих классов гладких функций из CCI] , то чебькевеккй аппарат приближения многочленами аппроксимативно универсален в CCI J {теорема о поперечнике). Таким образом, любая непрерывная функция f представима в СП] многочленом Qn с точностью En(f) (при фиксированном fi том более высокой, чем выгае гладкость с эй -f ). Этим характеристическим свойством - быть конструктивны;/ носителем информации о дифференциальной природе непрерывной функции - и опреце- jtch статус многочленов Qn~ в теории приближений . Процесс построения многочленов фп. , однако, очень трудоемок (см. Н.С.Бахвалов. Численные методы. Наука, I j, 531 с), поэтому в практических вычислениях они редко используются. Более конструктивный способ учета дифференциальной структуры гладких функций при интерполировании состоит в использовании интерполяционных проекторов р ; <С —>

/5 А / / - X

з-зсь 4 Ш = (К) Ъ « * * "Ъ>

СоьСпаъссо^), Ч^С^С^Ха).

В силу неравенства Лебега

||#Ь)-рп«г; ^¡УЦ ± (1+ ¡-'р. и)М>

способ аппроксимации (I) не обладает насыщением и дает приближение, близкое к наилучшему чебьшевскому. Выбор проектора в форме (I) обусловлен тем, что Ирп II 6 $ + £.

Квадратурные формулы для вычисления интегралов

свяжем со способом аппроксимации (I). Построим их так, чтобы они были точны на многочленах из . Для этого в фиксированных узлах = ЗГ) ± П- определим коэффициенты

¿1- ,-ги

^Д) --яг спМ/та'(+д

-1

л затем положим +1 П-

Л

-$ 4141 «* = 11>ь +ТкФ ■ -1 .

Коэффициенты C¿ , ¿-¿¿ги- вычисляются на основе теоремы 3.3. Пригодность квадратурных формул для численных расчетов оценивается по влиянию ошибок округления на окончательный результат. Наличие отрицательных чисел среди С I ^ с!.;з 1&с< п. зачаг-ую приводит к нарушению правильной работы квадратурных формул. Построенные в диссертации квадратурные формулы (2) хорошо обусловлены, поскольку справедлива .

Теорема 4.1. Если (V нечетно, то С'>0 , «¿>0 для<^=£,". - л и 1-рп.Ф I 4 Ц Еаф, Трп. = ОРа. к ) • Квадратурные формулы (2) не обладают насыщением, поскольку величина функционала погрешности автоматически проел кивает

дифференциальные свойства функции • В случае

£ б с^аз

он убывает, наг':-мер, экспоненциально с ростом числа узлов 1% , и достижение нужной точности происходит, очевидно, при небольших /г- . Отмеченное свойство ненасыщаемых квадратурных формул (2) позволяет за счет использования дополнительной информации об ^ парировать сильный рост ее градиентов (пограничный слой). Эта способность квадратурных формул нейтрализовивать пограничные слои основывается на одном тонком результате теории приближений функций

, многочленами,

который устанавливает при общей равномерной оценке 0(П-~ ^ ) возможность приближения у-концов отрезка Х = О с по-

грешностью более высокого порндка(В.К.Дзяднк. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. Hay..., 1977,, 222с.). Для выявления этого нового свойства квадратурных формул сузим класс подынтегральных функций в (2) -ч С и введем Определение. Функция С Cl] Л t) обладает

на отрезке пограничным слоем толщин« £<э , если су-

ществуют такие малое число f >0 и функция PCX) , что при любом целом К ъ О

[ ГМ, ± 6 Ir H [-ive, 1-тД,

ifbl-J О)

sT Fte), -t G I/Ir, £o Cc).

Оценить погрешность построенных квадратурных формул (2) на классе непрерывных функций с условием (3) позволяет вытекающая из теоремы Джексона и леммы К.И.Бабенко и В.А.Стебунова (Препринт ЙПМ АН „ССР, Я 93, 1975).

Лемма 4.1. Если ссп и верно (3), то

л. * 1-. ■

(Числа пк вычисляются известным способом по

из (3)).

Практически, смысл приведенн. ,'0 результата состоит в том, что за счет перераспределения пограничного слоя по вссм.у отрезку £-1, толщину пограничного слоя удалось увеличить до значения

При практическом использовании квадратурных формул важна скорость уменьшения погрешности при увеличении числа узлов /V. Порядок убывания правой части в (4) лриЯ.-*«*3 определяется темпом роста производных в (3). Пусть — ^ и

■шп. (?00/х'"=оо при любом и с*о . Введем функции

АС*)« > = Ц

± £ К ¿"5е ^^

Лемма 4.2. При cc^l ф2шкция непрерывна, монотонно

убывает и стремится к нулю- при , а целочисленная функ-

ция 0ftO непрерывна справа, монотонно возрастает и стремится к бесконечности при сс-^ о=>.

Из свойств функций Лесе) , "Ох) следует, что при возрастании числа узлов квадратурные формулы (2) автоматически настраиваются (по фактической гладкости подынтегральной функции) на оптимальную для данного М оценку погрешности (4), обеспечивая при этом (за счет гладкости подынтегральной функ- . ции) нейтрализацию пограничного слоя. Иначе говоря, наличие у подынтегральной функции непрерывных производных в количестве ^v^WrO гарантирует выполнение неравенства},-"..,. .^Ч-Э^Ц т.е. нейтрализацию пограничного слоя толщины £.л. Требуемая точность вычисления £ < будет достигаться, таким образом, при зн: :ениях параметра ^ , превосходящих некоторое "пороговое" значение (H-mln увеличивается с уменьшением £о ).

Квадратурные формулы с главный членом погрешности способностью к нейтрализации пограничного слоя не обладают.

Как следует из леммы 4.2, для экспоненциального убывания функционала погрешности "PfvC^") к нулю при возрастании П-вовсе необязательно, чтобы функция

№ была бесконечно дифференцируемой в замкнутом промежутке [-i, i] : вполне достаточно, чтобы она обладала этим свойством во внутренних точках отрезка £-1, i] . Ь этом случае диапазон экспоненциального убывания функционала ~раС j-) существует при ft"7 ^mia и достижение нужной точности В< So потребует всего лишь незначительного отличия П. от значения min •

Завериают § 4 результаты, относящиеся к интерполяции периодических функций и построению ненасыщаемых процедур вычисления производных. Дусть С- 1-Я, &JU - пространство непрерывных лери-

одических функций с г. риодом , а ji'H - норма в нем. Положим

п „ _ÜLL_ ¿ = о, i»..., Hrn..

1 Ь + i

Отображение

11 аол*!-*^ j.f-(Mi.-, faj)

с расшифровывающим алгоритмом, основанным на вычислении многочлена Лагранжа

йт Я -О

п (5)

является агрегатом, интерполирующим функцию ' £ ГР. у Д^®)- ядро Дирихле. По теореме Лебега

ф)-

'здесь - константа Лебега интерполяции, а -

наилучшее приближение функции тригонометрическим много-

членом порядка ^ УП. . В силу классических резул. гатов 6 З + ^/зг-2--^гьпг.

Конструктивные характеристики различных классов периодических функций в

хорошо изучены. Классическим результатом здесь является следующая теорема: необходимым и достаточным условием того, чтобы является убывание при ее наилучших приближений порядка (ти как ГП~^ (прямая и обратная теорема Д?кс зона). Для того, что-

бы более полно судить о том, насколько простой и глубокой оказывается связь характеристик с дифференциальными

свойствами ^ , приведем еще один классический результат: для того, чтобы С необходимо и достаточно,

чтобы етС^) убывали на С °> Ял\] экспоненциально с возрастанием Пг . Поскольку в периодическом случае между прямыми и обратными теоремами теории приближения практически нет "зазора" (теорема о поперечнике), то тригонометрические многочлены оказываются наилучшим аппаратом приближения периодических функций для 1...огих классов гладких функций из ссо^&зг! . Таким образом и в периодическом случае в качестве конструктивного элемента теории приближения непрерывных функций удобно выбирать (тригонометрический) многочлен. Условимся производные функции заменять производными ее интерполяционного многочлена ^гп • Многочлены наилучшего приближения производных функции £(6) , вообще говоря, не являются производными от многочлена наилучшего приближения самой функции. Оценим совершаемую при этом ошибку.

Теорема 4.3. Если С Яэг] и 0& $ & £ , го

где

«¿п»гв 0.5^(1+11^(1)+ (±

Полученная оценка следует из результатов В.Л.Гаркави (ИАН, сер.матем., 1960, т.24, )р I).

Из теоремы 4.3. вытекает, что если последовательность интерполяционных многочленов ^ 4^) доставляет функи"ч приближения, близкие к наилучшим, то тоже верно для последовательности »и производных . Ясно, что указанный способ приближения периодической функции одновременно с ее производными при . лощи интерполяционного многочлена (5)'не обладает насыщением.

К аппарату приближения (5) периодических функций должны быть предъявлены требования и практического характера. Оценить, следует ли способ аппроксимации считать удачным в качестве инструмента для расчетов, можно по влиянию ошибок округления на окончательный результат. Полезную информацию п~ этому вопросу дает неравенство Лебега. Применяя формулу (5), выбираем се порядок т. в зависимости от точности £>0 , с которой желаем получить ответ. П. . этом с вполне определенной точностью£>0 следует задавать и значения функции ^40) в узлах■ Поскольку принятый способ вычисления $(9) состоит в замене ее многочленом ^т, то минимальная ошибка, очевидно, есть . Отсюда следует, что нужно

взять ¿1= . И тем самым, при числе узлов .Т- запоминаем

функцию |С9) с точностью £ в -И-*:!«.' -л-

Результаты § 4 опубликованы в работах /2,8-П/. Конструирование численных алгоритмов решения эллиптических краевых задач всегда предполагает следующую последовательность действий: сначала на основе выбранного способа аппроксимации решения задача сводится к ее конечномерному аналогу, а затем указывается эффективный способ решения полученной таким образом системы линейных алгебраических уравнений.. Точность построенного численного ответа зависит от того, в какой степени конечномерная задача наследует свойства отыскиваемого решения. Перспективны?-! способом отыскания решений осесимметричных краевых задач для уравнений Лапласа является метод граничных интегральных уравнений. Численная реализация его, однако, затруднена тем, что в точках, близких к оси симметрии., яцра интегральных операторов растут обратно пропорционально расстоянии до оси симметрии, формируя вблизи нее своеобразный "пограничный слой". В рамках существующих численных методик справиться с обнаруженной вычислительной трудностью не удается. Заметим, что при реализации краевых задач на ЭВМ, как правило,•используются два типа входной информации. Это - информация аналитического характера об операторе задачи и и- Формация геометрического характера об области. Всякий адекватный численный метод ре-

шения задачи должен предусматривать совместную переработку указанных видов информации, в связи с чем геометрическая информация должна быть преобразована к аналитическому виду. В плоских задачах теории потенциала геометрия области учитывалась с помощью функций, осуществляющих конформное отображение области на круг(С.Д.Алгазин, К.И.Бабешсо. ДАЛ, 1979, т.224, № 5). В рассматриваемых в диссертации осесимметричных краевых задачах геометрическую конфигурацию меридионального сечения области удается учесть в термг-ях построенной о третьей главе ¡.—тематической мо-•эли пограничного слоя этих задач,

В главе Ш, состоящей из трех параграфов (§5 - §7), основное внимание сосредоточено на принципиальных вопросах построения и обоснования нового - ненасыщаемого - метода численного решения краевых задач для уравнения Лапласа в случае гладких (классаС00) осесимметричных областей достаточно произвольной формы. Показано, что построенньв здесь вычислительные алгоритмы не обладают насыщением, а ...жечномерная задача, аппроксимирующая исходную эллиптическую, хорошо обусловлена. Отметим, что построению не-насыщаемых вычислительных алгоритмов предшествовало исследование ряда важных вспомогательных вопросов, изложенных в 51 - §4.

В § 5 построена математическая модель пограничного слоя, позволившая (за счет гладкости отыскиваемого решения) выразить специфику геометрии меридионального сечения области в терминах погранслоя и свести вопросы нейтрализации последнего к соответ-вующему свойству ненасыцаемых квадратурных формул (2).

Согласно теоремам 1.5, 2.1 прямые значения рассматриваемых в третьей главе интегральных операторов осесимметричных краевых задач имеют следующую структуру i А

О О

Ьцесь ^.Сб", S) _ модуль эллиптического интеграла а S) - равномерна непрерывные на квадрате со, 1] К СО» и функции.

Для численной реализации выражения (6) потребовалось до-

полнительно выявить те факторы, которые предопределяют резкое падение точности квадратурных формул, когда текущая точка 5 приближается по кривой ^) к оси симметрии. Бьио установлено, что обнаруженные вычислительные трудности являются ¿сего лишь своеобразной платой за цилиндрическую симметрию за; чи и могут быть интерпретированы с помощью параметра Ь^С^З), который вблизи оси симметрии оказывается универсальной характг . ристикой роста подынтегральных фикций с (6). В связи с этим функцию к-Де^)назовем пограничным слоем осесимметричной задачи, а параметр Я^С^З) г изменяющийся от точки к точке и зависящий от геометрии области, - его толщиной. Было выяснено, что именно пограничный слой создает основную вычислительную трудность в осесишлетричных задачах. Справиться же с ней при помощи насыщаемых (с главным членом погрешности) квадратурных формул не удается, поскольку они неэффективны в рассматриваемой ситуации, Ненасьгщаемые квадратуры (2) с обнаруженными трудностями успеино справляются. Чтобы убедиться в э^ом, сделаем в (6) замену (неявную) переменной интегрирования

Г- ЛС^-У

ЪсП. О _

■I: -; ^ - 1°> ^ (О, о

с, л-Сеч 5} (7)

—а—'

При фиксированном £&(031) отображение

•играет важную роль, поскольку, с одной стороны, способствует выяснению структуры "плохих" функций осесимметричных задач, так как

а с другой стороны - преобразует (б) к удобному для применения формул (2) виду

г +1 "1 •

£ г

(8)

и -I

-1

л

Здесь £ = О.ЕЛГ£иг. а операция'4' действует на равно-

мерно непрерывные в " функции следующим обра-

зом: ^ Н ^ = (функция ©"{-¿,2) является об-

ратной к ). Для бесконечно дифференцируемых функций

из (7) извлекается равенство

в силу которог пограничный слой в (8) выделяется в явном ви-

э и толщина его £ « А5зг5и*зг5 не зависит от точки интегрирования 6" (ср. с функцией к* С^р).

Параметр р^-О , фигурирующий в теореме 2.1, ответствен за степень гладкости подынтегральных функций в (8) (функции принадлежат классу С ^Р*1 1_} ). Выбор р еле,дует таким образом подчинить условию нейтрализации в (8) пограничного слоя толщины £ , т.е. неравенству р^р0—. Количество участ-

л»

вующих при этом производных, определяется по правой части неравенства (4) и равно значению ©С^т^п,}.

Замечание. Отображение 5 С0, ^, играющее важную роль в осесимметричных задачах, позволяет с единой точки зрения рассматривать гладкие осесимметричные краевые задачи. Достигнутое с его помощью еди' образие позволяет за счет гладкости отыскиваемого решения задачи освободить конструкцию вычислительного алгоритма от детального учета геометрии каждой осесимметричной области. Многообразие же гладких осесимметричных областей задается распоряжением и толщиной пограничного слоя.

Результаты §5 изложены в работах /3,4,6,8/.

В §6 проведено обоснование новой вычислительной методики: показано, что построенные на основе результатов §1 - § 5 вычислительные алгоритмы ненасыщаемы, а конечномерная задача, аппроксимирующая исходную эллиптическую, хорошо обусловлена.

Перейдем к изложению результатов §б. Пусть - осесиммет-ричная область в К ,014 ниченная достаточно гладкой (класса С ) поверхностью вращения , меридиональное сечение

которой есть кривая ^ £ С СО, 13. Ограничимся рассмотрением в осесимметричных задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа с достаточно гладкими краевыми значениями +65) (например, из класса С ). С помощью потенциалов и "УТЧ1!! эти задачи сводятся к граничным интегральным ур мнениям вида

ч»+кч» - # ^ (9)

К - компактный в С"*" оператор. Здесь С'5"— С СО,!]- пространство непрерывных четных периодических с периодом 2 функций; норму в нем обозначим " . Наилучшее чебьшевское приближение функции тригонометрическими многочленами порядка не больше обозначим ё^С^) , Пусть

ал - - -т+а'

¿тч 1

ч а

Интерполяционный многочлен функции возьмем в виде

{см.(5).

р

к = с I-

Штрих у знака суммы означает, что слагаемое с К = С берется с коэффициентом 1/2. Положим ЧТ5)=

(40 (5) , тогда из уравнения (9) имеем

(Г-ЬЙ'У = ^+

где

А - матрица размеров , эл 'енты которой вычис-

ляются с помощью квадратурных формул (2). Отбрасывая вектор

о£К - погрешность аппроксимации - и обозначая приближен-

ное значение вектора ^Ч1 & К через ^ >

получим искомую цискветизацию задачи (9):

(Г + А^ = У (10)

(I - единичная матрица).

Чебышевскую норму векторов ^ £ К и матриц А —

1\ условимся обозначать соответственно и ,

а меру обусловленности матрицы А -[ Т+Д[^ • [(Х+А)"^!^.

Если уравн 1ие (9) разрешило при любой правой части и 11441 ¿мц^ц

, то справедлива

Теорема б Л. ПриП.>Ит;п> (п^гпо уравнение (10) разрешимо' . лри любой правой части , причем

Х>с>

эг-н^ (1^11). (п)

Постоянные »/о » ¿о не зависят от иъ ; их можно выбрать следующим образо»"

с^фм^пки

ьп >;о

Доказательство теоремы проводится по схеме, изложенной в работе С.Д.Алгазина и К.И.Бабенко (Препринт ИГШ АН СССР № 46, 1978). Решающим моментом в доказательстве явилось то наблюдение, что оператор К имеет слабую особенность и потому обладает более сильными свойствами непрерывности, чем сам!. функции, на которые он действует.

По сравнению с конечно-разностными построенные вычислительные алгоритмы имеют важное преимущество - они без насыщения (К.И.Бабенко. ДАН, 19'"3, т.241, № 3). Для эффективного использования оценок (II) необходимо, конечно располагать априорной информацией о точном решении задачи (9). Во многих случаях

порядок стремления к нулю чебышевских характеристик СЧО отыскиваемого решения Ч* устанавливается по гладкости функции ^ . В практических расчетах, однако, важны не столько сами априорные оценки решения задачи (9), сколько дифференциальные свойства решения, обеспечивающие достаточно ( .трое убывание чисел при возрастании r»u . Такую информацию

можно получить по входным данным исходной эллиптической зг i-чи. Тем самым в оценку погрешности (II) входят те характеристики точного решения, которыми мы практически всегда располагаем.

Решающим фактором в отношении точности построенного численного решения является скорость уменьшения погрешности при увеличении m-. в случае бесконечно дифференцируемого решения

6 ^^характеристики точного решения задачи (9)

убывают быстрее любой конечной степени числа 1/пг . В связи с этим предлагаемый ненасыщаемый метод очень быстро приводит к приближенному решению задачи (9) с нужной точностью, поскольку правая часть в неравенстве (II) убывает экспоненциально с ростом числаW- , ТПЪНЪо, и достижение нужной точности, очевидно, произойдет при небольших т> .

Сходимость приближенных решений уравнения (9) определяется гладкостью точного решения fC5) , но не ядра интегрального оператора К , что отличает указанный метод от метода численных квадратур, в котором требуется,достаточная гладкость нз только точного решения задачи, но и ядра интегрп пьного оператора К . Таким образом, указанное выше преимущество ненасы-щаемого численного метода может быть сохранено .¡ишь в случае, если численная реализация интеграл- чых операторов осуществляется либо аналитически, либо при помощи квадратурных формул с погрешностью, не превосходящей величины (I ÇroCHOil при •^"»/ППа . В случае С СО, i3 применение квадратурных

формул (2) с числом узлов М- , (^.'„зависит от толщины

пограничного слоя в точке S ) позволяв вычислить элементы матрицы А практически с любой точное -en l'QrJQÉ^C'-p),

поскольку приП>И-м;а погрешность квадратурной формулы (2)

убывает экспоненциально с ростом И- (см.лемму 4.2).

Левое неравенство в (II) всегда выполнено, поскольку дифференциальные характеристики решения б^СЧО зависят от про-•ст ранет ва (тригонометрических многочленов порядка не выше гп- ), а не от выбора координатных элементов в нем. Достоинство аппроксируюцего аппарата определяется, однако, тем, насколько полно он сохраняет дифференциальные характеристики отыскиваемых решений (см. §4). Для периодических функций одной переменной эффект сохранения дифференциальных характеристик приближаемых решений хорошо известен: тол-ко осуществляя наивысшую ск. юсть приближения, аппроксимирующий аппарат полностью унаследует дифференциальные характеристики отыскиваемого решения задачи. Таким образом, используемая в теореме 6.1 дискретизация задачи (9) не сохраняет полностью гладкость отыскиваемого решения, поскольку правая часть в (II) имеет порядок убывания, вообще говоря, не соответствующий порядку убывания характеристик точного решения ^т^) задачи (9). При этом коэМициект при б^С?) характеризует как бы потери гладкости численного ответа за счет выбора базиса в Т* (способа аппроксимации решения).

Утверждение теоремы 6.1 о том, что число обусловленности задачи

не зависит от Ю> , сразу ориентирует на то, что процесс построения приближенного решения ее будет устойчив, т.е. ошибкг округления приближенного решения окажутся примерно того же порядка малости, что и ошибки, допущенные при вычислении матрицы А и правой части ^ . Указанное обстоятельство способствует выбору правильной тактики при проведении численных расчетов.

Теорема 6.2. В условиях теоремы 6.1 систему (10) следует решать итерациями по схеме

1..... (12)

Итерации сходятся со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем й, < £ ; конст :та ^ заключена в пределах

1 значения и р> эффективно вычисляются.

Делать вывод о близости и Ч5 следует, однако, на ос-

новании эффективного критерия прерывания итерационного процесса. За такой критерий удобно принять количество верных значг /х цифр в предполагаемом ответе (относительную ошибку).

Теорема 6.3. Из оценки |(Т+ А) * /1 + 1 со 6 £./^СА)

следует неравенство I Ч> — I^ / 11РI ^ 4 £.

Заметим, что осуществить итерационный процесс (12) с любой заданной точностью £ > О , используя конечно-разрядную арифметику ЭВМ, нельзя, если не предпринять специальных мер (см. С.К.Годунов. Решение систем линейных уравнений. Наука, 1980, 177 е.). Завершается § б результатом, относящемся к численному решению осесимметричной задачи Дирихле гармоническим потенциалом.

Численное исследование ряда важных прикладных задач таких, например, как со свободными границами, электронной оптики акцентировало внимание и на проблеме построения, прецизионного численного решения интегрального уравнения УС^З— (см. §1), являющегося, как известно, классическим примером некорректной задачи. Некорректность этого уравнения обусловлена тем обстоятельством, что оператор не может быть ограниченным, ибо V* - компактен, в - энтропийный анализ, проведенный К.И.Ба-бенко (Основы численного анализа. Наука^ГЭВб, 744 с), показал, что "степень некорректности" оператора V""'*' , грубо говоря, как и у оператора дифференцирования. Указанное об -^оятельство стимулировало автора к поиску такого представления решения уравнения первого рода = £ , из ..второго,отмеченная -С.И.Бабенко^параллель с оператором дифференцирования становилась бы наглядной. В случае осесимметричной задачи с помощью -еорем 1,4, 6.1 получаем следующий результат.

Теорема 6.4. Для численного решения интегрального уравнения Ч/С^и^ существуют алгоритмы без насы-^ния.

В конструкция такого алгоритма входят, очевидно, следующие [енасыщаемые вычислительные процедуры: дифференцирование и ре-[ение двух (внутренней и внешней) задач Дирихле.

Результаты §6 опубликованы в работах /3,4,6,о,10/. В §7,построенный в диссертации ненасыщаемый вычислительный метод демонстрируется на тестовых примерах, в частности^зада-чах обтекания тел потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Здесь с высокой точностью построены численные решения задач Дирихле и Неймана в областях, ограниченных эллипсоидом вращения с отношением полуосей, например, равным 0.00Î (для сравнения укажем, что отношение полуосей, равное 0.04, представляет уже значительные вычислительные трудности для традиционных (..асыщаемых) вычислительных методик).В диссертации приведено 14 таблиц расчетов. Точность построенных приближенных решений (и их градиентов) на границе осесимметричной -области составляет 5-6 десятичных разрядов (в чебышевской норме); количество итераций при этом ограничивалось десятью; вычисления производились в арифметике с одинарной точностью. Глобальные параметры вычислительных алгоритмов р (теорема 2.2) и т. , п (теорема 6.1) для всех расчетов были выбраны одинаковыми и соответственно равными 10 и'20, 501. Время, затраченное на получение любой из таблиц, не превышало десяти минут на ЭВМ БЭСМ-6.

Результаты §7 приведены в /8/.

В заключение г -"ор с глубокой благодарностью вспоминает вдохновляющую поддержку Константина Ивановича Бабенко.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

I. Гелых В.Н. К вопросу конструирования численных алгоритмов нестационарных задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами// Уравнения в частных производных и задачи со свободными границами.- Киев: Наук.думка, Iе. J3.-С.24-28.

.. Белых В.Н. Численные алгоритмы без насыщения в осесиммет-ричных задачах для ураг эния Лапласа// Четвертая Международная конференция о пограничным и внутренним слоям: вычислительные и асимптотические методы/Дез.докл.-Новоси-

- ;о -

бирск, 1986,- С.21.

3. Белых В.Н. Алгоритмы без насыщения в осесимметричных краевых задачах// Докл. АН СССР,- 1987.- Т.295, № 5,

С.I037-1041.

4. Белых В.Н. Алгоритмы без насыщения в задаче численно .-о решения уравнения Лапласа/Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики/ Тез.докл. Всесоюзной конфе ренции.- Новосибирск, 1987. - С.29-30.

5. Белых В.Н. О вычислении на ЭВМ полных эллиптических интегралов К(х) и Е(х)// Краевые задачи для уравнений с частными производными.-Новосибирск, Из-во ИМ СО АН СССР, 1988.-

С. 3-15.

6. Белых В.Н. Численное решение уравнения Лапласа. Алгоритмы без насыщения осесимметричных краевых задач // Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1988.- Вып.84.- С.28-46.

7. Белых В.Н. Численные алгоритмы без насыщения в проблеме "разрушения" свободных границ// Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики/Тез.докл. УП Всесоюзного семинара.-Кемерово, 1988. - C.I4.

8. Белых В.Н. Численные алгоритмы без насыщения в нестационарных задачах гидродинамики идеальной жидкости со свободными границами//Вычислительные проблемы в задачах математической физики.- Новосибирск: Наука. Сиб.отд-ние, 1988,-(Тр./ АН СССР. Сиб.отд-ние. Ин-т математики; Т.II).- С.3-67.

9. Белых В.Н. Алгоритмы без насыщения в задаче численного интегрирования// Докл.АН СССР.-1989.-Т.3.04, КЪ.-С.529-533.

10.Белых В.Н. Ненасьпцаемые квадрат; ные формулы в методе граничных интегральных уравнений//Интегральные уравнения в прикладном моделировании/Тез.докл. Ш Республиканской научно-технической конференции, ч.I.- Лиев, 1989. С.26-27.

11.Белых В.Н. Ненасьпцаемые вычислительные процессы и их использование в численном анализе и пшкладных задачах//Конст~ руирование алгоритмов и решение зад,.ч математической физики.- М.: Изд-во Ин-та прикл.матем. АН СССР, I9e9.-C.7-I8.