Решение краевых задач для параболических уравнений методом Монте-Карло на основе преобразования Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Использование преобразования Фурье для решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности

1.1. Основная задача и использование преобразования Фурье

1.2. Решение задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром.

1.3. Решение задачи Дирихле для уравнения теплопроводности

1.4. Решение многомерной задачи Дирихле для уравнения теплопроводности и уравнения Гельмгольца.

1.5. Тестовые расчеты.

Глава 2. Решение смешанных краевых задач для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром методом Монте-Карло и применение преобразования Фурье при решении краевых задач третьего рода для уравнения теплопроводности

2.1. Решение смешанной краевой задачи для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром.

2.2. Решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности

2.3. Тестовые расчеты.

Глава 3. Построение глобальных оценок решений краевых задач

3.1. Построение глобальных оценок решения задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром

3.2. Построение глобальной оценки решения смешанной краевой задачи для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром.

3.3. Построение глобальных оценок решения смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности с использованием дискретного преобразования Фурье.

3.4. Построение глобальной оценки решения смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности с использованием непрерывного преобразования Фурье.

3.5. Тестовые расчеты.

Глава 4. Вычисление производных от решений краевых задач для уравнения теплопроводности

4.1. Вычисление производных по параметру

4.2. Вычисление производной по пространственной переменной с использованием нецентральной функции Грина для оператора Лапласа.

4.3. Вычисление производной по пространственной переменной с использованием нецентральной функции Грина для оператора Гельмгольца.

4.4. Вычисление производной по времени от решения задачи для уравнения теплопроводности

4.5. Тестовые расчеты.

В последнее время методы Монте-Карло получили широкое развитие в задачах математической физики, в частности, в задаче теории переноса излучения [12, 31]. Преимуществами методов Монте-Карло являются, прежде всего, физическая наглядность и возможность решать задачи со сложной геометрией, а также возможность оценки функционалов и производных от решения задачи без оценки самого решения задачи.

Одним из подходов методов Монте-Карло является сведение исходной задачи к интегральному уравнению, используя формулу Грина. Затем, решение задачи оценивается методами статистического моделирования по локальным областям. Это легко реализуется через функцию Грина, которая может быть выписана явным образом для простейших областей.

Одной из разновидностей данных методов является алгоритм "блуждания по сферам", который был впервые предложен Дж. Брауном [2] для приближенной оценки решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Позднее данный алгоритм был расширен на решение краевых задач для уравнения Гельмгольца. Алгоритм " блуждания по сферам" основан на моделировании точек последовательного выхода винеровского процесса из максимальных сфер, целиком лежащих в рассматриваемой области.

А^етоды Монте-Карло нашли широкое применение при решении краевых задач для уравнений в частных производных. Хорошо изучены следующие направления: построение оценок решений краевых задач для уравнения Лапласа, уравнения Гельмгольца с вещественным параметром [22]. Были разработаны так же алгоритмы оценки решений краевых задач для параболических уравнений. Краевые задачи для параболических уравнений решались, в основном, двумя способами. Первый способ заключается в использовании алгоритма "блуждания по границе". Второй способ основывается на применении преобразования Лапласа. Хотя, метод "блуждания по границе" обладает безусловными преимуществами, но проигрывает методу "блуждания по сферам" при решении задач со сложной геометрией и не позволяет оценивать решение задачи с переменными коэффициентами. Решение задач с использованием преобразования Лапласа налагает дополнительные ограничения на обратное преобразование Лапласа, а именно, поведение решения преобразованной задачи должно убывать экспоненциально на бесконечности.

Все это делает привлекательным вопрос о применении преобразования Фурье при решении задач параболического типа. Во-первых, данный метод позволяет применить алгоритм "блуждания по сферам" и, во-вторых, не налагает ограничений на поведение решения преобразованной задачи на бесконечности. Основная трудность использования преобразования Фурье связана с решением преобразованной задачи, которая является краевой задачей для уравнения Гельм-гольца с комплексным параметром.

В настоящей работе приведены алгоритмы оценки решений краевых задач для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром, а также построены оценки решений краевых задач для уравнения теплопроводности. Были также получены оценки производных по времени, пространственной переменной и параметру от решения задач для уравнения теплопроводности, а также производных по пространственной переменной и комплексному параметру для уравнения Гельмгольца. Причем, для оценки производных по пространственным переменным была использована нецентральная функция Грина краевой задачи для уравнения Гельмгольца в шаре.

Существует еще один метод применения статистического моделирования при решении краевых задач для эллиптических уравнений.

Это метод — "блуждания по решетке", который может также интерпретироваться как дискретный вариант метода "блуждания по сферам". В данной работе этот метод применяется для построения глобальных оценок решений задач для уравнения теплопроводности и уравнения Гельмгольца с комплексным параметром. Глобальные оценки решений краевых задач для уравнения теплопроводности были получены с использованием дискретного и непрерывного преобразований Фурье. Были получены также оценки трудоемкости и оптимальных параметров данных методов.

На защиту выводятся следующие результаты:

1. Получены оценки решений задачи Дирихле и смешанной краевой задачи для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром и уравнения теплопроводности для трехмерного и многомерного случая.

2. Получены глобальные оценки решений краевых задач для уравнения теплопроводности и уравнения Гельмгольца с комплексным параметром с использованием метода "блуждания по решетке". Причем, решение задачи для уравнения теплопроводности оценивалось с использованием: а) непрерывного преобразования Фурье б) дискретного преобразования Фурье.

Были получены оценки трудоемкостей и оптимальных параметров данных методов.

3. Получены оценки производных по времени, пространственной переменной и параметру для уравнения теплопроводности, а также оценки производных по параметру и пространственной переменной от решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром.

Заключение

Сформулируем основные результаты работы:

1. Были получены оценки решений задачи Дирихле и смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности с использованием преобразования Фурье, а также оценки решений краевых задач для уравнения Гельмгольца с комплексным параметром.

2. Были получены глобальные оценки решений краевых задач для уравнения Гельмгольца, а также оценки решения краевых задач для уравнения теплопроводности с использованием: а) дискретного преобразования Фурье б) непрерывного преобразования Фурье методом "блуждания по решетке". Были получены также оценки трудоемкости и оптимальных параметров используемых методов.

3. Были получены оценки производных по времени, пространственной переменной и параметру от решений краевых задач для уравнения теплопроводности и оценки производных по пространственной переменной и комплексному параметру от решений краевых задач для уравнения Гельмгольца.

1. Арсении В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974.

2. Браун, Дж. Методы Монте-Карло // Современная математика для инженеров.-М.:Изд-во иностр.лит., 1959. С.275-301.

3. Джетыбаев Е.О., Сабелъфелъд К.К. Решение смешанной краевой задачи для параболических уравнений. Ж.В.М. и М.Ф. 1984. Т.24, Номер 5, С.677-685.

4. Дядькин И.Г., Стариков В.Н. Об одной возможности экономии машинного времени при решении уравнения Лапласа методом Монте-Карло // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1965. - №5. С.936-938.

5. Елепов Б.С., Михайлов Г.А. Алгоритмы "блуждания по сферам" для уравнения Аи си = -дЦ Доклады АН СССР. - 1973. - Т.212. - №1. С.15-18.

6. Елепов Б.С., Михайлов Г.А. К теории оценок метода Монте-Карло, связанных с "блужданием по сферам"// Сибирский математический журнал. 1995. - Т.36.- №3. С.544-550.

7. Ермаков С.М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982,- 295 с.

8. Ермаков С.М., Некруткин В.В., Сипин Л.С., Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. М.: Наука, 1984, - 205 с.

9. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир, 1965.

10. R. Makarov, "The Monte-Carlo methods for solving many-dimensional boundary value problems of second and third kinds", 3d St.Petersburg Workshop on Simulation, pp.95-100 (1998).

11. Makarov R.N. Monte-Carlo methods for solving boundary value problems of second and third kinds// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1998. - Vol.13. - №2. -pp.117-131.

12. Menschikov, В. V. The Monte-Carlo realization of the Fourier transform for parabolic equation// Proceedings of 3d St.-Petersburg Workshop on Simulation. St.-Petersburg University Publishing House. - pp. 107-112. - 1998.

13. Menchtchikov, В. V. Estimation of derivatives of solutions to boundary value problems by the Monte-Carlo methods// Siberian Journal of Numerical Mathematics. -2002 (in press)

14. Mikhailov G.A. "Walk on spheres" algorithms for solving Helmholtz equations // Russ. J. Nummer. Anal. Math. Modelling. 1992. - V.7. - №6. - pp.515-536.

15. Михайлов Г. А. Новые методы Монте-Карло для решения уравнения Гельмгольца. //Доклады АН. 1992. Т.326 - №6. - с.943-947.

16. Mikhailov G.A. New Monte-Carlo methods with estimating derivatives. Utrecht; Tokyo: VSP, 1995.

17. Mikhailov G.A. Parametric Estimates by the Monte-Carlo Method. Utrecht: VSP,1999.

18. Михайлов Г.А. Весовые методы Монте-Карло. Новосибирск: Изд-во СО РАН,2000.

19. Михайлов Г.А., Макаров Р.Н. Решение краевых задач второго и третьего рода методом Монте-Карло// Сибирский математический журнал. 1997. - Т.38. -№3. - С.603-614.

20. Михайлов Г.А., Макаров Р.Н. Параметрическое дифференцирование и оценки собственных чисел методом Монте-Карло// Сибирский математический журнал. 1998. - Т.39. - №4. - С.931-941.

21. Михайлов Г.А., Меньщиков Б.В. Решение краевых задач методом Монте-Карло// Доклады РАН. 1996. - Т. 349 - №1. - С.17-20.

22. Михайлов Г.А,, Меныциков Б.В. Решение краевых задач с комплексными параметрами методом Монте-Карло. Сиб. Мат. Журн. 1996. Т.37 - №4. - С.775-781.

23. Cheshkova A.F. "Walk on spheres" algorithms for solving Helmholtz equation in the n-dimensional Euclidean space // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. Series: Numerical Analysis. Issue: 4 (1993). - pp. 7-18.

24. Михайлов Г.А., Чешкова А.Ф. Решение разностной задачи Дирихле для многомерного уравнения Гельмгольца методом Монте-Карло // Журн. вычисл. ма-тем. и матем. физики. 1996. - Т.38. - №1. - С.99-106.

25. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Издательство иностр. лит., 1957.

26. Miiller М.Е. Some continuous Monte-Carlo methods for the Dirichlet problem// Ann. Math. Stat. 1956. - Vol.27. - №3. - pp.569-589.

27. Сабельфельд К.К. Методы Монте-Карло в краевых задачах. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1989. - 280 с.

28. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973, - 131 с.

29. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.:Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953.