Решение некоторых осесимметричных задач теории упругости в напряжениях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ГАСРАТОВА НАТАЛЬЯ АЛЕКСАНДРОВНА

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

21 НОЯ 2013

Санкт-Петербург — 2013 005539144

744393550

Работа выполнена па кафедре вычислигельпых методом механики деформируемого тела факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ШАМИНА Валентина Алексеевна

Офици.шьные оппоненты: доктор физико-математических паук, профессор БАУЭР Светлана Михаиловна, профессор кафедры гидроупругоети (Санкт-Петербургский государственный университет)

доктор технических наук, профессор ГОСПОДАРИКОВ Александр Петрович, заведующий кафедрой высшей математики (Национальный ми першіьно-сырьевой у ни верситет " Горный", Санкт-Петербург)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский политехнический университет

Защита состоится «_»--2013 г. в-ч--мин. на заседании диссертационного совета Д212.232.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, па соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Россия, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский проспект, дом 28. ауд.405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « ¿-У» -С ^^еР— 2013 г. Ученый секретарі, диссертационного

цюнного . /

шз.-мат. наук ОЖ^у

совета Д212.232.30, доктор физ.-мат. наук Ч0Г**"/ Кустова Е.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность аналитических методов решения задач теории упругости в последнее время не снизилась, а только возросла, несмотря на то, что для определения напряженно-деформируемого состояния широко используются специализированные программные пакеты. Связано это с тем; что задачи, возникающие в современной технике, стали сложнее, особенно с появлением новых материалов. Без строгих аналитических оценок проверить правильность их решения, полученного на основе программного обеспечения, весьма сложно.

Новые материалы, в частности композициониые, могут иметь особенности в виде полостей, жестких или упругих включений. Определение напряженно-деформированного состояния в их окрестности имеет большое научное и практическое значение.

Такие задачи решают, как правило, либо в перемещениях с использованием уравнений Ламе, либо при помощи функции Лява. Осесим-метричные задачи для упругого пространства, содержащего какие-либо неоднородности, изучались многими исследователями, например, Саусвеллом, Леоном, Эдвардсом, К. В. Соляник-Крассой.

Задача о пространстве со сферической полостью при одноосном растяжении была решена Саусвеллом с применением функции Лява, а К.В. Соляник-Красса решил её при помощи двух гармонических функций.

Отметим, что при решении конкретных задач возникают трудности при подчинении решения краевым условиям ввиду сложности краевых величин. Так, при использовании функции Лява в граничных условиях при заданных перемещениях появляются вторые производные, а в случае заданных напряжений третьи производные функции Лява. При

применении же двух гармонических функций порядок их производных в выражениях для напряжений и перемещений ниже, но краевые задачи для определения этих функций не являются независимыми. В обоих случаях решение строится в виде рядов по полиномам Лежанд-ра.

В диссертации предложен иной подход к решению подобных задач, при котором краевые величины, как статические,так и кинематические, совпадают с неизвестными соответствующей системы уравнений и тем самым упрощается ее решение.

Цель работы - представить постановку осесимметричной задачи линейной теории упругости в напряжениях и продемонстрировать эффективность ее использования па примере построения аналитических решений некоторых пространственных задач.

Методы исследования.При выполнении диссертационной работы использовались различные аналитические методы: алгебраические, методы дифференциальной геометрии, методы математической физики.

Научная новизна. В работе дана новая постановка линейной осесимметричной задачи теории упругости, где основными являются два уравнения равновесия и два уравнения сплошности, записанные в напряжениях. В напряжениях представлены не только статические, ио и кинематические краевые величины.

В предложенной формулировке получены решения задач, в которых граница деформируемого тела совпадает со сферой. Новизна решения в том, что неизвестные представлены в виде степенных рядов по косинусу угла между осью вращения и радиусом сферы. Коэффициенты этих рядов, зависящие от радиальной координаты сферических

координат, вычисляются при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа Эйлера. Неизвестные уравнений совпадают с кинематическими и статическими краевыми величинами, что упрощает подчинение решения краевым условиям на сферической поверхности. Кроме того использованная при этом система уравнений и метод ее решения являются базовым для задач с границей, близкой к сфере.

Достоверность основных результатов базируется на строгой физической постановке задач и корректных математических методах, использованных при их решении. Полученные в работе результаты сопоставлены с решениями других авторов или с решениями, полученными другим методом.

Результаты, выносимые на защиту

1. Постановка пространственной осесимметричной задачи линейной теории упругости в напряжениях, которая включает в себя два уравнения равновесия и записанные в напряжениях два уравнения сплошности, статические и кинематические граничные величины.

2. Метод решения задач для тел со сферической границей: использование для неизвестных степенных рядов по косинусу угла между осыо вращения и радиусом сферы с коэффициентами, зависящими от радиальной координаты сферических координат. Преобразование уравнений для определения коэффициентов к виду, удобному для интегрирования и подчинения краевым условиям.

3. Определение напряженно-деформированного состояния пространства с эллипсоидальной полостью, близкой к сферической, при помощи метода малого параметра в сочетании с методом, использованным для пространства со сферическим включением.

Научная и практическая ценность. Разработанный подход к решению осесимметрнчных задач позволил расширить круг аналитических решений в теории упругости. Найденные решения можно использовать также для оценки точности и достоверности результатов, полученных численными методами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на конференциях: Международная конференция "Пятые поля-ховские чтения "(Санкт-Петербург, 3-6 февраля 2009 г.), XVI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 14-17 апреля 2009 г.), ХЬУ1 Международная конференция "Актуальные проблемы прочности"(Витебск, Беларусь, 15-17 октября 2007 г.), XVII Петербургские чтения но проблемам прочности (Санкт-Петербург, 10 - 12 апреля 2007 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 4 работы, которые содержатся в списке публикаций по теме диссертации на стр.16. В совместных статьях [2], [3] Шаминой В. А принадлежит постановка задачи и концепция метода решения.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 78 страниц текста, где содержится 11 рисунков. Список литературы включает 59 наименований.

Во введении отражена актуальность исследуемой задачи, а также описано краткое содержание работы по главам.

В первой главе приведены основные соотношения осесимметрич-ной задачи теории упругости в цилиндрических координатах (р, ¡р, л) с ортами (е^е^к). Рассмотрены основные методы решения таких задач. Сделан обзор предшествующих исследований по данной тематике.

Во второй главе представлена в напряжениях основная система уравнений осесимметричной задачи, состоящая из двух уравнений равновесия

Варрдр .да^дгЛ (]аррс1р сЭа^дг 2 /^Р^з 1 ~д^дг Эг дг) 89 дв 89 89 \8г дг г2 89 дв

+A2r2Fp = О

2 (8azz8z_ 8о_рг_ др\ 8z_ 8а pz dp

r 1 дг дг дг дг) дв дв дв дв

+A2r2pFz = О

+ A2r2apz+

+

(1)

и двух уравнений сплошности

(дрдаг 1 дрда3\_ А2ее [арр + azz + а3] - <rzz - 2<т3 - Р ( ^+ ^ qq ~gf J - 0

8р 8 , . 1 dp 8 . Гд-гд-г{а<'>'-а")+гдвд9{а<1р-а")

■2 г

dz dapz . 2 dz 8a,

+ -■

pz

8_

dr

r

8pa3 дг

дг дг ' гд9 д9 Л+ 2 ¡л

2(А + д) '

(2)

где

dr

+ г

\дв J \дв

2 А,

Р

Fz, Fp-массовые силы. Неизвестные системы app,azz,apz являются компонентами тензора напряжения в базисе цилиндрических координат, сг3 = 2/i^f - величина, пропорциональная радиальному перемещению, имеет размерность напряжения. Их аргументы г, в - ортогональные координаты с ортами (ех,е2), введенные в меридиональной плоскости tp = const так, чтобы граница рассматриваемого тела совпадала с координатными поверхностями г = const и в = const.

В напряжениях представлены кинематические и статические краевые величины.

Если граница тела или неоднородности совпадает с поверхностью г — r0 = const, то статическими краевыми величинами являются компоненты вектора напряжения

<П = рЪр + С1гк, crip = (Трр (ер ■ в!) + apz (к • ei)

1 Í д dz \

(Tlx = Vpx (ер ■ ei) + <т„ (k-ei), ei = - í -£ep+ (3)

На границе г = го = const в качестве кинематических краевых величин используем не компоненты вектора перемещения u = upep+uzк, а связанные с ними выражения <тз и ^f-, которые можно представить в напряжениях. Действительно,

г. up тт п lduz 2 dp dp, s Эреr-i , „

Итак, кинематическими краевыми величинами в напряжениях являются сг3 и Uz.

Аналогичные соотношения даны и для случая, если граница тела или неоднородности совпадает с поверхностью 9 = во = const.

В третьей главе рассматривались задачи, в которых упругое тело имело сферическую границу. В этом случае в качестве ортогональных координат (г, в) естественно брать сферические, связь которых с цилиндрическими координатами (р, z) определятся соотношениями:

р= Rr sin в, z = Rr cos в,

где Я-масштабный множитель, который совпадает с радиусом сферы, r-безразмерная величина.

Решение системы уравнений (1), (2) представляем в степенных рядах по cos в с коэффициентами, зависящими от г:

оо

<трр(г, 6) = Y1 WPP,"(г) + °РРЛг) cos в] соз2п

71 = 0

<T„(r, в) = £ + alljr) cosfl] cos2" в,

п=О оо

<73(л 0) = Е И,п(г) + <т&(г) cos 0] cos2" в,

п=О

оо

сгрг (г, в) = sin в Y, Hz W cos 9 + (г)] cos2" 9.

п=О оо

Fp(r, в) = sin 0 £ [^.„М + F"n(r) cos в] cos2" в,

71=0 ОО

(г, 0) = X) (г) cos 0 + F'1 (г)] cos2" в. (5)

71 = 0

Системы уравнений для определения коэффициентов рядов (5) с индексами "Г'и "II"независимы и по структуре идентичны. Идею преобразования этих систем иллюстрируем на примере, когда напряженно-деформированное состояние тел симметрично относительно плоскости z = 0 и отличными от нуля оказываются только коэффициенты с индексом "I". Поэтому ниже приводятся соотношения для определения коэффициентов рядов (5) с индексом "I", который будет опущен. Тем более, что именно эти соотношения используются в конкретных задачах.

Итак, вводим новые неизвестные по формулам:

Rn{r) = г2 (срр,п + &pz,n— 1), sn(r) = r2a3,n

Zn(r) = r2(crZZtn + CF pz,n - Cpz,n-l). Tn(r) = г2ар21п,

Un(r) = r2

/ \ I d(T3,n

2o>z,„-l - (Czz.n - 0>p,n) - [r + <73,n

(6)

В новых неизвестных компоненты напряжений и перемещений принимают вид

1

= 72 Е - T«-i(r))cos2n

г

п=0

1 00

= - Т"(г) + Г„_1(Г))'со82п в,

п=0

1 °° 1 °°

«V = —ятвсозв Тп(г) соб2*1 в, = 5"(г) соз2п 0

п=О г п=О

= £ + + - «

Я г Я г 2п +1

п=О п=0

(7)

Подставляя (7) в (1),(2), после соответствующих преобразований получаем следующие уравнения для определения функций (6):

<Ш

- 2(п + 1)Яп + 2(п + 1)ГП = -Фп+1 + 2(п + 1)5п+1 - Яг31^г dZ„

г-

йг

- 2(п + 1)ЯП + 2(п + 1)Г„ = 2(п + п+1 - Яг3^п г^ - 2(п + 1)С/„ + (2п + 1)Т„ = (2п + 1)Фп+1

- 2(п + 1)5„ - Г„ = Фп+1 - 2(п + 1)5п+1,

й ( (1Тп \ йТ„ , о

+ + (4гг - ^ =

где

Фп+1 — ае(^2, тг+1 — + ^3>„+1, = Яп+1 +5п+1,

■^2,71+1 = тп+1 — ^„+1, = Л,п+1 — ип+1,

Ф„(г) = 3(2п + 1 - (4п + 1)г%±1+

аг аг

+(2п - 1) [(4п + 3)^2 (2п + 1)^ ,п+1] + 10

i{(4n + 1 + (4n2 - l)F3,n+1 + 4n(n +1) (V2,n+1 - l) }-

-Д [r3(F¿„ + Fi, J] + (2n - l)r3(F¿„ + F/,„)} -

-(2n-l)r3F/in + r^[r3(F/!n_1-F/in_1)]-2(n+l)r3(FpV1-F/!„_1)}.

(9)

Выражения для статических краевых величин (3), как и уравнения (1), (2), записываем с учетом (5), (7):

sin в °°

crip = crpp sin в + opz cos в = —— Rn (г)cos2" в

Г п=О

cos 9 °°

^12 = Cípz sin в + &ZZ COS в = -— Zn(r)cos2n 0 (10)

Г n=0

Из (10) следует, что для системы уравнений (8) статические краевые условия формулируются в величинах, пропорциональных Rn и Zn, а в силу (7) кинематические краевые величины пропорциональны Sn и Un. Далее, уравнения системы (8) решаются последовательно. На каждом шаге неизвестная функция одна, а правая часть соответствующего уравнения содержит только те определяемые функции, которые найдены на предыдущих шагах.

Эффективность данного подхода была проиллюстрирована на решении ряда классических задач, а именно при определении напряженно-деформируемого состояния упругого пространства, растянутого вдоль оси г и содержащего неоднородность вида:

- полость; - жесткое включение; - упругое включение.

Определялось также напряженно-деформируемое состояние сферического сосуда под действием равномерного внутреннего и внешнего

давления; упругого пространства с эллипсоидальной полостью, близкой к сферической, которая находится под равномерным внутренним давлением.

При решении перечисленных задач оказалось, что в рядах (7), которыми определяются напряжения и перемещения, достаточно удержать не более трех членов. Соответствующие значения функций Rn(r), Zn(r), Sn(r), Tn(r), Un(г) имеют вид конечных рядов но положительным и отрицательным степеням г. Простота подчинения решений краевым условиям обусловлена тем, что на границе неоднородности в силу (7), (10) задаются только значения указанных функций.Так, при одноосном растяжении пространства ("out",модуль сдвига ßout) с упругим включением ("in", модуль сдвига Ц{п) условия сопряжения па границе включения (г = 1) имеют вид (а =

Rr (1) - Rf( 1) = 0, zr(i) - 1) = -<70,

aS0°"4l) - Sf(l) = aiff сто, аЩи\ 1) - Щп(1) = а <т„. R£ttt(l) - iC(l) = 0 (n > 1), Zr (1) - Z™{ 1) = 0 (n > 1), aSZut( 1) - 5£»(1) = 0 (n > 1), aU°ut(l) - 1) = 0 (n > 1).

Полученные аналитические решения совпадают с решениями Гу-дьера и согласуются с численными результатами Nöda Nao-Aki. На (Рис.1) представлено распределение нормального напряжения сгоо на границе включения. Различие упругих сред определяется одним параметром а, что для численных расчетов удобнее, в отличие от аналогичных выражений Гудьера. Как показано па рис.1, при предельных значениях отношения модулей сдвига а , решение совпадает с решениями аналогичных задач в случае, если неоднородность представляет собой полость или жесткое включение.

1.3

-М

х-

/Г'

г* И"

I •' г" *"

- ■

/ —-

У .

1111

—

-•- — 1*4 — г --- — * ■

■ - "" н*

у " -

— им ~7 • —

/ 0

0

- <х=0 ое=1/35

• ос=1 ---ое=1.1

■ а= 10*1СГ7

а=1/10..... се=1/4 £»=10/11

■ - ое=4 <х=10---<*=35

Жесткое включение

Рис. 1. График напряжения одд/сгц

Решение задач для тел со сферической границей может быть использовано в качестве нулевого приближения при решении задач для тел с границей, близкой к сферической.

В работе такой подход был применен для определения напряженно-деформируемого состояния упругого пространства с эллипсоидальной полостью, близкой к сферической. Поверхность полости находится под действием гидростатического давления. Искомые величины представлены в виде рядов по степеням малого параметра е2 = где а,Ь-полуоси эллипса в меридиональном сечении. Соотношения для определения коэффициентов рядов отличаются от представленных для тел со сферическими неоднородностями только правыми частями соответствующих уравнений.

, , б) напряжения адд/сто

а) напряжения о"рр/о~о

Рис. 2. Напряжения на границе эллипсоидальной полости.

Получено аналитическое решение в первом приближении.С целыо определить границы его применимости та же задача, но без предположения о малости е2, решалась методом МКЭ, реализованным при помощи СОМБОЬ МиШрЬузшБ.

Из рис. 2 а,б), на которых представлены графики напряжения С/эр/оо и сгвв/о'о в зависимости от координаты в при различных значениях е2, следует, что аналитическое решение в первом приближении отличается от решения полученного при помощи МКЭ (е2 < 0.2) не более чем на 11%(при е2 < 0.1 не более чем 5-6%). Данные соотношения справедливы для всех компонент тензора напряжения, записанного в цилиндрической системе координат. Отметим, что напряжение аде максимально на полюсах полости и при 0 < е2 < 0.04 отличается от значения данного напряжения на сфере не более чем па 10%.

В заключении приводятся основные результаты работы, которые состоят в следующем:

1 Дана новая постановка линейной осесимметричной задачи теории упругости, где в напряжениях представлены основные уравнения, которыми являются два уравнения равновесия и два уравнения сплошности, а также статические и кинематические краевые величины. 2. Рассмотрены задачи о напряженно-деформированном состоянии тел, граница которых совпадает со сферой. Решение было принято в виде степенных рядов по соэ(0) с коэффициентами, зависящими от г. Системы уравнений для определения коэффициентов преобразована так, что ее интегрирование практически сводится к вычислению квадратур. Неизвестные уравнений совпадают с краевыми величинами, что существенно упрощает решеиие конкретных задач. 3. Получены аналитические решения задач для упругого пространства, растянутого па бесконечности и имеющего сферическую неоднородность в виде полости, упругого и жесткого включений. В случае упругого включения рассмотрены предельные случаи в зависимости от отношения модулей сдвига включения и пространства. 4. Рассмотрено напряженно-деформированное состояние упругого пространства с эллиптической полостью, близкой к сферической и нагруженной гидростатическим давлением. Представлены два варианта решения: 1) первое приближение, полученное методом малого параметра в сочетании с методом, использованным для случая сферической полости; 2) при помощи МКЭ. Это позволило определить границы применимости аналитического решения.

В результате проведенного исследования можно сделать следующие основные выводы и практические рекомендации: - предложенный подход применим для тел со сферическими и близким к сферическим границами; - при соотношении модулей сдвига Цт/Иоиь = 1/35 или

ßin/ßout = 35/1 задачу о растяжеиии пространства с упругим включением можно рассматривать как частный случай полости или жесткого включения соответственно; - с учетом 10% погрешности (е2 < 0.04) эллипсоидальные полости при внутреннем гидростатическом давлении можно аппроксимировать сферическими полостями.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК России:

1. Гасратова Н. А. Напряженно-деформируемое состояние упругого пространства со сферическим жестким включением. //Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер.10, 2009. С. 14-18,

2. Гасратова Н. А., Шамина В. А. Решение в напряжениях линейной осесимметричной задачи для сферы и упругого пространства со сферической полостью.// Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер.1, 2008, вып.2. С.122-128.

3. Гасратова Н. А., Шамина В. А. Об одном подходе к решению осе-симметричных задач линейной теории упругости. // Вестик С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2007, вып. 2. С. 101-107.

Другие публикации:

4. Гасратова H.A. Решение в напряжениях для линейной осесимметричной задачи об упругом пространстве со сферической полостью или жестким включением.//XVII Петербургские чтения по проблемам прочности. Санкт-Петербург, 10-12 апреля 2007г.¡сборник материалов. - Ч.1.-СП6., 2007. С.254-255.

Подписано к печати 25.10.13. Формат 60x84 'Лб. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00. _Тираж 100 экз. Заказ 5897._

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

Санкт-Петербургский Государственный Университет

04201450745 пРавах рукописи

Гасратова Наталья Александровна

Решение некоторых осесимметричных задач теории упругости в

напряжениях

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук,

профессор Шамина В. А.

Санкт — Петербург 2013

Содержание

Введение 4

Глава I. Осесимметричные задачи и методы их решения 9

§1. Основные соотношения осесимметричной задачи теории упругости ... 9 §2. Сведение основных уравнений осесимметричной задачи теории упругости

к решению гармонического и бигармонического уравнений ................10

§3. Некоторые осесимметричные задачи и методы их решения................16

Глава II. Уравнения осесимметричной задачи в напряжениях 19

§1. Уравнения равновесия..........................................................19

§2. Определение перемещений по компонентам деформации. Уравнения

сплошности........................................................................21

§3. Основные уравнения осесимметричной задачи теории упругости в напряжениях ............................................................................22

§4. Статические и кинематические краевые величины в напряжениях .... 24

Глава III. Решение в напряжениях осесимметричных задач со сферической границей 26

§1. Разложение напряжений в степенной ряд по cos в и вывод уравнений для

определения коэффициентов ряда..............................................27

§2. Введение новых неизвестных и упрощение системы (1.6)....................30

§3. Приведение системы уравнений (2.5), (2.6) к виду, удобному для интегрирования ........................................................................31

§4. Преобразование соотношений (1.7), (1.11) ....................................34

§5. Напряженно-деформированное состояние, симметричное относительно

плоскости z = 0 ..................................................................36

§6. Определение напряженно-деформированного состояния упругого пространства со сферической неоднородностью..................................40

§7. Неоднородность, близкая к сфере..............................................54

Заключение Список литературы

Введение. На современном этапе развития науки и техники уже сложно представить проектирование изделий и конструкций без специализированного программного обеспечения. Наиболее распространенные программные пакеты базируются на методе конечных элементов. Круг решаемых ими задач охватывают почти все сферы инженерных расчетов: прочность, колебания, акустика, гидродинамика и т.д. Казалось, проблемы в определении напряженно-деформированного состояния тел, в частности, решены.

Однако, данные программные продукты в подавляющем большинстве используют стандартные и широко известные алгоритмы и стандартный математический аппарат для решения задач, что указано в статьях Назарова Д. И. [53], Ясницкого Л. Н. [54] и др. Таким образом, ожидать принципиальных отличий того или иного пакета не приходится. Кроме того, из-за особенностей конечно-элементной теории и программирования в используемом обеспечении существуют ошибки, что отражено в ряде исследований. В подтверждение этого, характерной особенностью программ данного класса является то, что производитель снимает с себя всякую ответственность за достоверность результатов, которые следует рассматривать как ознакомительные, что указано в лицензии к программному продукту.

Таким образом, без применения аналитических методов проверить и получить достоверные результаты не представляется возможным. Разработка аналитических методов решения задач теории упругости остается важным и актуальным направлением, особенно с появлением новых материалов, например, композиционных.

Поскольку указанные материалы в своей структуре имеют некоторые особенности, которые представляют собой тела вращения, то задачу об определении напряженно-деформированного состояния вблизи неоднородностей (полостей, упругих или жестких включений) следует рассматривать как осесимметричную с учетом того, что внешняя нагрузка и граничные условия обладают той же симметрией, что и сам рассматриваемый объект. Существует два пути решения задач теории упругости: в перемещениях с использованием уравнений Ламе или в напряжениях.

Конечно, при обоих подходах общее решение пространственной задачи не существует, и обычно речь идет о частном решении. При решении осесимметричных задач чаще встречаются следующие приемы и их комбинации: представление искомых величин в рядах: представление искомых функций в той форме, которая позволяет разрешаю-

щую систему уравнений записать в виде бигармонического или иного хорошо изученного уравнения; применение каких-либо интегральных преобразований. Как отмечено в работах Новацкого В.[20], Хана X.[28], указанные подходы к решению осесиммет-ричной задачи теории упругости обладают общим недостатком - это сложность удовлетворения граничным условиям. Например, впервые осесимметричную задачу для упругого пространства со сферической полостью при одноосном растяжении рассмотрел Саусвелл при применении функции Лява. Аналогичная задача была рассмотрена Соляник-Крассой К.В. [26] с использованием- двух гармонических функций. Неудобство используемых методов заключается в том, что при использовании функции Лява в граничных условиях при заданных перемещениях появляются вторые производные, а в случае заданных напряжений третьи производные функции Лява. При использовании же двух гармонических функций порядок их производных в выражениях для напряжений и перемещений ниже, но краевые задачи для определения этих функций не являются независимыми. Сложность удовлетворения граничным условиям или громоздкость получаемых решений при применении других представлений искомых функций и методов решения остается, убедиться в этом можно, если просмотреть работы авторов, работающих в данном направлении, за последние годы [39, 40, 52]. Поскольку, в случае осесимметричной задачи граничные величины, в том числе и кинематические, можно записать в напряжениях, то постановку задачи возможно полностью сформулировать в напряжениях. Основываясь на данном подходе, в работе изложен метод решения осесимметричных задач теории упругости, в которых граница близка к сферической, который позволяет избежать обычных сложностей удовлетворения граничным условиям.

Цель работы - представить постановку осесимметричной задачи линейной теории упругости в напряжениях и продемонстрировать эффективность ее использования на примере построения аналитических решений некоторых пространственных задач.

Научная новизна

В отличие от известных подходов к решению подобных задач в качестве основных использованы два уравнения равновесия и два уравнения сплошности, записанные в напряжениях. В напряжениях представлены и кинематические краевые величины.

Решение представлено в виде степенных рядов по косинусу угла между осью враще-

ния и радиусом сферы. Коэффициенты этих рядов, зависящие от радиальной координаты сферической системы координат, вычисляются при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа Эйлера. Преимущество представленного здесь подхода заключается в том, что неизвестные этой системы совпадают с кинематическими и статическими краевыми величинами, а это в свою очередь упрощает удовлетворение краевых условий на сферической поверхности.

Методы исследования

При выполнении диссертационной работы использовались различные аналитические методы: алгебраические, методы дифференциальной геометрии, математической физики и другие.

Результаты, выносимые на защиту

1. Постановка пространственной осесимметричной задачи линейной теории упругости в напряжениях, которая включает в себя два уравнения равновесия и записанные в напряжениях два уравнения сплошности, статические и кинематические граничные величины.

2. Метод решения задач для тел со сферической границей: использование для неизвестных степенных рядов по косинусу угла между осью вращения и радиусом сферы с коэффициентами, зависящими от радиальной координаты сферических координат. Преобразование уравнений для определения коэффициентов к виду, удобному для интегрирования и подчинения краевым условиям.

3. Определение напряженно-деформированного состояния пространства с эллипсоидальной полостью, близкой к сферической, при помощи метода малого параметра в сочетании с методом, использованным для пространства со сферическим включением.

Достоверность полученных результатов

обеспечивается корректностью постановки математической задачи, использованием строгих аналитических методов, а также сравнением полученных результатов рассматриваемых задач с результатами, полученными другими методами.

Теоретическая и практическая ценность

Теоретическая значимость работы определяется тем, что разрабатываемый подход к решению осесимметричных задач позволяет расширить круг аналитических решений в теории упругости. Практическая тем, что подобные решения можно использовать для оценки точности и достоверности численных результатов.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 78 страниц и содержит 11 рисунков. Список литературы включает 59 наименований

Содержание работы

В первой главе даны основные соотношения осесимметричной задачи теории упругости в цилиндрической системе координат (р,ср,г). Рассмотрены основные методы решения рассматриваемых задач. Сделан обзор предшествующих исследований по данной тематике.

В второй главе наряду с цилиндрической системой координат в плоскости ц> = const вводятся криволинейные координаты (г. в) таким образом, чтобы граница рассматриваемого тела совпадала с координатными поверхностями (г = const и в = const). Таким образом, основная система уравнений осесимметричной задачи, состоящей из двух уравнений равновесия и двух уравнений сплошности, записана в напряжениях, где неизвестными являются компоненты тензора напряжения орр{г, 9). azz{r, в). сгр2(г, в) и величина <73 (г, в), имеющая размерность напряжения Кроме того, в напряжениях формулируются граничные величины, как статические, так и кинематические.

В третьей главе рассматриваются задачи со сферической границей тела. При использовании степенных рядов основная система уравнений для определения их коэффициентов, преобразована так, что ее неизвестные совпадают с граничными величинами, что в свою очередь облегчает удовлетворение граничным условиям. Указанное преимущество излагаемого в диссертации подхода продемонстрировано на решении некоторых задач, а именно:

-определение напряженно-деформированного состояния сферического сосуда;

-определение напряженно-деформированного состояния упругого пространства со сферическим упругим включением при одноосном растяжении;

-определение напряженно-деформированного состояния упругого пространства со сферической полостью при одноосном растяжении;

-определение напряженно-деформированного состояния упругого пространства со сферическим жестким включением при одноосном растяжении;

-определение напряженно-деформированного состояния упругого пространства с эллипсоидальной полостью, близкой к сфере, находящейся под гидростатическим давлением.

Апробация работы Основные результаты работы докладывались на конференциях:

- Международная конференция "Пятые поляховские чтения"(3-6 февраля 2009 г.) ;

- "XVI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов "(Москва, 14-17 апреля 2009 г.);

-ХЬУ1 Международная конференция "Актуальные проблемы прочности"(Витебск, Беларусь, 15-17 октября 2007 г.);

-XVII Петербургские чтения по проблемам прочности (Санкт-Петербург, 10 - 12 апреля 2007 г.).

Публикации По теме диссертации опубликованы печатные работы [55, 56, 57].

В заключении формулируются основные положения выносимые на защиту.

Глава I. Осесимметричные задачи и методы их решения

§1. Основные соотношения осесимметричной задачи теории упругости

Осесимметричное напряженно-деформированное состояние возникает в телах вращения, нагруженных осесимметричным образом. Исследование таких задач целесообразно проводить в цилиндрических координатах (р,<р,г) с ортами (ер,е^,к).

В силу осесимметричного распределения деформаций и напряжений, компоненты тензора деформаций, тензора напряжений и вектора перемещений не будут зависеть от угла </?.

Основные соотношения рассматриваемой задачи можно найти в ряде литературных источников [20, 27, 44, 46]. Ниже приведем их без вывода. Вектор перемещений

и = ирер + игк, (1.1)

тензор напряжений

£ = сгрр(г, в)ерер + ст22(г, 0)кк + <т„(г, 9)е1ре<р + арг(г, в)(ерк + кер), (1.2) тензор деформаций

Е — €-рр&р&р -Ь в22кк -Ь е^е^е^ -Ь вр2(ерк -Ь квр). (1.3)

Уравнения равновесия имеют вид:

дорр дарг (трр - а^

--"" "я--1---г/'р-и,

ор ог р

+ + ^ + = 0. (1.4)

ор ог р

Компоненты тензора деформации (1-3) вычисляются по формулам

_дир _-ир _дщ _1(9иЕ + 9иЛ ~ др ' ^ р" 22 дг ■ ерг ~~ 2 V + Эр ) ' {

Связь между компонентами тензора деформации и компонентами тензора напряжений описывается законом Гука:

орр = 2рерр + Ле, а^ = + Ле,

агг = 2/хегг + Ле, арг = 2рерг, е = ерр + е22 + е№. (1.6)

Выражая напряжения через перемещения, вместо системы уравнений (1.4) получим два уравнения Ламе.

Аи - ^ + Х + ^ д + + ^Л + р = о

р р2 р др\др р дг ) р

А + р д (ди0 ди, \ „ . „.

р дг \ др дг }

Величины, в которых будут формулироваться граничные условия, будем называть статическими и кинематическими. К статическим краевым величинам относятся компоненты вектора напряжений (ап) на границе тела

ап = £ • п,

где п-орт-нормаль к поверхности тела. Кинематическими краевыми величинами являются компоненты вектора перемещения (1.1): осевая составляющая иг и радиальная и р.

§2. Сведение основных уравнений осесимметричной задачи теории упругости к решению гармонического и бигармо-нического уравнений

Пространственные задачи линейной теории упругости, как правило, решаются в перемещениях с использованием уравнений Ламе. В общем случае эти уравнения сложны, и обычно речь идет об их частных решениях, имеющих достаточно широкую область применения. Из всех известных решений такого вида чаще всего для перемещения и используется представление Паиковича-Нейбера:

и = дгсиЦ(р + ~Й-1$)-4(1-1>)'$. (2.1)

Здесь (р и ^-соответственно скалярная и векторная функции, подлежащие определению, Д-р ад и ус- вектор точек среды. Отметим, что функции <р, гр -удовлетворяют уравнению Лапласа, методы решения которого хорошо разработаны.

Несмотря на общность подхода Папковича-Нейбера, для осесимметричной задачи рассматривались и иные пути сведения соответствующих ей уравнений к уравнениям Лапласа или бигармоническому уравнению. При этом количество новых неизвестных ограничивалось двумя скалярными функциями, каждая из которых удовлетворяет уравнению Лапласа, или одной скалярной функцией, удовлетворяющей бигармоническому уравнению. Тем самым преследуется цель понизить порядок производных определяемых функций в выражениях для компонент напряжений или перемещений. Ниже будут представлены некоторые варианты таких преобразований.

Уравнения Ламе (1.7) записываем, полагая массовые силы равными нулю:

Аип -

ип

Р о р2

+ Х + р д (дир ир + ди^ р др \ др р дг

ди

= 0,

где

Аи + ^ + ^ ^ (^ир + 2 р дг \ др дг

д2

дп = - + -— + —

др2 р др дг2

(2.2)

(2.3)

1. Функция Лява [15]. Выведем уравнение для определения функции Лява. Для этого первое из уравнений (2.2) записываем в виде

^(Д ип-ир X + р

д2

ип

дг2

+

д2щ дрдг

= 0.

Нетрудно проверить, что

А + 2 р А + р

Тогда при

д2 дрдг

д2 дрдг

и7 =

А + 2 р

_ 1 д2 р2 дрдг

А + 2р _ А + р и дг2

д2Х ир~ дрдг'

ДХ - 0 = 2(1 - и)АХ

/ д2 \ дг2 \дрдг)

д2х

(2.4)

А + дг2 дг2

первое из уравнений (2.2) удовлетворяется тождественно. Подставляя (2.4) во второе из уравнений (2.2), получаем бигармоническое уравнение для определения функции Лява X'-

ААХ = 0. (2.5)

При известной функции Лява напряжения вычисляются по формулам

арр 1 + идг

Ед( д\\

Ед( 1дх

1 + и дг Е

о,=

1 + и Е д

=

(2 - и)~ (1 - 1^)Ах

д2Х дг2

&Х дг2

1 + V др

2. Функции Буссинеска [20, 28].

В преобразовании Буссинеска используется теорема Гельмгольца, согласно которой векторную функцию можно представить в виде суммы безвихревого и соленоидального поля. Если такой функцией является вектор перемещения и, то для него справедливо выражение

и = Адгай Ф + Вго№,

где Ф и Ф-соответственно скалярная и векторная функции координат, постоянные А, В выбираются из соображений удобства. Для вектора перемещения осесимметричной задачи (1.3)

Ф = Ф(р,г),Я? = Щр,г)еЧ1. (2.8)

Функции (2.8) выбираются так, чтобы первое из уравнений (2.2) удовлетворялось тождественно. Итак,

, , лдФ 0<ЭФ

Подставляя (2.9)в уравнения (2.2), получаем:

д + _ _ 1 (лХ + 2/лдФ _ б5Ф

(2.9)

р др А

дг )

X + 2и дФ „/0Ф Ф

А- 7Г + В(7Г + -

р, дг \др р

р др дг = 0.

= 0,

(2.10)

Первое из уравнений (2.10) будет удовлетворено тождественно, если

А + 2идФ ЯФ л А + 2 р 2(1-и)

л-^г ~ = - = —

р др дг р 1 — 2и

Полагая

А = -(1 - 2и), В — 2(1 - и)

(2.11)

находим, что

дФ дФ _ др дг

(2.12)

и второе из уравн