Определение напряженно-деформированного состояния многослойных осесимметричных объектов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. МУЧНО-ТЕМЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕННО--ДВЮРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЙХ ОБЬЕКТОВ

1.1 Общие решения пространственных задач теории упругости

1.2 Обзор аналитических решений задач о полупространстве при различном характере загружения

1.3 Вопросы применимости решений линейной теории упругости к грунтам.

1.4 Обзор численных методов.

Выводы.

2. ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ МНОГОСЛОЙНОГО УПРУГО-ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА, ОСЛАБЛЕННОГО

ЦШМНДРИЧЕСКОЙ ШРАШГКСЙ.

2.1 Напряженно-деформированное состояние многослойного упруго-изотропного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены абсолютно жестким включением

2.2 Исследование напряженно-деформированного состояния трехслойного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены жестким включением, при различном характере загружения дневной поверхности.

2.3 Исследование напряженно-деформированного состояния трехслойного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой без подкрепления, при различном характере загружения дневной поверхности бб

Выводы.

3. программа., реализущая метод конечных элементов в осесимметричной области.

3.1 Подпрограмма дискретизации.

3.2 Подпрограмма формирования глобальной матрицы теплопроводности и вектора нагрузок

3.3 Подпрограмма "Решение системы".

3.4 Подпрограмма формирования глобальной матрицы жесткости и вектора нагрузок

3.5 Инструкция по составлению исходных данных к программе определения напряженно-деформированного состояния осесимметричных конструкций.

Выводы.

4. расчет и анализ термонапршений в деталях и узлах

ПРОМЫШЛЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

4.1 Определение напряженно-деформированного состояния детали в виде круглой керамической пластины (изделие № I).

4.2 Исследование напряженного состояния составного изделия (изделие № 2).

4.3 Исследование напряженного состояния составного изделия (изделие Р 3).

Выводы. заклшение.

В диссертационной работе проведены исследования напряженно-деформированного состояния систем, испытывающих осесимметрич-ную деформацию. Такие системы находят широкое применение в строительном деле, машино-и приборостроении.

Так, конструкции фундаментов надшахтных сооружений, как правило, занимают осесимметричное или близкое к нему расположение относительно оси вертикальной выработки. Это позволяет трактовать их как осесимметричные пространственные системы, допускающие для расчетов соответствующие аналитические и численные методы строительной механики.

Принятый в СССР принцип проектирования оснований по второму предельному состоянию предъявляет повышенные требования к точности расчета перемещений фундаментов под действующими нагрузками.

В нормативной литературе /99/ приведена методика определения перемещений оснований, которая сводится к решению осесиммет-ричной задачи для упругого полупространства, загруженного по кольцевому участку поверхности дневного слоя. Однако данная методика расчета не учитывает: во-первых, многослойность породного массива, во-вторых, влияние шахтных стволов на перемещения грунта.

Поэтому проблема создания способов расчета моделей, учитывающих указанные особенности, и доведения их до инженерно-технического уровня представляется актуальной.

Не менее актуальной является проблема создания способов расчета, позволяющих проводить исследования напряженно-деформированного состояния систем, испытывающих осе симметричную деформацию и имеющих усложненную геометрическую форму меридионального сечения. Такие объекты находят применение в машино- и приборостроении.

Несмотря на упрощения, которые вносит осевая симметрия в основные уравнения механики твердого деформируемого тела, отыскание решений и особенно доведение их до конечного числового результата вызывает значительные затруднения. Если конструкция имеет сложную геометрическую форму или когда в задаче для данной конструкции поставлены сложные граничные условия, то математические трудности, встречаемые при применении аналитических методов, являются в большинстве случаев непреодолимыми. Подобные затруднения возникли на ряде предприятий, где осуществляется проектирование деталей и узлов промышленных конструкций, испытывающих осесимметричную деформацию при воздействии на них стационарного температурного поля в диапазоне температур +100°С. Данный режим соответствует эксплуатационным условиям работы этих объектов.

В специальной литературе отсутствуют публикации, содержащие численные результаты напряжений, на основании которых можно получать научно обоснованные рекомендации по выбору оптимальных величин геометрических параметров изделий. К тому же отсутствие в практике проектирования прочностного расчета лишает уверенности проектировщиков в эксплуатационной надежности дорогостоящих объектов.

ЦЕЛЬ И ЗАДАЯЙ РАБ0Ш. Цель работы состоит в создании надежных доступных для инженерной практики способов расчета напряженно-деформированного состояния составных систем, претерпевающих о се симметричную деформацию и нашедших применение в строительном деле, машино- и приборостроении.

В работе поставлены и решены следующие основные задачи:

1. Получить аналитическое решение задачи об определении напряженно-деформированного состояния многослойного упруго-изотропного полупространства, ослабленного цилиндрической полостью, стенки которой подкреплены жестким включением.

2. Разработать программу определения напряженно-деформируемого состояния осесимметричных объектов, реализующую метод конечных элементов, предназначенную для решения осесимметричных задач теории упругости и термоупрутости.

3. Провести сопоставление численных результатов напряжений и перемещений, полученных в аналитическом решении и при помощи разработанной программы, реализующей метод конечных элементов.

4. Провести исследование напряженно-деформированного состояния полупространства, состоящего из 3-х слоев конечной толщины, и заканчивающегося бесконечным массивом, ослабленного цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены жестким включением. Исследование провести при различных видах нагрузки на поверхности дневного слоя.

5. Провести исследование напряженно-деформированного состояния полупространства, ослабленного бесконечной цилиндрической выработкой без подкрепления, состоящего из 3-х слоев конечной толщины, и заканчивающегося массивом. Исследование провести при различных видах нагрузки на поверхности дневного слоя.

6. Провести исследование напряженно-деформированного состояния ряда деталей и узлов промышленных конструкций, испытывающих осесимметричную деформацию при воздействии на них стационарного температурного поля, соответствующего режиму эксплуатации.

МЕТОДЦ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе применяются два метода: аналитический, в основе которого лежит общее решение осесимметричной пространственной задачи теории упругости в форме, предложенной К.В.Соляником-Красса, и метод конечных элементов. Аналитический метод используется в задачах, решения которых достигаются в замкнутом виде: элементарной форме и форме сходящихся несобственных интегралов. Для определения напряженно-деформированного состояния объектов, имеющих сложную геометрическую форму меридионального сечения или сложные граничные условия, применяется метод конечных элементов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. РАБОШ. Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Получено аналитическое решение задачи о напряженно-деформированном состоянии многослойного упруго-изотропного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены жестким включением.

В решении учтены:

1) многослойность породного массива;

2) влияние шахтных стволов на напряженно-деформированное состояние грунта.

2. Показано, что выполнение ствола шахты без подкрепления приводит к существенному увеличению упругих перемещений основания.

3. Показано, что незначительное удаление фундамента надшахтного сооружения от крепи ствола приводит к существенному уменьшению радиального воздействия на подкрепление.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов и заключения.

Выводы

В данном разделе проведено исследование напряженно-деформированного состояния ряда деталей и узлов промышленных конструкций, претерпевающих осесимметричную деформацию под воздействием стационарного температурного поля, соответствующего режиму эксплуатации.

Рассмотрены 3 вида изделий.

1. Изделие P I (рис.4.I):

- расчет напряженно-деформированного состояния проведен аналитическим методом и при помощи разработанной программы, реализующей метод конечных элементов;

- достоверность результатов и работоспособность программы подтверждены совпадением с минимальной погрешностью численных значений напряжений (не более ЗД и перемещений (не более ВО, полученных различными методами;

- численные значения максимальных напряжений значительно ниже предела пропорциональности для данного материала (ВеО), что указывает на отсутствие пластических деформаций и на работоспособность изделия.

2. Издение № 2 (рис.4.4):

- расчет напряженно-деформированного состояния проведен при помощи разработанной программы;

- достоверность результатов подтверждена выполнением с небольшой погрешностью граничных условий;

- численные значения максимальных напряжений незначительно превышают пределы пропорциональностей для материалов деталей 2 и 3, что указывает на возникновение пластических деформаций в спроектированном изделии;

- уменьшение толщины связующей детали № 2 в два раза оказывает незначительное отрицательное воздействие на напряженное состояние изделия.

- уменьшение диаметра связующей детали в 2 раза оказывает значительное благоприятное воздействие на напряженное состояние изделия.

Данный вывод позволил проектировщикам рационально изменить геометрические параметры изделия.

3. Изделие Р 3 (рис.4.5):

- расчет напряженно-деформированного состояния проведен при помощи разработанной программы;

- достоверность результатов подтверждена выполнением с небольшой погрешностью граничных условий;

- численные значения максимальных напряжений несколько превышают пределы пропорциональностей для материалов деталей Р 3, Р 5 и Р 6, что указывает на возникновение пластических деформаций в изделии;

- изменение диаметров cL{ и d 2, деталей Р I и Р 4 в заданных пределах практически не приводит к изменению напряженного состояния.

На основании данного вывода были отменены эксперименты по моделированию и испытаниям нескольких вариантов данного узла.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе для определения напряженно-деформированного состояния систем, испытывающих осесимметричную деформацию, использовались два метода - аналитический и численный.

Аналитический метод, в основе которого лежит решение осе-симметричной задачи теории упругости в форме, предложенной К.В.Соляником-Красса, использовался в задачах, решения которых достигались в замкнутом виде.

Для определения напряженно-деформированного состояния объектов, имеющих сложную геометрическую форму меридионального сечения или сложные граничные условия, применялся численный метод -метод конечных элементов.

Тем самым в работе сделана попытка оптимального подхода к выбору метода решения.

2. В диссертации: созданы способы расчетов, позволяющие определять напряженно-деформированное состояние систем, испытывающих осесимметричную деформацию и нашедших применение в строительном деле,машино- и приборостроении.

При выборе способа расчета в каждом конкретном случае учитывались следующие соображения:

1) расчет должен давать результаты с точностью, достаточной для проектирования;

2) расчет должен быть доступен для инженера-проектировщика;

3) расчет должен проводиться на стадии проектирования.

3. Аналитическое решение задачи о напряженно«деформированном состоянии многослойного полупространства, ослабленного цилиндрической выработкой, стенки которой подкреплены жестким включением, получено в замкнутом виде.

С наибольшей перспективой оно может быть использовано при решении задач механики грунтов и горной механики. Решение позволяет учесть:

1) многоелойность породного массива;

2) влияние шахтных стволов на напряженно-деформированное состояние грунта.

4. Исследование напряженно-деформированного состояния многослойного полупространства, ослабленного выработкой с жестким подкреплением и без него,показало:

1) выполнение ствола шахты без подкрепления приводит к значительному увеличению упругих перемещений породного массива, что нельзя не учитывать при проектировании*,

2) незначительное удаление фундамента надшахтного сооружения от крепи ствола приводит к существенному уменьшению радиального воздействия на подкрепление.

5. В диссертационной работе создана программа, реализующая метод конечных элементов в осесимметричной области. Она обладает высокой степенью автоматизации формирования исходной информации, что позволяет:

1) значительно ускорить получение численных результатов;

2) значительно снизить вероятность появления ошибок в исходных данных и, как следствие, избежать ошибок в решении;

3) практически исключить трудоемкую и утомительную операцию по формированию исходной информации.

Разработанная программа определения напряженно -деформированного состояния систем, испытывающих осе симметричную деформацию, нашла применение при проектировании деталей и узлов промышленных конструкций.

1. Абовский Н.П. Численные методы в теории упругости. - Красноярск: Изд.Красноярского политехи.ин-та, 1966. - 64 с.

2. Абрамян Б. Л. К задаче осе симметричной деформации круглого цилиндра. Докл. АН Арм.ССР, 1954, т.XIX, Р I, с.3-12.

3. Абрамян Б.Л. Некоторые задачи кручения и осесимметричной деформации упругих тел. Автореф. дис. . докт.техн.наук.- Ереван, 1961. 15 с.

4. Абрамян Б.Л. Осесимметричная задача теории упругости. -Труды П Всесоюзного съезда по теорет. и прикл. мех. М.: Наука, 1966, с.7-37.

5. Акыоц(Г.А.Акуин), Утку Cs.Utku) . Алгоритм автоматической перенумерации узлов для минимизации ширины ленты в матрице жесткости. Ракетная техника и космонавтика, 1968, с.212-214.

6. Александров А.Я. Некоторые зависимости между решениями плоской и осесимметричной задачи теории упругости для бесконечной плиты. Докл. АН СССР, 1959, 129, №4, с.755-757.

7. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Некоторые осесимметричные контактные задачи для полупространства и упругого слоя с вертикальным цилиндрическим вырезом. Изв. АН Арм.ССР. Механика, 1969, т.ХХП, Р 2, с.3-11.

8. Айронс (В .I^Ons), Барлоу (Д. Ваз low). Замечания к статье "Матрицы для прямого метода жесткостей". Ракетная техника и космонавтика, 1964, Р 2, с.226-227.

9. Байда Э.Н. Общие решения теории упругости и задачи,о параллелепипеде и цилиндре. Л. - М.: Гостройиздат, 1961,- 62 с.

10. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач. М.: Высшая школа, 1974. - 199 с.

11. Беляев Р.А. Окись бериллия. М.: Атомиздат, 1980, с. 28-93.

12. Бобрицкая С.Д., Квитка А.Л. Пример действия локальных нагрузок на сплошные и толстостенные тела вращения. Проблемы прочности, 1975, Р 4, с.63-65.

13. Бобрицкая С.Д., Квитка А.Л. Пространственная деформация неоднородных массивных тел вращения. Сообщение I. Проблемы прочности, 1970, Р II, с.45-48.

14. Бобрицкая С.Д., Квитка А.Л. Пространственная деформация неоднородных массивных тел вращения. Сообщение 2. Проблемы прочности, 1970, № II, с.49-54.

15. Бобрицкая С.Д., Квитка А.Л., Стукалов В.П. Расчет на прочность элементов, имеющих форму тел вращения. Проблемы прочности, 1970, Р 3, с.55-57.

16. Бойченко Г.А., Петровский А.В. Осесимметричная задача теории упругости. М.: йзд.МШ, 1979. - 59 с.17. 13улычев Н.С. Состояние стенок незакрепленного ствола шахты, пройденного бурением. Шахтное строительство, 1964, Р 10, с.14-16.

17. Булычев Н.С. Временные рекомендации по креплению стволов, сооружаемых бурением. Труды ВНЙМИ, 1965. - 15 с.

18. Булычев Н.С. Давление пород на крепь ствола, пройденного бурением. Шахтное строительство, 1967, Р 12, с.18-20.

19. Булычев Н.С. Расчет крепи капитальных горных выработок. -М.: Недра, 1974. 320 с.

20. Булычев Н.С. Строительство подземных сооружений и шахт. -- Л.: Изд.ЛГЙ, 1980. 60 с.

21. Валов Г.М. Об осесимметричной деформации сплошного круглого цилиндра конечной длины. Прикл.матем. и мех., 1962, т.26, вып.4, с.650-667.

22. Вайнберг Д.В., Городецкий А.С., Киричевский В.В., Сахаров А.С. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел. Прикл.мех., т.8, вып.8, с.3-21.

23. Варвак П.М. Метод конечных элементов. К.: Вища школа, 1981. - 176 с.

24. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. ч.1. К.: йзд-во АН УССР, 1946. 136 с.

25. Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчетупластинок, ч.2, К.: Изд-во АН УССР, 1952. 116 с.

26. Васильев В.З. Осесимметричная деформация полупространства с жестким полу бесконечным цилиндрическим включением. -Строительство и архитектура (Изв.вузов), 1969, W 6, с.25--28.

27. Васильев В.З. Осесимметричная деформация двухслойного упругоизотропного полупространства с цилиндрической выемкой, подкрепленной жестким включением. Труды ЛИСИ, № 105, 1974, с.5-11.

28. Васильев В.З. Осесимметричная деформация упругого массива с выемкой. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1977, Р I, с.34-37.

29. Виллипыльд Ю.К. Решение систем линейных алгебраических уравнений до 120-го порядка. Выпуск 14-51. - М.: Гипротис, 1968. 24 с.

30. Виллипыльд Ю.К. Получение уравнений метода конечных элементов вариантом дискретно-вариационного метода. Труды Таллинского политехи, ин-та, серия А, 1969, с.143-153.

31. Ворошко П.П., Квитка А.Л., Новиков Н.В. Решение осесиммет-ричных задач теории упругости. Проблемы прочности, 1973, Р 3, с.95-96.

32. Ворошко П.П., Квитка А.Л., Уманский С.Э. К вопросу об автоматизации задания информации в методе конечных элементов. -Проблемы прочности, Х975, № 3, с.42-46.

33. Галеркин Б.Г. К общему решению задачи теории упругости в трех измерениях с помощью функций напряжений и перемещений. Докл. АН СССР, А, 1931, Р 10, с.281-285.

34. Галлагер (R.H.Gallaghe-a). Методы получения матриц жесткости элементов. Ракетная техника и космонавтика, 1963, Р 6, с.187-189.

35. Гастев В.А. К вопросу об общем решении трехмерной задачи теории упругости. Труды ВВМИСУ, 1940, вып.2, с.З-П.

36. Гастев В.А. К вопросу об общем решении трехмерной задачи теории упругости. Труды ЛИСИ, 1975, вып.7, Р ИЗ, с. 5-16.

37. Герсеванов Н.М. Теоретические основы механики грунтов и их практические применения. М.: Стройиздат, 1948, с.9-104.

38. Гольдштейн М.Н. Механические свойства грунтов. М.: Изд. литер.по строит., I97E, с.98-150.

39. Гольдштейн М.Н. О современных тенденциях в развитии механики грунтов. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1978, Р 2, с.24-27.

40. Гольдштейн М.Н. К новым достижениям механики грунтов. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1980, Р 3, с.25-27.

41. Гольдштейн М.Н. Механические свойства грунтов и совершенствование методов их исследования.-Основания, фундаменты и механика грунтов, 1982, Р 3, с.21-23.

42. Горбунов В.П. О современных тенденциях в развитии механики грунтов. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1979, Р I, с.26-27.

43. Гордон Л.А., Заливайко С.Б., Шойхет Б.А. Программа решения плоской задачи теории упругости методом конечных элементов для ШМ "М-220". ВНИИГ им.Б.Е.Веденеева, 1974. - 44 с.

44. Гордон Л.А., Заливайко С.Б., Храпков А.А. Программа решения осесимметричной задачи теории упругости методом конечных элементов для ЭВМ "М-220". ВНИИГ им.Б.Е.Веденеева, 1974. - 78 с.

45. Григорян А.А. К вопросу о дальнейшем развитии механики грунтов. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1978, Р 6, с.25-27.

46. Грин (В.Е.Згеепе), Дконс (R.E.Dones) , Макклей (R.W.Mklcuj} Строум . Обобщенные вариационные принципы в методе конечных элементов. Ракетная техника и космонавтика, 1969, Р 7, с.47-55.

47. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. О точном решении осесимметричной задачи теории упругости для жесткозащемленной плиты. -Изв. АН Арм.ССР, сер. физ.мат.наук, 1963, Р 5, с.125-132.

48. Гринченко В.Т. Осе симметричное термоупругое состояние полупространства с цилиндрической полостью. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1972, вып. 12, с.90-95.

49. Гриффин Д.С., Келлог Р.Б. Численное решение осесимметричных и плоских задач теории упругости. Механика, 1968, Р 2, C.III-I25.

50. Гродский Г.Д. Интегрирование общих уравнений равновесия изотропного тела при помощи ньютоновских потенциалов и гармонических функций. Изв. АН СССР, отд.матем. и естествен. наук, 1935, Р 4, с.587-614.

51. Джонсон, (MW.DcihnSOn), Макклей (P.w.Mklay) . Сходимость метода конечных элементов в теории упругости. -Ракетная техника и космонавтика, 1970, № 3, с.185-190.

52. Динник А.Н. О давлении горных пород и расчет крепи круглой шахты. Инженерный журнал, 1925, !Р 7, с.1-12.

53. Ж.Деклу. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. - 92 с.

54. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Шизматгиз, 1961, с.II-92.

55. Д.Норри, Ж.деФриз. Введение в метод конечных элементов.- М.: Мир, 1981. 298 с.

56. Егоров К.Е. Общеизвестные истины. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1978, IP 6, с.24-25.

57. Зенкевич 0., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974.- 239 с.

58. Зиновьев А.В. Определение деформации основания конечной толщины под кольцевым фундаментом. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1979, W- 3, с.23-25.

59. Квитка А. Л., Ворошко П. П., Бобрицкая С. Д. Напряженно-деформированное состояние тел вращения. К.: Наукова думка, 1977, с.92-159.

60. Квитка А.Л., Ворошко П.П. Метод конечных элементов применительно к осесимметричной задаче теории упругости. Проблемы прочности, 1970, № II, с.61-67.

61. Коган Б.И., Зинченко В.Д. Напряженное состояние неоднородного слоя, покоящегося на упругом полупространстве. -Строительство и архитектура (Изв.вузов), I960, Ш 3, с.8-18.

62. Коган Б.И. Осе симметричная задача теории упругости для многослойного полупространства. Изв. АН СССР, отделение технических наук, 1958, № 6, c.III-113.

63. Конопелько Е.В. Напряженно-деформированное состояние слоистого полупространства, ослабленного цилиндрической выемкой. Изв.ЛЯШ Научн.тр.Ленинград.электротex.ин-та им.В.И.Ульянова (Ленина), 1980, вып.267, с.82-88.

64. Конопелько Е.В. Осесимметричная деформация многослойного упругоизотропного полупространства с цилиндрической выемкой, подкрепленной жестким включением. Изв.ЛЗГИ Научн.тр.Ленинград, электротех. ин-та им.В.И.Ульянова (Ленина), 1980,вып.279, с.98-102.

65. Конопелько Е.В. Напряженно-деформированное состояние тонкой круглой пластинки, средняя часть которой сохраняет постоянную температуру. Изв. Л ЗГИ Научн. тр. Ленинград, электротех. ин-та им.В.И.Ульянова (Ленина), 1978, вып.237, с.129-138.

66. Конопелько Е.В. Определение температурных напряжений в осесимметричных слоистых электрокерамических конструкциях. -Изв. Л ЗГИ Научн. тр. Ленинград, электротех. ин-та им.В. И. Ульянова (Ленина), 1981, вып.290, с.70-74.

67. Комплекс программ для решения осесимметричной задачи теории упругости. М.: ЦШПЙАС Госстроя СССР, 1974. -- 106 с.

68. Корнеев В.Г. Сопоставление метода конечных элементов с вариационно-разностным методом решения задач теории упругости. Изв.ВШИГ, т.83, 1963, с.286-307.

69. Курант Р., Фридрихе К., Леви Г. 0 разностных уравнениях математической физики. Успехи математических наук, 1941, вып.8, с.125-160.

70. Кханна (O.Khanna) , Туш (R.F. Haley). Сравнение и оценка матриц жесткости. Ракетная техника и космонавтика, 1966, Р 12, с.31-39.

71. Кханна (DKhanna). Критерий выбора матриц жесткости. -Ракетная техника и космонавтика, 1965, Р 10, с.253-254.

72. Лазарева И.В. Расчет методом конечных элементов гибкой стенки, погруженной в грунт. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1976, Р 2, с.27-29.

73. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.: Гостехиздат, 1947, с.306-328.

74. Лехницкий С.Г. Определение напряжений в упругом изотропном массиве вблизи вертикальной цилиндрической выработки кругового сечения. Изв. АН СССР, ОГН, 1938, Р 7, с.69-76,

75. Лехницкий С.Г. Исследование механических процессов в однородных массах, ослабленными горными выработками. Л.: ВНИМИ, 1970, с.3-8.

76. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНГЙ, 1935. - 674 с.

77. Масленников A.M. Справочник по теории упругости. К.: Дуд1вельник, 1971, с.239-260.

78. Мелан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. М.: Физматгиз, 1958. - 167 с.

79. Мелош (RJ.MeLosch) Основы получения матриц для прямого метода жесткостей. Ракетная техника и космонавтика, 1963, Р 7, с.169-176.

80. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием сШ, ч.1 М.: Стройиздат, 1976. - 246 с.

81. Митропольский М.Н. Применение теории матриц к решению задач строительной механики. М.: Высшая школа, 1969.- 158 с.

82. Митулис А., Липинып . Вариационные методы в теории упругости. Р.: РШ, 1973. - 53 с.

83. Мюррей (ЮЖиг аду). 0 сходимости решений метода конечных элементов. Ракетная техника и космонавтика, 1970, Р 4, с.277-279.

84. Палкович П.Ф. Обзор некоторых общих решений основных дифференциальных уравнений покоя изотропного тела. Прикл.матем. и мех., 1937, т.1, вып.1, с.117-132.

85. Папкович П.Ф. Теория упругости. М.: Оборонгиз, 1939.- 640 с.

86. Пиан(ТИ НЯ.РЬап). Получение матриц жесткости элементов.- Ракетная техника и космонавтика, 1964, Р 3, с.210-211.

87. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974.- 342 с.

88. Прокопов- В.К. Осе симметричная задача теории упругости для изотропного цилиндра. Труды ЛПИ, 1950, Р 2, с.286-303.

89. Раппопорт P.M. Задача Буссинеска для слоистого упругого полупространства. Труды ЛШ, 1948, Р 5, с.3-18.

90. Ревзюк Е.Б., Волков В.А. Особенности работы крепи стволов, пройденных способом бурения. Шахтное строительство, 1965, Р 8, с.19-21.

91. Резников Р.А. Решение задач строительной механики на ЩБМ. М.: Издательство литературы по строительству, 1971, с.50-56.

92. Рейтман М.И. Залог прочности. М.: Стройиздат, 1979.- 134 с.

93. Розин Л.А. Метод конечных элементов. Л.: Ейергия, 1971.- 210 с.

94. Рудых О.Л. Использование метода конечных элементов для определения давления грунта засыпки на подпорные стены. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1981, Р 2, с.20-22.

95. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1970. - 287 с.

96. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. - 388 с.

97. СНиП 11-15-74. Строительные нормы и правила. Нормы проектирования. Основания зданий и сооружений. М.: Стройиздат, 1975. - 22 с.

98. Соляник-Красса К.В. К решению осесимметричной задачи теории упругости. Докл. АН СССР, 1957, т. ХХХУ1, Р 3,с.481-484.

99. Соляник-Красса К.В. Функции напряжений осесимметричной задачи теории упругости. Прикл.мат. и мех., 1957, т.21, вып.2, с.285-286.

100. Сосис П.М. Статически неопределимые системы. К.: Е!уди-вельник, 1968, с.177-207.