Численное решение некоторых трехмерных задач анизотропной неоднородной теории упругости для тел вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

¡/.ООНОВСКИ ."ь^Г/г^ГГЕТ

имени М.В.Ломоносова

!.!е хгннкс -мат э у а~г-:есккг факультет £у Минхузй

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРЕШ-РНЫХ ЗАДАЧ АНИЗОТРОПНОЕ НЕОДНОРОДНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата бизико-иатематяческих наук

Москва - 1995

Работа выполнена на ка+едре механики композитов механико-математического факультета Московского государственого университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руковстктель - доктор физико-математических наук.

Официальные оппоненты: - доктсс физико-математических наук,

профессор А.С.Кравчук Кандидат физико-математических каук, зэд.н.с. К.Г.Гадкиев

Ветшал организация - ¡/лк.

Запзгга диссзитапил состоится ОЛ. 1995 т<

Б 16.00 час. на заседании диссертационного совета Д.053.С5.СЗ. в К!о сков скок государственном университете км. М.В.Ломоносова по адресу: II£399, ГПС, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией мошо ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета ШУ (Главное здание, 14 этак).

Автореферат разослан

0( 1995 Г.

Ученый секретарь диссертауионного совета, профессор С.В.Шешенин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвещена развитию методов решения задач анизотропной неоднородной теории упругости для тел вращения при не осесимметричной внешней нагрузке.

Актуальность работы, тела вращения (в том числе тонкостенные, состояние из комлезаконных анизотропных материалов) имеют широкое применение в технике. Разработка эффективных методов для их расчета является актуальней проблемой.

Напряженно-деформированное состояние, возникающее в телах вращения под действием не осесимметричной нагрузки является трехмерным. Решение соответствующей трехмерной задачи теории упругости для тел, меридиональное сечение которых имеет достаточно слокну» форму, возмокно, по-видимому, лишь численными методами. Анизотропия и неоднородность материала также сукзют возможности аналитического решения.

Для тел вращения при разработке численных алгоритмов встает задача максимального учета и использования осегой симметрии геометрии области, занимаемой телом. Для учета этой специфики возмокно использование конечных рядов дурье по окружной координате. Однако в случае анизотропии материала такой подход не столь эффективен, как в случае изотропии. Поэтому задача повышения эффективности методов решения задач теории упругости из рассматриваемого класса является актуальной.

Тема диссертации является составной частью научно-исследовательской работы, проводимой на кафедре механики композитов механико-математического факультета МГУ в соответствии с планом фундаментальных исследований в области естественных наук АН РФ (N0 госрегистрации 0188.0085090, шифр программы 1.10.1.1.)

Цель "работы.

- Разработка эффективных алгоритмов решения трехмерных статических и динамических задач анизотропной неоднородной теории упругости для тел вращения на основе учета осевой симметри геометрии области к типа анизотропии материала;

- Апробация алгоритмов и программ на ряде задач теории упругости;

- Решение некоторых конкретных задач для тел врацения из композиционных материалов.

Научная навизна.

- Построены и численно реализованы трехмерные вариационно-разностные схемы на криволинейной сетке, записанные относительно компонент вектора перемещения в декартовом Оазисе, базисе цилиндрической системы координат, а также криволинейно! системы координат, связанной с криволинейной сеткой, лаз сравнительный анализ этих схем.

- Предложен итерационный метод решения статической задач теории упругости для тел вращения, который базируется н сочетании итерационной схемы в декартовой системе координат вариационно-разностным уравнением з цилиндрической систем координат.

- Разработана полунеявная схема для решения динамически задач.

-Числено решены конкретные задачи для тел вращения.

Практическая ценость работы определяется тем, что разра-Сотные алгоритмы и программы могут быть использованы щ инженерных расчетах.

Достоверность результатов обеспечена:

- использованием строгих математических выкладок пр

теоретическом исследовании разрзсстан::ых алгоритмов :: подтверждена численными экспериментами;

- сравнением с существующими аналитическими решениями и численными решениям;:, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результата работы докладывались на конференции молодых ученных МГУ им.М.В.Ломоносова (Москва, IЭЭ4г.) и на научно-исследовательском семинаре кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством профессора В.2.Победой.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 2_х работах, указанных в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Общгй объем диссертации страниц, содеркит рисунков, таблиц.

ОСНОВНОЕ С0Д2РЕЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ Во введении отмечена актуальность теш диссертации, проведен краткий обзор литературы по теме диссертации, изложена структура и содеркение работы.

В перзой главе вариационно-разностным методом получены разностные схемы, аппроксимирующие задачу теории упругости в осесимметричной области. В предлагаемом алгоритме аппроксимации использовано отображение меридионального сечения исходной

области (рис.1а) на каноническую двумерную область (рис.Иэ).

ГШ г ^

Это отображение задает отображение

МЫ

ф| { (3 =Ф ^ исходной

осесимметричной области V на кананическую область У0 и фактически определяется криволинейной сеткой и, являющейся топологически эквивалентной прямолинейной сетке ш0 (рис.1). Для построения

разноетннх уравнений на прямолинейной сетке с0 используется хорошо разработанный вариационно-разностный метод. Основной вопрос, возникающий при таком подходе, состоит в том, относительно каких компонент вектора перемещения строить разностную схему. По крайной мере зозмонны три варианта, реализованы в диссертации. Мокно получить схему относительно гекаптовых компонент зектсра пегемецения {и мокно -

А X у £

относительно компонент {и^и^,^} в базисе цилиндрической системы координат; мокно - относительно компонент {Upi.Up2.Up3} з локальном базисе системы координат |31, р2, р3. В первой главе дан еызод всех этих уравнений и приведен их сравнительный анализ. Показано, что в случае криволинейной осесишетричнэй ортотропии материала упругого тела преимуществом по объему использования памяти и быстродействию обладает второй из перечисленных способов построения разностной схемы. Если главные оси ортотропии направляются по векторам локального базиса, то третий способ по эффективности не уступает второму. В случае не осесимметричной анизотропии лучшим оказывается первый способ.

10

!

О

а

Г

г ь Р1

Рис.1

В первой главе также исследуется возможность применения уравнений трехмерной теории упругости, а не теории оболочек, к

о

решению задач для тонкостенных тел возщенпя. Кгззстно, что такой подход используется з инженерной практике к является конкурентно способЕКК в сравнении с подходом, основанным на ^есснн оболо~ек. Его гссто1!нс~зсм ~ сольная тнизе'о— сальность, возможность эй^ектизного рассмотрения сочленений тонкостенных тел, неоднородности материала по толщине, например, слсисткх материалов. Кроме этого, ди55еренз:зльнке уравнения теории упругости второго порядка и, в определенном смысле, проще для численного решения, чем уравнения теории оболочек более ексокого порядка.

Естественная трудность з использовании изучаемого подхода состоит в том, что шаги сетки по толщине и в плане оболочки могут существенно разлпчатся, что на больших сетках может приводить к накоплению ошибок округления и потере точности. ~

Поэтому в первой главе также исследозана точность, обеспечиваемая при решении по трехмерной теории упругости в случае статической задачи для тонкостенных тел вращения путем численных экспериментов.

Проведено танке сравнение решений задачи об изгибе квадратной пластинки на основе уравнений теории упругости, уравнений теории Тимошенко-Рейснера и Кирхгофа-Лява. Решения по обоим "оболочечным" теориям взяты из работы Ю.Н.Пронкина.

Для решения задач статической теории упругости для тел вращения предложена итерационная схема на основе операторов эквизаленных по спектру:

А --- + и + I* ^ = О

и 3

где Д - разностный оператор Лапласа в декартовой системе

координат, и - чесшевснпй набор параметров, £ Е - матрица перехода от базиса, в котором построено разностное уравнение Аи+Р=0, к декартовому базису. Отметим, что константы 71 и 7 ,

появлнлцие б энергетическом неранзестзе

не зависят от размера сетки, т.е. такой метод основан на спектрально эквивалентных операторах.

Преимущество предлогаемого метода заключается в следующем:

- численное обращение оператора Лапласа предлагаемого вида осуществляется экономичными методами с затратой числа операции, пропорционального числу неизвестных.

- мокно выбрать оператор А в таком Оазисе, в котором он

имеет простейший вид. . .

Во второй главе построена неявная схема вида

В ии= Аи + ?, г ~ +

где В=(1+ил; д .д ,)Е, Е - тождественный оператор, для решения

IV р! р! «V «V

динамической задачи для тонкостенных тел. Такая схема является неявной по направнению р1 (по толщине) и явной в плане (по направнекиям рг и р3). По сравнению с явной схемой, устойчивой при условии 1. ~ полунеявная схема позволяет сущес-

твено повысить шаг по времени, т.к. она устойчива при условии ч ~ ^,1131. Следовательно, полунеявная схема пригодна для

расчета процесса распространения волн в плане тонкостенных тел в течение длительного времении. Проведение численные эксперименты показывают, что полунеявная схема обеспечивает достоточную точность. Также теоретически и практически показа-

рп Г1 1гве> тгттатэттм патгппги •и-пттаЛохтг^ тпт!ЛпП1т- гтгл ттттхга сст>т.тпЪ

схемы ухудшается.

Использование полунеявной схемы вызвано стремлением использовать схему, к а:-: мозге Солэе близкую к явной.

Репены тестовые задачи с целъз сравнить динамических задач по трехмерней теории упругости и по теорта Тимокшеко-Рейснера. Выясно, что решения у экх задач при достаточной малости теллинн хородо совпадают.

3 третье глазе численно исследовано напряженно-деЗсрмн-рованное состояние многослойных тонкостенных тел вращения.

Числено ревена динамическая задача для тонкостенной двуслойной конической оболочек, закрепленной е некоторых точках, при воздействии импульсного нагрукения. Найдены реакции в точках закрепления. Проведено сравнение реакции двуслойной и однослойной конструкции. Поскольку один из слоев является композиом с криволинейной ортотропией, то это срав-ние может показать величину демфирующего влияния этого слоя.

На практике время ннешного воздействия может быть очень коротким, что затрудняет его реализации в эксперименте. Поэтому проведено исследование влияние формы импульса внешнего воздействия при увеличение времени воздействия и сохранении общего импульса силы на напряженно-деформированное состояние двуслойной оболочки. Обнаружено, что при увеличении в 10 раз времени воздействии импульса, поведение конструкции не сильно изменяется.

Исследовано динамическое поведение толстостенного элемента конструкции, состоящей из композиционного и металлического элементов. Найдены области и время, где появляются максимальные напряжения, опаенные для прочности материала.

В заключении сформулированы полученные ь работе результаты.

1. Построены и проанализированы вариационно-разностные уравнения, аппроксимирующие задачу теории упругости для тел Еращения в декартовой, в цилиндрической системах координат и системе координат, связанной с криволинейной сеткой.

2. Предложен итерационный алгоритм решения статических задач и построена полунеявная схема для решения динамических задач теории упругости для тонкостенных тел.

3. Числено решены некоторые конкретные задачи для металло-кошозщиоеных элементов конструкции..

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1 Шешенин C.B., Фу Минхуэй. Полунеявный метод решения задачи теории упругости для осесимметричных тонкостенных тел вращения. Деп. в ВИНИТИ, No 2061-В94, 20 с.

2 ШешеЕИН С.Е., Фу Минхуэй. О численном решении задач теории упругости для тонкостенных тел. Аналитические, численные и экспериментальные методы в механике. М.: изд-во МГУ, 1994, C.II5-II9.

3 Шешенин C.B., Фу Минхуэй. Полунеявный метод решения задачи теории упругости для осесимметричных тонкостенных тел вращения. Изв. АН РФ. МТТ, 1995. No . (в печати)

.шдписано к 3Л 1.9-4

3--Г.П6 Тир-ж 85эгз.