Исследование плоских кавитационных вихрей и осесимметричных струйных течений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РГБ ОД

1 з №у(

На правах рукописи

Макаров Владимир Викторович

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛОСКИХ КАВИТАЦИОННЫХ ВИХРЕЙ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары — 2000

Работа выполнена на кафедре прикладной и дискретной математики Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова

Научный руководитель:

заслуженный деятель науки ЧР, академик НАНИ ЧР, доктор физико-математических наук, профессор А.Г. Терентьев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.П. Житников

Защита состоится "22" декабря 2000 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета К 064.15.02 в Чувашском государственном университете им. И.Н. Ульянова по адресу: 428015, г. Чебоксары, Московский проспект, д. 15, ауд. И-06.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного университета.

Автореферат разослан "20" ноября 2000 г.

кандидат физико-математических наук, Д.А. Троешестова

Ведущая организация:

Кемеровский государственный университет

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук,

доцент

ВЯ^З, О; 03 03

В 1^3, 3 13, 0.03

)

/

о

Общая характеристшса работы.

Диссертационная работа посвящена разработке аналитических и численных методов расчета потенциальных течений со свободными границами. Построению аналитического решения для плоских задач о равновесном навигационном вихре и системе периодических полых вихрей в идеальной жидкости (аналог дорожки Кармана). Разработке численного метода нахождения свободных границ для плоских и осесимметричных течений жидкости на основе метода граничных элементов (МГЭ) и его применение к задачам гидродинамики. Исследованию влияния весомости жидкости на форму свободной поверхности.

Свободные поверхности или поверхности струй служат поверхностями раздела двух сред - жидкости и газа, вдоль которых давление принимается постоянным. В данной работе все задачи исследуются в рамках установившихся потенциальных движений несжимаемой жидкости. Форма свободных поверхностей заранее неизвестна, она определяется в процессе решения задачи.

Актуальность темы. Результаты исследований течений со свободными поверхностями имеют многочисленные приложения в технике, например, при реализации проблемы создания средств передвижения в воде с большими скоростями, при проектировании струйных аппаратов и аппаратов на воздушной подушке, конструировании гидрозатворов и др.

Целью диссертационной работы является исследование плоских задач о течениях с равновесным кавитационным вихрем, с системой периодических полых вихрей и ряда плоских и осесимметричных задач со свободными поверхностями, разработка аналитических и численных методов решения поставленных задач.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Аналитически решены задачи о равновесном положении полого вихрп с постоянным давлением на его поверхности в безграничном потоке идеальной жидкости, в струе, в канале, а также рассмотрена система периодических полых вихрей в струе. Для решения этих задач применен единый подход выбора в качестве параметрической области при конформном отображении верхней полуплоскости.

2) Впервые решена задача о системе периодических полых вихрей моделирующих удаленный след за телом (аналог дорожки Кармана). Для вихревой дорожки Кармана с полыми вихрями получено два возмо?кных решения: симметричное расположение вихрей и в шахматном порядке.

3) Разработан алгоритм численного определения форм свободных поверхностей для плоских и осесимметричных потенциальных течений на основе МГЭ. Предложены два различных способа построения границы.

4) Этот алгоритм применен к ряду осесимметричных струйных задач: натекание струи на соосный конус, безотрывное обтекание различных тел вращения, истечение из круговой воронки.

Достоверность результатов работы обеспечивается применением строгих математических методов, сравнением результатов численных расчетов с различными предельными и точными аналитическими решениями.

Практическая ценность. Результаты диссертационной работы мо-

гут представлять как теоретический, так и практический интерес для дальнейшего изучения вопроса о выяснении зон возможного появления эрозии при натеками^:труР1~на~плоскостьга-также~определения_||юрмь1 свободных поверхностей в струйных течениях. ""

Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались: на Втором Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных задач" (Казань, 1998), на Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и их приложения" (Казань, 1999), на Третьем Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных задач" (Казань, 2000), на научных семинарах "Взаимодействие сплошных сред" под руководством профессора А.Г. Те-рентьева в Чувашском государственном университете (1997-2000 гг.).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в пяти работах, две из которых написаны в соавторстве с А.Г. Терентьевым, одна с В.К. Красновым.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы из 117 наименований. Главы разбиты на параграфы, общее число которых 13. Работа изложена на 109 страницах, содержит 56 рисунков и 9 таблиц.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы и цели диссертации, дан обзор литературы по затронутым вопросам, кратко изложено содержание работы и сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

Циркуляционное обтекание замкнутой области постоянного давления (далее полого вихря) было рассмотрено как чисто теоретическая задача еще в конце прошлого века Мичеллом. Им были даны постановка и общее решение задачи о полом вихре в канале и в замкнутом многоугольнике.

В первой главе исследуются плоские задачи об обтекании полых вихрей с постоянным давлением на границе. Жидкость предполагается идеальной несжимаемой и невесомой, а течение - потенциальным и симметричным относительно оси ординат. Решение поставленных задач получено в параметрическом виде при помощи методов конформного отображения.

В § 1 представлено решение задачи обтекания полого вихря безграничным потоком вблизи горизонтальной прямолинейной стенки (рис. 1). Задача обтекания плоского полого вихря вблизи стенки ранее была решена Кокс и Клайденом, а также А.Е. Хоперсковым. Но в их работах не приведены числовые расчеты границы полого вихря и не исследована зависимость формы полой каверны от числа кавитации. Более полное исследование задачи дано А.Г. Терентьевым г, который подробно рассмотрел полый вихрь вблизи стенки, но основное внимание уделил равновесному точечному вихрю при натекании струи на плоскость. Задача о полом вихре в безграничной области А.Г.Терентьевам решалась путем конформного отображения двухсвязной области течения на внутренность параметрического прямоугольника с вершинами 0, я, тт + тгИ/А:, кИ[А.. В данном параграфе представлено

'Терентьев А.Г. Равновесные полые и точечные вихри в потоке жидкости // Изв. АН ЧР. 1998. № 5. С. 66-84.

решение задачи, полученное с помощью конформного отображения на верхнюю полуплоскость (рис. 2 и 3). Использование верхней полуплоскости в качестве вспомогательной области позволяет одними и теми же приемами рассчитать течение с несколькими свободными и твердыми границами.

Внутри полого вихря предполагается, что давление ро = const или, для потенциального течения невесомой жидкости, скорость на границе полого вихря Vo = const. Скорость и давление на бесконечности равны соответственно р^. Вместо четырех размерных определяющих параметров ро, Poo, Vo, Voo можно оставить один безразмерный параметр, называемый числом кавитации К = = f JÍO — 1, которым полностью определяется pV¿ \Уоо/

данная гидродинамическая задача. Размерную циркуляцию Г = VoL, где L

- длина замкнутой границы полого вихря, целесообразно отнести к какой-

р

либо характерной скорости и характерной длине, например, Го = у ^ —

ч

©

i

Рис. 1

о

А В Рис. 3.

С Е

Е О

Рис. 2.

При решении задачи определяются области изменения функции Жуковского ы(С) = \wdWltyoadz) = 1п(К/Коо) - 10 и комплексного потенциала V/ — ^ + 1ф и находятся их производные:

£ = -уГъ . 1 К Сл/(< - - 1)

dW _С_

—— = iN -

dC V(C-a)(C-¿)(C-l)

Отображающая функция определяется из интеграла:

c¡C

(1.1)

(1.2)

Неизвестные параметры а и Ь находятся из условия задания числа кавитации и условия замкнутости границы полого вихря:

= =-1п(7яТТ), 11е{г(С)-г(В)}=0. (1.3)

При вычислении неизвестных параметров, а также геометрических ха-^зактеристшгтечения,-встречаются интегралы от функций, имеющих особенности на концах отрезка интегриротшйя_(174)~Эти-интегралы_можно^ представить через эллиптические, но получаемые выражения становятся громоздкими и неудобными при численных расчетах. Поэтому, в данной работе они вычислялись численно, для чего путем замены переменной I = Ь — (Ь — а)(1 - й2)2 интегралы сводились к виду, подынтегральная функция которых является непрерывной на всем отрезке интегрирования.

о

"I

№

у/{1-а)(Ь-1)

А,

Р.

1

¿з. (1.4)

К виду (1-4) можно свести и интегралы, содержащие особенности только в верхнем или нижнем пределах интегрирования, если умножить и разделить на соответствующий радикал. Используя этот метод вычисления интегралов удалось получить интегральные соотношения и определить границу кавитационной области для различных чисел кавитации. Ка рис. 4 представлены границы полого вихря в безграничном потоке для чисел кавитации К = 5, 10, 2-5, 50, 100, 1000.

В § 1 также рассмотрены некоторые частные случаи, получаемые путем предельного перехода из решения данной задачи: точечный вихрь (К оо) вблизи стенки и встречное течение струй (К —» 0). В первом случае показано, что циркуляция точечного вихря Г равна 47гД/3, а отношение ординаты вихря к к расстоянию О А (рис. 1) равно 1/>Д « 0,5744, что совпадает с известными результатами Во втором случае получается картина кумулятивной струи. На рис. 5 показана форма свободной границы кумулятивной струи и линии тока, проходящей через критическую точку О, при Ум = 1. Пунктирная линия соответствует границе каверны для полого вихря в безграничном потоке при К — 1. Критические точки в обоих случаях совмещены.

1

О

Рис. 4.

10

Решение задачи о струйном обтекании полого вихря рассматривается в § 2. Левая половина течения и параметрическая плоскость показаны на рис. 6 и 7.

о

Рис. G.

К О1

В С Е D F Рис. 7.

В этом случае неизвестными являются четыре параметра а,Ь,с,с1, для нахождения которых задаются: условие изменения угла вектора скорости на ВС, изменение скорости на СЕ, условие замкнутости каверны и циркуляция скорости:

ш(С)~ш(В) = -я-i, и(Е)-ш(С) = - In (/F+lj

(2.1)

Re{z(C) - z(B)} = О,

W{C) - W{B) =

(2.2)

Уравнения, входящие в данную систему, также содержат интегралы с особенностями на концах интегрирования, поэтому при их вычислении использовалось представление (1.4).

В табл. 1 показаны результаты расчетов основных параметров течения для различных чисел кавитации при Г0 = 7.

Таблица 1

Е

К а Ь с d Ха Уь Уе

5 0.3778 0.3783 0.9206 1.4822 0.7209 0.2824 2.0996

10 0.4596 0.4659 0.8766 1.5121 0.8569 0.3651 2.1590

100 0.5525 0.6161 0.7562 1.5536 1.1057 0.5621 2.1842

1000 0.5628 0.6647 0.7094 1.5587 1.1963 0.6365 2.1S45

V/IJ

(Ш

---J xjH

О

-3.5 -2.5

-1.5

1.5

2.5 3.5

Результаты расчетов формы свободной поверхности и формы полого вихря, отнесенные к ширине струи Я, при фиксированном значении безразмерной циркуляции скорости Го = Г/(НУоо) = Т и различных числах кавитации К = 5, 10, 25, 100, 1000:

-0.5 0.5 Рис. 8. представлены на рис. 8.

Здесь также можно получить частные решения: задача об обтекании струей жидкости равновесного вихря (К оо) и о соударении струй ширины Ник (К —> 0). Во втором случае следует положить 6 = а, с — d = 1. Параметр а определяется из отношения а — 1/(1+Hjh). В диссертации приведены расчеты формы свободной границы при встречном течении струй для трех значений H/h = 1, 2, 5.

В § 3 рассмотрено решение задачи о полом вихре в канале. Получены два возможных решения - обтекание полого вихря в канале и течение,

-индуцируемое полым вихрем. В качестве параметрической области выбрана также~1зер)шм~1юлуплоскость.-0бл ¡¿(С) в этам случае совпадает с областью изменения той же функции~для~безгра— ничной жидкости (§ 1), а область изменения комплексного потенциала IV с аналогичной областью для полого вихря в струе (§2). В данной задаче для определения неизвестных, кроме числа кавитации и условия замкнутости каверны можно задавать циркуляцию скорости Г вдоль границы каверны или отношение расстояния между критическими точками /д к ширине канала Н — 1. Отметим, что выбор третьего условия определяет два разных течения. В нервом случае - течение, индуцированное полым вихрем (рис. 10), во втором - полый вихрь в канале вблизи стенки (рис. 9).

0.5

1А/Н = 0,5

ytti

xftl

-0.5

0.5

ут 1.

2. К-10

3. К=50

4. K=100Q

(

г

____' |2

- )i

~~- х/Н

-0,5

0,5

Рис. 9.

Рис. 10.

В качестве предельных задач были рассмотрены задачи о равновесном вихре в канале (К со) и кумулятивной струе в канале. Для первого случая показано, что при увеличении интенсивности вихря (Г -> оо) его ордината г/0 —> 0,5, т.е вихрь находится в середине канала (табл. 2). Поскольку при Г о© скорость Уоо 0, то течение индуцируется только вихрем.

б л и ц а 2

Т

Го 0.5 1 2 ( 3 j 4 5 10 100 1000

УО С.04 0.078 0.14S ! 0.205 1 0.25 038ЁГ4 0.379 0.487 0.499

В случае кумулятивной струи в канале было получено, что число кавитации К зависит от отношения ширины встречной струи h к ширине канала II:

г А Vа h/H

Л = 4--7=-7Г, о — -, ' ■ —. (*>•!)

(1 — л/2) (1 -x/h/H)2 V

С учетом последнего соотношения следует, что К оо при h/H = 1/4, т.е. кумулятивное течение в канале возможно лишь при h/H < 1/4. На рис. 11 показаны поверхности кумулятивных струй в канале для h/H = 0.0Б и 0.1 и линия тока, проходящая через критическую точку. Пунктирными линиями показаны асимптоты свободной границы. Нижняя асимптота задается шириной встречной струи h, верхняя определяется из условия сохранения

количества жидкости. Па рис. 12 изображен график изменения числа кавитации К от отношения к[Н.

В § 4 приведено решение задачи об обтекании струей системы периодически расположенных равновесных полых вихрей под свободной границей вблизи твердой горизонтальной стенки. Эта задача эквивалентна задаче об обтекании струей жидкости симметричной дорожки Кармана из полых вихрей. Задание условий для определения неизвестных параметров и последующие расчеты форм свободной границы и поверхности полого вихря проводятся так же, как и в предыдущих параграфах.

На рис. 13 показаны форма свободной поверхности и полого вихря для одного периода цепочки при циркуляции Г = 1 для чисел кавитации К = 5, 10, 25 и 100. Все линейные размеры отнесены к полупериоду цепочки Ь.

В § 1-4 решение задач получено единым подходом - выбором в качестве параметрической области верхней полуплоскости. Получены асимптотические решения, позволяющие сравнить решение задач с известными.

В § 5 представлено решение задачи о системе периодических полых вихрей в безграничном потоке (аналог дорожки Кармана). Здесь решение построено путем конформного отображения на параметрический прямоугольник (рис. 14,15). На рис. 16,17 показаны решения для двух случаев-симметричного и шахматного расположения вихрей для чисел кавитации К = 5, 10, 25, 100 и 1000. Расчеты шахматного расположения вихрей были проведены для случая, когда выполняется условие устойчивости по Карману: h/i = агссЬ(л/2)/я- = 0.28055, Г = 2/th(Trh/l) - 2.8284 (рис. 15). С помощью метода особых точек комплексная скорость dW/dz и производная комплексного потенциала dWjdQ выражаются через тэта-функции Якоби:

ту (с) = *МС - д)#1 (С - ФМС + д)ЫС + 5) ,= -аУЫС + д)

(5.1)

~Решение-задачн-зависит-от_пятн_пяршиетров, это образы точек А: а = а\ + га,2, В: 6 = 6]. + ¿¿2 и £ - отношение сторон~фундаментального прямоугольника параметрической плоскости.

Условиями для определения неизвестных являются: задание циркуляции Г, числа кавитации К — (Ко/Ую)2 — 1 и требование замкнутости поверхности полых вихрей:

11е

С=Ь л/ к + 1

{/!<}= О, 1т

(5.2)

Считается, что скорость параллельна линии дорожки.

В• !

0.0 0.5

Рис.16 Рис.17

Вторая глава посвящена построению численного алгоритма определения свободной поверхности при помощи МГЭ. В § 6 описана гидродинамическая и математическая постановка плоских и осесимметричных задач со свободными границами. Приведены краевые условия на твердой и свободной границах.

В § 7 кратко излагается МГЭ, основанный на преобразовании дифференциального уравнения в частных производных в интегральное уравнение, определяющее только граничные значения неизвестной функции, и числен-

ном решении этого уравнения2. Применение обобщенного интегральною соотношения Грина к функции II(С) области О приводит к интегральному уравнению:

МСМО+ I и{х)д*(С,х)с1Г(х) = I ип{х)ч*{С,х)с1Г(х), (7.1)

где Г - граница области П, функция д*{С,х) = ди*(С, г)/дп.

Для плоских симметричных и осесимметричных задач функцию и*((.х) удобно выбрать в виде

ы*(С, х) =

1

1п

1

1

Л (с, г)

2тт

1 [ Ф)

для плоского случая,

для осесимметричного,

(7.2)

где Я(С,ж)-РасСТ0!5»»е междУ течками Сиз? области О, точки х и х* симметричны относительно оси симметрии г, п-единичная внешняя к области О нормаль поверхности Г.

Множитель а(С) зависит от расположения точки £ и поведения в ней границы Г и равен а;(£)/(27г). Здесь о>(£) - величина внутреннего угла односторонних касательных к контуру Г в точке С- Контур Г обходится так, что область остается слева3.

При решении гидродинамической задачи, после дискретизации границы течения Г и аппроксимации элементов границы постоянными, линейными или функциями более высокого порядка, а также задания краевых условий, уравнение (7.1) можно представить в матричном виде для функции потенциала и его нормальной производной <рп на границе Г:

ЛФ=ВФЯ

(7.3)

Ац = { А''3'

Л;,'

г -2,

+ 1/2, 1=3, £ У

здесь Ф, Фп - вектор-столбцы значений соответственно функции у>(0 и ее нормальной производной в контрольных точках {Са-К1' границы.

Таким образом, совокупное задание N значений функций 95 и ¡рп на границе области после решения системы (7.3) позволяет определить смежные значения соответствующих функций на границе.

В § 7 также кратко изложена методика дискретизации МГЭ: 1) граница Г заменяется ломаной линией, отрезки которой называются элементами; длина к-го элемента обозначается через

2Бреббиа К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.

3Терентьев А.Г. Численное исследование в гидродинамике // Язв. 1994. Вып. 1. № 2. С. 61-84.

АН ЧР.

2) на каждом элементе искомая функция аппроксимируется специальным образом. В данной работе использованы постоянные элементы, т.е. значение функции на элементе совпадает с ее значением в середине элемента;

3) на границе Г = Г1 и Г2 области О задаются смешанные краевые условия: <р на Г1 и у>„ на Г2.

Формулы для вычисления элементов матриц А и В (7.3), получаемых при реализации МГЭ и задания краевых условий, для плоскопараллельных и осесимметричных задач представлены в § 8 4.

В § 9 описывается алгоритм численного определения свободной поверхности основанный на МГЭ и "балансе" расхода жидкости. Предлагаются два способа построения границы. Первый предполагает задание некоторого центра О, через который проходят лучи к узлам элементов5. Граница течения представляет собой шарнирно-соединенные отрезки, которые могут менять линейные размеры, но концы каждого из элементов могут перемещаться только вдоль своего луча.

К недостаткам первого метода можно отнести отсутствие обоснованности выбора центра О и в случае сильно искривленной границы такой подход может быть неприемлем. С другой стороны, искомую границу можно разбить на несколько участков, и для каждого участка задавать свой центр. Такой способ можно использовать в случае нескольких свободных поверхностей, например, при струйном кавитационном обтекании тела.

Во втором способе предполагается, что каждая узловая точка границы может перемещаться только вдоль биссектрисы внутреннего угла между двумя соседними элементами, для которых данная узловая точка является общей. Этот способ является более универсальным.

На свободной границе должно выполняться 1условие равенства нулю нормальной составляющей вектора скорости У„ = 0. Условие "баланса" расхода жидкости для каждого элемента границы (рис. 18) можно представить для плоского случая в виде

Vnh = SiVSí

(i-1)

Рис. 18

для осесимметричного :+ г,-.!*

с 1 Vn(Ti-

Г,

(9.1)

(9.2)

Из последних соотношений определяется величина и направление вектора после чего, руководствуясь одним из способов построения границы, определяются смещения узловых точек и их новые координаты.

4Терентьев А.Г., Афанасьев К.Е. Численные методы в гидродинамике / Учеб. пособие. Чебоксары: Изд-во чуваш ун-та, 1987. 80 с.

5Краснов В.К. Исследование осесимметричных задач теории взрыва по струйной гидродинамической модели. // Дисс .. канд. физ.-мат. наук. - Казань, 1984. - 105 с.

Проведенные расчеты плоской задачи натекания струи на перпендикулярную ей плоскость по двум вышеописанным способам, показали приемлемость обоих подходов к определению свободной границы. При этом второй способ не вносит необходимости привязываться к какому-либо центру, но для данной задачи требует несколько большего количества итераций для получения решения.

Таким образом, предложенный алгоритм определения свободной границы на основе МГЭ можно сформулировать так:

1.) задается некоторое начальное положение свободной границы Г координатами точек концов отрезков ; ] —

2.) на каждом элементе свободной границы задаются значения потенциала щ в средних точках элементов;

3.) используя алгоритм применения метода граничных элементов, решается глобальная система уравнений (7.3), и находится значение нормальной производной потенциала Уп — (<рп)з\

4.) из уравнений (9.1) в плоском и (9.2) в осесимметричном случаях определяется величина и направление вектора

5.) по одному из выше описанных способов построения свободной границы определяются смещения узловых точек элементов и определяются их новые координаты.

Далее цикл, начиная со 2 пункта, повторяется до выполнения требуемой точности

В третьей главе представлены решения некоторых плоских и осе-симметричных задач со свободными поверхностями на основе алгоритма, описанного в предыдущей главе. В § 10 приведено решение плоской и осе-симметричной задач натекания струи на перпендикулярную ей плоскость. Проведен анализ влияния весомости жидкости на форму свободной поверхности. На этих задачах проведена апробация метода построения свободной границы, описанного в предыдущей главе. Численное решение плоской задачи практически полностью совпало с найденным точным аналитическим решением.

На рис. 19 представлена картина последовательных приближений к свободной границе в случае осесимметричного натекания струи на плоскость. Полученное значение ширины струи справа 0,1685 достаточно хорошо согласуется с точным 0,1667. Для данной задачи проведено также исследование влияния весомости жидкости (рис. 20) на форму свободной поверхности.

В § 11 представлено решение более общей задачи - натекания круглой струи на соосный полубесконечный конус (рис. 21, стр. 16). Здесь также были получены решения и для весомой жидкости.

В § 12 исследуется задача безотрывного осесимметричного струйного обтекания различных тел вращения (эллипсоида вращения, ограниченного конуса, полубесконечного цилиндра и др.). Форма свободных поверхностей при струйном обтекании эллипсоидов вращения с малыми полусями 0.5, 0.75 и большой полуосью 1.5 показаны на рисунках 22 и 23.

(9.3)

1 2 Рис. 20

Рис. 22 Рис. 23

В § 13 исследуется задача осесимметричного истечения невесомой идеальной жидкости из бесконечной конической воронки радиусом выходного отверстия d и полууглом раствора ¡3 (рис. 24).

Гидродинамическая задача определяетсл тремя независимыми параметрами: давлением на свободной границе р — рю = const, полууглом раствора воронки ¡3 и радиусом d = OB. Ширина струи на бесконечности равна h = CD = 1. Отношение hjd определяет коэффициент сжатия струи. Скорость на свободной границе струи равна Vs = V^ = 1. Нормальная составляющая скорости <рп на образующей воронки АВ равна нулю. Для определения коэффициента сжатия струи к = hjd необходимо определить радиус выходного отверстия воронки d.

д В качестве, поверхности,

ограничивающей область со стороны воронки, удобнее всего задать часть сферы АЕ постоянного радиуса R = AOi = ROi = const. Тогда в условной вершине конуса 01 можно разместить сток интенсивности Q.

Потенциал такого стока равен Iр — 1/(Ат;Щ. Это позволяет задавать на границе АЕ значение нормальной производной, которая совпадает с производной по полярному радиусу R:

дп ~ dR ~ 4тг R2' ( '

Количество жидкости вытекаемое за единицу времени из воронки в этом случае равно Q = я/г2!^, = const.

Таким образом, для решения задачи необходимо задать следующие краевые условия: ipn = 0 на образующей воронки АВ, V, — 1 на свободной

поверхности ВС, ipn = 1 на сечении CD, <рп — на сферической

границе АЕ.

Полученные коэффициенты сжатия струи представлены в табл. 3. В третьей строке приведены значения коэффициента сжатия струи ki для плоского случая из монографии М.И. Гуревича6.

Результаты числовых расчетов представлены в виде таблиц и графиков. Числовые расчеты при выполнении диссертационной работы проводились с использованием языка программирования FORTRAN, математического пакета программ MathCad 7.0 Pro, объектно-ориентированной среды разработчика DELPHI 3.0 Pro.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

1) Получено аналитическое решение задачи о равновесном полом вихре в безграничном потоке жидкости, в струе и в канале.

2) Получено аналитическое решение задачи об обтекании системы периодических полых вихрей в струе и в безграничном потоке (дорожка Кармана с полыми вихрями).

3) Построен численный метод определения свободной поверхности для плоских и осесимметричных задач гидродинамики идеальной жидкости.

4) Проведено численное исследование осесимметричных задач натека-ния струи на коническую поверхность, безотрывного обтекания тел вращения, истечение струи из воронки.

Содержание диссертации отражено в следующих работах.

1. Терентьев А.Г., Макаров В.В. Сравнительный анализ аппроксимаций в методе граничных элементов. - Второй Всероссийский семинар "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач". Материалы Всероссийского семинара. Казань -1998 - Казанское математическое общество.-1998.-88с. стр 67-69.

2. Терентьев А.Г. Макаров В.В. Полые вихри в жидкости вблизи твердых и свободных границ // Изв. НАНИ ЧР. 1999. № 4. С. 63-82.

3. Макаров В.В. Дорожка Кармана с полыми вихрями. Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 3. Краевые задачи и их приложения // Казанское математическое общество. Материалы Всероссийской научной конференции (Казань, 18-24 октября 1999 г.). Казань: УНИПРЕСС, 1999. С. 343-344.

4. Макаров В.В., Краснов В.К. Осесимметричное натекание струи на плоскость //Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач. Материалы Третьего Всероссийского семинара. Казань-2000. Изд-во Казанского мат. общества.-2000.-С. 91-94.

5. Макаров В.В. Численное определение свободных границ в струйных течениях/ Чуваш, гос. ун-т. - Чебоксары, 2000. 14 с. Деп. ВИНИТИ, от 27.10.00 № 2729-ВОО.

6Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536 с.

ТаблицаЗ

и 30 45 во 90

h/d. 0,80 0,73 0,68 0,61

0,81 0,74 0,69 0,61

о

\ ù^^yy

X /

' р= г.is

/

/ X

Рис. 21

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Плоские кавитационные вихри в идеальной жидкости

§1. Полый вихрь вблизи прямолинейной стенки

§2. Полый вихрь в струе жидкости вблизи стенки

§3. Полый вихрь в канале с прямолинейными стенками

§4. Система периодических полых вихрей в струе жидкости вблизи стенки

§5. Дорожка Кармана с полыми вихрями.

ГЛАВА 2. Численный метод определения свободных границ

§6. Постановка осесимметричных задач.

§7. Метод граничных элементов.

§8. Вычисление элементов матриц для плоской и осесимметричной задач.

§9. Численный алгоритм нахождения свободной границы течения

ГЛАВА 3. Применение метода определения свободных границ к некоторым задачам гидродинамики

§10. Натекание струи на плоскость. Случай тяжелой жидкости

§11. Натекание струи на бесконечный конус

§12. Безотрывное осесимметричное струйное обтекание тел вращения

§13. Истечение струи из круговой воронки

Течения жидкости со свободными границами охватывают широкий круг задач механики, важность которых требует их исследования. Результаты этих исследований находят многочисленные технические приложения, например, при конструировании средств передвижения в воде с большими скоростями, при проектировании плотин, водосливов, струйных аппаратов и аппаратов на воздушной подушке, в вопросах оптимизации профилей крыльев по заданным гидродинамическим характеристикам, конструировании гидрозатворов, стенок рабочих участков гидродинамических труб, проектировании форм диффузоров и др [12, 44, 49, 52, 60, 74].

Свободные поверхности или поверхности струй служат поверхностями раздела двух сред - жидкости и газа, вдоль которых давление принимается постоянным. В данной работе все задачи рассматриваются в рамках установившихся потенциальных движений несжимаемой жидкости. Форма свободных поверхностей заранее неизвестна, она определяется в процессе решения задачи.

Основное внимание в данной работе уделено частным случаям течений со свободными поверхностями - это циркуляционное обтекание кавитационной полости внутри жидкости с постоянным внутренним давлением в рамках плоской потенциальной задачи идеальной жидкости и ряд задач осесимметричных струйных течений.

Теория плоскопараллельных движений несжимаемой жидкости и газа представляет собой весьма обширный и разработанный отдел гидромеханики [44, 50, 51, 52, 68]. В рамках плоскопараллельных потенциальных течений несжимаемой жидкости исследован большой круг задач [17, 29, 68]. Простота постановок стационарных задач со свободными границами для потенциальных течений идеальной жидкости, изящество применяемого аппарата исследования, возможность построения решения в аналитическом виде для большего числа задач и несомненная важность соответствующих практических проблем вызвала большое внимание к этим вопросам многих исследователей, что и объясняет значительное число публикаций в этой области [16, 17, 29, 49, 68, 81].

Основы теории потенциальных течений идеальной жидкости со свободными границами заложены в работах Г.Гельмгольца и Г.Кирхгофа, которые впервые применили в гидродинамике методы теории функций комплексного переменного [48]. Аппарат аналитических функций позволяет во многих случаях находить полное решение в простом и эффективном виде, удобном для установления характерных качественных свойств и количественных соотношений для общих классов течений несжимаемой жидкости. Можно с уверенностью сказать, что выяснение физической сущности многих основных гидро-аэродинамических явлений получено путем математического исследования с помощью эффективных методов, основанных на приложении теории функции комплексного переменного.

Существенный вклад в развитие методов решений задач о плоских струйных течениях идеальной жидкости на основе аппарата аналитических функций внесли работы Н.Е.Жуковского, С.А.Чаплыгина, T.Jle-ви-Чивиты, А.И.Некрасова, Вилла, М.В.Келдыша, Л.И.Седова, М.А.Лаврентьева, Г.Бирхгофа, М.И.Гуревича, Д.Рябушинского, Г.Ю.Степанова, А.В.Кузнецова, А.Г.Терентьева, И.И.Ефремова, О.М.Киселева, Л.М.Кот-ляра, П.М.Белоцерковского, Л.И.Гузевского, В.П.Житникова, Д.В.Ма-клакова, К.Е.Афанасьева, А.В.Галанина, В.Н.Васильева и др.

Жидкости, встречающиеся в природе и применяемые в технике, содержат взвешенные твердые частицы и растворенные газы [51, 52]. В большинстве случаев такие жидкости неспособны воспринимать растягивающие усилия (отрицательные давления). В особых случаях удается наблюдать течения, при которых возникают растягивающие напряжения в движущейся жидкости, но обычно давление р в потоке не может стать ниже некоторой положительной величины pd - давление насыщенных паров жидкости (кипящая жидкость). В точках потока жидкости, в которых давление падает до этого значения происходит нарушение сплошности течения и образуется область, заполненная парами жидкости или газами. Это явление называется кавитацией [69, 29].

В настоящее время в связи с возрастающим значением проблемы движения тел в воде с большими скоростями исследование явления кавитации становится весьма важным, особенно при обтекании водяных винтов, турбин, насосов и других гидравлических машин.

При возникновении кавитации на поверхности тела образуются пузырьки, заполненные паром с давлением, близким к нулю. Попадая в область повышенных давлений эти пузырьки всхлопываются, вызывая явления ударного характера, что создает увеличение местного давления в несколько десятков раз и, вследствие возникновения кавитационной эрозии, служит причиной быстрого износа техники.

При развитом кавитационном обтекании тела образуются резко выраженные границы между жидкостью и парами и газами, заполняющими каверну. Вдоль поверхности раздела давление является постоянным Pd = const. Поэтому эти границы жидкости можно рассматривать как свободные поверхности (струи жидкости). Более того, следует заметить, что при установившемся движении траектории частиц жидкости на границе каверны совпадают с самой границей, которая должна представлять собой выпуклую кривую, обращенную выпуклостью к основному потоку жидкости [68].

Вблизи твердых поверхностей могут возникнуть и замкнутые кави-тационные полости (далее полые вихри) также вызывающие кавитаци-онную эрозию в зонах их устойчивого положения [13]. Для объяснения механизма появления полых и точечных вихрей необходимо привлекать достаточно сложные модели течений, учитывающие вязкость жидкости и отрыв пограничного слоя. Такие исследования в полном объеме еще не сделаны.

Полый вихрь, или циркуляционное обтекание замкнутой области постоянного давления, был рассмотрен как чисто теоретическая задача еще в конце прошлого века Мичеллом [108]. Им были даны постановка и общее решение задачи о полом вихре в канале и в замкнутом многоугольнике. Отдельные задачи с полыми кавернами рассматривались также Поклингтоном, Гринхиллом и др. [9, 29].

Задача обтекания плоского полого вихря вблизи стенки была решена Кокс и Клайденом [100], а также А.Е. Хоперсковым [92]. Но в данных работах не приведены полные числовые расчеты границы полого вихря и не исследована зависимость формы полой каверны от числа кавитации. Более полное исследование задачи дано А.Г. Терентьевым [81], в которой автор подробно рассмотрел полый вихрь вблизи стенки, но основное внимание уделил равновесному точечному вихрю при натекании струи на жидкость.

В работе [81] доказана лишь теоретическая возможность существования полых и точечных вихрей вблизи твердой границы, показано, что в пределе полый вихрь вырождается в точечный. Проведено исследование о равновесном положении точечного вихря при струйном натекании

На рис. 1 представлена фотография области кавитационной эрозии на плоской поверхности, заимствованная из работы [110]. Эрозия на поверхности получается при натекании струи радиуса 1мм в результате образования кавитационных пузырьков в зоне возможного устойчивого положения кольцевого полого вихря - в кольце радиусами Змм и 12мм как видно на рис. 1. Результаты работы [81] для точечного вихря вполне согласуются с данной картиной течения, но тем не менее, данные жидкости на плоскость.

Рис. 1. расчеты не могут однозначно дать модель физической картины. Более того, скорость в точке вихря V = оо, что физически невыполнимо. Поэтому есть необходимость дальнейшего исследования задачи образования полого вихря вблизи твердой стенки. Теоретически возможны течения с произвольным (в том числе бесконечным) числом вихрей. Какой из них реализуется в реальных течениях - это можно выяснить лишь экспериментально.

В данной работе рассматривается ряд плоских задач о равновесном полом вихре вблизи твердой поверхности в безграничном потоке, в струе и в канале; исследована плоская задача о системе периодических полых вихрей в струе и в безграничном потоке. В ряде случаев из полученных решений, путем предельного перехода, найдены решения некоторых более простых задач.

При отрывном обтекании неподвижного тела струя, сошедшая с его поверхности, может возвратиться в некотором месте обратно к телу, или встретиться с другой струей. Наблюдения свидетельствуют, что из области замыкания периодически отделяются завихренные клокочущие массы жидкости, уплывающие вместе с потоком назад и создающие движение типа вихревых дорожек. Явления, происходящие в области замыкания струй, ограничивающих каверну, носят ярко выраженный нестационарный характер, поэтому вполне не изучены и вызывают большой интерес у исследователей.

В 1911-1912 гг. Карман предложил, ставшую теперь классической, теорию периодических следов из точечных вихрей в бесконечном потоке [9, 44]. Такие течения могут образовываться, например, при обтекании цилиндра. Предложенная Карманом схема была впоследствии названа идеальной вихревой дорожкой или дорожкой Кармана. Такая модель определяется тремя произвольными параметрами: интенсивностью Г каждого вихря и геометрическими параметрами вихревой дорожки: шагом b и шириной h. В случае устойчивой вихревой дорожки было показано [44], что циркуляция (интенсивность) на линиях вихрей должна быть одинаковой по величине, но разной по направлению.

В невязкой жидкости идеальная вихревая дорожка находиться в равновесии, причем система вихрей перемещается против направления потока на бесконечности со скоростью ^tanh(7r/i/&). Карманом был проведен анализ устойчивости системы двух параллельных периодических цепочек вихрей и установлено, что она имеет неустойчивость первого порядка (т.е. смещение вихрей от первоначального положения растут по экспоненте), за исключением случая h/b = 0.281. Однако в эксперименте наблюдаются устойчивые конфигурации дорожек в диапазоне 0.28 < h/b < 0.5 [9], что объясняется несколькими факторами: относительно малой скоростью завихренности, наличием вязкости и отсутствия сконцентрированности завихренности в отдельных точках, а также колебаниями вихревого следа [68].

Звук, создаваемый пропеллером и лопастями в воде, связывают с периодическим распадом следа. Несмотря на недостаточную изученность этих явлений, ясно, что они могут быть причиной возникновения сильных вибраций. Если интенсивность вибраций достаточно велика, то кавитация может возникнуть в полоске, параллельной выходной кроме, что может быть объяснением к возникновению следа в виде дорожки Кармана с полыми вихрями. Таким образом, существует необходимость подробного исследования возможного существования вихревой дорожки с полыми вихрями.

В данной работе исследуются задачи о системе периодических полых вихрей в струе и безграничном потоке. Для вихревой дорожки Кармана с полыми вихрями получено два возможных решения: симметричное расположение вихрей и в шахматном порядке, представлены решения для формы каверн в зависимости от числа кавитации и циркуляции скорости.

Для выяснения области кавитационной эрозии (рис. 1) и более полного изучения проблемы кавитации требуется дальнейшее исследование пространственных, и в частности - осесимметричных, струйных течений.

С использованием классического аппарата метода теории функций комплексного переменного при решении плоских стационарных задач о потенциальных течениях со свободными границами удается построить решение задач в аналитическом виде в тех случаях, когда заданные участки состоят из прямолинейных стенок, а жидкость является несжимаемой, невесомой и не подверженной влиянию сил поверхностного натяжения. Отказ от любого из этих условий приводит к необходимости в общем случае построения приближенных решений соответствующих нелинейных краевых задач. Отсутствие столь эффективного и удобного аппарата при решении пространственных задач также приводит к необходимости разработки численных методов решения задач. Несмотря на более чем столетнюю историю течений струй идеальной жидкости, лишь в последние годы было достигнуто значительное продвижение в вопросах расчета осесимметричных течений.

Существенно меньшее число работ, посвященных осесимметричным течениям со свободными поверхностями по сравнению с плоскими, объясняется большими математическими трудностями при решении этих задач.

Первая серьезная попытка произвести теоретический расчет осесим-метричного струйного течения принадлежит Трефцу [29]. Основная идея метода Трефца состоит в последовательном подборе приближении искомой границы области течения через определение потенциала на границе. Однако предложенный Трефцем метод не указывает рационального метода получения последовательных приближений. Более того, сведение интегрального уравнения в цилиндрических координатах к эллиптическим интегралам первого рода и дальнейшее разложение их в окрестностях некоторых точек в ряды делало очень громоздким вычислительную часть. Данный метод Трефц применил на задаче об истечении струи из круглого отверстия вертикальной плоскости и показал, что коэффициент сжатия струи лежит между 0,6 и 0,62.

Несколько упростил анализ Трефца немецкий ученый Шах [111], решивший задачу об ударе круглой струи о плоскость непосредственно рассматривая течения, образованные кольцами источников и диполей. В работе Д. Саламатова [67] об истечении струи из воронки на свободных поверхностях распределялись не кольцевые источники, а кольцевые вихри. При этом пользовались функцией тока, т.к для кольца вихрей неоднозначен потенциал скоростей. Д. Саламатов решал задачу методом последовательных приближений, сводя решение интегральных уравнений к решению системы линейных уравнений. Им был рассчитан случай для угла наклона стенки воронки /3 = it/А и получен коэффициент сжатия струи 0.75, мало отличающийся от соответствующей плоской задачи 0.747 [29].

Некоторые авторы (Роуз и Абуль-Фету, Леклерк [29]) использовали электрогидродинамическую аналогию, позволяющую исследовать гидродинамические задачи с помощью измерений в электролитической ванне. Так, Роуз и Абуль-Фету изучали истечение круглой струи из бесконечно длинного сосуда кругового сечения. Ими были рассчитаны распределение давления на стенках сосуда, коэффициенты сжатия и форма струи и проведены сравнительные анализы с работами Трефца, Саусвелла и Вейси, Кречмера, Вейсбаха и др.

Попытка получения точного решения струйных задач была предпринята Гарабедяном [103], который записал уравнение для функции тока ф симметричного течения для комплексной переменной 2: д2ф 1 дф 1 дф Q dzcfz 2(z — z) dz 2(z — j)dz

С помощью функции Римана Гарабедян построил решение последнего уравнения, которое обладало тем свойством, что дуга произвольной кривой является свободной линией тока в меридиональной плоскости.

Однако в этой работе не удалось построить физически интересные примеры, в которых область течения имела бы правильный вид в целом.

Существенный прогресс достигнут в выяснении вопросов существования и единственности решения об осесимметричных струйных течениях. Гилбарг и Серрин [29] развили идеи М.А. Лаврентьева в теории конформных отображений, применив их для доказательства однозначной разрешимости основных задач о струйных осесимметричных течениях. Краткие основы этой теории можно найти в монографии Бир-кгофа и Сарантонелло [9]. В работе Гарабедяна, Леви и Шиффера [104] доказана теорема существования осесимметричных течений типа Ря-бушинского. Из доказанной теоремы, в качестве предельного случая, следует существование решения задачи об обтекании осесимметричного тела с бесконечной каверной (течения типа Кирхгофа).

Дальнейший прогресс в точном расчете осесимметричных (а в перспективе и пространственных) струйных течений обусловлен развитием вычислительной техники и связан с применением усовершенствованных численных методов, использующих специальные преобразования переменных, различные итерационные схемы, вариационные подходы и др.

Важные результаты в разработке методов численного решения в точной нелинейной постановке осесимметричных течений со свободными границами получены в работах Э.Л.Амромина [1], Брен-нена, К.Варсамова, П.Гарабедяна [103], Л.Г.Гузевского [24, 26, 27],

A.Н.Иванова, Саусвелла [29], Д.Саламатова [67], Е.Треффтца [29], Л.А.Кожуро. Значительное число работ связано с асимптотическими методами в задачах кавитационных течений. Среди многих авторов следует отметить работы С.С.Григоряна [22], Г.В.Логвиновича [50],

B.П.Карликова [36, 37], Накатани, В.В.Серебрякова [70, 71], Ю.Л.Якимова [94, 42].

Значительный вклад в изучении осесимметричных задач оказали введенные впервые Г.Н.Положием [64] и разработанные затем другими исследователями [20, 65, 80, 41] методы теории ^-аналитических функций. Для ^-аналитических функций установлены аналоги теоремы Ко-ши и формулы Коши, построена классификация особых точек и нулей, теория вычетов. Так, в работе О.Г. Гомана [20] показано, что в рамках теории тонкого тела решение любой осесимметричной задачи обтекания тела вращения может быть получено с помощью преобразования Положего из решения задачи обтекания профиля, эквивалентного телу вращения.

Наиболее широкое использование ^-аналитической функции в гидродинамике осесимметричных течений нашло в работах А.Г.Терентьева [80]. Им получены и применены к ряду задач гидродинамики интегральные преобразования для ^-аналитических функций с характеристикой р = ук. Им же, совместно с В.П.Житниковым [33], были успешно реализованы методы теории ^-аналитических функций к целому ряду задач, среди которых задачи безотрывного обтекания гибких оболочек безграничным и ограниченным потоком идеальной жидкости, задача об обтекании осесимметричного газового пузыря [34]. Н.А. Димитрие-ва [31] теорию р-аналитических функций применила к решению задач о кавитационном обтекании криволинейных осесимметричных тел (сферы и эллипсоида вращения). Д.А. Троешестова [90] методами теории ^-аналитических функций исследовала осесимметричные задачи о потенциальных течениях в трубах переменного радиуса.

С другой стороны, развитие вычислительной техники дало мощный толчок к развитию и использованию численных методов, которые широко применяются сегодня в самых разных областях гидродинамики [2, 21, 66, 79, 84, 96, 101, 117]. Многие проблемы, теоретическое исследование которых ранее было затруднительным, получили решение благодаря реализации численных методов - метода граничных интегральных уравнений [54, 59], метода конечных элементов (МКЭ)

5, 43, 83, 99, 107], метода граничных элементов (МГЭ) [8, 10, 83, 98], метода комплексных граничных элементов (МКГЭ) [23] др. В ряде работ, авторы используют метод вихревых колец, непрерывно распределенных по границам течения, или метод вихревого слоя для определения свободной поверхности [21, 89, 93, 97].

Данные численные методы успешно используются для решения широкого круга задач гидродинамики [7, 38, 42, 43, 46, 65, 71, 76, 79, 98, 101], например, в задачах о волнах [6, 74, 90, 107] и др.

В последнее время в различных областях механики сплошных сред широко применяется метод граничных элементов. Уже само название выделяет характерную особенность МГЭ: возможность решения задачи с использованием дискретизации лишь границы области (в отличие от методов конечных элементов и методов конечных разностей, применение которых требует дискретизации всей области). Исторически методу граничных элементов предшествовали родственный ему метод конечных элементов и теория интегральных уравнений. Интегральное уравнение теории потенциала вывел Г.Грин.

Подробно сам метод и область его применения изложены в монографиях П. Бенерджи и Р. Баттерфилда [8], К. Бреббиа, Ж. Теллеса и JI. Вро-убела [10], в учебном пособии А.Г. Терентьева и К.Е. Афанасьева [83]. Применительно к задачам гидродинамики МГЭ был использован в ряде работ [3, 5, 76, 85, 113, 115, 116].

Так, А.Г. Терентьевым [79, 83, 85] было проведено исследование многих задачи гидродинамики с помощью МГЭ. Этот метод А.Г.Терентьев обобщил на случай безграничных течений, а также показал целесообразность введения корректирующей функции для учета особенностей функции потенциала [79].

Численные исследования обтекания системы произвольных профилей с помощью МГЭ были проведены А.Г. Терентьевым совместно с Т.В. Картузовой [85, 84, 39]. МГЭ нашел применение и в реализации численного конформного отображения [88]. В.К. Краснов и Ю.В. Кузнецов [46], Г.И. Субхангулов и А.Н. Хомяков [76], Н.Н. Ясько [95], L.C. Wrobel [115] применили МГЭ к исследованию осесимметрично-го кавитационного обтекания тел. В работах К.Е. Афанасьева [2]-[5] при помощи МГЭ и МКЭ моделируется свободная граница в стационарных [2, 4] и нестационарных [3, 5] плоских задачах гидродинамики идеальной жидкости. Совместно с А.Г. Терентьевым [83] методом граничных элементов им была решена задача стационарного течения над неровным дном. Д.А. Троешестова [90] использовала МГЭ для численного исследования течений в плоском криволинейном канале, нестационарной задачи о генерации волн на свободной поверхности жидкости при импульсивном смещении дна. Большое количество работ по течениям со свободными границами опубликовано у К.Е. Афанасьева [2]-[6]. Это и задача деформации свободной границы при движении твердых тел, деформация пузырей в жидкости, нелинейные задачи моделирования уединенных волн (солитон) над ровным дном и дном с препятствиями, неустановившиеся волновые течения, вызванные движущимися телами, задачи о вертикальном движении цилиндра и сферы под свободной поверхностью и др.

Существует две формулировки МГЭ: прямая и непрямая [10, 95]. В непрямой формулировке вводятся формальные функции плотности источника, которые обычно не имеют отношения к физическому смыслу задачи. Это неудобство можно преодолеть, воспользовавшись прямой формулировкой метода граничных элементов, где значения неизвестной функции ip и ее производных на границе Г области D играют роль плотностей источников, определяющих <р внутри D. К этой формулировке можно прийти, используя, например, метод взвешенных невязок [10], преимущество которого состоит в универсальности: его можно непосредственно распространить на решение более сложных уравнений в частных производных и применить для получения других численных подходов (таких, как метод конечных элементов).

В данной работе МГЭ применяется для определения свободных границ в течениях идеальной жидкости и используется прямая формулировка.

Целью диссертационной работы является:

1) исследование ряда плоских задач течений идеальной жидкости с равновесным положением полых вихрей, давление внутри которых постоянно;

2) исследование системы периодических полых вихрей в струе и в безграничном потоке;

3) построение численного алгоритма нахождения формы свободной поверхности в задачах гидродинамики на основе МГЭ;

4) применение построенного алгоритма к исследованию плоских и осесимметричных задач со свободными поверхностями.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1) Получено аналитическое решение задачи о равновесном полом вихре в полубезграничном потоке жидкости, в струе и в канале.

2) Получено аналитическое решение обтекания системы периодических полых вихрей в струе и в безграничном потоке (аналог дорожки Кармана с полыми вихрями).

3) Построен численный метод определения свободной поверхности для плоских и осесимметричных задач гидродинамики идеальной жидкости.

4) Проведено численное исследование осесимметричных задач нате-кания струи на коническую поверхность, безотрывного обтекания тел вращения, истечения струи из воронки.

Численные расчеты в последней главе проводились с использованием постоянных граничных элементов и сравнивались с аналитическим решением (если оно известно). Результаты вычислений представлены в виде таблиц и графиков, которые подтверждают высокую эффективность метода граничных элементов при решении вычислительных задач. Числовые расчеты при выполнении диссертационной работы проводились с использованием языка программирования FORTRAN, математического пакета программ MathCad 7.0 Pro, объектно-ориентированной среды разработчика DELPHI 3.0.

Полученные результаты могут быть интересны и применены:

- при дальнейшем исследовании устойчивого положения замкнутых циркуляционных зон, зон возможного появления кавитационной эрозии;

- как теоретическое моделирование удаленного за телом следа в реальных вязких течениях;

- при моделирования различных струйных аппаратов, аппаратов на воздушной подушке, установившихся волновых течениях и др.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю - заслуженному деятелю науки Чувашской Республики, академику НАНИ ЧР, профессору Алексею Григорьевичу Терентьеву за поставленную задачу, постоянное внимание и помощь при выполнении работы, а также сотрудникам кафедры теоретической механики и кафедры прикладной и дискретной математики Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова за полезные советы и рекомендации при обсуждении результатов.

Заключение.

1. Амромин Э.Л. Расчет осесимметричных кавитационных течений в свободных струях методом А.Н. Иванова // Гидродинамика высоких скоростей / JL: Судостроение.- 1983.- Вып.З.- С.4-13.

2. Афанасьев К.Е. Моделирование свободных границ в гидродинамике идеальной жидкости// Гидродинамика ограниченных потоков/ Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та. 1988. С. 9-18.

3. Афанасьев К.Е., Самойлова Т.И. Техника использования метода граничных элементов в задачах со свободными границами // Вычислительные технологии.- Новосибирск.- 1995.- вып. 7 , No 11.-С. 19-37.

4. Афанасьев К.Е., Терентьев А.Г. Применение метода конечных элементов в задачах со свободными границами // Динамика сплошной среды с нестационарными границами / Чуваш, гос. ун-т им. И.Н. Ульянова.- Чебоксары, 1984.- С. 8-17.

5. Афанасьев К.Е. Приближение нелинейной уединенной волны// Труды VI Всероссийской научной школы "Гидродинамика больших скоростей". Чуваш, ун-т. Чебоксары. 1996. С. 3-10.

6. Белых В.Н. Численные алгоритмы без насыщения в нестационарных задачах гидродинамики идеальной жидкости со свободными границами // Тр. Ин-та мат. СО АН СССР.- 1988.- т. 11.- С. 3-67.

7. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984.- 494 с.

8. Биркгоф Г.Б., Сарантонелло Э.С. Струи, следы и каверны // М. Мир, 1964, С. 466.

9. Бреббиа К., Теллес Ж., Вроубел JL Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.

10. Бреббиа К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982. 248 с.

11. Бэтчелор Д. Введение в динамику жидкости.- М.: Мир.- 1973.

12. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа.- М.: Мир.- 1986.

13. Воинов О.В., Воинов В.В. Численный метод расчета нестационарных движений идеальной несжимаемой жидкости со свободными поверхностями // Докл. АН СССР. 1975. т. 221. No 3. С. 559-562.

14. Воронин В.В. Исследование динамики двумерной газовой полости вблизи свободной поверхности весомой жидкости // Уч. зап. ЦАГИ. 1983. т. 14, No 2. С. 37-47.

15. Галанин А.В., Терентьев А.Г. Граничные задачи линейной гидродинамики // Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1984. 83 с.

16. Галанин А.В., Терентьев А.Г. Приложения теории функций комплексного переменного в задачах механики сплошной среды. / Учеб. пособие. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1980. 123 с.

17. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

18. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Отрывные и кавитационные течения. М.: Наука, 1999. 384 с.

19. Гоман О.Г. О получении осесимметричных течений из плоскопараллельных/ Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. N 5. С. 113-121.

20. Гоман О.Г., Карплюк В.И., и др. Численное моделирование осесимметричных отрывных течений несжимаемой жидкости. М.: Машиностроение, 1993. 283с.

21. Григорян С.С. Приближенное решение задачи об отрывном обтекании осесимметричного тела. ПММ, 1959, т. XXIII, вып. 5.

22. Громадна Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов. М.: Мир, 1990.

23. Гузевский Л.Г. Расчет осесимметричных течений со свободными поверхностями // ДАН СССР.- 1975.- т. 225, No 2.- С. 268 272.

24. Гузевский Л.Г. Плоские бесциркуляционные течения идеальной жидкости со свободными границами //Исследования по развитой кавитации.- Новосибирск, 1976.-С.113-130.

25. Гузевский Л.Г. Осесимметричные задачи обтекания со свободными границами //Исследования по развитой кавитации. Новосибирск, 1976, - С.51-67.

26. Гузевский Л.Г. Численный анализ кавитационных течений // Инт теплофизики СОАН СССР, Препринт / 40-79, Новосибирск.-1979.- 36 с.

27. Гузевский Л.Г. Плоские и осесимметричные задачи гидродинамики со свободными поверхностями. //Автореферат дисс . докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1987, 27с.

28. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536 с.

29. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1973, 228 с.

30. Димитриева Н.А. Численное исследование кавитационного обтекания цилиндрических и сферических поверхностей// Динамика сплошных сред со свободными границами/ Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та. 1996. С. 78-91.

31. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев А.В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. М.: Наука, 1994. 436 с.

32. Житников В.П. Решение плоских и осесимметричных задач с помощью методов теории функции комплексного переменного. Учебное пособие/ Уфа: Уфимск. госуд. авиац. технич. ун-т. 1994. 108 с.

33. Житников В.П., Терентьев А.Г. Осесимметричное обтекание газового пузыря идеальной жидкостью// Изв. РАН. МЖГ, 1993. N 5. С 98-103.

34. Канторович Jl.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-JL: Физматгиз, 1962. 708 с.

35. Карликов В.П., Хомяков А.Н., Шоломович Г.И. О новом способе организации развитых кавитационных течений. В кн.: Некоторые вопросы механики сплошной среды / Сборник тематических статей Ин-та механики МГУ. - М.: изд. МГУ, 1977.

36. Карликов В.П., Шоломович Г.И. Метод приближенного учета влияния стенок при кавитационном обтекании тел в гидродинамических трубах. Изв. АН СССР, МЖГ, 1966, №4.

37. Каробицын В.А. Численное моделирование осесимметричных потенциальных течений несжимаемой жидкости. //Мат.моделир. 1991. N10. С. 42-49.

38. Картузова Т.В. Численные исследования обтекания системы произвольных профилей методом граничных элементов. Дисс . канд. физ.-мат. наук. Чебоксары, 1997. 106 с.

39. Киселев О.М., Котляр JI.M. Нелинейные задачи теории струйных течений тяжелой жидкости // Казань: изд. Казан, гос. ун-та, 1978.

40. Коковин Е.Т. Применение метода конформного отображения к решению осесимметричных задач потенциального обтекания // Ав-тореф. дис. канд. физ.-мат. наук.- Томск.- 1989.- 17 с.

41. Константинов Г.А., Якимов Ю.Л. Численный метод решения нестационарных осесимметричных задач гидромеханики идеальной жидкости со свободными поверхностями // Изв. АН СССР, МЖГ.-1969.- No 4.- С. 162-165.

42. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979. 204 с.

43. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз. 1963. Ч. 1. 584 е.; Ч. 2. 728 с.

44. Краснов В.К. Исследование осесимметричных задач теории взрыва по струйной гидродинамической модели. // Дисс . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1984. - 105 с.

45. Краснов В.К., Кузнецов Ю.В. Применение метода граничных интегральных уравнений к расчету осесимметричных и плоских ка-витационных течений в трубе// Актуальные задачи гидродинамики/ Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та. 1989. С. 71-75.

46. Крылов В.И. Шульгина JI.T. Справочная книга по численному интегрированию // ФМЛ. М.: Наука, 1966. 370 с.

47. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

48. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977. 408 с.

49. Логвинович Г.В. Гидродинамика течений со свободными границами. Киев: Наукова Думка.- 1969.- 208 с.

50. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 736 с.

51. Лямб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат. 1947.

52. Мазитов И.З. Кавитационное обтекание двух параллельных пластинок. Труды семинара по обратным краевым задачам. Казань: КГУ, 1964. № 2. С. 131-141.

53. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. пробл. мат.: Фундамент, направл. 1988. Т. 27. С. 131-228.

54. Макаров В.В. Численное определение свободных границ в струйных течениях/ Чуваш, гос. ун-т. Чебоксары, 2000. 14 с. Деп. ВИНИТИ, от 27.10.00 № 2729-ВОО

55. Макаров В.В., Краснов В.К. Осесимметричное натекание струи на плоскость //Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач. Материалы Третьего Всероссийского семинара. Казань-2000. Изд-во Казанского мат. общества.-2000.-С. 91-94.

56. Маклаков Д.В. Обтекание препятствия с образованием нелинейных волн на свободной поверхности. Предельные режимы // Изв. АН. МЖГ.- 1995.-№ 2.- С. 108-117.

57. Метод граничных интегральных уравнений / Под ред. Круза Т., Риццо Ф. М.: Мир, 1978. 210 с.

58. Милн-Томсон JI.H. Теоретическая гидродинамика: Пер.с англ.-М.: Мир, 1964. 655 с.

59. Монахов В.А. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, Сибир. отд., 1977. 424 с.

60. Моисеев Н.Н. О неединственности возможных форм установившихся течений тяжелой жидкости при числах Фруда, близких к единице // Прикладная математика и механика. 1957.- т. 21, No 6.- С. 860 - 864.

61. Морозенко С.Ю., Ясько Н. Н. Численное моделирование неустановившихся течений идеальной жидкости со свободными границами // Изв. АН СССР. МЖГ.- 1990.- No 2.- С. 3-7.

62. Положий Г.Н. Теория и применение р-аналитических и (р,д)-аналитических функций. Киев: Наукова думка. 1973. 424 с.

63. Попов В.В. Некоторые задачи гидродинамики осесимметричных течений со свободными границами. Дисс. . канд. физ.-мат. наук.- Киев, 1979. 186 с.

64. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.-М.: Мир.- 1980.- 616 с.

65. Саламатов Дж. Истечение жидкости из бесконечно длинного осе-симметричного сосуда.- ПММ, 1959, т. 23, вып.2.

66. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. 448 с.

67. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Том I,IL: М.: Наука.- 1973.

68. Серебряков В.В. Кольцевая модель для расчета осесимметричных течений с развитой кавитацией. В кн.: Гидромеханика, вып. 34.- Киев: Наукова думка, 1976.

69. Серебряков В.В. Асимптотические решения осесимметричных задач обтекания с развитой кавитацией в приближении теории тонких тел// Гидродинамика больших скоростей. Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 1990. - С. 99-111.

70. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974. Т. 2. 655 с.

71. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами/ Под ред. Абрамовича М. М.: Наука, 1979. 832 с.

72. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости. M.-JL: Наука, 1976.

73. Степанов Г.Ю., Теверовский М.А. К расчету осесимметричного обтекания полубесконечных конусов идеальной несжимаемой жидкостью// Труды VI Всероссийской научной школы "Гидродинамика больших скоростей". Чуваш, ун-т. Чебоксары. 1996. С. 163177.

74. Субхангулов Г.И., Хомяков А.Н. Применение метода граничных элементов к расчету осесимметричных каверн// Гидродинамика больших скоростей/ Чебоксары: Чуваш, ун-т. 1990. С. 124-132.

75. Терентьев А.Г. К линейной теории кавитационного обтекания препятствий // Вопросы прикладной матем. и мех. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1971. С. 3-95.

76. Терентьев А.Г. Нелинейная теория кавитационного обтекания // Вопросы прикладной матем. и мех. Чебоксары: Изд-во Чуваш, унта, 1977. С. 138-185.

77. Терентьев А.Г. Численное исследование в гидродинамике // Известия АН ЧР. 1994. Вып. 1. № 2. С. 61-84.

78. Терентьев А.Г. Приложение обобщенных аналитических функций в гидродинамике// Проблемы гидродинамики больших скоростей/ Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та. 1993. С. 10-25.

79. Терентьев А.Г. Равновесные полые и точечные вихри в потоке жидкости // Известия НАНИ ЧР. 1998. № 5. С. 66-84.

80. Терентьев А.Г., Афанасьев К.Е. Численные методы в гидродинамике / Учеб. пособие. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1987. 79с.

81. Терентьев А.Г., Картузова Т.В. Численное исследование обтекания профиля вблизи экрана // Изв. НАНИ ЧР. 1996. № 6. С. 94-104.

82. Терентьев А.Г., Картузова Т.В. Численные исследования крыловых профилей методом граничных элементов // Актуальные задачи математики и механики. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1995. С. 108-117.

83. Терентьев А.Г. Макаров В.В. Полые вихри в жидкости вблизи твердых и свободных границ // Изв. НАНИ ЧР. 1999. № 4. С. 6382.

84. Терентьев А.Г., Смирнова Т.Н. Обтекание проницаемой пластины вблизи экрана // Изв. НАНИ ЧР. 1999. № 4. С. 83-94.

85. Тодорашко Г.Т. Решение нелинейной задачи о течении с развитой кавитацией за телом вращения// Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 5. Чебоксары, 1976, С. 195-205.

86. Троешестова Д.А. Численно-аналитическое исследование ограниченных потоков. Дисс . канд. физ.-мат. наук. Чебоксары, 1997. 168 с.

87. Уиттекер Э., Ватсон Д.Н. Курс современного анализа. М.: ГИФМЛ. Т. 2. 1963. 516 с.

88. Хоперсков А.Е. О течениях жидкости с образованием замкнутых кавитационных полостей // ПМТФ, № 5. 1963. С 54-61.

89. Черняев А.П. Вихревая модель натекания осесимметричного потока идеальной несжимаемой жидкости на соосное осесимметричное препятствие // ПММ, Моск. физ.-техн. ин-т., М., 1992. С. 138-154.

90. Якимов Ю.Л. Об осесимметричном срывном обтекании тела вращения при малых числах кавитации. ПММ, 1968. т. XXXII, вып. 3.

91. Ясько Н.Н. Использование прямого и непрямого методов граничных элементов для расчета нестационарных осесимметричных течений со свободными границами. // Гидромех. и теор. упруг / Мат. модел. в гидромех. и теор. упруг.-1989.- с. 40-46.

92. Aitchison J.M. The numerical solution of planar and axisymmetric cavitational flow problems / Computers and Fluids, Vol. 12, 1984, pp. 55-65.

93. Baker G.R., Meiron D.T., Orszag S.A. Applications of a generalised vortex method to nonlinear free-surface flows // Third Int. Conf. on Numer. Ship Hydrodynamics.- 1981.- P. 179-191.

94. Сатрапа E., Lalli F., Bulgarelli U. A boundary element method for a non-linear free surface problem // Int. J. Numer. Meth. Fluids.-1989.- V. 9, № 10.- P. 1195-1206

95. Chan S.T.K., Larock B.E., Herman L.K. Free surface ideal fluid flows by finite elements.- J. Hyd. Div. ASCE, 1973, 99, P. 959-974.

96. Cox A.D., Clayden W.A. Air entrainment at the rear of a steady cavity. Cavitation of hydrodynamics. London, 1956.

97. Domermuth G.D., Yue D.K.P. Numerical simulation of nonlinear aximymmetric flowes with a free surface// J. Fluid Mech. 1987. V.178. P. 195-219.

98. Forbes L.K., Schwartz L.W. Free surface flow over a simicircular obstruction // J. Fluid Mech.- 1982.- V. 114.- P.229-314.

99. Garabedian P.R. An example of axially symmetric flow with a free surface.- Studies Math, and Mech. New York: Acad. Press, 1954.

100. Garabedian P.R., Lewy H., Schiffer M. Axially symmetric cavitational flow. Ann. of Math., 1952, v. 56, № 3, November.

101. Gilbard D. Jets and cavities. Encyclopedia of physics. Berlin: Springer, 1960. Vol. 9. P. 311-445.

102. Larock B.E., Taylor C. Computing three-dimensional free surface flows // Int. J. Numer. Meth. Eng.- 1976.- v. 10.- No 5.- P. 11431153.

103. Liu P.L.-F., Liggett J.A. Applications of boundary elements methods to problems of water waves// Developments in boundary element methods. 1982. P. 37-67.

104. Michell J.H. On the theory of free stream lines // Phil. Trans. Roy. Soc. London, S.A. 1890. V. 181, P. 389-431.

105. Serrin J. On plane and axially symmetric free boundary problems //J. Rat. Mech. Anal. 1953. - V. 2. - P. 563-575.

106. Soyama H., Lichtarowicz A., Lampard D. Useful correlation for cavitating jets // Proc. Third Int. Symp. on Cavitation. Grenoble, France. 1998. V. 2. pp. 147-156.

107. Shach W. Umlenkung eines kreisformigen Flussigkeitsstrahles an einer ebenen Platte senkrcht zur Stromungsrichtung. Ing.-Arch., 1935,Bd. VI, H.l.

108. Tannery J., Molk J. Elements de la theorie des fonctions elliptiques, t. 1, 1893; t. 2, 1896; t. 3, 1898; t. 4, 1902.

109. Terentiev A.G. On the infinite regions in the boundary elements method // Boundary Element Methods in Dynamics II. Proc. 2-d Int. Fluid Dynamics Workshop, Southampton, UK, 1994. pp. 103-109.

110. Terentiev A.G., Zhitnikov V.P., Dimitrieva N.A. An Application of Analytic Functions to Axisymmetric Flow Problems// Applied Mathematical Modelling. 1997. 21(2). P. 91-96.

111. Wrobel L.C. A simple and efficient BEM algoritm for planar cavity flows // Int. J. Numer. Meth. Fluids 1992. - 14, N5, С 529-537.

112. Yeung R. W. Numerical methods in free-surface flows // Annu.Rev. Fluid Mech. USA.- 1992.- v. 14.- P. 395-442.