Модели торнадоподобных вихрей и осевых струй во вращающейся жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Ордена Ленина Сибирское Отделение Ордена Трудового Красного Знамени Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева

г Го ОД

2 5 ДЕК 2090

УДК 532.527 На правах рукописи

Никулин Виктор Васильевич

МОДЕЛИ ТОРНАДОПОДОБНЫХ ВИХРЕЙ И ОСЕВЫХ . СТРУЙ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 2000 г.

Работа выполнена в Ордена Трудового Красного Знамени Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН

доктор физико-математических наук, профессор доктор физико-математических наук, профессор ■

Пухначев В.В. Капцов О.В. Терехов В.И.

Ведущая организация:

Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН

Защита состоится 26 декабря 2000 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 002.55.01 при Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск 90, просп. Лаврентьева, 15

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Автореферат разослан

ноября 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

02>

С.А. Ждан

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предметом исследования в настоящей диссертации являются течения во вращающейся жидкости некоторого специального вида: торнадоиодобные, полые вихри и осевые струи. Их отличительным признаком является наличие внутри жидкости двух характерных областей: первой — вблизи оси вращения, по форме близкой к цилиндрической, и окружающей ее второй областью, вращение в которой происходит по закону, близкому к закону вращения в потенциальном вихре. Далее последнюю будем называть внешним течением или потоком. В случае торнадоподоб-ных вихрей приосевая область называется ядром, и жидкость в ней движется как вдоль оси, так и пршцастся вокруг нее. При этом движение вдоль оси сдвиговое, а закон вращения близок к твердотельному, В полых вихрях приосевая область представляет собой пространство с постоянным давлением, не заполненное жидкостью. Внутри осевой струи вращение, в основном, сосредоточено вблизи границы с внешним потоком.

Научный интерес к изучению рассматриваемых течений обусловлен важностью понимания динамики завихренности, являющейся актуальной проблемой гидродинамики, а также большим разнообразием возникающих в них явлений, полного понимания которых нет до настоящего времени. Наряду с общенаучным, данные исследования представляют и прикладной интерес ввиду широкого распространения подобных течений в природе и технике. Их примерами в природе являются интенсивные атмосферные вихри —■ ураганы, смерчи или торнадо, пыльные вихри, в технике — течения в вихревых камерах и трубах, циклонах и других вихревых устройствах. Новые знания об особенностях течений рассматриваемого вида как продвигают понимание динамики завихренности, так и могут служить основой для получения аналитических оценок, необходимых в практических приложениях.

Целью работы является исследование торнадоподобных, полых вихрей и осевых струй во вращающихся потоках путем построения теоретических (аналитических) и экспериментальных моделей, отражающих различные существенные особенности изучаемых объектов, необходимые для понимания происходящих в них явлений.

Научная новизна работы состоит в:

- формулировке модели движения жидкости в ядрах торнадоподобных вихрей, полых вихрях и осевых струях во вращающихся потоках, выводе уравнений, описывающих эти движения, в приближениях идеальной жидкости и длинных волн;

- аналитическом решении задач о стационарном вращательно - симметричном движении стратифицированной жидкости в ядрах вертикальных тор-

надоподобных вихрей в поле тяжести, однородной жидкости в полых вихрях и осевых струях во вращающихся потоках в трубах переменного радиуса;

- построении модели распада вертикальной струи в поле тяжести;

- построении моделей гидравлических прыжков на сдвиговом течении в полом вихре и осевой струе во вращающемся потоке;

- аналитическом решении задачи в длинноволновом приближении о стационарном осесимметричном течении идеальной несжимаемой МГД плазмы в магнитном поле в идеально проводящем сопле с вакуумным зазором у стенок;

- экспериментальном определении структуры течения в вертикальных тор-надоподобных вихрях, получаемых при взаимодействии ограниченного объема почти твердотельно вращающейся жидкости с нагретой нижней поверхностью, установлении зависимостей между их характерными параметрами, обнаружении новых качественных эффектов, присущих данным вихрям;

- экспериментальном установлении некоторых особенностей истечения не-.закрученной струи вдоль оси во вращающийся поток вихревой камеры;

- решении в точной автомодельной постановке на основе стационарных уравнений Навье - Стокса двух задач: о взаимодействии полубесконечной прямой вихревой нити со свободной поверхностью и о воздействии вращательных тангенциальных напряжений определенного вида на плоскую свободную поверхность.

Достоверность результатов обеспечивается;

В теории — использованием общепринятых гидродинамических моделей либо таких, как идеальная жидкость и длинноволновое приближение, либо системы Навье - Стокса; математической строгостью исследования полученных уравнений; согласием некоторых теоретических и экспериментальных результатов.

В эксперименте — наглядностью результатов, представленных на фотографиях; применением известных методик; оценкой погрешностей.

Практическая значимость работы. Проведенные аналитические и экспериментальные исследования могут использоваться при проектировании новых вихревых аппаратов и технологий, при изучении интенсивны» атмосферных вихрей, разработке методов прогноза эволюции и воздействи} на данные атмосферные вихри.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на IV X, XIII школах - семинарах по нелинейным задачам теории гидродина мической устойчивости (Колюбакино, 1982, Зеленоград, 1993, Зеленоград 1998), VII Всесоюзной школе по нелинейным волнам (Горький, 1985), Все союзной конференции "Современные вопросы информатики, вычислитель

ной техники и автоматизации" (Москва, 1985), школе - семинаре по тропическим циклонам и вихревым движениям в атмосфере (Обнинск, 1987), международной конференции " Задачи со свободными границами в механике сплошной среды" (Новосибирск, 1991), симпозиуме "Актуальные проблемы астрофизической и геофизической гидродинамики" (Светлогорск, 1994), II Сибирском семинаре по устойчивости гомогенных и гетерогенных жидкостей (Новосибирск, 1995), II и III Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996, 1998), V международном семинаре "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей" (Новосибирск, 1998), международном симпозиуме "Актуальные проблемы физической гидродинамики" (Новосибирск, 1999), на научных семинарах Института механики МГУ (рук. чл.-корр. РАН А.Г. Куликовский, проф. A.A. Бармин), кафедры физики моря МГУ, Института проблем механики РАН (рук. проф. Ю.Д. Чашечкин), Института теплофизики СО РАН (рук, чл.- корр. РАН Э.П. Волчков), Института гидродинамики СО РАН (рук. акад. Л.В. Овсянников, рук. чл.- корр. РАН В.В. Пухначев).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав и заключения. В конце глав помещены сводки, представленных в них результатов. Общая сводка результатов приведена в заключении. Работа изложена на 200 страницах машинописного текста, содержит 22 рисунка и фотографии, 3 таблицы, список литературы из 220 наименований. Общий объем диссертации 249 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется предмет исследования, его цели и задачи, обосновывается актуальность работы, показывается ее научное и прикладное значение. Там же содержится обзор литературы, имеющей отношение к теме диссертации. В обзоре анализируются натурные наблюдения за интенсивными атмосферными вихрями, лабораторные эксперименты и теоретические модели. Среди теоретических работ в основном рассматриваются аналитические модели. Отмечается, что актуальность аналитических методов не уменьшается, несмотря на развитие вычислительной техники, ибо не имея качественного представления о течении, о том, как влияют на него те или иные параметры, а также аналитических оценок, невозможно создавать новые экспериментальные установки или технические устройства.

При анализе натурных наблюдений и лабораторных экспериментов внимание концентрируется на структуре потоков и эффектах, наблюдаемых в них. Отмечается, что для получения торнадоподобного вихря необходимо наличие двух факторов: фонового вращения или углового момента, постоянно вносимого в систему, и механизма концентрации завихренности

внутри ядра. Концентрация завихренности происходит либо в результате свободной конвекции (конвективные вихри), либо путем введения стока или создания вынужденной конвекции (стоковые вихри). Указывается, что, несмотря на различие в способах получения, вихри как лабораторные, так и атмосферные имеют общие структурные особенности. Таковыми являются: ядро вихря, имеющее форму близкую к цилиндру, прямому или изогнутому, где жидкость вращается вокруг оси по закону, близкому к твердотельному, внешнее течение, окружающее ядро, и где жидкость вращается по закону близкому к закону вращения в потенциальном вихре, пограничные слои на твердых поверхностях. Обращено внимание на существование такого явления как распад или прыжок вихря. В первом случае ядро на некотором расстоянии от своего начала быстро расширяется и исчезает. Это наблюдается в пыльных вихрях в природе и лабораторных вихрях, получаемых и неограниченном пространстве. Во втором случае ядро также на некотором расстоянии от начала резко увеличивает свой диаметр, не разрушаясь и далее. Последнее наблюдается с вихрями в трубах. Отме-•чается, что если экспериментальные условия осесимметричны, то течение, по-крайней мере, до распада или прыжка можно считать вращательно -симметричным. Есть режимы, когда оно остается таковым и после прыжка. Кроме того, течение в ядрах вихрей носит струйный характер с малым турбулентным обменом с внешним потоком.

Из обзора делается вывод, что не имеется аналитических моделей, описывающих движение жидкости в ядрах торнадоподобных вихрей, полых вихрях и осевых струях во вращающихся потоках, которые допускали бы строгое математическое исследование, выявляли бы в рафинированном виде особенности взаимодействия между осевым и азимутальным движением при воздействии или отсутствии массовых сил. Также нет единой точки зрения на природу распада или прыжка вихря, критериев их возникновения, оценок местоположения, основанных на строгой гидродинамической теории. Отсутствуют модели гидравлических прыжков на сдвиговых течениях в полых вихрях и осевых струях во вращающихся потоках.

Наряду с этим, для выяснения структуры вторичных течений, возникающих вне ядра вихря при его взаимодействии с границами, является важным решение задач, в которых ядро моделируется вихревой нитью. Подобные постановки хороши тем, что позволяют проводить исследование полных уравнений Навье - Стокса, что, помимо всего прочего, представляет самостоятельную научную ценность.

С экспериментальной точки зрения имеется недостаток данных о конвективных вертикальных торнадоподобных вихрях, получаемых в объеме, ограниченном верхней и нижней границами, и в масштабах, существенно

отличающихся от имеющихся. Количественные результаты в такой постановке могли бы дать новую информацию как о гидродинамике вихря в целом, так и о роли границ » частности.

В 1№{>1№Й глав« (м.тодятся ОГ.Н01ШЫ1! урппнрння, используемые далее о глинах '2 - 4. Рассматривается несжимаемая неаязкая неоднородная жидкость и поле и без поля тяжести. Течение считается вращательно - симметричным. Вводится цилиндрическая система координат (f, ip, z), f - радиус, у? - азимутальный угол, ось z направлена вдоль оси симметрии против силы тяжести, t - время. Область, занимаемая течением, разбивается на две: область I — г < fi(z,t), II — f\(z,i) < f < го,'где r"o - непроницаемая граница течения, заданная функция z, r~i - неизвестная функция z и t. На границе г\ допускается разрыв плотности и касательной к ней компоненты скорости. Через (U, V, W) обозначаются компоненты скорости, соответствующие (f, <р, z); Р, р, д - давление, плотность и ускорение силы тяжести. Тогда уравнения движения и неразрывности с учетом вращательной симметрии имеют вид:

p((J-t+ UUr + WUl - V2Jf) = -Pf (1)

Vi + UVf + WVi + UV/r = 0 p(W-t + UWr+WW:) = -Pi - PS (rU)f + rW; = 0, PI + U Pf + Wpi = 0

Нижние индексы из независимых переменных означают соответствующие 'iwiiibU' производные. Уравнения решаются мри следующих граничных условиях. При г = 0 — U = V = 0. При г = п — непрерывно давление и выполнено кинематическое условие: U — df\jdt 4- Wdf\/z. При г = rb(f) — условия непротекания: U = Wdfo/dz. Чтобы в дальнейшем перейти к длинноволновому приближению, вводятся масштабы длины - L (характерный масштаб изменений вдоль оси г), скорости - üq и плотности - До-Характерный масштаб вдоль f обозначается через г*. Полагается: 6 = r*/L. Считается, что ii « 1, Значения но, ро, г' конкретизируются при рассмотрении различных задач.

Вводятся безразмерные величины ту, г, z, t, q, А, w, р, р и д по соотношениям: г2 = цР1'\ г = z = zL, Ы tL/vо, 2Uf = qS2v0L, Vr = A5v0L, W = «k'd, P — ppüi'ü, p — pfi0, g = gvljL. Для безразмерных величин уравнения движения, неразрывности и краевые условия запишутся в виде:

(,p52/2)(qt + qqn - ?7(2V) + wq,,) - А2/г) = -2W„ At + qAq -f wAt = 0, pt -f qpn -+ wpt = 0

хии];) = -рг -рд, + = 0

Краевые условия: д = Л = О при т] — 0; непрерывно давление и д = туц + тщг при г) — щ; <7 = гиг]0г при т] = щ. Таким образом, щ соответствует т0, а - Г]. Положим г)^2 = го, = гь

Далее слагаемые, имеющие множитель <52, считаются малыми и опускаются. Полученная система преобразуется переходом к смешанным эйлерово - лагранжевым переменным. Преобразованные уравнения выводятся для каждой из областей I и II по отдельности. Вводятся новые независимые переменные г', и (0 < V < 1) по соотношениям: г' = г, I' = т) = и) где Д удовлетворяет уравнению Д(> + юЯг'= <7 и краевым условиям Д(г',*',0) = О, Д(;г',*',1) = т/! — вобласти I и Я(г',*',0) = т]о, = 7/1 — в области II. Отсюда видно, что V есть номер жидкой линии, а неизвестная граница щ перешла в известную и = 1. В итоге, в стационарном случае получается система уравнений

РУ1Ы2 = -ри + р1А\11и/{'}Щ)+(£(рА2)и/{211)с11?1 — рд} (2)

(шД,), = 0, А= ЛИ, р = р{и)

Здесь рх, р\, Ль - значения соответствующих величин при и = 1 (на границе между областями I и II). Отметим, что уравнения будут иметь одинаковый вид (2) в областях I и II. Разными могут быть значения р1 и А\, поскольку при переходе через границу допускается скачок плотности и касательной к ней компоненты скорости. Значения р\ и П\ в областях 1 и II одинаковы в силу непрерывности давления и определения Я.

Во второй главе исследуется движение жидкости в ядрах вертикальных торнадоподобных вихрей и в вертикальных осевых струях во вращающейся жидкости.

В разделе 2.1 ставится задача. Считается, что область II в радиальном направлении простирается до бесконечности. Поэтому уравнения длинноволнового приближения годятся только для описания движения жидкости в области I (ядре вихря или струе). В области II ищется решение полной системы уравнений некоторого специального вида, соответствующее потенциальному вращению однородной жидкости: \и = 0, д = 0, А = А\ — 1, р — 1, р\ = —\/[2т}\) - дг. (В качестве характерной скорости взята вращательная компонента скорости в области II на границе с I при 2 = 0, плотности - плотность жидкости в области II). Считается, что при т) -4 оо жидкость находится в покое и выполнено условие гидростатического равновесия. Отметим, что это решение хорошо аппроксимирует реальные течения в торнадоподобных вихрях вне ядра, наблюдаемые как в лабораторных экспериментах, так и в природе.

После подстановки замены т]\ на (согласно определению Л), уравнения для области 1 примут вид:

(шт, = (,>,Л? - ~ (1 -/>)$, (3)

Система (3) решается с начальными данными при 2 = 0: и> = -шо(ь'), Я = V. Вид начальной зависимости Л(ы) не ограничивает общности, поскольку она может быть произвольной монотонно возрастающей функцией и. Исследуется эволюция течения в зависимости от

В разделе 2.2 изучается движение жидкости в вертикальной струе (вращения вокруг оси нет, осевое течение сдвиговое). Плотность в струе постоянна, но от лична от окружающей. Движение описывается системой (3) с /1 = А1 = 0, р — р\.

В пункте 2.2.1 исследуется структура решений, доказывается их существование. Основной результат пункта формулируется в виде теоремы.

Теорема 2.1. Пусть /1 = 0, р = р\, оо > > 7 >0, 7 - постоянная,

Л = (1/2рх) /д(1 ¡ги'ц)(1и. Разделяются случаи р\ < 1 и р\ > 1.

1. Пусть рх < 1. Тогда, если Л < 1, то решение существует при всех г

> О, V £ [0 1], причем Я. 0, ги —оо монотонно при г —> оо. Если Л > 1, то хи монотонно убывает, а ¡1 монотонно возрастает при увеличении г, и решение существует только для г < Л, где

Л = _£_{---?__-_^

причем ю = 0, Л„ = оо при г = к для и, задаваемых уравнением и>о(1') =

72. Пусть р\ > 1. Дополнительно предполагается, что (и>о ~ 7)~3^2 не интегрируема на [0 1]. Тогда, при любом А > 0, решение существует только для конечных г, г < к,, где к, есть решение некоторого интегрального уравнения. При г —> к, производные -ш^ —> оо, — оо, если Л > 1, и

ш, —> — оо, Яг —> оо, если Л < 1. При Л > 1 го монотонно возрастает, а /? убывает с ростом г. При Л < 1 поведение обратное.

Для доказательства система (3) в рассматриваемом случае сводится к интегральному уравнению

Ф - (/>1 /0' «/„(«£ + 1 = 2^(1 - />1>/рг - 1/рх

дающему неявную зависимость ■ф(г). Здесь ф = ю2 - Шд. Обозначается: /(г/>) = Ф - 11(р]Отсюда /'(0) = 1 - Л. Далее показывается, что ¡"{ф)

> 0, откуда следуют сделанные утверждения.

В пункте 2.2.2 строится аналитическая модель распада струи, путем непрерывного продолжения решения на все верхнее полупространство для течения, параметры которого удовлетворяют условиям теоремы и неравенствам р\ < 1, Л > 1. Дополнительно предполагается, что шо^) имеет единственный минимум, равный 7, достигаемый в точке и — О, и функция (tD0 — т)-1^ интегрируема в нуле (is = 0). Предполагается, что структура течения ь осевой плоскости имеет вид, изображенный на рис. 1. В точке z = h, v = 0 вертикальная скорость и> = 0. На границе между областями I и III непрерывно р, все компононты скорости, R и р. На границах между II и III, III и IV непрерывно давление и выполнено кинематическое условие. Область IV заполнена покоящейся жидкостью плотностью pi. Получаются строгие ограничения на высоту подъема жидкости Я

1/{Щ-р1)д]<Н <l/[2(\-Pl)g} (4)

В разделе 2.3 изучается движение стратифицированной вращающейся .жидкости в ядре вертикального торнадоподобного вихря. Вводятся величины: х = p(w2 — Wq), £о = Pxl2u>0t У = 2^(1 — p)z. Тогда (3) сводятся к нелинейному интегральному уравнению

1 1

y=F{x) = x-(l-plA21){Ril -1)- f[a(t)RT1]dl + J[a(t)r*]dt, (5)

и V

Я(") = JUti + x)-lj2dt, Я, = R( 1), a(v) = (pA2)„ 0

Далее у считается независимой переменной. В силу определений, х = 0 при У = 0. .

В пункте 2.3.1 доказывается локальная разрешимость уравнения (5) в окрестности 1 = 0 при у = 0. Затем исследуется поведение решения x(f, у) в зависимости от у. Для этого исследуются общие свойства оператора F(x). Пусть С - пространство функций J{v), непрерывных на отрезке [0 1], с нормой: || /|| = max\f(u)\, v € [0 1]. D - множество функций х из С таких, что х > — £q. Очевидно, что D открыто по метрике С. Доказывается, что F(x) отображает D в С, F[x) непрерывно дифференцируемо по Фреше в D. Затем находятся условия, при которых уравнение (5) разрешимо в окрестности некоторой точки (х*,у,), где у* = F(xt), х, S D.

В пункте 2.3.2 исследуется структура решений. Находятся строгие критерии, зависящие от данных на начальном уровне и выражающие условия качественно различного поведения решений. Так величина х вблизи оси может либо расти, либо убывать с увеличением у, что может приводить

к деформации профиля осевой скорости, к образованию вблизи оси либо максимума, либо минимума. Решение может быть продолжаемо лишь на конечный интервал. Найдена верхняя граница этого интервала. Показано, что если жидкость в ядре вращается по твердотельному закону и ее плотность постоянна, то данная оценка, с точностью до коэффициента меньше 2, но больше 1 совпадает с (4).

В разделе 2.4 полученные оценки для высоты вихря сравниваются с данными лабораторных экспериментов и наблюдений за атмосферными вихрями. Для этого берется оценка сверху (4), которая в размерном виде принимает выражение:

I = А>»о/№(Ро ~ Л)]

а условие непродолжаемости решения А > 1 имеет вид роуЦ(2р\ > 1. Для (ро—р\)/ро можно дать оценку {ро~р\)1ро ^ (Г-Т0)/Т0, если (Т-Т0)/Т0 « 1 (Т - средняя температура в ядре, То - температура окружающего воздуха). Показывается, что теоретическая оценка по порядку величины согласуется с наблюдениями.

В третьей главе в длинноволновом приближении исследованы движения идеальной жидкости в полых вихрях и осевых струях во вращающихся потоках в трубах переменного радиуса.

В разделе 3.1 рассмотрен полый вихрь. В пункте 3.1.1 ставится задача, исследуются решения. Изучается стационарное вращательно - симметричное течение однородной жидкости. Сила тяжести отсутствует. Жидкость занимает область 2 > 0, 7-1(2) < г < го(г), где г0(г) — радиус трубы, заданная функция от г, г\(2) — радиус свободной поверхности. На свободной поверхности давление полагается равным нулю. Параметры течения при г = 0 считаются известными. Исследуется его эволюция в зависимости от координаты г. В качестве характерного радиального масштаба берется радиус трубы на входе (при г = 0), характерной скорости — вращательная компонента скорости при г = 0, г = го, плотности — плотность жидкости. Считается, что на »ходе п трубу подается поток с постоянной циркуляцией вокруг оси. Тогда циркуляция будет постоянной во всем течении. При этом поток в осевом направлении может быть сдвиговым. Таким образом, исследуются уравнения (2), в которых следует положить = 0, д = О, А = = 1, р = 1. Уравнения решается с краевыми условиями при г = 0: IV — «о((/), Д = 1 - е01>, где (о = 1 - Яю, Лю — значение Д1 при г = 0, и>о(с) ограничена и «'о(^) > 7 > 0, 7 - постоянная.

После преобразований задача сводится к решению нелинейного интегрального уравнения

*(*) = 'М = 1 _ (1 - ео)ф + /о 11

выражающему неявную зависимость ф{щ) (ф = ю2 - г^). Метод исследования уравнений подобен, изложенному в разделе 2.1. Вводится параметр:

х = (6)

Доказывается, что если Л < 1, то решение существует при т), < щ < оо, где г/, - решение некоторого интегрального уравнения, причем юг —> — оо, —» — оо при ))о I),. Если Л > 1, то решение существует для ц, < щ < 770«, где г]0, находится из уравнения

— 1 ~ (о , Г1 ергурск' 404 ~ 1 + (1 - еоЬ2 (ш§ - у2)1/2

причем ги(1/) = 0 при т/о = т/о», Для I/ задаваемых уравнением = 7; и

г^ -4 оо, Я; —» оо при г?о —> ?то,. Отметим, что при Л < 1 в расширяющихся вниз по потоку трубах осевая скорость и радиус полости возрастают, при Л > 1 - поведение обратное.

В пункте 3.1.2 обсуждаются результаты, проводится аналогия с течениями идеального газа в трубах. Отмечается, что качественно движение жидкости при Л < 1 аналогично сверхзвуковому течению газа, его можно назвать сверхкритическим, при А > 1 - дозвуковому (докритическое течение).

В разделе 3.2 рассматривается осевая струя во вращающемся потоке в трубе переменного радиуса. Постановка задачи (пункт 3.2.1) аналогична предыдущей, за исключением того, что в области I не пустота, а движущаяся жидкость (струя). Таким образом, рассматривается система (1) с д = О, р = 1, А = 0 (в области I) и А = 1 (в области II). В области II строится решение некоторого специального вида и> = и>2о(1 ~г11о)/{г}о~ 41), А = 1, А =

{\-и)т/о{г) + ут)г(г); -2ри = (1/»пЬ + ["»гоС1 ~то)2 / (т/о-^)2]*- Здесь ю20, щ0 — значения ш, т/х при г = 0. Учтено, что 770(0) = 1- Данные решения хорошо аппроксимируют реальные течения вне ядра вихря. Выражение для р\2 подставляется в систему уравнений для области I. В результате, движение жидкости в области I описывается нелинейным интегральным уравнением:

т = 1{Ф) = и>2о(1 - Чю)Ь{Ф)}~112 + гц,

д(ф) = и>10 + ф- 1/гц + 1/7?ю, г/1 = £ и)о(1>)то(и>о + Ф)~х12<1и.

Здесь введены обозначения: ф = ги2 - и>о, то - значение ю при г = 0. Таким образом, задача свелась к исследованию зависимости ф{щ), которая неявным образом выражается полученным уравнением.

В пункте 3.2.2 исследуется структура решений. Установлено, что их поведение зависит от знаков трех параметров: /'(0), £/'(0) и д(ф*), где ф,

есть решение уравнения д'[-ф<,) — 0 (показано, что ф, единственно, так как д"(т/>) > 0). Доказывается, что может быть не более девяти различных типов поведения решений:

— при д'(0) > 0, д(ф*) > 0 решение i/>(¡j0) существует для % из интервала о < т < »701, причем ■ф'(гю) < 0;

— при д'(0) > 0, д{ф*) < О решение существует для всех tjo. Ф'(т]о) < 0;

— при _</'(0) < 0, /'(0) > 0, д{гр,) >0 решение существует для щ из интервала '/ni < >)п < '/па, Ф'(пи) > 0;

— и|>» э'(0) < 0, /'(0) > 0, </(i>.) < 0 решение существует для т/о из интервала 7joi < т/о < оо, ф'(т)о) > 0;

— при д'(0) < 0, /'(0) < 0, решение существует для т/о из интервала т/о2 < Vo < ■Ф'Ы < 0.

Кроме того, величина Щ1 может принимать два различных значения. Задача упрощается, если предположить, что струя достаточно тонкая (пренебречь //i по сравнению с i]o и 1)- Тогда нз приведенных типов возможных поведений решения остается первых четыре, причем т/щ в каждом случае •принимает только одно значение.

В пункте 3.2.3 оценки длины интервала продолжаемости решения для первого случая сравниваются с местоположением распада вихря в слаборасширяющихся трубах. Показывается, что несмотря на то, что в струе не учитывается вращение вокруг оси, а в ядрах вихрей оно есть, такие оценки качественно, а, по порядку величины, количественно согласуются с наблюдениями.

Таким образом, математически строго исследовано взаимодействие вращательного и осевого движении в полых вихрях и осевого движения в струях с вращательно - осевым внешним потоком. Показано, что учет только такого взаимодействия приводит к большому разнообразию возможных движений. Сравнение с экспериментами по распилу пихря п трубах говорит о том, что в некоторых случаях влияние рассмотренных взаимодействий может быть существенным в реальных течениях.

В четвертой главе построены модели гидравлических прыжков, распространяющихся с постоянной скоростью вдоль полого вихря или осевой струн во вращающемся потоке. Течение вдоль оси как в вихре, так и в струе может быть сдвиговым. Прыжок моделируется разрывным решением уравнений длинноволнового приближения.

В разделе 4.1 строится модель гидравлического прыжка на полом вихре. В пункте 4.1.1 ставится задача. Полагается, что в течении до прыжка циркуляция скорости вокруг оси постоянна. Условия на разрыве формулируются в системе отсчета, связанной со скачком, где задача считается стационарной. Полагается, что при переходе через разрыв жидкие линии

сохраняют свою индивидуальность, то есть каждой линии до разрыва можно сопоставить линию после него. При этом радиальное расстояние от оси до данной жидкой линии, осевал скорость на лей будут меняться скачком. Тогда каждому значению и будут соответствовать два значения одного и того же параметра до и после прыжка. Условия на разрыве формулируются следующим образом. Полагается, что при переходе через разрыв остаются неизменными те величины, которые сохраняются в жидкой частице в силу полных уравнений (1). Отмечается, что для них уравнения длинноволнового приближения приводятся к дивергентному виду. Получается, что на каждой линии тока остаются неизменными расход жидкости в бесконечно тонкой трубке тока, циркуляция скорости вокруг оси и отнесенная к радиусу азимутальная компонента завихренности (а). Последнее оказывается возможным благодаря тому, что из-за неизменности циркуляции на разрыве последняя будет постоянной во всем потоке. На прыжке допускается диссипация энергии, поэтому постоянная Бернулли при переходе через разрыв может убывать. Доказывается, что в силу сохранения а скачок постоян-•ной Бернулли на всех линиях тока будет одинаков. В качестве последнего условия берется сохранение интегрального потока импульса. В итоге на разрыве получаются соотношения:

Е{-ф) = ^'(1-Дю)и»1[(ш? + ^)1/3-ш1](«|/ + 2-1Л2(1п Дго + Дм-^Яю-ЯГо). = ^ + +Л201), Ф =

141(1/), Дю — осевая компонента скорости и значение Я на границе полости перед прыжком, соответственно; Ю2(и) — осевая компонента скорости после прыжка; К — неизвестная постоянная. Требуется найти нетривиальное решение (7) с условием (8). При этом значение К на границе полости после прыжка находится из соотношения

В пункте 4.1.2 исследуется разрешимость условий на разрыве, если известны параметры перед прыжком. Доказывается, что если Л < 1, где А определена в (6) и вычисляется по параметрам набегающего потока, то решение существует. Найдены условия его единственности. Если А > 1, то

Е{%1>) = О Р{тр) = К< О

(7)

(8)

Яго = 1 - /0! «>1(1 - ЯюЖ +

решения нет. Таким образом, гидравлический прыжок в сделанных предположениях возможен лишь на сверхкритическом течении. Также доказано, что радиус полости после скачка всегда меньше, чем перед ним.

В пункте 4.1.3 проводится сравнение с экспериментами. В экспериментах гидравлический прыжок инициировался на полом вихре во вращающемся цилиндре, движущемся вдоль его оси поршнем. При расчетах задавалась скорость поршня и радиус полости до скачка. Вычислялась скорость движения прыжка, и радиус полости после него. Получено хорошее согласие теоретических оценок с наблюдениями. Показано, что в условиях эксперимента параметр Л < 1.

В разделе 4.2 построена модель гидравлического прыжка на осевой струе во вращающемся потоке в цилиндрической трубе. В пункте 4.2.1 ставится задача, формулируются условия на прыжке. Подход аналогичен изложенному в предыдущем разделе. Разница в том, что здесь в области I не полость, а струя не вращающейся жидкости. Течение в струе сдвиговое. Условия на разрыве ставятся как в области I, так и в II. Отличие послед-•них состоит в том, что в области II при переходе через разрыв полный напор полагается неизменным, а в I может убывать. Предположение правомерно, если струя достаточно тонкая, чтобы течение в области II слабо искажалось в результате прыжка. Замыкающим соотношением является сохранение суммы интегральных потоков импульса в областях I и II. В итоге получаются следующие условия, связывающие параметры потока до и после прыжка:

ф1~ш0)с1^+2 ^(1-г]хо),Ш2(^1 + ф2^2)({1У~ф2+1п(1]и/г11о) = О,

_ /' , _ (1 ~ Т)Ю)Ш2С11>

Пи ~ 'о («;§+ К2 + ^)1/2 '

Ф\~Фг~ 1/т]и + 1/чю - К < О, = и%, ф2 = м|2 - и>1,

Здесь №о и и>1, и>2 и и>22 — осевые компоненты скорости до и после прыжка в областях I, II, соответственно; 7710 — значение т) на границе струи перед прыжком; К — неизвестная постоянная. Задача свелась к нахождению фх

и ф2-

В пункте 4.2.2 доказывается разрешимость условий на разрыве. Доказательство проводится для случая, если струя достаточно тонкая, а ф2 не зависит от и. Если осевая скорость во внешнем течении равна нулю, то ограничений на толщину струи нет. Находится строгий критерий, выражающий условия существования или не существования прыжка в сделанных

предположениях. Показано, что возможны только прыжки с увеличением диаметра струи.

В пункте 4.2.3 сравниваются критерии, определяющие возникновение прыжка и поведение струи в трубе переменного радиуса. Отмечается, что первый соответствует тому, что течение в расширяющихся трубах продолжаемо лишь на конечный интервал. Таким образом, непродолжаемое решение может быть продолжено, например, посредством гидравлического прыжка. Получены аналитические оценки. В частности показывается, что для достаточно тонкой струи при неизменном ее радиусе до прыжка, радиус струи после прыжка будет возрастать при увеличении осевой скорости.

В пятой главе метод, разработанный для исследования торнадоподоб-ных, полых вихрей и осевых струй во вращающихся потоках жидкости, применен для исследования струйных МГД течений несжимаемой плазмы со свободной границей в магнитном поле в сопле.

В разделе 5.1 ставится задача. Рассматривается невязкая нетеплопроводная обладающая бесконечной проводимостью несжимаемая плазма, защищающая область г > 0, г < Гг(г) (г; — радиус свободной поверхности). Плазма движется в бесконечно проводящем сопле, граница которого задана: г = г0(г). Между стенками сопла, плазмой и в общем случае внутри нее имеется магнитное поле. Течение считается стационарным и осесим-метричным. Задаются параметры потока при г = 0. Исследуется его эволюция в зависимости от 2.

Используются уравнения одножидкостной магнитной гидродинамики. Ан; логично главе 1 вводятся безразмерные величины. Совершается переход к длинноволновому приближению и смешанным эйлерово - лагранжевым переменным. В итоге задача сводится к нелинейному интегральному уравнению:

[, 2 2 2

"\2

R{v,z) = w0Rm{w¡ + ф)-х'2<1и; & = Я(1,г); fíjo = Я(1,0);

xp = tu2 — Wq] tJüo(j/) - значение w при z = 0; a = a(v) — заданная функция i/, определенная соотношением 2rA = а(4т;pv^)1/'2L2P, А — азимутальная компонента векторного потенциала; Ф — безразмерный осевой поток магнитного поля между стенками сопла и поверхностью плазмы, величина заданная; к — безразмерная циркуляция магнитного поля вокруг струи, также задана. Данные уравнения выражают неявную зависимость ^(z.f), которую и требуется найти.

В разделе 5.2 исследуется случай, когда в зазоре имеется только продольное поле, а внутри плазменного шнура поле отсутствует. Доказывается следующее утверждение.

Пусть к — 0, = 0, функция «<о(") ограничена ( и)о(1/) > 7 > 0), 7 -постоянная,

2А = (1 - Дю)3/(Ф2) ~ «ю /0' и>о2Ли,

2А, = Ф[Ф2/(1 - Яш)"2 + 72Г3/2 - Ц и«оЛюК " Т2)-3/2^-

Считается, что А) < 0. Величина ф рассматривается на интервале —у2 < ф < Ф2/( 1 — /?ю)2. Разделяются случаи:

1. А > 0. Тогда решение существует при всех ца > щ,, щ* < 1, где щ, -решение некоторого интегрального уравнения, причем при возрастании т?о от 7?о, до оо увеличиваются ф, IV, а Л] убывает до конечных значений при 1)0 ->• с».

2. Л < 0. Решение существует при т]0, < щ < т]о{1), Щ, < 1, т)о(1) > 1:

. ,}0(1) = Ф[Ф2/(1 - /?ю)2 + т2)-,/2 + /0' и'оЛю(и'о - 72)"1/2^,

причем при возрастании 1]о от т)о, до Г)о(1) убывают ф, и), а увеличивается.

В обоих случаях при »7 —> щ, производные ф и по т}а по модулю стремятся к бесконечности. Таким образом, поведение решений качественно различно в зависимости от знака А. По аналогии с течениями мелкой воды или идеального газа будем называть течения с А < 0 — докритическими, а с А > 0 — сверхкритическими.

В разделе 5.3 производится учет азимутальной компоненты магнитного поля в зазоре и продольного поля внутри плазмы. Продольное поле внутри считается однородным, его безразмерная величина при г = 0 обозначается через Но. Доказывается, что наличие азимутальной компоненты поля в зазоре качественно результаты не меняет. Если имеется продольное поле внутри, то возможны два случая.

1. 1 - НЦги1 > 0. Вводя Ф. = Ф(1 - Щ/хиЪ)~1/2, к, = «(1 - Я02/^)-1/*> сводим задачу к предыдущей, где вместо Ф будет Ф,, а вместо к - к,. Таким образом, достаточно малое внутреннее поле не оказывает влияния на качественное поведение течения.

2. 1 — 11 о/^ц < 0. При этом условии, с целью качественного понимания, рассмотрение ограничивается случаем к = 0. Доказывается, что при этом течение всегда такое же, как при А < 0, то есть докритическое. Отсюда вытекает, что достаточно большое поле внутри плазмы сильно влияет на характер течения.

В разделе 5.4 обсуждаются результаты. Отмечается качественное отличие течений в соплах с вакуумным зазором и без него. В исследованном случае условие до или сверхкритичности зависит не только от соотношения между величинами скорости и магнитного поля, но и геометрии течения (отношения радиусов сопла и струи на входе). Так при одном и том же соотношении между магнитным полем и осевой компонентой скорости, изменяя отношение радиусов, можно течение перевести из докритического в сверхкритическое и наоборот. Таким образом, в данной главе впервые в строгой постановке исследовано движение идеальной МГД плазмы в сопле с вакуумным зазором у стенок, заполненным магнитным полем.

Из первых пяти глав следует, что предложенный подход оказался эффективным при исследовании струй, закрученных и не закрученных, во вращающихся потоках жидкости и МГД течений идеальной несжимаемой плазмы в магнитном поле, что проявилось в постановке и решении значительного круга задач, представляющих как научный, так и прикладной интерес.

В шестой главо изложены результаты экспериментальных исследований конвективных торнадоподобных вихрей и осевых струй во вращающихся потоках.

В разделе 6.1 представлены эксперименты с конвективными торнадопо-добными вихрями. Первоначально вводятся основные параметры, характеризующие подобные течения. Это сделано с целью изучения подобия вихрей различных масштабов, а также для установления экспериментальных зависимостей между параметрами, что необходимо при построении теоретических моделей. Исходя из общих структурных особенностей течений в торнадоподобных вихрях, отмеченных во введении, в качестве основных характерных параметров выбираются следующие: г0 — радиус ядра; I — высота вихря; г>о — вращательная компонента скорости на границе ядра; Ар — разность между характерными плотностями в ядре и вне его; ро — характерная плотность; д — ускорение силы тяжести; V, к — коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности. Из ь о и г о можно составить еще один параметр — циркуляцию скорости вокруг ядра, деленную на 27г: А«, = иого- Значение циркуляции удобно взять вокруг ядра, поскольку его граница хорошо определена. Таким образом, го и / — геометрические параметры, характеризующие размеры вихря. Лю характеризует интенсивность вращения, и, к, Др, ро, д — параметры среды и массовой силы. Выбор характерных параметров приводит к системе безразмерных критериев:

р = -Л_ = ^ ^ Рг=^, ^

{Ар/р0)д1' V ' Г к' ро

Для вихрей, плотность жидкости в ядре которых меньше окружающей за счет нагрева, вместо Ар/ра берется а/3, а — коэффициент удельного теплимого расширения, 0 -- разность между характерными температурами в ядре и вне его, поскольку Др/ро Л! а/?, если а/3 1.

Основными задачами исследования являются: получение конвективных вихрей; определение полей скорости и температуры; исследование влияния интенсивности вращения и глубины жидкости на структуру потока; установление эмпирических зависимостей между параметрами, характеризующими течение; сопоставление лабораторной модели с интенсивными атмосферными вихрями и результатами теории. Настоящие эксперименты отличаются от других исследований конвективных вихрей способом получения, методикой измерения полей скорости и температуры, количественными и качественными результатами. Впервые высота вихря задается и варьируется в качестве независимого параметра.

В пункте 6.1.1 описаны лабораторная установка и методика измерения поля скорости. Установка представляет собой цилиндрический стакан из термостойкого стекла. Высота стакана 130 мм, диаметр - 100 мм. Сосуд устанавливается вертикально в поле тяжести, наполняется водой и подогревается снизу. Жидкость приводится в движение вращающимся прозрачным диском, установленным со стороны верхней открытой части сосуда, соогпо с ним. Диаметр диска 90 мм. В экспериментах варьируется частота вращения диска / и глубина жидкости I. Величина нагрева фиксирована. Течение ламинарно и практически вращательно - симметрично. Визуализация вихря осуществляется введением краски в различные точки объема. Ноле скорости измеряется методом водородных пузырьков. При этом производится сьемка пузырьков, порождаемых тонкой проволочкой (толщиной 50 мкм, через время задержки г после их образования (г = 0,1; 0,53 с).

Данная методика позволяет измерять профиль нужной компоненты скорости сразу на одной линии. Оцененная погрешность измерения поля скорости составляет не более 30 %.

В пункте 6.1.2 изложена методика измерения поля температуры. Измерения проводятся хромель - Копелевыми термопарами (толщина спая 0,4 мм) и диодами КДЬ

14 А (диаметр 1,1 мм, длина 2,5 мм), включенными в мостовую схему. Отличия в измерениях составляют не более 10 %.

В пункте 6.1.3 представлены результаты качественных наблюдений и количественных измерений. Измерения проводились при глубинах жидкости в сосуде 120, 85, 50 и 20 лш. Частота вращения диска варьировалась от 0,7 до 2 об/с.

В пункте 6.1.4 содержится анализ экспериментальных данных. До включе-

ния нагрева жидкость вне пограничных слоев на твердых поверхностях вращается почти как твердое тело. При нагреве в центральной части сосуда образуется торнадоподобный вихрь. На рис. 2 изображена схема поля течения в осевом сечении сосуда. Область I занимает пограничный слой. Радиальная скорость в слое направлена к центру вращения, вне — спадает почти до нуля. В II жидкость из пограничного слоя вытекает вверх в виде закрученной струи. В III происходит прыжок вихря. IV ядро вихря (область, где вращение близко к твердотельному и существуют заметные вертикальные движения). В V вращение близко к потенциальному, вертикальная и радиальная скорости малы. В областях IV, V вращательная компонента скорости практически не зависят от высоты. В VI происходит растекание струи из ядра вихря при столкновении с диском. VII — пограничный слой на диске. В области VIII вращение отклоняется от потенциального и сказывается влияние боковых стенок. Температура в ядре заметно выше окружающей (максимально на 10 - 13°С), вне ядра - практически постоянна. На нижней поверхности, помимо гидродинамического, ■существует температурный пограничный слой толщиной 1-2 мм. Наличие областей IV и V позволяет отнести полученный вихрь к торнадоподобным и характеризовать его параметрами, введенными выше. Отмечается, что температура вне ядра вихря не была постоянной, а повышалась примерно на 1 °С за 20с; перепад между температурой в ядре и внешним течением изменялся не более, чем на 1 °С за 100с. При этом изменения температур за характерное время процесса, если последнее считать по времени подъема жидкости в ядре, были много меньше величины характерной разности между температурой в ядре и вне его. Таким образом, течение можно считать квазнстационарным.

В экспериментах числа Re изменялись в пределах от 70 до 750. При этом оказалось, числа Фруда изменяются гораздо слабее: F = 2,9 ± 0,9 (2,9 — среднее по всем экспериментам значение, 0,9 — среднеквадратичное отклонение). При вычислении F в качестве ß бралась разность между температурами вне ядра и среднеквадратичной внутри него. Полагалось ß = 2,5°С. Примерное постоянство F отражает эффект, наблюдаемый в экспериментах: радиус ядра возрастает при увеличении циркуляции скорости вокруг него или при уменьшении глубины жидкости в сосуде.

В пункте 6.1.5 экспериментальный вихрь сравнивается с интенсивными атмосферными вихрями и теоретическими оценками. В таблице приведены значения характерных масштабов, принятые для атмосферных вихрей.

масштабы Пыльный вихрь Торнадо Ураган

а 3 • 10~31 ¡К 3 • 10~31 /К 3-10"31 /К

(3 1 °С 2 °С 2 °С

и 0,15 см2/с 0,15 смг/с 0,15 см2/с

1 5 • 102л 10* м 10* м

Го Юл! 102м 2 • Ю4.м

Уо 10 м/с 50 м/с ЬОм/с

Лоо 102л12/с 5 ■ 10Зм2/с 10 *м2/с

Тогда числа Фруда равны: для ураганов и торнадо Р яз 4,2; для пыльного вихря Р « 6,7. При этом числа Рейнольдса соответственно равны: 7 • Ю10; 3,5 • 108; 7 • 106. Таким образом, несмотря на то, что числа Рейнольдса в экспериментах и атмосферных вихрях отличаются в 104 — 108 раз, их числа Фруда по порядку величины одинаковы.

Если в теоретической формуле (4) перейти к размерным переменным, то она примет вид: 2 < Г < 4. Отсюда теоретическое значение числа Фруда близко к наблюдаемым в экспериментах и природе.

В разделе 6.2 изложены результаты наблюдений за истечением незакру-ченной струи вдоль оси в вихревую камеру. Основная цель экспериментов выяснять, возможно ли скачкообразное изменение диаметра струи при ее взаимодействии с вращающимся потоком. Поэтому эксперименты, в основном, носят иллюстративный характер.

Используемая вихревая камера представляет собой полый цилиндр, один торец которого закрыт плоской крышкой. Внутренний диаметр камеры, равен 28 мм. Выход жидкости из камеры осуществляется либо через сужающийся конический насадок, либо через диафрагму с центральным отверстием. В первом случае длина цилиндрического участка камеры равна 70 мм, а длина конического насадка - 100 мм. Во втором случае длина цилиндрической камеры равна 125 мм. Диаметр выходного отверстия в обоих случаях равен 14 мм. Закрученный поток в камере формируется путем тангенциальной подачи жидкости через щель с поперечным сечением 4x5 мм на цилиндрическом участке камеры вблизи ее закрытого торца. Осевая струя в поток вводится через отверстие диаметром 1,2 мм в центре закрытого торца камеры. Все эксперименты проводились в воде. Течение в камере визуализировалось краской, а также с помощью твердых сферических частиц с плотностью, близкой к плотности воды, или мелких воздушных пузырьков, вводимых в осевую струю. Наблюдения выявили качественную структуру течения в камере.

Установлено, что осевая струя на некотором расстоянии от дна камеры переходит в ядро вихря путем резкого увеличения своего диаметра, внеш-

не похожим на гидравлический прыжок или распад вихря. С увеличением расхода в струе от 0,06 до 0,25 см3/с расстояние до точки распада возрастает примерно от 1,5 до 5 мм, а диаметр ядра увеличивается от 5 до 10 мм. Тангенциальный расход при этом оставался неизменным и составлял 14 см3/с. За точкой распада струи в ядре вихря возникает циркуляционная зона с меридианальным течением, скорость в котором вдоль оси камеры направлена навстречу струе и общему потоку в камере. Размеры циркуляционной зоны, особенно ее длина, возрастают с увеличением расхода в струе. При расходах менее 0,1 см?¡с ее длина была порядка диаметра ядра, то есть ~ 5 мм. При расходах 0,7 см}¡с — 30 мм, 1,6 см3/с — 80 мм. Тангенциальный расход составлял 17 см3¡с. Данные опыты проведены в камере с коническим насадком. В цилиндрической камере в качественном плане наблюдались те же явления, но в камере с коническим насадком они более ярко выражены.

В седьмой главе изучаются два стационарных конических автомодельных решения уравнений Навье - Стокса. Если в предыдущих главах рассматривалось движение жидкости в ядрах торнадоподобных вихрей и осевых струях во вращающихся потоках, причем основное внимание уделялось невязким эффектам (жидкость считалась идеальной), то здесь обращено внимание на другие особенности гидродинамики торнадоподобных вихрей. Исследуется влияние свободной поверхности на структуру течения вне ядра вихря и анализируется, какое течение возникает в жидкости под действием вращательных тангенциальных напряжений некоторого специального вида на свободной поверхности. При этом самой постановкой задач выделяются эффекты, обусловленные вращением, вязкостью и наличием свободной поверхности. Таким образом, изучаются вторичные течения. Достоинством материала является то, что решения уравнений Навье - Стокса исследуются строго математически. Ввиду этого, результаты представляют также самостоятельный интерес, а не только как модель конкретного течения.

В разделе 7.1 рассматривается взаимодействие полубесконечной вихревой нити, погруженной в вязкую несжимаемую жидкость со свободной поверхностью. Действием силы тяжести пренебрегается. Вихревая нить является идеализацией ядра торнадоподобного вихря. Подобная идеализация позволяет выполнить строгое математическое исследование. Таким образом, основное внимание уделяется исследованию вторичного течения, возникающего в области соприкосновения вихря со свободной границей.

В пункте 7.1.1 содержится математическая постановка задачи. Считается, что свободная поверхность имеет форму конуса с осью симметрии, совпадающей с нитью; течение стационарно и вращательно - симметрично. Вводится сферическая система координат (Я, в, (р), Я — радиус, ¡р —

азимутальный угол. Свободной поверхности соответствует условие 9 = 00, нити — в = 0. Полагается, я-/2 < 0О < я. Через (и, го, у) обозначаются компоненты скорости, соответствующие (/?, 9, <р). Возникает два безразмерных параметра: к — с/{2и) и ва (2?гс — циркуляция нити). Задача аитомодельна И ее решение ищется в виде:

u = r[(l - ¡c3)/(*)]y/í, ^ =» г,(1 — х>а)/(х)/г, ь**сП(х)/г

где х — eos 9, г = R sin в. На свободной поверхности ставятся условия непротекания и равенства нулю напряжений. На нити задаются значение циркуляции и условие отсутствия источников и стоков. Выражения для скоростей подставляются в уравнения Навье - Стокса. Последние приводятся к системе двух обыкновенных интегродифференциальных уравнений,

y + = (Г2" + 2/а' = 0 (9)

(1 - х)2 rx (1 +2х0i+t2)№ 1 + 2хх0 4- х2) /1 Sl2dt l + i0 J-f (1 -f2)2 + 14-aro J* (1+í)2

ко торые решаются на интервале —х0 < х <1, Хо = — сое во с граничными условиями:

Я-*о)=0, П'(-хо) = 2х00(-х0)/(1-хо), П(1) = 1 (10)

В пункте 7.1.2 исследуется качественная структура решений. Доказывается, что 0(1) монотонно возрастающая функция, 0 < П(х) < 1, /(ж) > О и /(¿) имеет логарифмическую особенность при 1-4 1. Показывается, что течение вблизи свободной поверхности направлено от нити, вдоль нити жидкость течет в сторону свободной поверхности, причем и —> оо при х —> 1, как 1п[1/(1 — я)]. Показано, что при к —> оо и фиксированном хо 6 (О 1) вблизи свободной поверхности для вращательной компонеты скорости образуется пограничный слой, толщиной & ~ и/с. Кроме того, П(х) —> 1 при к —>■ оо, если Хо фиксированно, и Г2(х) —> 1, если к фиксированно, а угол между свободной поверхностью и нитью стремится к прямому.

В пункте 7.1.3 доказывается теорема существования. Рассматривается X — пространство непрерывных на [— го 1) функций. Вводится метрика:

(г \ £ 1 Мт(/,9) , с г

Мт(/, д) = эир\/(х) - д{х)\, -х0 < г < 1 - 1/тп

Тогда А' - полное локально выпуклое линейное пространство. На основе теоремы Шаудера - Тихонова о неподвижной точке доказывается теорема

существования: система (9) с граничными условиями(Ю) имеет на [—х0 1) хотя бы одно решение при фиксированных х0, к, 0 < х0 < 1, к > 0.

В разделе 7.2 в точной постановке решается задача о воздействии вращательных тангенциальных напряжений определенного вида на плоскую свободную поверхность вязкой жидкости. Изучается качественная структура течения, возникающего в жидкости. Доказывается существование решений. В итоге достигается качественное понимание того, какие течения могут возникнуть в жидкости при воздействии на ее поверхность вращательных напряжений.

В пункте 7.2.1 ставится задача. Рассматривается полупространство, заполненное вязкой несжимаемой жидкостью, ограниченное плоской свободной поверхностью. Сила тяжести либо отсутствует, либо направлена перпендикулярно свободной поверхности, что позволяет ее исключить. Вводится сферическая система координат (R, 9, (р) с началом на свободной поверхности. Полярная ось 9 — 0 перпендикулярна поверхности и направлена внутрь жидкости. На свободной поверхности заданы касательные напряжения, имеющие только вращательную компоненту т, которая изменяется по заданному закону: т — рс2/Я2; р — плотность жидкости, с — постоянная. Течение стационарно и вращательно - симметрично; (и, w, v) — компоненты скорости, соответствующие (R, 9, (р). Характерные параметры задачи: v — кинематическая вязкость жидкости и постоянная с; их размерности одинаковы. В атом случае можно искать автомодельное решение в виде:

с2[(1 -x2)f{x)V с2( l-x2)f(x) с2 и =---, w —-, v - -----

i/R vг иг

где х — cos 9, г = R sin 0. Тогда х = 0 соответствует свободной поверхности, х — 1 — оси симметрии. На свободной поверхности ставятся условия непротекания, задаются касательные напряжения, полагается давление рапным нулю. На оси симметрии требуется ограниченность вертикальной и вращательной компонент скорости, отсутствие источников или стоков. Выражения для скоростей подставляются в уравнения Навье - Стокса. Последние приводятся к системе двух интегродифференциальных уравнений, аналогичных (7), за исключением того, что С(х) имеет другой вид:

Q?dt

Уравнения решаются на отрезке [0, 1] с краевыми условиями: /(0) = 0,

П'(0) = -1, П(1) = 0.

В пункте 7.2.2 исследуется качественная структура решений. Доказывается, что Г2(г) монотонно убывающая функция, 0 < 0.(х) < 1, 0 < }{х) <

(с1 /2у")х. Показывается, что вдоль свободной поверхности жидкость течет от центра вращения, вблизи оси симметрии — движется по направлению к свободной поверхности. Показано, что при с/и —> оо вблизи свободной поверхности для вращательной компоненты скорости образуется пограничный слой, толщина которого 6 убывает не медленнее, чем (у/с)1!2. Таким образом, вращение ограничивается поверхностным слоем, в то же время меридианальные движения остаются во всем объеме жидкости.

В пункте 7.2.3 доказывается теорема существования. Рассматривается С[0, 1] — пространство непрерывных на отрезке 0 < х < 1 функций с метрикой р(/,д) = тах|/(а.) - д(х)|. Существование решений доказывается на основе теоремы Шаудера - Тихонова о неподвижной точке.

В пункте 7.2.4 делаются количественные оценки. Для этого принимается точка зрения, используемая при рассмотрении атмосферных вихрей. Считается, что течение сильно турбулентно и трение квадратично по Скорости на границе приземного пограничного слоя. Так как зависимость вращательной компоненты скорости от радиуса вне ядер вихрей можно аппроксимировать функцией 1 /г, то трение будет ~ 1 /г", то есть приближенно имеет требуемый вид. Полагаем: к — 1 и 5 (турбулентное число Рейнольд-са с/1/ яа 1,4 и 3,2; такой порядок величины обычно используется в расчетах течений рассматриваемого вида). Получается, если к = 5, Я = 2Т04 и 2Т05 м, глубина Н = 100 м, то ш та 0,03 и 1, 3 • 10~3 см/с. При /г = 103 Л1, V) и 0,3 и 1,3 • 10~2 см/с. На поверхности жидкости, при тех же к и Я, имеем: V « 10 и 2 см/с, и & б и 1,3 см/с.

Соответствующие величины при к ~ 1 примерно в 4 раза меньше для го и и и в 1,5 раза для г>.

Отметим, что и) имеет близкий порядок величины со значениям, получаемыми при расчете течений, возникающих в океане под воздействием тропического циклона вне зоны максимальных ветров (вне ядра вихря). Расчет и) при Н = 10'1 м показывает, что мерндианальная циркуляция, вызываемая вихрем, простирается на значительные глубины, а не ограничивается верхним слоем, что согласуется с натурными измерениями.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Сформулирована модель движения жидкости в ядрах торнадоподоб-ных вихрей, осевых струях во вращающихся потоках и полых вихрях; в приближениях идеальной жидкости и длинных волн, в смешанных эйлерово - лагранжевых переменных выведены уравнения, описывающие эти движения.

В рамках этой модели:

2. Аналитически решены задачи о стационарном вращательно - симме-

тричном движении стратифицированной жидкости в ядрах вертикальных торнадоподобных вихрей и в вертикальных осевых струях во вращающейся однородной жидкости в поле тяжести. Определены структуры течений, доказано существование решений. Покачано, что поведение решений качественно различно в зависимости от условий на некотором начальном уровне; в том числе оно может быть продолжаемо или непродолжаемо на бесконечную высоту. Определены строгие критерии, выражающие условия качественно различного поведения решений.

3. Построена аналитическая модель распада вертикальной струи путем продолжения некоторым специальным образом определенного непродолжа-емого решения. Получены аналитические оценки на высоту вихря и струи. Данные оценки согласуются с результатами лабораторных экспериментов и наблюдений за интенсивными атмосферными вихрями.

4. Аналитически решены задачи о стационарном вращательно - симметричном течении однородной жидкости в полых вихрях и осевых струях во вращающихся потоках в трубах переменного радиуса. Установлены структуры течений, доказано существование решений. Показано, что поведение решений качественно различно в зависимости от условий на входе: оно может существовать при любых радиусах трубы, либо при ограниченных сверху, снизу или с обеих сторон. Установлено, что для осевой струи возможно не более девяти типов возможных решений, для полого вихря — два. Проведена аналогия между течениями в полом вихре и идеального газа в трубах переменного радиуса. При этом аналогами двух типов движений в полом вихре являются до и сверхзвуковое течение газа. Выведены ппали*. тнческие формулы, из которых находятся оценки величин радиусов трубы, вплоть до которых решение существует. Оценки, полученные для течения в осевой струе, качественно согласуются с результатами экспериментов по определению положения распада торнадоподобного вихря в расширяющихся трубах.

5. Построены модели вращательно - симметричных гидравлических прыжков на сдвиговом течении в полом вихре и осевой струе во вращающемся потоке. Прыжок моделируется разрывным решением уравнений длинноволнового приближения Сформулированы условия на разрыве, доказана их разрешимость (во втором случае — если струя достаточно тонкая). Получены аналитические формулы для определения параметров течения после прыжка по их значениям до него. Сравнение теоретических оценок с данными экспериментов по исследованию движения гидравлических прыжков на полом вихре показывает их качественное и количественное согласие. Оценки для гидравлического прыжка на струе находятся в качественном соответствии с экспериментами по истечению осевой струи в закрученный

поток вихревой камеры.

6. В длинноволновом приближении в строгой постановке аналитически решена задача о стационарном осесимметричном течении несжимаемой МГД плазмы в магнитном поле в сопле с вакуумным зазором у стенок. Плазма и стенки идеально проводящие. Установлено существование качественно различных режимов движения в зависимости от условий на входе. Существенным отличием такого течения (струя со свободной границей в сопле) от потоков вплотную примыкающим к стенкам сопла является то, что его режим определяется не только отношением величин магнитного поля и осевой скорости, но и отношением начального радиуса струи к радиусу сопла.

Результаты 1 - 6 позволяют говорить о том, что предложенный подход позволяет эффективно проводить аналитические исследования с получением конкретных результатов, а заложенные в нем физические факторы, влияющие на гидродинамику потоков, проявляются и в реальных течениях.

7. Создана лабораторная установка для получения и исследования вертикальных конвективных торнадоподобных вихрей. Обнаружено, что взаимодействие ограниченного объема жидкости, вращающейся почти как твердое тело, с нагретой нижней поверхностью приводит к концентрации завихренности и образованию торнадоподобного вихря. Выполнены количественные измерения нолей скорости и температуры при различных значениях циркуляции скорости вокруг ядра и глубины жидкости в сосуде.

8. Установлено, что при выходе закрученной струи из нижнего пограничного слоя происходит прыжок вихря. Показано, что вне пограничных слоев вертикальные изменения вращательной компоненты скорости и перепада между температурами в ядре вихря и вне его много меньше их средних значений.

9. Обнаружен эффект утолщения ядра при увеличении циркуляции скорости вокруг него или при уменьшении глубины жидкости. При этом значение вращательной компоненты скорости на границе ядра при фиксированном подогреве нижней поверхности в основном определяется глубиной жидкости и слабо зависит от величины циркуляции, число Фруда изменяется н небольшом диапазоне: Г = 2.9 ± 0.9, где 2,9 — среднее значение; 0,9 — дисперсия. Показано, что число Фруда, установленное в экспериментах, близко к теоретическому, а также и к тем величинам, которые можно вычислить из данных об интенсивных атмосферных вихрях.

10. Экспериментально исследованы особенности истечения незакручен-ной струи вдоль оси во вращающийся поток вихревой камеры. Установлено, что на некотором расстоянии от места истечения струя переходит в ядро вихря путем скачкообразного увеличения своего диаметра, внеш-

не похожим на гидравлический прыжок или распад вихря; с возрастанием скорости жидкости в струе расстояние до точки ее распада увеличивается, а диаметр ядра возрастает.

11. В точной автомодельной постановке на основе стационарных враща-телыю - симметричных уравнений Навье - Стокса решены две задачи: о взаимодействии полубесконечной линейной вихревой нити, погруженной в вязкую жидкость, со свободной поверхностью и о воздействии вращательных тангенциальных напряжений определенного вида на плоскую свободную поверхность, ограничивающую полупространство, заполненное вязкой жидкостью. Установлены качественные структуры течений. Доказаны теоремы существования. Показано, что вблизи оси симметрии течение всегда направлено в сторону свободной поверхности, а вблизи поверхности — от оси. Доказано, что для вращательной компоненты скорости вблизи свободной поверхности при увеличении интенсивности вращения или уменьшения вязкости образуется пограничный слой. Толщина слоя убывает не медленнее, чем обратная пропорция от числа Рейнольдса в первом случае и (fíe)-1'2 во втором.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Никулин В.В. Взаимодействие линейного вихря со свободной поверхностью // Динамика сплошной среды: Сб. научн. трудов / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1979. Вып.42. Динамика неоднородной жидкости. С.31 - 42.

2. Никулин В.В. Исследование взаимодействия торнадоподобного вихря с, твердыми границами // ПМТФ. 1980. №1. С.68 - 75.

3. Никулин В.В. Моделирование торнадоподобных вихрей // Динамика сплошной среды: Сб. научн. трудов / АН СССР. Сиб. отд-ние. Инт гидродинамики. 1980. Вып.47. Математические проблемы механики сплошных сред. С.135 - 144.

4. Никулин В.В. Экспериментальные измерения темпаратуры в торнадо-подобном вихре // Динамика сплошной среды: Сб. научн. трудов / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1983. Вып.60. Динамика жидкости со свободными границами. С.08 - 106.

5. Никулин В.В. Влияние торцевого трения на структуру торнадоподобного вихря // Динамика сплошной среды: Сб. научн. трудов / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1984. Вып.65. Нестационарные проблемы механики сплошных сред. С.92 - 109.

6. Никулин В.В. Структура торнадоподобных вихрей. В сб.: Современные вопросы информатики, вычислительной техники и автоматизации. Всесоюзная конференция. Тезисы докладов и сообщений. Москва. 1985. С.85.

7. Никулин В.В. Коническое вихревое течение, индуцируемое тангенциальными напряжениями на плоской свободной поверхности // ПММ. 1988.Т.52. Вып.4. С.594 - 600.

8. Никулин В.В. Аналог уравнений вихревой мелкой воды для полых и торнадоподобных вихрей. Высота стационарного торнадоподобного вихря // ПМТФ. 1992. №2. С.47 - 52.

9. Никулин В.В. Распад торнадоподобного вихря//ПМТФ. 1992. №4. С.42

- 47.

10. Никулин В.В. Полый вихрь с осевой скоростью в трубе переменного радиуса // ПММ. 1994. Т.58. Вып.2. С.49 - 53.

11. Никулин В.В. Движение завихренной жидкости в ядре вертикального торнадоподобного вихря // ПМТФ. 1995. Т.36, №2. С.81 - 87.

12. Никулин В.В. Форсунка для впрыскивания топлива в двигатель внутреннего сгорания. Патент Рос. Фед. №2052654. 1996.

13. Никулин В.В. Стационарное течение плазмы в магнитном поле в сопле с вакуумным зазором у стенок // ПМТФ. 1997. Т.38, №5. С.23 - 28.

14. Никулин В.В. О распаде торнадоподобного вихря в трубе переменного радиуса. Труды 5 международного семинара "Устойчивость гомогенных и гетерогенных жидкостей" Часть I. Новосибирск. 1998. С.217 - 223.

15. Никулин В.В. Осевая струя в потенциально вращающейся жидкости в трубе переменного радиуса // ПМТФ. 1999. Т.40, №3. С.81 - 89.

16. Никулин В.В. О распаде торнадоподобного вихря в трубе переменного радиуса. 13 международная школа-семинар "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность". Тезисы докладов. Москва. 1998. С.119 - 120.

17. Никулин В.В. Модель гидравлического прыжка на осевой струе во вращающемся потоке идеальной жидкости // Теплофизика и аэромеханика. 2000. Т.7, №2. С.233 - 241.

18. Лхметоп Д.Г., Никулин В.В. Особенности взаимодействия незакручен-iioii осевой струи с потоком в вихревой камере // Теплофизика и аэромеханика. 1999. Т.6, №4. С.579 - 581.

19. Akhmetov D.G., Nikulin V.V. Peculiarities of outflow of an axial jet into a swirled flow in a vortex chamber. International symposium "Actual problems of physical

hydroaerodynainics". Part II. International conference on stability and turbulence of homogeneous and heterogeneous flows. Abstracts. Novosibirsk. 1999. P.II-7.

20. Kedrinskii V.K., Nikulin V.V. Convergence of a cylindrical liquid shell and the formation of a bore in a rotating fluid // J. Fluid Mech. 1999. V.400. P.355

- 374.

21. Nikulin V.V. Space evolution of tornado-like vortex core // Int. Series of

Numerical Mathematics. 1992. V.106. P.229 - 237. Birkhauser Verlag Basel. 22. Nikulin V.V. The motion of a hydraulic jump along the axial jet in a rotating fluid flow. International symposium "Actual problems of physical hydroaerodynamics". Part II. International conference on stability and turbulem of homogeneous and heterogeneous flows. Abstracts. Novosibirsk. 1999. P.II-90.

0

Phc. 1

vir

1----(

H

i ,y I v I

L "j

Vtf/

Phc. 2

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛИННОВОЛНОВОГО

ПРИБЛИЖЕНИЯ.

1Л. Вывод уравнений.

1.2. Сводка результатов главы 1.

ГЛАВА 2. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ЯДРАХ ВЕРТИ

КАЛЬНЫХ ТОРНАДОПОДОБНЫХ ВИХРЕЙ.

2.1. Постановка задачи. Вывод основных уравнений

2.2. Движение жидкости в ядре без закрутки в вертикальной струе).

2.2.1. Структура решений.

2.2.2. Модель распада вертикальной струи.

2.3. Движение вращающейся жидкости в ядре верти -кального вихря

2.3.1. Доказательство локальной разрешимости уравнений

2.3.2. Структура решений.

2.4. Обсуждение результатов. Сравнение с данными лабораторных экспериментов и наблюдений в природе

2.5. Сводка результатов главы 2.

ГЛАВА 3. ПОЛЫЕ ВИХРИ И ОСЕВЫЕ СТРУИ ВО

ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ.

3.1. Полый вихрь с осевой скоростью в трубе переменного радиуса.

3.1.1. Постановка задачи. Исследование решений

3.1.2. Обсуждение результатов. Аналогия с течениями идеального газа.

3.2. Осевая струя в потенциально вращающемся потоке в трубе переменного радиуса.

3.2.1. Постановка задачи

3.2.2. Исследование структуры решений

3.2.3. Сравнение теории с экспериментами по торнадоподобным вихрям в трубах.

3.3. Сводка результатов главы

ГЛАВА 4. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ПРЫЖКИ НА ПОЛЫХ

ВИХРЯХ И ОСЕВЫХ СТРУЯХ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ПОТОКАХ

4.1. Гидравлический прыжок на полом вихре.

4.1.1. Постановка задачи. Формулировка условий на разрыве.

4.1.2. Разрешимость условий на разрыве.

4.1.3. Сравнение с экспериментами.

4.2. Гидравлический прыжок на осевой струе во вращающемся потоке

4.2.1. Постановка задачи. Формулировка условий на разрыве.

4.2.2. Разрешимость условий на разрыве.

4.2.3. Обсуждение результатов

4.3. Сводка результатов главы

4.4. Заключительные замечания к

главам 1

ГЛАВА 5. СТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ПЛАЗМЫ В

МАГНИТНОМ ПОЛЕ С ВАКУУМНЫМ ЗАЗОРОМ У СТЕНОК.

5.1. Постановка задачи.

5.2. Случай, когда не равно нулю только продольное поле снаружи струи.

5.3. Учет азимутальной компоненты магнитного поля в зазоре и поля внутри плазмы.

5.4. Обсуждение результатов

5.5. Сводка результатов главы

ГЛАВА 6. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ТОРНАДОПОДОБНЫХ ВИХРЕЙ И ОСЕВЫХ

СТРУЙ В ЗАКРУЧЕННЫХ ПОТОКАХ.

6.1. Экспериментальные исследования торнадоподобных вихрей.

6.1.1. Экспериментальная установка и методика измерения поля скорости

6.1.2. Методика измерения температуры.

6.1.3. Результаты экспериментов

6.1.4. Анализ экспериментальных данных

6.1.5. Сравнение экспериментов с интенсивными атмосферными вихрями и теоретической моделью

6.2. Взаимодействие незакрученной осевой струи с потоком в вихревой камере.

6.3. Сводка результатов главы 6.

ГЛАВА 7. КОНИЧЕСКИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ.

7.1. Взаимодействие линейного вихря со свободной поверхностью.

7.1.1. Постановка задачи.

7.1.2. Структура решений

7.1.3. Существование решений.

7.2. Коническое вихревое течение, индуцируемое тангенциальными напряжениями на плоской свободной поверхности

7.2.1. Постановка задачи.

7.2.2. Структура решений

7.2.3. Существование решений.

7.2.4. Сравнение с натурными наблюдениями.

7.3. Сводка результатов главы 7.

Предметом исследования в настоящей диссертации являются течения во вращающейся жидкости некоторого специального вида: торна-доподобные, полые вихри и осевые струи. Их отличительным признаком является наличие внутри жидкости двух характерных областей: первой - вблизи оси вращения, по форме близкой к цилиндрической, и окружающей ее второй областью, вращение в которой происходит по закону, близкому к закону вращения в потенциальном вихре. Далее последнюю будем называть внешним течением или потоком. В случае торнадоподобных вихрей приосевая область называется ядром, и жидкость в ней движется как вдоль оси, так и вращается вокруг нее. При этом движение вдоль оси сдвиговое, а закон вращения близок к твердотельному. В полых вихрях приосевая область представляет собой пространство с постоянным давлением, не заполненное жидкостью. Торнадоподобные и полые вихри являются наиболее сложным и простым из рассматриваемых объектов. Промежуточное место занимает осевая струя во вращающемся потоке. Считается, что жидкость в ней не вращается вокруг оси, а аксиальное движение сдвиговое. В природе, технике и экспериментах в основном встречаются торнадоподобные или полые вихри; струйные течения во вращающейся жидкости встречаются гораздо реже. Однако это не снимает актуальности их изучения, так как, помимо собственного, они могут представлять интерес в качестве упрощенной модели торнадоподобного вихря. При исследовании струй можно продвинуться гораздо дальше, чем в случае вихрей. В то же время, поскольку у них есть важные общие структурные особенности (такие, как осевое течение в ядре вихря и в струе, вращение внешнего потока), то у них могут быть общие закономерности. В качестве других примеров специфических вихрей можно привести кольцевые вихри. В этом случае завихренность концентрируется внутри движущейся тороидальной области [8, 22, 65, 107].

Научный интерес к изучению течений рассматриваемого вида обусловлен важностью задачи понимания динамики завихренности, являющейся одной из основных проблем гидродинамики, а также большим разнообразием возникающих в них явлений, полного понимания которых нет до настоящего времени. В данной работе изучаются изолированные вихри. В качестве другого полюса указанной проблемы можно назвать проблему турбулентности, как динамику большого числа вихрей. Отметим, что в последнее время в связи с открытием так называемых "когерентных структур" произошло сближение этих полюсов. Помимо научного, данные исследования представляют и самостоятельный интерес, ввиду широкого распространения подобных течений в природе и технике. В природе это интенсивные атмосферные вихри (пыльные вихри, торнадо или смерчи, ураганы) [74, 106, 117, 164, 165], в технике — течения в вихревых трубах [16, 57, 58, 68, 71, 101, 104], циклонных топках [73, 96, 120] и других вихревых устройствах [3, 11, 12, 34, 39, 41, 45, 61, 75, 97, 108, ИЗ, 116, 214]. Таким образом, можно заключить, что тема настоящей работы является актуальной.

Одним из направлений теоретических исследований торнадоподоб-ных, полых вихрей и струй во вращающейся жидкости является построение аналитических моделей, которые, с одной стороны, были бы обоснованы достаточно строго математически, с другой стороны — отражали бы те или иные существенные особенности течений. Аналитические модели актуальны как сейчас, так и останутся таковыми в будущем, несмотря на развитие вычислительной техники, ибо не имея качественного представления о течении, о том, как влияют на него те или иные параметры, а также аналитических оценок, невозможно создавать новые экспериментальные установки или технические устройства. В настоящей диссертации в теоретической части развивается именно это направление. Прежде чем перейти к изложению материала работы приведем обзор исследований, имеющих отношение к излагаемой теме. В обзоре анализируются натурные наблюдения за интенсивными атмосферными вихрями, лабораторные эксперименты и теоретические модели. В экспериментах и наблюдениях основное внимание уделяется эффектам, которые в той или иной степени отражены в настоящей работе. Среди теоретических работ в основном рассматриваются аналитические модели.

В монографии [74] дано общее описание и собрано большое количество фактов, характеризующих интенсивные атмосферные вихри. В работах [164, 165, 185, 206, 217] представлены результаты наблюдений за пыльными вихрями. В [206] выполнены количественные измерения полей скорости и температуры в нижней части пыльного вихря (до высоты 12 м). В [217] проведены измерения у поверхности земли.

Результаты наблюдений за торнадо изложены в [123, 124, 139, 152, 154, 161]. Работы [123, 124, 154] посвящены качественным наблюдениям. Представлены фотографии образования торнадо, а также разрушений, причиняемых последними. В [161] приведены измерения поля скорости в нижней части торнадо до высоты 300 - 400 м. Измерения проведены путем съемки кинокамерой кусочков земли, различных обломков, увлекаемых торнадо. В [139, 152] установлено, что в период, предшествующий образованию торнадо, уже существует циклонический вихрь на высотах от 5 до 8 км. Диаметр вихря около 5 км, что намного превосходит размеры воронки торнадо.

В [106, 117] изложена общая структура урагана. Различные измерения на периферии циклона выполнены в [50, 51, 148, 150, 151]. В [156, 203] представлены результаты количественных исследований параметров течения в ураганах, начиная от центра до расстояний в 200 км. Отметим интересную корреляцию между радиусом ядра и циркуляцией скорости вокруг него в различных ураганах, которую можно установить на основе данных, приведенных в работе [203]: радиус ядра растет почти линейно с увеличением циркуляции вокруг него. Причем величина азимутальной компоненты скорости на границе ядра (г>о) изменяется гораздо меньше, чем радиус ядра. В [203] приведены данные для нескольких десятков ураганов. Радиусы их ядер различаются в 10 раз. В то же время величина vq для 90% укладывается в интервал (50 ± 10) м/с. Таким образом, г>о практически универсальна для различных ураганов.

Выделим качественные особенности течений в интенсивных атмосферных вихрях, которые являются их общими отличительными признаками.Такими общими чертами являются: пограничный слой на нижней поверхности, радиальная скорость в котором направлена к центру вращения, жидкость из пограничного слоя вытекает вверх в виде закрученной струи. Вне пограничного слоя существует область, в которой азимутальная компонента скорости приближенно не зависит от высоты. В данной области можно выделить цилиндрическое ядро, внутри которого вращение близко к твердотельному, а вне - к потенциальному. Интенсивные вертикальные движения концентрируются либо в ядре вихря, либо в кольцевой области вблизи его границы. Вне ядра вертикальная скорость намного меньше. Температура в ядре заметно выше окружающей. В пыльных вихрях область восходящих потоков, визуализированная пылью, вовлекаемой с поверхности земли, на некоторой высоте быстро исчезает, теряет свою видимость [164, 165], видимый вихрь распадается. При этом граница области восходящих потоков достаточно резкая, не размывается практически до самого распада [164, 165]. Это говорит о том, что турбулентное перемешивание между ядром вихря и внешним течением довольно слабое, что может быть связано с подавлением турбулентности во вращающихся потоках [24, 192]. Еще отметим, что высота ядра в пыльных вихрях и торнадо много больше, чем его диаметр. В ураганах данные параметры являются величинами одного порядка.

Лабораторному моделированию торнадоподобных вихрей посвящено значительное число работ. В основном все работы по способу получения вихрей можно разделить на две группы. В первой группе механизмом концентрации завихренности во вращающейся жидкости или газе является свободная конвекция, возникающая вследствии неустойчивой по вертикали стратификации среды [5, 6, 7, 17, 23, 127, 149, 188, 191, 212, 213]. Во второй вихри получаются путем введения стока во вращающейся жидкости или создания вынужденной конвекции [1, 2, 10, 15, 19, 30, 31, 52, 103, 126, 135, 142, 143, 163, 171, 187, 204, 208, 215, 216, 220]. Модели первого типа некоторые авторы называют конвективными [188], вторые можно назвать стоковыми. Будем придерживаться этой терминологии. Отметим, что в дополнение к изложенным механизмам похожие вихри получаются при стекании вихревой пелены с передней кромки стреловидных крыльев [141]. В настоящей работе подобные случаи не рассматриваются.

Для создания свободной конвекции и вращения в лабораторных моделях конвективных вихрей используются различные способы. В [5,6, 7, 23] конвекция возникает при подъеме пара над поверхностью горячей воды, в [17, 127, 149, 188, 191] - путем нагрева подстилающей поверхности, в [212, 213] - смешением воды с пузырьками воздуха. Угловой момент вносится в среду с помощью вращающихся поверхностей [5, 127], вращением всего объема жидкости [212, 213] либо путем тангенциального подвода воздуха, создаваемого, например, вертикальными пластинами, установленными по периметру окружности под некоторым углом к радиусу [6, 7, 17, 23, 149, 188, 191]. В работах [5, б, 7, 17, 23, 127, 149, 188, 191] эксперименты проводились в воздухе, при этом высота вихря не ограничивалась сверху крышками. В [212, 213] эксперименты выполнены в воде, при этом глубина жидкости фиксирована размерами сосуда. Однако величина подъемной силы была не контролируема, поскольку создавалась путем введения пузырьков воздуха. В целом результаты работ таковы. Определены общие структурные особенности течений: наличие цилиндрического ядра, внутри которого вращение близко к твердотельному, а вне - к потенциальному; пограничного слоя на нижней поверхности, где радиальная скорость направлена к центру вращения. В работах не отмечалось, что исследуемые течения заметно отклоняются от вращательной симметрии. Для вихрей, получаемых при подогреве подстилающей поверхности, установлено, что воздух в ядре заметно теплее, чем вне его. В [149, 191] показано, что, начиная с некоторого уровня, вид зависимости характерной температуры в ядре вихря с высотой резко изменяется. Если до этого уровня температура мало меняется с высотой, то выше него начинает падать гораздо быстрее, по закону, подобному изменению температуры в обычном конвективном не вращающемся термике [191]. Подобным же образом ведет себя осевая скорость [149]. Таким образом, структура течения в конвективных вихрях на некоторой высоте претерпевает резкое изменение, вихрь распадается. Поэтому данный уровень можно принять за высоту вихря. Отметим, что указанные изменения происходят на интервале много меньшем высоты вихря. Течение в ядре вихря до распада носит струйный характер с малым турбулентным обменом с окружающей средой, выше него турбулентный обмен становится значительным. Профили азимутальной компоненты скорости до распада практически одинаковы на разных высотах. На основе приведенных выше наблюдений за пыльными вихрями можно сказать, что подобные структурные изменения, по-видимому, имеют место и в них. Отметим, что эффект резкого изменения структуры течения на некоторой высоте до настоящего времени не имеет объяснения, его причины не установлены.

Интересные экспериментальные данные приведены в [37, 131], где исследована конвекция во вращающемся сосуде при охлаждении жидкости с верхней свободной поверхности в атмосферу. Обнаружено образование многовихревой структуры, получено согласие между характерной величиной скорости конвекции и ее теоретической оценкой.

В стоковых вихрях вращение создается теми же способами, что и в конвективных. В [103, 163, 204] сток находится на некотором удалении от подстилающей поверхности, в области, неограниченной боковыми стенками. В [204] вихрь получается при работе газотурбинного двигателя самолета вблизи земли. Вихрь соединяет поверхность земли и вход в воздухозаборник. В [10, 170, 197] изучается течение в торцевом пограничном слое под торнадоподобным вихрем.

В экспериментах со стоковыми вихрями установлено, что если лабораторная установка обладает осевой симметрией, то течение, по крайней мере до распада вихря, практически вращательно - симметрично [30, 31, 126, 135, 142, 143, 163, 187, 208, 215, 216, 220]. При этом ему присущи те же характерные особенности, что и течениям в интенсивных атмосферных и конвективных вихрях. Имеется ядро вихря, внешнее течение, пограничные слои на твердых поверхностях. Азимутальная компонента скорости практически не зависит от координаты вдоль оси вихря [31]. Все это дает основание отнести их к торнадопо-добным вихрям в смысле определения данного выше.

При уходе от осевой симметрии установки нарушается вращательная симметрия течения. Например, в сосудах эллиптической формы, в которых жидкость первоначально находится в твердотельном вращении [36] или имеется концентрированный вихрь [27], ось вращения жидкости или вихря может изгибаться и даже начальное поле скорости может полностью разрушиться с образованием нескольких вихревых течений [36]. Также, если сместить выходное отверстие вихревой камеры от оси, то ядро вихря может принять форму винта [125], завитого против вращения. Если наклонить дно вихревой камеры, то ядро завьется по потоку [2, 78]. Если наклонить две половинки дна, то могут возникнуть два ядра в виде переплетенных винтов [1]. Смещение выходного отверстия и наклон дна может привести к смене направления вращения винтов на некотором уровне [2]. Существенным в [1, 2, 78. 125] является то, что винты квазистационарны в пространстве. Нестационарные системы вихревых шнуров получены также в [26, 160]. В [171] жидкость вытекает из цилиндрического бака через нецентральное отверстие. В результате, помимо вихря у стокового отверстия, возникает движение жидкости с противоположным вращением у дальней боковой стенки бака.

К рассматриваемому виду также относятся течения, в которых струя, закрученная или незакрученная, втекает в вихревую камеру вдоль ее оси [32, 44, 45, 66]. Наиболее полные эксперименты по этому направлению выполнены в [32], где измерены поля скоростей и температур при различных расходах в струе и закрученном потоке, когда температура воздуха в струе была выше, чем в камере. В целом в данных работах показано, что наличие осевой струи заметно влияет на общую структуру течения. Однако всех деталей поведения самой струи выяснено не было, что обусловлено сложностью визуализации течения в воздухе.

Одним из интересных явлений, наблюдаемых в торнадоподобных вихрях, является прыжок или распад вихря (по - английски, «vortex breakdown»). Суть его состоит в том, что ядро вихря, практически одинаковое по всей длине, начиная с некоторого места либо распадается, либо резко увеличивается в диаметре. Первое происходит с вихрями в свободном пространстве, например, для вихрей с крыла самолета [141] или вертикальных конвективных вихрей [149, 164, 191]. Второе - в основном с вихрями в трубах [98, 99, 145, 146, 147, 153, 158, 175, 201]. Проблеме распада вихря посвящены обзоры [145, 158, 175]. В целом, в работах исследована структура течения, проведена классификация типов прыжков вихря. Установлено, что до распада течение практически вращательно - симметрично, носит струйный характер с максимумом осевой скорости на оси [146, 175]. После распада течение может стать не вращательно - симметричным, иметь вид спирали, одинарной или двойной, либо оставаться близким к вращательно -симметричному [143, 146, 201]. При этом, радиальный профиль осевой скорости имеет "следовой" характер, то есть подобен профилю скорости в следе за обтекаемым телом с минимумом на оси [153]. В работах [99, 146, 201] исследовано положение распада вихря в расширяющихся трубах в зависимости от внешних параметров. В частности, показано, что при увеличении параметра закрутки (отношения циркуляции скорости вокруг ядра к произведению средней осевой скорости на диаметр трубы) и неизменном числе Рейнольдса распад вихря смещается вверх по потоку.

Волновые движения на ядрах вихрей изучались в [189, 190].

Теоретически конвективные вихри рассмотрены в [42, 43, 49, 67, 127, 137, 172, 173, 207]. В [127] построена модель пыльного вихря. Считается, что его ядро представляет собой турбулентную всплывающую струю. При этом феноменологически задается коэффициент турбулентного обмена с внешним течением. В такой постановке не описываются ламинарные вихри, также нет объяснения факта резкого изменения структуры течения на некоторой высоте. Кроме того, не получено количественных характеристик для параметров вихря, что затрудняет сопоставление теории с экспериментом. Работы [42, 43, 137, 172, 173] посвящены моделированию торнадо. Рассматриваются уравнения гравитационной конвекции с учетом вязкости в приближении Буссинеска. В [42, 43, 172, 173] найдены решения, в которых вертикальная компонента скорости линейно растет с высотой, а азимутальная имеет вид, как в составном вихре Рэнкина [41]. При этом радиус ядра определяется вязкостью и радиальным потоком из бесконечности. Однако для согласования с наблюдениями приходится вводить феноменологическую турбулентную вязкость. Эффект резкого изменения структуры потока на некотором уровне в данных моделях также отсутствует. Работа [137] носит феноменологический характер, в частности закон трения задается искусственно. В [213] рассмотрен конвективный вихрь в замкнутом вращающемся цилиндрическом сосуде при наличии верхних и нижних торцевых границ. Указано, что торцевые пограничные слои должны влиять на внешнее течение. Сделана попытка учесть такое влияние. Однако пограничные слои считаются экмановскими, то есть модель справедлива лишь в случае сильного вращения сосуда и слабой конвекции. Таким образом, теория не описывает вихри в невращающемся сосуде и в случае, когда конвекция сильная, что обычно имеет место при образовании торнадоподобных вихрей. Также в модели явно не рассматривается действие подъемных сил. Отметим, что течения в приведенных теориях считаются вращательно - симметричными.

Численным моделям ураганов посвящены работы [114, 134, 174, 195, 210, 218]. Здесь используются различного рода предположения. Схемы параметризации тепловыделения в облаках, способы моделирования турбулентной вязкости. В результате получены модельные вихри, обладающие рядом реалистических черт. В аналитических моделях [47, 48, 70, 121, 133, 185, 196] анализируется роль тех или иных физических механизмов в динамике урагана, параметры течения считаются заданными. Показана важность притока энергии за счет выделения скрытой теплоты конденсации, в результате чего происходит повышение температуры и усиливается свободная конвекция. Предполагается, что влажный воздух поступает из нижнего пограничного слоя, расположенного у поверхности океана.

Теоретическим исследованиям вращательно - симметричных стоковых вихрей посвящены работы [69, 136, 157, 159, 166, 180, 181, 200]. В [136, 159, 166, 200] построены модели экспериментов [216], причем в [136, 166] - аналитические, в [159, 200] - численные. Аналитические модели не носят строгого характера, а содержат феноменологические предположения, например, такие как постоянство давления внутри ядра, независимость вращательной и радиальной компонент скорости от высоты, жидкость считается идеальной. В [136] радиус ядра определяется из предположения, что при, заданной структуре течения, падение давления в нем должно быть минимальным. В [166] радиус находится из второго закона Ньютона, записанного в интегральной форме. При этом делаются дополнительные предположения о величинах различных членов уравнения. В результате в [136, 166] удается качественно объяснить увеличение диаметра ядра при увеличении параметра закрутки в конкретной установке. В [159, 200] при численном счете используются искусственные граничные условия. Расчеты выполнены для небольших чисел Рейнольдса, меньших 100. Получается течение похожее на экспериментальное.

В [157] в приближении тонкого ядра анализируется взаимодействие между азимутальным и осевым движением. На качественном уровне показывается, что, в некоторых случаях, может происходить замедление осевого движения внутри ядра и возникать точки остановки, после чего, по мнению автора, должна происходить перестройка течения. В работе [181] получено автомодельное решение уравнений Навье - Стокса, которое можно интерпретировать как сток во вращающейся жидкости. Однако, данное решение не описывает вихри рассматриваемого вида [180], так как в них нет цилиндрического ядра вихря. В [180] асимптотическим разложением по малому параметру из системы Навье - Стокса получены приближенные уравнения. Параметр мал, если циркуляция скорости вокруг ядра достаточно велика. Каких-либо количественных характеристик в модели получить не удается. Отмечается, что торцевые пограничные слои должны оказывать сильное влияние на внешнее течение. В [33, 194] рассмотрено течение в торцевом пограничном слое в вихревой камере. Указано, что наличие слоя оказывает заметное влияние на внешнее течение. Данное влияние заключается в том, что часть жидкости из внешнего течения уходит в пограничный слой. В [64] делается приближенный расчет приземного пограничного слоя в пыльных вихрях методом интегральных импульсов. Определяется радиальный расход в пограничном слое при заданных параметрах внешнего течения. В [69] рассмотрено течение в цилиндрическом гидроциклоне с воздушной полостью вблизи оси. Жидкость считается невязкой. Зависимость интеграла Бернул-ли и циркуляции скорости от функции тока аппроксимируются квадратичной и линейной функциями. В итоге находится приближенное распределение компонент скорости внутри гидроциклона. В [171, 183] исследуются стоковые вихри во вращающихся сосудах в приближении слабой конвекции и сильного вращения (малых чисел Россби). В [171] сток смещен от оси вращения, в [183] - находится на оси. В работах используются предположения физического характера. В [171] построено течение, в котором возникают вихрь над стоком и вихрь с противоположным (в системе отсчета, связанной с сосудом) вращением, примыкающий к дальней от стока стороне сосуда. В [183] показано, что постепенное включение стока приводит к усилению вращения. При этом в линейном приближении найдено, что после начала включения в жидкости возникают инерционные колебания, величина которых тем меньше, чем медленнее происходит включение стока.

В монографии [4] содержатся многочисленные примеры точных решений начально-краевых задач для уравнений Навье - Стокса, идеальной жидкости, гравитационной конвекции, термокапиллярного движения, уравнений пограничного слоя Марангони. Среди них имеются такие, которые описывают различные вихревые структуры. В [54] получены нестационарные вращательно - симметричные смерчеобраз-ные решения в вязкой жидкости, которые для стационарных течений сводятся к известному случаю [20] с линейными зависимостями вертикальной компоненты скорости от осевой координаты, радиальной -от радиуса, а азимутальной компоненты зависящей только от радиуса по закону, такому же, как в составном вихре Рэнкина [41]. При этом положение максимума азимутальной компоненты скорости определяется вязкостью и радиальным потоком с некоторой внешней границы. Поэтому для согласования с наблюдениями необходимо вводить феноменологическую турбулентную вязкость. Также изменение структуры потока с высотой в модели не происходит.

В отличии от изложенных работ в [38, 202] изучается более идеализированная модель торнадоподобного вихря. Рассматривается прямая вихревая нить в вязкой несжимаемой жидкости, один конец которой упирается в плоскость под прямым углом, а другой уходит в бесконечность. Исследуемое движение жидкости принадлежит к классу автомодельных конических течений, различные виды которых изучались в [63, 95, 209, 219], причем в [63, 95, 209] - без вращения, в [219] - с вращением, где рассмотрено движение жидкости в конической области, индуцируемое дифференциальным вращением стенок конуса. В [95] рассмотрено взаимодействие источников или стоков, распределенных с постоянной плотностью на вертикальной полуоси, со свободной поверхностью. Довольно неожиданным является то, что решение существует лишь для не слишком больших величин стоков (чисел Рей-нольдса, рассчитанных по величинам плотности стоков и вязкости, меньших 2). В то же время решение есть при любой величине плотности источников. Также интересно, что с возрастанием интенсивности источников или уменьшением вязкости, несмотря на то, что они равномерно распределены вдоль всей полуоси, вблизи свободной поверхности образуется пограничный слой оттока, толщина которого убывает как Ré~l ln(i?e).

Идеализация, предложенная в [38, 202], позволяет выполнить строгое математическое исследование решений системы уравнений Навье -Стокса. В то же время в ней отражены важные особенности течений в подобных вихрях. Здесь можно рассматривать нить, как идеализацию ядра вихря. Таким образом, изучается влияние поверхности на структуру течения вне ядра. Интересными являются такие результаты. Если потребовать ограниченность скорости вдоль нити, то решение существует лишь при малых числах Рейнольдса. Если снять ограничение, то получаются различные качественные структуры течений. В связи с этим полезно провести аналитическое исследование в других случаях, представляющих интерес и для практических приложений. Например, при взаимодействии вихревой нити со свободной поверхностью.

В вышеперечисленных теоретических работах не изучался вопрос об изменении параметров течения в ядре вдоль оси, поэтому причины возникновения распада вихря не рассматривались.

Эволюция ядра вихря вдоль оси и причины его распада в расширяющихся трубах исследуются в [184, 198]. В [184] используется метод интегральных импульсов, аналогичный тому, что применяется при расчете пограничных слоев [119]. При этом профили скорости в ядре вихря задаются феноменологически. Показано, что на некотором расстоянии осевая скорость внутри ядра может обратиться в нуль. Считается, что в этом месте происходит распад вихря. То есть проводится аналогия с отрывом пограничного слоя. В [198] распад вихря ассоциируется с нелинейной волной. В слабонелинейном приближении определяются условия, когда эта волна будет неподвижна и находится ее местоположение. Однако получается, что положение распада сильно зависит от формы трубы, и для данной формы имеется всего одно значение параметра закрутки, при котором волна неподвижна. Эти результаты пока не имеют экспериментального подтверждения [99]. Другие типы волн на ядрах вихрей рассмотрены в [177, 178]. В [35] предложен эмпирический критерий, позволяющий судить о местоположении распада вихря над крылом самолета. В [13] для объяснения утолщения на начальном участке плазменной струи, втекающей в вихревую камеру, привлекается модель турбулентного переноса в поле массовых сил.

Помимо изложенных гипотез о распаде вихря, существуют иные точки зрения. В [179] причиной возникновения распада считается неустойчивость вихря по отношению к неосесимметричным возмущениям. Устойчивость течений типа торнадоподобных вихрей исследовалась в [21, 25, 27, 28, 29, 40, 55, 93, 140, 162, 176]. Однако, с точки зрения неустойчивости к неосесимметричным возмущениям трудно объяснить как распады, которые практически вращательно - симметричны, поскольку согласно исследованиям [144, 145, 153], течения получаемые в экспериментах устойчивы по отношению к вращательно - симметричным возмущениям, так и случаи, когда последовательно возникает несколько распадов [98, 160]. Для объяснения этого более предпочтительна модель скачкообразного перехода из одного сопряженного состояния в другое, что методически аналогично гидравлическому прыжку или ударной волне в газовой динамике. Такая модель в рамках идеальной жидкости построена в [129]. Считается, что линии тока при переходе через скачок сохраняют свою индивидуальность, вдоль них остаются неизменными расход, циркуляция скорости и постоянная Бернулли. Однако получается, что интегральный поток импульса не сохраняется, возрастает. Данный подход использован в [94], где неизменными при переходе считаются интегральные величины, такие, как расход, осевой поток импульса, момента импульса, а также циркуляции скорости вне ядра вихря. Однако при этом радиальные профили скорости как до, так и после скачка задаются феноменологически, с учетом экспериментальных сведений. Кроме того, неявно полагается, что давление на оси при переходе через скачок непрерывно. В [168, 169], чтобы в подходе [129] сохранить поток импульса после распада, вблизи оси вводится кавитационная зона. В качестве примеров численных работ приведем [132, 155, 182]. В [132, 182] на основе уравнений Навье - Стокса дан расчет течения жидкости в цилиндрическом сосуде, один из торцов которого вращается. При числах Рейнольдса от 1900 до 2760 на оси сосуда образуются циркуляционные зоны, похожие на те, которые возникают в близких к вращательно - симметричным прыжках вихря.

К проблеме распада вихря примыкают вопросы о гидравлических прыжках на полых вихрях и мелкой воде, ввиду их возможной аналогии. Экспериментально прыжки на полом вихре наблюдались в [53]. Теоретических моделей этого явления не имеется. При исследованиях мелкой воды ранее рассматривались потенциальные течения [112]. В последнее время достигнут заметный прогресс изучении сдвиговых потоков. В [130] выведены уравнения длинноволнового приближения для описания сдвигового плоского течения идеальной жидкости вдоль горизонтальной поверхности. В [46] данные уравнения записаны в смешанных эйлерово - лагранжевых переменных в виде системы интегро-дифференциальных уравнений, названной бесконечной гидродинамической системой. В [109, 211] доказана их гиперболичность. В [110] построена модель гидравлического прыжка на сдвиговом потоке. Прыжок моделируется разрывным решением уравнений вихревой мелкой воды.

В вышеизложенных моделях торнадоподобных вихрей течения считались вращательно - симметричными. В последнее время появились работы, в которых моделируются винтовые вихри. В [18] получено решение для вихревой нити бесконечной длины винтовой формы, расположенной осесимметрично в цилиндрическом сосуде. В [60] на основе этого решения дана оценка скорости прецессии винтового вихря с ядром конечного диаметра. В полученной формуле для угловой частоты прецессии содержится неявное предположение о малости диаметра ядра, поскольку не учитывается разница скоростей различных бесконечно тонких вихревых нитей, составляющих это ядро. Указанная разность будет приводить к размыванию ядра вихря.

Таким образом, в экспериментах установлено, что течение в ядрах торнадоподобных вихрей носит струйный характер. Если экспериментальные условия осесимметричны, то течение, по крайней мере до распада, можно считать вращательно - симметричным. Есть режимы, когда оно остается таковым и после распада. С точки зрения теории это дает основание для использования предположения о вращательной симметрии течений и рассмотрения струй, как закрученных, так и нет, во вращающихся потоках. Данные исследования могли бы как выявить закономерности поведения струй в таких потоках, так и продвинуть понимание причин возникновения и физической природы распада вихря.

Наряду с этим для выяснения структуры вторичных течений, возникающих вне ядра вихря при его взаимодействии с границами, представляется важным решение задач в более идеализированной постановке, в которых ядро вихря моделируется вихревой нитью. Подобные постановки ценны тем, что позволяют проводить исследования полных уравнений Навье - Стокса, что, помимо всего прочего, представляет самостоятельную ценность.

С экспериментальной точки зрения имеется недостаток данных о конвективных вертикальных торнадоподобных вихрях, получаемых в объеме, ограниченном верхней и нижней границами, и в масштабах, существенно отличающихся от имеющихся. Количественные результаты в такой постановке могли бы дать новую информацию как о гидродинамике вихря в целом, так и о роли границ в частности. В экспериментах по истечению струй во вращающийся поток остаются неясными особенности взаимодействия струи с потоком, важные для теоретического моделирования.

В настоящей работе получили развитие отмеченные выше вопросы, как теоретические, так и экспериментальные. К теоретическим моделям предъявлялись следующие требования. Модель должна быть либо основана на общепринятых предположениях, например, таких, как идеальная жидкость, длинноволновое приближение и допускать строгое математическое исследование либо допускать строгое исследование в рамках уравнений Навье - Стокса. К экспериментам требования обычные - контролируемость условий, возможность оценки погрешностей.

Целью диссертационной работы является исследование торнадопо-добных, полых вихрей и осевых струй во вращающихся потоках путем построения теоретических (аналитических) и экспериментальных моделей, отражающих различные существенные особенности изучаемых объектов, необходимые для понимания происходящих в них явлений.

Материал диссертации условно можно разделить на три части, которые объединены как общим объектом исследований, так и согласием некоторых теоретических и экспериментальных результатов.

В первой части, состоящей из 5 глав, изучаются стационарные течения в ядрах торнадоподобных вихрей, полых вихрях и осевых струях во вращающихся потоках. Основное внимание уделяется исследованию продолжаемости или непродолжаемости вдоль оси решений. Помимо этого, строятся модели скачкообразного перехода течения из одного состояния в другое (в качестве примера такого перехода в других условиях можно привести гидравлический прыжок на мелкой воде). Исследования ведутся в модели идеальной жидкости, вращательно -симметричного течения и длинноволнового приближения. Использование последнего оправдано тем, что характерные размеры торнадоподобных вихрей вдоль оси обычно много больше их радиальных масштабов. Автором предложен следующий метод исследования. Область течения вне пограничных слоев разбивается на две: ядро вихря или струя и внешнее течение, в каждой из которых задача рассматривается по отдельности, а затем решения сшиваются на границе. В модели идеальной жидкости такой подход правомерен. Его преимущество состоит в том, что с привлечением длинноволнового приближения впервые оказалось возможным провести исследования движения жидкости в ядрах торнадоподобных вихрей и струях во вращающейся жидкости на строгом математическом уровне. С точки зрения физики в этом случае пренебрегается обменом веществом между ядром и внешним течением, основное внимание уделяется инерционным аспектам проблемы взаимодействия осевого и азимутального движений при наличии или отсутствии массовой силы. Как отмечается в [20, 57], данная проблема очень важна для закрученных потоков. Однако, как показывают эксперименты, турбулентный обмен мал, по крайней мере до распада вихря. Отметим, что подобный подход широко применяется в гидродинамике при исследовании струйных течений. В качестве примеров приведем схему обтекания пластин по Кирхгофу [59], задачу об истечении затопленной струи жидкости [20] или газа [118], решение проблемы кумулятивных струй [62]. Таким образом, предлагаемый подход лежит в русле классических исследований по гидродинамике. Рассмотрено МГД течение идеальной несжимаемой плазмы в магнитном поле в идеально проводящем сопле с вакуумным зазором у стенок.

Во второй части, состоящей из одной главы, изложены результаты экспериментов по исследованию вертикальных конвективных вихрей в замкнутом сосуде и истечения осевой струи в вихревую камеру. Данные эксперименты, помимо собственного, имеют значение с точки зрения сравнения их с теоретическими моделями, представленными в главах 2, 4.

В третьей части, состоящей из одной главы в строгой постановке изучаются конические автомодельные решения уравнений Навье -Стокса, при взаимодействии полубесконечной прямой вихревой нити со свободной поверхностью и при воздействии вращательных тангенциальных напряжений определенного вида на плоскую свободную поверхность.

Диссертация состоит из введения, семи глав и заключения. Все рисунки, а также таблица 2 помещены в конце диссертации. Таблицы 1

Результаты исследования могут использоваться для качественного понимания структуры вторичных течений, возникающих вне ядра торнадоподобного вихря при его взаимодействии со свободной поверхностью, оценке влияния, которое оказывает свободная поверхность на течения в вихре.

Во второй задаче, представленной в разделе 7.2, рассмотрено воздействие вращательного тангенциального напряжения определенного вида на плоскую свободную поверхность вязкой жидкости. Исследована структура течения, возникающего в жидкости.

Установлено, что вблизи оси симметрии жидкость движется в сторону свободной поверхности, а вдоль свободной поверхности - от центра вращения.

Показано, что при увеличении тангенциальных напряжений на свободной поверхности вращение в жидкости ограничивается пограничным слоем вблизи поверхности, в то же время меридианальные течения продолжают оставаться во всей толще жидкости.

Доказана теорема существования.

Результаты могут использоваться для качественного понимания структуры течений, возникающих в жидкости, когда над ее поверхностью существует торнадоподобный вихрь.

Таким образом, в целом, исследовано то, какие вторичные течения могут возникать в вязкой жидкости при наличии вращения определенного вида и свободной поверхности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Построение моделей (как теоретических, так и экспериментальных), отражающих различные стороны изучаемых объектов, является одним из важнейших направлений в гидродинамике. При изучении торна-доподобных вихрей в атмосфере такой подход остается единственно возможным, что обусловлено как сложностью самих течений, так и трудностью натурных измерений. При теоретическом исследовании большое место занимает построение аналитических моделей, поскольку с их помощью можно наиболее легко анализировать влияние тех или иных факторов, получать качественные и количественные оценки, без чего невозможно целенаправленное создание экспериментальных установок или технических устройств.

Настоящая диссертация посвящена теоретическому (аналитическому) и экспериментальному моделированию некоторых важных особенностей течений в торнадоподобных, полых вихрях и осевых струях во вращающихся потоках. В теоретической части аналитически рассмотрен и решен ряд модельных задач, отражающих различные стороны гидродинамики данных течений. В экспериментах обнаружены новые эффекты, а также установлены количественные закономерности, связывающие их характерные параметры.

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Сформулирована модель движения жидкости в ядрах торнадоподобных вихрей, осевых струях во вращающихся потоках и полых вихрях; в приближениях идеальной жидкости и длинных волн, в смешанных эйлерово - лагранжевых переменных выведены уравнения, описывающие эти движения.

В рамках этой модели:

2. Аналитически решены задачи о стационарном вращательно -симметричном движении стратифицированной жидкости в ядрах вертикальных торнадоподобных вихрей и в вертикальных осевых струях во вращающейся однородной жидкости в поле тяжести. Определены структуры течений, доказано существование решений. Показано, что поведение решений качественно различно в зависимости от условий на некотором начальном уровне; в том числе оно может быть продолжаемо или непродолжаемо на бесконечную высоту. Определены строгие критерии, выражающие условия качественно различного поведения решений.

3. Построена аналитическая модель распада вертикальной струи путем продолжения некоторым специальным образом определенного непродолжаемого решения. Получены аналитические оценки на высоту вихря и струи. Данные оценки согласуются с результатами лабораторных экспериментов и наблюдений за интенсивными атмосферными вихрями.

4. Аналитически решены задачи о стационарном вращательно -симметричном течении однородной жидкости в полых вихрях и осевых струях во вращающихся потоках в трубах переменного радиуса. Установлены структуры течений, доказано существование решений.

Показано, что поведение решений качественно различно в зависимости от условий на входе: оно может существовать при любых радиусах трубы, либо при ограниченных сверху, снизу или с обеих сторон. Установлено, что для осевой струи возможно не более девяти типов возможных решений, для полого вихря — два. Проведена аналогия между течениями в полом вихре и идеального газа в трубах переменного радиуса. При этом аналогами двух типов движений в полом вихре являются до и сверхзвуковое течение газа. Выведены аналитические формулы, из которых находятся оценки величин радиусов трубы, вплоть до которых решение существует. Оценки, полученные для течения в осевой струе, качественно согласуются с результатами экспериментов по определению положения распада торнадоподобного вихря в расширяющихся трубах.

5. Построены модели вращательно - симметричных гидравлических прыжков на сдвиговом течении в полом вихре и осевой струе во вращающемся потоке. Прыжок моделируется разрывным решением уравнений длинноволнового приближения Сформулированы условия на разрыве, доказана их разрешимость (во втором случае — если струя достаточно тонкая). Получены аналитические формулы для определения параметров течения после прыжка по их значениям до него. Сравнение теоретических оценок с данными экспериментов по исследованию движения гидравлических прыжков на полом вихре показывает их качественное и количественное согласие. Оценки для гидравлического прыжка на струе находятся в качественном соответствии с экспериментами по истечению осевой струи в закрученный поток вихревой камеры.

6. В длинноволновом приближении в строгой постановке аналитически решена задача о стационарном осесимметричном течении несжимаемой МГД плазмы в магнитном поле в сопле с вакуумным зазором у стенок. Плазма и стенки идеально проводящие. Установлено существование качественно различных режимов движения в зависимости от условий на входе. Существенным отличием такого течения (струя со свободной границей в сопле) от потоков вплотную примыкающим к стенкам сопла является то, что его режим определяется не только отношением величин магнитного поля и осевой скорости, но и отношением начального радиуса струи к радиусу сопла.

Результаты 1-6 позволяют говорить о том, что предложенный подход позволяет эффективно проводить аналитические исследования с получением конкретных результатов, а заложенные в нем физические факторы, влияющие на гидродинамику потоков, проявляются и в реальных течениях.

7. Создана лабораторная установка для получения и исследования вертикальных конвективных торнадоподобных вихрей. Обнаружено, что взаимодействие ограниченного объема жидкости, вращающейся почти как твердое тело, с нагретой нижней поверхностью приводит к концентрации завихренности и образованию торнадоподобного вихря. Выполнены количественные измерения полей скорости и температуры при различных значениях циркуляции скорости вокруг ядра и глубины жидкости в сосуде.

8. Установлено, что при выходе закрученной струи из нижнего пограничного слоя происходит прыжок вихря. Показано, что вне пограничных слоев вертикальные изменения вращательной компоненты скорости и перепада между температурами в ядре вихря и вне его много меньше их средних значений.

9. Обнаружен эффект утолщения ядра при увеличении циркуляции скорости вокруг него или при уменьшении глубины жидкости. При этом значение вращательной компоненты скорости на границе ядра при фиксированном подогреве нижней поверхности в основном определяется глубиной жидкости и слабо зависит от величины циркуляции, число Фруда изменяется в небольшом диапазоне: Т = 2.9 ± 0.9, где 2,9 — среднее значение; 0,9 — дисперсия. Показано, что число Фруда, установленное в экспериментах, близко к теоретическому, а также и к тем величинам, которые можно вычислить из данных об интенсивных атмосферных вихрях.

10. Экспериментально исследованы особенности истечения неза-крученной струи вдоль оси во вращающийся поток вихревой камеры. Установлено, что на некотором расстоянии от места истечения струя переходит в ядро вихря путем скачкообразного увеличения своего диаметра, внешне похожим на гидравлический прыжок или распад вихря; с возрастанием скорости жидкости в струе расстояние до точки ее распада увеличивается, а диаметр ядра возрастает.

11. В точной автомодельной постановке на основе стационарных вращательно - симметричных уравнений Навье - Стокса решены две задачи: о взаимодействии полу бесконечной линейной вихревой нити, погруженной в вязкую жидкость, со свободной поверхностью и о воздействии вращательных тангенциальных напряжений определенного вида на плоскую свободную поверхность, ограничивающую полупространство, заполненное вязкой жидкостью. Установлены качественные структуры течений. Доказаны теоремы существования. Показано, что вблизи оси симметрии течение всегда направлено в сторону свободной поверхности, а вблизи поверхности — от оси. Доказано, что для вращательной компоненты скорости вблизи свободной поверхности при увеличении интенсивности вращения или уменьшения вязкости образуется пограничный слой. Толщина слоя убывает не медленнее, чем обратная пропорция от числа Рейнольдса в первом случае и (Ле)-1/2 во втором.

Достоверность результатов обеспечивается следующим:

В теории — использованием общепринятых гидродинамических моделей либо таких, как идеальная жидкость и длинноволновое приближение, либо системы Навье - Стокса; математической строгостью исследования полученных уравнений; согласием некоторых теоретических и экспериментальных результатов.

В эксперименте — наглядностью результатов, представленных на фотографиях; применением известных методик; оценкой погрешностей.

1. Алексеенко C.B., Шторк С.И. Экспериментальные наблюдения взаимодействия вихревых нитей // Письма в ЖЭТФ. 1994. Т.53, №6. С.906 - 911.

2. Алексеенко C.B., Куйбин П.А., Окулов В.Л., Шторк С.И. Стационарный винтовой вихрь с переменной винтовой симметрией // Докл. РАН. 1995. Т.345, №5. С.611 614.

3. Алексеенко C.B., Окулов В.Л. Закрученные потоки в технических приложениях // Теплофизика и аэромеханика. 1996. Т.З, №2. С.101 -138.

4. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов A.A. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск. Наука. 1994. 319с.

5. Анисимова Е.П., Белов Ю.Н., Сперанская A.A., Шандин B.C. Модель атмосферного вихря // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1981. Т.17, №7. С.768 772.

6. Анисимова Е.П., Кунаев A.C., Сперанская A.A., Шандин B.C. Структура поля скорости в модели атмосферного вихря // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1982. Т.18, №7. С.761 763.

7. Анисимова Е.П., Сперанская A.A., Шандин B.C. О боковом турбулентном трении и перепаде давления в модели атмосферного вихря // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1983. Т.19, №8. С.878 -881.

8. Ахметов Д.Г., Киссаров О.П. Гидродинамическая структура кольцевого вихря // ПМТФ. 1966. №4. С. 120 123.

9. Ахметов Д.Г., Никулин В.В. Особенности взаимодействия незакру-ченной осевой струи с потоком в вихревой камере // Теплофизика и аэромеханика. 1999. Т.6, №4. С.579 581.

10. Багрянцев В.И., Волчков Э.П., Терехов В.И. и др. Исследование течения в вихревой камере лазерным допплеровским измерителем скорости. Новосибирск. 1980. 22с. Препринт 55 80. Сиб. отд. АН СССР.Ин-т теплофизики.

11. Багрянцев В.И., Терехов В.И. Исследование параметров вихревого прямоточного пылеотделителя // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1985. Вып.1. С.87 93.

12. Балабеков О.С., Балтабаев Л.Ш. Очистка газов в химической промышленности (процессы и аппараты). М.: Химия. 1991. 251с.

13. Балдинов Г.В., Волчков Э.П., Дворников H.A. и др. Газовихревая стабилизация струи в приосевой области плазменного реактора // Инженерно физический журнал. 1993. Т.63, №2. С.131 - 140.

14. Бобр В.А., Калилец В.И., Солодухин А.Д. Влияние некоторых режимных и геометрических параметров на структуру течения в воздушном вихре // Инженерно физический журнал. 1983. Т.45, №3.1. С.398 403.

15. Бобровников Г.Н., Поляков A.A., Ильина Н.И. Исследование работы вихревых труб на влажном воздухе // Холодильная техника. 1976. №11. С.20 23.

16. Бодроносов A.B., Соловьев A.A. Влияние температуры поверхности на развитие конвективного вихря // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1982. Т.18, №3. С.302 304.

17. Борисов A.A., Куйбин П.А., Окулов B.J1. Описание конвективного теплопереноса в вихревой трубе // Докл. РАН. 1993. Т.331, №1. С.28 31.

18. Бубнов В.А., Соловьев A.A., Усток Х.З. Два типа вихревых трубок // ПМТФ. 1983. №5. С.67 70.

19. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир. 1973. 588с.

20. Владимиров В.А. Устойчивость течения типа смерча // Динамика сплошной среды. Сб. науч.тр. / АН СССР. Сиб. отд. Ин-т гидродинамики. 1978. Вып.37. Нестационарные проблемы механики. С.50 -62.

21. Владимиров В.А., Тарасов В.Ф. Формирование вихревых колец // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1980. №3. Вып.1. С.З 11.

22. Владимиров В.А. Формирование вихревых шнуров из восходящих потоков над испаряющейся жидкостью. Докл. АН СССР. 1977. Т.236, №2. С.316 318.

23. Владимиров В.А., Тарасов В.Ф. Структура турбулентности вблизиядра кольцевого вихря // Докл. АН СССР. 1979. Т.245, №6. С.1325 -1328.

24. Владимиров В.А. К устойчивости течения идеальной несжимаемой жидкости с постоянной завихренностью в эллиптическом цилиндре // ПМТФ. 1983. №4. С.118 124.

25. Владимиров В.А., Тарасов В.Ф. Образование системы вихревых шнуров во вращающейся жидкости // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1980. №1. С.44 51.

26. Владимиров В.А., Тарасов В.Ф., Рыбак Л.Я. Экспериментальное и теоретическое исследование устойчивости линейного вихря с деформированным ядром // ПМТФ. 1983. №3. С.61 69.

27. Владимиров В.А. Условия нелинейной устойчивости течений идеальной несжимаемой жидкости // ПМТФ. 1986. №3. С.70 78.

28. Владимиров В.А., Макаренко В.Г., Тарасов В.Ф. Экспериментальное исследование неосесимметричных инерционных волн во вращающейся жидкости // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1987. №1. С. 176 180.

29. Волчков Э.П., Сериков Л.В., Терехов В.И. О радиальной компоненте скорости в вихревой камере // Изв. Сиб. отд. АН СССР. Сер. техн. наук. 1985. №10. Вып.2. С.17 21.

30. Волчков Э.П., Сериков Л.В., Терехов В.И. Аэродинамика вихревой камеры при регулировании расхода газа на выходе // Изв. Сиб. отд. АН СССР. Сер. техн. наук. 1986. №16. Вып.З. С.43 51.

31. Волчков Э.П., Терехов В.И., Ткач Ю.Н. Экспериментальное исследование смешения ириосевой струи с периферийным потоком в вихревой камере. Новосибирск. 1985. 42с. Препринт 124 85. Сиб. отд. АН СССР. Ин-т теплофизики.

32. Волчков Э.П., Семенов C.B., Терехов В.И. Аэродинамика торцевого пограничного слоя // ПМТФ. 1986. №5. С.117 126.

33. Волшаник В.В., Зуйков A.JI., Мордасов А.П. Закрученные потоки в гидротехнических сооружениях. М.: Энергоатомиздат. 1990. 280с.

34. Гайфуллин A.M. Расчет характеристик течения в ядре вихревой пелены // Ученые записки ЦАГИ. 1989. Т.20, №1. С.40 46.

35. Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов A.M., Пономарев В.М. Экспериментальное и теоретическое исследование устойчивости движения жидкости внутри эллиптического цилиндра // Изв. АН СССР. ФАО. 1975. Т.11, №10. С.981 992.

36. Голицын Г.С. Структура конвекции при быстром вращении // Докл. АН СССР. 1981. Т.261, №2. С.317 320.

37. Гольдштик М.А. Одно парадоксальное решение уравнений Навье Стокса // ПММ. 1960. Т.24, вып.4. С.610 - 621.

38. Гольдштик М.А. Вихревые потоки. Новосибирск. Наука. 1981. 366с.

39. Григорьев В.Г. О вращении вязкой жидкости при истечении через донное отверстие // Прикладные задачи гидрогазодинамики. М. 1986. С.106 108.

40. Гупта А., Лилли Д., Сайерд Н. Закрученные потоки. М.: Мир. 1987. 588с.

41. Гутман JI.H. Теоретическая модель смерча // Изв. АН СССР. Сер. геофизическая. 1957. №1. С.79 93.

42. Гутман Л.Н. Введение в нелинейную теорию мезометеорологиче-ских процессов. Л.: Гидрометеоиздат. 1976. 295с.

43. Добринский Э.К., Урюков Б.А., Фридберг А.Э. Исследование стабилизации плазменной струи газовым вихрем // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1979. №8. Вып.2. С.42 49.

44. Жуков М.Ф., Аныпаков A.C., Засыпкин И.М. и др. Электродуговые генераторы с межэлектродными вставками. Новосибирск. Наука. 1981. 322с.

45. Захаров В.Е. Уравнения Бенни и квазиклассическое приближение в методе обратной задачи // Функц. анализ и его приложения. 1980. Т.14. Вып.2. С.15 24.

46. Захаров В.Е. О динамике урагана на начальном этапе его эволюции // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1974. Т. 10, №9. С.985 990.

47. Захаров В.Е., Семенов В.А. О динамическом пограничном слое развитого урагана // Метеорол. и гидрология. 1980. №9. С.54 61.

48. Зуева Н.М., Палейчик В.В., Соловьев Л.С. Математические модели образования смерчей вследствие развития газодинамических не-устойчивостей. В сб.: Изучение гидродинамической неустойчивости численными методами. М. 1980. С.65 105.

49. Иванов В.Н. Некоторые результаты экспедиции "Тайфун-75" в экваториальную зону Тихого океана // Метеорол. и гидрология. 1978.1. С.13 23.

50. Иванов В.H., Хаин А.П. О параметрах, определяющих частоту зарождения тропических циклонов // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1983. Т.19, №8. С.787 795.

51. Карев В.Н. К вопросу истечения жидкости из отверстий с образованием воронок // Сб. / Моск. инж-строит. ин-т. 1983. №189. С.85 -89.

52. Кедринский В.К., Пиголкин Г.М. Об устойчивости схлопывающей-ся газовой полости во вращающейся жидкости // ПМТФ. 1964. №3. С.113 117.

53. Кикнадзе Г.И., Краснов Ю.К. Эволюция смерчеобразных течений вязкой жидкости // Докл. АН СССР. 1986. Т.290, №4. С.1315 1319.

54. Козлов В.Ф., Макаров В.Г. Моделирование неустойчивости осесим-метричных вихревых шнуров с помощью метода контурной динамики // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1985. №1. С.33 39.

55. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1976. 542с.

56. Корнеев Н.М., Кириллов Б.В. Повышение эффективности неохла-ждаемой вихревой трубы//Вестник машиностроения. 1980. №3. С.31 33.

57. Косенков В.Н. Вихревая труба и ее применение в технике разделения газовых смесей (обзорная информация). М.: ЦИНТИХИМНЕФ-ТЕМАШ. 1983. С.1 35.

58. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика,

59. T.l. M.: Физматгиз. 1963. 583с.

60. Куйбин П.А., Окулов В.Л. Определение частоты прецесии винтового вихря // Письма в ЖТФ. 1994. Т.20. Вып.7. С.32 35.

61. Кутателадзе С.С., Волчков Э.П., Терехов В.И. Аэродинамика и тепломассообмен в ограниченных вихревых потоках. Новосибирск: Издание ин-та теплофизики СО АН СССР. 1987. 282с.

62. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука. 1977. 407с.

63. Ландау Л.Д. Об одном новом точном решении уравнений Навье -Стокса // Докл. АН СССР. 1944. Т.43. С.299 301.

64. Лоуген С.Е. Приближенное исследование пыльного вихря // РТК. 1971. Т.9, №4. С.147 154. (Logan S.E. An approach to the dust devil vortex // AIAA J. 1971. №4. P.660 - 665).

65. Луговцов Б.А. О движении турбулентного вихревого кольца и перенос им пассивной примеси. В сб. Некоторые проблемы математики и механики. Л.: Наука. 1970.

66. Лянэ Р.П., Иванов Ю.В. Развитие и перемешивание соосной струи в осесимметричном закрученном потоке // Изв. АН ЭССР. Физика, математика. 1971. Т.20, №1. С.58 65.

67. Мальбахов В.М. Исследование структуры торнадо // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1972. Т.8, №1. С.17 28.

68. Мартынов A.B., Бродянский В.М. Что такое вихревая труба? М.: Энергия. 1976. 152с.

69. Мартынов Ю.В. О поле скоростей в цилиндрическом гидроциклоне

70. Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1980. №6. С.12 20.

71. Марченко А.С. Об определении максимальных скоростей ветра в торнадо и тропических циклонах // Метеорол. и гидрология. 1961, №5. С.11 16.

72. Меркулов А.П. Вихревой эффект и его применение в технике. М.: Машиностроение. 1969. 183с.

73. Морозов А.И., Соловьев Л.С. Стационарные течения плазмы в магнитном поле. М.: Атомиздат. 1974. Вып.8. С.З 87.

74. Найденов Г.Ф. Газогорелочные усторойства с регулируемыми характеристиками факела, Киев: Техника. 1974. 107с.

75. Наливкин Д.В. Ураганы, бури, смерчи. Л.: Наука. 1969. 485с.

76. Николаев Н.А., Жаворонков Н.М. Ректификационные колонны с вихревыми прямоточными ступенями // Теорет. основы хим. технологии. 1970. Т.4, №2. С.261 264.

77. Никулин В.В. Взаимодействие линейного вихря со свободной поверхностью // Динамика сплошной среды: Сб. научн. трудов / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1979. Вып.42. Динамика неоднородной жидкости. С.31 42.

78. Никулин В.В. Исследование взаимодействия торнадоподобного вихря с твердыми границами // ПМТФ. 1980. №1. С.68 75.

79. Никулин В.В. Моделирование торнадоподобных вихрей // Динамика сплошной среды: Сб. научн. трудов / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1980. Вып.47. Математические проблемы механики сплошных сред. С. 135 144.

80. Никулин В.В. Экспериментальные измерения темпаратуры в тор-надоподобном вихре // Динамика сплошной среды: Сб. научн. трудов / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1983. Вып.60. Динамика жидкости со свободными границами. С.98 105.

81. Никулин В.В. Влияние торцевого трения на структуру торнадопо-добного вихря // Динамика сплошной среды: Сб. научн. трудов / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1984. Вып.65. Нестационарные проблемы механики сплошных сред. С.92 109.

82. Никулин В.В. Структура торнадоподобных вихрей. В сб.: Современные вопросы информатики, вычислительной техники и автоматизации. Всесоюзная конференция. Тезисы докладов и сообщений. Москва. 1985. С.85.

83. Никулин В.В. Коническое вихревое течение, индуцируемое тангенциальными напряжениями на плоской свободной поверхности // ПММ. 1988.Т.52. Вып.4. С.594 600.

84. Никулин В.В. Аналог уравнений вихревой мелкой воды для полых и торнадоподобных вихрей. Высота стационарного торнадоподобного вихря // ПМТФ. 1992. №2. С.47 52.

85. Никулин В.В. Распад торнадоподобного вихря // ПМТФ. 1992. №4. С.42 47.

86. Никулин В.В. Полый вихрь с осевой скоростью в трубе переменного радиуса // ПММ. 1994. Т.58. Вып.2. С.49 53.

87. Никулин В.В. Движение завихренной жидкости в ядре вертикального торнадоподобного вихря // ПМТФ. 1995. Т.36, №2. С.81 87.

88. Никулин В.В. Форсунка для впрыскивания топлива в двигатель внутреннего сгорания. Патент Рос. Фед. №2052654. 1996.

89. Никулин В.В. Стационарное течение плазмы в магнитном поле в сопле с вакуумным зазором у стенок // ПМТФ. 1997. Т.38, №5. С.23 -28.

90. Никулин В.В. О распаде торнадоподобного вихря в трубе переменного радиуса. Труды 5 международного семинара "Устойчивость гомогенных и гетерогенных жидкостей" Часть I. Новосибирск. 1998. С.217 223.

91. Никулин В.В. Осевая струя в потенциально вращающейся жидкости в трубе переменного радиуса // ПМТФ. 1999. Т.40, №3. С.81 -89.

92. Никулин В.В. О распаде торнадоподобного вихря в трубе переменного радиуса. 13 международная школа-семинар "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность". Тезисы докладов. Москва. 1998. С.119 120.

93. Никулин В.В. Модель гидравлического прыжка на осевой струе во вращающемся потоке идеальной жидкости // Теплофизика и аэромеханика. 2000. Т.7, №2. С.233 241.

94. Никулин В.В. Об устойчивости закрученных потоков идеальной жидкости // ПМТФ. 1981. №3. С.50 54.

95. Окулов В.Л. Переход от правой винтовой симметрии к левой при распсде вихря // Письма в ЖТФ. 1996. Т.22, №19. С.47 53.

96. Пухначев В.В. Взаимодействие распределенного источника с плоской свободной поверхностью вязкой жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 1996. №2. С.53 65.

97. Резняков А.Б. Теплотехнические основы циклонных топочных и технологических процессов. Алма-Ата: Наука. 1974. 374с.

98. Сажин Б.С. Современные методы сушки. М.: Знание. 1973. 63с.

99. Сарпкайя Т. Разрушение вихря в закрученных конических потоках // РТК. 1971. Т.9, №9. С.157 165. (Sarpkaya Т. Vortex breakdown in swirling conical flow // AIAA J. 1971. V.9, №9. P.1792 - 1799).

100. Сарпкайя Т. Влияние положительного градиента давления на распад вихря // РТК. 1974. Т.12, №5. С.34 41. (Sarpkaya Т. Effect of the adverse pressure gradient on vortex breakdown // AIAA J. 1974. V.12, №5. P.602 - 607).

101. Седов JI.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука. 1977. 438с.

102. Смульский A.A. Аэродинамика и процессы в вихревых камерах. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение. 1992. 300с.

103. Соловьев A.A., Бобошина С.Б. Лабораторное моделирование теплого ядра в конвективном вихре // Тропическая метеорология: Тр. 3 междунар. симпоз. Ялта. 1985. Л. 1987. С.137 142.

104. Спотарь С.Ю., Терехов В.И. Два спонтанно меняющихся режима течения вихря над плоскостью // ПМТФ. 1987. №2. С.68 70.

105. Суслов А.Д., Иванов B.C., Мурашкин A.B., Чижиков Ю.В. Вихревые аппараты. М.: Машиностроение. 1985. 249с.

106. Сутырин Г.Г., Хаин А.П., Агренич Е.А. Взаимодействие пограничных слоев океана и атмосферы в тропическом циклоне // Метеорол. и гидрология. 1979. №2. С.45 56.

107. Тараканов Г.Г. Тропическая метеорология. Д.: Гидрометеоиздат. 1980. 175с.

108. Тарасов В.Ф., Якушев В.И. Экспериментальные исследования переноса примеси турбулентным вихревым кольцом // ПМТФ. 1974. №1. С.130 136.

109. Терновский И.Г., Кутепов A.M. Гидроциклонирование. М.: Наука. 1994. 350с.

110. Тешуков В.М. О гиперболичности уравнений длинных волн // Докл. АН СССР. 1985. Т.284, №3. С.555 559.

111. Тешуков В.М. Гидравлический прыжок на сдвиговом течении идеальной несжимаемой жидкости // ПМТФ. 1995. Т.36, №1. С.11 -20.

112. Тунеголовец В.П. Трансформация поля температуры океана после прохождения тропического циклона (на примере Тайфуна Тэсс (1975)) // Метеорол. и гидрология. 1976. №12. С.60 66.

113. Уизем Г. Линейные и нелинейные волныГ М.: Мир. 1977. 622с.

114. Финько В.Е. Особенности охлаждения и сжижения газа в вихревом потоке // ЖТФ. 1983. Т.53, №9. С.1770 1776.

115. Хаин А.П. Двенадцатиуровневая осесимметричная численная модель тропического циклона // Метеорол. и гидрология. 1979. №10. С.23 27.

116. Хаин А.П. Математическое моделирование тропических циклонов. Jl.: Гидрометеоиздат. 1984. 247с.

117. Халатов А.А. Теория и практика закрученных потоков. Киев: Наук, думка. 1989. 180с.

118. Хргиан А.Х. Физика атмосферы. Т.2. Л.: Гидрометеоиздат. 1978. 319с.

119. Чаплыгин С.А. О газовых струях. М.: Из-во технико теоретической литературы. 1949. 142с.

120. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. 1974. 742с.

121. Штым А.Н. Аэродинамика циклонно вихревых камер. Владивосток: Издание дальневосточного ун-та. 1985. 199с.

122. Шулейкин В.В. Расчет развития, движения и затухания тропических ураганов и главных волн, создаваемых ураганами. Л.: Гидрометеоиздат. 1978. 97с.

123. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир. 1969. 1071с.

124. Agee Е.М., Snow J.Т., Clare P.R. Multiple vortex features in the tornado cyclone and the occurence of tornado families // Mon. Weather Rev. 1976. V.104, №5. P.552 563.

125. Agee E.M., Snow J.T., Nickerson F.S., Clare P.R., Church C.R., Shaal L.A. An observational study of the west lafayette, Indiana, tornado of 20 March 1976 // Mon. Weather Rev. 1977. V.105, №7. P.893 907.

126. Alekseenko S.V., Shtork S.I. Swirling flow large scale structure in a combustor model // Russian J. of Eng. Thermophysics. 1998. V.4, №2. P.231 - 266.

127. Baker G.L., Church C.R. Measurements of core radii and peak velocities in modeled atmospheric vortices //J. Atmos. Sci. 1979. V.36, №12. P.2413 2424.

128. Barcilon A.A. A theoretical and experimental model for dust devil // J. Atmos. Sci. 1967. V.24, №5. P.453 466.

129. Benjamin T.B. Theory of the vortex breakdown phenomenon //J. Fluid Mech. 1962. V.14, part 4. P.593 629.

130. Benney D.J. Some properties of long nonlinear waves // Stud. Appl. Math. 1973. V.52, №1. P.45 50.

131. Boubnov B.M., Golitsyn G.S. Experimental study of convective structures in rotating fluids //J. Fluid Mech. 1986. V.167. P.503 -531.

132. Brown G.L., Lopez J.M. Axisymmetric vortex breakdown. Part 2. Physical mechanisms //J. Fluid Mech. 1990. V.221. P.533 552.

133. Carrier G.F., Hammond A.L., Georgy O.D. A model of mature hurricane // J. Fluid Mech. 1971. V.47, part 1. P.145 170.

134. Charney J.G., Eliassen A. On the growth of the hurricane depression // J. Atmos. Sci. 1964. V.21, №1. P.68 75.

135. Church C.R., Snow J.T., Baker G.L., Agee E.M. Characteristics oftornado-like vortices as a function of swirl ratio: a laboratory investigation // J. Atmos. Sci. 1979. V.36, №9. P.1755 1776.

136. Davis-jones R.P. The dependence of core radius on swirl ratio on a tornado simulator // J. Atmos. Sci. 1973. V.30, №7. P.1427 1430.

137. Deissler R.G. Modeles for some aspects of atmospheric vortices //J. Atmos. Sci. 1977. V.34, №10. P.1502 1517.

138. Dessens J.J. Influence of ground roughness on tornadoes: a laboratory simulation // J. Atmos. Sci. 1972. V.29, №1. P.72 75.

139. Donaldson R.J. Observations of the Union City tornadic storm by plan shear indicator // Mon. Weather Rev. 1978. V.106, №1. P.39 47.

140. Eckhoff K.S. A note on the instability of columnar vortices //J. Fluid Mech. 1984. V.145. P.417 421.

141. Elle B.J. On the breakdown at high incidences of the leading-edge vortices on delta wings //J. Roy. Aero. Soc. 1960. V.64. P.491 493.

142. Escudier M.P., Bornstein J., Zehnder N. Observations and LDA measurements of confined turbulent vortex flow //J. Fluid Mech. 1980. V.98, part 1. P.49 63.

143. Escudier M.P., Zehnder N. Vortex-flow regims //J. Fluid Mech. 1982. V.115. P.105 121.

144. Escudier M.P., Bornstein J., Maxworthy T. The dynamics of confined vortices // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1982. V.382, №1783 . P.335 360.

145. Escudier M.P. Vortex breakdown: observation and explanation // Prog. Aerospace Sci. 1988. V.25. P.189 229.

146. Faler J.H., Leibovich S. Disrupted states of vortex flow and vortex breakdown // Phys. Fluids. 1977. V.20, №9. P.1385 1400.

147. Faler J.H., Leibovich S. An experimental map of the internal structure of a vortex breakdown //J. Fluid Mech. 1978. V.80, part 2. P.313 335.

148. Fendell F.E. Tropical cyclones // Adv. Geoph. 1974. V.17. P.l -100.

149. Fitzjarrald D.E. A laboratory simulation of convective vortices //J. Atmos. Sci. 1973. V.30, №7. P.894 902.

150. Frank W.M. The structure and energetics of the tropical cyclone I. Storm structure // Mon. Weather Rev. 1977. V.105, №9. P.1119 1135.

151. Frank W.M. The structure and energetics of the tropical cyclone II. Dynamics and energetics//Mon. Weather Rev. 1977. V.105, №9. P.1136- 1150.

152. Fujita T. Formation and steering mechanisms of tornado cyclones and associated hook echoes // Mon. Weather Rev. 1965. V.93, №2. P.67- 78.

153. Garg A.K., Leibovich S. Spectral characteristics of vortex breakdown flowfield // Phys. Fluids. 1979. V.22, №11. P.2053 2064.

154. Golden J.H., Purcell D. Life cycle of the Union City Oklahoma tornado and comparison with waterspouts // Mon. Weather Rev. 1978. V.106, №1. P.3 11.

155. Grabowski W.J., Berger S.A. Solutions of the Navier Stokes equations for vortex breakdown //J. Fluid Mech. 1976. V.75, part 3. P.525 - 544.

156. Gray W.M., Shea D.J. The hurrican's inner core region. Thermalstability and dynamics characteristics //J. Atmos. Sci. 1973. V.30, №8. P.1565 1576.

157. Hall M.G. The structure of concentrated vortex cores. In: Progress in Aeronautical Sciences / Ed. by D. Kuchemame. N.Y. Pergamon. 1966. V.7. P.53 110.

158. Hall M.G. Vortex breakdown // Ann. Rev. Fluid Mech. 1972. V.4. P.195 218.

159. Harlow F.H., Stein L.R. Structural analisis of tornado-like vortices // J. Atmos. Sci. 1974. V.31, №8. P.2081 2098.

160. Harvey J.K. Some observations of the vortex breakdown phenomenon // J. Fluid Mech. 1962. V.14, part 4. P.585 592.

161. Hoecker W.H. Wind speed and air flow patterns in the Dallas tornado of 2 April, 1957 // Mon. Weather Rev. 1960. V.88, №5. P.167 180.

162. Howard L.N., Gupta A.S. On the hydrodynamics and hydromagnetic stability of swerling flows //J. Fluid Mech. 1962. V.14, part 3. P.463 -476.

163. Hsu C.T., Fattahi. Mechanism of tornado funnel formation // Phys. Fluids. 1976. V.19, №12. P.1853 1857.

164. IdsoS.B. Tornado-like dust devil//Weather. 1975. V.30, №4. P.115 117.

165. Ives R.L. Behavior of dust devil // Bull. Amer. Meteorol. Soc. 1947. V.28, №4. P.168 174.

166. Jischke M.C., Parang M. Properties of simulated tornado-like vortices // J. Atmos. Sci. 1974. V.31, №2. P.506 512.

167. Kedrinskii V.K., Nikulin V.V. Convergence of a cylindrical liquid shell and the formation of a bore in a rotating fluid //J. Fluid Mech. 1999. V.400. P.355 374.

168. Keller J.J., Egli W., Exley J. Force and loss-free transitions between flow states // J. Appl. Math, and Phys. (ZAMP). 1985. V.36, №6. P.854 889.

169. Keller J.J., Egli W., Althaus R. Vortex breakdown as a fundamental element of vortex dynamics //J. Appl. Math, and Phys. (ZAMP). 1988. V.39, №3. P.404 440.

170. Kotas T.J. An experimental study of the three dimensional boundary layer on the end wall of a vortex chamber // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1976. V.352, №1669. P.169 187.

171. Kranenburg C. Sink flow in a rotating basin //J. Fluid Mech. 1979. V.94, part 1. P.65 81.

172. Kuo H.L. On the dynamics of convective atmospheric vortices //J. Atmos. Sci. 1966. V.23, №1. P.25 42.

173. Kuo H.L. On the dynamics of convective atmospheric vortices //J. Atmos. Sci. 1967. V.24, №1. P.95 97.

174. Kurihara Y., Tuleya R.E. A numerical simulation study on the genesis of a tropical storm // Mon. Weather Rev. 1981. V.109, №8. P. 1629 -1653.

175. Leibovich S. The structure of vortex breakdown // Ann. Rev. Fluid Mech. 1978. V.10. P.221 246.

176. Leibovich S., Stewartson K. A sufficient condition for the instabilityof columnar vortices //J. Fluid Mech. 1983. V.126. P.335 356.

177. Leibovich S., Ma H.Y. Soliton propagation on vortex cores and the Hasimoto solution // Phys. Fluids. 1983. V.26, №11. P.3173 3179.

178. Leibovich S., Brown S.N., Patel Y. Bending waves on inviscid columnar vortices //J. Fluid Mech. 1986. V.173. P.595 624.

179. Lessen M., Singh P.T., Paillet F. The stability of a trailing vortex. Part 1. Inviscid theory // J. Fluid Mech. 1974. V.63, part 4. P.753 763.

180. Lewellen W.S. A solution for three-dimensional vortex flows with strong circulation // J. Fluid Mech. 1962. V.14, part 3. P.420 432.

181. Long R.R. A vortex in an infinite viscous fluid // J. Fluid Mech. 1961. V.ll, part 4. P.611 624.

182. Lopez J.M. Axisymmetric vortex breakdown. Part 1. Confined swirling flow // J. Fluid Mech. 1990. V.221. P.533 552.

183. Lundgren T.S. The vortical flow above the drain-hole in a rotating vessel // J. Fluid Mech. 1985. V.155. P.381 412.

184. Mager A. Dissipation and breakdown of a win-tip vortex //J. Fluid Mech. 1972. V.55, part 4. P.609 628.

185. Malkus J.S., Riehl H. On the dynamics and energy transformations in steady-state hurricanes // Tellus. 1960. V.12, №1. P.l 20.

186. Maxworthy T. A vorticity source for large-scale dust devils and other comments on naturally occurring columnar vortices //J. Atmos. Sci. 1973. V.30, №8. P.1717 1722.

187. Maxworthy T. On the structure of concentrated columnar vortices // Astronautica Acta. 1972. V.17, №4-5. P.363 374.

188. Maxworthy T. The laboratory modeling of atmospheric vortices: a critical review. Proc. UITAM/IUGG Symp. on Intens. Atmos. Vortices. Reading. England. July 1981.

189. Maxworthy T., Hopfinger E.J., Redekopp L.G. Wave motions on vortex cores // J. Fluid Mech. 1985. V.151. P.141 165.

190. Maxworthy T. Wave motion on concentrated columnar vortices // Physica, 1986. V.D18, №1-3. P.149 150.

191. Mullen J.B., Maxworthy T. A laboratory model of dust devil vortices // Dyn. Atmos. and Oceans. 1977. №1. P.181 214.

192. Murakami M., Kikuyama K. Turbulent flow in axially rotating pipes // Trans. ASME. J. fluids engng. 1980. V.102, №1. P.97 103.

193. Nikulin V.V. Space evolution of tornado-like vortex core // Int. Series of Numerical Mathematics. 1992. V.106. P.229 237. Birkhauser Verlag Basel.

194. Ogura Y. Frictionally controlled, thermally driven circulations in a circular vortex with application to tropical cyclones //J. Atmos. Sci. 1964. V.12, №6. P.610 621.

195. Palmen E., Riehl H. Budget of angular momentum and energy in tropical cyclones // J. Meteorol. 1957. V.14, №2. P.150 159.

196. Phillips W.R.C. The effusing core at the center of a vortex boundary layer // Phys. Fluids. 1984. V.27, №9. P.2215 2220.

197. Randall J.D., Leibovich S. The critical state: a trapped wave model of vortex breakdown // J. Fluid Mech. 1973. V.58, part 3. P.495 515.

198. Rott N., Lewellen W.S. Boundary layer and their interactions in rotating flows. In: Progress in Aeronautical SCiences / Ed. by Kuchemame. N.Y. Pergamon. 1966. V.7. P.lll 114.

199. Rotunno R. Numerical simulation of a laboratory vortex //J. Atmos. Sci. 1977. V.34, №12. P.1942 1956.

200. Sarpkaya T. On stationary and travelling vortex breakdown //J. Fluid Mech. 1971. V.45, part 3. P.545 559.

201. Serrin J. The swirling vortex // Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser.A. 1972. V.271, №1214. P.325 360.

202. Shea D.J., Gray W.M. The hurrican's inner core region. Symmetric and asymmetric structure //J. Atmos. Sci. 1973. V.30, №8. P.1544 -1564.

203. Shin H.W., Cheng W.K., Greitzer E.M., Tan C.S. Inlet vortex formation due to ambient vorticity intensification // AIAA Journ. 1986. V.24, №4. P.687 689.

204. Sinclair Р.С. The lower structure of dust devils //J. Atmos. Sci. 1973. V.30, №8. P.1599 1619.

205. Smith R.K., Leslie L.M. Tornadogenesis // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1978. V.104, №439. P.189 198.

206. Snow J.Т., Church C.R., Barnhart B.J. An investigation of the surface pressure fields beneath simulated tornado cyclone //J. Atmos. Sci. 1980. V.37, №°5. P.1013 1026.

207. Squire H.B. The round laminar jet // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1951. V.4, №3. P.321 329.

208. Sundqwist H. Numerical simulation of the development of tropical cyclones with a ten-level model. Part I // Tellus. 1970. V.22, №4. P.359 390.

209. Teshukov V.M. Long wave approximation for vortex free boundary flows // Int. Series of Numerical Mathematics. 1991. V.99. P.413 421. Birkhauser Verlag Basel.

210. Turner J.S., Lilly D.K. The carbonated-water tornado vortex //J. Atmos. Sci. 1963. V.20, №5. P.468 471.

211. Turner J.S. The constraints imposed on tornado-like vortices by the top and bottom boundary conditions //J. Fluid Mech. 1966. V.25, part 2. P.377 400.

212. Volchkov E.P., Terekhov V.I., Kaidanik A.N., Yadykin A.N. Aerodynamicsand heat and mass transfer of fluidized particle beds in vortex chamber // Heat transfer engineering. 1993. V.14, №3. P36 47.

213. Wan C.A., Chang C.C. Measurement of the velocity field in a simulated tornado-like vortex using a three-dimensional velocity probe //J. Atmos. Sci. 1972. V.29, №1. P.116 127.

214. Ward N.B. Exploration of certain features of tornado dynamic using a laboratory model // J. Atmos. Sci. 1972. V.29, №6. P.1194 1201.

215. Williams N.R. Development of dust wirls and similar small-scale vortices // Bull. Amer. Meteorol. Soc. 1948. V.29, №3. P.106 117.

216. Yamasaki M.A. Preliminary experiment of the tropical cyclone without parameterizing the effects of cumulus convection //J. Meteorol. Soc. Japan. 1977. V.55, №1. P.ll 30.

217. Yih C.-S., Wu F., Garg A.K., Leibovich S. Conical vortices: A class of exact solutions of Navier Stokes equations // Phys. Fluids. 1982. V.25, №12. P.2147 - 2158.

218. Ying S.J., Chang C.C. Exploratory model study of tornado-like vortex dynamics // J. Atmos. Sci. 1970. V.27, №1. P.3 14.грис. 11. РИС.3-f Ii"s