Исследование состояний тропосферы, соответствующих внутренним решениям уравнений Навье-Стокса

Бондарчук, Алексей Алексеевич

Исследование состояний тропосферы, соответствующих внутренним решениям уравнений Навье-Стокса тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Бондарчук, Алексей Алексеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ростов-на-Дону МЕСТО ЗАЩИТЫ

2007 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Исследование состояний тропосферы, соответствующих внутренним решениям уравнений Навье-Стокса»

Автореферат диссертации на тему "Исследование состояний тропосферы, соответствующих внутренним решениям уравнений Навье-Стокса"

На правах рукописи

иГ

БОНДАРЧУК Алексей Алексеевич

Исследование состояний тропосферы, соответствующих внутренним решениям уравнений Навье-Стокса

01 02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ 16067" 1

Ростов-на-Дону - 2007

003160671

Работа выполнена в Федеральном госуд арственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Снопов Александр Иванович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Ефремов Ион Иванович

доктор физико-математических наук, доцент Задорожный Анатолий Иванович

Ведущая организация

Институт Механики Московского государственного университета

Защита состоится "??" «ггг-с^р, 2007 г в 16 50 на заседании диссертационного совета К 212 208 02 в Южном федеральном университете, ф-т Математики, механики и компьютерных наук, по адресу 344090, г Ростов-на-Дону, Мильчакова, 8а, в ауд 213

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Южного федерального университета, по адресу г Ростов-на-Дону, ул Пушкинская, 148

Автореферат разослан 2007 ]

Ученый секретарь

диссертационного совета ^М Ю Жуков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Ход атмосферных процессов оказывает огромное влияние на многие стороны человеческой деятельности. Важность исследований в этой области становится особенно очевидной в настоящее время, когда эффект глобального потепления вызывает изменения климатических условий и характера воздушных течений на огромной территории, сопровождающиеся также увеличением числа стихийных бедствий в различных регионах планеты.

Течения в реальной атмосфере описываются системой уравнений движения вязкого теплопроводного газа с учетом силы тяжести и силы Кориолиса При этом можно выделить несколько основных направлений, по которым ведется теоретическое исследование атмосферы.

Первое направление связано с применением упрощенных уравнений движения. В рамках этого направления исследуются геофизические течения, применяются упрощения теории тонкого слоя для атмосферы, используются модели мелкой воды и так далее. Однако, такими способами не удается адекватно описывать ряд атмосферных явлений, в особенности мелкомасштабных.

Второе направление связано с применением численных методов для исследования течений в атмосфере на базе полной системы уравнений движения. Так, в работах академика О.М. Белоцерковского и его учеников решаются задачи о взрывах в атмосфере, ударных волнах, эволюции и взаимодействия термиков и вихревых колец, природных атмосферных вихрях большой интенсивности, а также задачи на исследование устойчивости и турбулентности для атмосферных течений. Развитию этого направления способствует продолжающееся развитие электронно-вычислительной техники.

Численные методы используются также для получения кратковременных прогнозов погодй, при этом используется некоторая математическая модель атмосферы и данные о ее тёкущем состоянии. Эти данные предоставляет система наблюдательных "пунктов, состоящая из метеорШогйческих станций, находящихся друг от друга на расстоянии 6070 км. Для получения ' значений метеорологических величин в промежутках между станциями применяется интерполяция. Ясно, что при этом невозможно рассчитывать локальные атмосферные процессы, имеющие меньшие размеры, но, зачастую, Отличающиеся большой интенсивностью. '

Наконец, третье направление связано с аналитическим исследований исходной системы уравнений и поиском ее частных решений Каждое частное решение системы уравнений движения вязкого газа соответствует некоторому состоянию атмосферы. Формулы, описывающие покоящуюся атмосферу, которые являются простейшим точным решением полной системы уравнений движения вязкого теплопроводного газа для

атмосферы, легли в основу модели международной стандартной атмосферы, несмотря на ряд ее недостатков, связанных, в первую очередь, с пренебрежением теплообменом с космосом Ясно, что любое новое точное решение, способное описывать некоторое состояние атмосферы, может представлять определенную научную и практическую ценность. Нахождение таких точных решений, однако, представляет весьма сложную задачу, связанную с необходимостью решения сложной, существенно нелинейной системы уравнений в частных производных, для которой даже не доказаны теоремы о существовании и единственности решения в общем случае Серьезный прогресс в решении этой задачи был достигнут лишь в последние десятилетия Этот прогресс основан на достижениях школы академика Л. В. Овсянникова в разработке новых методов получения инвариантных решений уравнений Навье-Стокса для вязкого газа с помощью математического аппарата теории групп. Несмотря на это, работа по поиску точных решений, соответствующих некоторым состояниям атмосферы еще далека от завершения, поскольку при исследовании системы уравнений вязкого теплопроводного газа методами теории групп, массовые силы и приток тепла в исходной системе уравнений не учитывались.

Все вышесказанное свидетельствует о том, что исследования состояния атмосферы вообще, и поиск частных аналитических точных решений уравнений движения вязкого теплопроводного газа для тропосферы в частности, являются актуальными. Чему и посвящена представленная диссертация.

Объект исследования

Объект исследования данной диссертации - течения реального газа в тропосфере. Специфика исследований тропосферных течений состоит в совершенно иной роли граничных условий, чем, например, в технических задачах гидромеханики. Во-первых, граничные условия для течений в свободной атмосфере могут быть поставлены лишь частично - в основном это базовые требования непроницаемости твердой поверхности и, в некоторых случаях, условия на бесконечности (при условии что течение может быть распространено на бесконечную область без возникновения нефизичных ,значений гидродинамических величин) г Во-вторых, тропосферное течения имеют ограниченное время существования, и этого времени не всегда может хватать на образование пограничного слоя, который обычно рассматривается в других задачах, имеющих дело с вязкой жидкостью или газом. В-третьих, даже внутри области течения условия нельзя считать полностью заданными, вследствие неопределенности притока тепла к области течения, зависящего от многих внешних факторов. Наконец, при рассмотрении тропосферных течений существенную роль играет учет силы тяжести и сжимаемости газа, что не позволяет проводить упрощения уравнений, возможного в ряде технических задач.

Цели работы.

1 Поиск новых точных решений уравнений движения вязкого теплопроводного газа, при учете силы тяжести и радиационного притока.

2. Анализ состояний тропосферы, соответствующих полученным решениям.

3. Сравнение полученных теоретических результатов с данными других авторов и данными экспериментальных и натурных наблюдений.

Научная новизна

Рассматриваемые в диссертации задачи впервые решаются в полной постановке, без ввода существенных упрощений в исходные уравнения движения. Полученные автором точные решения уравнений движения вязкого теплопроводного газа в тропосфере являются новыми и не имеют аналогов в литературе (кроме решений, полученных на основе упрощенных моделей). Впервые представлены формулы, описывающие на основе полной системы уравнений вязкого сжимаемого газа состояния тропосферы, отличные от покоящейся тропосферы, описываемой моделью международной стандартной атмосферы.

Используемый математический аппарат

Для вывода точных решений системы уравнений движения вязкого теплопроводного газа не применялся какой-либо специальный математический аппарат Метод получения решений можно назвать интуитивно-аналитическим. При этом интуитивность заключается в выборе некоторых начальных предположений о виде поля скоростей, а аналитичность — в построении функций температуры, давления и плотности, позволяющих удовлетворить уравнения системы при выбранном виде скорости. При этом применяются различные методы решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных (таких как разделение переменных, выделение полного дифференциала).

Основные результаты, выносимые на защиту

1. В диссертации представлены точные решения уравнений движения вязкого теплопроводного газа в тропосфере с притоком тепла, описывающие:

- сдвиговое течение с двумя проекциями скорости в тропосфере,

- прямолинейные течения в тропосфере с одной горизонтальной компонентой скорости, зависящей от вертикальной и поперечной горизонтальной координаты, при нескольких законах изменения скорости;

- вращение некоторой части тропосферы вокруг вертикальной оси с распределением скоростей, как для вращающегося твердого тела;

- безвихревое вращение воздуха в тропосфере вокруг вертикальной оси с особенностью на оси вращения.

2. Проанализированы состояния тропосферы, отвечающие построенным течениям.

3. Проведено частичное сравнение полученных в работе теоретических результатов с аналогичными данными других авторов и натурных измерений, подтвердившее достоверность результатов диссертации

Научная достоверность

Достоверность результатов работы подтверждается

- четким математическим выводом решений в явном виде, позволяющем удостоверится в удовлетворении исходной системе уравнений

- проверкой полученных решений методами символьного программирования

- переходом полученных формул в формулы международной стандартной атмосферы в случае отсутствии движения газа

- соответствием полученных результатов данным натурных измерений и наблюдений

- соответствием результатов данным, полученным другими авторами при использовании упрощенных уравнений движения

Научная и практическая ценность

Полученные решения для тропосферы способствуют как развитию наших представлений о динамике атмосферных процессов, так и развитию численных методов исследования, прогнозу состояний атмосферы.

Полученные в работе результаты можно использовать для развития методов восстановления полей метеорологических величин по неполным данным измерений в целях повышения точности метеорологического прогноза, в качестве начального приближения при построении решений в виде асимптотических рядов для различных задач динамики атмосферы, в качестве более точных начальных данных при численном исследовании развития некоторых неустойчивых течений

Результаты работы внедрены в учебный процесс кафедры теоретической гидроаэромеханики Южного Федерального университета и используются в ее курсовых проектах.

Апробация

Основные результаты диссертации докладывались автором

- на VII международной конференции памяти академика РАН И.И Воровича "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2001),

- на VIII международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2002);

- на научно-практической конференции "Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания" (Ростов-на-Дону, 2004);

- на ХШ международной конференции "Математика. Экономика. Образование" (Ростов-на-Дону, 2005);

- на IX международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения академика РАН И И Воровича "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2005),

- на XIV международной конференции "Математика Экономика. Образование" (Ростов-на-Дону, 2006);

- на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. (Нижний Новгород, 2006);

- на VIII международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2006).

Структура и объем

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения Основной текст ДИссертаДии содержит 126 страниц, 32 рисунка и 3 таблицы Список литературы насчитывает 116 наименований.

Содержание работы

Во введении показана актуальность тематики работы, ее научная и практическая ценность. Сформулирована цель диссертационной работы, определен круг решаемых задач, приведено описание структуры работы Отмечен вклад в развитие теории движения жидкостей и газов Белоцерковского О.М., Бьеркнеса В.Ф.К, Валландера СВ, Гиь :Г',<рга И П., Должанского Ф В., Кибеля И.А, Кочина Н Е., Ландау Л Д., Лиьыица Е.М, Лойцянского Л.Г., Овсянникова Л В., Розе Н.В., Седова Л И и других ученых.

Первая глава диссертации является вводной и не содержит результатов исследований. В ней приводятся исходные системы уравнений движения Навьё-СтЬкса, уравнения неразрывности и уравнения баланса энергии для вязкого; теплопроводного газа в декартовых координатах, криволинейных ортогональных координатах и в цилиндрической «истеке координат. Из массовых сил в уравнения входит сила тяжести и, при учете вращения Земли, сила Кориолиса. При этом учитывается только вертикальная проекция вектора угловой скорости вращения Земли Также в уравнения входит заранее неизвестный объемный приток тепла. Далее в первой главе рассматривается модель международной стандартной атмосферы, описывающей осредненное распределение по высоте температуры, плотности и давления при отсутствии движения воздуха Отмечаются некоторые несоответствия, возникающие при использовании этой модели, связанные с тепловым балансом в тропосфере и стратосфере. Также в этой главе из некоторых физических соображений формулируется ограничение на возможный вид притока тепла к области течения Этот

притбк тепла принимается малым и не зависящим от вертикальной координаты

Во второй главе рассматриваются сдвиговые течения газа в тропосфере с двумя горизонтальными проекциями скорости. Условия прилипания на поверхности земли не ставятся, но могут выполняться при некоторых значениях параметров. Для случая постоянной вязкости найденное решение имеет следующий вид

^ СР у+т

где у и и - произвольные постоянные. Рассмотрены два частных случая: случай нулевого притока тепла, случай постоянной температуры и случай, в котором распределение по высоте температуры, давления и плотности совпадает с аналогичным распределением в стандартной атмосфере.

Также получено решение для случая линейной зависимости вязкости от температуры при отсутствии притока тепла. При этом в ходе вывода решается кубическое уравнение, один из коэффициентов которого зависит от переменной г. Из трех функций-решений этого уравнений только одна удовлетворяет граничным условиям Эта функция в дальнейшем используется для нахождения температуры, давления и плотности в области течения

Несмотря на существенные различие в представлении решения для постоянной вязкости и для вязкости, линейно зависящей от температуры, различия по величине между гидродинамическими функциями в этих двух случаях невелики и проявляются только при больших скоростях (точнее при больших темпах роста скорости с высотой) или на больших высотах. На рис. 4 приводятся графики температуры и скорости для случая Сх 0.02 при Су - 0 (1 - случай постоянной вязкости, 2 - случай вязкости, линейно зависящей от температуры) Также для сравнения приводятся график температуры в покоящейся тропосфере (3). Видно, что наибольшие расхождения наблюдаются для графиков распределения температуры и скорости Давления же для всех трех случаев практически совпадают на рассматриваемом промежутке. Следует отметить, что в рассматриваемых случаях скорость ветра на верхней границе весьма велика и составляет 100 м/с, при меньших же скоростях различия между графиками для двух законов изменения вязкости становятся еще менее заметны.

Ух=Ух0+Схг, Уу = Уу0 +Суг, Т-Ть-р-Щх*, р =

Рис 1 Графики зависимости от высоты температуры и скорости сдвигового течения при Сх = 0 02, Су = 0 1 - постоянная вязкость, 2 - линейная зависимость вязкости от температуры', 3 - стандартная атмосфера

Далее исследуется влияние вращения Земли на сдвиговые течения в тропосфере для случая постоянной вязкости. Рассматривается два возможных типа течений

В первом типе течений влияние вращения Земли сказывается только на поле скоростей, приводя к его циклическому повороту за некоторый период времени.

Vx =(Fi0 cos(o0t + Vy0 sineo0t)+\Cx cosa>0t + Cy sinco0t)z

Vy = (Fj,о cos co0t - VxQ sin (o0t)+ if, cos co0t - Cx sin a>0t)z

Распределения температуры, давления и плотности, а также приток тепла никак не отличаются от аналогичных распределений в случае сдвигового течения без учета вращения Земли при постоянной вязкости Поле скоростей совершает вращение с единой угловой скоростью, причем время полного поворота зависит только от географической широты. Поворот происходит по часовой стрелке в северном полушарии и против часовой стрелки — в южном. Линии тока при этом остаются прямыми, а траектории частиц становятся окружностями, лежащими в горизонтальной плоскости. Радиус окружностей завит от высоты и равен отношению величины скорости течения воздуха на этом уровне к щ. При отсутствии градиента скорости и притока тепла формулы для температуры, давления и плотности не отличаются от соответствующих формул в покоящейся тропосфере, несмотря на наличие нестационарного поля скоростей

Во втором случае влияние вращения Земли отражается в распределении плотности, температуры и давления, без изменения поля скоростей. Такое решение может бьггь построено для случая одной компоненты скорости, то есть когда вектор скорости возду-*> не поворачивается с изменением высоты (при этом остается допус лым изменение направления ветра на противоположное) В этом случае в

формулах для температуры, давления и плотности появляется зависимость от горизонтальной координаты.

У, ~

Т =

тп +

хО

Схе>оУ g _

-уг

Р = Ро

Ч^о

«г

с р <¡>1

Рг

тп +

Я/

Р = Ро , т

1оУ схщу ^

+ 1

1-1 схиь

ЯГ

'х /

Течение в этом случае становится небаротропным (кроме случая Сх = О, при котором баротропность сохраняется, а приток тепла равен нулю) На рис 2 представлены линии равного давления и плотности в плоскости ОУ2 при Сх = 0.01, Ух0 = 10 и Сх = 0.01, Ух0 = 0 на широте 60°. Пересечение этих линии по теореме Бьеркнеса ведет к увеличению завихренности в потоке, но в данном случае этот эффект компенсируется действием силы Кориолиса

6000

«по

3000'

5000

3000

-50000С

500000

18-ЮВ

0 500000 1<н06 -18406 -500000 О у у

Рис 2 Линии равного давления (сплошным) и равной плотности (пунктиром) в плоскости ОУ2 при учете вращения Земли С* = 0 01, Ух0 = 10 и С* = 0 01, Уа = 0 на широте 60°

В случае Ух0 = 0, то есть при отсутствии ветра на уровне поверхности земли, давление на этом уровне не зависит от горизонтальной координаты, в то время как для плотности (а, следовательно, и для температуры) зависимость четко прослеживается. Таким образом, для случая сдвигового течения с условием прилипания на поверхности земли при учете силы Кориолиса, распределение давления на уровне земли никак не отражает существующего над ним сдвигового течения. Это означает, что если проводить измерения лишь на уровне земли, ограничиваясь измерением скорости и давления, то такое течение не будет обнаружено.

В плоскости у- 0 полученные формулы для температуры, давленая и плотности полностью совпадают с формулами, полученными без учета вращения Земли Отличия видны при перемещении в поперечном по отношению к потоку направлении. Так, для случая Сх = 0 01, Ух0 = 5, на широте 60° перемещение на 10 км вбок от потока приводит к изменению температуры на 0.36 градусов, и на 3.7 градусов при перемещении на 100 км (температура увеличивается справа от потока и уменьшается слева, кроме случая температурной инверсии, при которой зависимость температуры от координат обратная). Таким образом, видно, что учет вращения Земли является существенным для рассматриваемого типа течений, особенно в случае потоков с большими поперечными размерами.

В третьей главе рассматриваются прямолинейные течения в тропосфере с одной горизонтальной проекцией скорости, зависящей от двух координат. Рассматривается только случай постоянной вязкости. Для скорости при этом получается уравнение Лапласа по переменным у и г.

д2Гх л —Г- + —= 0 ду2 8г2

Построено решение для трех видов функции V, удовлетворяющих уравнению Лапласа.

Случай 1. Линейный закон распределения скорости

Рг

Ух — Аг + Ву + С

Г«Г„ —

2С„

а2+В2+Я-

Р.

"71

г, Рги 1 + -

Р = Ро

СР 7-

1 +

Рги

СР у + т

Кт

т =

У2+2Т0

Рг

—>

Ср

Р =

ИТ

В целом, полученное решение отличается от решения, полученного в первой главе для случая единственной проекции скорости, только поворотом всего поля скоростей на некоторый угол вокруг горизонтальной оси, параллельной направлению потока.

Для этого случая при А - 0 также построено решение системы уравнений, учитывающей вращение Земли

Ух=Ву + С

Р = Ро

То)

«г

Т-Тп

Р = Ро

<°0 5

Вуг

+ Су

-1

®0 Ср

8 Рг

Случай 2 Квадратичный закон распределения скорости.

Vx=Ay2 + Byz-Az2 +D

Формула для температуры и притока тепла при этом имеют вид

Получение формулы для давления в явном виде затруднено, в связи с необходимостью нахождения корней многочлена четвертой степени для последующего разложения подынтегрального выражения в формуле для давления на простые дроби. Формула для корней многочлена четвертой степени существует, но ее громоздкость сильно затрудняет вывод решения, поэтому рассмотрен только частный случай у = 0, Qo = 0, для которого корни находятся легко Формула, выражающая давление, в этом случае выглядит следующим образом

Mg juj. ( гЛ I-

= f^W Ы м . I птс

У F\M + z) уРг(в +4Л)

На рис. 3 приводятся графики температуры и скорости при А — О, В = О 00001 и Qo = 0. С некоторой высоты температура начинает падать намного быстрее, чем в покоящейся тропосфере. Это вызвано быстрым изменением градиента температуры, который для указанных значений параметров на высоте 1145 м достигает 1 градус на 100 м высоты, после чего температурная стратификация тропосферы становится неустойчивой. В тоже время давление практически не отличается от давления в покоящейся тропосфере, несмотря на большие значения величины скорости в области течения.

Рис 3 Графики зависимости от высоты температуры и скорости течения с квадратичным законом изменения скорости при А = 0, В = 0.00001, <2о = 0 1 -рассматриваемое течение, 2 - стандартная атмосфера (на втором графике у = 1250, 2500,3750 и 5000 соответственно)

Случай 3. Экспоненциально-тригонометрический закон распределения скорости Ух =Аос&{Ку)еК2

Приток тепла в таком течении не зависит от координат, формула для температуры имеет вид

Т0 +

А2 Рг 4 СР

~Г +

Л^КРг) 0Рг г

2СР

2--

А2 Рг 4СР '

,2Кг

'Р ) ^Ср

Как и в предыдущем случае, получить аналитическую формулу для давления в общем случае не удается. Лишь при 0 = 0 и при выполнении

А2 = 2Ср

КРт

уравнение (3 1) удается проинтегрировать и получить следующую формулу для давления

Р = Ро

уг

2 Кг

2 ТйК + У;

На рис. 4 приводятся графики гидродинамических функций для случая А = 1, К = 0 001 Даже при больших скоростях воздуха, значения температуры мало отличаются от температуры в покоящейся тропосфере Для давления это отличие и вовсе незаметно В тоже время градиент температуры изменяется довольно быстро и для рассматриваемых значений параметров на высоте 4605 м достигает значения соответствующего неустойчивой стратификации тропосферы. При этом скорость течения на этой высоте приблизительно равна 100 м/с (имеется в виду скорость при_у = 0) т :

1000 2000 ЭОЬО 4000 5000

Рис 4 Графики зависимости от высота температуры и скорости (при у = 0) течения с экспоненциально-тригонометрическим законом изменения скорости при А = 1, К = 0 001 1 - рассматриваемое течение, 2 — стандартная атмосфера

В четвертой главе рассматриваются вращательные течения в тропосфере с постоянной завихренностью. Решения построены для случая постоянной вязкости, для случая линейной зависимости вязкости от температуры и для случая постоянной температуры. Для случая постоянной вязкости решение имеет следующий вид

> со2/1Ср

Уд ~(ОГ

Т = Т0-у\г-

—\

е=-2 г-

ЯРГ

р=ра

1--

ео 2

2--Г

2я

Иг

Р = Ро

1-1-

Здесь р0 = р(0,0), То - 7(0,0). На рис 5 приводятся графики зависимости температуры от высоты, а также от скорости течения газа, для случая постоянной вязкости (1) и для случая линейной зависимости вязкости от температуры (2). Видно, что различия проявляются лишь на высоте нескольких километров, либо при скоростях воздуха свыше 200 м/с.

Рис 5 Зависимость температуры от высоты и скорости воздуха 1 - случай постоянной вязкости, 2 - случай линейной зависимости вязкости от температуры

Графики для давления в этих случаях практически не отличаются На рис. 6 также приводится форма линий равного давления (являющихся одновременно также линиями равной температуры и плотности), справедливая для любого закона зависимости вязкости от температуры и при любых значениях констант решения.

5000 4000 3000

2000 1000 0

0 50 100 150 200 250 300 V

Рис 6 Линии равной температуры, давления и плотности в зависимости от высоты и скорости

Полученные решения не могут описывать течение газа вдали от оси вращения ввиду требования конечности скорости. Поэтому принимается, что участвует во вращении лишь некоторая часть тропосферы, в то время как в остальном пространстве газ покоится При этом в обеих областях внутренние силы трения будут отсутствовать (выполняется граничное условие проскальзывания). Дается оценка времени развития слоя перемешивания на границе областей Для небольшой вращающейся области радиуса 50 м это время измеряется часами и днями Форма границы раздела между вращающейся и покоящейся массами воздуха определяется из условия равенства давлений на границе. В этом случае на границе вращающейся области, в зоне достижения максимальных скоростей вращения, давление будет равно внешнему атмосферному давлению, в центре же, в зоне нулевых скоростей, давление будет пониженным, компенсируя действие центробежных сил. Темпера!} р ■ на границе вращающейся области, вообще говоря, может и не совпадать с внешней температурой. На рис 7 представлены графики зависимости давления и температуры в центре вращающейся области от максимальной

Рис 7 Зависимости температуры и давления в центре вращающейся области от максимальной скорости для различных значений вертикального градиента температуры (у= 0 009,0 0065,0 003,0, -0 003 соответственно)

скорости для различных значений вертикального градиента температуры у.

Для формы границы раздела получена в явном виде следующая формула

г2^

Ратм,0 . Ро

1—

1 атм,О у

—- + г

Иселедование этого уравнения показывает, что граница * раздела принимает формы, близкие к формам фигур вращения, образованных кривыми второго порядка. В зависимости от значений параметров это могут быть эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды и цилиндры Поперечные размеры области при этом обратно пропорциональны величине угловой скорости вращения воздуха, поэтому при больших угловых скоростях вращающаяся область имеет сильно вытянутую по вертикали форму Для всех возможных форм границы раздела, кроме цилиндрической, более плотный газ находится сверху от границы раздела, что свидетельствует о неустойчивости границы между вращающимся и покоящимся газом.

Учет вращения Земли не вносит существенных изменений в распределение гидродинамических функций, кроме случая медленного антициклонического вращения, при котором во внутренней вращающейся области давление может быть повышено, по отношению к внешнему давлению.

В пятой главе рассматриваются бесвихревые вращательные течения в тропосфере Решение строится для случая постоянной вязкости.

Г = Г„

2ёГ2

4У

СР7 2яРг.

к1* /

«г

яг

Вдали от оси вращения скорость вращения уменьшается, и распределение гидродинамических функций плавно переходит в распределение соответствующее стандартной атмосфере

Существует частный случай решения, при котором приток тепла равен нулю В этом случае температура очень быстро падает с высотой (более чем на 13 градусов на километр высоты), и стратификация тропосферы становится неустойчивой. В остальных случаях, отток тепла из области течения не равен нулю нигде, максимальное его "значение достигается на внутренней границе вращающейся области, и имеет величину тем большую, чем больше максимальная скорость течения и чем меныпе его внутренний радиус.

4Й0 "8)0 0бО 1000 г v

Рис 8 Зависимость температуры от высоты и от скорости течения газа (у = 0 009, О 0065,0 003,0, -0 003 соответственно)

На рис. 8 представлены графики зависимости температуры от вертикальной координаты и скорости газа для различных значений параметра у. На рис. 9 также представлен вид линий равного давления, температуры и плотности при любых значениях параметров

О "*ЗГ «О «О 200 гй зоо

Рис 9 Линии равной температуры, давления и плотности в зависимости от высоты и скорости

Найденное решение не может описывать течение в области оси вращения, которая, поэтому, считается заполненной покоящимся воздухом, подчиняющимся формулам стандартной атмосферы, но при пониженном давлении Форма границы между вращающейся внешней областью и покоящейся внутренней определяется условием равенства давлений на границе.

В зависимости от значений параметров, вращающаяся область может занимать бесконечный горизонтальный слой, полупространство или все пространство, но без некоторой окрестности оси вращения

В отличие от случая вращения воздуха как твердого тела, здесь область ¿ращения находится во внешней части тропосферы. Вследствие этого более плотный газ всегда находится снизу от грани раздела.

Далее строится решение для системы уравнений, учитывающей вращение Земли. Отличительной особенностью рассматриваемого решения, по сравнению с решением, полученным без учета вращения Земли, является то, что при V < 0 во внешней области течения силы Кориолиса превышают по величине центробежные силы, действуя при этом в противоположную сторону. Изменение направления действующих в газе сил вызывает изменение знака горизонтального градиента давления При этом появляется новая форма границы раздела вращающегося и покоящегося газа - форма кольца. Внутренняя часть кольца находится в области, где величина центробежной силы превышает величины силы Кориолиса, внешняя — наоборот. При этом во внутренней полости кольца давление повышено, по отношению к давлению в окружающем газе.

Соотношение плотностей на границе кольца такое, что более тяжелый газ всегда оказывается снизу.

В заключительном разделе формулируются выводы по диссертации:

1. В диссертации представлены точные решения уравнений движения вязкого теплопроводного газа в тропосфере с притоком тепла, описывающие: сдвиговое течение с двумя проекциями скорости в тропосфере; прямолинейные течения в тропосфере с одной горизонтальной компонентой скорости, зависящей от вертикальной и поперечной горизонтальной координаты, при нескольких законах изменения скорости; вращение некоторой части тропосферы вокруг вертикальной оси с распределением скоростей, как для вращающегося твердого тела, безвихревое вращение воздуха в тропосфере вокруг вертикальной оси с особенностью на оси вращения.

2. Для сдвиговых течений и твердотельных вращений построены решения при линейной зависимости вязкости газа от его температуры

3. Для сдвиговых, вращательных и прямолинейных однонаправленных течений с линейным профилем скорости исследовано влияние вращения Земли на распределение гидродинамических функций При этом получено одно нестационарное периодическое решение

4. Для решений, соответствующих сдвиговым, вращательным и прямолинейным однонаправленным течениям с линейным и экспоненциально-тригонометрическим профилем скорости найдены значения параметров, при которых приток тепла в область течения равен нулю.

5 Проанализированы состояния тропосферы, отвечающие построенным течениям.

6. Для решений, соответствующих вращательным течениям рассмотрено влияние вертикального градиента температуры на зависимость температуры, давления и плотности от скорости газа.

7. Для вращательных течений при различных значениях параметров построена форма границы раздела между вращающейся и покоящейся частями тропосферы. Исследовано влияние вращения Земли на форму границы.

8. Для изученных состояний тропосферы влияние зависимости вязкости от температуры мало существенно, кроме как для течений с большими градиентами скоростей

9 Во вращательных течениях вертикальный градиент температуры оказывает существенное влияние на зависимость температуры, давления и плотности от скорости. В сдвиговых и прямолинейных течениях поля температур, давлений и плотностей слабо отражают поле скоростей, пока величина скорости не возрастает до 100-150 м/с.

Список работ по теме диссертации

1. Статьи в журналах и сборниках трудов конференций

1.1. Снопов А.И., Бондарчук A.A. Некоторые точные решения уравнений движения вязкого газа для тропосферы при адиабатических условиях // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды VII Международной конференции памяти академика РАН И.И. Воровича. Ростов-на-Дону, 2001. Т.1. С. 214-217. (реферат 03.09-16Г.191 в реферативном журнале "Механика", 2003 г., №9).

1.2. Бондарчук A.A. Точные решения уравнений Навье-Стокса для сдвиговых потоков в тропосфере // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды VIII Международной конференции. Ростов-на-Дону, 2002 г. Т.2. С.37-40.

1.3. Бондарчук A.A. Моделирование тропического урагана // Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания. Материалы научно-практической конференции 24-25 ноября 2004 г., г. Ростов-на-Дону. г. Ростов-на-Дону, 2005 г., "РИНХ" издательство, С.9-12.

1 4 Бондарчук А А. Вращение тропосферы как твердого тела // XIII международная конференция. Математика. Экономика Образование Ростов-на-Дону. 29 мая - 5 июня 2005 г. Труды. С. 68-71.

1.5. Бондарчук A.A. Установившиеся горизонтальные течения периодической структуры // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды IX Международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения академика РАН И И Воровича Ростов-на-Дону, 2005 г. Т 2. С.39-41.

1 6. Бондарчук A.A. Некоторые точные решения уравнений движения вязкого газа для тропосферы с учетом вращения Земли // > XIV международная конференция. Математика. Экономика. Образование Ростов-на-Дону. 28 мая - 3 июня 2006 г. Труды. С 107-110.

1.7, Бондарчук А А. Влияние вращения Земли на баланс энергии в тропосфере для закрученных течений // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды X Международной конференции. Ростов-на-Дону, 2006. Т. 2, С. 91-93.

1.8. Бондарчук A.A. О формах равновесия вращающегося воздуха в тропосфере // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2007 г. № 5. С. 9-13.

2. Тезисы докладов

2.1. Бондарчук A.A. Вращение тропосферы как твердого тела // ХП1 международная конференция. Математика. Экономика Образование. Ростов-на-Дону. 29 мая - 5 июня 2005 г. Тезисы докладов. С. 99-ÍQ1.

2 2. Бондарчук A.A. Некоторые точные решения уравнений движения вязкого газа для тропосферы с учетом вращения Земли // XIV

международная конференция. Математика. Экономика. Образование Ростов-на-Дону 28 мая - 3 июня 2006 г. Тезисы докладов. С. 123-124.

2.3. Бондарчук A.A. Температурно-вязкие эффекты в тропосфере, порожденные вращением Земли // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г Аннотации докладов. С. 132-133 (реферат 07 01-16Г.220 в реферативном журнале "Механика", 2007 г., №1).

Издательство «ЦВВР» Лицензия ЛР № 65-36 от 05 08 99 г Сдано в набор 25 09 07 г Подписано в печать 25 09 07 г Формат 60*84 1/16 Заказ №865 Бумага офсетная Гарнитура «Тайме» Оперативная печать Тираж 100 экз Печ Лист 1,0 Уел печ л 1,0 Типография Издательско-полиграфическая лаборатория УНИИ Валеологии

«Южный федеральный университет» 344091, г Ростов-на-Дону, ул Зорге, 28/2, корп 5 «В», тел (863) 247-80-51 Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09 02 98 г

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Бондарчук, Алексей Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

Глава 1. УРАВНЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ДВИЖЕНИЕ

ГАЗА В ТРОПОСФЕРЕ.

1.1 Уравнения движения в декартовых координатах.

1.2 Уравнения движения в криволинейных ортогональных координатах.

1.3 Уравнения движения в цилиндрических координатах.

1.4 Уравнения движения воздуха с учетом массовых сил.

1.5 Международная стандартная атмосфера.

Глава 2. СДВИГОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ТРОПОСФЕРЕ.

2.1 Исходные допущения.

2.2 Сдвиговые течения в тропосфере при постоянной вязкости.

2.3 Сдвиговые течения в тропосфере при линейной зависимости вязкости от температуры.

2.4 Анализ состояний тропосферы, отвечающих сдвиговым течениям.

2.5 Исследование влияния вращения Земли на сдвиговые течения в тропосфере.

2.6 Выводы по главе.

Глава 3. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОДНОНАПРАВЛЕННЫЕ

ТЕЧЕНИЯ В ТРОПОСФЕРЕ.

3.1 Исходные допущения.

3.2 Прямолинейные течения в тропосфере с линейным законом изменения скорости.

3.3 Исследование влияния вращения Земли на прямолинейные течения в тропосфере с линейным законом изменения скорости.

3.4 Прямолинейные течения в тропосфере с квадратичным законом изменения скорости.

3.5 Прямолинейные течения в тропосфере с экспоненциальнотригонометрическим законом изменения скорости.

3.6 Выводы по главе.

Глава 4. ЗАКРУЧЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ С ПОСТОЯННОЙ

ЗАВИХРЕННОСТЬЮ В ТРОПОСФЕРЕ.

4.1 Исходные допущения.

4.2 Закрученные течения в тропосфере при постоянной вязкости.

4.3 Закрученные течения в тропосфере при линейной зависимости вязкости от температуры.

4.4 Закрученные течения в тропосфере при постоянной температуре.

4.5 Анализ состояния тропосферы, отвечающего закрученному течению с постоянной завихренностью.

4.6 Построение возможных форм границы раздела закрученных течений с покоящейся тропосферой и их исследование.

4.7 Об устойчивости формы вращающейся области.

4.8 Исследование влияния вращения Земли на закрученные течения с постоянной завихренностью в тропосфере.

4.9 Выводы по главе.

Глава 5. ЗАКРУЧЕННЫЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ ТЕЧЕНИЯ В

ТРОПОСФЕРЕ С ОСОБЕННОСТЬЮ НА ОСИ.

5.1 Исходные допущения.

5.2 Вывод решения.

5.3 Анализ состояния тропосферы, отвечающего безвихревому закрученному течению.

5.4 Построение возможных форм границы раздела закрученных безвихревых течений с покоящейся тропосферой и их исследование.

5.5 Исследование влияния вращения Земли на закрученные безвихревые течения в тропосфере.

5.6 Выводы по главе.

ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ.

Введение диссертация по механике, на тему "Исследование состояний тропосферы, соответствующих внутренним решениям уравнений Навье-Стокса"

Актуальность темы

Течения в реальной атмосфере описываются системой уравнений движения вязкого теплопроводного газа с учетом силы тяжести и силы Кориолиса. При этом можно выделить несколько основных направлений, по которым ведется теоретическое исследование атмосферы.

Второе направление связано с применением численных методов для исследования течений в атмосфере на базе полной системы уравнений движения. Так, в работах академика О.М. Белоцерковского и его учеников [2,3,4,10] решаются задачи о взрывах в атмосфере, ударных волнах, эволюции и взаимодействия термиков и вихревых колец, природных атмосферных вихрях большой интенсивности, а также задачи на исследование устойчивости и турбулентности для атмосферных течений. Развитию этого направления способствует продолжающееся развитие электронно-вычислительной техники.

Численные методы используются также для , получения кратковременных прогнозов погоды, при этом используется некоторая математическая модель атмосферы и данные о ее текущем состоянии. Эти данные предоставляет система наблюдательных пунктов, состоящая из метеорологических станций, находящихся друг от друга на расстоянии 60-70 км. Для получения значений метеорологических величин в промежутках между станциями применяется интерполяция. Ясно, что при этом невозможно рассчитывать локальные атмосферные процессы, имеющие меньшие размеры, но, зачастую, отличающиеся большой интенсивностью.

Наконец, третье направление связано с аналитическим исследований исходной системы уравнений и поиском ее частных решений. Каждое частное решение системы уравнений движения вязкого газа соответствует некоторому состоянию атмосферы. Формулы, описывающие покоящуюся атмосферу, которые являются простейшим точным решением полной системы уравнений движения вязкого теплопроводного газа для атмосферы, легли в основу модели международной стандартной атмосферы, несмотря на ряд ее недостатков, связанных, в первую очередь, с пренебрежением теплообменом с космосом. Ясно, что любое новое точное решение, способное описывать некоторое состояние атмосферы, может представлять определенную научную и практическую ценность. Нахождение таких точных решений, однако, представляет весьма сложную задачу, связанную с необходимостью решения сложной, существенно нелинейной системы уравнений в частных производных, для которой даже не доказаны теоремы о существовании и единственности решения в общем случае. Серьезный прогресс в решении этой задачи был достигнут лишь в последние десятилетия. Этот прогресс основан на достижениях школы академика Л. В. Овсянникова [1,21,22,61,62,72-77,93,106] в разработке новых методов получения инвариантных решений уравнений Навье-Стокса для вязкого газа с помощью математического аппарата теории групп. Несмотря на это, работа по поиску точных решений, соответствующих некоторым состояниям атмосферы еще далека от завершения, поскольку при исследовании системы уравнений вязкого теплопроводного газа методами теории групп, массовые силы и приток тепла в исходной системе уравнений не учитывались.

Объект исследования

Объект исследования данной диссертации - течения реального газа в тропосфере. Специфика исследований тропосферных течений состоит в совершенно иной роли граничных условий, чем, например, в технических задачах гидромеханики. Во-первых, граничные условия для течений в свободной атмосфере могут быть поставлены лишь частично - в основном это базовые требования непроницаемости твердой поверхности и, в некоторых случаях, условия на бесконечности (при условии что течение может быть распространено на бесконечную область без возникновения нефизичных значений гидродинамических величин). Во-вторых, тропосферные течения имеют ограниченное время существования, и этого времени не всегда может хватать на образование пограничного слоя, который обычно рассматривается в других задачах, имеющих дело с вязкой жидкостью или газом. В-третьих, даже внутри области течения условия нельзя считать полностью заданными, вследствие неопределенности притока тепла к области течения, зависящего от многих внешних факторов. Наконец, при рассмотрении тропосферных течений существенную роль играет учет силы тяжести и сжимаемости газа, что не позволяет проводить упрощения уравнений, возможного в ряде технических задач.

Цель работы.

Данная работа посвящена поиску точных решений уравнений движения вязкого теплопроводного газа, описывающих некоторое состояние тропосферы и анализу этих состояний.

Научная новизна

Используемый математический аппарат

Для вывода точных решений системы уравнений движения вязкого теплопроводного газа не применялся какой-либо специальный математический аппарат. Метод получения решений можно назвать интуитивно-аналитическим. При этом интуитивность заключается в выборе некоторых начальных предположений о виде поля скоростей, а аналитичность - в построении функций температуры, давления и плотности, позволяющих удовлетворить уравнения системы при выбранном виде скорости. При этом применяются различные аналитические методы решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных (таких как разделение переменных, выделение полного дифференциала).

Научная достоверность

Достоверность результатов работы подтверждается

- проверкой полученных решений методами символьного программирования

- соответствием полученных результатов данным натурных измерений и наблюдений

Научная и практическая ценность

Полученные в работе результаты можно использовать: для развития методов восстановления полей метеорологических величин по неполным данным измерений в целях повышения точности метеорологического прогноза; в качестве начального приближения при построении решений в виде асимптотических рядов для различных задач динамики атмосферы; в качестве более точных начальных данных при численном исследовании развития некоторых неустойчивых течений.

Апробация

Основные результаты диссертации докладывались автором:

- на VII международной конференции памяти академика РАН И.И. Воровича "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2001);

- на VIII международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2002);

- на XIII международной конференции "Математика. Экономика. Образование" (Ростов-на-Дону, 2005);

- на IX международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения академика РАН И.И. Воровича "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2005);

- на XIV международной конференции "Математика. Экономика. Образование" (Ростов-на-Дону, 2006);

- на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. (Нижний Новгород, 2006);

- на VIII международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2006).

Структура и объем

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Основной текст диссертации содержит 126 страниц, 32 рисунка и 3 таблицы. Список литературы насчитывает 116 наименований.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. В диссертации представлены точные решения уравнений движения вязкого теплопроводного газа в тропосфере с притоком тепла, описывающие: сдвиговое течение с двумя проекциями скорости в тропосфере; прямолинейные течения в тропосфере с одной горизонтальной компонентой скорости, зависящей от вертикальной и поперечной горизонтальной координаты, при нескольких законах изменения скорости; вращение некоторой части тропосферы вокруг вертикальной оси с распределением скоростей, как для вращающегося твердого тела; безвихревое вращение воздуха в тропосфере вокруг вертикальной оси с особенностью на оси вращения.

2. Для сдвиговых течений и твердотельных вращений построены решения при линейной зависимости вязкости газа от его температуры.

3. Для сдвиговых, вращательных и прямолинейных однонаправленных течений с линейным профилем скорости исследовано влияние вращения Земли на распределение гидродинамических функций. При этом получено одно нестационарное периодическое решение.

5. Проанализированы состояния тропосферы, отвечающие построенным течениям.

8. Для изученных состояний тропосферы влияние зависимости вязкости от температуры мало существенно, кроме как для течений с большими градиентами скоростей.

9. Во вращательных течениях вертикальный градиент температуры оказывает существенное влияние на зависимость температуры, давления и плотности от скорости. В сдвиговых и прямолинейных течениях поля температур, давлений и плотностей слабо отражают поле скоростей, пока величина скорости не возрастает до 100-150 м/с.

117

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Бондарчук, Алексей Алексеевич, Ростов-на-Дону

1. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск, "Наука" 2003, 352 с.

2. Андрущенко В.А., Шевелев Ю.Д. Формирование сильных торнадо в неоднородной атмосфере. Численное исследование // Известия РАН. ФАО. Т. 33. №6. С. 743-749.

3. Андрущенко В.А., Шевелев Ю.Д. Формирование смерчей в мезоциклонах // Метеорология и гидрология. 1997. № 4. С. 55-61.

4. Андрущенко В.А., Шевелев Ю.Д. Численное моделирование трехмерных вихревых течений в неоднородной атмосфере // Известия РАН. МЖГ. 1997. № 2. С. 30-38.

5. Антонов В.А., Баранов А.С., Кондратьев Б.П. Локальные вихри в дифференциально вращающемся потоке // Известия АН. МЖГ, 2005. № 1, С. 8193.

6. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983,319 с.

7. Аристов С.Н. Класс точных решений уравнений Навье-Стокса для сжимаемого вязкого газа // Докл. АН СССР. 1990. Т. 313, № 6. С. 1403-1406.

8. Ахметов Д.Г., Луговцов Б.А., Макаренко В.Г., Никулин В.В. Возникновение торнадоподобных вихрей во вращающейся жидкости при вынужденных колебаниях большой амплитуды // ПМТФ, 2002, Т. 43, № 2, С. 8791.

9. Баутин С.П. Аналитическое построение течений вязкого газа при помощи последовательности линеаризованных систем Навье-Стокса // ПММ, 1988, Т. 52, вып. 4, С. 579-589.

10. Белоцерковский О.М., Андрущенко В.А., Шевелев Ю.Д. Динамика пространственных вихревых течений в неоднородной атмосфере. Вычислительный эксперимент. Москва, "Янус-К", 2000.

11. Бондарчук А.А. Влияние вращения Земли на баланс энергии в тропосфере для закрученных течений // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды X Международной конференции. 2006 г. Т. 2 С. 91-93.

12. Бондарчук А.А. Вращение тропосферы как твердого тела // XIII международная конференция. Математика. Экономика. Образование. Ростов-на-Дону. 29 мая 5 июня 2005 г. Труды. 2005 г. С. 68-71.

13. Бондарчук А.А. Вращение тропосферы как твердого тела // XIII международная конференция. Математика. Экономика. Образование. Ростов-на-Дону. 29 мая 5 июня 2005 г. Тезисы докладов. 2005 г. С. 99-101.

14. Бондарчук А.А. Некоторые точные решения уравнений движения вязкого газа для тропосферы с учетом вращения Земли // XIV международная конференция. Математика. Экономика. Образование. Ростов-на-Дону. 28 мая 3 июня 2006 г. Труды. С. 107-110.

15. Бондарчук А.А. Некоторые точные решения уравнений движения вязкого газа для тропосферы с учетом вращения Земли // XIV международная конференция. Математика. Экономика. Образование. Ростов-на-Дону. 28 мая 3 июня 2006 г. Тезисы докладов. С. 123-124.

16. Бондарчук А.А. О формах равновесия вращающегося воздуха в тропосфере // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2007 г. №5. С. 9-13.

17. Бондарчук А. А. Температурно-вязкие эффекты в тропосфере, порожденные вращением Земли // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г. Аннотации докладов. Т. 1, С. 132-133.

18. Бондарчук А.А. Точные решения уравнений Навье-Стокса для сдвиговых потоков в тропосфере // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды VIII Международной конференции. Ростов-на-Дону, 2002 г. Т. 2. С. 37-40.

19. Бублик В.В. Групповая классификация двумерных уравнений движения вязкого теплопроводного совершенного газа // ПМТФ. 1996. Т. 37, № 2, С. 27-34.

20. Бублик В.В. Точные решения уравнений осесимметричных движений вязкого теплопроводного совершенного газа, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 5, С. 5154.

21. Бубнов Б.М. О-турбулизации торнадоподобных вихрей // ДАН серия Геофизика, 1997, Т. 352, № 6, С. 819-821.

22. Бубнов В.А. Об уравнениях гидродинамики для разрывных течений // Энергоперенос в каналах. Минск: Наука и техника. 1970. - С. 161-178.

23. Быркин А.П. Об одном точном решении уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа//ПММ, вып. 1,1969,152-157.

24. Вайгант В.А., Кажихов А.В. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости // Сиб. мат. журн. 1995, Т. 36, № 6. С. 1283-1316.

25. Вайсберг Д. Погода на Земле. Метеорология. Д., Гидрометеоиздат. 1980.

26. Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. Издательство СПбГУ, 2005, 304 с.

27. Варламова Е.А., Окулов В.Л., Соренсен Ж.Н. Возникновение асимметрии и нестационарности при лабораторном моделировании гидродинамической структуры смерча // Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2004, Т. 40, № 2, С. 195-209.

28. Вельтищев Н.Ф., Желнин А.А. Конвективные движения в воздушном потоке, изменяющем направление с высотой // Метеорология и гидрология. 1976. №4. С. 18-25.

29. Владимиров В. А. Формирование вихревых шнуров из восходящих потоков над испаряющейся жидкостью. // ДАН СССР, 1977, Т. 236, № 2, С. 316318.

30. Гатапов Б.В., Кажихов А.В. Существование глобального решения одной модельной задачи динамики атмосферы // Сиб. мат. журн. 2005, Т. 46, № 5. С. 1011-1020.

31. Герценштейн С.Я., Ромашова Н.Б., Чернявский В.М. О возникновении и развитии ветрового волнения // МЖГ 1988, № 3, С. 163-169

32. Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплопередачи. Ленинград: ЛГУ, 1970.376 с.

33. Голицын Г.С., Гостинцев Ю.А., Солодовник А.Ф. Турбулентная плавучая струя в стратифицированной атмосфере // ПМТФ, 1989. № 6. С. 61-69.

34. Головин С.В. Точные решения для эволюционных подмоделей газовой динамики // ПМТФ 2002. Т. 43, № 4, С. 3-14.

35. Гольдштик М.А. Одно парадоксальное решение уравнений Навье-Стокса // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 7, № 6. С. 11-17.

36. Гольдштик М.А., Штерн В.Н., Яворский Н.И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. Новосибирск, "Наука" Сибирское отделение, 1989, 336 с.

37. Гутман Л.Н. Теоретическая модель смерча. // Известия АН СССР. Серия геофизическая, 1957, № 1.

38. Добрышман Е. М. Влияние возмущений поля давления на структуру поля ветра в центральной части тайфуна // Метеорология и гидрология № 1, 2000, С. 521.

39. Добрышман Е.М. О нестационарной модели глаза тайфуна // Метеорология и гидрология. 1995. № 12. С. 5-19.

40. Должанский Ф.В. Лекции по геофизической гидродинамике. М. 2006, 377с.

41. Карельский В.Г., Марин М.Ю. Модель зарождения торнадо и противодействие этому явлению. Институт высоких температур РАН.

42. Катков В.Л. Автомодельное решение задачи о локальном ветре // Известия АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1, № 2,1965, С. 224-226.

43. Катков В.Л. Течение жидкости под действием внешнего вихря // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1973. Т. 9,№ 3. С. 326-330.

44. Кибель И.А. Метод решения задачи о локальном ветре // Тр. Центр. Ин-та прогнозов, 1, вып. 1-2,1947.

45. Кидд Дж.,Фаррис Дж. Потенциальное вихревое течение вблизи неподвижной поверхности // Тр. Амер. О-ва ниж.-мех. Прикл. Механика. 1968. Т. 35, №2. С. 1-8.

46. Костин С.И., Покровская Т.В. Климатология. Л., Гидрометеоиздат. 1961.

47. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидроаэромеханика. Ч. 1. М.: Гос. Изд-во технико-теоретической литературы, 1955, 560 с.

48. Курганский М.В. К задаче о вычислении скорости стационарных течений в атмосфере и океане // Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2003, Т. 39, № 5, С. 645-654.

49. Кэй Дж., Лэби Т. Таблицы физических и химических постоянных. М.: Гос. Изд-во физико-математической литературы, 1962,248 с.

50. Лавровский Э.К., Фоминых В.В. Построение форм равновесия вихрей неоднородной плотности в океане // IX Всероссийский съезд по теоретической иприкладной механике. Нижний Новгород, 22-28 августа 2006 г. Аннотации докладов. Т. 1, С. 154.

51. Лавровский Э.К., Фоминых В.В. Формы равновесия линз при учете реального гравитационного поля Земли // Прикл. мат. и мех. № 3, 2004, Т. 68, С. 445-451

52. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: Гос. Изд-во технико-теоретической литературы, 1954, 795 с.

53. Лаптев Г.Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975.336 с.

54. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Гос. Изд-во технико-теоретической литературы, 1957, 784 с.

55. Луговцов Б.А. Об одном механизме возникновения торнадоподобных вихрей во вращающейся жидкости // ПМТФ 2002. Т. 43 № 2 С. 77-86.

56. Макаренко В.Г., Тарасов В.Ф. Экспериментальная модель смерча // ПМТФ. 1987. №5. С. 115-122.

57. Макаренко В.Г., Тарасов В.Ф. Экспериментальная модель смерча // Докл. АН СССР. 1989. Т. 305, № 2. С. 297-300.

58. Мамонтов Е.В. Групповые свойства 2-подмоделей класса Е уравнений газовой динамики // ПМТФ. 2001. Т. 42, № 1, С.33-39.

59. Мамонтов Е.В. Инвариантные подмодели ранга два уравнений газовой динамики // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 2, С. 50-55.

60. Матвеев Л.Т. Физика атмосферы. С-П. Гидрометеоиздат. 2000 г. 778 с.

61. Меркулов В.И. Гидродинамика знакомая и незнакомая. М.:Наука, 1989, 135 с.

62. Меркулов В.И. Электрогравидинамическая модель НЛО, торнадо и тропического урагана. Новосибирск, Издательство Института математики, 1998 г.

63. Моргунов В.К. Основы метеорологии, климатологии. Метеорологические приборы и методы наблюдений: Учебник. Ростов/Д.: Феникс.- Новосибирск: Сибирское соглашение, 2005 г. 331 с.

64. Наливкин Д.В. Смерчи. Л., Наука, 1984,111 с.

65. Наливкин Д.В. Ураганы, бури и смерчи. Географические особенности и геологическая деятельность. JL, Наука, 1969,487 с.

66. Никулин В.В. Движение завихренной жидкости в ядре вертикального торнадоподобного вихря // Прикладная механика и техническая физика 1995, № 2. С. 81-87.

67. Никулин В.В. Исследование взаимодействия торнадоподобного вихря с твердыми границами //ПМТФ 1980. № 1, С. 68-75.

68. Никулин В.В. Распад вертикального торнадоподобного вихря // ПМТФ 1992. №4, С. 42-47.

69. Овсянников Л.В. Газовый маятник // ПМТФ. 2000. Т. 41, № 5, С. 115-119.

70. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1978.399 с.

71. Овсянников Л.В. Каноническая форма инвариантных подмоделей газовой динамики // Новосибирск, 1997. (Препр. / СО РАН. Ин-т гидродинамики; № 3-97)

72. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Новосибирск: СО Ин-т гидродинамики РАН, 1992.11 с.

73. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. Т. 58, вып.4,1994. С. 30-55

74. Овсянников Л.В. Регулярные и нерегулярные частично инвариантные решения // ДАН, Математика, 1995, Т. 343, № 2, С. 156-159.

75. Прохоров Г.В., Леденев М.А., Колбеев В.В. Пакет символьных вычислений Maple 5. М. 2000 г. -127 с.

76. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.:Наука, 1981, 447 с.

77. Седунов Ю. С., Авдюшин С. И., Борисенков Е. П. Атмосфера. Справочник (справочные данные, модели). Л., Гидрометеоиздат. 1991,510 с.

78. Скуратова И.С. О периодической ячейковой конвекции в тропосфере // Метеорология и гидрология. 1969. № 8. С. 47-53.

79. Снопов А.И. Газотермодинамическая модель стримера линейной молнии // XIII международная конференция. Математика. Экономика. Образование. Ростов-на-Дону. 29 мая 5 июня 2005 г. Тезисы докладов. 2005 г. С. 122-123.

80. Степанянц Л.Г. Некоторые случаи движения сжимаемого вязкого газа // Труды ЛПИ, Энергомашиностроение, Техническая гидромеханика, 1953, вып. 5, 111-128 с.

81. Сутырин Г.Г. К теории уединенных антициклонов во вращающейся жидкости // Докл. АН СССР. 1985. Т. 280. № 5. С. 1101-1005.

82. Сычев В.В. Об одном классе автомодельных решений для течений типа торнадо // Известия РАН. МЖГ. 1997. №3, С. 112-124.

83. Тарасов Л.В. Физика в природе. М.: Просвещение, 1988. 351 с.

84. Тейлор Д.И. Теория и эксперимент в гидромеханике. Наука и человечество 1971-1972. С. 378-387.

85. Финн Р. Стационарные решения уравнений Навье-Стокса. Новосибирск, Издательство Новосибирского университета, 1967. 53 с.

86. Чупахин А.П. Инвариантные подмодели особого вихря // ПММ. 2003. Т. 67, вып. 3, С. 390-405.

87. Чурилов С.М. Об устойчивости стратифицированных сдвиговых течений с монотонным профилем скорости без точек перегиба // Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2004, Т. 40, № 6, С. 809-820.

88. Швидерски Е. Индуцируемое вихрем осесимметричное течение над плоской поверхностью // Тр. Амер. О-ва ниж.-мех. Прикл. Механика. 1969. Т. 36,№ 3. С. 248-253.

89. Шидловский В.П. Автомодельные движения вязкого и теплопроводного газа при внезапном выделении энергии // Известия АН СССР Механика жидкости и газа. 1972. №3, С. 117-123.

90. Щенников В.В. Об одном классе точных решений уравнений Навье-Стокса для случая сжимаемого теплопроводного газа // ПММ, вып. 3, 1969, С. 582-584

91. Якимов Ю.Л. Смерч и особое предельное решение уравнений Навье-Стокса // МЖГ. 1988, № 6, С. 23-33.

92. Интенсивные атмосферные вихри / Под редакцией Л. Бенгстона, Дж. Лайтхилла М.: Мир, 1985. 368 с.

93. Метеорология или учение о погоде/ Пер. изд-ва "Общественная польза" СПб., 1976. 283 с.

94. Таблицы стандартной атмосферы. ГОСТ 4401-48 М.: Стандартизация, 1974. 68 с.

95. Barcilon A. A theoretical and experimental model for a dust devil. // J. Atmos. Sci., 1967, vol. 24, № 5.

96. Becker R. Impact Waves and Detonation // N.A.C. А. Т. M., No. 505.

97. Hsu C.T., Fattahi. Mechanism of tornado funnel formation. // Phys. Fluids, 1976, vol. 19, №12.

98. Maxworthy T. On the structure of concentrated columnar vortices. // Astron. Acta, 1972, vol. 17, №4-5.

99. Meleshko S.V. Group classification of two-dimensional stable viscous gas equations // Intern. Journ. of Non-Linear Mechanics. 1998. Vol. 34, 33. P. 449-456.

100. Morduchow M., Libby. P On a complete solution of the one-dimensional flow equations of a viscous, heat-conducting, compressible gas // Journal of the Aeronautical Sciences, v. 16, № 11,674-684,1949.

101. Serrin J. The swirling vortex // Philos. Trans. R. Soc. London. Ser. A. 1972. V.271, № 1214. P.91-110.

102. Thomas Notes on the Becker's theory of the shock front // Journ. Chem. Physik, 12, P. 449-453, 1944.

103. Turner J.S. The constraints imposed on tornado-like vortices by the top and bottom boundary conditions. // J. Fluid Mech., 1966, vol. 25, № 2.

104. Wan C.A., Chang C.C. Measurement of the velocity field in the simulated tornado-like vortex using a three-dimensional velocity probe. // J. Atmos. Sci., 1972, vol. 29, №3.

105. Ward N.B. Exploration of certain features of tornado dynamic using a laboratory model. // J. Atmos. Sci., 1972, vol. 29, № 6.

106. Williams J.C. Conical nozzle flow with velocity slip and temperature jump // AIAA Journal, 1967, vol. 5, №13.

107. Ying S.J., Chang C.C. Exploratory model study of tornado-like vortex dynamics. // J. Atmos. Sci., 1970, vol. 27, № 1.

108. Валландер C.B. Равновесие бароклинной теплопроводной жидкости в консервативном силовом поле. Докл. АН СССР. 1974, Т. 216, № 2.

109. Снопов А.И. Диабатическое сжатие газового облака // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды X Международной конференции, Ростов-на-Дону, 2006 г. Т. 1. С. 264-265.