Задачи гидродинамики и гидроупругости высокоскоростного движения в воде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Развитые кавитационные течения в дозвуковом потоке сжимаемой жидкости.

1.1 Тонкие осесимметричные каверны в дозвуковом потоке.

1.2 Кавитационные течения за тонкими конусами.

1.3 Расчет осесимметричных каверн за диском.

1.4 Сравнение результатов теоретического исследования с экспериментальными данными.

Глава 2. Развитые кавитационные течения в сверхзвуковом потоке.

2.1 Тонкие осесимметричные каверны при сверхзвуковом обтекании.

2.2 Применение теории тонкого тела для исследования кавитационных течений за конусами.

2.3 Прямой скачок уплотнения в сверхзвуковом потоке.

2.4 Расчет кавитационного обтекания диска.

2.5 Течение Прандтля-Майера в сверхзвуковом потоке воды.

2.6 Основные зависимости для косого скачка уплотнения.

2.7 Конические течения.

2.8 Характерные особенности сверхзвуковых кавитационных течений.

2.9 Экспериментальные данные о кавитационных течениях, возникающих при движении тела в воде со сверхзвуковой скоростью.

Глава 3. Гидроупругое взаимодействие с жидкостью тел вращения.

3.1 Статическая устойчивость цилидрического стержня, движущегося в воде с большой скоростью.

3.2 Уравнения движения тела вращения при гидроупругом взаимодействии с жидкостью.

3.3 Основные параметры, характеризующие движение упругого тела в жидкости.

Глава 4. Гидроупругое взаимодействие с жидкостью погружающегося днища.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Уравнения, описывающие гидроупругое взаимодействие днища с жидкостью.

4.3 Результаты численных расчетов.

4.4 Влияние пиковых давлений на деформацию упругой балкиполоски.

Глава 5. Погружение в жидкость пластины бесконечного размаха по круговой траектории с постоянным углом дифферента.

5.1 Постановка задачи.

5.2 Решение задачи о погружении пластины по круговой траектории с постоянным углом дифферента.

5.3 Сравнение расчетных зависимостей с экспериментальными данными.

Глава 6. Нестационарное глиссирование тел вращения по поверхности жидкости.

6.1 Стационарное глиссирование тел вращения.

6.2 Рикошет тел вращения.

Глава 7. Воздействие расширяющегося газового пузыря на тело вращения.

7.1 Постановка задачи.

7.2 Применение метода граничных элементов для расчета воздействия полусферического газового пузыря на тело вращения.

Высокоскоростная гидродинамика исследует процессы, связанные с современными объектами техники: гидросамолетами, экранопланами и другими летательными аппаратами, морскими аппаратами, движущимися в воде, объектами авиационной и космической техники, совершающими аварийную посадку на поверхность воды и т.д. К проблемам, которые исследует современная высокоскоростная гидродинамика, следует отнести: развитые кавитационные течения, образующиеся при движении тел в воде с большой скоростью, гидроупругое взаимодействие тел с жидкостью, посадочный удар о воду летательных аппаратов, движение нестационарных свободных границ и т.д.

В НИО-12 ЦАГИ Л. И. Седовым и Г. В. Логвиновичем создана школа гидродинамики больших скоростей, основные научные принципы изложены в монографии [1]. На этом научном фундаменте в НИО-12 успешно решены многие задачи, обеспечившие прогресс морской техники. Следует также отметить теоретические работы М. И. Гуревича [2]. Дальнейшее развитие высокоскоростная гидродинамика получила в работах О. П. Шорыгина [3], Л. А. Эпштейна [4], Е. Н. Капанкина [5], М. Г. Щегловой [6], Ю. Ф. Журавлева [7], Э. В. Парышева [8] и др. Большой вклад в гидродинамику скоростного движения внесли работы Г. В. Уварова, А. Б. Лотова, В. П. Соколянского, М. Ю. Цейтлина, Е. А. Федорова, Б. И. Романовского, Г. В. Махортых, Н. А. Шульмана, А. А. Болдырева, А. А. Лисаченко, В. В. Стрекалова, В. В. Воронина, В. М. Лапина, В.Н. Куликова, А. И. Аржанова, С. И. Сиволдаева и др.

Наряду с работами школы гидродинамики ЦАГИ следует отметить работы других научных школ: С. С. Григоряна, Г. Ю. Степанова, Ю. Л. Якимова, В. П. Карликова, А. Г. Терентьева, А. Г. Горшкова, В. Б. Поручикова, В. А. Ерошина, А. В. Кузнецова, О. М. Киселева, Л. М. Котляра, Ю. Н. Савченко, В. Н. Буйвола, А. Н. Иванова, К. В. Рождественского, А. Ф.

Болотина, М. А. Басина, Э. Л. Амромина, Л. Г. Гузевского, Л .И. Мальцева, В. М. Ивченко, Д. В. Маклакова, К. Е. Афанасьева и др.

Современное развитие морской техники требует создания теоретических методов, основанных на численных алгоритмах, и применения математических моделей исследуемых процессов. Такой подход обусловлен возросшей сложностью решаемых задач для перспективных образцов техники. В случае высокоскоростного движения в воде существенное значение начинает играть свойство сжимаемости жидкости и гидроупругое взаимодействие. Появляются сложные задачи, связанные с динамикой движения тела в воде, с взаимодействием с нестационарными свободными границами, с развитием газовых пузырей в условиях теплообмена с жидкостью и т.п. Эти сложные процессы очень затруднительно исследовать экспериментально. Кроме того, очень велика стоимость крупномасштабного эксперимента. Применение достоверных математических моделей позволяет рассчитывать различные варианты исследуемых процессов, выбрать наиболее оптимальный вариант, определить детали явления, выявить влияние различных параметров. Только после такого исследования совместно с опытами на малых моделях целесообразно проводить сложный, дорогой крупномасштабный эксперимент, дающий картину явления в целом.

Современная вычислительная техника позволяет эффективно рассчитывать течения жидкости. Основные численные методы, применяемые в динамике жидкостей,описаны в [9]. Следует отметить, что применительно к высокоскоростной гидродинамике не существует универсального численного метода, позволяющего решать все задачи. Каждая задача наиболее эффективно решается своим способом. Например, для исследования развитых кавитационных течений в сжимаемой жидкости применяется метод конечных разностей [10,11], получивший широкое распространение в газовой динамике. Для расчета гидроупругого взаимодействия используются методы Бубнова-Галеркина и конечных элементов [12, 13]. Исследования течений со свободными границами в несжимаемой жидкости (вход тел в воду, движение и деформация газового пузыря и т.п.) целесообразно проводить на базе метода граничных элементов [14,15]. Основы методов граничных и конечных элементов применительно к гидродинамике изложены в [16]. В некоторых случаях (тонкие тела, наличие в задаче малого параметра и т.п.) целесообразно вместо численных использовать аналитические методы: метод сращиваемых асимптотических разложений [17, 18], теорию тонкого тела [19,20], разложения по малому параметру [21] и т.д. В случае сложных задач нестационарной кавитации имеет смысл применять сформулированный Г. В. Логвиновичем «принцип независимости» [1], который в основном правильно описывает поведение нестационарной каверны. Таким образом, успешное применение математических методов к задачам гидродинамики больших скоростей возможно только при комплексном использовании современных численных (методы конечных разностей, граничных и конечных элементов), аналитических методов и упрощенных подходов, которые соответствуют основным свойствам течения. Кроме того, необходимо учитывать физические особенности рассматриваемой задачи и знать физическую сущность явления.

Тема данной диссертации посвящена следующим актуальным вопросам современной гидродинамики: развитые кавитационные течения, возникающие в сжимаемой жидкости, включая случай сверхзвукового обтекания, гидроупругое взаимодействие с жидкостью (статическая устойчивость упругого цилиндрического стержня при движении с большой скоростью, превышающей 1000 м/с; движение упругого тела вращения в режиме сплошного обтекания; погружение упругого килеватого днища в воду), нестационарное течение, вызываемое плоской пластинкой при движении по круговой траектории в процессе входа в воду, нестационарное глиссирование тел вращения по поверхности жидкости, воздействие расширяющегося пузыря на тело вращения.

Указанные вопросы имеют приложение к морским аппаратам, к посадке на воду гидросамолетов и экранопланов, к объектам авиационной и космической техники, совершающим аварийную посадку на поверхность воды.

При движении тела в жидкости с большой скоростью за ним образуется полость-каверна, заполненная газом или паром. Математически задача об определении формы каверны ставится как обратная к задаче об обтекании: из условия постоянства давления на поверхности найти форму обтекаемого тела. Обратная задача существенно сложнее прямой. Ввиду сложности указанной задачи для приближенного определения формы осесимметричной стационарной каверны в несжимаемой жидкости Г. В. Логвинович [22, 23] применил уравнение сохранения энергии к каждому сечению каверны. Развитие этой гипотезы дало обоснование известному «принципу независимости расширения каверны», который применяется и для расчета нестационарных каверн.

Для исследования развитых осесимметричных кавитационных течений в несжимаемой жидкости получили значительное распространение работы, основанные на теории тонкого тела: С. С. Григорян [24], Ю. Л. Якимов [2528], Г. В. Логвинович и В. В. Серебряков [29], В. В. Серебряков [30, 31], Е. Н. Капанкин и И. Г. Нестерук [32], И. Г. Нестерук [33, 34], Чоу [124], Нишияма и Кобаяши [125] и др. Г. В. Логвинович в работе [35] показал, что энергетическая теория и асимптотическая теория тонкого тела идентичны в приложении к тонкой осесимметричной каверне.

Задача об определении формы осесимметричной каверны в несжимаемой жидкости в точной постановке была решена путем численного решения интегральных уравнений (методы граничных интегральных уравнений) в работах Л. Г. Гузевского [36, 37], Л. А. Кожуро [38], А. Н. Иванова и Э. Л. Амромина [39, 40]. С результатами этих исследований хорошо согласуются результаты расчета Г. И. Субханкулова и А. Н. Хомякова [41], выполненного позднее методом граничных элементов.

Многочисленные экспериментальные работы по исследованию кавитационных течений в несжимаемой жидкости были проведены Л. А.

Эпштейном [4] и В. П. Карликовым и др. [42, 43]. Результаты зарубежных экспериментальных исследований представлены в [44].

Первым исследованием, в котором теоретически рассмотрено струйное обтекание тела сжимаемым потоком, была работа С. А. Чаплыгина [45], опубликованная в 1902 году (струйное обтекание газовым потоком плоской пластинки). С тех пор опубликовано довольно много работ по струйным и течения в сжимаемой жидкости, однако почти все они относятся к плоскому случаю обтекания. Пространственный или осесимметричный случай был впервые рассмотрен М. И. Гуревичем [46]. В этой работе М. И. Гуревич вывел закон расширения каверны за телом при нулевом числе кавитации и обобщил его на случай дозвукового потока. Следует отметить малое количество исследований, посвященных пространственным навигационным течениям в сжимаемой жидкости. Такое положение объясняется отсутствием практического интереса к этой проблеме до 1980-х годов и сложностью задачи.

В СССР интерес к навигационным течениям в сжимаемой жидкости возник в начале 80-х годов. Были выполнены работы, основанные на теории тонкого тела: Ю. Л. Якимов [47,48], автор [49-52], В. В. Серебряков [53,54]. Г. А. Альев [55] рассчитал каверну за тонким конусом на основе численного метода первого поколения.

Теория тонкого тела имеет ограниченное применение для расчета развитых навигационных течений в сжимаемой жидкости. Для затупленных кавитаторов (диск, тупой конус) эта теория не позволяет получить все данные о кавитационном течении, например: форму каверны непосредственно за кавитатором, величину кавитационного сопротивления. Линейное уравнение для потенциала обтекания тонких осесимметричных тел сжимаемой жидкостью неприменимо в околозвуковом диапазоне скоростей. Кроме того, при сверхзвуковом обтекании, как показано в работах автора, теория тонкого тела встречает принципиальные трудности.

Развитие численных методов и широкое внедрение ЭВМ позволяет эффективно рассчитывать кавитационные течения в сжимаемой жидкости. Следует отметить работы Л. М. Зигангареевой и О. М. Киселева [56], автора [57-59, 118-120]. Определение формы каверны в сжимаемой жидкости в точной постановке является сложной задачей, так как основное уравнение (уравнение неразрывности) становится нелинейным из-за зависимости плотности от скорости (в отличие от несжимаемой жидкости). Автор для численного решения этой задачи применил хорошо апробированный в газовой динамике метод конечных разностей.

Важное значение для расчета кавитационных течений в сверхзвуковом потоке воды имеет правильное описание ударных волн. Ударные волны в воде существенно отличаются от ударных волн в воздухе: как показал анализ, в диапазоне чисел Маха 1<М<2,2 прямой скачок уплотнения в воде можно считать изоэнтропическим. Изоэнтропичность скачка является следствием особенности молекулярного строения жидкости. Внутренняя энергия воды расщепляется на две части, одна из которых зависит только от плотности, а другая только от энтропии [60]. Давление на фронте ударной волны в воде (до значения 3-10 МПа) зависит только от плотности, изменением энтропии можно пренебречь. В этом случае для определения параметров ударной волны достаточно двух механических условий уравнения сохранения массы и импульса), третьим условием является уравнение состояния воды (уравнение Тэта). Эта особенность воды учтена в

61,62] при составлении уравнений для ударных волн. Некоторые авторы:

Нишияма и Кхан [126], Г. А. Альев [63] записывают основные уравнения ударной волны для воды в таком же виде^как и для воздуха. Следствием этого является идентичность записи ударной адиабаты для воды и воздуха отличие заключается только в значении показателя адиабаты). Получается парадоксальный результат [126], заключающийся в том, что в воде е „ существует предельное значение отношения плотности пред ударной волной к плотности за ней, равное 1,325, что противоречит известным экспериментальным и теоретическим данным [64,65].

Автор использовал результаты [61,62] и в работе [66] получил основные соотношения для скачков уплотнения в сверхзвуковом потоке воды и рассчитал конические течения в диапазоне чисел Маха 1<М <5.

На протяжении ряда лет в Институте гидромеханики АН Украины в отделе Ю. Н. Савченко проводятся экспериментальные исследования развитых кавитационных течений в сжимаемой жидкости. В работах [67,68] опубликованы экспериментальные данные о кавернах, возникающих при движении тела в воде с большой скоростью (число Маха находилось в диапазоне 0,1<М<0,7). В более поздних публикациях [121,122] число Маха достигло значения 0,93. Из опубликованных экспериментальных данных, полученных в России, следует отметить работу [69], в которой скорость движения тела изменялась от 60 до 700 м/с. Сравнение вышеуказанных экспериментальных данных о кавитационных течениях в дозвуковом потоке сжимаемой жидкости (диапазон чисел Маха 0,1<М<0,93) с теоретическими результатами автора [50,51,57] показало хорошее согласование.

В настоящее время в США и в Институте гидромеханики АН Украины проводятся опыты по сверхзвуковому движению тела в воде. Опубликованных количественных экспериментальных данных о кавитационных течениях в сверхзвуковом потоке нет, однако в работе [123] помещена фотография сверхзвукового кавитационного течения с отошедшей ударной волной. Качественно картина течения [123] согласуется с теоретическим расчетом автора [59].

В случае движения с большей скоростью (превышающей 1000 м/с) возникает вопрос о статической устойчивости упругого тела при действии сжимающей силы. Ранее подобная задача была рассмотрена О. А. Горошко [70] применительно к свободному полету летательного аппарата под действием касательной «следящей» нагрузки. В [70] исследована динамическая устойчивость упругого стержня, движущегося под действием следящей силы, и как частный случай определена область статической неустойчивости. Был применен метод Бубнова-Галеркина, а в качестве фундаментальных функций использованы функции, описывающие свободные поперечные колебания однородной балки. При таком подходе точность определения критерия статической устойчивости очень низкая, так как выбранные фундаментальные функции не соответствуют дифференциальному уравнению продольного изгиба стержня под действием следящих сил.

В данной диссертации автор теоретически рассмотрел задачу о движении упругого однородного цилиндрического стержня при действии сжимающей следящей силы, приложенной к переднему плоскому срезу (по касательной к упругой линии стержня). В исследовании автора показано, что для точного определения условия статической устойчивости в методе Бубнова-Галеркина необходимо использовать фундаментальные функции, соответствующие сложному изгибу стрежня от двух следящих сил, приложенных к его концам, к этим силам следует добавить распределенную поперечную нагрузку для удовлетворения условию равновесия. Используя три фундаментальные функции, автор в диссертации получил точные значения критерия статической устойчивости.

Тенденция к увеличению скорости движения морских аппаратов приводит к возрастанию гидродинамических нагрузок. В перспективе на динамику движения скоростных аппаратов большого удлинения может существенно влиять гидроупругое взаимодействие с жидкостью. Кроме того, нежесткость конструкции и упругие колебания корпуса влияют на характеристики системы автоматического управления, работу приборного оборудования.

Ранее вопрос о влиянии упругости конструкции на динамику движения и работу системы автоматического управления исследовался применительно к полету ракет [71]. Аэродинамические силы в каждом сечении определялись по местному углу атаки между упругой линией ракеты и вектором скорости. Такой подход является весьма приближенным, так как не учитывает нестационарные силы, возникающие при колебаниях корпуса.

При движении в воде нестационарные силы имеют существенно большее значение, чем при движении в воздухе (присоединенная масса в воде в 800 раз превышает присоединенную массу в воздухе). Учет изменения импульса в слое жидкости позволяет более точно оценивать гидроупругое взаимодействие тела с жидкостью, по сравнению с методикой, предложенной в [71] для расчета динамики полета упругой ракеты. Из работ, посвященных гидроупругому взаимодействию тел вращения с жидкостью, следует отметить работы Э. В. Парышева и С. Е. Постнова, в которых произведен учет нестационарных гидродинамических сил, возникающих при упругих колебаниях.

В данной диссертации автор при расчете нестационарных сил применил метод, предложенный Г. В. Логвиновичем для движения гибкого тела [1] (определяется полная производная по времени от выражения для упругой линии). Автором разработана математическая модель, которая позволяет рассчитывать динамику движения упругого тела вращения в режиме сплошного обтекания.

Гидроупругое взаимодействие конструкций с жидкостью происходит при посадке и взлете гидросамолетов, при аварийной посадке на воду объектов авиационной и космической техники, при движении по волнам судов (слэмминг) и в некоторых других случаях. Гидроупругость оказывает существенное влияние на величину и распределение гидродинамических нагрузок^

Обзор работ по исследованию влияния упругости погружающихся в жидкость конструкций на гидродинамические силы сделан Э. И. Григолюком и А. Г. Горшковым [72]. Применению метода конечных элементов к расчету гидроупругого взаимодействия с жидкостью посвящена монография Н. Ф. Ершова и Г. Г. Шахверди [73]. Большой комплекс экспериментальных работ по изучению влияния упругости конструкции на процесс входа в воду проведен Р. И. Осьмининым.

В СССР первое исследование по влиянию упругости конструкции гидросамолета на величину ударных нагрузок при посадке выполнил А. С. Повицкий [74]. В. Н. Шац [75-77] исследовал напряжения, возникающие в обшивке днища судна при ударе о волну. Следует отметить, что вышеупомянутые работы используют в основном «квазистационарный» метод гидроупругого расчета плоских клиновидных тел, основанный на том, что для учета упругих деформаций используется уравнение Вагнера для жесткого тела, имеющего такую же форму, что и деформированное упругое тело. Однако при этом не учитываются скорости и ускорения упругих колебаний, которые могут оказывать существенное влияние на величину гидродинамических давлений и сил. Мейерхофф [127] задачу о погружении клина с упругой пластиной рассмотрел в более общей постановке (учитывались скорости упругих колебаний), но был применен очень сложный метод исследования и не удалось получить решение интегрального уравнения Вагнера в аналитическом виде. Кроме того, в [127] при рассмотрении уравнения упругих колебаний пластины не учитывались цепные силы.

Автор в работе [78] создал математическую модель гидроупругого взаимодействия с жидкостью погружающегося днища, которая наиболее полно учитывает различные факторы: упругую деформацию, скорость и ускорение упругих колебаний, влияние цепных усилий, начального прогиба и подвижности опор. Применение математической модели позволило выявить интересные эффекты гидроупругого взаимодействия с жидкостью. Одновременно исследовано влияние пиковых давлений, возникающих в области разворота брызговой струи, на величину напряжений и упругих деформаций днища. Автор [78] исследовал местную гидроупругость (деформацию упругой пластины килеватого днища). Более позднее исследование И. А. Ляховенко и Е. Ю. Соминой [79] относится к общей гидроупругости (расчету динамического нагружения гидросамолета при посадке на воду).

В некоторых случаях аварийную посадку на воду совершают летательные аппараты с низкорасположенным крылом (самолеты, воздушно-космические аппараты типа «Спейс Шаттл» и др.). Важное значение имеет определение нестационарной гидродинамической силы, действующей в период посадки. Смоченная поверхность крыла вытянута в направлении, перпендикулярном к оси симметрии аппарата. В первом приближении для расчета гидродинамической силы можно использовать решение задачи о нестационарном глиссировании плоской пластины и применить метод плоских сечений, перпендикулярных к размаху крыла.

Нестационарное глиссирование плоской пластинки относится к классу задач о нестационарном глиссировании профилей. В общей постановке эта задача рассмотрена Л. И. Седовым [80] (произвольный характер движения профиля, но с ограничениями, принятыми в теории тонкого крыла). Теоретическое рассмотрение нестационарного глиссирования затруднено необходимостью учета следа за глиссирующим телом и определения смоченной поверхности, зависящей от всей предыстории движения. Задача определения течения жидкости при погружении пластины сводится к решению системы из двух нелинейных интегральных уравнений, одно из которых является условием конечности скорости жидкости на задней кромке, другое интегральное уравнение определяет подъем свободной границы у поверхности пластины. Решение системы нелинейных интегральных уравнений для общего случая представляет значительные трудности. В. А. Ерошин [81] использовал численный метод для расчета рикошета пластинки от поверхности жидкости. Применение численного метода является весьма трудоемкой задачей и не позволяет получить быструю оценку гидродинамической силы.

Л. И. Седовым [80] получено аналитическое решение для случая посадки на воду пластины бесконечного удлинения с постоянной по величине и направлению скоростью. Эта задача является автомодельной. О. П. Шорыгин [3] подробно исследовал класс автомодельных течений, им сформулированы некоторые общие положения гидродинамики течений с внутренними свободными границами. Решение задачи об автомодельном погружении пластинки позволяет оценить гидродинамические силы и давления, действующие на днище или крыло аппарата только на начальном участке погружения, когда изменением величины и направления вектора скорости можно пренебречь.

Аппарат при нестационарном глиссировании совершает движение по криволинейной траектории, когда существенно изменяется и величина (в первую очередь вертикальная компонента), и направление скорости; возможен также вылет аппарата из воды - рикошет. Во многих случаях криволинейную траекторию на коротком участке можно приближенно считать круговой, а изменением угла дифферента (угол между осью симметрии и невозмущенной поверхностью воды) и горизонтальной компоненты скорости можно пренебречь.

Автор [82] получил аналитическое решение задачи о погружении пластины в воду по круговой траектории. Решение получено методом разложения функций, входящих в систему интегральных уравнений, в ряды по малому параметру, равному отношению пройденного пути к радиусу кривизны траектории. При радиусе кривизны, стремящемся к бесконечности, задача переходит в автомодельный случай, рассмотренный Л. И. Седовым. Сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными показало, что полученными зависимостями можно пользоваться при оценке гидродинамических сил и давлений, действующих на аппарат при посадке на воду.

Нестационарное глиссирование тел вращения по границе жидкости встречается в некоторых задачах практики: глиссирование фюзеляжа при аварийной посадке самолета на воду и т.д. Глиссирование тел вращения (цилиндр, конус) при малых наклонах оси симметрии к поверхности жидкости происходит на смоченной поверхности, вытянутой в направлении движения. Г. В. Логвинович [83] предложил для вычисления гидродинамической силы при глиссировании цилиндра применять метод плоских (поперечных) сечений с учетом смещения слоев. Для расчета необходимо определить силу, действующую на элемент цилиндра при нормальном погружении в жидкость. Г. В. Логвинович получил выражение для этой силы при малых погружениях, когда окружность можно аппроксимировать параболой [1]. В. А. Соколов (см. [84]) уточнил смоченную поверхность цилиндра для больших погружений. Решение ряда задач на удар и погружение цилиндра в цилиндрической впадине принадлежит Э. В. Парышеву (см. [85]). Ю. Ф. Журавлев провел серию опытов по глиссированию конусов. Сравнение экспериментальных данных по подъемным силам с силами, вычисленными по методу плоских сечений, показало их удовлетворительное соответствие [85]. О. П. Шорыгин, Ю. Ф. Журавлев и Н. А. Шульман [86] экспериментально исследовали глиссирование и погружение цилиндра в жидкость (ими также выполнен расчет по методу плоских сечений). Ряд опытов по рикошету цилиндра проведен А. Н. Беляевским и С. С. Лукьяновым.

Автор в работе [87] определил гидродинамические силы, действующие на тела вращения (цилиндр, конус) при стационарном и нестационарном глиссировании. Рассчитан рикошет тел вращения. Результаты вычислений удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Полученные результаты можно применять для расчета взаимодействия тела вращения с поверхностью жидкости (плоская граница, каверны).

Важное значение для гидродинамики имеют задачи, связанные с движением пузырей в жидкости: подъем пузыря, его деформация, взаимодействие со свободными границами и твердыми телами, схлопывание, образование кумулятивной струи и т.д. Обзор исследований по пузырям содержится в [88]. Для расчета динамики движения пузыря широко используются численные методы: граничных интегральных уравнений и граничных элементов. Численные методы применяются для расчета плоских, осесимметричных и пространственных течений с пузырями: Ю .Л. Якимов и Г. А. Константинов [89], О. В. Воинов и В. В. Воинов [90], А. Г. Терентьев, К. Е. Афанасьев и М. М. Афанасьева [91,92], С. Ю. Морозенко и Н. Н. Ясько [93] и др. В. Н. Куликов исследовал деформацию пузыря и взаимодействие его с телом вращения.

В данной диссертации автор методом граничных элементов рассчитал воздействие расширяющегося полусферического пузыря на тело вращения с полусферической носовой частью (пространственный случай). Метод базируется на треугольных граничных элементах, имеющих линейное распределение потенциала на своей поверхности (2-ой порядок точности). В дальнейшем на базе созданной математической модели можно рассчитывать унос и деформацию пузыря.

В диссертации представлены результаты, полученные автором в 19841998 гг. Диссертация состоит из 7 глав, введения, заключения и списка литературы.

В главах 1 и 2 рассмотрены развитые кавитационные течения, возникающие при дозвуковом и сверхзвуковом обтекании сжимаемой жидкостью. Исследование проведено на основе теории тонкого тела и численных методов.

Автор на основании теории тонкого тела вывел интегро-дифференциальное уравнение для профиля каверны в дозвуковом и сверхзвуковом потоках. Для нахождения внешнего решения использовано условие малости размеров кавитатора по сравнению с размерами каверны. Внешнее решение получено методом разложения в асимптотические ряды по малому параметру (малый параметр равен обратной величине удлинения каверны). Определена форма каверны в средней ее части и получена зависимость удлинения каверны от числа кавитации и числа Маха. Из выражения для профиля каверны следует, что каверна в дозвуковом потоке симметрична относительно миделевого сечения и близка к эллипсоиду вращения (как и в несжимаемой жидкости). В сверхзвуковом потоке каверна становится несимметричной относительно середины ее длины (второе приближение), хотя первым приближением является эллипсоид вращения. Показано, что в сверхзвуковом потоке нахождение второго приближения формы каверны выходит за рамки теории тонкого тела, так как первое приближение - эллипсоид вращения не является тонким телом в передней части, где образуется скачок уплотнения. Скачок не описывается в рамках теории малых возмущений.

Рассмотрено кавитационное обтекание тонких конусов дозвуковым и сверхзвуковым потоком. В случае одинаковых порядков тонкости конуса и каверны получено решение для всей области течения. Решение разлагалось в асимптотические ряды по малому параметру, равному отношению радиуса конуса к его длине. Выяснено, что в отличие от дозвукового обтекания, теория тонкого тела неприменима для сверхзвукового потока. Анализ этого явления показал, что теория тонкого тела не соответствует течению у кромки конуса. У кромки в сверхзвуковом потоке возникает течение Прандтля-Майера. Поток должен повернуться на угол, определяемый давлением в каверне или числом кавитации. Наклон свободной линии тока несколько меньше угла полураствора конуса. Этому условию нельзя удовлетворить в рамках теории тонкого тела.

Автором разработан численный алгоритм, который позволяет рассчитывать кавитационные течения в сжимаемой жидкости в широком диапазоне чисел кавитации. Выполнен численный расчет развитых осесимметричных каверн за диском в диапазоне чисел Маха 0<М<1,4. В расчете длина каверны была постоянной и соответствовала числу кавитации 0,02 для несжимаемой жидкости. Для различных чисел Маха определены: число кавитации, коэффициент кавитационного сопротивления, радиус миделя, удлинение и форма каверны, расстояние скачка уплотнения от поверхности диска (для сверхзвукового потока). Численный расчет показал, что при переходе через скорость звука не происходит существенного изменения формы каверны по сравнению с дозвуковым обтеканием. Результаты численного расчета каверн в до- и сверхзвуковом потоке удовлетворяют законам сохранения массы и импульса.

Проведен анализ уравнений для прямого скачка уплотнения в воде. Показано, что если число Маха меньше 2,2, то скачок уплотнения можно считать изоэнтропическим и пренебрегать потерями механической энергии.

Получены основные соотношения для косых скачков уплотнения в сверхзвуковом потоке воды и рассчитаны конические течения в диапазоне чисел Маха 1<М<5. Определены зависимости угла наклона скачка уплотнения, скорости на поверхности конуса и коэффициента давления от числа Маха набегающего потока. Найдены зависимости критических углов от числа Маха для плоского потока (клин) и осесимметричного (конус). Показано, что при сверхзвуковом обтекании водой критические углы клина и конуса существенно меньше критических углов при обтекании этих тел воздухом.

В главе 3 исследовано гидроупругое взаимодействие с жидкостью тел вращения. Рассмотрены две задачи: статическая устойчивость упругого цилиндрического стержня, движущегося в воде с большой скоростью, и динамика движения упругого тела вращения в режиме сплошного обтекания.

Найдено решение задачи о сложном изгибе цилиндрического стрежня под действием двух сжимающих следящих сил, приложенных к его концам, и распределенной поперечной нагрузки. Полученное решение содержит набор фундаментальных функций, удовлетворяющих граничным условиям на концах стержня. Выведено дифференциальное уравнение сложного изгиба упругого цилиндрического стержня, движущегося под действием следящей силы, приложенной к переднему плоскому срезу (по касательной к упругой линии стрежня). Упругая линия представлена в виде ряда по трем фундаментальным функциям. Критерий статической устойчивости найден методом Бубнова-Галеркина. Определены величины удлинения стержня, соответствующие потере устойчивости, при различных значениях скорости движения.

Выведены уравнения движения упругого тела вращения в вертикальной плоскости симметрии в режиме сплошного обтекания. Для расчета нестационарных гидродинамических сил применена предложенная Г. В. Логвиновичем концепция пронизываемого слоя. Изменение импульса в слое жидкости определено с учетом скоростей упругих колебаний (определена полная производная по времени от выражения для упругой линии). В качестве расчетной схемы использована свободная балка переменной погонной массы и жесткости. Система уравнений представлена в виде, позволяющем численно интегрировать ее на ЭВМ. Определены основные параметры, характеризующие движение упругого тела в жидкости.

В главе 4 рассмотрено гидроупругое взаимодействие с жидкостью погружающегося днища. В двумерной постановке исследовано погружение упругого тела произвольной формы (в частности клиновидной).

Рассмотрены колебания упругой пластины, составляющей днище, в процессе погружения в воду. Для определения потенциала скорости возникающего течения методом Л. И. Седова решена краевая задача. Смоченная ширина определена из решения интегрального уравнения Вагнера. Математическая модель гидроупругого взаимодействия днища с жидкостью учитывает следующие факторы: деформацию, скорость и ускорение упругих колебаний, влияние цепных усилий, начального прогиба и подвижности опор. Расчет проведен для четырех вариантов нагружения. Первый вариант расчета соответствует полному учету гидроупругого взаимодействия (учитываются упругие деформации , скорости и ускорения упругих колебаний). Второй вариант расчета соответствует статической гидроупругости (учитываются лишь упругие деформации). Третий вариант расчета соответствует воздействию на упругий клин динамического давления, равного давлению, возникающему при погружении жесткого клина. Четвертый вариант расчета соответствует статическому нагружению в уравнении изгиба балки-полоски отсутствует инерционный член, а давление определяется аналогично третьему варианту расчета).

Обнаружен интересный эффект, заключающийся в том, что в некоторых случаях (когда фронт давления не выходит за пределы днища, а деформация упругой пластины характеризуется положительной скоростью и отрицательным ускорением упругих колебаний) совместное влияние деформации днища, скорости и ускорения упругих колебаний приводит к увеличению гидродинамических сил, действующих при входе в воду.

Определено воздействие узкой области повышенного давления в районе разворота брызговой струи на величину прогиба упругой пластины. Расчет показал, что пиковые давления оказывают слабое влияние на величину прогиба и ими можно пренебречь.

В главе 5 рассмотрено погружение пластины по круговой траектории.

В постановке, данной Л. И. Седовым в работе по нестационарному глиссированию профиля, решена задача о погружении в жидкость пластины бесконечного размаха по круговой траектории с постоянными углом дифферента и постоянной горизонтальной составляющей скорости. Задача определения течения жидкости при погружении пластины сведена к решению системы из двух нелинейных интегральных уравнений, одно их которых является условием конечности скорости жидкости на задней кромке, а второе уравнение определяет подъем свободной границы у поверхности пластины. Выражения, входящие в систему интегральных уравнений, являются функциями малого параметра, равного отношению пройденного пути к радиусу кривизны траектории. При стремлении радиуса кривизны к бесконечности (а малого параметра к нулю) функции стремятся к значениям, определяемым из автомодельного решения Л. И. Седова (погружение пластины с постоянной по величине и направлению скоростью). Методом разложения функций в ряды по малому параметру найдено решение системы интегральных уравнений и определено течение жидкости. Получена зависимость гидродинамической силы, действующей на пластину, от пройденного пути. Сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными показало, что полученной зависимостью можно пользоваться для оценки подъемной силы, действующей на пластину при входе в воду по круговой траектории с постоянным углом дифферента.

В главе 6 рассмотрено стационарное и нестационарное глиссирование тел вращения (цилиндр, конус) по поверхности жидкости. Цель данного исследования состоит в определении гидродинамических сил и проверке предположений, упрощающих расчет.

Гидродинамические силы определены методом, предложенным Г. В. Логвиновичем (метод плоских поперечных сечений с учетом смещения слоев). Проведенные эксперименты позволили сформулировать упрощенный способ расчета подъемной силы глиссирующих конусов: для определения подъемной гидродинамической силы на глиссирующих конусах можно пользоваться значениями силы на цилиндре при углах дифферента, увеличенных на угол конусности. Рассчитан рикошет тел вращения. Результаты вычислений удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Исследование показало, что для расчета рикошета можно применять гипотезу квазистационарности.

В главе 7 рассмотрено воздействие расширяющегося полусферического пузыря на тело вращения, совершающее поступательное движение с произвольно направленной скоростью. Тело вращения имеет полусферическую носовую часть, на которой в произвольном месте расположен центр пузыря.

Расчет произведен методом граничных элементов. Для определения возникающего течения применены треугольные граничные элементы с линейным распределением потенциала на своей поверхности. Тело вращения разбивается один раз на граничные элементы и узлы, по мере развития течения элементы и узлы; попадающие внутрь пузыря, исключаются. Дано детальное описание вычислительных алгоритмов, примененных в данной

23 задаче. Приведен пример зависимости радиуса пузыря от времени и действующей на носовую часть тела вращения силы.

Исследование, представленное в диссертации, имеет практическое приложение к морским аппаратам. Результаты, полученные автором, были использованы для исследования посадки на воду гидросамолета А-40 и аварийной посадки воздушно-космического аппарата «Буран».

Автор неоднократно докладывал результаты диссертации на различных международных и внутренних научных конференциях: Третьем Международным симпозиуме по кавитации г. Гренобль, Франция 1998 г.; Международном семинаре «Движение тел в воде с большой скоростью» г. Киев 1997 г.; Международной конференции «Фундаментальные исследования в аэрокосмической науке» г. Жуковский 1994 г.; Шестом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике г. Ташкент 1986 г.; на трех Всесоюзных научных школах «Гидродинамика больших скоростей» г. Чебоксары 1984 г., 1992 г., и г. Красноярск 1987 г.; Пятой научной конференции по прикладным проблемам механики жидкости и газа г. Севастополь 1996 г. и т.д.

Автор признателен Г. В. Логвиновичу и О. П. Шорыгину за внимание к работе и за обсуждение ее результатов.

Заключение.

На основе асимптотических и численных методов создана теория развитых кавитационных течений в сжимаемой жидкости.

Выведено интегродифференциальное уравнение для профиля тонкой каверны в до- и сверхзвуковом потоках. Для нахождения внешнего решения использовано условие малости размеров кавитатора по сравнению с размерами каверны. Внешнее решение получено методом разложения в асимптотические ряды по малому параметру (малый параметр равен обратной величине удлинения каверны). Определена форма каверны в средней ее части и получена зависимость удлинения каверны от числа кавитации и числа Маха. Из выражения для профиля каверны следует, что каверна в дозвуковом потоке симметрична относительно миделевого сечения и близка к эллипсоиду вращения (как и в несжимаемой жидкости). В сверхзвуковом потоке каверна становится несимметричной относительно середины ее длины (второе приближение), хотя первым приближением является эллипсоид вращения. Показано, что в сверхзвуковом потоке нахождение второго приближения формы каверны выходит за рамки теории тонкого тела, так как первое приближение - эллипсоид вращения не является тонким телом в передней части, где образуется скачок уплотнения. Скачок не описывается в рамках теории малых возмущений.

Рассмотрено кавитационное обтекание тонких конусов до- и сверхзвуковым потоком. В случае одинаковых порядков тонкости конуса и каверны получено решение для всей области течения. Решение разлагалось в асимптотические ряды по малому параметру, равному тангенсу угла полураствора конуса. Для дозвукового потока определено кавитационное течение за тонкими конусами, угол полураствора которых имеет значения

5°, 10° и 15°. Полученные результаты согласуются с законом сохранения импульса. Для конуса с полууглом раствора, равным 15°, произведено сравнение результатов, полученных по теории тонкого тела, с результатами численного расчета [36] для несжимаемой жидкости. Сравнение показало хорошее согласование. Выяснено, что в отличие от дозвукового обтекания, теория тонкого тела неприменима для сверхзвукового потока. Анализ этого явления показал, что теория тонкого тела не соответствует течению у кромки конуса. У кромки в сверхзвуковом потоке возникает течение Прандтля-Майера. Поток должен повернуться на угол, определяемый давлением в каверне или числом кавитации. Наклон свободной линии тока несколько меньше угла полураствора конуса. Этому условию нельзя удовлетворить в рамках теории тонкого тела.

Разработан численный алгоритм, который позволяет рассчитывать кавитационные течения в сжимаемой жидкости в широком диапазоне чисел кавитации. Выполнен численный расчет развитых осесимметричных каверн за диском в диапазоне чисел Маха 0<М<1,4. В расчете длина каверны была постоянной и соответствовала числу кавитации 0,02 для несжимаемой жидкости. Для различных чисел Маха определены: число кавитации, коэффициент кавитационного сопротивления, радиус миделя, удлинение и форма каверны, расстояние скачка уплотнения от поверхности диска (для сверхзвукового потока).

Результаты численного расчета каверн в дозвуковом потоке согласуются с теорией тонкого тела [50] и экспериментальными данными [67,68,121,122]. Выполнены тестовые расчеты для сравнения с результатами [36] и [56]. Сравнение показало хорошее согласование.

Результаты численного расчета каверн в сверхзвуковом потоке удовлетворяют законам сохранения массы и импульса. При переходе через скорость звука не происходит существенного изменения формы каверны по сравнению с дозвуковым обтеканием . Форма каверны, определенная численным расчетом для сверхзвукового потока, незначительно отличается от эллипсоида вращения, что согласуется с результатами, полученными из теории тонкого тела [52]. Рассчитанное сверхзвуковое кавитационное течение качественно согласуется с фотографией, полученной при экспериментальном исследовании [123].

Проведен анализ уравнений для прямого скачка уплотнения в воде. Показано, что если число Маха находится в диапазоне 1<М<2,2, то скачок уплотнения является изоэнтропическим, а течение потенциальным (потерями механической энергии можно пренебречь). Расчеты показали, что скачки уплотнения в воде располагаются на гораздо большем расстоянии от поверхности кавитатора, чем в случае обтекания воздухом. Выяснено, что угол поворота потока для течения Прандтля-Майера в воде значительно меньше угла поворота в воздухе. Все перечисленные факторы (малые потери механической энергии в скачках уплотнения, удаленность скачков от поверхности каверны, небольшое отклонение потока в течении у кромки кавитатора) благоприятно сказываются на развитии каверны. В сверхзвуковом потоке в диапазоне чисел Маха 1<М<1,4 не наблюдается существенного сужения каверны, она развивается в соответствии с законом сохранения механической энергии в жидкости.

Каверна представляет собой поверхность, на которой давление и скорость постоянны, а, следовательно, скачки уплотнения отсутствуют. Головной скачок появляется перед кавитатором или на его носике (в случае тонких конусов); в области смыкания каверны возникает хвостовой скачок уплотнения. Такая схема течения приводит к тому, что в околозвуковой области (0,7<М<1,2) не происходит резкого изменения параметров обтекания (в отличие от обтекания сплошным потоком воздуха). В случае обтекания водой в трансзвуковой области с ростом числа Маха параметры кавитационного потока изменяются плавно.

Получены основные соотношения для косых скачков уплотнения в сверхзвуковом потоке воды и рассчитаны конические течения в диапазоне чисел Маха 1<М<5. Определены зависимости угла наклона скачка уплотнения, скорости на поверхности конуса и коэффициента давления от числа Маха набегающего потока. Найдены зависимости критических углов от числа Маха для плоского потока (клин) и осесимметричного (конус). Показано, что при сверхзвуковом обтекании водой критические углы клина и конуса существенно меньше критических углов при обтекании этих тел воздухом. Расчеты показали, что конус можно считать тонким при гораздо меньших углах конусности, чем при дозвуковом обтекании. Например, для конуса с углом полураствора, равным 10°, в диапазоне чисел Маха 1<М<1,2 головной скачок уплотнения является отсоединенным, а скорость на поверхности конуса превышает скорость звука только при М>1,46. Такое течение не описывается в рамках теории малых возмущений. В сверхзвуковом потоке воды конуса являются тонкими, если их угол полураствора не превышает 5°.

Исследована статическая устойчивость однородного цилиндрического стержня, движущегося в воде с большой скоростью. Получено дифференциальное уравнение сложного изгиба для деформированного состояния стержня. Для нахождения решения этого уравнения использован метод Бубнова-Галеркина, в котором прогиб представляется в виде ряда по фундаментальным функциям, удовлетворяющим всем граничным условиям. Фундаментальные функции получены из решения дифференциального уравнения сложного изгиба цилиндрического стержня, сжатого двумя следящими силами, приложенными на концах. Определены значения удлинения Якр (отношения длины стержня к его диаметру), при которых происходит потеря устойчивости для заданной скорости движения V. В диапазоне скоростей 1000м/с<У<1600 м/с построены зависимости Хкр(У) для двух материалов: сталь и вольфрам.

Рассмотрено продольное движение упругого тела вращения в режиме сплошного обтекания. Применен метод, ранее использованный Г. В. Логвиновичем [1] для изучения движения гибкого тела. На основе концепции пронизываемого слоя и нахождения полной производной от упругой линии составлена система уравнений движения при гидроупругом взаимодействии с жидкостью. Система уравнений представлена в виде, позволяющем интегрировать ее численным методом и проводить математическое моделирование процессов движения и колебаний тела вращения. В качестве исходных данных необходимо знать коэффициенты

Су, Су"2, ш7, т^, а также частоты и формы собственных колебаний. Определены параметры, которые характеризуют динамику движения тела вращения при гидроупругом взаимодействии с жидкостью.

В двумерной постановке исследовано гидроупругое взаимодействие с жидкостью погружающегося днища произвольной формы (в частности клиновидной). Математическая модель гидроупругого взаимодействия учитывает следующие факторы: деформацию днища, скорость и ускорение упругих колебаний, влияние цепных усилий, начального прогиба и подвижности опор. Рассмотрено уравнение колебаний упругой балки-полоски единичной ширины, вырезанной из пластины погружающегося клина. Уравнение колебаний решено методом Бубнова-Галеркина. Для определения потенциала скорости возникающего течения методом Л. И. Седова решена краевая задача. Смоченная ширина днища определена из аналитического решения интегрального уравнения Вагнера.

Обнаружен интересный эффект, заключающийся в том, что в некоторых случаях (когда фронт давления не выходит за пределы днища, а деформация упругой пластины характеризуется положительной скоростью и отрицательным ускорением упругих колебаний) совместное влияние деформации, скорости и ускорения упругих колебаний приводит к заметному увеличению максимального напряжения, действующего в упругой пластине.

Выяснено, что гидроупругость оказывает заметное воздействие на величину прогибов и напряжений, если безразмерная скорость упругих колебаний, отнесенная к скорости погружения, превышает значение 0,05. В начальной стадии погружения влияние гидроупругости приводит к уменьшению максимального напряжения. На поздней стадии погружения гидроупругость увеличивает максимальное напряжение в упругой пластине. Статическая гидроупругость (учитываются только деформации) оказывает заметное влияние на гидродинамическое давление , если максимальный безразмерный прогиб пластины, отнесенный к ее длине, превышает величину 5-Ю"3. Воздействие статической гидроупрутости проявляется в увеличении давления на деформированном вогнутом днище на поздних стадиях погружения. Цепные силы оказывают заметное влияние на величину прогибов и напряжений, если максимальный безразмерный прогиб пластины превышает значение 0,01.

Исследовано влияние пиковых давлений, возникающих в области разворота брызговой струи, на деформацию упругой балки-полоски. Анализ показал, что на величину прогиба узкая область высокого давления оказывает слабое воздействие и эту область можно заменить постоянным давлением, величина которого примерно в 2^2,5 раза превышает давление, действующее в носовой точке погружающегося клина.

В постановке Л. И. Седова [80] рассмотрена задача о погружении в жидкость пластины бесконечного размаха по круговой траектории с постоянным углом дифферента и постоянной горизонтальной составляющей скорости. Задача определения течения жидкости сводится к решению системы из двух нелинейных интегральных уравнений, одно из которых является условием конечности скорости жидкости на задней кромке, а второе уравнение определяет подъем свободной границы у поверхности пластины. Нахождение решения этой системы связано со значительными трудностями. Л. И. Седов получил аналитическое решение системы интегральных уравнений для случая автомодельного течения (погружения пластины с постоянной по величине и направлению скоростью).

При погружении пластины по круговой траектории с постоянным углом дифферента и постоянной горизонтальной составляющей скорости определяющую роль приобретает параметр, равный радиусу кривизны траектории. Выражения, входящие в систему интегральных уравнений, являются функциями малого параметра, равного отношению пройденного пути к радиусу кривизны траектории. При стремлении радиуса кривизны к бесконечности (а малого параметра к нулю) функции стремятся к значениям, определяемым из автомодельного решения. Методом разложения функций в ряды по малому параметру найдено решение системы интегральных уравнений и определено течение жидкости. Получена зависимость гидродинамической силы, действующей на пластину, от пройденного пути. Сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными показало хорошее согласование. Полученные результаты были использованы для оценки гидродинамической силы, действующей на воздушно-космический летательный аппарат с низкорасположенным крылом («Буран») при посадке на воду.

Рассмотрено стационарное и нестационарное глиссирование тел вращения (цилиндр, конус) по поверхности жидкости. Гидродинамические силы определены методом, предложенным Г. В. Логвиновичем [83] (метод плоских поперечных сечений с учетом смещения слоев). Проведенное исследование позволило сформулировать упрощенный способ расчета подъемной силы глиссирующих конусов: для определения подъемной гидродинамической силы на глиссирующих конусах можно пользоваться

271 значениями силы на цилиндре при углах дифферента, увеличенных на угол конусности. Рассчитан рикошет тел вращения. Результаты вычислений удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Исследование показало, что для расчета рикошета можно применять гипотезу квазистационарности.

Рассчитано силовое воздействие расширяющегося газового пузыря на тело вращения, совершающее поступательное движение с произвольно направленной скоростью. Тело вращения имеет полусферическую носовую часть, на которой в произвольном месте расположен центр пузыря. Расчет произведен методом граничных элементов. Для определения возникающего течения применены треугольные граничные элементы с линейным распределением потенциала на своей поверхности. Тело вращения разбивается один раз на граничные элементы и узлы; по мере развития течения элементы и узлы, попадающие внутрь пузыря, исключаются. Дано детальное описание процедур метода граничных элементов, которые применяются в рассматриваемой задаче. Приведены примеры численных расчетов.

1. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами. Киев: Наукова думка, 1969. 215 с.

2. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. 2-ое изд. М.: Наука 1979. 536 с.

3. Шорыгин О. П. Гидродинамика автомодельных течений жидкости с внутренними свободными границами//Труды ЦАГИ. 1995. Вып. 2595.29 с.

4. Эпштейн Л. А. Методы теории размерности и подобия в задачах гидромеханики судов. Л.: Судостроение, 1970. 207 с.

5. Капанкин Е. Н. Исследование закономерностей некоторых типов кавитационных течений//Труды ЦАГИ. 1985. Вып. 2256. С. 22-50.

6. Щеглова М. Г. Расчет смоченной длины пластинки конечного размаха при глиссировании с постоянной скоростью//Сборник работ по гидродинамике. БНИ ЦАГИ, 1959. С. 211-226.

7. Журавлев Ю. Ф. Методы теории возмущений в пространственных струйных течениях//Труды ЦАГИ. 1973. Вып. 1532. С. 1-22.

8. Парышев Э. В. Теоретическое исследование устойчивости и пульсаций осесимметричных каверн//Труды ЦАГИ. 1978. Вып. 1907. С. 17-40.

9. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.: Мир, 1991. Т. 1.502 с. Т.2. 552 с.

10. Годунов С. К.; Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973. 400 с.

11. Рихтмайер Р. Д.; Мортон К. У. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. 418 с.

12. Зенкевич О.; Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.318 с.

13. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

14. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494 с.

15. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.

16. Терентьев А. Г., Афанасьев К. Е. Численные методы в гидродинамике. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1987. 80 с.

17. Рождественский К. В. Метод сращиваемых асимптотических разложений в гидродинамике крыла. Л.: Судостроение, 1979. 208 с.

18. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 310 с.

19. Франкль Ф. И., Карпович Е. А. Газодинамика тонких тел. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 175 с.

20. Адаме М.; Сире У. Теория обтекания тонких тел//Механика: Период, сб. пер. иностр. лит. М., 1954. №1. С. 9-31.

21. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.

22. Логвинович Г. В. Погружение тел в жидкость и движение с развитой кавитацией/УСборник работ по гидродинамике. БНИ ЦАГИ, 1959. С. 119-139.

23. Логвинович Г. В. Течения с развитой кавитацией/УИнженерный журнал. 1961. Т. 1. Вып. 1.С. 35-50.

24. Григорян С. С. Приближенное решение задачи об отрывном обтекании осесимметричного тела//ПММ. 1959. Т. 23. Вып. 5. С. 951-953.

25. Якимов Ю. Л. Об осесимметричном срывном обтекании тела вращения при малых числах кавитации//ПММ. 1968. Т. 32. Вып. 3. С. 499-501.

26. Якимов Ю. Л. К постановке задачи о движении тела в воде//Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. №5. С. 19-26.

27. Якимов Ю. Л. Некоторые вопросы гидродинамики больших скоростей//Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. №2. С. 62-74.

28. Якимов Ю. Л. Об интеграле энергии при движении с малыми числами кавитации и предельных формах каверны//Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. №3. С. 67-70.

29. Логвинович Г. В.; Серебряков В. В. О методах расчета формы тонких осесимметричных каверн//Гидромеханика. Киев: Наукова думка, 1975. Вып. 32. С. 47-54.

30. Серебряков В. В. Кольцевая модель для расчета осесимметричных течений с развитой кавитацией//Гидромеханика. Киев: Наукова Думка, 1974. Вып. 27. С. 25-29.

31. Серебряков В. В. Асимптотическое решение задачи о форме осесимметричной каверны за тонким телом//Гидромеханика. Киев Наукова Думка, 1976. Вып. 34. С. 48-52.

32. Капанкин Е. Н., Нестерук И. Г. К расчету формы тонкой осесимметричной «вертикальной» каверны в тяжелой жидкости//Труды ЦАГИ. 1980. Вып. 2060. С. 25-30.

33. Нестерук И. Г. К вопросу о форме тонкой осесимметричной каверны в весомой жидкости//Изв. АН СССР. МЖГ. 1979. №6. С. 133-136.

34. Нестерук И. Г. Об определении формы тонкой осесимметричной каверны на основе интегродифференциального уравнения//Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. №5. С. 83-90.

35. Логвинович Г. В. Вопросы теории тонких осесимметричных каверн//Труды ЦАГИ. 1976. Вып. 1797. С. 3-17.

36. Гузевский Л. Г. Численный анализ кавитационных течений. Новосибирск, 1979. 36 с. Препринт Ин-та теплофизики СО АН СССР, №40-79.

37. Гузевский Л. Г. Аппроксимационные зависимости для осесимметричных каверн за конусами//Гидродинамические течения иволновые процессы. Новосибирск: Ин-т теплофизики СО АН СССР. 1983. С. 82-91.

38. Кожуро Л. А. Расчет осесимметричного струйного обтекания тел по схеме Рябушинского//Уч. зап. ЦАГИ. 1980. Т. 11. №5. С. 109-115.

39. Амромин Э. Л., Иванов А. Н. Осесимметричное обтекание тел в режиме развитой кавитации//Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. №3. С. 37-42.

40. Амромин Э. Л., Иванов А. Н. Осесимметричное кавитационное обтекание тела в трубе//Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. №4. С. 50-55.

41. Субханкулов Г. И., Хомяков А. Н. Применение метода граничных элементов к расчету осесимметричных каверн//Гидродинамика больших скоростей. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1990. С. 124-132.

42. Карликов В. П., Хомяков А. Н., Шоломович Г. И. О новом способе организации развитых кавитационных течений//Некоторые вопросы механики сплошной среды. М.: Изд-во МГУ. 1978. С. 34-47.

43. Карликов В. П., Хомяков А. Н., Шоломович Г. И. О новом методе визуализации потоков капельной жидкости и измерения поля скоростей//Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. №2. С. 101-108.

44. Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация. М.: Мир, 1974. 687 с.

45. Чаплыгин С. А. О газовых струях. Научные труды Московского Университета. 1902. С. 1-121.

46. Гуревич М. И. Полутело конечного сопротивления в дозвуковом потоке//Труды ЦАГИ. 1947. Вып. 653. 12 с.

47. Якимов Ю. Л. Асимптотические законы вырождения формы тонких каверн//Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. №3. С. 3-10.

48. Якимов Ю. Л. Тонкая кавитационная каверна в сжимаемой жидкости//Проблемы современной механики. М.: Изд-во МГУ. 1983. Ч. 1.С. 66-73.

49. Васин А. Д. Тонкие каверны в сжимаемой жидкости. Шестой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Ташкент. 1986. С. 158.

50. Васин А. Д. Тонкие осесимметричные каверны в дозвуковом потоке сжимаемой жидкости//Изв. АН СССР. МЖГ. 1987. №5. С. 174-177.

51. Васин А. Д. Тонкие осесимметричные каверны в до- и сверхзвуковом потоке сжимаемой жидкости//Гидродинамика больших скоростей. Межвуз. сб. КрПИ. Красноярск. 1987. С. 58-62.

52. Васин А. Д. Тонкие осесимметричные каверны в сверхзвуковом потоке//Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. №1. С. 179-181.

53. Серебряков В. В. Асимптотические решения осесимметричных задач обтекания с развитой кавитацией в приближении теории тонких тел//Гидродинамика больших скоростей. Чебоксары: Изд-во Чуваш, унта. 1990. С. 99-111.

54. Серебряков В. В. Асимптотические решения осесимметричных задач до- и сверхзвуковых отрывных течений воды при нулевых числах кавитацииУ/Докл. АН Украины. 1992. №9. С. 66-71.

55. Альев Г. А. Отрывное обтекание кругового конуса трансзуковым потоком воды//Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. №2. С. 152-154.

56. Зингангареева Л. М., Киселев О. М. О расчете кавитационного обтекания кругового конуса дозвуковым потоком сжимаемой жидкости//ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 93-107.

57. Васин А. Д. Расчет осесимметричных каверн за диском в дозвуковом потоке сжимаемой жидкости//Изв. РАН. МЖГ. 1996. №2. С. 94-103.

58. Васин А. Д. Развитые кавитационные течения в сжимаемой жидкости//Прикладные проблемы механики жидкости и газа. Материалы Пятой научной конференции. Севастополь. 1996. С. 74.

59. Васин А. Д. Расчет осесимметричных каверн за диском в сверхзвуковом потоке//Изв. РАН. МЖГ. 1997. №4. С. 54-62.

60. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Изд-во иностр. лит., 1950. 426 с.

61. Яковлев Ю. С. Гидродинамика взрыва. Л.: Судпромгиз, 1961. 312 с.

62. Замышляев Б. В., Яковлев Ю. С. Динамические нагрузки при подводном взрыве. Л.: Судостроение, 1967. 387 с.

63. Альев Г. А. Отрывное обтекание кругового конуса конечной длины сверхзвуковым потоком воды//Динамика сплошной среды. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та. 1984. С. 3-7.

64. Коул Р. Подводные взрывы. М.: Изд-во иностр. лит., 1950. 494 с.

65. Коробейников В. П., Христофоров Б. Д. Подводный взрыв//Итоги науки и техники. Гидромеханика. М.: ВИНИТИ. 1976. Т. 9. С. 54-119.

66. Васин А. Д. Скачки уплотнения и конические течения в сверхзвуковом потоке воды//Изв. РАН. МЖГ. 1998. №5. С. 196-199.

67. Савченко Ю. Н., Семененко В. Н., Серебряков В. В. Экспериментальная проверка асимптотических формул для осесимметричных каверн при а—>0//Проблемы гидродинамики больших скоростей. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та. 1993. С. 225-230.

68. Савченко Ю. Н., Семененко В. Н., Серебряков В. В. Экспериментальное исследование развитых кавитационных течений при дозвуковых скоростях обтекания//Докл. АН Украины. 1993. №2. С. 64-69.

69. Бивин Ю. К., Глухов Ю. М., Пермяков Ю. В. Вертикальный вход твердых тел в воду//Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. №6. С. 3-9.

70. Горошко О. А. Динамика упругой конструкции в условиях свободного полета. Киев: Наукова Думка, 1965. 167 с.

71. Абгарян К. А., Рапопорт И. М. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1969. 378 с.

72. Григолюк Э. И., Горшков А. Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. Л.: Судостроение, 1976. 199 с.

73. Ершов Н. Ф., Шахверди Г. Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости. Л.: Судостроение, 1984. 237 с.

74. Повицкий А. С. Посадка гидросамолета//Труды ЦАГИ, 1939. Вып. 423. 83 с.

75. Шац В. Н. Исследование напряжений в обшивке днища при ударе судна о волну//Науч.-техн. о-во судостроительной пром-сти: Материалы по обмену опытом. Вып. 109. Л., 1968. С. 12-20.

76. Шац В. Н. Приближенное определение напряжений в пластинках при ударе днища о воду//Труды Ленингр. ин-та водн. транспорта. 1969. Вып. 96. С. 96-101.

77. Шац В. Н. Задача гидроупругости для пластин клина, погружающегося в жидкость/ЛГруды 7-й Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. М.: Наука, 1970. С. 606-609.

78. Васин А. Д. Гидроупругое взаимодействие с жидкостью погружающегося днища//Изв. РАН. МЖГ. 1993. №3. С. 118-125.

79. Ляховенко И. А., Сомина Е. Ю. Расчет динамического нагружения гидросамолета при посадке на воду с учетом общей упругости конструкции/Л/ч. зап. ЦАГИ. 1996. Т. 27. №3-4. с. 144-153.

80. Седов Л. И. Теория нестационарного глиссирования и движения крыла со сбегающими вихрями//Труды ЦАГИ. 1936. Вып. 252. 40 с.

81. Ерошин В. А. Рикошет пластинки от поверхности идеальной несжимаемой жидкости//Вест. Моск. ун-та, матем., мех., 1970. №6. С. 99-104.

82. Васин А. Д., Шорыгин О. П. Некоторые особенности автомодельных течений, возникающих при входе тел в жидкость//Взаимодействие тел с границами раздела сплошной среды. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та. 1985. С. 47-52.

83. Логвинович Г. В. Погружение тел в жидкость и нестационарное глиссирование//Труды ЦАГИ. 1960. Вып. 807. С. 3-38.

84. Парышев Э. В., Рыков В. Н. Экспериментальное исследование глиссирования цилиндра по поверхности воды//Труды ЦАГИ. 1984. Вып. 2242. С. 21-25.

85. Логвинович Г. В. Некоторые вопросы глиссирования//Труды ЦАГИ. 1980. Вып. 2052. С. 3-12.

86. Журавлев Ю. Ф., Шорыгин О. П., Шульман Н. А. О подъемной силе глиссирующего цилиндра//Уч. зап. ЦАГИ. 1979. Т. 10. №6. С. 113-117.

87. Васин А. Д. Нестационарное глиссирование тел вращения по поверхности жидкости//Труды ЦАГИ. 1993. Вып. 2496. С. 28-35.

88. Воинов О. В., Петров А. Г. Движение пузырей в жидкости//Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ. 1976. Т. 10. С. 86147.

89. Константинов Г. А., Якимов Ю. Л. Численный метод решения нестационарных осесимметричных задач гидродинамики идеальной жидкости со свободными поверхностями//Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. №4. С. 162-165.

90. Воинов О. В., Воинов В. В. Численный метод расчета нестационарных движений идеальной несжимаемой жидкости со свободными поверхностями//Докл. АН СССР. 1975. Т. 221. №3. С. 559-562.

91. Афанасьев К. Е., Афанасьева М. М., Терентьев А. Г. Исследование эволюции свободных границ при нестационарном движении тел в идеальной несжимаемой жидкости методами конечных и граничных элементов//Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. №5. С. 8-13.

92. Афанасьев К. Е., Афанасьева М. М., Терентьев А. Г. Деформация газовых пузырей в жидкости//Актуальные задачи гидродинамики. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та. 1989. С. 4-10.

93. Морозенко С. Ю., Ясько Н. Н. Численное моделирование неустановившихся течений идеальной жидкости со свободными границами//Изв. АН СССР, МЖГ, 1990. №2. С. 3-7.

94. Липман Г. В., Рошко А. Элементы газовой динамики. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 518 с.

95. Эшли X., Лэндал М. Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1969. 318 с.

96. Гузевский Л. Г. Плоские и осесимметричные задачи гидродинамики со свободными поверхностями. Дис. на соиск. уч. степени докт. физ.-мат наук. СО АН СССР. Ин-т теплофизики. Новосибирск. 1987. 300 с.

97. Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1982. 254 с.

98. Бальхауз В. Ф., Джеймсон А., Альберт Дж. Неявный метод приближенной факторизации для решения стационарных трансзвуковых задач//Ракетная техника и космонавтика. 1978. Т. 16. №6. С. 39-47.

99. Турчак Л. И. Основы численных методов. М.: Наука. 1987. 318 с.

100. Гонор А. Л., Забутная В. И., Ясько H. Н. О существовании оптимального кавитатора//Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. №2. С.63-68.

101. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Наука, 1971. 854 с.

102. Фабрикант Н. Я. Аэродинамика. М.: Наука, 1964. 814 с.

103. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 847 с.

104. Краснов Н. Ф. Аэродинамика. М.: Высшая школа, 1971. 632 с.

105. Постнов В. А., Ростовцев Д. М., Суслов В. П., Кочанов Ю. П. Строительная механика корабля и теория упругости. Т. 2. Л.: Судостроение, 1987. 412 с.

106. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1972. 870 с.

107. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. М.: Изд-во МАИ, 1994. 511 с.

108. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л.: Машиностроение, 1976. 320 с.

109. Постнов В. А., Калинин В. С., Ростовцев Д. М. Вибрация корабля. Л.: Судостроение, 1983. 248 с.

110. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Наука, 1965. 560 с.

111. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

112. Лотов А. Б., Соколянский В. П. Погружение слабокилеватого симметричного профиля в жидкость//Уч. зап. ЦАГИ. 1974. Т.5 №6. С. 1-7.

113. Колосов Г. К. К теории нестационарного глиссирования и движения крыла малого удлинения//Труды ЦАГИ. 1960. Вып. 806. С. 3-31.

114. Лотов А. Б. Глиссирование и быстрый вход тел в воду. М.: МФТИ, 1984. 107 с.

115. Шорыгин О. П., Шульман Н. А. Вход в воду диска с углом атаки// Уч. зап. ЦАГИ. 1977. Т.8№1. С. 12-21.

116. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами/Под ред. Абрамовича М. И., Стиган И. М. М.: Наука. 1979. 830 с.

117. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука. 1973. 584 с.

118. Vasin A. D. Supercavities in Compressible Fluid. International conference. Fundamental research in aerospace science. Book of abstracts. Zhukovsky, Russia, TsAGI. 1994. Section 2. p. 19-21.

119. Vasin A. D. Supercavitating Flows at Supersonic Speed in Compressible Water. International conference. High Speed Body Motion in Water. AGARD-R-827. 1998. Reference 21.

120. Vasin A. D. Supercavities in Compressible Fluid. Third International symposium on cavitation. 1998. Grenoble, France. Vol. 2. p. 3-8.

121. Savchenko Yu. N. Investigation of High-Speed Supercavitating Underwater Motion of Bodies. High Speed Body Motion in Water. AGARD-R-827. 1998. Reference 20.

122. Vlasenko Yu. D. Experimental Investigations of High-Speed Unsteady Supercavitating Flows. Third International symposium on cavitation. 1998. Grenoble, France. Vol. 2 p. 39-44.

123. Kirchner I. N. Supercavitating Projectile Experiments at Supersonic Speeds (Abstract). High Speed Body Motion in Water. AGARD-R-827. 1998. Reference 35.

124. Chou Y. S. Axisymmetric Cavity Flows Past Slender Bodies of Revolution//J. of Hydronautics. 1974. V. 8. №1. p. 13-18.

125. Nishiyama T., Kobayashi H. Finite Cavity Flow of Axial Symmetry// Techol. Rep. TohokuUniv. 1969. V. 34. №1. p. 173-185.

126. Nashiyama T., Khan O. F. Compressibility Effects on Cavitation in High Speed Liquid Flow. (Second report-transonic and supersonic liquid flows)// Bulletin of the JSME. 1981. Vol. 24. №190. p. 655-661.

127. Meyerhoff W. K. Die Berechnung Hydroelastischer Stösse// Schiffstechnik. 1965. B 12. №60. S. 18-30; №61. S. 49-64.

128. Garabedian P. R. The Calculation of Axially Symmetric Cavities and Jets// Pacific J. Math. 1956. №6. P. 611-689.

129. Wagner H. Über Stoss-und Gleitvorgänge an der Oberfläche von Flüssigkeiten. ZAMM. 1932. №4. S. 193-215.

130. Kvalsvold J., Faltinsen O. Hydroelastic modelling of wetdeck slamming on multihull vessels// J. Ship Res. 1995. №39. p. 225-239.

131. Faltinsen O., Kvalsvold J., Aarsnes J. V. Wave impact on a horizontal elastic plate// J. Marine Science and Tech. 1997. V. 2. №2. p. 87-100.