Квазиконформные отображения в гидродинамике и их численная реализация тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Давыдкин Иван Борисович

КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ГИДРОДИНАМИКЕ И ИХ ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Давыдкин Иван Борисович

КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ГИДРОДИНАМИКЕ И ИХ ЧИСЛЕН} 1АЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в организациях: Горно-Алтайский государственный университет, Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Семенко Е.В. Научный консультант: академик Монахов В.Н.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук,

профессор Кучер H.A.

доктор физико-математических наук,

профессор Селезнев В.А.

Институт математики

им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита состоится "_

. 2006 года в_часов на засе-

дании Диссертационного Совета Д 212.174.02 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан _"_

. 2006 года

Ученый секретарь Диссертационного Совета,

доктор физико-математических наук Н.И. Макаренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена доказательству разрешимости краевых задач для квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений со свободными границами, созданию алгоритмов их численного решения и реализации этих алгоритмов на ЭВМ.

Актуальность проблемы. Стационарная фильтрация жидкости в пористых средах описывается решениями квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений.

В гидродинамике задачами со свободными границами иринято назвать задачи, в которых часть границы области течения неизвестна (свободная граница) и должна определяться в процессе решения.

Нелинейный закон сопротивления пористой среды движущейся в ней жидкости (закон Дарси) был предложен С.А. Христиановичем{1940), который при этом установил полную аналогию построенной модели нелинейным уравнениям дозвуковой газовой динамики. Модель С.А. Христиановича получила широкое применение для описания движения нефти в пористом пласте. Теоремы существования решений задач нелинейной фильтрации жидксгти со свободными границами были доказаны В.Н. Монаховым (1961) методами теории квазиконформных отображений.

М.А. Лаврентьевым (1946) впервые был обнаружен класс нелинейных уравнений (сильно эллиптических по М.А. Лаврентьеву или L-эллиптичсских)

F(z,w,vjx,wi) — О, z = x + iy,w = tp + iip, (1)

сохраняющих характерное свойство линейного уравнения Бельтрами — каждое ограниченное решение w{z) такого уравнения является локально-гомеоморфным в области изменения независимой переменной. Для L-эллиптических уравнений им доказан аналог теоремы Римана об отображениях односвязных областей (1948), а впоследствии в работах М.А. Лаврентьева и В.В. Шабата (1957, 1960) установлены важные свойства таких уравнений: эллиптичность их в обычном смысле и справедливость неравенства < Ча = const < 1. Оценки константы эллиптичности qQ, не зависящие от искомого решения, получены позднее В.Н. Монаховым (1973).

В работах В.Н. Монахова (1973, 1975) эти свойства были положены в основу определения L-эллиптичности и установлена его эквивалентность определению М.А. Лаврентьева. Нетрудно видеть, что из положительной определенности соответствующей (1) квадратичной формы следует выполнение неравенств

\FJ2 - [F*!2 > a, |F<|2 - > а > 0,

обеспечивающих локальную разрешимость (1) относительно £ = фу+{фх и из'=■ <px+i<pv. В.Н. Монахов установил, что эти неравенства гарантируют и глобальную разрешимость (1) относительно £ и ш и при этом им был обобщен аналог теоремы Римана

на случай многосвязных областей. Позднее аналогичные результаты получены в работах Б. Боярского и Т. Иванеца (1976), а в работе H.A. Кучера (1974) исследована разрешимость краевой задачи Гильберта для ¿-эллиптических уравнений.

Задачи линейной фильтрации в идеальных пористых средах при некоторых дополнительных предположениях о течении изучались в работах Полубариновой-Кочиной (1952).

В случае нелинейной фильтрации в идеальной пористой среде для широкого круга задач со свободными границами методами теории квазиконформных отображений теоремы существования решений установлены В.Н. Монаховым (1964). Для неидеальной пористой среды задачи линейной теории фильтрации со свободными границами изучены В.Н.Монаховым (1965) при дополнительном предположении о характере течения (свободная граница выходит на дренаж, т.е. на горизонтальный промежуток высачи-вания).

Впервые проблема определения параметров конформного отображения многоугольников без ссылки на теорему Римана была поставлена и решена А. Вайнштейпом (1924). Созданная для решения этой проблемы конструктивная схема названа гм методом непрерывности. В совместной работе с А. Вайнштейном (1934) Ж. Лере придал этому методу абстрактную форму, реализованную в дальнейшем в виде теоремы Лере-Шаудера о неподвижной точке нелинейных вполне непрерывных отображений банахова пространства в себя.

Метод непрерывности был применен А. Вайнштейном, а затем в совместной работе Ж. Лере, А. Вайнштейна (1934) для доказательства разрешимости струйных задач гидродинамики в точной нелинейной постановке. Другим методом М.А. Лаврентьев (1938) вместе с теоремой существования доказал и теорему единственности решений этих задач. Непосредственное развитие метода непрерывности получено в работах В Н. Монахова (библиография этих работ имеется в [1]), который на его основе доказал разрешимость широкого класса задач гидродинамики со свободными поверхностями практически без ограничения на геометрию заданной части границы области течения.

Задачи в областях с криволинейными границами для аналитических функций были рассмотрены В.Н.Монаховым |1]. Криволинейная граница аппроксимировалась полигоном и разрешимость задачи доказывалась через предельный переход но числу вершин приближающего полигона.

Цель работы. В диссертации доказывается разрешимость краевых задач для квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений со свободными границами.

Численно реализованы алгоритмы решения задач фильтрации в классе аналитических функций.

Методы исследования. Основным методом является представление решения в

виде композиции отображний квазиконформного и конформного. При этом для конформного отображения получается задача об определении параметров, аналогичная соответствующей проблеме при построении конформного отображения многоугольников. Для построения квазиконформного отображения, удовлетворяющего квазилинейным или нелинейным эллиптическим системам уравнений, доказываются равномерные шаудеровские оценки, на основе которых доказывается разрешимость исходных задач.

Научная новизна. Все основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами.

Полученные другими авторами результаты относятся к различным упрощениям изученных в работе моделей.

Теоретическая я практическая значимость. Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при численном решении задач гидродинамики.

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах автора. Вклад авторов в совместных работах является равным.

Материалы диссертации неоднократно докладывались hi международных и российских конференциях: "Математические проблемы в механике сплошных сред" (г. Новосибирск 1999, 2000), "Студент и научно-технический прогресс"(г. Новосибирск 2002), "Математические методы в механике природных сред и экологии"(г. Барнаул 2002) .

Результаты диссертации доложены также на семинарах :

Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред"иод руководством академика Монахова В. Н., чл,-корр. РАН Плотникова П. И. (2006), Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН лаборатории теории функции под руководством д.ф.-м.н. профессора Асеева В.В. и д.ф.-м.н. профессора Сычева A.B. (2006), кафедры дифференциальных уравнений Новосибирского государственного университета "Теоретические и вычислительные цро-блемы задач математической физики"под руководством д.ф.-м.н. профессора Блохина-A.M. (2006).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Нумерация теорем и формул в каждом параграфе своя.

Общий объем диссертации составляет 115 страниц машинописного текста, библиография содержит 45 наименований.

Содержание работы

Введение к диссертации содержит краткие исторические сведения по ее теме, изложение причин и целей проводимых в ней исследований и перечисление основных положений работы.

Глава 1 посвящена вопросам разрешимости задач фильтрации для аналитических функций и решений квазилинейных уравнений типа Бельтрами.

В §1 излагается циклический метод непрерывности, предложенный В.Н. Монаховым [1), |2]. Постановка и доказательство разрешимости общей задачи о конформных отображениях со свободными границами даны в монографии |1| и в §1 формулируется В.Н. Монахова вариционный метод решения задач фильтрации.

В §2 изучены вопросы гладкости решений задач фильтрации. В параграфе приводятся необходимые сведения о граничных свойствах конформных и квазиконформных отображений. Изучены вопросы гладкости решений задач фильтрации для аналитических функций и для квазилинейного уравнения

Wz - Мг, w)wz /¿2(2, = 0, |/ii| + [¿¡2| < Mo < 1- (2)

Пусть w = vu(z) гомеоморфизм уравнения (2) с [ц, е С(Ky.il), а € (0,1) единичного круга К : |г| < 1 на область £1, дС1 с С1*1', 0 6 (0,1]. Тогда для квазиконформных отображений w(z) и z(w) справедлив следующий аналог оценок в теореме Келлога для конформных отображений [5].

Теорема 1. Для гомеоморфизмов w : К —► ii u z : П —* К выполняются оценки

||w(z), z(u>)||(1+A>) < М, > т.. |zj > т > О, где |М10+А>) = !NI№) + IKII(ftl> + ll^ll030', 0о = min(o,/3).

Пусть w = ui(z), w : Ко —> Q гомеоморфизм уравнения (2), отображающий круг Ко : |z — 1| < 1 на область П с соотвествием граничных точек {z = 0} € дКо и {w = 0} 6 8Q, ui(0) = 0. Кривая 0Q в точке w = 0 имеет угол 7тг, 7 € (0,2], причем dCl \ {го = 0} = Г С С1*'9, 0 6 (0,1]. Тогда для производной этого гомеоморфизма в угловой граничной точке справедливо представление

—' = -Мф^1, (In R.) 6 Сп(К0), fo > 0.

В §3 доказывается разрешимость задачи фильтрации для аналитических функций с граничными условиями из Са:

Г P={z|z(i), |i| < 1}; }

\ Re z = H(t), |t| > 1, ■

где H(t) е Са{1), I : |(| > 1, а > 0. Р — простой полигон:

I Wjh-iI < <5_1,0 < 5<ак< 2,к = 0,п + 1; |РУ| > &; |г - j'| > 2,

здесь Pij С D — произвольная кривая, соединяющая не соседние стороны (Р,, Р}) С Р, Pi — множество точек 1-й стороны P(|Pj| = А)- Вектор р = (/, а) назовем геометрической характеристикой многоугольника Р (I — стороны, а — углы).

Теорема 2. Существует по крайней мере одно решение z = Po(C)i краевой задачи (S) для аналитических функций, удовлетворяющее оценке

|Pm(OI < |Р| +С0, ¿€ (-00,00),

где |Р| — сумма длин сторон полигона, С0 — константа., зависящая только от функции II{t).

Если H(t) £ SM/f1>2(i) или H{t) € C°(l), а > 0, то, соответственно, z{Q 6 М/и>г(<3<') u тем "и**"* z(0 6 С"0(<?„), ро ~ Ро(Р>#)> <*о = ûo(û,<J), где 6 > 0 — постоянная из определения простого полигона Р.

Этот результат является новым [6]. Постановка задачи была сформулирована в [1, с.310].

В §4 решается задача фильтрации

>do>0,ie[zn+1,xoI, (4)

для квазилинейного уравнения (2). Доказана ее разрешимость при следующих предположениях [5|.

Предположения.

(i) Граница дГР = Р" U L* области D* в плоскости комплексного потенциала состоит из ляпуновских кривых (Р*, L*) С С>+/3, 0 > 0, имеющих в точках пересечения w* = Р* П L", k = 0,n + l углы -уктг, С (0,2].

(ii) Коэффициенты уравнения (2) непрерывны по Гельдеру, 6 C"{D х £>*), fc = l,2, а€ (0,1].

Теорема 3. При выполнении предположений (i), (ii) существует по крайней мере одно решение ш = w{z) задачи (S), (4), представленное в параметрической форме tu = Ф[Р_1(г)] через конформное отображение г = F(Q, F : Е —» D и квазиконформный гомеоморфизм го = Ф(0, Ф ■ Е —* D' уравнения

Wf - 9i(Ç, - ги)й>£ = 0, |çi|-НЫ ^ № <

где qi = i±i\z(Q,vj]zçIzç, q2 = /^^[zfÇ), u>], верхней полуплоскости E : ImÇ > 0, соответственно, на область D со свободной границей L С сЮ и заданную условиями (4) область D' в плоскости xv — <р 4- гф.

При этом для функций Ф(£) и P(Ç) выполняются оценки

llPII^r1 ^ с0»). H*(OllgrJ ^

где Qp — Е \Slp верхняя полуплоскость с выброшенным прямоугольником Пр = {|Де<|<1 + /3, 0<ГШС<Р},Р>0, ||/(z)|liQ)= sup (|/(z)! + |/(г) ~1Ы)\\г

W(p, ф) = 0,геР;<р + гф = Дх),

dx

Получены некоторые оценки решения вплоть до границы [6]. Для этого строится конформное отображение го = И'(С), И' : Е —* £)* верхней полуплоскости Е на область £>'. В силу предположения (1), уравнение (2) для обратного преобразования запишется следующим образом

г^-т!^ — т2^ = 0, |М| = ¿¿о < 1, (5)

я

где пг1«, г) = >с-/ш(. т2{(, г) = -ръ т = (тит2), М = вир X) 1Ы> <Р = (VI. •••>¥>«)•

Теорема 4. Пусть Н(Ь) е ЯИ^С) " € Са(£ х Д>), а > 0, к = 1,2, где

000 = РиР0иР„+1, Р^ = {г ) а = у < 5 = 0,п + 1.

Тогда задача (3), (5) для простого полигона Р имеет по крайней мере одно решение г = Р : Е О и для него справедлива оценка

11*(01|£ = С < оо, р> 2,

где Ц^Ип" = Икдщ.

Если йН/И. = П0{1)МО> (1пА.)€Со(0 и^{С,г)еСа(£хВо), а > О, А: = 1,2, то ш — гс удовлетворяет краевой задаче (4), причем

Н*(ОНЙ<С, ||П,гс1|М<С(г,т0,/>), 1/> О,

п+1

г<?е еесооая функция П. определена следующим образом: П. = П (С — Ьс)13*- Здесь

__ к=0

¡3/1 = 0 при ак > 1, — 1 — Як при ак < 1, когда к = 1,п. Если к — 0, п + 1, то 0к = О при 1 < ак < 7к, ак>-Гк> 1; Дк = 1 - ак при ак < < 1, а* < 1 < -ук; Рк = 1- ук при ак > 1 > 7*.

В §5 решается аналогичная задача для квазилинейного уравнения (2) в области с криволинейной границей. В параграфе рассматривается задача фильтрации для квазилинейного уравнения в области Д часть границы Ь0 которой неизвестна, а заданная часть Ь границы является ляпуновской кривой. Для решения такой задачи строится специальный гомеоморфизм, спрямляющий кривую Ь в полигон.

Теорема 5. Пусть Ь — связная кусочно ляпуновская кривая с конечным числом точек разрыва касательной, в которых смежные касательные образуют ненулевой угол. Тогда существует разбиение Ь точками хк, к = 1,/У, соответствующая некоторая окрестность V/, кривой Ь и квазиконформный гомеоморфизм

такой, что С(^) = Р — полигон с вершинами в точках гк. Расстояние между соседними точками и, следовательно, их общее число определяются скоростью изменения

угла наклона касательной к L. Построенный гомеоморфизм £ удовлетворяет условию Липшица, оценки производных и коэффициента квазиконформности не зависят от выбора точек г*. Гомеоморфизм £ — £(г) является тождественным вне окрестности Vs, причем радиус окрестности 6 также можно считать не зависящим от выбора точек Zk и их количества. Кроме того гомеоморфизм C(z) принадлежит классу С'+л всюду, кроме произвольных окрестностей точек г*, в самих точках производные вообще говоря, разрывны.

С помощью этого гомеоморфизма исходная задача сводиться к эквивалентной задаче фильтрации для квазилинейного уравнения в области, у которой известная граница — полигон.

В §6 изучаются некоторые геометрические свойства итерационных процессов. В качестве таких процессов рассматриваются степени оператора множеств — преобразования подобия конечномерных банаховых пространств. Результаты параграфа содержатся в работах [8, 3, 4J.

Основными методами доказательства разрешимости задач фильтрации в предыдущих параграфах являются различные модификации принципа неподвижной точки Банаха. В этом параграфе нами рассматривается еще один итерационный процесс, построенный на операторе преобразования пространства всех непустых выпуклых компактных подмножеств. Этот оператор Ts : С(Е) —> С(Е) задаётся системой сжимающих подобий S — {si,..., s„}

TS(A) = ЫЛ) U S2(A) U ... U sn(A)}.

Цель параграфа исследовать свойства выпуклой оболочки инвариантного множества (неподвижной точки) такого оператора:

К = Sl(K)Us2(K)U...Usn(K). .

Основным результатом параграфа является построенный пример оператора, у которого выпуклая оболочка его инварианта содержит бесконечное число прямолинейных отрезков [3, 4]. Дана точная оценка размеров инварианта относительно фиксированной точки пространства.

Теорема 6. Пусть М — полное метрическое пространство; S = {$i,... ,sn} — система сжимающих отображений Sj (j = 1,... ,п) с неподвижными точками a¡ € М и константами Липшица г/ € (0,1). Пусть q — max{ri,..., г„}, Оо е М, г = max |ао — а(|. Тогда

3=1.....п'

1 + <7

R — max |х — ал| < t-- г,

xeK(S) 1 - q

и эта оценка не может быть улучшена.

Глава 2. Здесь рассматриваются нелинейные эллиптические уравнения и доказана разрешимость задачи фильтрации. Все результаты являются новыми и получены в работе |6].

В §1 рассматриваются общие нелинейные эллиптические уравнения. Устанавливается связь этих уравнений с процессом фильтрации жидкости в неидеальных пористых средах.

Уравнения, описывающие процесс фильтрации жидкости со свободной границей в неидеальной пористой среде (сжимаемой, неоднородной и анизотропной) при нелинейном законе сопротивления имеют вид

V = KV(p, div V = 0 (<р = —у ——+ const ) , (6)

\ Р9 J

где V = (Vb V2), р и р(— const) — соответственно вектор скорости фильтрации, давление и плотность; д — коэффициент ускорения силы тяжести; — потенциал течения (пьезометрический напор); K(x,y,ip,"V<p) = {q,j} — симметрический тензор фильтрации; а ас, у — декартовы координаты точки.

Предполагая, что компоненты тензора фильтрации K(x,y,ip,Vip), а с ними и Vj обладают ограниченными производными по г, у, <р и = t = (ti, t-i) в R5, представим уравнение (6) в эквивалентной комплексной форме

Za, — ml{w,z,a)zw — rrv2(w,z,cr)zii = Q,<T = zm, (7)

где nii выражаются явно через непрерывно дифференцируемые по всем аргументам компоненты ai} тензора К. При этом «производное» уравнение записывается для <т =

С« — iii(u>, z,<r)crw - n2(u>, 2, = Ьнсгка1, (8)

*+<=о

где Гц и Ьы выражаются через и их производные. Условия эллиптичности (7), (8) имеют вид

(||т||,М|)<1, 1141 <00,

где тп = (ггц, ma), п = (п^пэ), Ь — {&м} — соответственно, векторы и матрица коэффициентов уравнений (7), (8).

Пусть безнапорная фильтрация жидкости происходит в области D, ограниченной заданным полигоном Р с вершинами z^ и углами а*тг, 0 < 5 < а* < 2, fc = 0, n -t-1 и неизвестной кривой L — границей смоченной и не смоченной жидкостью пористой среды. Заданный полигон Р состоит из непроницаемых участков Р1 и контактных границ Я2 с неподвижной жидкостью, куда включаются и горизонтальные промежутки

высачивания. Искомый комплексный потенциал фильтрации w = <р + гф удовлетворяет следующим краевым условиям на 3D = (Р1 U Р2 и L):

i> = i>uz£P1\ <p = <puz &Р2\ tp + x = tfiо = const, ф = ipQ = const, z e L,

где ipi а фх ~ кусочно-постоянные функции на P1 U P2. Граничными условиями определяется прообраз D' области фильтрации D (D* = w(D),P~ — w(P), L* = w(L)), при квазиконформном отображении w — v:(z) решением уравнения (7). При этом граница 3D' состоит из отрезков прямых ip = const и ф = const.

Следующая задача построения неизвестного участка L границы области D опреде- ■ ления аналитической функции vj{z) = <р + 1ф была поставлена и решена В.Н. Монаховым (1977)

G(ip, ф) = 0, zeP; w = д(х), z e L. (9)

Аналогично §4 Гл. 1 преобразуем уравнение (7) к переменной С, с помощью конформного отображения w = И'(С)> Н' :Е —• D*. В результате получим нелинейное уравнение

2c-Ml2< -WzZf = 0, IMI < 1, (10)

где ¿i,t{C, z,w) = mt(W, z, ■^j\V(r1){W<W^l)2~k, к = 1.2, и — z(. Будем рассматривать уравнение (10) для z = Р(С)> F : E —> D, как исходное уравнение нелинейной фильтрации (7) для функции z — z(v>), w 6 D'. Поэтому и условия на тензор фильтрации K(z,p,V<p) в (6) запишем в терминах коэффициентов ft* уравнения (10). Продифференцируем формально (10) по £ и представим полученное производное уравнение в виде

2

- д1Ш( - aw^V = а, Ц?|[ < 1, (11)

где ?=(?i, gj), Ikll = sup(|ftt + Ы).

Отметим, что неравенство в (11) является условием эллиптичности нелинейного уравнения (10).

Предположение, (i) /i*(C,z, ш) 6 С^(ЕхВахС), к = 1,2, где dD0 = PuP0UPn+b Pj = {z | x — Xj, у < j/j}, j = 0,n + 1. Очевидным следствием условия (i) является неравенство sup | a^i | < oo.

Для ограниченности /¿¡¡( необходимо существование производной И'^, что приводит к следующему предположению

Предположение, (ii) (Р*, £*) С С2+а, а > 0.

Для решений г(£) и w(C) уравнений (10) и (11) рассматривается краевая задача

Г Re [е^2-^«] = о, С е tifc, \ Re w(t) = h(t) = Uo(t)h.(t), I : |i| > 1.

Здесь 6к~ — угол наклона £-ой стороны полигона Р, прообразы вершин г* 6 Р,

¿о = -1 < ¿1 < ... < ¿„+1 = X, По(«) = п - [1пЛ,(0] е С*(1), а > О,

к=0,п+1

а* — < 1 — 6, к = 0,« + 1, 5 > 0 — константа в определении простого полигона-Свойства функции йН/йЬ определяются лишь гладкостью граничных функций д(х) и С(<р,ф) в (9).

В §2 производится регуляризация задачи и доказываются оценки решений нелинейного уравнения, не зависящие от параметра регуляризации.

Для регуляризации нелинейной задачи вводятся полоски Е„ — {£ ( —оо < Ле С < оо, 0 < Тга £ < и), V > 0 и строится срезающая функция х{0 £ С3(£) такая, что Х(0 = 0 при £ е Ер, р > 0 и х(С) = 1 при С е Е \ -Бгр- Умножая коэффициенты входящие в уравнение (10) на х, получаем уравнение

- ЛрЧ — ~ 0, (Юр)

Ркр — ХРк-. к = 1,2. Поступая аналогично с уравнением (11), получим

2

к+1=0

Заметим, что при этом ¡1кР = ЯкР = аы? = О при £ 6 Ер.

Для регуляризованной задачи доказываются весовые оценки

ЦП,< С < оо, р -— р(тпо, до) > 1. (13)

ЦП.гсЦ1/ <0(^,6^), р > 2. (14)

Здесь весовая функция П, определена в формулировке теоремы 4.

В §3 на основе априорных оценок доказывается разрешимость регуляризованной задачи.

Априорные оценки (13), (14) задают множества ,

{(«,«) | = р > 2} = N.

{(«,т>)| 11(4,1011 % = С(С,р), = ..

причем N с №$>2{Е), Лг0 С СР[Е).

Строится оператор Л : Л'0 —> Лг С Л'0 — ограниченный, непрерывный и компактный на множестве Лг0. Следовательно, по теореме Шаудера существует по крайней мере одна неподвижная точка преобразования Л

(и,и) = Л(и,и), (щ,!))е^сС"(Е), /3>0,

<

которой по построению соответствует решение г = / П~1ис^ регуляризованной нели-

-1

пейной задачи (12). (10).

Теорема 7. Существует по крайней мере одно решение нелинейной регуляризооанной задачи (IS), (10) (fik = О, С € При р — 0 решение z = F(0 предельного нелинейного уравнения (10) (ць ф О, £ 6 Ер) удовлетворяют почти всюду граничным условия (3).

Глава 3. В этой главе дается приложение результатов полученных в главах 1, 2 и приводятся численные решения различных задач фильтрации.

В §1 сделан гидродинамический анализ результатов предыдущих глав.

В §2 численно решена задача о нахождении параметров формулы Кристофеля-Шварца. В параграфе применяется сходящийся метод циклической итерации к нахождению параметров конформного отображения верхней полуплоскости иа область, ограниченную заданным многоугольником. Приводится численная реализация метода с доказательством сходимости и оценкой скорости сходимости. Построен ряд примеров численного расчета на ЭВМ. Результаты параграфа являюся новыми и содержатся в работе [7].

Алгоритм численной реализации метода выглядит следующим образом:

1) Задается геометрическ&ч характеристика р = (а, Г) искомого полигона Я.

2) Задаются углы а'0>.

3) Строится начальный полигон Р,0) с геометрической характеристикой р,п> = (а<0>,{№), где if = pjt(ui°\a(0)), u(0) — произвольный вектор.

4) Выстраивается семейство полигонов где Р(п' — начальный, а Р — конечный.

5) Для каждого Р1-1" ищется вектор и'"' по итеративной формуле

1

= /(«<">,p);/ = (/i...../„),/* = fAk{s,w)ds, m = l,2,...

о

причем эта формула применяется, пока не достигнута заданная точность.

Интеграл, входящий в функцию Д, вычисляется по формуле

/^¿E'&ws'),

т=0 t=0

где /ij, = — m|a*n+1 — |s* — т|"т+1|. Для сравнения бралась стандартная

процедура вычисления интеграла с особенностями в концах из пакета IMSL для Fortran PS 4.0.

Тесты для итераций строились следующим образом:

1) Выбирались углы оР\ а.

2) Выбирались векторы и.

3) Находились р<°> = (с<°>, /»>), if =

4) Находились р = (d, I), 4 = gic(u, а).

Отдельно рассматривались случаи: а(0) = й при -и'01 ^ и; а(0) а при и(0? = й; а№) ^ й прИ и<°> ^ й.

В нижеприведенной таблице показало, на какой итерации достигается заданная точность, и дана среднеквадратичная погрешность вычисления Т.

Точность Номер итерации Погрешность

10"4 7 0.224 • Ю-4

ю-8 18 0.210- Ю-8

ю-12 29 0.196 ■ Ю-12

ю-14 34 0.138 • Ю-"

Для расчета параметров формулы Кристоффеля-Шварца был взят флютбет водосливной плотины Каховской ГЭС. Окончательные параметры формулы Кристофеля-Шварца равны

(-1, 0.851750257, 0.851948177, 0.852057998,

(•.852078819, 0.852311947, 0.852473143, 0.853663486, Т„р = 0.854206016, 0.855125403, 0.857207160, 0.861041080, 0.868675038, 0.889306117, 0.895843355, 0.917973887, 0.94653С351, 0.959566968,' 0.960513781, 1).

Полученный результат сравнивался с расчетом, сделанном в пакете БС (авторы Огасо11 Т., ТгеГеЛеп Ь.). Точность расчета составила 8-Ю-9 (оценка выданная пакетом). Разница между расчетом и результатом, полученном в пакете ЭС равна 6.056 • Ю-10.

В §3 численно решены задачи фильтрации жидкости со свободными границами. Найдены параметры соответствующего конформного отображения верхней полуплоскости на область, граница которой состоит из заданных отрезков прямых (полигона) и неизвестной кривой (свободной границы). Осуществлен численный расчет на ЭВМ нескольких конкретных задач. Численные результаты параграфа являюся новыми.

Аналогичный формуле Кристофеля-Шварца алгоритм отыскания параметров применялся и в этом параграфе. Кроме того вычислялись точки свободной границы и величины расхода.

Для примера были взят полигон со следующей геометрической характеристикой: а = (0.55,0.45,0.5,0.5,2,1) — вектор углов и I = (5,10,5,5) — вектор сторон, первая компонента вектора соответствует напору Н. За начальное приближение был взят вектор Т° = (1,1.1,1.2,1.3,1.4,0).

Количество циклов деформаций было равно 20. Мера деформации д равна 0.22983. На промежуточных циклах деформаций была установлена точность 10~4. Итераций на каждом шаге деформаций было 3-4. На последнем шаге точность задавалась равной Ю-12, при этом итераций было 16.

Окончательные параметры формулы

= О, _ .

По = п 1« - ^Г"-\ П = ГНС -

к] . к II ' " ■

равны • . -

Гпр = (1,1.257798210005,1.353745469992,1.360156017682,2.014788014875,0). Расход равен 6.665489233154621.

В §4 приведена численная реализация квазиконформного распрямления границ, рассмотренного в §5 Гл. 1.

Основные результаты диссертации:

• доказана разрешимость задачи фильтрации для аналитических функций с граничными условиями из

• доказана разрешимость задачи фильтрации для квазилинейного уравнения;.

• доказана разрешимость задачи фильтрации для квазилинейного уравнения в области с криволинейной границей;

• исследованы некоторые свойства структуры выпуклой оболочки оператора, задаваемого системой сжимающих подобий;

• установлена разрешимость задачи фильтрации для нелинейных эллиптических уравнений;

• численно решена задача о нахождении параметров формулы Кристофеля-Шнарца;

• численно решены задачи фильтрации жидкости со свободными границами;

• численно реализован квазиконформный гомеоморфизм.

Автор выражает глубокую признательность за проявленное терпение и самоотверженный труд своему научному консультанту В.Н. Монахову и научному руководителю Е.В. Семенко. ,

Список литературы

[1] Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений // Новосибирск: Наука, 1977, 420 с. ■

¡2] Монахов D.H. Об одном вариационном методе решения задач гидродинамики со свободными границами // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, №5. с. 1106-1121.

Публикации автора по теме диссертации

|3) Давыдкин И.В., Пример выпуклой оболочки самоподобного множества на плоскости, имеющей бесконечное число сторон. // Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. / Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2002, Вып. 120. с.22-25.

[4] Давыдкин И.Б., Пример выпуклой оболочки самоподобного фрактала на плоскости, имеющей бесконечное число сторон. // Материалы XL международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика / НГУ, Новосибирск, 2002. с. 73-74.

[5] Давыдкин И.В., Монахов В.Н. Неоднолистные квазиконформные отображения со свободной границей // Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. / Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2002. Вып. 120. С. 26-32.

[6] Давыдкин И.Б., Монахов В.Н. Задачи со свободными границами для нелинейных моделей фильтрации жидкости в неоднородных пористых средах // Прик. механика и техн. физика 2003. т. 44, N»6 с.76-84.

[7] Губкина Е.В., Давыдкин И.Б., Монахов В.Н. Численное решение задачи о параметрах конформного отображения // Сиб. журнал инд. мат. 2005. т. VIII, №3, с. 32-39.

[8] Давыдкин И.Б., Тетенов A.B. О выпуклых оболочках самоподобных множеств // Вестник НГУ Серия «Математика, механика, информатика», Том V, 2005 г., Выпуск 2. с.21-27.

Подписано в печать 20.06.2006. Формат: 60x84/16. Усл. печ. л. — 1. Заказ №57. Тираж 100 экз.

РИО Горно-Алтайский государственный университет 649000, г.ГЬрно-Алтайск, ул. Ленкина, д. 1-

Отпечано полиграфическим отделом Горно-Алтайского государственного университета 649000, г.ГЬрно-Алтайск, ул. Ленкина, д. 1.

Введение

• Глава 1. Квазилинейные отображения со свободными границами.

§1. Задачи типа фильтрации.

1°. Постановка задачи.

2°. Система уравнений для параметров.

3°. Априорные оценки.

4°. Локальная единственность решений.

5°. Метод непрерывности.

6°. Сходимость циклического метода непрерывности.

§2. Граничные свойства конформных и квазиконформных отображений.

1°. Вспомогательные сведения.

2°. Гельдеровская непрерывность решения задачи (1)

§1.

3°. Граничные свойства квазиконформных отображений.

3.1°. Регулярность квазиконформных отображений областей с ляпуновской границей.

3.2°. Поведение квазиконформного отображения в угловой точке.

§3. Граничные данные из Са.

§4. Квазилинейные отображения со свободной границей. 1°. Задача для квазилинейного уравнения.

2°. Разрешимость задачи (1), (2).

3°. Оценки на границе.

§5. Квазиконформное распрямление границ.

1°. Вспомогательные сведения.

2°. Постановка задачи.

3°. Функция ф(х,у) в прямоугольнике.

3.1°. Оценка с(у) снизу.

3.2°. Оценка с'(у) сверху.

3.3°. Оценки производных функции ф(х,у).

4°. Функция фо{х,у).

5°. Локальный гомеоморфизм.

6°. Построение общего гомеоморфизма.

7°. Применение в гидродинамике.

8°. Примеры построения.

§6. Геометрические свойства итерационных процессов.

1°. Постановка задачи.

2°. Выпуклые оболочки.

3°. Оценка размеров выпуклых оболочек.

Глава 2. Задачи со свободными границами для нелинейных моделей фильтрации жидкости в неидеальных пористых средах.

§1. Постановка задачи.

1°. Нелинейные уравнения [22].

2°. Уравнения фильтрации жидкости со свободными границами [25].

3°. Задачи нелинейной фильтрации в канонической области [41].

§2. Регуляризация задачи. Априорные оценки.

1°. Вспомогательные сведения [21, гл.VI].

2°. Регуляризация задачи.

§3. Разрешимость задачи.

Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена доказательству разрешимости краевых задач для квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений со свободными границами, созданию алгоритмов их численного решения и реализации этих алгоритмов на ЭВМ.

Актуальность проблемы. Стационарная фильтрация жидкости в пористых средах, описывается решениями квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений.

В гидродинамике задачами со свободными границами принято назвать задачи, в которых часть границы области течения неизвестна (свободная граница) и должна определяться в процессе решения.

Нелинейный закон сопротивления пористой среды движущейся в ней жидкости (закон Дарси) был предложен С.А. Христиановичем(1940), который при этом установил полную аналогию полученной модели нелинейным уравнениям дозвуковой газовой динамики. Модель С.А. Христиановича получила широкое применение для описания движения нефти в пористом пласте. Теоремы существования решений задач нелинейной фильтрации жидкости со свободными границами впервые были доказаны В.Н. Монаховым (1961) методами теории квазиконформных отображений.

М.А. Лаврентьевым [12] впервые был обнаружен класс нелинейных уравнений (сильно эллиптических по М.А. Лаврентьеву или Ь-эллиптических)

Р(г, го, «;2, т?) = 0, г = х + гу, го = (р + (1) сохраняющих характерное свойство линейного уравнения Бельтрами — каждое ограниченное решение и>(г) такого уравнения является локально-гомеоморфным в области изменения независимой переменной. Для ¿-эллиптических уравнений им доказан аналог теоремы Римана об отображениях односвязных областей [13], а впоследствии в работах М.А. Лаврентьева и Б.В. Шабата [15, 36] установлены важные свойства таких уравнений: эллиптичность их в обычном смысле и справедливость неравенства

I^z/^zl < Qo = constc 1 (оценки констант эллиптичности q0, не зависящие от искомого решения, получены позднее В.Н. Монаховым в [19]).

В работах В.Н. Монахова [19, 20] эти свойства были положены в основу определения L-эллиптичности, установлена его эквивалентность определению М.А. Лаврентьева. Нетрудно видеть, что из положительной определенности соответствующей (1) квадратичной формы следует выполнение неравенств

FU\2 - \Fü\2 > а, |FC|2 - |Р^|2 > с* > 0, обеспечивающих локальную разрешимость (1) относительно £ и и. В.Н. Монахов установил, что эти неравентсва гарантируют и глобальную разрешимость (1) относительно С и а; и при этом им был обобщен аналог теоремы Римана на случай многосвязных областей. Позднее аналогичные результаты получены в работах Б. Боярского и Т. Иванеца [1, 2], а в работе H.A. Кучера [3] исследована разрешимость краевой задачи Гильберта для L-эллиптических уравнений.

Задачи линейной фильтрации в идеальных пористых средах при некоторых дополнительных предположениях о течении изучались в работах Полубариповой-Кочиной (1952).

В случае нелинейной фильтрации в идеальной пористой среде для широкого круга задач со свободными границами методами теории квазиконформных отображений теоремы существования решений установлены Монаховым (1964). Для неидеалыюй пористой среды задачи линейной теории фильтрации со свободными границами изучены В.Н.Монаховым (19G5) при дополнительном предположении о характере течения (свободная граница выходит на дренаж, т.е. на горизонтальный промежуток высачивания).

Впервые проблема определения параметров конформного отображения многоугольников без ссылки на теорему Римана была поставлена и решена А. Вайнштейном [7]. Созданная им для решения этой проблемы конструктивная схема, названна методом непрерывности. В совместной работе с А. Вайнштейном [5] Ж. Jlepe придал этому методу абстрактную форму, реализованную в дальнейшем в виде теоремы Лере-Шаудера о неподвижной точке нелинейных вполне непрерывных отображений банахова пространства в себя.

Метод непрерывности был применен А. Вайнштейном, а затем в совместной работе А. Лере, А. Вайнштейна [5] для доказательства разрешимости струйных задач гидродинамики в точной нелинейной постановке. Другим методом М.А. Лаврентьев [10] вместе с теоремой существования доказал и теорему единственности в этих задачах.

Непосредственное развитие метода непрерывности получено в работах В.Н. Монахова (библиография этих работ имеется в [21]), который па его основе доказал разрешимость широкого класса задач гидродинамики со свободными поверхностями практически без ограничения на геометрию заданной части границы области течения.

Цель работы. В диссертации доказывается разрешимость краевых задач для квазилинейных и нелинейных эллиптических уравнений со свободными границами.

Численно реализованы алгоритмы решения задач фильтрации в классе аналитических функций.

Методы исследования. Основным методом является представление решения в виде композиции отображний квазиконформного и конформного. При этом для конформного отображения получается задача об определении параметров аналогичная соответствующей проблеме при построении конформного отображения многоугольников. Для построения квазиконформного отображения, удовлетворяющего квазилинейным или нелинейным эллиптическим системам уравнений, доказываются равномерные шаудеровские оценки, на основе которых доказывается резрешимость исходных задач.

Научная новизна. Все основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами.

Полученные другими авторами результаты относятся к различным упрощениям изученных в работе моделей.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при численном решении задач гидродинамики.

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в б работах автора. Вклад авторов в совместных работах является равным.

Материалы диссертации неоднократно докладывались на международных и российских конференциях: "Математические проблемы в механике сплошных сред"(г. Новосибирск 1999, 2000), "Студент и научно-технический прогресс"(г. Новосибирск 2002), "Математические методы в механике природных сред и экологии"(г. Барнаул 2002) .

Результаты диссертации доложены также на семинарах :

Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН "Математические проблемы механики сплошных сред"под руководством академика Монахова В. Н., чл-корр. РАН Плотникова П. И. (2000), Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН лаборатории теории функции под руководством д.ф.-м.н. профессора Асеева В.В. и д.ф.-м.н. профессора Сычева A.B. (200G).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Нумерация теорем и формул в каждом параграфе своя.

Основные результаты диссертации:

• доказана разрешимость задачи фильтрации для аналитических функций с граничными условиями из Са;

• доказана разрешимость задачи фильтрации для квазилинейного уравнения;

• доказана разрешимость задачи фильтрации для квазилинейного уравнения в области с криволинейной границей;

• исследованы некоторые свойства структуры выпуклой оболочки оператора, задаваемого системой сжимающих подобий;

• установлена разрешимость задачи фильтрации для нелинейных эллиптических уравнений;

• численно решена задача о нахождении параметров формулы Кристофеля-Шварца;

• численно решены задачи фильтрации жидкости со свободными границами;

• численно реализован квазиконформный гомеоморфизм.

Заключение

1. Bojarski В. Quasiconformal mappings and general stuctural properties of system of non linear equations elliptic in the sens of Lavrent'ev, 1.: Symposia Math. Vol. 18. L.-N.Y., 1976.

2. Iwaniec T. Quasiconformal mapping problem for general non-linear systems iof partial differential equations, In: Symposia Math. Vol. 18. L.-N.Y., 1976.

3. Кучер H.A. Краевая задача Римаиа-Гильберта для одного класса нелиненых эллиптических систем на плоскости, Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1974, вып. 18.

4. Leray J. Les problemees de representation conform d'Helmholts theories des sillages et de proues, Comm. Math. Helvetici, 1935-1936, v.8, №2, 3, p. 149-180, 250-263.

5. Leray J., Weinstein A. Sur un probleme de representation conforme pose par la theorie de Helmholtz, Сотр. Rend, de l'Ac. des Sc., t. 198, 1934, p. 430-433.

6. Serrin J.B. Existences theorems for some hydrodynamical free boundary problems, J. Rat. Mech. Anal, 1, 1952, 1-48

7. Weinstein A. Der Kontinuitátsbeweis des Abbildungssatzes für Polygone // Math. Z. 1924. Bd 19. S. 72-84

8. Weinstein A. Ein hydrodynamischer Unitatsatz, Math. Z, 19, 1924, 265-274.

9. Аравин B.H., Нумеров C.H. Теория движения жидкостей и газов в недеформиру-емой пористой среде. М., Гостехтеориздат, 1955.

10. Лаврентьев М.А. О некоторых свойствах однолистных функций с приложениями к теории струй, Мат. сб., №4(46), 1938, с. 391-458.

11. Лаврентьев М.А. О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций, Мат. сб., №1(43), 1936, с. 815-84G.

12. Лаврентьев М.А. Квазиконформные отображения и их производные системы, ДАН СССР, 194G, т. 52, №4.

13. Лаврентьев М.А. Основная терема теории квазиконформных отображений плоских областей, Изв. АН СССР. Сер. мат., 1948, т. 12, №6.

14. Лаврентьев М.А. Вариционный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа, М.: Изд-во АН СССР, 1962.

15. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Геометрические свойства решений нелинейных систем уравнений с частными производными, ДАН СССР, 1957, т. 112, №5.1G. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели, Наука, М. 1977, 407 с.

16. Монахов В.Н. О разрешимости задач фильтрации со свободными границами, ДАН СССР, 1964, т. 156, №6, с. 1320-1322.

17. Монахов В.Н. Плоские и осесимметричные задачи фильтрации со свободными границами в неоднородной среде, ДАН СССР, 1965, т. 174, №6, с. 1271-1273.

18. Монахов В.Н. О некоторых свойствах решений нелинейных систем уравнений, эллиптических по М.А. Лаврентьеву, Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1973, вып. 15.

19. Монахов В.Н. Отображение многосвязных областей решениями нелинейных L-эллиптических систем уравнений, ДАН СССР, 1975, т. 220, №3.

20. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений, СО Наука, Новосибирск, 1977, 420 с.

21. Монахов В.Н. О принципе квазиконформного склеивания для нелинейных уравнений, сильно эллиптических по М.А. Лаврентьеву // ДАН, 1981, т. 260, №5, с. 1070-1074.

22. Монахов В.Н. О сходимости численного метода непрерывности задач гидродинамики со свободными границами, Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Ин-т гидродинамики СО РАН, 2000, вып. 116, С.55-61.

23. Монахов В.Н. Об одном вариационном методе решения задач гидродинамики со свободными границами // Сиб. Мат. Журнал. 2000. Т. 41, №5. с. 1106-1121.

24. Монахов В.Н. Фильтрация жидкости со свободной границей в неидеальных пористых средах // Проблемы математики и мехаиики. СО Новосибирск, Наука, 1983.

25. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод, ГИТТЛ, М., 1952, 673 с.

26. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М., Наука, 1977.

27. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917-1967 гг.), М., 1969.

28. Губкина Е.В., Монахов В.Н. Фильтрация жидкости со свободными границами в неограниченных областях // Прикл. механика и тех. физика. 2000. Т.41, №5, С.188-197.

29. Губкина Е.В., Монахов В.Н. Построение барьерной кривой в контактных задачах фильтрации жидкости // Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. / Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2002. Вып. 120. С. 16-21.

30. Губкина Е.В. Алгоритм численной реализации конформных отображений со свободной границей // Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. / Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2000. Вып. 116. С. 26-35.

31. Губкина Е.В., Монахов В.Н. Численная аппроксимация контактных задач фильтрации жидкости // Журнал выч. математики и мат. физики. 2004. т. 44 №5. С. 944-952.

32. Фильчаков П.Ф. Теория фильтрации под гидротехическими сооружениями. Киев: Издательство АН УССР, 1959.

33. Driscoll Т., Trefethen L. Schwarz-Christoffel Mapping. Cambridge University Press, 2002.

34. Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики. Киев: "Наукова Думка", 1970.

35. Шабат Б.В. Об отражениях, осуществляемых решениями сильно эллиптических систем, В кн.: Исследования по совр. нробл. теории функций комплексного переменного. М., Физматгиз, 1960.

36. Hutchinson J.: Fractals and self-siinilarity. Indiana Univ. Math. J., 30, No 5, 1981, pp.713-747.

37. Бурбаки: Топологические векторные пространства. Изд. иностранной литературы, М., 1959.

38. Тетенов A.B. Хаусдорфова размерность множества крайних точек самоподобных множеств на плоскости // Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. / Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2002. Вып. 120. С. с. 53-59.1. Публикации автора

39. Давыдкин И.В., Монахов В.Н. Неоднолистные квазиконформные отображения со свободной границей // Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. / Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2002. Вып. 120. С. 26-32.

40. Давыдкин И.Б., Монахов В.Н. Задачи со свободными границами для нелинейных моделей фильтрации жидкости в неоднородных пористых средах // Прик.Мех. и Тех.Физ. 2003. т. 44, №6 с.76-84.

41. Губкина Е.В., Давыдкин И.Б., Монахов В.Н. Численное решение задачи о параметрах конформного отображения // Сиб. Журнал Инд. Мат. 2005. т. VIII, №3, с. 32-39.

42. Давыдкин И.В., Пример выпуклой оболочки самоподобного множества на плоскости, имеющей бесконечное число сторон. // Динамика сплошной среды, Сб. науч. тр. / Сиб. отд. РАН, Ин-т гидродинамики. 2002. Вып. 120. с.22-25.

43. Давыдкин И.Б., Тетенов A.B. О выпуклых оболочках самоподобных множеств // Вестник новосибирского государственного университета Серия «Математика, механика, информатика», Том V, 2005 г., Выпуск 2. с.21-27