Различные классы пространственных отображений и экстремальные задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

!1а правах рукописи

СТГУГОВ ШЙ ФЕЕ01ШТЧ

РАЗЛИЧНЫЕ МАССЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ 0Т0БРАКЕИ5Я И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

01. 01.01 - МатемчтиэдокиЯ анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математичесют наук

/1

НсвссиСирск - 1995

Работа выполнена в Омском государственном техническом университете

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Кузьмина Галина Васильевна;

Ведущая организация: Институт прикладной математики Дальневосточного

Зашита диссертации состоится б июня 1395г. в 15 час. на заседании диссертационного совета Д 063. 98.02 в Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

О диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета по указанному адресу.

Автореферат разослан 0Ц 1095 года.

Ученый секретарь Л. В. Кажихов

доктор физико-математических наук, профессор Куфарев Борис Павлович;

доктор физико-математических наук, профессор Селезнев Вадим Александрович

отделения Российской Академии Наук

диссертационного совета, доктор физико-математических наук

ОГДЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА работы

Актуальность теты. В современной геометрической теории функций многих переменных важное место занимает созданная в последние десятилетия теория пространственных квазиконформных отображений, основы которой были заложены в 30-х годах М. А. Лаврентьевым в связи с потребностями гидродинамики (пространственные течения сжимае-"«г «игом). С" последние четыре десятилетия эта теория получила развитие в работах охстгсув^иянх и мы^-ш:*;^? - М. А.

Лаврентьева, Б. Е Шабата, П. II Белинского, Ю. Г. Репктняки, ' Зорича, Г. Д. Суворова, А. К Сычева, И. П. Митюка, а М. Гольдштейна, В. Е Кривова, К М. Миклюкова, Б. И Куфарева, В. Е Асеева, С. К Водопьянова, А. П., КОпылова, ЕА. Селезнева, Е А. Щпыка,. Л Альфореа, Ю. Вяйсяля,. Ф. Геринга, О. Мартио, С. Рикмана, Г. Андерсона, Р. Нягс-га1, М. Вуоринена и других.

Существенно более общими, чем югасе квазиконформных отображений, являются различные классы отображений, квазиконформных в среднем. Наиболее существенные результаты для плоских квазиконформных в среднем отображений были получены в 60-х и 70-х годах П, Я Белинским, И. К Песиным, П. А. Еилутой, Е М. Миклюковым, Е И. Кругликовым. Заметим, что методы исследования плоских кваашгон-формиих в среднем отображений имеют свою специфику, и их, в основном, не удается перенести на пространственный случай. Сонорной интерес - теория квазиконформных в среднем отображений представляет в пространственном случае при п>2. Это связано с тем, что класс конформных отображений в пространстве исчерпывается меОяусовыми преобразованиями, а !сласс квазиконформна отображений оказывается н<?-достаточ.чым для отображения одной области на другую, гомеомогфнуя ей, дате для простых областей.

Шетому естественным было выделение классов гомеоморфизмов о конечными интегралами Дирихле. Эти юасеы были детально изучены в работах Г. Д. Суворова, И. С. Овчинникова, В. М. Мшшокова, Ь 11. Куфа-рева, Б. В. Соколова, а П. Дуферснко, О. В. Иванова и многих других математиков этой школы. Однако в произвольном случае классы этих гомеоморфизмов также недостаточны для отображения одной области на другую. Следовательно, представляет интерес развитие теории гомео-морфных отображений в евклидовом пространстве К? у которых координатные функции прямого и обратного отображения имеют локально суммируемые в области обобщенные производные. Однако широта этих .классов затрудняет построение содержательной теории отображений. Наиболее естественными путями развития- теории пространственных отображений, на наш взгляд, являются два пути. Первый - это изучение подклассов отображений, которые выделяются из объешиодого глосса заданием дополнительных, ограничений на суммируемость различных локальных характеристик квазиконформности отображений. Второй, восходящий к работам М. А. Лаврентьева и Л. Д. Кудрявцева, -

I

изучение отображений, являющихся решениями различных систем дифференциальных уравнений^ частных производных, причем. Сыть может, с неограниченными интегралами Дирихле. Актуальным является развитие теории пространственных р«(р, ••. - ,р)-гармонических, Р-экстремаль-пых отображений. Перспективным является изучение классов кваэило-тенциальных отображений, а также ' различных аналогов конформных отображений в пространстве, хотя полного аналога плоских конформных отображений в пространстве не существует. Основная трудность па этом пути - это проблема гомеоморфности решений систем уравнений.

Систематически исследования общих классов пространстйенных

квазиконформных в среднем отображений были начат!! п ганце 70-х -начало 80-х годов. Необходимость развития этой теории, в частности, диктовалась экстремальными задачами п классе квазиконформных отображений . Действительно, в задачах определения коэффициентов квазиконформности пар. областей- мы сталкиваемся с проблемами существования и единственности экстремальных отображении. Эти проблемы и отсутствие квазиконформных отображений для пар областей с гнутыми грзтп">*мн ¡¿рпге.»« к другим постановкам задач; найти и исследовать отображения, которь? ^ошавдяпг "»чим*»; уг^неиным характеристикам квазиконформности в'каком-либо массе пих в среднем отображений.

Цель работы - изучение различных классов пространственных (квазиконформных в среднем, р-гармонических, квазипотенциальных) отображений и экстремальных задач в них. Однако основной целью автора является доказательство для возможно более широкого класса пар областей Б,0*существования квазиконформного в среднем гомеоморфизма Г: О-*!)* ¡соординатные функции которого доставляют решение задаче Дирихле для некоторой заданной нелинейной системы уравнений эллиптического типа. Причем это отображение доллю иметь минимальную интегральную характеристику квазиконформности, то есть быть пространственным аналогом конформного отображения. На решение этой же проблемы направлены исследования автора экстремальных п -гармонических и некоторых классов р«(р ,рй) г^рчонических отображений.

Обяяя методика шуялшшшй. Решение ряда экстремальных задач потребовало разработки новых методов исследования метрических свойств квазиконформных в среднем и экстремальных отображений. Хорошо известно, что в теории кпазшеонформных отображений ваглейяую

роль играет метод модулей семейств кривых, введенный в 1050 году Л Альфореом, а. Берлингом и распространенный на п -мерные пространства Е. «йогледе и ЕЁ. Шабатом. Этот метод получил развитие в работах Ф. а Геринга, КХ Вяйсяля, А. В. Сычева, ЕЕ Асеева, Г. Е Кузьминой, В. А. ¡¡1шка и многих других математиков. Кроме того, для решения экстремальных задач в плоском случае существует эффективный вариационный метод, который перенести на пространственный случай попа не удается. Очевидно, что решение в классах квазиконформных в среднем отображений, в классах р - (р^ ,...,р )-гармонических отображений пространственних экстремальных задач невозможно без аналогов этих методов или методов, их заменяющих. Так основой исследований метрических свойств пространственных квазиконформных в среднем отображений, наряду с классическими методами теории функций и функционального анализа, являются оценки искажения модулей семейств кривых и р-емкостей конденсаторов при таких отображениях. Для исследования свойств экстремальных отображений в пространстве автором разработан вариационный метод, основанный на идеях классического вариационного исчисления и теории уравнений в частных производных.

Научная новизна к теоретическая значимость Основными результатами, полученными в диссертации, являются следующие:

-теоремы о полунепрерывности снизу функционалов специального вида (но являющихся непрерывным!! квазивыпуклыми) в классе, квазиконформных в среднем отображений;

-доказана компактность различных семейств квазиконформных в среднем отображений;

-дано описание сходимости последовательностей, минимизирующих

функционалы типа интеграла Дирихле и предельных отображений;

-доказаны существование и локальная единственность Г-экстремальных отображений;

-доказана й-симметричность Г-экстремальных отображений, г-симметричных на границе области;

-для регулярных пар областей 0,0*доказано существование квазиконформного в среднем гомеоморфизма г": О-^-О*, координатные функции доставляют решение задаче Дирихле для некоторой заданной пелии«£взй омотемы уря«нений эллиптического типа;

-доказано существование экстрема."»** п-гагм?яи«вс«аА "Т"Япа-жений;

-даны оценки локальной характеристики квазиконформности р-гармонических, отображений внутри области через ее значения на границе области.

Все основные результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в смежных областях геометрической теории функций, в теории нелинейных уравнений в частных производных, а также в различных приложениях (гидродинамика, газовая динамика,численные методы решения уравнений в частных производных).

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, док-лгды*ались автором на конференциях, школах различных уровней, на "Лаврентьевских чтениях", а тякже на научных семинарах Института математики СО РАН, Института гидродинамики СО РАН, С. -Петвпбург-ского отделения Математического института РАН, Института придан ной математики ДВО РАН.

Публикации. Список научных работ содержит более 40 наименований, из которых 24 по теме диссертации С1-24], в тем чиста

ног рафии. Все основные результаты диссертации опубликованы в работах, указанных в конце автореферата.

Структура м объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 104 наименований и составляет 227 страниц машинописного текста.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

В диссертации изучаются общие свойства пространственных отображений, квазиконформных в среднем, и их семейств (главы 1-2), экстремальные задачи в классах таких отображений (глава 3) и

р«Ц.....р^)-гармонические отображения на п-мерные интервалы

(глава 4).

В первой главе диссертации определяются различные классы квазиконформных в среднем отображений, даются оценки искажения модулей семейств кривых при таких отображениях и,.на основе метода модулей, приводятся достаточные условия продолжимости квазиконформных а среднем отображений до гомеоморфизмов замкнутых областей.

В % 1.1 даны основные обозначения и определения.

В §1.2 определяются основные классы отображений и для них даны оценки искажения модулей семейств кривых.

Далее приводятся оценки колебания отображений, а также оценка диаметра предельного множества C(f>0) в точке разрыва отображения

Ф. Герингом, доказано, что всякое квазиконформное отображение принадлежит У^Ш с некоторым £>0. Простыв примеры показывают, что для квазиконформных в среднем отображений это может быть не так

В теореме 1.2.21 приводятся достаточные условия, при выполне

е

нии которых прямое квазиконформное в среднем отображение принадлежит V/ '(D) с некоторым £ >0. В теореме 1.2.22 указаны достаточны? условия принадлежности обратного отображения еоболевокому пространству W^'jfD) с некоторым 5 >0.

В § 1. 3 изучается соответствие, устанавливаемое квазиконформным! в среднем отображениями в граничных точках отображаемых областей. Основная теорема 1.3.2 этого параграфа позволяет дать описа-!""? пргулярных пар областей при постановке задачи Дирихле п класс? ийаашкж^сг-™^" Й с^гзп??? (рлавз 3).

Теорема 1.3.2. Пусть гомеоморфизм f; S- < D ?«кой. cz пу™*™**-ет открытая окрестность U границы области D , для которой отображения f:DOU-*f(DnU) И г": ГСОЛU)-»DDU - К-разиконформны в среднем.

Тогда, если.области D и D* конечно-связны и.имеют свойство Р( в калдой своей граничной точке, то отображение f:D-*D#.может быть продолжено до гомеоморфизма замкнутых областей.

Е теореме 1.3.3 и замечании 1.3.4 даются другие условия продолжимости отображений до гомеоморфизмов замкнутых областей.

Глава 2 посвящена изучению условий, при которых семейства квазиконформных в среднем отображений (и им обратных) являются нормальными или компактными.

В §2.1 даются различные достаточные условия нормальности сс,"ейств прямых (а также им обратных) отображений, гаазшсоифоршых в среднем. ^

В §2.2 изучается полунепрерывность оуш'шютлог- lu ;;,f,V f. \L( х,Г. V ff J(х,f, Vf) , г>1, где Ux.f.Vf) - F(x,f, Vf)/J(x.f, V r Здесь F(x.v.v) - неотрицательная функция, определенная для. почти всех x€D на множестве D*R *R , непрермйнчя по w и v для почти всех x£D , Kx.i.Vt) - положительная для почти всех

пь пиг

н€ О , непрерывная на Ох Я хД функция.

Предположим, что последовательность функций < г'" >,к-1,2,.,.

локально равномерно в области Б сходится к г'€ У('(0),

Кх.Г ,7Г. )€ Ь (0) . Iif.ll М<» к к г К Ь^*

4

для всех номеров к-1,2,...

Теорема 2.2.1. Пусть последовательность функций <х.Г^, VГ^)}, к-1,2..... слабо в Ц(0) сходится к х,Г, VП , кроме того,

* . JL

tt-4

if (x)FU,f,Vfi"dx 4 lim WixlFU.f ,Vt ) dx,

\ £ t \ if (x)FU.f.Vf) dx -i l_im \<

D D

для любой функции lf€Cfl(.D), Oitf(x) 4 1. Тогда

l.(x,f, Vi) dx ( Ит I LU,fk, VfR*dx. D D

Теорема 2.2,2. Пусть последовательность функций < J< х, f„, 17 f)>,

^ К

И-1.2..... слабо в Ц(D) сходится к функции J(x,f,7H и, кроме того,

UfmFix.i'.Vndx ч< Hm • W (x)F(x,fb,Vft)dx J t-юо J к к

D D

для любой функции Ч' i х) € Cfl( D), 0 xi < i. Тогда дляг>1 справедливо неравенство

Цх.Г,7П Лх,Г,7Пс1х < Пт

г

) ,1(1!,

г^уах.

о

и

Из этих двух теорем вытекает полунепрерывнссть снизу рассматриваемых функционалов. если ГГх.у,») ^ о выпукла по у для всех

т

хб Б. для всех ve.fi или выпукла по * для почти всех хео, всех « с .чГ п~ мк*г>иу £ > о найдется компактное множество А с 0 та-

• ____т _тп

кое, что Ш\Л|< с. а Пнеирс-дозз ггэ *к .

В частности, отсюда следует полунепрерьшность снизу ряда ральных характеристик квазиконформности отображений.

Основным результатом § 2.3 является теорема о компактности семейства отображений из класса

Ж0(0,0*) - { а о") : К^т <00. К1{(Г''} <<*>>.

Георемз 8.3.8. Пусть семейство отображений { ^ >, А б А, из

ЮТлО.О*) нормировано условиями Г. (а)-с, и для всех л а А

I *■

- к. .(Г.) + К (Г) М< оо.

¿Л 1,1 л.

Тогда семейство отображений Т А, является компактным

в классе отображений 0,0*).

Следствие г.Я. 12. Пусть семейство отображений Л£А, т»

У|Т,(0,[М такое, что для всех ¿6 А о

4 М <оо

и (Г, - $:)£ $'(0) для некоторого г6 УН,Л0,0 ).

£

Тогда семейство (Г, >, А6А, компактно в 'Ж(г. 0,0 ).

л 0

В третьей главе рассматриваются экстремальные заяачи в (О.Ь*) для Функционалов типа интеграла Дирихле, а тшда

для интегральных характеристик квазиконформности.

В % 3.1 исследуется характер сходимости последовательности отображений из fiLg(D,D*), минимизирующей функционал г и»

T(Vf) - \ 51 F;(Vr-)dX.

D ta<

дается ответ на вопрос: какому уравнению удовлетворяет предельное отображение, которое, вообще говоря, может быть негомеоморфным.

Здесь все функции F-бС (R ), О <§>< 1, удовлетворяют условиям

РС 9:

m^yl < F-(y) Ч + |у| ), F.(0j-0,

,х,< X<Y M*,yi 1x1 •

i.J-1 1 i

где p.> n, m.,m,,M.,M, - некоторые положительные постоянные.

Обозначим V^ÎD) - i fé Ц {D) : существует последовательность if. }. k-Hôô, rew.'(D), I! fJ ,< M, ЦГ„- fi,-> Û, при k-*oo).

Теорема 3.1.1. Пусть последовательность отображений ifk >, k - i',00 , является минимизирующей для функционала сГ (Vo в Жа( Г, D.oV .

Тогда из этой последовательности можно извлечь подпоследовательность .для которой справедливы следуюдие утверждения: а) последовательность отображений <f„>, m-1,00 , сходится рав-

m *

номерно внутри области D к непрерывному отображению ftW^tD),

Р-( р......р ) . при этом 7Г,-» 7 f слабо в L„( D) ;

1 и т Р

б) последовательность обратных отображений 1ГпУ- сходится к некоторому отображению <зГ (у)€ W^iD*) почти всюду в D* , сильно в

, tD*), Vq > О .слабо в CD*);

г

в) для почти всех х£0 имеет место равенство

lim ( 9T(f ( х) - х) J U.fJ - 0;

г) последовательность отображений Шг^(у))> сходится к тож-хественному отображению сильно в L(D ), Vq > 0 .слабо в W^D*) и тсгги в"<"ну в и , прзпсм для почти ьосл у£ " спрчяелливо равенство Ч?Г<у)) - у;

д) равенство 5Г(Пх)) - х справедливо для всех x6?T(D\E), где - множество всех v€D* , в которых отображение f(4T(y)} f у или

1ё определено.

Координатные функции предельного отображения являются ограни-¡енными обобщенны»«! решениями системы уравнений

L*t j*t i

— -I -Ii*

1сли з1(у) - f (у), f ) , то координатные Функции гомеоморфизма

шляются ограниченными обобщенными решениями уравнений Эйлера а

р J

[римеры показывает, что предельное отображение может не удовлетрор'т; iTOrt системе уравнений Эйлера, а само отображение не принадлежать

Н §?. С для Фуншгонадг'Е %( Vf) ?ал?чных в p.i>*) . г:п ые удовлетворяют ол«лушчтм условиям:

1) существует f g Iflft (D,D ) , ва котором j (7f)<oo«

2) существует число m > 0 такое,что

7f) > tn Ж>£ f);

3) если последовательность отображений -tf^} сходится равномерно внутри области D , а также слабо в D) к некоторому гомеоморфизму f: d-* d* ИЗ Ш„( d, d*) . то

Vf) « Jim?! Vf)

—' ш иг-*оо

доказана следующая

Теорема 3.2.1. Для любого geTfä.CD.D*) , на котором

С*""*

(V е) < оо , в классе )t£.e(g,D,D*) существует отображение f : D-' D* такое, что

о

?*( <?"( Vf)

для всех Г, ГйЖ,(е;0,О*).

о

Граничное условие в этой теореме можно заменить условием нормировки t ( х4)-у в некоторой точке x߀D {теорема 3.2.2). Если D* -шар, а функционал ?*{7РвГ) - ¿{ Vf) для любого мебиусова преобразования Р,то в классе Ш0(D,Bn) существует отображение f,: D-» В такое, что < ¿Г ( Vf) для всех f 6 Ж/D.b") (следст-

вие 3.2.3).

В §3.3 в классе отображений Tflc(b,b") определяется Функционал

5» <Й b,i

где постоянные р ^ п. , ^^ ia ,

(£_.,} Р £ {

£ г ( и)

Зовокупность всех отображений из й, 0*') ,на которых конечен

функционал ¿Г ( V (), ш обозначаем ТиТ^ ( О, Л*).

^лЛпяженця из этого класса при +-4т 4 являйте« у. - кгп-

р " п.~| .1(|

ю ^.^"«ом-

Теорема 3.3.9. Пусть {Гт>, п>=1,со , - г.о^лс"ьйос*^ гс:-??-

юрфизмов из ^ (г; О, Б*), ^ ^ 75^7, которая равномерно внутри збвасти 0 сходится к гомеоморфизму и О-«- 0? причем для всех номеров п> ЧГ ) « М < оо.

Тогда г б Ш Л г; В, 0*) и < Ца&^СЛ

Непосредственным следствием теоремы 3. 3.9 и следствия Я. 3.12

Галяется существование экстремального отображения ь 1(1 (г;0,0*1

р 5

теорема 3.3.10) и в классе Ш Шх )-у (тесгсю 3.3.115.

РД " с

Уместно заметить,что при

о

^ ® '"

г экстремальным в )Ж(0,и*> является 1:онфсрк-н;.ч отгегвтет-, От: в

!&мечание вместе с теоремой 3. 3.1 и леммой 3. 4.16 позволяет считать ;Л 3. ¡о и 3. з. И пространственными аналогам» теоремы Римаиа о ;о!грт[?мных сгс^рзженнях плоских о*5лчотрГ, а • •-стрн'ггт!«*» пгг*-

1с.

ражения - пространственными аналогами плоских конформных отображений (полной аналогии, конечно, добиться невозможно).

В §3. 4 дается вывод уравнений, которым удовлетворяют координатные функции прямого (теорема 3.4.1, следствие 3.4.4) и ему обратного (теорема 3.4.3, следствие 3. 4.2) 5*"-экстремального отображения f: D-* D * . Доказывается (лемма 3.4.15), что система уравнений Эйлера в теореме 3.4.14 является системой эллиптического типа

В следствиях 3. 4.5-3. 4. 8 выводятся уравнения Эйлера для задач со свободными граничными значениями,если одна из областей D, D* является п -мерным интервалом.

Пусть Гк( х) доставляет минимум функционалу f(Vf) в

Kit (h; D, D*) для некоторого h б (D.D*).

Р,9 РД

Точка xee3D называется регулярной,если существует

lim Г (х) - h(x )

для любого h£ fit (D,D*).

Область D регулярна, если регулярны все точки ее границы.

Пара областей D, D* называется регулярной, если для любых

хо

,£^0. y0e^D и любых heJJ^D.D*) существуют пределы

lim f. (х) - h( х.), lim f"'(y) -h~(vj, x-+x. h ' y-+y„ h 9

* о

*

где х€0, уеО.

Если области 0 и 0 конечно-связны и имеют свойство Р( во всех граничных точках,то они регулярны (теорема 3,4.13).

Пусть 0,0* - пара регулярных областей. Обозначим множество всех отображений Ц ^О-'-'ЭО*' .являющихся следами гомеоморфизмов и:

Тогда (теорема 3.4.14) система уравнений

рл ¿¡А/М-М*'*) -

< -ИЛ,*;

для любого имеет обобщенное решение, принадлежащее

) и удовлетворяющее условию Тчккм обилзсы, теорему о существовании гомеоморфных ре-

шений системы уравнений эдлиаанчаспсгэ т«ша пои гоыесмерен«* гьшы* ных условиях. Ясно, что вместо функционала можно брать лю-

бые, ему аналогичные.

В §3.6 рассматривается вопрос о единственности регулярных -экстремальных отображений. Вообще говоря, единственности отображения, доставляющего минимум

функционалу Т ( V И в классе 71Т (Б, 0*) нет. Легко строятся примеры

• Л

областей, тогда экстремальных отображений не менее двух. Поэтому, мы

будем ставить вопрос о единственности Т-зкстремального отображения *

»

в некоторой его ■ окрестности 1^(0,0 ), состоящей из изотопных ему отображений, при некоторых ограничениях на вид этих иаотопий. Простейший пример такой изотопии дает линейная изотопия (следствие 3.5.2).

Теорема 3.5. 4. Если существует С - диффеоморфизм й-* Б такой что".} (7П для и. (0.0*), то он - единственный в

0,0*) диффеоморфизм, обладающий этим свойством. (Заметим,что мы не фиксировали значения на границе области;.

Следствием теоремы 3.5. 4 для осесимметричных областей является

сг *

Теопема 3. Б. 5. Если 3 - "экстремальный ди^оморФизм Г: 0--» О

ярляется з -симметричнш на грашше сблч-ти. то гн - свтгтри"«*! "

внутри области D.

Глава 4 состоит из пяти параграфов и посвящена исследованию р-(р},... ,р^)-гармонических отображений.

В § 4.1 строятся n-гармонические отображения топологического параллелепипеда D на куб Q ,где область D удовлетворяет следующим требованиям: Int D - D . D гомеоморфна Q , имеет свойство Р{ во всех граничных точках. "У построенных отображений изучаются множества уровня координатных функций (леммы 4.1.2-4.1. 4, следствия 4.1. б, лемма 4.1.6).

Существует гладкое отображение U - (.....u^), которое осуществляет отображение D на Q .при этом все координатные функции ц.(х),

•п-а 1

- 1-1,п, удовлетворяют уравнению div(vu(vul )-0 (теорема 4.1.10).

Заметим,что метод Винера позволяет строить такие отображения с неограниченными интегралами Дирихле,

Рассматривается также и случай многосвязных областей. Строятся п-гармонические отображения таких областей (теорема 4.1. 7).

Естественно среди всех п-гармонических отображений D на Q выбрать то, которое доставляет минимум функционалу

Для решения этой задачи доказана теорема о непрерывности кснфор» ной емкости в замкнутой области относительно сходимости континуумов 1 метрике Хаусдорфа. Вообще говоря, такой непрерывности может и не был Условия, когда непрерывность р-емкости. при р > п-1 .имеет мест) даются в § 4.2.

В § 4. 3 исследуется вопрос о существовании экстремального п -га

i-1 D

ионического отображения Б на 0 .

Класс всех г,-гармонических отображений 0 ьа О обозначим

% 1д.а).

В семействе отображений ЬС (0,0) ищется отображение 1Лх), которое доставляет минимум функционалу Н(711).

При п-2 решением поставленной задачи является конформное отображение области й на 0.

Простые примеры показывает, что минимизирующая последовательность <и (х)> для этого функционала предела в VI (0,0) может не

(Я

. П"ТС.\0* 121 МЛЯй ллиии ьаеематрийчймм* г«ппга»ои|.п

«о ¡юдгласса отссраггзний топологических параллелепипедов О, у которых диаметр любой грани не меньше некоторого £>0. Обозначим его VIу

Теорема 4. 3.5. Пусть область 0 обладает свойством А( п). Тогда в семействе отображений всегда существует отображение II/х),

для которого

Н(?и0) « неVи). Уие1Д*со,0).

Для функционала Н(и,7и) - (Ыс1(и)) )Н( V10 .где Ь - специальным сбравом подобранная функция,экстремальное отображение и (х) существует во всем классе Ш(0,0) (теорема 4.3.9).

В 5 4. 4 устанавливаются некоторые свойства а- гармонических функ иий. которые понадобятся нам при изучении р-гармонических отсбрадхлчт4

Представляет интерес вопрос; при каких условиях на границе пЧ.тч''. ' модуль градиента о-гармоннческой функции и(х) не равен 0 всюду внут;л: области Ь .и. следопателыго. функций и( у.) аналити'пю.

Мы рассмотрим частный случаи этой проблемы ч дадим некшоро*' описание класса <?-гармонических функций, у которых, если V иуо на границе области, то V иу-0 и внутри области а

ОСоонччим ч?р*?рК£; I)) чиожрство п?<»к ф^ччи;^ чй • * Г' • •.•;

1т(|Ги1:0) а 1т()Ги| ГЭО, то есть множества еначений, принимаемых модулем градиента на Ю и П> 0 . соответственно, совпадают.

Далее, ч-гармоническая функция называется регулярной в области О,

в

если она принадлежит классу С (0).

Достаточные условия принадлежности регулярной ц-гармонической

функции и(х) классу У1{Ъ) дают следующие ниже теорема

1 -

Георема 4.4.1. Пусть иб С (0) - регулярная ч-гармоническая (ч { 2) в области 0 фунгаш, у которой лапласиан Д и / 0 для всех к£0. Тогда иеЖ(Ъ).

Теорема 4. 4.3. Пусть и£С(Ш - регулярная а-гармоническая в области 0 функция. Если, кроме того. и(х) является г-гармонической ( г / ч) в области 0 . то ибЭДхЕ).

Теорема 4.4.5. Пусть и€с'(б) - регулярная ч -гармоническая (4^2) в области 0 функция. Тогда, если

7иЛи + 2*(ч-2) 7( | 7и|) » 0 в области 0 , и почти для всех t6Im(u•,D) множества уровня БШ связны. то иеЖ(б).

Отметим, что градиент 7 и + о для всех хе 0 , если и -аналитическая ^-гармоническая (ч / 2) в области И функция, у которой-ранг матрицы, составленной из частных производных второго порядка, положителен вешу в области 0 (теорема 4.4.6).

В §4.5 рассматриваются р - (р,.....р^) -гармонические отображения. приводятся достаточные условия гомеоморфности таких отображений (теорема 4.5.3. следствия 4.5.4-4.5.7).

Приведем основные результаты этого параграфа.

Лемма 4.5.10. Пусть Г-(Гу.....Г^О-"^- р - (р,.....р^)-гармонический гомеоморфизм области 0 на И*, у которого Лх,П >0 для всех . Тогда имеют место тождества

w. = 11 a .

n

Определение 4.5.11. )Aj будем говорить, что отображение f: D-*-R

принадлежит классу 0p(D) , где р-(р(,... ,р^> , если f - р-гарыоничес-

кое отображение в области D , у которого всюду в D при m / к рпГ*

ivy - c(m.k)1(x.n.

где с( it) ~ ii^itcTcpiiv псстсп"*»!*?.

Теорема 4. Б. 13. Пусть f - ,... ,fn)£ 7£(0) - регулярный гомеоморфизм класса 0o(D), р - (р......р.), р < п для всех m»T7n.

* 1 m

Тогда, если

kjT

М - шах < sup —-- - о > < оо ,

«milt хеТй ftx^) м

то:

а) f( х) есть аналитическое квазиконфорьшое отображение области D ;

б) обратное отображение f" - аналитическое квазиконформное отображение области П D) ;

в) характеристика квазиконформности отображения f(x) для всех

х € D удовлетворяет неравенству

iVfl*1 л Д а и.

"IV л Т. F(7f). _— 4 Л > >

в |ПЯ I

где М - тах (Vf I * xeifl m

fit

Аналогичный результат имеет место и для квазипотенциального отображения (теорема 4.5.16). При доказательстве этих теорем существенно используется тождество из леммы 4.5.10.

В заключение отметим, что большой вклад в изучение плоских гармонических отображений внесли Л. Д. Кудрявцев, И. П. Митюк, ЕГ. Шеретов, Е. А. Щербаков, П. Линдквист, И. Манфреди, а в теорию пространственных отображений (пространственные аналоги конформных отображений) А. М. Янушаускас.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТНМВ ДИССЕРТАЦИИ

1. Стругов Ю. Ф. Вариации пространственных квазиконформных отображений

и экстремальные отображения // Динамика сплошной среды.

Новосибирск, 1976. Вып. 25. - С. 154-157.

2. Стругов Ю1Ф. Некоторые свойства отображений,квазиконформных в среднем // ДАН СССР. - 1977. Т.235,И 6. - С. 1168- -1171.

3. Стругов Ю. Ф. О компактности семейств отображений, квазиконформных в среднем // ДАН СССР. - 1978. - Т. 243, N 4. -С. 859-861 ,

4. Стругов 1й Ф. Дифференциальные свойства экстремальных квазиконформных отображений // Вопросы метрической теории отображений и ее применения. - Киев. 1978. - С. 135-142.

6. Стругов КХ Ф. Об одном дифференциальном свойстве экстремального отображения,квазиконформного в среднем // ДАН СССР. -1978. -Т. 243. N 5. - С. 1138-1141 .

6. Стругов КХФ. Отображения,квазиконформные в среднем. Новосибирск, 1979. - 40 с. (Препринт / СО АН СССР. Ин-т математики)

7. Стругов К1Ф. О свойствах экстремальных областей // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1986. Вып. 77. - С. 110-119.

S. Стругов 1ft Ф. О монотонности отображений в пространстве с ограниченным интегралом Дирихле // Краевые задачи для неклассических уравнений матем. Физики. - Новосибирск, 1087. - С. 114-124 .

I Стругов Ю. Ф. Построение отображений специального вида многосвлзнол областей / Омский политехи, ин-т. - Омск. 1S87. - 14 с, Де-п. в ВИНИТИ 19.02.87. N 1368-1388.

0. Стругов Ю.Ф. О непрерывности- конформной емкости // Применение функционального анализа в уравнениях математической физики. - Но-

1987. - С. 149-156.

1. Струюь Ю. 1 О ?;т?стрп«янии эксгдаыалшх огобплтища uu i^t ." Матем. анализ и дискрет, матем. - Новосибирск, 1988.- С. 1С5-116.

2. Стругов Kl<5. Об отображениях областей, осуществляемых решениями эллиптических систем уравнений // Всесоюзная конф. по геометрической теории функций: Тез. докл. - Новосибирск, 1988..

3. Стругов Ю. Ф. О полунепрерывности некоторых функционалов // Республиканское совещание-семинар по комплексному анализу и прикладным задачам управления: Тез. докл. - Киев, 1989.

1 Стругов Ю. Ф. Различные классы пространственных р-гермоническнх отображений '// Бюллетень Сибирского матем. обшства: Те?., докл. Новосибирск. 1990.

5. Стругов КХ Ф. О непрерывности конформной емкости относительно судимости континуумов в метрике Хзусдорфа / Омский политоп. ин т OtCi:, 1G?Ç. - 10 С. Лея. В ВИНИТИ 11.05.89 H 3Û76-B39 .

5. Стругов Ht S. О полунепрерывное«» некоторых {уркиксиэддо •" Мат »« анализ и дискр. матем. - Новосиб!фск, 1688. - С. 42-17.

7. Стругов Ю.Ф. Экстремальные отображения, квазиконформны* в среднем и 0-отображения // Алгебра к «етммчтичйекий анализ. - Новосибирск, 1990. - С. 14-30 .

18. Стругов КХ Ф. О непрерывном р-емкооти // ДАН СССР. - 1090. Т. 314. N 1. - С. 138-140 .

19. Стругов Е $. О гомеоморфности (^-экстремальных отображений // ДАН СССР. - 1991. - Т. 316. N 2. - С. 309-312 .

20. Стругов Ю. Ф. О гомеоморфности некоторых классов пространственных р-гарюнических отображений // ДАН СССР. - 1991. - Т. 318. N 4. -С. 832-835 •

21. Стругов Ю. Ф., Сычев А. В. Различные классы пространственных отображений, квазиконформных в среднем // Алгебра и матем. анализ. -Новосибирск, 1990. - С. 104-125.

22. Стругов Я Ф. Некоторые классы пространственных р-гармонических отображений // Матем. анализ и дифференциальные уравнения. - Новосибирск, 1091. - С. 23-43.

23. Стругов ,1а Ф. Квазиконформные в среднем отображения и экстремальные задачи / Омский государственный технический университет.-Омск 1Э94. Ч. I. -153 с. Деп. В ВИНИТИ 05.12.94. N 2786-В 94 .

24. Стругов КХ Ф, Квазиконформные в среднем отображения и экстремальные задачи /Омский государственный технический университет. - Омск 19Э4. Ч. I. -114 с. Деп. В ВИНИТИ 05.12.94, N 2787-В 94 ■

Подписано к печати 24,03.95. Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага типографская. Оперативный способ печати. Усл.пвч.л. 1,5. Уч.-иэд.д. 1,5. Тираж ЮЗ экз. Заказа?

Издательство ОмГТУ. 644050, Ок.;«, пр. Мара, II Типография 0мГ'1У