Задача Дирихле для многомерных эллиптических систем уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

00346745Б

На правах рукописи

Халилов Шавкат Бобоевич

Задача Дирихле для многомерных эллиптических систем уравнений второго порядка

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

о о АП? Г/3

Душанбе - 2009

003467456

Работа выполнена в Институте математики Академии наук Республики Таджикистан

Научные консультанты: доктор физико-математических наук,

профессор

Янушаускас Альгимантас Йонасович

доктор физико-математических наук, профессор Сафаров Джума Холович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Кожанов Александр Иванович доктор физико-математических наук, профессор

Раджабов Нусрат Раджабович доктор физико-математических наук, профессор

Борздыко Вероника Ивановна Ведущая организация: Белгородский государственный университет

Защита состоитсяв 11ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики Академии паук Республики Таджикистан.

Автореферат разослан 2009 г.

И.о. учетного секретаря диссертационного совета

Мустафокулов Р.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В 1937 г. И.Г.Петроиский1 выделил широкий класс систем уравнений в частных произведших, называемых теперь эллиптическими no 11отровекому. Решения таких cm-тем обладают многими свойствами, характерными для решений одного эллиптического уравнения. Например, все регулярные решения таких систем аналитичны. Однако свойства разрешимости классических граничных задач для эллиптических но Петровскому систем существенно отличаются от случая одного уравнения. В 1948 г. А.В.Бнцадзе2 построил пример эллиптической по Петровскому системы двух уравнений второго порядка, для котором нарушалась нетсровое.ть задачи Дирихле. В связи с системой Бицадзе для эллиптических по Петровскому систем возник вопрос классификации граничных задач но характеру их разрешимости. Классические граничные задачи для эллиптических по Петровскому систем не всегда нетеровы, поэтому класс таких систем, для которых задача Дирихле корректна, должен характеризоваться некоторыми дополнительными ограничениями. Веко]« такие дополнительные ограничения предложил М.И.Вшиик3. Он усилил условия эллиптичности но Петровскому требованием сильной эллиптичности, то есть либо положительной, либо отрицательной определенностью симметричной составляющей характеристической матрицы системы. Сильно эллиптические системы но характеру разрешимости классических граничных задач ведут себя точно так же, как одно эллиптическое уравнение, то сеть эти задачи всегда, нетеровы.

Задача гомотопической классификации эллиптических по Петровскому систем была сформулирована в совместном докладе И.М.Гельфанда, И.Г.Петровского, Г.Б.Шилова па III Математическом съезде в 1956 г. и там же была подчеркнута важность исследований не сильно эллиптических систем.

Исследованиям краевых задач для не сильно эллиптических систем посвящены работы Д.В.Бицадзе, Л.П.Япушауекаса, Д.Д.Джураева, 10. Т.Лптохпна, М.З.Соломина, Л.П.Волевпча, Б.В.Вайнбсргй, В.В.Грушина. В.П.Шевченко, В.Н.Черномаза, В.С.Виноградова, А.П.Солдатова, Р.С.Сакса, Е.И.Кузьмина, В.Феллера, Н.Е.Товмасяна, а также работы нх учеников.

Система Впцадзе тесно связана с системой Кошн-Рпмапа. Изучение эллиптических систем с двумя независимыми переменными привело к созданию теории обобщенных аналитических функций. К настоящему времени эллиптические системы первого порядка с двумя независимыми переменными нселедо-

4l("l(NMI(-KMil II.Г. О М1<' IV Mi! х' .ин'и Ш.П.1. Г 1.1 II.IX Y [>'>>111111111*1. lief |Н'НН-Ш1М h"l"[>ux illlil. III j'll'IMI.t /, !"К I.

АН СССР. 1937, т.17, W. «-.339 342.

"БиЦаДЧГ A.B. Oil Г.иШСТКППКХ'ГН ¡КЧШЧШЯ <;]Д;ГМ| Дприх. И' . L 1>[ |.1ШШГ1<1'КМХ ypyilllfllllii <■ IMC.III.IMl. щюигшодними// Усчк'хч Maivu. ним;. 1018. 1.3, -^Ч), с.211 112.

1 [lllllMlK M.II. О illrll.ll' • -». I.IIIM'I'II'K4KIIX cut TfAlaX , и|ф||н'[И'11Ц|Ц1. I I'UJ.IX ypaHlUMIlVll M.l UV I. I f»>j»l Ii*. : '**

1.29. X'i. .-.Ol.". - «7«.

папы достаточно хорошо. Также хороню разработана теория эллиптических по Истринскому систем уравнений иторого порядка с двумя независимыми переменными, а для систем с двумя независимыми переменными любого порядка решена задача гомотопической классификации. В общем случае для граничных задач не наблюдается никаких новых явлений по сравнению с системой Бицадзе, содержащей к тому же младшие члены. Для эллиптических систем со многими независимыми переменными характер разрешимости классических граничных задач существенно зависит от структуры системы, размерности пространства, структуры рассматриваемой области. Корректность же классических граничных задач для общих эллиптических но Петровскому систем, даже с постоянными коэффициентами, исследована пока еще не достаточно, также далеки от полного решения и задачи гомотопической классификации таких систем по характеру их разрешимости. Эти обстоятельства указывают на актуальность исследования вопроса о разрешимости классических граничных задач для много мерных (п > 2) не сильно эллиптических систем.

Цель и задачи исследования

Изучение условий корректности классической задачи Дирихле для многомерных не сильио эллиптических но Петровскому систем уравнений второго порядка с симметричными и несимметричными главными частями в ограниченных и неограниченных областях, проверка влияния младших членов па разрешимость задачи и эффект потери гладкости при гомотопни.

Научная новизна результатов. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Рассмотренные в работе эллиптические системы уравнения иторого порядка являются обобщением ранее рассмотренных систем.

Построены общие представления решения системы с симметричной главной частью в произвольной ограниченной области, а для систем с- несимметричными главными частями построены общие представления решений в полупространстве, в шаре н в произвольной ограниченной области.

Для систем с несимметричными главными частями доки мня мдночнячная разрешимость задачи Дирихле в полупространстве.

Доказана фредгольмовость задачи Дирихле для общих систем с постоянными коэффициентами в областях достаточно малой размерности.

Для общих систем с переменными коэффициентами найдена область фред-гольмовостн задачи Дирихле.

Научная и практическая значимость. Работа теоретическая. В ней развивается теория классических граничных задач для эллиптических систем уравнений в частных производных второго порядка. Рсзулы 1'ы исследования могут быть использованы в изучении задач теории упрут ости.

Методы исследования в основном базируются на классических методах интегральных уравнении, .методах функции Грина ц функции Леви (метод

й

парамстрнкса).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ссмини-рах Института математики Академии наук Республики Таджикистан, на семинарах кафедры высшей математики и кафедры теории функций и математических» анализа ТНУ, на семинаре Института математики СО РАН "Избранные попроси математического анализа" (рук. д. ф.-м. наук А.И. Кожанов), на международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", посвященной 60 - летию 'Г. Собнрова ( Душанбе, 2002), на международной конференции "33"' Iranian Mathematics conference" (Мешхад, Иран 2002), па научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами (Душанбе, 2003), на IV международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 2004), на международной научной конференции "Дифференциальные н интегральные уравнения н смежные вопросы анализа" (Душанбе,ТГНУ, 2005), на 71 li International Pure Mathematics confcrcnce (2006, Islamabad, Pakistan), на научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной 15 - летию независимости РТ (Душанбе. 2006), па международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, 2007), па международной конфс]хшцнн "Дифференциальные уравнения, теория функций н приложения", посвященная 100 - летию со дня рождения академика И.Н.Векуа (Новосибирск, 2007), па междуиаро;щой научной конференции "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений н информатики", посвященной 70 - летию академика АН РТ З.Д.Усмапова (Душанбе, 2007), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и иеклассичсскнс системы днффс1>снциальных уравнений", посвященной 75 - летию со дня рождения академика. А.Д.Джураева (Душанбе, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 печатных работах автора.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 223 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав и 16 параграфов. Библиография содержит 84 источника на русском н иностранных языках. В каждой главе введена сквозная нумерации параграфов, формул п теорем.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В "Введении" изложено состояние исследуемой проблемы, дана краткая характеристика работ, примыкающих к теме диссертации, приведен краткий обзор основных результатов диссертации.

В главе I (§§1.1. - 1.2) "Вспомогательные сведения" приводятся необходимые сведения, касающиеся классической теории ньютоновых и обобщенных

о

потенциалов, а так же некоторые общие сведения из теории эллиптических систем .уравнений и члетных пролзлодных. которые используются и последующих главах диссертации.

Глава II (§§2.1 - 2.5) посвящена исследованию задачи Дирихле для не сильно эллиптической системы с симметричной главной частью

- Ди, + Л(х)£- + Ё иЛи*) = Ы*)> (1)

где Х(х) - заданная достаточно гладкая функция (в частности, может быть постоянным вещественным параметром), х = (х}, агг, • • • , хп), ¿у, ], к = 1, п - линейные дифференциальные операторы первого порядка, а Д - оператор Лапласа.

Система (1) при А(х) ф 1 является эллиптической по Петровскому, а при \(х) — 1 гни системы вырождается. При Х(х) < 1 система (1) является сильно эллиптической, а при А (я) > 1 не является таковой.

Пуст!» О - ограниченная область евклидова пространства Е" с ляпупов-ской границей »9.

Дли системы (1) задача Дирихле исследуется в ('лсдующсй постановке. Задача Дирихле. Найти регулярное в области О решение их. щ, ■ ■ ■ , ип системы (1), удовлетворяющее па гртщце 5 области £> краевым условиям

«^«¿(я), ¿ = Г71, (2)

где у ~ 1,п - :1ш)(шиш' пи Б фцикции. класт

В §2.1 получены формулы общего представления 'решения для системы

. + = (з)

в произвольной ограниченной области с ляпуновской границей.

В случае А = соп$1 все регулярные в области О решения системы (3) представляются в виде

иЛх! = Ъ<?) ~ *I(4) о 7

где , ■ ■ • , и ф ~ произвольные регулярные п области П гармонические функции, связанные ингсгро-дифференциальным соотношением

(-1 д 1-1

Л0 ; С(т, у) = [(>> - 2)^]-' [г2-"(1, у) - д(т, и)1

-функция Грина задачи Дирихле дня уравнения Лапласа, и„ = 2(\/?)"[Г(п/2)]-1 площадь единичной сферы пространства

Если А = Х(х) € С[(0), то общее представление решения системы (3) имеет вид:

\(у)С{х,у)-^<1у, з = 1~п., (6)

о 'J

где ¥>Дх) - регулярные в области И гармонические функции, ^(х) - регулярное решение уравнения

(»М-цдли + Ё^-а (7)

1—1

Теп('1)ь гармонические функции ^(х), з = 1,п и ф\{х) связаны между собой соотношением

В §2.2 представление (4) и соотношение (5) обобщаются па случаи неоднородной системы

■ ■> ¿=1

с непрерывно дифференцируемыми в области £> нравы.мн частями, а задача Дирихле для этой системы эквивалентным образом сводится к интегральному уравнению

(А - 2)Ф(х) + Х [ у)ФШУЯ = -Щх), х 6 5,

дК{х.У) _ 0(г1+о/а_я()} 0<а<11 дуп

где р(.т) - г1)аннчпос значение гармонической функции ф(х), фигурирующей и формулах (/1), (5), /¡(х) известная непрерывная на поверхности 6" функция, которая выражается через функции , заданные на границе области, и правые части /Дг) уравнений системы, а а - показатель Ляпунова поверхности

Теорема 2.2.1.' Пусть П - область ?/,з Еп, граница которой яв.гяется поверхностью Ляпунова. В области О задача Дирихле (2) для системы (8)

ЧЬшгра гт|к\\| пмпчк'и; 1 пукп их иомгргш I! , ш<гс[| гл мин.

фре-дголыюва, если \ф1 и функции (), непрерывно дифференцируемые, но Я, а непрерывно дифференцируемы в О. При Л = 2 паруишется фре.дголиш-востъ задачи.

В §2.3 -задача Дирихле исследуется для системы

+ = ,-тя (9)

•> 1=1

где \(х) € С2(0)Г\С](7?).

Исходя из общего представления (б), задача Дирихле для однородной системы (9) сводится к задаче Дирихле для гармонических функций ¡£у(х) с краевыми условиями = д^х), а функция г/ч(я*) выражается через га]з-моннческую функцию 'Фа(х) соотношением

п 1=1

где

а(у) = Ы[А(у) - 1],

1У(.т,?/) = С(.т)?у) + I С{х,г)Г{г,у)йг, о

Г(~.,у) резольвента Фредгольма ядра.

КМ = = <>(,>-Ш).

Для определения гармонической функции фо(х) получена задача Дирихле (Л'ЬеЗ = Фа(х), граничное значение которой определяется из интегрального уравнения

(2 - А(х))4ф) - 2 / ^Щ^МуН^ = Ш), (Ю)

.1 "у"

•V

дП3(х,у) = 0 (дт*-»{х,у)\ + 0(г2+п-„} д„п \ д!/п )

где

МЫ

гей

Уравнение (10) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма третьего родя.

Пусть 0, : {.т € К" : Л(.т) -1 = 0}, ©2 : {х 6 Нп : А(.г) -2 = 0}. Тогда сели 02 П 4.9 = С"., то уравнение (10) превращается в интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Если ©2 = 6', то (10) является интегральным уравнением Фредгольма первого рода. Следовательно, в этом случае задача Дирихле не является фредгольмовой. А если ©2 П Б / 0, то .уравнение (10) на части границы вырождается в интегральное уравнение первого рода и задача Дирихле может быть фредгольмовой и может не быть таковой. Здесь требуется дополнительное исследование. Таким образом, задача Дирихле для однородной системы (9), при ©1 П И = 0, ©2 П 5 = 0 всегда фредгольмова, а при 0] П В ^ 0, ©2 П 5 ф 0 нарушается фредгольыовость этой задачи.

Однородная задача Дирихле для неоднородной системы (9) также сведена к определению гармонической функции Фо(х), которая определяется из соотношения

Ядра Р(х,у) и С2к(х,у), (к = 1,п) при х -+ у удовлетворяют оценке 0(г1'п(х,у)), и интегралы с этими ядрами в уравнении (11) равномерно сходятся и определяют непрерывные в замкнутой области В функции. Исходя из этого, в (11), как и в случае однородной системы, заменяя в интегралах гармоническую функцию г>о(.т) се интегральным представлением через функцию Грина области, для определения граничного значения функции (/'о(-г) получено интегральное уравнение, отличающееся от уравнения (10) непрерывной правой частью. Результаты §2.3 сформулированы в виде

Теорема 2.3.1. Пусть ,\(х) е_СЦЬ) П СгФ). /¡(х) € С1 (О) и д^х) 6 С1 (Я), ] = 1, п. Тогда при вхП!) = 0, ©2 О Я = 0 задача Дирихле- (2) для системы. (9) пеггда фре.дгмгмооа.

В §2.4, используя результаты §2.2, задача Дирихле для системы (1) с постоянными коэффициентами сведена, к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода

(П)

№ ~ Е [ У)\МУ)<1У = ^(.т) + ВД + \ /__1

и

п

где

Ькз\С{х.у)] = - сюС(х,у) = 0(г1~"(х,у)),

при х —* у, и ipj(x), j = l,n - решения задачи Дирихле для гармонических функций с краевыми условиями = <7j(-r) у Fj{x) ~ известные функции класса С2{П)ПС\75) и

\ г \

Цх) = фа(х) + j—j I С{х, у, \)Mv)dy ~ J—

D

п dBJx у)

где С(х,у,\) - резольвенты ядра £——, Bs{x,y) = О (г2 "(х,у)) -

известные ядра, которые строятся при помощи функции Грина G(x,y), и элементы матричной резольвенты матричного ядра Lkj[G(x,y)}. а Фо(х) -гармоническая функция, удовлетворяющая соотиошсшно

4Ф) ~ A J2 / - J >/, \)ЫУ)Ф/ = h(x), (12)

i=1 ' D ' ' В

H(x,y,X)-0(r1~n(x,y)), при х->у.

С(х) известная функция класса C1(D)nC(D), которая определяется при помощи функций gj(x) н fj(x).

Из соотношения (12) для определения гармонической функции ii\){x) получена задача Дирихле, граничное значение которой определяется из интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Тем самым доказано следующее утверждение.

Теорема 2.4.1. 1'Jc.iu область Ü достаточна мала, то задача Дирихле. (2) д.ш системы (1) с постоянными коэффициентами при \ всегда фред-гольмоьи, а при А = 2 нарушается фредгольмовость шдичи Дирихле, то есть в этом случае система (1) сильно связана.

В §2.5 рассмотрена задача Дирихле (2) для системы (1) в случае, когда А = А(х-) € С2(й) П 0(D), Ь(1)(х) е C2(D) П C\D).

(х) £ Cl(D) П C(D), fj(x) 6 C'}(D). Аналогично случаю постоянных коэффициентов. система. (1) сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода

fVUQi(x,y))uk(y)dy =

D

т 7i -

= ад + + Е / QlM-v)fkWu+

1 = 1 1=1 jy

+ J Qj(x,y)ii'o(y)dy,

D

где

Lb\Q>(x,y)) = 0(rl-"(x,y)) при х^у,

Ф¡(х) - известные функции класса C2(D) П (?'(/)) выражающиеся, через коэффициенты системы, правой части и граничных значений, Qj(x,y) — ü(r{"u{x,y)) - известные ядра, которые строятся при помощи функции Грина для уравнения Лапласа, элементов матричной резольвенты матричного ядра (L"i[G(x, у)})„ и резольвенты ядра

Для определения гармонической функции г';0(.т) получена задача Дирихле, красное значение которой определяется из интегрального уравнения Фред-гольма третьего рода, распространенного по всей границе S области I'. Таким образом, доказана

Теорема 2.5.1. Пусть blhj(x) е C2(D) П Cl(D), ch(x) € С\П) и выполняются условия теоремы 2.2.1. Тогда задача Дирихле (2) для системы (1) ф]>едго.11ьмова.

Глава III (§§3.1 - 3.6) посвящена исследованию несильно эклиптических но Петровскому систем с постоянными коэффициентами

• л "

(13)

(14)

(15)

(16)

где

-А«/ + — А,(и,) + Y, ¿«М = Ш- 3 = hn, ' j (=1 t=i

/ v Qu.\ "

-Auj + Aj ( ¿2 щ) + g Uj(uj-) = Ш■ j = TTt,

~Luj + ХдГ ^+ ^= J =

-Luj + Aj '¡(«¡) j + Y, = Mx), 3 = U

« _

А;(-) = V Xki-x—, i-l,n ÖXk

-линейные дифференциальные операторы первого порядка;

-линейный эллиптический дифференциальный оператор второго порядка,

А=1 к

-лннспныс днффе|хшциальные операторы первого порядка (А,* — consl ¡ ац. = аы = const); Lkj - тс же самые операторы, которые были определены в главе II.

Применяемый и этой главе метод исследования задачи Дирихле позволяет привести эту задачу для вышеназванных систем к системе интегральных уравнений Фрсдгольма и в зависимости от коэффициентов системы определить условия ф[К!Дгольмов(Х"П1 поставленной задачи в произвольной ограниченной области с ляпуновскоЯ границей.

В §3.1 строятся формулы общих представлений решения однородных систем (13) - (16) без младших членов.

В работах А.И. Яиушаускаса3 и Г.В.Васильевой0, было показано, что каждая компонента любого регулярного решения системы (3) (А = const) удовлетворяет условию A2uj = 0, то есть является бнгармонической функцией. Исходя из этого факта , в названных работах в областях специального вида (на.-примерь, в полупространстве и в шаре) было получено общее представление решения системы (3) и была исследована задача Дирихле.

Пусть А у = —Ají, i ф j, A,¡ = A, i,j — l,n. Тогда тем же свойством обладают компоненты решения однородных систем, соответствующих системам

-Диу + ^-^АДа,) = fj(x), j = l~ñ, (17)

-Tj /=1

j = (18)

Используя эту идею, в этом параграфе доказано, что произвольное регулярное в полупространстве решение системы (17) представляется через регулярные в полупространстве /JJ : {.т„ > 0} гармонические функции ¡^/(.т), (j = T~ñ), ф{.с) формулами

С? i/*

Uj (г) = ^ (х) + .77,,^-, j = l7ñ, (19)

где эти функции связаны между собой соотношением

¿ Ш) + 2(А - - А„(у.) = 0. (20)

°Я».ушаускас А.II. Задача о мак. loimoii iijxjiinKunoH ixx>piui иочхмщиала Номк-ибпргк: Наука, СО. 1985. 202 с.

<'Вас|Ымчна Г.О. К ча/Щчо Дщшхло mik»ix>mci>ik>jx» aua.ioi'u сиеиглм»! ÍSima^tf' Док.|. АН СССР. 1978. ■i.'J.'tó. АН. г.« 10 - NÜA

Эти формулы для системы (18) принимают вид:

uj(x) = ¡pj(x) + х„Аj(y), j = Т~п.

Если Un : {|i|- < Я2}, |x|2 = xf + i----+ x'f,, то все регулярные в шаре

UR решения системы (13) представляются формулами

где

" &Ф " дф 1 "

2ЛХк7Г ~ У,<*к(*)гг~ + (п - 2)у(х) = - £

(,=1 ^ ^ »

о. (я) = ^

Ь=1

Пусть теперь О - ограниченная область евклидова пространства с ля-пуновской границей 5'. Тогда все регулярные в этой области решения системы (17) представляются в виде

уу(х) = я(х) - у"с(а:,у)^„; Дй = 0. ^ = ТТп; ДА = 0, (21)

где

/,(.т) + ¿; А, С(х, У)^/,^ = Е (22> Эти формулы для системы (18) имеют вид:

«,'(*) = ?](*) - ! С{х. у)\»{11)(1у: ДЛ = 0, Л/1 = О,

п

где

. = 1 д ¿=1

Далее, в этом параграфе аналогичная формула П1)едставлсиия общего решения строится для системы

1 "

"¿и, + А— £;,(и,) =0 ; =0, (23)

( > /=1

а дня системы

+ ^ (¿/.(и,) ) + Ыч) = /,-(*). ] = М,

\|=1 / Ь=1

обнаружено, что когда произведения матрицы Ад = (а,у)„ с матрицей

Л0:

/ О А,2

-Ли О

Агп

коммутативны, то

\ -А)« -А», • • • 0 /

щ{х) = + хпХ]{р)

(25)

(26)

/=--| 1=1

В §3.2 решена задача Дирихле для системы (17) в полупространстве.

При помощи общего представления решения (19) и соотношения (20) эта задача для системы (17) сведена к решению задач Дирихле для гармонических функций ^(х) в полупространстве х„ > 0 с краевыми условиями _0 = 9)(х') 11 задачи о наклонной производной для функции ^(я) с краевым условием

- 2(А -

0.1л

Щх').

■г„=0

Решение последней задачи при п = 3 записано в явном виде

■ф{Х1,Х2,Х-л) =

ЭС. "X'

[(А - 2)ф, ?/) + Р«.г3]7/( (т/,, Фл

47Г р0 Пг

,?/)ЬоФ.?/) + (А - 2).т3 + А,з(.г, -?/,) + А2:,(.т2 - у2)}'

-X -X

где р1 = (А - 2)2 + А?з + А|,. г2(х,у') = (.гч - у,)2 + (*2 - у2)2 +

Теорема 3.2.1. Задача Дирихле (2) для системы (17) ь полупространстве Е'1 при А > 1, А ф 2 всегда разрешима и имеет единственное решение, когда заданные функции д,(х1) 6 С1(Е2), (г' = (х\,х-г)), 9](х>) « первые производные исчезают на бесконечности, а при А > 1, А = 2 задача Дирихле (2) д.гн системы (17) не нетерови.

При п > 3 задача Дирихле сводится к сингулярному интегральному уравнению /

(1 - А/2Ы,') + / ¿Щ^мм=нл

Е" '

где

"-1

и ' >\ V \ Хк ~ У* r(x '^'

а Л(.г') - известная непрерывная исчезающая па бесконечности, определенная на гиперплоскости Е"~х функция. Исходя пи этого, доказывается, что задача Дирихле при Л > 1, А г - всегда нормально разрешима, при 1 < А < '!, 2 < А < 4 - имеет единственное решение, а при А > 4 не: :,ова (тс ' ма 3.2.2.).

В --»том параграфе также исследована задл ;а Дирихле для неоднородной системы (17). Решение поставленной задачи записано в явном виде и определены условия разрешимости задачи относительно данных задачи. Доказана

Теорема 3.2.3. Если у^х') € С](Е"']) а fj{x) е С'(Р,').. то задачи Дирихле Ом неоднородной системы (17) при А > 1, А ф 2 всегда фредголмюва.

Третий параграф (§3.3) главы III посвящается исследованию задачи Дирихле для системы (13) н ограниченной области L) с. .¡яиунонгкоР. ; рашщой. Сначала решается задача Дирихле для системы (17).

Для системы (17) найдена формула обращения, которая имеет вид:

Uj(.r) =

м») -1 + Л^Г Е / *

Ii *n

.yUiWy, (27)

+ [ (¿¡{£.у)/Шу• №>)

(=1 <=] у

где ядра К, ¡(г,;/) удовлетворяют оценке 0(г2~"(.г,у)), а ядра. С?,(.т, у) - оценке 0(г*~"(х,у)).

В формулах (27) ^¡(х) являются известными регулярными в области П гармоническими функциями, а гармоническая функция ¡ро(х) определяется из соотношения (28). Доказано, что соотношение (2Я) эквивалентно интегральному уравнению Фредгольма, которое при А ф 2 является интегральным уравнением широт рода, а при А = 2 - первого рода.

Далее, применяя к общей системе (13) формулы (27), задача Дирихле д.чя

этой системы сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Получено:

и» = Ф,(х) + £ I

¿'—1 Г»

п л. щ

+ ]С/ вк>(х>у)ЛШу + ^1Скик№> 3 = ^

1=1 п

£

7=1

5 П

! ыкМШУи

= 0, к=1,т,

+

ъ

где

Вф, у) = С(х, у)5ц +1 Ак](х, г)С(г, у)<Ь, и

а А^(х,у) - элементы обобщенной матричной резольвенты матричного ядра (¿^[С(х,у)])п и IVк](у), ФДх), гг[(х) и ь"1(х) - известные непрерывно дифференцируемые в замкнутой области О функции. Для определения гармонической функции (х) получено соотношение

*>(*) +1 Т0(х. у, Шу = Цх), (29)

где ц = (А - I)"1,

Т„(х,у,(1) = 0(г]-"(х,у)), при *-у.

Равенство (29) от (28) отличается интегральной частью, ядро которого имеет слабую особенность, и известной непрерывной в замкнутой области I) функции в правой части. Отсюда следует, что задача Дирихле для системы (13) в ограниченной области П с ляпуновской границей при А ф 2 всегда ф]>сдголь.мова (теорема 3.3.1).

3 §3.4 в качестве иллюстрации рассмотрена задача Дирихле для системы (17) в единичном шаре.

Пятый параграф этой главы (§3.5) посвящен исследованию задачи Дирихле для системы (15) в полупространстве и в произвольной ограниченной области с ляпуиоиской границей.

Доказано, что задача Дирихле для системы (15) при А ф 2 в полупространстве Е'1 : {.т„ > 0} всегда разрешима н пмеег единственное решение, а при А = 2 она имеет бесконечное множество решений вида

= х,,—^. .? = 1,п, Ьф = 0.

Для разрешимости неоднородной задачи Дирихле необходимо выполнение условия

п

Х>Ы = о,

/=1

которое равносильно бесконечному числу условий типа ортогональности.

Для решения задачи Дирихле в произвольной ограниченной области с ля-пуновекой границей линейным преобразованием переменных система (15) приводится к системе

71

А",' - ■ Ш = (30)

¿=1

где

■ ■ ■ ,г1Пф,1)=а чШ]+£ ¿;,ы?/)] - т,

А-1

п

(А - 1)АФ = • • • ,у,„1)}. (31)

1=1

ч ^ д 11

м-) = Е А(О = Е Рч=Е к=1 ук 1=1 У1 к=1

/.'=1 (=1

Е ак1а"а'к = | д1,

¿Д = 1 I '

если в = I, если 5 ф I.

Здесь через (;ьг'2, •• • ф, ¡¡, 1ц (обозначены, соответственно, образ функций ••• ,и„, '-р, д] при неособом линейном преобразовании переменных

Уз = ауХ| + аух2 +••• + а„^„, j = Т~п.

Система (30) по своей внешней структуре похожа па систему (13). Но условия коеоспмметрпчпостп мат рицы коэффициентов не выполняются, н поэтому

представление решения (21) п соотношение (20) дня системы (30) не имеют места. Предполагай праь.ле части уравнения системы (30) известными, решения »той системы представляются в виде

2 f drl~"(ii z) »■';(?/) = -,0 , / я1' }p,(z)d,S-(2 - п)ш„ I о~п Si

-,9 \ , Íг2 п(у.г)Щ{чищ,--- ,v,„vjj)dz, у € Du (32)

\¿ — пум,, j

(n - ¿)uin J d.n S,

= Л/(у) + / L [r2-"{y,z)H](vuv2, • • • ,vmí',fj)dz, y 6 5,. (33) r>¡

Равенства (33) относительно функций рДу) являются системой интегральных уравнений Фредгольма второго рода, которая всегда разрешима и имеет единственное решение. Используя равенства (39) и (33) для определения функций i'j, получена система пнтегро-дифференциальных уравнений:

' j(w) = <lj(v) ~ т--^— i A'()(i/,í)//;(i'br2,- ■ ■ , v,„éjj)dz, у е Du

уп — ¿juj,, .)

О,

где Qj(y) - известные регулярные в Di гармонические функции п

K0(y,z) = G(r2~"(y,z)), при .?•->//.

Аналогично, предполагая правую часть ураннсння (31) известной, его решите представляется как решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона с произвольным граничным значением. Используя последнее уравнение системы (30). для определения граничного значения функции ф(х) получено:

~ 9 — А С f)r2~"(n -1 —

S,

\> / = 7(у), 2/ е Sb (34)

(n - 2)w„ у -V,

где 7(у) - некоторая непрерывная функция, которая выражается функциями Vj, hj, f¡, a P¡(y,г) - известное фредгольмовое ядро.

Равенство (34) относительно неизвестной функции гХ) "Р" А Ф 2 яиля-стся интегральным уравнением Фредгольма второго рода, а при А = 2 это равенство превращается и интегральное .уравнение Фредгольма первого родя.

Для определения функций при А ф 2 получена система интегральных уравнений

ч(у) +

{у.г,ХЫг)<1г = Яп(у),

(35)

где qj2(y) ~ вполне определенные непрерывные функции.

Ядра 012(у,2,Л) при Л ф 2 удовлетворяют оценке 0(г'~"(у, г)). Следовательно, система уравнений (35) является системой интегральных уравнений Фредгольма второго рода и справедлива следующая

Теорема 3.5.1. Еаш сц(х) € С1 (5) и }3(х') 6 и область О доста-

точно мала, то задача Дирихле (2) для системы (15) при А ф 2 фредголь-мови. При А = 2 нарушается фредгольмовость задачи.

В §3.6 решается задача Дирихле в полупространстве к в произвольной ограниченной области лдя системы (16).

В полупространстве £", как и в случае однородной системы (15) без младших членов, для определения функций входящих в общее представление (25), получена задача Дирихле да я системы уравнений = 0 с граничными условиями Ч3]{х', 0) = д^х'), которая имеет единственное решение, а д;.л определения функции ¡р(х) из (26) получена задача с косой производной для эллиптического дифференциального уравнения //./> — 0 в полупространстве Б" с граничным условием

Е

¡Ы1

2 акп — Е

ду

дхк

Ф(:с', 0)

х„=0

Если

п-1

(2 - А)а„„ - ^

(36)

(37)

1=1

то эта задача является фредгольмовой, а если условие (37) пе выполняется, то задача с косой производной пе является фредгольмовой. Из условия коммутативности произведения матрицы /1,, и До следует, чти

п-1

Е = I)

и в силу эллиптичности оператора Ь, а„„ > 0. Таким образом, отсюда следует, что однородная система (16) без .младших членов при А = 2 также является сильно связанной, а в случае А ф 2 задача Дирихле сводится к задаче о наклонной производной дня уравнения Л(м) = 0, граничное условие которой определяется из соотношения (36).

Далее, в этом же параграфе аналогичным методом задача Дирихле для системы (16) сводится к системе интегральных уравнении Фредгольма. В этом случае операторы 3j и L^j остаются без изменении, а операторы а, заменяются операторами

" 0 "

щ(-) = ХЛ'ТьГ- = X,Ja,k °Ук 1=1

н У1)авнспне (31) заменяется уравнением:

,(=1 j=i / j=i

где

П

(ü.,/ символ Кронекера. Доказана следующая теорема, которая является обобщением теоремы 3.5.1 для системы (15).

Теорема З.С.1. Пыи gj{x) е С'(3) и f¡(x) е Cl(D) и область D\ Ооп

статочно ма.га. то задача Дирихле (2) для системы (16) при "¡и- ф 2

fr—i

п

фредголшоби, а при 7н- = 2 нарушается фрсдголшовость поставленной i

задачи.

Четвертая глава '§§4.1. - 4.3) посвящена исследованию задачи Дирихле для систем (13;. (1ГП i (16) с переменными коэффициентами. Гомотопический класс эллипгичс* ictrx систем с переменными коэффициентами меняется от точки к точке pací матриваемой области и, как обычно, на границе областей перехода от одного г >-ютонического класса к другому тин системы вырождается. Рассмотрим .адати Дирихле в тех областях, в которых рассматриваемые системы не являются сильно эллиптическими и граница рассматриваемой области пс имеет общих точек с областью сильной эллиптичности исследуемой системы.

Структура систем (13) и (15) позволяет написать общее представление решений систем

а « _

- Л + A¡ (./,)= 0, j=l,n, (38)

J ¡=i

й "

- Lu.¡ + Л— ЬЫ = 0, j = TTl (39)

3 i=l

в области /> с ляпуповской границей, когда А^(.т), Л1;(.г) € С-(П). Для системы (38) что представление общего решения пшчт вид:

щ{х) = ^(х) - J С(х, у)\]{£)(1у, ] = 17п. п

где - регулярные и области Б гармонические функции, а ¡р(х) является регулярным в области Р решением уравнения

+Е == Е (40)

Если определитель матрицы Л(х) = (А¿¿(х))„ для любого х £ О не равен нулю, то

.=1 'и .=1

13 частности, если А/у(.г) = — А/у(х), А: ф у, Аи- = А(х), то уравнение (40) принимает вид:

(А(.т) - 1)Д^ + = 0, (11)

¿=1 *

Пусть 0\ - ограниченная область пространства Е", целиком содержащая в себе замкнутую область I), и пусти в этой области задана система дифференциальных уравнении (1~>), коэффициенты а,х{у), ), к — 1 , п, которой являются функциями класса С2(0\). Тогда общее решение этой системы представляется формулой

и,(х) = '^(х) - J А(г/)П(х, = О,

о 'У

где *гД.т) - регулярные в области О решения уравнений = 0, ,} — 1, л и й'(я") произвольная дважды непрерывно дифференцируемая в области О функция, а П(х, у) - функция Грина задачи Дирихле в области Б для уравнения 1л1 = 0. Функции '^(х) и р(х) связаны меж.чу собой соотношением:

В §4.1 изучается задача Дирихле для системы (13) в произвольной ограниченной области <• ляпуповской границей. Используя функции Грина для гармонических функций и представление гармонической функции через ее; граничное значение, задача Дирихле сводится к интегральным уравнениям Фредгольма третьего рода. Доказывается, что если область О не имеет пересечения с множеством нулей функции А(х) — 1 и замкнутая область £> не имеет пересечения со множеством нулей функции А(.т) — 2, то задача Дирихле дня этой системы фредгольмова.

Пусть Au(x) е C2(D) П Cl(D) и А*,(х) = -Хф), к ф j, \кк ~ \(х).

Тогда для систем!»! (13) имеет место утверждение теоремы 2.5.1.

Когда область В не имеет пересечения с множеством ©! : (А(х) — 1=0}, то уравнение (41) можно переписать следующим образом:

и, аналогично случаю системы с симметричной главной частью решение задачи Дирихле для системы (17) сводится к определению функции <р(х). Из уравнения (42) функция ¡р(х) выражается произвольной регулярной гармонической функцией '■ро(х) по формуле

(42)

К{х,у) = G(x,y) + / G{x,z)V[z,y)dz,

о

Г(х,у) - резольвента ядра

при т —> у.

а Д11Я определения функции ï?o(.r) получено соотношение

где

Ь\ у) = 0{гх""(х,у)), при х —» у.

Выражая гармоническую функцию ^(.т) через се граничное значение -ço(x), для определения £>о(.г) получено интегральное уравнение третьего роди

О ~ + i^J^r^KS = F(x),

(43)

где

d-Pi ôx,

xeS

F{x)=W<

Решение неоднородной системы (38) записывается в явном виде

Uj(x) = щ(х) + J Bj(x,y)p0(y)dy +Y J Bij(x,y)fi(y)dy,

где

Bij(x,y) = d,jG(x,y) - b(y)-^- J Aj{x, z)K(z, y)dz,

D

а функция poix) является решением интегрального уравнения Фредгольма, отличающегося от интегрального уравнения (43) непрерывным слагаемым в правой части.

Чтобы решить задачу Дирихле для системы (13) с переменными коэффициентами, она сводится к системе уравнений

" д' n * n du

Jt=l ОХк А-=| ¿=1 °Х>

)с= 1 к )=\ J j, к-1 J

Тем самым докрывается сле;(ующая

Теорема 4.1.1. Если А^(х), tikj(x) € C2{D) U Cl(D), ckj(x), /Дх) e 6''(Li) , gj(x) e Cl(S) и Afcj = — Ajjt, j -ф- h, Xjj = A(x) и область D достаточно мала, то при &if)D = 0 и ©2 П 5 = Q задача Дирихле (2) для системы (13) фредгольмова.

Во втором параграфе этой главы (§4.2) рассматривается задача Дирихле (2) для системы (15).

Пусть система (15) задана в некоторой области Di, содержащей DUS. Относительно коэффициентов системы предположим, что «;*-(х) 6 С2(Di), bfk(x) g C2(D|), cj(x) e C](Oi), fj(x) € C\D,) и для краткости нзложе-

Tt

ння предположим, что А = corisl. Обозначая = г(х), систему (15)

i'=i

перепишем следующим образом:

Цщ) = Я)(иьг*2,---

где

■ - _____ ДД«ьг£2, • • • , ?/„,¥?, /,■) = Ы«*) + - /Л*). 3 = !.«•

(44)

Предполагая правые часта (44) известными функциями, решение задачи Дирихле (2) для системы (44) представляется в виде

«,•(*) = - |Н(х,у,0)р>ШУ - 21а(у)д11{*'^Р)ФНА 3 = (45) и л1 У

Будем считать, что ^(т) непрерывно дифференцируемы, а ^(.т) - непрерывны. V - направление конормалн, соответствующее эллиптическому оператору Ь в точках поверхности 5,

(2-п)/2

Щх,у, 0) =

Е А'к(У){Хг ~ У.)(Л'/.' - Ш")

у/Ш

11(х,у,р) = 11(х,у,Ч) + ^ [ 11(х^,0)1&%,у)<1у, "'=! Ъ

1&)(х,у) = 11& "(х,г)К(г,у)йу. К™{х,у) = К{х,у), в

АГ(р)(а-1у) = 0(гр-п(х,у)), при, аг у, Р < п.

1&\х, у) = О , при, х-* у, р = п,

/0 - максимум г(х, у) по замкнутой области О — П и .5. При р > п функция К1рЧх,у) непрерывна даже при т ~ у,

К{х, у) = Г,х[Н(х, у, 0)] = 0(г1-"(эг, г/)), при .Т -

Н(х,у,р) = 0{г2~п{х,у}}, при, х-* у. Функции р]{х) н qj(x) являются ретнеинем системы интегральных уравне-

ний

р}{х)-цj К{х,у)Рз(у)(1у- 2!а(уГ-"

о ь- "

йКр+\х,у) дуи {

= А^щ.щ,--- ,«„. уеР, 3 - Т7п. (46)

и

- 21 а(у)дН^'У'0)ф)г1,,Я = ф), уеБ ]=Т^п. (47)

5 У

Кели область О достаточно мала, то системы уравнений (46) (47) имеют единственное решение. Подставляя решения р)(х) и (]]{х) этих систем в формулу (45), для определения функций щ{х) получена система интегральных уравнений Фредгольма

и3(х) + Ё J 1Ъ{а2{х,у)}ик{у)(1у = ! Х(у)С2(х,у){(у)софиу^Б-

{Х(у)Со-{Х'у))'Лу)(1у + • • • ,Эти/,), 3 = Т7п,

п

где

а

^2(х, у) = 0[г "(х,у)), при х -> у,

выражения llf\gi, <й> • • • »ffn< />) являются известными непрерывными функциями, которые определяются коэффициентами и правой частью системы и граничными данными.

Неизвестная функция ¡р(х) определяется из иптеграпьпого уравнения

(1 - \)?{х) ~xj T,{x,y)v(y)dy = /(*), п

где

Тх(х\у) = 0(г1'"(х,у)). при х-* у,

" Г

f(x) = Xj^l, / H(x,y,Q)<p0(y)cos(tCyi)d„S+ s

rt р. и

,=1 j i=l а функция v?o(^') из .уравнения

- - ^ JT;S(x,yyMy)d„S =

s

-(1-А) 'ßfe.g,.--- .9„./ь/2,--- ,/,.),

/=i 5 п

+ А'

где

т,(х,у) = О {дг1"д{^У)) , ПР"

^(51,52, ••• ,5п»//) 11 •' ,!7,г/ь/2."- ./„) - известные непрерыв-

ные функции, которые строятся при помощи функций 51,52,•• • , 5"> /ь /2, • • • , Л

Следовательно, задача Дирихле (2) для системы (15) при А ф 1 и Л ф 2 всегда фредгольмова, а при А = 1 и А = 2 не является таковой.

Этим методом можно доказать фредгольмовость задачи Дирихле для системы (15), когда А = А(я) € Сг{0)С\С1(р).

В третьем параграфе (§4.3) задача Дирихле (2) исследуется для системы (16). Аналогично случаю системы (15) с переменными коэффициентами эта

задача сводится к решению интегрального уравнения *

^(2 - АЫЫ*о) + У ^[//(х.,,5,0)]ЫуЦ,5'+

+ У" = 1Цхп). (48)

5

где Со(х'о, у) имеет слабую особенность.

Ядро \!'[Я(хо,у,0)] является сингулярным. Сингулярный оператор в (48) имеет символ

ф(х0,в) = ¿(АОго) ~ 2) + |сов(г,/),

где г - любое направление в касательной плоскости в рассматриваемой точке Хц поверхности Я и

ш1|Ф(®0.в)|>^т£|А(хь)-2|.

Если А(хц) ф 2, то сингулярное интегральное уравнение (48) допускает регуляризацию и верна следующая

Теорема 4.4.1. Пусть д;(х) е С°'"(5), /3(х) € С""(£>), аь(х) 6 С^Я) Л С0,0(15), б£)(.т) 6 Сг1'°(Л) П С°"(75), б С'1-" (Я) к пусть

произведение матрицы Ло и Ао явмется коммутативным. Тогда, если 01П ¿) = 0 и ©2Г)Я = 0 и область О достаточно мала, то задача Дирихле (2) для системы уравнений (16) всегда фредгольмова. Если ©1 П В ф 0 и ©2 П Я ф<2), то нарушается фредгольмовость задачи Дирихле.

Публикации по теме диссертации

1. Халилов Щ.Б. Задача Дирихле для одной многомерной эллиптической системы уравнений в частных производных, /В кн.: Исследования по многомерным эллиптическим системам уравнений в частных производных. Новосибирск: Изд. СХ) ЛП СССР. 1986. е. 119 129.

2. Халнлов Ш.Б. Задача Дирихле для одной многомерной эллиптической системы уравнений в частных производных//Материалы конф. молодых ученых АН Тадж.ССР,секция физ. - мат. наук. Душанбе. 1987, с.64 - 66.

3. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для одной многомерной системы дифференциальных уравнений эллиптического типа//Доклады АН Тадж. ССР. 1987, Т.ХХХ, №6, с.339 - 342.

4. Халнлов Ш.Б. О задачи Дирихле для одной многомерной системы эллиптического типа, /Дпфференц. уравнения. 1987, т.23, №9, с.1608 - 1612.

5. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для многомерных не сильно эллиптических систем уравнений второго порядка/, Дисс. на соискание уч. степени канд. физ. - мат. иаук. Душанбе. 1988. 101 с.

6. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для одной не сильно эллиптической системы уравнений второго порядка/, Тезисы Республиканской научно -практической конф. молодых ученых и специалистов. Секция математика. 1989, е.89 - 92.

7. Халнлов Ш.Б. О разрешимости задачи Дирихле для многомерных эллиптических систем/, Днфферснц. уравнения. 1990, т.26, №9, с.1621 - 1626.

8. Халилов Ш.Б. К теорий многомерных не сильно эллиптических систем Куляб.: Тезисы Республиканской научно - практической конф. ученых и специалистов Таджикистана. 1991, с.29 - 31.

9. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле ,чля не сильно эллиптических систем в полупространстве//'Вестник ТГУ. Душанбе. 1993, №3: с.23 - 32.

10. Халилов Ш.Б. О задачи Дирихле для многомерных не сильно эллиптических систем уравнений в частных производных//Вестник Госуннверси-тета. №1, Душанбе. 2001, с. 9 - 17.

11. Халнлов Ш.Б. Задача Дирихле для одной не сильно эллиптической системы в полупрострапстве /Доклады АН Р Т. 2001, T.XLIV, ,\«3 - 4, с.58

61.

12. Халплоп Ш.Б. О задаче Дирихле для многомерных несильно эллиптических систем уравнений в частных производных!/Материалы международной научной конференции, посвященной 60 - лсшю Т. Собирова "Дифференциальные уравнения и их приложения." Душанбе. 2002, с.11 - 13.

13. Халнлов 111.IJ. К теорий краевых задач для многомерных эллиптических систем//Труды международной конференции но дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе. 2003, с.156 - 158.

14. Халнлов Ш.Б. Задача Дирихле для одной несильно эллиптической системы уравнения второго порядка в isojiy пространстве//IV международная конференция но математическому моделированию. Тезиси докладов. Якутск. 2004, с.44.

15. Халнлов Ш.Б. О задаче Дирихле для несильно эллиптических систем уравнений в частных производных/'/ Математические заметки ЯГУ. 2004, т.11, вып.2, с.98- 110.

16. Халнлов Ш.Б. Общее представление решений одной эллиптической по И.Г.Петровскому системы уравнений второго порядка, /Труды международной научно - теоретической конференции но качественным исследованиям дпффереицнамьных уравнений и их приложении, посвященной 10 -летаю ТРСУ. Душанбе. 2005, с. 109 - ПО.

17. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле одного класса эллиптических по Петровскому систем уравнений в частных производных второго порядка/, .Материал!,1 международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные поп]Юсы анализа". ТГНУ. Душанбе. 2005, е.204 206.

18. Халнлов Ш.Б. К теорий краевых задач для многомерных несильно эллиптических систем, /Вестник Национального университета. Серия математика. Душанбе. 2005, №2, е.138 148.

19. Халилов Ш.Б. Задача Дирихле для эллиптической но Петровскому системы уравнений второго порядка.//Днффереиц. уравнения. 2006. т.42, №3, с.1- 7.

20. Халилов Ш.Б. К теории краевых задач для многомерных эллиптических но Петровскому систем уравнений и частных производных, / Межд. коиф.

! '"Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва - 2007). Сборник тезисов. (.'.136 137.

21. Халплоп 111.Б. О задаче Дирихле для многомерных не сильно эллиптических систем/ Материалы межд. научной конференции "Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики", посвященной 70 - летаю академика АН РТ Усманова З.Д. Душанбе, 2007, с. 120 - 127.

22. Халнлов Ш.Б. К теории краевых задач для многомерных эллиптических систем уравнений с частными производными// Материалы II международной научно-практической конференции "Перспективы развития пауки и образования и XXI веке". Душанбе, 2007, с.29 - 31.

Сдано в09.01.09.Подписано в печать 16.01.09. Формат 60x84 Бумага офсетная. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ №1. Цена договорная.

Отпечатано в типографии ООО «Ховарон» г.Душанбе ул.Дж.Расулова 6/1

Введение

1 Вспомогательные сведения

1.1 Теория ньютоновых потенциалов и эллиптические уравнения

1.2 Эллиптические по Петровскому системы уравнения в частных производных.

2 Задача Дирихле для эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с симметричными главными частями

2.1 Общее представление решения систем с симметричной главной части без младших членов.

2.2 Задача Дирихле для модельной системы с постоянными коэффициентами . ,.

2.3 Задача Дирихле для модельной системы с переменными коэффициентами

2.4 Задача Дирихле для системы (2.0.1) с постоянными коэффициентами

2.5 Задача Дирихле для общей системы (2.0.1) с переменными коэффициентами.

3 Задача Дирихле для несильно эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

3.1 Общие представления решений модельных систем.

3.2 Решение задачи Дирихле для модельной системы (3.0.1) в полупространстве . .•.

3.3 Решение задачи Дирихле для системы (3.0.1) в ограниченной области.

3.4 Решение задачи Дирихле для системы (3.1.1) в шаре

3.5 Задача Дирихле для системы (3.0.3).

3.6 Задача Дирихле для системы (3.0,4).

Задача Дирихле для несильно эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с переменными коэффициентами

4.1 Задача Дирихле для системы (4.0.1) в произвольной ограниченной области.

4.2 Задача Дирихле для системы (4.0.2).

4.3 Задача Дирихле для системы (4.0.3).

Актуальность темы. В 1937 году И.Г.Петровский [30] выделил широкий класс систем уравнений в частных производных, называемых теперь эллиптическими по Петровскому. Решения таких систем обладают многими свойствами, характерными для решений одного эллиптического уравнения. Например, все регулярные решения таких систем аналитичны. Однако свойства разрешимости классических граничных задач для эллиптических по Петровскому систем существенно отличаются от случая одного уравнения. В 1948 году А.В.Бицадзе [4] построил пример эллиптической по Петровскому системы двух уравнений второго порядка, для которого нарушалась нетеровость задачи Дирихле. В связи с системой Бицадзе для эллиптических по Петровскому систем возник вопрос классификации граничных задач по характеру их разрешимости. Классические граничные задачи для эллиптических по Петровскому систем не всегда нетеро-вы, поэтому класс таких систем, для которых задача Дирихле корректна, должен характеризоваться некоторыми дополнительными ограничениями. Вскоре такие дополнительные ограничения нашел М.И.Вишик [10]. Он усилил условия эллиптичности по Петровскому требованием сильной эллиптичности, то есть либо положительной, либо отрицательной определенностью симметричной составляющей характеристической матрицы системы. Сильно эллиптические системы по характеру разрешимости классических граничных задач ведут себя точно так же, как одно эллиптическое уравнение, то есть эти задачи всегда петеровы.

Задача гомотопической классификации эллиптических по Петровскому систем была сформулирована в совместном докладе И.М.Гельфанда, И.Г.Петровского, Г.Е.Шилова на III Математическом съезде в 1956 г. [12], и там же была подчеркнута важность исследований несильно эллиптических систем.

Исследованиям краевых задач для несильно эллиптических систем посвящены работы известных ученых А.В.Бицадзе [3]- [4], А.И.Янушаускаса [51]- [62], А.Д.Джураева [16], Ю.Т.Антохипа [1], М.З.Соломяка [40],

А.П.Солдатова [39], Л.П.Волевича [11], Б.В.Вайнберга , В.В.Грушина [6], В.И.Шевченко [49], В.Н.Черномаза [50], В.С.Виноградова [9], Р.С.Сакса [33]- [35], Е.Н.Кузьмина [18], В.Феллера [46], П.С.Фролова

47], Н.Е.Товмасяна [43], [44], а также работы их учеников.

Система Бицадзе тесно связана с системой Коши-Римана. Изучение эллиптических систем с двумя независимыми переменными привело к созданию теорий обобщенных аналитических функций [8]. К настоящему времени эллиптические системы первого порядка с двумя независимыми переменными исследованы достаточно хорошо. Также хорошо разработана теория эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными [3], а для систем с двумя независимыми переменными любого порядка решена задача гомотопической классификации [47]. В общем случае для граничных задач не наблюдается никаких новых явлений по сравнению с системой Бицадзе, содержащей к тому же младшие члены. Для эллиптических систем со многими независимыми переменными характер разрешимости классических граничных задач существенно зависит от структуры системы, размерности пространства, структуры рассматриваемой области. Корректность же классических граничных задач для общих эллиптических по Петровскому систем, даже с постоянными коэффициентами, исследована пока еще мало, также далека от полного решения и задача гомотопической классификации таких систем по характеру их разрешимости. Эти обстоятельства указывают на актуальность исследования вопроса о разрешимости классических граничных задач для многомерных (п > 2) несильно эллиптических систем.

Эллиптические по Петровскому систем уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными А.В.Бицадзе разделил на два класса - слабосвязанные и сильносвязанные системы [3]. Для слабосвязанных систем задача Дирихле всегда нетерова, а для сильносвязанньгх систем нетеровость задачи Дирихле и других классических граничных задач нарушается. Определение слабой и сильной связанности системы дается через представления ее решений при помощи аналитических функций комплексного переменного. Поэтому эти определения не обобщаются на многомерные случаи. Однако из определения сильиосвязанной эллиптической системы следует, что для такой системы всегда существует некая полуплоскость, в которой нарушается нетеровость задачи Дирихле. Это свойство сильносвязанных систем можно положить в основу обобщения понятия сильной связанности системы о , на многомерный случай.

По аналогии с системой Бицадзе были построены примеры эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с тремя и четырьмя независимыми переменными [56], [7]. Также построен многомерный аналог системы Бицадзе в пространстве любой размерности [45]. Эти системы получены при помощи системы Мойсила-Теодореско и систем, удовлетворяющих компонентам голоморфных кватернионов. Все построенные таким образом эллиптические системы второго порядка являются сильносвязанными, то есть для них всегда можно найти полупространство, в котором нарушается нетеровость задачи Дирихле.

В работах Н.Е.Товмасяна [43], [44], Р.С.Сакса [33]- [35], А.И.Янушаускаса [51 j- [62] при исследовании задачи Дирихле для несильно эллиптических систем было обнаружено три новых эффекта, которые не наблюдаются для силыю эллиптических систем:

1) однородная задача Дирихле может иметь бесконечное множество линейно независимых решений, либо для разрешимости неоднородной задачи необходимо накладывать на данные задачи бесконечное множество условий типа ортогональности;

2) на характер разрешимости задачи Дирихле влияют младшие члены;

3) для существования решений задачи Дирихле необходимо требовать повышенную гладкость данных задачи. <• • •

Эти новые явления в теории задачи Дирихле привели к тому, что стали рассматриваться новые, более широкие классы систем, так называемые равномерно пеэллпптические системы [С] и слабо эллиптические системы [35] псевдодифферепциальных уравнений. Если две системы гомотопны друг другу и одна из них сильно связана [56], то вторая не обязана быть сильно связанной. Вопрос о том, сохраняется ли эффект потери гладкости решения задачи Дирихле при гомотопии многомерных эллиптических систем, пока не изучен.

В случае эллиптических по Петровскому многомерных систем с переменными коэффициентами гомотопический класс таких систем зависит от точки рассматриваемой области, а на границе перехода от одного гомотопического класса к другой обычно такие системы вырождаются. Представляет большой интерес определение области фредгольмовости граничных задач для таких систем, когда нарушается условия сильной эллиптичности.

В данной работе в произвольной ограниченной области с достаточно гладкой границей доказана фредгольмовость задачи Дирихле для эллиптической системы с симметричной главной частью вида

-Ащ + ЛЁ 7Г1 + Е = j = ^ (0-°-1) ах3 i=l °Xi k=1 относительно неизвестных функций и^щ, • • • , где Л - вещественный параметр, А ф 1, Хф 2, Л - оператор Лапласа, Lkj ~ дифференциальные операторы первого порядка, a fj(x) - заданные функции. Доказывается, что если главная часть системы (0.0.1) совпадает с многомерным аналогом системы А.В.Бицадзе [56] (Л = 2), или когда система вырождается (Л = 1), нарушается фреДгольмовость рассматриваемой задачи.

Эти результаты обобщаются на случай более общей системы, когда вещественный параметр Л заменен достаточно гладкой функцией Х(х).

Все известные до настоящего времени и полученные в диссертации результаты относительно системы с симметричной главной частью обобщаются на случаи различных типов многомерных несильно эллиптических систем уравнений второго порядка с несимметричными главными частями.

Обозначим n-мерное вещественное евклидовое пространство через а его точки через x,y,z и т.д. Евклидово расстояние между точками х,у обозначим через г(х,у).

Пусть D - ограниченная область в евклидовом пространстве Е11 с границей S. Относительно S в дальнейшем предположим, что она является поверхностью Ляпунова.

Определение 1. Функции U\,U2,-'- ,ип называются регулярным решением системы (0.0.1) в ограниченной области D, если они принадлежат, классу C2(D) П Cl{D) и у до в лет в оряют. в эт.ой облает,и сист.еме (0.0.1).

Определение 2. Функции щ,и2, • ■ ■ ,ип называются регулярным решением системы (0.0.1) в неограниченной области D', если они являются регулярным решением системы (0.0.1) в любой ограниченной подобласть области D' и стремятся к нулю на бесконечности.

В диссертации исследуется задача Дирихле в следующей постановке.

Задача Дирихле. Найти регулярные в области D решения щ, и2, • ■ • ,и системы (0.0.1), которые удовлетворяют на границе S области D краевым, условиям uj\s=9j(x), j = «■ • (0.0.2) где gj(x) - заданные в S функции класса Cl(S).

Цель и задачи исследования (

Изучение условий корректности классической задачи Дирихле для многомерных несильно эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с симметричными и несимметричными главными частями в ограниченных и неограниченных областях, проверка влияния младших членов на разрешимость задачи и эффект потери гладкости при гомото-пии.

Научная новизна результатов. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Рассмотренные в работе эллиптические системы уравнения второго порядка являются обобщением ранее рассмотренных систем.

-Построено общее представление решения системы с симметричной главной частью в произвольной' ограниченной области, а для систем с несимметричными главными частями построены общие представления решений в полупространстве, в шаре и в произвольной ограниченной области.

Для систем с несимметричными главными частями доказана однозначная разрешимость задачи Дирихле в полупространстве.

-Доказана фредгольмовость задачи Дирихле для общих систем с постоянными коэффициентами в областях достаточно малой размерности.

-Для общих систем с переменными коэффициентами найдена область фредгольмовости задачи Дирихле.

Научная и практическая значимость. Исследования, содержащиеся в диссертации, являются теоретическими. Их можно использовать при гомотопической классификации многомерных общих эллиптических систем. Рассматриваемые в диссертации системы встречаются в теории упругости и поэтому результаты диссертации могут найти применение и в этой области.

Методы исследования в основном базируются на классических методах интегральных уравнений, методах функции Грина и функции Леви (метод параметрикса).

Апробация работы. Результаты работы обсуждались и докладывались на семинарах Института математики Академии наук Республики Таджикистан, на семинарах кафедры высшей математики, кафедры теория функций и математического анализа ТНУ, на семинаре Института математики СО РАН "Избранные вопросы математического анализа" (рук. д. ф.-м. наук А.И Кожанов), на международной конференции "ЗЗ74' Iranian Mathematics conference" (Мешхад, Иран, 2002), на 7th International Pure

Mathematics conference (2006, Islamabad, Pakistan), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 2007), на международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007), на IV международной конференции по математическому моделированию (Якутск. 2004). па международной паучттой конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", посвященной 60-летию Т. Собирова ( Душанбе, 2002), на научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами (Душанбе, 2003), на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа", (Душанбе,ТГНУ, 2005), на научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной 15-летию независимости РТ (Душанбе, 2006), на международной научной конференции "Актуальные вопросы математического анализа,.'дифференциальных уравнений и информатики", посвященной 70-летию академика АН РТ'З.Д.Усманова (Душанбе, 2007), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвя-щсппая 7о-летпю со дни рождения академика А.Д.Джураепа (Душанбе4. 2007).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 22 работы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Работа изложена па 223 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 84 наименований. В каждой главе введена сквозная нумерация параграфов, формул и теорем.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Э Н Ц И К Л О П Е Д И Я / / I.I. Бицадзе уравнения. М.: Советская энциклопедия. 1977, 449 с.

2. МИРАНДА К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ. 1967, 256 с.

3. Михлин СТ. Многомерные^сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз. 1962, 254 с.

4. МИХЛИН с.г. Линейные уравнения в частных производных. М.: ВШ. 1977, 431 с. г 1 ' ' •

5. МУСАЕВ М.Видоизмененная задача Дирихле ДЛЯ системы, меняющей гомотопический тип//Доклады АН Тадж. ССР. 1985, T.XXVIII, №3,

6. 136 - 140. 28| ОшоРОВ Б.Б. О некоторых модельных эллиптических системах уравнений в четырехмерном пространстве// Вестник НГУ, т.Ш, 2003, ,' C.91 - 98.

7. ПАЛЕКАС Э. О задаче Дирихле для одной эллиптической систе- мы//Дифференц. уравнения и их применение. Вильнюс. 1981, вып. 30, C.47 - 55.

8. САКС Р.С. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений. Новосибирск, изд. НГУ, 1975, 164с.

9. САКС Р .С Краевые задачи для слабоэллиптических систем дифференциальных уравнений//Докл. АН СССР. 1977, т.236, Ш6, с. 1312 -1316.

10. СОЛОМЯК М.З. О линейных эллиптических системах первого поряд- ка//Докл. АН СССР. 1963, тЛ50, №1, с.48 - 51. 41| СТРЕТЕНСКИЙ Л.Н. Теория ныотонового ' потенциала. М.;Л.:Гостехтеориздат, 1946, 318с.

11. Ф Р О Л О В П.С. О компонентах связности вещественных эллиптических систем на плоскости//Докл. АН СССР. 1968, т.181, N"-6, с.1350 -1353.

12. ЯИУШАУСКАС А.И.Аналитическая теория эллиптических уравне- ний//Новосибирск. Наука. 1979. 192 с.

13. ЯИУШАУСКАС А.И. К вопросу о корректности задач для систем уравнений с частными производными второго порядка//Дифференц. уравн. 1980, T.16, №1, с.150 - 160.

14. ЯНУШАУСКАС А.И. Методы потенциала в теории эллиптических уравнений. Вильнюс: Мокслас, 1990, 264 с.

15. ХАЛИЛОВ Ш.Б. Задача Дирихле для одной многомерной эллиптической системы уравнений в частных производных//Материалы конф. молодых ученых АН Тадж. ССР,секция физ. - мат. наук. Душанбе. 1987, C.64 - 66.

16. ХАЛИЛОВ Ш.Б. Задача Дирихле для одной многомерной системы дифференциальных уравнений эллиптического типа//Доклады АН Тадж.ССР. 1987, т.ХХХ, №6, с.339 - 342.

17. ХАЛИЛОВ Ш.Б. О задачи Дирихле душ одной многомерной системы эллиптического типа.//Дифференц. уравнения. 1987, т.23, №9, с.1608 -1612. ' • •

18. ХАЛИЛОВ Ш.Б. Задача Дирихле для многомерных не сильно эллиптических систем уравнений второго порядка//Дисс. на соискание уч. степени канд. физ. - мат. наук. Душанбе. 1988, с.101.

19. ХАЛИЛОВ Ш.Б. К теорий многомерных несильно эллиптических си- стем//Куляб.: Тезисы республиканской научно - практической конф. ученых и специалистов Тадл<икистана. 1991, с.29 - 31

20. ХАЛИЛОВ Ш.Б. О задачи Дирихле для несильно эллиптических систем уравнений в частных производных// Математические заметки ЯГУ. 2004, Т.11, вьш.2. с.98 - 110. '' '

21. ХАЛИЛОВ Ш.Б. К теории краевых задач для многомерных эллиптических систем уравнений с частными производными. Материалы II международной научно-практической конференции "Перспективы развития науки и образования в XXI веке". Душанбе. 2007, с.29 - 31.