Классические граничные задачи для эллиптических систем уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Т 6 0& , ц рД ««

На правах рукописи

ТУПЯКОВА Вера Павловна

КЛАССИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 1998

Работа выполнена в Читинском государственном техническом университете на кафедре прикладной математики.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор А.И. Янушаускас

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Орлов Ю.Ф. кандидат физико-математических наук, доцент Сергиснко Л.С.

Ведущая организация - Иркутский государственный университет

Защита диссертации состоится " " 1998г.,

в /3". на заседании Специализированного Совета К 003.64.01 по присуждению учёной степени кандидата физико-математических наук в Иркутском институте динамики систем и теории управления СО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского института динамики систем и теории управления.

Автореферат разослан " ^& " 1998г.

Учёный секретарь Специализированного Совета

А.В. Синицын

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Эллиптические по Петровскому системы уравнений с частными производными второго порядка помимо многочисленных приложений в проблемах физики имеют чисто теоретический интерес. Важным разделом теории уравнений с частными производными является теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем yr,?:;i ений. Среди таких задач наибольший интерес представляют так называемое нефредгольмовые задачи, исследование которых, как правило, сводится к изучению сингулярных интегральных уравнений. А они в многомерном случае далеко не всегда относятся к классам достаточно изученных.

В настоящее время хорошо разработана теория эллиптических систем уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными (см., например, работы A.B. Кицадое. МИ. Виши tea. !>.Н боярского, П.В. Золотарёвой, I I.E. Товмасяна и ,;р. авторов). Значительно сллОие изучены многомерные эллиптические системы, хотч и для них получены интересные результаты в работах B.C. Виноградова, P.C. Сакса, А.И. Янушаускаса, Г.В. Васильевой и др. Известно, что для многомерных эллиптических систем, не удовлетворяющих условию сильной эллиптичности, нарушаются не только фредгольмовость, но и нётеровость задачи Дирихле. Поэтому остаётся актуальным исследование разрешимости задачи Неймана и других граничных задач для тех систем, для которых нарушается корректность задачи Дирихле.

Настоящая работа является продолжением исследований по теории разрешимости граничных задач для многомерных эллиптических систем.

Целью работы является исследование разрешимости задач Дирихле, Неймана и других граничных задач в полупространстве для широкого класса не сильно эллиптических систем уравнений с частным производными второго порядка специальной структуры с тремя и более независимыми переменными.

Научная новизна и практическая значимость работы. Изучение классических граничных задач проводится с помощью преобразования Фурье. Так вопрос о разрешимости задачи Дирихле сводится к изучению некоторого уравнения с частными («роизводными второго порядка, которое рассматривается на границе полупространства. Эта редукция позволила обозреть все возможные ситуации нарушения нётеровости задачи Дирихле. Исследованы также вопросы разрешимости задачи Неймана и других граничных задач для многомерных эллиптических с истем в полупространстве путем сведения исходной задачи к системе линейлих алгебраических уравнений.

Полученные результаты представляют интерес для теории многомерных эллиптических систем и могут быть использованы при исследовании корректности поста; гогок граничных задач.

Ащюбащд.работы. Результаты диссертации докладывались: на научном семинаре кафо,;ры магматического анализа и дифференциальных и интегральных уравнений ИГУ под руководством Трубнна В.Г. (Иркутск, 1992); на научном семинаре Института динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН под руководством профессора Ю.Е. Бояринцева (Иркутск, 1998); на областной научной студенческой конференции " Молодежь и современный мир" (Чита, 1997); на ежегодных научных конференциях Читинского государственного технического университета (Чита, 1993-1998 гг.) и систематически на семинаре кафедры прикладной математики ЧитГТУ под руководством Розовой II.В.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8].

Объём и структура работы. Диссертация изложена на 88 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырёх глав и списка литературы, включающего 44 наименования.

На защиту выносятся следующие результаты:

1) сведение вопроса о разрешимости задачи Дирихле для некоторого класса не сильно эллиптических систем к изучению уравнения с частными производными второго порядка;

2) исследование характера разрешимости первой краевой задачи в зависимости от вида этого уравнения;

3) сведение вопроса о разрешимости задачи Неймана и других граничных задач для многомерных эллиптических систем в полупространстве к исследованию системы линейных алгебраических уравнений.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении даётся краткий обзор литературы по эллиптическим системам уравнений с частными производными второго прядка, изложены основные результаты диссертации.

В первой главе изложены вспомогательные сведения об эллиптических уравнениях и системах.

Во второй главе рассмотрена задача Дирихле для системы

- Ци) + Х—(их + v.. + wz) = О

дх }

д

-Цу) + \--(их+у +м/2) = 0 (1)

ду

- Цм>) + \—(их +уг +м>2) = 0.,

д:

, о2 Э2 2 Э2 где Ь = —— + —~ ь С| ——, С] - некоторая постоянная, в следующей постановах2 ду2 дг2

ке: найти регулярные в полупространстве О: {:>()} решения системы (1), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям:

"|г=0 = /. у1г=0=^ Н,=0=/!- (2)

где/,' Л - заданные достаточно гладкие функции.

В §1 система (1) исследуется на эллиптичность. Показано, что возможны следующие случаи.

"У 9

1. Если с\ <\, то при X<С] система сильно эллиптична, а при

система не сильно эллиптична.

2

2. Если с, > 1, то при X > С]" система не сильно эллиптична, а при А,<1 система сильно эллиптична.

2

Случай, когда 1 < X < с\ , то есть система (1) является системой составного типа не рассматривается.

В §§2,3 данной главы рассматривается характер разрешимости задачи Дирихле для системы (1) с непрерывно дифференцируемыми стремящимися к нулю на бесконечности граничными данными в полупространствах £>: {г>0}, И': {х>0}, О": {у>0}. В результате исследований получено, что при А. = С) +1 задача Дирихле (1),(2,) в полупространстве О: {г>0} ненётерова. Результат формулируется в виде теоремы.

Теорема 1. Если/,' g\lh ъ граничном условии (2) задачи Дирихле для системы (1) непрерывно дифференцируемые стремящиеся к нулю на бесконечнос-

9

ти функции и X с\ +1, то задача Дирихле для системы (1) в полупространстве О разрешима и решение её единственно.

Кроме этого рассмотрены различные ситуации нарушения нётеровости задачи Дирихле для полупространств И': {х>0} и О": {у>0}. Для полупространства £>'• {х>0} вопрос о разрешимости исследуемой задачи сводится к исследованию одного уравнения с частными производными второго порядка в плоскости переменных у, г.

2

- [(-X +1 + С12 + (2 - Х)^-] = Р(у,г). (3)

Рассматриваются различные случаи разрешимости задачи Дирихле для системы (1) в зависимости от типа уравнения (3). Показано, что если уравнение (3) эллиптично, то задача (1), (2) имеет единственное решение. Если урав-

нение (3) гиперболично или параболично, то однородная задача Дирихле для системы (1) имеет бесконечное множество ограниченных на бесконечности решений. Аналогичный результат получен для задачи Дирихле для системы (1) в полупространстве О": {у>0}.

В §4 данной главы рассматривается задача Дирихле для системы

-¿(и-Л-А® £ сс/|- = 0 .7 = 1.....И , (4)

7' "Эту ' дх1

д2

где Ь — -—, а„ /=1____,п и аь к=\,...,п — постоянные. Требуется найти

к=1 д*к '

регулярные в полупространстве Ю: {хп>0} решения системы (4), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям:

иЛхп=о=ь (5)

где щ - заданные достаточно гладкие функции. Задача исследуется при помощи преобразования Фурье. Результат формулируется в виде теоремы. Теорема 2. Если выполнены неравенства Я <ая или

2 У

ап аj+ 2ajar-ananaj-Х(2аjan-аj) + Х аj <0, у = 1,...,и-1,

то задача Дирихле (4),(5) с непрерывно дифференцируемыми стремящимися к нулю на бесконечности граничными функциями , ]=1,...,п в полупространстве Б разрешима и имеет единственное решение.

В третьей главе, состоящей из двух параграфов, рассматривается задача Неймана в полупространстве Н„: {хп>0} для многомерных эллиптических систем.

В § 1 для системы

-ДИу+хЗ ¿^. = 0, у=1.....« (6)

рассматривается задача Неймана в следующей постановке: найти регулярные в полупространстве Нп : {хп>0} решения системы (6), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям:

где /у, ] - заданные достаточно гладкие функции. Получено

представление решений системы (6) через регулярные в полупространстве Н„ гармонические функции.При помощи преобразования Фурье вопрос о разрешимости исследуемой задачи сводится к исследованию системы линейных алгебраических уравнений. Результат резюмирует следующая теорема.

Теорема 3. Если /у, у = 1в граничном условии (7) задачи Неймана

для системы (6) дифференцируемые стремящиеся к нулю на бесконечности функции и параметр X * 2, то задача Неймана (7) для системы (6) в полупространстве Нп разрешима и её решения определяются единственным образом с точностью до произвольной постоянной.

Получены явные формулы для решения данной задачи. В §2 в полупространстве Нп : {хп > О/ для системы

исследуется задача Неймана (7). Установлена зависимость параметров Я и Я„, при которой нарушается нётеровость данной задачи. Основной результат формулируется в виде теоремы.

Теорема 4. Если /у, У = ],...,« в граничном условии (7) задачи Неймана

для системы (8) непрерывно дифференцируемые стремящиеся к нулю на бесконечности функции, то при X Ф задача Неймана (8), (7) в полупространст-

(8)

ве //„ разрешима и решение её единственно.

Четвёртая глава содержит три параграфа, в которых исследуется характер разрешимости некоторых граничных задач. При помощи преобразования Фурье вопрос о разрешимости данных задач сводится к исследованию системы линейных алгебраических уравнении.

В § 1 рассматривается третья краевая задача для системы

-А и + Х—(их +уу +11>г) = 0

дх

-Ау + А,—(их + Уг +н>,)=0 (9)

ду 4 '

д /'

+А.-—-(г/х- + + ь'- )= О дг

в полупространствах Н:{х>0}, Н':{у > 0/, Я" : {г >0}. Так исследуется граничная задача в следующей постановке: найти регулярные в полупространстве //: { х > 0 / решения системы (9), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям:

«х + а4х=0 = ^' ух + М'1=о " 2' + НА-=0 = Л' (1 °)

где /и /г, Уз - заданные непрерывные стремящиеся к нулю на бесконечности функции, а, Ь, с, - постоянные.

Получено представление решений системы (9) через регулярные в полупространстве Н гармонические функции. Показано, что разрешимость данной задачи зависит от постоянных а, Ь, с, фигурирующих в граничном условии (10). Аналогичные результаты получены для третьей краевой задачи для системы (9) в полупространствах Н':{у>0}, Н":{г>0}. Формулируется следующая теорема.

Теорема 5. Третья краевая задача для системы (9) с непрерывными стремящимися к нулю на бесконечности граничными функциями в полупространствах Н:{х>0}, Н': {у > 0}, Н": {г > 0} при Хф\ разрешима и её решения определяются единственным образом, ссли я<0, Ъ<0, с<0.

В §2 рассматриваются некоторые другие граничные задачи для системы (9) в полупространстве Я : {х > 0/. Так исследуется задача для системы (9)

в следующей постановке: найти регулярные в полупространстве Н:{х>0} решения системы (9), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям:

ди . а--У он

дх

х=0 &

= /2, Ч*=0=/3> (П)

х=0

где — заданные непрерывные стремящиеся к нулю на бесконечности

функции, а, Ь, с, Хф\ - постоянные. Используется представление решений системы (9) через регулярные в полупространстве Н гармонические функции. Получены условия , при которых задача (9),(11) имеет единственное решение. Доказывается следующая теорема.

2-Я

Теорема б.Если выполнены неравенства аЬ<О и ■——а(Ь- а)< О

Я

то задача (9), (11) с непрерывными стремящимися к нулю на бесконечности граничными функциями /и fi.fi в полупространстве Н :{х> 0} разрешима и имеет единственное решение.

Здесь же рассматривается однородная задача для системы (9) с граничными условиями

¿Ну

и п=0, V =0, 1дг=0 1дг=0 ^

= 0. (12)

х-0

Доказывается, что задача (9), (12) имеет единственное решение при Л< 1 или Л>2. В заключении §2 данной главы рассматривается ещё одна граничная задача для системы (9), характер разрешимости которой зависит от параметра Я. Требуется найти регулярные в полупространстве Н:{х>0} решения системы (9), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям

Со =/2. «! + Н=0=/з. (13) где /¡, /2, /3 - заданные непрерывные стремящиеся к нулю на бесконечности функции, а, Ь, с, - постоянные. Основной результат формулируется в виде теоремы.

Теорема 7. Если а/?<0 и Л>2 либо Л<0, то задача (9), (13) с непрерывными стремящимися к нулю на бесконечности граничными функциями /|, /2, /з в полупространстве Н разрешима и решение её определяется единственным образом.

В §3 рассматривается граничная задача для системы (9) в полупространстве Е: {ах+Ру+уг>()} с более общим граничным условием

л™ + ви

dv

= F, (14)

где — = a— + P — + y—, а, Д у- постоянные, причём сС+0+^= 1, AJÍ - заду дх ду dz

данные матрицы (3x3), detA^0, U=(u,v,w) - вектор решений системы, F"'(f\,fi,f\) заданный вектор граничных функций. Результаты исследований, проведённых в этой главе, резюмирует следующая теорема.

Теорема 8. Если /¡, jS, /3 в граничном условии (14) для системы (9) непрерывные стремящиеся к нулю на бесконечности функции и то задача (9), (14) в полупространстве Е разрешима и решение её единственно.

В заключении автор искренне благодарит своего научного руководителя Альгимантаса Ионосовича Янушаускаса за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Тупякова В.П. К задаче Дирихле для одной многомерной эллиптичес кой системы уравнений в частных производных // Дифференциальные операто ры и их приложения, - межвузовский сборник научных работ. Чита, 1991, с.64 68.

2. Тупякова В.П. К задаче Дирихле для эллиптической системы уравне ний в частных производных второго порядка // Межвузовский сборник науч ных работ. Чита, 1992, с. 14-18.

3. Тупякова В.Г1. К задаче Неймана для одной многомерной эллиптичес кой системы уравнений в частных производных. Чита: ЧитПИ, 1992 // Рукопис деп. в ВИНИТИ 09.09.92, №2754-В92, 7с.

4. Тупякова В.П. Задача Неймана эллиптической системы уравнений вто poro порядка. Чита: ЧитПИ, 1992 / Рукопись деп. в ВИНИТИ 09.09.92, №2753 В92, 9с.

5. Тупякова В.П. Об одной граничной задаче для эллиптической систем1 уравнений второго порядка // Сб. науч.тр. - Иркутск: Иркут. ун-т, 1993, с.68-72

6. Тупякова В.П. Об одной граничной задаче для эллиптической систем! уравнений второго порядка // Чит. обл. науч. студ. конф. «Молодёжь и соврс менныи мир».Тсз. докл. - Чита: ЗабГПУ и ЧитГ'ТУ, 1997, с. 145-147.

7. Тупякова В.П. 05 одной граничной задаче для эллиптической систем] уравнений второго порядка // Вестник Читинского государственног технического университета: Выпуск 5 — Чита: ЧитГ'ТУ, 1997, с.156-160.

8. Тупякова В.П. Граничная задача для эллиптической системы уравш ний второго порядка в полупространстве // Математический анализ и его npi ложения: Выпуск 3 - Чита: ЗабГПУ, 1998, с.83-88.

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

На правах рукописи УДК 517.956

Тупякова Вера Павловна

КЛАССИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Диссертация На соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор

физико-математических наук, профессор А.И. Янушаускас

Чита

1998

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

Введение................................................................................. 4

Глава I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЯХ И СИСТЕМАХ...................................... 15

Глава II. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

С ПАРАМЕТРОМ X В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ..................18

§ 1. Исследование системы на эллиптичность.......................... 18

§ 2. Задача Дирихле в полупространстве И: {г > 0 ................... 20

§ 3. Задача Дирихле в полупространстве D': {х > 0 ................... 27

§ 4. Задача Дирихле для одной эллиптической системы в

полупространстве В: \хп > 0 .......................................... 36

Глава III. ЗАДАЧА НЕЙМАНА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ................... 42

§ 1. Задача Неймана для многомерной эллиптической системы с

параметром X........................................................... 42

§ 2. Задача Неймана для многомерной эллиптической системы с

параметрами X = Л1 = Х2 = ... = Хп_х, Хп ф Л...................... 50

Глава IV. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

С ПАРАМЕТРОМ 2 В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ................ 58

■ § 1. Третья краевая задача в полупространствах Н : {х > 0},

Н': {у > 0}, Н" :{г> 0}............................................... 58

§ 2. Некоторые другие граничные задачи............................... 72

§ 3. Граничная задача с более общим граничным условием........ 77

Литература.............................................................................. 85

Введение

Важным разделом теории уравнений с частными производными является теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем уравнений. Среди таких задач наибольший интерес представляют так называемые нефредгольмовые задачи, исследование которых, как правило, сводится к изучению сингулярных интегральных уравнений, а они в многомерном случае далеко не всегда относятся к классам достаточно изученных. Наиболее существенные результаты в теории классических граничных задач для общих эллиптических уравнений второго порядка принадлежат Ж.Жиро [35]. Эти результаты изложены в монографии [36]. Уравнения и системы уравнений с двумя независимыми переменными изучены достаточно полно [2,3]. Гораздо сложнее обстоит дело с эллиптическими уравнениями и системами с многими независимыми переменными [31].

В 1937 году И.Г. Петровский [19] выделил широкий класс систем уравнений в частных производных, которые теперь называются эллиптическими по Петровскому. Эллиптические по Петровскому системы уравнений с частными производными второго порядка помимо многочисленных приложений в проблемах физики имеют чисто теоретический интерес. На решениях этих систем обобщаются многие факты, справедливые для решений одного эллиптического уравнения [20], например, все достаточно гладкие решения таких систем аналитичны. Однако свойства разрешимости классических граничных задач для эллиптических по Петровскому систем существенно отличаются от случая одного уравнения. В 1948 году A.B. Бицадзе построил пример эллиптической по Петровскому системы двух уравнений второго порядка, для которой нарушалась нётеровость задачи Дирихле [1]. Эту систему можно записать в виде одного комплексно-

го уравнения, которое теперь называется уравнением Бицадзе [15]. В вещественной форме систему A.B. Бицадзе можно записать так:

В связи с системой A.B. Бицадзе для эллиптических по Петровскому систем встал вопрос классификации по характеру разрешимости граничных задач. Классические граничные задачи для эллиптических по Петровскому систем не всегда нётеровы, поэтому класс таких систем, для которых задача Дирихле корректна, должен характеризоваться некоторыми дополнительными ограничениями. Вскоре такие дополнительные ограничения нашел М.И. Вишик [8]. Он усилил эллиптичность по Петровскому требованием сильной эллиптичности, т.е. либо положительной, либо отрицательной определенности симметрической составляющей характеристической матрицы системы. Сильно эллиптические системы в смысле разрешимости классических граничных задач ведут себя точно так же, как одно эллиптическое уравнение, т.е. эти задачи всегда нётеровы.

В настоящее время хорошо разработана теория эллиптических по Петровскому систем уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Известны работы И.В. Бицадзе [1-3], М.И. Вишика [11], Б.В. Боярского [4,5], Н.Е. Товмасяна [23] и других авторов. В многомерном случае исследована только задача Дирихле для определенных классов эллиптических систем. Интересные результаты получены, например, в работах B.C. Виноградова [7], P.C. Сакса [24,25], А.И. Янушаускаса [29-34], Г.В. Васильевой [6], В.И. Шевченко [28] и других. Известно, что для многомерных эллиптических систем, не удовлетворяющих условию сильной эллиптичности, нарушается не только фредгольмовость, но и нётеро-

-Ли + 2~ Mv + vv)=0 ох у/

-zlv + 2 — (иг +v„)=0

вость задачи Дирихле. Поэтому остается актуальным исследование задачи Дирихле для более широких классов эллиптических систем и исследование разрешимости задачи Неймана и других граничных задач для тех систем, для которых нарушается корректность задачи Дирихле. Так как исследование такого рода задач, как правило, сводится к изучению сингулярных интегральных уравнений, то вопрос о разрешимости данных задач достаточно рассмотреть в полупространстве [31].

В ряде задач представляют интерес системы, зависящие от некоторых параметров. В пространстве любой размерности наиболее хорошо изучена следующая система:

д " ди ■

-AuJ■+Л-—- = 0, у = 1,...,л ,

дх] /=1 дх1

где Л - вещественный параметр, которую можно рассматривать как семейство систем, зависящее от параметра Л. Собственные числа характеристической матрицы этой системы имеют вид:

следовательно, при Л< 1 все собственные числа характеристической матрицы данной системы имеют одинаковые знаки, поэтому система сильно эллиптична при Л < 1. При Л = 1 рассматриваемая система вырождается, а при Л > 1 - снова эллиптична, но уже не сильно эллиптична, так как /ип

имеет знак плюс, а все остальные ц ■ - минус, поэтому характеристическая

матрица этой системы не является положительно либо отрицательно определенной.

Настоящая работа является продолжением исследований по теории разрешимости граничных задач для многомерных эллиптических систем. Перейдем к характеристике содержания работы.

Во введении даётся краткий обзор литературы по эллиптическим системам уравнений с частными производными второго прядка, изложены основные результаты диссертации.

В первой главе изложены вспомогательные сведения об эллиптических уравнениях и системах.

Во второй главе рассмотрена задача Дирихле для системы

3

-Ци) + \—(их + \у+\уг) = О

ох '

-Цу) + Х—(их+уу+пх) = 0 (0.1)

ду *

3

02 '

, д2 д2 2 д2 где Ь = —— + —— + С\ —-, С] - некоторая постоянная, в следующей пос-

дх1 ду1 дг2

тановке: найти регулярные в полупространстве О: {г>0} решения системы (0.1), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям:

гдеА - заданные достаточно гладкие функции.

В §1 система (0.1) исследуется на эллиптичность. Показано, что возможны следующие случаи.

2 1

1. Если С| < 1, то при \<С1 система сильно эллиптична, а при Л>1

система не сильно эллиптична.

2. Если с2 < 1, то при Х> с2 система не сильно эллиптична, а при Х<1 система сильно эллиптична.

Случай, когда 1 < X < с^ , то есть система (0.1) является системой составного типа не рассматривается.

В §§2,3 данной главы рассматривается характер разрешимости задачи Дирихле для системы (0.1) с непрерывно дифференцируемыми стремящимися к нулю на бесконечности граничными данными в полупространствах В: {!>()}, В': {х>0}, В": {у>0*}. В результате исследований получено,

о

что при X = С| +1 задача Дирихле (0.1),(0.2,) в полупространстве В: {г>0}

ненётерова. Результат формулируется в виде теоремы.

Теорема 2.1. Если/ gи И в граничном условии (0.2) задачи Дирихле для системы (0.1) непрерывно дифференцируемые стремящиеся к нулю на

2

бесконечности функции и X ф с^ +1, то задача Дирихле для системы (0.1) в полупространстве И разрешима и решение её единственно.

Кроме этого рассмотрены различные ситуации нарушения нётерово-сти задачи Дирихле для полупространств В': {х>0} и В": {у>0}. Для полупространства В': {х>0} вопрос о разрешимости исследуемой задачи сводится к исследованию одного уравнения с частными производными второго порядка в плоскости переменных у, ъ.

-[(-Х + 1 + С12)Ц + (2-Х) ^ У = Р( у, 2). (0.3)

дг2 ду2

Рассматриваются различные случаи разрешимости задачи Дирихле для системы (0.1) в зависимости от типа уравнения (0.3). Показано, что если уравнение (0.3) эллиптично, то задача (0.1), (0.2) имеет единственное решение. Если уравнение (0.3) гиперболично или параболично, то однородная задача Дирихле для системы (0.1) имеет бесконечное множество ограниченных на бесконечности решений. Аналогичный результат получен для задачи Дирихле для системы (0.1) в полупространстве В{у>0}.

В §4 данной главы рассматривается задача Дирихле для системы

а Д дЫ;

ох j сЬсг-

и 52

где Ь- ^а^-—, а,, 1=1,и а^ - постоянные. Требуется

к=1 Зхд.

найти регулярные в полупространстве О: {хп>0} решения системы (0.4), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям:

и] у _л =Ф/ .7=1,-.и, (0.5)

хп -и

где щ - заданные достаточно гладкие функции. Задача исследуется при помощи преобразования Фурье. Результат формулируется в виде теоремы. Теорема 2.2. Если выполнены неравенства Х<ап или

2 2 ап aj +2ajan-ananaj -X(2ajan-aj) + X aj <0, у =

то задача Дирихле (0.4),(0.5) с непрерывно дифференцируемыми стремящимися к нулю на бесконечности граничными функциями ср}-, у=7,... ,п в полупространстве D разрешима и имеет единственное решение.

В третьей главе, состоящей из двух параграфов, рассматривается задача Неймана в полупространстве Нп: {хп>0} для многомерных эллиптических систем.

В §1 для системы

я п ди-

-Ди^.+Я,—2^ = 0, 7 = 1(0.6) 7 /=1 1

рассматривается задача Неймана в следующей постановке: найти регулярные в полупространстве Нп :{хп >0} решения системы (0.6), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям:

ди

(0.7)

где fj, у = 1 ,...,п - заданные достаточно гладкие функции. Получено представление решений системы (0.6) через регулярные в полупространстве Н„ гармонические функции.При помощи преобразования Фурье вопрос о разрешимости исследуемой задачи сводится к исследованию системы линейных алгебраических уравнений. Результат резюмирует следующая теорема.

Теорема 3.1. Если /у, у = 1 ,...,п в граничном условии (0.7) задачи

Неймана для систем (0.6) дифференцируемые стремящиеся к нулю на бесконечности функции и параметр X Ф 2, то задача Неймана (0.7) для системы (0.6) в полупространстве Нп разрешима и её решения определяются единственным образом с точностью до произвольной постоянной.

Получены явные формулы для решения данной задачи.

В §2 в полупространстве Нп : {хп > 0} для системы

исследуется задача Неймана (0.7). Установлена зависимость параметров Л и Л„, при которой нарушается нётеровость данной задачи. Основной результат формулируется в виде теоремы.

Теорема 3.2. Если fj, у = 1 ,...,п в граничном условии (0.7) задачи

Неймана для системы (8) непрерывно дифференцируемые стремящиеся к

Дм7- + Х-— V—± = 0, J = \,...,n-\ дх] .=1 дхг

дх 4

(0.8)

нулю на бесконечности функции, то при X*—— задача Неймана (0.8),

Хп-\

(0.7) в полупространстве Нп разрешима и решение её единственно.

Четвёртая глава содержит три параграфа, в которых исследуется характер разрешимости некоторых граничных задач. При помощи преобразования Фурье вопрос о разрешимости данных задач сводится к исследованию системы линейных алгебраических уравнений.

В § 1 рассматривается третья краевая задача для системы

-Au + X—(uY + vv+w7)=0 дх\х у и

$ ( \ -Ау + Х—(их + уу + м>2)=0 (0.9)

О! '

в полупространствах Н : {х >0}, Н': {у > 0}, Н": {г > 0}. Исследуется граничная задача в следующей постановке: найти регулярные в полупространстве Н : {х> 0} решения системы (0.9), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям:

Мх+Нх=0=Л> ух+Щх=о=/2> ^*+с4с=о=/з> (0Л0)

где /ь^2,/з - заданные непрерывные стремящиеся к нулю на бесконечности функции, а, Ь, с, 1 - постоянные.

Получено представление решений системы (0.9) через регулярные в полупространстве Я гармонические функции. Показано, что разрешимость данной задачи зависит от постоянных а, Ь, с, фигурирующих в граничном условии (0.10). Аналогичные результаты полученны для третьей краевой задачи для системы (0.9) в полупространствах Н': {у > 0}, Н": {г >0}. Результат формулируется в виде теоремы.

Теорема 4.1. Третья краевая задача для системы (0.9) с непрерывными стремящимеся к нулю на бесконечности граничными функциями в полупространствах Н : {х> 0}, Н': {у >0}, Н": {г >0} при ?ф\ разрешима и её решения определяются единственным образом, если а<0, ¿КО, с<0.

В §2 рассматриваются некоторые другие граничные задачи для системы (0.9) в полупространстве Н : {х >0}. Так исследуется задача для системы (0.9) в следующей постановке: найти регулярные в полупространстве Н : {х > 0} решения системы (0.9), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям:

ди ,

а--\-ои

дх

г ду и

= /ь +

х=0

= /2> Чх-0=/з, (°Л1)

х=0

где/ь^,/з - заданные непрерывные стремящиеся к нулю на бесконечности функции, а, Ь, с, ?ф\ - постоянные. Используется представление решений системы (0.9) через регулярные в полупространстве Я гармонические функции. Получены условия , при которых задача (0.9),(0.11) имеет единственное решение. Доказывается следующая теорема.

2-Я

Теорема 4.2 Если выполнены неравенства аЬ<0 и-а(Ъ - а) < 0

Я

то задача (0.9), (0.11) с непрерывными стремящимися к нулю на бесконечности граничными функциями /ь , /з в полупространстве Н : {х > 0} разрешима и имеет единственное решение.

Здесь же рассматривается однородная задача для системы (0.9) с граничными условиями

Эху

и\ п = 0, V л = 0, 1х=0 1х=0 дх

= 0. (0.12)

х=0

Доказывается, что задача (0.9), (0.12) имеет единственное решение при Я< 1 или Я>2. В заключении §3 данной главы рассматривается ещё од-

на граничная задача для системы (0.9), характер разрешимости которой зависит от параметра Я. Требуется найти регулярные в полупространстве Н : {х> 0} решения системы (0.9), удовлетворяющие на границе этого полупространства условиям

I |

м1*=о=Л' уио=/2- + = (0-13)

где/ь^,/з - заданные непрерывные стремящиеся к нулю на бесконечности функции, а, Ь, с, Аф 1 - постоянные. Основной результат формулируется в виде теоремы.

Теорема 4.4. Если а/3 <0 и Я>2 либо Я<0, то задача (0.9), (0.13) с непрерывными стремящимися к нулю на бесконечности граничными функциями /ь^2,/з в полупространстве Я разрешима и решение её определяется единственным образом.

В §3 рассматривается граничная задача для системы (0.9) в полупространстве Л1: {ах+Ру+угУ0} с более общим граничным условием

А^.Ви

дv

= (0-14)

ах+Р^у+уг

д д д д 2 г2 2

где — = а — + |3— + у—, а, Д у - постоянные, причём а+р+у=\, А,В -Эу дх ду дг

заданные матрицы (3x3), с1е1 АфО, и=(и^,\V) - вектор решений системы, - заданный вектор граничных функций. Результаты исследований, проведённых в этой главе, резюмирует следующая теорема.

Теорема 4.5. Если/1,/2,/3 в граничном условии (0.14) для системы (0.9) непрерывные стремящиеся к нулю на бесконечности функции и Я^2, то задача (0.9), (0.14) в полупространстве Е разрешима и решение её единственно.

Нумерация формул и теорем внутри глав - сквозная.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37]-

[44].

Глава I

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ И СИСТЕМАХ.

Пусть в области О из пространства Р" переменных Х = (х,,...,хп) заданы функции

а1к(Х) = ак1{Х), Ь,(Х\ с(Х), ¡,к = \,...,п. Линейный дифференциальный оператор второго порядка

п д2 " д

Е а,к(Х)—— + ЪЬ1(Х) — + с(Х) ¡,к=\ дхгдхк /=1 Эх,

будем называть эллиптическим в области Д если квадратичная форма

п 1,к=1

переменных г/ = (г}1,...,г}п) определена и имеет один и тот же знак в каждой точке X области В. Без ограничения общности эту форму будем считать положительно определенной. Если функции а^(Х) интегрируемы в области В и существует постоянная а0 > О такая, что

п п п

яо5>,2 ^ -ли ^о_12>г2

7=1 },к-1 7=1

для всех X е О и всех вещественных векторов 77 = (77,,...,г/п), то оператор Ь назовем равномерно эллиптическим в О, а а0 - постоянной эллиптического оператора Ь. Пусть Ь - эллиптический в области О оператор, а /(X) - за данная в О функция. Уравнение

ВД = /(Л (1.1)

называется эллиптическим в области О. Дважды непрерывно дифференцируемая в области О функция и(Х), удовлетворяющая в

каждой точке /ей уравнению (1.1), называется регулярным в области£> решением уравнения (1.1).

Рассмотрим систему уравнений первого порядка

п ди

М(ц) = 2> ¿Х)~ + Ь(Х)и = XX), (1.2)

¿=1 ОХ1

где и(Х) - искомый вектор с 2т компонентами; /(X)- заданный вектор с 2т компонентами; а^Х), г = 1 и Ь{Х) - заданные 2тх2т матрицы. Вектор /считается заданным в ограниченной области, а коэффициенты а^Х) и Ь{Х) - во всем пространстве К1.

Систему (1.2) будем называть эллиптической, если для любого отличного от нуля вещественного вектора т/ = г}п) вып