Двоякопериодические обобщенные аналитические функции и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Сафаров, Джумабой
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Душанбе
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2010
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ИИ
На правах рукописи
=10978
Сафаров Джумабой
Двоякопериодические обобщенные аналитические функции и их приложения
01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальные управления
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
2 1 ОПТ 20Ю
Душанбе - 2010
004610978
Работа выполнена з Кургантюбинском государственном университете имени Носпра Хусрава Республики Таджикистан
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
Борздыко Вероника Ивановна
доктор физико-математических наук, профессор Солдатов Александр Павлович ,
доктор физико-математических наук, академик АН РТ,
профессор Усмапои Зафар Джураенич
Ведущая организация: Московский государственный
университет имени М.В.Ломоносова, механико-матемятический факультет
'Защита состоится 20 октября 2010 с. н 14ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4.
С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики Академии паук Республики Таджикистан.
Автореферат разослан 2010 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета СуС^^ТУУ Халилов Ш.Б.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Исследования, имеющие целью различные обобщения и применении теории аналитических функций одного комплексного переменного встречаются у многих авторов (Д Гильберт, Т. Карлеман, И.Г. Петровский и др.). Наиболее существенные из них, естественным образом, связаны с узловыми вопросами анализа, геометрии и механики.
В основополагающих работах М.А.Лаврентьева, И.Н.Векуа, Л.Берса, Ф.Д.Гахопн, Б.В.Боярского, В.С.Вшюградова и их последователей обобщены многие геометрические и аналитические свойства решений уравнений КоШ}]-Римана па весьма широкий класс линейных и нелинейных уравнений эллиптического типа на плоскости. Глубокие результаты впервые были получены в исследованиях М.А.Лаврентьева по квазиконформным отображениям, которые г.вядаиы также с. задачами газовой динамики. К этому кругу проблем относятся обобщения на решения линейных равномерно эллиптических систем уравнений
- <21(2)1^ - <?2(.г)шг + а(г)ш + Ь(г)ги = /(г), (1)
где Ы*)| + |й(г)| <до< 1.
Полная теория систем уравнений (1), когда ^ = = 0 и коэффициенты принадлежат классу Ьр, р > 2, построена И.Н.Векуа и Л.Берсом, которая известна под названием теории обобщенных аналитических функций.
В работах Л.Берса и Л.Ниренберга, Б.В.Боярского перенесены ряд важных свойств аналитических функций на решения уравнения (1),
Теории обобщенных аналитических функций и теория решений уравнения (1) получили дальнейшее развитие и нашли многочисленные приложения в работах В.С.Виноградова, Б.В.Боярского, И. И. Дани люка, А.Д.Джурасва, В.Н.Монахова, С.Н.Антонцева, Л.Г.Мнхайлова, З.Д.УсмаИова, Н.К.Блиева, и др. В работах перечисленных авторов изучены краевые задачи Гильберта, а также маднли Римнгга. Уеталовлеия нетеровооть этих крнешх .чадач и нануче-ны формулы индекса. Краевые задачи в ограниченных областях для эллиптических уравнений, а также для уравнений с эллиптическими пссвдодиффсрен-циальными операторами на компактном многообразии являются нетеровыми. Свойства нетеровости краевых задач в неограниченных областях для уравнения (1) сохраняется, если коэффициенты принадлежат кЛассу р > 2 ( множеству функций /(г) таких, что /(2) и Н~2/(|) € ЬР{\г| < 1)). Если в неограниченных областях от коэффициентов уравнения (1) и многомерных эллиптических систем, состоящих из 2п уравнений (п > 1}
wx + Q(z)wг + ^4(.z)w + B(г)w = f, (2)
где собственные значения матрицы (¿(г) лежат внутри единичного круга, не потребовать условия суммируемости, то свойство нетеровости краевых задач
не сохраняется. Этот вопрос для систем (1) и (2) равносилен (даже для их разрешимости в целом) справедливости или несправедливости теоремы Лиувилля. И.Н.Векуа было замечено, что если коэффициенты однородного уравнения (1) не принадлежат классу Ьр>2, то пространство ограниченных решений уравнения (1) может быть, как нулевым, так и конечномерным или бесконечномерным. В случае постоянных коэффициентов нарушение теоремы Лиувилля было указано В.С.Виноградовым. В этом случае пространство ограниченных решений уравнения (1) всегда конечномерно, а для системы (2) может быть и бесконечномерным. В.С.Виноградовым найдено необходимое и достаточное условие тривиальности, конечномерности и бссконсчномсрности пространства решений степенного роста для однородной системы (2) и дан алгоритм получения решений.
Изучение вопроса разрешимости и распространении свойств аналитических функций, а также связанные с ними краевые задачи для систем уравнений (2) изучались в работах А.Дугласа, Б.В.Боярского, А.И.Вольперта, В.С.Внноградова, А.П.Солдатова, Б.Гольдшмндта, Р.Гильберта, И.В.Вендланда, В.Н.Монахова, С.И.Антонцева., А.Д.Джураева, Э.Мухаммадиева,, С.Байзаева, и др.
Обобщенные аналитические функции с сингулярными коэффициентами впервые изучал Л.Г.Михайлов , который перенес многие свойства аналитических функций на этот случай. В монографии Н.К.Блнева изучены уравнения обобщенных аналитических функции, когда коэффициенты принадлежат пространству Бесова 1 < р < 2, а = (2 —р)/р.
В связи с этим важным становится изучение задач о нахождении ограниченных, в том числе, двоякопериодических решений для эллиптических систем первого порядка на плоскости. На важность изучения таких задач впервые укачал В.О.Випогрндов.
В монографии Л.Берса, Ф.Джона, М.Шехтера рассматривается специальная краевая задача, в которой требуется найти периодическое решение эллиптического дифференциального уравнения высокого порядка. Исследование проводится в гильбертовом пространстве Щ, £ > 0. Функциональными методами вопросы о разрешимости сводятся к известной теореме Фредгольмн-Рисса-Шаудсра об уравнениях в гильбертовом пространстве и доказывается фредгольмовость задачи. Э.Мухаммадиевым изучались вопросы разрешимости и фредгольмовости эллиптических уравнений в пространствах периодических функций, заданных во всем пространстве.
Уравнения обобщенных аналитических функций на замкнутой римановой поверхности (рода больше двух) изучены в работах Родина Ю.Л. Даны формулы представления решений и получены аналоги теоремы Абеля и Римана-Роха. Задача существования обобщенных аналитических автоморфных функций методами краевой задачи Карлемапн. исследована Показеевым В.И. Им
,1
же получены первые формулы представления решений через автоморфные функции и изучены задачи нахождения двоякопериоднческих обобщенных аналитических функции. Аналогичные представления решений для конечной области, на поверхностях более общих, чем риманова поверхность, получены Данилюком И.И.
В работе С.Байзаева для эллиптических систем первого порядка изучался вопрос об ограниченности решений (в том числе периодических) на всей плоскости. В случае линейных систем исследованы вопросы нормальной разрешимости, нетеровости, вычисления индекса задачи об ограниченных решениях в гсльдсровых пространствах. Найдены признаки существования ограниченных на всей плоскости периодических решений квазилинейных эллиптических систем первого порядка с главной положительной однородной правой частью.
Задача нахождения двоякопериоднческих решении эквивалентна задаче нахождения решений на комплексном торс. Для системы (1) задача нахождения двоякопериоднческих решений является естественным развитием теории эллиптических функций.
Теория эллиптических функций создана в основном в XIX столетии совместными усилиями крупнейших математиков: И.Абелем, К.Якоби, Ж.Лиувиллсм, К.Всйсрштрассом. Эллиптические функции, как обращение эллиптических интегралов встречаются во многих задачах механики твердого тела, аэродинамики, электростатики, теория упругости и др. Теоретически более простое построение эллиптических функций с применением теории аналитических функций дано Вейерштрассом. Для описания таких функций он ввел функции ((г) -дзета, <г(г)-сигма, р(г)-пс. В качестве образующих поля эллиптических функций можно взять р и р'.
В связи с вышесказанным весьма актуальным является разработка методов исследования эллиптических систем первого порядка в классах двоякопериоднческих функций, что является естественным развитием методов теории обобщенных аналитических функции И.Н.Вскуа и теории эллиптических функций Вейерштрасса, когда коэффициенты системы принадлежат пространству £р, р > 2.
Цель работы. Для эллиптических систем первого порядка (1) исследовать проблему построения теории двоякопсриодичсских решений. Для уравнения обобщенных аналитических функций и более общей системы (1) с помощью эллиптических функций Вейерштрасса ставится задача построения двоякопериоднческих решений с заданными полюсами, а также с заданными нулями и полюсами. Нахождение приложения двоякопериоднческих обобщенных аналитических функций к многомерным эллиптическим системам и нелинейным уравнениям.
Методы исследования. В работе применяется и развивается аппарат, разработанный на ба.че эллиптических функций Вейерштрасса, который ян-
ляется естественным развитием методов теории обобщенных аналитических функций, основанный на соотношениях и формулах, связывающих класс двоякопериодцческих решений рассматриваемых эллиптических систем с классом эллиптических функций второго рода.
Научная новизна.
• Получены интегральные представления двоякопериодцческих функций первого и второго рода в функциональных пространствах \Ур, р > 2, через дзета и сигма функции Вейерштрасса и изучаются основные свойства получаемых интегральных операторов в Ьр, р > 2.
• Доказана фрсдгольмовость задачи нахождения двоякопсриодических решений системы (1), (2) в классе Шр, р > 2, когда коэффициенты принадлежать пространству Ьр, р > 2.
• Для решения однородного уравнения обобщенных аналитических функций установлены аналог первой формулы представления и ее обращения, связывающие класс двоякопериодцческих обобщенных аналитических функций с классом эллиптических функций второго рода. Даны условия существования и формулы построения двоякопсриодических обобщенных аналитических функций с заданными полюсами, а так же с заданными нулями и полюсами.
• Для неоднородного уравнения обобщенных аналитических функций найдены условия на коэффициенты при выполнении которых, в одном случае оно до пускает решение при любой правой части, а в другом случае найдены услоиия разрешимости для правой части уравнения. В каждом случае даны описания ядра и коядра задачи.
• Построен некоторый квэзинериодический гомеоморфизм уравнения Бель-трами, который на своей плоскости обеспечивает существование эллиптических функций Всйсрштрасса. Найдены условия существования двояко-периодических решений уравнения Бельтрами и построены эти решения.
• Для системы (1) установлены аналоги формулы представления Б.В.Боярского, Л.Берса и Л.Ниренберга, связывающие класс двоякопериодцческих решений системы с классом эллиптических функций второго рода на плоскости квазипериодического гомеоморфизма уравнения Бельтрами. В некоторых частных случаях системы (1) найдены необходимые и достаточные условия разрешимости и полностью описаны ядра и коядра задачи. Для системы (1) общего вида указаны два способа получения двоякопериодцческих решений.
• Исследована задача нахождения двоякопсриодических по каждому переменному (при фиксировании остальных) решений для переопределенной системы уравнений обобщенных аналитических функций со многими комплексными переменными. Даются приложения дноякопериодических
обобщенных аналитических функций и полностью описаны ядро и коядро задачи.
• Найдены применения двоякопсриоднчсских обобщенных аналитических функций к описанию ядра и коядра задачи нахождения двоякоперио-днчеекпх решений для некоторых классов эллиптических систем вида (2) и эллиптических систем второго порядка, а. также для нелинейных уравнений.
Теоретическая и практическая значимость. В работе построена теория двоякопсриоднчсских обобщенных аналитических функций и решений системы (1), представляющая собой существенное расширение классической теории эллиптических функций, но вместе с тем сохраняющая ее основные характерные черты. Разработан аналитический аппарат на базе теории эллиптических функций Вейерштрасса, который применяется к исследованию квазилинейных равномерно эллиптических систем вида (1), эллиптических систем второго порядка на плоскости (линейных и нелинейных).
Прикладное и теоретическое значение самих эллиптических функций и системы уравнения (1) могут определять применения полученных результатов к задачам анализа, геометрии и механики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседаниях семинара Института математики АН РТ, на семинаре отдела уравнений с частными производными АН РТ (рук. академик АН РТ А.Д.Джураев, 1981-2000г.), на семинаре отдела уравнении математической физики АН РТ (рук. академик АН РТ Л.Г. Михайлов) на ссминарс отдела уравнений в частных производных МИРАН им. В.А.Стеклова (1977-1991г рук. чл. корр. РАН А.В.Бицадзе), на семинаре кафедры теория функции и математического анализа ТНУ (рук. академик АН РТ Н.Р.Раджа.бов), на семинаре кафедры ма,-тематического анализа МГУ им. М.В.Ломоносова (рук. проф. А.И.Прилепко, 2009), на ссминарс кафедры Высщей математики Вологодского государственного технического университета (рук. проф. Э.М.Мухамадиев, 2009). на семинаре кафедры математического анализа Курган-Тюбннсхого госуниверситета, на международной конференции "Обобщенные функции и приложения в математической физике", Москва,1981г., на республиканской научной конференций по математической физике Душанбе. 1983г., на всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (Душанбе, 1987г), на школе-семинаре "Актуальные вопросы комплексного анализа" (Ташкент, 1989г.), на конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики" - вторые Боголюбовские чтения (Душанбе, 1992г.), на международной конференции "Нелинейные уравнения математической физики и их приложения" (Киев, 1996г.), на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений". посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Ондонпичего
(Москва, 2009г.), на ряде международных я республиканских конференциях по дифференциальным уравнениям и теории функции, проводившиеся в Таджикистане (1997, 1998, 2000, 2003, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010).
Публикации. По теме диссертации опубликованы около 40 работ. Основные результаты диссертации содержатся в 28 работах, список которых приведены в конце автореферата. Из работ, написанных совместно с И.В.Показеевым, в диссертации изложены результаты, которые получены непосредственно автором.
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 297 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав и 33 параграфа, Библиография содержит 124 источника на русском и иностранных языках. В каждой главе введена сквозная нумерация параграфов, формул и теорем.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дастся краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обосновывается актуальность темы и приводятся основные результаты диссертации.
*
Обозначим через Ь*, \¥р, С" - классы двоякопсриодичсских функций, с основными периодами Ль Ло, /т(Л2/Л¡) ф 0, принадлежащих соответственно классам 1Р(П), И р (О), СП(П) ПС"1-1^), где П один из параллелограммов периодов. Очевидно, что Ь* П Ьр(С) = 0, р > 1.
В первой главе работы исследуется вопрос существования и нахождения двоякопсриодичсских, с основными периодами Ль/12, 1т(Л2/Л 1) ф= 0, решений для уравнения обобщенных аналитических функций
•и!? + а(г)ю + Ь(г)1В = /(г). (3)
Двоякопсриодичсскос решение уравнения (3) при а, Ь, / 6 Ь*, р > 2, понимается, как в обобщенном, так и в регулярном смысле И.Н.Векуа. Регуляр-
*
ные двоякопериодические решения - решения класса Ц?^, р > 2. Обобщенные двояконериодические решения допускают конечное число полюсов в основном параллелограмме О и принадлежат классу ^(По)! р > 2. где - любая
подобласть П, не содержащая полюсов решения. Класс таких решений обо*
значается через 1У1Р,Г, р > 2. где г - число полюсов решения в О с учетом их кратности.
В §1.1 приведены основные свойства эллиптических функций и формулы их представления посредством функции Всйсрштрасса £(г) - дзета, о{г) -сигма, р(г) - пе.
В §1.2 приводятся свойства и формулы представления эллиптических функций второго рода, то есть класса мероморфиых функций, удовлетворяющих
условиям
<p(z + hl) = m<p(z), <p(z + h2) = ß2<p{z), (4)
где (¿им ~ постоянные множители, Im~- ф 0. При исследовании уравнения
(1) в Kjfßcce W1p<r возникает вспомогательная задача, связанная с классом эллиптических функций второго рода, удовлетворяющих условию
ip(z + hi) = y{z)exp(viD), ф(г + h2) = ^)ехр{щО), (5)
где 7?x - 2<(/ii/2), r¡2 = 2C(^2/2), D некоторое число. Класс функций, удовлетворяющих условию (5), допускающих в Г- внутренних точках параллелограмма ÍI полюсы, как у аналитических функций, и принадлежащих классу И^(По), Р > 2, fio - любая подобласть области П, не содержащая полюсов, обозначается через М?. Число г называется порядком функций класса М*>.
Если D = 0, г = 0, то Мр =иу, р > 2, Когда D = - Лх 1а/<я],
то условия существования и формулы представления мероморфиых функций, удовлетворяющих условий (4) и (5). ничем не отличаются,
В случае D е Г = {m\hi + m2h2}, mhm2 - целые числа, свойства меро-морфных функций класса М? аналогичны свойству эллиптических функций, и г > 2. Если же D $ Г, то в отличии от эллиптических функций, всегда можно построить эллиптические функции второго рода с заданными полюсами, а также с полюсами и нулями. В этом параграфе также приведен ряд свойств квазиэллиптичсских функций, то есть мероыорфных функций, удовлетворяющих условию
f(z + hi) = f(z) + Ль f(z + h2) = f(z) + Bu
где Ai, 13х - постоянные, Im— Ф 0.
h i
В §1.3 получены интегральные представления двоякопериодических функций первого рода (то есть Двоякопсриодичсскис в обычном понимании) и вто*
poro роди, соответственно, в классах С], Wp, р > 2 и ,
Лемма 1.3.1. 1 Пусть w 6 С». Тогда для любой точки г € О справедлива форльула
/'i Ai
щ J w(t) dt t¡2 J w(t)dt Jj Wrí(r - z)dü, 0
■гдк t =£i 2, Vi = %Wh/2), rj2 = 2((h2/2), П паралчмоиралш с вершинами 0, hi, hi + h2, h2, díí-элемент площади ÍÍ.
ЧЬшг]);* jU'Mll И ГСО]1Г)Л гоиТИГТЧГИуМТ ИХ !loX.(']MU U .ЧЖЧ'СрТ.ЩИИ.
Из этой формулы при tths = 0 следует утверждение теоремы Лиувилли, а в случае w(z) = const, получается соотношение Лежандра для величин hi, h,2, f?bí/2! то есть гцИг — tyhi = 2т.
Изучаются свойства интегрального оператора
тср = ~ljjрШт-*)<&, р&ь;,р>2. п
Доказывается, что 1\р является вполне непрерывным оператором в L*, р > 2; функция g(z) = Tfp удовлетворяет условию
g{z + hj) = ff(z) + ъро, po = ¿ JJpdü, j = 1,2
fi
и допускает обобщенные производные
(T(p)r = p(z), (Гср)2 = £ср,
где S$p - сингулярный интеграл, который существует в смысле главного значения и
S( : L; -» L*, р > 1, причем ||SC||Í2 = 1.
Тс: {р : р € L*p, JJ pdtl = 0} р> 2.
п
Доказаны следующие теоремы:
Теорема 1,3.3 Пусть w 6 Mq, De Г. Тогда существует, постоянная с такая, что справедлива формула
w(z) = e-b2(c+Tc(w^)),
где число Ь удовлетворяет уравнению exp(bh + Drj) = 1, а при D = 0, 6 = 0.
Теорема 1.3.6 Пусть w 6 AÍ<P, D Г. Тогда имеет, место
■w(z) =l-fí wr f~Z~D\dü s ■¡гJJ O(-D)<J{T~Z) n
где a(z) - сигма-функция Вейерштрасса.
Интегральный опера,тор % обладает свойствами:
1) Та является вполне непрерывным оператором в LP(U), р > 2;
2) функция ф(г) = T„p{z) удовлетворяет условию
ф(г + h) = ip{z)exp{r}D), h = mihi + mihi, r¡ = чщщ + тщг, ml}m2 - целые числа;
3) {Top)? — />00, (Тар)г = Sap, где S„p - сингулярный интеграл, который существует в смысле главного значения и Sa : ЬР((Л) -+ LP(U), р > 1:
4) Г, : {р : р е 1р(П)} - М0Д, р > 2.
В §§1.4-1.5 находятся решения неоднородного уравнения Коши-Римана
= /(г) (С)
в классе Мгр, где /(г) удовлетворяет условию (4) и / е £Р(П), р > 2.
В §1.4 выписываются все решения уравнения (6) в классе Mj? и доказывается, что уравнение (6) фредгольмово в классе Mtf.
В §1.5 отыскиваются решения уравнения (G) из класса М?, г > 1, с заданными полюсами bx,b2,--- ,br и главными частями вида
-А, + !>!)■-. ¿Г1'!'-!)!
Покачано, что при D g Г уравнение (К) всегда имеет решение с главными частями вида (7), а при D е Г разрешимо лишь при условии
^ГАкехр{ЪЪк) = f{z)exp(bz)dil,
где число b удовлетворяет уравнению exp\bh + Dt]] = 1.
В §1.6 исследуются задача нахождения решений однородного уравнения (3) *
из класса \\лр,г, р> 2, г > 0, при а, b, / е L*, р > 2. Доказывается один достаточный признак об отсутствии ненулевых решении однородного уравнения в классе CtQ+1, 0 < а < 1 (теорема 1.6.1). Рассматривается сначала уравнение вида
wj + a(z)w~ 0, (8)
*
все решения которого из класса W1p^r даются формулой
w(z) = Ф (z)exp{-Tia}, (!))
где Ф(г)
— эллиптическая функция второго рода из класса Л/,Р,
D = a° = - ff a(z)dtt. * п
Теорема 1.6.2. 1) Пусть N и Р число нулей и полюсов решений уравнения (8), лежащие внутри параллелограмма Q. Тогда необходимо N = Р.
2) Если b\,b2,- •■ ,bT - полюсы и ах,а2, ••• ,аг - нули решений уравнения (8), то д.хя существования таких решений уравнения (8) необходимо и достаточно, чтобы
г
y^jbj - щ) = a°mod(hi, h2).
При этом все его решения выражаются формулой
w г) = c-j-р-7--)--г^ехр\-Т(а , 10)
a(z - bi)(T{z - i>2)4 • • <J\z ~ К)
где 2 = 0!+ mh\ + nh^ m, n - некоторые целые числа, с - произвольная постоянная.
*
Теорема 1.6.3. Пусть w(z) - решение уравнения (8) из класса Wlp,r с главными частями вида (7). Тогда при а0 € Г для его существования необходимо и достаточно, чтобы
I, = 0, = Afexp\bbk + T(a(bk)}, Äf = Äk.
k=l
При этом решение представимо в виде u(z) = j с + ]Г Ak«z - bk) + £ - h) | X
wl
к= 1 к,1> 2
х ехр[-Ьг-Тса], (11)
где с - произвольная постоянная, а число Ь удовлетворяет уравнению ехр[Ьк + а0;;] = 1, При а0 = 0, 6 = 0.
Из теоремы 1.6.2 и 1.6.3 при а(г) = 0 получаются условия существования эллиптических функций и известные формулы их выражения через а и функции Вейерштрасса.
Теорема 1.6.4. Пусть а0 $ Г и выполнены все условия теоремы 1.6.3. Тогда уравнение (8) всегда допускает решение с заданными главными частями вида (7) и оно задается формулой
V(Z):
cr(z — ¿о) cr(z - 21)
Ci + dxdz - z0) + Bk£(z - bk)+
k= 1
+ ^BtVl-2\z-bk) k,t> 2
exp(-Tca), (12)
где zi — zq = а0, постоянные c\,d\,Bk,Bk1 сиянаны условиями
k=l
rf, + £ Bk = 0, B® = f^ZJllA^expT(a(bk), Я<°> = Bk,
0[OkZ — Zo)
Cl + ^фг - zQ) + £ Bk C(Zl - 6,) + £ VM)(*i - 5,) = 0,
fe=X k,l> 2
h-zo,bk-zi gr, k = 1,2, ••• ,r.
Теорема 1.6.5. Пусть w(z) -решение однородного уравнения (3) из класса
W^r, Р > 2. Тогда имеет место представление
w(z) = 4>(z)exрф), (13)
где Ф(г) о.ииптичсския функция второго рода класса Mf, <p(z) =
п
удовлетворяющая ус.-говию
Ф{г + h) = <S>{z)exp[i)D], (14)
h = mihj + m2h2, rj = m^i + m2t]2, mbm2 целым числи.
В работах Данилюка И.И., Родина Ю.Л. и Показссва В.И. получены формулы представления решений вида (13) для случая римановых поверхностей и автоморфных обобщенных аналитических функций, в котором ядро подикте-гральпого выражения является инвариантным относительно z, или автоморф-ньш, соответственно. В нашем случае ядро не является двоякопериодическим. В равенстве (14), принимая числовое значение D в виде
D = а° = i jj a(z)dil, Jf b(z)~dn = 0, (15)
n fi
из нелинейного интегрального уравнения (13) однозначным образом определяется решение однородного уравнения (3) по заданной функции Ф(г) е М? при D = а0.
Теорема 1.6.6. Пусть v(z) - произвольное решение уравнения (8) из класса \¥гР1Г, р > 2, г > 0, имеющее те же особенности, что и w(z) - решение однородную уравнения (3) и zq фиксированная :точка, w(ro) = v(zq). Тогда, при выполнении у&говия
п
где
V(z) = l + JJ S!{t, z)dtt + fj m z)dn, (17)
n П
Si, S2 - резольвенты интегрального уравнения
V(z)+ TC (Що = 1
Т( р — Т$р(г) —Т^р(го), Ь(,г) = Ь(,г)у(,г)/г>(;г), решение уравнения (3) однозначно представляется в виде
ф) = ь(г)У{х), ь{г) = Ф(г)еа:р(-Тса}. (18)
Отправляясь от формулы (18) по заданной эллиптической функции из класса М®, В — а0, молено найти решения однородного уравнения (3) с заданными полюсами, а также с полюсами и нулями.
Следствие 1.6.2. Всякое решение однородного уравнения (3) из каасса
*
И7^, р > 2, при выполнении условия теоремы 1.6.6, представимо о виде
{сехр(-йг - Т^а)У(г), если а0 € Г,
О, если о0 £ Г,
где с - некоторая постоянная, а постоянная <1 удовлетворяет уравнению ехр[с1Н + а0??] = 1, У(2о) = 1, Цго) = сехр\--йго - Т^а(го)].
Это следствие подтверждает ранее полученные Родиньш Ю.Л аналогичные результаты в случае замкнутых римановых поверхностей.
В §1.7 находятся решения неоднородного уравнения (1) из класса
*
И^р,'. р > 2, г > 0 при а, Ь, / е Ьр, р > 2,
Вначале выписывается Нее решения модельного уравнения
иъ + а{г)ю /(г) (19)
*
из класса \\пГ,г. Показано, что в случае п° $ Г уравнение (19) при любой правой части имеет решение с главными частями (7) (теорема 1.7.2). При а0 € Г найдены необходимые и достаточные условия разрешимости и выписаны все решения (теорема 1.7.1).
Когда решение уравнения допускает нули и полюсы, тс} справедлива Теорема 1,7.3. Пусть полюсы Ьх, Ь2, ■ ■ < , Ьг и нули ац а2, • ■ ■ ,аг решения уравнения (19) связаны условием
+ Ь2 +----V Ьг = + а2 +----Ь аг + а0, г > 2
и
^ в П^тг^у-' ^ШтрШ е ь;, Р > 2.
*
Тогда дли, ртрглтштмш уравнения, (19) « классе Р > 2, г > 2 с ни-
данпыАШ пулями и полюсами необходимо и достаточно, чтобы
I! $~1(2)ехр[Т<а}/(г)с1П = 0.
п
При этом любое его решение выражается формулой
w(z) = <p{z)exp(-Tca) [c + T<(ip-l(z)exp\T(a]f(z))], где с - произвольная постоянная.
*
Следствие 1.7.3. Уравнение (19) в классе W*, р > 2, фредголъмово. Для нахождения решений уравнения (3) общее его решение представляется в виде
w{z) = wo{z) + wi{z), (20)
где Wo(z) - решение однородного уравнения, которое найдено в §1.6, a W\{z) -частное решение неоднородного уравнения (3), которое требуется найти. При этом выделяются два случая: 1) решение уравнения (3) имеет только полюсы; 2) решение имеет полюсы и пули.
#
В первом случае частное решение уравнения (1) ищется в классе W^, р > 2,
♦
а во втором случае в классе Wlp г, р> 2, г > 1.
* 1
Теорема 1.7.4. Пусть решение уравнения (3) ин клипса Wp,r> Р > 2 iшест полюсы bi,i>2, • • • , br, a v(z) - решение уравнения (8) с отими полюсами. Пусть Zq - фиксированная точка П, а для решения соответствующего однородного уравнения (1) выполнены условия теоремы 1.6,6 и а0 € Г. Тогда * I
уравнение (3) в классе Wp>r, Р > 2, г > 2 имеет решение, прсдставимос в виде
w(z) = u>o(z) -)- vi(z)exp[-dz — Т^а], если выполняется условие
If
-fi{t)+h(t)vi{t)
dQ = О,
где гА>о(£) - решение однородного уравнения с полюсами £>1, ¿>2, • • • ,ЬГ, постоянная d удовлетворяет уравнению ехр^к+а0гЦ = 1, ¿>1(2) = b{z)exp\—dz — +йг + Т^а], /1(2) = /(г)ехр[6г +Т^а], а имеет вид
= ТСД + Л §¡(1, + Л
о п
5*2 - резольвенты интегрального уравнения
Тс (№) = Тф, ы{г0) = ТсМго).
Теорема 1.7.5. Пусть выполнены условия теорелт 1.7.4 и а° $ Г. То*
гда уравнение (3) в классе \У1Р,Г, р > 2, г > 1 при любой правой части допускает решение. вида
м(г) = юй{г) + глг(г),
где шо(г) - решение однородного уравнения с полюсами 61,62,'" ,6Г, а ьф) представила в виде
п п
- резольвенты интегрального уравнения
иг(г) + ехфТ^Т^Щ) = Я (г),
= Ь{£)ехрТ^а, / = /(г)ехрТ(а. Теорема 1.7.6. Пусть 61,62,-" ,6Г - полюсы и 01,02,"" ,аг - нули решения уравнения (3), связанные условиам теоремы 1.6.2, а г>(г) - решение уравнения (8) с этими полюсами и нулями. Пусть го - фиксированная точка области П, а для решения соответствующего однородного уравнения (3) выполнены условия ткаршы 1.6.6 и У~*/(г) € Ь*, р > 2. Тогда при выполнении условия
I\ ЬфЫГЩ = Л Д(2)сМ,
П П
где Ьф) = 6(г)ф)/ф), /1(2) = /(^(г),
уф) = Тф + Л Бфг)Тфт + Л вф, п о
й1!, ¿>1 - резольвенты интегрального уравнения
гф)+ Г< (Мз) = Тс/ь ¡'3(2:0) = 7с/, (г0),
решение уравнения (3) с заданными нулями и полюсами представляется в виде
гф) = ф)[гф) -нф)],
а г>о(г) имеет вид (17) и ифо) = 1.
Во второй главе (§§2.1 - 2.7) исследуются .чадачи существования и нахождения двоякопериодических решений с основными периодами Ль/гг» /т(Л2/Л 1) ф 0 для уравнения Бельтрами
тг ~ ФН'г = 0) С^)
где q(г) - двоикопериодиПескаи функция с периодами hbh2) и |g(z)| < q0 < 1.
Уравнение Бельтрами представляет самостоятельный интерес и имеет важные приложения к задачам а.палкза, геометрии и механики. В связи с этим уравнение (21] изучалось в работах И.Н.Векуа, Л.Лльфорса, Л.Верса, Б.В.Боярского, Н.И.Положсго, Н.К.Бллсва и др.
В первом параграфе (§2.1) этой главы приведён ряд свойств решений уравнения Бельтрами. Для этого уравнения основным вопросом является построение некоторого его гомеоморфизма u(z), реализующего топологическое отображение плоскости Cz На плоскость Си.
Определение. Гомеоморфизм w(z) плоскости Сг па плоскости Сы уравнения (21) называется основным квазипериодическим гомеоморфизмом с периодами h\,h2, если ш(г) удовлетворяет условиям
ы(0) = 0, сф + /») = w(z) + h, (22)
где h = m1hi+m2h2, h = mihl+m2h2, mum2 - целые числа, huh2 - числа,
Ii 2 ~
такие, что Irn^r- ф 0. Случай hx=hx, = h2 не источается.
1
Теорема 2.2.1. Пусть q(z) - дволкопериодическаЯ функция с пери-h2
одами h\,h2, Ф 0, измеримая в основном паралаелограмме П и
< 9о < Тогда существует единственное регулярное (из Wn(il)j решение уравнения (21), удовлетворяющее условию (22), причем uz е L*, р> 2. Такое решение уравнения (21) имеет вид
Ф) = z+ Т( р, ТС р = TcP(z) - Т(р(0), (23)
где р - решение сингулярного интегрального уравнения
p(z) - qScß = q{z), р = (1 - qScYlq G L'pi p > 2. *
Теорема 2.2.2. Пусть q(z) p > 2 и \q(z)\ < q0 < 1. Тогда квазипериодическое решение уравнения Бельтрами ш(г) € №^(0), р > 2 является гомеоморфизмом всей плоскости с якобианом I(z) > S > 0.
Теорема 2.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.2А. Тогда основной квазипериодический гомеоморфизм u(z) уравнения Бельтрами является гомеоморфизмом всей плоскости Cz.
Гомеоморфизм ш(г) обладает свойствами;
1) при отображении w(z) решетка периодов Г= {¡щ[ц + m2h2) плоскости Сг переходит в решетку Г' = и(Г) = {mihi+m2h2}. mhm2 - целые числа;
2)конгруэнтные по модулю Г точки zu z2 переходят в конгруэнтные по модулю Г' точки <j(zi), ш(гг):
3) при
qo = ^jfo)z(z)q(z)dn = 0
все точки решетки Г' являются неподвижными точками отображения
-1) если q(г) то с^.и;- р > 2, I > 1.
В §2.3, на основе формулы Грина, доказан ряд соотношений для основного квазипериодического гомеоморфизма (о.к,г.) ш(г). которые носят вспомогательный характер.
В §§2.4 - 2.0 отыскиваются двояконериоднческие решения уравнения (21).
Согласно теореме о представлении, обобщенные двояксшериодические. решения уравнения (21) с периодами /г2 представляются в виде.
где Ф(и) - эллиптическая функция па плоскости о.к.г. с основными периодами /¡1, /¡2.
Обобщенные двоякоперйодические решения уравнений (21), представимые в виде (24), называются обобщенными эллиптическими функциями с. периодами Л,!, Ла - Иначе говоря, обобщенные эллиптические функции - мероморфцые двоякопериодические функции на плоскости о.к.г. ы(г) уравнения Бельтра^и. Множества всех обобщенных эллиптических функций образуют некоторое поле К.
В §2/1 исходя ич формулы (24) найдены условия существовании функции и>(г) € 1С. Порядок функции и)(г) € К. определяется порядком эллиптической функции Ф(г). Если число г - порядок функции поля К, то г > 2. Число нулей и полюсов функции •ш(г) € К внутри параллелограмма периодов одинаково и если Ьь Ьг, • •' - полюсы и щ, а2, • • • ,аг - нули функции ги(г) е К, то
В случае q[z) = 0 формула (25) совпадает с известной формулой теорий эллиптических функций (частный случай теоремы Абеля).
В §2.5 определяются эллиптические функции Венерштрасса, Ç(u), а(и), р(и) на плоскости о.к.г. ui(z) уравнения Бельтрами, как обобщенные решения уравнения (21).
Обобщенная дзетя-функция Ç(z) = ((ш(г)) определяется в виде
ЦГ) = Г;
*
*
w{z) = Щш{г)),
(24)
]T](w(i>fc) - и{ак)) s 0mod(huh2).
к= 1
u,{z) - h h h'
где штрих означает, что суммирование ведется по не равным нулю периодам
Л = тгцТц + m2h2, mbта = 0, ±1, ±2,, • ■ • , 1тЪ- > 0.
hi
Функция C(w(z)) имеет свойства: 1] CM¿)) - ^ -> 0 при г - 0;
_ 2i С(5 + h) = ф(г) + Л) = СМ*)) +í[ = с(г) + íf, h = mihi + m2h2, h = mihi + m2h2, тхщ + m2r}2, щ = C(fti)/2,í?2 = С№г)/2;
3) величины h\,h2, r¡i,T]2 связаны между собой соотношением Лежандра
ñih2 ~ ñihi = 2тгi. (27)
Обобщенная сигма-функция a(z) = ст(ш(г)) определяется соотношением
и обладает свойствами:
1) cr(w(z)) является решением уравнения Бельтрами и имеет простые нули в точках решетки Г (или Г');
2) Ша(ш{х))/ш(г) = 1;
3) a(z + h) = 4- h) + d(z) exprj ^ф) + | j , где h = mihi + тф2,
/г = mjii + m2h2, rj = mfa + m2rj2. e = 1, если Л/2 ё Г, гт = -1. если Л/2 £ Г':
4) a{z)
является функцией общего вида, в то время, как а(и) - нечетная. Обобщенная пс-функция р(г) - p(cj(z)) определяется равенством
рН*)) = -?(Ф)) = £.
и обладает следующими свойствами:
1) р(ш(г))
- является обобщенной эллиптической функцией второго рода, то есть р(г) € ÍC\
2) lim p(w(z)) - = 0;
3) p(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению где д2, S3 - инварианты ц
В §2.6 даются формулы представления произвольной функции и){г) € К посредством функций С(ш(г)), а(ш{г)), р{ш(г)). Эти формулы обобщают известные формулы им теории эллиптических функций.
Теорема 2.6.2 Пусть известны полюсы ,обобщенной эллип-
тической функции внутри параллелограмма П, с главными частями вида
А* а-!)'^ ш
V П*)-и(ък)У [ }
г
причем £ М = 0 и каждый полюс считается столько раз, какова его кратка
иостъ. Тогда функция представляется в виде
г
и>(г) = Л +
ы 1
>щ
Лк(Ш - и(ък)) + V - "Ш)
(=2
(29)
где А ~ произвольная постоянная.
Теорема 2.6.4. Всякая обобщенная эллиптическая функция и)(г) пред-ставима е виде
Цг) = Д^рМ*))] + Щр(ш(2))]р'(и(г)),
где Н1,Й2 - рациональные функции своих аргументов.
В §2.7 находятся условия существования и формулы представления обобщенных эллиптических функций второго рода, то есть мероморфных решений уравнения Бсльтрами, удовлетворяющих условиям
и>(г + /ц) = доф). гф + Ь2) = йи'(г), (30)
где - постоянные множители, /т^г/Лг) ф 0.
Пусть сф) - о.к.г. уравнения Бсльтрами с периодами /н,/12, /т(/1г/йх) ф 0. Обозначим через М® класс функций, удовлетворяющих условиям
<ф + /ц) = I-р^ехрЩ^Б], <ф + Н2) = (р(г)ехр[тЬБ], (31)
имеющих в г точках, лежащих в параллелограмме периодов П, полюсы, как у решений уравнения Бельтрами, и (ф) 6 И^(П0)> Р > 2, где П0 любая подобласть области П, не содержащая полюсы <ф), щ = 2С(Лх/2), щ = 2((/г2/2), X) - некоторое число. При Г> » ——г[Тг21п - ЙхЬ/гз], условия существования и формулы представления обобщенных эллиптических функций удовлетворяющих условиям (30) и условиям (31), друг от друга пе отличаются. Поэтому достаточно дать описание функций класса М^. Доказаны следующие теоремы, которые являются обобщением теорем га.!, §1.2.
Теорема 2.7.1. 1) Пусть N - число нулей и Р - число полюсов обобщенной эллиптической функции класса М°. Тогда необходимо, чтобы N = Р.
2) Если Ь\,Ъ2,- ■■ ,ЬГ - полюсы и аьа2,■•• ,аг - нули обобщенной эллиптической функции (о.э.ф) ъи(г) класса то для существования функции необходимо и достаточно, чтобы
г
^[ш(Ь^) -ш(ай)] = БтпойЦг 1,Л2).
*=1
При ятш функция но (г) прг.дс.тавляктся а тик
,, = Ссг{ф) - а>(а))<т(ш(г) - ы(щ)) • • • <т(ш(г) - и(аг)) а{ш(г) - а(Ь1))*Мг) - и(Ьз)) ■ ■ ■ а(сф) - и(Ъг))'
где С - произвольная постоянная, и (а) — а>(а!) + т/^ 4-пЛ2; т, п - некоторые целые числа, а при £> € Г', г >2.
Теорема 2.7.2. Пусть и>(г) - о.э.ф. класса М? имеет полюсы Ьь Ь2, ■ ■ • ,ЬГ с главными частями вида (28) и П € Г'. Тогда для ее существования необходимо и достаточно, чтобы
г
£ А* = о, = А^ехрМН)}, а£> = Ак-ых
При этом все такие функции имеют вид
т(г) = Ф(ш(г))ехр[-Ьы(г)],
где число Ь удовлетворяет уравнению ехр[Ыг + БТЦ = 1, а Ф(ы(,г)) имеет вид (29) с коэффициентами А^.
Теорема 2.7.3. Пуст, выполнены условия теоремы 2.7.2 и Б ^ Г'. Тогда существует о.э.ф. класса М? с главными частями вида (28), которая выражается формулой
где ш(х!) - ы(г0) = Д ц{ш{г)) - о.э.ф. вида
Г
иН*)) = а + («(г) - и(ч))) + ЩСН*) - ы(ьк))+
к= 1
к,1> 2
Постоянные ci,dlt в[Р связаны условиям
* + £ в* = о, & = tfd'^U^в?]-В*>
= 0, ш{Ък) - фк) - фх) $ Г'.
Эти теоремы обобщают известные теоремы для эллиптических функций второго рода. Из теорем '2.7.1. - 2.7.2 следует _
Следствие 2.7.1. Пусть w(z) - о.э.ф. из класса . Тогда имеет место представление
{cexp[—bu(z)], если D 6 Г', О, если D Г',
где. С произвольная постоянная, а константа Ь тикая же, как в теореме 2.7.2.
Также в этом параграфе получены условия сущестпоиягшя и формулы представления обобщенных квазиэллиптических функций с периодами hi,h2,Im(h2/hi) ф 0, то есть мсроморфйых решений уравнения Бсльтрами, удовлетворяющих условиям
w(z + hi) = w(z) + A, w(z + h2) = w(z) + B, А, В - const,
с заданными главными частями вида (28).
В главе III (§§3.1 - 3.10) результаты главы I распространяются для равномерно эллиптического уравнения (1). В §3.1 приведён ряд свойств решений однородных уравнений вида (1), которые носят вспомогательный характер. В §3.2 доказывается один достаточный признак отсутствия решений класса. С] для однородного уравнения (1), когда. (?2(г) = 0.
*
В §3.3 изучается вопрос разрешимости уравнения (1) в классе Wр > 2. Itpii довольно общих предположениях относительно коэффициентов qt,q2,a,b и правой части / доказывается
* 1
Теорема 3.3.1. Уравнение (1) фредголъмово в классе \Vp, р > 2.
В §§3.4 -- 3.5 получены интегральные представления функций классов * ___,
С*1! Ир, р > 2 и посредством оператора Бельтрами Btp — q{z)tpz, где 5(2) е С", 0 < а < 1, |g(z)| < qo < Ii через обобщенные функции Вейер-штрнсса ^(сф)) » гДе -о.к.г. уравнения Бельтрами В<р = 0.
Теорема 3.4.2. Пусть w{z) е С* и ф) - о.к.г. уравнения Бельтрами с периодами hi, /12, Im(h2/hi) ф 0. Тогда для. любой точки z € справедлива
формула ф) = ±
Ai
j?i Jw(i)duj(t) -rj2 j W(t)clij(t) ,0 0
n
где ^i.îjh - циклические постоянные функции С(ш(2)) (обобщение леммы 1.З.1.);
Из этой формулы при w(z) = const получается соотношение Лежандра для величин hi,h2,rji,rj2. Если B\w] = 0, то гу(г) = const (теорема Лиувилля). Доказано, что интегральный оператор
Чр = ~JJ 4(t)p(tK(u(t) ~ ФМ1 (32)
п
где р G Lp, р > 2, обладает свойством
ГС : : р GL*p, J J wt(t)p(t)dD = 0 J -+Wp, p > 2
и функция g(z) = Tçp допускает обобщенные производные по 2 и z, которые вычисляются формула,мр
(Чр)_ = p(z) + (гср)г = u>z(z)Srp,
гДе Sçp - сингулярный интеграл, который существует в смысле главного значения и 5С : L* —> L*, р > 1.
В §3.5
даны интегральные представления функций класса. Mq (см.гл.Il) Теорема 3.5.2. Пусть ы(г) — o.k.г. уравнения Белътрами с периодами hi, hi и D £ Г'. Тогда для функции w[z) е справедлива формула
w{z) = exp[-duj(z)] |с + f( (expdu(z)B\w])} ,
где с - произвольная постоянная, а постоянная d удовлетворяет уравнению exp[dh + Drj\ - 1.
При D = 0, d — 0 из этой формулы получается представление функций из Wp, Р > 2.
Теорема 3.5.3. Пусть И <£ Г' и и:(г) е М^. Тогда для любой точки гей имеет место формула
■и - -4 Е ^
п
где сг(ш(г)) - сигма - функция Вейериппрасса, - о.к.г. уравнения Белъ-трами.
Эти теоремы являются обобщением теорем 1.3.3 и 1.3.4, Изучаются свойства интегрального оператора Т„. Докалывается, что
Тв : {р : р € Ьр(Щ -*М°,р> 2 и производные функции д{£) = Тар вычисляются формулами
(£/>)„ = р(х) + (твр)г = и>г(г)ёвр,
где ¿ар - сингулярный интеграл, который существует в смысле главного значения, : ¿р(П) ЬР{И) и удовлетворяет условию (31).
В §§3,6. - 3.7 исследуется вспомогательная задача отыскания решений неоднородного уравнения Бельтрами
(33)
из класса М®, г > 0, (¡{г) £ С?, О < а < 1, /(г) - удовлетворяет условию (31) и /(«) е Ьр{О), р > 2.
1,Пусть ш(г) - о.к.г. уравнения Бельтрами и решение уравнения (33) в полюсах ЬьЬо, • " • Ьг имеет соответственно главные части вида (28).
Приведем результаты §3.7 из которых следуют результаты §3.6 при Р = 0. Показано, что при Р 6 Г' уравнение (33) имеет решение с главными частями вида (28) лишь при выполнении условия
г
Сл
а
где число <1 то же самое, что и в теореме 3.5.2, с^' = А^ехрёи(6д,.). Прп О £ Г' уравнение всегда имеет решение с главными частями вида (28) для любо# правой части,
2, Пусть теперь решение уравнения (33) допускает полюсы £>1,62, ••• ,ЬГ и нули оьаа, • • • ,аг внутри параллелограмма П и выполнены условия теоремы 2.7.1. Тогда функция
I / \ оМг) ~ ш(а)Мш(г) - ц(а2)) • • • <т{ш(г) - Цог)) , . Щг} а{ф) ~ М*) - ш{Ьг)) ■ ■ ■ а{ш{г) - а){ЪГ))' Ы J
где ш(г) = ш(а\) + тН\ + пк2, т,п - некоторые целые числа, причем при -О е Г', г >2 удовлетворяет однородному уравнению (33).
Теорема 3.7.3. Пусть А - полюсы и аиа2,--- ,аг - нули ре-
шения уравнения (33) ш класса Л/Д г >2 и <р~\г)/(г) <= Ц, р > 2, ф)
имеет вида (34). Тогда для разрешимости уравнения (33) в классе Мг > 2 с заданными нулями и полюсами, необходимо и достаточно, чтобы
JJüJz(z)<p-1(z)f(z)dQ = 0
и все его решения представляются в виде
гфНу^с + Т^-1™^
где с - произвольная постоянная.
Следствие 3.7.3. Уравнение (33) фредгольмово в классе Щ?. В §3.8 изучается вопрос существования и нахождения двоякопериодических
решении класса для однородного уравнения вида.
гиг - + а(г)ш + Ь(г)Ш = 0, (35)
где д(г) е С?, О < а < 1, а, Ъ € Ь*р, р> 2.
Теорема 3.8.6. Для всякого решения уравнения (35) из класса р> 2, справедлива формула представления
w(z) = Ф(ф))ехр
ИМ]
(36)
иди ф(г) = Ф(ф)) обобщенная эллиптическая функция кшсса ,
1
ф) + Ъ(г)
dO, если ш^О, при w = О,
ж п
Формула (36) устанавливает, с точностью до постоянного множителя, взаимное однозначное соответствие между решениями уравнения (35) и обобщенными эллиптическими функциями класса М^, где число Б определено в теореме 3.8.5. Связь, осуществляемая формулой (36), является нелинейной, если Ь(г) ф 0. Если Ь(г) = 0,
то формула (36) дает общее представление всех решений
уравнения
- ф)ш2 + ф)ш = 0 (37)
из класса \у1р,т, р > 1, г > 0. С! помощью теорем 2.7.1 -2.7.3 выписываются все решения уравнения (37) посредством обобщенных эллиптических функций
второго рода класса М?, где О = оо = - //и>г(г)а(2)с1П.
Ж Л
Как в главе I, формула (36) записывается в виде
w(z) = v(z)exp
-Т( Ь
W о.
где v(z) = Ф(и(г))ехр(—Т<;а) является решением уравнения (37), имеющим те же особенности, что и w(z) - решение уравнения (35) из класса.
где
И-'^.г, р > 2, г > 0, и к функции V(z) — ехр
Тс(р)о = T(p(z) - Т$р{го), V{z0) = 1, строится двоякопериодическая функ-*
ция класса Wp, р > 2. При этом в формуле (36) предполагается, что D — üq
II
wz(z)b(z)^\dVt = 0. to(z)
Теорема 3.8.7. Пусть - решение уравнения (37), имеющее те же
*
особенности, что и ш(г) - решение уравнения (35) из класса \У1Р>Г- Пусть го - фиксированная точка из области П, ги(го) = фо) и выполнено условие
II
Azh
ut{z)b(z)-f±V(z)<Kl = 0,
где
V(z) = 1 + JJ S¡(t, z)dü + JJ S%(t, z)dü,
(38)
п п
5| ркяольатты интегрального уравнения
У(г) + ЩЬ7) 0=1.
Здесь Тср0 = ?ср(г) - Т^(го), Ь(г) = Тогда решение уравнения (35)
*
из класса представляется в виде
w(z) = v(z)
1 +
JJ S¡(t, z)dü + JJ Sv2{t, z)dÜ
(39)
где S¡(t,z0) = Sli(t,z0) = Q.
Эта теорема является обобщением теоремы 1.6.6.
С помощью формулы (39) по заданной обобщенной эллиптической функции класса Л/Гй, D = <ю, можно построить решение уравнения (35) с заданными полюсами, а также с полюсами и нулями.
Слсдстпис 3.8.3. Пусть выполнены условия теоремы. Я.8.7. Тогда всякое
*
решение уравнения (35) из класса W*, р > 2 представимо в виде
icexpl-du(z) - f^a)V{z), если а0 £ Г', О, если ао & Г',
где некоторая постоянная, а постоянная d удовлетворяет уравнению exp[dh + а0Щ = 1, V(z) имеет вид (38), Vfa) = 1, w(z0) = cexp{-doj(z0) -7сфо)1, v = cexp[-düj(z) - Т^а].
В §3.9 описываются ядра и коядра задачи для неоднородного уравнений
i% - q{z)wz + a(z)w + b(z)W = f(z). (40)
Сначала, рассматривается Уравнение вида
W? - q(z)wz + a(z)v) = f{z) (41)
*
и выписываются все решения этого уравнения в классе W1^, р > 2. Формула
гф) = <p(z)exp(-T(a) устанавливает эквивалентность между решениями уравнения (41) из класса
w\,r И решениями уравнения (33) из класса М?, где D - а0. Поэтому теоремы 3.7,1 - 3.7.3 справедливы и для решений уравнения (41) (теоремы 3,9.1 - 3.9.3). Из этих теорем при г = О, D = с0 следует
Следствие 3.9.1. Пусть а0 € Г'. Тогда однородное уравнение (41) в классе р > 2 имеет ненулевое решение ф) = -dw(z) - Т(а, где d удовлетворяет уравнению exp\dh + а0гЦ = 1, а для разрешимости неоднородного уравнения (41) необходимо и достаточно, чтобы
JI Vt(t)f(t)ip-\t)dn = 0.
о
При этой все решения, уравнения (41) выписываются формулой где с произвольная постоянная.
Слсдстпис 3.9.2. Пусть ао Тогда уравнение (41) при любой прааой
*'
части / е L* имеет единственное решение из класса р> 2, в виде w{z) - exp(-f^afj„(fexpT^a)).
*
2. При b{z) ф 0 общее решение уравнения (40) из к„';асса iy^r, р > 2 представляется в виде
гф) = №0(г) + Wi(z), (42)
где №о(г) - решение однородного уравнения, построенного в теореме 3.8.7, a Wi(z) - искомое частное решение неоднородного уравнения. Если решение
уравнения (40) допускает только полюсы, то частное решение неоднородного
#
уравнения находится в классе р > 2. При этом для решения соответствующего однородного уравнения предполагается, что ныполнены условия теоремы 3,8.7 и доказывается аналоги теоремы 1.7.4 - 1.7,5. В случае а0 6 Г' находится достаточное условие разрешимости па правые части уравнения. Когда ао # Г', доказывается, что неоднородное уравнение (40) разрешимо для любой правой части / € L*, р > 2, а однородное уравнение имеет нетривиальные решения.
Пусть *еперь решение уравнения (40) допускает нули и гюлюсы. Тогда справедлива
Теорема 3.9.6. Пусть w(z) - о.к.г. уравнения Быътрами, bi,b2,- ■ ■ ,br -полюсы и 01,(22,- • ■ ,аг - нули решения уравнения (40) связаны условием
г
£(и(Ьк) - w(iijfc)) = а0
k=1
и г?(г) - решение уравнения (37) с этими полюсами и нулями. Пусть zq 6 fl фиксированная точка, а для решения соответствующего однородного уравнения (40) выполнены условия теоремы S.8.7, v~1(z)f(z) € L*, р > 2, и, кроме, того, выполняется условие
Jj u,(t)h(t)~^(Fj(m = Jju>t{t)h{t)dü.
о о
Ьф) = ф)ф)/ф), h(z) = v~1(z)f(z),
1-3(2) = Tc/i + jj S\{t,z)fcjidü + Jj S»2{t,z\Tjidn, fi n
где Si,S2 ртхльаенты интегрального уравнения
V3(z) +ТсШ)о = Tifu ъЫ = T(fi{zo), Тс(р)о = Тф) - Ш
Тогда уравнение (40) в классе W1p^r с поданными полюсами и нулями имеет решение вида
w(z) = v(z)[V(z)+v3(z)}.
Здесь V(z), как в теореме 3.8.6.
В §3.10 указываются способы построения двоякопериодических решений
общего уравнения (1). Сначала для уравнения (1) доказывается теорема о
*
представлении решения в классе Wlp,r, р > 2, с помощью которой для однородного уравнения устанавливаются необходимые условия существования решения. В этом случае о.к.г. уравнения Бельтрами нельзя считать фиксированным. Поэтому предложены два способа получения двоякопериодических решений уравнения (1): 1) с помощью о.к.г. некоторого уравнения Бельтрами задача нахождения двоякопериодических решений уравнения (1) приводится к задаче нахождения двоякопериодических обобщенных аналитических функций (теорема 3.10.7). 2) при помощи невырожденного аффинного преобразования, уравнение (1) приводится к уравнению вида (40).
Теорема 3.10.1. Пусть функция w(z) является двоякопериодическим ре-
*
шением уравнения (1) из масса Wlv<r, р > 2, г > 0. Тогда 1) при
^ = ж II(а + bw) ^ е Г'
справедлива формула
w{z) = exp{-duj{z) - Т^А) |ф(ш(2)) + fc fexp{duj(z) + ТСЛ)) } ,
где Ф{u>(z)) - обобщенная квазиэллиптическая функция, удовлетворяющая условию
ФИ*) + h) = Ф(ш(г)) + ¡//о, /о = ~JJ ut(t)f(t)exp(du + TcA)<m,
n
h — тфх +m2h2, ц = тхщ + т2г}2, постоянная d удовлетворяет уравнению exp[dh + Atff\ = 1, ui(z) - о.к.г уравнения Бмьтрами
<Pz ~ q{z)tpz = 0, q(z) = qi(z) + q2(z)—, A = a + b~.
wz w
2) при Ao & Г" имеет .место форл1ула
w(z) = ехр(-Т<А) {фх(ы(г)) + Ta(fexpT(A)} ,
но
где Ф^сф)) - обобщенная эллиптическая функция второго рода, удовлетворяющая условию
Ф^сф) +%) = ехр(т}Аа)Ф1{ш(г)).
Четвертая глава посвящена приложениях! результатов глав 1-Ш к задаче нахождения двоякопериодических решений для некоторых классов многомерных эллиптических систем и нелинейных уравнений.
В §§4.1 - 4.5 решается задача нахождения двоякопериодических по каждой переменной (при фиксировании остальных) решений переопределенной системы
дхи
—- = арБ + Ь^т + с,-, ] ,п, (43)
02 у
где й], Ъс^ - заданные двоякопериодические по каждой переменной функции, а V) - искомая функция. 11острое,нпя периодических решений для системы (43) в случае ~ Ь^ = с^- = 0 даны в монографии А.И.Маркушевича, когда матрица периодов есть матрица Римана. Система (43) изучена Л.Хермандером (в случае о,- = = 0), Л.Г.Михайловым, В.Н.Паламодовым и Г.А.Магомедовым, В.Тучке.
Обозначается через с'" пространство функций заданных на С", удовлетворяющих условию
Щ _
/(гь- • • ,г,- + т\Щ + т2/г*;,• • • ,г„) = 1тф0, ] - 1,п
(т^Шг - целые числа) и принадлежащих классу Ст(П) ПСт-1(П), т > 1, где Й = й] х Пг X ■ • ■ X 9-п, - параллелограммы периодов на плоскости
При условии, что о,-, Ь], с] € С, и удовлетворяются те необходимые условия, когда система может иметь нетривиальные многообразия решений, отыскиваются решения системы (43) из класса С*. В случае матрицы Римана общего вида (матрица периодов) вопрос о нахождении решений системы остается открытым. В случае постоянных коэффициентов для однородной системы (43) нами было дано распространение теоремы Лиунилля из которых следует, что многообразие решений С; тривиальное и может принимать следующие размерности: 0,1,2. Показано, что это утверждение справедливо и для переменных коэффициентов.
При исследовании системы (43) выделяют два случая: 1) ак = 0 для всех к\ 2) ад. ф 0 хотя бы для одного к, к = 1,2, • ■ • , п.
В §§4.1 - 4.2, которые носят вспомогательный характер, строятся многомерный аналог формулы представления функций класса С», а также двоякопериодических функций второго рода, с помощью эллиптических функций
Вейерштрасса Çj = фД о, = cr(zj), j = 1,2,-•■ ,n. Даются условия существования и формулы представления решений класса С? для переопределенной неоднородной системы уравнений Коши-Римапа..
В §4.3 рассматривается случай, когда ак = 0 для всех к и полностью выписываются решения в зависимости от того, что b° G Г или b° g Г, где У = X). Г = Г1ХГ2Х...ХГ„, Tj {mih)+m2hj}, j = 1,2,
bj = lfJbi(Zu'" >T*'"
n,
- постоянные числа.
В §§4.4.-4.5 доказывается фредгольмовость задачи нахождения решения системы (43) в классе С,2. Когда 0 Г, однородная система имеет только нулевое решение, а неоднородная система всегда имеет решение.
В §§4.6-4.7 изучается вопрос существования и нахождения двоякопериоди-ческих обобщенных голоморфных векторов с периодами h\,h2, Im(h2/hx) ф О, то есть двоякопериоднческих решений системы уравнения (2), где Q е С", О < а < 1, A, b,f е L*, р > 2. Решение уравнения (2) ищется в классе
И?, Р> 2.
В §4.6 поставленная задача эквивалентным образом сводится к сингулярному интегральному уравнению. Применяя методику, разработанную В.С.Виноградовым, удастся доказать , что индекс сингулярного интегрального уравнения равен нулю.
*
Теорема 4.6.3. Уравнение (2) фредголъмово в классе Wp, р> 2. *
В §4.7 в классе Wp, р > 2, даются описание ядра и коядра задачи для уравнения вида
Lw = w-S + Aw = f{z), (44)
где А, / е Lp, р > 2. Сначала для постоянной матрицы А, на основе результатов главы I, полностью описывается ядро и коядро уравнения (44). Затем для переменной матрицы A{z) доказывается
Теорема 4.7.4. Пусть U{z) - фундаментальная матрица двоякоперио-дических регулярных решений однородной системы (44). Тогда для разрешимости неоднородной систшы необходимо и достаточно, чтобы
JJ U-1(z)f(z)dtt = Q.
п
При этом все ее решения выражаются формулой
w(z) = U(z)[c + T((U-lf)},
где с - произвольный постоянный вектор.
В частности, если матрица А(г) удовлетворяет условиям
А^)АЫ = ¿(гаМЫ Ъ е Ц = 0. (45)
п
то фундаментальная матрица, С1(г) имеет вид
и(г) = ехр{-Т(А{х)), 1/(0) = Я,
о
где Е - единичная матрица, Т^ р{г) = Т^р(г) - .
Теорема 4.7.5. Пусть матрица Л(г) £ Ь*,р> 2 удовлетворяет условию (45) и Ах, А2, • • • , Ат - собственные .щачения матрицы
п
Тогда при Лх, Лз, * • • , Аг € Г, I <т, однородная система (44) имеет ровно I
*
линейно независимых решений в классе Ир1, р> 2.
Теорема 4.7.6. Пусть выполнены условия теоремы 4.7.5 и
Л? £ А ] => 1,2, ••• ,т. Тогда однородная систша (44) имеет только ну*
левое решение в классе И^, р > 2. *
В §4-8 в классе И'р, р > 2, доказывается фредгольмовость эллиптического уравнения второго порядка
щ, + а(г)юх + Ь{г)и>г + ф)ги ~ /(г), а, Ь,с,/€ I*, р > 2.
К такому уравнению можно привести, с помощью квазипериодического гомеоморфизма некоторого уравнения Бельтрами (глава II), некоторую систему равномерно эллиптических уравнений второго порядка общего вида.
В §4.9 даются приложения функции Вейерштрасса р(у(г)), ш(г) - о.к.г. уравнения Бельтрами к нахождению решений некоторых Нелинейных уравнений.
1, Рассматривается квазилинейное уравнение
- ^(г.™)^ ~ 92= А(г,ю)'к1, (46)
где функции ql,qг и А двоякопериодические по г с основными периодами Л), /г2, 1т(к г//н) ^ 0 ПРИ каждом фиксированном двояко периодическом и>(г) с периодами /ц, Лг, причем в основном параллелограмме периодов И и Ихг)|-б[0,оо],
|9х(г,«>)|-|-|да(г,«01 <9о< 1, (-17)
HS
A{z,w)eL'f, P> 2.
Теорема 4.9.1. Пусть w(z) обобщенное двоякопериодическое решение уравнения (46) с периодами huh2, Im(h2/hx) Ф 0 и после подстановки решения в коэффициенты quq2 и А, полученные функции qi(z),q2(z) удовлетворяют уыовию (47) и qi(z),q2(z),Ä(z) б С?, О < а < 1. Тогда существует обобщенная эллиптическая функция Ф(ш) такая, что справедливо представление
w(z) = Ф(ф))еЦ где ш(г) - о.к.г. уравнения BejibmpaMu
wj - q(z)wz = О,
»—■ _ jjj_ ^ _
q ~ gi(z) + q2{z) = qi(z,w) + q2(z,u>) — . Ф(ш + hi) = е-г»АаФ(ш), Ф(ш + h2) = е-гкЛ«Ф(и),
Ao = \ jjUz{z)ÄdQ.
Из этой формулы следует ряд свойств двоякопсриодичсских решений уравнения (46):
1) если N - число нулей, Р - число полюсов решения уравнения (46), то необходимо N = Р;
2) при Ло € Г', Г' = {mihi + m2h2}, порядок полюсов решения г > 2, а при Л0 g Г', г > 1;
3) для регулярных решений уравнения (46) справедлива формула
{сехр(ТсАо + dtv(z)), если Л0 S Г', О, если Ло £ Г',
где с - некоторое постоянное число, а постоянная d удовлетворяет уравнению
exp(dh + ?7Л0) = 1.
2. Рассматривается, так называемое, уравнение Всйсрштрдсса-Бельтрами
(wj - q{z)wz)2 = f(z)(a0w4 + 4а!«;3 + 6a2w2 + 4 aytv + а4), (48)
где q(z),f(z) - заданные двоякопериоднческне функции с периодами hi,h2, Im(h2/hi) > 0, причем |ф)| < q0 < 1. Многочлен в пряной части (а0, ai, а2, аз, ^-постоянные) не имеет кратных корней. Показывается, что если периоды функции р[и) huh2 являются решениями системы
( ! 60Х) (mihl + m2h2)'i = 92, 140^ (mihi + m2h2)'6 = g3,
.4-1
д2 — аой4 - 4а1аз 4- За|, дз = 000204 - 2а\а2а3 - а^ - аоа2 - ф), /(г) € С0 < а < 1, сф) -о.к.г. уравнения Бельтрами с периодами Ль/г2 и выполнены условия
I! аф)ф)<Я) = Ц шгШ(х)(К1 = О,
Р. п
то уравнение (48) имеет решение вида
_ ар{ф)+с)+0 7 р(ф)+с)+6'
с периодами /ц, /г2, где с - некоторая постоянная, а постоянные а, ¡3, 7,5
выбраны так, чтобы а.6 — 3-у = 1,
<?(*) = * + £& + /).
Т^ - как в главе III.
3. Находится решение нелинейного обобщенного стационарного КдФ-уравнепия
и^тг = + + ф)»2 + /(г), (49)
где а(г),Ь(г),с(г), /(г) - заданные двоякопериодические функции с периодами Ль/го, /т(Л2/Л1) > 0. Для постоянного ф) и Ь = с = / = 0, получим стационарное КдФ-уравнения. Показывается, что если 12/(г) = -е?ф), й ф 0
- постоянная, а периоды функции р(и) /гь Ы определены формулами
= бО^ +т2г)~4, /11 = Ь2г,
¡ф) - о.к.г. уравнения Бельтрами, построенный на периодах К\,к2, ш(0) = 0, сф + Л) = сф) + Л и коэффициенты уравнения (49) и сф) связаны некоторыми соотношениями, то функция
гф) = р(сф) +с)
является решением уравнения (49). с - некоторая постоянная.
4. Показывается, что уравнение с постоянными коэффициентами
Дгу = аи>3 + Ьад2 + сш + сI, Лги = 4гугг
- оператор Лапласа, когда а ф 0, |63 + 27а?(1\ ф 216|а|2, Ь2 = 3ас допускает решение вида
/ ^ 1 ь Щг) = ——гг ~
р(г + дг) За
ш\ — qüJi и>2 — qTD2 с периодами hi = --¡-гр, h2 = --ртг.
1-tor 1-19Г
шо = + т2ехр[2т1Ъ]У\ и>2 = сле2"/3
где q = b3 + 27a2d/216a2, p(u) - имеет периоды wi,^.
5. Показано, что нелинейное уравнение вида
Wj 4- a{z)w(z + hi) + b(z)w(z + h2) + c{z)w(z + hi)w(z + h2) = 0,
где hi, h2 - постоянные, когда Imfa/hi) Ф 0 можно интегрировать с помощью двоякопериодических обобщенных аналитических функций с периодами hl, /i-2 (см. гл.1).
Публикации по теме диссертации
В рецензируемых изданиях из списка ВАК
1. Сафаров Д.С. Периодические решения эллиптических систем первого порядка // Дифференциальные уравнения Н)Мг., т.17.№8. е. 1468-1477.
2. Сафаров Д.С. О теореме Лиувилля для обобщенных аналитических функций многих комплексных переменных // Математические заметки. 1982, т.31, №1, с.33-42.
3. Сафаров Д.С. Двоякопсриодичскис обобщенные аналитические функции // Дифференциальные уравнения 1991г., т.27.№4. с.656-664.
4. Safarov D.S. On Double-Periodic Solution of Firsi. Order elliptic System // Complex Variables. 1994, vol.26, pp.117 - 181.
5. Сафаров Д.С. Двоякопериодическне решения равномерно эллиптической системы первого порядка // Доклады РАН, 20Юг, т.430, №4, с.454 - 457.
6. Сафаров Д.С. Двоякопсриодичсскис обобщенные аналитические функции // ДАН Тадж.ССР, 1981г., т.25, №3. с.535-538.
7. Сафаров Д.С. О двоякопериодических обобщенных аналитических векторах // ДАН Тадж.ССР, 1982г., т/24, №9. с.141-144.
8. Сафаров Д.С. Периодические решения эллиптических систем первого порядка па плоскости // ДЛИ Тадж.ССП', 1985г., т/28, Х'12. c.(i92-694.
9. Сафаров Д.С. О нулях периодических решений уравнения Бсрнулли // ДАН Тадж.ССР, 1986г., т.29, №12. с.721-724.
10. Сафаров Д.С. Простые обобщенные аналитические функции, автоморф-ные относительно элементарных групп. 1. Двоякопсриодичсскис решения // Изв. АН РТ, отд. физ.-мат., хим. наук, 1992г., №4(4), с. 15-21. (Пока-зеев В.И. - соавтор)
11. Сафаров Д.С. Двоякопериодическне решения уравнения Бельтрами /./ ДАН РТ, 2007г., т.50, №4, с.301-305.
12, Сафаров Д.С. Об обобщенных эллиптических функциях // ДАН РТ, 2008г., т.51, №5, с.331-339.
13. Сафаров Д.С. Об одном классе периодических обобщенных аналитических функций многих комплексных переменных // ДАН РТ, 2008г., т.51, №6, с.403-411.
14, Сафаров Д.С. Двоякопсриодичсскис решения равномерно эллиптической системы первого порядка // ДАН РТ, 2009г, т.52, №6, с.42о - 430.
В других изданиях
15. Сафаров Д.С. Теорема Лиувилля для обобщенного голоморфного вектора // Труды международной конференции ''Обобщенные функции и их приложения в математической физике" Москва, 1981г., с.482.
И). Сафаров Д.С. Периодические решения нелинейных эллиптических систем первого порядка // Материалы конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики - вторые Бого-лгобовские чтения". Киев, 1992г. с. 167.
17. Сафаров Д.С. Об одном признаке отсутствия периодических решений эллиптических систем первого порядка // Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами". Душанбе, 1996г., с. 81.
18. Сафаров Д.С. Об одном обобщении КдФ-уравнсния // Сб. научных трудов "Нелинейные краевые задачи и их приложения". Киев, 1996г., с. 240.
19. Сафаров Д.С. Периодические решения переопределенных систем уравнений Коши-Римана // Сб. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения". Душанбе, 1997г., с. 103 - 107.
20. Сафаров Д.С. О двоякопсриодичсских обобщенных голоморфных векторах с переменной матрицей // Труды международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Душанбе, 1998г., с. 78.
21. Сафаров Д.С. Двоякопериодические решения многомерных систем обобщенных уравнений Коши-Римана // Материалы Международной конференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту, посвященной 50-летию ТГНУ. Душанбе, 1998г., с.73.
22. Сафаров Д.С, Двоякопериодические решения для одного класса эллиптических систем второго порядка // Материалы международной конференции '"Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа". Душанбе. 2005г., с. 174 - 175.
23. Сафаров Д.С. Двоякопсриодические решения одного класса нелинейных эллиптических систем второго порядка // Материалы Международной конференции "Математика и информационной технологии" посвященной 15-летию независимость РТ. Душанбе, 2006г., с. 74 - 75.
24. Сафаров Д.С. Интегральны с представления двоякопсрнодичссхих функций // Материалы международной научной конференции. Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики'', посвященной 70-летию академика Усмапова '1Д. ИМ ЛИ РТ, Душанбе, 2007г., с. 115 - 117.
25. Сафаров Д.С. О многообразие периодических обобщенных аналитических функций со многими независимыми переменными // Материалы республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений" ггосвящешюи 75-летню со дня рождения академика Джураева А.Д. ИМ АН РТ, Душанбе. 2007г с. 67 - 68. '
26. Сафаров Д.С. Об обобщенных эллиптических функциях // Материалы республиканской научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" посвященной 60-летию образования ТГПУ и 70-летию академика Раджйбова Н.Р. Душанбе, 2008г., с. 76 - 77.
27. Сафаров Д.С. К теории обобщенных эллиптических функций // Материалы международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложения // , посвященной 70-летию ректора МГУ академика И.Л.Сндоппичего. Москва, МГУ, 20№)г., г. 20.4 - 204.
28. Сафаров Д.С. О решении обобщенных нелинейных систем уравнений Копта - Римана в форме Всйсрштрасса // Материалы тринадцатой международной научной конференции имени академика М. Кравчука. Киев, 2010г., с. 362.
Подписано в печать 05.08,10. Формат 60x84, Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Отпечатано в типографии ООО «Ховарон»
Введение
1 Двоякопериодические обобщенные аналитические функции
1.1 Некоторые сведения из теории эллиптических функций
1.2 Эллиптические функции второго рода. Квазиэллиптические функции.
1.3 Интегральные представления функций классов С*, W1Ptr и Mf, р > 2, г =
1.4 Решение неоднородного уравнения Коши-Римана в классе двоякопериодических функций второго рода.
1.5 Обобщенные решения неоднородного уравнения Коши-Римана в классе MjP
1.6 Решение однородного уравнения обобщенных аналитических функций в классе W1P)r, р > 2.
1.7 Решение неоднородного уравнения обобщенных аналитических функций в классе Wlp,r, р > 2.
2 Двоякопериодеские решения уравнения Бельтрами
2.1 Некоторые свойства решений уравнения Бельтрами.
2.2 Построение квазипериодического гомеоморфизма уравнения Бельтрами.
2.3 Формула Грина и ее следствия.
2.4 Обобщенные эллиптические функции и их свойства.
2.5 Обобщенные функции Вейерштрасса.
2.6 Выражение обобщенной эллиптической функции через функции o-(cv(z)), p(w(z))
2.7 Обобщенные эллиптические функции второго рода. Обобщенные квазиэллиптические функции.
3 Двоякопериодеские решения системы уравнений эллиптического типа общего вида
3.1 Свойства решений систем уравнений (3.0.3) - (3.0.5)
3.2 Достаточные признаки отсутствия ненулевого решения уравнений (3.0.4)
3.3 Разрешимость уравнения (3.0.1) в классе
Wp, р> 2.
3.4 Интегральные представления двоякопериодических функций через диффренециальный оператор Бельтрами.
3.5 Интегральное представление двоякопериодических функций второго рода через дифференциальный оператор Бельтрами
3.6 Двоякопериодические решения неоднородного уравнения Бельтрами.
3.7 Решения неоднородного уравнения Бельтрами в классе двоякопериодических функций второго рода.
3.8 Двоякопериодические решения однородного уравнения (3.0.4)
3.9 Двоякопериодические решения неоднородного уравнения (3.0.4).
3.10 Двоякопериодические решения эллиптических систем общего вида.
4 Двоякопериодические решения многомерных эллиптических систем обобщенных уравнений Коши-Римана
4.1 Многомерная формула Коши-Грина в классе С*.
4.2 Решение неоднородной многомерной системы уравнения Коши-Римана в классах Cl MD
4.3 Решение системы (4.0.1) в случае а^ =
4.4 Решение однородной системы (4.0.1) и некоторые достаточные условия отсутствия ненулевого решения.
4.5 Решение системы (4.0.1) в общем случае.
4.6 Двоякопериодические обобщенные голоморфные векторы
4.7 Двоякопериодические решения для одного частного случая системы обобщенного голоморфного вектора.
4.8 Двоякопериодические решения некоторых классов эллиптических систем второго порядка.
4.9 Нелинейные уравнения
1. Альфорс Л. Лекции по квзиконформным отображениям. М.: Мир, 1968, 132с.
2. Атья М.Ф.,зингер М.И. Индекс эллиптических операторов на компактных многообразиях. -Математика сб. переводовю 1966, т.10,№3,с.29-38.5. ахиезер И.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука. 1970, 304с.
3. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961г., 208с.
4. Берс Л. Джон Ф.,Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966, 351с.
5. Бесов О.В.,Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: 1975г.,480с.12. белинский п.п. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск, Наука, 1974, 98с. ,
6. Б ЛИЕВ H.K Обобщенные аналитические функции в дробных пространствах. Алма-Ата. 1985г., -с. 160.14. бойматов к.х., Джангибеков Г. Об одном сингулярном интегральном операторе// Успехи матемаических наук. 1988г., т. 43, вып.3/266, с. 171 172.
7. БОЯРСКИЙ Б.В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами// Матем.сб. 1957г.,т.43(85). №4, с451-503.
8. БОЯРСКИЙ Б.В. Исследования по уравнениям эллиптического типа на плоскости и граничным задачам теории функций// Док. дисс. МИ-АН СССР, 1960.
9. БОЯРСКИЙ Б.В. Теория обобщенного аналитического векто-ра//Ann.Polen.Math. 1966, 17, с,281-320.
10. БИЦАДЗЕ A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981г., 448с. '
11. ВЕКУА И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.:- 1948г., -с.296.
12. ВЕКУА И.Н. Об одном методе решения краевых задач уравнений в • частных производных//ДАН СССР, 1955, т.101,№4, с.593-596.
13. ВЕКУА И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз. 1959г., 628 с.
14. ВИНОГРАДОВ B.C. Об одной краевой задаче для линейных эллиптических систем дифференциальных уравнений первого порядка// Докл. АН СССР. 1958, т.118, №6, с.1052-1062.
15. ВИНОГРАДОВ B.C. О теореме Лиувилля для обобщенных аналитических функций// ДАН СССР, 1968г., т. 183, с. 503 506.
16. ВИНОГРАДОВ B.C. Исследование граничных задач для эллиптических систем первого порядка// Док.дисс. МИ им. В.А.Стеклова АН СССР, М.: 1972.
17. ВИНОГРАДОВ B.C. О решениях степенного роста для систем эллиптического типа//Комплексный анализ и его применения. Сборник статей посвященной 70-летию академику И.Н.Векуа. 1978г. .с.120-125.
18. ВИНОГРАДОВ B.C. О разрешимости одного сингулярного интегрального уравнения // ДАН СССР, 1978, т.241,№2, с.272-274.
19. ВИНОГРАДОВ B.C. О теоремах типа Лиувилля для уравнения обобщенных аналитических функций // Дифф. уравн. 1980г.,t.XVI, №1, с.42-46.
20. Виноградов B.C. Об одной граничной задаче для эллиптической системы специального вида// Дифф. уравн. 1971г.,т.VII. №7. с. 12261234.
21. ВИНОГРАДОВ B.C. О построении регуляризаторов для эллиптических граничных задач на плоскости // Дифф. уравн. 1990г.,т.26. №1, с.16-23.
22. ВЛАДИМИРОВ B.C. Методы теории функции многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964г., -с.414.
23. ВЛАДИМИРОВ B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976г. -с.512.
24. Вольперт А.И. Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем уравнений на плоскости//Труды московского Матем. общество. 1961, т. 10, с.41-87.
25. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теорий функций комплексного переменного. М.: Наука,-1970г., •• 320с.34. гахов Ф.Д Краевые задачи.М.: Наука, 1977г., 640с.
26. КОМЯК И.И. Условия нетеровости и формула индекса одного класса сингулярных интегральных уравнений по круговой обла-сти//Дифференц. уравн. 1980г., т.16, №2, с. 329 343.
27. КРУШКАЛЬ С.Л. Квазиконформные,отображения и римановы поверхности// Новосибирск, 1975г., 195с.
28. КУРАНТ Р. Уравнения с частными производными. -М.: Мир, 1965, 830 с.
29. КРЕЙН С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971, 203 с.
30. ЛАВРЕНТЬЕВ М.А. Общая задача теории квазиконформных отображений плоских областей//Матем. сб. 1947, т.21(63), вып. 2, с.285-320.
31. ЛАВРЕНТЬЕВ М.А. Основная теорема теории квазиконформных отображений плоских областей//Изв. АН СССР, сер. матем.,12 (1948), с.513-554.
32. ЛАВРЕНТЬЕВ М.А., ШАБАТ Б.В. Методы теории функции комплексного переменного.М.: 1973г., 736с.
33. ЛЕНГ С. Эллиптические функции.М.: Наука, 1984г.,311с.48. лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами'анализа. М.:'Наука, 1981г., 384с.
34. Маркушевич А.И. Введение в классическую теорию абелевых функций. М.: Наука, 1979, 240с.
35. Магомедов Г.А., паламодов В.П. Обобщенные аналитические функций многих переменных// Матем.сб. 1978г., т.106(148), ,№4(8), с.515-542. \
36. МИХАЙЛОВ Л.Г.Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Душанбе, Дониш, 1986, 117с.
37. НИКОЛЬСКИЙ С.М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах// Изв. АН СССР сер.математ. 1943г., т.7,№3, с.147-166.
38. ПОЛОЖИЙ Г.Н. О р-аналитических функциях комплексного пере-менного//ДАН СССР,58(1947), с:1275-1278.
39. ПОКАЗЕЕВ В.И. Об одном представлении обобщенных аналитических функций//ДАН СССР, 1963г., 155, №3, с.528-531.
40. ПОКАЗЕЕВ В.И. Аналитические функции Аппеля в случае двоякопе-риодической группы.Деп в ВИНИТИ 18.07.1983, №4025 83.62. прасолов В.В., Соловьев Ю.П. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. М.: "Факториал". 1997г., 288с.
41. РОДИН Ю.Л. Алгебраическая теория обобщенных аналитических функций па замкнутых римановых поверхностях// ДАН СССР, 1962, т. 142, №5, с.ЮЗО 1033.
42. РОДИН Ю.Л. К алгебраической теории эллиптических систем дифференциальных уравнений первого порядка// ДАН СССР, 1963, т.150, №6, с.1228 1231.
43. СОБОЛЕВ С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск. СО АН СССР, 1962г., 255с. •
44. СОЛДАТОВ А.П. Метод теории функций в краевых задачах на плоскости. 1.Гладкий случай.// Изв. АН СССР. сер. матем., 1991г., т.55,№5, с.1070-1100.
45. ТУЧКЕ В. Теорема Гартогса для обобщенных аналитических функций многих комплексных переменных//ДАН СССР, 1970г.,т.193. №4, с. -.
46. УСМАНОВ З.Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой. Душанбе, 1993г., 345с.
47. Форстер О. Римановы поверхности. М.: Мир, 1980г., 248с.
48. ХЕРМАНДЕР Л. Введение в теории функции нескольких комплексных переменных. М.": Мир, 1968г., 280с.
49. ХЕРМАНДЕР JI. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1986г., 455с. Т.З. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1987г., 694с.
50. ШАБАТ Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.2. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1976г., 400с.
51. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы. М.: Наука, 1978г. ,279с.
52. ЯНУШАУСКАС А.И. Многомерные эллиптические системы с переменными коэффициентами. М.: Наука, 1978г., 279с.75. чибрикова Л.И. О граничных задачах для прямоугольника. Ученые записки КазГу им. Улянова Ленина, 1963г., т. 123, №9 с.-.
53. Beger М. and Gilbert R.P. 'Das Randwert-Nortproblem fur ein fastlineares elliptisches System and eine Anwendung// Ann. Acad. Sci.Fenn. AI, 3(1977), pp.179-184.
54. BERS L. Theory of pseudoanalytic functions. New York. 1958, pp.-.
55. Bers L. and Nirenberg L. On a representation for linear elliptic systems with discontoonnous coefficients and its appiliantoons//In: Confegno internar equarioni lineari alle derivate partiali. Roma: 1954? 1955/ pp.111 140.
56. Calderon A. and Zygmund A. On the existence of certain singular integrals. Acta Math. 1952 v.88,№l-2, pp.85-139.
57. CARLEMAN A. Sur les Systems lineaires aux derivess partielles du premiev ordre a deux variables. C.R. 'Paris 197(1933), pp. 471-474.
58. DOUGLAS A. A function theoretic approach to a elliptic systems of equation in two variables. Comm. Pure Appl. Math. 6(1956), pp.259-289.
59. HABETHA K. On zeros of elliptic systems of first order in the plane. Function Theoretic Methods in Differential Equations. London, Pitman Press, 1976, pp-45 -62.
60. GILBERT R.P. Constructive metods for elliptic equations// In: Lecture Notes in Math. №355, Berlin, Springer-Verlag. 1974, pp
61. Gilbert R.P., Wendland W.L. Analitic, generatizethyperanalitic function theory and application to elasticity// Proc. Rog. Soc. Edinburgh, 1974/75, 73 A, №22, pp. 317 331.
62. GOLDSCHMIDT В. Functionen-theoretische Eigenschaften verallgemainerten Analitischer Vektoren. Math. Nachr. 1979, Bd.90,pp.57-90.
63. VEKUA I.N. On one of the elliptic sysems with singularities// Proc. Intern. Conf. on Functional Analysis and Related Topics. Tokio, 1969, pp. 142 147.
64. САФАРОВ Д.С. О теоремах типа Лиувилля для некоторых классов эллиптических систем. Автореферат канд. диссертации. Москва, 1980г., МИАН СССР, с.3-12.
65. САФАРОВ Д.С. Теорема Лиувилля для обобщенного голоморфного вектора// Труды международной конференции "Обобщенные функции и их приложения в математической физике"Москва. 1981г., с.482.
66. САФАРОВ Д.С. Периодические решения эллиптических систем первого порядка// Дифференц. уравн. 1981г., т. 17, №8, с. 1468-1477.
67. САФАРОВ Д.С. Двоякопериодические обобщенные аналитические функции// ДАН Тадж.ССР, 1981., т.24, №9, с.535-538.
68. САФАРОВ Д.С. О двоякопериодических обобщенных голоморфных векторах//ДАН Тадж.ССР, 1982., т.25, JY°3, с.141-144.
69. САФАРОВ Д.С. О теореме Лиувилля для обобщенных аналитических функций многих переменных// Мат. заметки, 1982г., т.31, №1, с. 33 -40.
70. САФАРОВ Д.С. Периодические решения для одного класса квазилинейных эллиптических систем первого порядка// тезисы Республиканской конференции по уравнениям математической физики. Душанбе, 1983г., (¡139-140.1
71. САФАРОВ Д.С. Периодические решения эллиптических систем первого порядка на плоскости//ДАН Тадж.ССР, 1985., т.28, №12, с.692-694.
72. САФАРОВ Д.С. О нулях периодических решений уравнения Бернул-ли//ДАН Тадж.ССР, 1986., т.29, №12, с.721-724.
73. САФАРОВ Д.С. Интегральные представления периодических функций многих комплексных переменных// Тезисы Всесоюзной конференции по теории и приложением функционально-дифференциальных уравнений. Душанбе, 1987г., с.97-98.
74. САФАРОВ Д.С. Интегральные представления квазипериодических функций многих комплексных переменных// Тезисы докладов школа-семинара "Актуальные вопросы комплексного анализа". Ташкент, 1989г., с.139-140.
75. САФАРОВ Д.С. Двоякопериодические обобщенные аналитические функции// Дифференц. уравн. 1991г., т.27, №4, с.656-664.
76. САФАРОВ Д.С., Простые обобщенные аналитические функции, авто-морфные относительно элементарных групп. 1. Двоякопериодические решения// Изв. АН РТ, отд. физ.-мат. и хим. наук, 1992г., №4(4), с.15-21, (Показеев В.И. соавтор).
77. САФАРОВ Д.С. Периодические решения нелинейных эллиптических систем первого порядка// материалы конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики". Вторые боголюбовские чтения. Киев, 1992г., с. 167.
78. SAFAROV D.S. On Double-Periodic Solutions of First Order elliptic Systems// Complex Variables. 1994, Vol.26, pp.177-181.
79. САФАРОВ Д.С. Об одном признаке отсутствия периодических решений эллиптических систем первощ порядка// Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами". Душанбе, 1996г., с.81.
80. САФАРОВ Д.С. Об одном обобщении КдФ-уравнения//Сб. научных трудов "Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. "Киев. 1996, с.240.
81. САФАРОВ Д.С. Периодические1 решения переопределенных систем уравнений Коши-Римана// Сб. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения". Душанбе, 1997г., с.103-107.
82. САФАРОВ Д.С. Обобщенные эллиптические функции// Материалы научной конференции "Дифференциальные уравнения с частными производными их приложения". Курган-Тюбе. 1997г., с.67.
83. САФАРОВ Д.С. О двоякопериодических обобщенных голоморфных векторах с переменной матрицей// Труды Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Душанбе, 1998г., с.78.
84. САФАРОВ Д.С. Двоякопериодические решения многомерных систем обобщенных уравнений Коши-Римана//, Материалы Международнойконференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту, посвященной 50-летию ТГНУ. Душанбе, 1998г., с.73.
85. САФАРОВ Д.С. Двоякопериодические решения одной нелинейной эллиптической системы второго порядка// Материалы международной конференции, посвященной 60-летию Т. Собирова "Дифференциальные уравнения и их приложения". Душанбе, 2000г., с.94.
86. САФАРОВ Д.С. Периодические решения переопределенных систем уравнений Коши-Римана// Сб. "Исследования по теории дифференциальных и интегральных уравнений". Курган-Тюбе, 2000г., с.45-58.
87. САФАРОВ Д.С. Нелинейные обобщенные аналитические функции с отклоняющимся аргументом.//Сб. научных статей "Исследования по естественным наукам и методики их преподавания". Курган Тюбе, Ирфон №3, 2003, с.61 -64.
88. САФАРОВ Д.С. Двоякопериодические решения для одного класса эллиптических систем второго порядка// Материалы Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа". Душанбе, 2005г., с.174 175.
89. САФАРОВ Д.С. Двоякопериодические решения одного класса нелинейных эллиптических систем второго порядка // Материалы Международной конференции "Математика и информационной технологии" посвященной 15-летию независимость РТ. Душанбе, 2006г., с.74-75.
90. САФАРОВ Д.С. Обобщенные эллиптические функции// Материалы международной конференции "Авиценна и мировая цивилизация". Курган-Тюбе, 2006г., с.56-58.
91. САФАРОВ Д.С. Двоякопериодические решения уравнения Бельтра-ми// ДАН РТ, 2007г. т.50, №4, с.301-305.
92. САФАРОВ Д.С. Об обобщенных эллиптических функциях//ДАН РТ, 2008, т.51, №5, с.331-339. ; '
93. САФАРОВ Д.С. Об одном классе периодических обобщенных аналитических функций многих комплексных переменных//ДАН РТ, 2008, т.51, №6, с.403-411.
94. САФАРОВ Д.С. Об обобщенных эллиптических функциях// Материалы республиканской научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения", посвященной 60-летию образования ТГНУ и 70-летию академика Раджабова Н.Р. Душанбе, 2008г., с.76-77.
95. САФАРОВ Д.С. К теории обобщенных эллиптических функций// Материалы международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложения", посвященной 70-летию ректора МГУ академика Садовничего. 2009, с.203-204.
96. САФАРОВ Д.С. Двоякопериодические решения равномерно эллиптической системы первого порядка// ДАН РТ, 2009г, т.52, №6, с.425 -430.
97. САФАРОВ Д.С. Двоякопериодические решения равномерно эллиптической системы первого порядка// Доклады РАН, 2010г, т.430, №4, с.454 457.
98. САФАРОВ Д.С. О решении обобщенных нелинейных систем уравнений Коши Римана в форме Вейерштрасса. Материалы тринадцатой международной конференции имени академика М.Кравчука. Киев, 2010.с. 362.
