Модель системной трещиноватости массива горных пород и ее приложения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.07 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН > ^ 5 ОД ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ И МАШИНОВЕДЕНИЯ

На правах .рукописи УДК 622.ШТ.4ч622.023

ТУСУПОВ Мухамед Тусупович

МОДЕЛЬ СИСТЕМНОЙ ТРЕЩНОВАТОСТИ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД И- ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Специальность

01.02.07 - Механика сыпучих'/гид, грунтов и горних пород

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико математических наук

АЛМАТН, 1994г.

Работа выполнена в Институте механики и машиноведения' . Национальной Академии наук Республики Казахстан

Нсучный консультант - академик HAH и ИА PK, доктор технических наук, профессор ЕРЖАНОВ Ж.С.

Ведущая организация - Институт физики и механики горных пород HAH KP

Официальные еппонвнты:академик HAH PK, доктор физико-математических наук, профессор ЛУКЬЯНОВ А.Т.

доктор физико-математических наук, профессор ЦВЕЛОДУБ И.Ю.

академик AT РФ, доктор технических наук, профессор МАСАНОВ Ж.К.

Защита состоится 1994 г. в час. на за-

седании специализированного совета Д 53.02.02 при Институте механики и машиноведения HAH PK (480091, г.Алматн, проспект Абая, .31).

С диссертацией можно.ознакомиться в Центральной научной библиотеке HAH PK (г.Алматы, ул. Шевченко, 28).

Автореферат разослан " " 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета, -

кандидат физико-математических а_

наук, старший научный соотрудник <хБАЙМУХАМЕТОВ A.A.

ОЫЦАй ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТА

4_к --У-..Т. к Р. м •'> о т и : Кор.-мьие горние

пор' ды и условиях <'С'Гг»стб<мшогс зал-лтшия тектонически трнииновнты. Но дншшм г.тьтггнч^чсой обработки результатов детальных г«олог<".структуию:< гя^мж в тош:-. лях и горних выработках рудников тектоническая трещиноват,, :ть ^реимуц^стЕ-енно системна. Независимо от литологии и короста пород она ри пространен«* в виде трех и бп.Ч'.'Ь раоцоориен'гнроьышы.х систем 1Гримкрно параллельных друх' другу трещин, рьссгоми» итед/ которыми обично колеблется в пределах от долей оат»и<'<тра до нескольких дециметров. Совокупность систем чрещин в зиьиоимости от ее I с,..ичоства и пространственного поло^-.ци расчленяет массив на отдельности, име!'ОД!0 форму паралле легкие дог; и многогранных призм. Следует подчеркнуть, что здесь под термином "трещина" подразумевается не плоское/ч, (поверхность) раздела, а область ослабления массива множеством единичных микротр..тин различной протяженности, тяготеющих к э'.'ой плоскости. Тектоническая трещиноватое!ь ¡гредопоеделяет механическое состояние массива, его деформативность, предельное состояние и прочность. Однако в существующих расчетных моделях массива горних пород эти определяющие последствия влияния породной трещиноватое™ на поведение подземных сооружений вообще не рассматриваются. Поэтому одной из актуальных проблем механики горных пород является обоснование и разработка расчетной модели системной тектонической трещиноватости массива горных пород.

Цель____работы: Обоснование к разработка расчетной

модели массива горных пород, ослабленного тремя и более произвольно ориентированными в пространстве системами тектонических трещин, ■ выяснение влияния механических и структурных свойств подобного массива на напряженно-деформированное состояние заложенных в нем- подземных сооружена й . Задачи исследования : решение смешанной задачи теории упругости для сжатой изотропной плоскости, ослабленной двоя-копериодической системой физических щелей (под термином " физическая щель " понимается разрез, у которогорасстояние между противоположными берегами сравнимо с величиной малой упругой деформации); доказательство теоремы единственности и существования решения второй и смешанной основных задач теории

упругости для бесконечносвязанной области; разработка на основ решенной смешанной задачи расчетной модели массива горных пород содержащей три и более произвольно ориентированных в пространств систем тектонических трещин; решение смешанной задачи линейной моментной теории упругости для плоскости, ослабленной одной физи ческой щелью, и анализ напряжений в продолжении щели; олределени напряженно-деформированного состояния горизонтальной выработк глубокого заложения в тектонически трещиноватом массиве определение напряженно-деформированного состояния шахтного ствол в тектонически трещиноватом гравитирующем массиве; анализ влиянм механических и геометрических характеристик массива, ослабленног тремя системами тектонических трещин на распределение напряжений перемещений вокруг подземных сооружений, включая учет свойст ползучести горных пород.

Достоверность главных научных положений работ основана на использовании классических моделей и подходов, а так» аналитических и численных методов теории упругости и механик горных пород.

Метод исследования! аналитический и числен ный, использующие математические методы плоской задачи теори упругости изотропного, обобщенно-плоской задачи теории упругост анизотропного тел и вычислительных программ на ЭВМ.

Научная новизна работы:

- решена смешанная задача теории упругости для сжатой изс тройной плоскости, ослабленной одной системой двоякопериодически щелей с частично контактирующими берегами;

- доказана теорема единственности и существования решени второй и смешанной основных задач теории упругости для бесконечн связанных областей;

- поставлена задача приведения в пространственном случае;

- решена задача приведения для определения упругих постоянны сплошного анизотропного тела общего вида, эквивалентного по жест кости массив горных пород с тремя и более произвольно ориентире ванными в пространстве системами тектонических трещин;

- решена смешанная задача линейной и моментной теории упругости для плоскости с одной щелью и выполнен анализ напряжений в продолжении щели;

- показана применимость разработанной модели, к исследован* напряженно-деформированного состояния подземных сооружений pas

шчного низначания, заложенных в системно тзктоничоски трещиноватом массиве;

- - выявлены закономерности влияния параметров трчциноватости, 'словий контактирования слоев массива на распределении напряжений I перемещения вокруг незакрепленных и закрепленных гориьонылъных шработок и шахтных стволов без учета или с учетом свойств юлзучести горних пород.

О с н о в н ы е___положения, э иди-

¡_а_е_у_е___автором:

- решение смешанной двоякопериодической плоской задачи тэсрии 'пругости для изотропной плоскости, ослабленной щелями в условиях ;катия на бесконечности в предположении, что на участке контакта 1меют место равенство нормальной и касательной компонент тпряжвний справа и слева (связь между ними подчинена закону Сулона) и разность нормальной компоненты перемещений сравнима с ¡е личиной малой деформации и постоянна; на крайних свободных 'частках щелей нормальная и касательная компонент напряжений )авны нулю;

- доказательство теоремы единственности и существования юшения второй и смешанной основных задач теории упругости для ¡есконэчносвязатшх областей;

- постановка задачи приведения в пространственном случае;

- решение задачи приведения для определения упругих постойных сплошного анизотропного тела общего вида, эквивалентного по ¡есткости массиву горных пород с тремя и более произвольно ориен-■нрованннми в пространстве системами тектонических трещин;

- решение смешанной задачи линейной и моментной теории уп->угости для плоскости со щелью и анализ напряжений

1 продолжении щели;

- исследование напряженно-деформированного состояния горизон-•альной горной выработки и шахтного ствола, заложенных в массиве рещиноватой структуры в условиях обобщенной плоской деформации ез учета или с учетом свойств ползучести горних пород;

- численный анализ закономерностей распределения напряжений перемещений вокруг подземных сооружений различного назначения в

ависимости от упругих постоянных массива, степени его рещиноватости, геометрических параметров систем тектонически рещин и свойств ползучести горных пород.

Практическое прил < пение :

Диссертационная работа является составной частью завершенных плановых научно-исследовательских работ Института математики и механики <1966-1975гг.), Института сейсмологии (1Э76-19Э0 гг.) Национальной Академии наук Республики Казахстан в рамках тем: "Теоретическое обогноишше расчетных моделей вязко-упругих слоистого и трС'ВВШОЕ'.-ч'ОГо иасспса" (N0 гос.регис. 7Ш76896, 1970 --1975 гг.к "Гизраооткз способа" решения снсциэлышч проблем устоПчив'!с:г,! ^ механике ''орных по|л/Д" (совместно с Институтом безопасности го|»»|»х нор-'Г, ;•..йш.-/', Герпиля, По гос. регистрации 76П0,.:622Ь, 15-1/-1У/У1Г.); ' 1 -миитисм м-.-юдоь расчета подземных сооружений, подверженных «ь-ишим ы..тл>уиругим деформациям и разрушению" (N0 гос.рег.78039401, 1975~1КЮгт.); 03.02.fi. "Разработать модель сейсмического процесса с учетом естественной кускова-тости горных пород и блокого строения земной кори" (М,. гос.регистрация 0197.0048090., 1985-1990 гг.); "Создать модель напряженно-деформированного состояния земной кори Северного Т^нь-Шаня" (N0 гос. ригистр. 0187.0048091, 19*6-1990 гг.).

Личный вклад автора состоит в решении смешанной задачи теория упруг ости для изотропной сжатой плоскости, ослабленной двоякопериодической системой физических щелей; в доказательстве, теоремы единственности и существования решения второй и смешанной основных задач теории упругости для бесконечно связанных областей; о постановке задачи приведения в пространственном случае; в решении задачи приведения для определения упругих постоянных сплошного анизотропного тела общего вида, эквивалентного массиву горных пород с тремя и более произвольно ориентированными в пространстве системами тектонических трещин; в решении смешанной задачи линейной и моментной теории упругости для изотропной плоскости с физической щелью и в анализе напряжений в продолжении щели; в исследовании 'напряженно-деформированного состояния горизонтальной горной выработки и шахтного ствола, заложенных в массиве трещиноватой структуры, в условиях обобщенной плоской деформации без учета или с учетом свойств ползучести горних пород; в численном анализе закономерностей распределения напряжений и перемещений вокруг подземных сооружений различного назначения в зависимости от упругих постоянных массива, степени его трещинова-тости, геометрических параметров систем тектонических трещин и свойств ползучести горных пород.

Разработка расчетной модели массива горних пород, ослабленного тремя и более произвольно ориентированными в пространстве системами тектонических трещин, ее приложения к задачам механики горних пород проведено совместно и под руководством академика HAH и ИА PK Ж.С.Ержанона.

Апробация__работы :

Основные результаты диссертации докладывались на У и YT Все союзных съездах по теоретической и прикладной механике" (Ллматц, 1981, Москва, 1991); Всесоюзных конференциях по механике горных пород (Новосибирск, 1968, Апатиты, 1976, Бишкек 1978); Втором симпозиуме по концентрации напряжений (Киев,' 1967);Всесоюзном симпозиуме по проблеме реологии горных пород и релаксации (Киев, 1569); Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Одесса, 1989); IY, Y, YI, YII, YIII Всеказахстанских межвузовских научных конференциях по математике и механике (Алматы, 1971, 1974, 1977, 1984. Караганда 1981); Научной сессии Отделения физико-математических наук HAH PK, посвященной проблемам развития механики и машиностроения в Казахстане (Алматы, 1992); Второй научной конференции молодых ученых АН КазССР (Алматы,1970); Общеинститутском научном семинаре по механике Института механики и машиноведения HAH PK (Алматы, 1994).

Публикация : По теме диссертации опубликованы 25 работ, в том числе две монографии в соавторстве, одна из которых издана на немецком языке (г.Лейпциг, Германия).

Структура и объем р а б о т и: Диссертационная работа состоит из введения, 8 глав,заключения и списка литературы, содержащего 164 наименований. Объем диссертаций содержит страниц машинописи, включая рисунков, таблиц.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному консультанту академику HAH и ИА PK, профессору Ж.С.Ержанову за постановку задачи, консультации и обсуждение результатов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении работы содержится общая характеристика, сформирована ее цель, излагается актуальность, научная новизна и положения, вносимые на защиту.

В первой главе "РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПЛОСКОСТИ С ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ ФИЗИЧЕСКИХ lüFJEfl'' дан краткий обзор работ, посвященных решению ::гвнш г.члач теории упругости для плоскости, ослабления дк-ькптьриодичёской системой

отверстий, которые! вышли в свет после 196С г. так как обзор ранних работ д;-их в монографии Э.И.Григолвка, Л.А.Фильштинского "Перфорированные пластинки и об^лички", М., Наука, 1970.

Первая и вторая ссноыше двоякоиериодичесжие ьадачи теории упругости для пэрфориропанной кругляш отверстиями изотропной плоскости изучены в работах Г.А.Пад 3-е- «и, А.Н.Гузя, Э.И.Григояю-ка, А.С.Космодамианского, Д.Н.Кургонла, И.МяПжирса, Г.Н.Савинч, И.Д.Оуздадыдажого, И.А.Цуриала, Л.А.Фильштинского и других пвтг<-рэв.

В результате щ#н*г<-иних к'.'следований указанные задачи в дос-тячной мере разработаш для оЫоотвй, ограниченными круглыми отверстиями, в меньшей мере дл.ч гбластой с некругошми отверстиями.

Решения основных задач теоркк упругости для плоскости с двоя-копериодической системой щелей весьма ограничены. В предположении, что вдоль щелей действуют равномерные напряжения, подобные задачи исследованы А.П.Дацишин, 0.А.Кудрявцевым, Е.М.Морозовым, М.П.Сав-руком, В.В.Панасюком, В.З.Партоном, Л.А.Фильштинским. Задача о продольном сдвиге решена В.Г.Новиковым. В.М.Тулиновым, задача о деформации кусочно-однородной плоскости - Е.П.Нейхманом, В.М.Нул-лером. Дваякопериодические задачи"теории упругости для изотропной и анизотропной плоскостей со щелями, находящимися под ■ действием сжимающих на бесконечности усилиями, решена Ж.С.Ержановым, К.К.Кайдаровым, Ж.К.Масановым приближенным методом в предположении, что берега системы щелей свободны от напряжений. Исходя из общего представления двоякопериодических функций через интеграл типа Коши с ядром дзета-функции Вейерштрасса, полученного В.Т.Кой-тером, задача линейного сопряжения для двоякопериодических функций изучена Г.А.Ваниным, когда вдоль разреза действуют равномерные напряжения.

Анализ этих работ показывает, что в основном решена первая основная задача теории упругости для плоскостей с двоякопериоди-чеекой системой щелей. Вторая и, особенно, смешанная задачи не изучались.

Основная смешанная для сжатой изотропной плоскости, ослабленной двоякопериодической системой щелей с частично контактирующими берегами (физические щели), включая дез крайние положения: подлого контакта или отсутствия контакта, исследована Ж.С.Ержановым и М.Т.Тусупоьнм. Решение получено с помощью представления В.Т.КоАте-

ра двоякопериодических функций через интеграл типа Коши с ядром

дзета-функции Вейерштрасса к задачи линейного сопряжения. Оно сведено к решению сингулярных интегральных уравнений, интегрируемых толнео численными методами. Применение численного метода интегрирования сингулярных уравнений для Сесконочносвязанной области еще не разработшш достаточно полно. Поэтому в диссертации наложон другой прием решения смешанной дьоякошриодической задачи, аналогичный примененному В.З.Партоном, В л.Кудрявцевым и Е.М.Морозовым при решении первой основной задачи теории упругости для плоскости, ослабленной двоякодариодичеекой системой рьзрезоь, когда вдоль по всей их длине действуют равномерные нагрузки.

Итак, бесконечная нейтронная плоскость ослаблена двоякоиерио-периоддической .системой щом*Я (Фнглнесних щелей) постоянной ширины соизмеримой с упругими деформациями, и сжимается на бесконечности усилиями, обеспечивающими и ней средние напряжения^, о2 и т . В результате сжатия сомкнутся берега щели, образуя при этом три участки: участок контакта в середине и два свободных участка по краям. Ограничимся распределением щелей в узлах квадратной решетки и обозначим основные периоды через , 2ы , причем I (ыУю,) >0, I ь/,= О, Неы„ =• 0, ш.= 1ы„.

т ^ 1 ш 1 2 с: 1

Требуется найти напряженно-деформированное состояние изотропной плоскости (рис Л).

Граничные условия вдоль щели и основном параллелограмме периодов можно записать в более удобном виде для последующих выкладов:

<1 К = 41<1хУ на ь = V V

= ° на V < = ° <1-1>

<У = К на V = ° на ц.

где о , т - нормальная и касательная компоненты напряжений; V -вертикальная составляющая перемещений; знак ± означает значения на берегах щели; знак (,х) - дифференцирование по переменной х, (-а,а), Ь2= (-1,-а) + (а,1).

Напряжения ох, о , и перемещения и, у в изотропной плоскости выражаются через д1зе аналитические функции ф(г), О (а), называемые комплексными потенциалами или функциями напряжений, Колосова-Мусхелишвили, которые удовлетворяют условиям двоякой периодичности:

ф(2 + 2« ) - Ф(2) = О

Il(z + 2^) - fi(z) = 2(Wj - f.) )ф'(2), (1.2)

Тогда из граничного условия (I.I), получим систему

граничных задяч для определения ф(к), П(я), ф(з) и О (я); (ф - П) + - (ф -ПГ- 0 па I, (ф- П)+ - ($ - ПГ= О. на L; (Хф + П + хФ П)+- (хФ + О + хФ + П) = 0 на L, (1.3)

(ф + П)++ (П + ф) = 0 на Ъг; К1 + 1р)ф + (1-1р)П) + + [ (1 < 1р)0 - (1 -1р)ф7" = 0 на Iv (ф 4 П)++ in -I ф)"= 0 на Ъг, решение которой должно удовлетворить условиям двоякой периодичности (1.2). Поэтому следуя В.3.Пэр-гону, Г.А.Кудрявцеву и Е.М.Морозову, решение задачи (1.3) будем искать в £ирму:

to

ф(2) - ф0(г) + ^=1Фк(а),

П(а) . ф0(2 + g=0 {фк(г - /(<£_,- ^jkix-zjdx} ,

(1.4)

ф(и) = ф0(И) + |=1Фк(Е),

П(в) = Ф0(г) + i,{ Фк(а) ♦ 2Si- /(ф+_,- ф-_,)к(х-Е)(1х} ,

где k(x-z) - непрерывная функция, которую здесь не приводим.

Подставляя последние в систему (1.3) видим, что первые два условия удовлетворяется тождественно, а третье и четвертое дают последовательность задач линейного сопряжения с разрывными коэффициентами, из которой определяются фк(2) + фк(2), (к=0,1,2...). Появляющиеся при решении задачи произвольные постоянные определяются из выражения для главного вектора усилий, действующих вдоль стороны основного параллелограмма, соединяющей точки А = (4^+ шг) с точкой В = шг) и преобразующейся для двоякопериодической области к виду

'X + 1Y = -IKp(z) + w(b) + (B-z)4>(B))jJ = -ig(sTf®. (1,f)

Затем выражая Фк(г) через фк(г), из последней нары системы (1.3) получим последовательность задачи линейного сопряжения с непрерывными коэффициентами дня определения Фк(а), (к = 0,1,2...).

Иолшшшеся производишь постоянные Il!jX<yhv«;»l из того ки выражения глшшого вектора (1.4).

Окончите*) но ,w>i ф/нпмй напряжений (с) имеем ф0(2) - ;i !,.)•:,' СкХ(2ь

( i .6)

= Mr /-хШ - 1

где F(t) вм>«л> '.лом! у и структуру, которую не приводим; С ,

С2, 02k произвольные ¡к"'!<..ншше; функций

вдоль ипли удовлетворят' услад-а-*м:

Xf (х) « Х~(х) = о(х j. ¡о'(]'-х)о(]ïxl ah J.;

Y+(x) - V~(.s.) Iô{aï«),i(ïFx)/о( 1 •*x/ u'(i ixT ¡¡a i, ;

Y4(x) - -Y(x ) - 1J ci Ci'. }ôIx-"a)Aj(l-'-x)o(l+* ) на 1.,; (1.8)

с

и о (* ) - сю ма Функция Бойорштрасса После определения другие функции наприжиний вычисляется

по представлениям (1.4), а компоненты напряжений и перемещений по л ' ! м Ко ло о о ь а -My о хилишвили.

Вторая глава "ШСТМА О ЕЛИНСТЬКННОСТЙ И ШШ0ТВ0ВА11ИЯ ДЛЯ

brJCKOHE' 1И0СВЯ2А1 ПÎUX ОБЛАСТЕЙ. КОРРЕКТНОСТЬ' ЗАДАЧИ" посвящена доказательству названных теорем.

В предположении, что функций напряжений или комплексные потенциалы ф(а), ф(2) и <|>("} непрерывно продолжим на все точки точки границы области, Н.И.Мусхелишвили доказал теорему единственности для первой и второй основной задач задач плоской теории упругости, а Г.Ф.Мандкаьидзе - для смешанной задачи, когда одной части границы области задаются напряжения, а на другой - смещения.

С появлением средств современного аннлкза Н.И.Мусхелишвили, Д.И.Шерман, С.Г.Михлин, приводя решение основных задач теории упругости к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, доказали теорему существования для односвязаннык и многосвязанных

конечных или бесконечных областей.

Пл.-скость, ослабленная двоячопераодгкек >Я системой одинаковых отверстий, представляет соб"* ^.•оксчи'шс'пачо .и игу к область. Для таких областей теорема идинстгошюстр и суцз-.'дояяим первой основной задачи теории упругости доказана B.T.Kot!ï«p"m и? основе специального опоздания интеграла типа Коага па Г"законучно<.:вяп0нной области. Здесь ириг.ед*но доказательств шьчл'.тичноП теоремы для второй и сметанной основных задач.

Пусть неограниченная изотропная упругая плоскость ослаблена двоякоперг.одической систчмс-й отверстий, по краям которых заданы компоненты смещений/ Поместив нччздо декартопей системы координат внутри основного контура L, обо^пнчим S , G _ внешнюю и внутреннюю части системы отверстий соответственно.

Компоненты напряжений и перемещений определяются по формулам Колосова-Мусхелишвили, из которых следуют, как показ,'зл В.Т.Койтер, что функция ф(?.), является кппзилериодичоской с циклическими приращениями 2а , (j-1,2), т.е.

- ф(й) - га^, _ (2.1)

так как функция ф(г.) двояконериодическая.

Граничное условие на основном контуре Ъ0 для второй основной задачи имеет вид:

Xf>(t) - t^i(t) - ф(Ь) = f(t) (2.2)

где

ГЦ) = 2G(c,+ 1g2), f2.3)

при этом gf и gz значения компонентов смещения и и v на LQ.

Для любого контура L = 1(>пос12'"<>п2ш£ ) смещение имеет вид:

2G(gt+ ig2)/L = f(t) + 2mhtf 2nh2 (2.4)

'rriri

где 21^,(3=1,2) - циклические приращения функции i(t), rn и n -

целые числа, (m,n = 0,iI,t?, t3....), 0 - модуль сдвига.

Рассмотрим вопрос об одиисуненн^ти уч. ас-нил второй ocisjuidJ

двоякоперяюдической задачи теории упругости.

Допустим, что задача имеет два различиях решения: u(i\ v<i!,

о'1': о(1),т(1), (1=1,2), соответствукдае одис-mv тому же ггсишч-х у ту

ному условию (2.2) и (2.4). Их разность также является решением задачи при отсутствии смешения нп контуре L и средних напряжений. Тогда выражение для энергии

4- Г (X u + Y V) da -- 0, (2.5)

2 J t, n

так как на контуро и = О, V = 0 и интеграл берется вдол! границы. Отсюда следует, чю ати реш-чмя совпади»'Т, т.е. оно е «шел .окно.

Для тс-го, чтобн доказать т.-срчму суооптьовмшя рвмеши иторой осиоык.Й дьоякот рао яич и скоЯ за чачи, применяя Формулы Сохоцкого-Племели для Сеоконечнооьязанной ооласти, 1Ь.чученю1х В.Т.Койтером, получено интеграл!.нов уравнение Зридгольма ьторого рода:

- 2Îl -!' 1ф(1){ ['^-V " " [f (t-t.J-Cdij'it} +

I- 2lfA J" хч-(1Ы { ['ИП - mU0)] [C(t-tfj) - C(l)] } ■= (2.6)

= ~2-l' - J fit) |_C(t-irj) - 4U)J dt + if- [<V X'V'k - <V xa£)i], ]ta + * ! X'VVV

где m(t) предсталяет собой дьоякопериодичеикую фу11кцию.

Стандартным приемом доказано, что соответствующее однородное интегральное уравнении Фредгольма, полученное из Î2.6) при 1^ = h2 = f(t) = G, имеет нулшьое решение. Тогда по альтернативе Фредгольма существует единственное решение неоднородного интегрального уравнения (2-G).

Доказательство чворчт о единственности решения смешанной основной задачи теории упругости для плоскостей с двоякопериоди-ческой системой отверстий вытекает с аналогичной теоремы для первой основной задачи, доказанной В.Т.Койтером, и для второй задачи, доказанной выше. 'Теорему существования решения основной смешанной задачи теории уирушсти для плоскости, ослабленной двояко-периодической системой одинаковых щелей, доказать трудно ввиду отсутствия хорошо разработанной теории интегральных (фредгольмо-вого и сингулярногоj уравнений для бесконечносьязанной области. Оно подтверждается полученным решением.

С другой стороны, после определения неизвестных компонентов напряжений вдоль щели задачу можно рассматривать как первая основная задача для замкнутой кривой - эллипса с большой осью, равной полудлине щели, и с малой осы,, стремящейся к нулю. В этом случае теорема единственное] и •■увр.-сги ,итя доказаны в работе В.Т.Кой-тера.

Таким образом, корректность решения поставленной задачи имеет" место.

В третьей главе "ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ПРИВЕДЕНИЯ да МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД" изложена постановка задачи.

Различные задачи теории упругости для сред с трещинами исследованы А.А.Вачуленко, М.Л.Качаловым, • Р. А.Салганшсом, Л.А.Фильштинским.Р.А.Салгэником доказано, что если все трещины параллельны, то эквивалентная среда является трпнстрошюЯ (транс-взрсальноизотропной) средой, б противном случае - ортотрошюй. Вопросы определения эффективных модулей для композитов рассматривались В.Л.Бидерманом, Г.А.Ваи Фо Фи, А.Н.Гуяем, Р.М.Кристенсе-ном, Л.П.Хорошуном, для составных тел - R.В.Болотинь'м, Л.П.Хорошуном, Т.Д.'Лермергором и другими авторами.

Для выяснения закономерностей треицшоьатости горних пород производятся массовые запоры, сЗряботкэ результатов которых дается либо в виде диаграмм трещиноватое™, либо в виде таблиц. Воспроизводим таблицу средних значений элементов залегания систем трещин, полученную Ж.С.Ержачовнм (Предел текучести трещиноватого массива горных пород рудных месторождений. Мзвестия вузов. Горный журнал, 1Э5Э, Но 8).

Таблица 3.1

Место-"! I 1 Г Т Г I ! рокде- II I II ! Ill ! IY I Y ! YT ! Y1I IVTII Ше I ! I I ! ! J_ !

Турлан-

CK09

Мирга-

лимсай-

ское

Знрянев-ское

Криворожское

346 250 ~Б2 165 "" т - - - -

205 350 "ТО 80 "ГО - - - -

10 "'00 I& "35 180 "85 190 "50 80 "55 275 "55 - -

60 "70 ' "55 130 "?п ЗСЧ1 30 "75 165 "Т,П 1.10 . "55

Примечание: В числителе - а:.'имут. в знаменателе - угол падэш1я.

.Приведенном обзоре у.шзаьает'.ь, но раызпные тр;иг-трошше •модели массива, ослабленного систоМ! трещин, ри:»рыб«таны И Л. Айтматовым, Р.Гудманом, И. А.Пин то, М.Д.Оадамоном и др., я ортотрогпше модели - С.А.Батугиным-, В.Вкттке, Ii.Mac.wpe, К.О.Гуппепейтом. В работах этих авторов системы трещин моделируется кт< гонки? слои с другими поогонимыми, чем основной массив. Были получены формулы

. . • •. - 1Г:. -

для вычисления упругих постоянных гипотетического сплошного транс-" тройного или ортотропного массивов, заменяющих трещиноватый горный массив.

Анализ вышеуказанных работ показал, что не учитываются системность (упорядоченность) и произвольная ориентировка каждой системы по азимуту трещин в горных массивах, так как в естественном состоянии они расположены в пространстве произвольно.

С целью учета упорядоченности расположения тектонических трещин на напряженно-деформированное состояние массива вокруг подземных выработок была разработана транспортная модель трещиноватого и слоистого с несплошным сцеплением слоев Ж.С.Ержановым, К.К.Кайдаровым и М.Т.Тусуповым, а орторопная модель горных пород, ослабленный двумя разориентированными по азимуту системами трещин (тектонических) - Ж.С.Ержановым, К.Б.Алдамжаровым, М.Т.Тусуповым. Б дальнейшем развита ь исследованиях Ш.М.Айталиева, Ж.К.Масанова.

Горные породы чаще всего ослаблены тремя и более упорядоченными и произвольно ориентированными в пространстве системами тектонических трещин. Поэтому необходимо разработать модель массива горных пород, содержащего три и. более системы тектонических трещин. В атом случае однородный сплошной массив, эквивалентный по жесткости данному, является анизотропным массивом, описывающим 21 независимыми постоянными, называемыми приведенными упругими постоянными или приведенными коэффициентами деформации. По мнению Л.Мюллера между модулями Еа, Ер, и коэффициентами Пуассона г>др, в общем случае связь отсутствует, если не имеется симметрия упругих свойств массива. Даже в случае эквивалентного транстропного массива модель сдига в направлении, перпендикулярном к плоскости изотропии, никогда не определяется с помощью непосредственных измерений, а принимается равный соответствующему модулю сдвига изотропного массива. С другой стороны, вследствие того, что горный массив при тектонических преобразованиях разделяется трещинами не полностью, а только пронизывается сетью трещин, происходит изменение упругих и прочностных свойств. Они представляют собой слоятый комплексный показатель, слагающейся, с одной стороны, из аналогичных свойств ненарушенной части массива, с другой - из геометрических параметров распределения сетей тектонических трещин в пространстве. Теоретические и экспериментальные исследования взаимодействия всех систем трещин с подземными сооружениями не поддаются

математическому и количественному анализу, так как требует знание' обо вс х параметрах сити тречцш, которые не могут быть получены путем но!!осрод'Л'Ш1гтк измен'нгкй.

Тагам образом, трещиноватая массив горных пород, содержащий три и более упорядоченные и произвольные системы тектонических тр?щин, по жесткости жнипалонтон однородному анизотропному массиву, прпведенгае упругие постоянные которого характеризуются матрицей:

[а! = (а1;)) (3.1)

причем а а^, (1,3 = 1,?,,3,4,Б,в).

Элементы а±;) матрицы (3.1) являыт.'Н 'функциями от упругих постоян-шх ненарушенного изотропного ».'идейна и основных параметров произвольных систем трещин, у ¿'лов ведения и азимута падения плоскостей расположения трщин.

Обобщенный закон Гука дли вяизо-рапного общего вида массива записывается в виде:

(е> = [ аНо) (3.2)

где матрица [а] идает вид (3.1), а

Се) = Се , е , е , ■» ,7 , т ),

х у 7. 'ук 'хг 'ху {0)Т= (0,0,0,1 , 1 , % }.

(3.3)

л' у г' уг хг' ху

В дальнейшем задача состоит в том, чтобы определить эти приведенные упругие постоянные сплошного анизотропного массива, эквивалентного трещиноватому массиву, ослабленному тремя или более системами упорядоченных и произвольно ориентированных в пространстве тектонических трещин.

В четвертой главе "МОДЕЛЬ ГОРНОГО МАССИВА С ТРЕМЯ ПРОИЗВОЛЬНЫМИ СИСТЕМАМИ ТЕКТОНИЧЕСКИХ ТРЕЩИН" разработана модель тектони-.чески трещиноватого массива горной толщи.

Для нахождения элементов матрицы (3.1) - приведенных упругих постоянных массива, содержащего три упорядоченные и произвольно ориентированные в пространстве системы тектонических трещин - рассмотрим сначала горный массив, ослабленный одной системой упорядоченных трещин, в условиях сжатия. При этом будем полагать две крайние случаи прико""овенн? противоположных берегов: (I) береге трещин сомкнутся вдоль все»1 дли:)::, э •■■■• ■■■ »^пкте Имеет место закон Кулона без сцепления; (2) берега трещин не соприкасаются (вообще говоря, имеется точечный контакт).

Предположим, что однородный массив горных пород, содержащий

одну систему упорядочениях горизонтальных тектонических трещин с контактирующими полностью либо неконтактирующими благами, находится в условиях сжатия. Такой массив может бить моделирован изотропным невесомым пространством, ослабленным .дБоянопериодичес-кой системой сквозных физических щелей с контактирующими берегами, и сжатыми усилиями, обеспечивавши в ней сроднив напряжения. Эквивалентный сплошной массив будет транстрошши массам с горизонтальной плоскостью изотропии. В этом случае приведенные упругие постоянные массива с системой трещин определяется следующим образом: модуль упругости Е1, модуль сдвига С и коэффициент Пуассона V ъ плоскости изотропии, модуль упругости Е3 и коэффициент Пуассона V в направлении, перпендикулярный к плоскости изотропии и параллельный оси щелей одновременно, совпадают со значениями модуля упругости (Юнга) Е, модуля сдвига С. и коэффициента Пуассона V ненарушенного массива соответственно. Модуль упругости Ег, модуль сдвига 012 и коэффициент Пуассона г» 2 н направлении, перпендикулярный к плоскости изотропии и оси щелей, одновременно, находятся из решения задачи приведения, т.е. из условия эквивалентности. За условия эквивалентности принято условие эквивалентности Р.Бейли и Р.Хикса: равенства средних деформаций на границе характерного элемента (основного квадрата).причем напряжения в плоскости, содержащей двоякопериодическую систему сквозных щелей, вычисляются, по формулам (1.6)-(1.8), где Х(а) - двоякопе-риодическая функция: У(2) = 1 при полном контакте трещин, У(а)=Х(а) при отсутствии контакта.

Модуль сдвига С£3 в направлении, перпендикулярный к плоскости изотропии и параллельный оси щелей одновременной,принята равной С.

Рассматривая квадратный элемент под действием напряжений (сначала нормального о2, затем касательного т12). и оставляя в (1.4) первые слагаемые, из определения эквивалентности находим в нулевом приближении значения приведенных упругих постоянных:'

(1) для массива с упорядоченной системой полностью закрытых тек-тотчвекш трещин

V Е' 121= °12 " С-^лр(0^2/2^ ) < Х^о)) >, (4.1)

(2) для массива с упорядоченной системой открытых (неконтактирую-щих) трещин

= V ехр(■|')11^/2олк) < Х^ы) > , ■ (4.2)

= С"1 ехр(,г)1) < > ,

где <Хк(ш) > - среднее значение Х(з) в характерном квадрате, 1 -полудлина трещины, (к = 1,2,3), о:, - полупериод, т? 1 - половина циклического приращения дзета-функции Вейерштрасса.

Выделяя изотропную часть матрицы Сак] 'приведенных упругих постоянных эквивалентного транстропного массива с горизонтальной плоскостью изотропии, можно записать в виде:

Га к] = (аи3! + [ск], (4.3)

где элементы аар матрицы [а ] состоит из суммы элементов а^ матрицы [аи3] (они'Известны) и элементов ск матрицы (ск1 вида:

1С] = (скр), (4.4)

причем для упорядоченной системы трещин с полностью контактирующими берегами:

Сбб = 2 (1+у)[ ехр (г], 1^/2«,) < Хк(ц>);> - 11, (к=1,2,3); (4.5) 0, (13*66);

для упорядоченной системы трещин с неконтактирующими берегами:

(4.6)

C12= сзг = V-V21- = с23 = V-V12' °гг " p3-vi1

с£б = 2(1+v)[exp(T)1l^/2u1) < > -11, (k=1,2,3).

0, (13/12,21,23,32,66).

Матрица приведеншх упругих постоянных для сплошного транстропного массива с наклонной плоскостью изотропии представляется как

[ äkl = ( аи3] + [bkI, (4.7)

где элементы bkß матрицы tbk) находятся из (4.4) при помощи (4.5) и (4.6) из формулы преобразования упругих постоянных при повороте вокруг оси Оа сквозных трещин на угол <pk, т.е.

baß = сппАА' <m'n = '.2..;..б) (4.8)

где величины q^, qpn, определяемые через направляющие косинусы,

легко вычисляются по формулам, приведенным в монографии С.Г.Лех-ницкого "Теория упругости анизотропного тела", М.,Наука,197?,367с.

Если массив горных пород содержит произвольные, три системы тектонических трещин, то каждая к-вя система вносит свою поправку на величину приведенных упругих постоянных, а изотропная составляющая остается без изменения. Поправка, вносимая на величину упругих постоянных тремя системами трещин при повороте оои координат, направленной по оси трещин каждой системына угол ф До совпадения с северным направлением, равна

Следовательно, в этом случае матрица приведенных упругих постоянных сплошного эквивалентного анизотропного'общего вида массива представляется как

(а! = [аи3] + [ак1, ""(4.10)

где элементы а^ матрицы (ак1 находятся из (4.9). •

Окончательно (4.10) дает формулы для вычисления приведенных упругих постоянных сплошного анизотропного массива, эквивалентного массиву, содержащему три упорядоченные и произвольно ориентированные в пространстве системы тектонических треща.

Выражение (4.10) показывает, что приведенные упругие постоянные эквивалентного анизотропного массива являются функциями упругих постоянных (модулей Юнга и сдвига, коэффициента Пуассона) ненарушенного изотропного массива, углов падения й азимута падения плоскостей напластования, геометрических характеристик каждой из трех систем сквозных тектонических трещин. При этом с учетом - формул (4.5) или (4.6) из представления (4.10) Мокшо вычислить значения приведенных упругих постоянных а1;) в следующих случаях взаимного расположения берегов систем трещин:

(а): берега трещин всех систем полностью сомкнутся одновременно;

(б): берега трещин всех, систем неконтактируются одновременно и свободны от напряжения;

(в): берега трещин га,(т=1,2,3), системы сомкнутся полностью, а берега остальных (3-т) систем неконтактируют и свободны от напряжения одновременно.

Анализ значений приведенных упругих постоянных для алевроли-

ть, вычисленные по формулам (4.10) с учетом (4.5) и (4.6), пока-' зывает на сильное влияние отношения ш/1, где 1 - полудлина щели, у - полупериод, на их изменениях при фиксированных значениях углов, наклона фк, азимутов фк, (к=1,2,3). В этих численных вычислениях начальные данные для упругих постоянных ненарушенного горного массива (для влевролита) взяты из монографии Ж.С.Ержанова "Теория ползучести горных пород и ее. приложения", Алма-Ата, Наука, 1964, 175с., а также длины щелей всех систем трещин положены равными ^=12=1^1, хотя имек/т разные углы падения и азимуты. При увеличении отношения и>/1 приведенные упругие постоянные сплошного массива стремятся к значениям упругих постоянных ненарушенного массива.■ При ш/1 ^ Б они совпадают.

Влияния углов падения и азимутов также -значительны, но очень затруднительно дать ответ на вопрос, при каких углах приведенные упругие постоянные максимальны или минимальны при фиксированном ы/1.

Приведем матрицу [а] приведенных упругих постоянных для алевролита, содержащего три различные системы тектонических трещин в виде таблиц при Ж = 0,Б2-10ъкг/смг = 0,6Ь101ОПа, v=0,20; Фк=0? 7Б? 135°; <1^=45°,60°, 180°, (к=1,2,3); (ш-1)/1 = 0,1 (Таблица 4.1 и 4.2). Сравнение матриц показывает, что случай неконтактирования берегов щелей системы одновременно является наихудшим случаем для изменения постоянных. Например, значения элементов вгг, 833 главной диагнали друг от друга отличаются примерно 3 раза, а остальные элементы этой диагнали от 1,2 до 1,4 раза.

Из представления (4.Б), (4.6) и (4.10) видно, что:

- если в горном массиве отсутствуют трещины, т.е. массив ненарушен, то он является изотропным массивом;

- при всех 1к/(1>* (к=1,2,3) эти постоянные стремятся к величине упругих постоянных ненарушенного массива;

- полагая сначала 13=0, затем 12= 0 получим приведенные упругие постоянные массива, эквивалентного массиву, ослабленному двумя, одной системами трещин поочередно. '

1 Отметим, что при фк= 0 формулы для определения приведенных упругих постоянных качественно совпадают с формулами-, полученными К.В.Руппенейтом при условии полного контакта- щелей; и> 1 = ы = «>.

Таблица 4.1

Значение элементов а1;) матрицы [а] в случае полного контакта вдоль щели во всех системах одновременно (10,оПа>)

11,25 - 6,29 -3,99 5,60 -4,86 -0 ,61

-6,29 8,64 -0,11 4,22 1,22 -2 .43

-3,99 -0,11 3,46 2,96 3,63 -4 ,54

5,60 4,22 2,96 50,62 ° 9,06 -9 ,46

-4,86 1,22 3,63 9,06 21,41 -3 ,65

-0,61 -2,43 -4,54 -9,46 -3,65 31 ,70

Таблица 4.2

Значения элементов а^ матрицы [а] в случае неконтакта вдоль щели всех систем одновременно (10ю Па)

-7,90 6,35 -0,74 9,00 -2,51 14,90 0,00 13,44 26,75 -8,09 -8,09 40,39

В пятой главе "МОДЕЛЬ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД О П СНСТШАМИ ТЕКТОНИЧЕСКИХ ТРЕЩИН" излагается способ построения модели массива, содержащего множество трещин.

Совокупность трещин в массиве образует пространственную сеть. По данным М.В.Раца и С.Н.Чернышева в зависимости от взаимного расположения (ориентировки) выделены пространственные сети:

- системные, образованные п системами различно ориентированных трещин (п=1,2,3...);

- хаотические, когда системы трещин не выделяются или число систем очень велико (практически п > 10);

- полигональные, когда все трещины параллельны одной линии и в перпендикулярной к »той линии плоскости образуют характерные замкнутые многоугольники с числом сторон в среднем более четырех.

Моделирование механического поведения горного массива с п системами трещин проводились разными способами. Например, по

[ а 1=

16,49 0,18 0,02 12,24

0,18 24,76 5.25 -5,26

0,02 3,25 9,43 -2,76

12,24 -5,26 -2,76 52,15

-7,90 -0,74 -2,51 0,00

6,35 9,00 14,90 13,44

К.В.Руппенейту, "благодаря трещиноватости массив горных пород часто представляет собой в каждой отдельной точке ортотропную среду даже при наличии по массиву в целом многих систем трещин". Такое утверждение верно, по-видимому, только тогда, когда оси сквозных трещин имеют единое направление. По Л.Мюллеру, массив горных.пород - это система многих тел, "когда горная масса насквозь "пронизана трещинами", причем отдельные тела, ограниченные трещинами, располагаются совершенно изолированно, как строительные камни в контейнере или мозаике". Здесь затруднения, возникающие при использовании математических способов при решений вопроса о состоянии материала, весьма велики. Он же для характеристики эквивалентной анизотропной сплошной среды в управление ввел 21 независимых постоянных.

Так как поверхности напластования и другие плоскопаралл&дьные разрывные нарушения ухудшают.механическое состояние гордых пород в натурных условиях по сравнению с характеристиками, получаемыми на основе испытания отдельных образцоы Р.Гудман считает, что горные массивы, рассеченные системами трещин также обладают анизотропией прочности. При этом он утверждает, что одна система трещины залегает обычно параллельно поверхности напластования, а две системы или более - в других направлениях.

Эти исследования показывают, что каждая система тектонических трещин определенным образом ослабляет массив. Следовательно, массив, содержаний упорядоченные и произвольно ориентированные в пространстве п систем тектонических трещин, эквивалентен по жесткости сплошному анизотропному общего вида массиву, приведенные упругие постоянные которого вычисляются по формуле (4.10), где К меняется от I до п, а другие индексы - от I до 6.

И в атом случае из формулы (3.1) можно вычислить значения приведенных упругих постоянных при следующих взаимных расположениях противоположных берегов трещин:

(а): все трещины л систем полностью сомкнутся одновременно;

(б): все трещины п систем не соприкасаются и свободны от внешних усилий одновременно;

(в): все трещины га (ш < п) систем сомкнутся, а все трещины (п - т) систем не сомкнутся и свободны от внешних усилий одновременно.

Шестая глава "СРАВНЕНИЕ РЕШЕНИЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ И МОМЕНТКОЙ ТЕОРИИ ¡УПРУГОСТИ ДНЯ ПЛОСКОСТИ С ФИЗИЧЕСКОЙ ЩЕЛЬЮ" посвящена изложению метода решения задачи и сравниваются напряжения'в

родолжении физической щели.

В предыдущих главах работы на основе решения смешанной задачи линейной теории упругости для изотропной плоскости, ослабленной двоякопериодической системой физической щели разработана расчетная модель тектонически трещиноватого массива горных пород.

Напрашивается вопрос: нельзя ли разработать подобную модель . на основе решения аналогичной задачи другими теориями упругости?

Ответить на этот вопрос затруднительно, потому что решение смешанной задачи теории упругости для плоскости, ослабленной двоякопериодической системой физической щели с конгактируюдими берегами, дру-—гими теориями упругости не получено до настоящего вре-. мени.

Приближенный ответ на данный вопрос макет дать сравнение решений смешанной задачи линейной и моментной теорий упр., _ ости для изотропной плоскости, ослабленной одной прямолинейной физической, щелью..

Решения первой и второй основных задач теории упругости для ' изотропной плоскости с трещиной и проблемы разрушения связаны о именами Г.И.Барэнблатта, Дж.Гудьера, А.Н.Гузя, А.Гриффитца, Дж.Ирвина, А.А.Каминского, Б.В.Нострова, Г.Либовица, Л.В.Никитинаi В.Н.Никифировского, В.В.Панасюка, 'В.З.Партона, Ю.Н.Работнова, Дж.Райса, С.А.Христиановича, Г.П.Черепанова, Е.И.Шемякина. . Случай Полного контакта противоположных берегов трещины исследованы в ра, ботах Л.И.СЛ8пяна,.Г,П.Черепанова, а случай частичного контакта в работах В.И.Массаковского и его учеников Л.Е.Вэрковича, Л.Т.Бойко и А.П.Загубиженко.

, • Аналогичные вопросы моментной теории упругости изучены . работах Э.Л.Аэро и Е.В.Кувшкнского, А.Н.Гузя, А.И.Каландия, В.Т.Койтера, братьев Е» и Ф.Коссера, Р.Д.Миндлина, Н.Ф.Морозова, А.Кейбера, D.H.Немиша, В.А.Пальмова, Г.Н.Сэвина, В.Фойхта, а ; аналогичные задачи обобщенно-моментНой теории упругости - в работах В.А.Ломакина, Р.Д.Миндлина, Р.А.Тугаша.

Рассмотрим краевые задачи линейной и моментной теории упру; гости об определении напряженного состояния изотропной плоскости, ослабленной физической щелью с контактирующими берегами и находящейся под действием усилий, приложенных на бесконечности. Для линейной задачи задаются вдоль щели условия (I.I), и.напряжения о™, а", а™ на бесконечности, а для моментной добавляются моментами напряжения равные нулю на бесконечности и вдоль щели.

Характер распределения компонентов напряжений на плоскости вдоль продолжения щели имеют вид:

- для физической щели полностью контактирующими берегами: •

ож«2В-У."

о - 2В + в\ (6.1)

У 1 II

р(2В + В ) - 1р(2В + В ) - с Щх); ■

- для физической щелилеконтактирующими берегами:

ох = (2В + В ) Х(х) - 2в',

оу= (20 + в'шх), (6.2)

Характер распределения напряжений на плоскости ' вдоль продолжения физической щели по моментной теории имеет вид:

- для физической щели с полностью контактирующими берегами:

= 2В -В*, « 2В + В*,

^ Р(2В + в' )~1р(2В + в')-с'Н1- (6.3) -(2(1-у)сг12/(х2-1г)гЩх),

« 2(1—V)Iр(2В+В*)-с'] *(*>.

* . (х^-1 )

Му = 0;

- для физической щели с неконтактирующими берегами:

<£= (2В+в')(Н12(1^)сг12/(хг-12)гХ(х)-2в''

о" = (2В+в')П-12(1-у)сг1г/(хг-1г)г)Х(х),

*

г" = г" = - с'и-12(1-у)сг1г/(хг-12)гЩх).

♦У-

Мх - - 6(1-у)сг1гД(х)/(хг- I2), ' (6.4)

Му = 6(1-1>)с21гХ(х)/ (х2-1г),

ГД9 с - новая постоянная, равная квадратному корню отношения из-габчо-крутильного модуля 0* к модулю сдвига С, т.е. с2= б*/С;

„00. „со 0_

в и в'= - —г с'= , х(х) = —

+ 2 - ^Г-н

Сравнение (6.1) и (6.3) показывает, что для плоскости с щелью полностью контактирующими берегами вдоль контакта нормальные напряжения о^ = ах, о , в касательные напряжения ' отличаются, т.е. при |х|>1 разница

1 2 2 ■ т = - 12(1-^)[р(2В+в')- с' ] (6.Б)

ТХ ту (X -1 )

Сравнение (6,2) и (6.4) показывает, что в случае щели некон-твктирувдими берегами при |х| > 1 имеет место:

'(6.6)

о"- о = 12(Ц,)(2В+В,)'-2^-5-5 К*),

...хх (Х2-1г)г

, Из представлений (6.5) и (6.6) видно, что разницы Меяду напряжениями, получаемыми классической и момэнтной теория?«! упругости равны величинам, содержащим выражение 12(1^)сг1г/(хг-1г)г как множитель. Поэтому проследим за изменением этого множителя в продолжении щели при V = 0.2, х = п1, (п =1.1; 2.0; 3.0) и отно-э еЬншг с/1 « 0.3,- 1.0: 2.0; 10.0. .

| • Таблица 6.1.

в - 1Л

п = 2

с/1, равном

0.3 1 2 10 0.3 1 2 10 0.3 1 .2 10

1г(-г-у)сг12 (хг-12)2

0.60 6.7 27 672 0.09 0.96 3.96 96 0,02 0.2 20

\! 1 Из таблицы 6.1 видно, что этот множитель .быстро ' убивает н? Продолжении физической щели;его значения в интервале 0 « с/1 < 1.0

п

на один иди более порядок меньше, чем значения с/1 в интервале [2,®1, что подтварвдает больших разниц между напряжениями в последнем; при с = 0 этот множитель равен нулю, и. формулы (6.1) и (6.2) совпадают с формулами (6.3), и (6.4) соответственно, т.е. получаются результаты классической теории упругости.

. Таким образом, модели системной трвщиновагости массива горных пород, основанные на решении смешанной задачи классической и мо-ментной теории упругости, не будут отличаться при условии, если параметр с/1 находится в интервале 10,11.

Седьмая глава "ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ПОДЗЕМНАЯ ВЫРАБОТКА, В МАССИВЕ ГОРНЫХ ПОРОД, ОСЛАБЛЕННОМ ПРОИЗВОЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННЫМИ СИСТЕМАМИ ТЕКТОНИЧЕСКИХ ТРЕЩИН" посвящена применению разработанной модели к исследованию напряженно-деформированного состояния тектонически трещиноватого массива вокруг глубоких горизонтальных незакрепленных и закрепленных выработок.

Широкое применение строгих аналитических методов механики сплошных сред к исследованию закономерностей распределения напряжений и перемещений около горных выработок в упругом однородном массиве бербт. свое начало из работ А.Н.Дннника, А.Б.Мор-гаевского и Г.Н.Савина, На основе модели горного массива как изотропное, транстропное и ортотропное тела исследование напряженного и деформированного состояния выработки и взаимодействие их жестких, деформируемых крепей о окружающим упругим и упругоползучим массивом восходит к классическим работам де.С.Ержанора и М.И.Розовского, а в настоящее время , успешно развиваются в трудах Ш.М.Айталиева, И.Т.Айтматова, Л.А.Алексеевой, , М.Т.Алимжанова» Б.З.Амусина,, Т.Б.Байтелиева, С.А.Батугина, .Н.С.Булычева, Ю.А.Векслера, Й.А.Гарагаша, В.Т.Глушко, А.Н.Гузя, Ж.С.Ержанова, А.Н.Зорина, Ю.В.Изаксона, А.А.Калыбаева.А.К.Кудай-„лулова, С.В.Кузнецова, Ж.К.Ыасановв, Н.И.Мироненко, А.Г.Протасени, Ю.Н.Серегина, А.Н.Тюреходжаева, . Н.Н.Фотиовой, К.Х.Халманова, . и других авторов. ;

В главе приводится краткий обзор работ этих авторов, причем из большого количества работ, посвященных различным аспектам механики горных пород и горного производства, выбраны те работы, кторыв имеют отношение к вопросам, рассматриваемым в данной диссертации. .

Массивы горных цород обычно характеризуются распределенными произвольными системами тектонических трещин, разделяющими горную

породу на части - отдельностей. Следовательно,

трещиноватый массив, в котором заложены подземные сооружения, не может рассматриваться как сплошная среда, и распределения напряжений и перемещений в нем не являются непрерывными функциями точек. В этом случае математический аппарат механики сплошной среды не применим для изучения поведения горного массива вокруг подземных сооружений. Поэтому в других параграфах этой главы, согласно разработанной .модели горных пород, исследование механического поведения массива с тремя и более упорядоченными • и произвольно ориентированными в пространстве системами тектонических трещин вокруг выработок сводится к изучению механического . поведения эквивалентного анизотропного общего вида массива вокруг выработок, приведенные упругие постоянные которого определяются матрицей (4.10). Отметим, что координатная система, относительно которой определены эти постоянные, фиксирована, так как продолъ-. ная ось общего направления всех систем трещин строго направлена на северный полюс Земли в виду того, что в диаграммах трещиноватости азимуты систем откладываются от направления на север.

Сначало рассмотрено напряженное состояние нетронутого (ненарушенного) анизотропного массива, эквивалентного массиву, содержащему три и более разные системы' упорядоченных тектонических трещин. Исходя из гипотезы А.Н.Динника, утверждающей об отсутствии Горизонтальных перемещений в нетронутом массиве:

и°= 0, у°= у°(у), и°= 0, (7.1)

найдем напряжения в нетронутом массиве:. 3

о° = -7 Н. О° = -\ее7Н.

ЛгТН, = -Хгг7Н, = (7.2)

* '

где 7 - удельный вес; Н - глубина рассматриваемой точки; Хп, \гг, к , \ , к , \ - коэффициенты бокового давления или распора.

Х2 у2 ху

; В предположении, что в анизотропном массиве, эквивалентном тектонически трещиноватому массиву, пройдена горизонтальная выработка глубокого заложения, продольная ось которой отклонена от. северного направления на произвольный угол ф, (0 $ ф $ 2*) и массив находится под давлением усилий (7.2) изучены упруго-мгяовен-

ное и упруго-вязкое (упруго-наследственное) напряженно-деформированное состояние этого массива. Сформулирована задача о начальном упругом состоянии вокруг незакрепленной выработки зллептического (кругового) поперечного сечения в условиях обобщенной плоской деформации и дано ее решение ' *. Например, для окружного нормального напряжения имеем:

°6 = °0 + °в° • (7'3) где Од и Од° - компонентц напряжений основного и дополнительного напряженного состояния соответственно.

Исследовано упруго-вязкое 'напряженно-деформированное состояние массива вокруг незакрепленной выработки и установлено, что напряжения вокруг незакрепленной выработки не релаксируют и перемещения точек контура по времени пропорционально дополнительным перемещениям.

В условиях обощенной плоской деформации решена задача об определении компонентов напрякелий и перемещений вокруг эллиптической (круговой).выработки, закрепленной жесткой .(недеформируемой) крепью. Получены формулы для вычисления неустановившихся контактных давлений па жесткую крепь в виде:

Р = °г и ■ Рв= Тг9 Ц • I г-в • = 1 г-Н • <7'4>

В условиях обобщенной плоской деформации рассмотрено влияние формц поперечного сечения выработки, мало отличающегося от кругового или эллиптического, на распределения напряжений и.перемещений около незакрепленной и закрепленной выработок методом малого, параметра.

Приведем некоторые результаты численного анализа на ЭВМ распределения напряжений вокруг выработки, вычисленных формулами (7.3) и (7.4). Причем здесь и в дальнейшем величины напряжений .сравниваются с аналогичными величинами, приведенными в вышеуказанной монографии Я.С.Е^жанова, так как в изотропной модели . массива горных пород его упругие постоянные не зависят ,от направления оси выработки. Отметим также, что по результатам численного анализа распределения напряжений качественно совпадают с данными монографии Ж.С.Ержанова, Ш.М.Айталиева и Ж.К.Мас&нова "Устойчивость горизонтальных выработок в наклонно-слоистом массиве", Алма-Ата, Наука, 1971, 160с. ввиду того, что здесь распределения напряжений зависят от направления оси выработки относительно основной оси координат.

Численный расчет проведен для анализа распределения напряжении вокруг выработки, заложенной в массиве с тремя произвольно ориентированными в пространстве системами тектонических трещин. Исходные данные для приведенных упругих постоянных эквивалентного анизотропного массива взяты из таблицы 4.2.

На рис.2 приведена эпюра окружного нормального напряжения- -- ст0/7111 вокруг незакрепленной выработки и ее сравнение с эпюрой напряжений в изотропном массиве. Видно, что нарушается симметричность распределения напряжений в анизотропном массиве. При негидростатическом распределении появляются растягивающие напряжения, а в изотропном массиве, как известно, они не появляются. На рис.3 приведены эпюры контактного давления р = -о"|тН |г=к. вокруг закрепленной круговой выработки ко времени стабилизации. Тоже наблюдается нарушение симметричности распределения контактных давлений. Величина радиального давления р = -о"| гН в анизотропном массиве меньше аналогичного давления в изотропном массиве.

В восьмой главе "ШАХТНЫЙ СТВОЛ В МАССИВЕ ГОРНЫХ ПОРОД, ОСЛАБЛЕННОМ ПРОИЗВОЛЬНЫМИ СИСТЕМАМИ ТЕКТОНИЧЕСКИХ ТРИТОН" излагается применение расчетной модели к исследованию напряженно- деформированного состояния трещиноватого массива вокруг шахтного ствола.

Число опубликованных работ по исследовании нанряжеяно-дефор-кпрованного состояния вокруг шахтного ствола велико. Задача о распределении напряжений и перемещений в однородном теле с незакрепленным стволом рассмотрена А.Н.Динником и С.Г.Лехницким, аналогичная задача для незакрепленного и закрепленного шахтных стволов в условиях ползучести горных пород - Ж.С.Ержановым, методика расчета различных крепей - Н.С.Булычевым и Н.Н.Фотиевой.-' Напряженное состояние вокруг шахтного ствола в трвнстропном массиве с горизонтальной плоскостью изотропии изучено С.Г.Лехницким, а впервые влияние наклона плоскости изотропии но устойчивость шахтного ствола - И.С.Ержайовым и А.Я.Синяевым. Устойчивость породных стенок и их взаимодействие с крепями в зависимости от наклона поверхностей напластования и с учетом ползучести горных пород в предположении, что поверхности напластования плоско-параллельны и наклонены к горизонту под некоторым углом, исследованы в работах Ж.О.Ержянсва, ш.М.АЛтялгева л й.К.Масшюва. В этих работах не учтены прерывность сцепления слоев. Последняя изучалась в работах Ж.С.Ержанойя и его учеников, где на основе тракстрстной :г ортотропной модели горного массива, эквивалентных массивам с одно;:

или двумя системами трещин, рассмотрены напряженное и деформированное состояния незакрепленного и закрепленного вертикальных шахтных стволов в условиях ползучести горных пород. В этой серии работ не учтены разориентированность и наличие нескольких систем тектонических трещин, ослабляющих и делящих горные порода на отдельности.

В этой главе в рамках разработанной моде™ тектонически трещиноватого массива решена задача по определению напряжений и перемещений вокруг незакрепленного и закрепленного шахтных стволов, заложенных в трещиноватом гравитирующем массиве . Например, радиальное перемещение V вокруг незакрепленного шахтного ствола находится как

где и - перемещения, соответствувдие основному и дополнительному полям деформированного состояния.

Выяснено, что свойства ползучести сказываются лишь на величинах перемещений. Изучена совместная работа жесткой (недеформи-руемой) крепи с окружающей его породой.

На рис.4 приведена эпюра радиального перемещения уг вокруг незакрепленного вертикального ствола, вычисленного по формуле (8Л) в предположении, что горный массив содержит три упорядоченные и произвольно ориентированные в пространстве одинаковые системы тектонических трещин. Значения перемещения уг точек контура шахтного ствола указывают на неравносерность их распределения. Наиболее они проявляются при негиростатическом распределении напряжений в нетронутом массиве.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации осуществлено решение научной проблемы обоснование и разработка расчетной модели горного массива, учитывающей при освоении рудных и угольных месторождений его трещиноватую структуру и наличие нескольких систем тектонических трещнн, делящих массив на отдельности. Это позволяет совершенствовать постановку задачи и методы расчета устойчивости и прочности подземных сооружений различного назначения, способствуя проектированию и выбору соотвествукдах природным условиям пара' метров.

Основные результаты"выполненных исследований заключаются в

следутаюм:

1. Решена смешанная задача теории упругости для бесконечной упругой изотропной плоскости, ослабленной двояконериодической системой физических щелей.

2. Докапана теорема единственности и существования решения второй и смешанной основных задач теории упругости для упругой изотропной плоскости, ослабленной двоякопериодической системой одинаковых отверстий. В совокупности с аналогичной теорией для первой основной задачи,'доказанной В.Т.Койтером, можно утверждать, что решение смешанной двоякопериодической задачи теории упругости для плоскости с двоякопериодическими щелями корректно.

3. Даны постановка и решение . пространственной задачи приведения для массива горных пород, ослабленного произвольно ориентированными в пространстве системами тектонических трещин.

4. На основе решения смешанной задачи теории упругости из определения эквивалентности по жесткости сплошного анизотропного массива с горным массивом с ослабляющими упорядоченными и произвольно ориентированными системами тектонических трещин найдены приведенные упругие постоянные (приведегаше коэффициенты деформаций) сплошного анизотропного массива, как функции от упругих постоянных массива и

геометрических характеристик систем трещин, углов падения ' и азимут-в падения плоскостей напластования каадой системы.

Б. Получены решения смешанной задачи линейной и моментной теории упругости для плоскости, ослабленной физической щелью, и дано сравнение поведения напряжений в продолжении щели. ^

6. На базе предложенной модели тектонически трещиноватого массива торгах пород (в условиях обобщенной плоской деформации), решена задача механики горных пород по определению компонентов напряжения и перемещений вокруг незакрепленной и закрепленной горизонтальных выработок, и аналогичная задача для вертикального шахтного ствола в гравитирумпем массиве. Получены формулы для вычисления контактных давлений, обусловленных ползучестью горных погод.

7. Но основе численного анализа выяснено влияние найденных приведенных упругих постоянных на распределения напряжений и по- • р<?мешений вокруг незакрепленных и закрепленных подземных сооружений {"Г'личвого назначения бчз учета или- с учетом свойст..

• Jri -

ползучести горних пород.

Основное содержание дасоортации опубликовано в ляодцощиа работах:

1. Ержанов Ж.С., Тусупов М.Т. О второй основной задаче дли упругой плоскости с двоякопериодической системой одинаковы?: отверстий.// Известия АН КазОСР, сер. физ.-мат., 1967, Но 3.

2. Тусупов М.Т. О существовании решения второй основной двоякопериодической задачи теории упругости,// Известия АН НазССР, сер. физ.-мат., 1967, No 5.

3. Тусупов М.'Г. Об одном приближенном методе решения двоякопериодической задачи теории упругости.// Материалы <>тч«?но~ научн. конференции по математике и механике, Алма-Ата, Наука, 1ЭВ8.

4. Ержанов .0., Кайдаров К.К., Тусупов М.Т. Горний массив с несплошным сцеплением слоев.// Механические процессы в горном массиве, Алма-Ата, Наука, 1969,

Б. Ержанов Ж.С., Тусупов М.Т. К решению двоякопериодической задачи теории упругости. // Концентрация напряжений. Киев, Наукова думка, 1969.

6. Ержанов Ж.С., Кайдаров К.К., Тусупов М.Т. Модель несшюшного вякоунругого горного массива.// Материалы Всесоюзного симпозиума по проблеме реологии горных пород и релаксации в твердых телах. Киев, Наукова дамка, 1969.

■ 7. Тусупов М.Т. Об общем решении задачи линейного сопряжения для двоякопериодической системы щелей.// Материалы второй научной конференции молодых ученых АН КазССР, Алма-Ата, Наука, 1970.

8. Тусупов М.Т. К решению второй основной задачи теории упругости. // Труды Института математики и механики, т.1, Алма-Ата, изд.КазпромстройНИИпроект, 1970.

9. Ержанов Ж.С., Кайдаров К.К., Тусупов М.Т. Модель слоистого горного массива.// Труда III Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике, Алма-Ата, 1970.

10. Тусупов М.Т. К определению приведенной жесткости массива с несплошшм сцеплением слоев.// Прикладные задачи механики горных пород, Алма-Ата, Наука, 1971.

11. Ергаюв Ж.п., Кайдаров К.К., Тусупов М.Т. Напряженное

состояние однородного кругаюслоистого горного массива.// В кн: "Проблеш механики горных пород", Новосибирск, Наука, 1971.

12. Ержанов Н.С., Тусупов М.Т. Модель сжимаемого слоистого

горного массива.// Ii кн.: "Пр^бломине т. опросы механики горних пород". А.шп Л та, Ноукп, 1Р7Я.

Ю. 'Гупупов M.Т., ГЪзднпков A.B. Этдпч о физической щели в упругом однородном плчаотрстон т».че. // ^эт^риа.вд научной конференции Инетнтутг. г/чт<?мотики и механики. Алма-Ате, Наука, 1973.

14. Ерясанов Я. С., Алдамтаров К. Б., Синяев А.Я., Ту супов М.Т. Расчетная вягко-упругоя модель упорядоченно-трешиноватого массива и приложения.// отражение современных полей напряжений и свойства п 'род в состоянии скальных массивов,'Апатиты, Изд. КФАН ссор, 1977.

15. Ержанов Ж.С., Алдамжаров К.Б., Тусупов М.Т. Напряженное состояние подземного сооружения в упоряжоченно-тревишоватой толще. //Известия АН КазССР, физ.-мат., 1977, No I.

16. Ержанов Ж.С., Киоль П.,Синяев А.Я.,Гюльс В.,Тусупов М.Т., Вюсте v., Алдамжаров К.Б., Георги Ф. Основы расчета прочности подземных сооружений в. трещиноватых скальных породах. Алма-Ата, Наука, 1973.

17. Ersanow Z.S., Knoll P., Sln.jaew A.I., Hüls ff., Tusupov? Ü.T., Wüste U., Aldcmzarow K.V., Teorgl F. Berechurungmodllle finies deklufte Gebirge und Ihre Anwmung. Frelberger Forschungshefte. i.596. Berban and Geoteohnlk Cleblrge und Felgmechanlo. Leipzig, 1978.

T8. Тусупов M.T., Алдамжаров К,Б. К решению задачи теории упругости для плоскости с двоякопериодической системой щелей. //Вестник АН КазССР, 1979, No I.

19. Алдамжаров К.Б., Синяев А.Я., Тусупов М.Т. Расчет напря-шнного и деформированного состояния горных выработок в массиве ¡слабленном несколькими системами тектонических трещин. //Горные дары, методы оценки и контроля удароопасности массивов, Фрунзе, 'лим, 1978.

20. Ержанов Ж.С., Тусупов М.Т. Обоснование модели массива, слабленного тремя я системами тектонических трещин. /ЛИз-естия НА!! PK, о;р. , I?93, No 3, с.34-38. ■

21. Еря-янов К.С., Туупсп М.Т. Смооашмя задача теории упру-ости двоякогуря'.'лл'ксяо.П системы ïvmeciavi ¡целой. //Известия HAH К. сер.фиэ-\пт., ÎHKi, '¡о Б, с,70-76.

22. 'Гусун"п М.Т. К ресет'ю двоякопериодической задачи об уп-SfroR плоскости с щелями. // Дел. в КазгосШГГИ,

3.03.94, Геглст. 4688-И^34. -С.7.

23. Тусупов М.Т. Модельное иссждошлша тектонически трещиноватого упругого массива. //Деп. в Ка:<т'осШГШ, 18.03.94. Гогист. 4692-КаЭ4. -С.20.

24. Тусупов М.Т. Горизонтальная выработка в влзкоуиругом тектонически трещиноватом массиве. //Деп. в КазгосИНТИ, 1603.94. Уо-гисгр. 4691-Ка94. -С.19.

25. Тусупов М.Т. Шахтный ствол в вязкоупругом тектонически трещиноватом массиве. //Деп. в КазгосИНТИ, IG.03.S4. Регистр. 4690-Ка94. -С.12.

Гис. I. Расчетная схема для двоякопериодичэской задачи теории упругости.

Pue.2. Эгюра'напряжения - о^Н вокруг незакреплённой

выработки: I - нигидростатическоо распределение, 2- гидростатическое распределение; изотропный случай 1 }:"G - гидростатическое распределение, 4 - негидростатическое распределение.

Рис.3. Отпора радиального давления - о"/7Н ко времени стабилизации и=600ч): I' - негидростатическоэ распределение, 2 - гидростатическое распределение; пзотропный случай Г 3 - негидростатическое' распределение, 4 - гидростатичес-к:п ргюпредоляние.

01

Рис.4. Эпюра радиального перемещения - у •ш'^-уЩ

вокруг шахтного ствола: I- в тектонически трещиноватом массиве; 2 - в изотропном массиве I \

TYCYTIOB MyxaMej Tycynyjuj

TAY HfflbiCTAPU K87EHIHIH XYHEJII MPLKIU/MTlBMi HOEAflH 30HE OHH HARMIAHy

CepnliwiJiiK TeopnacbSHbHi eid nepHOtfiu aparac ecefiiH sshb KejtTipy ecetfln niemy Heri3iH4e TeKTOHHKa/iiJ xaptiKTU Tay xbtHMcrapn KejeMiHiH ecenxix Hotfaflu aHMKTaJiraH xane xacaJiraH. HoCaflflH Tay KuiiHCTapH Ke-i?MiHiH xep acru ruMbipaTTapu MaKMiutaru KepHeyalK-№?»3pMamisutK kyPHh sepTTeyre KOJinaHY kerceri^roH.

TUSUPOV Muchamed Tusupovich [Muchamed T.TUSUPOV]

MODEL OP SYSTEM CHACKING ' OF ROCK MASSIF AND ITS APPLICATION

The calculated model technically cracking rock masssif are based and developed on the mixed two-periodical problem of elastic theory. It Is shorn the application ol thla model to Investigation of stressed-deformed state of rock massif around underground constructions.