Напряженное состояние и физико-механические характеристики пористых и волокнистых композитных материалов регулярной структуры тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Разработка метода определения двоякопериодических решений уравнений Лапласа, бигармонического, Ляме и Гельмгольца.

1.1. Двоякопериодические решения уравнения Лапласа.

1.2. Двоякопериодические решения бигармонического уравнения.

1.3. Двоякопериодические решения уравнений Ляме.

1.4. Двоякопериодические решения уравнения Гельмгольца

ГЛАВА 2. Напряженное состояние и физико-механические характеристики волокнистых композитных материалов.

2.1. Продольный сдвиг и теплопроводность волокнистой композитной среды.

2.2. Обобщенная плоская деформация волокнистой среды.

2.3. Зависимость анизотропии упругих свойств волокнистого композита от его структуры.

2.4. Температурные напряжения в волокнистом композите.

2.5. Зависимость анизотропии теплового расширения волокнистого материала от его структуры.

ГЛАВА 3. Напряженное состояние перфорированной пластины, сквозь отверстия которой пропускается газ с периодически изменяющейся во времени температурой.

3.1. Постановка задачи термоупругости.

3.2. Приведение пространственной задачи теплопроводности к двумерной.

3.3. Решение задачи теплопроводности.

3.4. Напряженное состояние перфорированной пластины, сквозь отверстия которой пропускается газ с периодически изменяющейся во времени температурой

3.5. Эффективные упругие характеристики перфорированных пластин.

Создание новых пористых и волокнистых композитных материалов с наперед заданными физико-механическими свойствами является актуальной проблемой материаловедения.

Волокнистые композиты, обладающие более высокой, чем у металлов, удельной жесткостью и прочностью, химической стойкостью и антикоррозионновтью, повышенной демпфирующей способностью, жаропрочностью и другими полезными свойствами находят широкое применение в авиационной, космической и судостроительной отраслях техники, в машиностроении, энергетике, химической и газовой промышленности, транспорте^ [29,35,40,41].

Однородные материалы с цилиндрическими пустотами можно рассматривать как частный случай волокнистых, когда роль включений выполняет воздух, газ или вакуум [ 39] . Среди них -перфорированные пластины произвольной толщины, а также предельные варианты таких пластин - тонкие перфорированные пластины и сплошная среда, содержащая однонаправленную систему цилиндрических каналов.

Перфорированные пластины применяются во многих инженерных конструкциях: в теплообменных аппаратах, ядерных реакторах, в прессах и давильных аппаратах, в качестве элементов многих рамных конструкций и т. д. [47,58]. в частности, одна из широко распространенных конструкций теплообменника регенеративного типа имеет форму пластины с регулярно раположенными цилиндрическими каналами [50].

Во время работы такого теплообменника через одну и ту же матрицу поочередно пропускаются два потока газа. При этом горячий газ отдает тепло стенкам матрицы, а холодный газ, проходя через то же пространство в последующий интервал времени, забирает отданное тепло. Тепловая энергия аккумулируется в твердом теле, проникая в него до глубины, которая автоматически достигается тепловым потоком в зависимости от эксплуатационных условий.

Существующие в настоящее время описания работы регенератора базируются на ряде упрощающих предположений.

Так, в зависимости от конструкции теплообменника для него принимают некоторое идеализированное допущение относительно его теплопроводности в продольном и поперечном направлении [9§ : Лд Xz-m-, = m = condi).

Пористая матрица теплообменника моделируется сплошным телом (прямоугольная плита [94) , набор кольцевых сегментов [59] и т. д.), которое поочередно омывается двумя газами. Далее выделяется малый элемент матрицы и для него с учетом упрощающих предположений о теплопроводности составляется баланс энергии, приводящий к дифференциальным уравнениям относительно неизвестных температур матрицы и газа в функции времени и координат (одной или двух). Полученные дифференциальные уравнения решаются аналитически или приближенно.

Большинство численных результатов|0,59,73,1получено в предположении о бесконечно большой теплопроводности матрицы в поперечном к потокам теплоносителя направлении. В работах |50,53 показано влияние осевой теплопроводности матрицы, а в [ЮО] - поперечной теплопроводности. Б статье [112] сообщается о развитии теории расчета регенераторов с появлением ЭВМ.

Поскольку выбор упрощающих предположений о продольной и поперечной теплопроводности матрицы для той или иной конструкции теплообменника является весьма субъективным, а моделирование матрицы сплошным телом не отражает реальной структуры, представляется целесообразной разработка более точной модели. Эта задача особенно важна при ^зработке и исследовании керамических теплообменников[34,36, имеющих относительно невысокий коэффициент теплопроводности и довольно толстые стенки матрицы.

Создание новых пористых и волокнистых композитных материалов и их рациональное использование требует развития моделей и методов для описания их физико-механических свойств и законов деформирования.

Определению напряженного состояния и физико-механических характеристик таких материалов посвящены многие специальные исследования и ряд книг. Среди них - монографии [14,25,28,30, 39,48,54,90] , содержащие обширную библиографию.

В В4] отмечается необходимость разработки методов инженерных расчетов разной точности: прикидочные расчеты (с точностью ± 20%), приближенные (±10%) и точные (±5%). Прикидочные расчеты используются для подбора подходящего материала и способа изготовления, приближенные - для сравнения возможных вариантов конструкций из подобранного материала, точные - для установления оптимальной формы изделия и определения гарантийного срока службы.

Важным достоинством точных методов является возможность использования их для выяснения погрешности и пределов приемлемости различных приближенных методов.

В последние два десятилетия строгие подходы к решению задач механики структурно-неоднородных материалов получили интенсивное развитие. Из них наиболее широко распространены статистические методы и моделирование реальных неоднородных структур регулярными.

Статистическими методами исследования структурно-неоднородных материалов занимается большая группа как советских, так и зарубежных исследователей. Обзоры этих методов можно найти в [6,28,39,51,87,91] . Основным преимуществом статистических методов является возможность "охватить более широкий класс композитных материалов, причем они более соответствуют реальным структурам, имеющим хаотический характер" [28] .

Второй метод - регуляризации - исходит из того факта, что нередко в пространственном расположении неоднородностей имеется определенный порядок: волокна или пустоты в матрице имеют одинаковое направление, а их расположение в поперечном сечении носит характер, близкий к двоякопериодическому* перфорированные пластины имеют, как правило, правильную регулярную решетку перфорации.

Проблема исследования задач теории упругости для регулярных структур к настоящему времени продвинута достаточно далеко. Заметим, что такая модель композитного материала нередко хорошо отражает реальную структуру, так как одним из основных требований при "конструировании" волокнистого материала является строго параллельная ориентация и равномерное распределение волоконЩ .

В многотомных изданиях под редакцией Л. Браутмана, Р. йрока, А.Н. Гузя, а также в работах А.Л. Бердичевского, Г.А. Ванина, Э.И. Григолюка и Л.А. Филыптинского, В.Т. Голов-чана, А.С. Космодамианекого, Г.Н. Савина и других обсуждается состояние проблемы, систематизируется накопленный материал.

Выделяются два основных подхода к решению двоякопериоди-ческих задач: использование симметрии для сведения задачи к краевой задаче в конечной области и применение дваякопериоди-ческих функций.

При первом подходе, принимая во внимание, что геометрические и физические свойства упорядоченной структуры периодически повторяются в пространстве, выделяют элементарную ячейку - элемент объема, повторяя который можно получить весь материал. Далее при помощи соображений симметрии задача сводится к задаче о четырехгранной или шестигранной призме, содержащей одно отверстие или волокно. Затем задача о призме решается каким-либо численным или аналитическим методом.

Так, например, в монографиях[78,79] при исследовании де-формативных и прочностных свойств армированных пластиков решения плоских задач теории упругости ищутся в пределах элементарной ячейки для прямоугольной и гексагональной укладки волокон. Бигармоническая функция напряжений или перемещения запии гиперболические сываются в виде рядов, содержащих тригонометрическиеУфункции. Неопределенные постоянные в рядах ищутся методом точечного удовлетворения граничным условиям, который состоит из выбора конечного числа членов в разложениях соответствующих функций и последующего вычисления коэффициентов ряда исходя из удовлетворения граничным условиям задачи в конечном числе точек границы.

В статье [89] рассматриваемся волокнистый композитный материал с прямоугольной укладкой волокон под действием продольного сдвига. Решение двумерного уравнения Лапласа в пределах элементарной ячейки, которому удовлетворяет продольное перемещение, записывается при помощи тригонометрических рядов, содержащих произвольные постоянные. Эти постоянные определяются при выполнении граничных условий с использованием метода Фурье. Получены численные значения коэффициентов концентрации напряжений и эффективные модули продольного сдвига для прямоугольной решетки при различных значениях относительного объема волокон.

В [96] рассматривается плоская двоякопериодическая задача для перфорированных пластин с квадратной решеткой перфорации. Бигармоническая функция напряжений записывается в полярной системе координат в виде ряда; коэффициенты ряда определяются выполнением граничных условий и условий двоякой периодичности напряжений в решетке.

Гексагональные укладки волокон исследовались в работах [97], [Юб] 9 гексагональные решетки перфорации пластин - в [99,11(3, [Ш] • В статье [82] для неограниченного упругого массива с дво-якопериодической системой одинаковых цилиндрических каналов функция напряжений аппроксимируется тригонометрическими полиномами таким образом, чтобы для случаев гексагонального и тетрагонального расположения каналов в поперечном сечении выполнялись условия геометрической и силовой симметрии. ПрИменяется

Метод конечных элементов в пределах элементарной ячейки V в [47] при решении двоякопериодических задач для перфорированных пластин произвольной толщины с правильной треугольной решеткой перфорации, в [15,72] - при интегрировании уравнений теории упругости для однонаправленных волокнистых композитных материалов.

Использование двоякопериодических функций наиболее распространено в отечественных публикациях. Рассматриваются однонаправленные волокнистые композиты, перфорированные пластины. Решаются плоские задачи теории упругости с применением методов теории функций комплексного переменного. Двоякопериодические решения выражаются при помощи эллиптических функций Вейерштрасса, специальных мероморфных функций, двойных рядов.

Эллиптические функции Вейерштрасса и специальные мероморф-ные функции были впервые применены В.Я. Натанзоном[б1] для решения первой основной двоякопериодической задачи плоской теории упругости для внешности конгруэнтной системы одинаковых кругов, расположенных в шахматном порядке. На бесконечности рассматриваемая пластина равномерно растягивалась вдоль оси

X , совпадающей с линией центров отверстий; края отверстий предполагались свободными от внешних сил. Комплексные потенциалы, определяющие двоякопериодическое распределение напряжений в решетке, представлялись рядами по эллиптическим функциям Вейерштрасса и специальным мероморфных функциям, коэффициенты разложения определяются решением бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, которая получается при выполнении граничных условий. Бесконечная система является квазирегулярной при любом относительном размере области.

Эллиптические функции Вейерштрасса и специальные меро-морфные функции нашли последовательное применение в работах многих авторов и позволили решить широкий класс двоякоперио-дических задач теплопроводности, упругости и термоупругости.

Так в статье Л.М. Куршина и Л.А. Филыптинского [49] эллиптические функции Вейерштрасса используются при решении задачи о растяжении изотропной плоскости с гексагональным расположением одинаковых круглых отверстий. Решена задача приведения двоякопериодической решетки к эквивалентной сплошной плоскости. В последующих работах Э.И. Григолюка, Л.А. Филыптинского, обобщенных в [25] , приводится обоснование и дальнейшее развитие подхода. Исследуется растяжение и изгиб тонких пластинок со свободными отверстиями и отверстиями с включениями из инородного материала. Расположение отверстий - гексагональное или тетрагональное. Приводятся результаты вычисления распределения напряжений вблизи отверстий и значения жесткости решетки в зависимости от параметров решетки. В дальнейшем результаты были распространены на волокнистые композитные материалы. В частности, в статье [26] дается теория плоской задачи и задачи о продольном сдвиге упругого композитного материала, армированного конгруэнтными группами волокон произвольного поперечного сечения на базе функций Вейерштрасса и интегральных уравнений. В качестве примера рассматриваются эффективные модули сдвига боралюминия со сплошными волокнами эллиптического сечения, расположенными в вершинах прямоугольной решетки.

В [74] помещен обзор работ по концентрации напряжений около двоякопериодической системы отверстий; отмечается, что комплексные потенциалы могут быть построены или на основе представления Аппеля, или с помощью эллиптических фукций, причем в последнем случае возможны различные представления решений, но наиболее просто, по-видимому, воспользоваться функциями Вейерштрасса и теоремой о представлении любой дво-якопериодической функции через известные эллиптические функции и их производные,

В работах Г.А, Ванина [9 - 12, 38] двоякопериодические функции систематически применяются при исследовании волокнистых композитных материалов. Задача об общем напряженном состоянии композитов регулярной структуры сводится к системе двумерных задач при различных видах напряженного состояния, Решаются плоские задачи теории упругости с применением методов теории функций комплексного переменного. Решения представляются в виде рядов по функциям Вейерштрасса и специальным мероморфным функциям с последующим определением коэффициентов разложения из граничных условий. Исследуется распределение напряжений в композите,получены точные и приближенные формулы для эффективных физико-механических характеристик композитов со сплошными и полыми волокнами. Для композитных материалов, имеющих гексагональную и тетрагональную структуры, получен большой объем численных результатов. В итоговой работе [28] проведено выборочное исследование влияния геометрии и состава композита на его интегральные параметры и континуальные микронапряжения для случая простых решеток общего вида.

В работах А.С. Космодамианского и его учеников [4.3 при решении многочисленного класса двумерных и трехмерных задач теории упругости для многосвязных пластин комплексные потенциалы, удовлетворяющие условиям периодичности по двум периодам ty 9 , представляются рядами: где %-Х+Су'у P-/7l(t)jt/lcd£ (П2,/1=С>Ц.у9 штрих означает отсутствие членов, соответствующих Коэффициенты » b^k-i определяются из бесконечной системы, которая получается при выполнении граничных условий на контуре основного отверстия.

В работах Н.А.Шульги [28, 92, 93] изложено строгое решение динамических задач теории упругости для волокнистых композитных материалов регулярной структуры. Используются двойные ряды, содержащие цилиндрические функции. Неопределенные постоянные являются решениями бесконечных систем алгебраических уравнений.

В.Т.Гринченко [27 J систематически использует и детально исследует свойства бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при строгом подходе к решению задач теории упругости для тел сложной формы.

Представление комплексных потенциалов в виде рядов, содержащих двоякопериодические функции, используется при решении:.: задач плоской теории упругости в работах [103, 104, 108] . При этом в [108] комплексные потенциалы задаются своими лоранов-скими разложениями, а в [ЮЗ, 104] представляются интегралами типа Коши с ядром вида дзета-функции Вейерштрасса и задача сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Характерно, что применение двоякопериодических функций не . накладывает ограничений на характер симметрии структуры. Однако их использование связано с трудностями вычислительного характера, поскольку приводит к необходимости суммирования двойных

- и рядов. В итоге - опубликованные в литературе численные результаты до последнего времени относились лишь к симметричным структурам.

Проведенный анализ состояния рассматриваемых вопросов позволяет сформулировать цель настоящего исследования:

- разработка эффективного в вычислительном отношении метода решения двоякопериодических задач теории упругости и термоупругости, ориентированного на решение следующих практических проблем: а) определение теплоаккумулирующих свойств и напря-кенно-деформированного состояния теплообменника регенеративного типа; б) исследование зависимости напряженного состояния и физико-механических характеристик пористых и волокнистых композитных материалов от параметров их структуры.

Для достижения указанной цели была поставлена задача создания соответствующих алгоритмов и программ для ЭВМ, позволяющих определение следующих параметров: распределение температуры в теплообменнике регенеративного типа; эффективные теплопроводность и упругие характеристики матрицы теплообменника; распределение термоупругих напряжений в регенераторе; распределение напряжений в волокнистом композитном материале в условиях продольного сдвига и обобщенной плоской деформации; распределение температуры при поперечном потоке тепла и термоупругих напряжений при равномерном нагревании волокнистого композита; определение эффективных коэффициентов теплопроводности, температурного расширения и тензора упругих модулей для композитного волокнистого материала.

Наиболее важные требования, предъявляемые к программам -эффективность численной реализации задач, применимость программ для любых значений исходных физико-механических характеристик материалов, а также отсутствие ограничений на характер симметрии структуры.

В основу развиваемого в работе метода положена идея, предложенная В.Т. Головчаном в работе [18] при исследовании свободных волн сдвига в композитной волокнистой среде.

Сущность метода состоит в том, что решения, удовлетворяющие необходимым условиям периодичности, записываются для слоя, содержащего один ряд каналов или волокон и представляются рядами, содержащими достаточно произвола для выполнения граничных условий. При этом используются лишь одинарные, хорошо сходящиеся ряды.

Таким образом, научная новизна и значимость работы заключается в следующих основных положениях:

- развит строгий аналитический метод решения двоякоперио-дических задач теплопроводности, упругости и термоупругости;

- новым методом решены два класса задач: задачи, связанные с исследованием теплообменников регенеративного типа и задачи для волокнистых композитных материалов;

- соответствующие алгоритмы реализованы в виде комплекса- программ для исследования напряженного состояния и физико-механических характеристик пористых и волокнистых композитных материалов регулярной структуры;

- разработанный метод является эффективным в плане численной реализации: проведен большой объем расчетов для широкого диапазона изменения параметров структуры и физико-механических характеристик материалов. При этом н^параметры структуры не накладывались никакие ограничения5

- для конкретных задач получены численные результаты, описывающие механические эффекты, характерные для данного класса задач.

Практическая ценность работы заключается в следующем: - разработанный комплекс программ для ЭВМ может быть эффективно использован при создании оптимальных конструкций теплообменников регенеративного типа и в процессе "конструирования" новых композитных материалов волокнистого строения с требуемыми свойствами. Это обеспечивается положенным в их основу развитым в работе строгим эффективным методом решения соответствующих двоякопериодических задач для структур общего типа. Данный метод может быть использован для выяснения погрешности различных приближенных подходов решения задач рассматриваемого класса.

В диссертации изложены результаты исследований, выполненных автором в процессе работы в Институте сверхтвердых материалов АН УССР.

Работа состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе для однородной многосвязной среды, представляющей собой неограниченную матрицу, содержащую однонаправленные цилиндрические каналы круглого сечения, расположение которых в поперечном сечении двоякопериодическое, строятся решения уравнений Лапласа, бигармонического уравнения, уравнений Ляме и Гельмгольца. Для записи искомых решений вводятся две системы периодических по Z частных решений соответствующих уравнений. Первая система затухающих при внутренних решений получается методом разделения переменных. Вторая система внешних решений строится так, чтобы она в верхней и нижней полуплоскости выражалась через частные решения первого типа. При этом используются интегральные экспоненциальные преобразования Фурье и бесконечные последовательности соответствующих дифференциальных операторов, Решения определяются для регулярных структур общего вида; единственное ограничение на параметры структуры -естественное требование некасания пор.

Во второй главе построенные двоякопериодические решения применяются в ряде задач для волокнистых композитных материалов регулярной структуры общего вида. Решаются задачи о продольном сдвиге и теплопроводности, об обобщенной плоской деформации и температурных напряжениях волокнистого материала. Исследуется зависимость эффективных коэффициентов теплопроводности, упругости и термического расширения волокнистых композитов от параметров их структуры. Решение этих задач позволило апробировать метод, сравнить его для частных типов структур с опубликованными результатами, а в силу отсутствия ограничений на параметры структуры получить ряд новых результатов для структур, которые ранее не исследовались.

В третьей главе решаются задачи, связанные с описанием работы теплообменников регенеративного типа. Теплообменник моделируется перфорированной пластиной конечной толщины. Сквозь каналы пластины пропускается газ, температура которого на входе периодически изменяется. На поверхности каналов и на плоских поверхностях пластины происходит конвективный теплообмен.

Ставится несвязная квазистатическая задача термоупругости, которая сводится к последовательному решению задачи теплопроводности и задачи теории упругости. Задача теплопроводности представляет самостоятельный интерес, поскольку позволяет описывать теплоаккумулирующие свойства матрицы.

Эта задача состоит в совместном интегрировании трехмерного уравнения теплопроводности для матрицы и одномерного - для газа. Применением символического метода [52] в комплексе с методом усреднения температуры по толщине пластины &6,68] трехмерная задача теплопроводности сводится к двумерной. Предполагается кубическое рапределение температуры матрицы по толщине.

Анализ результатов вычисления распределения температуры в матрице позволил для оценки температурных напряжений, возникающих при работе теплообменника, воспользоваться решениями плоской задачи термоупругости. Эффективные упругие постоянные для перфорированных пластин с регулярной решеткой общего типа определялись на основании строгого решения задачи об обобщенном плоском деформированном состоянии [81] .

Решение всех задач в главе выполняется на базе единого, развиваемого в работе подхода. Для записи искомых решений используются двоякопериодические решения уравнений Ляме, Гельмгольца, бигармонического, построенные в первой главе.

Заключение содержит основные выводы по результатам исследования.

Основные положения диссертации докладывались на научно-технических конференциях [19,21,62] и отражены в публикациях [20,22,23,63] .

В заключение считаю своим долгом выразить искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук В.Т. Головчану за помощь, оказанную при выполнении данной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты, полученные в настоящей работе.

Развит строгий аналитический метод решения двоякопериодических задач упругости и термоупругости, основанный на использовании внешних и внутренних периодических решений соответствующих уравнений и сведении исходных двоякопериодических задач к задачам для слоя. Указанные системы внешних решений представляются одинарными, хорошо сходящимися рядами.

На основе развитого метода получены решения двух классов задач, связанных с исследованием теплоаккумулиругощих свойств регенеративных теплообменников и их напряженно - деформированного состояния и с исследованием зависимости напряженного состояния и физико - механических характеристик волокнистых композитных материалов от параметров их структуры.

Разработаны и реализованы в виде программ для современных ЭВМ эффективные численные алгоритмы, позволяющие определять распределение температуры в теплообменнике регенеративного типа (прямоток; установившийся режим); эффективные теплопроводность и упругие характеристики матрицы теплообменника; распределение термоупругих напряжений в регенераторе; распределение напряжений в волокнистом композитном материале в условиях продольного сдвига и обобщенной плоской деформации; распределение температуры при поперечном потоке тепла и термоупругих напряжений при равномерном нагревании волокнистого композита; эффективные коэффициенты теплопроводности, температурного расширения и тензора упругих модулей для композитного волокнистого материала.

Проведен анализ и выявлены характерные особенности распределения напряжений и анизотропии физиво - механических свойств рассматриваемых материалов для структур общего типа в зависимости от их геометрических параметров и исходных характеристик. В частности, а) показана сильная корреляция между параметрами структуры и величиной и характером распределения напряжений в теплообменниках и волокнистых композитных материалах. Так, при объемном содержании волокон 0,55 увеличение отношения CjCL от I до 1,25 для стеклопластика приводит к возрастанию максимальных температурных напряжений в 2 - 3 раза в зависимости от угла оС . Для уменьшения температурных напряжений в теплообменниках следует стремиться на этапе конструирования к равенству периодов С и Ли к треугольному расположению каналов; б) установлено, что для структур, отличных от гексагональной и тетрагональной, наблюдается существенная анизотропия эффективных физико - механических свойств ^&оперечном сечении, даже при небольшом отличии периодов структуры. В частности, при£/#=4£и наполнении 0,6 модули Юнга вдоль осей Я и jj и продольные модули сдвига (или коэффициенты теплопроводности) для металлопластика отличаются более чем вдвое, при С/О- -I для несимметричных структур коэффициенты взаимного влияния достигают значений одного порядка с исходными коэффициентами Пуассона; температурное расширение вдоль осей X и ij отличается, в зависимости от угла & , в 1,5 - 2 раза.

Многочисленные вычисления показали значительную эффективность разработанного в диссертации метода как в отношении точности численных результатов, так и в отношении затрат машинного времени. Созданный комплекс программ для ЭВМ позволяет оперативное проведение вычислений в процессе создания оптимальных конструкций теплообменников регенеративного типа и новых волокнистых композитов с заданными свойствами.

1. Аболинып Д.С. Тензор податливости однонаправленного армированного упругого материала.-Механика полимеров, 1965, №4, с.52 - 59.

2. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов. Справочник.-Л.: Машиностроение, 1980.-247 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований.-М.: Наука, 1969, T.I- 343 с.

4. Бергезан А. Основные принципы "конструирования" и особенности изготовления композиционных материалов с металлической матрицей.- Б кн.: Достижения в области композиционных материалов / Под ред. Дж. Пиатти.- М.: Металлургия, 1978,с. 9 41.

5. Болотин В.В. Проблемы механики армированных сред.- В кн.: Доклады научно-технической конференции МЭИ по итогамнаучно-исследовательских работ за 1964 1965 гг.

6. М.: изд. МЭИ, 1965, с. 5 42.

7. Болотин В.В. Теории стохастически армированных материалов.-В кн.: Прочность и пластичность.- М.: Наука, 1971, с. 261 -266.

8. Брызгалин Г.И. К расчету внутренних усилий и деформаций в стеклопластике типа АГ-4С.- Пластич. массы, 1964,7, с. 62 -64.

9. Бидерман В.Л. Упругость и прочность анизотропных стеклопластиков.- В кн.: Расчеты на прочность.- М.: Машиностроение, 1965, вып.2, с. 3 30.

10. Ван Фо Фы Г.А. Про один з розв'язкХв плоско1 двоякопер1о-дично1 задач1 теорИ пружност1.- Доп. АН УРСР, 1965, №9, с. II52-II55.

11. Ван Фо Фы Г.А. Основы теории полимерных тел с ориентированной структурой: Автореф. дис. д-ра техн. наук.- Киев, 1965.220 с.

12. Ван Фо Фы Г.А. Упругие постоянные и тепловое расширение некоторых тел с неоднородной регулярной структурой.-ДАН СССР, 1966, 166, №4, с. 817-820.

13. Ван Фо Фы Г.А. Теория армированных материалов.- Киев: Hayк.думка, 1971.- 230 с.

14. Ванин Г.А. Новый метод учета взаимодействия в теории композиционных систем.- Докл. АН УССР, сер.А, 1976, №4, с. 321-324.

15. Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов.- Минск: изд. БГУ, 1978.- 206 с.

16. Гаонкар. Одноосное нагружение упругого континуума с периодическими рядами нарушений в объеме материала.- Труды америк. о-ва инж.-механиков, 1969, сер.Е, №1, с. 142-146.

17. Головчан В.Т. Кручение цилиндра конечной длины со сферической полостью.- Прикл. механика, 1972, 8, №3, с. 37-41.

18. Головчан В.Т. К решению задачи устойчивости композитных волокнистых сред.- Докл. АН УССР. Сер.А, 1982, №8,с. 39-41.

19. Головчан В.Т., Гиря М.Г. Распространение упругих волн сдвига в композитной волокнистой среде.- Механика композитных материалов, 1979, №11, с. 146-149.

20. Головчан В.Т., Никитюк Н.И. О новом методе решения задач теории упругости композиционных волокнистых сред.- В кн.: Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе. Тезисы докл.- Киев, 9-И окт. 1978, с.III.

21. Головчан В.Т., Никитюк Н.И. К решению задачи о сдвиге волокнистой композиционной среды.- Прикл. механика, 1981, 17, №2, с. 29-36.

22. Головчан В.Т., Никитюк Н.И. Об одном методе решения плоской задачи теории упругости для перфорированных пластин.

23. Изв. АН СССР, сер. Механика твердого тела, 1983, №2, с. 94-101.

24. Головчан В.Т., Никитюк Н.И. Зависимость анизотропии упругих свойств композиционного волокнистого материала от его структуры.- Докл. АН УССР.Сер.А, 1983, №6, с. 68-70.

25. Григолюк Э.И. Напряженное состояние вблизи отверстий.- В кн.: Некоторые прикладные задачи теории пластин и оболочек / Под ред. Григолюка Э.И.- М.: изд. МГУ, 1981, с. 226237.

26. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки.- М.: Наука, 1970.- 554 с.

27. Грингауз М.Г., Фильштинский Л.А. Теория упругого линейно-армированного композиционного материала.- Прикл. математика и механика. 1975, 39, №3, с. 537-546.

28. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругихтел конечных размеров.- К.- Наук. думка, 1978.- 264 с.

29. Гузь А.Н., Хорошун Л.П., Ванин Г.А., Бабич Й.Ю., Каминский А.А., Шульга Н.А., Маслов Б.П., Скаченко А.В. Механика композитных материалов и элементов конструкций. В 3-х т. T.I. Механика материалов.- Киев: Наук, думка, 1982.- 368 с.

30. Достижения в области композиционных материалов / Под ред. Дж. Пиатти.- М.: Металлургия, 1982.- 304 с.

31. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов.-Л.:Энергия. 1974.- 264 с.

32. Иванова B.C. и др. Упрочнение металлов волокнами.- М.: Наука, 1973.- 207 с.

33. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям." М.: Наука, 1965.- 704 с.

34. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.- М.: Наука, 1964.- 487 с.

35. Кингери У.Д., Введение в керамику.- М.: Изд-во литературы по строительству, 1967,- 499 с.

36. Кислый П.С. Разработка и применение композиционных материалов на основе алмаза и тугоплавких соединений.- В сб.:

37. Композиционные сверхтвердые материалы.- Киев: ИСМ АН УССР, 1979.- с.3-11.

38. Коваленко А.Д. Термоупругость.- Киев: Вища школа, 1975.216 с.

39. Композиционные материалы волокнистого строения / Под ред. И.Н.Францевича, Д.М.Карпиноса.- Киев: Наук.думка, 1970.403 с.

40. Композиционные материалы. Т.2. Механика композиционных материалов / Под ред. Л.Браутмана, Р.Крока.- М.: Мир, 1978.564 с.

41. Композиционные материалы.- М.: ВИНИТИ.- /Итоги науки и техники / ВИНИТИ. Сер. Композиционные материалы/ T.I. Производство и применение композиционных материалов / Под ред. Л.П.Кобец, 1979.- 106 с.

42. Композиционные материалы и новые конструкции / Под ред. Я.С.Подстригач и др.- Киев: Наук, думка, 1977.- 155 с.

43. Космодамианский А.С. Многосвязные задачи плоской теории упругости / обзор /.- Прикл. механика, 1967,3,№2, с. I-I9.

44. Космодамианский А.С. Распределение напряжений в изотропных многосвязных средах.- Донецк: изд-во Донецк, ун-та, 1972.266 с.

45. Космодамианский А.С., Калоеров С.А. Температурные напряжения в многосвязных пластинках.- Киев-Донецк: Вища школа, 1983.- 160 с.

46. Космодамианский А.С., Клойзнер С.Н. Нелинейная задача для пластинки, ослабленной двоякопериодической системой криволинейных отверстий.- Доп. АН УССР, №11, 1969, с. I0I0-I0I3.

47. Космодамианский А.С., Шалдырван В.А. Толстые многосвязные пластины.- Киев: Наук.думка, 1978.- 240 с.

48. Кристенсен Р. Введение в механику композитов.- М.: Мир, 1982.- 334 с.

49. Куртин Л.М., Фильштинский Л.А. Определение приведенного• модуля упругости изотропной плоскости, ослабленной двояко-периодической системой круглых отверстий.- Изв. АН СССР, сер. Механика и машиностр., 1961, №6, с. II0-II4.

50. Кэйс, Лондон. Компактные теплообменники.- М.: Мир, 1967, 223 с.

51. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел.- М.: Наука, 19700- 140 с.

52. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости.- М.: Гостехиздат, 1955.- 491 с.

53. Лурье А.И. Теория упругости.- М.: Наука, 1970.- 940 с.

54. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. 3-е изд.- Рига: Зинатне, 1980.- 571 с.

55. Маслов Б.П. Исследование стохастических композитов с нелинейными и анизотропными свойствами крмпонентов.-Автореф. докт. дис. д-ра физ.-мат.наук.- Киев, 1983,- 46 с.

56. Маслов В.П. Операторные методы.- М.: Наука, 1973.- 543 с.

57. Мацицкий Ю.П., Митин Б.М., Субботин В.П. Расчетно-теоре-тическое исследование температурного поля матрицы вращающихся теплообменников.- Труды ЦИАМ, вып.2. Теплообменные аппараты газотурбинных двигателей. 1977, № 750,с.40-57.

58. Мельников Н.П. Конструктивные формы и методы расчета ядерных реакторов.- М.: Атомиздат, 1972.- 550 с.

59. Мондт. Распределение температур б насадке и жидкости теплообменника регенеративного типа транспортной газовой турбины.- Труды америк. о-ва инженеров-механиков. Сер.А, 1964, №2, с. 30-36.

60. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.- М.: Наука, 1966.- 708 с.

61. Натанзон В.Я. О напряжениях в растягиваемой пластинке, ослабленной одинаковыми отверстиями, расположенными в шахматном порядке.- Матем. сб., 1935, 42, №5, с. 617-636.

62. Никитюк Н.И. Об одном методе решения задач механики волокнистых материалов.- В кн.: II республиканская конференция молодых ученых по механике. Тр. конф. Киев: Наук, думка, 1979. с. I57-I6I.

63. Никитюк Н.И. Зависимость анизотропии теплового расширения волокнистого материала от его структуры.- Докл. АН УССР, сер.А, 1982, №9, с. 76-80.

64. Новацкий В. Теория упругости.- М.: Мир, 1975.- 872 с.

65. Огибалов П.М., Суворова Ю.В. Механика армированных пластиков.- М.: Изд-во МГУ, 1965.- 479 с.

66. Победря Б.Е., Горбачев В.И. О статических задачах упругих композитов.- Вестник МГУ, сер. Матем. и мех., №5, 1977, с. 28-54.

67. Подстригач Я.С., Чернуха Ю.А. Об уравнениях теплопроводности тонкостенных элементов конструкций.- В кн.: Теория пластин и оболочек. Тр. IX Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин.- Л.: 1975, с. 82-85.

68. Подстригач Я.С., Швец Р.Н. Термоупругость тонких оболочек.-Киев: Наук, думка, 1978.- 344 с.

69. Рабинович А.Л., Верховский И.А. Об упругих постоянных ориентированных стеклопластиков.- Инж. журнал, 1964, Т.4, выпЛ, с. 90 100.

70. Работнов Ю.Н. Механика композитов.- Вестник АН СССР, 1979, №5, с. 50-58.

71. Ранке, Валланс. Надежность и долговечность керамических регенераторов в газовой турбине.- Труды америк. об-ва инж.-механиков. Сер.А., 1978, №1, с. 82-93.

72. Рикардс Р.Б., Чате А.К. Начальная поверхность прочности однонаправленно армированного композита при плоском напряженном состоянии.- Механика полимеров, 1976, №4, с. 633-639.

73. Ромье. Периодическое аккумулирование тепловой энергии. Регенератор.- Труды америк. об-ва инж.-механиков. Сер.С, 1979, №4, с. 189-196.

74. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий в пластинах и оболочках.- Киев: Hayк.думка, 1968.- 888 с.

75. Савин Г.Н. Механика деформируемых тел. Избранные труды.-Киев: Наук.думка, 1979.- 466 с.

76. Седов Л.И. Механика сплошной среды. T.I.- М.: Наука, 1973.536 с.

77. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2.- М.: Наука, 1973.568 с.

78. Скудра A.M., Булаве Ф.Я. Структурная теория армированных пластиков.- Рига: Зинатне, 1978.- 192 с.

79. Скудра A.M., Булаве Ф.Я. Прочность армированных пластиков.-м.: Химия, 1982.- 213 с.

80. Скудра A.M., Булаве Ф.Я., Роценс К.А. Ползучесть и статическая усталость армированных пластиков.- Рига: Зинатне, 1971.238 с.

81. Слот Т., О'Доннел. Эффективные упругие постоянные для толстых перфорированных пластин с квадратной и треугольной системами отверстий. Конструирование и технология машиностроения.- М.: Мир, №4, 1971, с. 53-61.

82. Соболев С.Л., Мухина Г.В. Определение термических напряжений в среде с пустотами.- Атомная энергия, 1958. Т.5,с. I78-I8I.

83. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1972.- 735 с.

84. Уитни, Райли. Упругие свойства составных материалов, армированных волокнами.- Ракетная техника и космонавтика, 1966. Т.4, №9, с. 44-51.

85. Францевич И.Н. и др. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов: Справочник.- Киев: Наук.думка, 1982.- 286 с.

86. Хашин 3., Розен Б.В. Упругие модули материалов, армированных волокнами.- Прикл. механика. Сер. Е., 1964, 31,2,с. 223-232.

87. Хорошун Л.П. Методы теории случайных функций в задачах о макроскопических свойствах микронеоднородных сред.-Прикл. механика, 1978, 14, №2, с. 3-17.

88. Хорошун Л.П., Маслов Б.П. Методы автоматизированного расчета физико-механических постоянных композиционных материалов.- Киев: Hayк.думка, 1980.- 156 с.

89. Чжэнь. Волокнистые композиционные материалы под действием продольного сдвига.- Труды америк. об-ва инж.-механиков. Прикл. механика, 1970, №1, с. 209-211.

90. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред.-М.: Наука, 1977.- 400 с.

91. Шермергор Т.Д. Модули упругости неоднородных материалов.-В кн.: Упрочнение металлов волокнами.- М.: Наука, 1973, с. 6-39.

92. Шульга М.О. До розв'язку задач механ1ки для пер1одичних структур.- Доп. АН УРСР. Сер. А, 1971, №11, с. 1005-1058.

93. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры.- Киев: Наук, думка, 1981.- 166 с.

94. Якоб М. Вопросы теплопередачи.- М.: Изд. иностр. л-ры, I960.- 520 с.

95. Adams D.F., Doner D.R., Thomas R.L. Mechanical behaviour of fiber-reinforced composite materials.- Air force materials laboratory contractor report AFML-TR-67-96, 1967.

96. Bailey R., Hicks R. Behaviour of perforated plates under plane stress.- J.Mech.Eng.Sci.,1960,2,H2,p. 14-3-161.

97. Chen C.H., Cheng S. Mechanical properties of fiber-reinforced composites.- J.of Сотр.Mat.,1967,1,p.30-37.

98. O'Donnell W.J., Langer B.P. Design of perforated plates.-J.of Eng. for Industri, Trans. ASME, 1962,94,33p.307-320.

99. Goldberg J.E., Jabbour K.H. Stresses and dicplacement in perforated plates.- Lafayette (Ind.),1964,66p.

100. Hausen H. Survey of the Heat Transfer Theories in Regenerators.- Heat Exchangers: Design and Theory Source Book,

101. Mc Graw-Hill, New York, 1974, pp.207-222.

102. Heaton M.D. A calculation of the elastic constants of unidirectional composite containing transverely isotropic fibres.- J.Phys.D.Appl.Phis.,1970,3>N5,p.672-679.

103. Yeh R.H.T. Variational bounds of unidirectional fiberrein-forces composites.- J.Appl.Phys.,1973>44,N2,p.662-665.

104. Koiter W.T. Some general theorems on doubly-periodic and quasiperiodic functions.- Proc.Konikl.Nederl.Akademie

105. Wetenschappen,Amsterdam,1959,62,N2,p.120-128.

106. Koiter W.T. Stress distribution in infinite elastic sheet with a doubly-periodic set of equal holes.- In: Boundary Problems Different.Equat.Madison: Univ.Wisconsin Press,i960,p.191-213.

107. Lambertson T.J. Performance Factors of a Periodic-Plow Heat Exchanger.- Trans.ASME,1958,v.80,pp.586-592.

108. Pickett G., in "Fundamental aspects of fiber-reinforced plastic composites" (Schwartz R.T., Schwartz H.S., eds.), New York, Wiley (Interscience),1968,pp.13-27.

109. Porowski J.S., o'Donnell W.J. Elastic design methods for perforated plates.- Trans.ASME.J.Eng.Power,1978,100,N2, p.356-362.

110. Saito H. Stress in a plate containing infinite parallel rows of holes.- Z.Angew.Math.Mech.,1957,37jN3-4iP.111-115.

111. Shaffer B.W. Stress-strein relations of reinforced plastics and normal to their internal filament.- AIAA J., 1964,vol.2,N2,p.348-352.

112. Slot T. Stress analysis of thick perforated plates (diss.).-Delft,1972,236 p.

113. Slot Т., Branca T.R. On The determination of effective elastic-plastic properties for the equivalent solid plate analysis of tube sheets.- Trans.ASME,J.96,1974,3, p.220-227.

114. Willmott A.J. Developments in Regenerator Theory Since the Advent of the Digital Computer.- Heat Exchangers: Design and Theory Source Book, Mc Graw-Hill,New York, 1974, pp.223-237.