Гидродинамика в окрестности границы жидкость - пористая среда

Мосина, Екатерина Владимировна

Гидродинамика в окрестности границы жидкость - пористая среда тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Мосина, Екатерина Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Волгоград МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Гидродинамика в окрестности границы жидкость - пористая среда»

Автореферат диссертации на тему "Гидродинамика в окрестности границы жидкость - пористая среда"

005058662

На правах рукописи

Мосина Екатерина Владимировна

ГИДРОДИНАМИКА В ОКРЕСТНОСТИ ГРАНИЦЫ ЖИДКОСТЬ - ПОРИСТАЯ СРЕДА

Специальность 01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 МАЙ 2013

Волгоград — 2012

005058662

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Волгоградский государственный университет».

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук, доцент

Чернышев Игорь Викторович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Яворский Николай Иванович, директор Специализированного учебно-научного центра ФГБОУ ВПО «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет»;

доктор технических наук, профессор Сипливый Борис Николаевич, профессор кафедры теоретической физики и волновых процессов ФГАОУ ВПО «Волгоградский государственный университет».

Ведущая организация — ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Защита состоится 17 мая 2013 г. в 12.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.029.08 при ФГАОУ ВПО «Волгоградский государственный университет»: 400062, г. Волгоград, пр-т Университетский, 100, ауд. 2-05В.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГАОУ ВПО «Волгоградский государственный университет».

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

В.А. Михайлова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Задачи совместного течения жидкости в пористой среде и в свободной области широко распространены в природных процессах (растекание и фильтрация воды или нефти по поверхности грунта), в биологических системах (движение воздуха в легких, крови через тромбы), а также находят применение в многочисленных технических приложениях (очистка жидкостей и газов от примесей, разделение суспензий, нефте- и газотранспорт, массо- и теплообмен, каталитические и сорбционные процессы, литейное производство) и энергетике (работа пористых тепловыделяющих элементов).

Дифференциальные уравнения фильтрационных течений и краевые условия, задаваемые на границе пористого тела содержат ряд макроскопических параметров, которые зависят от пористости среды, геометрии и топологии порового пространства, физико-химических свойств материала среды, а также типа течения жидкости в свободной области. Эти параметры либо задаются феноменологически, либо определяются из микроскопических гидродинамических решений модельных постановок, наиболее адекватно описывающих течение в реальной проницаемой среде и переход жидкость-пористая среда. Экспериментальные измерения зачастую технически затруднены, а аналитические исследования ограничены, как правило, простыми моделями. Эффективным и часто применяемым способом определения характерных параметров фильтрационных уравнений и граничных условий является сочетание аналитического и численного подхода решения ряда модельных задач об обтекании пористой среды, имеющей регулярную внутреннюю структуру.

Таким образом, исследование течения жидкости в окрестности границы раздела жидкость-пористая среда, изучение проблемы выбора граничных условий на пористой поверхности, теоретическое и численное определение макроскопических параметров в этих условиях являются весьма актуальными.

Целью работы является исследование гидродинамических характеристик течения в окрестности границы жидкость-пористая среда. Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:

1. Разработка математических моделей и постановка задач сдвигового и градиентного течения в окрестности границы различных модельных пористых сред. В частности, рассмотрение задач обтекания системы ребер и системы стержней, моделирующих пористые среды с различной структурой порового пространства: слоистой и волокнистой, соответственно.

2. Аналитический и численный расчет микроскопических гидродинамических полей в окрестности номинальной границы модельной пористой среды — верхнего края оребрения и внешнего ряда стержней, в широком диапазоне параметров, задающих пористость среды, ее структуру и топологию порового пространства. Усреднение микроскопических полей с целью определения эффективных макроскопических параметров фильтрационных

уравнений и граничных условий, задаваемых на границе жидкость-пористая среда.

3. Сопоставление полученных макроскопических характеристик моделей с расчетными и экспериментальными данными других авторов. Выяснение диапазона применимости и подбор наиболее оптимальных значений параметров фильтрационных уравнений и граничных условий.

Научная новизна. В диссертационной работе исследованы гидродинамические особенности границы пористых сред, имеющих различную структуру и топологию порового пространства: слоистой, моделируемой системой ребер, и волокнистой, моделируемой системой стержней. Впервые микромоделирование течения в окрестности границы проведено в широком диапазоне параметров, характеризующих локальную геометрию пористой среды и ее номинальной границы. Получены аппроксимирующие зависимости для макровеличин в фильтрационных уравнениях Дарси и Бринкмана (проницаемость, эффективная вязкость), граничных условиях скольжения Саффмана, Биверса-Джозефа (скорость и длина скольжения, коэффициент скольжения) и граничных условиях непрерывности скорости и касательного напряжения для таких модельных сред. Показано, что для умеренно концентрированных пористых сред, имеющих различную структуру порового пространства (слоистую и волокнистую), но схожую локальную геометрию границы, эффективные параметры краевых условий приближенно равны.

Достоверность результатов и выводов работы обеспечивается тщательной обоснованностью построенных моделей; корректным применением фундаментальных законов теории вязкой жидкости и фильтрации, а также известных математических и численных методов; использованием при математическом моделировании приближений, которые не противоречат физике рассматриваемых процессов и являются принятыми в литературе; проведением тестовых расчетов для краевых задач с известными решениями; тестовыми проверками численных результатов при разных разбиениях расчетной области; соответствием научных результатов работы в частных и предельных случаях известным в литературе экспериментальным, аналитическим и численным данным.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что проведенное микромоделирование течения жидкости в окрестности границы модельной пористой среды открывает возможности детального и систематического изучения влияния структуры пористой поверхности на ее гидродинамические свойства и способствует более адекватному физическому описанию межфазного перехода жидкость-пористая среда. Полученные граничные условия могут быть использованы при замыкании макроскопических математических постановок различных прикладных задач, возникающих в технических, химических, биологических и иных системах. Фильтрационные модели течения в оребренных круговых и плоских каналах подходят, напри-

мер, для расчетов тепло- и массообменных устройств и дают довольно точные оценки гидравлических характеристик таких устройств, а также приближенные усредненные профили скорости.

Полученная в работе макромодель обтекания системы волокон адекватно описывает поверхностную гидродинамику фильтров из натуральных и синтетических волокон. Использование в макромодели найденных аппроксимирующих формул для параметров граничных условий позволяет получить довольно точные оценки необходимых гидравлических характеристик потока, а также приближенные усредненные профили скорости.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Аналитические и численные решения для стоксова течения вязкой несжимаемой жидкости в плоских каналах с поперечными ребрами как бесконечно тонкими, так и конечной толщины, с различными вариантами их расположения на стенках канала, и моделирующими простейшую слоистую пористую среду. Математические аппроксимации для длины скольжения вдоль края оребрения в граничном условии Саффмана.

2. Аналитические решения для ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости в плоских и круговых каналах с продольными бесконечно тонкими ребрами. Фильтрационное приближение, моделирующее течение в такой слоистой пористой среде. Приближенные формулы для проницаемости и эффективной вязкости в фильтрационном уравнении Бринкмана в межреберном пространстве и граничном условии для касательного напряжения на краю оребрения.

3. Математическая модель и численный алгоритм расчета течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале, частично занятом системой поперечно расположенных стержней квадратного сечения, моделирующих волокнистую пористую среду. Детальные численные гидродинамические поля для сдвигового и градиентного течения при различных регулярных укладках стержней. Аппроксимирующие зависимости для проницаемости такой среды и коэффициента скольжения в условии Биверса-Джозефа, задаваемом на границе жидкость-пористая среда.

4. Обобщающие гидродинамические характеристики приграничного слоя пористой среды. Инвариантность этих характеристик и локальное подобие картин сдвигового и градиентного течения в окрестности пористой границы для сред с различной структурой и топологией порового пространства (слоистой и волокнистой). Оценки для глубины проникновения внешнего свободного течения в пористую среду в зависимости от пористости среды.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной работы докладывались на XI Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, 2006 г.), XIII Международной школе-конференции по моделям механики сплошной среды (Саратов, 2007 г.), VI и XI Всероссийской молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения»

(Казань, 2007, 2012 г.г.), X Всероссийском Съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.), XII Международной конференции молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (Новосибирск, 2012 г.), а также на научных конференциях ВолГУ (Волгоград, 2006, 2007 г.г.) и семинарах института математики и информационных технологий (ИМИТ) ВолГУ.

Тематика исследования диссертационной работы была поддержана грантами: ИМИТ ВолГУ (2007 г., руководитель), РФФИ-Поволжье (№ 11-03-97035-а 2011-2012 г.г., исполнитель), РФФИ (№ 12-01-16014-моб_з_рос 2012 г., руководитель; № 12-01-31272-мол_а 2012-2013 г.г., руководитель).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 печатных работах, из них 4 работы в научных изданиях из Перечня ВАК РФ, 4 — тезисы докладов на российских и международных конференциях, 3 — в сборниках трудов и других изданиях, а также получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад автора. Выбор направления исследования, постановка задачи, анализ и интерпретация результатов осуществлены автором совместно с научным руководителем. Исследование текущего состояния вопроса по выбранной тематике, реализация численных методов в виде вычислительной программы для ЭВМ, получение аналитических и численных результатов, обработка и графическое представление результатов численных расчетов выполнены лично автором. В совместных публикациях вклад автора в результаты исследования является определяющим.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 121 страницу машинописного текста, включая 38 рисунков и 3 таблицы. Список использованной литературы содержит 140 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, определены цели и задачи исследования, сформулированы научная новизна и практическая значимость работы, а также приведены выносимые на защиту положения.

Первая глава «Течение в присутствии пористых тел. Аналитический обзор» посвящена описанию структурных, механических и динамических характеристик пористых сред, а также моделей совместного фильтрационного течения в пористой среде и течения в свободной области. Для описания фильтрации вязкой жидкости (область на Рис- 1) используют модели Дарси, Бринкмана или Форхгеймера, а также всевозможные их модификации, в том числе с конвективными членами. Дополнительные физико-химические эффекты задачи (массо- и теплоперенос, химические превращения, сорбция и др.) могут быть учтены в параметрах и уравнениях этих моделей. Свободное течение жидкости (область Их) обычно описывают полными

жидкость

....

Iпористая среда

Рис. 1. Течение жидкости в присутствии пористого теле.

уравнениями Навье-Стокса или, где это возможно, упрощенными уравнениями Стокса.

Для замыкания математических постановок задач о совместном фильтрационном и свободном течении жидкости необходимо задание граничных условий на поверхности пористой среды Г (рис. 1). Выбор надлежащих условий частично продиктован математическими особенностями уравнений фильтрационного и свободного течения, но в большей степени соответствием поставленной задачи реальной картине моделируемых процессов. При переходе через границу пористого тела выполнение основных

законов сохранения приводит к непрерывности нормальной составляющей скорости и равенства давления внутри пористой среды и нормального напряжения в свободной области

т/ г, дьп

Уп = Уп, р- 211— = Р,

где ц - динамическая вязкость жидкости. Для задания граничных условий на касательную компоненту скорости и касательное напряжение могут применяться различные подходы. При использовании фильтрационной модели Дарси для касательной составляющей скорости свободного течения задают граничное условие скольжения Саффмана [1]

ш-

руТ дп

(1)

либо условие скольжения (скачка) Биверса-Джозефа [2], учитывающее также фильтрационную скорость в пористой среде,

у3 = ут-Ут = ш

дут

(2)

где у3 - скорость скольжения, си - длина скольжения, которая может быть представлена в виде ш = у/к/а, к - проницаемость пористой среды, а - коэффициент скольжения. Длина и коэффициент скольжения отражают гидродинамические свойства пористой поверхности и зависят от ее геометрии и физико-химических свойств пористого материала.

На поверхности бринкмановской пористой среды могут задаваться, например, условия непрерывности касательной составляющей скорости и касательного напряжения [3]

Ут = Ут,

дут

дп'

(3)

где /х, ц* - динамическая и эффективная вязкости жидкости соответственно. Некоторые исследователи вместо непрерывности ставят условие разрыва касательного напряжения на границе пористой среды, пропорционального тангенциальной скорости на границе.

В первой главе приведен обзор методов решения задач об обтекании пористых тел, а также исследования течения в окрестности границы жидкость-пористая среда с целью определения эффективных параметров фильтрационных уравнений и краевых условий на пористой границе в макроскопических моделях Стокса-Саффмана, Стокса-Дарси и Стокса-Бринкмана.

Во второй главе «Течение в окрестности границы оребрения» приведены результаты исследования течения в оребренных каналах. Гидродинамические особенности границы оребрения изучены с точки зрения моделирования слоистой пористой среды, определены аппроксимирующие зависимости для эффективных параметров граничных условий, задаваемых на уровне края ребер.

В §§ 2.1, 2.3 в приближении Стокса решены задачи о сдвиговом и грат диентном течении вязкой несжимаемой жидкости в плоских каналах с продольными или поперечными ребрами, расположенными на одной или обеих стенках, а в § 2.2 — задача о ламинарном градиентном течении в круглом цилиндрическом продольно оребренном канале.

В случае продольного обтекания ребер безразмерные уравнения Навье-Стокса приводятся к единственному уравнению для ¿-компоненты скорости

В случае сдвигового течения это уравнение Лапласа при (5 = 0, а для градиентного — уравнение Пуассона при (5 = 1.

При поперечном расположении ребер уравнения Стокса сводятся к одному бигармоническому уравнению для функции тока ф: и = фу, V = —фх

В качестве примера рис. 2 поясняет постановку задачи в случае течения жидкости в канале с ребрами конечной толщины.

Для скорости w и функции тока ф выписываются аналитические выражения в виде рядов по собственным функциям гармонического и бигармо-нического операторов соответственно. Неизвестные коэффициенты в рядах находятся численно методом точечной коллокации с использованием пакета символьной математики Maple.

Для определенных вариантов оребрения решения задач известны, а для некоторых других конфигураций оребренного канала решения получены в рамках настоящей работы. Главной целью диссертационной работы является изучение течения вблизи номинальной границы жидкость-пористая среда. Исследованию течения в окрестности края оребрения посвящен § 2.4.

Aw = —G.

(4)

А 2ф = 0.

(5)

2сН 2ЪН

ф=0 Л =0

' XXX

-щ

■ 11

.■Т-1 Л

А ф= 0 1

X #=0 1

о ^=0 1р=0 с

Рис. 2. Плоский канал с ребрами конечной толщины: (а) геометрия канала; (б) краевые условия на границах расчетной области в случае поперечного расположения ребер, <1 = с + Ь, - расход жидкости во всем канале, К] = ] для сдвигового течения и щ = 0 для градиентного

' Совокупность ребер представляет собой упрощенную (идеализированную) пористую среду, поскольку, во-первых, поперечная проницаемость ребер равна нулю, и во-вторых, для бесконечно тонких ребер невозможно ввести понятие пористости (формально пористость е = 1). При макроскопическом описании течения в поперечно оребренных каналах используется модель Стокса—Саффмана, в которой влияние ребер на внешнее свободное течение заменено граничным условием скольжения Саффмана (1). В случае продольно оребренных каналов применяется модель Стокса-Бринкмана, в которой течение между ребрами, рассматриваемыми как пористая среда, удовлетворяет фильтрационному уравнению Бринкмана с некоторой эффективной проницаемостью и вязкостью. На уровне края ребер задаются граничные условия непрерывности скорости и касательного напряжения (3).

Эффективные параметры указанных граничных условий находятся путем усреднения микроскопических гидродинамических полей и их сопоставления с решениями макроскопических задач в рамках модели сплошных сред.

Модель Стокса-Саффмана для плоского канала с поперечными ребрами. Течение жидкости над ребрами удовлетворяет уравнению Стокса, на уровне края ребер у = /г задается граничное условие Саффмана (1) с некоторой эффективной длиной скольжения

Л < 2/ < 1; (6)

Необходимая для замыкания постановки длина скольжения ш рассчитана по формуле

и = — (')

7н

на основе численных значений скорости щ и скорости сдвига полученных в результате усреднения вдоль границы оребрения продольной составляющей микроскопической скорости и ее производной по нормали.

После обработки результатов расчетов для задач, сформулированных в §§ 2.1, 2.3, получено, что длина скольжения и возрастает с увеличением высоты ребер к, и рост тем быстрее, чем больше расстояние 2с между ними. Методом наименьших квадратов получена приближенная формула для длины скольжения на уровне края бесконечно тонких ребер

0.15

ш - 0.21с

(8)

0.05

0.8 с

Рис. 3. Длина скольжения ш на уровне края бесконечно тонких ребер в канале с одной и двумя оребренными стенками. Точки — численные значения, полученные по формуле (7): (о) - И > 0.2; (•) - Л < 0.2. (—) формула (8), (- • -) ш = 0.17с [4]

в диапазоне параметров с < 1 — К для всех рассмотренных конфигураций оребрения и типов течения. Значение коэффициента 0.21 определено с точностью до 2%. На рис. 3 изображена прямая (8), а также зависимость, полученная в [4] аналитически методом сингулярностей в более узком диапазоне параметров оребрения 1.25с</к0.67 и для неограниченного сдвигового течения. Однако по иллюстрациям в [4] видно, что значения длины скольжения для высот ребер Л < 0.67 лежат выше прямой ш = 0.17с, и приближение неограниченного обтекания можно использовать лишь при малых высотах ребер /г ^ 0.2 (рис. 3).

Использование приближенной формулы (8) для длины скольжения ш в модели Стокса-Саффмана (6) позволяет вычислить среднерасходную скорость жидкости в канале, имеющую отклонения от численных значений менее 15%. При этом наблюдается хорошее совпадение усредненного по х профиля продольной скорости и в свободной части канала, полученного численно, и профиля скорости из макромодели Стокса-Саффмана (6) (рис. 4). Отметим основной недостаток модели Стокса-Саффмана — она не отражает реальное проникновение свободного течения вглубь пористой среды.

Обнаружено, что течения в канале с симметрично и шахматно поперечно оребренными стенками не только гидравлически подобны в диапазоне параметров /г < 1 — О.бсв смысле приближенного равенствасреднераходных скоростей сквозь канал, при этом микроскопические и усредненные картины течений между ребрами также схожи (рис. 4в), но и локально подобны в окрестности границы оребрения в смысле приближенного равенства длин скольжения.

Рис. 4. Профиль скорости в плоском канале с поперечными бесконечно тонкими ребрами, с = 0.3, Л = 0.6: (а) градиентное, (б) сдвиговое течение в канале с одной ореб-ренной стенкой; (в) градиентное течение в канале с двумя симметрично (1) и шах-матно (1') оребренными стенками. 1, 1' -усредненная по х микроскопическая скорость; 2 - скорость в макромодели Сток-са-Саффмана (6)

Для системы бесконечно тонких ребер единственным параметром, характеризующим локальную геометрию порового пространства, является расстояние между ребрами 2с. Придание ребрам толщины 2Ь усложняет модель слоистой пористой среды, приближает ее по структурным свойствам к реальным средам и позволяет ввести понятие пористости е = с/с1, где ¿ = с + Ь.

Приближенная формула для длины скольжения и на уровне края ребер конечной толщины в плоском канале с одной оребренной стенкой, полученная в широком диапазоне параметров конфигурации: половины толщины ребер Ь = 0.01 0.8, половины расстояния между их осями й = 0.0125 ч-1.0 и их высоты к = 0.05 4- 0.95, имеет вид

^ = 0.21е2. (9)

Значение коэффициента 0.21 определено с точностью 7%.

На рис. 5 кроме кривой (9) изображена зависимость ш/ё — 0.17е2, полученная Вангом [5], но для неограниченного сдвигового течения. Для плоского канала такое выражение можно применять лишь при высотах ребер Л < 0.2.

Средняя скорость жидкости в модели Стокса -Саффмана (6) с длиной скольжения (9) имеет отклонения от численных данных менее 15%. Усредненный по координате х профиль продольной микроскопической скорости в канале с ребрами конечной толщины имеет схожий вид с профилем макромодели Стокса-Саффмана, а также с профилем в канале с бесконечно тонкими ребрами. Устремление толщины ребер к нулю Ъ—>0 приводит к полученному раннее выражению для длины скольжения (8).

Таким образом, установлено, что при достаточно густом поперечном оребрении стенок плоского канала длина скольжения на уровне открытого края ребер зависит только от локальной геометрии оребрения, для бесконечно тонких ребер определяемой только расстоянием между ними, а для ребер конечной толщины еще и пористостью, и не зависит от типа течения в канале (сдвигового или градиентного), конфигурации канала (с одной или двумя симметрично или шахматно оребренными стенками), а также высоты ребер.

Модель Стокса - Бринкмана для плоского канала с продольными бесконечно тонкими ребрами. В свободной части канала безразмерная скорость жидкости и> удовлетворяет уравнению Навье-Стокса, которое сводится к уравнению (4). В пористой среде, моделируемой системой продольных ребер, для фильтрационной скорости ТУ используется уравнение Бринкмана с проницаемостью к и эффективной вязкостью ¡л*. На границе оребрения у = к задаются условия непрерывности скорости и касательного напряжения (3)

0.01

0.001

Рис. 5. Длина скольжения ш/й на уровне края ребер конечной толщины в канале с одной ореб-ренной стенкой. Точки — численные значения, полученные по формуле (7): для сдвигового течения (О) - Ъ, > 0.2, (•) - Л < 0.2; (х) - для градиентного течения; (■) - бесконечно тонкие ребра. (—) формула (9), (---) ш/в. = 0.17е2 [5]

сРи)

= К < у < 1; т?:

,<рЦГ ЦТ ¿■у

12 - т = -С, 0 < у < Л; ¿ю(к) _ ^<М{Ъ)

йу

Коэффициент проницаемости к системы продольных ребер вычислялся по приближенной формуле к = <?/2>, полученной из решения для пуазей-левского течения в плоском канале шириной 2с. В случае одной оребренной стенки отношение вязкостей принято г]2 = 1. Использование таких параметров к, г] в макромодели Стокса-Бринкмана (10) приводит к завышенным значениям среднерасходной скорости по сравнению с полученными численно в микропостановке. Превышение составляет около 10% в диапазоне параметров с < Л, - 0.4 для градиентного течения и для всего расчетного диапазона с ^ 1.5, 0 < Ъ < 1 для сдвигового течения. Также наблюдается удовлетворительное соответствие профилей скорости в свободной части канала и в области между ребрами (рис. 6а, б).

Для канала с двумя оребренными стенками использование коэффициента п2 = 1 не дает удовлетворительного совпадения значений средней скорости

о 0.01 0.02 0.03 0.04 т

У в

0.80.6-

о 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ги

0.4

0.2

Рис. 6. Профиль скорости в плоском канале с продольными бесконечно тонкими ребрами, с = 0.3, к = 0.6: (а) градиентное, (б) сдвиговое течение в канале с одной оребренной стенкой; (в) градиентное течение в канале с двумя симметрично (1) и шах-матно (I1) оребренными стенками. 1, 1' -усредненная по х микроскопическая скорость; 2- скорость в макромодели Стокса-Бринкмана (10)

0 0.04 0.08 0.12 V)

в канале с численными данными. Когда ребра не слишком перекрывают канал (Н < 0.7), удалось найти приближенную формулу г}2 = 1+О.Зс-0'7, зависящую только от локальной геометрии оребрения, определяемой расстоянием между ребрами.

Обнаружено, что течения в канале с симметрично и шахматно продольно оребренными стенками локально подобны в окрестности границы оребрения, а также гидравлически подобны в смысле приближенного равенства среднераходных скоростей сквозь канал во всем расчетном диапазоне параметров с < 1.5, 0 < к < 1 (рис. 6в), хотя наблюдается существенное различие микроскопических картин течения между ребрами.

Модель Стокса - Бринкмана для кругового канала с продольными бесконечно тонкими ребрами в цилиндрических координатах имеет вид

1 <1 ( г,2 й ( ¿ИЛ Ш

-~г г— =-1, 0 ^ г < г0; —— г— -—- = -1, г0 < г < 1;

г<1г\ йг) и' г<1г\ йг ) к (г) ' ' , ч

. . .... ч ¿ио(го) 2С№(ГО) , ( ]

ш(г0) = = г? г0 = 1 - Ь.

Вид неоднородной проницаемости к (г) = д2г2 системы пристенных ребер находится из предположения, что течение в области между ребрами аппроксимируется пуазейлевским течением между полубесконечными плоскостями, расположенными под углом друг к другу. Параметр q подобран таким образом, чтобы пористая среда была гидродинамически эквивалентна рассматриваемой системе пристенных ребер по таким макрохарактеристикам, как среднерасходная скорость в трубе и коэффициент сопротивления. Методом наименьших квадратов для числа ребер М = 8 4- 32 и их высоты к — 0.05 -т- 0.95 получена приближенная формула

/г0-19

в(Л,М) = 1.85—.

Значение коэффициента перед дробью определено с точностью 0.5%, показателя степени — с точностью 2%. К сожалению, не удалось найти выражение, не зависящее от высоты ребер /г, как это было сделано для плоских каналов.

Использование такой неоднородной проницаемости к и отношения вяз-костей г/2 = 1 в макромодели Стокса-Бринкмана (11) приводит к ошибке вычисления расхода жидкости во всем канале не более 10% по сравнению со значениями, полученными численно для оребренного канала, а также к хорошему совпадению усредненных и макроскопических профилей скорости (рис. 7). Ошибка тем меньше, чем меньше расстояние между ребрами, т.е. фильтрационная модель Стокса-Бринкмана (11) более точно описывает течение в канале при большом количестве ребер. Сравнение с теоретическими и экспериментальными работами показало удовлетворительное совпадение расчетных коэффициентов сопротивления с ошибкой не более 20%.

Рис. 7. Профиль скорости в круговом продольно оребренном канале: (а) М = 10, h = 0.2; (б) М = 10, h = 0.8. 1 - усредненная по <р продольная микроскопическая скорость; 2 -скорость в макромодели Стокса-Бринкмана (11)

Таким образом, установлено, что система параллельных продольных ребер моделирует слоистую пористую среду с однородным коэффициентом проницаемости, зависящим только от локальной геометрии порового пространства, определяемой расстоянием между ребрами, в то время, как для системы ребер, расположенных на внутренней стенке кругового канала, моделирующей неоднородный пористый слой, получена аппроксимирующая зависимость неоднородной проницаемости от распределения ребер по поверхности и их высоты. Эффективная вязкость системы пристенных ребер, фигурирующая в граничном условии непрерывности касательного напряжения вдоль края оребрения, зависит только от локальной геометрии порового пространства.

Третья глава «Течение в окрестности границы жидкость-пористая среда» посвящена исследованию гидродинамических особенностей границы волокнистой пористой среды, моделируемой регулярной системой твердых стержней квадратного сечения, и определению эффективных параметров граничных условий, задаваемых на поверхности пористой среды. По-ровое пространство такой среды имеет принципиально другую топологию по сравнению с системой ребер, и такая модель более приближена к реальным пористым средам по своим структурным и динамическим характеристикам.

В § 3.1 в приближении Стокса решена задача о сдвиговом и градиентном течении вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале, частично занятом совокупностью квадратных стержней (призм) со стороной поперечного сечения 26, расположенных в узлах квадратной решетки со стороной 2d поперек потоку жидкости (рис. 8). Сложность расчетной области между соседними вертикальными рядами стержней не позволяет решить задачу аналитически в терминах функции тока, как это сделано для оребренно-го канала, поэтому решение получено в примитивных переменных скорости и, v и давления р с использованием численного метода SIMPLE и метода

и-и.

и = 0

их= О и = 0 Р=Р,

-|"х=0

м=0<и=0 у = 0 Гр=0

и=0 у = 0

2с1

и-О у = 0

у=0 Р = 0

О х и= О и = 0 с-Ь

Рис. 8. Плоский канал, частично заполненный системой поперечных квадратных стержней, расположенных в узлах квадратной решетки (с = ё): (а) геометрия канала; (б) краевые условия на границе расчетной области, щ = 1, рг = 0 для сдвигового течения и щ = О, Р1 = с для градиентного (изображена половина одного стержня нижнего ряда)

установления на неравномерной разнесенной сетке. Краевая задача решена в широком диапазоне параметров: количества рядов стержней М = 5 -Ь 20, степени заполненности канала стержнями, или высоты модельного пористого слоя, И = 2М<1 = 0.25 -г- 0.8, объемной концентрации твердых стержней в пористой среде ф = 1-е=Ъ2/<12=0.001 0.8. В § 3.2 проанализированы микроскопические картины течения в окрестности верхних двух рядов стержней. Наблюдается качественное совпадение картин линий тока сдвигового течения с экспериментальными результатами работы [б].

В § 3.3 найдены значения проницаемости модельной пористой среды на основе уравнения Дарси со скоростью фильтрации равной усредненной по объему продольной скорости градиентного течения в центральном горизонтальном слое стержней. В качестве приближенных выражений для проницаемости использовались известные эмпирические и аналитические формулы, но потребовались некоторые дсъ Рис" 9' Проницаемость к/Ь2 системы квадратных

" стержней. 1очки: (О) - численные значения, полу-полнительные коэффициен- ченные в настоящей работе, (+) - численные значе-ТЫ, учитывающие структуру ния из [7]. 1 - формула (12); 2 - формула (13); 3 -модельной пористой среды, формула (14); 4 - к/Ь2 = 1/(6ф)(-]пф- 1.89) для

ф < 0.03 [7]; 5- к/Ь2 = 1/3(1/^ - I)3 для ф > 0.6 [7]

ол<^аб; (1з)

I = ^ «<♦<«* (14)

На рис. 9 изображены численные значения проницаемости, полученные в настоящей работе, приближенные зависимости (12)—(14) и значения проницаемости, полученные в работе [7] для неограниченной системы стержней с применением метода точечной коллокации для функции тока.

В § 3.4 для макроскопического описания течения жидкости в плоском канале, частично заполненном модельным пористым слоем, примыкающим к нижней стенке, использована модель Стокса-Дарси.

Модель Стоках -Дарси для плоского канала со стержнями. Течение жидкости в свободной части канала удовлетворяет уравнению Стокса, а внутри области со стержнями — фильтрационному уравнению Дарси. На границе пористого слоя у = к задается условие скольжения Биверса-Джозефа (2)

= к<у<1; и=Щ, 0<у<Н- = (15)

ау* а ау

где II/ - скорость фильтрации Дарси; (5 = 0, = 0 для сдвигового течения, О = 1, 11/ = к для градиентного (в безразмерном виде). Отметим, что в случае сдвигового течения скорость скольжения совпадает со скоростью на пористой границе и3 = и(Н), и макромодель Стокса-Дарси переходит в модель Стокса-Саффмана (6) с длиной скольжения ш = у/к/а. В случае градиентного течения значение скорости на нижней стенке канала 11(0) = к (вместо требуемого {/(0) = 0) вносит пренебрежимо малую ошибку в вычисление скорости и внутри пористой среды.

Необходимый для замыкания модели (15) коэффициент скольжения а вычислен по формуле

__ /у,

а = л/к —, и3 = ин~ V/, (16)

где |ц, )|, - усредненные вдоль пористой границы у = И значения продольной составляющей микроскопической скорости и скорости сдвига, соответственно. В качестве номинальной границы модельной волокнистой пористой среды взята плоскость, касательная к внешней поверхности стержней в верхнем ряду, поскольку там происходит первый контакт свободной жидкости с пористой средой.

Коэффициент скольжения а для сдвигового течения зависит практически только от объемной концентрации стержней ф, и аппроксимирующая зависимость для численных значений, полученных из (16) с коэффициентом проницаемости к, вычисленным по формулам (12), (13), имеет вид (рис. 10)

а = 3.4 + 8.3 у/ф

(17)

с относительной ошибкой не превышающей 10% при концентрации ф < 0.6.

Для разреженной пористой среды коэффициент скольжения для объемных концентраций ф = 0.001; 0.01; 0.1 имеет большие на 5%, 12%, 24% значения, чем для стержней круглого сечения, полученные в [8] аналитически методом сингулярностей. На рис. 10 видно, что при большей объемной концентрации различия в коэффициенте скольжения более существенные, поскольку номинальная граница квадратных стержней содержит более протяженные участки прилипания, чем круговые стержни.

На коэффициент скольжения при градиентном течении, рассчитанном на основе (16), влияет не только концентрация стержней, но и микроструктура пористой границы и высота свободной части канала Н0 = 1 — Н. Разброс значений а при фиксированном ф тем меньше, чем больше ф (рис. 11). Для умеренно разреженных упаковок {ф > 0.1) коэффициент скольжения для стержней квадратного сечения имеет существенно бблыпие значения, чем полученные аналитически в работе [8] значения для круговых стержней, а также по сравнению с экспериментальными данными [2], лежащими в интервале [0.1, 4] для ячеистых пенометаллов и гранулированных алокситов, при близких значениях проницаемости среды.

а 10

0.0001 0.001 0.01

0.1

а 10

1 ф

0.001

0.01

о о

0.1

1ф

Рис. 10. Коэффициент скольжения а для сдвигового течения. Точки: (□) - с использованием численных значений проницаемости; (■) - с использованием приближенных формул (12)—(14) для проницаемости. (О) -для круговых стержней [8]. (—) формула (17) для 0.001 < ф < 0.6

Рис. 11. Коэффициент скольжения а для градиентного течения. Точки: (О) — с использованием численных. значений проницаемости к\ (•) - при h0/h = 3, h0/(2d) = 30. (х) - для сдвигового течения

Выявлено, что для гидродинамического подобия двух типов течений, сдвигового и градиентного, в окрестности границы жидкость-пористая среда в смысле приближенного равенства коэффициентов скольжения необходимо, чтобы высота свободной части канала Но была на порядок больше высоты области к, занятой стержнями, и на два порядка больше расстояния между стержнями 2(1 (рис. 11).

Задавая проницаемость к и коэффициент скольжения а в модели Сток-са-Дарси (15), можно получить довольно точное распределение скорости жидкости в канале (рис. 12). Основная ошибка при переходе к такой фильтрационной модели находится в окрестности границы жидкость-пористая среда и составляет менее 5% для касательной скорости ин и напряжения -у/,.

Влияние внутренней геометрической структуры пористой среды на течение в окрестности проницаемой границы определяется степенью проникновения внешнего свободного течения вглубь среды. Глубина проникновения как сдвигового, так и градиентного течения, составляет не более двух верхних рядов стержней и тем больше, чем больше пористость среды. В случае сдвигового течения даже существенное изменение геометрии внутренней структуры пористой среды не влияет на макрохарактеристики течения на границе. Так, при последовательном исключении нижних рядов стержней максимальное изменение скорости скольжения и3 составляют 10% при оставлении только одного верхнего ряда стержней и для сильно разреженной пористой среды (ф = 0.001). Для градиентного течения такая процедура исключения приводит к значительным изменениям скорости скольжения на пористой границе, поскольку увеличение зазора между стержнями при заданном перепаде давления влечет увеличение расхода жидкости, в том числе, и в окрестности верхнего ряда стержней.

Рис. 12. Профиль скорости сдвигового (а) и градиентного (б) течения в плоском канале со стержнями, М = 5, И = 0.5, ф = 0.01: 1 - профиль усредненной по х микроскопической скорости; 2- профиль скорости в макромодели Стокса-Дарси (15).

Проведено сравнение макрохарактеристик течения в окрестности открытой границы системы стержней и рассмотренной ранее границы оребрения. Топологии парового пространства таких моделей пористых сред принципиально отличаются друг от друга, а локальная геометрия их проницаемой границы одинакова. На рис. 13 изображена зависимость безразмерной тангенциальной скорости %<£) на границе пористой среды у = к от объемной концентрации твердых включений ф = Ь2/сР. Отметим, что для ребер конечной толщины объемная концентрация равна Ъ/й и величина щ/^^й) есть отношение длины скольжения к расстоянию между ребрами ш/й, а в случае

стержней — это обратная величина к коэффициенту скольжения VК/[аЛ).

Значения и^/Для сдвигового и градиентного течения как на границе оребрения, так и на границе системы стержней практически совпадают, а это соответствует граничному условию скольжения Саффмана (1). Использование же условия скольжения Биверса- Джозефа (2) на границе системы стержней со скоростью скольжения и3 приводит к значительно большим значениям величины и3/(-¡"п(1) для градиентного течения по сравнению со значениями для сдвигового потока. Таким образом, граничное условие Саффмана является более универсальным, чем условие Биверса-Джозефа.

Из рис. 13 видно, что при ф = Ь2/сР ^ 0.1 течения в окрестности границы оребрения и границы волокнистой среды подобны в смысле равенства длин скольжения, и внутренняя структура пористой среды не влияет на макроскопические гидродинамические параметры течения на пористой границе.

В заключении сформулированы наиболее важные результаты и выводы, полученные в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В приближении Стокса построены математические модели и получены полуаналитические и численные решения задач о течении вязкой жидкости в оребренном канале и канале, частично заполненном упорядоченной системой квадратных стержней, моделирующих пористые среды с принципиально разными топологиями порового пространства — слоистую и волок-

0.0034

0.001 0.01

0.1

1 ф

Рис, 13. Зависимость безразмерной скорости на пористой границе щЦ'Унй) от ф = Ь^/сР: на границе оребрения (ребра конечной толщины): (— ■ —) сдвиговое течение, (х) -градиентное течение; и на границе системы квадратных стержней: (---) сдвиговое течение, (О) - градиентное течение

нистую, соответственно. Исследованы локальные особенности течения между ребрами и стержнями, а также в окрестности края ребер и верхнего ряда стержней. Проведено сравнение продольного и поперечного, сдвигового и градиентного течений в оребренном канале и в канале со стержнями. Сопоставление с имеющимися в литературе аналитическими, экспериментальными и численными исследованиями показало хорошее соответствие полученных решений, в том числе, для частных и предельных случаев.

2. Для макроскопического описания течения жидкости в плоском канале с поперечными ребрами, рассматриваемыми в качестве континуальной модели слоистой пористой среды, использована модель Стокса-Саффмана с граничным условием скольжения Саффмана, устанавливающим прямую пропорциональную зависимость тангенциальной составляющей скорости и ее нормальной производной. Показано, что коэффициент пропорциональности, так называемая длина скольжения, существенно зависит только от локальной геометрии оребрения, для бесконечно тонких ребер определяемой только расстоянием между ними, а для ребер конечной толщины еще и пористостью, и не зависит от типа течения в канале (сдвигового или градиентного), конфигурации канала (с одной или двумя симметрично или шахматно ореб-ренными стенками), а также высоты ребер. Приведена аппроксимирующая зависимость длины скольжения от расстояния между ребрами и пористости в широком диапазоне параметров задачи. Установлено, что соответствующая макроскопическая постановка Стокса-Саффмана является гидравлически подобной постановке задачи о течении в оребренном канале в смысле приближенного равенства расхода жидкости сквозь весь канал и коэффициента сопротивления, а также приближенного совпадения профилей скорости.

3. Для макроскопического описания течения жидкости в плоском и круговом канале с продольно оребренными стенками использована модель Стокса-Бринкмана с граничным условием непрерывности касательной составляющей скорости и касательного напряжения. Система параллельных ребер рассмотрена в качестве модели бринкмановской пористой среды с однородной проницаемостью, зависящей только от локальной геометрии поро-вого пространства, определяемой расстоянием между ребрами, в то время как система ребер, расположенных на внутренней стенке кругового канала, моделирует неоднородный пористый слой с проницаемостью, зависящей как от распределения ребер по поверхности, так и от их высоты. Эффективная вязкость системы ребер, примыкающих к стенке канала, зависит только от локальной геометрии порового пространства. Показано, что такая фильтрационная модель Стокса-Бринкмана гидравлически подобна течению в продольно оребренных каналах.

4. Для макроскопического описания течения жидкости в плоском канале, частично занятом системой стержней, моделирующей волокнистую пористую среду, использована модель Стокса-Дарси с граничным условием

скольжения Биверса- Джозефа, допускающим разрыв тангенциальной составляющей скорости, пропорциональный ее нормальной производной. Обнаружено, что для вычисления проницаемости системы стержней могут быть использованы известные в литературе аналитические и эмпирические выражения, но требуются некоторые корректирующие множители, учитывающие форму поперечного сечения стержней. Коэффициент скольжения, фигурирующий в граничном условии Биверса-Джозефа, для сдвигового течения зависит только от объемного содержания твердых включений (стержней) в пористой среде, в отличие от случая градиентного течения, когда необходимо учитывать влияние микроструктуры пористой среды. Установлено, что модель. Стокса-Дарси позволяет адекватно описывать процессы фильтрации и обтекания фильтров из различных натуральных и синтетических волокон.

5. Внутри пористой среды возле ее границы существует тонкий приграничный слой, в котором скорость на поверхности среды резко уменьшается до значения фильтрационной скорости внутри среды. Геометрия и топология порового пространства этого погранслоя оказывает непосредственное воздействие на гидродинамические характеристики границы жидкость-пористая среда и определяет вид зависимости макроскопических параметров краевых условий, задаваемых на границе. Внутренняя структура пористой среды практически не оказывает влияния на эти параметры. Показано, что в случае объемной концентрации включений больше 0.1 течения в окрестности границы оребрения и границы системы стержней подобны в смысле приближенного равенства длин скольжения.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Saffman P.G. On the boundary condition at the surface of a porous medium // Stud. App. Math. 1971. V. 50. P. 93-101.

2. Beavers G.S., Joseph D.D. Boundary conditions at a naturally permeable wall // J. Fluid Mech. 1967. V. 30. Part 1. P. 197-207.

3. Neale G., Nader W. Practical significance of Brinkman's extension of Darcy's law: coupled parallel flows within a channel and a bounding porous medium // Can. J. Chem. Eng. 1974. V. 52. P. 475-478.

4. Davis A.M.J. Periodic blocking in parallel shear or channel flow at low Reynolds numbers // Phys. Fluids. 1993. V. 5. P. 800-809.

5. Wang C.Y. Flow over a surface with parallel grooves // Phys. Fluids. 2003. V. 15. P. 1114-1121.

6. Tachie M.F., James D.F., Currie I.G. Velocity measurements of a shear flow penetrating a porous medium // J. Fluid Mech. 2003. V. 493. P. 319-343.

7. Wang C.Y. Stokes flow through an array of rectangular fibers // Int. J. Multiphase Flow. 1996. V. 22, P. 185-194.

8. James D.F., Davis A.M.J. Flow at the interface of a model fibrous porous medium // J. Fluid Mech. 2001. V. 426. P. 47-72.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мосина Е.В., Чернышев И.В. Условие скольжения на поверхности модельной волокнистой пористой среды // Письма в ЖТФ. 2009. Т. 35. Вып. 5. С. 103-110.

2. Мосина Е.В. Численное исследование течения на границе жидкость-пористая среда // Теоретические основы химической технологии. 2010. Т. 44. Вып. 5. С. 536-542.

3. Мосина Е.В., Чернышев И.В. Течение жидкости в окрестности пористой границы // Вестник ННГУ. 2011. № 4(3). С. 999-1001.

4. Мосина Е.В, Чернышев И.В. Фильтрационная модель продольного течения в цилиндрическом оребренном канале // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 3. С. 48-55.

5. Мосина Е.В., Чернышев И.В. Медленное течение в плоском канале с поперечными ребрами // Вестник ВолГУ. Сер. 1. Математика. Физика. 2006. Вып. 10. С. 81-85.

6. Мосина Е.В. Медленное сдвиговое течение над оребренной плоскостью // Тез. XI Per. Конф. молод, исслед. Волгоградской обл. Вып. 4. Физика и математика. — Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2007. С. 85-87.

7. Мосина Е.В. Сдвиговое течение в канале, частично заполненном модельной пористой средой // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. 2007. Т. 36. С. 156-158.

8. Мосина Е.В. Течение на границе жидкость-модельная пористая среда // Тез. XVIII сесс. Междунар. шк. по моделям механики сплошной среды. — Саратов: Изд-во СГУ, 2007. С. 78-79.

9. Мосина Е.В. Течение жидкости в окрестности пористой границы // Современные методы механики. X Всеросс. съезд по фунд. проблемам теор. и приклад, механики. Вторая Всеросс. шк. молодых ученых-механиков. Тез. докл. — Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2011. С. 111.

10. Мосина Е.В. Моделирование гидродинамики в канале, частично занятом пористой средой // Тез. XII Междунар. конф. молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики». — Новосибирск: Изд-во ИТ СО РАН, 2012. С. 82.

11. Мосина Е.В. Условие скольжения на границе оребрения и поверхности волокнистой пористой среды // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. 2012. Т. 45. С. 148-150.

12. Мосина Е.В. Гидродинамические поля поперечного обтекания системы квадратных стержней, частично заполняющих плоский канал // Свид-во о гос. per. программы для ЭВМ № 2013612336. Зарег. в Реестре программ для ЭВМ РФ 21.02.2013 г.

Подписано в печать 04.04. 2013 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 80.

Издательство Волгоградского государственного университета. 400062 Волгоград, просп. Университетский, 100. E-mail: izvolgu@volsu.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Мосина, Екатерина Владимировна, Волгоград

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный университет»

На правах рукописи

04201357277 Мосина Екатерина Владимировна

ГИДРОДИНАМИКА В ОКРЕСТНОСТИ ГРАНИЦЫ ЖИДКОСТЬ-ПОРИСТАЯ СРЕДА

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель к.ф.-м.н., доцент Чернышев Игорь Викторович

Волгоград — 2012

Оглавление

Введение............................... 3

1. Течение в присутствии пористых тел. Аналитический обзор................................ 9

1.1 Характеристики пористых сред................................9

1.2 Модели фильтрационного и свободного течения жидкости . . 22

1.3 Краевые условия на границе жидкость-пористая среда. ... 29

2. Течение в окрестности границы оребрения..........37

2.1 Плоский канал с бесконечно тонкими ребрами.........38

2.2 Круговой канал с бесконечно тонкими ребрами........47

2.3 Плоский канал с ребрами конечной толщины.........51

2.4 Гидродинамика перехода на границе оребрения........56

3. Течение в окрестности границы жидкость — пористая среда 70

3.1 Плоский канал, частично заполненный модельной волокнистой пористой средой: постановка задачи и метод решения . . 71

3.2 Микроскопические гидродинамические поля..........79

3.3 Проницаемость пористой среды................83

3.4 Гидродинамика в окрестности пористой границы.......88

Заключение..............................102

Литература..............................106

Введение

Задачи совместного течения жидкости в пористой среде и в свободной области широко распространены в природных процессах (растекание и фильтрация воды или нефти по поверхности грунта), в биологических системах (движение воздуха в легких, крови через тромбы), а также находят применение в многочисленных технических приложениях (очистка жидкостей и газов от примесей, разделение суспензий, нефте- и газотранспорт, массо- и теплообмен, каталитические и сорбционные процессы, литейное производство) и энергетике (работа пористых тепловыделяющих элементов).

Для замыкания математических постановок задач о совместном течении свободной жидкости и фильтрационном течении в пористой среде необходимо задание граничных условий на поверхности пористой среды. Выбор подходящих условий частично продиктован математическими особенностями уравнений фильтрационного и свободного течения, но в большей степени соответствием поставленной задачи реальной картине моделируемых процессов. При переходе через границу пористого тела выполнение основных законов сохранения приводит к непрерывности нормальной составляющей скорости и равенства давления внутри пористой среды и нормального напряжения в свободной области. Для задания граничных условий на касательную компоненту скорости и касательное напряжение

могут применяться различные подходы. При использовании фильтрационной модели Дарси для касательной составляющей скорости свободного течения задают граничное условие скольжения (скачка). На поверхности бринкмановской пористой среды могут задаваться, например, условия непрерывности касательной составляющей скорости и касательного напряжения или нормальной производной касательной скорости. Некоторые исследователи вместо непрерывности ставят условие разрыва касательного напряжения на границе пористой среды, пропорционального тангенциальной скорости на границе.

Дифференциальные уравнения фильтрационных течений и краевые условия, задаваемые на границе пористого тела содержат ряд макроскопических параметров, которые зависят от пористости среды, геометрии и топологии порового пространства, физико-химических свойств материала среды, а также типа течения жидкости в свободной области. Эти параметры либо задаются феноменологически, либо определяются из микроскопических гидродинамических решений модельных постановок, наиболее адекватно описывающих течение в реальной проницаемой среде и переход жидкость - пористая среда. Экспериментальные измерения зачастую технически затруднены, а аналитические исследования ограничены, как правило, простыми моделями. Эффективным и часто применяемым способом определения характерных параметров фильтрационных уравнений и граничных условий является сочетание аналитического и численного подхода решения ряда модельных задач об обтекании пористой среды, имеющей регулярную внутреннюю структуру.

Исследование течения жидкости в окрестности границы жидкость-пористая среда, изучение проблемы выбора граничных условий на пори-

стой поверхности, теоретическое и численное определение макроскопических параметров в этих условиях являются весьма актуальными.

Целью работы является исследование гидродинамических характеристик течения в окрестности границы жидкость - пористая среда. Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:

1. Разработка математических моделей и постановка задач сдвигового и градиентного течения в окрестности границы различных модельных пористых сред. В частности рассмотрение задач обтекания системы ребер и системы стержней, моделирующих пористые среды с различной структурой порового пространства: слоистой и волокнистой, соответственно.

В диссертационной работе исследованы гидродинамические особенности границы пористых сред, имеющих различную структуру и топологию порового пространства: слоистой, моделируемой системой ребер, и волокнистой, моделируемой системой стержней. Впервые микромоде-

лирование течения в окрестности границы проведено в широком диапазоне параметров, характеризующих локальную геометрию пористой среды и ее номинальной границы. Получены аппроксимирующие зависимости для макровеличин в фильтрационных уравнениях Дарси и Бринкмана (проницаемость, эффективная вязкость), граничных условиях скольжения Саффмана, Биверса-Джозефа (скорость и длина скольжения, коэффициент скольжения) и граничных условиях непрерывности скорости и касательного напряжения для таких модельных сред. Показано, что для умеренно концентрированных пористых сред, имеющих различную структуру порового пространства (слоистую и волокнистую), но схожую локальную геометрию границы, эффективные параметры краевых условий приближенно равны.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что проведенное микромоделирование течения жидкости в окрестности границы модельной пористой среды открывает возможности детального и систематического изучения влияния структуры пористой поверхности на ее гидродинамические свойства и способствует более адекватному физическому описанию межфазного перехода жидкость - пористая среда. Полученные граничные условия могут быть использованы при замыкании макроскопических математических постановок различных прикладных задач, возникающих в технических, химических, биологических и иных системах. Фильтрационные модели течения в оребренных круговых и плоских каналах подходят, например, для расчетов тепло- и массообменных устройств и дают довольно точные оценки гидравлических характеристик таких устройств, а также приближенные усредненные профили скорости.

Полученная в работе макромодель обтекания системы волокон адек-

ватно описывает поверхностную гидродинамику фильтров из натуральных и синтетических волокон. Использование в макромодели найденных аппроксимирующих формул для параметров граничных условий позволяет получить довольно точные оценки необходимых гидравлических характеристик потока, а также приближенные усредненные профили скорости.

Научные результаты диссертационной работы для границы модельной пористой среды могут быть обобщены на пористые поверхности, имеющие более сложную локальную структуру порового пространства, а также на другие типы течений (обтекание проницаемых тел неограниченным потоком, растекание жидких пленок по пористому слою и др.).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Аналитические и численные решения для стоксова течения вязкой несжимаемой жидкости в плоских каналах с поперечными ребрами, как бесконечно тонкими, так и конечной толщины, с различными вариантами их расположения на стенках канала, и моделирующими простейшую слоистую пористую среду. Математические аппроксимации для длины скольжения вдоль края оребрения в граничном условии Саффмана.

2. Аналитические решения для ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости в плоских и круговых каналах с продольными бесконечно тонкими ребрами. Фильтрационное приближение, моделирующее течение в такой слоистой пористой среде. Приближенные формулы для проницаемости и эффективной вязкости в фильтрационном уравнении Бринк-мана в межреберном пространстве и граничном условии для касательного напряжения на краю оребрения.

3. Математическая модель и численный алгоритм расчета течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале, частично занятом систе-

мой поперечно расположенных стержней квадратного сечения, моделирующих волокнистую пористую среду. Детальные численные гидродинамические поля для сдвигового и градиентного течения при различных регулярных укладках стержней. Аппроксимирующие зависимости для проницаемости такой среды и коэффициента скольжения в условии Биверса-Джозефа, задаваемом на границе жидкость - пористая среда.

Основные результаты и выводы, полученные в диссертации, опубликованы в 11 печатных работах, из них работы в научных изданиях из Перечня ВАК РФ [25, 26, 27, 29], тезисы докладов на российских и международных конференциях [22, 24, 28, 30], в сборниках трудов и других изданиях [21, 23, 31], а также получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [32].

Глава 1

Течение в присутствии пористых тел. Аналитический обзор

Многие природные среды — почва, грунты, горные породы, древесина, кожа, кость и т.д., а также строительные, текстильные, пищевые и прочие натуральные или синтетические материалы, являются пористыми. Характерная особенность всех этих веществ и материалов — способность накапливать в себе жидкость и позволять ей двигаться под действием внешних сил.

В настоящей главе вводятся основные структурные, механические и динамические характеристики пористых сред, а также математические модели, описывающие совместное фильтрационное в пористой среде и свободное течение вязкой жидкости.

1.1 Характеристики пористых сред

Пористые среды описываются рядом параметров, совокупность которых дает полное представление об их свойствах. К физическим параметрам относятся [34]: пористость и ее объемное распределение; вид пористости (эффективная или открытая, закрытая); распределение пор по размерам; форма и коэффициент извилистости пор; удельная поверхность пор;

состояние поверхности пор; гидравлический радиус. Гидродинамическими характеристиками являются: проницаемость и ее распределение по объему пористого материала. Упругие свойства пористой среды определяют ее способность к деформации или разрушению, причем они существенно зависят от того, насыщена ли среда жидкостью или нет.

Основными факторами, определяющими гидродинамические свойства проницаемой среды, являются объем и структура ее порового пространства. Геометрия пор бывает весьма разнообразной, и для ее количественного описания используют некие модели, устанавливающие соотношения, например, между пористостью и удельной поверхностью пор.

Пористость (или порозность) £ - это относительная объемная доля пустот в объеме пористого материала е = УР/У, где Ур - объем пор в образце объемом У. Для большинства природных сред пористость составляет 0.1-7-0.7 (почва - 0.30.7, речной песок - 0.30.55, нефтегазоносные пласты - 0.1 0.4), а для искусственных материалов (порошковых, гранулированных, ячеистых, волокнистых, комбинированных) может достигать 0.999 [18]. Если среда неоднородная, то ее пористость является некоторой функцией пространственных координат £ = е(х,у,г). Наряду с пористостью используется понятие объемной доли твердых включений в пористой среде ф = Уг/У = 1 — где Уг - объем твердой фазы в образце объемом V.

Главным динамическим свойством, проявляющимся непосредственно в процессе фильтрации, является проницаемость (проводимость) пористой среды, под которой понимается ее способность пропускать сквозь себя жидкости и газы [4, 17, 43].

Большое разнообразие пористых сред не позволяет ввести единую классификацию по геометрии их порового пространства, но существует

множество полуколичественных классификаций и структурных представлений. В частности, можно использовать следующее разбиение моделей пористых сред на несколько групп [18, 33, 35]:

1) капиллярная модель Кармана-Козени (идеальный грунт);

2) зернистая (или гранулярная) модель Слихтера (фиктивный грунт);

3) модель слоистой среды;

4) модель волокнистой среды.

В структурных моделях капиллярного типа поровое пространство представляется пучками непересекающихся капилляров, которые могут различаться как размерами, так и ориентацией в пространстве (рис. 1.1). Пористость капиллярной модели равна пористости моделируемой среды (модель Кармана-Козени), а в качестве эффективного радиуса единичного капилляра — цилиндрической трубки, берется средний гидравлический радиус пористой среды Л^ = Ур/БР) где Бр - площадь удельной поверхности порового объема Ур. Сопоставляя закон Пуазейля [19] течения жидкости в капиллярной трубке и закон фильтрации Дарси в пористой среде, и учитывая модельное соотношение Дюпюи - Форхгеймера [35], связывающее истинную скорость в поре с усредненной, и фактор извилистости поровых каналов [34, 35], получается выражение для проницаемости

к=£Л (1.1)

Ск

где Ск - коэффициент Козени, который при больших значениях пористости уже не является константой. Большое количество экспериментальных данных, выполненных для различных реальных сред, позволяет заключить, что 4.5 ^ Ск ^ 6 в интервале пористости 0.26 ^ £ ^ 0.8 [34, 38].

Капиллярная модель Кармана-Козени, связывающая пористость,

удельную поверхность и проницаемость среды, удовлетворительно описывает реальные пористые среды с порами близкими к цилиндрическими и не сильно извилистыми. Если пористая среда обладает широким диапазоном размеров пор, то вклад пор большего диаметра в удельную поверхность будет много меньшим, чем вклад мелких пор, поэтому формула Кармана-Козени для проницаемости дает значительные погрешности [42].

Гранулярная модель пористой среды представляет собой конгломерат различным образом упакованных твердых частиц. К таким средам можно отнести природные — песчаники, насыпи камней; строительные — опилкобетон; технические — засыпки гранул катализатора (шарики, кусочки неправильной формы, различные кольца, цилиндрики, соломка, таблетки и др.). Впервые простейшая гранулярная модель была предложена С. С лихтером [118], в которой форма элементарной ячейки представляет собой ромбоэдр, образованный центрами восьми соприкасающихся друг с другом шаров одинакового диаметра (рис. 1.2). Пористость модели связана с единственной характеристикой геометрии пор, определяющей степень упакованности шаров — острым углом раствора ромбоэдра ß

7Г

£ = 1--.

6(1 - cos /?)\/1 + 2 cos ß

Угол ß = 60° соответствует наиболее плотной гексагональной упаковке и пористость составляет е = 0.259, при ß = 90° ячейка-ромбоэдр превращается в куб и пористость максимальна е = 0.476. Более поздние исследования [38] показали, что можно построить усложненные устойчивые упаковки шаров, увеличивающие ее пористость почти в два раза.

Для изучения течения жидкости в модели Слихтер заменил истинный криволи