О корректности прикладных задач фильтрации жидкости в пористых средах со свободными границами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

5

Глава I Конформные отображения многоугольников и областей, ограниченных полигонами и свободными поверхностя

§ 1. Конформные отображения многоугольников.

1°. Задача Гильберта, формула Кристоффеля - Шварца.

2°. Функциональное уравнение.

3°. Деформация простых полигонов.

4°. Сходимость метода циклической итерации.

5°. Аппроксимация оператора.

6°. Оценка погрешности аппроксимации.

7°. Сходимость численного метода циклической итерации.

§ 2. Конформные отображения со свободной границей.

1°. Постановка задачи.

2°. Пример 1.

3°. Пример II.<.

Глава II Фильтрация жидкости со свободными границами в неограниченном пористом слое

§ 1. Принцип непрерывности для фильтрационных потоков жидкости.

1°. Постановка фильтрацирнных задач.

2°. Представление конформных отображений.

3°. Система уравнений для параметров.

4°. Принцип непрерывности.

§ 2. Априорные оценки и локальная единственность решения.

§ 3. Построение начальных полигонов. Однозначная разрешимость уравнения.

1°. Пористый слой с двумя бесконечными вершинами (область типа полосы).

2°. Пористый слой с одной бесконечной точкой(область типа полуполосы).

3°. Конечная область фильтрации (рис.1).

§ 4. Барьерная кривая для свободной границы.

1°. Двусторонние оценки производных.

2°. Структура области в окрестности концов полигона.

3°. Построение барьерной кривой.

§ 5. Обобщения.

1°. Криволинейные границы.

2°. Нестационарные фильтрационные потоки.

Глава III Прикладные контактные задачи фильтрации жидкости в пористых средах

§ 1. Постановка контактных задач теории фильтрации.

§ 2 Земляная плотина на водопроницаемом основании.

1°. Глубина водоносного слоя бесконечна.

2°. Водоносный слой конечной глубины (область типа полосы).

3°. Водоносный слой вниз по потоку ограничен (область типа полуполосы).

4°. Водоносный слой конечных размеров.

5°. Перемычка Герсеванова.

§ 3. Земляная плотина с наклонной поверхностью дренажа.

1°. Непроницаемое основание.

2°. Конечная глубина (аналог задачи 4°

§2).

3°. Бесконечная длина водоносного слоя в верхнем бьефе.

4°. Фильтрация из канала в симметрично расположенные водоприемники.

5°. Дренированное дно канала.

6°. Водоносный слой бесконечной глубины.

7°. Свободная граница бесконечна.

§ 4. Двухжидкостные фильтрационных потоков.

1°. Контактная граница пресных и соленых вод под дамбой.

2°. Поверхность раздела в прибрежном напорном водоносном пласте.

3°. Конечный водоносный пласт.

4°. Конус подошвенных вод.

5°. Линза пресных вод.

5.1°. Симметричный поток.

5.2°. Общий случай.

§ 5. Однозначная разрешимость контактных задач.

1°. Полигональные границы.

2°. Принцип непрерывности в контактных задачах.

3°. Анализ результатов.

Глава IV Фильтрация жидкости в неограниченном пласте с наклонным водоупором

§ 1. Общая задача фильтрации.

§ 2. Фильтрационный поток грунтовых вод по наклонному водоупору под горизонтальной дреной.

§ 3. Фильтрационный поток жидкости из канала на наклонный водоупор.

1°. Фильтрация жидкости из прямолинейного канала на горизонтальный водоприемник, находящийся под наклонным водоупором.

2°. Фильтрация жидкости из прямолинейного канала на наклонный водоупор.

3°. Дно канала и водоупоры - произвольные полигональные границы.

Глава V Алгоритмы численного решения задачи о параметрах

§ 1. Задачи безнапорной фильтрации с горизонтальным дренажем

1°. Фильтрация жидкости в полигональном канале со свободной границей, выходящей на горизонтальный дренаж.

2°. Представление конформных отображений.

- 3°. Система уравнений для параметров.

4°. Эквивалентное уравнение для вектора и = (tti, .,un).

§ 2. Метод циклической итерации.

1°. Преобразование функционального уравнения.

2°. Деформация простых полигонов.

3°. Сходимость метода циклической итерации.

§ 3. Приближенное решение задачи о параметрах.

1°. Аппроксимация одномерных интегралов.

2°. Оценка погрешности аппроксимации Ми.

3°. Аппроксимация оператора.

4°. Сходимость численного метода циклической итерации.

5°. Земляная плотина на непроницаемом основании с горизонтальным дренажем.

6°. Плотина с наклонной поверхностью дренажа.

§ 4. Общий случай аппроксимации оператора задачи. 1°. Аппроксимация двумерных интегралов.

2°. Оценка погрешности и сходимость численного алгоритма.

1°. Исторический обзор. Плоские стационарные течения несжимаемой жидкости, включая и фильтрацию жидкости в однородных пористых средах, описываются аналитической функцией комплексного переменного - комплексным потенциалом течения.

В гидродинамике задачами со свободными поверхностями принято называть задачи, в которых часть границы области течения неизвестна (свободная граница) и должна определяться в процессе решения вместе с комплексным потенциалом течения.

Корректность одной из таких задач впервые была установлена Вайнштейном А. (1924) на основе предложенного им метода непрерывности [17, с. 19 - 31].

Применением абстрактной формы метода непрерывности Jlepe Ж., Вайнштейн А. (1934) доказали разрешимость задачи обтекания полигонального контура с отрывом струй (свободные границы) по схеме Кирхгофа [17, с. 75 -78 /, а в работе Лере Ж. (1935) эти результаты были распространены на криволинейные препятствия, угол вращения касательной к которым не превышал величины 7Г (библиография в [3]). Независимо от Лере Ж. при тех же условиях на геометрию обтекаемого препятствия Лаврентьев М.А. (1938), опираясь на разработанные им вариационные принципы конформных отображений, вместе с теоремой существования течений Кирхгофа установил и теорему единственности таких течений (библиография в [3, 8, 9]).

Разрешимость широкого класса струйных задач гидродинамики и задач теории фильтрации жидкости со свободными границами без ограничений Лере - Лаврентьева была установлена Монаховым В.Н. (1961) с помощью предложенного им метода конечномерной аппроксимации (библиография в [9]). В этом методе известные границы области течения заменялись полигонами, а нелинейные краевые условия - кусочно - линейными. Разрешимость полученных при этом систем уравнений относительно конечного числа аппроксимационных параметров устанавливалась последовательно в результате малых вариаций границ и граничных условий,. Решения исходных задач гидродинамики и теории фильтрации со свободными границами строились предельным переходом практически без ограничений на геометрию заданных границ.

В последнее время Монаховым В.Н. (2000) предложен конструктивный вариант описанного аппроксимационного подхода, названного циклическим методом итерации [10, 11]. Метод заключается в применении конечного числа циклов деформаций заданных полигональных границ таким образом, чтобы соответствующая система уравнений относительно параметров конформного отображения в каждом цикле допускала построение ее решения методом простой итерации.

На основе циклического метода итерации в работах [10, 11] доказана корректность струйных задач гидродинамики и задач типа фильтрации со свободным границами, в которых заданные полигональные препятствия допускают внешнее самопересечение и могут иметь бесконечные вершины с произвольным углом при них.

Отметим, что струйные задачи гидродинамики находят непосредственное применение в теории фильтрации при построении оптимальных форм подземной части бетонных гидротехнических сооружений [13, с. 186 - 201]. j

Отличительной особенностью задач фильтрации жидкости в пористых средах является разнообразие граничных условий для искомого комплексного потенциала фильтрации и соответственно этому наличие большого количества геометрических и физических характеристик фильтрационного потока [2, 5, 13].

Первые теоремы существования фильтрационных потоков жидкости в земляных плотинах со свободной границей (депрессионной кривой) установлены Полубариновой - Кочиной П.Я. (1938) методами аналитической теории дифференциальных уравнений [13, гл.VII].

С помощью специального выбора независимых переменных и искомых функций методами теории квазиконформных отображений более общие теоремы существования фильтрационных потоков жидкости со свободными границами были доказаны Монаховым В.Н. (1961) [9, с. 359 - 375]. Впоследствие разрешимость некоторых из изученных в [9, 13] фильтрационных задач независимо была установлена методами вариационных неравенств в работах Байокки Б., Стампакья Г. (1974) [4, с. 269 - 318].

В книгах [2, 5, 13] изложены результаты различных авторов по применению метода годографа скорости, хорошо зарекомендовавшего себя в гидродинамике, для построения точных решений (в виде рядов или специальных функций) конкретных задач фильтрации жидкости со свободными границами. Таким методом были, например, решены частные задачи о равновесии линзы пресных вод, лежащей на соленой воде [13, с. 330- 341], [5, с. 287 - 301]. При построении конформного отображения фиксированной области в плоскости переменных годографа скорости течения на канонические области, проблема определения возникающих при этом вспомогательных параметров решалась в этих работах полуобратным подходом - фиксировались различные значения этих параметров и по ним вычислялись фильтрационные характеристики потока (напор, длина плотины, размеры дренажных зон и т.д.).

Прямые задачи, где геометрические и физические характеристики фильтрационных потоков задаются заранее, а параметры соответствующих им конформных отображений определяются в результате решения нелинейных систем уравнений, впервые были поставлены и исследованы в работах Монахова В.Н., результаты которых изложены в монографии [9, гл. III].

Теоретическое исследование задачи о параметрах фильтрационных потоков и построение алгоритмов численного ее решения является актуальной проблемой современной подземной гидродинамики.

2°. Цель работы. Диссертационная работа посвящена доказательству однозначной разрешимости задач фильтрации жидкости со свободными границами в пористых каналах со сложной геометрией фильтрационного потока: неограниченной протяженностью и глубиной пористого слоя, скачкообразным изменением расхода жидкости в верхней и нижней зонах канала, наличием неизвестных (контактных) границ с неподвижной жидкостью другой плотности и т.д.

Особое место в диссертации уделяется построению конструктивных численных алгоритмов решения фильтрационных задач со свободными границами, доказательству их сходимости и оценке погрешности аппроксимации.

3°. Содержание работы

Основные результаты диссертации:

• доказана однозначная разрешимость широкого класса прикладных задач фильтрации жидкости в пористых каналах с одной и двумя контактными (свободными) поверхностями типа вода - воздух и пресная - соленая воды;

• для решения таких задач предложен конструктивный подход - метод циклической итерации;

• доказана сходимость метода циклической итерации и его аппроксимационного аналога и получены оценки погрешности аппроксимации.

Заключение.

Новые результаты автора:

• получены априорные оценки решений системы уравнений относительно параметров конформных отображений, отвечающих фильтрационным задачам со свободными границами;

• на основе метода экстремальных длин семейств кривых в ряде фильтрационных задач дана оценка расхода жидкости;

• в задачах о двухжидкостных фильтрационных потоках доказана невырожденность области в плоскости комплексного потенциала с помощью задания дополнительных характеристик этих потоков; %

• для широкого класса прикладных задач фильтрации жидкости в пористых средах построены простейшие схемы фильтрации, в которых гарантирована единственность их решения;

• доказана эквивалентность различных уравнений, определяющих геометрию области фильтрации;

• получены специальные формулы конечных приращений для функций многих переменных;

• построены квадратурные формулы вычисления несобственных двумерных интегралов с подвижной особенностью.

1. Альфорс JT. Лекции по квазиконформным отображениям, М., Мир, 1969, 132 с.

2. Аравин В.Н., Нумеров С.Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформи-руемой пористой среде,М., Гостехтеориздат, 1953, 616 с.

3. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны, М., Мир, 1964, 466 с.

4. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства, М., Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит., 1988, 448 с.

5. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико математгаеские основы фильтрации воды, М., Мир, 1977, 446 с.

6. Коппенфельц В., Штальман Ф. Практика конформных отображений, М., Иностранная Литература, 1963, 395 с.

7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного, М., Наука, 1988, 708 с.

8. Лаврентьев М.А Вариационный метод в краевых задачах эллиптического типа, СО АН СССР, М., 1962, 136 с.

9. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений, СО Новосибирск, Наука, 1977, 420 с.

10. Монахов В.Н. О сходимости численного метода непрерывности задач гидродинамики со свободными границами, Динамика сплошной^среды: Сб. науч. тр. Ин-т гидродинамики СО РАН, 2000, вып. 116, С.55-61. ''

11. Монахов В.Н. Об одном вариационном методе решения задач гидродинамики со свободными границами, СМЖ, Т.41, № 5, 2000, С.106-121.

12. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод, М., Гостехтео-ретиздат, 1952, 673 с.

13. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод, М., Гостехтео-ретиздат, 1977, 660 с.

14. Weinstein A. Selecta, Pitman Publishing Limited, London, 1978, 629 c.1. Публикации автора

15. Губкина Е.В. Алгоритм численной реализации конформных отображений со свободной границей, Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Ин-т гидродинамики СО РАН, 2000, вып. 116, С.26-35.

16. Губкина Е.В. Метод непрерывности в прикладных задачах фильтрации жидкости в пористых средах, Математические заметки ЯГУ, Якутский государственный университет, 2000, С. 13-23.

17. Губкина Е.В., Монахов В.Н. Прикладные контактные задачи фильтрации в пористых средах, Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. Ин-т гидродинамики СО РАН, 2001, вып. 118, С.27-41.

18. Губкина Е.В., Монахов В.Н. Об однозначной разрешимости одного класса задач фильтрации жидкости со свободными границами в пористых средах, Региональные проблемы Сибири и Дальнего Востока, Институт математики, Новосибирск,2000, С.9-16.

19. Губкина Е.В., Монахов В.Н. Фильтрация жидкости со свободными границами в неограниченных областях, ПМТФ, Т.41, № 5, 2000, С.188-197.

20. Губкина Е.В., Монахов В.Н. Алгоритм численного решения задачи о параметрах фильтрационных потоков жидкости со свободными границами, Вычислительные технологии, том 6, специальный выпуск, ИВТ, Новосибирск, 2001, С.239-244

21. Губкина Е.В. Фильтрация жидкости в неограниченной области, тезисы докладов МНСК "Студент и научно-технический прогресс", ч.1, Новосибирск, 2000, С. 42

22. Губкина Е.В. Об однозначной разрешимости задач теории фильтрации со свободными границами, тезисы докладов, I международная научно-практическая студенческая конференция "Молодежь и наука на пороге 21 века" , Красноярск, 2000, С. 6 I

23. Губкина Е.В., Монахов В.Н. Об одном вариационном методе в теории фильтрации жидкости со свободными границами, Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике, тезисы докладов, Новосибирск, Институт гидродинамики им. Лаврентьева, 2000, С.45